AREAS DE REGIONES PLANAS.::1. Hallar el rea de la regin limitada por la curva.y=senx , los ejes coordenados en X [0, 2 ve solucin.SolucinA ( R)=0senxdx+2( 0senxdx)cosx 0+cosx 2( coscos 0) +( cos2 cos)(11)+( 1(1) )4u2.2. Halla el rea de la reginlimitada por la ecuacin:x2+y2=R2;;Solucin:.Pasando a coordenadas polaresx=rcos; y=rsen x2+y2=r2perox2+y2=R2r=Rconstante para todo (0,2 ); luego el rea en coordenadas polares dado por la siguiente propiedad:A ( R)=12r2d=1202 R2d=12 R202d12 R2( ) 02=12 R2( 20)= R2( unidades2). Hallar el rea de la regin limitada por las curvas:y=x3, y=xSolucin: !nterceptandoy=x3 y=xx3=xx={1,0, 1} ; luego por simetr"a se tiene:A ( R)=201( xx3) dx=2( x22 x44 )10=2(1214)12 u2#. Hallar el rea de la regin limitado por la par$ola P: y=4x2, % la rectaL: y=3 x.Solucin: !nterceptandoP L: 4x2=3x x2+3 x4=0x={4; 1}A ( R)=41( 4x23 x) dx=(4 xx33 3 x22 ) 14(41332)(16+643 24)1256u2&. Hallar el rea de la regin limitada por la 'stroide cu%a ecuacin esta dada por:x23+y23=a23 .Solucin:(espejando )%* y=(a23x23 )32 solo es necesario tomar la parte positiva %a +ue es sim,trico con los ejes % evaluaremos en el primer cuadrante, la cual el rea total es:A ( R)=40aydx=40a(a23x23 )32sea x=acos3t dx=3acos2t . sentdtcuando x=0; t =2cuando x=a; t =0A ( R)=420( 1cos2t )32(3acos2t . sent ) dt12a202sen4t .cos2tdt12a202(1cos2t2)2(1+cos 2t2)dt12a202(1cos22t4)(1cos2t2)dt32 a202( 1cos2t cos22t +cos32t ) dt32 a202(1cos2t1+cos 4t2+( 1sen22t ) . cos2t)dt32 a202(12cos2t cos4t2+cos2tsen22t . cos2t)dt32 a2( t2sen 4t8 sen32t6) 2032 a2[( 400)( 000)]3a28( unidades2)-. Hallar el rea de la regin limitada por la siguiente ecuacin: |x|+|y|=1 .Solucin: |x|={ x ; si x0x; si x