Apostila Corpos r­gidos

download Apostila Corpos r­gidos

of 177

  • date post

    29-Jun-2015
  • Category

    Documents

  • view

    273
  • download

    5

Embed Size (px)

Transcript of Apostila Corpos r­gidos

DINMICA DOS CORPOS RGIDOS ZzyxXYO&&zGmg Celso Pupo Pesce Escola Politcnica da Universidade de So Paulo Dinmica dos corpos rgidos 2 DINMICA DOS CORPOS RGIDOS Celso Pupo Pesce Departamento de Engenharia Mecnica Escola Politcnica da Universidade de So Paulo So Paulo, novembro de 2004 Dinmica dos corpos rgidos 3Prefcio Opresentetextodidticofoioriginalmenteelaboradotendoemvistacomporumdos captulos de um livro de Mecnica Geral destinado a alunos de graduao em engenharia, nosmoldesdocursoministradonaEscolaPolitcnicadaUniversidadedeSoPaulo. Entendeu-se,ento,serinteressanteumaanlisemaisextensiva,oquelevouedioda presente monografia. Noentanto,quandooassuntotratadoenquadra-senacategoriadosdenominados clssicos,dosquaisaMecnicaconstituitalvez o caso particular de maior importncia, postoqueocupalugarnobrenahistriadacinciaeaoseuestudotomelhorese aprofundados textos foram dedicados, qualquer tratamento apresentado corre o srio risco da simples redundncia, para dizer o mnimo. Assim, no espere o leitor algo surpreendente, do ponto de vista didtico, mas to somente uma tentativa de sistematizar e organizar notas deaulaqueabrangemumlimitadoespectro,tantoaonveldecompletudecomode profundidade no tratamento da matria. O desenvolvimento do texto reflete, em grande monta, a forma com que este autor acredita devaaformaodeumengenheiroconceitualserconduzida.D-se nfase deduo e discusso dos modelos da mecnica, procurando-se explicitar as hipteses sobre as quais soconstrudos,particularizando-osentosdiversassituaesdeaplicaoquese apresentam teis ao estudo da mecnica e da engenharia. Foge propositalmente, portanto, deumaabordagemusualmenteencontradaemlivrosdecunhomaistcnico que, pode-se dizer, adotam o caminho que vai do particular para o geral, seguindo a orientao oposta, cuidando para no se desviar do contedo conceitual, sem contudo ingressar no formalismo e rigor matemticos excessivos. Adeduoeadiscussodasequaesdomovimentosoconduzidasdemaneira relativamente detalhada, por vezes at um pouco exaustiva, quando diversas formas teis de suaaplicaosoentoapresentadas.Anotaovetorialutilizada,embora,quando pertinente,notaomatricialsejaempregadacomoalternativatilcompreensofsica, snteseouaplicaonumrica.Admite-sequeoleitorapresenteconhecimentos Dinmica dos corpos rgidos 4elementaresdelgebravetorial,lgebralinearedeclculodiferencialeintegralalmde possuiralgumafamiliaridadecomosfundamentosdaMecnicaClssica,aincluindoos captulos relativos esttica, cinemtica do ponto e de um corpo rgido, e dinmica do ponto. ODoutorEduardoAounTannuri,quandocursavaoterceiroanodeEngenharia Mecatrnica,em1996,ofereceu-separaauxiliar-menaelaboraodosexemplos,na revisodotextoeemsuaedio.Maisdoqueumauxlio,oqueseviufoiumtrabalho efetivo,nasoluodeboapartedosexemplospropostosenaelaboraodefiguras, seguidoporumareviso cuidadosa, que acabou por apontar diversos erros de impresso pormimcometidosesugestesdemelhoriasnaredao.Aeleosmeusmaissinceros agradecimentos.Agradecereitambm,imensamente,contribuiesdoleitornosentidode identificar quaisquer outros erros, eventualmente ainda presentes. Agradeotambmavaliosacontribuiodetodososcolegasdocentesdaequipede Mecnica Geral da Escola Politcnica, atravs de proveitosas e inspiradoras discusses, ao longo dos ltimos 12 anos. Em especial menciono: G.E.O. Giacaglia, L.N.F. Frana, C.A. Martins, D.C. Zachariadis, D.C. Donha, L.R. Padovese, L. Macedo, M. Massarani, P.C. Kaminski, R.G. Lima, R.B. Salvagni, R. Ramos Jr. e Roberto Spinola Barbosa. So Paulo, novembro de 2004 C.P.P. Dinmica dos corpos rgidos 5Sumrio 1.PRELIMINARES9 1.1.Fundamentos da Cinemtica de um C.R.11 2.MOVIMENTO DO BARICENTRO15 2.1.Baricentro15 2.2.Teorema do Movimento do Baricentro16 2.3.Adoo de um referencial fixo na Terra19 3.ENERGIA CINTICA DE UM CORPO RGIDO21 3.1.Energia Cintica de um Corpo Rgido e a Matriz de Inrcia21 3.2.Matriz de Inrcia25 3.2.1.Momentos e Produtos de Inrcia26 3.2.2.Transformao de Base e Eixos Principais de Inrcia28 3.2.3.Propriedades da Matriz de Inrcia33 3.2.4.Elipside de Inrcia38 3.3.Teorema da Variao da Energia Cintica40 4.MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RGIDO60 4.1.Momento Angular e a Matriz de Inrcia60 4.2.Teorema do Momento Angular66 4.2.1.Casos Particulares70 4.2.2.Notao Matricial Alternativa72 4.2.3.Relao entre Energia Cintica e Quantidade de Movimento73 4.2.4.Binrio Giroscpico76 4.2.5.Suplemento: Adoo do Referencial Terrestre78 5.ROTAO EM TORNO DE UM EIXO E BALANCEAMENTO92 5.1.Equacionamento e Reaes92 5.2.Balanceamento101 5.2.1.Medida do desbalanceamento101 5.2.2.Balanceamento106 6.MOVIMENTO EM TORNO DE UM PONTO FIXO111 6.1.ngulos de Euler112 6.2.Aplicao do Teorema do Momento Angular115 Dinmica dos corpos rgidos 66.2.1.Casos que exibem axi-simetria de distribuio de massa116 6.3.Energia Cintica de um C.R. em Movimento em Torno de um Ponto Fixo121 6.4.O Giroscpio123 6.4.1.Precesso estacionria ou regular124 6.4.2.Precesso livre126 6.4.3.Movimento geral sob ao de torque em torno da linha dos ns.126 6.5.O Problema do Pio128 6.5.1.Precesso estacionria129 6.5.2.Movimento geral131 6.5.3.Notas Suplementares sobre Precesso Pseudo-Regular132 7.BIBLIOGRAFIA145 8.ANEXO - SIMULAES COMPUTACIONAIS147 8.1.Exerccio de Simulao #1. Proposio.149 8.1.1.Modelagem do sistema dinmico, deduzindo as equaes do movimento.150 8.1.2.Modelagem do sistema atravs de simulador.150 8.1.3.Simulao do modelo computacional151 8.2.Exerccio de Simulao # 1. Exemplo de anlise.152 8.3.Exerccio de Simulao 2. Proposio.159 8.3.1.Modelagem do sistema dinmico; deduzindo as equaes do movimento.159 8.3.2.Modelagem do sistema atravs de simulador.160 8.3.3.Simulao do modelo computacional160 8.4.Exerccio de Simulao # 2. Exemplo de anlise.161 8.5.Exerccio de Simulao # 3. Proposio.166 8.5.1.Modelagem do sistema dinmico; deduzindo as equaes do movimento.167 8.5.2.Modelagem do sistema atravs de simulador.167 8.5.3.Simulao do modelo computacional167 8.6.Exerccio de Simulao # 3. Exemplo de anlise.168 8.7.Exerccio de Simulao # 4. Proposio.173 8.7.1.Modelagem do sistema dinmico, deduzindo as equaes do movimento.174 8.7.2.Modelagem do sistema atravs de simulador175 8.7.3.Simulao do modelo computacional175 8.8.Exerccio de Simulao # 4. Exemplo de anlise.176 Dinmica dos corpos rgidos 7 1. PRELIMINARES Do ponto de vista cinemtico, umCorpo Rgido(C.R.) pode ser definido como um corpo materialqueguardaapropriedadedeinvarinciadedistnciarelativaentre quaisquerpontosqueoconstituam.EstaapropriedadefundamentaldeumC.R.. Trata-se,obviamente,deumaidealizao,ummodelodarealidade,porquantoinexistem, senso estrito, corpos materiais totalmente indeformveis. UmslidoadmitidoindeformvelconcretizaoconceitodeumC.R..Ahiptesede indeformabilidade,noentanto,plausvelquandoosdeslocamentosrelativossofsicae matematicamentedesprezveisfaceaescalasdecomprimentooutrasquecaracterizamo problemaemestudo;porexemplo,escalasdomovimentodocorpocomoumtodo. Embora aparentemente bastante restritiva, a hiptese de C.R. encontra aplicaes prticas degranderelevncia.Oestudodosmovimentosdeumnavioquandosujeitoaodas ondas do mar, por exemplo, em geral conduzido dentro da premissa de C.R.. No entanto quando o foco das atenes recai sobre fenmenos de vibrao estrutural da embarcao, estahiptesenomaisaplicvel.Omesmopodeserditoquandodoestudodovode areonaves e naves espaciais, do movimento de veculos automotores, rotores e mecanismos flexveisemgeral.Oprincpiodasolidificaoentoaplicado,eomovimento estudado,sobhiptesedepequenosdeslocamentosrelativos,comocompostoporum movimentodecorporgidoatuadoporforasemomentosdeforaassociadosatais deslocamentos;ver,p.ex.,Meirovitch,pgina483.Otratamentocompletodotema, emboraclssico,objetodetextosmaisavanados(ver,tambm,p.ex.,Sommerfeld, Mechanics of Deformable Bodies, 1950) e foge, portanto, do escopo do presente livro. EstetextoficarestritoaaplicaesondeahiptesedeC.R.foraplicvel.Permeia definies,conceitoseenunciadosdeteoremasgerais.Otratamento,emboraalgo Dinmica dos corpos rgidos 8matemtico,procurafugirpropositalmentedorigor,atendendoaoformatodidtico pretendido.Almdasaplicaesdecarterconceitual,foramescolhidosexemplosque, embora ainda idealizados, so mais prximos do campo da engenharia. InicialmenteoTeoremadoMovimentodoBaricentroenunciado,apartirde consideraeselementaresquedefinemobaricentrodeumslido,emparticular,deum corporgido.OTeorema da Energia Cintica abordado a seguir, a partir do conceito geraldeenergiacintica.deduzidaaexpressoassociadaaomovimentodeum corpo rgido, quando ento emerge o conceito de matriz de inrcia. Suas propriedades principais soenunciadasediscutidas.Oconceitodequantidadedemovimentoangularou momento angular abordado no contexto do movimento de um C.R. Sua relao com a recmdefinidamatrizdeinrciaentointroduzidaeoTeorema do Momento Angular, que relaciona a variao desta quantidade resultante dos momentos do sistema de foras externasaplicadasaoC.R.enunciado.Completam-seassimasequaesqueregemo movimento de um C.R., partindo-se para algumas aplicaes de carter conceitual. Oproblemaplanodiscutidoeexemplificado,comoprimeirotratamentodeproblemas maisprticos,porencerrarmenoresdificuldades.Soadentradosentoproblemasmais complexos, de cunho tridimensional. O Binrio Giroscpico definido e tratado atravs de exemplos didticos clssicos. O carter conservativo do efeitos giroscpicos discutido. OproblemadeBalanceamentodeRotoresentoabordadodeformasistemtica, iniciando-se com a medida do desbalanceamento e culminando com a construo de um procedimentosistemticode'balanceamento'.OMovimentoemTornodeumPonto Fixo elaborado com algum detalhe. As equaes gerais do movimento so estabelecidas em termos dos ngulos de Euler e os problemas do giroscpio e do pio tratados de forma progressiva.Elementosdosconceitosdeestabilidade,dopontodevistafsico,so apresentados.Oconceitodeprecesso estacionriaabordadoediscutidoatravsde exemplos, incluindo o movimento de um girocompasso simplificado e finalizando com uma discussoarespeitodemovimentosmaisgerais,ondeosconceitosdecone do corpo e coneespacial,generalizaestridimensonaisdosconceitosdebaseerolante,so intro