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1 Appendix A p.807

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1

Appendix A p.807

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2

Kronecker delta

Permutation symbol

p.811

1→2→3

3→2→1

単位ベクトル

i=1, j=2の時,k=3の時だけijk=1

Cartesian座標では1=x,2=y,3=z

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3

321 vvvp.812

p.813

(A.2-14)

(A.2-15)

順序を変えないで,ベクトルとスカラーをそれぞれ纏める.

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4

312212311312332

231132132231

321123123321312213213312

333323321331

322322221221

311321121111

332211

)()()()(

)()(

)(

)(

)(

][

δδδδδ

δδδδ

δδδ

δδδ

δδδ

δδδ

δwv

wvwvwvwvwvwvwvwv

wvwvwvwv

wvwvwv

wvwvwv

wvwvwv

wvwvwv

wv

iiiiiii

iiiiiii

iiiiiii

i jjiijjiijjiij

i j kkjiijk

計算例

21 ,132 ,321 if 131 ,231 ,123 if 1

ijkijk

ijk

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5

i j kkjiijk

ii j kkjijki

iii wvuwvuu ][][ wvwvu

(A.2-20) (A.2-21) .(A.2-22)

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6

000000010

010001

21δδDyadic product(二項積)

§A.3 Tensor operation p.815

δiδj:i行j列のみ1

二項積より内積・外積が優先

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7

Tensor(テンソル)

332313

322212

312111

wvwvwvwvwvwvwvwvwv

vectorのdyadic product

p.816-817

i j

jijij

jji

ii wvwv δδδδvw

33

jijji

iδδδδ単位テンソル

100010001

333231

232221

131211

i, jはi軸方向の単位ベクトル,ijはKronecker delta

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8

12=1軸に垂直な面に作用する2軸方向の応力

作用する力の方向(単位ベクトル)

力が作用する面の法線ベクトル

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9

)( )(

)(

)(

):(

333323321331

322322221221

311321121111

332211

iiiiiii

i jjiijτσ

The Scalar Product (the Double Dot Product) of Two Tensorsp.817

(A.3-1)

順序を変えないで,ベクトルとスカラーをそれぞれ纏める.

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10

The Tensor Product (Single Dot Product) of Two Tensors

...............

...............

.....321322121211311321121111

p.818

(A.3-4)

jkjk

jk if 0 if 1

jlijli l j

ijlijli j l

i δδδδ

i j k l

ijklij Aδ

j

1) ij=12)jをiに置き換える3) を消す

i k l

iiklA

一般的に

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The Vector Product (Dot product) of a Tensor with Vector

)( 333232131323222121313212111 vvvvvvvvv

The Tensor Product (Cross product) of a Tensor with Vector

(A.3-2)

(A.3-5)

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12

EXERCISE (p.818) vuwuvw )(][

)]([]:[ vuuv

20)-(A.2 ][ i

iiwvwv 9)-(A.3 ][ i j

jiji wvδδvw

i kkiik

i j kkjikij

i j kkjikji

j kkjkj

iii

vuw

vuwδvuwvuw

δ

δδδδδδδuvw ][][

i j

jiijj

jji

ii vuwvwu δδvuw ])[(

(A.3-22)

(A.3-24)14)-(A.3 ]:[

i jjiij:τστσ

i j

ijiji j k l

lkijiljki j k l

lkijlkjik l

lklki j

ijji vuvuδδvuvu ):(:]:[ δδδδδδδδuvτ

i j

ijiji j k

kjijiki j k

kjijkik

kki j

jiji vuvuvuvu δδδδδvuτ ][

18)-(A.3 ][

i j

jiji vδvτ

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13

§A.4 Vector and Tensor Differential Operation

321 xxx

The Gradient of a Scalar Field

nabel(del)

321 xs

xs

xs

p.820

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The Divergence of a Vector Field

3

3

2

2

1

1xv

xv

xv

The Gradient of a Vector Field

3

3

3

2

3

12

3

2

2

2

11

3

1

2

1

1

xv

xv

xv

xv

xv

xv

xv

xv

xv

p.821

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The Divergence of a Tensor Field

The Laplacian of a Scalar Field

Laplacian Operation

p.821

(A.3-3)

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EX.A.4-1 ])[(])[():( τvvτvτ

18)-(A.3 ][

i j

jiji vτδvτ

i j i

jijj

i

ij

i jjij

ii kkik

ikjk

ii j kij

kjki

ji j k

ij k

kjkji i

i

xv

τvxτ

vτx

vτx

vτx

vτx

vτx

δ

δδδδvτ ])[(

左辺第1項

13)-(A.4 ][

j i

iji

j τx

δτ

jiij ただし,

symmetry (対称)1)-(A.4

i ii x

δ

i j i

ijj

i k k

kii

k

kjij

i j ki

j k k

jkj

iii x

τv

xτv

vx

v δδδδτv

])[(

左辺第2項

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一方,右辺は, 11)-(A.4

k l k

llk xvδδv

i j i

jij xv

τ)[ (])[( τvvτしたがって,

i j i

jij

i j j

iji

i j j

iij

k l k

llk

i jijji

xv

xv

xv

xv

δδδδvτ :):(

jiij i j