MECNICA DOS SLIDOS Timoshenko 1, Cap. 3 e Beer 82, Cap. 31. Toro e Energia de Deformao1.1 Conceitos Bsicos de Toro (Fixos circulares macios e vazados)Seja uma barra cilndrica onde se aplica uma toro, por meio de conjugados T, nas suas extremidades.Figura 1 Toro pura Extremidade esquerda fixa o ngulo de toro (rotao de uma seo transversal em relao a outra)L o ngulo de toro por unidade de comprimento. Assim, L Hipteses Simplificadoras:Para pequenos ngulos de toro so aceitveis as seguintes hipteses:1) Aplica-se a Lei de Hooke ( . ou . G )2) As sees transvesais permanecem planas aps a toro3) A distncia entre duas sees quaisquer permanece constante aps o processo de toro.1 O elemento retangular sofre uma distoro romboidal Os comprimentos dos lados do elemento no variam durante a rotao, porm os ngulos dos vrtices no continuam retos O elemento retangular est em estado de cisalhamento puro, cuja deformao de cisalhamento puro dada pela expresso:abbb' (deformao especfica)Mas d r bb . ' e dx ab , logo:dxd r .Como dxd uma taxa de variao constante ao longo da barra, ento L dxd, e assim: MAXLr r . .(relacionam as tenses e deformaes na superfcie do eixo).Paraummateriallinearmente elstico,a intensidade da tenso de cisalhamento MAXr G G . . .2Figura 2Para um elemento semelhante, situado na superfcie de um cilindro interior de raio , analogamente so vlidas as mesmas discusses precedentes, uma vez que os raios das seestransversaispermanecemretos e semdistoro durantea toropura. Assimso vlidas as seguintes relaes: e G ( G = mdulo de elasticidade transversal do material)A deformao e a tenso de cisalhamento variam linearmente com o raio, com os valores mximos na superfcie do fixo.Figura 3Como resultado tem-se a configurao das tenses cisalhantes apresentada na figura 4. Assim, para um material anisotrpico, as fissuras aparecero primeiro na direo em que este material mais fraco. Exemplos: na madeira ocorrem primeiro, fissuras longitudinais, pois nesta direo sua resistncia ao cisalhamento inferior.Obs.: o estado de cisalhamento puro no fixo ocorre a 45 daquele estado onde ocorrem apenas tenses de trao e compresso. Assim, se um material mais fraco a trao que ao cisalhamento for torcido, a falha ocorrer por trao, com uma inclinao de 45 em relao ao eixo (ver figura 5).Figura 43Relao entre Toro e ngulo de Deformao:A resultante das tenses de cisalhamento (figura 3) deve ser equivalente ao torque T. Fora de cisalhamento que atua num elemento de rea dA (figura 3): .dA Momento desta fora em torno da linha de centro desta barra: ..dA Como = G.. , ento este momento :G..2.dA O torque total T : GJTJ G dA G dA G T . .2 2GJ = mdulo de rigidez toro Onde 32.2.4 42d rdA J o momento de inrcia polar da seo transversal circular.[ J ] = L4 (comprimento)4 Como GJTLL .Obs.: pode-se determinar G, experimentalmente, basta verificar o ngulo de toro produzido por um determinado torque no eixo. Como JTrGJLGrTLLGr r GMAX MAX . . eJT para qualquer ponto da seo transversal.Verifica-se que: F L dA dArdAr r JTMAXMAX MAX..2MAXr por analogia, MAXr 4Seo Circular Vazada (valem as mesmas relaes)Figura 5LrMAX. ; MAXr L [ ] [ ]41424 4 22 2c c r r dA J 42.r eixo slido raio r 2.4r eixo slido raio ro eJtubo = Jr JroMAXr , MAX MINcc 21ou JT para qualquer ponto interno.Jr TJTcMAX.2 Observaes:1) Situaes em que ocorrem esforos torcionais:a) Transmisso de torque em motores eltricos (geradores)Figura 6b) Estruturas especiais do tipo grelhas e prticos espaciais, etc...5Figura 7c) As sees no circulares no continuam planas aps a toro (giro + empenamento). So as mais usadas na Engenharia Civil.d)Representao da ToroForas Conjugadas:Figura 8Conveno de Sinal:Figura 96e) Em peas de seo constante, a seo crtica a de maior torque interno. Se o corpo estiver em equilbrio, ento:- Torque interno atA = 0- Torque interno entre A e B = 2- Torque interno entre B e C = 3 (seo crtica)- Torque interno depois de C = 0f) As frmulas apresentadas at aqui so vlidas para o caso elstico linear, onde se aplica a Lei de Hooke. Para o caso inelstico as formulaes so outras.g) Materiais dcteis geralmente se rompem por cisalhamento. Rompem perpendicularmente ao eixo ou longitudinalmente ao eixo (dependendo de onde a resistncia ao cisalhamento mais baixa) Material flexvel (que se deforma antes de romper) Materiais frgeis so menos resistentes a trao que ao cisalhamento (caso do giz). Material frgil (rompe semfletir ou deformar)h) Unidades:T N.m;J m4; N/m2 (Pa); e r mi) Da Mecnica dos Slidos sabe-se que:7Para a toro, considerando um esquema cilndrico de coordenadas:O tensor tenso no sistema de coordenadas polares x, , fica:111]1

0 0 00 00 0xx No sistema de coordenadas cartesianas, = (y,x), de modo que necessariamente tem-se:111]1

0 00 00zxyxxz xy Tanto no caso das coordenadas polares, quanto no caso das coordenadas cartesianas, todas as tenses so de cisalhamento, e assim: xx , yy , zz so iguais a zero.Deve ser observada a orientao dos eixos: O estado de tenses no elemento fica: onde xy = x exz = 0Soma de Momentos:8TB + TD + T = 0 ( para haver o equilbrio)EXEMPLO 3.1 :Um eixo circular vazado de ao tem comprimento L= 1,5m e dimetro interno e externo respectivamente de 40 e 60mm. Qual o maior momento de toro que podeseraplicadoaoeixo,paraque as tenses de cisalhamento no excedam 120MPa ? Qual o valor mnimo da tenso de cisalhamento para esse caso?r JT.max( ) ( )4 6 4 4 4 410 021 , 1 02 , 0 03 , 02 2m r r Jo m KN m Nm m m Nmm PaT . 084 , 4 . 084 . 4..03 , 010 . 021 , 1 10 . 12024 4 6 6

,_

MPa MPacc80 12003 , 002 , 0min min max21min PROBLEMA RESOLVIDO 3.1 : O eixo circular BC vazado, e tem dimetros de 90mm e 120mmrespectivamente, interno e externo. Os eixos ABe CDsomacios, com dimetro d. Determinar para o carregamento indicado:a) O valor mximo e o valor mnimo da tenso de cisalhamento no eixo BCb) Qual o dimetro necessrio nos eixos AB e CD, se a tenso admissvel no material de 65 MPa?

Observe que T = 09TAB = 6 KN.mr = 0,06 m ;ro = 0,045 m m KN TT m KN m KNBCBC. 200 . 14 . 6 + a) Eixo BC :( ) ( )4 6 4 4 4 410 92 , 13 045 , 0 06 , 02 2m r r Jo Mxima tenso de cisalhamento: MPamKNmm m KNJrTBC21 , 86 206 . 8610 92 , 1306 , 0 . 20.2 4 6max Mnima tenso de cisalhamento:MPa MParr66 , 64 21 , 8606 , 0045 , 0max0min b) Eixos AB e CD:TAB = 65 MPa = 65.103 KN/m2mm m rTr r TTrrTJrJTr39 039 , 014 , 3 10 . 656 2.2. . 22. . .33 34 d = 78 mmEXEMPLO: Os torques so exercidos nas polias A, B e C. sabendo-se que ambos os eixos so macios, determinar a mxima tenso de cisalhamento:a) no eixo AB;b) no eixo BC.a)max AB : 10 ( )MPam J m r m N TJr T5 , 7510 . 95 , 710 . 15 . 40010 95 , 7 10 . 15214 , 3; 10 15 ; . 400 ;.83max4 843 3max b)maxBC :T = 800N.m ; r = 20.10-3 m ; ( )4 84310 12 , 25 10 . 20214 , 3m J MPa 7 , 6310 . 12 , 2510 . 20 . 80083max PROBLEMA 3.2 (RESOLVIDO): O projeto preliminar de um eixo de transmisso levou escolhadeumabarradeseovazada,com dimetro interno do= 100mm e dimetro externo d = 150mm. Seadm = 83 MPa, obter Tmin para:a)O projeto preliminar;b) Um eixo slido;c) Uma seo vazada de d = 200mm e com mesmo peso do projeto preliminar. ro = 50mm r = 75mmJ seo vazada:( ) ( ) [ ]4 6434310 9 , 39 10 . 50 10 . 752m J a) m KNr JTJr T. 16 , 4410 . 7510 . 9 , 39 . 10 . 83 . .36 6maxmax b) 1( )64310 . 7 , 49 10 . 75214 , 3 SLIDOJ(Mesmo dimetro externo)m KNr JT . 5510 . 7510 . 7 , 49 . 10 . 8336 6max 2 Mesmo volume de material:Volume original = volume seo macia 11 ( ) mm r L r Lm m9 , 55 . . . 50 75 .2 2 ( )m KN Tm J. 8 , 2210 . 9 , 5510 . 33 , 15 . 10 . 8310 . 33 , 15 10 . 9 , 55214 , 336 6643 c) Seo vazada com d = 200mm e mesmo peso (= mesmo volume):Determine o raio interno ro : ( ) ( )mm r rr L r Lo oo o9 , 82 100 50 7550 75 100 100 . 50 75 .2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) [ ]m KNr JTm JOCO. 7 , 6810 . 10010 . 83 , 82 . 10 . 83 .10 . 83 , 82 10 . 9 , 82 10 . 100214 , 336 6max4 64343 Concluso: eixos vazados so mais eficientes do que eixos macios.Obs 1: Em geral, para projetos de peas circulares em toro,max < adm . Para o ao, o valordereferencia5,6MPa.Sabendo-seo torque Te a tenso decisalhamento admissveladm = max, pode-se determinar o raio:admadmTrJT JrJr T .max ; 42 r J Slido: 33.22.adm admTrT r No projeto, este raio deve ser ligeiramente maior do que o calculado.EXEMPLO: Considere o caso de um eixo para suportar 3,98 KN.m , com adm = 5,6 MPa.mm m r 6 , 7 10 . 6 , 710 . 6 , 5 . 14 , 398 , 3 . 2336 (Adota-se 8mm)12Obs 2: No caso de eixos de motores, calcula-se T a partir das caractersticas do motor. Um motor se especifica emCV (cavalo-vapor unidade de potencia) e a quantos RPM opera. O trabalho efetuado pelo torque T numa rotao do eixo 2T , e o trabalho efetuado por minuto n2T , onde n o nmero de rotaes por minuto (rpm) do eixo. Como um CV igual a 75 kgf.m/s , ento P(potncia), em CV dada por:100 . 60 . 75. . 2 T nNCVNCV = quantidade de CVcm kgfn NTn TNCVCV.. 7162071620. 1kgf = 10N e 1m = 100cm) . (7162 01 , 0 . 10 . 71620m NrpmNnm NTCV EXEMPLO 1: Qual o torque de um motor de 10 CV que opera a 1800 rpm?m N T . 8 , 39180010 7162EXEMPLO2:Selecionar eixosmaciosparatransmitir 200CVcada, semultrapassar max = 7MPa. Um eixo opera a 20 rpm e o outro a 20.000 rpm.Caso 1:20 rpm cm mTrm NrpmCVTadm7 , 18 187 , 010 7 14 , 371620 2.2. 7162020200 7162 . 7162363 Caso 2:20.000 rpmcm mTrm NrpmCVTadm87 , 1 0187 , 010 7 14 , 362 , 71 2.2. 62 , 7120000200 7162 . 7162363 Obs: r1 = 10.r2 Maiores velocidades de operao levam a economia de material.13EXEMPLO3.3(Resolvido):Considere a figura abaixo,transversal do problema anterior, qual o ngulo que provoca uma tenso de cisalhamento de 70 MPa na face interna do eixo? Considere G = 80 GPa.Lro min or L .min ;GGminmin min min. 43min10 75 , 810 . 8070 MPaMPa 76 , 3180. 10 . 6 , 6510 6 , 6510 . 205 , 1 . 10 . 75 , 83334 radObs: Para variao de material, seo transversal e momentos:

i ii iG J L T EIXOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS: Existemproblemas de toro em que as equaes da esttica precisam ser complementadas por outras que levamemconta as deformaes dos eixos e as restries da geometria do problema. Estes eixos so estaticamente indeterminados.EXEMPLO: Trecho 1:d = 20mm (macio)

Trecho 2:d = 20mm (vazado) do = 16mm142 1 2 12 10 ) ( ) ( + trechoB trechoADetermine as reaes de apoio em A e B, sabendo que estas extremidades so engastadas.Obs.: se uma das extremidades fosse livre, o problema seria estaticamente determinado.Soluo:TA + TB = 120 N.m condio de equilbrioEquao de compatibilidade 122 12 12211;JJ TTJTJTL LG J L TG J L TABB A B A levando emconta a conveno de sinais.4 34 4110 71 , 15210 .2mmrJ ; ( ) ( ) [ ]4 3 4 4210 27 , 9 8 102mm J A B A B A B A BT T T T T T T T 59 , 0 59 , 0 59 , 010 . 74 , 1510 . 27 , 533 Para a substituio na equao de equilbrio no se leva em conta a conveno de sinais. TA + TB = 120TA = 75,5 N.mTA + 0,59TA = 120 TB = 44,5 N.m EXEMPLO 3.3 O eixo engastado em D G = 80GPa Calcular o ngulo de toro no ponto A

,_

+ + CDCD CDBCBC BCABAB ABii iAJ L TJ L TJ L TG G J L T 1 TAB = 250 N.m15

( )4 64310 . 0795 , 0 10 . 152m JAB TBC = 250 + 2000 = 2250 N.m

( )4 64310 . 272 , 1 10 . 302m JBC TCD = 2250 N.m( ) ( ) [ ]4 6434310 . 904 , 0 10 . 22 10 . 302m JCD

,_

++ 22 , 21800388 , 010 904 , 06 , 0 225010 272 , 12 , 0 225010 0795 , 04 , 0 25010 8016 6 6 9 radAPROBLEMA 3.5 (Resolvido)Para o alumnio:* adm = 70 MPa e G = 27 MPa Para o ao:* adm = 120 MPa e G = 80 MPaDeterminar o mximo torque To que pode ser aplicado ao disco.Equilbrio:TAO + TAL = To(torque total)Compatibilidade: = AO = AL AL ALAL ALA AA AJ GL TJ G L TJ G L T ... ( ) ( ) [ ]4 6 4 44 6 410 003 , 2 03 , 0 038 , 0210 614 , 0 025 , 02m Jm JALAO 16AL AAL AT TT T908 , 010 . 003 , 2 . 10 . 27 10 . 614 , 0 . 10 . 806 6 6 6 Obs:To = Ttotal vai alcanar seu valor mximo quando um dos materiais atingir o valor de adm . Supondo que o alumnio alcance adm = 70 MPaprimeiro:m N T T Tm N Tr JrJTAO AL AOALALAL ADMALMAXAL. 3350 3690 . 908 , 0 908 , 0. 3690038 , 010 . 003 , 2 . 10 . 706 6 Verificar se este torque excede ou no adm = 120 MPa do aoMPa MPaJ r TADMAOAO AOao120 4 , 13610 . 614 , 0025 , 0 . 3350.6 > (No passa) Supondo que o ao alcance adm = 120 MPa primeiro:

m NTTm N Tr JTAOALAOAOAO ADMAO. 3250908 , 02950908 , 0. 2950025 , 010 . 614 , 0 . 10 . 1206 6 Verificar se este torque excede ou no adm = 70 MPa do alumnio:MPa MPaJ r TADMALAL ALAL70 75 , 6110 . 003 , 2038 , 0 . 3250 .6 < (ok)m KN m N T TO TOTAL. 2 , 6 . 6200 3250 2950 + Tubos de paredes finas: considere a figura abaixo: Falta Figura!!!17* e pode variar ao longo da seo transversal, mas pequeno comparado com a seo transversal total da pea;*coma aplicao do torque T, surgem tenses decisalhamento emtodas as sees transversais do tubo, uniformes na espessura (considerao), podendovariar ao redor da seo.* f = fluxo de cisalhamento* f o mesmo em qualquer ponto da seo transversal e ao longo da barra; constante.* f = .e = ctef N/mRelao entre fluxo de cisalhamento e torqueFalta Figura !!!* f.ds = .e.ds = .dA = dF*Omomentotororemrelaoaumponto referencial qualquer : dT = r.dF = r.f.ds* Torque total: Lmrds f T0*r.dsodobrodareahachurada, logo, a integral acima representa o dobro da rea limitada pela linha mdia. Assim:T = 2.f.Am ou

m meATATe f2 2. 18f e edx e dx e F F 2 2 1 12 2 1 1 2 1 TUBOS DE SEES RETANGULARESFalta ultima figura Elemento retangular ou quadrado empena e as sees no continuam planas Na seo quadrada a mxima tenso ocorre no meio dos lados19 Na seo retangular a tenso mxima ocorre no meio do maior lado. Depoisdetorcidaaseoquadrada, asdiagonaiseaslinhasqueligamospontos mdios dos lados da seo transversal da barra continuam retos. As outras linhas se deformam e a seo sai do seu plano original. Atenso nos vrtices nula: no existemforas aplicadas que possam equilibrar tenses na superfcie. 00 zy zxyz yx xy = xz = 02max. .b aT G b aTL3. . Equaes vlidas somente em regime elstico.Tabela 1: Coeficiente e que dependem somente da relao a/ba/b 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 10,0 0,208 0,219 0,2310,2460,2580,2670,2820,2910,2990,3120,3330,14060,16610,19580,2290,2490,2630,2810,2910,2990,3120,333EXEMPLO 3.10:Todas as medidas esto em mm.20- Tubos de alumnio- Torque T = 3 KN.m- Determinar a tenso de cisalhamento em cada uma das paredes(a)Am = 96x56 = 5,376x10-3 m2;e = 4mmMPaeATm8 , 6910 . 376 , 5 . 10 . 4 . 210 . 323 33 (b) Am = 5,376x10-3 m2; AC AB eCD BD MPaMPaCD BDAC AB8 , 5510 . 376 , 5 . 10 . 5 . 210 . 39310 . 376 , 5 . 10 . 3 . 210 . 33 333 33 PROBLEMA RESOLVIDO 3.9:* Observe que todas as reas so iguais: A = 1600 mm221* adm = 40 MPa* Determinar o mximo momento toror para cada uma das barras. Todas as medidas esto em mm.(1) a = b = 40 mm MPabaadm40 ; 208 , 0 1max ( ) m N b a Tb aT. 532 10 . 40 . 10 . 40 . 208 , 0 . 10 . 40 . .. .23 3 6 2max 12max (2) a = 64 b = 25a/b = 2,56 Interpolao: 259 , 0258 , 0 267 , 05 , 2 0 , 3258 , 05 , 2 56 , 2 xx( ) m N T . 414 10 . 25 . 10 . 64 . 259 , 0 . 10 . 4023 3 62 (3) 2 3max10 . 156 , 1 34 . 34 ;. . 2m AA eTmm m N A e Tm. 555 10 . 156 , 1 . 006 , 0 . 10 . 40 . 2 . . 23 6max 3 Trabalho de Deformao para o Caso de Mltiplos Carregamentos- Teorema da reciprocidade ou Teorema de Maxwell ( James Clerk Maxwell, 1831 1879)Aplica-se, gradualmente, primeiro a carga P1 e depois a carga P2.

1 11 11P x 1 21 21P x 11e21 coeficiente de influencia que representamas deflexes emC1e C2, respectivamente, quando uma fora unitria aplicada em C1( dependem das propriedades do material).22

2 12 12P x 2 22 22P x 12e22 IdemLembrete: 101XPx Pdx USeP = kx210211kx kxdx Ux 1 121 1 12121kx P kx x P (OK)- Principio da Superposio:2 22 1 21 22 21 22 12 1 11 12 11 1P P x x xP P x x x + + + + - Trabalho realizado pela fora P1: ( )21 11 1 11 1 11 1212121P P P x P (Antes da aplicao deP2) H o deslocamento x21 , mas no h trabalho, pois P2ainda no foi aplicada.- Trabalho realizado pela fora P2:22 22 2 22 2 22 221) (2121P P P x P - Trabalho realizado pela fora P1 durante a aplicao de P2: 2 1 12 2 12 1 12 1) ( P P P P x P

Trabalho ou energia a rea sob a curva.23- Trabalho total devido a P1e P2 :) 2 (2122 22 2 1 1221 11P P P P U + + ou, aplicando primeiro P2 e depois P1 : ) 2 (2121 11 1 2 2122 22P P P P U + + Verifica-se que12 = 21 :a deflexo produzida em C1 por uma fora unitria em C2 igual deflexo produzida em C2por uma fora unitria em C1(Teorema da Reciprocidade)Obs.: Neste ponto ainda no possvel o calculo das deformaes, pois h apenas uma equao com vrios coeficientes como incgnitas.Teorema de Castigliano( Alberto Castigliano, 1847 1884)- Se ) 2 (2122 22 2 1 1221 11P P P P U + + , ento: 1 2 12 1 111x P PPU + (def. em C1) 2 2 22 1 122x P PPU + (def. em C2)- Para n foras P1, P2,..., Pn , jjPUx Teorema de Castigliano- Aplicado tambm: para a declividade da linha elstica :jjMU ngulo de giro na toro:jjTU 24Obs.: Fica muito mais fcil se a derivao em relao a fora Pjfor efetivada antes da integrao ou somatria como nos casos abaixo: Flexo:LdxEIMU022 ; Lj jjdxPMEIMPUx0Regra da Cadeia:Foras Axiais:Trelia com n barrasni ii iE AL FU122; ni iiii ijjPFE AL FPUx1EXEMPLO 10.12- EI = 5 MN.m2- Calcular a flecha em A

Lx xAdxPMEIMPUy0

,_

+ 22wxPx Mx; xPMx ; ,_

+ LAdx wx PxEIy03 221 1Se tivesse sido colocado o valor 25( ) ( )PMMUPUP M U U

,_

+ 8 314 3wL PLEIyAnumrico, no teria sido possvel o clculo dePMx(Positiva porque est na direo da aplicao da fora)Cuidado:Aenergiadedeformaodeverepresentar todaaviga. Assim, emestruturas diferentes desta deve haver equaes de momento que varremtoda a estrutura. Por exemplo: calcular a deflexo em P.* Teorema de Castigliano para a determinao de xj contrrio a Pj , ou no caso em que no existe Pj em Cj :- Aplica-se uma fora fictcia Qj em Cj , na direo em que se quer xj :jjQUx- Faz-se Qj = 0- No caso de momento, o procedimento o mesmo:0 ; FFjMMU(Momento fictcio)EXEMPLO 10.13 - Determinar a flecha e a declividade em A. 26mm m x yA8 , 4 10 8 , 43 Flecha: LA AAdxQMEIMQUy0;221wx x Q MA ; xQMA EIwLwL L QEIy dx wx x QEIyA ALA A8 81 121 144 303 2 ,_

+ ,_

+ Declividade da linha elstica:LA AAdxMMEIMMUQ0;221wx M MA ;1 AMM EIwLEIwLL MEIdx wx MEIQALA A6 6121 13 302

,_

+ ,_

+ QA positivo porque est na direo de MA.EXEMPLO 10.14 - Barras de mesmo material e de mesma seo transversal. - Determinar os deslocamentos horizontal e vertical em B. QUxB ;PUyB AEL FAEL FU U UBD BD BC BCBD BC2 22 2+ + 27QFAEL FQFAEL FQUxBD BD BD BC BC BCB+PFAEL FPFAEL FPUyBD BD BD BC BC BCB+Encontrar o tamanho das barras: 9 , 36 75 , 043 tg ; 13 , 53 333 , 134 tgx hhx3443 ;( )( ) x hhx 143 134( )6 , 036 , 09 , 3636 , 02599 25 9 9 1643 33443433414334 BCBCsenx x x xxx x x x x8 , 064 , 013 , 53 BDBDsen

P F F F F PF F PF F P FBD BC BD BCBD BCBD BC y + 8 , 0 6 , 0 0 8 , 0 6 , 00 9 , 36 cos 13 , 53 cos0 cos cos 0 Q F F F F QF F Q FBC BD BD BCBC BD X + + 8 , 0 6 , 0 0 8 , 0 6 , 00 cos cos 0 ( )( )Q P FQ F FP Fx Q F Fx P F FB DB D B CB D B CB D B CB D B C6 , 0 8 , 06 , 0 3 6 , 0 4 8 , 08 , 0 6 4 , 0 4 8 , 06 , 0 6 , 0 8 , 08 , 0 8 , 0 6 , 0 ' + +' + +28( )Q P FQ PFQ P P F P Q P F P Q P FBC BCBC BC BC8 , 0 6 , 06 , 048 , 0 36 , 048 , 0 64 , 0 6 , 0 48 , 0 64 , 0 6 , 0 6 , 0 8 , 0 8 , 0 6 , 0+ + + + +8 , 0 QFBC;6 , 0 PFBC;6 , 0 QFBD; 8 , 0 PFBD( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )AEPLAEL Q PAEL Q PyAE PLAEL Q PAEL Q PxBB788 , 0 8 , 0 8 , 0 6 , 0 8 , 0 6 , 0 6 , 0 8 , 0 6 , 0096 , 0 6 , 0 8 , 0 6 , 0 8 , 0 8 , 0 6 , 0 8 , 0 6 , 0++ ++Teorema de Castigliano para o caso de estruturas estaticamente indeterminadasNo caso de estruturas com um grau de hiperestaticidade, escolhe-se uma das reaes como superabundantes e modifica-se ou elimina-se o apoio correspondente. A reao superabundante fica sendo uma fora desconhecida, cujo ponto de aplicao possui deslocamentos compatveis.EXEMPLO 10.15yA=0 LA AAdxRMEIMRUy0 Castigliano 22wxx R MA ;xRMA

838334wLLwLRA Equilbrio:2908 3121214 303202

,_

,_

,_

wL L REIdxwxx REIxdxwxx REIyALALA A8 8 85 4852085208583 88302 2 2 2 22wLMwL wL wL wL wLMwL wLM MwL wL wL wLwL R wL R R FB BB AB B A y + + EXEMPLO 10.16- Barras de mesmo material e mesma rea transversal- Determinar a fora em cada barraComo verificar o grau de hiperestaticidade:5 reaes de apoio + 3 esforos nas barras = 8 incgnitas (2 equaes de equilbrio por n)x(3 ns B, C, D) + (1 eq. Equilbrio)x 1(H) = 7 equaes 8 7 = 1( um grau de hiperestaticidade)AEBH FAEBD FAEBC FUvUyBH BD BCHH2 2 22 2 2+ + yH = 0 HBH BHHBD BDHBC BCHvFAEBH FvFAEBD FvFAEBC Fy++30

' + + ' + + + 3 6 , 06 4 , 0 2 13 6 , 0) 1 ( 6 4 , 0 2 12 22 22 22 2h xh x xh xh x x36 , 0272 , 072 , 0 28 , 0 1 2 28 , 0 2 1 + xx x 9 , 36 6 , 06 , 036 , 0 sen 1 , 53 8 , 08 , 064 , 0 sen 0 cos cos 00 cos cos 0 + + BD BC xBH BD BC yF F FP F F F F31( )64 , 0 2 164 , 0 8 , 0 136 , 0 6 , 02 22 2 22 2 2 + + + +h x xh xh x 6 , 0 HBCvF; 8 , 0 HBDvF;1 HBHvF( )( )( ) ( )( )( ) ( ) [ ][ ]P v P v v Pv v P v PEAyL v L v P L v PEAyH H HH H H HH H H H593 , 0228 , 1728 , 00 228 , 1 778 , 00 5 , 0 512 , 0 512 , 0 216 , 0 216 , 010 1 5 , 0 8 , 0 8 , 0 8 , 0 8 , 0 6 , 0 6 , 0 6 , 0 6 , 01 + + + + + + P F P P FP F P P FBC BCBD BD244 , 0 593 , 0 . 6 , 0 6 , 0326 , 0 593 , 0 . 8 , 0 8 , 0 32( )B H B DB H B C B D B C B DB H B C B H B CB D B CB H B D B CB D B CB H B D B CF P FF P F F F FF P F P F FF FP F F FF FP F F F8 , 0 8 , 06 , 0 6 , 0 3 3 , 16 , 08 , 08 , 0 6 , 06 , 0 6 , 0 0 6 , 0 6 , 0) 8 , 0 ( 0 6 , 0 8 , 00 6 , 0 6 , 0 4 8 , 0 3 6 , 0) 8 , 0 ( 0 6 , 0 8 , 0) 6 , 0 ( 0 8 , 0 6 , 0 +' + +' + +Formulrio necessrio para a 1 avaliao:Toro:L

Lr r . .

MAXR G G . . . 3.2ADMTr rJTMAX i i ii iG J L T

CilindroCheioJr TMAX. MAXr JT . MAXr Cilindro [ ]4042r r J MAX MINcc 21 Jc TMAX2 ouJr T Vazado33 . . G GJTL 32.2.4 4d rJ Motores: ) . (7162m NRPMNTCVCompatibilidade na toro: praticamente o ngulo de toro em um pontoTubos de paredes finas: ) / ( m N e f ctemATf2 mA eT. . 2 Tubos de sees retangulares:2. .b aTMAX G b aTL3. . Energia de deformao: Tenses normais axiais:vxdUEU022- Carga axial: EAL PU22nU U U U + + 2 1 - Flexo:LdxEIMU022 Tenses Cisalhantes:vxydUGU022- Toro: LGJL TdxGJTU022 2 nU U U U + + 2 1Trabalho das foras externas igual ao trabalho das foras internas ( ver pg. 21 meus apontamentos).34Castigliano: jjPUx;jjMU ; jjTU Se no tem fora aplicada, cria-se uma fictcia e depois a torna nula.Problemas estaticamente indeterminados: no lugar do apoio, uma reao; compatibilidade naquele ponto.Conceitos Bsicos de ElastoplasticidadeConsidere uma barra tracionada axialmente, cujo grfico apresentado a seguir: Carregamento monotnico o igual na trao e na compresso, se o material isotrpico(metais). O ponto A o limite do comportamento linear elstico do material ( = o). A partir deste ponto, o comportamento do material plstico. Havendo uma descarga neste ponto, as deformaes so completamente reversveis.35 Para uma descarga aps o ponto A(ponto Bpor exemplo), uma parte das deformaes ser reversvel; so as deformaes plsticas. Neste caso as deformaes so aditivas:P E + (1) Oestado de tenses no inicio da descarga(ponto B) devido somente s deformaes elsticas, o que explica as linhas paralelas em (b). No caso de uma recarga, acurva volta sobre a curva de descarga, e em B comearo novas deformaes plsticas. A mudana do ponto limite elstico do material de A para B configura o fenmeno de endurecimento do material.So validas as seguintes relaes:) (P f f com( )o f 0Onde f, que depende das deformaes plsticas, a nova tenso de escoamento do material.Como as tenses dependem somente das deformaes elsticas, pela Lei de Hooke:( )P E E Ec c (2) * P varivel interna A trajetria de equilbrio obtida atravs de variaes incrementais, uma vez que a analise agora no-linear:- para d > 0 dP > 0- para d < 0 dP = 0- para d > 0 dP > 0Fluxoplsticouniaxialindependente do tempo (Rate independent plasticity) trs postulados:1) Funo elastoplstica (ou de escoamento):0 ff (3)define a superfcie de escoamento de um material;As tenses internas no podem ser excedidas pelas aplicadas.2) Lei de Endurecimento:( )P f f 3) Regra de fluxo: P PNd d (4) , onde N d a direo do fluxo plsticoNo caso do postulado 1):- se f < 0 , regime elstico36- se f = 0 , regime plstico- f > 0 no possvelAssim:- Se 0 < d ,f < 0e0 Pd - Se 0 > d , f= 0e0 >Pd Pd e f obedecem s condies de Kuhn-Tucker:0 f dP ;0 Pd ;f 0 Condio de Consistncia:0 fd d df (5) para haver def. plsticas Relaode fdcom Pd: P fwd d , onde( )( )PP fP fddfw (6) a inclinao local da curva de endurecimento, chamada de potencial plstico De(5) e(6)01 dwdP (7),onde 0 N d d (8)parahaver fluxo plstico ddN Substituindo (8) em (7) e levando em conta (4): dwNNdwdP1 1 (9) se f = 0e 0 > Nd No h fluxo plstico.Obs.: - Se w > 0 endurecimento do material- Se w < 0 amolecimento do material- Se w = 0 nem um , nem outro (perfeitamente plstico). (8) perde o sentidoVariao do Estado de Tenses e Mdulo Constitutivo Tangente dC ww Cd dw C C wdw Cdw Cdd d dEEEEE EP E

,_

+

,_

+

,_

+ + + 1 1 1 (10)onde

,_

+EEC ww C mdulo constitutivo tangente37Obs.: para materiais perfeitamente plsticos, w = 0 e (10) perde o sentido, usa-se ento as seguintes relaes:E Ed C d , onde P P Ed d d d + Regra de Normalidade ou Regra de Fluxo Associada: estabelece que em qualquer ponto sobreafunodeescoamento, emque ( ) ( ) 0 , P ff umacurvasuave, ovetor externoquedadireodofluxoplsticonormalaestafuno, eproporcional ao gradiente de f ; no espao das tenses:

( )wfP f - Se o potencial plstico em funo de g, distinto de f, em que ( )P fgw noproporcional a( )P ff , entoaregradefluxonoassociada, ea direo do fluxo plstico no normal funo de escoamento.Postulado de Drucker: Baseado nas seguintes relaes:a) > 0 .Pd d h endurecimento do materialb) 0 .Pd d material perfeitamente plsticoc) < 0 .Pd d h amolecimento do material38Vlido para superfcies convexas:Regras deEndurecimento: Adependncia dasuperfcie plstica emrelaos variveis internas (por exemplo P), configura a propriedade de endurecimento do material.- Se a superfcie expande: endurecimento isotrpico- Se a superfcie translada: endurecimento cinemtico Funo de Escoamento no Estado Multiaxial:39- Endurecimento isotrpico:( ) 0 P ff onde ( ) ( ) ( )P o P fR + e ( )PR : - linear:kP- exponencial:( )bpe y 1- linear exponencial:( )bpPe y k + 1onde p a deformao efetiva (mdulo de deformao plstica), e k,ye bso parmetros do material constantes.- Endurecimento cinemtico: 0 + of , onde o vetor da translao da origem da superfcie plstica.- Endurecimento misto (isotrpico + cinemtico): ( ) 0 + P ff - Material perfeitamente plstico:0 of Obs.: at agora ainda no esto considerados os critrios de escoamento plstico, os quais se diferenciam por um coeficiente que pr-multiplica( )P f .Trabalho de Deformao para o Caso Geral de Tenses: ( )zx yz xy z y x , , , , , zx zx yz yz xy xy z z y y x xu 212121212121+ + + + + tinha trabalhado at agora somente com estes Basta aplicar estas relaes para o caso mais geral de tenses, atravs da permutao dos ndices.E E Ezyxx Gxyxy E E Ezyxy +Gyzyz 40E E Ezyxz +Gzxzx ( ) [ ] ( )2 2 2 2 2 221221zx yz xy x z z y y x z y xG Eu + + + + + + + - Nos eixos principais as foras cisalhantes so nulas:( ) [ ]a c c b b a c b aEu + + + + 2212 2 2 (1)a , b , c tenses principais no ponto.Critriode Mxima Energia de Distoro:baseia-se na determinao da energia porunidadedevolumeassociadadistorooumudanadeformadomaterial. um critrio utilizado para verificar se o estado de tenses poderia causar escoamento em um material dctil.uv referente a mudana de volume ud referente distoro + +3c b a tenses hidrostticas'a a + ;'b b + ;'c c + 0' ' ' + + c b a 41d vu u u + (b) tende a mudar o volume mas no a forma relacionado com uv em (c) , ,c b a podem ser de trao ou compresso: tende a modificar a forma mas no o volume relacionado com ud : - De slidos :( ) 02 1 + +c b a dE VVe , continuar pgina 531 BEER Substituindo em (1) cada tenso principal por , de modo a se obtervu, tem-se:( ) [ ][ ] ( ) 2 1 3213 . 2 3212212 2 22 2 2 + + + + E EuEuvv- Mas como 3c b a + + ,( )( )2262 19) 2 1 (23c b ac b avE Eu + ++ + ( ) [ ]( )( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] { }( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] { }( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + + + + + + + + 1]1

+ + + + + + 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 1 2 1 2 1 1 8 1 8 1 8 3 3 3 {612 2 2 2 1 6 3612 1 6 36162 1221c b a a c c b b a c b a db c c a b a c b a a c c b b a c b a dc b a a c c b b a c b a dc b a a c c b b a c b a v dEuEuEuE Eu u u ( ) ( )b c c a b a 4 2 4 2 }42( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c a c c b c b b a b ac c b b a a dEu 4 2 18 4 2 18 4 2 182 1 3 2 1 3 2 1 3 [612 2 2 2 2 2 + + ....( ) ( ) ( ) [ ]2 2 2 2 2 22 2 261a a c c c c b b b b a a dEu + + + + + +Como G E 12161+ , ( ) ( ) ( ) [ ]2 2 2121a c c b b a dGu + + - Para o estado plano de tenses; 0c( ) [ ]2 261b b a a dGu + - No estado de trao, em quey a e0 b, ( )Gy uyd62- H segurana estrutural quando ) ( y u ud d < < + ; 01 > 03 min2 max Usando (b) 0 3 2 o 2Setor 301 < ; 02 > Como01 < , 3 no o mn.min 1 e max 2 Usando (a) 2 12 12 10 2 1 + + oooSetor 401 < ; 02 < 1 min3 max0 Usando (c) o 1Setor 502 < ; 01 < 2 min3 max0 Usando (b) o 2Setor 602 < ; 01 > 3 no o mn.2 min1 max Usando (a) ooo 1 21 22 1Teoria da Mxima Tenso Normal (Rankine) Materiais FrgeisA falha ou fratura do material ocorre quando a mxima tenso normal, em algum ponto atinge um valor crtico, independente de outras tenses. Neste critrio, use-se apenas a maior tenso principal.o e 02 < Como < +125225062 , 116262 , 16 62 , 21622 1o no ocorre escoamentoc) ( )60240 160 +MED( )MAXR + 4 , 141 100 60 1602 24 , 201 4 , 141 601 + + R OC maior4 , 81 4 , 141 602 R OC menor 03 o t 2 22 1 2 1 pois01 > e 02 < Como > +12522504 , 14124 , 81 4 , 20122 1o vai haver escoamentoFlexo Pura (Reviso)- A deformao varia linearmente com y, sendo zero na linha neutra.51MAXcy

- Relao entre M e : - Pela Lei de Hooke, h a proporcionalidade entretenses e deformaes:Logo:

,_

dA ycyMMAX. . - MAX e c so constantes:IcdA ycMMAX MAX 2- Para valores de y ce considerando que ycMAX :I y MyIMcIycM. . . (distribuio linear das tenses)- Para que haja equilbrio, 0 .dA ou 0 dAIMy; logo:

Como M 0 e I 0 , 0 .dA y. Esta equao indica que h um eixo de simetria, ou seja, a linha neutra passa no centride da seo.- wMIMcMAX ; 6 621223Ah bhhbhcIwmdulo de resistncia flexo52MAXcy dA y M . . 0 .dA yIMDeformaes Plsticas na Flexo Pura: Caso em que a Lei de Hooke no se aplica, e em conseqncia no se pode afirmar que a linha neutra passa pelo centride da seo transversal, a menos que o material tenha a mesma relao tenso deformao para a trao e para a compresso, e se houver planos de simetriahorizontal evertical. Paraumcasomaisgeral, alinhaneutralocalizadapor tentativas, at que se tenha uma distribuio de tenses consistente(equaes de equilbrio satisfeitas).No primeiro caso, as deformaes so lineares em relao a um eixo de simetria, porm a relao tenso-deformao no linear: Deformaes Lineares Tenses No-lineares

Assim: MAX xcy edeterminando-se MAX , tem-se os valores de x para cada y daseo. Comestesvalores, obtm-se xnogrficotenso-deformao, oqueda distribuio abaixo: - Estaequaodedeformao valida em virtude de as sees transversais planas das vigas permanecerem plana durante flexo, e devido simetria da pea.53 cxccxx xdy y b Mydy b Mybdy ydA M02 - Este conceito til para o clculo da capacidade-limite de carregamento que, em geral, muito maior do que o carregamento correspondente ao limite de proporcionalidade. til tambm para determinar o coeficiente de segurana contra falhas ou colapso da estrutura j projetada. - Momento fletor: passagem justificada por ser um funo impar - Esta equao de M pode ser utilizada se for conhecida a expresso analticadex. Se no, M pode ser obtido por integrao numrica.Determinao do Momento Fletor ltimo Mu (momento que provoca a ruptura da barra)54dy b dA . Determina-seUM experimentalmente em um corpo de prova. - Adota-se uma distribuio de tenses fictcias - As reas definidas pelas duas distribuies (real e fictcia) devem ser iguais, de modo queUM seja o mesmo para ambos. - E assim, por analogia com I c Mx. I c MRUB mdulo de ruptura na flexo (obtido no corpo de prova)- Determina-seUM para a barra feita com o mesmo material do corpo de prova:

cI RMBUBarras constitudas de material elstico perfeitamente plstico:

IMcMAX otenso de escoamento- Evoluo do momento fletor:55- 0M o mximo momento elstico

oyxyy analogia com metade da espessura do ncleo elstico

- MP o momento plstico, que correspondea uma seo totalmente plastificada.- Partindo de yyxdy y b M02 , pode-se determinar Mcorrespondente seo parcialmente plastificada:( )

,_

yyycyoyody y b dy yyy b M02 2 o y o o yby bc by 2 2 232 + 56o oocIMM M 233212) 2 (bccc bcI o obc M 232MAX xcy oM M >o PM M M23

,_

222311cybcyomas comoo obc M 232 , - Quando yy 0 , M MP ser vista a seguir - 22 1AA A - c1 e c2=centrides-2 1Cy Ty MP+ - 21AA To o e 22AA Co o Assim:( )z My y AyAyAMo Poo o P + + 2 2 22 12 1Onde ( ) + 2 12y yAz mdulo de plasticidade da seo transversal (momento esttico em torno do eixo neutro)- Para o caso da viga retangular:4 4 4 22bh h h bhz ,_

+ - Como o ocIM , eS bccI 232 , tem-se que:57

,_

2231123cyM Myo o PM M23 o PoooPM MbhbhhbbhbcbhSzMM232324 . 34223.4324222222

,_

Expresso de M em funo do raio de curvatura

raio de curvatura 1 k=curvatura

LLMAX

( ) ( )MAXLL cL cL L L cL LL L L ccL L LcL LcL Lraioarco + + Elstico:MAXc oc 0para oM M c y t (a) t < c y y situao elstica em queMAXcy c y y yy y y< (b)QuandooM M , c yy ,o e o Comoy o de (a) e (b) tem-se:oycyonde c yy - ParaoM M < , relaes elsticas Por esta ltima equao, v-se que oM M23 somente quando = 0, o que no possvel. Logo, uma deformao plstica que toma toda a seo transversal no ocorre na flexo pura. Esta situao s ocorre em um ponto para vigas com carregamento transversal ao eixo.Relao entre MP e Mo atravs do volume das regies tracionada e comprimidaCaso Elstico- Caso elstico com a primeira fibra em y = c plastificada.- A fora resultante Ro deve passar pelo baricentro e deve representar, em intensidade, o valor dos volumes definidos pelas distribuies de tenses:

o obc R 21o Pbc R - Os respectivos momentos provocados pelos conjugados so: Caso Plstico- Logo:233222 oooPbcbcMM59o y obc R c M 23234 ,_

o P Pbc cR M 2 - Caso a viga no tenha seo retangular, pode-se determinar a relao entre MP e Mo por algum mtodo grfico aplicvel. Assim, para um caso mais geral: oPMMk ; 23 konde k o fator de forma da seo, e varia entre 1,08 e 1,14 para perfis estruturais de abas largas.- A relao zMoP chamada de mdulo resistente da seo plastificada. Assim, o Pz M .- Como para o caso do limite elstico, o ow M , tem-se :wzwvzMMooP - Para um viga retangular:4222hb bcbc MzoooP e 6 62bh Ahw ;Assim, 326422 bhbhwzkEXEMPLO 4.05 BEER: Considere que a barra abaixo est submetida ao de um momento fletor M = 36,8 kN.m. Supondo que a barra constituda de material elastoplstico, com o = 240 MPa e E = 200 GPa, determine:a) A espessura do ncleo elsticob) O raio de curvatura da superfcie neutra IMcMAX ; o ocIM

ou m N bc Mo o. 28800 10 . 240 . 10 . 60 . 5032326 9 2 2 60 < M Mo h plastificaoa) Ento:mm m yy yycyM Myy yy yo40 0399 , 00108 , 0148148 , 00108 , 01 85185 , 010 . 60 . 31 28800233680031232 26 2222

,_

,_

Assim, a espessura do ncleo elstico mm yy80 . 2 b) Raio de curvatura: no caso de flexo pura, somente 0 xx, de modo que Exxxx . Assim, 39610 . 2 , 110 . 20010 . 240 EooEnto: mcoo5010 . 2 , 1060 , 03 ( quando plastificou a primeira fibra, em y = c)Mas, pela relao mcyoy3 , 3350 10 . 6010 . 4033 Deformaes plsticas em barras com um plano de simetria:Neste caso, a linha neutra no coincide com o baricentro da seo transversal. Abaixo segue o estudo limitado ao caso em que as deformaes so totalmente plsticas.- Clculo da posio do centro de gravidade g da seo transversal

24d Atotal( )i i iA y A y i i iii iiii iy A AAy AA yAy Ay 61( ) + + ,_

+ + + + d d y d d d yd d ddddd y12103 . 41031033 1 12 131312 42 .323242 2 2 2 d d y 833 , 065acima da base - Localizao da linha neutra:A no coincidncia da linha neutra com o baricentro devida:1. Foras acima e abaixo iguais(equilbrio)2. Seo toda plastificada de modo que acima e abaixo da LNtem-seo.3. Como conseqncia, 2 1A A o que faz com que a LN seja deslocada do centro geomtrico.- Por equilbrio:2 1 2 10 . . A A A Ao o + Assim: ( )2 22 2 2 Ld xdd L dxx L ddd ( ) ( )23 42 2 22 212211LLd d AL d d L dLd A+ + 1]1

,_

232 22222LLd ALdL Ld d A +1]1

,_

+ 62Com 2 1A A :0 6 42323 42 22 22 + + L dL dLLdLLd d( )220 6220 6216 36 61 . 24 . 4 6 61 . 2422 2 2 22d d d dLd d d d d d ac b bLtt t t t d d Ld dL 833 , 0 76393 , 0220 6 t- As linhas de ao das resultantes R1 e R2 passam pelos baricentros C1e C2. Conforme visto anteriormente, o momento plstico pode ser definido como: ( )2 212 1y y Ad A Moo P+ ,_

Tenses Residuais:Ocorrem quando as fibras, no material, so carregadas alm do limite elstico e sofrem deformaes permanentes. Situao esta que impede, quando se retira a carga, que as fibras carregadas elasticamentevoltem ao comprimento inicial. As tensesresiduais so, portanto, as tenses que permanecemna estrutura depois que esta sofre as operaes decarregamento e retirada de carga.63Considere o exemplo a seguir:- Para simular o processo de descarga, considera-se aplicao de M = -36,8 kN.m . Como curva de descarga linear (obedece a Lei de Hooke), usa-se a seguinte relao:IMy 3 6 6 2 3 210 . 120 00012 , 0 10 . 60 . 10 . 503232m bccI - Para as fibras externas:( )MPaIMcMAX7 , 30610 . 12010 . 8 , 3663 - Para qualquer outro ponto: MAXcy ( distribuio linear devida descarga)Ey = 40 mm :MPa 44 , 204 7 , 306604040 - As tenses residuais so obtidas pela superposio dos diagramas de carga e descarga; ou, em outras palavras, pela soma algbrica das tenses nos processos de carga e descarga: MPayRESID7 , 66 240 7 , 30660

MPayRESID56 , 33 240 44 , 20440 64- Raio de Curvatura aps o descarregamento:No h uma relao linear tenso-deformao acima do ncleo elstico. Portanto, pela Lei de Hooke no ncleo elstico:69610 . 8 , 17710 . 20010 . 56 , 35 Exxx (ltima fibra do ncleo elstico)

mmyyyyy y22510 . 8 , 17710 . 4063 PROBLEMA RESOLVIDO 4.5 : - Material elastoplstico - E = 200GPa - MPao250 - Determinar o valor de M e o correspondente raio de curvatura:a) no instante em que ocorre o escoamento;b) quando as abas do perfil tiverem se tornando totalmente plastificadosa) Incio do escoamento:( )4 2 3 310 . 6 , 0 35 , 0 . 02 , 0 3 , 01214 , 0 . 30 , 0121m I ;c = 0,20mm kN m NcIMoo. 750 . 7500002 , 010 . 6 , 0 . 10 . 2503 6 oo o occ ; 00125 , 010 . 20010 . 25096 Eoomo16010 . 12520 , 05 b) Abas totalmente plastificadas:65( ) kN R R 1875 025 , 0 3 , 0 10 . 25034 1 ( ) kN R R 438 02 , 0 175 , 0 10 . 2502133 2 - Momento fletor: [ ][ ]m kN MMR R M. 8051166 , 0 438 1875 , 0 1875 21166 , 0 1875 , 0 22 1 + + - Raio de curvatura:myyyyy y14000125 , 0175 , 0 PROBLEMA RESOLVIDO 4.6 - Material elastoplstico - MPao230 - Determinar MPSoluo: A linha neutra divide duas reas iguais- 24800 20 . 60 20 . 80 20 . 100 mm Atotal + + -mm A A 24002 1 66-mm y mm y A 20 2400 . 20 100 . 201 + - A linha neutra no passa pelo baricentro.( ) kN A Ro a480 10 . 240 02 , 0 . 1 , 061 1 ( ) kN A Ro b96 10 . 240 02 , 0 . 02 , 061 2 ( ) kN A Ro b288 10 . 240 06 , 0 . 02 , 062 3 ( ) kN A Ro a288 10 . 240 02 , 0 . 06 , 062 4 m kN MMR R R R MPPP. 16 , 44288 . 07 , 0 288 . 03 , 0 96 . 01 , 0 480 . 03 , 007 , 0 03 , 0 01 , 0 03 , 04 3 2 1+ + + + + + Como a reao no simtrica em relao ao eixo z, a soma dos momentos de R1 e R2 no igual soma dos momentos R3 e R4.PROBLEMA RESOLVIDO 4.7Determinar as tenses residuais e o raio de curvatura permanente, depois de removido o momento fletor M = 805kN.m, para o problema 4.5.IMyRES c = 0,20( )MPa m kNc y269 / 26900010 . 6 , 020 , 0 . 10 . 805233 MPay4 , 235 26992175 , 0175 67MPac yRES19 269 250 + MPayRES6 , 14 4 , 235 250175 + mEypermyresidresidresidyperm239710 . 73175 , 010 . 7310 . 20010 . 6 , 146696175 PROBLEMA 4.7Usandoamesmaviga doproblema 4.5, determine as tenses residuais e o raio de curvatura permanente depois de removido o momentoM = 805kN.m (depois das duas abas plastificadas).Soluo:M = -805kN.mI = 0,6.10-3 m4 Em y = c = 200mm: MPam IMcx3 , 26810 . 6 , 02 , 0 . 10 . 80533 68 Em y = 175mm:MPamx8 , 23410 . 6 , 0175 , 0 . 10 . 80533 ou MPacyMAX x8 , 234 3 , 208200175 MPac yRES3 , 18 3 , 268 250 + MPayRES2 , 15 8 , 234 250175 + Raio de curvatura: de y = 0 at y = 175 somente ocorreram deformaes plsticas de modo que se pode usar a Lei de Hooke:5 9 610 . 6 , 7 10 . 200 . 10 . 2 , 15 . E( )myy xy6 , 2302 Obs.: frmula geral para :y - Quando plastifica a primeira fibra: ooc raio de curvatura com relao LN - No topo do ncleo plstico: yyy Conceito de rtula plstica (Timoshenko/Gere, Vol 2, Cap 9):As rtulas plsticas, ou articulaes plsticas, ocorrem em determinada seo transversal cujo carregamento tenha alcanado o momento de plastificao MP:

,_

22123ooM M 0o impossvel oM M23 impossvel69 Situao em que <

PROBLEMA RESOLVIDO 3.8 BEER- Para o mesmo eixo do problema 3.7, determinar as tenses residuais e o ngulo de toro permanente, aps o momento toror Tp = 5966N.m ter sido removido.DESCARREGAMENTO:T = -5966N.m( ) 28 , 6180. 1096 , 0 '10 . 80 . 02 , 0 03 , 0215 , 1 . 5966'9 4 4radJGTL 78 , 1 28 , 6 06 , 8 ' PEm c2 :89'' + PP( )( )' 214 424 , 2 5 4 , 1 7 5 1 5 01 , 3 3 9 , 1 1 6 1 5 04 , 1 7 50 2 , 0 0 3 , 0210 3 , 0 . 5 9 6 6 .21 M P aM P aM P aJc Tcr e scr e sM A XEm c1 :( ) MPaccMAX MIN9 , 116 4 , 17503 , 002 , 021 Introduo instabilidade ou estudo da estabilidade de colunas( BEER, Cap. 11 e Timoshenko, Cap 10 Vol )90 Colunas articuladas nas extremidades com cargas supostamente centradas.Estabilidade estrutural a capacidade que a estrutura tem de suportar um determinado carregamento sem sofrer um sbita mudana em sua configurao. Esta sbita mudana na sua configurao, quando ocorre, denominada de flambagem.- Embora a estrutura esteja submetida a ADMAP < eMAXAEPL < recomendado, ela est sujeita ao fenmeno de flambagem.Considere o sistema abaixo: Duas barras rgidas AC e CB Ligao por um pino e uma mola de toro de constante k. O sistema permanece em equilbrio enquanto no ocorrem perturbaes ( fig. (b))91 Mas, se houver uma perturbao, como um ligeiro movimento do ponto c para a direita (fig. (c)), o sistema ser estvel se voltar para a sua posio de equilbrio, ou instvel se continuar se afastando da posio de equilbrio ( fazer o teste da rgua de plstico) - Verificao se o sistema estvel ou instvel: Os conjugados formados pelas foras P e P so: ,_

senLP MP2

senLxLxsen22 tendem a afastar a barra da vertical. O conjugado ( ) 2 k Mnexercido pela mola tende a levar a barra de volta para a posio original. K a constante da molae 2 seu ngulo de deflexo. Se >P nM M o sistema volta posio original (equilbrio estvel) Se

PCR .- Se P > PCR havendo uma perturbao, o sistema se afasta da vertical, e aps algumas oscilaes, atinge uma nova posio de equilbrio. 92 O caso agora de grandes deslocamentos e ento sen Para o equilbrio desta nova situao tem-se:( ) ,_

sen kPLk senLP422 obtido por tentativas para cada P, L e k usados. Como CRCRPPsen LkP 4. Sendo P > PCR :1 >sen, necessariamente 0 > e em conseqncia < sen . ParaP < PCRa equao acima no faz sentido tutor com: )