Aπό τα Quarks μέχρι το...

239
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπαν Διδάσκων Ε.Ν. Οικονόμου ΕΚΔΟΣΗ 2010

Transcript of Aπό τα Quarks μέχρι το...

Page 1: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπαν

Διδάσκων Ε.Ν. Οικονόμου ΕΚΔΟΣΗ 2010

Page 2: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ii

Page 3: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

iii

ΑΝΤΙ ΠΡΟΛΟΓΟΥ: ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΦΥΣΙΚΟΥΣ 1. Έμφαση στη φυσική κατανόηση και στη φυσική ερμηνεία

Για κάθε νέο τύπο: Είναι λογικός; Είναι διαστατικά σωστός; Μπορώ να τον βγάλω με αυτά που ξέρω και δεν θα τα ξεχάσω ποτέ;

2. Πνευματική εγρήγορση και σύνδεση με τον πραγματικό κόσμο Γιατί η Γη, το Φεγγάρι, ο Ήλιος έχουν σχήμα σφαιρικό; Γιατί υπάρχουν άσπρα και μαύρα σύννεφα; Γιατί το ούζο θολώνει όταν του ρίξουμε νερό; Ποια η αντίσταση του αέρα σ’ ένα αυτοκίνητο που τρέχει; Ποια η ταχύτητα ενός συνήθους θαλάσσιου κύματος; Ποια η ταχύτητα του ήχου στο νερό; Γιατί έχουμε Πανσέληνο κάθε 29,53 ημέρες, ενώ η περίοδος της Σελήνης γύρω από τη Γη είναι 27,32 μέρες; κλπ, κλπ, κλπ, κλπ ……

3. Από διαστατική ανάλυση να βγάζω νέους τύπους 4. Έμφαση στα σημαντικά αντί στις τεχνικές λεπτομέρειες 5. Έμφαση στη πολιτιστική διάσταση της Επιστήμης 6. Αποκτήστε ένα βιβλιαράκι μαθηματικών τύπων – αποκτήστε άνεση στη χρήση του.

Αναπτύγματα συναρτήσεων: π.χ. 1 1 ( / 2) ...x x+ + + 7. Εξοικειωθείτε με τον Η/Υ και το Internet 8. Εβδομαδιαία μελέτη. Eρωτήσεις στην τάξη ή στο γραφείο μου. 9. Πριν προσπαθήσετε να θυμηθείτε, προσπαθήστε να σκεφτείτε. 10. Στις ανά χείρας σημειώσεις υπάρχουν:

• Το αντικείμενο της Φυσικής και τα βασικά επίπεδα οργάνωσης της ύλης • Οι τρείς κεντρικές ιδέες της Φυσικής

Ατομική δομή της Ύλης Κυματοσωματιδιακός δυισμός Ευσταθής ισορροπία και ελαχιστοποίηση ενέργειας

• Έννοιες και ορισμοί διαφόρων βασικών μεγεθών • Η διαστατική ανάλυση (που απαιτεί σκέψη) • Οι 25 περίπου βασικοί νόμοι της Φυσικής που μπορούν να ταξινομηθούν σε τρείς

ομάδες Υπερνόμοι Νόμοι δυνάμεων Νόμοι κίνησης (και που πρέπει να μείνουν στη μνήμη όταν όλα τ’ άλλα ξεχασθούν)

Τέλος, θα δείξουμε πώς προκύπτει η ιεραρχική δόμηση της ύλης από τα πιο μικροσκοπικά συστατικά της μέχρι το Σύμπαν ολόκληρο και γιατί σε κάθε κλίμακα οργάνωσης της ύλης οι ιδιότητες είναι αυτές που είναι. Θα παρουσιάσουμε επίσης μερικά επίλεκτα παραδείγματα όπου απλοί υπολογισμοί (με μαθηματικά λυκείου το πολύ) παρέχουν ποιοτικές αλλά και ημιποσοτικές απαντήσεις σε εύλογα και σημαντικά ερωτήματα του πραγματικού Κόσμου (φυσικού και ανθρωπογενούς).

Page 4: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

iv

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Αντί προλόγου: Οδηγίες προς Φυσικούς ____________________________σελ iii

Πίνακας περιεχομένων __________________________________________σελ iv

ΜΕΡΟΣ 1ο: ΣΥΝΟΨΗ

Ποιό είναι το αντικείμενο της Φυσικής; _____________________________σελ ix

Πιν. Ι: Τα βασικά επίπεδα οργάνωσης της ύλης ______________________σελ xi

Πιν. ΙΙ: Οι τρείς βασικές ιδέες ___________________________________σελ xiii

Πιν. ΙΙΙ: Τα γνωστά στοιχειώδη σωμάτια __________________________σελ xiv

Πιν. IV: Οι βασικές αλληλεπιδράσεις και τα σωμάτια φορείς τους ______ σελ xv

Πιν. V: Κυματοσωματιδιακός δυισμός ____________________________σελ xvi

Πιν. VI: Ο 1ος και ο 2ος νόμος __________________________________ σελ xvii

Πιν. VII: Έννοιες και ορισμοί __________________________________σελ xviii

Πιν. VIII: Οι 25 βασικοί νόμοι __________________________________ σελ xx

Πιν. ΙΧ: Διαστατική ανάλυση___________________________________ σελ xxii

ΜΕΡΟΣ 2ο: ΟΙ ΤΡΕΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΕΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Η ΑΤΟΜΙΚΗ ΙΔΕΑ _______________________________ σελ 3

1.1 Τα στοιχειώδη σωμάτια της ύλης σήμερα ________________________ σελ 3

1.2 Τα στοιχειώδη σωμάτια των δυνάμεων __________________________ σελ 5

1.3 Σχόλια πάνω στις παγκόσμιες σταθερές__________________________ σελ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ο ΚΥΜΑΤΟΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΟΣ ΔΥΙΣΜΟΣ ___________ σελ 11

2.1 Αρχή απροσδιοριστίας (Heisenberg) ___________________________ σελ 12

2.2 Απαγορευτική αρχή του Pauli_________________________________ σελ 13

2.3 Κβάντωση και διακριτές στάθμες (Schrödinger) __________________ σελ 17

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΕΥΣΤΑΘΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ _______________________________ σελ 21

3.1 Θερμοδυναμική____________________________________________ σελ 21

ΜΕΡΟΣ 3ο : ΤΑ ΝΟΗΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΣΥΝΟΨΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΩΝ.

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ _____________________________________ σελ 29

4.1 Πόσο τελεσίδικο είναι το νοητικό πλαίσιο; ______________________ σελ 29

4.2 Διαστατική ανάλυση________________________________________ σελ 29

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΟΙ ΜΕΓΑΛΟΙ ΥΠΕΡΝΟΜΟΙ ______________________ σελ 33

5.1 Οι μεγάλοι υπερνόμοι διατήρησης _____________________________ σελ 33

5.2 Στατιστική Φυσική _________________________________________ σελ 38

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΝΟΜΟΙ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ _____________________ σελ 43

6.1 Βαρυτικό πεδίο ____________________________________________ σελ 43

6.2 Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ____________________________________ σελ 45

6.3 Ασθενείς αλληλεπιδράσεις ___________________________________ σελ 51

Page 5: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

v

6.4 Ισχυρές αλληλεπιδράσεις ____________________________________ σελ 53

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΝΟΜΟΙ ΚΙΝΗΣΗΣ ______________________________ σελ 55

7.1 Η κλασική εικόνα __________________________________________ σελ 55

7.2 Η κβαντική αναδόμηση Ι ____________________________________ σελ 55

7.3 Η κβαντική αναδόμηση ΙΙ____________________________________ σελ 57

ΕΠΙΛΟΓΟΣ 2ου και 3ου μέρους : Και ο μακρόκοσμος είναι Κβαντικός____ σελ 61

ΜΕΡΟΣ 4ο : ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΗΣ ΥΛΗΣ

Εισαγωγικό Σχόλιο ____________________________________________ σελ 67

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΑΠΟ ΤΑ ΚΟΥΑΡΚ ΣΤΑ ΒΑΡΥΤΟΝΙΑ

ΚΑΙ ΤΑ ΜΕΣΟΝΙΑ______________________________ σελ 69

8.1 Οι στοιχειώδεις διαδικασίες __________________________________ σελ 69

8.2 Συνδυάζοντας τα κουάρκ ____________________________________ σελ 75

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΑΠΟ ΤΑ ΝΟΥΚΛΕΟΝΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΥΡΗΝΕΣ ________ σελ 79

9.1 Η ολική πυρηνική ενέργεια___________________________________ σελ 79

9.2 Ελαχιστοποιώντας την ολική ενέργεια __________________________ σελ 82

9.3 Απαντώντας σε μερικές εύλογες ερωτήσεις ______________________ σελ 83

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10: ΑΤΟΜΑ ______________________________________ σελ 85

10.1 Η θαυμαστή σταθερότητα των ατόμων_________________________ σελ 85

10.2 Το άτομο του Υδρογόνου ___________________________________ σελ 85

10.3 Τα διεγερμένα τροχιακά και η γωνιακή τους εξάρτηση ____________ σελ 87

ΚΕΦΑΛΙΑΟ 11: ΜΟΡΙΑ _______________________________________ σελ 97

11.1 Η ενέργεια ενός συστήματος δύο ατόμων ______________________ σελ 97

11.2 Γραμμικός συνδυασμός ατομικών τροχιακών (Linear Combination

of Atomic Orbital, LCAO) _________________________________ σελ 99

11.3 Υβριδισμός ατομικών τροχιακών ____________________________ σελ 102

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: ΣΤΕΡΕΑ ΥΛΗ ________________________________ σελ 109

12.1 Στερεά Ύλη Ι: Εισαγωγικές παρατηρήσεις_____________________ σελ 109

12.2 Στερεά Ύλη ΙΙ: Διαστατική Ανάλυση_________________________ σελ 110

12.3 Στερεά Ύλη ΙΙΙ: Το μοντέλο των ελεύθερων ηλεκτρονίων ________ σελ 112

12.4 Στερεά Ύλη IV: LCAO____________________________________ σελ 114

Παράρτημα: Ημιαγωγοί με Προσμίξεις ___________________________ σελ 127

Παράρτημα 2: Σύνοψη ________________________________________ σελ 129

Εισαγωγικό Σχόλιο στα κεφάλαια 13, 14 και 15:

Η Βαρύτητα στο Προσκήνιο____________________________________ σελ 131

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13: ΠΛΑΝΗΤΕΣ__________________________________ σελ 133

13.1 Αποκλίσεις από τη σφαιρικότητα: Τα βουνά και το μέγιστο επιτρεπτό

ύψος τους _______________________________________________ σελ 134

Page 6: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

vi

13.2 Θερμοκρασία ενός πλανήτη ________________________________ σελ 136

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14: ΑΣΤΡΑ: ΟΤΑΝ Η ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΚΥΡΙΑΡΧΕΙ _______ σελ 141

14.1 Λευκοί Νάνοι ___________________________________________ σελ 142

14.2 Αστέρες Νετρονίων (ή Pulsars) _____________________________ σελ 144

14.3 Ελάχιστο μέγεθος ενός ενεργού άστρου_______________________ σελ 145

14.4 Μέγιστο μέγεθος ενός ενεργού άστρου _______________________ σελ 148

14.5 Ενεργά άστρα της κύριας ακολουθίας ________________________ σελ 150

14.6 Συνοψίζοντας τους χαρακτηριστικούς αριθμούς νουκλεονίων που

εμφανίζονται στα ενεργά άστρα και στα αστρικά πτώματα_______ σελ 151

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15: ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ, ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ______________ σελ 153

15.1 Σύνοψη Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας____________________ σελ 153

15.2 Ακριβείς λύσεις της βασικής εξίσωσης _______________________ σελ 153

15.3 Μαύρες Τρύπες__________________________________________ σελ 154

15.4 Κοσμολογία: Μια εισαγωγή ________________________________ σελ 155

15.5 Κοσμολογία σύμφωνα με το μοντέλο Robertson-Walker στα πλαίσια

της Γ.Θ.Σ. _________________________________________________160

15.6 Πώς να ‘αποδείξετε’ με σχετικά απλό τρόπο τα βασικά

συμπεράσματα της σύγχρονης κοσμολογίας __________________ σελ 161

15.7 Ποια είναι η σύνθεση της μάζας/ενέργειας του ορατού Σύμπαντος

σύμφωνα με τις σύγχρονες αντιλήψεις; ______________________ σελ 164

15.8 Εξάρτηση των , ,R T ε από το χρόνο ________________________ σελ 166

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16: ΦΩΣ ΚΑΙ ΥΛΗ1: Διάδοση ΗΜ Ακτινοβολίας στην

Ύλη____________________________________________173

ΜΕΡΟΣ 5ο: ΠΑΡΑΤΗΡΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟ

ΑΝΑΡΩΤΙΕΜΑΙ ΓΙΑ ΤΟ ΠΩΣ ΚΑΙ ΤΟ ΓΙΑΤΙ ΠΑΡΑΤΗΡΩΝΤΑΣ ΤΟΝ

ΚΟΣΜΟ ___________________________________________________ σελ 181

Επίλογος: Τι είναι η Ανθρωπική Αρχή____________________________ σελ 205

Βιβλιογραφία _______________________________________________ σελ 211

Πίνακας Φυσικών Σταθερών ___________________________________ σελ 213

1 Βλ. Στ. Τραχανά, Κβαντομηχανική Ι, ΠΕΚ, Νέα έκδοση 2005, σελ.703-756

Page 7: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

ΣΥΝΟΨΗ Υπάρχει φυσικά ένας τεράστιος απελευθερωτικός ρόλος της επιστήμης…Είναι αυτό που έλεγε ο Αριστοτέλης για το θαυμάζειν…Η επιστήμη μας «ανθρωποποιεί», μας «ξεζωοποιεί»…ακριβώς διότι μας κάνει να θαυμάζουμε και να θέλουμε ταυτόχρονα να εξηγήσουμε…Μας δείχνει όμως και τα όριά μας και τη θνητότητά μας…Έτσι η επιστήμη είναι κάτι το ανυπολόγιστα πολύτιμο…Η επιστήμη μπορεί να μας βοηθήσει να προσεγγίσουμε εκ νέου την πραγματική ποιητική και μυθική διάσταση της ανθρώπινης ύπαρξης.

Κ. Καστοριάδης,

στο Φιλοσοφία και Επιστήμη, Ένας διάλογος με τον Γ. Ευαγγελόπουλο, Δεύτερη-αναθεωρημένη έκδοση, Εκδόσεις Ευρασία, 2010 [2004].

Page 8: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

viii

Page 9: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ix

ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ; Έχω μια απάντηση,

μου λέτε την ερώτηση;

Woody Allen Το χιουμοριστικό απόφθεγμα του Woody Allen απηχεί, τουλάχιστον κατά το ήμισυ, τον τρόπο που διδάσκεται η Φυσική. Όμως, για να εκτιμήσει κανείς την αξία της Φυσικής και να την αγαπήσει πραγματικά, θα πρέπει να ξεκινήσει από το βασικό ερώτημα και όχι από τις επί μέρους απαντήσεις (που σερβίρονται έτοιμες). Το βασικό αυτό, πανάρχαιο και πάντα επίκαιρο ερώτημα (που αποτελεί και την αφετηρία της Φυσικής) δεν είναι άλλο από το:

1. Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος και γιατί είναι όπως είναι; Έχοντας επιτύχει μια θαυμαστή πρόοδο με τη συνδρομή και άλλων επιστημών στην προσπάθειά της αυτή, η Φυσική έθεσε τα θεμέλια για τη δημιουργία του εντυπωσιακού τεχνολογικού περιβάλλοντος. Έτσι ο κόσμος που καλείται κανείς να κατανοήσει σε αδρές γραμμές, δεν είναι μόνο ο φυσικός κόσμος αλλά και οι ανθρωπογενείς προσθήκες σ’ αυτόν.

Τα τελευταία χρόνια την Φυσική έχει αρχίσει να την απασχολεί ένα επίσης αρχέγονο αλλά πάντα επίκαιρο και πολύ πιο δύσκολο ερώτημα1 :

2. Πώς έγινε ο Κόσμος;

Τα παρατηρησιακά δεδομένα (όπως είναι , π.χ. η απομάκρυνση των γαλαξιών, η φασματική και γωνιακή κατανομή της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου, κοκ.) σε συνδυασμό με τις βασικές θεωρίες της Φυσικής έχουν επιτρέψει να ανασυνθέσουμε σε αδρές γραμμές μερικές κύριες φάσεις της ιστορίας του Σύμπαντος. Φυσικά ολόκληρες περίοδοι παραμένουν άγνωστες και πολλά επί μέρους ερωτήματα παραμένουν αναπάντητα και είναι αντικείμενα έντονης παρατηρησιακής και θεωρητικής ανάλυσης και έρευνας. Μεταξύ αυτών αξίζει να αναφέρουμε τις ανολοκλήρωτες προσπάθειες για το πάντρεμα της κβαντομηχανικής με τη θεωρία βαρύτητας του Einstein. (Βλέπε, π.χ., το βιβλίο του Hawking, Το χρονικό του χρόνου). Αν το αντικείμενο της Φυσικής είναι δυνάμει τόσο ευρύ ώστε να υπερκαλύψει όλες τις επιστήμες, στην πράξη περιορίζεται από τη μεθοδολογία της Φυσικής που βασίζεται στα ακόλουθα χαρακτηριστικά:

1 Η μεγάλη πρόοδος που έχει επιτευχθεί όσον αφορά στο ερώτημα (1) οφείλεται αναμφίβολα

και στην αναγωγική μέθοδο που «σπάει» το πρόβλημα στα στοιχειώδη τμήματά του και εξετάζει το καθένα μόνο του και χωριστά από τα άλλα και στη συνέχεια ανασυνθέτει το σύνολο «βάζοντας μαζί τα κομμάτια του». Όμως σε «ιστορικής φύσεως» ερωτήματα, όπως είναι το (2), η αναγωγική μέθοδος δεν είναι εν γένει εφαρμόσιμη, αφού το «όλον» μπορεί να επηρεάζει το «επί μέρους». Επομένως για ερωτήματα όπως το (2) χρειάζεται μια ολιστική προσέγγιση, πράγμα, φυσικά, πιο δύσκολο.

Page 10: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

x

(α) Χρήση παρατηρήσεων και κυρίως πειραμάτων που δίνουν ποσοτικά αποτελέσματα (αριθμούς).

(β) Εξάρτηση των αποτελεσμάτων από ένα μικρό αριθμό ποσοτικά ελέγξιμων παραμέτρων.

(γ) Απαίτηση ποσοτικής πρόβλεψης και ερμηνείας των παρατηρήσεων ή των πειραμάτων με αφετηρία ένα μικρό αριθμό θεμελιακών σχέσεων.

(δ) Χρήση της μαθηματικής γλώσσας προκειμένου να επιτευχθεί οικονομία , ακρίβεια και εννοιολογική διεύρυνση.

ΠΙΝΑΚΑΣ: ΚΛΑΔΟΙ ΚΑΙ ΕΠΙΤΕΥΓΜΑΤΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ Η ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑ

ΤΟΥΣ ΜΕ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΩΣ

Φυσική στοιχειωδών σωματίων Πυρηνική Φυσική Ατομική και μοριακή Φυσική Χημεία, Φυσική στερεάς κατάστασης Επιστήμη υλικών, (ή φυσική της συμπυκνωμένης ύλης)

Μαθηματικά Βιοφυσική Βιολογία, Γεωφυσική Γεωλογία, Ατμοσφαιρική φυσική Μετεωρολογία, Διαστημική Φυσική Αστροφυσική Αστρονομία, Κοσμολογία

• ΗΜ κύματα Τεχνολογία • Λέιζερ τηλεπικοινωνιών, • Τρανζίστορ •Ολοκληρωμένα κυκλώματα Ηλεκτρονικοί • Μαγνητικές μνήμες υπολογιστές, • Ακτίνες Χ Ιατρική • Υπέρηχοι τεχνολογία, • Μαγνητική Τομογραφία κλπ

Page 11: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xi

ΠΙΝΑΚΑΣ Ι : ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ

ΕΠΙΠΕΔΟ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΤΗΣ

ΥΛΗΣ

ΚΛΙΜΑΚΑ ΜΗΚΟΥΣ

(σε m) ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ

ΕΙΔΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΩΝ ΠΟΥ ΚΑΘΟΡΙΖΟΥΝ ΤΗ

ΔΟΜΗ ΤΟΥ1

Κουάρκ <10-18 φαίνεται ότι

είναι στοιχειώδη

-

Ηλεκτρόνιο <10-18 φαίνεται ότι

είναι στοιχειώδες

-

Πρωτόνιο 10-15 u,u,d κουάρκ ισχυρές, ασθενείς, Η/Μ Νετρόνιο 10-15 u,d,d κουάρκ ισχυρές, ασθενείς , Η/Μ

Πυρήνες 10-15-10-14 πρωτόνια, νετρόνια ισχυρές, ασθενείς, ΗΜ

Άτομα 10-10 πυρήνας , ηλεκτρόνια Η/Μ

Μόρια >10-10 άτομα, ή/και ιόντα και ηλεκτρόνια

Η/Μ

Στερεά (θεμελιώδης κυψελίδα) (π.χ. μέταλλα)

>10-10 άτομα, ή /και ιόντα και ηλεκτρόνια

Η/Μ

Κύτταρα ≥10-6 μόρια Η/Μ

Βιολογικοί οργανισμοί (π.χ. άνθρωπος)

10-8-102 (1)

μόρια, κύτταρα,

ιστοί, όργανα, κλπ

Η/Μ

Πλανήτες 106-107 στερεά, υγρά Η/Μ, Βαρυτικές

Άστρα 109 ιόντα,

ηλεκτρόνια, πυρήνες

Βαρυτικές, ισχυρές, ασθενείς, Η/Μ

Λευκοί Νάνοι 107 πυρήνες, ηλεκτρόνια Βαρυτικές

Αστέρες Νετρονίων 104 νετρόνια, πρωτόνια, ηλεκτρόνια

Βαρυτικές

Αστρικές Μαύρες Τρύπες 104 ? Βαρυτικές Γαλαξίες 1021 Άστρα +... Βαρυτικές,, άλλες ; Σύμπαν 1026 Γαλαξίες +… Βαρυτικές, άλλες;

1 κατά σειρά σπουδαιότητας

Page 12: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xii ΠΙΝΑΚΑΣ Ι : ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ΑυτόςΑυτός οο ΚόσμοςΚόσμοςοο ΜικρόςΜικρός οο ΜέγαςΜέγας

κουαρκ, λεπτονια10-18

κουαρκ, λεπτονια10-18

πρωτόνια, νετρόνια 10-15πρωτόνια, νετρόνια 10-1510-15

πυρήνες 10-14πυρήνες 10-14

Άτομα 10-10Άτομα 10-10Άτομα 10-10

Μόρια

Μεγαλομόρια 10-8Μεγαλομόρια 10-8Μεγαλομόρια 10-8

Ιοί 10-7Ιοί 10-7

Κύτταρα

10-5

Κύτταρα

10-5 100100105

Αστεροειδείς

105105

Αστεροειδείς

107

Πλανήτες

107107

Πλανήτες

109

Άστρα

109109

Άστρα

Μαύρες

τρύπεςΜαύ

ρες

τρύπες

Σμήνη

ΓαλαξιώνΣμήνη

Γαλαξιών

Υπερσμήν

η

ΓαλαξιώνΥπερσμήν

η

Γαλαξιών

Άλλες δο

μές

Άλλες δο

μές

Γαλαξίες

1021

Γαλαξίες

Γαλαξίες

10211021

Λευκοί Νάνοι

107

Λευκοί Νάνοι

107

Αστέρες Νετρονίων104 Αστέρες Νετρονίων104

102102

10-35 1026

ορατόσυμπάν

θεωρίαχορδών

Page 13: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xiii

ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ: ΟΙ ΤΡΕΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΕΕΣ

Α. Η ΑΤΟΜΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

Τα στοιχειώδη σωμάτια της ύλης Οι αλληλεπιδράσεις και τα σωμάτιά τους

Β. ΟΛΑ ΕΙΝΑΙ ΚΥΜΑΤΟΣΩΜΑΤΙΑ (⇒ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ)

Αρχή απροσδιοριστίας του Heisenberg Απαγορευτική Αρχή του Pauli Αρχή φασματικής διακριτότητας του Schrödinger

Γ. ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΔΟΜΕΣ ΤΗΝ ΥΛΗΣ ⇔ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Page 14: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xiv

ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙΙ: ΤΑ ΓΝΩΣΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ

ΣΩΜΑΤΙΟ HIGGS (Aναμένεται να βρεθεί τα προσεχή χρόνια), 114GeV 158GeVHm≤ ≤ , spin=0, Hλ.φορτίο=0 . Άλλα σωμάτια ??? Μάζα νετρίνων ???

ΛΕΠΤΟΝΙΑ ΚΟΥΑΡΚ Όνομα/

Σύμβολο Μάζα

(MeV) Σπιν Ηλεκτρικό φορτίο

Βαρυονικός αριθμός

Λεπτονικός αριθμός

Όνομα/ Σύμβολο

Μάζα (MeV) Σπιν Ηλεκτρικό

φορτίο Βαρυονικός αριθμός

Λεπτονικός αριθμός

Νετρίνο ηλεκτρονίου

92 10−≈ × ?????

1/2 0 0 1e πάνω κουάρκ

RGBu 1,5-4,5 1/2 2/3 1/3 0

1η Οικογένεια

Ηλεκτρόνιο

e 0,511

0,5109989 1/2 -1 0 1e κάτω κουάρκ

RGBd 5-8,5 1/2 -1/3 1/3 0

Νετρίνο μιονίου

98 10−≈ × ?????

1/2 0 0 1μ χαρισματικόRGBc

1000-1400 1/2 2/3 1/3 0

2η Οικογένεια

Μιόνιο μ 105,658 1/2 -1 0 1μ παράξενο

RGBs 80-155 1/2 -1/3 1/3 0

Νετρίνο τ vτ

85 10−≈ × ?????

1/2 0 0 1τ κορυφαίο RGBt 174000 1/2 2/3 1/3 0

3η Οικογένεια

Σωμάτιο ττ 1777,05 1/2 -1 0 1τ πυθμενικό

RGBb 4000-4500 1/2 -1/3 1/3 0

Page 15: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xv

ΠΙΝΑΚΑΣ IV: ΟΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΩΜΑΤΙΑ-ΦΟΡΕΙΣ ΤΟΥΣ

ΣΩΜΑΤΙΟ HIGGS : Δεν έχει βρεθεί ακόμη (2010) 114GeV 158GeVHm≤ ≤ , spin=0, Hλ.φορτίο=0. Aναμένεται να βρεθεί τα προσεχή χρόνια. *Τα γλοιόνια είναι πάντοτε παγιδευμένα όπως και τα κουάρκ και δεν έχουν παρατηρηθεί ελεύθερα. Σημειώστε ότι τα γλοιόνια φέρουν συνδυασμό χρωματικού φορτίου και αντιφορτίου (σε αντίθεση με τα φωτόνια που είναι ηλεκτρικά ουδέτερα). Το αποτέλεσμα αυτού του γεγονότος είναι ότι και τα ίδια τα γλοιόνια είναι πηγές και αποδέκτες της ισχυρής αλληλεπίδρασης. Ένα ακόμη αποτέλεσμα είναι ότι η ισχυρή αλληλεπίδραση δεν διατηρεί κατ’ ανάγκη το χρωματικό φορτίο του κουάρκ. Π.χ. ένα «κόκκινο ( )R κουάρκ u μπορεί να γίνει «μπλε» ( )B κουάρκ u εκπέμποντας ένα γλοιόνιο RB ή απορροφώντας ένα γλοιόνιο BR . Αν

λάβουμε υπόψη το χρωματικό φορτίο υπάρχουν οκτώ είδη γλοιονίων: , , , , , ,( ) / 2RB RG GR GB BR BG RR GG− και ( 2 ) / 6RR GG BB+ −

ΟΝΟΜΑ ΕΜΒΕΛΕΙΑ

(m) ΑΔΙΑΣΤΑΤΗ

ΙΣΧΥΣ ΣΩΜΑΤΙΟ ( )A ΦΟΡΕΑΣ ( )ΕΙΣ ΣΥΜΒΟΛΟ

ΜΑΖΑ ΗΡΕΜΙΑΣ

(MeV) ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΣΠΙΝ ΧΡΩΜΑΤΙΚΟ

ΦΟΡΤΙΟ

ΠΟΙΑ ΣΩΜΑΤΙΑ ΕΙΝΑΙ ΠΗΓΕΣ ΚΑΙ

ΑΠΟΔΕΚΤΕΣ

ΒΑΡΥΤΗΤΑ ∞

2

39

/

5.9 10G pa Gm c

= =

= ×

Βαρυτόνιο − 0 0 2 0

ΟΛΑ (Λεπτόνια, κουάρκ και αυτά του παρόντος

πίνακα) ΗΛΕΚΤΡΟ-ΜΑΓΝΗΤΙΚ

Η ( )HM

∞ (αλλά +και -)

2 1137

eac

= = Φωτόνιο γ 0 0 1 0 ΟΛΑ ΟΣΑ ΕΧΟΥΝ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ

ΑΣΘΕΝΗΣ, ΠΥΡΗΝΙΚΗ

1810−

22

2

5

2

10

pww

w

mgac m

=

Διανυσματικά μποζόνια

o

W

W

Z

+

800008000091000

110

− 111

0

QUARK ΚΑΙ ΛΕΠΤΟΝΙΑ, ΦΩΤΟΝΙΑ ΚΑΙ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΠΟΖΟΝΙΑ

ΙΣΧΥΡΗ, ΠΥΡΗΝΙΚΗ

1510−

21s

sga

c= ≈

ή 15≈ Γλοιόνια* g 0 0 1 Ναι* QUARK ΚΑΙ

ΓΛΟΙΟΝΙΑ

Page 16: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xvi

ΠΙΝΑΚΑΣ V Κυματοσωματιδιακός δυισμός ⇔ Κβαντομηχανική

/ε ω ω ε= ⇔ =

/= ⇔ =p k k p

1. Αρχή του Heisenberg: 2

2 222 4x x xx p p p

xΔ Δ ≥ ⇒ ≥ Δ ≥

Δ

22/3 2

2/34.87 ,KINE V xmV

≈ ∝ Δ

ή

1/33KINcE

V≈

2. Αρχή του Pauli: ( )/ / 2V V N→

2 2/3

2/32.87KINNE N

mV=

1/3

1/32.32KINc NE NV

=

3. Αρχή του Schrödinger: 1/3

2

21 0 1 2/3

( / ) ή c V

cmV

c

ε ε ε

ε

Δ ≡ − =

Δ =

1+2: Εμποδίζουν την κατάρρευση, εξασφαλίζουν την ΥΠΑΡΞΗ 3: Προσδίδει σχετική ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ στις μικροσκοπικές δομές του Κόσμου

Page 17: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xvii

ΠΙΝΑΚΑΣ VΙ: Ο 1ος ΚΑΙ Ο 2ος ΝΟΜΟΣ

1ος ΝΟΜΟΣ: ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

mdU đQ đW đE= − +

2ος ΝΟΜΟΣ: ΑΥΞΗΣΗ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ (ΟΤΑΝ 0mđQ đE= = ):

/ ,dS đQ T≥ για 0mđE =

1ος ΚΑΙ 2ος ΝΟΜΟΣ ΜΑΖΙ:

mdU Tds đW đE≤ − + ή

mdG SdT VdP đE≤ − + +

όπου

đW PdV= και G U PV TS≡ + −

ή

G H TS≡ −

όπου

H U PV≡ +

Page 18: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xviii

ΠΙΝΑΚΑΣ VII: ΕΝΝΟΙΕΣ & ΟΡΙΣΜΟΙ MONAΔΕΣ ΜΗΚΟΣ, ΧΡΟΝΟΣ, t ΜΑΖΑ, m Κυκλική συχνότητα: 2 2tω π πν≡ = …………………………………..[ ] [ ]1 tω =

Ταχύτητα: d dt≡υ r ………………………………………………….[ ] [ ] [ ]tυ =

Επιτάχυνση: /d dt≡a υ ……………………………………………...[ ] [ ] [ ]2a t=

Γωνιακή επιτάχυνση: /d dt≡ω ω …………………………………….[ ] [ ]21 tω =

Πυκνότητα μάζας: M dm dVρ ≡ ………………………………...[ ] [ ] [ ]3M mρ =

Ορμή: rm=p υ…………………………………………………....[ ] [ ][ ] [ ]p m t=

Στροφορμή: = ×L r p …………………………………………...[ ] [ ][ ] [ ]2L m t=

Δύναμη, F …………………………………………....[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]2F E m t= =

Ενέργεια: o KE E E EΔ= + + …………………………………....[ ] [ ][ ] [ ]2 2E m t= Εσωτερική ενέργεια, oE U≡

2 4 2 2o K oE E m c c p+ = +

Κινητική ενέργεια, 2 2KE p m= Δυναμική ενέργεια, EΔ

Έργο, W d= ⋅∫F Θερμότητα, Q Θερμοκρασία, T : εμφανίζεται φυσικά ως Bk T ……………………….[ ] [ ]Bk T E= Εντροπία

( ),B N B I II

S k n U V k P nP= ΔΓ = − ∑ ……………….[ ] [ ] [ ] [ ]BS E T k= =

Χημικό δυναμικό ( ) ,S VU Nμ = ∂ ∂ ……………………………………..[ ] [ ]Eμ =

Πίεση P F A E V= = ………………………………….[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 3P F E= =

Ροπή Δύναμης ≡ ×M r F ………………………………………….......[ ] [ ]M E=

Ηλεκτρικό φορτίο, q ………………………………………………………. [ ] *q =

Πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου q dq dVρ = ……….................................[ ] [ ]3/q

Ηλεκτρικό ρεύμα I dq dt≡ …………………………………………..[ ] [ ] [ ]I q t=

Πυκνότητα Ηλεκτρικού ρεύματος I A≡j …………....................[ ] [ ] [ ][ ]2j q t=

Ηλεκτρικό πεδίο e q≡E F ……………………………………..[ ] [ ] [ ][ ]E q=E

ΗΕΔ, d≡ ⋅∫ E ………………………………………………..[ ] [ ] [ ]/E qΗΕΔ =

Μαγνητικό πεδίο ( )m c q≡B F υ

Page 19: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xix

ΠΙΝΑΚΑΣ VII: ΕΝΝΟΙΕΣ & ΟΡΙΣΜΟΙ (Συνέχεια)

Ροή πεδίου A , ΑΦ = ⋅∫∫dS A

Κυκλοφορία πεδίου A , K = ⋅∫ d A

Πυκνότητα ροής του μεγέθους Α: A A Aρ= ⋅j υ

Παράγωγα μεγέθη Ροπή αδράνειας 2

i ii

I m ρ=∑ (τύποι για κυκλικό δακτύλιο και σφαιρικό φλοιό)

Θερμοχωρητικότητα dQCdT

=

Μέτρα ελαστικότητας B , sμ , PB VV∂⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, [ ] [ ]B P=

Διπολική ροπή ep , [ ] [ ][ ]ep q=

Ηλεκτρική αντίσταση, /eR V I= , [ ] [ ]eV = ΗΕΔ

Ειδική ηλεκτρική αντίσταση, eρ : /eR Aρ= , 1/e eσ ρ= , [ ] [ ][ ]e Rρ = Χωρητικότητα, /e eC q V= Αυτεπαγωγή, /e BL IΦ= , BΦ ροή του B Διηλεκτρική συνάρτηση, e Μαγνητική διαπερατότητα, μ

Επιφανειακή τάση, σ , [ ] [ ] [ ]2/σ = Ε

Ιξώδες, η , [ ] [ ][ ]P tη =

Δείκτης διάθλασης, n μ= e

Πολωσιμότητα, /ea = p E , [ ] [ ]3a = Επιδεκτικότητα χ , 1 4πχ= +e , G-CGS

Page 20: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xx

ΠΙΝΑΚΑΣ VΙII: ΟΙ 25 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ

1. Διατήρηση στροφορμής L , απομονωμένου συστήματος ( i i

i= × =∑L r p Iω ) 2 2

i i Mi

I m dVρ ρ ρ= Δ =∑ ∫

2. Διατήρηση ορμής, P , απομονωμένου συστήματος ( ii

=∑P p , i im ι=p υ ,

( )2 2/ 1 /i oi im m cυ= −

3. Διατήρηση ενέργειας, E , απομονωμένου συστήματος o KE E E EΔ= + + , 2 4 2 2 2

o K oi i ii i

E E m c c p m c+ = + =∑ ∑

1ος νόμος: mdU đQ đW đE= − + 4. Διατήρηση εσωτερικών χαρακτηριστικών (φορτίο, βαρυονικός αριθμός,

λεπτονικοί αριθμοί κ.α.) parity, time reversal 5. Εντροπία και ο 2ος νόμος

( ), ,...B N B I II

S k n U V k P nP≡ Γ ≡ − ∑

dS đS +đSεξ εσ= (όταν 0mđE = ), όπου đQđSTεξ = ,

0đSεσ ≥ [2ος ΝΟΜΟΣ] 6. đW = PdV κλπ, mđE dNμ= και γενικεύσεις

7. I BE k T

IeP

Z

= , I BE k T

IZ e−=∑ , Σημαντικός τύπος

8. ( ) /1

1i Bi k T

ne ε μ−

, προϋποθέσεις ισχύος; Σημαντικός τύπος

G U PV TS H TS≡ + − ≡ − , mdG SdT VdP dE≤ − + + 9. x΄ x= , y΄ y=

( )z΄ z tογ υ= − , ( )/ct΄ ct z cογ υ= − Lorentz

( )21/ 1 / cογ υ= −

10. 2m oGmM

r= −F r , ΓΘΣ και η ημι– Νευτώνεια εκδοχή της

11. ( )HM q= + ×F E υ B , SI 12. Εξισώσεις Maxwell

1 1eQ

ο οΦ ρ= ⇔∇⋅ =E E

e e

Kt tφ∂ ∂

= − ⇔∇× = −∂ ∂

BE

BE (SI)

0 0Φ = ⇔∇⋅ =B B

K It tο ο ο ο ο οφμ μ μ μ∂ ∂

= + ⇔∇× = +∂ ∂

EB

EB je e

13. 1cο ομ

=e

, 1

ομ= ×S E B , 2 21 1

2 2u ο

ομ= +E Be , 2o c

= × =Sp E Be

Page 21: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xxi

ΠΙΝΑΚΑΣ VΙII: ΟΙ 25 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ (συνέχεια)

14. U udV n ω= =∫ , dV n= =∫P p k , UL nω

= =

15. ddt

=p F (μη κβαντικός) , d

dt=

L M

16. ε ω= , =p k , 2πλ

=k

17. ( )2 2 2 2

2 2 22V i

m tx y zψ ψ ψ ψψ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + + + =⎜ ⎟

∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠r (κβαντικός)

18. 2xx pΔ ⋅Δ ≥

19. 2

2 2 22 4 2 1/3

2/3 2/39,12 4,56 3 /o

K o o c m c cpo

cm c m c c VV m V

ε→∞

≥ + − → →

20. Απαγορευτική αρχή του Pauli (για όμοια σωμάτια με ημιακέραιο σπιν)

21. 2/32

2,87KNE N

m V⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠

ή 4 /3

1/32,32KNE cV

≥ για 2om c cp

22. Αριθμός μονοσωματιδιακών καταστάσεων: ( )3

,2VVπ

k όπου Vk είναι ο

όγκος στο χώρο των k.

23. ( )3/ 2*

1/ 22 2

22

V mρ ε επ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, 2 2 */ 2K k mε =

24. 2 2 / 31 /E c mVδ = : σύγκριση του Eδ με Bk T ή ω

Σύγκριση Bk T με κβάντο διέγερσης, έστω ω . Και ο μακρόκοσμος είναι κβαντικός

Page 22: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xxii

ΠΙΝΑΚΑΣ IX: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Για οποιαδήποτε ιδιότητα, Α, ατόμων, μορίων, στερεών, και υγρών σωμάτων, ο τύπος που δίνει την τιμή της έχει τη μορφή

0f , , , , , ...α

e o o o o

m T P ω cA= A Z, m T P ω υ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, f μια συνάρτηση που δεν μπορεί να

προσδιοριστεί από διαστατική ανάλυση, όπου το 0A ισούται με

0 eA α mμ ν ξΒ=

Τα μ, ν, ξ διαλεγμένα έτσι ώστε το 0A να έχει τις ίδιες μονάδες με το Α. Οι μονάδες του είναι [ ] = [μάζα] [μήκος στο τετράγωνο]/ [χρόνο]=[Ε][t] aΒ είναι η ακτίνα του Bohr: 10

B 0,529 Å 0,529 10 ma −= = ×

em είναι η μάζα του ηλεκτρονίου: 31e 9,1 10 Kgm −= ×

α um mΒ= Α , BA είναι το ατομικό βάρος, BA A≈ ← μαζικός αριθμός u e1823m m≈ Από e, , em σύστημα μονάδων:

√ Μήκος: 2

Β 2em e

a ≡ (ή 2

02

e

4em

πe ) 0,529Å=

√ Ενέργεια: 42

eo 2 2

e Β

e mm a

ε ≡ = (ή ( )

4e2 2

0

e m4πe

) 27,2eV=

Πυκνότητα: 3 3e

o 3 6,15 10 g / cmma

Β

ρ = = ×

Χρόνος: 2

17eo

o

α 2,42 10 smtε

−Β= = = ×

Γωνιακή συχνότητα:

16oo 2

e4,13 10 rad / s

m aε

Β

ω = = = ×

√ Θερμοκρασία: 2

o0 2

B B eT 27, 2 11600 316000

k k m aε

Β

= = = × = Κ

√ Ταχύτητα: oo e

ct α 137

2a em

υ Β

Β= = = ≈

√ Πίεση:

2o

o 3 5Β e Β

294 Mbar 290 MatmPa m aε

= = = =

5 21bar 10 N / m= ( 2N / m =Pascal)

Page 23: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xxiii

ΠΙΝΑΚΑΣ IX: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΉ ΑΝΑΛΥΣΗ (συνέχεια)

Ηλεκτρική αντίσταση: o 2 4108

eR = = Ω

√ Ειδική

ηλεκτρική αντίσταση:

Βo 2 21,7 cm

ea

ηλρ = μΩ⋅

191eV 1,6 10 J−= × 432,4006 10 ατομικές μονάδες−= ×G

με ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ μπορούμε να βρούμε και άλλους τύπους, π.χ.

• ταχύτητα θαλάσσιων κυμάτων • συνολική ακτινοβολία (ανά μονάδα επιφάνειας) μέλανος σώματος

ΑΤΟΜΑ

Ακτίνα ατόμου α α Br f α= , α0,6 f 5d d

Πρώτο έργο ιονισμού ατόμων: 2 2

αα α

α α B

e eIr f α

η= η = , α

α0,2 0,9

d d

αI vs Z

αr vs Z ΜΟΡΙΑ Μήκος δεσμού: ( )α1 α2 α1 α2 Bd r r f f α≈ + = + εκτός He, Ne, Ar, Kr, Xe

Ενέργεια σύνδεσης ή ενέργεια διάσπασης δεσμού: 2

B meEd

η

Κβάντο ταλαντωτικής ενέργειας: e0

α

mmυ υ υε = ω η ε ,

2

0B

ε = ,

0,8 1,8υηd d Κβάντο περιστροφικής ενέργειας

( )

22 2 2 2e B e

r 2 2 2 2Be Β α1 α2

m α me 1I α μd m α μd f f

ε = = = ≈μ +

2 2

0 2Β e B

e 27,2 eVα m α

ε ≡ = =

ΣΤΕΡΕΑ

Ορισμός sr : ( ) 3s

α

V4 / 3 rN

π ≡ , /s s B s s Bf r a r f a≡ ⇒ =

Πυκνότητα: 3α BM 3 3

s s4π3

m A2,675 gr / cmr f

ρ = = , BA A [Γνωρίζοντας τα Μρ και

ΒΑ βρίσκουμε το sf ]

Γραφική παράσταση

Page 24: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xxiv

ΠΙΝΑΚΑΣ IX: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΉ ΑΝΑΛΥΣΗ (συνέχεια)

Ενέργεια συνοχής: 2

s s s s2 2 2e s s s

27.2 eV 625 Kcal , 1ατομο molm r f f

δΕ ≈ η = η ≈ η η ≈

Υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας 2

s s5 5e s s

177B c Mbar, c 0.6m r f

≈ ≈ ≈

Διατμητικό μέτρο ελαστικότητας: s sBμ ≈ γ , 5s s s0,1 γ 1, 50 / f Mbar≤ ≤ μ ≈

Ταχύτητα ήχου: e0 s s

e s α s B

m 82 kmα , α 1,6m r m sf A

υ ≈ ≈ ≈ για ισχυρούς δεσμούς

2e

D f 0 D2 2αe B s

m kmm α f

ω ≈ α ≈ υ , 8 1D

s

4,57k 10 cmf

−= × , fα ≈ π

Μέγιστη συχνότητα ταλάντωσης ιόντων: 15 2D s B3 10 / f A rad / sω ≈ ×

Θερμοκρασία Debye: 2 0

D D B s B/ k 23000 / f A KΘ ≡ ω ≈

Όριο αστοχίας: sc 5

s

0,5100 fμ

τ ≈ ≈ Mbar

Εξάρτηση της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης σε μέταλλα και ημιαγωγούς από τη θερμοκρασία (τύποι και γραφική παράσταση) ΥΓΡΑ

Θαλάσσια κύματα ( )3

2 k(gk )f kdΜ

σω = +

ρ

( )f kd 1→ , kd 1

( )f kd kd→ , kd 1

( )f kd tanh kd=

2w 0,074 J / mσ = ,

( )2

1 22nn nnA A΄

σπ−

×

Αντίσταση ρευστού σε κίνηση στερεού (α) 2

α 1F c S= ρ υ , S, υ μεγάλα (b) 2F cη = η υ (για σφαίρα F 6 Rη = πη υ ), , υ μικρά

[ ] [ ][ ]s s2t πΒ

η = μ = γω

, ef 2 2

αe

mmm α fΒ

′ω = α

Page 25: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xxv

ΠΙΝΑΚΑΣ IX: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΉ ΑΝΑΛΥΣΗ (συνέχεια)

432,4006 10 ατομικές μονάδες−= ×G ΠΛΑΝΗΤΕΣ, ΑΣΤΡΑ, ΚΑΙ ΑΣΤΡΙΚΑ ΠΤΩΜΑΤΑ

1. Ηλεκτροστατική ίση με βαρυτική σε ένα πλανήτη για αριθμό νουκλεόνιων 2. Σχέση μεταξύ μέγιστου δυνατού ύψους βουνού, H , και ακτίνας, R , ενός

βραχώδους πλανήτη:

3. Ελάχιστος αριθμός νουκλεονίων για να έχουμε άστρο

3/ 4 3/ 22

56u H,min 1

e G

m NZc 2 10 (14.19)A m ΄ 7ν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞α⎛ ⎞Ν ≈ ≈ × ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ α⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4. Μέγιστος αριθμός νουκλεονίων για σχηματισμό άστρου

3/ 259

,max 1 ,H2u

10 100 (14.32)cC NG m

Ν ν ν⎛ ⎞

≈ ≈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5. Μέγιστος αριθμός νουκλεονίων σ’ ένα λευκό νάνο

3/ 257

,Ch ,HG

10,77 1,73 10 1, 4 N΄ν ν

⎛ ⎞Ν × ≈⎜ ⎟α⎝ ⎠

όριο Chandrasekhar

6. Αριθμός νουκλεονίων σ’ ένα αστέρι νετρονίων

3/ 2

,n ,HG

10,75 2,5 N΄ ν ν

⎛ ⎞< Ν⎜ ⎟α⎝ ⎠

d

nN 80%Nολ

= pN10%

Nολ eN 10%

Nολ

7. 57 30,H H1, 2 10 1,9891 10 KgN Mν ≈ × ⇔ ≈ ×

3/ 25 / 23/2 51 54

2G

( / 10 ,...,10΄

N y f) ζ ααΑνσ⎛ ⎞

≈ ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

, βάσει ενέργειας συνοχής

11 210 mR H ≈ 610 10 mR H R≥ ≥ , Βραχώδεις πλανήτες

Page 26: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

xxvi

ΠΙΝΑΚΑΣ IX: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΉ ΑΝΑΛΥΣΗ (συνέχεια) ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ

1. Ακτινοβολία μέλανος σώματος 2. Θερμοκρασία μαύρης τρύπας 3. Εντροπία μαύρης τρύπας 4. Ακτίνα ορίζοντος μαύρης τρύπας 5. Ακτινοβολία διπόλου 6. Σκέδαση Η/Μ από ηλεκτρόνιο 7. Σκέδαση Η/Μ από ουδέτερο σώμα 8. Επιδερμικό φαινόμενο σε αγωγούς 9. Χρόνος ζωής διεγερμένης κατάστασης 10. Ροή ρευστού (π.χ. νερού) σε σωλήνα 11. Ενεργός διατομή σκέδασης 12. Μέση ελεύθερη διαδρομή

Page 27: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ

ΟΙ ΤΡΕΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΕΕΣ

Page 28: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

2

Page 29: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Η ΑΤΟΜΙΚΗ ΙΔΕΑ: (Η 1η, η πιο κεντρική) Εάν, σ’ ένα παγκόσμιο κατακλυσμό, όλη η επιστημονική γνώση επρόκειτο να καταστραφεί εκτός από μια μόνο πρόταση που θα περνούσε στις επόμενες γενιές, ποια θα ήταν αυτή η πρόταση που θα περιείχε τη μέγιστη πληροφορία με τις ελάχιστες λέξεις; Πιστεύω ότι είναι η ατομική ιδέα ότι, δηλ., τα πάντα είναι φτιαγμένα από άτομα - μικροσκοπικά σωμάτια που κινούνται γύρω γύρω αέναα, έλκοντας άλληλα όταν είναι σε κοντινή απόσταση, αλλά απωθώντας άλληλα όταν συμπιεσθούν το ένα πάνω στο άλλο. Σ’ αυτή τη μια πρόταση ενυπάρχει μια τεράστια ποσότητα πληροφορίας για τον Κόσμο, εάν διαθέσει κανείς λίγη φαντασία και σκέψη.

R. P. Feynman Ίσως η πιο βασική ιδέα της Επιστήμης είναι:

Η ατομική δομή του Κόσμου Ο θρίαμβος του Δημόκριτου. Σύμφωνα με τις σύγχρονες αντιλήψεις όχι μόνο η ύλη (με τη συνήθη στενή έννοια) αλλά και οι δυνάμεις αποτελούνται από στοιχειώδη (δηλαδή αδιαίρετα) σωμάτια1 που είναι φορείς των δυνάμεων. Αυτοί οι στοιχειώδεις δομικοί λίθοι ύλης και δυνάμεων κινούμενοι αενάως αλληλοπαγιδεύονται δημιουργώντας έτσι σύνθετα σωμάτια που αποτελούν το επόμενο στάδιο στην ιεραρχική δόμηση της ύλης. Τα σύνθετα αυτά σωμάτια άλληλοπαγιδεύονται με την βοήθεια των σωματίων-δυνάμεων δημιουργώντας ένα ακόμη ανώτερο στάδιο στη δομή της ύλης, κ.ο.κ. Για να αποκτήσει «σάρκα και οστά» η ατομική ιδέα χρειάζεται να γνωρίζουμε ποια είναι τα στοιχειώδη σωμάτια ύλης και ποια τα στοιχειώδη σωμάτια δυνάμεων, τι ιδιότητες έχουν, πώς τα πρώτα αλληλεπιδρούν με τα δεύτερα και επομένως ποιες αλληλοπαγιδεύσεις είναι εφικτές ώστε να προχωρήσουμε έτσι στο επόμενο στάδιο οργάνωσης της ύλης. 1.1. Τα στοιχειώδη σωμάτια της ύλης σήμερα2 Η ύλη που μας περιβάλλει (στην παρούσα φάση της ιστορίας του Σύμπαντος) ή

1 Όμως η θεωρία χορδών ή μεμβρανών (χωρίς πειραματική επιβεβαίωση μέχρι σήμερα (2010))

δέχεται στοιχειώδη αντικείμενα όχι σημειακά, αλλά γραμμικά, ή διδιάστατα, κ.ο.κ. 2 Η μέχρι τώρα εμπειρία έχει δείξει ότι αυτά που κατά καιρούς θεωρούσαμε στοιχειώδη

αποδείχτηκαν σύνθετα. Το κάθε άτομο δεν είναι στοιχειώδες, όπως αρχικά εθεωρείτο, αφού συνίσταται από πυρήνα και ηλεκτρόνια. Ο κάθε πυρήνας δεν είναι στοιχειώδης, αφού συνίσταται από πρωτόνια και νετρόνια (εκτός αυτού του απλού υδρογόνου). Τα πρωτόνια και τα νετρόνια δεν είναι στοιχειώδη, αφού συνίστανται από τρία κουάρκ. Ίσως με τα ηλεκτρόνια και τα κουάρκ να φτάσαμε επιτέλους στο τέλος. Έστω και αν τα ηλεκτρόνια, τα νετρίνα και τα κουάρκ είναι πράγματι στοιχειώδη, μπορεί να υπάρχουν και άλλα στοιχειώδη σωμάτια ύλης, που δεν έχουν βρεθεί πειραματικά. Αστρονομικές παρατηρήσεις συνηγορούν υπέρ της ύπαρξης τέτοιων μη ανακαλυφθέντων σωματίων, που αποτελούν τη λεγόμενη σκοτεινή ύλη.

Page 30: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

4

μας αποτελεί δημιουργείται από δύο ήδη κουάρκ1 και ένα και μόνο ένα είδος ηλεκτρονίου. Το ηλεκτρόνιο κατά τις αλληλεπιδράσεις του με σωμάτια δυνάμεων δημιουργεί αυτοκαταστρεφόμενο σε ορισμένες περιπτώσεις ένα σωμάτιο που λέγεται νετρίνο, το οποίο διαφεύγει στο διάστημα και δεν παγιδεύεται στην ύλη. Το ηλεκτρόνιο και το νετρίνο έχουν το κοινό όνομα λεπτόνια. Έτσι η συνήθης ύλη περιλαμβάνει τέσσερα μόνο είδη σωματίων ύλης: δύο κουάρκ και δύο λεπτόνια. Οι ιδιότητές τους φαίνονται στην πρώτη οικογένεια του Πιν. ΙΙΙ (σελ. xiv). Και τα τέσσερα σωμάτια ύλης έχουν σπιν ½ (ημιακέραιο). Το σπιν συνδέεται με την εσωτερική στροφορμή του σωματίου βάσει του τύπου: ιδιοστροφορμή=σπιν × , όπου είναι η σταθερά του Planck. Το φορτίο του πρωτονίου e=1,6021765 1910 C−× έχει ληφθεί ως μονάδα. Τα πρωτόνια, τα νετρόνια και άλλα παρόμοια σύνθετα σωμάτια που αποτελούνται από τρία κουάρκ μαζί με σωμάτια δυνάμεων φέρουν το κοινό όνομα βαρυόνια και τους αποδίδεται ο βαρυονικός αριθμός 1. Κατά συνέπεια αποδίδουμε στο κάθε κουάρκ βαρυονικό αριθμό 1/3. H τιμή μηδέν, για το λεπτονικό αριθμό, δείχνει ότι τα κουάρκ δεν είναι λεπτόνια. Το αντίθετο συμβαίνει για τα λεπτονια. Στην πραγματικότητα τα κουάρκ δεν έχουν παρατηρηθεί ελεύθερα αλλά πάντοτε ως συστατικά σύνθετων σωματίων ύλης όπως, π.χ. το πρωτόνιο. Δύο πάνω και ένα κάτω κουάρκ με την παρουσία και τη βοήθεια σωματίων-δυνάμεων αλληλοπαγιδεύονται και δημιουργούν το πρωτόνιο, p: , ,p u u d= (1.1) Δύο κάτω και ένα πάνω κουάρκ με την παρουσία και με τη βοήθεια σωματίων δυνάμεων αλληλοπαγιδεύονται και δημιουργούν το νετρόνιο, n: , ,n u d d= (1.2) Θυμίζουμε ότι για κάθε ένα από τα παραπάνω τέσσερα σωμάτια 2 υπάρχει το αντισωμάτιό του που συμβολίζεται ως , , , eu d e ν+ αντιστοίχως. Η μάζα, το σπιν και το μέγεθος του κάθε αντισωματίου είναι ακριβώς ίδια με αυτά του αντίστοιχου σωματίου, ενώ το ηλεκτρικό φορτίο, ο βαρυονικός αριθμός και ο λεπτονικός αριθμός είναι ακριβώς αντίθετα. Σημειώστε ότι τα αντισωμάτια δεν συμμετέχουν στη δομή της συνηθισμένης ύλης, τα παράγουμε όμως πειραματικά στους αντιδραστήρες υψηλής ενέργειας και προκύπτουν υποχρεωτικά και αβίαστα από τη θεωρία. Πρωτόνια και νετρόνια αλληλοπαγιδεύονται (με τη βοήθεια πάντοτε κάποιων σωματίων-δυνάμεων) και δημιουργούν τους πυρήνες. Οι πυρήνες, που είναι θετικά φορτισμένοι, παγιδεύουν γύρω τους ηλεκτρόνια (με τη βοήθεια των σωματίων-δυνάμεων ηλεκτρομαγνητικής φύσης) δημιουργώντας

1Το κάθε κουάρκ εκτός από ηλεκτρικό φορτίο φέρει και ένα άλλο είδος φορτίου που έχει

καθιερωθεί να ονομάζεται χρωματικό φορτίο (αν και δεν έχει καμία σχέση με χρώμα). Όπως το ηλεκτρικό φορτίο είναι πηγή και αποδέκτης της ηλεκτρομαγνητικής δύναμης, έτσι και το χρωματικό φορτίο είναι πηγή και αποδέκτης της λεγόμενης ισχυρής δύναμης (βλέπε Πιν. IV). Σε αντίθεση με το ηλεκτρικό φορτίο (που είναι ενός μόνο τύπου) το χρωματικό φορτίο είναι τριών τύπων «κόκκινο»( R ), «πράσινο» ( G ) και «μπλε» ( B ). Έτσι κάθε κουάρκ μπορεί να φέρει μια μονάδα «κόκκινου» χρωματικού φορτίου, ή «πράσινου» χρωματικού φορτίου ή «μπλε» χρωματικού φορτίου (ή και γραμμικό συνδυασμό των παραπάνω τριών χρωματικών φορτίων). Το κάθε αντικουάρκ φέρει αντίθετο χρωματικό φορτίο από το αντίστοιχο κουάρκ. Έχουμε έτσι για κάθε αντικουάρκ τη δυνατότητα «αντικόκκινου» ( R ), ή «αντιπράσινου» G , ή «αντιμπλέ» B χρωματικού φορτίου. Οι συνδυασμοί RR , GG , BB , RGB , RGB αντιστοιχούν σε μηδενικό συνολικό χρωματικό φορτίο.

2 Το νετρίνο, δεν παγιδεύεται και επομένως δεν συμμετέχει στη δομή των επόμενων επιπέδων οργάνωσης της ύλης.

Page 31: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

5

έτσι τα ουδέτερα άτομα (όταν ο αριθμός πρωτονίων στον πυρήνα και ηλεκτρονίων είναι ίσος) ή τα ιόντα (όταν ο αριθμός πρωτονίων διαφέρει από τον αριθμό ηλεκτρονίων). Η φύση φαίνεται ότι στάθηκε σπάταλη και δημιούργησε εκτός από την πρώτη οικογένεια των τεσσάρων σωματίων στον Πιν. III, και άλλες δύο παρόμοιες οικογένειες στοιχειωδών σωματίων, που η κάθε μια τους αποτελείται από τέσσερα σωμάτια ύλης (δύο κουάρκ και δύο λεπτόνια), όπως φαίνεται στον Πιν. III. Το κάθε ένα από τα κουάρκ c, s, t, b φέρει επίσης χρωματικό φορτίο που είναι τριών τύπων: R, G, B.

Τα σωμάτια των οικογενειών 2 και 3 του Πιν. III. δεν μετέχουν στο σχηματισμό της συνηθισμένης ύλης, λόγω του ότι δεν είναι σταθερά. Αυτό γιατί είναι βαρύτερα από τα αντίστοιχα της οικογένειας 1 του Πιν. III. και επομένως διαθέτουν περίσσεια ενέργειας ώστε με τη βοήθεια σωματίων-δυνάμεων να μετασχηματίζονται σε σωμάτια της πρώτης οικογένειας (του Πιν. III.). Άρα τα σωμάτια των οικογενειών 2 και 3 του Πιν. ΙΙΙ. είναι μετασταθή με την έννοια ότι χαρακτηρίζονται από ένα πεπερασμένο χρόνο ζωής τ , ή χρόνο υποδιπλασιασμού 1/ 2 1/ 2( 0,69 )t t τ= . Π.χ., το μιόνιο μετασχηματίζεται1 ως εξής:

ee v vμμ → + + (1.3)

με χρόνο υποδιπλασιασμού 61,5 10−× sec. Όλα τα σωμάτια του Πιν. ΙΙΙ έχουν τα αντισωμάτιά τους , όπως απαιτεί η θεωρία και επιβεβαιώνει το πείραμα. Και τα σωμάτια και τα αντισωμάτια του Πιν. ΙΙΙ έχουν παρατηρηθεί και αναλυθεί πειραματικά. Κλείνοντας αυτήν την ενότητα, ας επισημάνουμε ξανά, ότι από τα 12 σωμάτια των Πιν. ΙΙΙ και τα 12 αντισωμάτιά τους μόνο τρία (το άνω κουάρκ, u, το κάτω κουάρκ, d, και το ηλεκτρόνιο, e, μετέχουν στη δομή της ύλης που μας αποτελεί και μας περιβάλλει). Αν λάβουμε υπόψη και το χρωματικό φορτίο ο αριθμός των κουάρκ και των αντικουάρκ τριπλασιάζεται. Σημειώστε ότι όλα τα σωμάτια ύλης του Πιν. ΙΙΙ έχουν σπιν ½, πράγμα που συνεπάγεται ότι υπόκεινται στην απαγορευτική αρχή του Pauli (σελ. 13). 1.2 Τα στοιχειώδη σωμάτια των δυνάμεων ( ή αλληλεπιδράσεων) Υπάρχουν τεσσάρων ειδών στοιχειώδεις δυνάμεις ή, πιο σωστά, στοιχειώδεις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματίων. Οι αλληλεπιδράσεις αυτές εκτός από τη δημιουργία ελκτικών ή απωστικών δυνάμεων μπορούν να παίξουν ένα γενικότερο ρόλο με το να συμμετέχουν στο μετασχηματισμό σωματίων. Κάθε στοιχειώδες σωμάτιο (επομένως και κάθε σύνθετο) είναι πηγή αλλά και αποδέκτης μιας τουλάχιστον από τις παραπάνω τέσσερις στοιχειώδεις αλληλεπιδράσεις. Πηγή με την έννοια ότι μπορεί να εκπέμψει ένα σωμάτιο-φορέα της υπόψη αλληλεπίδρασης και αποδέκτης με την έννοια ότι μπορεί να απορροφήσει ένα σωμάτιο-φορέα της υπόψη αλληλεπίδρασης. Π.χ. η ηλεκτρική έλξη μεταξύ ενός ηλεκτρονίου και ενός πρωτονίου μπορεί να θεωρηθεί ότι οφείλεται στην εκπομπή ενός φωτονίου από το ηλεκτρόνιο και στην απορρόφησή του από το πρωτόνιο ή αντίστροφα. Το φωτόνιο είναι το σωμάτιο φορέας της ηλεκτρομαγνητικής

1 Το ότι μετασχηματίζεται σ’ ένα ηλεκτρόνιο και ένα ζεύγος νετρίνου-αντινετρίνου δεν

σημαίνει ότι το μιόνιο είναι σύνθετο σωμάτιο. Είναι πιο εποικοδομητικό να θεωρούμε ότι, π.χ, το μιόνιο εξαφανίζεται και στη θέση του εμφανίζονται ένα ηλεκτρόνιο ένα νετρίνο τύπου μ και ένα αντινετρίνο τύπου ηλεκτρονίου. (Βλέπε σχετικά την παράγραφο 8.1, σελ. 72).

Page 32: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

6

αλληλεπίδρασης. Η διαδικασία αυτή μπορεί να παρασταθεί διαγραμματικά, όπως φαίνεται στο Σχ. 1.1.

Σχήμα 1.1. Η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου- πρωτονίου οφείλεται στην ανταλλαγή ενός φωτονίου (γ). Στην περίπτωση αυτή ούτε το ηλεκτρόνιο ούτε το πρωτόνιο μετασχηματίζεται σε άλλο σωμάτιο. Ένα παράδειγμα μετασχηματισμού που οφείλεται στη μεσολάβηση ενός σωματίου φορέα αλληλεπίδρασης είναι αυτό της σχέσης (1.3), η οποία μπορεί να παρασταθεί διαγραμματικά, όπως στο Σχ. 1.2. Σημειώστε ότι και η διαδικασία του Σχ. 1.1 μπορεί να θεωρηθεί ως ένας τετριμμένος (ταυτοτικός) μετασχηματισμός όπου το αρχικό ζεύγος ηλεκτρονίου-πρωτονίου μετασχηματίζεται σε ένα τελικό ζεύγος πάλι ηλεκτρονίου-πρωτονίου με τη βοήθεια ενός φωτονίου.

Σχ. 1.2. Ο αφανισμός του μιονίου με την τελική δημιουργία ενός ηλεκτρονίου και ενός ζεύγους νετρίνου-αντινετρίνου επιτυγχάνεται με τη εκπομπή ενός σωματίου, που συμβολίζεται με W − και είναι ένας από τους φορείς της λεγόμενης ασθενούς αλληλεπίδρασης (το W − στη συνέχεια αφανίζεται με τη δημιουργία ζεύγους ηλεκτρονίου-αντινετρίνου). Ο μετασχηματισμός αυτός γίνεται και με την απορρόφηση ενός W + , εάν αυτό έχει ήδη εκπεμφθεί από το ζεύγος ηλεκτρονίου-αντινετρίνου .

Page 33: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

7

Σχ. 1.3 Διαδικασίες όπου μετέχει ένα ελεύθερο φωτόνιο: (α) Εκπομπή ενός φωτονίου από ηλεκτρόνιο (όπως στην παραγωγή ακτίνων Χ). (β) Απορρόφηση ενός φωτονίου από ηλεκτρόνιο (όπως στο φωτοηλεκτρικό φαινόμενο). (γ) Δίδυμη γένεση ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου με αφανισμό ενός φωτονίου και εκπομπή ενός φωτονίου. (δ) Δίδυμος αφανισμός ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου με δημιουργία δύο φωτονίων (στην περιοχή των ακτίνων γ με εφαρμογή στη διαγνωστική μέθοδο PET), (ε) Απορρόφηση και εκπομπή φωτονίου από ηλεκτρόνιο (όπως στη σκέδαση Raman). Θα πρέπει να τονίσουμε ότι τα σωμάτια φορείς των αλληλεπιδράσεων δεν είναι απλώς ένα νοητικό εργαλείο για να υπολογίζουμε σωστά τα αποτελέσματα των αλληλεπιδράσεων. Τα σωμάτια αυτά έχουν πραγματική υπόσταση και έχουν παρατηρηθεί και μετρηθεί1 στις πειραματικές διατάξεις που συνοδεύουν τους αντιδραστήρες υψηλών ενεργειών. Στον ΠΙΝ. IV (σελ. xv) δίνονται κάποια στοιχεία για τις τέσσερις βασικές αλληλεπιδράσεις. Σημειώστε ότι η τρέχουσα προσπάθεια είναι να αναπτυχθεί μια ενιαία θεωρία και για τις τέσσερις αλληλεπιδράσεις έτσι ώστε να εμφανιστούν ως διαφορετικές «όψεις» μιας μόνο ενοποιημένης αλληλεπίδρασης (κατ’ αντιστοιχία με την ενοποίηση των ηλεκτρικών και μαγνητικών δυνάμεων που επέτυχαν οι εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού του Maxwell). Η προσπάθεια ενοποίησης έχει αποδώσει καρπούς με τη δημιουργία του λεγόμενου καθιερωμένου προτύπου που ενοποιεί τις τρεις από τις τέσσερις βασικές αλληλεπιδράσεις. (Η βαρύτητα «αρνείται» προς το παρόν να ενταχθεί στο ενιαίο σχήμα). Σημειώστε ότι τα σωμάτια –φορείς αλληλεπιδράσεων, καίτοι τα περισσότερα δεν έχουν μάζα ηρεμίας, εντούτοις έχουν ενέργεια, Ε, και επομένως βάσει της σχέσης του Einstein, 2E mc= , έχουν και σχετικιστική μάζα (π.χ. το φωτόνιο έχει μάζα

2/ ,m cω= παρόλο που έχει μάζα ηρεμίας μηδέν). Επομένως και τα σωμάτια- φορείς αλληλεπιδράσεων μπορούν να θεωρηθούν ως υλικά σωμάτια (με την ευρεία έννοια) και υπόκεινται στις βαρυτικές αλληλεπιδράσεις. Σημειώστε επίσης ότι σε αρκετές περιπτώσεις χειριζόμαστε τις αλληλεπιδράσεις ως κλασικά κύματα ή ακόμη και ως κλασικές δυνάμεις με ικανοποιητικά αποτελέσματα. Συνήθως λαμβάνουμε υπόψη τον κυματοσωματιδιακό χαρακτήρα των αλληλεπιδράσεων, όταν πρόκειται για μετασχηματισμούς ή για υπολογισμούς υψηλής ακρίβειας. Στο παρόν βιβλίο θα χειριστούμε τις αλληλεπιδράσεις ως κλασικά κύματα ή ακόμη και ως κλασικές δυνάμεις. Στο τρίτο μέρος του βιβλίου θα επανέλθουμε στα στοιχειώδη σωμάτια των Πιν. ΙΙΙ και IV, (που είναι στην πραγματικότητα κυματοσωμάτια) για να αναφέρουμε πώς αλληλοπαγιδεύονται και πώς μετασχηματίζονται. 1.3 Σχόλια πάνω στις παγκόσμιες φυσικές σταθερές Η σταθερά του Planck (ή h ) και η ταχύτητα του φωτός, c , στο κενό είναι οι πιο «παγκόσμιες» φυσικές σταθερές. Αυτό διότι δεν συνδέονται με κάποιο συγκεκριμένο στοιχειώδες σωμάτιο ούτε με κάποια συγκεκριμένη από τις τέσσερις αλληλεπιδράσεις. Το μεν θέτει ένα κάτω όριο στο μέγεθος της δράσης, ή πιο σωστά ένα κάτω όριο στο πόσο μικρός μπορεί να γίνει ο όγκος στον φασικό χώρο. Αντίστοιχα το c θέτει ένα άνω όριο στην ταχύτητα μεταφοράς της ύλης ή της πληροφορίας· θα πρόσθετα ότι το είναι ακόμη πιο «παγκόσμιο»

1 Εξαίρεση αποτελεί το βαρυτόνιο που δεν έχει παρατηρηθεί λόγω της απειροελάχιστης ισχύος αλληλεπίδρασής του.

Page 34: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

8

και από την ταχύτητα του φωτός γιατί εμφανίζεται σε όλες τις κλίμακες της δομής της ύλης (από το πιο στοιχειώδες συστατικό της μέχρι τα άστρα και τα αστρικά πτώματα (καφέ νάνοι, λευκοί νάνοι, αστέρες νετρονίων, μαύρες τρύπες)). Αντίθετα, η ταχύτητα του φωτός περιθωριακό μόνο ρόλο παίζει στη δομή των πυρήνων, των ατόμων, των μορίων, των στερεών και των υγρών. Φυσικά, η ταχύτητα του φωτός κυριαρχεί στα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα. Οι άλλες παγκόσμιες σταθερές (μάζες των στοιχειωδών σωματίων, αδιάστατες ισχείς των αλληλεπιδράσεων, κλπ, βλ. Πίνακες III και IV) είναι πιο εξειδικευμένες. Ίσως μια μελλοντική θεωρία να αναδείξει την παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας, G, σε κάτι πιο παγκόσμιο που ενδεχομένως να έχει σχέση με την υπόθεση του ότι ο ίδιος ο χώρος δεν είναι συνεχής αλλά διακριτός. Η θεωρία των χορδών φαίνεται να ενισχύει τέτοια ενδεχόμενα. Σημειώστε ότι τα τρία μεγέθη , ,c G ορίζουν ένα άλλο σύστημα μονάδων (το σύστημα Planck) ως εξής:

Μονάδα μήκους: 353 1,6161 10 mp

Gc

−= = × (1.4)

Μονάδα χρόνου: 445 5,3907 10 sp

pGt

c c−= = = × (1.5)

Μονάδα μάζας: 82,1766 10 Kgpcm

G−= = × (1.6)

Μονάδα θερμοκρασίας: 2

321,4196 10 Kp op

B

m cT

k= = × (1.7)

Αποδείξτε τις παραπάνω σχέσεις. Επίσης δείξτε ότι:

236

2 1,2538 10u

eGm

= ×

254

2

3/2

1,4040 10u

eGm

⎛ ⎞= ×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Συνοψίζοντας το θέμα των αλληλεπιδράσεων

πρέπει να επισημάνουμε μια βασική τους ιδιότητα

που οδηγεί σε ένα καίριο ερώτημα :

Page 35: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

9

ΟΙ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΑΠΟ ΜΟΝΕΣ ΤΟΥΣ ΘΑ ΟΔΗΓΟΥΣΑΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΡΡΕΥΣΗ ΤΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΗ ΥΛΗΣ ΛΟΓΩ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΙΚΑ

ΕΛΚΤΙΚΟΥ ΧΑΡΑΚΤΗΡΑ ΤΟΥΣ.

ΤΙ ΕΜΠΟΔΙΖΕΙ, ΛΟΙΠΟΝ, ΤΗΝ ΚΑΤΑΡΡΕΥΣΗ ΤΩΝ ΔΟΜΩΝ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΕΞΑΣΦΑΛΙΖΕΙ ΤΗΝ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ ΤΟΥΣ ΧΩΡΙΣ ΝΑ ΑΠΟΚΛΕΙΕΙ

ΤΗ ΔΥΝΑΤΟΤΗΑ ΑΛΛΑΓΗΣ;

Η ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΤΗ

2Η ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ:

ΚΥΜΑΤΟΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΟΣ ΔΥΙΣΜΟΣ

Page 36: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

10

Page 37: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΚΥΜΑΤΟΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΟΣ ΔΥΙΣΜΟΣ: (Η 2η κεντρική ιδέα)

Τόσο εύλογο το ακατανόητο Ο. Ελύτης

Η καίρια ιδέα-διαπίστωση είναι ότι οι στοιχειώδεις δομικοί λίθοι του Κόσμου συνάμα με το σωματιδιακό τους χαρακτήρα έχουν και κυματικές ιδιότητες. /ε ω ω ε= ⇔ = (2.1) /= ⇔ =p k k p , 2 /k π λ= (2.2) Τα στοιχειώδη και τα σύνθετα σωμάτια είναι ταυτόχρονα και κύματα, είναι δηλαδή, κυματοσωμάτια και περιγράφονται από την κβαντομηχανική που συνθέτει τις αντιφατικές έννοιες σωμάτιο / κύμα. Η σύνθεση γίνεται με την έννοια ότι αυτά, τα οποία θεωρούσαμε κλασικά ως σωμάτια, κινούνται όπως τα κύματα, ενώ αυτά, που θεωρούσαμε κλασικά ως κύματα, αποτελούνται από αδιαίρετα μέρη, όπως τα στοιχειώδη σωμάτια. Μ’ άλλα λόγια Ο Κόσμος είναι κβαντικός. Aν δεν ήταν, δεν θα υπήρχαμε. Το γεγονός αυτό, δυστυχώς, παραμένει terra incognita όχι μόνο για τους μαθητές λυκείου αλλά και για αρκετούς φυσικούς. Πιθανόν αυτό να οφείλεται στο ότι η ακριβής και πλήρης διατύπωση της κβαντομηχανικής απαιτεί πιο προχωρημένα μαθηματικά και στο ότι οι νόμοι της είναι πιο αφηρημένοι και πιο απόμακροι από την καθημερινή εμπειρία. Ισως να οφείλεται και στο ότι η διδασκαλία της κβαντομηχανικής επικεντρώνεται συνήθως σε τεχνικές λεπτομέρειες και έτσι με την έμφαση σε επί μερους ‘δένδρα’ χάνεται το ‘δάσος’. Εντούτοις οι νόμοι της κβαντομηχανικής είναι τόσο σημαντικοί - αφού η δομή του Κόσμου από την πιο μικροσκοπική κλίμακα μέχρι την πιο μεγάλη διέπεται από αυτούς τους νόμους - ώστε να πρέπει να είναι κτήμα κάθε μαθητή λυκείου. Ευτυχώς, είναι δυνατόν να παρακάμψει κανείς τις εννοιολογικές και τεχνικές δυσκολίες της κβαντομηχανικής με το να εστιάσει την προσοχή του σε τρεις βασικές και συνάμα απλές1 αρχές της. Αυτές οι αρχές πηγάζουν από τις κεντρικές σχέσεις (2.1) και (2.2) και, όπως θα δείξουμε στο τρίτο και τέταρτο μέρος του βιβλίου, έχουν επιπλέον μεγάλη ερμηνευτική ισχύ χωρίς να απαιτούν μαθηματικά πέραν αυτών του λυκείου.

1 Απλές και στη διατύπωση και στη χρήση τους και εντούτοις καίριας σημασίας

Page 38: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

12

Θα τις μνημονεύσουμε λοιπόν από τώρα και θα επανέλθουμε σ’ αυτές ξανά και ξανά στο παρόν βιβλίο:

a. Αρχή της απροσδιοριστίας (του Heisenberg) (2.3) b. Αρχή απαγορευτική (του Pauli) (2.4) c. Αρχή της κβάντωσης (του Schrodinger) 1 (2.5)

Οι παραπάνω αρχές συνδυασμένες με το γενικό και πολύ σπουδαίο νόμο (Γ)2 του Πιν. ΙΙ εξηγεί γιατί οι μικροσκοπικές δομές της ύλης παρουσιάζουν τη θαυμαστή ιδιότητα της σταθερότητας (παρόλο που επιτρέπουν προσωρινές αλλαγές) και έτσι εξασφαλίζουν την υπ’ αριθμό 1 συνθήκη για την ύπαρξη προβλέψιμης χημικής και βιοχημικής συμπεριφοράς. 2.1 Αρχή της απροσδιοριστίας (του Heisenberg). Η απροσδιοριστία στη θέση ενός σωματίου κατά xΔ (σε μια ορισμένη διεύθυνση) επί την απροσδιοριστία στην ορμή xpΔ (στην ίδια διεύθυνση) ικανοποιεί την ακόλουθη ανισότητα: / 2xx pΔ ⋅Δ ≥ 3 (2.3΄) Ας θεωρήσουμε ότι ένα σωμάτιο (π.χ. ένα ηλεκτρόνιο) είναι εγκλωβισμένο στο εσωτερικό μιας σφαίρας ακτίνας r : Τότε4 το 2 2 2x y zΔ = Δ = Δ = 2 / 3rΔ =

2 2 /3/ 5 0,077 Vr = . Άρα 2 2 2 /33,25 /xp VΔ ≥ . Επομένως η μέση κινητική ενέργεια kε , του σωματίου αυτού (θεωρώντας το μη σχετικιστικό) θα ικανοποιεί την ανισότητα5

1 Η αρχή της κβάντωσης είναι συνέπεια της κυματικής φύσης της ύλης, όπως εκφράζεται μέσω της εξίσωσης του Schrödinger και γι’ αυτό την αναφέουμε εδώ με το όνομα του Schrödinger. 2 Βλέπε και κεφάλαιο 3 3 Τα xΔ και xpΔ είναι οι λεγόμενες τυπικές αποκλίσεις που ορίζονται από τις σχέσεις

2 2( )x x xΔ ≡ − και 2 2( )x x xp p pΔ ≡ − . Το σύμβολο A δηλώνει τη μέση τιμή

του οποιουδήποτε στατιστικού μεγέθους A . Ισχύει γενικά ότι η μέση τιμή 22 2A A A= + Δ .

Άρα: 22 2 2x x x x= + Δ ≥ Δ

22 2 2x x x xp p p p= + Δ ≥ Δ

4 Η σχέση 2 23 / 5r rΔ = ισχύει υποθέτοντας ίση πυκνότητα πιθανότητας να βρούμε το σωμάτιο σε οποιοδήποτε σημείο στο εσωτερικό της σφαίρας. 5 Έχουμε ότι:

( ) ( )2 2 2 2 2 / 3 2 2 / 3/ 2 / 2 3 3, 25 / 2 / 4,87 /k x y zm p p p m x mV mVε = ≥ Δ Δ Δ ≥ =+ +2p

Στην (2.6) (βλ. επόμενη σελίδα) αντί του 4,87 θέσαμε το συντελεστή 4,56 επειδή συμπίπτει με πιο ακριβείς υπολογισμούς στους οποίους δεν θα εμπλακούμε. Σημειώστε ότι η απόδειξη του τύπου

(2.6) βασίστηκε στη σχέση, 2 / 2k p mε = , μεταξύ κινητικής ενέργειας και ορμής. Όπως προκύπτει από τη σχέση (3) του Πιν. VΙΙΙ η ακριβής ρελατιβιστική σχέση μεταξύ κινητικής ενέργειας και ορμής, είναι

Page 39: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

13

2

2 /34,56k mVε ≥ (2.6)

Η σχέση (2.6) είναι πολύ σημαντική. Λέει ότι κάθε σωμάτιο που είναι εγκλωβισμένο σ’ ένα όγκο V έχει κινητική ενέργεια που δεν μπορεί να γίνει μικρότερη από μια ελάχιστη τιμή. Η ελάχιστη αυτή τιμή είναι αντιστρόφως ανάλογη του 2 /3V και αντιστρόφως ανάλογη της μάζας του σωματίου και ανάλογη του 2 , όπου το (η σταθερά Planck δια 2π ) είναι το σήμα κατατεθέν της Κβαντομηχανικής. Όσο μικρότερος ο όγκος και όσο μικρότερη η μάζα, τόσο μεγαλύτερη η μίνιμουμ κινητική ενέργεια. Η ύπαρξη αυτής της μίνιμουμ κινητικής ενέργειας εμποδίζει την κατάρρευση των σύνθετων δομών της φύσης (υπό την επίδραση ελκτικών δυνάμεων), συνεπάγεται την ύπαρξη ελάχιστης πεπερασμένης συνολικής ενέργειας και εξασφαλίζει σε τελική ανάλυση τη σταθερότητα των δομών του Κόσμου. Με ξεχνάτε λοιπόν ποτέ να περιλαμβάνετε την ελάχιστη κινητική ενέργεια στον υπολογισμό της ολικής ενέργειας σύνθετων δομών του μικρόκοσμου ή του μεγάκοσμου. Αν δεν το κάνετε (ξεχνώντας ότι ο κόσμος είναι κβαντικός και όχι κλασικός, όπου

0= ) θα καταλήξετε σε εντελώς λάθος συμπεράσματα. Η σχέση (2.6) βασίζεται στην 2 / 2k p mε = . Για μεγάλες ταχύτητες η κινητική ενέργεια είναι όμως

2 4 2 2 2k o om c c p m cε = + − (2.7)

Έτσι ο τύπος (2.6) θα αλλάξει. Βλέπε σχετικά την υποσημείωση 5, σελ. 12, 13. 2.2 Απαγορευτική αρχή του Pauli

Δύο το πολύ όμοια σωμάτια (στοιχειώδη ή σύνθετα) με σπιν ½ μπορούν να βρεθούν στην ίδια χωρική κατάσταση ή (σε μια λιγότερο ακριβή διατύπωση) στην ίδια περιοχή του χώρου1.

2 4 2 2 2

k o om c c m cpε = + − οπότε, αφού 2 2 2 2 / 39, 75 /p Vp ≥ Δ ≥ , θα έχουμε αντί της

(2.6) την ακριβέστερη σχέση 2 4 2 2 2 / 3 29,75 /k o om c c V m cε ≥ + −

Στην ειδική περίπτωση, όπου η μάζα ηρεμίας om είναι μηδέν (όπως στα φωτόνια), ή τόσο μικρή,

ώστε το 2 4om c να είναι αμελητέο σε σύγκριση με το 2 2 2 39, 75 /c V , τότε η (2.6) δεν ισχύει

ούτε προσεγγιστικά και αντ’ αυτής έχουμε την ακόλουθη ανισότητα:

1/ 3

3k

c

Vε ≥ , 0om =

Επομένως η ενέργεια ενός φωτονίου που το έχουμε περιορίσει σ’ ένα όγκο V είναι τουλάχιστον 1/ 33 /c V και η συχνότητα του τουλάχιστον 1/ 33 /c V .

Σημειώστε ότι ο τελευταίος τύπος προκύπτει (εκτός του αριθμητικού παράγοντα), εάν θέσουμε

στον τύπο (2.6) όπου m την ρελατιβιστική μάζα 2 2/ /c cε ω= και kε ω≈ 1 Η αρχή του Pauli ισχύει για όλα τα όμοια σωμάτια με σπιν s, ημιακέραιο (και όχι μόνο για

1/ 2s = ). Τότε ο μέγιστος αριθμός όμοιων σωματίων στην ίδια χωρική κατάσταση είναι 2 1s + (όσες και οι προβολές του σπιν). Εάν το σπιν είναι ακέραιο τα σωμάτια όχι μόνο δεν αποφεύγουν το ένα το άλλο, αλλά αντίθετα προτιμούν να συγκεντρωθούν πολλά μαζί στην ίδια κατάσταση.

Page 40: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

14

Τι θα συμβεί εάν N όμοια σωμάτια με σπιν 1/ 2 βρεθούν στον ίδιο ομοιογενή χώρο όγκου V ; Η ακριβής απάντηση εξαρτάται από πολλούς παράγοντες και απαιτεί εν γένει περίπλοκους υπολογισμούς. Εν τούτοις καταλήγουμε σε μια αρκετά ικανοποιητική απάντηση εάν θεωρήσουμε ότι τα σωμάτια προκειμένου να ικανοποιήσουν την αρχή του Pauli, χωρίζουν τον (ομοιογενή) χώρο σε / 2N ίσους υποχώρους (ο καθένας θα έχει όγκο / 2 /( / 2) NVV N = ) και ανά δύο (με αντίθετα σπιν) καταλαμβάνουν όλους τους υποχώρους. Όμως τότε, κάθε σωμάτιο κινείται σ’ ένα χώρο όγκου 2 /V N και επομένως, βάσει του τύπου (2.6) η μέση κινητική του ενέργεια1 θα έχει ως ακολούθως

2 /32

2,87kN

m Vε ⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

και η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος των N σωματίων θα είναι κατ’ ελάχιστο ίση με

2 / 32

2,87kNE N

m V⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.8)

Η σχέση (2.8) ισχύει με βάση τη σχέση 2 / 2k p mε = . Στην ακραία σχετικιστική

περίπτωση, 2ocp m c , οπότε k cpε ≈ , έχουμε για σωμάτια με σπιν ½

4 /3

. . 1/32,32 NE cVκιν ολ = (2.8΄)

ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ: Θα δώσουμε εδώ ένα τύπο (όχι ακριβή) που αναπαράγει σχεδόν σωστά τα δύο όρια (το Νευτώνειο και το ακραίο σχετικιστικό). Έστω N όμοια φερμιόνια με σπιν ½ που κινούνται σ’ ένα ομοιογενή χώρο όγκου

3(4 / 3)V Rπ= . Ένας προσεγγιστικός τύπος που δίνει το άθροισμα της ενέργειας ηρεμίας και της μίνιμουμ κινητικής ενέργειας αυτών των N όμοιων φερμιονίων είναι ο ακόλουθος:

21/ 32 2

, 1/ 3(0,938 ) 2,32o k ocN

E N m cV

= +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

21/ 32 2(0,938 ) 1,439o

cNN m c

R= +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 5 / 32

2 / 30,938 2,87oo

NN m c

m V→ + (2.9΄)

Η τελευταία έκφραση ισχύει στο μη σχετικιστικό όριο, ενώ στο ακραίο σχετικιστικό όριο

1 Στην πραγματικότητα δεν έχουν όλα τα σωμάτια την ίδια ενέργεια. Λόγω της αρχής του Pauli και της αρχής της ελαχιστοποίησης της ολικής ενέργειας (για 0KT = ), τα σωμάτια εποικίζουν τις διαθέσιμες καταστάσεις αρχίζοντας από την κατώτερη και φτάνοντας μέχρι μια μέγιστη, όπως φαίνεται στο Σχ.2.1. Η μέγιστη κατειλημμένη ενέργεια ονομάζεται ενέργεια Fermi και συμβολίζεται με FE . Η ενέργεια . , minEκιν ολ διηρημένη με τον αριθμό σωματίων είναι κάπου

ενδιάμεσα μεταξύ 0 και FE . Ένας μάλλον στοιχειώδης υπολογισμός για ελευθέρα σωμάτια

δείχνει ότι . , min / 3 / 5 0, 6F FN E EEκιν ολ = = .

Page 41: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

15

Σχ.2.1 Τα σωμάτια με σπιν=1/2 για 0KT = εποικίζουν τις κατώτερες καταστάσεις μέχρι να εξαντληθεί ο αριθμός τους. Λόγω αρχής του Pauli μόνο τα σωμάτια που βρίσκονται στο ανώτερο στρώμα πάχους περίπου (3/2) Bk T μπορούν να διεγερθούν θερμικά. (Για τον παράγοντα 3/2 βλέπε τη σχέση (5.21) στη σελ 40) Βλέπουμε λοιπόν ότι προκειμένου για όμοια μη σχετικιστικά σωμάτια με σπιν ½, η αρχή του Pauli μπορεί να οδηγήσει σε μία τεράστια αύξηση της μίνιμουμ κινητικής ενέργειας κατά ένα παράγοντα 2 /3( / 2)N . Π.χ., εάν 242 10N = × , η

αύξηση θα είναι της τάξεως του 1610 . Μια ακόμη σημαντική συνέπεια της αρχής του Pauli1 είναι ότι εμποδίζει τη θερμική (ή άλλης φύσεως) διέγερση σωματίων, αφού απαιτεί η διεγερμένη στάθμη να μην είναι ήδη πλήρως κατειλημμένη. Όπως φαίνεται στο Σχ. 2.1, τα σωμάτια που μπορούν να διεγερθούν θερμικά είναι ένα κλάσμα του συνολικού αριθμού N σωματίων. Το κλάσμα αυτό, * /N N , είναι της τάξεως του (3/2) /B Fk T E . Άρα στον τύπο (5.21) της σελ. 40 θα έχουμε το *N αντί του N και επομένως η θερμική ενέργεια, TU θα είναι ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ

4 / 3

1/ 32,32cNV

→ , στο ακραίο σχετικιστικό όριο.

(Τα δύο όρια αναπαράγονται σωστά εκτός από τον παράγοντα 0,938 (που έπρεπε να είναι 1) στην ενέργεια ηρεμίας) Η αρχική έκφραση (2.9΄) έχει τη μορφή

, 2o kERβ

α= + (2.9΄΄)

όπου

2 2(0,938 )oN m cα =

4 / 3 2(1,439 )cNβ =

1 Θα πρέπει να τονισθεί ότι σε σωμάτια με ακέραιο σπιν, που δεν υπακούν σε απαγορευτική αρχή,

ούτε ο πολλαπλασιαστικός παράγοντας 2 / 3( / 2)N υπάρχει, ούτε περιορισμός για διέγερση σε μη κατειλημμένη στάθμη υφίσταται. Αντίθετα το σωμάτιο με σπιν ακέραιο προτιμά να μεταβεί σε μία ήδη κατειλημμένη στάθμη.

Page 42: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

16

2 2

*3 32 2

BB

F

kU N k T NE

2ΤΤ⎛ ⎞= ≈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

, για B Fk T E (2.9)

(Ο ακριβής τύπος για το TU στο όριο 0T → , έχει 2 / 4 2,47π ≈ αντί του 2(3/ 2) 2,25= ). Το αποτέλεσμα είναι ότι οι θερμικές μετρήσεις (για

B Fk T E ), ερμηνευμένες με βάση την κλασική θεωρία οδηγούν (όπως και οδήγησαν ιστορικά) στο παράδοξο και άκρως αντιφατικό συμπέρασμα ότι ο αριθμός των ηλεκτρονίων σθένους είναι πάνω από εκατό φόρες μικρότερος από τις τιμές που δίνουν άλλα πειράματα και μάλιστα ότι αλλάζει με τη θερμοκρασία. Για να ισχύσει ο κλασικός τύπος (3/ 2) BU Nk TΤ = , θα πρέπει η απόλυτη θερμοκρασία, T , να ικανοποιήσει την ανισότητα B Fk T E . Στο σχήμα 2.2 εικονίζεται (ως συνάρτηση της απόλυτης θερμοκρασίας, T ) η ολική κινητική ενέργεια , .KU ολ , N ελεύθερων σωματίων με σπιν ½ σε θερμοδυναμική ισορροπία και περιορισμένων σε χώρο όγκου V . Σημειώστε ότι η εξάρτηση της

, .KU ολ από τη θερμοκρασία μπορεί να προσεγγισθεί χοντρικά από τον απλό τύπο:

1 22 2, . 3 3

5 2K

F BU

E k TNολ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.10)

όπου 2 2 /3 2 /34,79 /FE N mV=

Σχ.2.2 Η συνεχής γραμμή δίνει τη μέση κινητική ενέργεια (ανά σωμάτιο) ελεύθερων σωματίων με σπιν ½ και συγκέντρωση /N V ως συνάρτηση της απόλυτης θερμοκρασίας T . Η διακεκομμένη γραμμή δίνει το κλασικό αποτέλεσμα. Για ( / )F BT E k η κβαντική ενέργεια του τύπου (2.11) κυριαρχεί σε σχέση με τη θερμική ενέργεια. Για ( / )F BT E k η κβαντική διόρθωση είναι πολύ μικρή. Για ένα τυπικό μέταλλο / 80.000KF BE k ≈ , επομένως σ’ όλη την περιοχή θερμοκρασιών (όπου έχουμε τη μεταλλική φάση) κυριαρχεί η κβαντική ενέργεια, και η θερμική ενέργεια είναι πάρα πολύ μικρή (πρακτικά αμελητέα).

Page 43: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

17

2.3 Κβάντωση και διάκριτες στάθμες Η κίνηση ενός σωματίου σε περιορισμένο χώρο όγκου V δημιουργεί (εκτός της ελάχιστης κινητικής ενέργειας) και κβάντωση των επιτρεπόμενων ενεργειών, δημιουργεί δηλαδή, διάκριτες ενεργειακές στάθμες1. Η ενεργειακή διαφορά της πρώτης διεγερμένης στάθμης από τη θεμελιώδη (τη στάθμη ελάχιστης ενέργειας) είναι της ίδιας τάξης μεγέθους όπως και η ελάχιστη κινητική ενέργεια ανά σωμάτιο, δηλαδή, (για μη σχετικιστικά σωμάτια) της τάξης του 2 2 /3/ mV (για σωμάτια με μάζα ηρεμίας μηδέν ή αμελητέα, αντί του 2 2 /3/ mV έχουμε

1/3/c V . ( Βλ. υποσημείωση 5 σελ. 12, 13 και Παρεμβ. σελ. 14, 15). Σε κάθε ενεργειακή στάθμη αντιστοιχεί μία ή περισσότερες συγκεκριμένες μορφές της κυματοσυνάρτησης ( )ψ r . Στο παρακάτω σχήμα εικονίζονται οι επιτρεπτές ενεργειακές στάθμες ενός σωματίου μάζας m που κινείται μονοδιάστατα υπό της επίδραση μιας αρμονικής δύναμης της μορφής

( / )x mκ ω κ− = , καθώς και οι ενεργειακές στάθμες του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου. (α) (β)

Σχ.2.3 (α) Η δυναμική ενέργεια 212( )V x xκ= , ενός μονοδιάστατου αρμονικού

ταλαντωτή και οι αντίστοιχες διάκριτες ενεργειακές στάθμες ενός ηλεκτρονίου, υπό την επίδραση αυτής της δυναμικής ενέργειας, καθώς (β) και οι αντίστοιχες στάθμες υπό την επίδραση της δυναμικής ενέργειας 2( ) / 4 oV r e rπ≡ e στο άτομο του υδρογόνου. ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ:

Για ένα μονοδιάστατο ελκτικό δυναμικό , ( )V x x β∝ ± (2.11)

Η ιδιοενέργεια της nστης στάθμης είναι της μορφής

( ) aE n n∝ όπου

1 12

1a

β

=+

(2.13)

1 Αυτό συνεπάγεται, όπως θα δούμε πιο κάτω, ότι οι μόνες επιτρεπτές καταστάσεις στο Σχ. 7.1β της σελ. 56 θα είναι διάκριτα σημεία πάνω σε ευθείες, τα οποία προκύπτουν από τις τομές των ευθειών αυτών με κατακόρυφες ευθείες που τέμνουν τον άξονα των ω στα σημεία 0 1 2, ,ω ω ω …

Page 44: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

18

1n +

n

( )V x

x

Σημειώστε ότι η κβάντωση των ενεργειών ενός σωματίου λόγω της κίνησής του σε περιορισμένο χώρο είναι άμεσο αποτέλεσμα της κυματικής του φύσης. Όλα τα κύματα όταν τα περιορίσουμε χωρικά εμφανίζουν κβάντωση της συχνότητάς τους1, ω , άρα και της ενέργειας ω , του κβάντου τους2. Όπως είχαμε την ευκαιρία να τονίσουμε και προηγουμένως, η κβάντωση της ενέργειας ε ω= , ενός κυματοσωματίου είναι πολύ σημαντικό φαινόμενο, γιατί:

a. Εξασφαλίζει τη σταθερότητα και την προβλέψιμη συμπεριφορά σύνθετων μικροσκοπικών σωματίων (όπως είναι οι πυρήνες, τα άτομα, τα μόρια). Λόγω της κβάντωσης τα σύνθετα αυτά σωμάτια συμπεριφέρονται ως στοιχειώδη μέχρι κάποιου ενεργειακού ορίου. Πέραν του ορίου αυτού υπάρχουν δυνατότητες συγκεκριμένων αλλαγών.

b. Το στοιχειώδες ποσό, Bk T , της θερμικής ενέργειας δεν είναι σε θέση να διεγείρει βαθμούς ελευθερίας εάν η ενεργειακή διαφορά μεταξύ της πρώτης διεγερμένης κατάστασης και της θεμελιώδους είναι αρκετά μεγαλύτερη από το Bk T . Επομένως υπάρχει η δυνατότητα βαθμοί ελευθερίας του συστήματος να μείνουν παγωμένοι στη θεμελιώδη στάθμη και κατά

ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ (Συνέχεια): Έτσι

2aβ →∞ = (απειρόβαθμο πηγάδι)

2 1aβ = = (αρμονικός ταλαντωτής)

1 2aβ = − = − (δυναμικό Coulomb) Μπορείτε να αποδείξετε τη σχέση (2.13) χρησιμοποιώντας την αρχή της αντιστοιχίας και τις αρχές Heisenberg και Schrödinger;

Υπόδειξη: ( ) , ( ) aV x x E n nβ∝ ∝ Αλλά dE V

ndn x

δ λ∂

∝∂

(1)

1 / 2

1

Eλ ∝ (2)

Εναλλακτικά: Προσέγγιση WKB

1 Παράδειγμα η χορδή μιας κιθάρας που οι συχνότητες, ω , που παράγει είναι ίσες με /cn Lπ , όπου 1, 2,3,...,n L= είναι το μήκος της χορδής και c είναι η ταχύτητα του ήχου στη χορδή. Το c εξαρτάται από της τάση της χορδής και τη γραμμική πυκνότητα μάζας. Η βασική συχνότητα,

/c Lπ , είναι σε πλήρη αντιστοιχία με τον τύπο (2.8΄) για την ελάχιστη συχνότητα ενός φωτονίου (Ν=1) περιορισμένου σ’ ένα όγκο V . 2 Για άρση τυχόν παρεξηγήσεων σημειώνουμε τα εξής: Το κλασικό σωμάτιο, λόγω της κλασικής σωματιδιακής προέλευσής του, έχει τον διάκριτο και αδιαίρετο χαρακτήρα του (η ενέργεια ενός αριθμού μη αλληλεπιδρώντων σωματίων είναι προφανώς το άθροισμα των ενεργειών ε κάθε σωματίου). Η Κβαντομηχανική με το να του προσδώσει και κυματικό χαρακτήρα του κβαντίζει (για κίνηση σε πεπερασμένο όγκο) την ενέργεια ε που κλασικά ήταν συνεχής. Το κλασικό κύμα, ακριβώς λόγω της κλασικής κυματικής προέλευσης, έχει κβαντισμένες συχνότητες, ω , όταν περιορίζεται σε πεπερασμένο χώρο. Η κβαντομηχανική με το να του προσδώσει και σωματιδιακό χαρακτήρα λέει ότι η ενέργεια ενός κύματος συχνότητας ω ισούται με ακέραιες φορές το ω . Άρα η ενέργεια του κύματος είναι το άθροισμα των ενεργειών των αντίστοιχων σωματίων-κβάντων του, ενώ κλασικά η ενέργεια ήταν ανεξάρτητη της συχνότητας και συνεχής (βλέπε σχετικά το Σχ.2.4)

Page 45: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

19

συνέπεια να είναι απόντες από τις θερμοδυναμικές ποσότητες (όπως, π.χ. στη φασματική κατανομή της ακτινοβολίας μέλανος σώματος)1.

Θυμίζουμε στον αναγνώστη ότι υπάρχει και μια άλλη φυσική αιτία που μπορεί να καταστήσει βαθμούς ελευθερίας οιονεί απόντες από τις θερμοδυναμικές και άλλες μακροσκοπικές ποσότητες. Και αυτή είναι η αρχή του Pauli, όπως εξηγήσαμε στην προηγούμενη ενότητα.

Σχ.2.4 Οι επιτρεπτές ενέργειες ενός συστήματος ομοίων (αλλά διακρίσιμων) κυματοσωματίων περιορισμένων σ’ ένα πεπερασμένο χώρο αντιστοιχούν στις κουκίδες στο επίπεδο ω , .Uολ , όπου /ω ε= είναι η συχνότητα ενός κυματοσωματίου, ε η ενέργεια του και .Uολ η ενέργεια όλου του συστήματος. Οι κουκίδες προκύπτουν από την τομή των κατακόρυφων ευθειών iω ω= ( 1,2,...i = ) και των ευθειών .U nολ ω= ( 0,1,2,3,...n = ). Για κλασικά κύματα σε πεπερασμένο χώρο οι επιτρεπτές καταστάσεις είναι όλα τα σημεία των κάθετων ευθειών iω ω= ενώ για κλασικά σωμάτια οι επιτρεπτές καταστάσεις είναι όλα τα σημεία των πλάγιων ευθειών, .U nολ ω= . Η κβαντομηχανική κβαντίζει τα μεν κλασικά κύματα κατά μήκος των ευθειών iω ω= (επειδή τους προσδίδει σωματιδιακές ιδιότητες), τα δε κλασικά σωμάτια κατά μήκος των ευθειών

.U nολ ω= (επειδή τους προσδίδει κυματικές ιδιότητες). Αν το κυματοσωμάτιο είναι απλωμένο σ’ όλο τον άπειρο χώρο δεν υπάρχει κβάντωση κατά τον άξονα ω και το παρόν σχήμα ανάγεται στο Σχ.7.1β της σελ. 56. 1 Στην ακτινοβολία αυτή συμμετέχουν ουσιαστικά μόνο τα φωτόνια που έχουν ενέργεια ω μέχρι κάποιου ορίου της τάξεως του Bk T . Άρα χρησιμοποιώντας το κλασικό αποτέλεσμα

2BA k Tdω ω για την ένταση της ακτινοβολίας στην φασματική περιοχή από το ω έως το

dω ω+ , έχουμε για την ολική ακτινοβολία I , όπου 2 2 4

0 0

max Ba k T

B BI A k T d A k T d Tω

ω ω ω ω= ≈ ∝∫ ∫ , που είναι και το πειραματικό αποτέλεσμα

για την εξάρτηση από τη θερμοκρασία της ολικής ακτινοβολίας.

Page 46: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

20

ΕΙΔΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Για το ρόλο της αρχής της απροσδιοριστίας και των άλλων δύο βασικών αρχών, ο αναγνώστης παραπέμπεται στην εξαίρετη ομιλία του Στ. Τραχανά με τίτλο Η αρχή της αβεβαιότητας: H θεμελιώδης αρχή του Σύμπαντος, που βρίσκεται στο site cup.gr ( επιλογή: ομιλίες)

Page 47: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΣΤΑΘΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ (ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ) ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Στο ανώτατο βάθρο των φυσικών εννοιών και νόμων διεκδικεί ασφαλώς μια θέση και η ακόλουθη βασική αρχή.

Οι ευσταθείς δομές της ύλης αντιστοιχούν

στο ελάχιστο της ολικής ενέργειας (Πιν. ΙΙ)

Η παραπάνω αρχή πηγάζει από το συνδυασμό του 1ου και του 2ου νόμου της θερμοδυναμικής και ισχύει όταν η πίεση και η απόλυτη θερμοκρασία μπορούν να ληφθούν ως μηδέν. Τη γενίκευση αυτού του νόμου για αυθαίρετη εξωτερική πίεση και θερμοκρασία θα παρουσιάσουμε παρακάτω. 3.1 Θερμοδυναμική1 Οι βασικοί νόμοι της Θερμοδυναμικής και της Στατιστικής Φυσικής ισχύουν ανεξάρτητα από το είδος των αλληλεπιδράσεων ή από το ποια είναι η μορφή της εξίσωσης που καθορίζει την κίνηση των σωματίων. Έχουν επομένως καθολική ισχύ και δικαιούνται να ονομασθούν υπερνόμοι κατ’ αναλογία με τους νόμους διατήρησης, (βλέπε Κεφ. 5). Οι νόμοι της Θερμοδυναμικής και της Στατιστικής Φυσικής στην ουσία πηγάζουν από την ατομική δομή της ύλης και αναφέρονται σε συστήματα που αποτελούνται από ένα τεράστιο αριθμό μικροσκοπικών σωματίων συνήθως της τάξης του αριθμού του Avogadro, 236 10ΑΝ ≈ × . Η λεπτομερής μικροσκοπική περιγραφή τέτοιων συστημάτων (που στην απλούστερη κλασική περίπτωση θα απαιτούσε τη γνώση της θέσης και της ταχύτητας κάθε μικροσκοπικού σωματίου σε κάθε χρονική στιγμή) αποκλείεται εκ των προτέρων2. Περιοριζόμαστε λοιπόν σε μια μακροσκοπική περιγραφή του συστήματος που καθορίζεται από ένα μικρό αριθμό ανεξάρτητων μακροσκοπικών μεταβλητών, όπως είναι, π.χ., ο αριθμός των μικροσκοπικών σωματίων, N , του συστήματος, ο όγκος του, V , και η ολική του ενέργεια, U . Είναι προφανές ότι σε κάθε μακροκατάσταση του συστήματος (που χαρακτηρίζεται, π.χ., από τις τιμές των

, ,N U V ) αντιστοιχεί ένας αφάνταστα μεγάλος (της τάξεως του a Ne , όπου a είναι της τάξεως της μονάδας3) αριθμός μικροκαταστάσεων που τον συμβολίζουμε με ( , )N U VΓ . (Θυμίζουμε ότι για τον προσδιορισμό κάθε

1 Για μια σύντομη εισαγωγή στο θέμα βλέπε το βιβλίο Φυσική Σήμερα, Τόμος Ι, σελ. 85-119. 2 Μόνο η καταγραφή των δεδομένων μια ορισμένη χρονική στιγμή θα ξεπερνούσε κατά πολύ τη χωρητικότητα όλων των βιβλίων της Υφηλίου. 3 Το a εξαρτάται από την απόλυτη θερμοκρασία T και το πηλίκο /V N . Όταν το 0KT →

(στο απόλυτο μηδέν), το 0a → , το ( , ) 1N U VΓ → και η εντροπία τείνει στο μηδέν. Η σχέση 0S → για 0KT → αναφέρεται ως ο Τρίτος Νόμος της Θερμοδυναμικής.

Page 48: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

22

κλασικής μικροκατάστασης χρειάζεται να ξέρουμε τις θέσεις και τις ταχύτητες όλων των μικροσκοπικών σωματίων του συστήματος). Ορίζουμε την Εντροπία του συστήματος από τη σχέση: ln ( , )B NS k U V= Γ (3.1) όπου Bk είναι η σταθερά του Boltzmann, 23 11,38065 10Bk JK− −= × και

8,3144J/KA BN k R= = , όπου AN είναι ο αριθμός του Avogrado και R η σταθερά των ιδανικών αερίων. Όσο μεγαλύτερο είναι το NΓ -και επομένως και η Εντροπία- τόσο μεγαλύτερη είναι η άγνοιά μας για το σε ποια μικροκατάστασή του βρίσκεται το σύστημά μας. Άρα η Εντροπία είναι ένα μέτρο της έλλειψης λεπτομερούς πληροφορίας. Ο πρώτος νόμος της Θερμοδυναμικής είναι στην ουσία μια επαναδιατύπωση του νόμου της διατήρησης της ενέργειας και λέει ότι η διαφορά της απορροφουμένης από το σύστημα ενέργειας μείον την αποδιδόμενη στο περιβάλλον ισούται με την αύξηση της ενέργειας του συστήματος. Το λεπτό σημείο που πρέπει να προσέξει κανείς είναι ότι η μεταφερόμενη ή η μετατρεπόμενη ενέργεια (όχι η αποθηκευμένη στο σύστημα) διακρίνεται σε θερμότητα και έργο. Θερμότητα είναι η ενέργεια που μεταφέρεται από μικροσκοπικά σωμάτια του συστήματος σε μικροσκοπικά σωμάτια του περιβάλλοντος (ή αντίστροφα) και επομένως η τιμή της δεν μπορεί να προσδιορισθεί ακριβώς. Κατά συνέπεια η γνώση μας γι’ αυτήν είναι στατιστικής φύσεως (γνωρίζουμε, π.χ., τη μέση τιμή, την τυπική της απόκλιση, κλπ). Αντίθετα, όσον αφορά το έργο, είτε το σύστημα, είτε το περιβάλλον, είτε και τα δύο, δεν κάνουν χρήση της ατομικής τους δομής και επομένως δεν υπεισέρχεται η ανάγκη στατιστικής περιγραφής. Η μαθηματικής περιγραφή του πρώτου νόμου είναι η ακόλουθη: md U đQ đW đ E= − + (3.2) όπου d U είναι η (απειροστή) μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας (δηλ., της ολικής ενέργειας του συστήματος απουσία μακροσκοπικών κινήσεων), đQ είναι η (απειροστή) ποσότητα θερμότητας που δέχτηκε το σύστημα, đW είναι η (απειροστή) ποσότητα έργου που έδωσε το σύστημα και mđ E είναι η (απειροστή) ποσότητα ενέργειας που δέχτηκε το σύστημα λόγω ανταλλαγής ύλης με το περιβάλλον1. Η παύλα στα σύμβολα του απειροστού είναι για να τονίσει ότι, π.χ., το đQ δεν είναι η μεταβολή κάποιας συνάρτησης Q . (Τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει). Με άλλα λόγια είναι λάθος να πούμε ότι ένα σύστημα έχει τόση θερμότητα και τόσο έργο. (Σε μια μαθηματική γλώσσα τα

, , mđQ đW đ E δεν είναι τέλεια διαφορετικά αλλά διαφορικές μορφές, ενώ το d U είναι τέλειο διαφορικό). Ο δεύτερος νόμος της Θερμοδυναμικής2 αφορά τις μεταβολές της Εντροπίας και έχει πολλές ισοδύναμες διατυπώσεις. Ίσως η πιο αποκαλυπτική διατύπωση είναι η ακόλουθη: Η μεταβολή της εντροπίας, d S ενός συστήματος (που δεν

1 Συνήθως θεωρούμε σιωπηλά ότι δεν υπάρχει ανταλλαγή ύλης,, 0mEđ = . 2 Ένας από τους σπουδαιότερους της Φυσικής

Page 49: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

23

ανταλλάσει ύλη με το περιβάλλον του) οφείλεται σε δύο λόγους: (α) στην πρόσληψη ή αποβολή θερμότητας και (β) σε εσωτερικές διαδικασίες: d S đ S đ Sεξ εσ= + (3α)

όπου το đ Sεξ ισούται με την απειροστή πρόσληψη θερμότητας δια της απόλυτης θερμοκρασίας του συστήματος.

đQđ STεξ = (3.3β)

Το đ Sεξ είναι είτε > 0 (όταν 0đQ > ), είτε < 0 (όταν 0đQ < ). Αντίθετα

(πράγμα που είναι η καρδιά του δεύτερου νόμου) το đ Sεσ δεν είναι ποτέ αρνητικό: 0đ Sεσ ≥ ⇔ T dS đQ≥ (3.3γ) Η σχέση (3.3γ) λέει ότι διαδικασίες που λαμβάνουν χώρα στο εσωτερικό του συστήματος (όπως π.χ., η διάχυση, ή η μεταφορά θερμότητας) παράγουν εντροπία εκ του μηδενός (και μόνο σε ακραίες οριακές περιπτώσεις δεν παράγουν εντροπία). Άρα οι διαδικασίες αυτές είναι μη αντιστρεπτές γιατί αν μπορούσαν να αντιστραφούν θα είχαμε 0đ Sεσ < . Με βάση τα παραπάνω μια άλλη ισοδύναμη διατύπωση του Δεύτερου Νόμου είναι η ακόλουθη:

Σ’ ένα σύστημα που δεν ανταλλάσει θερμότητα (και ύλη) με το περιβάλλον του (για το οποίο, δηλαδή ισχύει 0đ S đQεξ = = και

επομένως, d S d Sεσ= ) η εντροπία του ουδέποτε μειώνεται, πάντοτε αυξάνει (ή, σε ακραία οριακή περίπτωση, μένει σταθερή) μέχρι να φτάσει σε ολική θερμοδυναμική ισορροπία οπότε η εντροπία έχει τη μέγιστη τιμή. Επομένως υπό συνθήκες 0đQ = και 0mđ E = , η κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας αντιστοιχεί στο μέγιστο της εντροπίας.

Συνδυάζοντας τον 1ο και τον 2ο νόμο: Εάν συνδυάσουμε τις σχέσεις (3.2) έως (3.3γ) έχουμε ότι: mdU TdS đW đE≤ − + (3.4) Από την (3.4) έπεται ότι υπό συνθήκες 0TdS = , 0đW = και 0mđE = , η ποσότητα 0dU ≤ , δηλαδή υπ’ αυτές τις συνθήκες η ενέργεια του συστήματος μειώνεται με την πάροδο του χρόνου (ή σε ακραία περίπτωση μένει σταθερή) μέχρι να φτάσει σε θερμοδυναμική ισορροπία οπότε η ενέργεια έχει την ελάχιστη τιμή. Άρα:

Η κατάσταση ελάχιστης ενέργειαςαντιστοιχεί σε ευσταθή ισορροπία υπόσυνθήκες 0, 0, 0mTdS đW đE= = =

(3.5)

Page 50: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

24

Φτάσαμε λοιπόν στην ακριβή διατύπωση του σπουδαίου νόμου που συνδέει την ευσταθή κατάσταση της ύλης με το ελάχιστο της ενέργειας (εάν ισχύουν οι παραπάνω συνθήκες). Αξίζει να επισημάνουμε ότι συμβαίνει αρκετά συχνά να παραμένει ένα σύστημα για πάρα πολύ μεγάλο (πρακτικά άπειρο) χρόνο σε κατάσταση που δεν είναι κατάσταση ελάχιστης ενέργειας (παρόλο που ισχύουν οι συνθήκες

0TdS đW đEμ= = = ). Αυτό μπορεί να οφείλεται στο ότι δεν έχει το σύστημα μηχανισμό αποβολής της περίσσειας ενέργειας (όπως π.χ., στην εξιδανικευμένη κίνηση των πλανητών γύρω από τον Ήλιο), ή στο ότι το σύστημα βρίσκεται σ’ ένα τοπικό ελάχιστο της ενέργειας, τέτοιο ώστε για να μεταπέσει στο απόλυτο ελάχιστο να είναι αναγκασμένο να περάσει από καταστάσεις υψηλότερης ενέργειας (περίπτωση μετασταθούς ισορροπίας). Αξίζει να επισημάνουμε ότι για να έχει αξία ο νόμος (3.5) θα πρέπει να υπάρχει ένα πεπερασμένο ελάχιστο της ενέργειας. Όπως είδαμε, την ύπαρξη πεπερασμένου ελάχιστου της ενέργειας εξασφαλίζουν οι βασικές αρχές της κβαντομηχανικής. Εάν δεχτούμε ότι đW PdV= , τότε, ορίζοντας τη λεγόμενη ελεύθερη ενέργεια του Gibbs, G , (και την ενθαλπία H U PV≡ + ) G U PV TS H TS≡ + − ≡ − (3.6) μπορούμε να δείξουμε συνδυάζοντας τις σχέσεις (3.2) έως (3.3γ) ότι mdG SdT VdP đE≤ − + + (3.7) Επομένως υπό συνθήκες και μηανταλλαγής ύλης ( =0), η ελεύθερη ενέργεια του Gibbs με την πάροδο του χρόνου μειώνεται (ή στην ακραία περίπτωση μένει σταθερή) μέχρι να

mđEσταθερής θερμοκρασίας και πίεσης

φτάσει σε θερμοδυναμική ισορροπία οπότε η παίρνει τηνελάχιστη τιμή. Άρα υπό συνθήκες σταθερής θερμοκρασίας και πίεσης(και για =0),

.m

G

dEG

η ευσταθής ισορροπία αντιστοιχεί στο ελάχιστο της

(3.8)

Η μεγάλη αξία του G σχετίζεται με το ότι οι συνθήκες σταθερής θερμοκρασίας και πίεσης και μη ανταλλαγής ύλης είναι πολύ κοινές στα φυσικά φαινόμενα και εύκολα πραγματοποιήσιμες πειραματικά. Σημειώστε ότι ο ενθαλπικός όρος H U PV≡ + ελαχιστοποιείται όταν τα στοιχειώδη σωμάτια του συστήματος τοποθετηθούν σε καθορισμένες θέσεις, ενώ αντίθετα, ο εντροπικός όρος TS , μεγιστοποιείται όταν τα στοιχειώδη σωμάτια είναι ελεύθερα να κινηθούν σ’ όλο το διαθέσιμο χώρο ώστε να μεγιστοποιηθεί ο αριθμός των διαθέσιμων μικροκαταστάσεων. Στο G εισέρχεται όμως και ο ενθαλπικός όρος H , και ο εντροπικός όρος TS (με μείον). Για πολύ χαμηλές θερμοκρασίες ο ρόλος του εντροπικού όρου είναι προφανώς ασήμαντος και επομένως κυριαρχεί το H που εντέλλεται τάξη. Αντίθετα για πολύ υψηλές θερμοκρασίες κυριαρχεί ο εντροπικός όρος που εντέλλεται αταξία.

Page 51: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

25

Εφαρμογή 1: Γιατί οι πλανήτες έχουν σχήμα σφαιρικό; Εφαρμογή 2: Γιατί οι αστεροειδείς δεν έχουν σφαιρικό σχήμα; Εφαρμογή 3: Όπως θα δούμε αργότερα, ο πυρήνας του ατόμου του χρυσού θα

μειώσει την ενέργειά του εάν διασπασθεί σε δύο περίπου ίσα κομμάτια. Τότε γιατί ο χρυσός δεν είναι ραδιενεργός;

Εφαρμογή 4: Με βάση το νόμο (3.8) και τον ορισμό (3.6) εξηγήστε γιατί μια ουσία με την άνοδο της θερμοκρασίας και υπό σταθερή πίεση περνάει από τη στερεά φάση, στην υγρή φάση ( συνήθως αλλά όχι πάντα), και τελικά στην αέρια φάση;

Εφαρμογή 5: Γιατί με την άνοδο της θερμοκρασία μπορεί να καταστραφεί η μαγνήτιση, π.χ. του σιδήρου;

Page 52: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

26

Page 53: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ:

ΤΑ ΝΟΗΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ

Page 54: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

28

Page 55: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

29

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΟΨΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΩΝ. ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 4.1 Πόσο τελεσίδικο είναι το παρόν νοητικό πλαίσιο της Φυσικής; Θα διακινδυνεύσουμε μια απάντηση σ’ αυτό το εύλογο ερώτημα που απασχολεί φιλοσόφους, ιστορικούς της Επιστήμης και αρκετούς φιλοσοφούντες επιστήμονες. Το κοσμοείδωλο της Φυσικής για τη βαθύτερη δομή του Κόσμου ίσως αλλάξει. Τα στοιχειώδη, σημειακά (στην ουσία) κυματοσωμάτια (ύλης και δυνάμεων) που θεωρούνται σήμερα οι έσχατοι δομικοί λίθοι του Σύμπαντος ίσως αντικατασταθούν από χορδές ή μεμβράνες, ή κάτι άλλο, σ’ ένα πολυδιάστατο χώρο, όπως αντικαταστάθηκαν τα κλασικά νευτώνεια σωμάτια και κύματα από τα κβαντικά κυματοσωμάτια. Δε θα αλλάξουν όμως τα αποτελέσματα που έχουμε ήδη πετύχει1 από την κλίμακα του ατομικού πυρήνα ( 1510 m− ) μέχρι και την

κλίμακα των άστρων και των γαλαξιών ( 2110 m ), όπως δεν άλλαξαν τα νευτώνεια αποτελέσματα για την κίνηση των πλανητών από την καθιέρωση του κβαντικού κοσμοειδώλου. Φυσικά στις ακραίες κλίμακες (αυτές των στοιχειωδών σωματίων και της κοσμολογίας) όπου το βασικό νοητικό πλαίσιο είναι ακόμη υπό διαμόρφωση και όπου ο παρατηρησιακός ή πειραματικός έλεγχος είναι ιδιαίτερα δυσχερής έως αδύνατος, ουσιώδεις συμπληρώσεις ή ακόμη και ανατροπές δεν θα πρέπει να αποκλεισθούν. Βλέπε Πίνακες VII (σελ xviii), VIII (σελ. xx), και IX (σελ. xxii). 4.2 Διαστατική Ανάλυση Η διαστατική ανάλυση είναι μια ευφυής μέθοδος (χωρίς πολλά προαπαιτούμενα) που μπορεί σε αρκετές περιπτώσεις να δώσει πολύ χρήσιμα και σημαντικά αποτελέσματα. Όμως απαιτείται από όποιον την εφαρμόσει να σκεφτεί και να κατανοήσει ποιες ανεξάρτητες φυσικές ποσότητες ενδεχομένως μπορεί να επηρεάζουν το άγνωστο (και προς προσδιορισμό) μέγεθος. Αν οι ποσότητες αυτές είναι τρεις ή λιγότερες, τότε υπάρχει σχεδόν πάντα ένας μόνο συνδυασμός τους που έχει τις διαστάσεις του άγνωστου μεγέθους. Αυτός ο συνδυασμός πολλαπλασιασμένος με μια αριθμητική σταθερά (που η μέθοδος αδυνατεί να προσδιορίσει) ισούται προφανώς με το άγνωστο μέγεθος. Αν οι ανεξάρτητες αυτές ποσότητες είναι περισσότερες από τρεις, τότε με τρεις από αυτές δημιουργούμε ένα συνδυασμό που έχει τις διαστάσεις του άγνωστου μεγέθους. Δημιουργούμε επίσης και συνδυασμούς αυτών των τριών που έχουν τις διαστάσεις των υπόλοιπων ποσοτήτων. Δηλαδή, αν X είναι το άγνωστο φυσικό

1 Τα μυριάδες, αν όχι εκατομμύρια, αυτά ποσοτικά αποτελέσματα είναι σε εντυπωσιακή

συμφωνία με τα αντίστοιχα παρατηρησιακά και πειραματικά δεδομένα. Το αληθές τους επιβεβαιώνεται κάθε μέρα από την ύπαρξη και τη λειτουργία όλων των ανθρωπογενών δημιουργημάτων που έχουν ενσωματωθεί στην καθημερινή μας ζωή (αυτοκίνητα, αεροπλάνα, ηλεκτρικές και ηλεκτρονικές συσκευές, τηλεοράσεις, κινητά τηλέφωνα, ακτίνες Χ, μαγνητική τομογραφία, υπολογιστές, διαδίκτυο, κλπ, κλπ, κλπ). Τίποτε από αυτά, δεν θα υπήρχε αν οι νόμοι της Φυσικής δεν απεικόνιζαν την πραγματικότητα.

Page 56: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

30

μέγεθος και 1 2 3 4 5, , , ,A A A A A … είναι οι ποσότητες από τις οποίες ενδεχομένως εξαρτάται, δημιουργούμε τους εξής συνδυασμούς:

1 2 3oX A A Aλ μ ν= με λ, μ, ν τέτοια ώστε το oX να έχει τις διαστάσεις του Χ

40 1 2 3A A A Aλ μ ν′ ′ ′= με , ,λ μ ν′ ′ ′ έτσι επιλεγμένα ώστε το 40A να έχει τις διαστάσεις του 4A . Το ίδιο για το 5A κοκ.

(Εάν κάποιο από τα 4 5,A A ,. είναι αδιάστατο, το αντίστοιχο 40 50,A A είναι μονάδα.) Τότε το άγνωστο μέγεθος X ισούται με:

54

40 50, ,...o

AAX X fA A

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.1)

όπου f είναι μια συνάρτηση των αδιάστατων ποσοτήτων 4 40 5 50/ , / ,...A A A A . Η συνάρτηση αυτή δεν μπορεί να προσδιορισθεί από διαστατική ανάλυση. Χρειάζεται κανείς πρόσθετες πληροφορίες ή και μια πλήρη φυσική θεωρία για την εύρεση της συνάρτησης f . Ας δούμε την εφαρμογή της μεθόδου με δύο-τρία παραδείγματα:

1) Βρήτε τη φασική ταχύτητα θαλάσσιου κύματος σε βαθιά νερά. Λύση: Η ζητούμενη ταχύτητα, υ , θα πρέπει να εξαρτάται από το μήκος κύματος, λ , από την επιτάχυνση της βαρύτητας g (αφού αν δεν υπήρχε η βαρύτητα δε θα έτεινε η επιφάνεια του νερού να επιστρέψει στη ισορροπία) και ενδεχομένως από την πυκνότητα του νερού, ρ . Δεν φαίνεται να υπάρχει άλλη σχετική ποσότητα. Άρα:

1c gξ μ νυ λ ρ= Προφανώς, 0v = , αφού στο αριστερό σκέλος δεν υπάρχει μάζα, ενώ στο δεξί θα υπήρχε, εάν 0v ≠ . Το g έχει διαστάσεις 2[ ]/[ ]L T . Άρα οι διαστάσεις

του δεξιού μέλους είναι 2[ ] /[ ]L Tξ μ μ+ . Επομένως 1ξ μ+ = και 2 1μ = για να έχει το δεξιό μέλος τις ίδιες διαστάσεις με το αριστερό. Καταλήξαμε, δηλαδή, στις τιμές 1/ 2μ = και 1/ 2ξ = και κατά συνέπεια στον εξής τύπο για την ταχύτητα του θαλάσσιου κύματος

1c gυ λ= (4.2) Η αριθμητική σταθερά, 1c , δεν μπορεί να προσδιοριστεί από διαστατική

ανάλυση. Η λεπτομερής θεωρία δίνει 1 1/ 2c π= . Άρα τελικά:

2

g gk

λυπ

= = (4.2΄)

όπου k είναι ο κυματαριθμός, 2 /k π λ= . 2) Το ίδιο με προηγουμένως αλλά σε ρηχά νερά βάθους h Λύση: Τώρα εκτός των τριών ποσοτήτων της προηγούμενης άσκησης έχουμε και ένα τέταρτο, το h , που έχει διαστάσεις μήκους. Άρα η ποσότητα 4 04/A A στην προκειμένη περίπτωση είναι η /h λ και ο τύπος για την ταχύτητα του θαλάσσιου κύματος θα πρέπει να έχει τη μορφή

Page 57: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

31

2

g hfλυπ λ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.3)

όπου η συνάρτηση f δεν μπορεί να προσδιοριστεί από διαστατική ανάλυση εκτός του ότι για 0h = θα πρέπει να είναι μηδέν και για h →∞ θα πρέπει να είναι μονάδα για να αναχθεί ο τύπος (4.3) στον (4.2΄). 3) Βρήτε την ταχύτητα του ήχου σ’ ένα στερεό. Λύση: Θα θεωρήσουμε ότι οι ιδιότητες ενός στερεού καθορίζονται από την ελαχιστοποίηση της ενέργειάς του, η οποία περιέχει την ηλεκτροστατική δυναμική ενέργεια και την κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων1 που δίνεται από τον τύπο (2.8) για /F BT E k . Η ηλεκτροστατική ενέργεια περιέχει το φορτίο του ηλεκτρονίου, e− , ενώ η κινητική περιέχει τη μάζα του ηλεκτρονίου, em , και τη σταθερά του Planck, . Στην ταχύτητα του ήχου θα πρέπει να εμφανίζεται και ένα τέταρτο μέγεθος, η μάζα του κάθε ατόμου, M , (αφού η διάδοση του ήχου στο στέρεο γίνεται από (δονούμενο) άτομο σε (δονούμενο) γειτονικό άτομο). Βεβαίως και το είδος του ατόμου (ή των ατόμων) που αποτελούν το στέρεο θα πρέπει να παίζει κάποιο ρόλο. Περιμένουμε ότι η θερμοκρασία δε θα πρέπει να παίζει αξιόλογο ρόλο, αφού, για /F BT E k , η θερμική ενέργεια είναι αμελητέα σε σύγκριση με την ελάχιστη κβαντική ενέργεια. Επίσης και η πίεση δε θα πρέπει να παίξει αξιόλογο ρόλο, αφού τα στερεά είναι πρακτικά ασυμπίεστα. Θα πρέπει λοιπόν να δημιουργήσουμε πρώτα από τις ποσότητες , ,ee m ένα

συνδυασμό που να έχει διαστάσεις ταχύτητας. Παρατηρούμε ότι 2 /[ ]e L έχει διαστάσεις ενέργειας (στο G-CGS). Αλλά το έχει διαστάσεις ενέργειας επί χρόνο. Άρα 2( /[ ])[ ]e L t = ή 2[ ]/[ ] [ ] /L t eυ= = . Επομένως βάσει του γενικού τύπου (4.1) έχουμε για την ταχύτητα του ήχου σ’ ένα στερεό2

2

,e

e Mf Zm

υ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.4)

όπου Z είναι ο ατομικός αριθμός, που καθορίζει το είδος των ατόμων από τα οποία αποτελείται το στερεό. Εδώ σταματάει η διαστατική ανάλυση. Μπορούμε όμως να προχωρήσουμε κάπως περισσότερο. Κατά τη διάδοση του ήχου σ’ ένα στερεό τα άτομα του στερεού ταλαντεύονται γύρω από τη θέση ισορροπίας. Γνωρίζουμε όμως ότι σε μια ταλάντωση η συχνότητα, άρα και η ταχύτητα του κύματος (αφού / 2υ ωλ π= ) εξαρτάται από τη μάζα ως εξής

1/ Mυ ω∝ ∝ . Άρα η (4.4) γίνεται (στο σύστημα SI):

2

0( )

4e

omef ZM

υπ

=e

(4.4΄)

Η συνάρτηση ( )of Z εξαρτάται από το είδος του στερεού. Η αριθμητική της

τιμή είναι κοντά στη μονάδα. Η ποσότητα 20/ 4e π e ισούται με2188km/s .

Για το σίδηρο όπου 26Z = και 101810 eM m= έχουμε

1 Γιατί των ηλεκτρονίων και όχι των ιόντων; 2 Στο σύστημα SI το 2e θα πρέπει να αντικατασταθεί με το 2

0/ 4e πe

Page 58: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

32

(26)6,86 km/sofυ = (4.5) ενώ οι πειραματικές τιμές είναι 1 3,24km/sυ = (για εγκάρσια ηχητικά κύματα) και 5,95km/slυ = (για διαμήκη κύματα). 4) Βρήτε τον τύπο ακτινοβολίας μέλανος σώματος διαστατικά Λύση: Η ακτινοβολία I από την επιφάνεια ενός μακροσκοπικού σώματος ορίζεται ως η συνολική ΗΜ ενέργεια που εκπέμπεται προς όλες τις εκτός σώματος κατευθύνσεις ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου. Επομένως οι διαστάσεις [Ι] του Ι είναι 2[ ]/[ ][ ]E L t . Μέλαν σώμα θεωρείται εκείνο που απορροφά 100% της ακτινοβολίας που προσπίπτει σε αυτό ανεξάρτητα της συχνότητας της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Η ιδιότητα αυτή συνεπάγεται ότι για ένα μέλαν σώμα, οι ιδιότητες του δεν παίζουν κανένα ρόλο προκειμένου για τον προσδιορισμό του Ι. Τι απομένει επομένως που να προσδιορίζει το Ι ενός μέλανος σώματος; Προφανώς η θερμοκρασία του (άλλη η θερμότητα που εκπέμπει ένα πυρακτωμένο σώμα και άλλη αυτή που εκπέμπει όταν κρυώσει). Στα φυσικά φαινόμενα η σταθερά του Boltzmann Bk και η απόλυτη θερμοκρασία T πάνε πάντα ‘πακέτο’ ως γινόμενο Bk T με διαστάσεις [ ] [ ]Bk T E= . Περιμένουμε επίσης να εξαρτάται το Ι από την ταχύτητα του φωτός c (αφού πρόκειται για ΗΜ φαινόμενο). Θα εξαρτάται, τέλος, και από τη σταθερά του Planck (αφού ο Planck χρειάστηκε να ενσωματώσει για πρώτη φορά την κατά κβάντα ω εκπομπή της ΗΜ ακτινοβολίας, μια και η κλασσική φυσική απετύγχανε πλήρως να ερμηνεύσει το φαινόμενο της εκπομπής ΗΜ από ένα μέλαν σώμα). (H συχνότητα ω δεν θα εμφανισθεί αφού εξετάzουμε τη συνολική ακτινοβολία που περιλαμβάνει όλες τις συχνότητες από το μηδέν μέχρι το άπειρο). Τα τρία μεγέθη Bk T , ,c ορίζουν ένα σύστημα μονάδων, αφού [ ]/[ ] [ ][ ]/[ ] [ ]Bk T E t E t= = και [ ][ ]/[ ] [ ][ ] [ ]Bc k T t c L= = . Επομένως ο

μόνος συνδυασμός των Bk T , ,c που θα δώσει διαστάσεις 2[ ]/[ ] [ ]E L t είναι ο ακόλουθος:

( ) ( )

( )41 12 3 2/ /

BB

B B

k Tk TI c ccc k T k T

= = (4.6)

όπου η αριθμητική σταθερά 1c προκύπτει από λεπτομερή θεωρία ότι ισούται

με 2 / 60π .

Page 59: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΙ ΜΕΓΑΛΟΙ ΥΠΕΡΝΟΜΟΙ 5.1 Οι μεγάλοι υπερνόμοι διατήρησης Για να φέρουμε σε πέρας το πρόγραμμα της Φυσικής χρειάζεται να απαντήσουμε σε τρία βασικά ερωτήματα:

a. Ποιοι είναι οι στοιχειώδεις δομικοί λίθοι του Κόσμου; b. Ποιοι είναι οι νόμοι σύζευξης σωματίων ύλης και σωματίων

αλληλεπιδράσεων; c. Ποιοί είναι οι νόμοι «κίνησης» που καθορίζουν τις κινήσεις, τις

αλληλοπαγιδεύσεις και τους μετασχηματισμούς των σωματίων με βάση τις αλληλεπιδράσεις τους;

Ήδη στο προηγούμενο κεφάλαιο δώσαμε μια συνοπτική απάντηση στο πρώτο ερώτημα. Σε επόμενα κεφάλαια θα παρουσιάσουμε τα στοιχεία που συνθέτουν τη βάση των απαντήσεων για τα ερωτήματα (b) και (c). Όμως όποιες και να είναι οι απαντήσεις αυτές, οφείλουν να σεβαστούν κάποιες γενικότερες συνθήκες, που πηγάζουν από καθολικές ιδιότητες που αποδίδουμε στο χώρο και στο χρόνο ή από οικουμενικά πειραματικά δεδομένα. Μ’ άλλα λόγια οι συνθήκες αυτές ισχύουν ανεξάρτητα του ποια είναι η φύση των αλληλεπιδράσεων και ανεξάρτητα αν ο νόμος κίνησης είναι νευτώνειος, ή κβαντικός, ή αυτός του Einstein. Επομένως οι συνθήκες αυτές αναδεικνύονται σε υπερνόμους που έχουν καθολική ισχύ. 1. Διατήρηση της Ενέργειαs

Η ολική ενέργεια ενός απομονωμένου συστήματος διατηρείται, δεν αλλάζει, δηλαδή με την πάροδο του χρόνου.

Η διατήρηση της ενέργειας οφείλεται στην ομοιογένεια του χρόνου, στο ότι, δηλαδή, όλες οι χρονικές στιγμές είναι καθαυτές ισοδύναμες, ή με άλλα λόγια, στο ότι οι φυσικοί νόμοι είναι οι ίδιοι οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Σε πιο αυστηρή τεχνική γλώσσα η ομοιογένεια του χρόνου συνεπάγεται ότι οι φυσικοί νόμοι μένουν αναλλοίωτοι στο μαθηματικό μετασχηματισμό: t t t tο′→ = + . Υπάρχει ένα γενικό θεώρημα (θεώρημα της Noether) που λέει ότι: Κάθε μαθηματικός μετασχηματισμός (όπως, π.χ. ο t t t tο′→ = + )που αφήνει αμετάβλητους τους φυσικούς νόμους, οδηγεί σ’ ένα μέγεθος που διατηρείται, και για το οποίο δίνεται και ο αλγόριθμος υπολογισμού του (όχι, όμως, σ’ αυτές τις σημειώσεις). Η λογική σειρά που οδηγεί στη διατήρηση της ενέργειας είναι, λοιπόν, η ακόλουθη: Θεωρούμε ότι ο χρόνος είναι ομοιογενής ⇔ όποιοι και να ‘ναι οι φυσικοί νόμοι θα πρέπει να μείνουν αμετάβλητοι στο μετασχηματισμό t t t tο′→ = + ⇒το αντίστοιχο μέγεθος που διατηρείται το ονομάζουμε ενέργεια. (Στο βιβλίο, H Φυσική Σήμερα, Τόμος Ι, σελ. 33 δείχνεται πώς το αναλλοίωτο στο

Page 60: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

34

μετασχηματισμό t t t tο′→ = + οδηγεί στον ορισμό και στη διατήρηση της ενέργειας). Συνήθως η εσωτερική ενέργεια (βλ. σελ. 22) ενός συστήματος αναλύεται σε τρεις συνιστώσες: Ενέργεια ηρεμίας, Εο, κινητική ενέργεια, Εκ και δυναμική ενέργεια, ΕΔ. των σωματίων που αποτελούν το σύστημα. Η τελευταία συνιστώσα εξαρτάται από τις συγκεκριμένες αλληλεπιδράσεις και θα την εξετάσουμε αργότερα. Για τις δύο πρώτες, θεωρώντας ένα σύστημα Ν σωματίων, μάζας ηρεμίας oim , σχετικιστικής μάζας im και ταχύτητας iυ , έχουμε:

2oio

iE m c=∑ (5.1)

2 21 12 2 /oi i i oi

i im mκΕ = =∑ ∑υ p (5.2)

Στα πλαίσια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας οι παραπάνω σχέσεις τροποποιούνται ως εξής:

1 22 2 4 2 2( )i oi i

i im c m c c pο κΕ + Ε = = +∑ ∑ (5.3)

όπου η σχετικιστική μάζα mi και η ορμή, ip συνδέεται με τη μάζα ηρεμίας moi με τις σχέσεις

2 1

22(1 )i

i oim mc

= −υ −

(5.4)

i i im= ⋅p υ (5.5) Για την ορθή φυσική ερμηνεία της αρχής ‘αβεβαιότητας’ χρόνου-ενέργειας βλέπε σελ. 191-196 του βιβλίου του Στ. Τραχανά, Κβαντομηχανική Ι, ΠΕΚ 2005 (Ηράκλειο). 2. Διατήρηση της ορμής Η ολική ορμή, ενός απομονωμένου συστήματος oλP , όπου1

ii

ολ = ∑P p (5.6)

διατηρείται, δηλαδή, δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Η διατήρηση της ορμής οφείλεται στην ομοιογένεια του κενού χώρου, η οποία συνεπάγεται ότι οι φυσικοί νόμοι είναι ίδιοι σ’ όλα τα σημεία του κενού χώρου ή, με άλλα λόγια, ότι οι φυσικοί νόμοι μένουν αναλλοίωτοι στο μαθηματικό μετασχηματισμό

i i i′→ = +r r r r (Για την απόδειξη βλέπε το βιβλίο, Η Φυσική σήμερα, Τόμος Ι, σελ. 31,32,37,38. 3. Διατήρηση της στροφορμής (Προσοχή!)

1 Το άθροισμα (5.6) περιλαμβάνει όλα τα σωμάτια ύλης και όλα τα σωμάτια αλληλεπιδράσεων

που αποτελούν το απομονωμένο σύστημα. Εάν οι αλληλεπιδράσεις περιγραφούν ως κλασικά πεδία, τότε, αντί των αντιστοίχων ip πρέπει να τεθούν οι ορμές των κλασικών πεδίων για τις οποίες δεν ισχύει ο τύπος (5.5). Βλέπε, π.χ. , σελ.49, ή Serway Ι, σελ. 241-251

Page 61: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

35

1r2r

A

Η ολική στροφορμή ενός απομονωμένου συστήματος L (ορισμένη ως προς ένα σταθερό σημείο, συνήθως το κέντρο της μάζας του) διατηρείται, δηλαδή, δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Η διατήρηση της στροφορμής οφείλεται στην ισοτροπία του κενού χώρου, δηλαδή, στο ότι όλες οι διευθύνσεις του κενού χώρου είναι ισοδύναμες (για την απόδειξη βλ. το βιβλίο ‘Η Φυσική Σήμερα’, Τόμος Ι, σελ. 39). Η ισοτροπία αυτή συνεπάγεται ότι οι φυσικοί νόμοι παραμένουν αναλλοίωτοι σε στροφές, δηλαδή, στο μαθηματικό μετασχηματισμό i i i΄ Rφ→ =r r r , όπου φR είναι η πράξη της στροφής κατά γωνία φ γύρω από κάποιο αυθαίρετο άξονα. Η ολική στροφορμή σωματίων δίνεται από τον τύπο: i i i i i

i im= × = × =∑ ∑L r p r υ Iω (5.7)

όπου ω είναι το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας και I είναι ο τανυστής της ολικής ροπής αδράνειας που δίνεται από το γενικό τύπο:

2 ( ) ( ) , , καρτεσιανές συντεταγμένεςi i i ii

I x x mμ νμν μνδ μ ν= −∑ r

Εάν οι καρτεσιανοί άξονες συμπίπτουν με τους κύριους άξονες, ο τανυστής I είναι διαγώνιος και η στροφορμή, L , ισούται με x x y y z zI Iω Ι ω ω+ +j kι όπου

2 2( )z i i im x yΙ = +∑ , κλπ. (Συμβουλευτείτε σχετικά το εξαίρετο βιβλίο των Landau και Lifshitz: Mechanics). Εφαρμογή 1: Θεωρήστε ότι το αστρικό κατάλοιπο αμέσως μετά μια έκρηξη σουπερνόβα έχει σφαιρικό σχήμα ακτίνας R=109m, ομοιόμορφη κατανομή μάζας, ολική μάζα Μ=4x1030 kg και περιστρέφεται περί τον άξονά του με περίοδο t =2x106s. Στη συνέχεια το αστρικό κατάλοιπο καταρρέει βαρυτικά διατηρώντας τη μάζα του και την ομοιόμορφη κατανομή της μέχρι να γίνει αστέρας νετρονίων με ακτίνα R=15km. Υπολογίστε τη περίοδο περιστροφής του αστέρα νετρονίων που προέκυψε. Εφαρμογή 2: Χρησιμοποιώντας τη διατήρηση της στροφορμής (και αγνοώντας την επίδραση των άλλων πλανητών) δείξτε ότι η τροχιά της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι επίπεδη. Εφαρμογή 3: Δείξτε το 2ο νόμο του Kepler, που λέει ότι η επιβατική ακτίνα που ενώνει τη Γη με τον Ήλιο σαρώνει σε ίσους χρόνους ίσα εμβαδά. Εφαρμογή 4: Χρησιμοποιώντας το ότι σε μια έλλειψη με α, b τον μεγάλο και τον ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ: Ροπές αδράνειας των παρακάτω σωμάτων:

(1) Κυκλικού σωλήνα ακτίνων 1 2,r r ως προς άξονα Α διερχόμενο από το κέντρο του και παράλληλο προς τον σωλήνα

Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις:

2 22 1

12 ( )

Ir r

M= + , 2 2

2 1( )M r rπρ= − (5.8)

ρ : πυκνότητα μάζας,, : μήκος σωλήνα, M : μάζα σωλήνα

(2) Σφαιρικό κέλυφος ακτινών 1 2 καιr r ως προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο του

Page 62: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

36

x

z

y

μικρό ημιάξονα, το εμβαδόν της ισούται με πab και η ακτίνα καμπυλότητας

1R (στο σημείο που ο μεγάλος άξονας κόβει την έλλειψη) ισούται με

abR /2= , δείξτε τον τρίτο νόμο του Kepler, ότι δηλαδή η περίοδος ενός

πλανήτη δίνεται από τον τύπο 3

22 / Ht a GMπ= 4. Διατήρηση της ταχύτητας του κέντρου μάζας

Η ταχύτητα του κέντρου μάζας ενός απομονωμένου συστήματος διατηρείται και μάλιστα ισούται με το πηλίκο της ολικής ορμής δια της ολικής σχετικιστικής μάζας.

Η διατήρηση αυτής της ταχύτητας οφείλεται στο ότι οι φυσικοί νόμοι παραμένουν οι ίδιοι για δύο παρατηρητές που κινούνται ο ένας σχετικά με τον άλλο με σταθερή ταχύτητα oυ . Με άλλα λόγια οι φυσικοί νόμοι παραμένουν αναλλοίωτοι σε μετασχηματισμούς σταθερής ταχύτητας. Οι μετασχηματισμοί αυτοί, γνωστοί ως μετασχηματισμοί Lorentz, αποτελούν τη βάση της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας και έχουν την ακόλουθη, μάλλον περίπλοκη, μορφή (για την απόδειξη βλ. το βιβλίο «Η Φυσική, Σήμερα», Τόμος Ι, σελ.128, 142-144).

( )( )

x xy yz z c tct ct z

γ βγ β

′ =′ =′ = −′ = −

(5.9)

όπου /oυ cβ =

2 1/ 2(1 )γ β −= −

oυ είναι η ταχύτητα κατά τη z διεύθυνση που έχει το σύστημα αναφοράς (με τις τονούμενες χωροχρονικές συντεταγμένες) ως προς το άλλο σύστημα. Στο όριο όπου η ταχύτητα του φωτός τείνει στο άπειρο, οι μετασχηματισμοί του Lorentz ανάγονται στους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου. , , , ox x y y t t z z υ t′ ′ ′ ′= = = = − (5.10) ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ: (Συνέχεια)

5 5

2 13 3

2 1

25

I r rM r r

−=

− (5.11)

(3) Σφαιρικό κέλυφος ακτίνων 1 2 καιr r ως προς άξονα εφαπτόμενο στην εξωτερική επιφάνεια του

22I I M r′ = + (5.12)

όπου Ι είναι το αποτέλεσμα στο υπ’ αρ. 2.

(4) Η ροπή αδράνειας έχει διαστάσεις (μήκους)2 × μάζα

(5) Τι συμβαίνει στις οριακές περιπτώσεις 1 2r r= ή 1 0r = ;

o

x

z

y

΄

΄

΄

υο

Page 63: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

37

Σημειώστε ότι κάθε τετραδιάνυσμα (όπως είναι, π.χ. το τετραδιάνυσμα ορμής – ενέργειας ( , , , /x y zp p p E c ), ή το τετραδιάνυσμα κυματανύσματος-συχνότητας ( , , , /x y zk k k cω ) μετασχηματίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως το τετραδιάνυσμα (x, y, z, ct). Μπορούμε επομένως να βρούμε αμέσως τον τύπο για το φαινόμενο Doppler στην πλήρη σχετικιστική του διατύπωση (Το φαινόμενο αυτό μας αφορά άμεσα, αφού έτσι προσδιορίζει η τροχαία την ταχύτητα του αυτοκινήτου μας).

( )z zk kcωγ β′ = −

11zk

c cω ω βγ β ω ω

β′ −⎛ ⎞ ′= − ⇒ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠

(5.13)

Προσοχή ! Σε μη αδρανειακά συστήματα συντεταγμένων θα πρέπει να προστεθούν και μη αδρανειακές δυνάμεις όπως είναι η φυγόκεντρος, η Coriolis, κλπ (Βλέπε Landau-Lifshitz Mechanics, 3η έκδοση Elsevier, σελ. 126-129). 5. Μένουν οι φυσικοί νόμοι αναλλοίωτοι σε κατοπτρισμό στο χώρο και στο χρόνο; Με άλλα λόγια, ένα σύστημα και το κατοπτρικό του ακολουθούν τους ίδιους ακριβώς νόμους; Επίσης, όσον αφορά τους βασικούς νόμους της φύσης, είναι η φορά προς το παρελθόν, ισοδύναμη με τη φορά προς το μέλλον; Θα έλεγε κανείς ότι τίποτε δεν ξεχωρίζει το αριστερά από το δεξιά στο χώρο ή τις δύο αντίθετες κατευθύνσεις στο χρόνο και επομένως θα περίμενε ότι οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα θα είναι καταφατικές. Τα πειραματικά δεδομένα έδειξαν όμως ότι οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις (και μόνο αυτές) παραβιάζουν σε κάποιο πολύ μικρό βαθμό την ισοδυναμία αριστερά-δεξιά ή την ισοδυναμία παρελθόντος- μέλλοντος (βλέπε το βιβλίο «Η Φυσική σήμερα», Τόμος Ι, σελ. 42,43). Κατά συνέπεια οι βασικοί νόμοι της φύσης δεν παραμένουν στην ολότητά τους απολύτως αναλλοίωτοι σε κατοπτρισμούς στο χώρο (που συμβολίζονται με Ρ) , ή στο χρόνο (που συμβολίζονται με Τ), ή σε συνδυασμένο κατοπτρισμό και στο χώρο και στο χρόνο (PΤ). Όμως, εάν αυτός ο τελευταίος σύνθετος μαθηματικός μετασχηματισμός ακολουθηθεί από το μετασχηματισμό από σωμάτια σε αντισωμάτια (ή αντιστρόφως) που συμβολίζεται με C τότε ο συνδυασμένος μετασχηματισμός CPT αφήνει αναλλοίωτους τους φυσικούς νόμους. Το αναλλοίωτο σε μετασχηματισμό CPT έπεται από το αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς Lorentz. Εφαρμογή 1: Μετρώντας το μήκος κύματος της φασματικής γραμμής aH σε δύο αντιδιαμετρικά σημεία του ισημερινού του ηλιακού δίσκου βρίσκουμε μια διαφορά ίση με δλ= 121,8 10 m−× . Ποια είναι η περίοδος περιστροφής του Ήλιου γύρω από τον άξονά του δεδομένου ότι η ακτίνα του ισούται με 6,96x108m. Εφαρμογή 2: Στο ηλεκτρομαγνητικό κύμα από έναν μακρινό παλλόμενο αστέρι νετρονίων κάποια φασματική γραμμή εμφανίζεται μετατοπισμένη προς το ερυθρό. Απομακρύνεται το αστέρι αυτό από μας ή μας πλησιάζει; 6. Διατήρηση εσωτερικών ιδιοτήτων των σωματίων Είδαμε ήδη ότι τα σωμάτια με τη βοήθεια των αλληλεπιδράσεων μπορούν να εξαφανισθούν δημιουργώντας άλλα σωμάτια. Αυτές οι διαδικασίες αφανισμού

Page 64: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

38

και δημιουργίας οφείλουν να σεβασθούν τους νόμους διατήρησης που αναφέραμε μέχρι τώρα. Σέβονται όμως και κάποιους άλλους νόμους, διατήρησης που αφορούν εσωτερικές ιδιότητες των σωματίων. Τέτοιοι νόμοι διατήρησης που έχουν διαπιστωθεί εμπειρικά, είναι μεταξύ άλλων και οι ακόλουθοι: Διατήρηση του ηλεκτρικού φορτίου: Το ηλεκτρικό φορτίο ούτε δημιουργείται εκ του μηδενός ούτε αφανίζεται. Επομένως σε κάθε διαδικασία το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο των εισερχόμενων σωματίων πρέπει να είναι ίσο με το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο των εξερχόμενων. Επομένως σ’ ένα σύστημα που δεν ανταλλάσσει ηλεκτρικά φορτισμένα σωμάτια με το περιβάλλον του, το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Διατήρηση του βαρυονικού αριθμού: Σε κάθε διαδικασία ο συνολικός βαρυονικός αριθμός των εισερχομένων σωματίων οφείλει να είναι ίσος με το συνολικό βαρυονικό αριθμό των εξερχομένων. Διατήρηση χωριστά του ηλεκτρονιακού λεπτονικού αριθμού, του μιονικού λεπτονικού αριθμού, και του λεπτονικού αριθμού ταυ1. Παρατηρήστε ότι στο διάγραμμα του Σχ. 1.2 (σελ. 6) διατηρείται και ο μιονικός λεπτονικός αριθμός και ο ηλεκτρονιακός λεπτονικός αριθμός. 5.2 Στατιστική Φυσική 5.2.1 Ορισμοί Ας έλθουμε τώρα στη Στατιστική Φυσική που σκοπός της είναι αφενός μεν να θεμελιώσει τη θερμοδυναμική και αφετέρου να δώσει συνταγές για τον υπολογισμό των θερμοδυναμικών ποσοτήτων με αφετηρία τους νόμους της κβαντομηχανικής και τις στοιχειώδεις αλληλεπιδράσεις. Στη Στατιστική Φυσική ορίζουμε την Εντροπία είτε από τη σχέση (3.1), σελ. 22 ή την ισοδύναμή της (5.24) (βλέπε πιο κάτω). Στη συνέχεια ορίζουμε τη θερμοκρασία από τη σχέση:

,1 ( )V N

ST U

∂≡

∂ (5.14)

Η πίεση προκύπτει από τη σχέση:

,( )U NP ST V

∂≡

∂ (5.15)

Από τη μερική παράγωγο ,( / )U VS N∂ ∂ ορίζουμε το λεγόμενο χημικό δυναμικό μ:

,( )U VSN

μΤ

∂≡ −

∂ (5.16)

Η αξία του χημικού δυναμικού μ έγκειται στο ότι συνδέεται άμεσα με την ελεύθερη ενέργεια του Gibbs, G, με την απλή σχέση G N μ= . Επί πλέον σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας το χημικό δυναμικό έχει την ίδια τιμή σε κάθε σημείο του συστήματος (όπως και η θερμοκρασία). Εάν δε, σε καταστάσεις μη ισορροπίας υπάρχουν διαφορές στις τιμές του μ από θέση σε θέση, θα υπάρχει

1 Βλέπε σελ. 69 του παρόντος.

Page 65: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

39

ροή1 σωματίων από την περιοχή υψηλού μ προς την περιοχή χαμηλού μ μέχρι να εξισωθούν οι τιμές του μ. (Αντίστοιχα συμβαίνουν με διαφορές στη θερμοκρασία, οπότε υπάρχει ροή ενέργειας μέχρι να εξισωθούν οι τιμές της θερμοκρασίας) Από τη σχέση , , ,( / U) ( / ) ( / )V N U N U VdS S dU S V dV S N dN= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (5.17) και τις σχέσεις (5.14) έως (5.16) προκύπτει η σχέση2: dU TdS PdV dNμ= − + (5.18) που είναι ουσιαστικά ο Πρώτος Νόμος (σχέση (3.2) (με μια διαφορά που θα σχολιάσουμε αμέσως μετά). Για την απόδειξη αρκεί να θέσουμε đ W=PdV, đ Em=μdN, και dSΤ = đ Q. Αυτή η τελευταία σχέση συμπίπτει με την (3.3β) εάν đ Sεσ=0. Και εδώ έγκειται η διαφορά. Η σχέση (3.1) δίνει την Εντροπία για κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας. Επομένως όλες οι (απειροστές) μεταβολές που εμφανίζονται στους τύπους (5.14) έως και (5.18) αφορούν φυσικές διαδικασίες όπου οι ανεξάρτητες μεταβλητές U, V, N αλλάζουν τόσο αργά ώστε να μη βγούμε καθόλου από τη θερμοδυναμική ισορροπία και επομένως να έχουμε đ Sεσ=0 και dS=dSεξ. Δεν πρέπει να ξεχνάμε όμως ότι υπάρχουν και άλλες διαδικασίες (όπως είναι η διάχυση, η μεταφορά θερμότητας υπό διαφορά θερμοκρασίας, οι χημικές αντιδράσεις, κλπ) που λαμβάνουν χώρα στο εσωτερικό του συστήματος και δημιουργούν μεταβολές στην εντροπία έστω και αν οι μεταβλητές U, V, N μένουν σταθερές. Επομένως όταν εξετάζουμε μεταβολές θερμοδυναμικών ποσοτήτων θα πρέπει να ξεκαθαρίζουμε αν μιλάμε για μεταβολές του τύπου đ Sεσ=0 ή του τύπου đ Sεσ>0 (με đ Q=đ W=đ Em=0) ή σύνθετου τύπου όπου đ Sεσ>0 και ένα τουλάχιστον εκ των đ Q, đ W, đ Em να είναι διάφορο του μηδενός. Σ’ αυτήν την περίπτωση θα έχουμε για τη μεταβολή της εντροπίας: dS = đ Sεξ+đ Sεσ /đQ T≥ όπου το đ Sεξ δίνεται από τον τύπο (5.17) και το đ Sεσ >0. Επομένως ο τύπος (5.18) θα γίνει: εσdU T dS P dV dN T đ Sμ= − + − (5.18΄) από τον οποίο έπεται η σχέση (3.4), εάν λάβουμε υπόψη ότι đ W= PdV, đ Em=μdN και đ Sεσ≥ 0. Εφαρμογή: Θεωρήστε ένα σωμάτιο μάζας m που κινείται ελεύθερα σ’ ένα χώρο

όγκου V και του οποίου το μέτρο της ταχύτητάς του κυμαίνεται από μηδέν μέχρι μία μέγιστη τιμή oυ , όπου 21

2 /om U N=υ . Οι διάφορες θέσεις που μπορεί να βρεθεί είναι ανάλογες του όγκου V και οι διάφορες ταχύτητες που μπορεί να έχει είναι ανάλογες του όγκου στο χώρο των ταχυτήτων, 3 3/ 24

3 ( / )o U Nπ ∝υ . Άρα 3/ 21 ( / )V U NΓ ∝ .

Έστω τώρα ότι έχουμε Ν όμοια ανεξάρτητα σωμάτια. Τότε κάθε μία από τις Γ1 καταστάσεις του ενός σωματίου μπορούν να συνδυασθούν

1 Η ροή σωματίων είναι ανάλογη της ποσότητας - x∂∂ /μ , όπως η ροή ενέργειας είναι

ανάλογη της ποσότητας xT ∂∂− / . (Το μείον πρόσημο εμφανίζεται επειδή η ροή είναι από τις υψηλότερες τιμές προς τις χαμηλότερες).

2 και αντίστροφα από τη σχέση (5.18) προκύπτουν οι τύποι (5.14) έως (5.16)

Page 66: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

40

με οποιαδήποτε από τις Γ1 καταστάσεις ενός άλλου, κοκ., ώστε τελικά 3/ 2 ( / ) N

N V U NΓ ∝ . Επομένως η εντροπία θα ισούται με: 3

2B BS Nk nV Nk nU σταθ= + + 1 (5.19) Η σχέση (5.15) συνδυαζόμενη με την (5.19) δίνει το νόμο των τελείων αερίων:

, ή BB

P Nk PV Nk TT V= = (5.20)

Η (5.19) σε συνδυασμό με την (5.14) δίνει:

1 3 1 3, ή

2 2B BNk U Nk TT U= = (5.21)

5.2.2. Πιθανότητες και μέσες τιμές Θα κλείσουμε τη σύντομη αυτή ανακεφαλαίωση αναφέροντας δύο σημαντικούς τύπους της Στατιστικής Φυσικής. Θεωρήστε ένα σύστημα δεδομένης θερμοκρασίας, Τ, όγκου, V, και αριθμού σωματίων, N, σε θερμοδυναμική ισορροπία. Το σύστημα είναι στατιστικά ανεξάρτητο από το περιβάλλον του. Έστω IP η πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα σε μια μικροκατάσταση, Ι, που έχει ενέργεια IE . Υπό τις παραπάνω προϋποθέσεις, το IP δίνεται από τον εξής τύπο:

1 I

B

Ek T

IP eZ

−= ,

1B

Ek T

IZ e−=∑ , Κανονική Συλλογή (5.22)

Σημειώστε ότι η σχέση (5.22) συνεπάγεται ότι όλες οι μικροκαταστάσεις που έχουν την ίδια ενέργεια IE U= (και είναι πάμπολλες όταν το Ν είναι μεγάλο) είναι ισοπίθανες με /1 / exp( ) 1 / ( , )( ) BI k NZ U T U VP − ≡ ΔΓ= . Συνεπάγεται επίσης ότι όσο πιο υψηλή είναι η ενέργεια, IE , της μικροκατάστασης, Ι, τόσο μικρότερη είναι η πιθανότητα IP . ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ: Η Μεγαλοκανονική Συλλογή Εάν το σύστημα είναι σε επαφή με μια δεξαμενή σωματίων με την οποία ανταλλάσσει σωμάτια, τότε ο αριθμός των σωματίων δεν είναι δεδομένος αλλά μεταβάλλεται. Στην περίπτωση αυτή δεδομένα είναι, υπό συνθήκες θερμοδυναμικής ισορροπίας, ο όγκος, V, η θερμοκρασία, Τ, και το χημικό δυναμικό, μ. (Το Τ και το μ είναι τα ίδια για το σύστημα και για τη δεξαμενή, αφού έχουμε ισορροπία). Υπό τις προϋποθέσεις αυτές η πιθανότητα μιας μικροκατάστασης Ι, που έχει ενέργεια ΕΙ και αριθμό σωματίων ΝΙ δίνεται από τον ακόλουθο τύπο:

( )/1 BE N k TI

GP e

ZμΙ Ι= (5.22΄)

Ο τύπος (5.22 )′ ανάγεται στον (5.22), όταν το ΝΙ είναι σταθερό, δηλαδή όταν ΝΙ=Ν για όλα τα Ι ,

με ( )(1/ ) 1/ exp ( / )G BZ Z N k Tμ= . Η σχέση (5.22 )′ είναι πολύ χρήσιμη γιατί από αυτή έπονται σχετικά εύκολα οι λεγόμενες κατανομές Fermi-Dirac (για μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια με ημιακέραιο σπιν) και Bose-Einstein (για μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια με ακέραιο σπιν):

1 Η σταθερά αυτή εξαρτάται από το Ν και τα φυσικά χαρακτηριστικά των σωματίων, όπως, π.χ., τη μάζα.

Page 67: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

41

Ο γενικός ορισμός της Εντροπίας μέσω των πιθανοτήτων IP είναι ο εξής: - B I I

IS k P nP= ∑ (5.23)

Εάν το σύστημα, επί πλέον από το Ν, έχει καθορισμένη και την ενέργεια U (οπότε για όλες τις επιτρεπτές μικροκαταστάσεις, Ι, θα ισχύει η σχέση ΕΙ=U) τότε το ΡΙ θα είναι το ίδιο για όλες τις επιτρεπτές μικροκαταστάσεις, και θα ισούται με 1/ΓΝ(U,V), PI=1/ΓΝ(U,V). Αντικαθιστώντας την κοινή αυτή τιμή στην (5.24) (και λαμβάνοντας υπόψη ότι 1I

IP =∑ βρίσκουμε ξανά τον τύπο (3.1).

Ερώτηση: Γιατί χρειάζεται να θεωρήσουμε ότι τα σωμάτια δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους για να αποδείξουμε τον τύπο (5.24) ; Πού χρειάστηκε; Μελέτη: Φάσεις της ύλης (στερεά, υγρή και αέρια) Βλ. Ε.Ν. Οικονόμου: Στατιστική Φυσική, ΠΕΚ 2001, Σελ. 259-266. ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ: (Συνέχεια)

( - )/1

1Bi k Tne ιε μ=

± (5.24)

όπου in είναι ο μέσος αριθμός σωματίων που βρίσκονται στη μονοσωματιδιακή μικροκατάσταση i (η οποία περιλαμβάνει και την προβολή του σπιν μεταξύ των άλλων κβαντικών αριθμών που τη χαρακτηρίζουν). Η ποσότητα εi είναι η ενέργεια της μονοσωματιδιακής κατάστασης i. Το άνω πρόσημο είναι για σωμάτια με ημιακέραιο σπιν και το κάτω για σωμάτια με ακέραιο σπιν. Η απόδειξη της σχέσης (5.24) έχει ως αφετηρία τον τύπο (5.22΄) που τον εφαρμόζουμε στο σύστημα που αποτελείται από το σύνολο των σωματίων που βρίσκονται στην μονοσωματιδιακή μικροκατάσταση i. Έστω ότι έχουμε σωμάτια με ημιακέραιο σπιν: Μια δυνατότητα είναι να μην υπάρχει κανένα σωμάτιο στην μικροκατάσταση i. Τότε, στον τύπο (5.22΄) πρέπει να θέσουμε

0IE = και 0IN = , επομένως 1 /I GP Z= . Μία άλλη δυνατότητα είναι να έχουμε ένα μόνο

σωμάτιο στη μικροκατάσταση i. Τότε στον τύπο (5.22΄) πρέπει να θέσουμε I iE ε= , NΙ=1, οπότε

έχουμε exp[-( - ) / ] /I i B GP k T Zε μ= . Λόγω της αρχής του Pauli δεν υπάρχει καμμιά άλλη

δυνατότητα. Εξαιτίας του ότι 1II

P =∑ έχουμε: B-( - )/k

1(1 ) /iG

μ TZe ε

=+

από την οποία προκύπτει η τιμή του ΖG. Η μέση τιμή in ισούται με

( )/ ( )/

( )/ ( )/

1 11 10 1

i B i BG G

i B i B

k T k T

k T k T

i Z Z e ee en ε μ ε μ

ε μ ε μ

− − −

− − −−

+ += ⋅ + ⋅ = =

Για σωμάτια με ακέραιο σπιν, οι δυνατότητες δεν σταματάνε στο ένα σωμάτιο αλλά συνεχίζονται μέχρι το άπειρο. Οι προκύπτουσες σειρές είναι του τύπου γεωμετρικής σειράς και αθροίζονται σχετικά εύκολα οπότε προκύπτει ο τύπος (5.24) με το κάτω πρόσημο

Page 68: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

42

Page 69: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΝΟΜΟΙ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Όπως αναφέραμε στο Kεφ. 1, ο ακριβής τρόπος χειρισμού των αλληλεπιδράσεων είναι μέσω των αντιστοίχων κυματοσωματιδίων, δηλαδή των φωτονίων, των γλοιονίων, και των διανυσματικών μποζονίων. Ο τρόπος αυτός είναι συνήθως ιδιαίτερα περίπλοκος στην εφαρμογή του. Επί πλέον στις περιπτώσεις, όπου δεν απαιτούμε τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια και όπου αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η δύναμη μεταξύ υλικών σωματίων (η οποία έχει ως μεσάζοντα τα σωμάτια αλληλεπιδράσεων), η προσεγγιστική κλασική περιγραφή των αλληλεπιδράσεων μέσω πεδίων (αντί μέσω κυματοσωματιδίων) είναι επαρκής και πολύ πιο εύκολη και οικεία. Γι’ αυτό χρησιμοποιείται ευρύτατα. Φυσικά υπάρχουν πολλές περιπτώσεις, όπου είτε απαιτούμε τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια, είτε έχουμε παραγωγή ή απορρόφηση σωματίων αλληλεπιδράσεων, που είμαστε αναγκασμένοι να χρησιμοποιήσουμε τη κβαντική περιγραφή των κυματοσωματιδίων για τις αλληλεπιδράσεις . Πάντως στο παρόν κεφάλαιο θα περιοριστούμε σε μια σύνοψη της κλασικής θεωρίας των αλληλεπιδράσεων . 6.1 Βαρυτικό πεδίο (μη σχετικιστικά) Ο βασικός τύπος εδώ είναι ο περίφημος νόμος της παγκόσμιας δύναμης που ασκεί μια μάζα, Μ σε μια μάζα m που απέχει κατά r:

2m oGmM

r= −F r (6.1)

όπου or είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κατά την κατεύθυνση από Μ προς m και G

η σταθερά της παγκόσμιας έλξης, η οποία σε σύγκριση με την αντίστοιχη

σταθερά του ηλεκτρισμού (e2/4πεο (στο σύστημα SΙ) ή e2 (στο σύστημα G-CGS))

είναι αφάνταστα μικρή:

2

432 2,4 10eG m

e−= × G-CGS (6.2)

2

432 2,4 10

( / 4 )eG m

e οπε−= × SI (6.2΄)

116,673 10G −= × 3 1 2m kg s− − (6.2΄΄) Στις σχέσεις (6.2) και (6.2΄) em είναι η μάζα του ηλεκτρονίου (που στο λεγόμενο ατομικό σύστημα μονάδων λαμβάνεται ως μονάδα). Η βαρυτική δύναμη είναι αθροιστική: Η δύναμη που υφίσταται μια μάζα λόγω της παρουσίας πολλών άλλων μαζών είναι το διανυσματικό άθροισμα δυνάμεων κάθε μία εκ των οποίων δίνεται από ένα τύπο της μορφής (6.1). Διευκολύνει1 πολλές φορές αντί για τη δύναμη (6.1) να γράψουμε τη δυναμική βαρυτική ενέργεια αλληλεπιδράσεως μεταξύ δύο μαζών:

1 Για δύο κυρίως λόγους: Πρώτον, επειδή είναι πολύ πιο εύκολο να αθροίσουμε βαθμωτά

μεγέθη, όπως είναι η ΕΔ παρά διανυσματικά, όπως είναι η F . Δεύτερο, επειδή η ΕΔ συνδυασμένη

Page 70: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

44

G m ME

rΔ = − (6.1΄)

Για τον προσδιορισμό της δύναμης ή της βαρυτικής ενέργειας, όταν έχουμε πολλές μάζες (ή συνεχή κατανομή μάζας), είναι χρήσιμο να εισάγουμε την έννοια του πεδίου: Το διανυσματικό βαρυτικό πεδίο, ( )E r , που γεννά μια μάζα Μ,

ορίζεται ως /m mF και επομένως ισούται με 2/oGM r= −E r .Το αντίστοιχο βαρυτικό δυναμικό είναι V(r)= -GM/r=EΔ/m. Αν έχουμε περισσότερες μάζες σε κάθε σημείο του χώρου αθροίζουμε διανυσματικά τα αντίστοιχα πεδία τους E ή τα αντίστοιχα δυναμικά τους, ( )V r . Ο προσδιορισμός του πεδίου E ( )r διευκολύνεται εάν εισάγουμε τις έννοιες της ροής και της κυκλοφορίας. Οι έννοιες αυτές έχουν την καταγωγή τους στην υδροδυναμική που μελετά την κίνηση ρευστών και ειδικότερα το πεδίο των ταχυτήτων ( , )tυ r σ’ ένα ρευστό. Η ροή μέσω μιας κλειστής επιφάνειας, εάν είναι διάφορη του μηδενός, δείχνει ότι η υπόψη κλειστή επιφάνεια περικλείει πηγή (ή καταβόθρα ) εάν το ρευστό είναι ασυμπίεστο. Η κυκλοφορία περιγράφει κίνηση όπου οι γραμμές ροής σχηματίζουν κλειστούς βρόχους. Η πιο γενική κίνηση μπορεί να δημιουργηθεί ως υπέρθεση των δύο τύπων ροής που αναφέραμε. Οι έννοιες της ροής και της κυκλοφορίας μπορούν να ορισθούν για οποιοδήποτε διανυσματικό πεδίο, E ( )r , ως εξής: Ροή μέσω μιας επιφάνειας Α: A A

dϕ ≡ ∫ ∫ E Ai (6.3΄)

Κυκλοφορία (ή στροβιλισμός) σε μια κλειστή γραμμή L : L

L

K d≡ ∫ Ei (6.3΄΄)

Εάν η επιφάνεια Α είναι κλειστή θα χρησιμοποιούμε το σύμβολο AΦ . Υπάρχει ένα μαθηματικό θεώρημα που λέει ότι, εάν γνωρίζουμε τη ροή ενός διανυσματικού πεδίου σε οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια και την κυκλοφορία σε οποιαδήποτε κλειστή γραμμή, τότε το πεδίο είναι μονότροπα καθορισμένο. Η αξία των εννοιών της ροής και της κυκλοφορίας έγκειται στο ότι τα αίτια που δημιουργούν τα πεδία δυνάμεων (όπως, π.χ. είναι η μάζα για το βαρυτικό) συνδέονται άμεσα με τη ροή ή την κυκλοφορία ή και με τα δύο. Επομένως οι νόμοι προσδιορισμού των πεδίων δυνάμεων εκφράζονται απλά και κομψά μέσω της ροής και της κυκλοφορίας. Για το πεδίο βαρύτητας έχουμε τις ακόλουθες γενικές σχέσεις: 4 G MΑΦ π= − (6.1΄΄) 0LK = (6.1΄΄΄) Όπου Μ είναι η ολική μάζα που περικλείει η οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια Α, μέσω της οποίας καθορίσθηκε η ροή Φ. Από την (6.1΄΄) έπεται αμέσως η (6.1)1.Αλλά και σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις όπου η κατανομή μάζας έχει

με τη διατήρηση της ενέργειας πολλές φορές μας φέρνει ένα βήμα κοντύτερα στην επίλυση προβλημάτων κίνησης.

1 Εάν για επιφάνεια Α θεωρήσουμε μια σφαίρα ακτίνας r με κέντρο την μάζα Μ, το πεδίο E θα είναι για λόγους συμμετρίας εν γένει παράλληλο (ή αντιπαράλληλο) με το διάνυσμα

od dA=A r και σταθερού μεγέθους. Επομένως

Page 71: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

45

σφαιρική ή κυλινδρική συμμετρία, η (6.1΄΄) μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε πολύ εύκολα το πεδίο, ενώ o κατ’ ευθείαν προσδιορισμός αθροίζοντας ή ολοκληρώνοντας σχέσεις του τύπου (6.1) είναι πολύ πιο κοπιώδης. Ως εφαρμογή υπολογίστε το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί η Γη και στο εσωτερικό της και στο εξωτερικό της. Στην συνέχεια υπολογίστε το δυναμικό (και στο εσωτερικό και στο εξωτερικό της) καθώς και την ίδια βαρυτική ενέργεια της Γης. Θεωρήστε ότι η πυκνότητα της Γης μεταβάλλεται γραμμικά με την απόσταση, από το κέντρο της (από 13g/cm3 στο κέντρο σε 3 gr/cm3 στην επιφάνειά της). Υπολογίστε και την πίεση που ασκούν τα υπερκείμενα στρώματα σε απόσταση r από το κέντρο της. Η σχέση (6.1΄΄΄) σημαίνει ότι το βαρυτικό πεδίο είναι αστρόβιλο. Ακριβώς επειδή είναι αστρόβιλο, είναι εφικτό να ορίσουμε το δυναμικό ( )V r και στη συνεχεία τη δυναμική ενέργεια. Η νευτώνεια θεωρία για το βαρυτικό πεδίο έχει τροποποιηθεί από την ακριβέστερη θεωρία της βαρύτητας του Einstein (τη λεγόμενη γενική θεωρία της σχετικότητας, (ΓΘΣ)). Για τις γήινες συνθήκες οι διορθώσεις είναι πολύ μικρές1 αλλά σε αστρικά συστήματα όπως είναι οι αστέρες νετρονίων και ιδίως οι μελανές οπές, η νευτώνεια θεωρία αποτυγχάνει ακόμη και ποιοτικά. Το επόμενο βήμα, που παρά τις προσπάθειες δεν έχει πραγματοποιηθεί ακόμη, είναι να αναπτύξουμε μια κβαντική θεωρία της βαρύτητας που το κλασικό της όριο να είναι η ΓΘΣ. (Βλέπε σχετικά το βιβλίο του Hawking, το Χρονικό του Χρόνου). 6.2 Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση είναι η πιο σημαντική από όλες τις άλλες αλληλεπιδράσεις (περιλαμβανομένης και της βαρυτικής) γιατί αυτή και μόνο αυτή καθορίζει τη δομή της ύλης από το επίπεδο του ατόμου ( 1010 m− ) μέχρι και αυτό ενός αστεροειδούς (διαστάσεων εκατοντάδων χιλιομέτρων) 2. Και όχι μόνο αυτό. Το ότι δεχόμαστε το κυριολεκτικά ζωογόνο φως του Ήλιου, το ότι βλέπουμε τα αντικείμενα γύρω μας, το ότι λειτουργούν τα ραδιόφωνα, οι τηλεοράσεις, τα κινητά τηλέφωνα και γενικότερα το ότι υπάρχει η σύγχρονη τεχνολογία, όλα αυτά και άλλα πολλά οφείλονται στις πανταχού παρούσες ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις. Το ηλεκτρομαγνητικό (ΗΜ) πεδίο καθορίζεται από δύο διανυσματικά μεγέθη, το ηλεκτρικό, ( , )tE r , και το μαγνητικό, ( , )tB r . Το ΗΜ πεδίο δρα σε κάθε σωμάτιο που φέρει ηλεκτρικό φορτίο, έστω q , και του ασκεί μια δύναμη, F , που δίνεται από τον λεγόμενο τύπο του Lorentz:

2 2 24 ( 1) 4 / ) ( / )Α o oΦ E r G M (G M r GMm rπ π= ± = − ⇒ = − ⇒ = −E r F r

(Το πρόσημο συν θα ίσχυε εάν τα E και οr ήσαν παράλληλα και το πρόσημο μείον όταν είναι αντιπαράλληλα, όπως στην παρούσα περίπτωση).

1 Εξαίρεση αποτελούν οι υπολογισμοί που βασίζεται το σύστημα GPS (βλέπε Scientific American, Ελληνική έκδοση Δεκέμβριος 2004, σελ. 41)

2 Εξαίρεση αποτελούν οι ζώντες οργανισμοί, όπου πέραν της ΗΜ συμμετέχουν έμμεσα και οι άλλες αλληλεπιδράσεις. Φαίνεται ότι το φαινόμενο της ζωής είναι ένα ολιστικό φαινόμενο που απαιτεί για την ύπαρξή του όλες τις αλληλεπιδράσεις με τις συγκεκριμένες τιμές της ισχύος τους και τις συγκεκριμένες τιμές των μαζών των στοιχειωδών σωματίων (Βλέπε σχετικά το άρθρο για την Ανθρωπική Αρχή, στον Επίλογο του βιβλίου ή στην ‘ Φυσική Σήμερα’, Τόμος ΙΙ, σελ. 381-420).

Page 72: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

46

( )q= + ×F E Bυ , SI (6.4)

qc

⎛ ⎞= + ×⎜ ⎟⎝ ⎠

F E Bυ, G-CGS (6.4΄)

Σημειώστε ότι οι τιμές των πεδίων E και B εξαρτώνται από την ταχύτητα του παρατηρητή και σε ορισμένες περιπτώσεις, για κατάλληλη ταχύτητα του παρατηρητή, είναι δυνατόν να έχουμε μόνο μαγνητικό, ή μόνο ηλεκτρικό πεδίο. Πηγές του ηλεκτρικού πεδίου είναι τα ηλεκτρικά φορτία και οι μεταβολές του μαγνητικού πεδίου. Πηγές του μαγνητικού πεδίου είναι τα ηλεκτρικά ρεύματα και οι μεταβολές του ηλεκτρικού πεδίου. Έτσι, έστω και αν δεν υπάρχουν ηλεκτρικά φορτία και ρεύματα, η μεταβολή του ηλεκτρικού πεδίου γεννάει (μεταβαλλόμενο) μαγνητικό πεδίο που με τη σειρά του γεννάει ηλεκτρικό πεδίο, κοκ. Με αποτέλεσμα το ΗΜ πεδίο να αυτοσυντηρείται, να προχωράει στο χώρο (με την ταχύτητα του φωτός) και να αποκτάει ουσιαστική φυσική οντότητα. Οι σχέσεις που προσδιορίζουν το ΗΜ πεδίο είναι οι περίφημες τέσσερις εξισώσεις του Maxwell, που έχουν κι αυτές υδροδυναμικό χαρακτήρα με την έννοια ότι η ροή και η κυκλοφορία (και του E και του B ) συνδέονται άμεσα με τις πηγές των πεδίων αυτών:

1

oQΦ =E e

(6.5α)

BKtϕ∂

= −∂E (6.5β)

0Φ =B (6.5γ)

o o oK It

μ μ ϕ∂= +

∂E

B e (6.5δ)

Οι εξισώσεις (6.5α-6.5δ )1 είναι διατυπωμένες στο σύστημα SI. Στο σύστημα G-CGS έχουν της εξής μορφή: 4 QΦ π=E (6.5α΄)

1 BKc tϕ∂

= −∂E (6.5β΄)

0Φ =B (6.5γ΄)

4 1K Ic c tπ ϕ∂

= +∂

EB (6.5δ΄)

Την εξίσωση (6.5α ) την έχουμε ήδη εξετάσει αναφορικά με τη βαρυτική αλληλεπίδραση. Η εξίσωση (6.5β) λέει ότι η κυκλοφορία του E σε μια κλειστή γραμμή (που δεν είναι τίποτε άλλο παρά η γνωστή μας ηλεκτρεργετική δύναμη) ισούται με μείον τη χρονική παράγωγο της ροής του μαγνητικού πεδίου δια μέσου μιας οποιασδήποτε επιφάνειας που καταλήγει στην υπόψη κλειστή γραμμή. Η εξίσωση αυτή είναι ο γνωστός νόμος του Faraday, στον οποίο βασίζεται η παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας. Η εξίσωση (6.5γ) λέει ότι η μαγνητική ροή σε μια κλειστή επιφάνεια είναι μηδέν, επειδή δεν υπάρχουν μαγνητικά φορτία.

1 Ο εξοικειωμένος αναγνώστης καλείται να επαναδιατυπώσει τις εξισώσεις (6.5α-δ) και (6.5α΄-

δ΄) σε διαφορική μορφή.

Page 73: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

47

Τέλος, η εξίσωση (6.5δ) λέει ότι η κυκλοφορία του μαγνητικού πεδίου σε μια κλειστή γραμμή ισούται με τη ροή του ηλεκτρικού ρεύματος μέσω μιας επιφάνειας που καταλήγει στην κλειστή γραμμή (επί τη μαγνητική διαπερατότητα του κενού ομ στο SI) συν τη χρονική παράγωγο της ροής του ηλεκτρικού πεδίου διαμέσου μιας επιφάνειας που καταλήγει στην υπόψη κλειστή γραμμή (επί την ποσότητα o oε μ στο SI). Η εξίσωση αυτή είναι ο νόμος του Ampere όπως συμπληρώθηκε από τον Maxwell. Οι παγκόσμιες σταθερές οε και oμ ισούνται με:

8,854187o =e … 1Fm− (6.6)

74 10oμ π −= × 2NA− (6.7) Βάσει του θεωρήματος για τη ροή και την κυκλοφορία που αναφέραμε προηγουμένως, οι τέσσερις εξισώσεις του Maxwell προσδιορίζουν μονοσήμαντα τα αλληλένδετα πεδία E και B (με την προϋπόθεση ότι τα Q και Ι καθώς και οι αρχικές συνθήκες είναι γνωστά). Θα εξετάσουμε αμέσως παρακάτω μια ειδική κατηγορία λύσεων των εξισώσεων του Maxwell θεωρώντας ότι δεν υπάρχουν φορτία και ρεύματα. Η κατηγορία αυτή έχει ιδιαίτερη αξία γιατί πιο γενικές λύσεις μπορούν να ευρεθούν ως υπέρθεση των ειδικών αυτών λύσεων. Η κάθε λύση, που ονομάζεται επίπεδο κύμα, χαρακτηρίζεται κατ’ αρχή από ένα κυματάνυσμα k και από μια συχνότητα ω . Η κατεύθυνση του k δείχνει την κατεύθυνση διάδοσης του ΗΜ κύματος και το μέτρο του συνδέεται με το μήκος κύματος, 2 /λ π= k . Το ω συνδέεται με την περίοδο του κύματος Τ, με τη γνωστή σχέση 2 /Tω π= . Η εξάρτηση των διανυσμάτων ( , )tE r και ( , )tB r από τη θέση και το χρόνο θα υποτεθεί ότι είναι τη μορφής ενός επίπεδου κύματος και στη συνεχεία θα ελέγξουμε εάν και υπό ποιες προϋποθέσεις τα επίπεδα κύματα ικανοποιούν τις εξισώσεις του Maxwell. Τα επίπεδα κύματα έχουν τη μορφή ( ) ( )( , ) o o

i t i tt e eω ω∗⋅ − − ⋅ −= +k r k rE r E E (6.8α)

)( ( )( , ) io o

t i tt e eω ω∗⋅ − − ⋅ −= +k r k rB r B B (6.8β) Η γραφή μέσω εκθετικών αντί μέσω ημιτόνων ή συνημίτονων διευκολύνει τις πράξεις τις οποίες θα εκτελέσουμε κρατώντας μόνο τον πρώτο όρο του δεξιού σκέλους των σχέσεων (6.8α,β). Εάν αυτός ο πρώτος όρος ικανοποιεί τις εξισώσεις του Maxwell, θα τις ικανοποιεί αναγκαστικά και ο δεύτερος (αφού οι συντελεστές των εξισώσεων του Maxwell είναι πραγματικοί αριθμοί), άρα και το άθροισμα τους (αφού οι εξισώσεις του Maxwell είναι γραμμικές). Έχουμε λοιπόν, λαμβάνοντας υπόψη τις (6.5) και τις (6.8α και β) 0 οΦ = ⇒ ⊥E E k (6.9α) 0 οΦ = ⇒ ⊥B B k (6.9β)

o oKt

ωϕ∂= − ⇒ × =

∂B

E k E B (6.9γ)

Eo o o o o oK

tμ ω μϕ∂

= ⇒ × = −∂B k B Ee e (6.9δ)

(Η απόδειξη των σχέσεων (6.9α-δ) γίνεται πολύ εύκολα, εάν οι εξισώσεις του Maxwell γραφούν σε διαφορική μορφή)

Page 74: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

48

E

k

B

B

Ek

Οι παραπάνω σχέσεις1 σημαίνουν ότι τα E και B είναι κάθετα στο k και κάθετα μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Σχήμα 6.1α Σχήμα 6.1β Πολλαπλασιάζοντας την (6.9γ) εξωτερικά επί k (από αριστερά), χρησιμοποιώντας τη μαθηματική ταυτότητα 2( )o o× × = −k k E k E και τη σχέση (6.9δ) βρίσκουμε ότι 2 2

o o oο οω ω μ− = × = −k E k B Ee από την οποία έπεται ότι

1

o ok Tω λ υ

μ= = =

e (6.10)

Όπου υ είναι η ταχύτητα διάδοσης του ΗΜ κύματος. Αντικαθιστώντας τις τιμές των oε και ομ βρίσκουμε ότι cυ = , όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Δύσκολα θα αποφύγει κανείς την υπόθεση (η οποία επιβεβαιώνεται από μία σειρά πειραμάτων) ότι και το ορατό φως δεν είναι τίποτε άλλο παρά ηλεκτρομαγνητικό κύμα (μιας ορισμένης περιοχής συχνοτήτων ή μηκών κύματος) όπως και τα άλλα κύματα του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος το οποίο εικονίζεται στο Σχ. 6.2 Το ΗΜ κύμα φέρει και μεταφέρει ενέργεια, ορμή και στροφορμή. Η ροή της ενέργειας S , (δηλαδή η ΗΜ ενέργεια που διασχίζει μια επιφάνεια τοποθετημένη κάθετα στο k ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας) δίνεται από τον τύπο:

1

ομ= ×S E B , SI (6.11)

4cπ

= ×S E B , G-CGS (6.11΄)

Αλλά η ροή της ενέργειας ισούται με την πυκνότητα της ενέργειας, u επί την ταχύτητα2 ,c uc=S . Επομένως συνδυάζοντας τις σχέσεις (6.11) και (6.9γ,δ) βρίσκουμε για την πυκνότητα ΗΜ ενέργειας, u , την εξής σχέση που ισχύει γενικά:

2 21 1 12 2o

ou

μ= +E Be SI (για G-CGS, βλ. (6.12) και (6.12 )′ )

1 Θυμίζουμε ότι το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ένα κάθετο και στα δύο

διανύσματα με μέτρο το γινόμενο των μέτρων τους επί το ημίτονο της γωνίας τους και φορά που καθορίζεται από τον αντίχειρα του δεξιού χεριού για στροφές από το πρώτο διάνυσμα προς το δεύτερο.

2 Η ροή οποιουδήποτε μεγέθους ισούται με την πυκνότητα του μεγέθους αυτού επί την ταχύτητά του. Π.χ. η ροή μάζας ενός υγρού ισούται με mρ υ , η ροη ηλεκτρικού φορτίου (δηλαδή

το ηλεκτρικό ρεύμα ανά μονάδα επιφάνειας) ισούται με qρ υ .

Page 75: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

49

ΟΡΑΤΟ

ΦΑΣ

ΜΑ

λ

vMHz1 Hz1810Hz1510THz1GHz1

km1 m1 mm1 pm1nm1μm1

ΥΠΕΡΥΘΡΟΥΠΕΡΙΩΔΕΣ

ΑΚΤΙΝΕΣ Χ

ΑΚΤΙΝΕΣ Γ

ΜΙΚΡΟΚΥΜΑΤΑ

AM

R

ADIO

VHF

TV FM

RA

DIO

VH

F T

VU

HF

TV

ΚΙΝΗΤΑ

GPS

ΚΟΣΜ

ΙΚΗ

ΑΚΤΝ

ΟΒΟΛΙΑ

nm750 nm400

Hz150.75×10Hz150.4×10

Σχ.6.2 Διαμερισμός της συχνότητας / 2ν ω π= (ή του μήκους κύματος λ ) σε περιοχές και ονομασίες των ΗΜ κυμάτων σε κάθε περιοχή. ( 83 10 mcλ ν⋅ = ≈ × ). Λόγω της σχέσης (5.3), η οποία στην περίπτωση όπου η μάζα ηρεμίας είναι μηδέν, γίνεται E cp= , έπεται ότι η πυκνότητα του μέτρου της ορμής P του ΗΜ

κύματος, p , ισούται με 2/ /u c c= S Ολοκληρώνοντας ως προς τον όγκο, βρίσκουμε την συνολική ενέργεια και ορμή του ΗΜ κύματος:

2 212 2o

oU dV dV

μ= +∫ ∫E Be

, SI (6.12)

( )o dV= ×∫P E Be , SI (6.13)

Στο σύστημα G-CGS οι παραπάνω σχέσεις έχουν την εξής διατύπωση:

2 21 18 8

U dV E dV Bπ π

= +∫ ∫ , G-CGS (6.12΄)

1 ( )

4dV

cπ= ×∫P E B , G-CGS (6.13΄)

Η συνολική ενέργεια, U , και η συνολική ορμή, P , ενός επιπέδου ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι στην πραγματικότητα κβαντισμένες σε ακέραια πολλαπλάσια μιας βασικής αδιαίρετης μονάδας που έχει ενέργεια ε ω= και ορμή =p k , (όπου είναι η λεγόμενη σταθερά του Planck διαιρεμένη με το 2π ). Αυτή η βασική αδιαίρετη μονάδα (για δεδομένο k και επομένως ckω = ) είναι το στοιχειώδες κυματοσωμάτιο της ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης και ονομάζεται φωτόνιο. Επομένως για την ολική ενέργεια και την ολική ορμή ενός επιπέδου ΗΜ κύματος κυκλικής συχνότητας ω και κυματανύσματος k έχουμε: U n cPω= = (6.14) n=P k (6.15) όπου n είναι ο αριθμός των φωτονίων (που φυσικά είναι ακέραιος μη αρνητικός).

Page 76: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

50

Page 77: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

51

Η στροφορμή του ΗΜ δίνεται από τον προφανή τύπο: ( )o dV= × ×∫L r E Be , SI (6.16)

Εάν δημιουργήσουμε κατάλληλη υπέρθεση επίπεδων κυμάτων μπορούμε να δείξουμε ότι η στροφορμή του ΗΜ κύματος έχει διεύθυνση παράλληλη ή αντιπαράλληλη με το k και μέγεθος που δίνεται από τη σχέση

1L

U ω= (6.17)

Λαμβάνοντας υπόψη ότι U n ω= βρίσκουμε ότι L n= . Άρα η στροφορμή ενός φωτονίου έχει διεύθυνση παράλληλη ή αντιπαράλληλη με το k και μέγεθος ίσο με . Κατά συνέπεια το σπιν του φωτονίου είναι μονάδα σε συμφωνία με την τιμή που δίνεται στον Πιν.4. 6.3 Ασθενείς αλληλεπιδράσεις Ο κύριος ρόλος των ασθενών αλληλεπιδράσεων είναι να μετατρέπουν σωμάτια σε άλλα σωμάτια. Π.χ. ένα νετρόνιο μπορεί να μετατραπεί σε πρωτόνιο, ηλεκτρόνιο και αντινετρίνο ηλεκτρονίου: en p e→ + + v (6.18) Η αντίδραση αυτή σ’ ένα πιο στοιχειώδες επίπεδο οφείλεται στο ότι ένα κουάρκ d του νετρονίου εξαφανίζεται δημιουργώντας ένα κουάρκ u και ένα διανυσματικό μποζόνιο W : Το τελευταίο σχεδόν αμέσως εξαφανίζεται δημιουργώντας το ζεύγος ηλεκτρονίου-αντινετρίνου όπως φαίνεται στο Σχ. 6.3

Σχ. 6.3

Η πλήρης θεωρία των ασθενών αλληλεπιδράσεων μας επιτρέπει να υπολογίσουμε, π.χ. πόσο συχνά συμβαίνει η διαδικασία που εικονίζεται στο Σχ. 6.3 και να βρούμε έτσι το χρόνο ζωής ενός ελεύθερου νετρονίου. Μια αντίδραση που μετατρέπει ένα πρωτόνιο σε νετρόνιο είναι η εξής: ep n e v+→ + + (6.19) που αντιστοιχεί στην ακόλουθη στοιχειώδη διαδικασία:

Page 78: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

52

Σχ. 6.4

Μπορεί επίσης το πρωτόνιο ενός ατομικού πυρήνα να βρεθεί πολύ κοντά μ’ ένα ηλεκτρόνιο του ατόμου και να δώσει την αντίδραση ep e n v+ → + (6.20) που αντιστοιχεί στη στοιχειώδη διαδικασία:

Σχ. 6.5

Για να γίνει οποιαδήποτε αντίδραση θα πρέπει να ικανοποιούνται όλοι οι νόμοι διατήρησης. Ειδικά η διατήρηση της ενέργειας θα πρέπει να ικανοποιείται συνολικά με την έννοια ότι η ολική ενέργεια όλου του απομονωμένου συστήματος προ της αντίδρασης και μετά την ολοκλήρωσή της θα πρέπει να είναι ίδιες. Π.χ., η αντίδραση (6.18) μπορεί να γίνει σ’ ένα απομονωμένο και ακίνητο νετρόνιο γιατί η ενέργεια ηρεμίας, 2

onm c , του νετρονίου ξεπερνάει το άθροισμα

των ενεργειών ηρεμίας ( ) 2op oe ovm m m c+ + των προϊόντων της αντίδρασης.

Αντίθετα ένα απομονωμένο και ακίνητο πρωτόνιο δεν είναι δυνατό να υποστεί την αντίδραση (6.19) γιατί θα παραβιάσει τη διατήρηση της ενέργειας. Όμως ένα πρωτόνιο μέσα στον πυρήνα μπορεί ενδεχομένως να υποστεί την αντίδραση (6.19), αν η ολική ενέργεια του πυρήνα (που είναι το απομονωμένο σύστημα) μπορεί να διατηρηθεί. Αντίστοιχα σχόλια ισχύουν και για την αντίδραση (6.20). Το τελικό συμπέρασμα, όσον αφορά τα νετρόνια και τα πρωτόνια, είναι ότι μπορούν να αλληλομετατραπούν μέσα στον πυρήνα αρκεί η ολική ενέργεια του προκύπτοντος πυρήνα να είναι μικρότερη από την ενέργεια του αρχικού πυρήνα. Όπως θα δούμε στο Κεφ. 9, αυτές οι μετατροπές ευθύνονται για τη ραδιενέργεια β.

Page 79: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

53

6.4 Ισχυρές αλληλεπιδράσεις Οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις των κουάρκ και των γλοιονίων μέσα στο πρωτόνιο, ή μέσα στο νετρόνιο, ή μέσα στα μεσόνια (που αποτελούνται από ένα κουάρκ και ένα αντικουάρκ) είναι αντικείμενο τρέχουσας πειραματικής και θεωρητικής μελέτης. Η προκύπτουσα ισχυρή δύναμη μοιάζει κάπως με τη δύναμη ενός ελατηρίου ή καλύτερα ενός λάστιχου. Όταν τα σωμάτια είναι πολύ κοντά το ένα στο άλλο η δύναμη είναι πρακτικά μηδέν και τα κουάρκ συμπεριφέρονται ως να ήσαν ελεύθερα. Όταν απομακρύνονται τα κουάρκ, παραμένοντας όμως μέσα στο πρωτόνιο ή το νετρόνιο ή στα μεσόνια, η δύναμη αυξάνει ταχύτατα και γίνεται τόσο ισχυρή ώστε δεν είναι δυνατό να αποκολλήσει κανείς ένα κουάρκ. Το νοητό ‘λάστιχο’ που συνδέει ένα κουάρκ με όλα τα άλλα όταν φτάσει στο όριο του ‘σπάει’ και στο σημείο ‘τομής’ δημιουργείται ένα ζεύγος κουάρκ-αντικουάρκ έτσι ώστε αυτό που τελικά αποκολλάται είναι ένα σύνθετο σωμάτιο, π.χ. ένα μεσόνιο. Αυτός είναι ο λόγος που δεν έχουμε παρατηρήσει ποτέ απομονωμένα κουάρκ. Σημειώστε ότι ανάλογα με το τί είδος χρωματικού φορτίου έχουν τα κουάρκ ενός ζεύγους, η μεταξύ τους δύναμη μπορεί να είναι ελκτική ή να είναι απωστική. Τα κουάρκ έχουν σχηματίσει μόνο εκείνους τους συνδυασμούς που το συνολικό τους χρωματικό φορτίο είναι μηδέν και η συνολική τους ενέργεια ελάχιστη. Η ισχυρή πυρηνική δύναμη μεταξύ νουκλεονίων1 (δηλαδή μεταξύ πρωτονίων, νετρονίων αδιακρίτως) οφείλεται στο ότι κάποιο κουάρκ του ενός νουκλεονίου έχει βρεθεί σχετικά κοντά σε κουάρκ γειτονικού νουκλεονίου ώστε να ασκηθεί αρκετά μεγάλη έλξη και να δημιουργηθεί ένα νέο ζεύγος κουάρκ-αντικουάρκ (δηλαδή ένα μεσόνιο) το οποίο να απορροφηθεί από το άλλο νουκλεόνιο δημιουργώντας έτσι μία έλξη. Ο υπολογισμός αυτής της έλξης είναι ιδιαίτερα δυσχερής και το αποτέλεσμα είναι περίπλοκο γιατί εξαρτάται όχι μόνο από την απόσταση μεταξύ νουκλεονίων αλλά και από το σπιν τους και τη σχετική στροφορμή τους. Πάντως για αρκετά μεγάλες αποστάσεις ( 154 10 mr −≥ × ) μεταξύ των νουκλεονίων το δυναμικό αλληλεπιδράσεων ( )sV r , είναι της μορφής

/

( ) 10,46 MeV/

od d

so

eV dd d

= − (6.21)

όπου 151,43 10 m 1,43fm 1,43fod −≈ × ≡ ≡ . Μια πολύ προσεγγιστική μέση μορφή του δυναμικού είναι αυτή που εικονίζεται στο Σχ. 6.4. Για 2fmd ≈ το

μέσο δυναμικό ισούται προσεγγιστικά με 2,6(78/ )MeVd− . Για πολύ μικρές αποστάσεις ( 0,5fmd ≤ , που αντιστοιχούν σε σύντηξη δύο νουκλεονίων σε ένα χρωματικά ουδέτερο σχηματισμό 6 κουάρκ) εμφανίζεται μια πολύ ισχυρή άπωση που εμποδίζει αυτή τη σύντηξη. Ο λόγος είναι ότι η ενέργεια αυτού του σχηματισμού των έξη κουάρκ (εξ αιτίας και απωστικών αλληλεπιδράσεων μεταξύ ζευγών κουάρκ) είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτή δύο χωριστών νουκλεονίων που το καθένα τους αποτελείται από τρία κουάρκ με μηδενικό συνολικό χρωματικό φορτίο.

1 Νουκλεόνιο είναι το κοινό όνομα που χρησιμοποιούμε, για τα πρωτόνια και τα νετρόνια.

Page 80: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

54

Σχ.6. 6 Μια απλούστατη μέση τιμή του δυναμικού ισχυρής αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο νουκλεονίων ως συνάρτηση της αποστάσεως τους. Υπάρχει μια ισχυρή έλξη για 1fm 4fmr≤ ≤ . Για 0,5fmr ≤ εμφανίζεται μια πολύ ισχυρή άπωση, ενώ για

4fmr ≥ το δυναμικό έχει γίνει πολύ μικρό και σβήνει εκθετικά βάσει του τύπου (6.21). Η διαγράμμιση δείχνει την περιοχή όπου κυμαίνεται η απόσταση μεταξύ γειτονικών νουκλεονίων σ’ ένα πυρήνα. Το 1fm (που συχνά γράφεται ως 1f ) ισούται εξ ορισμού με 1510 m− .

Page 81: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΝΟΜΟΙ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΙΩΝ ΤΗΣ ΥΛΗΣ 7.1 Κλασική (μη κβαντική) εικόνα Ο νόμος κίνησης είναι ένας και παγκοίνως γνωστός, ο νόμος κίνησης του Νεύτωνα. Θα τον διατυπώσουμε στη μορφή:

ddt

=p F (7.1)

που ισχύει και στη νευτώνεια μηχανική και στην ειδική θεωρία της σχετικότητας. Το p είναι η ορμή που στη νευτώνεια μηχανική δίνεται από τον τύπο om=p υ , ενώ στην ειδική θεωρία της σχετικότητας από τους τύπους (5.5) και (5.4). Το F είναι η δύναμη. Άμεση συνέπεια του νόμου (7.1) είναι η σχέση /d dt =L M , που συνδέει το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής με τη ροπή της δύναμης

= ×M r F . Αποδείξτε την ξεκινώντας από τον (7.1). 7.2 Η κβαντική αναδόμηση Ι: Το ΗΜ κύμα γίνεται και σωμάτιο. Στις αρχές του εικοστού αιώνα είχε στηθεί το σκηνικό για τη μεγάλη κβαντική επανάσταση που επέκειτο. Το περίλαμπρο οικοδόμημα της κλασικής Φυσικής (Νευτώνεια μηχανική, ηλεκτρομαγνητισμός, κλασική στατιστική Φυσική) σκίαζαν ορισμένα πειραματικά δεδομένα, που δεν εντάσσονταν σ’ αυτό. Θα αναφέρουμε κατ’ αρχάς την φασματική κατανομή της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος και το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Για την πρώτη, ο συνδυασμός των τύπων (5.22) και (22), (σελ. xxi) έδινε ένα αποτέλεσμα ανάλογο1 του 2

Bk Tω , ενώ το πείραμα, παρόλο που επιβεβαίωνε αυτό το συμπέρασμα για χαμηλές συχνότητες, έδινε για υψηλές συχνότητες ένα

τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα, ανάλογο του 3 expBk Tωω

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

. Το

φωτοηλεκτρικό φαινόμενο έδειχνε επίσης μια γραμμική εξάρτηση της κινητικής ενέργειας του απελευθερωμένου ηλεκτρονίου από τη συχνότητα του

1 Αυτή η εξάρτηση προκύπτει αν λάβουμε υπόψη ότι η μέση ενέργεια U κάθε επίπεδου

κύματος ισούται με Bk T (Η απόδειξη βασίζεται στον ορισμό ( )U dU U p U= ∫ ), όπου

( ) exp( / ) / ( )Bp U U k T dU p U= − ∫ , βάσει του τύπου (5.22)). Ο παράγοντας 2ω οφείλεται

στο ότι ο αριθμός των επίπεδων κυμάτων με συχνότητα μεταξύ ω και dω ω+ ισούται βάσει του τύπου (22) με τον αριθμό των επίπεδων κυμάτων μεταξύ k και dk+k (αφού ckω = είναι

δηλαδή ανάλογος του όγκου του σφαιρικού φλοιού μεταξύ k και dk+k ). Ο όγκος αυτός

ισούται με 2 3 24 (4 / )k dk c dπ π ω ω= . Άρα ο αριθμός επίπεδων κυμάτων ανά μονάδα

συχνότητας είναι ανάλογος του 2ω . Η εξάρτηση 2 2/Bk T cω προκύπτει και από διαστατική ανάλυση εύκολα!

Page 82: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

56

ηλεκτρομαγνητικού κύματος και όχι από την ενέργεια του, όπως αυτή προκύπτει από τον τύπο (6.12). Και οι δύο αυτές αντιφάσεις λύθηκαν με την κβάντωση της ενέργειας σύμφωνα με τον τύπο (6.14). Για να γίνει σαφώς αντιληπτό πώς, θεωρήστε και συγκρίνετε τα σχήματα 7.1α και 7.1β που δίνουν τις επιτρεπτές ενέργειες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου ως συνάρτηση της συχνότητάς του. U

o ω Σχ.7.1α

Κλασική περίπτωση για ΗΜ κύμα χωρικά απεριόριστο: Όλες οι ενέργειας είναι επιτρεπτές ανεξάρτητα από τη συχνότητα. Άρα όλα τα σημεία του επιπέδου ω , U αντιστοιχούν σε επιτρεπτές ενέργειες.

U

o ω Σχ. 7.1β

Κβαντική περίπτωση για ΗΜ κύμα χωρικά απεριόριστο: Μόνο οι ενέργειες που ικανοποιούν τη σχέση U n ω= , ( 0,1,2,3...)n = είναι επιτρεπτές. Δηλαδή μόνο τα σημεία που κείνται επί των αντιστοίχων ευθειών αντιστοιχούν σε επιτρεπτές ενέργειες.

Στην κβαντική περίπτωση και για χαμηλές συχνότητες ( )Bk Tω το φάσμα των επιτρεπτών ενεργειών είναι πρακτικά σαν συνεχές (συμπίπτει, δηλαδή, με το κλασικό φάσμα) και επομένως το κβαντικό, το κλασικό και το πειραματικό αποτέλεσμα είναι σε συμφωνία. Για μεγάλες όμως συχνότητες ( )Bk Tω το φάσμα γίνεται πολύ αραιό και η πιθανότητα να διεγερθεί θερμικά έστω και ένα φωτόνιο είναι (βάσει του τύπου (6.14)) exp( / )Bk Tω− , δηλαδή πάρα πολύ

μικρή (η πιθανότητα να διεγείρει κανείς δύο φωτόνια είναι 2[exp( / )]Bk Tω− , άρα τελείως αμελητέα). Επομένως η μέση τιμή της ενέργειας αντί να ισούται με το κλασικό αποτέλεσμα Bk T ισούται με exp( / )Bk Tω ω− , πράγμα που επιβεβαιώνεται από τα πειραματικά δεδομένα. Έχουμε εδώ μια από τις δύο καίριες συνέπειες της κβάντωσης που αξίζει να εγγραφεί ανεξίτηλα στη μνήμη μας. Η κβάντωση δημιουργεί μια μη μηδενική ενεργειακή απόσταση oε μεταξύ της κατάστασης ελάχιστης ενέργειας και της αμέσως υψηλότερης. Όταν η μονάδα θερμικής ενέργειας Bk T , είναι αρκετά μικρότερη από αυτή την ενεργειακή διαφορά, oε , η πιθανότητα διέγερσης είναι πάρα πολύ μικρή, ίση με exp( / )o Bk Tε− και επομένως μπορούμε να πούμε ότι πρακτικά δεν υπάρχει διέγερση. Με άλλα λόγια όλοι οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος για τους οποίους ισχύει ( )o Bk Tε είναι σαν να μην υπάρχουν (παραμένουν «παγωμένοι» στη θεμελιώδη κατάσταση ελάχιστης ενέργειας). Αυτή η παρατήρηση έχει γενικότερη εφαρμοσιμότητα. Εάν προσφέρουμε σ’ ένα ενεργειακά κβαντωμένο σύστημα, μέσω κάποιας διαταραχής ενέργεια, εξε , το σύστημα θα δοκιμάσει να την απορροφήσει. Εάν η ενέργεια είναι μικρότερη του

Page 83: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

57

oε , μη επαρκής δηλαδή για να το διεγείρει στην επόμενη κατάσταση, το σύστημα θα αποβάλλει την ενέργεια σχεδόν ακαριαία και θα επιστρέψει στη θεμελιώδη του κατάσταση. Επομένως, η κβάντωση, υπό τις συνθήκες αυτές, οδηγεί σε αδυναμία διέγερσης, δηλαδή σε συμπεριφορά ως το σύνθετο σωμάτιο να ήταν στοιχειώδες, ή με άλλα λόγια σε σταθερότητα μεχρι του ορίου oε . Επειδή δε η κβάντωση εμφανίζεται σε μικροσκοπικής εκτάσεως κινήσεις, τα σύνθετα σωμάτια του μικρόκοσμου (πρωτόνια, νετρόνια, πυρήνες, άτομα, μόρια) εμφανίζουν μια θαυμαστή σταθερότητα που είναι η βάση της σταθερής και προβλέψιμης φυσικοχημικής συμπεριφοράς και το θεμέλιο πάνω στο οποίο χτίζεται ο Κόσμος που μας περιβάλλει. Η κβάντωση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος εξηγεί αμέσως το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Για να απελευθερωθεί ένα ηλεκτρόνιο από τα δεσμά του στερεού, όπου είναι έγκλειστο, θα πρέπει η ενέργεια του φωτονίου ω να είναι μεγαλύτερη από το έργο εξόδου W . Προφανώς η διαφορά Wω − (εφόσον είναι θετική) θα εμφανιστεί ως κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου:

2 / 2m Wυ ω= − . Σημειώστε ότι μπορεί να υπάρξει έξοδος του ηλεκτρονίου ακόμη και για Wω < , αρκεί να υπάρχει μια πολύ μεγάλη ροή φωτονίων. Πράγματι, αν κατά τον ελάχιστο χρόνο που το ηλεκτρόνιο δοκιμάζει να δει αν του αρκεί η ενέργεια ω για να ξεφύγει από το στερεό, έλθει ένα δεύτερο φωτόνιο, τότε (και εάν 2 Wω > ) θα έχουμε απελευθέρωση του ηλεκτρονίου και

2 / 2 2m Wυ ω= − (θα έχουμε δηλαδή, μια διφωτονική διέγερση, που παρατηρείται σε ΗΜ κύματα ισχυρών λέιζερ). Έτσι με την κβάντωση του ΗΜ πεδίου ξαναγυρίζουμε, εν μέρει όμως, στην ιδέα του Νεύτωνα για την σωματιδιακή φύση του φωτός χωρίς να εγκαταλείψουμε και τα κυματικά του χαρακτηριστικά. Όμως ο συνεχής και διαιρετός χαρακτήρας του κύματος αντικαταστάθηκε από το διάκριτο και άτμημο χαρακτήρα του σωματίου, εν προκειμένω του φωτονίου ενώ παρέμεινε (επί πλέον από το διάχυτο χωρικό1 χαρακτήρα του κύματος) και οι ιδιότητες συμβολής. Ασφαλώς ένα θέμα είναι το πώς να παντρέψουμε εννοιολογικά το διάκριτo και το άτμημο αφενός με το διάχυτο και τη συμβολή αφετέρου. 7.3 Η κβαντική αναδόμηση, ΙΙ: Τα σωμάτια γίνονται και κύματα Οι διάκριτες φασματικές γραμμές, που είχαν παρατηρηθεί από τον Balmer ήδη από το 1885, αλλά κυρίως το μυστήριο της σταθερότητας των ατόμων (η οποία στο πλαίσιο της κλασικής μηχανικής και του ηλεκτρομαγνητισμού ήταν απολύτως ασυμβίβαστη με το πλανητικό μοντέλο του Rutherford) οδήγησαν στη ριζοσπαστική πρόταση του Bohr για κβάντωση των κλασικών τροχιών. Ο Bohr πρότεινε ότι από όλες τις άπειρες τροχιές που μπορεί να έχει το ηλεκτρόνιο γύρω από το πρωτόνιο (στο άτομο του υδρογόνου) μόνο εκείνες είναι επιτρεπτές για τις οποίες η τροχιακή στροφορμή του ηλεκτρονίου είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της σταθεράς Plank (δια 2π ), : n= ( 1,2,3,...n = ) (7.2)

1 Ένα απολύτως επίπεδο κύμα, που αντιστοιχεί σ’ ένα συγκεκριμένο κυματάνυσμα, k , είναι

απλωμένο σ’ όλο το χώρο. Εάν θέλουμε να το περιορίσουμε σε μια περιοχή του χώρου όγκου 3xΔ θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μια υπέρθεση επίπεδων κυμάτων με k που να ανήκουν σε μια

περιοχή όγκου 3kΔ . Αποδεικνύεται μαθηματικά ότι ισχύει η σχέση 1 / 2k xΔ ⋅ Δ ≥ .

Page 84: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

58

Η αυθαίρετη (αλλά όχι αδιανόητη, ενόψει της σχέσης (6.17), L n= ) παραδοχή του Bohr είχε μεγάλη επιτυχία: Προσδιόρισε την τάξη μεγέθους των ατομικών διαστάσεων ( 2 2/Ba e m= στο G-CGS ή 2 24 /B oa e mπε= στο SI,

0,529ABa = ) καθώς και το έργο ιονισμού του ατόμου του υδρογόνου. Ερμήνευσε ποιοτικά και ποσοτικά τις φασματικές γραμμές του ατομικού υδρογόνου και, φυσικά, ήρε το παράδοξο της σταθερότητας των ατόμων (βάσει των όσων αναφέραμε στην προηγούμενη ενότητα). Παρέμενε όμως μια αυθαίρετη παραδοχή μέχρι που ο Louis-Victor de Broglie πρότεινε το 1924 την εξής ιδέα:

Αφού τα κλασικά κύματα έχουν και σωματιδιακά χαρακτηριστικά, γιατί να μην έχουν και τα κλασικά σωμάτια κυματικά χαρακτηριστικά; Μ’ άλλα λόγια, όπως στη συχνότητα ω και το κυματάνυσμα, k , του κύματος αντιστοιχίσαμε μια ενέργεια ε ω= και μια ορμή =p k , γιατί να μην αντιστοιχήσουμε στην ενέργεια του

σωματίου, ε , μια συχνότητα /ω ε= και στην ορμή του σωματίου p ένα κυματάνυσμα /p=k ;

Αν το τολμήσουμε, η αυθαίρετη παραδοχή του Bohr αντιστοιχεί σε στάσιμα ηλεκτρονιακά κύματα γύρω από το πρωτόνιο, μετατρέπεται, δηλαδή σε μια εύλογη απαίτηση. Με την ιδέα του de Broglie άνοιξε ο δρόμος για την διαμόρφωση μέσα σε τρία χρόνια (1925-1927) της κβαντομηχανικής, της πιο θεμελιακής και της πιο σημαντικής θεωρίας στην ιστορία των επιστημών, μιας θεωρίας που αποτέλεσε και αποτελεί τη βάση για τη θαυμαστή επιστημονική και τεχνολογική εξέλιξη του εικοστού (και όχι μόνο) αιώνα. Και τα σωμάτια, όπως και τα κύματα, έγιναν πια κυματοσωμάτια: Διατήρησαν τον διάκριτο και άτμημο χαρακτήρα του σωματίου(όσα ήσαν στοιχειώδη), αλλά παράλληλα απόκτησαν τον διάχυτο χωρικό χαρακτήρα (η τροχιά έγινε τροχιακός σωλήνας πεπερασμένου πάχους1) και προικίσθηκαν επίσης με τη δυνατότητα φαινομένων συμβολής. Συχνά ο τροχιακός σωλήνας υπό την επίδραση δυνάμεων συστρέφεται και κλείνει στον εαυτό του έτσι ώστε η συνολική έκτασή του να είναι συγκρίσιμη με το πάχος του (π.χ. σαν μια μικροσκοπική σαμπρέλα). Παίρνει τότε διάφορες διάκριτες και συγκεκριμένες μορφές (τα λεγόμενα τροχιακά). Στο Σχ. 7.2 εικονίζονται τρείς διαφορετικές μορφές του ηλεκτρονιακού τροχιακού σωλήνα γύρω από ένα πρωτόνιο. Οι διάφορες μορφές που μπορεί να πάρει ο τροχιακός σωλήνας ενός υλικού σωματίου υπό την επίδραση δυνάμεων καθορίζονται από τις λύσεις μιας κυματικής εξίσωσης που είναι γνωστή ως εξίσωση του Schrödinger2. Θα την

1 Συνδυάζοντας τη σχέση p k= με το μαθηματικό θεώρημα που αναφέραμε στην υποσημείωση της προηγούμενης σελίδας, 1 / 2x kΔ Δ ≥ , έχουμε τη σχέση 2/x pΔ ⋅ Δ ≥ , από την οποία έπεται ότι το πάχος του τροχιακού σωλήνα είναι κατ’ ελάχιστο ίσο με / 2 pΔ . Όπως η κυματική οπτική μετέτρεψε τη φωτεινή ακτίνα σε φωτεινό σωλήνα, έτσι και η κβαντομηχανική μετέτρεψε την τροχιά σε τροχιακό σωλήνα. 2 Όπως διηγείται ο F. Bloch, ο Schrödinger ήλθε μια μέρα στο σεμινάριο και δήλωσε: «Ο συνάδελφος Debye είπε ότι για να μιλήσει κανείς για (υλικά) κύματα πρέπει να έχει μια κυματική εξίσωση. Ε, λοιπόν, βρήκα μία».

Page 85: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

59

γράψουμε εδώ για λόγους πληρότητας, αλλά δε θα τη χρησιμοποιήσουμε γιατί θέλουμε να κρατήσουμε το μαθηματικό επίπεδο περίπου σ’ αυτό του λυκείου.

Α Β

Γ Δ Ε

Σχ.7.2 Διάφορες μορφές (που ονομάζονται τροχιακά) που παίρνει ο τροχιακός σωλήνας του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου: (Α) To τροχιακό 2s. (B) Το τροχιακό 2 zp . (Γ) Το τροχιακό 4s . (Δ) Το τροχιακό 4 zp . (Ε) Το τροχιακό

2 213

3 z rd−

. Ο αριθμός στο κάθε τροχιακό δηλώνει τον κύριο κβαντικό αριθμό-του

και το γράμμα καθορίζει την τροχιακή στροφορμή-του. (Βλ. σχετικά την παράγραφο 10.2). Τα μεγέθη των πέντε τροχιακών είναι στη σωστή κλίμακα. Τα τροχιακά Γ και Ε είναι περίπου της ίδιας ενέργειας. Tο πορτοκαλί χρώμα σημαίνει θετικές τιμές του ψ , ενώ το μπλέ αρνητικές.

2 2 2 2

2 2 2 ( , , )2

V x y z im tx y z

ψ ψ ψ ψψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

− + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (7.3)

όπου ( , , )V x y z είναι η δυναμική ενέργεια του σωματίου στη θέση ( , , )x y z≡r . Το ( , )tψ r είναι το αντίστοιχο του ( )tr της κλασικής φυσικής, με την έννοια ότι από το ( , )tψ r μπορούμε με συγκεκριμένους κανόνες να υπολογίσουμε όλα τα φυσικά μεγέθη που μας ενδιαφέρουν. Τα αποτελέσματα αυτών των υπολογισμών έχουν εν γένει πιθανοκρατικό χαρακτήρα, βρίσκουμε δηλαδή ποια είναι η πιθανότητα το τάδε μέγεθος να έχει τη δείνα τιμή (σε ορισμένες περιπτώσεις αυτή η πιθανότητα μπορεί να προκύψει μονάδα, όποτε έχουμε βεβαιότητα). Π.χ., το

22( ) / ( )dV dVψ ψ∫r r δίνει την πιθανότητα να βρούμε το σωμάτιο στο

Page 86: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

60

στοιχειώδη όγκο dV γύρω από το σημείο r 1. Αυτή η πιθανοκρατική φύση του ψ μας επιτρέπει να παντρέψουμε εννοιολογικά το διάχυτο χαρακτήρα του κύματος με το διάκριτο και αδιαίρετο χαρακτήρα του σωματίου, αφού αυτό που είναι απλωμένο δεν είναι το ίδιο σωμάτιο αλλά η πιθανότητα να το βρούμε στη μία ή στην άλλη περιοχή. Ας συνοψίσουμε τα βασικά σημεία της κβαντομηχανικής: Όλες οι στοιχειώδεις μονάδες της Φύσης, και τα κλασικά κύματα και τα κλασικά σωμάτια, είναι κυματοσωματίδια με την έννοια ότι έχουν και τον διάκριτο και άτμημο χαρακτήρα του σωματίου και τον διάχυτο και δυνάμενο να εμφανίσει συμβολή χαρακτήρα του κύματος. Αυτές οι μάλλον αντιφατικές έννοιες μπορούν να γίνουν συμβατές υιοθετώντας την ερμηνεία ότι αυτό που απλώνεται στο χώρο και δύναται να συμβάλλει δεν είναι το ίδιο το κυματοσωμάτιο αλλά η πιθανότητα (ή, πιο σωστά, το πλάτος πιθανότητας2) να το βρούμε εδώ ή εκεί. Το πλάτος πιθανότητας (είτε αυτό είναι το ψ για τα υλικά σωμάτια, είτε τα πεδία για το φωτόνιο, κοκ) καθορίζεται από τη λύση κάποιας κυματικής εξίσωσης (είτε αυτή είναι του Schrödinger για τα άλλα υλικά σωμάτια είτε του Maxwell για το ΗΜ πεδίο, κλπ.). Έχοντας τις λύσεις των κυματικών εξισώσεων μπορεί κανείς ακολουθώντας συγκεκριμένους (αλλά μάλλον περίπλοκους κανόνες) να υπολογίσει ποσότητες φυσικού ενδιαφέροντος. Το πιο σημαντικό της Κβαντομηχανικής δεν είναι μόνο η ενοποιημένη περιγραφή της Φύσης που έχει επιτύχει, αλλά η καταπληκτική της ερμηνευτική ισχύς που ξεκινάει από τα πιο στοιχειώδη συστατικά της ύλης και φτάνει μέχρι το Σύμπαν ολόκληρο. Αξίζει να επισημάνουμε ότι σε πάρα πολλά θέματα που αφορούν τη δομή των πυρήνων, των ατόμων, των μορίων, των στερεών σωματίων, των άστρων, κλπ. μπορούμε να χειριστούμε τα κυματοσωματίδια των αλληλεπιδράσεων, δηλαδή τους φορείς δυνάμεων, ως κλασικά πεδία, πράγμα που διευκολύνει πολύ τους υπολογισμούς χωρίς να εισάγει συνήθως άξια λόγου σφάλματα. Όπως αναφέραμε προηγουμένως η εννοιολογική κατανόηση και η εφαρμογή των κανόνων της Κβαντομηχανικής παρουσιάζει δυσκολίες. Εν τούτοις είναι δυνατόν να πετύχει κανείς σημαντικά ποιοτικά και ημιποσοτικά αποτελέσματα πολύ εύκολα χρησιμοποιώντας τις τρεις απλές αρχές, που συνοψίζουν την ουσία της Κβαντομηχανικής (Βλέπε Κεφ. 2).

1 Η μέση τιμή της ενέργειας δίνεται από τον ακόλουθο τύπο

2* *ˆ( ( ) ( ) ) /kE E dV V r dV dVψ ψ ψ ψ ψ= +⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫ όπου

2 2 2 2 2 2 2ˆ( ) ( / 2 ) ( / ) ( / ) ( / )kE m x y zψ ψ ψ ψ= − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂⎡ ⎤⎣ ⎦ .

2 Αφού η πιθανότητα συνδέεται με το 2ψ , ενώ τη συμβολή την εμφανίζει το ψ (που το αποκαλούμε πλάτος πιθανότητας) είναι σωστό τη λέξη πιθανότητα να την αντικαταστήσουμε με τον όρο πλάτος πιθανότητας.

Page 87: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΕΠΙΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΤΡΙΤΟΥ ΜΕΡΟΥΣ: ΚΑΙ Ο ΜΑΚΡΟΚΟΣΜΟΣ ΕΙΝΑΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΣ

Είναι αρκετά διαδεδομένη η άποψη ότι ο μικρόκοσμος διέπεται από τους νόμους της κβαντομηχανικής, ενώ ο μακρόκοσμος υπακούει στους κλασικούς νόμους. Έτσι διατυπωμένη η άποψη αυτή είναι λανθασμένη. Το σωστό είναι ότι οι μακροσκοπικές κινήσεις μακροσκοπικών αντικειμένων μπορούν να περιγραφούν απολύτως ικανοποιητικά χρησιμοποιώντας κλασική φυσική και δεν χρειάζονται το πιο περίπλοκο υπολογιστικό πλαίσιο της κβαντομηχανικής. Το ίδιο ισχύει και για ορισμένες οριακής φύσεως κινήσεις μικροσκοπικών αντικειμένων1. Το ότι όμως στις μακροσκοπικές κινήσεις μακροσκοπικών αντικειμένων μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το 0→ και να αναχθούμε έτσι στην κλασική μηχανική, δεν σημαίνει ότι και οι ιδιότητες μακροσκοπικών αντικειμένων (όπως, είναι, π.χ. η πυκνότητα τους, η συμπιεστότητά τους, η ηλεκτρική τους αντίσταση, η θερμοχωρητικότητά τους, κλπ.) προκύπτουν στα πλαίσια της κλασικής φυσικής. Αντίθετα για να κατανοήσουμε και να υπολογίσουμε τις ιδιότητες αυτές χρειαζόμαστε απαραιτήτως την κβαντομηχανική. Ένα παράδειγμα είναι η ταχύτητα του ήχου σ’ ένα στέρεο, όπου, όπως δείχνει ο τύπος (4.4΄) του κεφαλαίου 4 περιέχει το σήμα κατατεθέν της κβαντομηχανικής . Έπρεπε να το αναμένει κανείς ότι οι ιδιότητες σ’ όλες τις κλίμακες της ύλης (μικροσκοπικές και μακροσκοπικές) θα διέπονται από κβαντικούς νόμους. Ο λόγος είναι ότι οι ιδιότητες της ύλης καθορίζονται από τις κινήσεις των στοιχειωδών σωματίων της. Και οι κινήσεις αυτές απαιτούν για τη σωστή περιγραφή τους, τους κβαντικούς νόμους. Τα ακόλουθα παραδείγματα από ιδιότητες μακροσκοπικής ύλης θα επιβεβαιώσουν τις παραπάνω θέσεις: (α) Ακτινοβολία μέλανος σώματος Έστω ότι ( , )I ω θ είναι η ενέργεια που ακτινοβολείται στην κατεύθυνση θ ανά μονάδα χρόνου, ανά μονάδα επιφάνειας, ανά μονάδα συχνότητας, και ανά μονάδα στερεάς γωνίας από μια επιφάνεια θερμοκρασίας T που συμπεριφέρεται ως μέλαν σώμα (δηλαδή έχει συντελεστή απορρόφησης μονάδα). Η γωνία θ ορίζεται ως προς την κάθετη στην επιφάνεια. Όπως αναφέραμε προηγουμένως, ο κλασικός τύπος αποτυγχάνει πλήρως να περιγράψει το φαινόμενο για υψηλές συχνότητες Bk Tω ≥ , ενώ ο κβαντικός (που λαμβάνει υπόψη του την κβάντωση της ενέργειας του ΗΜ πεδίου) είναι σε εξαίρετη συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα για όλες τις συχνότητες και όλες τις θερμοκρασίες και έχει ως εξής:

( )( , ) cos

4c uI

Vωω θ θ

π= (Επ.1)

2

2 3 /( )

1Bk Tu

V c e ωω ω ω

π=

2

2 3 Bk Tc

ωπ

→ , Bk Tω < (Επ.2)

1 Π.χ., η κίνηση του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου για τιμές του κύριου κβαντικού αριθμού n πολύ-πολύ μεγαλύτερες από τη μονάδα (οι λεγόμενες τροχιές Rydberg) προσεγγίζει την έννοια της κλασικής τροχιάς.

Page 88: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

62

4

0

( , )I d d I Tολ ω ω θ σ∞

= Ω =∫ ∫ (Επ.3)

2 4

2 360Bk

cπσ = (Επ.4)

4

0

4( ) VU d u Tc

ω ω σ∞

= =∫ (Επ.5)

443 3UP TV c

σ= = (Επ.6)

Στους παραπάνω τύπους, το ( )u ω είναι η μέση ενέργεια1 του ΗΜ ανά μονάδα

συχνότητας, που στο κλασικό όριο Bk Tω είναι ανάλογη του 2Bk Tω . Η ροή

ενέργειας, Ι, ισούται με τη πυκνότητα ενέργειας, ( ) /u Vω , επί την ταχύτητα ροής c δια της ολικής στερεάς γωνίας 4π . Ο παράγοντας cosθ στη σχέση (Επ.1) εμφανίζεται λόγω ανάλυσης της ροής σε κάθετη συνιστώσα (που είναι ανάλογη του cosθ ) και εφαπτομενική συνιστώσα (η οποία ούτε ακτινοβολείται ούτε απορροφάται). Το Iολ είναι η ολική ακτινοβολία ενέργειας ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας και προκύπτει ολοκληρώνοντας το ( , )I ω θ ως προς τη συχνότητα και τη στερεά γωνία 2 sind dπ θ θΩ = , (στο ημισφαίριο από 0θ = έως

/ 2θ π= )). Το U είναι ολική ενέργεια φωτονίων θερμοκρασίας T σε όγκο V . Το P είναι η πίεση που ασκούν αυτά τα φωτόνια θερμοκρασίας T . Το σ είναι η λεγόμενη σταθερά των Stefan-Boltzmann. (β) Θερμοχωρητικότητα του ατμοσφαιρικού αέρα Το κλασικό αποτέλεσμα για την θερμοχωρητικότητα, VC , ενός mol αέρα είναι

3 3,5 , 8,31I/kmol2VC R R R R R= + + = = , ΛΑΘΟΣ (Επ.7)

όπου οι τρεις πρόσθετοι οφείλονται αντιστοίχως στη μεταφορική κίνηση του κάθε μορίου, στην περιστροφική κίνηση γύρω από το κέντρο μάζας κάθε μορίου, και στην ταλαντωτική κίνηση που αυξομειώνει το μήκος του δεσμού του κάθε μορίου. Το κβάντο κάθε μιας από αυτές τις κινήσεις είναι αντιστοίχως:

2 2

2/3 , ,IMV

ω

1 Η οποία ισούται με την ενέργεια, ω , κάθε φωτονίου συχνότητας, ω , επί το μέσο αριθμό φωτονίων ( ) 1/[exp( / ) 1]Bn k Tω ω= − επί τον αριθμό καταστάσεων ανά μονάδα συχνότητας

2 2 3/V cω π . Εάν συμβολίσουμε με x το λόγο / Bk Tω τότε ο μέσος αριθμός φωτονίων ισούται με

0

( ) nn

n n pω∞

=

= ∑ όπου, βάσει του τύπου (5.22), 0

exp( ) / exp( )nn

p xn xn∞

=

= − −∑ . Εκτελώντας

τις αθροίσεις (που ανάγονται σε γεωμετρική σειρά) καταλήγουμε στον παραπάνω τύπο για το ( )n ω . Σημειώστε ότι ο τύπος αυτός είναι ο ίδιος με τον (5,23) για 0μ = και ακέραιο σπιν.

Page 89: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

63

όπου Μ είναι η μάζα του μορίου, 2 /3V ο όγκος μέσα στον οποίο βρίσκεται ο αέρας, Ι η ροπή αδρανείας του μορίου ( 2 / 4I Md= , όπου d το μήκος του δεσμού) και ω η συχνότητα ταλάντωσης ( 0,292eV, 0,196eVω = για το 2N και το 2O αντιστοίχως). Είναι εύκολο να επαληθεύσει κάνεις ότι, υπό συνήθεις

συνθήκες 2 2 /3/Bk T MV>>> και 2 /Bk T I , πράγμα που σημαίνει ότι το κλασικό αποτέλεσμα για τους δύο πρώτους προσθετέους στη σχέση (Επ.7) είναι αξιόπιστο και συμπίπτει με το κβαντικό. Αντίθετα για τον τρίτο προσθετέο έχουμε ότι Bk Tω (για 300KT ≈ ) και επομένως το κλασικό αποτέλεσμα, R , δεν είναι σωστό. Ακριβώς λόγω της ανισότητας Bk Tω , ο ταλαντωτικός βαθμός ελευθερίας κάθε μορίου δεν θα μπορέσει να διεγερθεί σχεδόν καθόλου και θα είναι πρακτικά απών από τη θερμοχωρητικότητα. Επομένως όσο ισχύει η ανισότητα Bk Tω , η πρόβλεψη της κβαντομηχανικής για τη θερμοχωρητικότητα ενός mol αέρα είναι 2,5VC R= ΣΩΣΤΟ (Επ.8) πράγμα που συμφωνεί με τα πειραματικά δεδομένα. (γ) Συμβολή στη θερμοχωρητικότητα των μετάλλων από τα ελεύθερα ηλεκτρόνια Είδαμε από τη σχέση (5.21) και την παράγραφο 2.2 ότι η κλασική πρόβλεψη

32 e BC N k= είναι ΛΑΘΟΣ (Επ.9)

ενώ η κβαντική που, λόγω της αρχής του Pauli, γίνεται

*32 e BC N k= , όπου

2*

3B

e eF

k TN NE

π⎛ ⎞≈ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, είναι ΣΩΣΤΗ (Επ.10)

όπου 2 2 2/3(3 / ) / 2FE N V mπ= (δ) Θερμοχωρητικότητα μονωτών και ημιαγωγών Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι θερμοχωρητικότητες VC και PC ενός στερεού ως συνάρτηση της θερμοκρασίας:

Page 90: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

64

Σε υψηλές θερμοκρασίες, max / BT kω , (το maxω είναι η μέγιστη ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης των ατόμων), τα πειραματικά δεδομένα συμφωνούν με τν κλασική πρόβλεψη, 3V BC Nk≈ , όπου Ν είναι ο αριθμός των ατόμων του στερεού. Αυτό συμβαίνει επειδή για max / BT kω το maxBk T ω , δηλαδή το Bk T είναι πολύ μεγαλύτερο από όλες τις ιδιοσυχνότητες (επί ) του στερεού. Καθώς η θερμοκρασία μειώνεται, η ανισότητα Bk T ω ικανοποιείται για όλο και λιγότερες ιδιοσυχνότητες. Οι ιδιοσυχνότητες για τις οποίες ισχύει η αντίθετη ανισότητα, Bk Tω , στην ουσία δεν συμμετέχουν στη θερμοχωρητικότητα με

αποτέλεσμα ο αριθμός, *N , των ιδιοσυχνοτήτων, που συμμετέχουν στην ειδική θερμότητα να μειώνεται συνεχώς και να τείνει στο μηδέν για 0T → . Η συμβολή των ελευθέρων ηλεκτρονίων στη θερμοχωρητικότητα των μετάλλων είναι ασήμαντη (λόγω της αρχής του Pauli, βλέπε Σχ.2.1, σελ. 15), εκτός για πολύ χαμηλές θερμοκρασίες ( 5KT ≤ ), όπου η γραμμική (ως προς Τ) συμβολή των ηλεκτρονίων υπερέχει της συμβολής των ταλαντώσεων του κρυσταλλικού πλέγματος που είναι ανάλογη του 3T . (Βλέπε σχετικά το πρόβλημα 59, σελ. 196, 197). Το συμπέρασμα είναι ότι ο κβαντικός υπολογισμός, σε αντίθεση με τον κλασικό, αναπαράγει τα πειραματικά δεδομένα ακριβώς επιβεβαιώνοντας για άλλη μια φορά ότι οι ιδιότητες του μακρόκοσμου διέπονται από τους κβαντικούς νόμους.

Page 91: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ

ΑΠΟ ΤΑ ΚΟΥΑΡΚ ΜΕΧΡΙ ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ

ή

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΗΣ ΥΛΗΣ

Page 92: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

66

Page 93: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

67

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ : Δομή της Ύλης. Ισορροπώντας συνθλιπτικές και διαλυτικές τάσεις Στον πίνακα της σελίδας xi (Πιν. Ι) εικονίζονται σε αδρές γραμμές τα κύρια επίπεδα οργάνωσης της ύλης αρχίζοντας από τα κουάρκ και τα ηλεκτρόνια (που τα θεωρούμε πραγματικά στοιχειώδη) και καταλήγοντας στο Σύμπαν ολόκληρο. Δίνονται επίσης σε κάθε επίπεδο οι αντίστοιχες κλίμακες μήκους, τα συστατικά του, και το είδος των αλληλεπιδράσεων που καθορίζουν τη δομή του. Όπως αναφέραμε ήδη, από την κλίμακα του ατόμου (10-10m) μέχρι την κλίμακα ενός αστεροειδούς (105m), δηλαδή για 15 τάξεις μεγέθους, μόνο η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση καθορίζει την οργάνωση της ύλης.1 Όπως ήδη έχουμε τονίσει ξανά και ξανά και όπως θα φανεί στα επόμενα κεφάλαια, η οργάνωση της ύλης, υπό συνθήκες θερμοδυναμικής ισορροπίας, καθορίζεται από την αρχή της ελαχιστοποίησης της ολικής ενέργειας (ή της ελεύθερης ενέργειας του Gibbs). Η ολική ενέργεια συνίσταται συνήθως από ένα απωστικό όρο (τύπου κινητικής ενέργειας), Uα, που από μόνος του τείνει να διαλύσει το σύστημα στα «εξ ων συνετέθη» συστατικά του, και από ένα ελκτικό όρο (τύπου δυναμικής ενέργειας), Uε, που από μόνος του τείνει να συνθλίψει το σύστημα σε μια απειροελάχιστη κουκίδα άπειρης πυκνότητας. Η κβαντομηχανική παίζει ένα καίριο ρόλο γιατί παράγει (λόγω της αρχής του Heisenberg και με τη βοήθεια της αρχής του Pauli) τον όρο Uα (εκεί που η κλασική μηχανική θα έδινε Uα=0) και επιτρέπει έτσι να δημιουργηθεί η παρατηρούμενη δομή ισορροπίας από τον ανταγωνισμό μεταξύ Uα και Uε. Η παραπάνω εικόνα αντιστοιχεί στις εξής σχέσεις: Ευσταθής δομή ισορροπίας της ύλης ⇔ ελάχιστη ενέργεια U (Εσ4.1)

Το U είναι άθροισμα απωστικού, Uα, και ελκτικού, Uε, όρου (Εσ4.2) H ελαχιστοποίηση της ενέργειας U θα πρέπει να γίνει υπό τις προϋποθέσεις

0mT P đE= = = και ως προς όλες τις ελεύθερες παραμέτρους, που υπεισέρχονται στα Uα και Ue , όπως είναι, π.χ., ο όγκος, η χημική ή άλλη σύνθεση, κλπ. Π.χ. η ελαχιστοποίηση ως προς τον όγκο (για Τ=0) οδηγεί στην ισότητα της απωστικής και της συνθλιπτικής πίεσης:

0

0 aT

U P PV ε

=

∂⎛ ⎞ = ⇒ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (Εσ4.3)

αφού

ε0 0

, a ea

T T

U UP PV V= =

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Εσ4.4)

(λόγω του 1ου νόμου dU=TdS-PdV).

1 Για τους βιολογικούς οργανισμούς και οι άλλες αλληλεπιδράσεις παίζουν έναν έμμεσο ρόλο, αφού

η ζωή για να αναπτυχθεί χρειάζεται ένα κατάλληλο πλανήτη, χρειάζεται επίσης ένα κοντινό άστρο για να την τροφοδοτήσει με ενέργεια και να της αφαιρέσει εντροπία, κλπ.

Page 94: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

68

Page 95: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

69

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8

ΑΠΟ ΤΑ ΚΟΥΑΡΚ ΣΤΑ ΒΑΡΥΟΝΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΜΕΣΟΝΙΑ 8.1 Οι στοιχειώδεις διαδικασίες

(α) Εισαγωγικά σχόλια Όπως φαίνεται από τα Σχ. 1.1, 1.2, 1.3, και τα Σχ. 6.3, 6.4, 6.5, οι φυσικές διαδικασίες μπορούν να αναλυθούν σε στοιχειώδεις διαδικασίες όπου συντρέχουν σ’ ένα κόμβο δύο γραμμές λεπτονίων (ή δύο γραμμές κουάρκ) και μια γραμμή σωματίου-φορέα δυνάμεων. Σε κάθε στοιχειώδη κόμβο αλληλεπίδρασης διατηρούνται τα ακόλουθα μεγέθη:

• ορμή • στροφορμή • ηλεκτρικό φορτίο • χρωματικό φορτίο (8.1) • βαρυονικός αριθμός • λεπτονικός αριθμός (χωριστά για κάθε μία από τις τρεις οικογένειες

λεπτονίων). Υπάρχουν όμως και κάποιες σπάνιες διαδικασίες, όπου είναι δυνατόν, π.χ., ένα ev να αλλάζει σε μv , πράγμα που σημαίνει ότι η διατήρηση χωριστά του ηλεκτρονικού λεπτονικού αριθμού (ή του μιονικού) παραβιάζεται σε πολύ μικρό βαθμό.

Ορισμένες αλληλεπιδράσεις (αλλά όχι όλες) διατηρούν επίσης και άλλα μεγέθη, όπως είναι, π.χ. η ομοτιμία (parity). Στη συνέχεια, όταν εξετάσουμε μία-μία τις αλληλεπιδράσεις, θα αναφέρουμε κατά περίπτωση ποια επιπλέον μεγέθη διατηρούνται. Αξίζει να αναφέρουμε ότι η ενέργεια διατηρείται προφανώς σε κάθε φυσική διαδικασία, όχι όμως κατ’ ανάγκη και σε κάθε στοιχειώδη κόμβο. Ο λόγος είναι ότι κάθε στοιχειώδης διαδικασία διαρκεί ένα απειροελάχιστο χρονικό διάστημα Δt και επομένως υπάρχει μια αβεβαιότητα ΔΕ στη συνολική τιμή της ενέργειας σε κάθε στοιχειώδη κόμβο, όπου tE Δ≈Δ / , σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg. (Βλέπε την Κβαντομηχανική Ι, Στ. Τραχανά (ΠΕΚ, 2005), σελ. 57-62 για σχολιασμό της σχέσης tE Δ≈Δ / ). Κλείνοντας αυτήν την εισαγωγή θα τονίσουμε την αξία και τη χρησιμότητα των διαγραμμάτων, η οποία οφείλεται σε δύο κυρίως λόγους: (α) Τα διαγράμματα παρέχουν μια πολύ εύκολη, άμεση, και εποπτική εικόνα για τις φυσικές διαδικασίες που λαμβάνουν χώρα μεταξύ στοιχειωδών σωματίων (και της ύλης και των φορέων δυνάμεων).

(β) Τα διαγράμματα παρέχουν επίσης τη δυνατότητα ποσοτικών υπολογισμών μεγάλης ακριβείας ακολουθώντας ορισμένους κανόνες. Οι κανόνες αυτοί είναι αρκετά περίπλοκοι για να τους παρουσιάσουμε σ’ αυτό το εισαγωγικό βιβλίο. Ο αναγνώστης όμως θα πρέπει να γνωρίζει ότι με βάση τα διαγράμματα μπορεί κανείς να πετύχει ποσοτικά αποτελέσματα και να τα συγκρίνει με πειραματικά δεδομένα.

Page 96: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

70

(i) Ισχυρές αλληλεπιδράσεις μεταξύ κουάρκ με φορέα τα γλοιόνια

q

g

q

Σχ. 8.1

To παραπάνω σχήμα παριστά μια στοιχειώδη διαδικασία όπου ένα κουάρκ τύπου q (q=u,d,c,s,t,b) εκπέμπει ή απορροφά ένα γλοιόνιο παραμένοντας το ίδιο κουάρκ q. Αν αντιστρέψουμε τη φορά του χρόνου, το ίδιο διάγραμμα παριστά μια διαδικασία όπου ένα αντικουάρκ btscduqq ,,,,,( = ) εκπέμπει ή απορροφά ένα γλοιόνιο παραμένοντας το ίδιο αντικουάρκ q . Επίσης, αν η διεύθυνση του βέλους του χρόνου είναι οριζόντια και με φορά από αριστερά προς τα δεξιά, το ίδιο διάγραμμα 8.1 παριστά τον αφανισμό ενός ζεύγους κουάρκ q-αντικουάρκ q (q=u,d,c,s,t,b) με ταυτόχρονη δημιουργία ενός γλοιονίου. Αν η φορά τους βέλους του χρόνου είναι από δεξιά προς τα αριστερά, τότε το ίδιο διάγραμμα 8.1. μπορεί να ερμηνευθεί ως ο αφανισμός ενός γλοιονίου με ταυτόχρονη δημιουργία ενός ζεύγους κουάρκ – αντικουάρκ q-q (q=u,d,c,s,t,b). Το αντικουάρκ είναι πάντα εκείνο που η φορά του βέλους του είναι αντίθετη με το βέλος του χρόνου, σύμφωνα με τους κανόνες των διαγραμμάτων Feynman. Θυμίζουμε στον αναγνώστη ότι κάθε κουάρκ q(q=u,d,c,s,t,b) φέρει χρωματικό φορτίο που είναι τριών τύπων R, G, B. Επίσης κάθε αντικουάρκ btscduqq ,,,,,( = ) φέρει αντιχρωματικό φορτίο που είναι τριών τύπων: BGR ,, . Τέλος το κάθε γλοιόνιο φέρει ζεύγος χρωματικού- αντιχρωματικού, φορτίου που είναι οκτώ τύπων:

1 1, , , , , , ( ), ( 2 )2 6

RG RB GR GB BR BG RR GG RR GG BB− + − (8.2)

Σε κάθε κόμβο του Σχ. 8.1 διατηρείται το χρωματικό φορτίο. Π.χ., αν το κουάρκ q που προσέρχεται στον κόμβο, είναι τύπου R και το κουάρκ, που απομακρύνεται από τον κόμβο, είναι τύπου Β, τότε το γλοιόνιο που εκπέμπεται θα είναι τύπου BR (ή το γλοιόνιο που απορροφάται θα είναι τύπου RB ) προκειμένου να διατηρηθεί το χρωματικό φορτίο. Σημειώστε, ότι, λόγω του ότι τα γλοιόνια φέρουν χρωματικό φορτίο – αντιφορτίο, το χρωματικό φορτίο του κάθε κουάρκ θα αλλάξει λόγω της ισχυρής αλληλεπίδρασης, εάν το γλοιόνιο που εκπέμπεται ή απορροφάται είναι των έξη πρώτων τύπων. Γλοιόνια των δύο τελευταίων τύπων αφήνουν αναλλοίωτο το χρωματικό φορτίο του κουάρκ. Τα γλοιόνια, επειδή φέρουν χρωματικό-αντιχρωματικό φορτίο, αλληλεπιδρούν κατ’ ευθείαν μεταξύ τους όπως δείχνουν τα δύο στοιχειώδη διαγράμματα που ακολουθούν.

t

Page 97: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

71

g

g g

Σχ. 8.2

g g

g g

Σχ.8.3 Οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις διατηρούν σε κάθε κόμβο, πέραν των μεγεθών που αναφέρονται στον κατάλογο (8.1), την συζυγία φορτίου (charge conjugation), «την αντιστροφή του χρόνου», το λεγόμενο ισοτοπικό σπιν και την τρίτη προβολή του, και εφόσον δεν αλλάζουν το είδος του quark, την παραδοξότητα, την charm, την bottomness, και την topness.

(ii) Ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση

φ

γ

φ Σχ. 8.4

Ένα ηλεκτρικά φορτισμένο σωμάτιο (φ) (είτε είναι σωμάτιο ύλης, όπως το ηλεκτρόνιο ή ένα κουάρκ, ή σωμάτιο – φορέας δυνάμεων, όπως τα ±W ) μπορεί να εκπέμψει ή να απορροφήσει ένα φωτόνιο (γ) παραμένοντας σωμάτιο φ και διατηρώντας το ηλεκτρικό του φορτίο (αφού το φωτόνιο είναι ηλεκτρικά ουδέτερο). Επιλέγοντας τη διεύθυνση του χρόνου οριζόντια και όχι κατακόρυφη το παραπάνω διάγραμμα μπορεί επίσης να ερμηνευθεί ως δίδυμη εξαφάνιση, ή δίδυμη δημιουργία ενός ζεύγους σωματίων / αντισωματίων με αντίστοιχη δημιουργία ή εξαφάνιση ενός φωτονίου. Η ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση διατηρεί επίσης τα πάντα, όπως και η ισχυρή, πλην του ισοτοπικού σπιν Ι.

άμεση αλληλεπίδραση

τριών γλοιονίων

άμεση αλληλεπίδραση

τεσσάρων γλοιονίων

Page 98: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

72

(iii) Ασθενής αλληλεπίδραση

Zo

: ve, e, vμ, μ ,vτ, τ Σχ. 8.5

q

q

q: u, d, c, s, t, b

Σχ. 8.6

‘Όπως φαίνεται στα σχήματα 8.5 και 8.6 ένα οποιοδήποτε λεπτόνιο ή ένα οποιοδήποτε κουάρκ μπορεί να εκπέμψει ή να απορροφήσει ένα διανυσματικό μποζόνιο Ζο, παραμένοντας το ίδιο λεπτόνιο ή το ίδιο κουάρκ και διατηρώντας το ηλεκτρικό του φορτίο (και το χρωματικό του φορτίο προκειμένου για κουάρκ).

v

:e, μ, τ :e, μ, τ Σχ. 8.7

‘Όπως φαίνεται στο σχήμα 8.7 ένα λεπτόνιο ( =e, μ, τ) , μπορεί να εκπέμψει ένα διανυσματικό μποζόνιο W- ή να απορροφήσει ένα διανυσματικό μποζόνιο W+ μετατρεπόμενο ταυτόχρονα στο αντίστοιχο νετρίνο v . To συνολικό ηλεκτρικό φορτίο στον κόμβο διατηρείται. Αντίστοιχη εικόνα ισχύει και για τα αντισωμάτια..

Zo

W- W+ v

W- W+

vv

Page 99: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

73

Σχ. 8.8

Όπως φαίνεται στο σχήμα 8.8 ένα νετρίνο v ( :e, μ, τ) μπορεί να απορροφήσει ένα διανυσματικό μποζόνιο W- ή να εκπέμψει ένα διανυσματικό μποζόνιο W+ και να μετατραπεί στο αντίστοιχο λεπτόνιο ( =e, μ, τ).Το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο στον κόμβο διατηρείται. Αντίστοιχη εικόνα ισχύει και για τα αντισωμάτια. d d

u u

Σχ. 8.9

Στο Σχ. 8.9 παρουσιάζεται η διαδικασία (μέσω ασθενών αλληλεπιδράσεων) όπου ένα κουάρκ u μετατρέπεται σε κουάρκ d εκπέμποντας ένα διανυσματικό μποζόνιο W+ ή απορροφώντας ένα διανυσματικό μποζόνιο W-. Αντί του ζεύγους (u,d) μπορούμε να έχουμε στα παραπάνω διαγράμματα είτε το ζεύγος (c,s) είτε το ζεύγος (t,b).

u u

d d

Σχ. 8.10

Στο Σχ. 8.10 παρουσιάζεται αντίστοιχη διαδικασία όπου ένα κουάρκ d μετατρέπεται σε κουάρκ u (ή ένα κουάρκ s μετατρέπεται σε κουάρκ c, ή ένα κουάρκ b μετατρέπεται σε κουάρκ t) εκπέμποντας ένα W- ή απορροφόντας ένα W+. Σημειώστε ότι οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις επιτρέπουν επίσης και αλλαγές του τύπου των Σχ. 8.9 και 8.10 μεταξύ διαφορετικών οικογενειών κουάρκ. Π.χ., στο Σχ. 8.9 το κουάρκ u, μπορεί να αντικατασταθεί από κουάρκ c ή κουάρκ t, ή, πχ. στο Σχ. 8.10 το d μπορεί να αντικατασταθεί από το s,ή το b και το u από το t ή το c. Παραδείγματα τέτοιων διαδικασιών παρουσιάζονται στο Σχ. 8.11. Σημειώστε ότι σ’ όλα τα διαγράμματα των Σχ. 8.5 έως και 8.11, η φορά του χρόνου μπορεί να αντιστραφεί και τα ίδια διαγράμματα μπορούν να περιγράψουν διαδικασίες με αντισωμάτια (βάσει του κανόνα ότι γραμμές λεπτονίων ή κουάρκ με βέλος αντίθετο της φοράς του χρόνου αντιστοιχούν με αντισωμάτια). Εάν η διεύθυνση του βέλους του χρόνου γίνει οριζόντια τα αντίστοιχα διαγράμματα περιγράφουν αφανισμό λεπτονίου-αντιλεπτονίου ή κουάρκ-αντικουάρκ με δημιουργία διανυσματικού μποζονίου ή αφανισμό διανυσματικού μποζονίου με δημιουργία ζεύγους σωματίου αντισωματίου.

W+ W-

W- W+

Page 100: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

74

d d

c t

2,0~1s 06,0~21ss

u c

s b

2,0~1s 5,0~2s

Σχ. 8.11 Στοιχειώδεις διαδικασίες όπου με εκπομπή διανυσματικών μποζονίων W+ ή W- έχουμε μετατροπές κουάρκ μεταξύ μελών διαφορετικών οικογενειών. Οι στοιχειώδεις αυτές διαδικασίες έχουν μικρότερο πλάτος πιθανότητας να συμβούν κατά ένα παράγοντα 2,01 ≈s ( η πρώτη και η τρίτη), ή 5,02 ≈s (η τέταρτη ) ή 06,021 ≈ss (η δεύτερη). Σημειώστε ότι οι διαδικασίες αυτές δεν διατηρούν την ιδιότητα του χαρίσματος (η πρώτη) ή του κορυφαίου (η δεύτερη) ή του παράξενου (η τρίτη) ή του πυθμενικού (η τέταρτη).

Σημειώστε ότι οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις επιτρέπουν στοιχειώδεις διαδικασίες μεταξύ σωματίων – φορέων της ασθενούς αλληλεπίδρασης ή και φωτονίων όπως οι εικονιζόμενες στο Σχ. 8.12 Ζο ±W ±W ±W Ζο ±W Ζο

γ

Ζο ±W ±W ±W Ζο ±W γ

γ

Zo

W+ W+

W- W-

±W γ

±W

Σχ. 8.12

±W

±W

Page 101: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

75

8.2 Συνδυάζοντας τα κουάρκ

Είναι λογικό να αρχίσει κανείς τη διαδικασία σχηματισμού σύνθετων δομών της ύλης ξεκινώντας από την ισχυρή αλληλεπίδραση που είναι δύο με τρεις τάξεις μεγέθους ισχυρότερη από οποιαδήποτε άλλη. Όπως φαίνεται από τα στοιχειώδη διαγράμματα της προηγούμενης ενότητας μόνο τα κουάρκ (από τα σωμάτια ύλης με τη στενή έννοια) είναι πηγές και αποδέκτες αυτής της αλληλεπίδρασης. Προσπαθώντας να συνδυάσουμε κουάρκ για σχηματισμό συνθετότερων δομών παρατηρούμε ότι ουσιαστικά υπάρχουν δύο μόνο είδη συνδυασμών. Είτε έχουμε ένα ζεύγος κουάρκ-αντικουάρκ (οπότε το προκύπτον σωμάτιο ονομάζεται μεσόνιο) είτε έχουμε τρία κουάρκ μαζί (οπότε το προκύπτον σύνθετο σωμάτιο ονομάζεται βαρυόνιο). Τα μεσόνια και τα βαρυόνια ονομάζονται από κοινού αδρόνια, επειδή είναι πηγές και αποδέκτες της ισχυρής δύναμης, (αδρός≡ ισχυρός). Υπάρχουν πειστικά επιχειρήματα αλλά όχι ακόμη αυστηρή μαθηματική απόδειξη ότι η θεωρία των ισχυρών αλληλεπιδράσεων προβλέπει ότι οι μόνοι συνδυασμοί κουάρκ ή / και γλοιονίων που μπορούν να υπάρξουν ελεύθεροι είναι άχρωμοι. Επομένως είτε πρέπει να συνδυάσουμε κουάρκ-αντικουάρκ αντίθετων χρωμάτων για να έχουμε άχρωμα μεσόνια ή να συνδυάσουμε τρία κουάρκ όλα διαφορετικών χρωμάτων (RGB, θυμηθείτε τον «δίσκο του Νεύτωνα») έτσι ώστε να έχουμε άχρωμα βαρυόνια ή τέλος να έχουμε άχρωμους συνδυασμούς όπου συμμετέχουν γλοιόνια (με ή χωρίς κουάρκ). Άλλοι συνδυασμοί, π.χ., δύο κουάρκ ή τέσσερα κουάρκ θα δίνουν σύνθετα σωμάτια με χρώμα, πράγμα που θα καταστρατηγούσε την αρχή της αχρωμίας.1 Τονίζουμε ότι οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις μεταξύ ζεύγους κουάρκ ή ζεύγους κουάρκ –αντικουάρκ ή ζεύγους αντικουάρκ-αντικουάρκ μπορεί να προκύψουν είτε ελκτικές είτε απωστικές ανάλογα του χρωματικού φορτίου των δύο μελών του ζεύγους (κατ’ αντιστοιχία με τις ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις που είναι ελκτικές μεταξύ ετερωνύμων ηλεκτρικών φορτίων και απωστικές μεταξύ ομωνύμων). Η κύρια διαφορά μεταξύ ισχυρών και ηλεκτρομαγνητικών αλληλεπιδράσεων είναι ότι οι πρώτες είναι τόσο πολύ περίπλοκες (λόγω και των διαγραμμάτων στα Σχ. 8.2, 8.3 και 8.11) και τόσο ισχυρές ώστε ακριβείς υπολογισμοί της ολικής ενέργειας είναι πολύ δυσχερείς αν όχι αδύνατοι με το παρόν επίπεδο υπολογιστικών δυνατοτήτων. Υπάρχουν εν τούτοις σοβαρές ενδείξεις και γενικά θεωρήματα ότι οι συνδυασμοί κουάρκ – αντικουάρκ (δηλαδή τα μεσόνια) έχουν πράγματι χαμηλή ενέργεια και επομένως είναι σταθεροί σχετικά σχηματισμοί (μετασταθείς). Κάποιες ενδείξεις υπάρχουν επίσης ότι οι άχρωμοι συνδυασμοί τριών κουάρκ ή τριών αντικουάρκ είναι ενεργειακά συμφέρουσες γιατί οι ανά δύο αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους φαίνεται να είναι ελκτικές. Στους Πίν. 8.1 και 8.2 δίνεται η σύνθεση και κάποια άλλα χαρακτηριστικά μερικών βαρυονίων και μεσονίων από τα εκατοντάδες που έχουν παρατηρηθεί και μελετηθεί. Ο χρόνος ζωής που δίνεται είναι ο μέσος χρόνος ζωής τ που χαρακτηρίζει την εκθετική μείωση του αριθμού, n, των σωματίων

/~ ton n e τ− (8.3)

και συνδέεται με το χρόνο υποδιπλασιασμού 2/1t με τη σχέση (8.4)

1 Φυσικά θα μπορούσαμε να έχουμε έξη κουάρκ, κλπ. Αυτοί όμως οι άλλοι συνδυασμοί πιστεύουμε

ότι έχουν πολύ μεγαλύτερη ενέργεια ώστε να μη συμφέρει να σχηματίσουν σταθερές δομές.

Page 102: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

76

1/2 1/ 2t n2 0,693

tτ = = (8.4)

Υπάρχουν προβλέψεις βασισμένες σε εκτενείς αριθμητικούς υπολογισμούς για την ύπαρξη δέσμιων καταστάσεων με δύο γλοιόνια (gg) και μάζα ~1550 95MeV± και spin 0 καθώς και άλλης με μάζα 2270 100MeV± και spin 2. Υπάρχουν ακόμη προβλέψεις για δέσμιες καταστάσεις ( qqg ). Τέλος υπάρχουν σωμάτια/συντονισμοί που έχουν παρατηρηθεί και που είναι υποψήφια για τέτοια ερμηνεία. Bλέπε το βιβλίο του D. H. Perkins: Εισαγωγή στη Φυσική Υψηλών Ενεργειών, Τυποθήτω, Αθήνα , 1998.

Πίν. 8.1: Μερικά από τα βαρυόνια που έχουν παρατηρηθεί και μελετηθεί

Όνομα/

Σύμβολο Σύνθεση Μάζα /me Μέγεθος (f)

Ηλεκτρικό

φορτίο

( e )

Μέσος

χρόνος

ζωής (s)

Κύρια

διαδικασία

διάσπασης

πρωτόνιο/p uud 1836,15 0,8 1 >1032y -

νετρόνιο/n udd 1838,68 0,8 0 889 →pe ev

Δ++ uuu 2411 - 2 5,5x10-24 →pπ+

Λο uds 2183 0 2,63x10-10 pπ-, nπο

Σο uds 2334 0 6x10-20 → Λογ

Σ+ uus 2318 1 0,8 x10-10 → pπο, nπ+

Σ- dds 2343 -1 1,48 x10-10 →nπ-

Ξο uss 2573 0 2,9 x10-10 → Λο πο

Ξ- dss 2586 -1 1,64 x10-10 → Λο π-

Ω- sss 3273 -1 0,82 x10-10 ΛοΚ -, Ξοπ -

Λc udc 4471 0 2,1x10-13 pK-π+

Άσκηση: Διατυπώστε μέσω στοιχειωδών διαδικασιών τις κύριες φυσικές διαδικασίες αφανισμού των βαρυονίων του Πιν. 8.1 Εξηγήστε την τάξη μεγέθους του παρατηρούμενου μέσου χρόνου ζωής.

Page 103: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

77

Πίν. 8.2 Μερικά από τα μεσόνια που έχουν παρατηρηθεί και μελετηθεί

Σύμβολο Σύνθεση

Μάζα

/me

Ηλεκτρικό

φορτίο (e) Σπιν

Μέσος χρόνος

ζωής (s)

Κύριος τρόπος

διάσπασης

πο )(2

1 dduu − 264 0 0 0,84x10-16 γγ

π+ u d 273 1 0 2,603x10-8 μ+νμ

π- du 273 -1 0 2,603x10-8 μμ v−

Ko d s 0 0 81017,5 −×ΚοL πο πο πο

oK s d 0 0 1010892,0 −×Κο

s π+ π-

K+ u s 1 0 1,237 x10-8 μ+νμ

K- us -1 0 1,237 x10-8 μμ v−

J/ψ cc 6070 0 1 7,5x10-15 Κυρίως αδρόνια

oee πππημμ )(,, −+−+−+

Do uc 0 0 4,15x10-13 oK ππ +− κ.α.

oD cu 0 0

D+ dc 1 0 1,07 x10-12

D- cd -1 0

B+ bu +1 1,62x10-12

B- ub -1

odB bd 0

odB db 0 1,56x10-12

osB bs 0

osB sb 0

Άσκηση: Διατυπώστε μέσω στοιχειωδών διαδικασιών τις κύριες φυσικές διαδικασίες αφανισμού των μεσονίων του Πιν. 8.2. Εξηγήστε την τάξη μεγέθους του παρατηρούμενου μέσου χρόνου ζωής.

970

3650

10315

Page 104: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

78

Θα κλείσουμε αυτήν την εισαγωγή στους δυνατούς συνδυασμούς των κουάρκ με το ακόλουθο ερώτημα: Γιατί να μην συνδυάζονται έξη κουάρκ και να δημιουργήσουν ένα ενιαίο σωμάτιο; Ένας άλλος τρόπος να θέσουμε το ίδιο ερώτημα είναι: Γιατί να μη συνενώνονται δύο (ή και περισσότερα βαρυόνια) σ’ ένα ενιαίο σχηματισμό έξη (ή γενικότερα 3n) κουάρκ; Η απάντηση σχετίζεται και πάλι με το ότι η δύναμη μεταξύ ζευγών κουάρκ είναι άλλοτε ελκτική και άλλοτε απωστική ανάλογα με το χρωματικό φορτίο των κουάρκ. Φαίνεται ότι ο συνδυασμός έξη κουάρκ εμπεριέχει αρκετές απωστικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ κάποιων από τα 15 ζεύγη, έτσι ώστε η συνολική ενέργεια έξη κουάρκ να είναι πολύ υψηλή, που να αποτρέπει το σχηματισμό τους σ’ ένα ενιαίο σωμάτιο. Όμως δύο τριάδες RGB που δεν έχουν συνενωθεί σε μια εξάδα (αφού δεν συμφέρει ενεργειακά) αλλά βρίσκονται η μία κοντά στην άλλη υφίστανται μια εναπομένουσα1 ελκτική ισχυρή δύναμη, η δυναμική ενέργεια της οποίας έχει τη μορφή που εικονίζεται στο Σχ. 6.6. Θα καταλήγαμε στο ίδιο συμπέρασμα αν ξεκινούσαμε από αυτή τη δυναμική ενέργεια μεταξύ δύο βαρυονίων (Σχ. 6.6). Βλέπουμε ότι συμφέρει ενεργειακά να πλησιάσουν αρκετά τα δύο βαρυόνια. Αν όμως πλησιάσουν πάρα πολύ (d≤0,5f) αναπτύσσεται μια πολύ ισχυρή απωστική δύναμη που εμποδίζει τη σύντηξή τους σ’ ένα ενιαίο σωμάτιο έξη κουάρκ. Στο επόμενο κεφάλαιο θα δεχτούμε την ύπαρξη της εναπομένουσας ισχυρής αλληλεπίδρασης, όπως αυτή εικονίζεται στο Σχ. 6.6 και θα συνθέσουμε τους πυρήνες από βαρυόνια (δηλ. πρωτόνια και νετρόνια) που διατηρούν, όμως μέσα στον πυρήνα την διάκριτη ταυτότητά τους και δεν ομογενοποιούνται σ’ ένα ομοιόμορφο σύνολο κουάρκ-γλοιονίων.2 Για τις μάζες των στοιχειωδών σωματίων ύλης, δηλ. των λεπτονίων και των κουάρκ, βλέπε τον Πιν. ΙΙΙ (σελ. xiv).

1 Η εναπομένουσα ισχυρή ελκτική δύναμη μεταξύ δύο βαρυονίων είναι κάπως ανάλογη με την

εναπομένουσα ηλεκτρική δύναμη μεταξύ δύο ουδέτερων ατόμων. Η ηλεκτρική αυτή δύναμη είναι ό,τι απομένει από τις προσθαφαιρέσεις των απωστικών δυνάμεων (μεταξύ πρωτονίων και μεταξύ ηλεκτρονίων) και των ελκτικών μεταξύ πρωτονίων – ηλεκτρονίων.

2 Πιστεύεται ότι υπό συνθήκες πολύ υψηλής θερμοκρασίας και πίεσης μπορεί να σχηματισθεί μια τέτοια ομοιογενής μάζα-γλοιονίων-κουάρκ.

Page 105: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΑΠΟ ΤΑ ΝΟΥΚΛΕΟΝΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΥΡΗΝΕΣ

9.1 Η ολική πυρηνική ενέργεια Θεωρήστε ότι έχουμε ένα πυρήνα που αποτελείται από Α νουκλεόνια. Υποθέτουμε ότι από τα Α νουκλεόνια τα Ζ είναι πρωτόνια και τα υπόλοιπα Α-Ζ=Ν είναι νετρόνια. Θέλουμε να υπολογίσουμε την ολική ενέργεια αυτού του πυρήνα, η οποία αποτελείται από την ενέργεια ηρεμίας 22 cNmcZm np + των νουκλεονίων (όταν είναι απομονωμένα) συν την κινητική ενέργεια ΕΚ (βάσει των αρχών του Heisenberg και του Pauli) συν τη δυναμική ενέργεια ΕΔ. Η ποσότητα –(ΕΚ+ΕΔ), που είναι θετική, ονομάζεται ενέργεια σύνδεσης και συμβολίζεται συνήθως με Β: Β = –(ΕΚ+ΕΔ). Άρα

2 2p nE m c Zm c Bολ = Ζ + − .

Ο όγκος του πυρήνα V είναι ανάλογος του γινομένου του όγκου, Vo, κάθε νουκλεονίου επί τoν αριθμό, Α, των νουκλεονίων. oV a AV= (9.1)

όπου η σταθερά αναλογίας α είναι προφανώς μεγαλύτερη από τη μονάδα (αφού μεταξύ των νουκλεονίων υπάρχει ακάλυπτος χώρος). O Vo, ο όγκος του κάθε νουκλεονίου, ισούται με Vo=(4π/3) 3

or , όπου η ακτίνα ro του κάθε νουκλεονίου είναι ίση με 0,8f 1. Η ακτίνα του πυρήνα R συνδέεται με τον όγκο του, V: V=(4π/3)R3. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εκφράσεις για το V και το Vo στην (9.1) έχουμε ότι

1/3 1/3oR a A r= (9.1΄)

Η εμπειρική τιμή του a1/3ro είναι περίπου 1,2 f που αντιστοιχεί στην τιμή a= 3,375 και αλλάζει λίγο με το μέγεθος του πυρήνα. Η τιμή του a για κάθε πυρήνα, όπως και όλων των ελεύθερων παραμέτρων, πρέπει να προκύψει θεωρητικά, από την ελαχιστοποίηση της ολικής ενέργειας. Η δυναμική ενέργεια έχει δύο συνιστώσες: την απωστική ενέργεια (Coulomb) UΔC, μεταξύ των πρωτονίων (η οποία ισούται με τον αριθμό, Ζ(Ζ-1)/2, των ζευγών πρωτονίων επί μια μέση τιμή e2/r, της δυναμικής ενέργειας Coulomb).

2 2

, 1

1 1 ( 1) 5, 2 2 6

Z

Ci j ij

e Z Z eE r Rr rΔ

=

−= = ≈∑ 2 (9.2)

και την ελκτική ενέργεια UΔΙ, λόγω των ισχυρών αλληλεπιδράσεων. Η UΔΙ ισούται με μια μέση ισχυρή ενέργεια, -ε, μεταξύ ενός ζεύγους διπλανών3 νουκλεονίων επί τον αριθμό των ζευγών διπλανών νουκλεονίων. Παρατηρήστε όμως

1 151f 1fm 10 m−≡ ≡ 2 Ο συντελεστής 5/6 προκύπτει αν δεχτούμε ότι τα πρωτόνια είναι κατανεμημένα ομοιόμορφα στον

όγκο του πυρήνα. 3 Λόγω του ότι οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις είναι βραχείας εμβέλειας, γίνονται αισθητές μόνο μεταξύ

γειτονικών νουκλεονίων, σε αντίθεση με τις αλληλεπιδράσεις Coulomb.

Page 106: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

80

ότι ένα νουκλεόνιο που βρίσκεται στην επιφάνεια του πυρήνα έχει λιγότερους γείτονες, έστω Κ΄ , από ένα που βρίσκεται στο εσωτερικό του πυρήνα και έχει κατά μέσο όρο Κ γείτονες. Εάν Αs είναι ο αριθμός των νουκλεονίων που βρίσκονται στην επιφάνεια και ΑΒ ο αριθμός αυτών που βρίσκονται στο εσωτερικό, τότε ο αριθμός όλων των ζευγών ισούται με 1 1

2 2s BA K΄ A K+ . Λαμβάνοντας υπόψη ότι

B ( )s B sA A A A A A+ = ⇒ = − έχουμε για την συνολική ελκτική ισχυρή δυναμική ενέργεια ΕΔΙ:

1 12 2( ) s sU Α K Α K΄Α ε εΔΙ = − − − (9.3)

Για τα Κ και Κ΄ μια εύλογη επιλογή είναι Κ≈8 και Κ΄≈5. Δεδομένου ότι η απόσταση μεταξύ γειτονικών νουκλεονίων κυμαίνεται από περίπου 1,5f έως 2,5f με μέση τιμή γύρω στα 2,1fm μια λογική τιμή του ε, βάσει του Σχ. 6.6, είναι ε≈11,3ΜeV. Ο αριθμός Αs των νουκλεονίων που βρίσκoνται στην επιφάνεια του πυρήνα είναι προφανώς ανάλογος του εμβαδού αυτής της επιφάνειας, το οποίο εμβαδόν ισούται με 4πR2. Λόγω της (9.1΄) το R2 είναι ανάλογο του Α2/3. Άρα και το Αs είναι ανάλογο του Α2/3. Θα επιλέξουμε το συντελεστή αναλογίας ίσο με τη μονάδα. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω αριθμητικές τιμές, έχουμε για τη συνολική ισχυρή δυναμική ενέργεια το εξής αποτέλεσμα:

2/3 2/34 1,5 45,2 17 MeVU A A A Aε εΔΙ = − + = − + (9.3΄)

Απομένει να υπολογίσουμε την ελάχιστη κινητική ενέργεια (που δεν πρέπει να τη ξεχνάμε ποτέ). Βάσει του τύπου (2.8) έχουμε:

2 2

2 /3 2 /32,87 ( ) 2,87 ( )Kp n

Z NU Z Nm V m V

= +′ ′

(9.4)

όπου V΄ είναι ο διαθέσιμος 1 όγκος, V΄ ).6,1()3/4()6,1)(3/4(6,1 333 −=−=−= aArArAarAVV oooo ππ Αντικαθιστούμε την έκφραση για το V΄ στην (9.4) και έχουμε:

2 5/3 5/3

2 /3 2 2 /30

1,1( 1,6)K

Z NUa mr A

+=

− (9.4΄)

θεωρώντας ότι mmm np =≈ . H ποσότητα (Z5/3+N5/3)/A2/3 μπορεί να γραφεί προσεγγιστικά στην πιο βολική μορφή (την οποία να αποδείξετε):

5 /3 5/3 2

2/3 2 /31 5 ( )[ ]

92Z N N ZA

AA+ −

≈ + (9.4΄΄)

που δείχνει ότι το ελάχιστο της κινητικής ενέργειας για σταθερό αριθμό νουκλεονίων, επιτυγχάνεται όταν Ζ=Ν=Α/2. Αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές για τα , m, ro, α =3,375, ε ≈11,3MeV στις σχέσεις (9,2), (9,3΄), (9.4΄), (9.4΄΄), έχουμε το εξής αποτέλεσμα για την ενέργεια σύνδεσης Β (σε MeV) B=45,2A-17A2/3 (λόγω ισχυρής έλξης)

1 Ο όγκος που καταλαμβάνουν ίσες σφαίρες σε τυχαία διάταξη δεν μπορεί να είναι μικρότερος από

περίπου 1,6 φορές το άθροισμα των όγκων τους γιατί πάντοτε θα υπάρχουν τα διάκενα μεταξύ, σφαιρών που εφάπτονται. Ακόμη και εάν οι σφαίρες τοποθετηθούν στη πιο πυκνή περιοδική διάταξη και πάλι ο όγκος θα είναι ίσος με 1,35 φορές τον όγκο των σφαιρών αθροιστικά.

Page 107: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

81

3/1

)1(71,0AZZ −

− (λόγω άπωσης Coulomb)

-30,6 A

A

ZN 2)(17 −−

δ+ (9.5)

όπου το δ είναι μια διόρθωση που οφείλεται στο ότι οι πυρήνες με Ζ και Ν άρτιο αξιοποιούν πιο αποτελεσματικά τις ενεργειακές στάθμες σε σχέση με τους πυρήνες με Ζ και Ν περιττό (όπως φαίνεται στο Σχ. 9.1). Οι πυρήνες με Α περιττό είναι σε ενδιάμεση ενεργειακή κατάσταση. Η ποσότητα δ δίνεται από τον εμπειρικό τύπο:

3/4

34 eVδΑ

= Μ όταν Ζ, Ν είναι άρτια

= 0 όταν Α περιττός

3/ 434

A= − όταν Ζ, Ν είναι περιττά (9.6)

Συνδυάζοντας τον πρώτο όρο της ισχυρής έλξης με τον πρώτο όρο της κινητικής ενέργειας καταλήγουμε στον τύπο:

2

2/31/3

( 1) ( )14,7 17 0,71 17 MeVZ Z N ZB A AAA

δ− −= − − − + (9.5΄)

Σχ. 9.1 Και οι δύο πυρήνες έχουν Α=14. Ο πυρήνας όμως με Ζ=6 και Ν=8 έχει περίπου την ίδια ενέργεια με τον πυρήνα με Ζ=Ν=7 παρόλο που ο δεύτερος θα κερδίσει ακόμη περίπου 5 ΜeV λόγω του ότι N=Z. Επομένως οι πυρήνες με Ζ, Ν άρτιους έχουν ένα ενεργειακό πλεονέκτημα κατά δ έναντι αυτών με Α περιττό και κατά 2δ έναντι αυτών με Ν, Ζ περιττούς Ο τύπος (9.5΄) προέκυψε με βάση τη μάλλον στοιχειώδη ανάλυση της παρούσας ενότητας. Στη βιβλιογραφία δίνεται ένας παρόμοιος τύπος, όπου οι συντελεστές έχουν προσαρμοσθεί με βάση εμπειρικά δεδομένα. Ο τύπος αυτός είναι ακόλουθος:

(λόγω κινητικής ενέργειας Heisenberg-Pauli)

Page 108: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

82

2

2 /31/3

( 1) ( )15,75 17,8 0,71 23,69 MeVZ ZB A A δ− Ν − Ζ= − − − +

ΑΑ (9.5΄΄)

Εναλλακτικές τιμές αντιστοίχως: 15,5 16,8 0,72 23 3/ 434 / Aδ = . Είναι εντυπωσιακό πόσο λίγο διαφέρει ο δικός μας τύπος (9.5΄) από τον ημιεμπειρικό τύπο (9.5΄΄) (κυρίως στο συντελεστή του όρου (Ν-Ζ)2/Α). 9.2 Ελαχιστοποιώντας την ολική ενέργεια Έχοντας την ολική ενέργεια Ζmpc2+Nmnc2-B μπορούμε να την ελαχιστοποιήσουμε ως προς τις ελεύθερες παραμέτρους προκειμένου να υπολογίσουμε τις ιδιότητες του κάθε πυρήνα. Οι ελεύθερες παράμετροι είναι οι εξής: (α) Ο αριθμός των πρωτονίων, Ζ για δεδομένο Α, οπότε Ν=Α-Ζ. Ο αριθμός αυτός είναι ελεύθερος, αφού λόγω των ασθενών αλληλεπιδράσεων νετρόνια μπορούν να μετατραπούν σε πρωτόνια (βλέπε σχέση (6.18)) ή πρωτόνια να μετατραπούν σε νετρόνια (βλέπε σχέση (6.19) και (6.20)) ανάλογα με το ποια από τις δύο διαδικασίες μειώνει την ολική ενέργεια. (β) Ο αριθμός των νουκλεονίων Α μέσω διάσπασης του πυρήνα σε δύο ή περισσότερα θραύσματα1:

1 2 ...A A A→ + + (9.7)

(γ) Το μέγεθος του πυρήνα, που χαρακτηρίζεται από την παράμετρο α, του τύπου (9.1) ή (9.1΄). Για να υπολογίσουμε το α χρειαζόμαστε την εξάρτηση του ε, στον τύπο (9.3΄), από το α. Αν δεχτούμε ότι 2,6 0,8778 / 32.5 / MeVd aε ≈ − ≈ − για d γύρω στα 2f προκύπτει η θεωρητική τιμή, 38,3≈a που συμπίπτει πρακτικά με την εμπειρική τιμή α=3,375. Για να ελαχιστοποιήσουμε ως προς Z την ολική ενέργεια υπό σταθερό Α, την παραγωγίζουμε ως προς Z (αφού θέσουμε Ν=Α-Ζ και αφού παραλείψουμε για απλότητα τον όρο δ) και μηδενίζουμε την παράγωγο, οπότε προκύπτει το ποσοστό των πρωτονίων ως συνάρτηση του Α:

1/3

2 /31,0136 0,0075/

2 0,015Z AA A

+=

+ ή, απλούστερα, 2 /3

1,012 0,015

ZA A≈

+ (9.8)

Από τον τύπο (9.8) προκύπτει ότι για τους μικρούς πυρήνες θα έχουμε Ζ/Α≈0,5, δηλαδή ίσο αριθμό πρωτονίων και νετρονίων. Ο φυσικός λόγος γι’ αυτό είναι ότι η κινητική ενέργεια ευνοεί την επιλογή Ν=Ζ. Καθώς εξετάζουμε μεγαλύτερους πυρήνες (μεγαλύτερο Α) ο όρος της άπωσης (Coulomb) (που είναι υπεύθυνος για τον προσθετέο 0,015 Α2/3 στον παρανομαστή του τύπου (9.8) παίζει όλο και μεγαλύτερο ρόλο ευνοώντας φυσικά όσο το δυνατόν λιγότερα πρωτόνια. Μ’ άλλα λόγια το ποσοστό των πρωτονίων καθορίζεται από τον ανταγωνισμό της κινητικής ενέργειας που ευνοεί Ν=Ζ=Α/2 και της ενέργειας Coulomb που ευνοεί Ν=Α-1, Ζ=1. Για μικρούς πυρήνες κυριαρχεί η κινητική ενέργεια και έχουμε Ν≈Ζ. Για μεγάλους πυρήνες ο ρόλος των απώσεων Coulomb έναντι της κινητικής ενέργειας αυξάνει επειδή οι απώσεις αυτές είναι ανάλογες του 1/3 5/3( 1) /Z Z A A− ∝ , ενώ η κινητική

1 Το ένα από τα δύο θραύσματα μπορεί να είναι ο πυρήνας του Ηλίου 4 με Α1=4, Ν1=Ζ1=2 επειδή

για το μέγεθός του έχει πολύ χαμηλή ενέργεια. Έχουμε τότε την ακτινοβολία α. Άλλη περίπτωση είναι η σχάση (για πολύ μεγάλους πυρήνες) όπου τα θραύσματα Α1, Α2 είναι παρόμοιου μεγέθους

Page 109: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

83

ενέργεια είναι ανάλογη του A . Ο λόγος 5/3/ 0,71 / 94,76( 2)C KE E A Aδ δΔ = − κυμαίνεται από 0,0378 για το He 4 έως 0,29 για το U 238. Τα CEδ Δ και KEδ είναι οι διαφορές ( / 2) ( 1)C CE Z A E ZΔ Δ= − = και ( 1) ( / 2)K KE Z E Z A= − = αντιστοίχως.

Στο Σχ. 9.2 συγκρίνονται τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τον τύπο (9.8) με τα πειραματικά δεδομένα για διάφορους πυρήνες με Α περιττό (ώστε να είναι δ=0). Είναι πράγματι εντυπωσιακό πόσο καλά συμφωνεί η απλοϊκή μας θεωρία με τα πειραματικά δεδομένα.

Σχήμα 9.2 Ο λόγος Ζ/Α, όπως δίνεται από τον τύπο (9.8) (συνεχής γραμμή) και όπως προσδιορίζεται από το πείραμα για πυρήνες με Α περιττό (ώστε να αποφευχθεί ο ρόλος του όρου δ που δεν ελήφθη υπόψη στον τύπο (9.8)). Leighton σελ. 548 Στο σχήμα 9.3 συγκρίνονται τα θεωρητικά αποτελέσματα, βάσει του τύπου (9.5΄΄), και αφού γίνει η αντικατάσταση του Ζ και του Ν=Α-Ζ από τον τύπο (9.8) για την ποσότητα1, -Β/Α, ως συνάρτηση του Α με τα πειραματικά δεδομένα για όλους τους πυρήνες 9.3 Απαντώντας σε μερικές εύλογες ερωτήσεις Η προηγούμενη ανάλυση μας επιτρέπει να δώσουμε απλές εξηγήσεις για ορισμένες χαρακτηριστικές ιδιότητες των πυρήνων. Π.χ.: (1) Γιατί η καμπύλη του Σχ. 9.3 έχει το ελάχιστό της στους μικρομεσαίους πυρήνες; Μ’ άλλα λόγια, γιατί οι πολύ μικροί και οι πολύ μεγάλοι πυρήνες έχουν μικρότερη ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο σχετικά με τους μικρομεσαίους; (Υπόδειξη: Οι πολύ μικροί έχουν όλα τα νουκλεόνια στην επιφάνεια. Για τους πολύ μεγάλους ο ρόλος της απωστικής ενέργειας Coulomb είναι πιο σημαντικός. Γιατί;)

1 Συνήθως, στα περισσότερα βιβλία, δίνεται η γραφική παράσταση του Β/Α και όχι του –Β/Α. Είναι,

νομίζω, προτιμότερο να σχεδιάζουμε το –Β/Α γιατί το –Β/Α δίνει ουσιαστικά την εικόνα της ολικής ενέργειας ανά νουκλεόνιο, U/Α (αφού )2

pU / A m c -(B / A)≈ και συνδέει το ελάχιστο με τη μεγαλύτερη σταθερότητα. Δίνει επίσης πιο παραστατικά γιατί παίρνουμε ενέργεια από τη σύντηξη ή τη σχάση.

Page 110: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

84

Σχ. 9.3 Η ποσότητα –Β/Α (σε MeV) ως συνάρτηση του Α. Η συνεχής γραμμή είναι βάσει των τύπων (9.5΄΄), (9.8) (χωρίς τον όρο δ) και τα σημεία είναι τα πειραματικά δεδομένα. Παρατηρήστε ότι οι μικροί άρτιοι-άρτιοι πυρήνες (και ιδίως το He4) έχουν αισθητά χαμηλότερη τιμή του –Β/Α, λόγω του όρου δ (Για το He4, -B/A=-4.3 MeV (χωρίς τον όρο δ), ενώ με τον όρο δ=34/47/4=3MeV η τιμή γίνεται –Β/Α=-7,3 MeV, δηλαδή, πολύ κοντά στην πειραματική τιμή –Β/Α≈ -7,074 MeV (2) Γιατί να μην υπάρχουν πυρήνες με Α μεγαλύτερο από 238; (Υπόδειξη: Σκεφτείτε μήπως συμφέρει ενεργειακά να υποστούν σχάση. Ποια είναι η φυσική αιτία που ευνοεί τη σχάση των μεγάλων πυρήνων; Μήπως οι απώσεις Coulomb;) (3) Συμφέρει ενεργειακά να υποστούν σχάση όλοι οι πυρήνες με Α πάνω από περίπου 100. Εντούτοις γιατί δεν υφίστανται σχάση; (Υπόδειξη: Σκεφτείτε και εκτιμήστε το ενεργειακό φράγμα) (4) Γιατί οι θυγατρικοί πυρήνες που προέρχονται από τη σχάση του Ουρανίου είναι ραδιενεργοί τύπου β; (εκπέμπουν, δηλαδή, ένα ή περισσότερα ηλεκτρόνια) (Υπόδειξη: Σκεφτείτε αν έχουν περισσότερα νετρόνια από το κανονικό, δηλαδή το βέλτιστο για το μέγεθος του κάθε θυγατρικού πυρήνα) (5) Γιατί η πρόσκρουση ενός νετρονίου ακόμη και μηδενικής ταχύτητας οδηγεί σε σχάση τον πυρήνα του Ουρανίου 235; Γιατί δεν γίνεται το ίδιο με τον πυρήνα του Ουρανίου 238; Με άλλα λόγια, γιατί το Ουράνιο 235 είναι σχάσιμο ενώ το Ουράνιο 238 δεν είναι; (Το Ουράνιο 238 υφίσταται σχάση, εάν το νετρόνιο που θα το κτυπήσει και ενσωματωθεί σε αυτό έχει ενέργεια άνω του 1,5 MeV) (Υπόδειξη: Συγκρίνετε το ενεργειακό φράγμα με την ενέργεια που κερδίζει ο πυρήνας ενσωματώνοντας ένα νετρόνιο). Για πιο λεπτομερείς απαντήσεις βλ. το βιβλίο, H Φυσική Σήμερα Τόμος ΙΙ, σελ. 69-84, καθώς και το βιβλιο του Leighton, Principles of Modern Physics, McGraw-Hill,

Page 111: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΑΤΟΜΑ 10.1 Η θαυμαστή σταθερότητα των ατόμων Αν τα άτομα ήταν πλανητικά συστήματα εν μικρογραφία που ακολουθούσαν τους

κλασικούς νόμους, ο χρόνος ζωής τους δεν θα ήταν μεγαλύτερος από κλάσμα του δισεκατομμυριοστού του δευτερολέπτου! Τα ηλεκτρόνια περιστρεφόμενα γύρω από τον πυρήνα θα εξέπεμπαν ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, θα έχαναν κατά συνέπεια ενέργεια και θα κατέληγαν σε κλάσμα του νανοδευτερολέπτου πάνω στον πυρήνα. Αυτό όμως δεν γίνεται. Τα ηλεκτρόνια όχι μόνο δεν πέφτουν πάνω στον πυρήνα αλλά διατηρούν με θαυμαστή σταθερότητα τα χαρακτηριστικά τους, παρόλο που υφίστανται συνεχώς κρούσεις με άλλα άτομα ή με άλλα σωμάτια (κυρίως φωτόνια). Τι τους προσδίδει αυτή την εντυπωσιακή σταθερότητα; Μα φυσικά η αρχή του Schrödinger, που πηγάζει (και αυτή) από τον ανταγωνισμό της κβαντικής κινητικής ενέργειας και της ελκτικής ενέργειας Coulomb. Η πρώτη εντέλλεται διάλυση, η δεύτερη σύνθλιψη και το ηλεκτρόνιο (ή τα ηλεκτρόνια) επιλέγουν εκείνη την κινητική κατάσταση όπου η απωστική πίεση της κινητικής ενέργειας εξισορροπείται από τη συνθλιπτική πίεση της ηλεκτροστατικής αλληλεπίδρασης. Αυτή η κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας είναι μοναδική και οποιαδήποτε άλλη κατάσταση (μετασταθούς) ισορροπίας απέχει ενεργειακά κατά ένα πεπερασμένο ποσό. Έτσι το άτομο είναι υποχρεωμένο να επιστρέψει νομοτελειακά στη μοναδική κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας. Σκεφτείτε : Γιατί το παραπάνω σκεπτικό δεν εφαρμόζεται στο Ηλιακό Πλανητικό

Σύστημα ; 10.2 Το άτομο του υδρογόνου Το απλούστερο άτομο, το άτομο του υδρογόνου, αποτελείται από ένα πρωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο παγιδευμένο γύρω του λόγω της ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης. H κινητική ενέργεια της σχετικής κίνησης πρωτονίου/ηλεκτρονίου περιέχει την ανηγμένη μάζα, / ( )r e p e pm m m m m≡ + , η οποία είναι σχεδόν ίση με τη μάζα του ηλεκτρονίου, r em m≈ . Η τελευταία αυτή ισότητα είναι ισοδύναμη με τη σχέση /p em m ≈ ∞ , που συνεπάγεται ότι το πρωτόνιο μπορεί να θεωρηθεί ως ακίνητο σε σχέση με το ηλεκτρόνιο. Η ενέργεια του συστήματος αυτού αποτελείται από την κβαντική κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου, 2 / 2 ep m , όπου em είναι η μάζα του ηλεκτρονίου (μετά από την παραπάνω προσέγγιση) και από την ηλεκτροστατική ενέργεια Coulomb, ΕΔ=-e2/r (στο σύστημα G-CGS, στο σύστημα SI EΔ=-e2/4π oe r). Το r είναι κατά μέσον όρο η απόσταση πρωτονίου-ηλεκτρονίου, Άρα

2 2

2 e

p eEm rολ = − . (10.1)

Για υδρογονοειδή κυματοσυνάρτηση με παράμετρο a , exp( / )r aψ ∝ − , έχουμε

Page 112: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

86

2 22 2 2

21/ 1/ , / 2 / 2 , οπότε2e e

e

er a p m m a Em a aολ= = = −

Ελαχιστοποιούμε την τιμή της ενέργειας ως προς a και βρίσκουμε: 2 2

3 2

2 02 e

E ea m a aολ∂

= − + =∂

Λύνοντας ως προς α την τελευταία σχέση προσδιορίζουμε την ακτίνα a :

2

2Be

a am e

= ≡ 1 (10.2)

Αντικαθιστούμε την τιμή ισορροπίας, Ba a= στην Eολ και έχουμε:

2 2

22 2oB Be

eEm a aλ = − = − (10.3)

Σημειώστε ότι η ολική ενέργεια στην ισορροπία ισούται με μείον την κινητική ενέργεια, ή με το μισό της δυναμικής ενέργειας, όπως περιμένει κανείς από το γενικό θεώρημα Virial. (Βλέπε το βιβλίο των Landau and Lifshitz, Mechanics). Άρα η κινητική ενέργεια στην ισορροπία ισούται με μείον το μισό της δυναμικής ενέργειας. Αυτή είναι μια γενική σχέση που ισχύει για συστήματα όπου η δυναμική ενέργεια είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης μεταξύ των σωματίων του συστήματος.

Η σχέση (10.2) είναι πολύ σημαντική γιατί καθορίζει την κλίμακα μεγέθους των ατόμων. Η ποσότητα Ba , που ονομάζεται ακτίνα του Bohr, ισούται με 0,529Α=0,529x10-10m. Το μέγεθος όλων των ατόμων είναι της τάξεως του Angstrom. Πιο συγκεκριμένα η ακτίνα των 92 περίπου ατόμων που υπάρχουν στη φύση κυμαίνεται στα ακόλουθα όρια:

,1 Ba afr = 51 1 ≤≤ f (10.2΄)

Τα πιο μεγάλα (σε όγκο) άτομα είναι κάτω αριστερά στον περιοδικό πίνακα και τα πιο μικρά πάνω δεξιά.

Η σχέση (10.3) είναι επίσης πολύ σημαντική γιατί καθορίζει την ενεργειακή

κλίμακα των ηλεκτρονίων σθένους όλων των ατόμων. Η ποσότητα, 2

2 ,2 Bem a

που

ισούται με 13,6 eV2, δίνει την ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να δώσουμε για να αποσπάσουμε το ηλεκτρόνιο από το άτομο του υδρογόνου. Η ενέργεια αυτή ονομάζεται έργο ιονισμού. Το πρώτο έργο ιονισμού3 ,Ι, των διαφόρων ατόμων κυμαίνεται ως εξής:

1 Στο SI 2

2

4 oB

ea

m eπ

=e

2 Βλέπετε ότι η ατομική κλίμακα ενέργειας είναι έξη τάξεις μεγέθους μικρότερη από την πυρηνική κλίμακα μεγέθους. Θα μπορούσατε να βρείτε αυτή τη σχέση εκ των προτέρων;

3 Το πρώτο έργο ιονισμού ενός ατόμου είναι η ελάχιστη απαιτούμενη, ενέργεια για την απόσπαση ενός ηλεκτρονίου από το ουδέτερο άτομο (όταν αυτό το άτομο βρίσκεται στην κατάσταση ελάχιστης ολικής ενέργειας). Το δεύτερο έργο ιονισμού ενός ατόμου είναι η ελάχιστη απαιτούμενη ενέργεια για την απόσπαση ενός ηλεκτρονίου από το ιόν +1 του ατόμου αυτού, κ.ο.κ.

Page 113: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

87

2

2 2 ,2 Be

I fm a

= 23,0 2 ≤≤ f (10.3΄)

Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, οι μικρές τιμές του 2f παρατηρούνται στη

στήλη των αλκαλίων, ενώ οι μεγαλύτερες στη στήλη των ευγενών αερίων. Στο Γενικό Περιοδικό Πίνακα των στοιχείων (Πίν. 10.1 πιο κάτω) δίνονται

πληροφορίες για όλα τα υπάρχοντα άτομα καθώς και για τα αντίστοιχα μονοστοιχειακά στερεά (ή υγρά ή αέρια). Ο ατομικός αριθμός δίνει τον αριθμό των πρωτονίων στον πυρήνα του ατόμου που ισούται με τον αριθμό των ηλεκτρονίων στο ουδέτερο άτομο. Την ηλεκτρονική διάταξη θα σχολιάσουμε σύντομα στην επόμενη ενότητα.

Εφαρμογή 10.1: Εάν στη θέση του πρωτονίου είχαμε ένα ποζιτρόνιο (με μάζα ίση με αυτή του ηλεκτρονίου), ποια θα ήταν η αντίστοιχη ακτίνα του Bohr και ποιο το έργο ιονισμού ;

Εφαρμογή 10.2 : Με θεωρία μεταβολών υπολογίστε το έργο ιονισμού του He. Χρησιμοποιήστε τις σχέσεις για τις μέσες τιμές υδρογονοειδούς κυματοσυνάρτησης με a ως μεταβολική παράμετρο.

10.3 Τα διεγερμένα τροχιακά και η γωνιακή τους εξάρτηση Η μέθοδος της ελαχιστοποίησης της ολικής ενέργειας μας επιτρέπει να βρούμε ορισμένα χαρακτηριστικά της θεμελιώδους κατάστασης, της κατάστασης, δηλαδή, που αντιστοιχεί στην ελάχιστη ενέργεια. Όσο πολύτιμη και να είναι αυτή η γνώση, υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που μας χρειάζονται πληροφορίες και για τις διεγερμένες καταστάσεις. Π.χ., όταν η θερμοκρασία επί τη σταθερά του Boltzmann,

TkB , είναι συγκρίσιμη ή μεγαλύτερη από την ενεργειακή διαφορά μεταξύ της πρώτης διεγερμένης κατάστασης και της θεμελιώδους, τότε, βάσει του τύπου (5.22), η πιθανότητα διέγερσης του συστήματος είναι σημαντική και η εντροπία βάσει του τύπου (5.24), θα εξαρτηθεί από τις ενέργειες των διεγερμένων καταστάσεων. Μια άλλη περίπτωση που γνώση των διεγερμένων καταστάσεων είναι απαραίτητη εμφανίζεται όταν μελετάμε την αλληλεπίδραση της ύλης (σε όποια μορφή της) με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο.

Page 114: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

88

10.1

Γ .

ΠΙΝΑΚΑΣ

ΕΝΙΚΟΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Page 115: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

89

Αν και η μέθοδος της ελαχιστοποίησης της ενέργειας μπορεί να γενικευθεί ώστε να καλύψει και διεγερμένες καταστάσεις, η γενίκευση αυτή απαιτεί αρκετές τεχνικές γνώσεις για την εφαρμογή της, ώστε να μην προσφέρεται για το επίπεδο αυτού του βιβλίου. Αντίθετα με μάλλον στοιχειώδεις πράξεις μπορεί κανείς να αντλήσει κάποιες πληροφορίες για τις διεγερμένες καταστάσεις από την εξίσωση του Schrödinger, (7.3), όταν η δυναμική ενέργεια έχει σφαιρική συμμετρία, όταν εξαρτάται, δηλαδή, μόνο από την απόσταση, r, από την αρχή των αξόνων και όχι από τις γωνίες θ και φ που προσδιορίζουν τον προσανατολισμό. Αυτή ακριβώς είναι η περίπτωση ενός οποιουδήποτε ηλεκτρονίου που είναι παγιδευμένο στο πεδίο του πυρήνα (και των άλλων ηλεκτρονίων) συμμετέχοντας στο σχηματισμό του όποιου ατόμου. Όταν η δυναμική ενέργεια V(r) στη σχέση (7.3) έχει αυτή τη συμμετρία τότε η γωνιακή εξάρτηση των διαφόρων τροχιακών (που περιγράφονται από την κυματοσυνάρτηση ψ(r,θ,φ)) δεν εξαρτάται από τη μορφή ή τις τιμές του V(r). Μπορούμε λοιπόν να διαλέξουμε έτσι το V(r) ώστε να έχουμε V(r)ψ( r )= ti ∂∂ /ψ οπότε η εξίσωση του Schrödinger παίρνει την απλούστερη μορφή

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zyxψψψ (10.4)

που είναι γνωστή ως εξίσωση του Laplace. Επαναλαμβάνουμε ότι η γωνιακή εξάρτηση των λύσεων της (10.4) είναι η ίδια με τη γωνιακή εξάρτηση των λύσεων της εξίσωσης του Schrödinger (7.3), όταν το V(r) είναι συνάρτηση μόνο του μέτρου r = r . Αρκεί επομένως να βρούμε τις λύσεις της (10.4), που όπως θα δούμε αμέσως είναι εύκολη δουλειά, και να αντλήσουμε από αυτές τη γωνιακή εξάρτηση των λύσεων της εξίσωσης του Schrödinger. Μια λύση της (10.4) είναι προφανώς η ψ=σταθ. Η λύση αυτή δεν έχει καμία γωνιακή (ή άλλη εξάρτηση).

Άρα υπάρχουν και λύσεις της εξίσωσης του Schrödinger που δεν έχουν καμία γωνιακή εξάρτηση είναι, δηλαδή, σφαιρικά συμμετρικές. Οι λύσεις αυτές ονομάζονται τύπου s και μπορεί να δείξει κανείς ότι αντιστοιχούν σε στροφορμή μηδέν. (Μια απεικόνιση τροχιακvn τύπου s δίνεται στο Σχ. 7.2, σελ. 59.)

Μια άλλη κατηγορία λύσεων της (10.4) είναι πολυώνυμα πρώτου βαθμού ως προς x,y,z. Υπάρχουν τρεις ανεξάρτητες τέτοιες λύσεις: ψx=c1x, ψy=c2y, και ψz=c3z με αντίστοιχη γωνιακή εξάρτηση:

1 1/ sin cosxxr c cr

ψ = = θ φ (10.5α)

2 2/ sin sinyyr c cr

ψ = = θ φ (10.5β)

33/ crzcrz ==ψ cosθ (10.5γ)

Επομένως υπάρχουν και τρεις κατηγορίες λύσεων της εξίσωσης του Schrödinger που η γωνιακή τους εξάρτηση δίνεται από τις σχέσεις (10.5α), (10.5β) και (10.5γ). Οι λύσεις αυτές ονομάζονται τροχιακά px, py και pz αντιστοίχως (Βλέπε το Σχ. 7.2 για απεικoνίσεις του τροχιακού pz). Οι λύσεις (10.5) αντιστοιχούν σε μέτρο του τετραγώνου της στροφορμής ίσο με )1(2 + , όπου 1= . Υπάρχουν, δηλαδή, τρεις ανεξάρτητες κατηγορίες λύσεων που αντιστοιχούν στην τιμή 1= .

Page 116: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

90

Μια τρίτη κατηγορία λύσεων είναι πολυώνυμα αμιγώς δευτέρου βαθμού1 ως προς x, y, z. Όχι όμως όλα τα πολυώνυμα. Υπάρχουν πέντε και μόνο πέντε ανεξάρτητα πολυώνυμα που ικανοποιούν την εξίσωση (10.4), τα εξής: xycxy 1=ψ

2 22 2

2 3 4, , ( )yz zx x yc yz c zx c x yψ ψ ψ

−= = = − και )( 22

522 zyczy

−=−

ψ που έχουν την

ακόλουθη γωνιακή εξάρτηση 1

21

2 // crxycrd xyxy ==≡ψ sin2θcosφsinφ (10.6α)

22

22 // cryzcrd yzyz ==≡ψ sinθcosθsinφ (10.6β)

32

32 // crzxcrd zxzx ==≡ψ sinθcosθcosφ (10.6γ)

42/2222 crd

yxyx=≡

−−ψ sin2θ (cos2φ-sin2φ) (10.6δ)

52/

2222 crd

zyzy =≡−−

ψ (sin2θ sin2φ- cos2θ) (10.6ε)

Οι παραπάνω πέντε ανεξάρτητες κατηγορίες λύσεων αντιστοιχούν σε μέτρο του τετραγώνου της στροφορμής ίσο πάλι με )1(2 + , αλλά τώρα με 2= . Αυτές οι πέντε λύσεις συμβολίζονται με το γράμμα d, όπως φαίνεται στους τύπους (10.6). Υπάρχουν δηλαδή πέντε ανεξάρτητες κατηγορίες λύσεων που αντιστοιχούν σε 2= και προέρχονται από αμιγώς δευτέρου βαθμού πολυώνυμα.

Ο υπομονετικός και φιλότιμος αναγνώστης μπορεί δοκιμάζοντας να δείξει ότι υπάρχουν επτά και μόνο επτά ανεξάρτητα πολυώνυμα αμιγώς τρίτου βαθμού2 που ικανοποιούν την εξίσωση (10.4). Επομένως υπάρχουν επτά ανεξάρτητες κατηγορίες λύσεων της εξίσωσης του Schrödinger, ή επτά ανεξάρτητα τροχιακά που αντιστοιχούν σε μέτρο του τετραγώνου της στροφορμής ίσο με )1(2 + με 3= . Τα τροχιακά αυτά συμβολίζονται με το γράμμα f και κάποιον δείκτη που δηλώνει ποιον από τους εφτά τύπους τροχιακών έχουμε.

Γενικότερα υπάρχουν 12 + και μόνο 12 + ανεξάρτητα πολυώνυμα αμιγώς βαθμού3 που ικανοποιούν τη σχέση (10.4). Η γωνιακή εξάρτηση αυτών αντιστοιχεί σε μέτρο του τετραγώνου της στροφορμής ίσο με )1(2 + .

Συμπερασματικά για να προσδιορίσουμε μονότροπα τη χωρική εξάρτηση ενός τροχιακού σε σφαιρικά συμμετρικό δυναμικό, χρειαζόμαστε τρεις αριθμούς: τον (που προσδιορίζει το μέτρο της στροφορμής και παίρνει τιμές =0,1,2,3,...και αντιστοιχεί στο βαθμό των πολυωνύμων που ικανοποιούν την εξίσωση Laplace), τον m που παίρνει για κάθε , 12 + τιμές για να προσδιορίσει για ποιο από τα 12 + τροχιακά που έχουν το ίδιο μιλάμε, και ένα ακόμη αριθμό τον nr που προσδιορίζει την ακτινική εξάρτηση του τροχιακού, την εξάρτησή του, δηλαδή, από την απόσταση r. Ο nr παίρνει τιμές 0,1,2,3,... Αντί του ακτινικού αριθμού nr εισάγουμε τον λεγόμενο κύριο κβαντικό αριθμό 1rn n≡ + + . Έπεται από τα παραπάνω ότι ο n για δεδομένο παίρνει τιμές 1+ , 2+ , 3+ ,...

Έχοντας χαρακτηρίσει μονοσήμαντα τα τροχιακά των ηλεκτρονίων σε ένα άτομο (από τους αριθμούς mn ,, ) είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την διάταξη των

1 Το αμιγώς σημαίνει ότι περιέχουν όρους μόνο του ίδιου (εν προκειμένω δευτέρου) βαθμού 2 Το αμιγώς σημαίνει ότι περιέχουν όρους μόνο του ίδιου (εν προκειμένω τρίτου) βαθμού. 3 Το αμιγώς σημαίνει ότι περιέχουν όρους μόνο του ίδιου (εν προκειμένω ) βαθμού.

Page 117: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

91

ενεργειακών τους σταθμών προκειμένου να τις εποικίσουμε με ηλεκτρόνια αρχίζοντας από την κατώτερη ενεργειακά στάθμη, ανεβαίνοντας σταδιακά και ικανοποιώντας πάντα την αρχή του Pauli. Πράγματι, για να βρούμε τη θεμελιώδη στάθμη ενός ατόμου με Ζ ηλεκτρόνια θα πρέπει να τοποθετήσουμε δύο ηλεκτρόνια (ένα με σπιν πάνω και ένα με σπιν κάτω) σε κάθε τροχιακό αρχίζοντας από το τροχιακό κατώτερης ενέργειας και προχωρώντας στα αμέσως ανώτερα μέχρι εξαντλήσεως των ηλεκτρονίων. Έτσι, και την αρχή του Pauli σεβόμαστε και την κατώτερη ολική ενέργεια επιτυγχάνουμε. Προκειμένου για το άτομο του υδρογόνου η ενέργεια του κάθε τροχιακού mn ,, εξαρτάται ουσιαστικά μόνο από τον κύριο κβαντικό αριθμό n και μάλιστα με τον απλό τύπο του Bohr:

2

, , 2 2 2

1 13,6 eV2n m

Bma n nε = − = − (10.7)

Για τα άλλα όμως άτομα (που έχουν περισσότερα από ένα ηλεκτρόνια) η ενέργεια του κάθε τροχιακού εξαρτάται εκτός από τον κύριο κβαντικό αριθμό n και από τον κβαντικό αριθμό της στροφορμής και μάλιστα με τέτοιο τρόπο ώστε

, , , ,n m n mε ε ′> για > ΄ (10.8)

Μ’ άλλα λόγια για τον ίδιο κύριο κβαντικό αριθμό n το τροχιακό που έχει μεγαλύτερο έχει και μεγαλύτερη ενέργεια. Έτσι το n p , ( 1=⇔p ) έχει υψηλότερη ενέργεια από το ( 0)n s s ⇔ = (αλλά σαφώς μικρότερη από το sn ,1+ ), το n d ( )2=⇔d έχει υψηλότερη ενέργεια από το n p και συγκρίσιμη ενέργεια με το sn ,1+ , το τροχιακό n f έχει υψηλότερη ενέργεια από το τροχιακό n d και μάλιστα συγκρίσιμη με το τροχιακό sn ,2+ και το τροχιακό dn ,1+ . Επομένως τα τροχιακά sn ,2+ dn ,1+ , n f είναι περίπου ισοενεργειακά παρόλο που διαφέρουν κατά δύο ή μία μονάδα στον κύριο κβαντικό αριθμό, ο οποίος καθορίζει το ακτινικό μέγεθος του τροχιακού. Το αποτέλεσμα είναι ότι τα τροχιακά d που έχουν περίπου την ίδια ενέργεια με τα s έχουν μικρότερο κατά ένα τον κύριο κβαντικό αριθμό και επομένως έχουν αρκετά μικρότερη ακτινική έκταση από αυτήν των s και επομένως κείνται σχεδόν εξ ολοκλήρου στο εσωτερικό τους (Λόγω του ότι η έκταση εξαρτάται από τον κύριο κβαντικό αριθμό n περίπου ως 2n . Βλέπε το Σχ. 7.2). Τα δε περίπου ισοενεργειακά (με τα s) f έχουν ακόμη πιο μικρή έκταση, είναι ακόμη πιο εσωτερικά (όπως φαίνεται στο Σχ. 10.1) και γι’ αυτό δεν παίζουν σημαντικό ρόλο στη χημεία. Αυτός είναι ο λόγος που, π.χ., οι λανθανίδες (Ζ=58 έως Ζ=71) παρουσιάζονται στον περιοδικό πίνακα των στοιχείων εν είδει υποσημείωσης. Στον Πίν. 10.2 (μεθεπόμενη σελίδα) εικονίζονται σχηματικά οι ενεργειακές στάθμες των διαφόρων τροχιακών

mn ,, . Ο πίνακας αυτός μας επιτρέπει να βρούμε για τη θεμελιώδη κατάσταση κάθε ατόμου,1 πώς κατανέμονται τα ηλεκτρόνια στα διάφορα τροχιακά. Π.χ., για το πυρίτιο

1 Λόγω του περίπου ισοενεργειακού των sn ,2+ dn ,1+ και n f δεν είναι

προφανές πώς καταλαμβάνονται οι στάθμες dn ,1+ και sn ,2+ στα μεταβατικά στοιχεία (Ζ=21-28, Ζ=39-46, Ζ=57 και Ζ=72-78) και πώς καταλαμβάνονται οι στάθμες sn ,2+ , dn ,1+ , και n f στις λανθανίδες (Ζ=58-71) και στις ακτινίδες (Ζ=90-103)

Page 118: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

92

πώς κατανέμονται τα ηλεκτρόνια στα διάφορα τροχιακά. Π.χ., για το

Σχ. 10.1 Σχηματική απεικόνιση των περίπου ισοενεργειακών τροχιακών 6s, 5d, 4f που δείχνει ότι τα τροχιακά 5d βρίσκονται λίγο-πολύ στο εσωτερικό του 6s και τα τροχιακά 4f στο εσωτερικό των 5d. Έχει σχεδιασθεί και το τροχιακό 6py που έχει περίπου την ίδια έκταση με το 6s αλλά σαφώς υψηλότερη ενέργεια. Δες και το Σχ.7.2. (Si με Z=14) θα έχουμε κατά σειρά 2 ηλεκτρόνια στο τροχιακό 1s, 2 ηλεκτρόνια στο τροχιακό 2s, 6 ηλεκτρόνια στα τρία τροχιακά 2p, 2 ηλεκτρόνια στο τροχιακό 3s και τα τελευταία 2 ηλεκτρόνια σε κάποια από τα τρία τροχιακά 3p. Η κατανομή αυτή συμβολίζεται ως εξής: 1s22s22p63s23p2. Η κατανομή των ηλεκτρονίων στα τροχιακά ατομικά, που αναφέρεται ως ηλεκτρονιακή διάταξη, δίνεται για κάθε άτομο στον Πιν. 10.1. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης χρησιμοποιώντας τον Πιν. 10.2 μπορεί να βρει μόνος του την κατανομή των ηλεκτρονίων στα διάφορα τροχιακά για κάθε άτομο (εκτός των μεταβατικών στοιχείων, των λανθανιδίων και των ακτινιδίων, όπου οι ενεργειακές στάθμες των 1,n s+ και n d εναλλάσσονται, όπως εναλλάσσονται και οι ενεργειακές στάθμες των 2,n s+ των dn ,1+ και των n f τροχιακών). Δύο σημεία αξίζουν ιδιαίτερης προσοχής: Ο Πιν. 10.2 δείχνει ότι τα τροχιακά χωρίζονται σε ομάδες (περίπου ισοενεργειακές) και κάθε ομάδα αντιστοιχεί σε μια γραμμή στον περιοδικό πίνακα των στοιχείων. Π.χ., η πρώτη ομάδα περιέχει ένα μόνο

Page 119: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

93

Πίνακας 10.2 Ηλεκτρονιακές στάθμες μη υδρογονοειδών ατόμων. Από τον πίνακα αυτόν έπεται η δομή του Περιοδικού Πίνακα των Στοιχείων (ΠΠΣ) που αποτελεί τη βάση της Χημείας.

Page 120: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

94

τροχιακό, το 1s, και μπορεί να δεχτεί μέχρι δύο ηλεκτρόνια, η δεύτερη ομάδα περιέχει τέσσερα τροχιακά (το 2s και τα τρία 2p) και μπορεί να δεχτεί μέχρι οκτώ ηλεκτρόνια και αντιστοιχεί επομένως σε οκτώ στοιχεία, το ίδιο και η τρίτη. Στην τέταρτη ομάδα που αντιστοιχεί στο n=4 προστίθενται και τα πέντε περίπου ισοενεργειακά τροχιακά 3d (που μπορούν να δεχτούν μέχρι 10 ηλεκτρόνια). Έτσι η τέταρτη ομάδα μπορεί να δεχτεί μέχρι 18 ηλεκτρόνια και κατά συνέπεια η αντίστοιχη τέταρτη γραμμή του περιοδικού πίνακα περιλαμβάνει 18 στοιχεία, το ίδιο και η πέμπτη. Η έκτη ομάδα περιλαμβάνει το τροχιακό 6s, τα τρία τροχιακά 6p, τα πέντε τροχιακά 5d και τα επτά τροχιακά 4f και μπορεί να δεχτεί μέχρι 32 ηλεκτρόνια, πράγμα που σημαίνει ότι η έκτη σειρά του περιοδικού πίνακα των στοιχείων περιλαμβάνει 32 στοιχεία. Το ίδιο θα ίσχυε και για την έβδομη σειρά εάν υπήρχαν στοιχεία στη φύση1 πέραν του Ουρανίου με Ζ=92. Λόγω της σημαντικής ενεργειακής απόστασης μεταξύ του τροχιακού n,p και του ανωτέρου ενεργειακά sn ,1+ , τα στοιχεία που έχουν συμπληρωμένα πλήρως όλα τα τροχιακά p είναι τα σταθερότερα (τα στοιχεία αυτά αντιστοιχούν στα ευγενή αέρια). Για τον ίδιο λόγο και όσα στοιχεία έχουν συμπληρωμένα τα τροχιακά s (και τα περίπου ισοενεργειακά d και f εάν υπάρχουν) εμφανίζουν αυξημένη σταθερότητα (αλλά όχι όση αυτή των ευγενών αερίων, βλέπε σχετικά το σχήμα στη σελίδα 87).

Σχ. 10.2 Σχηματική κατανομή των 20 ηλεκτρονίων του ατόμου του Ασβεστίου (Cα) προκειμένου να τονισθεί ότι τα δύο ηλεκτρόνια που βρίσκονται στην εσωτερική στάθμη 1s είναι πλησιέστερα στον πυρήνα από όλα τα άλλα ηλεκτρόνια με μεγάλη πιθανότητα της τάξης του 95% και άνω. Άρα το καθένα τους αισθάνεται σχεδόν το πλήρες φορτίο του πυρήνα (περίπου 20 e ) και την άπωση από το άλλο ηλεκτρόνιο 1s, ενώ δέχονται πρακτικά αμελητέα δύναμη από τα άλλα ηλεκτρόνια. Αντίθετα, τα δύο ηλεκτρόνια που βρίσκονται στην κατάσταση 4s δέχονται μια δύναμη που οφείλεται περίπου σε (20-18)e από τον πυρήνα και τα εσωτερικά ηλεκτρόνια καθώς και την αμοιβαία άπωσή τους.

1 Ο λόγος που δεν υπάρχουν στοιχεία στη φύση με Ζ>92 είναι γιατί οι πυρήνες με Ζ>92 είναι είτε

μετασταθείς με σχετικά μικρό χρόνο ζωής είτε εντελώς ασταθείς, όπως προκύπτει από την ανάλυση στο κεφ. 9

Page 121: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

95

Το δεύτερο σημείο που πρέπει να προσέξει ο αναγνώστης είναι ότι η ενεργειακή ταξινόμηση των ατομικών τροχιακών (που οδήγησε στις επτά γραμμές του περιοδικού πίνακα) συνεπάγεται επίσης μια δομή των ηλεκτρονίων κατά φλοιούς (ή κατά στοιβάδες) και στον πραγματικό χώρο. Αυτό γιατί μεγαλύτερος κύριος κβαντικός αριθμός n σημαίνει μεγαλύτερη ακτίνα του τροχιακού ( 2r n∝ ). Και είναι τα εξώτερα κατειλημμένα τροχιακά (δηλαδή το s και τα p) που παίζουν τον κύριο ρόλο όταν δύο ή περισσότερα άτομα πλησιάσουν μεταξύ τους προς σχηματισμό μορίου. Με άλλα λόγια, η δομή του περιοδικού πίνακα των στοιχείων, η προσεγγιστική περιοδικότητα των χημικών ιδιοτήτων με βάση τον αριθμό 8 (αλλά και το 2 για την πρώτη γραμμή, και το 18 για την τέταρτη και την πέμπτη και το 32 για την έκτη) και σε τελική ανάλυση όλη η χημεία, προκύπτουν αβίαστα από τις ιδιότητες των ατομικών τροχιακών (και κυρίως από τη γωνιακή τους εξάρτηση που προσδιορίζεται τόσο εύκολα). Ιστορική σημείωση: Το μοντέλο του Bohr για τις ενεργειακές στάθμες του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου, αν και θεωρήθηκε εξαιρετικά ενδιαφέρον, έγινε πλήρως αποδεκτό μόνο όταν προέβλεψε επίσης ότι οι ηλεκτρονιακές στάθμες στο ιόν του ηλίου 4 θα διαφέρουν από αυτές στο υδρογόνο κατά ένα παράγοντα 4, πράγμα που ήταν σε συμφωνία με τα τότε πειραματικά δεδομένα. Όμως, λίγο αργότερα, ακριβέστερα πειράματα έδειξαν ότι ο περί ου λόγος δεν είναι 4, αλλά 4,0016, πράγμα που φάνηκε ότι αμφισβητεί το μοντέλο Bohr. Ο Bohr τότε επανήλθε, δείχνοντας ότι η ακριβής τιμή (μέχρι το πέμπτο δεκαδικό ψηφείο) αυτού του λόγου είναι 4,00163. (Βλέπε το βιβλίο με αριθμό 16, στην βιβλιογραφία, σελ. 156 ) Δείξτε ότι ο Bohr είχε δίκηο.

Page 122: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

96

Page 123: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΜΟΡΙΑ

2 2(0,8 1,6) / , / 27,2eVe a o o e Bvibration m m E E m aε ≈ ↔ = =

2 2/ (0,5 1)( / )rotation r e a om d m m Eε ≈= ↔

11.1 Η ενέργεια ενός συστήματος δύο ατόμων Όταν δύο άτομα βρεθούν σχετικά κοντά το ένα στο άλλο, ασκείται κατ’ αρχάς μια ελκτική δύναμη που είναι το αποτέλεσμα προσθαφαιρέσεων ελκτικών και απωστικών δυνάμεων Coulomb. Αντί να υπολογίσει κανείς αυτή τη δύναμη, είναι πιο χρήσιμο και σχετικά πιο εύκολο να υπολογίσει την ολική ενέργεια των δύο ατόμων (που βρίσκονται σε απόσταση d) μείον την ολική ενέργεια όταν ∞=d . Στο Σχ. 11.1 εικονίζεται το αποτέλεσμα ενός τέτοιου υπολογισμού για το σύστημα δύο ατόμων υδρογόνου. Για σχετικά μεγάλες αποστάσεις ( )Bd d a>> το ΔΕ είναι αρνητικό και συμπεριφέρεται ως

6( ) / , BE d A d d aΔ = − (11.1)

όπου η σταθερά Α ισούται με Ire a /c 441 , όπου c1 είναι αριθμητική σταθερά (για το

Η2 c1=3,25), rα είναι η ακτίνα του ατόμου και το Ι είναι το έργο ιονισμού. Εάν τα δύο άτομα είναι διαφορετικά το Α ισούται με 4 2 2

1 1 2c / re r r I , όπου Ir= I1 I2/(I1+ I2).

Ενέργεια βασικής κατάστασης

Page 124: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

98

Σχ. 11.1 Η ενέργεια ( ) ( )o oE E d Eλ λΔ ≡ − ∞ ως συνάρτηση της απόστασης d μεταξύ δύο ατόμων υδρογόνου. H KE των δύο πρωτονίων έχει αγνοηθεί. Αν ληφθει υπόψη, η στάθμη ελάχιστης ενέργειας ανέρχεται κατά / 2,ω όπως φαίνεται στο σχήμα. Αυτή η ασθενική αλληλεπίδραση 6/ , BA d d a− >> (που υπολογίζεται βάσει όλης της δυναμικής ενέργειας καθώς και της κινητικής ενέργειας μόνο των ηλεκτρονίων) ονομάζεται αλληλεπίδραση Van der Waals1 και είναι ισοδύναμη με μια ελκτική δύναμη ίση με –(6Α/d7). Καθώς τα άτομα πλησιάζουν, φτάνουν τελικά σε μια απόσταση do όπου η ενέργεια ΔΕ έχει ελάχιστο (για Η2, do=0,74A και ΔΕ(do)=-4,74eV). Για τιμές του d μικρότερες του do και μειούμενες, το ΔΕ αυξάνεται πολύ γρήγορα πράγμα που σημαίνει ότι ασκούνται ισχυρές απωστικές δυνάμεις. Έτσι καθώς δύο ουδέτερα άτομα πλησιάζουν ασκείται κατ’ αρχάς ελκτική δύναμη μεταξύ τους μέχρι μια απόσταση do όπου η δύναμη μηδενίζεται. Για μικρότερες αποστάσεις από do η δύναμη γίνεται ισχυρά απωστική. Βάσει της αρχής της ελαχιστοποίησης της ενέργειας το σύστημα των δύο ατόμων θα ισορροπήσει για d=do και θα σχηματίσει ένα διατομικό μόριο. Όμως, λόγω της αρχής της απροσδιοριστίας υπάρχουν μικρές διακυμάνσεις, δd, γύρω από την απόσταση ισορροπίας do που οι χημικοί ονομάζουν μήκος του δεσμού)2. Ως αποτέλεσμα των διακυμάνσεων εμφανίζεται μία αύξηση της ενέργειας ΔΕ(d=do) και κατά συνέπεια μια μείωση κατά 2/ω (όπου ω είναι η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης) της ενέργειας σύνδεσης, mEΔ , του μορίου: 1

2( )m oE E d ωΔ = Δ − . (Μπορείτε να αποδείξετε αυτή την τελευταία σχέση χρησιμοποιώντας την αρχή της απροσδιοριστίας και την ελαχιστοποίηση της ολικής ενέργειας;) Σημειώστε ότι οι τιμές των do, mEΔ , και ω κυμαίνονται από διατομικό μόριο σε διατομικό μόριο στα ακόλουθα περίπου όρια ( em m= είναι η μάζα του ηλεκτρονίου):

2

3 32 , 0,1 0,62m

B

E f fma

Δ = ≤ ≤ (11.2)

4 4, 1 6o Bd f a f= ≤ ≤ (11.3)

1 H αλληλεπίδραση Van der Waals οφείλεται σε διπολικές ροπές που επάγει το ένα άτομο στο άλλο. Η αλληλεπίδραση δύο διπόλων είναι ανάλογη της διπολικής ροπής 1p του ενός διπόλου επί τη

διπολική ροπή 2p του άλλου και επί το αντίστροφο της τρίτης δύναμης της απόστασής τους d.

Κατά μέσο όρο όμως 1 2 0= =p p για ουδέτερα άτομα. Έτσι σε πρώτη τάξη η μέση τιμή της ενέργειας αλληλεπίδρασης ΔΕ είναι μηδέν. Σε δεύτερη τάξη όμως έχουμε ότι το ΔΕ είναι αρνητικό, ανάλογο του 2

122

1 ~ rep , του 22

222 ~ rep , και αντιστρόφως ανάλογο του 3 2 6( )d d= και μιας

χαρακτηριστικής ενέργειας που είναι της τάξεως του έργου ιονισμού. Άρα 4 2 2

1 1 26

c e r rEI d

−Δ =

2 Με άλλα λόγια η απόσταση d δεν είναι ακριβώς do γιατί κάτι τέτοιο θα σήμαινε ότι η σχετική κίνηση των δύο πυρήνων κατά τον άξονα που τους ενώνει θα ήταν μηδέν, πράγμα που θα παραβίαζε την αρχή της απροσδιοριστίας δ d / 2d pδ⋅ ≥ . Υπάρχουν επομένως μικρές διακυμάνσεις, δd, γύρω από την τιμή do, που αυξάνουν την ενέργεια, όπως φαίνεται στο Σχ. 11.1.

Page 125: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

99

Όμως τα «μόρια» των ευγενών αερίων αποτελούν εξαίρεση. Π.χ. για το «μόριο» 2He , το mΕΔ είναι περίπου μηδέν πράγμα που σημαίνει ότι δεν θα σχηματισθεί

μόριο. Επίσης, για τα μόρια των άλλων ευγενών αερίων σε θερμοκρασία δωματίου το TkB είναι αρκετά μεγαλύτερο του mΕΔ και έτσι, τα μόρια αυτά διασπώνται λόγω

της θερμικής κινητικής ενέργειας.

11.2 Γραμμικός συνδυασμός ατομικών τροχιακών (Linear Combination of Atomic Orbitals. (LCAO) Η φυσική αιτία που οδηγεί στη μείωση της ολικής ενέργειας κατά mEΔ (και επομένως στο σχηματισμό μορίου) όταν δύο άτομα πλησιάζουν μεταξύ τους είναι η αναδιοργάνωση των ατομικών τροχιακών με στόχο την ελαχιστοποίηση της ολικής ενέργειας για την όποια δεδομένη τιμή της απόστασής τους d. Όταν η απόσταση, d, είναι πολύ μεγαλύτερη του Ba , η αναδιοργάνωση του κάθε ατομικού τροχιακού περιορίζεται στα όρια του κάθε ατόμου και είναι υπεύθυνη για τη μείωση της ενέργειας που δίνεται από τον τύπο (11.1). Όταν τα άτομα πλησιάσουν σε απόσταση d συγκρίσιμη με το άθροισμα των ακτίνων τους, η αναδιοργάνωση είναι πολύ πιο δραστική: Το ατομικό τροχιακό του ατόμου 1 απλώνεται σε κάποιο βαθμό και στο άτομο 2 και αντιστρόφως1. Προκύπτουν έτσι δύο μοριακά τροχιακά, ένα με ενεργειακή στάθμη χαμηλότερη από τις στάθμες και των δύο αρχικών ατομικών τροχιακών και ένα με ενεργειακή στάθμη υψηλότερη από τις στάθμες και των δύο αρχικών ατομικών τροχιακών. Εάν τα αρχικά ατομικά τροχιακά ήσαν πλήρως συμπληρωμένα με ηλεκτρόνια (όπως στα ευγενή αέρια) και τα δύο προκύπτοντα μοριακά τροχιακά θα είναι πλήρως συμπληρωμένα με αποτέλεσμα να μην προκύψει μείωση της ολικής ενέργειας (πέραν της van der Waals) και να μη σχηματισθεί μόριο σε θερμοκρασία περιβαλλοντος. Αντίθετα, εάν το καθένα από τα δύο αρχικά ατομικά τροχιακά ήταν εν μέρει μόνο κατειλημμένα (με ένα ηλεκτρόνιο) (όπως, π.χ. στο μόριο Να2 ή στο μόριο ΚΙ) τότε και τα δύο ηλεκτρόνια θα εποικίσουν το κατώτερο μοριακό τροχιακό και επομένως θα προκύψει μια σαφής ενεργειακή μείωση και κατά συνέπεια σχηματισμός διατομικού μορίου. Αυτές οι ιδέες μπορούν να ποσοτικοποιηθούν ως εξής: Εάν 1φ και 2φ είναι τα ατομικά τροχιακά του ατόμου 1 και του ατόμου 2 με αντίστοιχες ενεργειακές στάθμες ε1 και ε2, (ε1≥ε2), τότε ένα μοριακό τροχιακό, ψ , όπου θα είναι απλωμένο και στο ένα άτομο και στο άλλο θα έχει, στην απλούστερη δυνατή περίπτωση, την ακόλουθη μορφή2:

1 1 2 2c cψ φ φ= + (11.4)

όπου η ποσότητα )/( 22

21

21 ccc + δίνει την πιθανότητα να είναι το ηλεκτρόνιο στο άτομο

1 και η ποσότητα )/( 22

21

22 ccc + να είναι στο άτομο 2. Η ενέργεια του μοριακού

τροχιακού (όπως και κάθε άλλη παρατηρήσιμη ποσότητα) εξαρτάται διγραμμικά από το ψ (δηλαδή εξαρτάται από ένα συνδυασμό της μορφής ψ∗Χψ). Χωρίς να

1 Όταν το άπλωμα είναι εξίσου στα δύο άτομα έχουμε τον λεγόμενο ομοιοπολικό δεσμό. Όταν το άπλωμα είναι πολύ ανισομερές έχουμε τον ετεροπολικό ή ιοντικό δεσμό. 2 Η μορφή αυτή δικαιολογεί το όνομα γραμμικός συνδυασμός ατομικών τροχιακών για το μοριακό τροχιακό ψ.

Page 126: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

100

παρουσιάσουμε τα ενδιάμεσα βήματα θα δώσουμε το τελικό αποτέλεσμα για την ενέργεια που αντιστοιχεί στο μοριακό τροχιακό ψ του τύπου (11.4):

2 21 1 2 2 1 2 2

2 21 2

2c c c c Vc c

ε εε + +=

+ (11.5)

όπου ο όρος 2212 Vcc προέρχεται από το «διπλάσιο γινόμενο στην ανάπτυξη του «ψ∗Χψ» και η ποσότητα V2 (που έχει διαστάσεις ενέργειας) είναι τόσο μεγαλύτερη όσο μεγαλύτερη είναι η επικάλυψη των ατομικών τροχιακών 1φ και 2φ . Όπως φαίνεται από

τη σχέση (11.5), η τιμή του ε εξαρτάται από το λόγο1 2 2 22 1/c c x≡ . Εφαρμόζοντας

(για άλλη μια φορά) την αρχή ελαχιστοποίησης της ενέργειας, παραγωγίζουμε το ε ως προς x και θέτουμε την παράγωγο ίση με μηδέν. Βρίσκουμε τότε (ορίζοντας το V3 ως τη θετική ημιδιαφορά των ε1 και ε2, )02/)( 213 ≥−≡ εεV ,ότι

22 3 22 0V x V x V− − = (11.6)

όπου 12 / ccx ≡ . Η εξίσωση (11.6) έχει δύο λύσεις: Η μία έχει ως εξής:

2

2 2 22 22

1 2 1 2

1 121

p p

p

a ac V cxc V c ca

+ +≡ = − ⇒ =

+− και

21

22

21

21 pa

ccc −

=+

(11.7)

όπου

32 2

3 2p

VaV V

≡+

(11.8)

είναι εξ ορισμού ο δείκτης ιοντικότητας ή ετεροπολικότητας του δεσμού. Όταν 1→pa , ο δεσμός είναι σχεδόν 100% ιοντικός, ενώ όταν 0→pa , ο δεσμός είναι

100% ομοιοπολικός. Η ενέργεια, ε, που αντιστοιχεί στη λύση (11.7) ισούται με

1 Αντί να διαιρέσουμε με 21c και μετά να παραγωγίσουμε ως προς 12 / ccx = , θα μπορούσαμε να

παραγωγίσουμε εξ αρχής ως προς 1c και και ως προς c2 και να θέσουμε τις μερικές αυτές παραγώγους ίσες με μηδέν. Θα είχαμε τότε:

2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1

2 2 21 1 2

1 1 2 2 12 21 2

(2 2 )( ) ( 2 )2 0( )

1 [2 2 2 ] 0

c c V c c c c c c V cc c c

c c V cc c

ε ε εε

ε ε

+ + − + +∂= =

∂ +

= + − =+

ή

0)(0 22111

=+−⇒=∂∂ Vccc

εεε (11.6΄)

Όμοια:

0)(0 21222

=+−⇒=∂∂ Vccc

εεε (11.6΄΄)

Για να έχει λύση διάφορη του μηδενός το πιο πάνω σύστημα, θα πρέπει (ε1-ε)(ε2-ε)-2

2V =0 από την οποία προκύπτει ότι το ε είναι ή αυτό που δίνεται από τη σχέση (11.9) ή αυτό που δίνεται από τη σχέση (11.11). Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του ε σε οποιαδήποτε από τις δύο πιο πάνω σχέσεις βρίσκουμε το λόγο c2/c1, όπως αυτός δίνεται στις σχέσεις (11.7) ή (11.10)

Page 127: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

101

2 21 23 22b V Vε εε ε +

= = − + (11.9)

και είναι προφανώς μικρότερη από την ατομική στάθμη ε2 (που εξ ορισμού ελήφθη ως η μικρότερη μεταξύ των ε1 και ε2). Άρα η λύση (11.7) δίνει το μοριακό τροχιακό με την ελάχιστη ενέργεια που ονομάζεται δεσμικό μοριακό τροχιακό (αφού ο σχηματισμός του χημικού δεσμού αντιστοιχεί σ’ αυτό το τροχιακό). Η άλλη λύση της εξίσωσης (11.6) έχει ως εξής:

2

2 2 22 22

1 2 1 2

1 1,

21p p

p

a ac V cc V c ca

− −= ⇒ =

+− και

21

22

21

21 pa

ccc +

=+

(11.10)

με ενέργεια ε ίση με

2 21 23 22a V Vε εε ε +

= = + + (11.11)

και αντιστοιχεί στο μοριακό τροχιακό με την υψηλότερη ενέργεια1 το οποίο ονομάζεται αντιδεσμικό μοριακό τροχιακό, λόγω του ότι δεν οδηγεί σε δημιουργία χημικού δεσμού. Η ενεργειακή διαφορά των δύο μοριακών σταθμών ισούται με

2 23 22 V V+ , που στην περίπτωση 100% ομοιοπολικού δεσμού (δηλαδή 3V =0) γίνεται

22V . Η ποσότητα 22

232 VV + δίνει στην παρούσα περίπτωση την ενεργειακή

διαφορά μεταξύ της θεμελιώδους κατάστασης του μορίου και της πρώτης διεγερμένης. Το ενεργειακό κέρδος, λόγω του σχηματισμού μορίου (όπως προκύπτει από τον πιο πάνω υπολογισμό), ισούται με 2 2

1 2 3 22 ( ) 2 .b V Vε ε ε− + = + Στη πραγματικότητα το ενεργειακό κέρδος είναι σημαντικά μικρότερο (περίπου το μισό) γιατί το να έλθουν τα δύο ηλεκτρόνια στο ίδιο μοριακό τροχιακό δημιουργεί μια πρόσθετη απωστική ενέργεια Coulomb μεταξύ τους. Η πρόσθετη αυτή απωστική ενέργεια για ομοιοπολικό δεσμό, είναι περίπου ίση με ,/ 33

2 ddV o όταν το d δεν διαφέρει πολύ από το do. Εάν κανείς θελήσει να υπολογίσει αριθμητικές τιμές προκειμένου να συγκρίνει τα θεωρητικά αποτελέσματα με τα πειραματικά δεδομένα (και να ελέγξει έτσι την αξιοπιστία της θεωρίας και των σχετικών προσεγγίσεων) θα πρέπει να γνωρίζει τις τιμές των V3 και V2. Οι τιμές του 2/)( 213 εε −≡V προκύπτουν από τις τιμές των ε1, ε2 που έχουν υπολογισθεί για τα διάφορα άτομα και δίνονται σε σχετικούς πίνακες 2 Οι τιμές του V2, προκειμένου για τα εξώτερα κατειλημμένα (ή ημικατειλημμένα) τροχιακά s και p, μπορούν να εκτιμηθούν από τους προσεγγιστικούς τύπους του Harrison3:

2

2 2Vmd

η= , odd ≈ (11.12)

όπου η είναι αριθμητικός παράγοντας, που εξαρτάται από το είδος και τον προσανατολισμό των ατομικών τροχιακών και do είναι το μήκος του δεσμού. Οι αριθμητικές τιμές του η δίνονται στο Σχ. 12.10 στη σελίδα 124.

1 Ο μηδενισμός της παραγώγου της (11.5) δίνει και το ελάχιστο και το μέγιστο. 2 Βλέπε, πχ., τον Πιν. 12.3 στη σελίδα 125. 3 Βλέπε Σχ.12.10 στη σελίδα 124.

Page 128: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

102

Σύνοψη 2 21 1

1 2 3 1 2 22 2( ), ( ), / eV V m dε ε ε ε ε η= + = − =

ε

αε

αψ

Δεσμική μοριακή στάθμη: 2 22 3b V Vε ε= − +

Αντιδεσμική μοριακή στάθμη: 2 22 3a V Vε ε= + +

Δεσμικό μοριακό τροχιακό: 1 212

1 1b p pa aψ φ φ⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦

Αντιδεσμικό μοριακό τροχιακό: 1 212

1 1a p pa aψ φ φ⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦

Ενέργεια διέγερσης: 2 22 32 V Vδε ≈ +

Ενέργεια δεσμού : 2 2 2 22 3 2 32 (0,5 1,5)V V U V VεΔ ≈ + − ≈ ↔ +

Ειδική περίπτωση: 3 , 2 1 212

0 0p a bV a V c cε ε= ⇒ = ⇒ = ± = =∓ ∓

11.3 Υβριδισμός ατομικών τροχιακών Συνήθως στο χημικό δεσμό δεν μετέχει ένα μόνο τροχιακό από κάθε άτομο, αλλά περισσότερα. Επίσης δεν έχουμε μόνο διατομικά μόρια αλλά και πολυατομικά. Στη γενική λοιπόν περίπτωση ένα μοριακό τροχιακό ψ είναι ένας γραμμικός συνδυασμός πολλών ατομικών τροχιακών

1

N

ia iai a

cψ ϕ=

=∑ ∑ (11.13)

όπου φiα είναι το ατομικό τροχιακό τύπου α ( mna ,,≡ ) του ατόμου υπ’ αρ. i (i=1,...,N όπου Ν ο αριθμός των ατόμων στο υπό μελέτη μόριο). Μπορούμε και πάλι να υπολογίσουμε την ενέργεια ε του μοριακού τροχιακού ψ (που θα είναι συνάρτηση των διαφόρων cia) και να την ακροτατοποιήσουμε ως προς τις μεταβλητές iac . Θα προκύψει τότε ένα σύστημα πρωτοβάθμιων εξισώσεων για τις ποσότητες iac (ανάλογο των εξισώσεων (11.6΄) και (11.6΄΄) στην υποσημείωση της σελ. 100) που θα έχει τόσες λύσεις όσες και ο ολικός αριθμός των ατομικών τροχιακών που εισέρχονται στον τύπο (11.13). Είναι φανερό ότι εν γένει θα χρειασθεί ηλεκτρονικός υπολογιστής για την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων αυτών. Στις περιπτώσεις αυτές είναι κανείς διατεθειμένος να θυσιάσει την ακρίβεια προκειμένου να πετύχει απλοποίηση των πράξεων (έτσι που να μπορούν να γίνουν σε λίγες

Page 129: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

103

γραμμές και με το χέρι) και να έχει κατά συνέπεια μια άμεση φυσική ερμηνεία των αποτελεσμάτων.

Σχ. 11.2 Τα ατομικά τροχιακά 1xp και 1p y ,του ατόμου 1 και 2xp και 2p y ,του ατόμου 2 (τα τροχιακά 1zp και 2zp είναι κάθετα στο επίπεδο της σελίδας και εικονίζονται ως κύκλοι στην κάτοψη). Η κεντρική ιδέα είναι να προσπαθήσει να ανάγει κανείς το περίπλοκο πρόβλημα (11.13) στο απλούστερο (11.4) χρησιμοποιώντας ζεύγη τροχιακών, το κάθε ζεύγος να αποτελείται από ένα τροχιακό από ένα άτομο και ένα από ένα άλλο γειτονικό άτομο. Το κάθε ζεύγος πρέπει να είναι ανεξάρτητο (ή σχεδόν ανεξάρτητο) από τα υπόλοιπα τροχιακά ώστε να μπορεί να εξετασθεί από μόνο του ανεξάρτητα από τα άλλα ζεύγη. Αυτό σημαίνει ότι τα δύο τροχιακά που αποτελούν το κάθε ζεύγος πρέπει να έχουν μηδενική ή ελάχιστη επικάλυψη με τα τροχιακά των άλλων ζευγών1. Επίσης το κάθε τροχιακό του κάθε ζεύγους πρέπει να φέρει ένα ηλεκτρόνιο. Επί πλέον μεταξύ τους τα δύο τροχιακά του κάθε ζεύγους πρέπει να έχουν όσο το δυνατόν μεγαλύτερη επικάλυψη ώστε να παράγουν μεγάλες τιμές του αντίστοιχου 2V και να οδηγήσουν έτσι σε ελαχιστοποίηση της ολικής ενέργειας. Αυτές οι απαιτήσεις για τα τροχιακά του κάθε ζεύγους ικανοποιούνται σε ορισμένες περιπτώσεις από τα ατομικά τροχιακά. Π.χ., για το μόριο Ν2 τα τροχιακά xp2 και yp2 και zp2 του κάθε ατόμου μπορούν να φτιάξουν τρία ζεύγη μοριακών τροχιακών ( 1xp και 2xp , 1yp και 2yp , 1zp και 2zp ) όπως φαίνεται στο Σχ. 11.2. Είναι φανερό από το σχήμα ότι τα τρία ζεύγη είναι ανεξάρτητα και ότι το V2 που αντιστοιχεί στο ζεύγος 1xp και 2xp θα είναι κατ’ απόλυτο τιμή αρκετά μεγαλύτερο από το 2V που αντιστοιχεί στο ζεύγος

1yp και 2yp ή στο ζεύγος 1zp και 2zp (λόγω μεγαλύτερης αμοιβαίας επικάλυψης). Πράγματι, ο συντελεστής η στον τύπο (11.12) είναι ίσος με 2,22 για το ζεύγος 1xp ,

2xp και -0,63 για τα ζεύγη 1yp , 2yp και 1zp , 2zp .

1 Σε πιο τεχνική γλώσσα ο περιορισμός αυτός σημαίνει ότι το κάθε τροχιακό του κάθε ζεύγους πρέπει να είναι ορθογώνιο με όλα τα άλλα τροχιακά. Επί πλέον το στοιχείο πίνακα της χαμιλτονιανής μεταξύ δύο τροχιακών που ανήκουν σε διαφορετικά ζεύγη πρέπει να είναι πολύ μικρότερο από το 2V .

Page 130: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

104

Συνήθως δεν είμαστε τόσο τυχεροί ώστε η δημιουργία των σχεδόν ανεξάρτητων ζευγών να είναι τόσο προφανής όσο στην περίπτωση του Ν2. Καταφεύγουμε τότε στην ιδέα των υβριδικών ατομικών τροχιακών, τα οποία είναι κατάλληλος γραμμικός συνδυασμός ατομικών τροχιακών του ίδιου ατόμου1.

Για παράδειγμα θεωρήστε τα τροχιακά 2s και 2px του ατόμου του άνθρακα από τα οποία μπορούμε να κατασκευάσουμε τα ισοβαρή υβριδικά ατομικά τροχιακά 1

±sp όπως φαίνεται στο Σχ. 11.3.

Σχ. 11.3 .Τα 2 ορθογώνια μεταξύ τους υβριδικά ατομικά τροχιακά (1)sp ,

1 21 12 2

( ), ( ),x xs p s pχ χ= + = − αποτελούνται από ισοβαρή γραμμικό συνδυασμό των τροχιακών 2s και 2px του ατόμου του άνθρακα και είναι επομένως κάθετα στα τροχιακά

yp και zp (δεξιό σχήμα). Η μέση ενέργεια που αντιστοιχεί στα υβριδικά )1(±sp είναι

2/)( psh εεε += . Τα υβριδικά τροχιακά εικονίζονται συνήθως για λόγους απλότητας με ένα μόνο (και πιο μεγάλο) λοβό.

Με τη βοήθεια των υβριδικών τροχιακών )1(

±sp μπορούμε να κατανοήσουμε πώς σχηματίζεται το μόριο του ακετυλενίου C2H2 (Βλέπε Σχ. 11.4) Σημειώστε ότι με τη βοήθεια των υβριδικών ατομικών τροχιακών ένα σύστημα δέκα εξισώσεων με δέκα αγνώστους (ο συνολικός αριθμός τροχιακών που παίζουν ρόλο στο σχηματισμό του C2H2 είναι δέκα) έχει αναχθεί προσεγγιστικά σε πέντε ανεξάρτητα συστήματα δύο αγνώστων με δύο εξισώσεις, το καθένα εκ των οποίων λύνεται πολύ εύκολα (βλέπε την ενότητα 11.2 για τη λύση). Επί πλέον χωρίς κανένα υπολογισμό προέκυψε η στερεοχημεία του μορίου, δηλαδή, η πρόβλεψη ότι το C2H2 είναι γραμμικό μόριο. Ο αναγνώστης χρησιμοποιώντας τα υβριδικά ατομικά )1(

±sp του άνθρακα μπορεί να βρει τη στερεοχημεία του διοξειδίου του άνθρακα, CO2.

1 Είναι, δηλαδή, μια εύλογη προεπιλογή των πηλίκων /ia ibc c στη γενική σχέση (11.13) για κάθε άτομο i με βάση τα κριτήρια που αναφέραμε πιο πάνω. Η προεπιλογή, αν είναι επιτυχής. μειώνει τον αριθμό των αγνώστων στην (11.13) σε ζεύγη δύο μόνο τροχιακών, χωρίς σημαντικά λάθη.

Page 131: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

105

Σχ. 11.4 Η δομή του C2H2 όπως προκύπτει με τη βοήθεια των υβριδικών ατομικών

τροχιακών 1sp του άνθρακα. Μεταξύ των δύο ατόμων άνθρακα έχουμε τρία ανεξάρτητα ζεύγη που δημιουργούν τρία δεσμικά μοριακά τροχιακά: Το ζεύγος 1

1χ , 22χ ,

το ζεύγος 1yp , 2yp και το ζεύγος 1zp , 2zp (κάθετα στη σελίδα που εικονίζονται ως

κύκλοι) .Το 2V που αντιστοιχεί στο πρώτο ζεύγος είναι πολύ μεγαλύτερο ( 19,3=η )

από τα 2V των άλλων δύο ζευγών. Έχουμε δύο ακόμη ζεύγη: Το 21 1,s χ μεταξύ του

τροχιακού 1s του υδρογόνου αριστερά και του υβριδικού 21χ του ατόμου 1 του

άνθρακα, και το 12χ ,s μεταξύ του υβριδικού 1

2χ του ατόμου 2 του άνθρακα και του τροχιακού 1s του ατόμουτου υδρογόνου δεξιά. Στο πάνω μέρος του σχήματος οι δεσμοί εικονίζονται ως γραμμές (η παχύτερη για τον πιο ισχυρό δεσμό).

Εκτός από την προεπιλογή των υβριδικών ατομικών τροχιακών )1(sp , αρκετά συχνά μας χρειάζονται και άλλες προεπιλογές, δηλ. και άλλα ατομικά υβριδικά τροχιακά, όπως τα ατομικά υβριδικά τροχιακά )2(sp και τα ατομικά υβριδικά τροχιακά )3(sp . Τα πρώτα αποτελούνται από το τροχιακό s και από δύο τροχιακά p (π.χ. το px, py), εξού και ο συμβολισμός 2sp . Τα τρία υβριδικά ατομικά τροχιακά 2sp , που εικονίζονται στο Σχ. 11.5, είναι συνεπίπεδα και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 120ο:

Page 132: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

106

Σχ. 11.5 Τα τρία υβριδικά ατομικά τροχιακά sp(2) που είναι ορθογώνια μεταξύ τους σχηματίζονται από το τροχιακό s και δύο από τα τροχιακά p (τα px και py),

( )1 12

3 s xpχ φ= + , 2 1 1 323 2s x yp pχ φ= − +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, 3 1 1 323 2s x yp pχ φ= − −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Η

μέση ενέργεια, εh, κάθε υβριδικού )2(sp ισούται με )2( sph εεε += /3. Με κατάλληλες αλλαγές στους παραπάνω συντελεστές, μπορούμε να περιστρέψουμε και τα τρία τροχιακά του σχήματος διατηρώντας το συνεπίπεδο και τη γωνία των 120ο. Π.χ. η αλλαγή px → - px και py → - py αντιστοιχεί σε στροφή κατά γωνία 180ο. Δείξτε ότι τα τρία υβριδικά ατομικά τροχιακά sp(2 είναι ορθογώνια μεταξύ τους.

Τα υβριδικά sp(2) εμφανίζονται στη δομή, π.χ., του μεθυλενίου, C2H4 όπως φαίνεται στο Σχ. 11.6.

Σχ. 11.6 Ta 12 ατομικά τροχιακά που συμμετέχουν στο σχηματισμό του μορίου C2H4 χωρίζονται (με τη βοήθεια των έξη υβριδικών sp(2) των δύο ατόμων του άνθρακα) σε έξη σχεδόν ανεξάρτητα ζεύγη που το καθένα τους δημιουργεί ένα δεσμικό και ένα αντιδεσμικό μοριακό τροχιακό. Το έκτο ζεύγος αποτελείται από τα τροχιακά pz των δύο ατόμων άνθρακα που εικονίζονται και αυτά στο σχήμα ως κύκλοι. Στο παράπλευρο σχήμα το μοριακό δεσμικό τροχιακό μεταξύ του 1χ και του 1χ ′ (που δίνει τον ισχυρό δεσμό) παριστάνεται με μια πιο παχειά γραμμή, ενώ ο ασθενέστερος δεσμός μεταξύ των δύο τροχιακών zp με μια λεπτότερη γραμμή.

Page 133: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

107

Στα υβριδικά ατομικά τροχιακά sp(3) αναμιγνύονται ισοβαρώς το τροχιακό s και τα τρία τροχιακά p (το px, το py και το pz). Τα υβριδικά ατομικά τροχιακά sp(3) ενός ατόμου έχουν κατευθυντικότητα προς τις τέσσερις κορυφές ενός κανονικού τετραέδρου (θεωρώντας ότι ο πυρήνας βρίσκεται στο κέντρο βάρους του τετραέδρου), όπως φαίνεται στο Σχ. 11.7. (α) (β)

Σχ. 11.7 (β) Τα τέσσερα ορθογώνια μεταξύ τους υβριδικά ατομικά τροχιακά sp(3) με διευθύνσεις κατά τις κορυφές κανονικού τετραέδρου. Οι άξονες των τροχιακών αυτών σχηματίζουν ανά δύο έξη ίσες γωνίες 109,47ο. Η μέση ενέργεια εh, κάθε υβριδικού sp3 ισούται με εh,=(εs+3εp)/4. Για να έχετε καλύτερη γεωμετρική εποπτεία των κατευθύνσεων των τεσσάρων 3sp ατομικών τροχιακών θεωρήστε το πυρήνα του ατόμου στο κέντρο ενός κύβου, ενώστε το κέντρο με τις δύο επάνω απέναντι κορυφές και με τις δύο κάτω απέναντι κορυφές (αλλά όχι συνεπίπεδες με τις επάνω). Οι τέσσερις αυτές γραμμές δίνουν τις σχετικές κατευθύνσεις των 3sp υβριδικών ατομικών τροχιακών. Αποδείξτε τις παραπάνω σχέσεις για τις γωνίες και το εh. O αναγνώστης μπορεί εύκολα να δει ότι τα υβριδικά τροχιακά sp(3) είναι αυτά που εμφανίζονται στο μόριο του μεθανίου CΗ4 ή στο μόριο του αιθυλενίου C2H6 ή στο μόριο του σιλανίου SiH4 (Στον άνθρακα ο κύριος κβαντικός αριθμός είναι n=2, ενώ στο πυρίτιο είναι n=3). Θα κλείσουμε αυτήν την ενότητα με μια σημαντική παρατήρηση: Ο σχηματισμός υβριδικών ατομικών τροχιακών κοστίζει ενέργεια. Στην περίπτωση των δύο υβριδικών sp(1) η ολική τους ενέργεια είναι 2εh=2 (εp+εs)/2= εp+εs, ενώ προ του υβριδισμού τα δύο ηλεκτρόνια ήταν στο τροχιακό s και είχαν ενέργεια 2εs. Άρα υπάρχει ενεργειακό κόστος p sε ε− . Για τον υβριδισμό sp(2) το κόστος είναι το ίδιο (επειδή 3 2 (3(2 ) / 3) 2h s p p s s p p sε ε ε ε ε ε ε ε ε− − = + − − = − ), όπως και για τον

Page 134: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

108

υβριδισμό sp(3) επειδή 4 2 2 (4(3 ) / 4) 2 2 )h s p p s s p p sε ε ε ε ε ε ε ε ε− − = + − − = − . Ορίζουμε το V1 ως το ενεργειακό κόστος ανά υβριδικό τροχιακό. Έχουμε επομένως:

1 2p sV

ε ε−≡ για τα sp(1) (11.14α)

1 3p sV

ε ε−≡ για τα sp(2) (11.14β)

1 4p sV

ε ε−≡ για τα sp(3) (11.14γ)

Το κόστος αυτό του υβριδισμού είναι μια ενεργειακή επένδυση του ατόμου την οποία ¨σκοπεύει¨ να ανακτήσει και με το παραπάνω κατά το σχηματισμό μορίου γιατί ο υβριδισμός αναμένεται να δώσει περισσότερους και ισχυρότερους δεσμούς (μεγαλύτερο 2V ). Φυσικά, όταν το κόστος είναι μεγάλο (δηλαδή όταν το V1 είναι

μεγάλο) και το κέρδος (δηλαδή το 2V ) όχι τόσο μεγάλο, μπορεί να μη συμφέρει

ενεργειακά ο υβριδισμός και επομένως να μην πραγματοποιηθεί. Ο λόγος 21 /VV ή

γενικότερα 33

221 / VVV + που συμβολίζεται ως αm

12 2

2 3m

VaV V

≡+

(11.15)

είναι ένας δείκτης του κατά πόσο συμφέρει ή όχι ο υβριδισμός. Βάσει του τύπου (11.12) έχουμε μεγάλο 2V όταν το μήκος του δεσμού do είναι μικρό. Επομένως το πιο ευνοημένο άτομο για δημιουργία υβριδισμών είναι το άτομο του άνθρακα που κατέχει ένα μοναδικό συνδυασμό ευνοϊκών ιδιοτήτων: Έχει μεγάλο σθένος (δηλαδή, τη μέγιστη δυνατότητα τεσσάρων δεσμών ανά άτομο), σχετικά μικρή διαφορά, εp-εs, και -λόγω του μικρού του μεγέθους- σχηματίζει δεσμούς με μικρό do, άρα μεγάλο

2V . Επομένως για τον άνθρακα η ενεργειακή επένδυση του υβριδισμού είναι μικρή, ενώ το ενεργειακό κέρδος από το σχηματισμό μοριακών δεσμών με υβριδικά ατομικά τροχιακά πολύ μεγάλο Επομένως το άτομο του άνθρακα μπορεί να σχηματίσει κάθε ειδους υβριδισμό με τη βεβαιότητα ότι θα ανακτήσει και με το παραπάνω την ενεργειακή του επένδυση. Αυτή η ποικιλία των επικερδών υβριδισμών (που είναι αποτέλεσμα της προνομιακής του θέσης στην κορυφή της τέταρτης στήλης του περιοδικού πίνακα) εξηγεί την τεράστια ποικιλία των μορίων στα οποία συμμετέχει και το μοναδικό του ρόλο στη χημεία, στη βιοχημεία και στη βιολογία.

Page 135: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΣΤΕΡΕΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΥΛΗΣ 12.1 Στερεά Ύλη Ι: Εισαγωγικές παρατηρήσεις Τα βασικά χαρακτηριστικά της συμπυκνωμένης ύλης (δηλαδή των στερεών και των υγρών) είναι η πυκνότητά της (που κυμαίνεται σε σχετικά στενά όρια από περίπου 1 gr/cm3 μέχρι περίπoυ 20 gr /cm3 , παρόλο που η μάζα των ατόμων κυμαίνεται από 1mu μέχρι περίπου1 238 mu) και το σχεδόν ασυμπίεστό της. Το τελευταίο χαρακτηρίζεται από την ποσότητα Β, που ονομάζεται υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας, και ορίζεται ως το πηλίκο της πίεσης δP η οποία προκαλεί μια σχετική μεταβολή του όγκου δV/V δια της απόλυτης τιμής του δV/V. Ο ορισμός αυτός σε μαθηματική γλώσσα έχει ως εξής : ( / )B V P V≡ − ∂ ∂ . Στην παραγώγιση κρατάμε είτε τη θερμοκρασία σταθερή, οπότε γράφουμε ΒΤ είτε την εντροπία σταθερή, οπότε γράφουμε BS. (Ισχύει γενικά /S P T VB C B C= ). Τα ισότροπα στερεά χαρακτηρίζονται επίσης από την αντίσταση που προβάλλουν σε διατμητικές τάσεις που τείνουν να αλλάξουν το σχήμα του στερεού αλλά όχι τον όγκο. Η αντίσταση αυτή ποσοτικοποιείται από το λεγόμενο διατμητικό μέτρο ελαστικότητας, που συμβολίζεται με το γράμμα, μ. Το μ είναι συγκρίσιμο σε μέγεθος με το Β για σκληρά υλικά με τυπική τιμή μ/Β≈1/3 ( στο Βηρύλιο ο λόγος μ/Β έχει τη μέγιστη τιμή ίση με 1,33). Όπως αναφέραμε στην εισαγωγή πριν από το κεφ. 8, το στερεό σχηματίζεται από τον ανταγωνισμό της ελκτικής ενέργειας Coulomb (που χαρακτηρίζεται πρωτίστως από το φορτίο του πρωτονίου e) και της κβαντικής κινητικής ενέργειας των ηλεκτρονίων (που χαρακτηρίζεται από τη σταθερά του Planck και τη μάζα του ηλεκτρονίου, m). Οι τρεις βασικές σταθερές me ,, ορίζουν ένα σύστημα μονάδων με χαρακτηριστικό μήκος την ακτίνα του Bohr 2, Ba ( 2 2/ )Ba me= , χαρακτηριστική ενέργεια το λεγόμενο Hartree, 22 / Bo maE = , χαρακτηριστική πίεση την 3 2 5/ /o B BE a ma= ,

χαρακτηριστική ταχύτητα την Bma/ , κ.ο.κ3 Συνήθως, αλλά όχι πάντα, τα άτομα ενός στερεού τοποθετούνται στο χώρο με ένα περιοδικό τρόπο επαναλαμβάνοντας μια μονάδα που ονομάζεται μοναδιαία κυψελίδα. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε τρία συνήθη παραδείγματα μοναδιαίων κυψελίδων :

1 Το mu είναι το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα 12. 2 Στο σύστημα SI το e2 πρέπει να αντικατασταθεί με το e2/4π e ο 3 Εάν ο αναγνώστης επιθυμεί, μπορεί να αντικαταστήσει το Ba με το 22 / me ώστε να εκφράσει

όλες τις μονάδες συναρτήσει των me ,, . Θα δούμε, όμως, ότι αντί του e2 είναι βολικότερο να

κρατήσουμε το Ba

Page 136: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

110

ΧΩΡΟΚΕΝΤΡΟΜΕΝΗ ΚΥΒΙΚΗ ΚΥΨΕΛΙΔΑ (BODY CENTERED CUBIC, BCC)

a : πλεγματική σταθερά 3 / 2d a= : απόσταση πλησιέστερων γειτόνων

0,4924 0,5685s Br fa a d= = = (Βλ. ορισμό (12.1)) 2 άτομα ανά μοναδιαία κυψελίδα

ΕΔΡΟΚΕΝΤΡΩΜΕΝΗ ΚΥΒΙΚΗ ΚΥΨΕΛΙΔΑ (FACE CENTERED CUBIC, FCC)

2d a= 0,3908 0,5527s Br fa a d= = =

4 άτομα ανά μοναδιαία κυψελίδα

ΔΟΜΗ ΑΔΑΜΑΝΤΑ (ΚΑΙ ΠΥΡIΤΙΟΥ) Δύο αλληλοεισχωρούμενα πλέγματα FCC μετακινημένα κατά ( / 4)a (1,1,1)

3 / 4d a= 0,3102 0,7163s Br fa a d= = =

8 άτομα ανά μοναδιαία κυψελίδα

Για το πυρίτιο ( Si ) οι διαστάσεις είναι: 5,43Aa = , 2,35Ad = , 1,68Asr = 12.2 Στερεά Ύλη ΙI: Διαστατική ανάλυση Η απλούστερη προσέγγιση στις ιδιότητες των στερεών είναι η διαστατική ανάλυση με βάση τις παγκόσμιες σταθερές me ,, . Είδαμε ήδη ότι το μέγεθος των ατόμων και το μήκος του δεσμού των μορίων είναι της τάξεως του Ba (αν και αρκετά μεγαλύτερο, βλέπε σχέση (11.3)). Επομένως και το χαρακτηριστικό μήκος της μικροσκοπικής δομής των στερεών θα είναι της τάξεως του Ba (αφού ένα στερεό μπορεί να θεωρηθεί ως ένα υπεργιγάντιο μόριο). Ένας τρόπος να ορίσουμε το χαρακτηριστικό μήκος, sr , της μικροσκοπικής δομής ενός στερεού είναι η ακτίνα μιας νοητής σφαίρας που έχει όγκο ίσο με τον όγκο ανά άτομο, V/N, του στερεού. Μ’ άλλα λόγια το μήκος sr ορίζεται από τη σχέση

343 s

VrN

π≡ (12.1)

όπου V είναι ο όγκος του στερεού και Ν ο συνολικός αριθμός των ατόμων που το αποτελούν. Βάσει του ό,τι αναφέραμε προηγουμένως έχουμε ότι ( ) , με το s Br f Z a f= γύρω στο 3: 1 5f≤ ≤ (12.2)

Page 137: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

111

Η πυκνότητα, ρM, του στερεού εκφράζεται εύκολα μέσο του sr

33 30,24 2,7 gr/cm

( / )a a a B

Ms

M Nm m m AV V V N r fολρ = = = = ≈ (12.3)

όπου ΑΒ είναι το (μέσο) ατομικό βάρος των ατόμων που αποτελούν το στερεό (ΑΒ≈Α και Α είναι ο μαζικός αριθμός του πυρήνα). Για την ενέργεια σύνδεσης του στερεού ανά άτομο, NEE /ολδδ = , και για το υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας Β, θα δοκιμάσουμε το αποτέλεσμα της διαστατικής ανάλυσης με την πρόσθετη αντικατάσταση BsB fara =→ .

2 2

2 2 2 2

1 27,2 eVs B

Em r ma f f

δ ≈ = = (12.4)

2 2

65 5 5 5

0,6 1750,6 10s B

Bm r ma f f

≈ = ≈ × bar (12.5)

O αριθμητικός παράγοντας, 0,6, δεν προκύπτει φυσικά από τη διαστατική ανάλυση, αλλά έχει τεθεί εκ των υστέρων για βελτίωση της ποσοτικής συμφωνίας με τα πειραματικά δεδομένα. Για την ταχύτητα του ήχου, c , σε ένα στερεό χρησιμοποιούμε τη διαστατική ανάλυση, το αποτέλεσμα της οποίας πολλαπλασιάζουμε με τον παράγοντα (m/mα)1/2 για τους λόγους που αναφέραμε στη σχέση (4.4 )′ . Περιλαμβάνοντας και ένα αριθμητικό παράγοντα 1,6 έχουμε1

1,6 821,6 Km / s

a s a B B

m mcm mr f m ma f A

= = = (12.6)

Στον Πίν. 12.1 συγκρίνουμε τα αποτελέσματα των τύπων (12.4) έως (12.6) (χρησιμοποιώντας την εμπειρική τιμή του f μέσω του τύπου (12.3)) με τα αντίστοιχα πειραματικά δεδομένα για τέσσερα σημαντικά μονοστοιχειακά στερεά.

Πίν. 12.1 Σύγκριση των αποτελεσμάτων των τύπων (12.4) έως (12.6) με τα αντίστοιχα πειραματικά δεδομένα.

Fe A Cu Si Πειρ. «Θεωρία» Πειρ. «Θεωρία» Πειρ. «Θεωρία» Πειρ. «Θεωρία»

f5 2,67 2,99 2,67 3,18 ρm 7,86 7,92 2,79 2,73 8,96 9,01 2,33 2,36 Eδ 4,28 3,82 3,39 3,04 3,49 3,82 4,63 2,69

B 1,68 1,29 0,722 0,73 1,37 1,29 0,998 0,54 c~ 4,63 4,11 5,68 5,28 3,93 3,85 6,48 4,87

c αέρα (20ο C) = 343 m/s έναντι 380 m/s του τύπου (12.6).

Η διαστατική ανάλυση δεν έχει μόνο επιτυχίες, όπως αυτές του Πιν. 12.1. Υπάρχουν και εντυπωσιακές αποτυχίες με πιο χαρακτηριστική αυτή της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης, ηρ . Η μονάδα της ηλεκτρικής αντίστασης προκύπτει από το νόμο το

1 Εάν αντικαταστήσουμε το αΒ με το ίσο του, 2 24 /o meπ e (στο σύστημα SI), ο τύπος για το c~

γίνεται: 2(1,6 / )( / 4 ) /o ac f e m mπ= e που είναι ο ίδιος με τον τύπο (4.4΄) με ffo /6,1= .

Page 138: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

112

Ohm, R=V/I οπότε ./]/[]][[])/[]/([])/[]([]/[][][ 22 eQtEtQQEIVR ==== Επειδή /R Sηρ= , έχουμε ότι 2 3 4[ ] [ ][ ] / /BR L a e e mηρ = = = . Η αριθμητική τιμή του

2/ eaB ισούται με 21,74 μΩ×cm . Με την αντικατάσταση B s Ba r fa⇒ = η τιμή του

ηρ θα γίνει της τάξεως του 60 μΩ×cm . Η τιμή αυτή είναι αρκετά μεγαλύτερη από την πειραματική τιμή του ηρ των περισσοτέρων μετάλλων σε θερμοκρασία Τ=300Κ όπως φαίνεται στον Πίν. 12.2

Πιν. 12.2 Ειδική ηλεκτρική αντίσταση μερικών μετάλλων σε θερμοκρασία Τ=300Κ

Μέταλλο Li Na K Cs Cu Ag Au A Mg Pb Mn

ηρ (μΩ cm⋅ ) 9,55 4,93 7,47 21 1,73 1,63 2,27 2,73 4,51 21,3 139 Όμως η κατάσταση γίνεται πολύ χειρότερη για χαμηλές θερμοκρασίες μερικών βαθμών Kelvin, όπου η ειδική ηλεκτρική αντίσταση, π.χ., του χαλκού μπορεί να μειωθεί σε 10-6 μΩ×cm 1 δηλαδή να γίνει οκτώ τάξεις μεγέθους μικρότερη από την εκτίμηση τη βασισμένη στη διαστατική ανάλυση. Αντίθετα σε μονωτές η ειδική ηλεκτρική αντίσταση μπορεί να γίνει πρακτικά άπειρη (της τάξεως του 1025 μΩ×cm ). Είναι φανερό ότι για ένα μέγεθος, που οι τιμές του κυμαίνονται από στερεό σε στερεό μέχρι και τριάντα τάξεις μεγέθους, η απλή διαστατική ανάλυση είναι καταδικασμένη να αποτύχει. Η ερμηνεία του γιατί η ειδική ηλεκτρική αντίσταση έχει ένα τέτοιο τεράστιο εύρος τιμών και εξαρτάται τόσο πολύ από τη θερμοκρασία και την καθαρότητα του στερεού ανάγεται και πάλι στην κβαντομηχανική, όπως θα δείξουμε σε επόμενη ενότητα. 12.3 Στερεά Ύλη ΙΙΙ: Το μοντέλο των ελεύθερων ηλεκτρονίων Στην προηγούμενη ενότητα δείξαμε ότι η απλή διαστατική ανάλυση (βάσει των σταθερών me ,, και της αντικατάστασης BsB fara =⇒ δίνει τη σωστή τάξη μεγέθους για πολλές (αλλά όχι για όλες) τις ποσότητες που χαρακτηρίζουν τη στερεά φάση. Μάλιστα όταν χρησιμοποιήσαμε την πειραματική τιμή για το f η συμφωνία διαστατικής εκτίμησης και πειραματικών δεδομένων έγινε πολύ καλή. Το ερώτημα που τίθεται είναι εάν μπορούμε να υπολογίσουμε το f (ή το Bs far = ) από πρώτες αρχές. Η απάντηση είναι καταφατική και μάλιστα αρκετά απλή και οικεία, εάν χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο των ελεύθερων ηλεκτρονίων. Το μοντέλο αυτό θεωρεί ότι κατά το σχηματισμό του στερεού αποκολλώνται από κάθε άτομο ζ ηλεκτρόνια (όπου ζ είναι το χημικό σθένος) αφήνοντας πίσω ένα ιόν με φορτίο ζ e . Τα ηλεκτρόνια που έχουν αποκολληθεί θεωρούμε ότι κινούνται σ’ όλο το στερεό ελεύθερα, δηλαδή, σαν να μην υφίστανται καμία δύναμη. Για να βρούμε λοιπόν, το f αρκεί να υπολογίσουμε την ολική ενέργεια του στερεού, που αποτελείται από την κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων (η οποία, όπως έχουμε αναφέρει επανειλημμένως

1 Η τιμή αυτή αντιστοιχεί σε μέση ελεύθερη διαδρομή των ηλεκτρονίων της τάξεως των

109Α=10cm! Ενώ η τιμή nρ 100μΩ×cm≈ της διαστατικής ανάλυσης αντιστοιχεί σε μέση ελεύθερη

διαδρομή περίπου 8A όσο, δηλαδή, θα περίμενε κανείς από ηλεκτρόνια που προχωρούν στο στερεό συγκρουόμενα με άτομα που απέχουν μεταξύ τους μερικά Angstrom.

Page 139: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

113

είναι ανάλογη του 22 /1~/1 frs και τη συνολική ενέργεια Coulomb μεταξύ ελευθέρων ηλεκτρονίων-ελευθέρων ηλεκτρονίων, μεταξύ ιόντων-ιόντων και μεταξύ ελευθέρων ηλεκτρονίων-ιόντων. Η συνολική δυναμική ενέργεια είναι ανάλογη του 1/rs~1/f, αφού πρόκειται για ενέργεια Coulomb, και είναι ελκτική. Έτσι η συνολική ενέργεια του στερεού (ανά άτομο) δίνεται από ένα τύπο της μορφής1:

2

2 2( )B

U aN f f ma

γ′ ′= − (12.7)

Ελαχιστοποιώντας το U/N ως προς f έχουμε την τιμή ισορροπίας του , 2 /f f a γ′ ′= . Π.χ., για το A , όπου οι τύποι της υποσημείωσης δίνουν a′ =13,6 και γ ′=9,03, το f προκύπτει ίσο με 3,01, ενώ η πειραματική τιμή είναι 2,99. Ακόμη και για το Si (όπου το μοντέλο των ελεύθερων ηλεκτρονίων δεν είναι κατάλληλο) βρίσκουμε a′ =24,5, γ ′=17,95 και f=2,73 ενώ η πειραματική τιμή είναι 3,18. Από τον τύπο (12.7) μπορεί κανείς να υπολογίσει το υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας2.

Σχ. 12.1 Η ακτίνα s ar r≡ ανά άτομο για όλα τα μονοστοιχειακά στερεά του Περιοδικού Πίνακα. Οι κυκλίσκοι είναι πειραματικά δεδομένα και οι αστερίσκοι θεωρητικά αποτελέσματα βασισμένα στην (12.7) και στην υποσημείωση 1.

1 Η ποσότητα a′ ισούται με 1,3ζ5/3+ηζ2rc, και η ποσότητα γ ′ με 0,56ζ4/3+0,9ζ2(βλέπε, Ε.Ν.

Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, ΠΕΚ, Ηράκλειο, 1997, σελ.45-47). Στις περιπτώσεις αυτές το ζ είναι το σθένος του ατόμου, το rc είναι η ακτίνα του ιόντος διηρημένη με το αΒ, και το η=0,4+0,5 1)/( 1 −− ζζζ o , όπου ζο είναι ο αριθμός των ηλεκτρονίων στον εξώτερο

ημισυμπληρωμένο φλοιό του ατόμου και ζ1=1 για τις τρεις πρώτες γραμμές του περιοδικού πίνακα και ζ1=6 για τις υπόλοιπες γραμμές. Το cr δεν πρέπει να συγχέεται με το sr !

2 Δείξτε πρώτα ότι 22 / VUVB ∂∂+= (για Τ=0K) και στη συνέχεια λάβετε υπόψη ότι 3~ fV ή 1/3 ~V f . Εφαρμόστε το αποτέλεσμα για το αλουμίνιο και για το πυρίτιο, όπου δώσαμε τις τιμές του

a′ και γ ′ . Αποτέλεσμα 5 2 5 5(1/ 6 )( / )( / ) 15,6 / Mbare BB a f m a a fπ ′ ′= =

Page 140: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

114

Σχ. 12.2 Το υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας Β για όλα τα στερεά του Περιοδικού Πίνακα. Οι κυκλίσκοι είναι πειραματικές τιμές και οι αστερίσκοι θεωρητικές τιμές βάσει των υποσημειώσεων 1 και 2 της σελ. 117. 12.4 Στερεά Ύλη ΙV: LCAO (Linear Combination of Atomic Orbitals)

Η μέθοδος του γραμμικού συνδυασμού ατομικών τροχιακών (LCAO) Το στερεό μπορεί να θεωρηθεί ως ένα υπεργιγάντιο μόριο στο οποίο μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο LCAO. Για απλότητα να θεωρήσουμε ότι έχουμε ένα μονοδιάστατο ‘στερεό’ όπου Ν όμοια άτομα (Ν πολύ μεγάλος αριθμός, π.χ. Ν=108) είναι παρατεταγμένα περιοδικά το ένα δίπλα στο άλλο δημιουργώντας μια αλυσίδα της οποίας (επίσης για απλότητα) ενώνουμε τα δύο άκρα έτσι ώστε το υπ’ αρ. 1 και το υπ’ αρ. Ν να είναι άμεσοι γείτονες. Η απόσταση μεταξύ άμεσων γειτόνων συμβολίζεται με d και φυσικά το d είναι της τάξεως του αΒ (αλλά αρκετά μεγαλύτερο). Σύμφωνα με τον τύπο (11.13) τα ηλεκτρονιακά τροχιακά του στερεού, ψ, θα είναι εν γένει απλωμένα σ’ όλο το στερεό και θα αποτελούνται από διάφορους γραμμικούς συνδυασμούς των ατομικών τροχιακών όλων των Ν ατόμων. Προς το παρόν θα υποθέσουμε ότι στο σχηματισμό του στερεού μετέχει ένα μόνο (και του ίδιου τύπου) τροχιακό, nφ , από κάθε άτομο που βρίσκεται στη θέση n. Επομένως τα τροχιακά του στερεού θα είναι της μορφής:

1

N

n nn

cψ φ=

=∑ (12.8)

και η ενέργεια που αντιστοιχεί στο ψ θα έχει την ακόλουθη μορφή που είναι άμεση γενίκευση του τύπου (11.5)1.

AεΠ

= (12.9)

όπου

2 * * * *1 1 1 1 2

1 1( )

N

n o n n n n n n n nn n

c c c c c c c c c VΑ εΝ

+ + − −= =

= + + + +∑ ∑ (12.9΄)

1 Τα cn είναι εν γένει μιγαδικοί αριθμοί και το *

nc συμβολίζει το μιγαδικό συζυγή του cn.

Page 141: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

115

2

1

N

nn

cΠ=

=∑ (12.9΄΄)

Στον τύπο (12.9΄) θεωρήσαμε ότι το ατομικό τροχιακό του ατόμου n συζεύγνυται μέσω της ποσότητας V2 με τα ατομικά τροχιακά του αριστερού του ατόμου n-1 και του δεξιού του ατόμου, n+1 (Το Ν+1 άτομο ταυτίζεται με το υπ’ αρ. 1). Σημειώστε ότι οι ποσότητες εο και V2 είναι κοινές για κάθε τροχιακό και για κάθε ζεύγος γειτονικών ατομικών τροχιακών αντιστοίχως, επειδή θεωρήσαμε όμοια άτομα σε περιοδική μονοδιάστατη διάταξη. Θα ακροτατοποιήσουμε την ενέργεια ε ως προς τις μεταβλητές cn (n=1,…,N) θέτοντας τις μερικές παραγώγους nc∂∂ /ε ίσες με μηδέν. Ακολουθώντας παρόμοιες πράξεις, όπως στην υποσημείωση της σελ 104, βρίσκουμε το ακόλουθο σύστημα Ν εξισώσεων για τις Ν μεταβλητές cn 2 1 2 1( ) 0o n n nc V c V cε ε + −− + + = , n=1,…N (Βλέπε άσκηση 99 ) (12.10) Λόγω της περιοδικότητας, λόγω, δηλαδή, του ότι τα εο και V2 είναι τα ίδια για όλες τις Ν εξισώσεις (12.10), υπάρχει ένα μαθηματικό θεώρημα (το θεώρημα Bloch-Floquet) που λέει ότι οι λύσεις του συστήματος (12.10) μπορούν πάντοτε να γραφούν στη μορφή , 1,...,i n

nc e n Nφ= = (12.11)

2 2( ) 2 cosi io oV e e Vφ φε ε ε φ−= + + = + (Bλέπε άσκηση 99) (12.11΄)

όπου το φ είναι προς το παρόν αυθαίρετο . Ο αναγνώστης μπορεί να βεβαιωθεί ότι οι (12.11) και (12.11΄) είναι λύσεις της (12.10). Το φ θα προσδιοριστεί από τη σχέση

11 ccN ≡+ που δίνει exp ( ) 1i Nφ = η οποία είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη σχέση

2Nπφ = (12.11΄΄)

όπου ακέραιος που παίρνει Ν διαδοχικές τιμές1, π.χ., από –(Ν/2)+1 έως Ν/2. Βρήκαμε επομένως Ν διαφορετικές λύσεις του συστήματος (12.10), δηλαδή όλες τις λύσεις (και αυτό χάρις στην περιοδικότητα). Η λύση (12.11), που εξαρτάται από το φ , μπορεί να γραφεί μ’ ένα ισοδύναμο τρόπο, ο οποίος αναδεικνύει μια πολύ σημαντική ιδιότητά της. Ορίζοντας τον κυματοαριθμό k από τη σχέση dk /φ= και γράφοντας nn d x= έχουμε ότι

( ) nkn

ik xc e= (12.11α) πράγμα που σημαίνει ότι τα τροχιακά σ’ ένα περιοδικό στερεό έχουν στην ουσία τη μορφή επίπεδου κύματος. Άρα ένα ηλεκτρόνιο σ’ ένα περιοδικό στερεό προχωράει σαν να ήταν εντελώς ελεύθερο παρόλη την παρουσία των ατόμων, τα οποία όντας περιοδικά τοποθετημένα δεν δημιουργούν τριβή στην ηλεκτρονιακή κίνηση2. Αυτό εξηγεί το γιατί η ηλεκτρική αγωγιμότητα των μετάλλων μπορεί να γίνει τόσο μεγάλη

1 Οι υπόλοιπες τιμές του θα δώσουν ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π σε ήδη επιλεγμένη τιμή

του φ και επομένως δεν αντιστοιχούν σε νέες λύσεις 2 Το αναπάντεχο αυτό φαινόμενο είναι αποτέλεσμα της κυματικής φύσης της ύλης (που είναι

σύμφυτη με τη σωματιδιακή σύμφωνα με την κβαντομηχανική). Τα ηλεκτρόνια υφίστανται σκέδαση όταν βρίσκονται στη γειτονιά ενός ατόμου. Τα σκεδαζόμενα όμως κύματα μπορούν να συμβάλλουν εποικοδομητικά με συστηματικό τρόπο (λόγω της περιοδικής θέσης των ατόμων) και να αναιρέσουν έτσι στην ουσία τη σκέδαση και να αποκαταστήσουν την οιονεί ελεύθερη κίνηση των ηλεκτρονίων.

Page 142: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

116

ώστε να αντιστοιχεί σε μήκος ελεύθερης διαδρομής μέχρι και πολλά εκατομμύρια φορές1 την ατομική απόσταση d. Γιατί όμως η ηλεκτρική αντίσταση δεν γίνεται ακριβώς μηδέν, όπως θα περίμενε κανείς από λύσεις της μορφής (12.11α); Δύο είναι οι λόγοι: Πρώτον στα πραγματικά στερεά υπάρχουν πάντα κάποιες ξένες προσμίξεις και κάποια δομικά σφάλματα στην τοποθέτηση των ατόμων, που προκαλούν αποκλίσεις από την περιοδικότητα και επομένως καταστρέφουν εν μέρει την τέλεια εποικοδομητική συμβολή και οδηγούν σε τριβές. Δεύτερον, σε τριβές επίσης οδηγεί και το ότι τα άτομα δεν είναι ακίνητα, αλλά ταλαντώνονται γύρω από τις θέσεις ισορροπίας προκαλώντας έτσι αποκλίσεις από την περιοδικότητα. Το πλάτος των ταλαντώσεων αυτών αυξάνει με τη θερμοκρασία και επομένως περιμένουμε ότι η ειδική ηλεκτρική αντίσταση των μετάλλων θα αυξάνει με τη θερμοκρασία και μάλιστα γραμμικά, όπως πράγματι συμβαίνει2. Μέχρι τώρα η κβαντομηχανική μας ερμήνευσε την ηλεκτρική συμπεριφορά των μετάλλων3. Μπορεί όμως να ερμηνεύσει τη συμπεριφορά των ημιαγωγών και των μονωτών; Η απάντηση είναι και πάλι καταφατική: Η περιοδική τοποθέτηση των ατόμων, όπως επιτρέπει συστηματική εποικοδομητική συμβολή και αναιρεί έτσι στην ουσία τη σκέδαση, εξ ίσου καλά επιτρέπει και συστηματική καταστρεπτική συμβολή, με αποτέλεσμα να μη μπορεί να υπάρξει καν τροχιακό υπό συνθήκες καταστρεπτικής συμβολής. Με άλλα λόγια στις ενεργειακές περιοχές, όπου έχουμε εποικοδομητική συμβολή υπάρχουν τροχιακά του στερεού, τα οποία είναι οιονεί επίπεδα κύματα. Στις ενεργειακές περιοχές, όπου

1 Ο F. Bloch (που πρώτος συνέλαβε την ιδέα ότι η κυματική φύση της κίνησης των ηλεκτρονίων

ερμηνεύει τις τεράστιες τιμές του μήκους ελεύθερης διαδρομής) διηγήθηκε με τα εξής λόγια το πώς οδηγήθηκε στην εξήγηση αυτή και στο ομώνυμο θεώρημά του:

«...Το γεγονός ότι η περιοδικότητα του κρυστάλλου θα ήταν ουσιαστικής σημασίας μου ήλθε στο νου ανακαλώντας στη μνήμη μου μια επίδειξη στο μάθημα της στοιχειώδους φυσικής, όπου πολλά ίδια και ομοίως συζευγμένα εκκρεμή ήσαν αναρτημένα από μια ράβδο σε ίσες μεταξύ τους αποστάσεις και την κίνηση του ενός εκκρεμούς τη βλέπαμε να «μεταναστεύει» κατά μήκος της αλυσίδας από εκκρεμές σε εκκρεμές. Με τέτοιες ασαφείς ιδέες στο νου μου γύρισα στο νοικιασμένο δωμάτιό μου ένα βραδάκι στις αρχές Ιανουαρίου (1928) και έπιασα μολύβι και χαρτί...»

Πιάστε, λοιπόν, και σεις μολύβι και χαρτί και λύστε –με βάση το νόμο του Νεύτωνα, F=mγ- το περιοδικό σύστημα των συζευγμένων εκκρεμών του σχήματος που ακολουθεί (Υποθέστε ότι το n=N+1 συμπίπτει με το n=1και το n=0 συμπίπτει με το n=N. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα Bloch).

2 Είναι εύλογο να θεωρήσουμε ότι η αντίσταση που προβάλλει το δονούμενο άτομο στη ροή των

ηλεκτρονίων είναι ανάλογη της ενεργού διατομής του λόγω μετακίνησης, δηλαδή ανάλογη του u2, όπου u είναι το μέσο πλάτος ταλάντωσης. Όμως το u2 είναι ανάλογο της δυναμικής ενέργειας (και επομένως και της ολικής ενέργειας, η οποία για υψηλές θερμοκρασίες ισούται με TkB3 ανά άτομο). Από δω και

πέρα χρησιμοποιήστε διαστατική ανάλυση μαζί με BsB fara =→ για να εκτιμήσετε την τιμή της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης στα μέταλλα.

3 Η κλασική φυσική είναι σε πλήρη διάσταση με αυτή τη συμπεριφορά.

Page 143: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

117

έχουμε καταστρεπτική συμβολή δεν υπάρχουν καν τροχιακά του στερεού. Οι απαγορευμένες αυτές περιοχές ονομάζονται χάσματα. Οι επιτρεπτές ενεργειακές περιοχές ονομάζονται ενεργειακές ζώνες. Έτσι το ενεργειακό φάσμα ενός στερεού αποτελείται από μια εναλλαγή ενεργειακών ζωνών και χασμάτων, όπως φαίνεται στο Σχ. 12.3. Ε

Σχ. 12.3 Τα τροχιακά ενός περιοδικού στερεού μπορούν να υπάρξουν μόνο όταν η ενέργειά τους, ε,

ανήκει σε κάποια ενεργειακά επιτρεπτή περιοχή, τη ζώνη. Όταν το ε ανήκει σε απαγορευμένη περιοχή, δηλ. σε χάσμα δεν υπάρχει αντίστοιχο τροχιακό. Οι ενεργειακές ζώνες και τα χάσματα εναλλάσσονται.

Η σχέση (12.11΄), καθώς το φ μεταβάλλεται από πφ −= έως πφ = δίνει μια ενεργειακή ζώνη, η οποία εκτείνεται από 22Vo −ε έως 22Vo +ε . Άρα έχει συνολικό

ενεργειακό εύρος ίσο με 24V και περιέχει Ν τροχιακά του στερεού τα οποία μπορούν να δεχτούν μέχρι 2Ν ηλεκτρόνια. Εάν θεωρήσουμε ότι το κάθε άτομο φέρει ένα ηλεκτρόνιο, τότε τα Ν συνολικά ηλεκτρόνια θα γεμίσουν την ενεργειακή ζώνη ακριβώς μέχρι τη μέση1. Σημειώστε ότι, όποτε συμβαίνει αυτό, όποτε δηλαδή η κατανομή ελάχιστης ολικής ενέργειας αφήνει κάποια ενεργειακή ζώνη εν μέρει μόνο γεμάτη (και επομένως εν μέρει άδεια), το στερεό θα είναι πολύ καλός αγωγός του ηλεκτρικού ρεύματος. Ο λόγος είναι ότι η παρουσία άδειων τροχιακών με μηδενική πρακτικά ενεργειακή απόσταση από τα κατειλημμένα επιτρέπει εύκολη ανακατανομή των ηλεκτρονίων μεταξύ των τροχιακών, εξαιτίας του ηλεκτρικού πεδίου, και κατά συνέπεια ροή ηλεκτρικού ρεύματος. Στο μοντέλο που εξετάσαμε βρήκαμε μία μόνο ενεργειακή ζώνη γιατί ξεκινήσαμε από τη μη ρεαλιστική παραδοχή ότι κάθε άτομο είχε ένα μόνο ατομικό τροχιακό. Αν είχαμε ξεκινήσει με δύο τροχιακά ανά άτομο, ένα τύπου s και ένα τύπου xp (στη διεύθυνση του μονοδιάστατου «στερεού») και δύο ηλεκτρόνια ανά άτομο, θα βρίσκαμε δύο ενεργειακές ζώνες με ένα χάσμα μεταξύ τους. Η άνω ζώνη (που, όπως θα δούμε, είναι άδεια ) ονομάζεται ζώνη αγωγιμότητας. Η κάτω ζώνη (που είναι πλήρως γεμάτη) ονομάζεται ζώνη σθένους. Στο Σχ. 12.4 εικονίζεται το πώς μεταβάλλονται τα όρια των δύο ενεργειακών ζωνών (και επομένως τα όρια του μεταξύ τους χάσματος) καθώς αλλάζουμε το μήκος d και επομένως αλλάζουμε τα

1 Για Τ=0Κ, οπότε το «στερεό» είναι στη θεμελιώδη κατάσταση ελάχιστης συνολικής ενέργειας Εολ

4η ενεργειακή ζώνη 3ο ενεργειακό χάσμα 3η ενεργειακή ζώνη 2ο ενεργειακό χάσμα

2η ενεργειακή ζώνη 1ο ενεργειακό χάσμα

1η ενεργειακή ζώνη

4η ενεργειακή ζώνη 3ο ενεργειακό χάσμα

Page 144: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

118

διάφορα V2 (όπως το V2ss μεταξύ των γειτονικών ατομικών τροχιακών s, το V2pp μεταξύ γειτονικών τροχιακών px, και το spsp xx

VV 22 −= μεταξύ γειτονικών τροχιακών s και px. Για τις λεπτομέρειες βλέπε το σχήμα 12.10 στη σελίδα 128 αυτού του κεφαλαίου).

Σχ. 12.4 Δημιουργία δύο ενεργειακών ζωνών (γκρίζες περιοχές) σ’ ένα μονοδιάστατο «στερεό» όμοιων ατόμων (που το καθένα τους έχει ένα ατομικό τροχιακό s και ένα px) τοποθετημένων περιοδικά. Υπάρχει μια μόνο τιμή του d για την οποία κλείνει το χάσμα.Το CB σημαίνει Conduction band, δηλαδή Ζώνη Αγωγιμότητας, ενώ το VB σημαίνει Valence Band, δηλαδή Ζώνη Σθένους

Για μεγάλες τιμές του d, δηλαδή μικρές τιμές των V2 δημιουργούνται δύο στενές ενεργειακές ζώνες γύρω από το εs (με εύρος ίσο περίπου με ssV24 ) και το pε (με

εύρος περίπου ίσο με ppV24 ). Στη συνέχεια καθώς το d μικραίνει οι ενεργειακές ζώνες διευρύνονται και το χάσμα κατά συνέπεια συρρικνώνεται μέχρι πλήρους εξαφάνισης. Όμως αμέσως μετά, το χάσμα εμφανίζεται πάλι. Τώρα όμως η κεντρική ενέργεια των δύο ενεργειακών ζωνών είναι περίπου 2[( ) / 2]p s hVε ε+ ± , όπου V2h

είναι το V2 μεταξύ του υβριδικού )1(+sp ενός ατόμου και του υβριδικού )1(

−sp του ατόμου που βρίσκεται στα δεξιά του. Μ’ άλλα λόγια, για μικρές τιμές του d, δηλαδή, για μεγάλες τιμές του hV2 σχετικά με το 2/)(1 spV εε −= , οι ενεργειακές ζώνες σχηματίζονται γύρω από το δεσμικό και το αντιδεσμικό μοριακό τροχιακό που δημιουργούν τα υβριδικά τροχιακά )1(

+sp και )1(−sp δύο διαδοχικών ατόμων. Το εύρος

της κάθε ζώνης για μικρές τιμές του d είναι περίπου ίσο με 2V1: Βλέπουμε λοιπόν ότι οι ρόλοι του V2h και V1 αντιστρέφονται: Για hV2 << 1V η απόσταση των κέντρων των δύο ενεργειακών ζωνών είναι 2V1 και και το εύρος της κάθε μιας είναι περίπου ίσο με

24V . Για 1V << hV2 η απόσταση των κέντρων των δύο ενεργειακών ζωνών είναι ίση

με 2 hV2 και το εύρος της κάθε ενεργειακής ζώνης είναι περίπου ίσο με 2V1. Η σημασία αυτών των παρατηρήσεων έγκειται στο ότι γενικεύονται στις τρεις

Page 145: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

119

διαστάσεις (όπως θα δούμε αμέσως πιο κάτω) και επομένως μας επιτρέπουν να εκτιμήσουμε το εύρος του χάσματος, Εg για τη ρεαλιστική περίπτωση μικρού d. Το Εg καθορίζει καίριες ιδιότητες των ημιαγωγών και των μονωτών, όπως είναι η ηλεκτρική συμπεριφορά, η διαφάνεια ή μη των υλικών αυτών, το χρώμα τους, κλπ.

Σημειώστε ότι, αφού το κάθε άτομο του μονοδιάστατου μοντέλου μας φέρει δύο ηλεκτρόνια (στο ατομικό τροχιακό s και τα δύο και κανένα στο px) τότε, για Τ=0Κ, τα 2Ν ηλεκτρόνια θα γέμιζαν ακριβώς και τα Ν τροχιακά της κάτω ενεργειακής ζώνης του Σχ. 12.4 και θα άφηναν τελείως άδεια όλα τα Ν τροχιακά της πάνω ενεργειακής ζώνης. Όποτε συμβαίνει αυτό έχουμε είτε ημιαγωγό (εάν το εύρος του χάσματος, Εg είναι μικρότερο ή περίπου ίσο με 3eV) είτε μονωτή (εάν το Εg>3eV)1. Ο λόγος είναι απλός: Για να υπάρξει ηλεκτρικό ρεύμα θα πρέπει η κατανομή ισορροπίας των ηλεκτρονίων στα διάφορα τροχιακά του στερεού να τροποποιηθεί ως αποτέλεσμα της επιβολής του ηλεκτρικού πεδίου. Γιατί αλλιώς, αν η κατάσταση ήταν όπως και πριν από την επιβολή του ηλεκτρικού πεδίου, τότε το ηλεκτρικό ρεύμα θα ήταν όπως και πριν, δηλαδή μηδέν. Όμως η τροποποίηση αυτή (στην περίπτωση που η ανώτερη κατειλημμένη ενεργειακή ζώνη είναι πλήρης) απαιτεί την ενεργειακή μετακίνηση ηλεκτρονίων τουλάχιστον κατά Εg (πράγμα που δεν είναι εφικτό, όταν gE >>kBT, εκτός εάν το ηλεκτρικό πεδίο είναι τόσο τεράστιο ώστε να οδηγήσει στη διάσπαση του ημιαγωγού ή του μονωτή). Άρα το υλικό θα συμπεριφερθεί ως μονωτής ή ημιαγωγός και η ειδική ηλεκτρική του αντίσταση θα έχει τη μορφή

~ exp( / 2 )qg BT E k Tηρ με 5 / 2q ≈ .

To συμπέρασμα, λοιπόν, είναι ότι η κβαντομηχανική μας παρέχει ποιοτική και ποσοτική ερμηνεία της ποικίλης ηλεκτρικής συμπεριφοράς των στερεών τόσο των αγωγών όσο και των μονωτών.

Το Σχ. 12.5 είναι μια διδιάστατη απεικόνιση τριών ατόμων, π.χ. Si, με τα τέσσερα τροχιακά 3sp για κάθε ένα άτομο. Έτσι μπορεί να δει κανείς την πορεία των φορέων ηλεκτρισμού (αν υπάρχουν) από διπλανό σε διπλανό άτομο μέχρι να διατρέξουν όλο τον ημιαγωγό.

1 Όταν το χάσμα γίνει μηδέν ή λίγο αρνητικό (που σημαίνει πολύ μικρή επικάλυψη των δύο ζωνών)

έχουμε ημιμεταλλική ηλεκτρική συμπεριφορά.

Page 146: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

120

Σχ.12.5 Διδιάστατη απεικόνιση των 4 υβριδικών ατομικών τροχιακών 3sp του ατόμου (0) στη θέση (0,0,0,), του ατόμου (1) στη θέση (α/4)(1,1,1), και του ατόμου (2) στη θέση (α/2)(0,1,1). Για κάθε υβριδικό τροχιακό σημειώνεται η κατεύθυνσή του στον τριδιάστατο χώρο.

Το Σχ. 12.6 δείχνει πώς γενικεύεται η εικόνα του Σχ. 12.4 για πραγματικά υλικά με τριδιάστατη1 δομή2.

.

Σχ. 12.6 Γραφική παράσταση των ενεργειακών ζωνών (σε ποιοτικό επίπεδο) ενός απλού στοιχειακού στερεού με τριδιάστατη ατομική δομή, ως συνάρτηση του λόγου V1/ hV2 που εξαρτάται από την πλεγματική σταθερά a ( με V1 σταθερό). Το 1a αντιστοιχεί σε λόγο 1 2 1/ hV V x= και το 2a σε λόγο 2x . Οι κουκίδες δηλώνουν τη θέση της ενέργειας Fermi, ΕF, του αντίστοιχου στερεού. Προκειμένου για ημιαγωγούς ή μονωτές η ενέργεια Fermi τοποθετείται στο μέσο του χάσματος και όχι στο άνω άκρο της ζώνης σθένους).

Σημειώστε ότι υπάρχει μια ολόκληρη περιοχή, 1 1 2 2/ hx V V x< < , όπου το χάσμα έχει εξαφανισθεί. Οι δύο ζώνες δεξιά αυτής της περιοχής σχηματίζονται γύρω από το εs (η κάτω ζώνη που έχει συνολικά Ν τροχιακά) και γύρω από το εp (η πάνω ζώνη που έχει συνολικά 3Ν τροχιακά που αντιστοιχούν στα px, py, pz). Οι δύο ζώνες αριστερά αυτής της περιοχής [x1, x2] σχηματίζονται γύρω από το δεσμικό και το αντιδεσμικό μοριακό τροχιακό που το καθένα τους περιέχει δύο ατομικά υβριδικά τροχιακά 3sp που ανήκουν σε δύο διπλανά άτομα (όπως φαίνεται στο Σχ. 12.5). Το εύρος της κάθε ζώνης είναι περίπου ίσο με 4V1 και κάθε μία τους έχει 2Ν τροχιακά. Στο σχήμα 12.6 έχει τοποθετηθεί επίσης η ενέργεια ΕF του ανώτερου κατειλημμένου τροχιακού για διάφορα υλικά. Όταν το ΕF είναι στο εσωτερικό ζώνης το υλικό παρουσιάζει μεταλλική ηλεκτρική συμπεριφορά. Όταν το ΕF είναι στο μέσο του

1 Θυμίζουμε στον αναγνώστη ότι για τριδιάστατα στερεά το 4/)(1 spV εε −≡ . Το hV2 για

υβριδικά sp3 ισούται με 22 /22,3 md . 2 Υπάρχουν πραγματικά υλικά που η δομή τους είναι κατά βάση διδιάστατη ή μονοδιάστατη και τα

φύλλα ή οι αλυσίδες αντιστοίχως συνδέονται μεταξύ τους με ασθενείς δεσμούς Van der Waals

Page 147: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

121

χάσματος το υλικό είναι ημιαγωγός ή μονωτής. Υπάρχουν, σύμφωνα με το Σχ. 12.6 τρεις περιπτώσεις όπου ένα μονοστοιχειακό τριδιάστατο στερεό θα είναι ημιαγωγός ή μονωτής. Η πρώτη περίπτωση είναι όταν έχουμε δύο ηλεκτρόνια ανά άτομο (όπως στη στήλη του Be και στη στήλη Zn) και εάν επιπλέον το hVxV 221 > . Η δεύτερη περίπτωση είναι όταν έχουμε τέσσερα ηλεκτρόνια ανά άτομο (όπως στη στήλη του C) και όταν επί πλέον το hVxV 211 < . Η τρίτη περίπτωση είναι όταν έχουμε οκτώ ηλεκτρόνια ανά άτομο (όπως στη στήλη των ευγενών αερίων). Τα παραπάνω συμπεράσματα ισχύουν εφόσον η δομή είναι τριδιάστατη και το στερεό είναι μονοστοιχειακό. Θα συνοψίσουμε στον τύπο (12.12) και στο διαγράμμα (Σχ. 12.7) το πώς μπορεί κανείς να εκτιμήσει αριθμητικά το εύρος του χάσματος σε μονοστοιχειακούς τετραεδρικούς ημιαγωγούς (ή μονωτές) με τέσσερα ηλεκτρόνια ανά άτομο.

2

26,5 ( )g p sEmd

ε ε≈ − − (12.12)

Σχ. 12.7 Σχηματισμός των ενεργειακών ζωνών ενός μονοστοιχειακού τετρασθενούς ημιαγωγού (εν προκειμένω του πυριτίου) από μια διαδοχή βημάτων κάθε ένα από τα οποία προσεγγίζει όλο και καλύτερα την πραγματικότητα. Μέχρι και το 4ο βήμα οι υπολογισμοί είναι εντελώς στοιχειώδεις. Από κει και πέρα απαιτείται σταδιακή αύξηση της περιπλοκότητας των υπολογισμών. (Το 4/)3( sph εεε += είναι η στάθμη του

Page 148: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

122

υβριδικού ατομικού τροχιακού )3(sp . Το hh V2±ε είναι η στάθμη του αντιδεσμικού και

του δεσμικού μοριακού τροχιακού μεταξύ τροχιακών )3(sp που ανήκουν σε γειτονικά άτομα). Το χάσμα, Εg, σύμφωνα με τον απλό αυτό υπολογισμό ισούται περίπου με

)(5,6 2

2

spg mdE εε −−≈ .

Σχ. 12.8 (a) Μοριακά δεσμικά τροχιακά και (b) στάθμες και ενεργειακές ζώνες σε σύνθετο ημιαγωγό (GaAs), Διακρίνονται (1) οι ατομικές στάθμες ,s pε ε του ανιόντος

Page 149: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

123

(α, As) και του κατιόντος (c, Ga), (2) οι αντίστοιχες ατομικές υβριδικές στάθμες, (3) οι δεσμικές και αντιδεσμικές μοριακές στάθμες και (4) η ζώνη σθένους (που αποτελείται από δύο υποζώνες) και η ζώνη αγωγιμότητας σε διάφορες υπολογιστικές εκδοχές (4, 5, 6, 7) . Στο Σχ. 12.8 και στον τύπο (12.13) δίνεται η εκτίμηση για το μέγεθος του χάσματος σε συνθετους ημιαγωγούς ΙΙΙ-V. Το εύρος του χάσματος, gE , ενός σύνθετου ημιαγωγού δίνεται προσεγγιστικά από τη σχέση

2 2

2 3 , , , ,122 ( ) ( )g h h p c s c p a s aE V V ε ε ε ε≈ + − − + − (12.13)

όπου 2 22 , , , ,

183,22 / , 3 3 )(h e 3h s c p c s a p aV m d V ε ε εε= − = + − − και 1 1 1

12 ( ).c aV V V= +

1

Σχ. 12.9 «Φασικό» διάγραμμα στο επίπεδο των δεικτών πολικότητας και μεταλλικότητας, αp, am,, αντιστοίχως, των απλών τετρασθενών στοιχειακών στερεών και των τετρασθενών (κατά μέσο όρο) ενώσεων. Τέλος στο Σχ. 12.9 δίνεται το είδος του στερεού που θα προκύψει ανάλογα με τις τιμές των δεικτών πολικότητας, 2 2

3 2 3/p h h ha V V V= + , και μεταλλικότητας 2 2

1 2 32 /m h ha V V V= + .

Page 150: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

124

Σχ. 12.10 Τα μη διαγώνια στοιχεία της Χαμιλτονιανής μεταξύ άμεσων γειτόνων δινονται από τον γενικό τύπο 2 2

2 / eV m dη= ,όπου το d είναι το μήκος του δεσμού και το η εξαρτάται από το είδος των ατομικών τροχιακών ( ,s p ) και τον προσανατολισμό του p σχετικά με τη κατεύθυνση του δεσμού.

Page 151: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

125

Η Πιν. 12.3 Θεωρητικές τιμές των ενεργειών, , ,ns np ndE E E− − − , και 1 ( ) / 4np nsV E E≡ − (σε eV ) σύμφωνα με τη μέθοδο Hartree-Fock

(από το βιβλίο του Harrison, 1989)

He 24,97

-

Li 5,34

- -

Be 8,41

- -

Μη μεταβατικά στοιχεία

Μεταβατικά στοιχεία

B 13,46 8,43 1,26

C 19,37 11,07 2,08

N 26,22 13,84 3,10

O 34,02 16,72 4,33

F 42,78 19,86 5,73

Ne 52,51 23,13 7,35

2n′ =

C 19.37 11.07 2.08

n΄sΕ← −

n΄pΕ← −

1V←

Fe 7.08

16.54

n΄sΕ←

1,n΄ dΕ −←

Na 4,95

- -

Mg 6,88

- -

Al 10,70 5,71 1,25

Si 14,79 7,58 1,80

P 19,22 9,54 2,42

S 24,01 11,60 3,10

Cl 29,19 13,78 3,85

Ar 34,75 16,08 4,67

3n′ =

K 4,01

- -

Ca 5,32

- -

Sc 5,72

9,35

Ti 6,04

11,04

V 6,32

12,55

Cr 6,59

13,94

Mn 6,84

15,27

Fe 7,08

16,54

Co 7,31

17,77

Ni 7,52

18,96

Cu 6,49

13,36

Zn 7,96

4 0,99

Ga 11,55 5,67 1,47

Ge 15,15 7,33 1,96

As 18,91 8,98 2,48

Se 22,86 10,68 3,05

Br 27,00 12,43 3,64

Kr 31,37 14,26 4,28

4n′ =

Rb 3,75

- -

Sr 4,85

- -

Y 5,34

6,80

Zr 5,68

8,46

Nb 5,95

10,03

Mo 6,19

11,56

Tc 6,39

13,08

Ru 6,58

14,59

Rh 6,75

16,16

Pd 6,91

17,66

Ag 5,98

14,62

Cd 7,21

4 0,803

In 10,14 5,37 1,19

Sn 13,04 6,76 1,57

Sb 16,02 8,14 1,97

Te 19,12 9,54 2,40

I 22,34 10,97 2,84

Xe 25,69 12,44 3,31

5n′ =

Cs 3,36

- -

Ba 4,29

- -

La 4,35

-

Hf 5,72

8,14

Ta 5,98

9,57

W 6,19

10,96

Re 6,38

12,35

Os 6,52

13,73

Ir 6,71

15,13

Pt 6,85

16,55

Au 6,01

14,17

Hg(α) 7,10 4,11 0,75

Tl 9,82 5,23 1,15

Pb 12,48 6,53 1,49

Bi 15,19 7,79 1,85

Po 17,96 9,05 2,23

At 20,82 10,33 2,62

Rn 23,78 11,64 3,04

6n′ =

Fr Ra Ac

Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu

Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr

Page 152: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

126

ΜΕΡΙΚΕΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΟΡΙΣΜΟΙ

Σε ένα πραγματικό (δηλ. τριδιάστατο) περιοδικό στερεό οι λύσεις της εξίσωσης του Schrödinger χαρακτηρίζονται από το κυματάνυσμα k και ένα δείκτη n , που προσδιορίζει το σε ποια ζώνη αναφερόμαστε (προκειμένου για ημιαγωγούς μας ενδιαφέρει η ζώνη σθένους (ΖΣ) και η ζώνη αγωγιμότητας (ΖΑ)). Οι ιδιοενέργειες είναι συναρτήσεις του k και του n : ( )nE k

Για δεδομένο k ορίζονται εν γένει περισσότερες της μίας ενεργές μάζες ανάλογα με τη διεύθυνση και το δείκτη n :

2

2 2*,

( )1 1( ) , , ,n

ii n

Ekm

i x y z∂∂

≡ =k (12.13)

Για ημιαγωγούς μας ενδιαφέρουν ιδιαιτέρως οι ενεργές μάζες στο κάτω πέρας της ΖΑ και στο άνω πέρας ΖΣ.

Οι ποσότητες που αποδίδουμε στις οπές ( h ) (δηλαδή στα ελλείποντα ηλεκτρόνια από τη ΖΣ) συνδέονται ως εξής με τις αντίστοιχες ποσότητες των ελλειπόντων ηλεκτρονίων ( e ):

h es s= − (12.14) h e= −k k (12.15) he e= (12.16) ( ) ( )h h e e=k kυ υ (12.17) ( ) ( )h h e eE E= −k k (12.18)

Μέσω των οπών διευκολύνεται και γίνεται πιο οικεία η μελέτη της ΖΣ.

Η διηλεκτρική συνάρτηση, ( )∞e , για /LO gEω ω , δίνεται προσεγγιστικά από τη σχέση

3

2 2

( ) 1 2,13 , /

1A B c B

c p

a d d d a

a a

γ γ∞ = + ≡

≡ −

e (12.19)

όπου το γινόμενο A Bγ γ είναι της τάξεως της μονάδας. Για /gEω ισχύει ο τύπος

2 2

2 2( ) ( ) LO

TO

ω ωωω ω

−= ∞

−e e (12.20)

που οδηγεί στη σχέση των LST :

2

2(0) ( ) LO

TO

ωω

= ∞e e (12.21)

Για μονοστοιχειακούς ημιαγωγούς LO TOω ω= και (0) ( )= ∞e e . Για

ετεροπολικούς ημιαγωγούς 2 2 2(4 / ( ) )LO TO A A rq n mω ω π= + ∞e . Tα LOω και TOω είναι οι ιδιοσυχνότητες της διαμήκους και της εγκάρσιας αντιστοίχως ιοντικής ταλάντωσης του πλέγματος για k=0.

Page 153: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

127

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1: ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ ΜΕ ΠΡΟΣΜΙΞΕΙΣ

Με 1:1.000.000 κατάλληλες ξένες προσμίξεις μπορεί να αυξήσει κανείς την αγωγιμότητα ενός πολύ καθαρού ημιαγωγού κατά 1.000.000 φορές !

DOS

Ζ Σ

0

ΖΑ

Eαε gE - dε gΕ

Εικονίζεται το άνω μέρος της Ζώνης Σθένους (ΖΣ), το κάτω μέρος της ζώνης αγωγιμότητας (ΖΑ), η στάθμη πρόσμιξης, aε , με συγκέντρωση ατόμων aN (αποδέκτες) και η στάθμη πρόσμιξης δοτών, g dE ε− , με συγκέντρωση ατόμων

dN . Η πυκνότητα καταστάσεων (DOS) στη ΖΣ και στη ΖΑ αντιστοίχως είναι:

3/ 2*

1/ 22 2

2 ( ) , 02

hmV E EρπΖΣ

⎛ ⎞= − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (12.22)

3/ 2*

1/ 22 2

2 ( ) ,2

cg g

mV E E E EρπΖΑ

⎛ ⎞= − ≥⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (12.23)

Η συγκέντρωση ηλεκτρονίων στη ΖΑ, n , δίνεται από τον τύπο

2 ( ) ( )g

ZAEn dE E f Eρ

∞= ∫ (12.24)

και η συγκέντρωση οπών στη ΖΣ από τον τύπο

[ ]02 ( ) 1 ( )Zp dE E f Eρ Σ−∞

= −∫ (12.25)

Προσεγγίζοντας την κατανομή Fermi με αυτήν του Boltzmann έχουμε

[ ] 1( ) exp ( ) ,B

f E Ek T

β μ β= − − = (12.26)

Αντικαθιστώντας την (12.26) στις σχέσεις (12.24) και (12.25) βρίσκουμε

3/ 2*

3/ 22

1( ) exp ,2

g cc B c

B

E mn A k T Ak T

μ

π

− ⎛ ⎞⎡ ⎤≅ − = ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

Page 154: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

128

3/ 2*

3/ 22

1( ) exp ,2

hh B h

B

mp A k T Ak Tμ

π

⎛ ⎞⎡ ⎤≅ − = ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

Από το γινόμενο n p⋅ απαλείφεται η άγνωστη ακόμη ποσότητα μ (το χημικό δυναμικό)

3( ) exp gc h B

B

En p A A k T

k T⎡ ⎤

⋅ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

(12.27)

Το μ προσδιορίζεται από τη σχέση διατήρησης του αριθμού των ηλεκτρονίων, που έχει τη μορφή ( )d a a dn n p p N N+ = + − − (12.28) όπου ,d an n είναι η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων στις στάθμες πρόσμιξης και δίνεται από τύπους ανάλογους του (12.24) και (12.25). Ενδογενής περίπτωση (intrinsic) όπου η συγκέντρωση των προσμίξεων είναι

αμελητέα. Τότε η σχέση (12.28) γίνεται n p= , που σε συνδυασμό με την (12.27) δίνει τις ακόλουθες τιμές για τις συγκεντρώσεις και το χημικό δυναμικό, iμ

3/ 2( ) exp / 2i i c h B g Bn p A A k T E k T⎡ ⎤= = −⎣ ⎦ (12.29)

*

*( / 2) (3 / 4) ln hi g B

c

mE k Tm

μ = +

Σημειώστε το 2 στον εκθέτη της (12.29) και το ότι για Τ=0 Κ, ( / 2)i gEμ = . Εξωγενής περίπτωση (extrinsic), όπου d a iN N n− Εάν d dn N και a ap N με d aN N> έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα

( )1/ 22 212 4 in N n Nδ δ⎡ ⎤≈ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(12.30)

( )1/ 22 212 4 ip N n Nδ δ⎡ ⎤≈ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

(12.31)

12sinhi B i

Nnk T δμ μ −≈ + (12.32)

όπου d aN N Nδ ≡ − . Η αγωγιμότητα είναι ίση με το άθροισμα των αγωγιμοτήτων της ΖΣ και της ΖΑ. Κάθε μια αγωγιμότητα είναι ανάλογη της συγκέντρωσης p των οπών στη ΖΣ και της συγκέντρωσης n των ηλεκτρονίων στη ΖΑ. Για τον πιο σημαντικό ημιαγωγό, το πυρίτιο έχουμε τις εξής τιμές: 9 -3: 1,12eV, 7 10 cmg i iSi E n p= = = × για 300 KoT = .

Page 155: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

129

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2: ΣΥΝΟΨΗ

Η κρυσταλλική δομή των τετρασθενών ημιαγωγών (μονοστοιχειακών, ή IV-IV, ή III-V, ή II-VI) είναι τετραεδρική και στη μεγάλη πλειοψηφία των περιπτώσεων αποτελείται από δύο υποπλέγματα fcc μετατοπισμένα το ένα

ως το προς το άλλο κατά το διάνυσμα (0)1 (1,1,1)( / 4)a=d , όπου a είναι το

μήκος της ακμής της μοναδιαίας κυβικής κυψελίδας. Τα υβριδικά τροχιακά 3sp του ατόμου που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων

(βλέπε Σχ.12.5) δίνονται από τους τύπους:

(0) (0) (0) (0) (0)1

12 x p zy

s p pχ φ φ φ φ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (12.33)

(0) (0) (0) (0) (0)2

12 x p zy

s p pχ φ φ φ φ⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ (12.34)

Τα (0)3χ και (0)

4χ προκύπτουν από (0)2χ με κυκλική εναλλαγή των αρνητικών

πρόσημων μεταξύ των (0) (0) (0), καιx y zp p pφ φ φ .

Για το άτομο που βρίσκεται στη θέση (1,1,1)(α/4) (Σχ.12.5) έχουμε:

(1) (1) (1) (1) (1)1

12 x p zy

s p pχ φ φ φ φ⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ (12.35)

(1) (1) (1) (1) (1)2

12 x p zy

s p pχ φ φ φ φ⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (12.36)

και τα (1)3χ , (1)

4χ με κυκλική εναλλαγή του μείον μεταξύ των (1) (1),x yp pφ φ και

(1)zpφ .

Η ενέργεια του υβριδικού τροχιακού (3)sp , hε , ισούται με:

34h

s pε εε

+= (12.37)

Το στοιχείο του πίνακα της χαμιλτονιανής μεταξύ υβριδικών τροχιακών (3)sp του ίδιου ατόμου ισούται με 1V− , όπου

1 4 0p sVε ε−

= >

Σημειώστε τους ορισμούς των δεικτών πολικότητας και μεταλλικότητας:

2 23 2 3/p h h ha V V V= + , 2 2

1 2 32 /m h ha V V V= +

Page 156: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

130

Page 157: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΕΙΣΑΓΩΓIKO ΣΧΟΛΙΟ ΣΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 13, 14 ΚΑΙ 15: Η ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΣΤΟ ΠΡΟΣΚΗΝΙΟ

Μέχρι τώρα η δύναμη της βαρύτητας δεν έπαιξε κανένα ρόλο στη δομή των διαφόρων επιπέδων οργάνωσης της ύλης που εξετάσαμε. Ο λόγος γι’ αυτό το γεγονός είναι απλός. Η δύναμη της βαρύτητας είναι αφάνταστα πιο ανίσχυρη απ’ όσο οι άλλες δυνάμεις της φύσης, όπως φαίνεται στον Πιν. Ε.13.1 που συγκρίνει τη βαρυτική δυναμική ενέργεια μεταξύ δύο πρωτονίων που βρίσκονται σε απόσταση ίση με την ακτίνα του Bohr, με την αντίστοιχη ηλεκτρική δυναμική ενέργεια, 2 / Be a , (που λαμβάνεται ως μονάδα) και με ένα μέτρο, 2 / Bsg a , της ισχυρής πυρηνικής ενέργειας. Πίν. Ε13.1. Σύγκριση της ισχύος της βαρυτικής, της ηλεκτρικής και της ισχυρής πυρηνικής αλληλεπίδρασης. (G είναι η παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας και c είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό). H αδιάστατη ισχύς της ασθενούς πυρηνικής αλληλέπιδρασης είναι περίπου 510− ( Βλέπε Πιν.ΙV, σελ. xv).

Βαρυτική Ηλεκτρική Ισχυρή Πυρηνική 2

395,9 10pG

Gmc

α −≡ = × 2 1

137e

cα ≡ =

2

1ss

gc

α ≡ ≈

37/ 8,09 10-Gα α = × α / α = 1 / 140sα α ≈

Παρόλο το ασήμαντο μέγεθος της η βαρυτική δύναμη έχει δύο χαρακτηριστικά που τη φέρνουν από κάποιο επίπεδο και πάνω στο προσκήνιο της δομής του Kόσμου και της επιτρέπουν τελικά να κυριαρχήσει σε κοσμολογικό επίπεδο. Ποια είναι αυτά τα χαρακτηριστικά ; Πρώτον, η άπειρη εμβέλειά της (σε αντίθεση με την ισχυρή πυρηνική δύναμη) και δεύτερον ο πάντοτε ελκτικός χαρακτήρας της (σε αντίθεση με την ηλεκτρική δύναμη που μπορεί να είναι είτε ελκτική είτε απωστική). Έτσι το αποτέλεσμά της αυξάνεται μονότονα όσο μεγαλώνει η μάζα του συστήματος μέχρι να φτάσει να γίνει η ολική βαρυτική ενέργεια ( GE ) ίση με την ολική ηλεκτρική ενέργεια ( CE ). Αυτό θα συμβεί όταν η ολική μάζα a a a u v uM N m N Am N m= = = ικανοποιήσει την ισότητα G CE E= , που σύμφωνα με το θεώρημα virial οδηγεί:

12 , ,K KG C G C GE E E E E E E= + = ⇒ = (Εσ13.1)

Λαμβάνουμε υπόψη ότι

5/32

3 1/3432/3 , , ,e

e a aK K Be

NE c N N V R R N f am V

ζ π= = = = (Εσ13.2)

και ότι

2 2

,uaG G

G m NE c N A NR

νν= = (Εσ13.3)

Page 158: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

132

όπου το 1/3aR N r= , το Br f a= , το aN είναι ο συνολικός αριθμός ατόμων, το Nν

είναι ο συνολικός αριθμός νουκλεονίων, το Α είναι ο μαζικός αριθμός που σχεδόν συμπίπτει με το ατομικό βάρος, το ζ είναι ο βαθμός ιονισμού, το um είναι το 1/12 της μάζας του άνθρακα 12 ( u p nm m m≈ ≈ ), και οι αριθμητικές σταθερές Kc και Bc για ομοιογενή πυκνότητα έχουν τις ακόλουθες τιμές 2.87 0.6K Bc cκαι= = , (Εσ13.4)

ενώ στην πραγματικότητα οι τιμές και των δύο είναι μεγαλύτερες λόγω ανομοιογενούς κατανομής της μάζας (πυκνότερη στο κέντρο). Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις και τιμές στην (Εσ.13.1) και ορίζοντας την ποσότητα 2/34 / 3/ ( ) ][K Gy c c π≡ βρίσκουμε

2

5/23/2

3/2( / ) ( )

G

N y fAζ α

αν = (Εσ13.5)

Με βάση τις τιμές (Εσ13.4) το y=1,84. Εάν f=2.5, ζ=1 και Α=30 (τιμές που αντιστοιχούν σε συνήθη στερεα ύλη) το αποτέλεσμα είναι 5110Nν ≈ (Εσ13.6)

Εάν f=1.5, ζ=1.5 και Α= 2 (τιμές που αντιστοιχούν σε ιονισμένη ύλη με περίσσεια υδρογόνου) βρίσκουμε 5410Nν ≈ (Εσ13.7)

(Στην συνημμένη ομιλία του Οικονόμου το αποτέλεσμα είναι 513 10× ). Ο εκθέτης 3/2 στον τύπο (Εσ13.5) οφείλεται στο ότι η βαρυτική ενέργεια είναι ανάλογη του 2 5/3/a aN R N∝ , ενώ η ηλεκτροστατική είναι ανάλογη του aN .

Εξισώνοντας, επομένως, μια ποσότητα της μορφής 5

3αλ Ν με μια ποσότητα

ak N προκύπτει ότι3

2( / )aN k λ= . Αυτό τον εκθέτη θα τον συναντήσουμε ξανά και ξανά στα κεφ. 13 και 14. Στον Πιν. Ε.13.2 δίνεται ο αριθμός νουκλεονίων, vN , σε ορισμένα ουράνια σώματα.

Πιν.Ε13.2. Αριθμός νουκλεονίων που περιέχονται στα ακόλουθα σώματα

Σελήνη Γη Δίας Ήλιος Το

μικρότερο άστρο

Το μεγαλύτερο

άστρο Σύμπαν

4,424x1049 3,596x1051 1,143x1054 1,1972x1057 ≈ 2x1056 ≈ 2x1059 2.3x1080

Ο πλανήτης Δίας περιέχει 1,143x1054 νουκλεόνια , δηλ. όσα περίπου προβλέπει ο τύπος (Ε.13.7) και επομένως σ’ αυτόν η συνολική βαρυτική ενέργεια είναι παρόμοια με τη συνολική ηλεκτροστατική ενέργεια. Η ίδια προσεγγιστική ισότητα,

,B CE E≈ ισχύει και για τη Γη, όπως προκύπτει από τον τύπο (Ε.13.6) και την τιμή 3,596x1051

Τι καινούριο λοιπόν θα φέρει η βαρύτητα στη δομή του Μεγάκοσμου; Μήπως εκεί οι κβαντικοί νόμοι παύουν να ισχύουν; Μήπως το δεν έχει πια θέση; Ας το δούμε.

Page 159: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

133

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13

ΠΛΑΝΗΤΕΣ Οι πλανήτες είναι αστρικά σώματα αρκετά μεγάλης μάζας ώστε οι βαρυτικές συνθλιπτικές πιέσεις να είναι συγκρίσιμες με τις ηλεκτροστατικές, όπως ειδαμε στο Ε.13. Ως αποτέλεσμα αυτού του γεγονότος οι πλανήτες έχουν σχήμα σφαιρικό1. Υπάρχουν πλανήτες με σύσταση πετρώδη (όπως η Γη, ο Άρης, κλπ) και πλανήτες που δεν αποτελούνται από στερεά ύλη (όπως ο Δίας, Κρόνος, κλπ.). Η διαφορά οφείλεται στη χημική σύνθεση: Οι πρώτοι περιέχουν κυρίως πυρίτιο, οξυγόνο και βαρύτερα στοιχεία, ενώ οι δεύτεροι αποτελούνται κυρίως από υδρογόνο και κάποιο ποσοστό ηλίου. Στο Σχ. 13.1 δίνεται η εξάρτηση της πυκνότητας, ρ, της πίεσης, P, και της επιτάχυνσης, g, της βαρύτητας της Γης από την απόσταση r (από το κέντρο της).

Σχ. 13.1 Η μεταβολή με την απόσταση r΄ από το κέντρο της Γης της πυκνότητας, ρ, της πίεσης P, και της επιτάχυνσης της βαρύτητας g(r΄).

1 Η συνολική βαρυτική ενέργεια ενός σφαιρικού πλανήτη μάζας Μ και ακτίνας R ισούται με

2 /Gc GM R− , όπου η αριθμητική σταθερά Gc , εξαρτάται από το τι μορφή έχει η συνάρτηση της

πυκνότητας, )(r΄ρ . Για )(r΄ρ =σταθ= )3/4/( 3RπΜ , Gc = 0,6. Το ότι το σφαιρικό σχήμα ελαχιστοποιεί την ολική βαρυτική ενέργεια φαίνεται αμέσως αν λάβουμε υπόψη μας ότι οποιοδήποτε άλλο σχήμα προκύπτει αν αφαιρέσουμε σταδιακά κάποια μάζα από μια περιοχή της σφαίρας και την προσθέσουμε σε μια άλλη. Αυτή η διαδικασία αυξάνει την απόσταση της μετακινηθείσης μάζας από το κέντρο της σφαίρας και επομένως αυξάνει την ολική βαρυτική ενέργεια. Επειδή η ηλεκτρική και η κινητική ενέργεια των σωματίων του πλανήτη δεν εξαρτώνται από το σχήμα (με την εξαίρεση ενός πολύ-πολύ μικρού ποσοστού που συνδέεται με την επιφανειακή τάση) έπεται ότι και η ολική ενέργεια ελαχιστοποιείται για σφαιρικό σχήμα του πλανήτη. Η παραπάνω ανάλυση δημιουργεί συνήθως κάποια εύλογα ερωτήματα: Αφού η βαρύτητα ευνοεί σχήμα σφαιρικό για τον πλανήτη, γιατί δεν κάνει το ίδιο και για τους αστεροειδείς; Γιατί, ενώ η βαρύτητα ευνοεί σχήμα σφαιρικό, η ηλεκτροστατική δύναμη δεν κάνει το ίδιο; Τι είδους σχήμα ευνοεί η επιφανειακή τάση;

Page 160: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

134

13.1 Αποκλίσεις από τη σφαιρικότητα1: Τα βουνά και το μέγιστο επιτρεπτό ύψος τους Στους πετρώδεις πλανήτες, όπως η Γη, υπάρχουν τοπικές αποκλίσεις από τη σφαιρικότητα: τα βουνά και τα ρήγματα. Είναι φανερό ότι τα βουνά δεν μπορεί να έχουν αυθαίρετα μεγάλο ύψος, h, γιατί, αν το ύψος τους ήταν συγκρίσιμο με την ακτίνα R, τότε δεν θα είχαμε ούτε κατά προσέγγιση σφαιρικό σχήμα. Τίθεται όμως το ερώτημα γιατί να δημιουργηθούν και να υπάρχουν βουνά, αφού η ελαχιστοποίηση της ενέργειας ευνοεί σφαιρικό σχήμα; Η απάντηση συνδέεται με το ότι η Γη και οι άλλοι πετρώδεις πλανήτες δεν ήταν στο παρελθόν και δεν είναι ακόμη και τώρα σε θερμοδυναμική ισορροπία. Έτσι τα βουνά εμφανίστηκαν είτε κατά την αρχική φάση σχηματισμού του πλανήτη, είτε λόγω διαδικασιών έντονων γεωλογικών μεταβολών. Γιατί όμως εξακολουθούν να υπάρχουν τα βουνά και δεν καταρρέουν; Η απάντηση είναι απλή: Στην πορεία προς τη θερμοδυναμική ισορροπία παρεμβάλλεται ένας ενεργειακός φράκτης υψηλότερης ενέργειας. Μ’ άλλα λόγια, το βουνό πρέπει πρώτα να «ανέβει ένα ενεργειακό βουνό» πριν «κατρακυλήσει στην ενεργειακή πεδιάδα» της ισορροπίας, όπως φαίνεται στο Σχ. 13.2.

Σχ. 13.2 Η διαδικασία ισοπέδωσης ενός βουνού περνάει από καταστάσεις υψηλότερης ενέργειας πριν καταλήξει στην τελική κατάσταση ελάχιστης ενέργειας

Όσο υψηλότερο το βουνό τόσο μικρότερος είναι ο ενεργειακός φράκτης μέχρι που για κάποιο κρίσιμο ύψος, Η, ο ενεργειακός φράκτης μηδενίζεται και το βουνό αυθόρμητα θα μειώσει το ύψος του λόγω πλαστικής ροής στη βάση του, όπως φαίνεται στο Σχ.13.3.

1 Η Γη είναι κάπως πεπλατυσμένη στους πόλους και λίγο εξογκωμένη στον Ισημερινό. Μπορείτε να

εξηγήσετε σε τι οφείλεται αυτή η απόκλιση από τη σφαιρικότητα; Αν ναι, πώς θα ποσοτικοποιούσατε την ποιοτική σας εξήγηση;

ΕΝ

ΕΡ

ΓΕ

ΙΑ

κατάσταση ύπαρξης του βουνού

ενεργειακός φράκτης

τελική κατάσταση ισοπέδωσης του

Page 161: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

135

Σχ. 13.3 Το βουνό θα βυθιστεί (κατακόρυφα βέλη) ή και θα διαχυθεί (οριζόντια βέλη), όταν οι διατμητικές τάσεις στη βάση του λόγω βάρους υπερβούν την κρίσιμη τάση πλαστικής ροής. Το αποτέλεσμα είναι να μειωθεί το ύψος του

Οι διατμητικές τάσεις είναι της τάξεως του βάρους του, 13B V g S H gρ ρ= ≈ , δια της

επιφάνειας, S, στη βάση του. Η κρίσιμη τιμή πλαστικής ροής, cτ , είναι περίπου 100 φορές μικρότερη από την ελαστική διατμητική σταθερά, μ, η οποία με τη σειρά της, όπως αναφέραμε στο κεφάλαιο 12, είναι γύρω στο Β/3. Επομένως 300/Bc ≈τ , όπου το Β δίνεται από τον τύπο 52 /6,0 imr (βλέπε σχέση 12.5). Εξισώνοντας, λοιπόν τη διατμητική τάση στη βάση του βουνού με την κρίσιμη τιμή πλαστικής ροής έχουμε:

2

5

0,63 300 i

H gm r

ργ λ= (13.1)

όπου γ και λ είναι αριθμητικές σταθερές της τάξεως της μονάδας. Η μεση πυκνότητα, ρ, έχει ήδη εκτιμηθεί στο κεφ. 12, )3/4/( 3

sa rm πρ = , όπου s Br f a= και η επιτάχυνση της βαρύτητας, g, ισούται προφανώς με 2 3 2/ (4 / 3) / 4 / 3GM R G R R G Rρ π π ρ= = . Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις αυτές στην σχέση (13.1) έχουμε τελικά (θέτοντας

2.5f ≈ και / 0,5λ γ ≈ )

2 2

2 2 2 2

0,030,025 0,03GB a a B

R H e efa G m G m A

λ αγ α

= ≈ = (13.2)

όπου 2

362

/ 1, 2536 10/G u

a e ca Gm c

= = ×

που σημαίνει με λόγια ότι το γινόμενο RH διηρημένο με την ακτίνα του Bohr στο τετράγωνο ισούται χοντρικά με το λόγο της ηλεκτροστατικής προς τη βαρυτική δύναμη. Αν δεχτούμε ότι το μέσο ατομικό βάρος, ΑΒ, του βραχώδους πλανήτη είναι περίπου 30 έχουμε, θέτοντας a aB

m A m= , την ακόλουθη αριθμητική τιμή για το γινόμενο RH: 111,15 10R H +≈ × m2 (13.3) που για τη Γη σημαίνει ότι δεν μπορεί να υπάρξουν βουνά με ύψος μεγαλύτερο των 18 περίπου χιλιομέτρων.

Η

Page 162: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

136

13.2 Θερμοκρασία ενός πλανήτη Η ενεργός θερμοκρασία της «επιφάνειας»1 ενός πλανήτη προσδιορίζεται εύκολα από το συνολικό ενεργειακό ισοζύγιο στον πλανήτη: Η ισχύς, Q, που απορροφά ο πλανήτης λόγω της ακτινοβολίας του κεντρικού άστρου (του Ήλιου στην περίπτωση του δικού μας πλανητικού συστήματος) πρέπει να ισούται με την ισχύ, Lπ , που ακτινοβολεί ο πλανήτης. Όπως εξηγήσαμε στον Επίλογο του πρώτου μέρους, σχέση (Ε.3), η ποσότητα Lπ ισούται με 2 44 R΄ Tππ σ όπου το σ είναι η σταθερά των Stefan-Boltzmann ( 2 4 3 2/ 60Bk cσ π= ) και Τπ είναι η ζητούμενη ενεργός θερμοκρασία του πλανήτη. Απομένει να υπολογίσουμε την ποσότητα Q. Η συνολική ισχύς, aL , που εκπέμπει το κεντρικό άστρο ισούται με 2 44 a aR Tπ σ , όπου Rα είναι η ακτίνα του κεντρικού άστρου και Τα η ενεργός θερμοκρασία της «επιφάνειάς» του (για τον Ήλιο Τα ≈ 5800Κ). Η ισχύς, qo, που δέχεται από το κεντρικό άστρο μια επιφάνεια μοναδιαίου εμβαδού τοποθετημένη κάθετα στις ακτίνες του και σε απόσταση ισούται με 2/ 4o aq L π= , αφού από κάθε ομόκεντρη με το κεντρικό άστρο σφαίρα ακτίνας >Rα περνάει η ίδια ισχύς Lα. (Για την περίπτωση της Γης, 21360 W/moq = ). Επομένως ένας πλανήτης σε απόσταση από το κεντρικό άστρο δέχεται συνολικά ισχύ ίση με το oq επί τη διατομή πR΄2 του πλανήτη. Άρα η ισχύς που απορροφά, Q, ισούται με 2(1 ) oQ A R qπ ′= − , όπου Α είναι ο συντελεστής ανάκλασης (για τη Γη Α≈0,3). Θέτοντας, λοιπόν το 2 2 4 2(1 ) (4 ) / 4a aQ A R R Tπ π σ π′= − ίσο με το 2 44L R Tπ ππ σ′= βρίσκουμε

1/4(1 )2

aa

RT A Tπ = − (13.4)

Ο ευφυής κάτοικος ενός πλανήτη δεν χρειάζεται να γνωρίζει το Rα του ήλιου του και το του δικού του πλανήτη προκειμένου να υπολογίσει την ενεργό θερμοκρασία της «επιφάνειάς» του. Πράγματι, εάν θ είναι η γωνία υπό την οποία φαίνεται το κεντρικό άστρο από τον εν λόγω πλανήτη, έχουμε την εξής σχέση

22

tan θθ≈=aR (το θ σε ακτίνια) (13.5)

Στην περίπτωση Γης-Ήλιου, θ≈32΄ (δηλαδή ο Ήλιος φαίνεται υπό γωνία περίπου μισής μοίρας) και επομένως Rα/ =(16/60)(π/180) ≈0,00465. Θέτοντας Α≈0,3 και ΤΗ≈5800Κ, βρίσκουμε ότι η ενεργός θερμοκρασία ακτινοβολίας της Γης ισούται με Τ ≈ 256 Κ (13.6) Η αντίστοιχη πειραματική τιμή είναι 254οΚ . Αν αυτή ήταν η μέση θερμοκρασία της επιφάνειας στην ξηρά και στους ωκεανούς της Γης, το Η2Ο του πλανήτη μας θα είχε

1 Ως «επιφάνεια» νοείται το εμβαδόν μιας σφαίρας ακτίνας hRR΄ += που περιλαμβάνει και τον

κύριο όγκο της ατμόσφαιρας του πλανήτη. Ο λόγος h/R<0,01 και επομένως R΄≈R.

Page 163: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

137

τη μορφή πάγου και η ύπαρξη ζωής (τουλάχιστον με την παρούσα της μορφή) κάθε άλλο παρά πιθανή θα ήταν. Ευτυχώς για μας, διατηρείται μια διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ των ανωτάτων στρωμάτων της τροπόσφαιρας (ύψους περίπου 10km), όπου η θερμοκρασία είναι περίπου Τρ≈225 Κ , των νεφών (σε ύψος γύρω στα 3 km συνήθως), όπου η θερμοκρασία είναι Τc=265 Κ, και της επιφάνειας της Γης, όπου η θερμοκρασία είναι περίπου Τg=290 Κ. Οι διαφορές αυτές οφείλονται κατά κύριο λόγο στο φαινόμενο θερμοκηπίου χάρις στο οποίο έχουμε στην επιφάνεια της Γης άφθονο νερό σε υγρή και όχι σε στερεά μορφή. Στο Σχ. 13.4 εικονίζεται η μέση θερμοκρασία στην ατμόσφαιρα της Γης ως συνάρτηση του υψομέτρου z από την επιφάνεια της θάλασσας.1. Μια πιο προσεκτική ανάλυση της ακτινοβολίας της Γης απαιτεί την εισαγωγή τριών θερμοκρασιών : gT = μέση θερμοκρασία εδάφους, cT = μέση θερμοκρασία νεφών σε ύψος περίπου 3 km και pT = μέση θερμοκρασία τροπόσφαιρας σε ύψος περίπου 10 km. Η μισή περίπου ενέργεια εκπέμπεται από την κορυφή της τροπόσφαιρας και από ένα τέταρτο από τα σύννεφα και το έδαφος. Αρα 2 2 4 4 4 2 41 1 1

2 4 4(1 ) 4 [ ] 4o p c g effq A R Q R T T T R Tπ πσ πσ′ ′ ′− = = + + = (13.7)

Οι πειραματικές τιμές είναι οι εξής : 254KeffT = (που πρακτικά συμπίπτει με την τιμή 256 Κ που υπολογίσαμε),

65K, 25K,p g c gT T T T≈ − ≈ − (Οι σχέσεις αυτές προκύπτουν από το Σχ. 13.4. Βλέπε επίσης το βιβλίο, Στατιστική Φυσική του Ε. Ν. Οικονόμου, σελ. 36-38). Αντικαθιστώντας τις τιμές ,p cT T στην (13.7) βρίσκουμε ότι 290KgT ≈ .

Ο τύπος που δίνει την μεταβολή της θερμοκρασίας με το υψόμετρο z είναι

1( ) (0) (0) 9,77 (km), 12kmM gT z T z T z zR

γγ

′−≈ − = − ≤ (13.8)

όπου 1.4, 28,96gr, 8,315J/mol× KM Rγ ′≈ = =

1 Η μεταβολή (πτώση) της θερμοκρασίας και της πίεσης της γήινης ατμόσφαιρας με το υψόμετρο

μπορεί να υπολογισθεί αρκετά ικανοποιητικά (για z≤ 10 km) αν δεχτούμε ότι η μεταβολή αυτή είναι ισεντροπική (δηλαδή ότι η εντροπία είναι ανεξάρτητη του υψομέτρου). Μπορείτε να κάνετε αυτόν τον υπολογισμό;

Page 164: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

138

Σχ. 13.4 Μεταβολή της θερμοκρασίας της Γής με το υψόμετρο z . 13.3 Γιατί υπάρχουν άνεμοι στην ατμόσφαιρα των πλανητών; Πόση είναι η μέση ταχύτητα των ανέμων; Οι άνεμοι υπάρχουν επειδή η απορρόφηση της ηλιακής ενέργειας από ένα πλανήτη είναι ανομοιόμορφη. Η ανομοιομορφία οφείλεται στο σφαιρικό σχήμα των πλανητών (η περιοχή του ισημερινού απορροφά πολύ περισσότερο από όσο οι περιοχές των πόλων) αλλά και στην εναλλαγή ημέρας-νύκτας λόγω περιστροφής του πλανήτη περί τον άξονά του.

T(K)

290

270

250

230

210

190

0 10 20 z(km)

Page 165: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

139

Έπειτα από πολύχρονες παρατηρήσεις στην ατμόσφαιρα της Γης αλλά και άλλων πλανητών του ηλιακού μας συστήματος είχε βρεθεί ότι η μέση ταχύτητα , υ, των ανέμων σ’ ένα πλανήτη δίνεται από τον ακόλουθο περίπλοκο εμπειρικό τύπο: 1/16 7 /16 1/ 4 1/ 2 1/ 2α pq c Rυ σ μ− −= (13.9)

όπου α είναι αριθμητική σταθερά της τάξης της μονάδας (για τη Γη, α≈0,6), σ είναι η σταθερά των Stefan-Boltzmann, q=qo(1-A/4), cp=Cp/M είναι η ανά μονάδα μάζας θερμοχωρητικότητα της ατμόσφαιρας, R η ακτίνα του πλανήτη και μ=Μα/4πR2, όπου Μα είναι η συνολική μάζα της ατμόσφαιρας του πλανήτη. Αργότερα βρέθηκε ότι ο περίπλοκος εμπειρικός τύπος (13.9) προκύπτει θεωρητικά αν εξισώσει κανείς την μέση κινητική ενέργεια της ατμόσφαιρας, 21

2 aM υ με την απορροφούμενη από τον πλανήτη ηλιακή ισχύ πολλαπλασιασμένη επί ένα χαρακτηριστικό χρόνο, τπ, αποκατάστασης. Ο συντομότερος τέτοιος χρόνος σε κλίμακα πλανητική είναι ο χρόνος που χρειάζεται ένα ηχητικό κύμα για να διασχίσει την ημιπεριφέρεια του πλανήτη: cR ~/πτπ = , όπου c~ είναι η ταχύτητα του ήχου στην ατμόσφαιρα του πλανήτη. Καταλήξαμε, λοιπόν, στο συμπέρασμα ότι ο εμπειρικός τύπος (13.9) προκύπτει από την απλή και εύλογη σχέση 2 21

2 (2α )aM Q πυ τ= (13.10)

όπου το 2α2 είναι αριθμητικός παράγοντας της τάξεως της μονάδας. Μπορείτε να εξάγεται τον τύπο (13.9) από τη σχέση (13.10); Βιβλιογραφία 1. ALEXEY BYALKO, Παίρνοντας τη θερμοκρασία της Γης, Quantum, Μάρτιος-

Απρίλιος 1995, σελ. 4-9.

Page 166: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

140

Page 167: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΑΣΤΡΑ: ΟΤΑΝ Η ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΚΥΡΙΑΡΧΕΙ

Η μάζα των ενεργών άστρων κυμαίνεται σε σχετικά στενά όρια περίπου μεταξύ 1029 και 1032 kgr. Η συνθλιπτική πίεση που ασκούν οι βαρυτικές δυνάμεις σ’ ένα άστρο υπερβαίνει κατά πολύ την πίεση που ασκείται λόγω των ηλεκτροστατικών ελκτικών δυνάμεων (μετά τις προσθαφαιρέσεις). Έτσι η ισορροπία επιτυγχάνεται εξισώνοντας την συνθλιπτική πίεση λόγω βαρύτητας με την απωστική πίεση λόγω κινητικής ενέργειας. Στην ενεργό φάση της εξέλιξης ενός άστρου παρεμβαίνουν και οι πυρηνικές αντιδράσεις σύντηξης που παρέχουν την ενέργεια την οποία χάνει το άστρο ακτινοβολώντας. Έτσι διατηρείται η δυναμική ισορροπία όσο λαμβάνουν χώρα πυρηνικές αντιδράσεις. Όταν τα πυρηνικά καύσιμα εξαντληθούν, το άστρο εισέρχεται σε μια κατάσταση αστάθειας, η οποία περιλαμβάνει μια φάση διόγκωσης (δηλ., τη φάση του κόκκινου γίγαντα) και η οποία, αν το άστρο έχει μεγάλη μάζα, μπορεί να καταλήξει σε μια έκρηξη. Κατά την έκρηξη ένα μέρος της μάζας του άστρου εκτοξεύεται στο διάστημα, ενώ το υπόλοιπο, μη έχοντας πια πυρηνικά καύσιμα, συνθλίβεται υπό την επίδραση του ίδιου βάρους του. Η σύνθλιψη αυτή μπορεί να σταματήσει όταν η μάζα, Μ, που έχει απομείνει στο τέλος, δεν υπερβαίνει κάποια όρια. Θα πρέπει να τονίσουμε ότι τα άστρα χάνουν ένα σημαντικό μέρος της μάζας τους, όχι μόνο κατά την ενδεχόμενη έκρηξη, αλλά και κατά τη διάρκεια της τελευταίας φάσης της ζωής τους, λόγω της πίεσης ακτινοβολίας που δημιουργεί τον λεγόμενο αστρικό άνεμο. Π.χ., ο Ήλιος μας θα καταλήξει μετά 4,5 δισεκατομμύρια χρόνια σε ένα λευκό νάνο μάζας 0,54 HM . Το υπόλοιπο 46% της τωρινής του μάζας, HM , θα έχει διαχυθεί στο διάστημα μέσω του ηλιακού ανέμου, κυρίως προς το τέλος της ζωής του, σχηματίζοντας για μια σύντομη περίοδο το λεγόμενο πλανητικό νεφέλωμα. Όπως θα δούμε πιο κάτω, όταν η μάζα του άστρου Μ, που έχει απομείνει, είναι μικρότερη από περίπου 1,4 φορές τη μάζα του Ήλιου, τότε τη βαρυτική σύνθλιψη αντιμετωπίζει επιτυχώς η κβαντική κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων, τα οποία, λόγω της μεγάλης συμπίεσης, έχουν αποκολληθεί πλήρως από τους πυρήνες. Το αστρικό αντικείμενο που προκύπτει ονομάζεται λευκός νάνος. Οι λευκοί νάνοι έχουν μάζα περίπου όση η μάζα του Ήλιου, ακτίνα όση περίπου η ακτίνα της Γης και μέση πυκνότητα της τάξης του 106 gr/cm3 (δηλαδή, περίπου πέντε τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη από τη συνηθισμένη ύλη). Εάν η μάζα Μ, που έχει απομείνει, είναι μεγαλύτερη του 1,4 MH και μικρότερη από περίπου 2,5 ΜΗ, η πίεση λόγω της κβαντικής κινητικής ενέργειας των ηλεκτρονίων δεν είναι ικανή για να ανακόψει τη βαρυτική σύνθλιψη, η οποία συνεχίζεται και υποχρεώνει σχεδόν όλα τα ηλεκτρόνια να αντιδράσουν με τα πρωτόνια και να δώσουν νετρόνια (e-+p→n+ve). Εάν η ολική μάζα Μ είναι μικρότερη των 2,5 ΜΗ (περίπου), τότε η κβαντική κινητική ενέργεια των νετρονίων, σε αντίθεση με αυτήν των ηλεκτρονίων, είναι σε θέση να σταματήσει την βαρυτική κατάρρευση. Αυτό γιατί ο αριθμός των νετρονίων που προκύπτουν είναι περίπου κατά Α/Ζ μεγαλύτερος από τον αριθμό των ηλεκτρονίων. Προκύπτει έτσι ένα αστρικό αντικείμενο που ονομάζεται αστέρας νετρονίων (ή πάλσαρ) με ακτίνα R της τάξης των 15km και μέση πυκνότητα της τάξης του 1014

gr/cm! (Δηλαδή, όση η πυκνότητα της ύλης μέσα σ’ ένα πυρήνα). Ο αστέρας

Page 168: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

142

νετρονίων είναι ένας υπεργιγάντιος πυρήνας που υπάρχει λόγω των βαρυτικών δυνάμεων ακριβώς επειδή είναι τόσο υπεργιγάντιος. Εάν η μάζα Μ είναι μεγαλύτερη από περίπου 2,5 ΜΗ δεν υπάρχει κατάσταση της ύλης ικανή να αντιμετωπίσει την βαρυτική κατάρρευση, η οποία συνεχίζεται χωρίς όριο δημιουργώντας έτσι τη λεγόμενη μελανή οπή ( ή μαύρη τρύπα). 14.1 Λευκοί Νάνοι

Έστω ότι R είναι ακτίνα του λευκού νάνου (οπότε ο όγκος του είναι 34 / 3V Rπ= ) και Μ=Νvmu η μάζα του, όπου Νv είναι ο συνολικός αριθμός νουκλεονίων. Εάν υποθέσουμε ότι η πυκνότητα είναι η ίδια σ’ όλη την έκταση του λευκού νάνου (που δεν είναι) τότε η μεν βαρυτική ενέργεια ισούται με

23

5GGMU

R= − (14.1)

η δε κβαντική κινητική ενέργεια δίνεται από τον τύπο1

2

5/32/32,87 e

eU

m Vκ Ν= (14.2)

όπου Νe είναι ο συνολικός αριθμός ηλεκτρονίων. Ελαχιστοποιώντας το άθροισμα BUUU += κολ , θέτοντας δηλαδή 0/ =∂∂ RUολ έχουμε

25/3

5/3 1/313,68( )e

v e u

NRN G m m M

=

Εάν είχαμε λάβει υπόψη μας ότι η πυκνότητα δεν είναι ίδια αλλά μειώνεται καθώς κινούμαστε από το κέντρο του λευκού νάνου προς την επιφάνειά του, το αποτέλεσμα θα ήταν παρόμοιο με μόνη τη διαφορά ότι ο αριθμητικός συντελεστής αντί να ήταν 3,68 θα ήταν 4,51:

2

5/35/3 1/3

14,51( )e

v e u

NRN Gm m M

= (14.3)

6

3 53 3 5

4 1384,9( )3

e

v e u

NV RN MG m m

π= = (14.4)

Βλέπουμε ότι η σχέση όγκου-μάζας σ’ ένα λευκό νάνο, αντί να είναι V~M (όπως είναι στη συνηθισμένη στερεά ή υγρή ύλη, όπου η ισορροπία επιτυγχάνεται εξισώνοντας την ηλεκτροστατική συνθλιπτική πίεση με την πίεση λόγω κβαντικής κινητικής ενέργειας), είναι 1/V M∝ , δηλαδή ο όγκος είναι αντιστρόφως ανάλογος της ολικής μάζας και επομένως η μέση πυκνότητα είναι ανάλογη του τετραγώνου της συνολικής μάζας (λόγω του ότι η βαρυτική ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου της μάζας δια R).

1 Υποθέτουμε ότι οι κινητικές ενέργειες των ηλεκτρονίων δεν έχουν φτάσει σε σχετικιστικές τιμές.

Αν είχαν φτάσει, αντί της (2.8) θα έπρεπε να είχαμε ξεκινήσει από τον τύπο (2.8΄). Υποθέτουμε ακόμη ότι η θερμική ενέργεια (3/2) N kBT είναι αμελητέα σε σύγκριση με την Uκ του τύπου (14.2), πράγμα που ισχύει.

Page 169: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

143

Στην κατάσταση ισορροπίας (λαμβάνοντας υπόψη την αριθμητική διόρθωση λόγω της μεταβολής της πυκνότητας1) έχουμε ότι

26

7GGMU

R= −

237

GMURκ =

237

GMURολ = − (14.6)

όπου το R δίνεται από τον τύπο (14.3). Παρατηρήστε ότι ικανοποιούνται οι σχέσεις KU Uολ = και 2GU Uκ= , σύμφωνα με το θεώρημα Virial που αναφέραμε στην

ενότητα 10.2. Από τις προηγούμενες σχέσεις έπεται ότι η μέση κινητική ενέργεια ανά νουκλεόνιο Uκ/Νv αυξάνει ανάλογα με τη μάζα Μ στην 4/3 δύναμη. Επομένως καθώς η μάζα αυξάνει οι ταχύτητες των ηλεκτρονίων θα γίνουν σχετικιστικές. Για να διευκολύνουμε τις πράξεις θα θεωρήσουμε ότι είμαστε στο ακραίο σχετικιστικό όριο, όπου K c pε = . Στην περίπτωση αυτή, ισχύει ο τύπος (2.8΄) που δίνει για Νe ηλεκτρόνια

4/3

1/3α ( )e ee

N c NU c NV Rκ = ∝ (14.7)

όπου ο αριθμητικός παράγοντας α ισούται με 2,32 για ομοιόμορφη πυκνότητα. Στην παρούσα περίπτωση τόσο η ολική κινητική ενέργεια όσο και δυναμική βαρυτική ενέργεια είναι ανάλογες του 1/R: Uκ=A/R, UG=-Γ/R. Εάν Α>Γ κερδίζει η απωστική πίεση και ο λευκός νάνος θα διασταλεί μέχρι να επανέλθει στη μη σχετικιστική περίπτωση που εξετάσαμε προηγουμένως. Εάν, πάλι Γ >Α, (έστω και κατ’ ελάχιστο) ο λευκός νάνος θα συρρικνωθεί μέχρι να γίνει αστέρας νετρονίων ή μελανή οπή. Όταν Α=Γ, έχουμε την ακραία περίπτωση ύπαρξης λευκού νάνου. Η σχέση Α=Γ είναι (θέτοντας, Γ=γ G M 2) ισοδύναμη με την

1/3 4 /3 23( ) α4 e oc N G Mγπ

= (14.8)

ή με την

21/2 3/2 2 3/23 α( ) ( ) ( ) ( )

4 γo e

vou v u

M N cNm N Gmπ

= = (14.8α)

Εάν η πυκνότητα ήταν η ίδια σ’ όλη την έκταση του λευκού νάνου ο λόγος α/γ θα ήταν 2,32/0,6=3,867, ενώ για την πραγματική μεταβολή της πυκνότητας έχουμε ότι α/γ=3,427. Χρησιμοποιώντας την τελευταία αυτή τιμή και επιλέγοντας Νe/Nv=1/2 έχουμε

3/ 220,775( )o

vou u

M cNm Gm

= = , Όριο Chandrasekhar (14.8β)

Η αδιάστατη ποσότητα 2/ uGmc είναι περίπου ο λόγος της ισχυρής αλληλεπίδρασης προς τη βαρυτική και ισούται με 1,718×1038:

1 Δεδομένου ότι η πυκνότητα στο κέντρο του λευκού νάνου είναι 5,99 φορές τη μέση πυκνότητα,

δείξτε ότι η μέγιστη κινητική ενέργεια στο κέντρο ενός λευκού νάνου ισούται με

3/442

42

)(3,0 ee

vueF N

NNmmGE = (14.5)

Page 170: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

144

382 1,718 10u

cGm

= × (14.9)

Υψώνοντας στην χαρακτηριστική δύναμη 3/2 και αντικαθιστώντας στην (14.8β) βρίσκουμε ότι 30109,2 ×≈oM kgr. Δεδομένου ότι η μάζα του Ήλιου ισούται με ΜΗ=1,99x1030 kgr έχουμε ότι Μο/ΜΗ=1,45. Πράγματι, το ανώτατο όριο μάζας λευκού νάνου που έχει παρατηρηθεί είναι 1,4 φορές τη μάζα του Ήλιου. 14.2 Αστέρες Νετρονίων ( ή Pulsars )

Οι αστέρες Νετρονίων αποτελούνται σχεδόν εξ ολοκλήρου από νετρόνια γιατί η βαρύτητα έχει συμπιέσει τόσο πολύ την ύλη ώστε τα ηλεκτρόνια έχουν μπεί μέσα στους πυρήνες και έχουν αντιδράσει με τα πρωτόνια δίνοντας νετρόνια. Στην πραγματικότητα, επειδή και η αντίστροφη αντίδραση ( _n p e ν→ + + ) λαμβάνει χώρα, η χημική ισορρόπια δίνει τα εξής: 80% Νετρόνια, 10% Πρωτόνια, 10% Ηλεκτρόνια. . Η ύπαρξη πρωτονίων και ηλεκτρονίων είναι ο λόγος που οι αστέρες νετρονίων ακτινοβολούν ραδιοκύματα καθώς περιστρέφονται. Αν ήταν ουδέτεροι αυτό δεν θα συνέβαινε. Ο υπολογισμός προκειμένου για το ακραίο σχετικιστικό όριο είναι ίδιος με αυτόν για τους λευκούς νάνους. Η μόνη διαφορά είναι στην κινητική ενέργεια, που είναι αυξημένη, αφού τώρα συμβάλλουν τα νετρόνια (80%), τα πρωτόνια (10%), και τα ηλεκτρόνια (10%). Άρα θα χρειαστεί μεγαλύτερη βαρυτική σύνθλιψη, δηλ. μεγαλύτερη κρίσιμη μάζα. Ο ολικός αριθμός σωματίων Ν ισούται με

n p e v eN N N N N N= + + = +

και η KU ισούται με 4/3 4/3 4/3 1/3[ ] /K n p eU ac N N N V= + +

Λαμβάνοντας υπόψη ότι 0,8 (0,8 / 0,9) , (0,1/ 0,9)n p eN N N N N Nν ν= = = =

έχουμε για την KU 1/3 4 /3 4 /33

4π 0,9615 / 0,596 /( )KU ac N R ac N Rν ν= =

Η βαρυτική ενεργεια δινεται από τον τύπο 2 2v u

GG N mU

Rγ= −

Εξισώνοντας τους συντελεστές των δύο τελευταίων τύπων βρίσκουμε την κρίσιμη τιμή του αριθμού των νουκλεονίων πέραν του οποίου θα έχουμε κατάρρευση σε μελανή οπή

23/2 3/20,596( ) ( )c

vcu u

M a cNm G mγ

= =

Εάν χρησιμοποιήσουμε για το λόγο /a γ την τιμή 3,427 που επιλέξαμε για τους λευκούς νάνους, η κρίσιμη τιμη vcN προκύπτει να είναι

Page 171: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

145

23/22,92( )vc

u

cNG m

≈ (14.10)

δηλαδη 3,77 φορές πιο μεγαλη από το όριο Chandrasekhar ή H5,27vcN N≈ (14.11)

Η παραπάνω τιμή για το άνω οριο, πέραν του οποίου η Ύλη οδηγείται σε μαύρη τρύπα, φαίνεται να είναι περίπου διπλάσια από αυτήν που είναι αποδεκτή σήμερα, βάσει πιο λεπτομερών θεωριών για την κατάσταση της ύλης σε αστέρα νετρονίων και, επομένως, και για το λόγο /a γ . Το άνω όριο μάζας για αστέρι νετρονίων είναι γνωστό ως το όριο Oppenheimer-Volkoff, οι οποίοι έκαναν τους πρώτους σχετικούς υπολογισμούς to 1939.. 14.3 Ελάχιστο μέγεθος ενός ενεργού άστρου

Θεωρήστε ένα μεσοαστρικό νέφος ύλης σφαιρικού σχήματος μάζας Μ και ακτίνας R, που αρχίζει να συμπυκνώνεται υπό την επίδραση της βαρύτητάς του. Θεωρούμε ότι η διαδικασία συμπύκνωσης είναι αρκετά αργή ώστε τα σωμάτια της ύλης συγκρουόμενα το ένα με το άλλο να φτάνουν σε μια προσωρινή ισορροπία και να αποκτούν μια ενιαία θερμοκρασία Τ που αλλάζει φυσικά καθώς μειώνεται σταδιακά το R . Όπως αναφέραμε στην ενότητα 10.2, η συνολική κινητική ενέργεια των σωματίων είναι για κάθε τιμή του R ίση με μείον την ολική (κινητική και δυναμική) ενέργεια του συστήματος. Θα εξετάσουμε τρία σενάρια για το τι μπορεί να συμβεί καθώς η βαρύτητα συμπιέζει την ύλη. Μόνο το τρίτο σενάριο είναι ρεαλιστικό. Εν τούτοις η εξέταση των άλλων δύο διευκολύνει την κατανόηση του τι θα συμβεί στην πραγματικότητα. Σύμφωνα με το πρώτο σενάριο ο Κόσμος είναι κλασικός (όχι κβαντικός) και δεν υπάρχουν πυρηνικές αλληλεπιδράσεις (ούτε ισχυρές, ούτε ασθενείς). Στο Σχ.14.1α εικονίζεται το τι θα συνέβαινε σύμφωνα με το σενάριο αυτό. Η ακτίνα R θα συρρικνωνόταν συνεχώς χωρίς όριο και μάλιστα με επιταχυνόμενο ρυθμό (αφού η απώλεια ενέργειας θα ήταν ανάλογη του R2 T 4∝ 1/ R2 λόγω του ότι η κινητική ενέργεια 21

2(3 / 2) / , ( 0.6)BNk T GM Rγ γ= ≥ ). Έτσι η ύλη θα κατέρρεε και θα κατέληγε σε μία μελανή οπή1. Μ’ άλλα λόγια όλο το Σύμπαν θα κατέρρεε σε μια ή περισσότερες μελανές οπές σύμφωνα με αυτό το σενάριο.

1 Μπορείτε να σκεφτείτε ποια αρχική συνθήκη μπορούσε να εμποδίσει για πολύ μεγάλο χρονικό

διάστημα την κατάρρευση σε μελανή οπή στα πλαίσια του κλασικού σεναρίου;

Page 172: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

146

E,T

T

ολU

kU

0

Σχ. 14.1α. Σύμφωνα με το πρώτο μη ρεαλιστικό σενάριο η ολική ενέργεια θα

μειώνεται συνεχώς λόγω ακτινοβολίας. Αυτό συνεπάγεται ότι η κινητική ενέργεια θα αυξάνεται συνεχώς, (μια και Uκ = -Uολ) πράγμα που σημαίνει αύξηση της θερμοκρασίας (αφού 3

2 BU Nk Tκ = )

Το δεύτερο σενάριο ενσωματώνει ένα κύριο στοιχείο της φυσικής πραγματικότητας. Το γεγονός ότι ο Κόσμος είναι κβαντικός. Πάσχει όμως από το ότι οι ισχυρές και οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις εξακολουθούν να θεωρούνται απούσες. Η βασική διαφορά από το πρώτο σενάριο είναι ότι η σχέση κινητικής ενέργειας Uκ και θερμοκρασίας δεν είναι η κλασική ( 3

2 BU Nk Tκ = , Ν=Ne+(Nv/A), όπου Nv/A=αριθμός πυρήνων),αλλά η κβαντική, που δίνεται από τον προσεγγιστικό τύπο

2 23 35 2( ) ( )e F BU N E vk Tκ = + ,

Zv 11+= (14,12)

Θέτοντας και πάλι τη συνθήκη ισορροπίας 12 GU U Uκ ολ= − = − βρίσκουμε ότι η

θερμοκρασία δίνεται από την ακόλουθη σχέση

32

2 21/ 2

2 4[ ]BAvk T

R RΓ

= − (14.13)

όπου

2 / 3

2 2 2 2/3 2 2 /33

4π, ( 0,3852

)u e e

e e e

G m N N NA a aN m m

νγΓ = = = (14.14)

και επομένως μηδενίζεται όταν το υπόρριζο γίνει μηδέν (για ομοιόμορφη πυκνότητα, γ=0,6 και a =2,87 ). Το υπόρριζο μηδενίζεται (βλ. (14.13)), όταν η ακτίνα R γίνει ίση με oR όπου

2 5/3

2 20,77 e

ov u e

NA aRG N m mΓ γ

= = (14.15)

Page 173: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

147

Επομένως αντί του Σχ. 14.1α θα έχουμε το 14.1β. O λόγος / eN Nν ισούται με περίπου 1,35 για ενεργό άστρο και περίπου 2 για λευκό νάνο.

Ε,Τ

kU

Τ

R΄oR

o2R

ολU

0

Σχ. 14.1β. Παρουσία κβαντικών φαινομένων και απουσία πυρηνικών

αλληλεπιδράσεων το σύστημα θα ακτινοβολήσει ενέργεια μέχρι να μηδενισθεί η θερμοκρασία του, οπότε θα ισορροπήσει σε ακτίνα oR R= τέτοια ώστε η πίεση λόγω της κβαντικής κινητικής ενέργειας των ηλεκτρονίων θα εξισορροπηθεί από τη συνθλιπτική πίεση της βαρύτητας. Το σημείο ισορροπίας,, oR R= , είναι σημείο ευσταθούς ισορροπίας γιατί η κινητική ενέργεια (για Τ≈0Κ) μεταβάλλεται πια ως 1/R2, όπως δείχνουν τα βέλη.

Η μέγιστη θερμοκρασία εμφανίζεται για 2m oR R R= = και δίνεται από τη σχέση 32 / 2B mT Ak 2Γν = , όπου τα , AΓ δίνονται στους τύπους (14.14):

2 42

4 4 /3max 2

0,214 ( )u e ve

eB

G m m NT Na v Nk

γ= (14.16)

Ας εξετάσουμε τώρα το τρίτο, το ρεαλιστικό, σενάριο, όπου έχει ενσωματωθεί και η δυνατότητα πυρηνικών αντιδράσεων. Για να υπάρξει άστρο θα πρέπει να τεθεί σε λειτουργία η σύντηξη ελαφρών πυρήνων, πράγμα που απαιτεί κινητικές ενέργειες αρκετά υψηλές ώστε με τη βοήθεια και του κβαντικού φαινομένου σήραγγας να υπερπηδηθεί ο ηλεκτροστατικός φράκτης δυναμικού. Η θερμοκρασία, Τign, έναρξης της σύντηξης δύο πρωτονίων δίνεται από την ακόλουθη σχέση1

1 Η κινητική ενέργεια για τη σύντηξη δύο πρωτονίων θα πρέπει να εξαρτάται από το ηλεκτρικό τους

φορτίο e, από τη μάζα τους mu, και από τη σταθερά του Planck, , αφού πρόκειται για το κβαντικό φαινόμενο σήραγγας. Από τις ποσότητες αυτές μόνο ένας συνδυασμός έχει διαστάσεις ενέργειας, δηλαδή ο 24 /ume . Άρα η μέση κινητική ενέργεια (για να αρχίσει η σύντηξη), που ισούται με

(3/2)kBTign , θα πρέπει να είναι ένα κλάσμα του 24 /ume . Επομένως η θερμοκρασία έναρξης της πυρηνικής σύντηξης δίνεται από ένα τύπο της μορφής kBTign= 4 2/ue mη .

Page 174: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

148

4

2u

B igne mk T η= (14.17)

όπου λεπτομερείς υπολογισμοί δίνουν για το η περίπου την τιμή 0,1. Για να υπάρξει λοιπόν άστρο θα πρέπει να αρχίσει η σύντηξη αρκετά πριν φτάσουμε στη μέγιστη τιμή της θερμοκρασίας. Θα πρέπει δηλαδή max ingT T≥ Λ (14.18)

όπου Λ μεγαλύτερο από τη μονάδα (π.χ., Λ ≈1,2), όπως φαίνεται στο Σχ. 14.1γ. Αντικαθιστώντας στην (14.18) τις σχέσεις (14.16) και (14.17) έχουμε τελικά

2 2

3/ 4 2 3/ 2 3/ 22 3 3

( ) ( ) ( ) 0,5( )0,214

ev

v e u e u

Nv a e eNN G m m G m m

ηγ

Λ≥ ≈ (14.19)

όπου ο αριθμητικός παράγοντας προέκυψε παίρνοντας Λ=1,1, η =0,1, v≈1, 3, 0,8a γ≈ ≈ και Νv=2Νe.

Βλέπουμε λοιπόν ότι το ελάχιστο μέγεθος ενός άστρου προκύπτει από το λόγο της ηλεκτροστατικής δύναμης προς τη βαρυτική δύναμη υψωμένο στη 3/2 δύναμη. Ο λόγος 32 / uemmGe ισούται με 0,5354×1038 και επομένως ο ελάχιστος αριθμός νουκλεονίων σ’ ένα ενεργό άστρο είναι περίπου ίσος με 0,2×1057 που αντιστοιχεί σε μάζα 0,3×1030 kg, δηλαδή περίπου επτά φορές μικρότερη από τη μάζα του Ηλίου.

Ε,Τ

kU

Τ

R΄oR

o2R

ολU

0

ignTignT

Σχ. 14.1γ Στο παρόν σχήμα έχει προστεθεί η θερμοκρασία, Τign έναρξης των

πυρηνικών αντιδράσεων σύντηξης. Το άστρο θα βρει μια δυναμική ισορροπία όταν η απώλεια ενέργειας λόγω ακτινοβολίας εξισωθεί με την προσφορά ενέργειας λόγω πυρηνικών αντιδράσεων. Η δυναμική αυτή ισορροπία είναι ευσταθής: Εάν, π.χ. υπάρξει προς στιγμή μια υπερπροσφορά πυρηνικής ενέργειας, η ολική ενέργεια θα αυξηθεί, το άστρο επομένως θα διασταλεί (όπως δείχνει το βελάκι), η κινητική ενέργεια θα μειωθεί, η θερμοκρασία θα χαμηλώσει και επομένως οι πυρηνικές αντιδράσεις θα επιβραδυνθούν και θα επανέλθει το άστρο στο σημείο ισορροπίας.

Page 175: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

149

14.4 Μέγιστο μέγεθος ενός άστρου

Όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα ενός ενεργού άστρου τόσο υψηλότερη είναι η θερμοκρασία του. Για υψηλές όμως θερμοκρασίες παρεμβαίνουν στη συνθήκη ισορροπίας και τα φωτόνια που μέχρι τώρα τα είχαμε ξεχάσει: K BP P PΦ + = (14.20)

Η παραπάνω σχέση λέει απλά ότι η συνθλιπτική πίεση της βαρύτητας σ’ ένα άστρο πρέπει να εξισορροπήσει το άθροισμα δύο απωστικών πιέσεων: της πίεσης λόγω κινητικής ενέργειας των ηλεκτρονίων και των πυρήνων (που λάβαμε υπόψη μας προηγουμένως) καθώς και της πίεσης που ασκούν τα φωτόνια (που μέχρι τώρα θεωρήσαμε ότι είναι αμελητέα). Από τους τύπους (Επ.5) και (Επ.6), σελ. 62, έχουμε ότι η πίεση PΦ συνδέεται με την ενέργεια των φωτονίων, UΦ με τη σχέση

3UP

Φ = (14.21α )

Συνδυάζοντας τις σχέσεις τις σχέσεις K BP V N k T= και 32K BU N k T= έχουμε ότι1

23

KK

UPV

= (14.21β)

Η βαρυτική πίεση GP ισούται με /GU V−∂ ∂ . Δεδομένου 1/31/ 1/GU R V∝ ∝ έχουμε ότι

13

GG

UP

V= (14.21γ)

Αντικαθιστούμε στη σχέση (14.20) τις πιέσεις από τις σχέσεις (14.21α-γ) και βρίσκουμε ότι 2 K BU U UΦ + = (14.22)

Είναι φανερό ότι για πολύ υψηλές θερμοκρασίες η ενέργεια UΦ θα κυριαρχήσει της 2UK (αφού η UΦ~Τ4, ενώ η UK είναι ανάλογη της θερμοκρασίας). Εάν όμως συμβεί αυτό (UΦ>>2UK), η (14.22) θα γίνει BUU ≈Φ , πράγμα που σημαίνει ότι η ολική ενέργεια θα μηδενισθεί (ή και θα γίνει θετική αν λάβουμε υπόψη και την προσφορά πυρηνικής ενέργειας). Αλλά μηδενική (ή θετική) συνολική ενέργεια σημαίνει ότι δεν υπάρχει ενεργειακό κέρδος με τη διατήρηση του άστρου και επομένως συμφέρει ενεργειακά να διαλυθεί. Το συμπέρασμα είναι ότι το άστρο θα διαλυθεί όταν

KUU Λ=Φ όπου Λ αρκετά μεγαλύτερο της μονάδας.

Με βάση τα παραπάνω θα υπολογίσουμε τη μέγιστη μάζα, vN um , ενός ενεργού άστρου. Για διευκόλυνση των αλγεβρικών πράξεων θα ορίσουμε τα εξής:

vN αριθμός νουκλεονίων, Nπ αριθμός πυρήνων ( / )vN N Aπ =

eN αριθμός ηλεκτρονίων ( ( / ) )e vN N A Z= , eN N Nπ= + , 3vV N a≡

1 Εάν τα σωμάτια (ηλεκτρόνια και πυρήνες) έχουν σχετικιστικές ταχύτητες ο συντελεστής 2/3 (στη σχέση (14.17γ)) μειώνεται και στο ακραίο σχετικιστικό όριο τείνει στην τιμή 1/3

Page 176: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

150

Ενέργεια φωτονίων: 32

43 3 ( )

15v

BN aU k T

cφπ

= (14.23)

Κινητική ενέργεια πυρήνων και ηλεκτρονίων: 32k BU N k T= (14.24)

Βαρυτική δυναμική ενέργεια: 2

1/3 5/3(4 / 3) uG v

GmU Na

γ π= (14.25)

kU Uφ = Λ (14.26)

Ισορροπία πιέσεων: 2 k GU U Uφ + = (14.27)

(14.23)+(14.24)+(14.26) 3 3 32

22,5( )Bv

Nak T cNπ

⇒ = Λ (14.28)

(14.27)+(14.26)+(14.25) 42

1/3 2 /3 23 3

2 ( )1 (4 / 3)15

Bv u

ak T N Gmc

π γ π⎛ ⎞⇒ + =⎜ ⎟Λ⎝ ⎠ (14.29)

Από την (14.29) βρίσκομε το Nν που προκύπτει ανάλογο του 6( )Ba k T .

Άπαλείφοντας το 6( )Bak T μέσω της (14.28), έχουμε για το vN

1 23/ 2( )v

u

cN CGm

= (14.30)

όπου ο συντελεστής 1C δίνεται από

3/ 2 2 3/ 2 21

21,35 1( ) ( )NNCνΛγ Λ−= + (14.31)

Ο τύπος (14.30) που δίνει το άνω όριο της μάζας ενός ενεργού άστρου είναι γνωστός ως όριο Eddington. Επιλέγουμε 0,8γ ≈ , 2Λ ≈ , / (1 ) / 1.5N N Z Aν = + ≈ (για ύλη πλούσια σε υδρογόνο) και βρίσκουμε 1 48C ≈ . Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στην (14,30) καταλήγουμε στην ακόλουθη εκτίμηση για τη μέγιστη μάζα ενός ενεργού αστέρα :

, ,591,06 10 94v max HN Nν≈ × ≈ (14.32)

Επομένως ο μέγιστος αριθμός νουκλεονίων σ’ ένα ενεργό άστρο ισούται περίπου με το λόγο της ισχυρής προς τη βαρυτική αλληλεπίδραση στη 3/2 δύναμη. Ο δε ελάχιστος αριθμός νουκλεονίων σ’ ένα ενεργό άστρο ισούται περίπου με το λόγο της ηλεκτρομαγνητικής προς τη βαρυτική αλληλεπίδραση στη 3/2 δύναμη. 14.5 Ενεργά άστρα της κύριας ακολουθίας

(Λέμε ότι ένα άστρο βρίσκεται στην κύρια ακολουθία, εάν στον πυρήνα του, Η μετατρέπεται σε Ηe)

Page 177: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

151

Τιμές για τον Ήλιο

Πίεση στο κέντρο τους: 2cGMP

Rρ≈ 146 10× Pa

Θερμοκρασία στο κέντρο τους: c cB

mT Pk ρ

≈ 710 oΚ

Ακτίνα: 12,aR M a∝ ≈ 86,96 10 m×

Θερμοκρασία στην επιφάνεια: 12,ET M β β∝ ≥ 5800 οΚ

Ισχύς ακτινοβολίας: 2 4 2 4

122 4 3

aEL R T M

a

β

β

+∝ ∝

+ ≈ 263,827 10 J

Χρόνος ζωής: 2,5Mt MLζ

−≈ ∝

Η τελευταία σχέση δικαιολογείται από το ότι η διαθέσιμη προς ακτινοβολία

ενέργεια, oE , είναι αυτή των πυρηνικών αντιδράσεων που τελικά είναι ανάλογη της αρχικής μάζας του άστρου. Εάν δεχθούμε ότι η ισχύς της ακτινοβολίας L είναι σταθερά στη διάρκεια παραμονής του άστρου στην κύρια ακολουθία, έχουμε

( ) oE t E Lt= −

οπότε

2,53,5

oE Mt ML Mζ

−= ∝ ∝

Στους παραπάνω τύπους ρ είναι η μέση πυκνότητα

3/(4 /3)M Rρ π= και m είναι το μέσο ατομικό βάρος 1,8m ≈

14.6 Συνοψίζοντας τους χαρακτηριστικούς αριθμούς νουκλεονίων που

εμφανίζονται σε ενεργά άστρα και αστρικά πτώματα, έχουμε:

Αριθμός νουκλεονίων όπου η βαρυτική και η ηλεκτροστατική ενέργεια είναι ίσες:

2

5/23/2

3/2( / ) ( )

G

N y fAζ α

αν = (E.13.5)

Ελάχιστο μέγεθος ενός ενεργού άστρου:

322

,min 0,57

H

u u e

NeNm m m

νν

⎛ ⎞≈ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠≈ (14.19)

Μέγιστο μέγεθος ενός ενεργού άστρου:

Page 178: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

152

,max 2

3/ 2

50 94 Hu

cN NGmν ν

⎛ ⎞≈ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠≈ (14.30)

Όριο Chandrasekhar για λευκούς νάνους:

32

20.77 1.4o Hu

cN NGmν ν

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

≈ (14.8β)

Όριο άστρων νετρονίων: 2.5n HN Nν ν≈

Αριθμός νουκλεονίων στο Ήλιο:

57 301.2 10 1.99 10 KgH HN Mν = × ⇒ = ×

Page 179: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15

ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ, ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ 15.1 Σύνοψη Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας (ΓΘΣ) Δεδομένου του τανυστή ενέργειας-ορμής ( )k k k

j j jT p u u pε δ= + − (15.1) ε :πυκνότητα ενέργειας p : πίεση

ju : συνιστώσες ταχύτητας

ζητούμε να προσδιορίσουμε τη γεωμετρία του χωροχρόνου, δηλαδή τα ijg , όπου

2 , , 0,1,2,3i jijds g dx dx i j≡ = (15.2)

Η βασική εξίσωση

2 48 1

2k k k k kj j j j j

G T G R Rc c

πδ δΛ− − = ≡ − (15.3)

Συνδέονται με το jkg

Ο όρος 2/kj cδ−Λ είναι ο όρος της κοσμολογικής σταθεράς

15.2: Ακριβείς λύσεις της βασικής εξίσωσης 1. Σφαιρικά, συμμετρικό, αφόρτιστο, μη περιστρεφόμενο σώμα μάζας M

και ακτίνας MR

( )

( )

22 2 2

2 2 2 2

11 /

sin , ,

s

s

s M

r drds c dtr r r

r d d r r Rθ θ φ

⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ −⎝ ⎠

− + >

(15.4)

22 /sr GM c= (15.5) Ο χρόνος κυλάει πιο αργά για πεπερασμένο r από όσο στο r = ∞ 4π (ακτίνα r)2 >S επιφάνεια σφαίρας ακτίνας r Όταν s Mr R≥ : μαύρη τρύπα

, 0,887cms Hr Γ = , 2,96 kmsr ΗΛΙΟΣ =

301,485 10 kmsr M−= × kg

Page 180: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

154

2. Κοσμολογικό μοντέλο των Robertson-Walker: Ομογενές. ισότροπο, χωρίς όρια με πυκνότητα ενέργειας ε και πίεση p .

( ) ( )2

2 2 2 2 2 2 22 sin

1duds c dt R t u d d

uθ θ φ

κ

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

−⎣ ⎦ (15.6)

Όπου η ακτίνα r έχει γραφεί ως ( )r R t u= κλίμακα μηκών, u αδιάστατο μήκος

1κ = κλειστό χωρίς όρια (όπως η επιφάνεια μιας σφαίρας στις 2 διαστάσεις) 1κ = − ανοικτό (γεωμετρία όπως το υπερβολοειδές στις 2 διαστάσεις)

0κ = ευκλείδεια γεωμετρία (όπως ένα άπειρο επίπεδο στις 2 διαστάσεις) (15.7)

d / dR t H

R≡ η σταθερά του Hubble (15.8)

(σταθερά ως προς το χώρο, όχι ως προς το χρόνο) Βιβλιογραφία για τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας (1) Σωτ. Περσίδης: ‘Εισαγωγή στην Ειδική και Γενική Θεωρία της Σχετικότητας’

Εκδόσεις Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου

(2) J.L. Martin: ‘Γενική Σχετικότητα’, Π.Ε.Κ., 2005 15.3 Μαύρες Τρύπες (Μ.Τ.) Η μη κβαντομηχανική μελέτη των Μ.Τ. γίνεται με βάση το ακριβώς επιλύσιμο πρόβλημα 1. στα πλαίσια της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Εν μέρει ενσωμάτωση της κβαντομηχανικής επιτυγχάνει ο μηχανισμός του Hawking που καταλήγει να αποδώσει θερμοκρασία στην μαύρη οπή (και επομένως και ακτινοβολία μέλανος σώματος). Άρα πεπερασμένο χρόνο ζωής σε μια απομονωμένη Μ.Τ.. Η εντροπία προκύπτει ανάλογη της επιφάνειας 24 srπ (!) της Μ.Τ. και όχι του όγκου, όπως θα περίμενε κανείς. 22 /sr GM c= (διαστατικά, κλασικά, και από Γ.Θ.Σ. σελ. 157) (15.5)

31

4 8Bs

c ck Tr GMπ π

= = (διαστατικά) (15.9)

Εντροπία, 2

4B

S GMk c

π= (διαστατικά και από 2dU c dM TdS≡ = ) (15.10)

2 4

3 33 210(8 )o

cM M tG

ππ

= − (από /dU dt I= ) (15.11)

3 2

32 4

10(8 )ns o

Gt Mcζω

ππ

= (15.12)

Page 181: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

155

Σε μονάδες Planck (βλέπε σελ. 8) έχουμε τους παραπάνω τύπους

2s

p p

r Mm

= ή 2r M= , όπου ss

p

rr = , κλπ (15.5΄)

1 18 4 s

TM rπ π

= = (15.9΄)

2 224 , 4

4 sB p

S AM A rk

π π= = = (15.10΄)

316085ή ot Mζω ς = (15.12΄) 15.4 Κοσμολογία: Μια εισαγωγή Η σύγχρονή κοσμολογία έχει ως αφετηρία τη Γ.Θ.Σ. και τις κοσμολογικές λύσεις-της των Λεμέτρ και Φρίντμαν (αρχές δεκαετίας του 1920).

Ο μεγάλος επόμενος σταθμός ήταν οι παρατηρήσεις του Hubble για την διαστολή του Σύμπαντος (Δεύτερο μισό της δεκαετίας του 1920).

Μια σημαντική συμβολή ήταν η εργασία των Γκάμοφ, Άλφερ και Χέρμαν για την πρόβλεψη ύπαρξης Kοσμικής Ακτινοβολίας Μικροκυμάτων (Κ.Α.Μ.), που πέρασε όμως σχετικά απαρατήρητη (1948).

Η παρατήρηση που μετέτρεψε την Κοσμολογία από ένα σχεδόν μεταφυσικό αντικείμενο σε ένα αυθεντικό θέμα Φυσικής ήταν η εργασία των Πενζίας και Ουΐλσον που ανακάλυψαν την ύπαρξή της Κ.Α.Μ. (1965).

Αποφασιστική υπήρξε η λεπτομερής παρατήρηση και μέτρηση της φασματικής κατανομής της Κ.Α.Μ. από τους Μάθερ και Σμούτ (Βραβείο Nobel 2006) μέσω του δορυφόρου COBE, που εκτοξεύτηκε το 1989. Τα παρατηρησιακά δεδομένα ήταν σε εντυπωσιακή συμφωνία με τη θεωρητική κατανομή της ακτινοβολίας μέλανος σώματος θερμοκρασίας 2,725 οΚ (βλ. Σχ. 15.1, σελ. 162). Παράλληλα τα δεδομένα έδειξαν ότι υπήρχαν πολύ μικρές διακυμάνσεις στην φασματική κατανομή από κατεύθυνση παρατήρησης σε κατεύθυνση παρατήρησης, πράγμα που ερμηνεύεται ως πολύ μικρές διακυμάνσεις της πυκνότητας στο πρώιμο Σύμπαν.

Το πανάρχαιο ερώτημα της Κοσμογονίας έχει βρει μυθολογικές απαντήσεις από όλους πιθανόν τους πολιτισμούς. Οι μεγάλες θρησκείες έχουν επίσης ενσωματώσει στο δόγμα τους σε αδρές γραμμές το πώς δημιουργήθηκε ο Κόσμος. Η Επιστήμη, με εξαίρεση τα τελευταία 90 χρόνια, έχει αποφύγει να εμπλακεί σοβαρά σ’ αυτό το ερώτημα. Ο λόγος είναι απλός: Το όποιο ιστορικό θέμα, δηλαδή το πώς έγινε και το πώς εξελίχθηκε κάτι, είναι πολύ πιο δύσκολο να απαντηθεί από το ερώτημα του πώς είναι κάτι, για δύο κυρίως λόγους: Πρώτον, γιατί το ιστορικό θέμα απαιτεί συνήθως μια ολιστική προσέγγιση, δεν προσφέρεται, δηλαδή, για μια ανεξάρτητη μελέτη του κάθε επί μέρους τμήματος, όπως κάνουμε συνήθως για θέματα του πώς είναι. Μ’ άλλα λόγια η τόσο βολική και χρήσιμη αναγωγική μέθοδος αποτυγχάνει συνήθως εφαρμοζόμενη σε ιστορικά θέματα. Δεύτερον, είναι πολύ πιο δύσκολο να βρεις σε ιστορικά σενάρια δοκιμασίες διάψευσης/επιβεβαίωσης, αφού δεν μπορείς να κάνεις πειράματα και εξαρτάσαι μόνο από τα απομεινάρια του παρελθόντος. Για την Ιστορία του Σύμπαντος υπάρχει το ενδεχόμενο μιας πολύ εύκολης απάντησης: Να δεχτούμε ότι το Σύμπαν δεν έχει ιστορία. Ότι, δηλαδή, το Σύμπαν είναι άπειρο σε έκταση, ομοιογενές και ισότροπο (κατά μέσον όρο) και αιώνιο,

Page 182: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

156

χωρίς αρχή και τέλος μένοντας σε αδρές γραμμές αναλλοίωτο. Ένα τέτοιο βολικό μοντέλο για το Σύμπαν είναι (και δεν είναι) συμβατό με την Νευτώνεια Μηχανική. Δεν είναι όμως συμβατό με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, όπως πρωτοδιατυπώθηκε το 1915 από τον Einstein. Πράγματι οι Friedmann, και Lemaitre απέδειξαν ότι οι εξισώσεις της θεωρίας αυτής παράγουν κατ’ ανάγκη χρονικά εξελισσόμενα μοντέλα για το Σύμπαν. Η ιδέα όμως ενός αιώνιου και χωρίς αρχή Σύμπαντος ήταν τόσο ελκυστική, ώστε ο ίδιος ο Einsein απέρριψε τις λύσεις του Friedmann και του Lemaitre ως φυσικά απαράδεκτες, παρόλο που προέκυπταν από τις εξισώσεις του της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Και δεν σταμάτησε εκεί: Τροποποίησε τις εξισώσεις του, προσθέτοντας έναν όρο–που είναι γνωστός ως κοσμολογική σταθερά–έτσι ώστε οι τροποποιημένες εξισώσεις να μπορούν να δώσουν ένα αιώνιο, σταθερό Σύμπαν. Όμως, λίγο αργότερα, στο τέλος της δεκαετίας του 1920, ο μεγάλος αμερικανός αστρονόμος Hubble διαπίστωσε ότι όλοι οι μακρυνοί γαλαξίες απομακρύνονται από τη Γη με ταχύτητα που είναι τόσο μεγαλύτερη όσο μεγαλύτερη είναι η απόστασή τους από τη Γη. Μ’ άλλα λόγια ο Hubble διαπίστωσε ότι το Σύμπαν διαστέλλεται. Ο ίδιος ο χώρος διαστέλλεται παρασύροντας μαζί του και τη μάζα του Σύμπαντος. Η ειρωνεία του θέματος ήταν ότι η αρχική μορφή των εξισώσεων του Einstein –χωρίς τη κοσμολογική σταθερά– προέβλεπε μια τέτοια διαστολή του Σύμπαντος όπως απέδειξαν οι Friedmann και Lemaitre. Έσπευσε, λοιπόν, ο Einstein να αποκαθάρει τις εξισώσεις του από το “μίασμα” της κοσμολογικής σταθεράς, αποκαλώντας την προσθήκη της “τη μεγαλύτερη επιστημονική γκάφα της ζωής μου”. Αυτή η αξιοσημείωτη σύμπτωση θεωρίας και αστρονομικών παρατηρήσεων δημιούργησε σε κάποιους φυσικούς –πολύ λίγους είναι αλήθεια– την ελπίδα ότι η Ιστορία του Σύμπαντος είναι προσιτή στην Επιστήμη. Έτσι προχώρησαν σιγά-σιγά στην ιδέα ότι ένα διαστελλόμενο Σύμπαν θα γίνεται όλο αραιότερο και ψυχρότερο στο μέλλον και θα ήταν όλο πυκνότερο, συμπαγέστερο και θερμότερο στο παρελθόν, μέχρι κάποια στιγμή στο απώτερο παρελθόν, όπου όλη η μάζα του θα ήταν συγκεντρωμένη στο ίδιο “σημείο”, η πυκνότητά του και η θερμοκρασία του θα ήταν άπειρα υψηλές και οι διαστάσεις του –δηλαδή ολόκληρος ο χώρος– απίστευτα μικρές. Αυτό το χρονικό σημείο θα ήταν κατά κάποιο τρόπο η απαρχή του Σύμπαντος και από κει και πέρα ό,τι ακολουθεί είναι μια απίστευτα γρήγορη διαστολή, κάτι σαν έκρηξη, το μεγάλο Bang (Big Bang) που φυσικά συνεχίζεται, ως διαστολή, και στις μέρες μας. Αυτό ακριβώς το μοντέλο προέκυπτε αβίαστα από τις εξισώσεις του Einstein, όπως έδειξαν οι Friedmann και Lemaitre και εύρισκε στήριξη από τις παρατηρήσεις του Hubble. Έχοντας, λοιπόν, αυτό το σε γενικές γραμμές μοντέλο για τη θερμοκρασία, τη πυκνότητα και το μέγεθος του Σύμπαντος (όπως προκύπτει από τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας) μπορεί κανείς να κατασκευάσει –πράγμα που έγινε– ένα κατά το δυνατόν λεπτομερές σενάριο για την εξέλιξη του, χρησιμοποιώντας τους γνωστούς νόμους της Φυσικής. Το σενάριο προβλέπει πότε και σε ποια αναλογία δημιουργήθηκαν τα νετρόνια και τα πρωτόνια από τα κουάρκ, πότε τα νετρόνια και τα πρωτόνια συνενώθηκαν για να φτιάξουν κάποιους μικρούς πυρήνες (π.χ., πυρήνες του στοιχείου Ήλιο με δύο πρωτόνια και δύο νετρόνια), πώς οι υπόλοιποι πυρήνες φτιάχτηκαν μέσα στα άστρα ή κατά τον εκρηκτικό τους θάνατο, πώς οι διάφοροι πυρήνες παγίδευσαν ηλεκτρόνια για να φτιάξουν άτομα, πότε δημιουργήθηκαν τα άστρα και οι γαλαξίες, κλπ. Δεν απομένει παρά να μελετήσει κανείς τι προβλέπει αυτό το κάπως λεπτομερές σενάριο για σήμερα ώστε να δούμε αν οι αστρονομικές παρατηρήσεις το επιβεβαιώνουν, το απορρίπτουν ή

Page 183: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

157

οδηγούν στην ενδεχόμενη αποδοχή του με κάποιες όμως σημαντικές τροποποιήσεις. Το σενάριο προβλέπει, π.χ., ότι η κατά βάρος αναλογία Υδρογόνου προς Ήλιο στο Σύμπαν είναι περίπου 3 προς 1 με τα άλλα στοιχεία να αποτελούν ένα πολύ μικρό ποσοστό. Αυτή η πρόβλεψη είναι σε συμφωνία με τις παρατηρήσεις. Παρόλη αυτή και κάποιες άλλες επιτυχίες, η επιστημονική κοινότητα παρέμενε ιδιαίτερα επιφυλακτική στο να αποδεχθεί το Big Bang ως φυσική πραγματικότητα. Έμοιαζε περισσότερο με μεταφυσική υπόθεση παρά με ελέγξιμη φυσική θεωρία. Αυτό μέχρι το 1965 και την τυχαία ανακάλυψη της κοσμικής ακτινοβολίας μικροκυμάτων (ΚΑΜ). Τι είναι, όμως, η ΚΑΜ; Το σενάριο όπως είχαν επισημάνει ήδη από το 1948 οι Gamov, Alpher και Hermann προέβλεπε ότι στο πρώιμο Σύμπαν, λόγω της πολύ υψηλής θερμοκρασίας υπήρχε ακτινοβολία που όμως ήταν παγιδευμένη στην ύλη του Σύμπαντος, η οποία ήταν ιονισμένη λόγω της πολύ υψηλής θερμοκρασίας. Σε κάποιο χρονικό σημείο, που σήμερα το υπολογίζουμε στα 380 χιλιάδες χρόνια μετά το σημείο μηδέν της Μεγάλης Έκρηξης, καθώς το Σύμπαν ψυχόταν αυτή η κοσμική ακτινοβολία απελευθερώθηκε από την ύλη (λόγω του ότι η τελευταία έπαψε να είναι ιονισμένη) και ακολούθησε (η κοσμική ακτινοβολία) το δικό της δρόμο, τη δική της εξέλιξη, τις λεπτομέρειες της οποίας προβλέπει το σενάριο. Προβλέπει, δηλαδή, το σενάριο ποια είναι η ένταση αυτής της κοσμικής ακτινοβολίας και ποια είναι η κατανομή της στις διάφορες φασματικές περιοχές. Υπήρχε όμως τόση δυσπιστία και για το μοντέλο της Μεγάλης Έκρηξης και για το λεπτομερές σενάριο που βασίζεται σ’ αυτό, ώστε η πρόβλεψη των Gamov, Alpher και Hermann να αγνοηθεί σχεδόν πλήρως και έτσι να μην επιχειρηθεί καν ο έλεγχος αυτής της τόσο σημαντικής ιδέας (παρά μόνο όταν ήταν ήδη αργά), μέχρις ότου σε δύο φυσικούς του εργαστηρίου Bell των ΗΠΑ, στους Penzias και Wilson, ειδικούς στην ραδιοαστρονομία, δόθηκε η ευκαιρία να χρησιμοποιήσουν μια μεγάλη χωνοειδή αντένα του εργαστηρίου για να μελετήσουν γαλαξίες που εκπέμπουν ραδιοκύματα. Η αντένα αυτή είχε κατασκευασθεί για άλλο πρακτικό τηλεπικοινωνιακό σκοπό, ο οποίος όμως στη συνέχεια εγκαταλείφθηκε. Οι δύο φυσικοί στην προετοιμασία για τις μετρήσεις τους αντιμετώπισαν ένα τεχνικό, όπως νόμισαν, πρόβλημα. Η αντένα τους εμφάνιζε παράσιτα από τα οποία, παρόλες τις προσπάθειές τους, δεν μπόρεσαν να απαλλαγούν. Εξέτασαν μήπως η Νέα Υόρκη με τις ποικίλες δραστηριότητες της ήταν η αιτία των παρασίτων. Απηλλάγησαν και από τη «λευκή διηλεκτρική ουσία», δηλαδή τις κουτσουλιές δύο περιστεριών που είχαν κτίσει τη φωληά τους μέσα στην αντένα. Αλλά τίποτε˙ τα παράσιτα παρέμεναν. Τελικά απεδείχθη ότι αυτά τα «παράσιτα» δεν ήταν τίποτε άλλο παρά η αρχέγονη κοσμική ακτινοβολία, το αρχαιότερο απομεινάρι από τη Δημιουργία του Κόσμου. Μ’ άλλα λόγια, τα “παράσιτα” , από τα οποία προσπαθούσαν να απαλλαγούν, απεδείχθη ότι αποτελούσαν τη σημαντικότερη ίσως υλική ανακάλυψη στην Ιστορία της Επιστήμης. Όταν αυτή η κοσμική ακτινοβολία μετρήθηκε πολύ πιο προσεκτικά από ειδικό δορυφόρο, (τα αποτελέσματα ανακοινώθηκαν το 1992), η σύμπτωση του θεωρητικού σεναρίου της μεγάλης έκκρηξης και των δεδομένων της παρατήρησης ήταν τόσο εντυπωσιακή (βλ. Σχ. 15.1 στη σελίδα 158) ώστε το Big Bang αντιμετωπίστηκε πια όχι ως μια μεταφυσική υπόθεση, αλλά ως μια σοβαρή επιστημονική θεωρία.

Page 184: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

158

Σχ. 15.1

Η θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης έπρεπε να περάσει μια ακόμη σημαντική δοκιμασία. Η ύπαρξη των γαλαξιών και των άστρων συνεπάγεται ότι στο πρώιμο Σύμπαν η πυκνότητα της ύλης δεν μπορεί να ήταν απολύτως ομοιόμορφη παντού. Κάποιες, έστω και μικρές αυξημένες συγκεντρώσεις ύλης έπρεπε να υπάρχουν για να αποτελέσουν το σπέρμα της δημιουργίας των γαλαξιών. Όμως αυτές οι αυξομειώσεις όφειλαν να αποτυπωθούν στην ΚΑΜ, ως μικρές διαφορές ανάλογα με την κατεύθυνση όπου έρχεται αυτή η κοσμική ακτινοβολία. Οι δορυφορικές παρατηρήσεις που ανακοινώθηκαν το 1992 επιβεβαίωσαν για πρώτη φορά την

Page 185: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

159

ύπαρξη αυτών των μικροδιαφορών στην ΚΑΜ. Πρόσφατα (τα πρώτα αποτελέσματα ανακοινώθηκαν το 2003) έγιναν, μέσω του δορυφόρου WMAP, πολύ πιο λεπτομερείς μετρήσεις, οι οποίες προσδιόρισαν σε ποσοτικό επίπεδο το πώς το μέγεθος των μικροδιακυμάνσεων στην ΚΑΜ εξαρτάται από την κατεύθυνση παρατήρησης και από το γωνιακό άνοιγμα του οργάνου παρατήρησης. Η συμφωνία των δεδομένων αυτών με τις προβλέψεις του σεναρίου της Μεγάλης Έκρηξης όχι μόνο επιβεβαίωσε την ύπαρξη μικρομεταβολών στην πυκνότητα του Σύμπαντος κατά την πρώτη, “νηπιακή” φάση της εξέλιξής του, πριν η ακτινοβολία αποσυνδεθεί από την ύλη˙ αλλά μας επέτρεψε να προσδιορίσουμε και τη φύση αυτών των μικροδιακυμάνσεων της πυκνότητας. Διαπιστώθηκε δηλαδή ότι κατά την εξέλιξη του πρώϊμου Σύμπαντος, η ύλη/ενέργειά του παλλόταν από ακουστικά κύματα και ενός βασικού μήκους κύματος (της βασικής αρμονικής) και των υποπολλαπλασίων του (με άλλα λόγια των ανώτερων αρμονικών), που αφενός μεν αποτέλεσαν τις περιοχές συμπύκνωσης της ύλης ώστε να δώσουν αργότερα τους γαλαξίες και αφετέρου αποτυπώθηκαν στην ΚΑΜ. Έτσι η ΚΑΜ έχει “γραμμένη” μέσα της την αρχέγονη κοσμική “μουσική”, με τη βασική “νότα” της και τις αρμονικές της, που δονούσαν το αδιαμόρφωτο ακόμη Σύμπαν και καθόρισαν την μετέπειτα δομή του. Και ο ανθρώπινος πολιτισμός μπορεί πια να “αφουγκραστεί” τον απόηχο αυτής της αρχέγονης Κοσμικής “μουσικής”. Φαντάζομαι ότι οι Πυθαγόρειοι θα ήσαν ευτυχείς να δουν ότι η ιδέα τους για την ακουστική αρμονία των πλανητών, επανέρχεται στο προσκήνιο, όχι βέβαια στο επίπεδο των πλανητών, αλλά ως ακουστική αρμονία του νεογέννητου Σύμπαντος από την οποία ξεπήδησαν οι γαλαξίες, τα άστρα οι πλανήτες, και –σε τελική ανάλυση– και οι ίδιοι οι Πυθαγόρειοι.

Σχ. 15.2 Ανάλυση των διακυμάνσεων της θερμοκρασίας της Κ.Α.Μ. (στο πέμπτο δεκαδικό ψηφίο) ανάλογα με τη διεύθυνση παρατήρησης. Οι διακυμάνσεις αυτές έχουν αναλυθεί ως άθροισμα (σταθμισμένο) σφαιρικών αρμονικών ( , )mY θ ϕ και εδώ δίνεται η εξάρτηση των συντελεστών από το . Η θεωρία προβλέπει -και η παρατήρηση επιβεβαιώνει- ότι το μέγιστο θα εμφανιστεί για 200= , εάν η γεωμετρία του Σύμπαντος είναι ευκλείδεια. Οι διακυμάνσεις για 300> οφείλονται στις αρμονικές. Η σύμπτωση θεωρίας και

Page 186: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

160

παρατηρήσεων επιτρέπει να προσδιορίσουμε ποσοτικά πολλά βασικά χαρακτηριστικά του Σύμπαντος. Η ανάλυση των προσφάτων παρατηρήσεων του WMAP μαζί με άλλα αστρονομικά δεδομένα έχει οδηγήσει σε επαναστατικά συμπεράσματα και σε νέα μεγάλα αναπάντητα ερωτήματα:

1. Η διαστολή του Σύμπαντος δεν είναι επιβραδυνόμενη, όπως εθεωρείτο προφανές μέχρι το 1998, αλλά επιταχυνόμενη, γίνεται, δηλαδή, με όλο και πιο γρήγορο ρυθμό. Το Σύμπαν ‘πατάει όλο και περισσότερο το γκάζι’ της αυτοδιάλυσής του.

2. Η γνωστή ύλη, πρωτόνια, νετρόνια, ηλεκτρόνια, κλπ δεν αποτελεί παρά μόνο το 5% περίπου της συνολικής ύλης/ενέργειας του Σύμπαντος! Το υπόλοιπο 95% δεν μας έχει αποκαλύψει ακόμη τη φύση του. Ξέρουμε, όμως, ότι χωρίζεται σε δύο κατηγορίες: Σ’ αυτό που ονομάζεται Σκοτεινή Ύλη και είναι περίπου το 22% της συνολικής ύλης/ενέργειας και σ’ αυτό που αποκαλούμε Σκοτεινή Ενέργεια και συνιστά περίπου το 73% της ολικής ύλης/ενέργειας του Σύμπαντος. Η σκοτεινή ύλη αποτελείται ενδεχομένως από σωμάτια που προβλέπονται από κάποιες θεωρίες αλλά τα οποία δεν έχουν παρατηρηθεί πειραματικά. Η σκοτεινή ενέργεια αποτελεί το μεγάλο μυστήριο. Ξέρουμε ότι συμπεριφέρεται παρόμοια με την κοσμολογική σταθερά του Einstein (η οποία έτσι αναβίωσε πρόσφατα· ίσως τελικά να αποδειχθεί ότι δεν ήταν καθόλου γκάφα η εισαγωγή της). Δεν έχουμε όμως ιδέα ποια είναι η ενδεχόμενη φυσική υπόστασή της. Κατά κάποιο τρόπο η σκοτεινή ενέργεια αποτελεί -τουλάχιστον προς το παρόν- τη σύγχρονη εκδοχή της Πεμπτουσίας (της πέμπτης ουσίας) του Αριστοτέλη.

Βιβλιογραφία:

1. Simon Singh: “Big Bang”, Εκδόσεις Τραυλός, Αθήνα 2004. Σοβαρό εκλαϊκευτικό βιβλίο που το συνιστώ ένθερμα.

2. Scientific American, Ελληνική Έκδοση, Μάιος 2004, σελ.22-32. 3. Scientific American, Ελληνική Έκδοση, Ιούλιος 2006, σελ.56. 4. Scientific American, Ελληνική Έκδοση, Οκτώβριος 2005, σελ.64. 5. Ε.Ν. Οικονόμου: «Η Φυσική Σήμερα, Τόμος ΙΙ, 5η Έκδοση, Π.Ε.Κ.,

Ηράκλειο 2004, σελ.451-464 6. Ομιλίες Στ. Τραχανά, βλέπε σελ. 20.

15.5 Κοσμολογία σύμφωνα με το μοντέλο Robertson-Walker στα πλαίσια της Γ.Θ.Σ. Από τη βασική εξίσωση (15.3) και τις παραδοχές του μοντέλου R-W προκύπτουν οι εξής δύο εξισώσεις για τη χρονική εξέλιξη της απόστασης R μεταξύ δύο απομακρυσμένων γαλαξιών ( R ≡ d / dR t )

2 2

2 28

33R c GR R c

κ π ε⎛ ⎞ Λ

= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

κοσμολογική σταθερά (15.13)

24 ( 3 )

33R G pR c

π ε Λ= − + + (15.14)

Page 187: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

161

Για πληρότητα χρειαζόμαστε επίσης μια σχέση μεταξύ της πυκνότητας ενέργειας ε και της πίεσης p που γράφεται p wε= (15.15) (ε και p δεν εξαρτώνται από τη θέση r ). Εναλλακτικά χρειαζόμαστε μια σχέση μεταξύ R και ε για να λύσουμε την (15.13) και να βρούμε την εξάρτηση του R από το χρόνο. Η σχέση (15.14) μεταξύ του R , του R , του ε και του p προκύπτει από την (15.13) και από τον 1ο νόμο της θερμοδυναμικής, dU pdV= − (για 0dS = ) και έχει ως ενδιάμεσο βήμα το εξής

3 ( )d p

dR Rε ε= − + (15.16)

(Για την αποδειξη βλέπε σχέσεις (15.18)-(15.23)). Σημείωση: Ο όρος / 3Λ μπορεί να γραφεί ισοδύναμα με την ακόλουθη μορφή, εισάγοντας την έννοια της πυκνότητας σκοτεινής ενέργειας, 28 /3DEG cπ ε , όπου

/ 0DEd dtε ≡

28

3 3DEG

cπ εΛ

≡ , όπου / 0DEd dtε ≡ (15.17)

15.6 Πώς να ‘αποδείξετε’ με σχετικά απλό τρόπο τα βασικά συμπεράσματα της σύγχρονης κοσμολογίας (a) Το βασικό μέγεθος που ενδιαφέρει είναι η σταθερά του Ηubble

( ) RH tR

Το ( )H t είναι σταθερά ως προς το χώρο, δηλαδή δεν εξαρτάται από την τιμή του R , αλλά εξαρτάται από το χρόνο εν γένει. (Δεν έχει την ίδια τιμή σήμερα με αυτή που είχε πριν από, π.χ., 10 δις. χρόνια).

(b) Διαστατικά συμπεραίνουμε ότι θα πρέπει να εξαρτάται από την πυκνότητα μάζας ρ ( 2/ cε= , όπου ε η πυκνότητα ενέργειας) και τη σταθερά της

βαρύτητας . ( ) ( )G H t G tρ⇒ ∝

ΓΑΛΑΞΙΑΣ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΣ

R

Page 188: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

162

(c) Κλασικά: Εξίσωση Νεύτωνα

2GMmmR

R= − (15.17)

όπου m είναι η μάζα του υπό παρατήρηση γαλαξία και Μ η μάζα που περικλείεται στη σφαίρα ακτίνας R. (Βλ. προηγούμενο σχήμα) Από (15.18) έχουμε

2d GMRdt R

= −

ή

2dR GMdR dRdt R

= −

ή

2dR GMdR dRdt R

= −

ή, θεωρώντας ότι M =σταθερό,

( )212

1( )d R GM dR

=

Ολοκληρώνοντας έχουμε τη σχέση ότι το άθροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας είναι σταθερό:

21

12R GM CR

= − σταθερά ολοκλήρωσης επί 2

ή

2

12 3 2

2R GM CR R R

= − (15.18)

Λαμβάνοντας υπόψη ότι 343M Rπ ρ= , έχουμε

2

12 2

83

R CGR R

π ρ= − (15.19)

Συγκρίνοντας την (15.13) με την (15.20) βλέπουμε ότι είναι ισοδύναμες αν θέσουμε 2

1C cκ≡ και

83 3DEGπ ρ Λ

όπου 2/DE DE cρ ε= είναι η πυκνότητα μάζας της σκοτεινής ενέργειας που χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα

0DE DEd ddt dtρ ε

= =

Page 189: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

163

Η επιλογή 1 0Cκ = = δικαιολογείται από την υπόθεση του πληθωρισμού, που λέει ότι σε μια αρχική φάση της ιστορίας του Σύμπαντος, το Σύμπαν διεστάλη τόσο γρήγορα ώστε ο όρος 2 2/ 0c Rκ− → , αφού το R →∞ . Καταλήξαμε λοιπόν στη βασική σχέση

2

2 28 83 3

R G GR c

π πρ ε= = (15.20)

όπου, τώρα, η ε περιλαμβάνει και την .DEε Η (15.21) σημαίνει επίσης, βάσει της (15.7), ότι η γεωμετρία του Σύμπαντος (σε μεγάλη κλίμακα ) είναι ευκλείδεια. Από τον 1ο νόμο της θερμοδυναμικής (διατήρηση της ενέργειας) θεωρώντας αμελητέα την παραγωγή εντροπίας έχουμε

32 2, 4 / 3

dU pdV

U V c R cdU Vd dV pdV

ε ε πε ε

= −

= = == + = −

ή

( )

( )

22

2 32 2

3

3

p dV Vd

dV c R dR

p c R dR c R d

ε ε

ε ε

+ = −

=

+ = −

ή

3 ( )d p

dR Rε ε= − + (15.21)

Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο την (15.21) και συνδυάζοντάς την με την (15.22) έχουμε

( )

22

22

82 238 323

GR R R R RcG R R R p R

Rc

π ε ε

π ε ε

⎡ ⎤= + =⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

ή

( )28 3

23GR R p

cπ ε ε⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

ή

( )24 33

R G pR c

π ε= − + (15.22)

Οι (15.21), (15.22) και (15.23) είναι οι βασικές σχέσεις της σύγχρονης Κοσμολογίας.

Από την (15.21) μπορούμε να βρούμε πώς μεταβάλλεται το μέγεθος R με το χρόνο, αν ξέρουμε ποια είναι η εξάρτηση της ολικής πυκνότητας ενέργειας από το R . Στη συνέχεια, πάλι από την (15.21) μπορούμε να βρούμε πώς εξαρτάται η ε από το χρόνο.

Στη συνέχεια, είτε από την (15.22), είτε από την (15.23) μπορούμε να βρούμε την εξάρτηση της πίεσης είτε από το R , είτε από το χρόνο.

Page 190: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

164

Η (15.23) δίνει την επιτάχυνση R , της διαστολής του Σύμπαντος. Η επιτάχυνση αυτή είναι αρνητική (είναι δηλαδή, επιβράδυνση) εκτός εάν το p είναι αρνητικό και μεγαλύτερο κατ’ απόλυτη τιμή από το ε/3.

15.7 Ποια είναι λοιπόν η σύνθεση της μάζας/ενέργειας του ορατού Σύμπαντος σύμφωνα με τις σύγχρονες αντιλήψεις ; Ας απαριθμήσουμε τις διάφορες συνιστώσες του Σύμπαντος :

(a) Από βαρυόνια (δηλ. πρωτόνια και νετρόνια· τα τελευταία μετά τα πρώτα 20 λεπτά από τη μεγάλη Έκρηξη είναι κατά 50% τα συστατικά του 4He ).

Για θερμοκρασίες 2 /p BT m c k (όπου pm η μάζα του πρωτονίου) η πίεση των βαρυονίων είναι πρακτικά μηδέν ( 2 13/ 10 Ko

p Bm c k ≈ )

Επομένως αν Bε η πυκνότητα ενέργειας των βαρυονίων έχουμε για 1310 KoT .

2B p Bm c nε = και 0Bp ≈ (15.23)

όπου /B Bn N V= είναι η μέση συγκέντρωση βαρυονίων. (b) Από ηλεκτρόνια: Αφού e pm m μπορούμε να παραλείψουμε τη συμβολή

των ηλεκτρονίων (c) Από νετρίνα ηλεκτρονίου: Για τα οποία έχουμε ότι για

2 / 30 K (?)ov BT m c k ≈

2v v vm c nε = 0vp ≈ (15.24)

ενώ για 2 /v BT m c k

32v B vk T nε ≈ και v B vp k T n≈ (15.25΄)

(d) Από φωτόνια (βλ. σελ. 32, 62 και Ε. Ν. Οικονόμου, Στατιστική Φυσική)

( )2 3 3 4/15ph c Tε π= , 13ph php ε= (15.25)

(e) Από σωμάτια που συνιστούν τη σκοτεινή μάζα Ενώ ξέρουμε ότι υπάρχει σκοτεινή μάζα, δεν ξέρουμε από τι είδους σωμάτια αποτελείται. Υπάρχουν υποθέσεις, αλλά όχι πειραματική ανακάλυψη των σωματίων αυτών. Η πιο πιθανή υπόθεση είναι ότι πρόκειται για βαριά στοιχειώδη σωμάτια που υπόκεινται στην βαρυτική και πιθανόν την ασθενή αλληλεπίδραση. Κατά συνέπεια για θερμοκρασίες 1510 KoT έχουμε κατά πάσα πιθανότητα ότι

2DM DM DMm c nε = 0DMp ≈ (15.26)

(f) Από σωμάτια (;) που συνιστούν τη σκοτεινή ενέργεια. Η τελευταία παραμένει ένα μυστήριο όσον αφορά τη φύση της. Η ύπαρξή της όμως επιβεβαιώνεται από ποσοτικές παρατηρήσεις και θεωρητικά συμπεράσματα. Για να είναι η σκοτεινή ενέργεια ισοδύναμη με τον όρο κοσμολογικής σταθεράς θα πρέπει

Page 191: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

165

0DEddtε

≡ , που συνεπάγεται βάσει της (15.22) ότι DE DEp ε= − (15.27)

Τα παρατηρησιακά δεδομένα δείχνουν ότι DE DEp wε= όπου το w πλησιάζει, αν δεν είναι ίσο με 1− . Σ’ ότι ακολουθεί θα δεχτούμε ότι 1w = − , δηλαδή ισοδυναμία με όρο κοσμολογικής σταθεράς, DE DEp ε= − . Άρα το ε στον τύπο (15.21) είναι ίσο με

B v ph DM DEε ε ε ε ε ε= + + + + (15.28) και αντίστοιχα

B v ph DM DEp p p p p p= + + + + (15.29) Τα ποσοστά συμμετοχής της κάθε συνιστώσας στην πυκνότητα ενέργειας ε και στην πίεση p αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου από την Μεγάλη Έκρηξη, αφού τόσο η ακτίνα R του ορατού σύμπαντος, όσο και η μέση θερμοκρασία T (ορισμένη με βάση τα φωτόνια) αλλάζουν. (Βλ. Σχ. 15.3). Επειδή, όμως, η εντροπία παραμένει σταθερή, και 3 3( )phS V T RT~ ~ σημαίνει ότι σταθερόRT = (15.30) όπου T είναι η θερμοκρασία των φωτονίων. Άρα

44

1ph T

Rε ∝ ∝ (15.31)

31

B Rε ∝ , λόγω διατήρησης του αριθμού τους (15.32)

(ισχύει όταν 2B pk T m c )

31

v Rε ∝ , όταν 2

B vk T m c (15.33)

41

R∝ , όταν 2

B vk T m c (15.34΄)

31

DM Rε ∝ , όταν 2

B DMk T m c (15.34)

σταθ.DEε = (15.35) Με βάση τις σχέσεις (15.13) και (15.14), τη σύσταση της πυκνότητας ενέργειας και πίεσης, και γνωστούς νόμους των στοιχειωδών σωματίων μπορούμε να ανασυνθέσουμε με αρκετή σιγουριά την ιστορία του Σύμπαντος, (σε χοντρικές γραμμές) ως συνάρτησης του χρόνου t από τη Μεγάλη Έκρηξη. Όπως προκύπτει από λεπτομερείς υπολογισμούς, έχουμε τις εξής περιόδους:

(a) 35 3310 10t s− −≤ ≤ : Πληθωρισμός, atR e∝ (;) (b)

12 610 s 10 st− −≤ ≤ : ‘Σούπα’ κουάρκ-γλοιονίων,

(c) 6 410 s 2 10 st− −≤ ≤ × : Βαρυογένεση: Τα quarks συντίθενται σε πρωτόνια,

νετρόνια και λοιπά αδρόνια. Τα τελευταία δεν επιζούν πέραν του 1ms. Στο τέλος αυτής της περιόδου η θερμοκρασία είναι περίπου 1210 K και η ακτίνα του

ορατού Σύμπαντος είναι περίπου 143 10 mR ≈ × .

Page 192: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

166

(d) 0s 50000έτηt≈ ≤ ≤ : Eίμαστε στην εποχή που κυριαρχούν τα φωτόνια και τα

νετρίνα. Στις αρχικές φάσεις αυτής της περιόδου ( 5 410 εως 10 st − −≈ ) αποκαθίσταται θερμοδυναμική ισορροπία νετρονίων/πρωτονίων, μέσω των αντιδράσεων ,p e n ν−+ + n e++ p ν+ και βάσει της σχέσης

/ exp( / )n p Bn n E k T= −Δ , όπου 2( )n pE m m cΔ ≡ − 1,2934MeV= . Για

3s,t ≈ όταν 0,7 MeVBk T ≈ , η ταχύτητα των παραπάνω αντιδράσεων είναι αρκετά μικρότερη από την ταχύτητα διαστολής του Σύμπαντος και, επομένως ο λόγος n pn /n ‘παγώνει’ στην τιμή περίπου exp( 1,3/ 0.7)− ≈ 1/6. Στη συνέχεια τα νετρόνια , όντας ελεύθερα, αρχίζουν να αποσυντίθενται βάσει της αντίδρασης -n p+e ν→ + , η οποία όμως διακόπτεται για 150st ≈ , λόγω του ότι ξεκινά η πυρηνοσύνθεση. Εντωμεταξύ ο λόγος /n pn n έχει πέσει στο 1/7.

(e) 120s 1200s:t≤ ≤ Η Πυρηνοσύνθεση ξεκινά με την αντίδραση p+n d +γ , και συνεχίζεται με μια σειρά αντιδράσεων που καταλήγουν μετά περίπου 1200s στη δημιουργία Ηe4 με ίχνη δευτερίου. Στο Ηe4 (και στο δευτέριο) έχουν παγιδευτεί όλα τα νετρόνια και το 1/7 των πρωτονίων. Τα υπόλοιπα 6/7 των πρωτονίων παραμένουν ελεύθερα. Ετσι η αναλογία κατά βάρος Ηe4/Η προκύπτει 2/6 (=25/75), που συμφωνεί με τα παρατηρησιακά δεδομένα.

(f) 379000t > έτη: Έναρξη της σκοτεινής περιόδου του Σύμπαντος.Η ύλη αποτελείται σχεδόν εξ ολοκλήρου από ουδέτερα άτομα και άλλα αφόρτιστα σωμάτια έτσι ώστε για 379000t > ύλη και φως αποσυνδέονται.

(g) 110Myrt ≈ : H ύλη αρχίζει να επαναϊονίζεται με τη δημιουργία των πρώτων αστέρων.

15.8 Εξάρτηση των R , T , ε από το χρόνο (Βλέπε και Σχ. 15.3 στη σελ. 172) Έχοντας την εξάρτηση της ενεργειακής πυκνότητας ε από το R αρκεί μία μόνο εξίσωση, η

2

283

R GR c

π ε⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

(15.21)

για να βρούμε το πώς εξαρτώνται τα μεγέθη R και ε από το χρόνο. Από τη διατήρηση της εντροπίας 3 3S R T~ βρίσκουμε στη συνέχεια και την εξάρτηση της θερμοκρασίας από το χρόνο. Η σχέση ( )f Rε = εξαρτάται από ποια περίοδο της ιστορίας του Σύμπαντος εξετάζουμε: (α) Εποχή φωτοκρατίας 0s 50000t≈ ≤ ≤ έτη: ph vε ε ε≈ +

θέτοντας στην εξίσωση (15.21) 41

ph v Rε ε ε≈ + ∝ βρίσκουμε

Page 193: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

167

2( ) σταθ.d Rdt

=

1

2R t∝ (15.36)

12

1Tt

∝ (15.37)

21

tε ∝ (15.38)

(β) Εποχή υλοκρατίας και σκοτεινής ενέργειας 200000 έτη t< Υπό τις συνθήκες αυτές η πυκνότητα ενέργειας αποτελείται από βαρέα σωμάτια με εξάρτηση 31/ R και σκοτεινή ενέργεια:

13 o

cR

ε ε′

= + (15.39)

όπου 1c ′ είναι σταθερό και σταθεράo DEε ε= = . Άρα αντικαθιστώντας στην (15.21) έχουμε

1/ 2

212

cR c RR

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦ (15.40)

1 2,c c σταθερές. Η λύση της διαφορικής αυτής εξίσωσης είναι

1/3 2 /3

12

2

3( ) sinh2

cR t c tc

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ (15.41)

Μπορείτε να το επαληθεύσετε παραγωγίζοντας την παραπάνω έκφραση (15.42) για να βρείτε το /dR dt R≡ και να δείτε ότι πράγματι ισούται με

1/ 221 2( / )c R c R⎡ ⎤+⎣ ⎦ .

Θέτοντας 21 8 /3a G cπ≡ μπορούμε να γράψουμε τη λύση ως εξής:

1/3 2 /31/ 2 1/ 211

3( ) sinh2 DE

DE

cR t a tεε

⎛ ⎞′ ⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠ (15.42΄)

Δείξτε ότι: (α) Όταν το όρισμα του sinh είναι μικρό 2 /3( 1), R t∝

(β) Όταν το όρισμα του sinh είναι μεγάλο ( 1), H tR e∝ Έστω ότι η ακτίνα του ορατού Σύμπαντος σήμερα ( 13,7t = δις έτη) είναι RΣ και ότι σήμερα ο λόγος ( ) / 26 / 74 0,35B DM v DEε ε ε ε+ + = = .

Χρησιμοποιώντας τη σημερινή τιμή του ( / ) oR R HΣ = (όπου oH η σταθερά του Hubble σήμερα) και την εξίσωση (15.21) για t tΣ= έχουμε ότι

21 oa HεΣ = (15.42)

Page 194: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

168

αλλά / 0,74DEε εΣ = . Άρα 1 1 1

2 2 21 (0,74) oDEa Hε = .

Έτσι έχουμε τελικά για το ( )R t

[ ]2

3( ) 0,7056 sinh(1,29 )oR t R H tΣ= (15.42΄΄) ή

2

317( ) 0,7056 sinh(0,2967 10 )R t R t−Σ ⎡ ⎤= ×⎣ ⎦ (15.42΄΄΄)

σε second ή

[ ]2

3( ) 0,7056 sinh(0,0936 )R t R tΣ= (15.42΄΄΄΄) σε δις έτη όπου χρησιμοποιήσαμε τη σημερινή τιμή, oH , που είναι

( ) ( )0,04 0,013 17 10,03 0,01

100km0,71 0,23 10s Mpc

s+ + − −− −= ×

×

Από τη σχέση (15.23) έπεται ότι η επιτάχυνση, R , από αρνητική γίνεται θετική όταν 3 0pε + = (15.44) ή 3 0Y ns DE DEλε ε ε+ − = ή 2Y ns DEλε ε= (15.44') ή

1 13 3

742 226DE

c cR R

εΣ

′ ′= =

ή

0,56RRΣ

= (15.44")

ή 7t = δις έτη για 0R = (15.45) ΕΛΕΓΧΟΙ:

(α) Γνωρίζουμε επίσης ότι για 380000t = έτη ( ) /1090R t RΣ= , ενώ η παραπάνω σχέση δίνει ( ) / 1 /1310R t RΣ ≈

(β) Τέλος, έχομε Y ns DEλε ε= , .οταν 1 13 3

7426DE

c cR R

εΣ

′ ′= = , που συνεπάγεται

ότι Y ns DEλε ε= όταν 9,4t = δις έτη Βλέπε σχετικά το άρθρο στο Scientific American (Αμερικάνικη έκδοση) Febr. 2007, p.28 που δίνει το αντίστοιχο 9,25t = δις έτη

Page 195: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

169

ΠΙΝ. 15.1 ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ ‘’ΣΗΜΕΡΑ’’ ( 13,7t ≈ δις έτη) [Δεδομένα του 2009]

Είδος Ύλης Είδος σωμάτιων Μάζα σωμάτιων (eV) Αριθμός

σωμάτιων στο ορατό Σύμπαν

Ποσοστό στην ενέργεια του Σύμπαντος

Πσοσοστό στην πίεση

Ποσοστό ενέργειας για 379000t = έτη

Βαρυονική, ηλεκτρόνια

Πρωτόνια Νετρόνια

(όχι ελεύθερα) 910≈ 800,86 10× 4,6% 0,1%± 0 12%

Ελαφριά σκοτεινή μάζα Νετρίνα 1` 8910 1%< 0 10%

Βαριά σκοτεινή μάζα

Υπερσυμμετρικά σωμάτια?

1110 ? 785 10 ?× 23,3% 1,3%± 0 63%

Η/Μ ακτινοβολία Φωτόνια 46,4 10−× 891,4 10× 0,005% 0 15%

Σκοτεινή ενέργεια ?

(Βαθμωτά σωμάτια?)

? 32(10 ?)−

? 122(10 ?)

72,1% 1,5%± 100% 0%≈

Ακτίνα του ορατού σύμπαντος 46 δις έτη φωτός 264,35 10 m= ×

Page 196: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

170

ΠΙΝ. 15.2 ΤΙΜΕΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ‘’ΣΗΜΕΡΑ’’ 13,7t⇒ = δις έτη μ.Μ.Ε. [Δεδομένα του 2009]

1,02 0,01totc

ρρ

Ω ≡ = ± (15.46)

όπου cρ είναι η μέση κρίσιμη πυκνότητα μάζας για να έχει το Σύμπαν Ευκλείδια γεωμετρία

2 26 33 /8 1,034 10 kg/mc oH Gρ π −= = ×

6,18= μάζες πρωτονίου ανά 3m (15.47) όπου oH είναι η σταθερά του Hubble ‘σήμερα’

17 1 100km0,24 10 s 0,742 0,036s MpcoH − −≈ × = ±⋅

(15.48)

28 34,17 10 kg/m 0,28Bρ−= × = μάζες πρωτονίου 3/ m (15.49)

264,35 10 mRΣ = × (15.50)

2,725 KoKAMT = (15.51)

13,73 0,12tΣ = ± δις έτη (15.52)

9/ 1,64 10BN Nφ ×> (15.53)

80 33,45 10 mVΣ = × (15.54) / 1089DecouplingR RΣ = (15.55)

379000Decouplingt = έτη (15.56)

108 Mystart ≈ (15.57)

Page 197: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

171

ΠΙΝ. 15.3 “Best” Cosmological Parameters: Table 3 from Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations:

Preliminary Maps and Basic Results, C. L. Bennet et al. (2003), accepted by the Astrophysical Journal;available at

http://lambda.gsfc.nasa.gov/ Description Sympol Value +uncertainty -uncertainty

Total density totΩ 1.02 0.02 0.02 Equation of state of quintessence w <-0.78 95%CL -

Dark energy density ΛΩ 0.73 0.04 0.04

Baryon density 2bhΩ 0.0224 0.0009 0.0009

Baryon density bΩ 0.044 0.004 0.004

Baryon density ( 3cm− ) bn 2.5x10-7 0.1x10-7 0.1x10-7

Matter density 2mhΩ 0.135 0.008 0.009

Matter density mΩ 0.27 0.04 0.04

Light neutrino density 2vhΩ <0.0076 95% CL -

CMB temperature ( )K a cbmT 2.725 0.002 0.002

CMB Photon density 3( )cm− b nγ 410.4 0.9 0.9

Baryon-to-photon ratio η 6.1x10-10 0.3x10-10 0.2x10-10

Baryon-to-photon ratio 1b m

−Ω Ω 0.17 0.01 0.01

Fluctuation amplitude in 18h Mpc− spheres 8σ 0.84 0.04 0.04

Low z− clusters abundance scaling 0.5g mσ Ω 0.44 0.04 0.05

Power spectrum normalization 10(at 0.05 )k Mpc−= c A 0.833 0.086 0.083

Scalar spectral index 10(at 0.05 )k Mpc−= c sn 0.93 0.03 0.03

Running index slope 10(at 0.05 )k Mpc−= c / lnsdn d k -0.031 0.016 0.018

Tensor-to-scalar ratio 10(at 0.05 )k Mpc−= r <0.90 95% CL -

Redshift of decoupling decz 1089 1 1

Thickness of decoupling (FWHM) deczΔ 195 2 2 Hubble constant h 0.71 0.04 0.03

Age of universe (Gyr) 0t 13.7 0.2 0.2

Age at decoupling (kyr) dect 379 8 7

Age at reionization (Myr, 95% CL) rt 180 220 80

Decoupling time interval (kyr) dectΔ 118 3 2

Redshift of matter-energy equality eqz 3233 194 210 Reionization optical depth τ 0.17 0.04 0.04

Redshift of reionization (95% CL) rz 20 10 9

Sound horizon at decoupling ( o ) Aθ 0.598 0.002 0.002

Angular size distance to decoupling (Gpc) Ad 14.0 0.2 0.3

Acoustic scale d A 301 1 1

Sound horizon at decoupling (Mpc)d sr 147 2 2 a from COBE (Mather, J.C. et al, 1999, ApJ, 512, 511)

Page 198: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

172

b derived from COBE (Mather, J. C. et al., 1999, ApJ, 512, 511) ( )

1( )

o o oa t

a t

λ λ λ

λ λ

−= − = =≥=

c 700effl ≈

d 1A Aπθ −≡ 1

A Aπθ −≡ 10 2 1 3 8 261.37 10 3.65 10 2.4 10 3.6 10 3 10 1.296 10 mobs oR t c= = × × × × × × × × × = ×

3 78 349.12 10 m

3obs obsV Rπ

= = ×

h is the Hubble constant in units of 100 km/s × Mps

61Mpc 10 parsec, 1 parsec 206265AU, 1AU απoσταση Γης -Ηλιου≡ ≡ ≡

Σχ. 15.3 Η πυκνότητα ενέργειας, i ,Ω ως ποσοστό της ολικής κρίσιμης πυκνότητας ενέργειας ( radiation, particle mass, dark energyi r i m i= = = = = Λ = ). Ο χρόνος (στην πάνω κλίμακα) αυξάνει από δεξιά προς αριστερά, ενώ το αντίστροφο της ακτίνας του ορατού Σύμπαντος (νορμαλισμένο με την σημερινή τιμή του, ( ),oR t (κάτω κλίμακα) αυξάνει από αριστερά προς τα δεξιά. Οι σημερινές τιμές των έχουν ληφθεί ίσες με 58,42 10 , 0,3, 0,7.r m

−ΛΩ = × Ω = Ω = Με αυτές τις επιλογές

,r mΩ = Ω όταν 50000ετη.t = To 1+z ισούται εξ ορισμού με (1 ) /(1 )β β+ − , όπου υ/cβ ≡ (βλέπε σελ. 36) και δίνει το λόγο / /R Rπ ε ελ λ Σ= ,όπου πλ είναι το μήκος κύματος που παρατηρούμε σήμερα και ελ το μήκος κύματος κατά τη στιγμή της εκπομπής . Το Rε είναι η ακτίνα του Σύμπαντος τη στιγμή της εκπομπής.

78 780.25 9.12 10 2.28 10b b obsN n V= = × × = ×

Page 199: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΦΩΣ ΚΑΙ ΥΛΗ: ΔΙΑΔΟΣΗ Η/Μ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΣΤΗΝ ΥΛΗ (1) Ακτινοβολία φορτισμένου στοιχειώδους σωματίου φορτίου q και μάζας m . (α) Διαστατικά:

Εξαρτάται από το q (αφού το q είναι η πηγή Η/Μ αλληλεπιδράσεων)

Εξαρτάται από το c (αφού πρόκειται για Η/Μ κύματα) Εξαρτάται από την επιτάχυνση a (αφού για 0a = δεν υπάρχει Η/Μ

ακτινοβολία) Η ένταση ( )I t της ακτινοβολίας έχει διαστάσεις ενέργειας ανά χρόνο. Άρα

2 2

2 23 3

2( ) ( ) ( ) ( )3

q qI t a t a tc c

= = (16.1)

(2) Ακτινοβολία αφόρτιστου σωματίου αλλά με μη μηδενική ηλεκτρική διπολική ροπή i i

iq=∑p r και χρόνος ζωής διεγερμένης κατάστασης

Διαστατικά: Εξαρτάται από το p , το c και τη συχνότητα ω (αν η συχνότητα είναι μηδέν δεν υπάρχει ακτινοβολία):

2 4 2 4

3 32( ) ( )3

p pI tc cω ω

= = (16.2)

Η εξίσωση (16.2) μας επιτρέπει να κάνουμε μια εκτίμηση για τον χρόνο ζωής τ μιας συγκεκριμένης διεγερμένης ατομικής κατάστασης η οποία αποδιεγείρεται εκπέμποντας ένα φωτόνιο μέσω διπολικής αλληλεπίδρασης. Πράγματι, η συνολική ενέργεια που εκπέμπεται κατά τη διάρκεια του χρόνου ζωής είναι I τ× που πρέπει να είναι ίση με την ενέργεια ω του εκπεμπομένου φωτονίου. Ως εκ τούτου, σύμφωνα με την εξίσωση (16.2)

3

2 332 ( )

ce r

τω

=⋅

(16.3)

Για την μετάβαση 2p →1s στο άτομο του υδρογόνου μπορούμε να εκτιμήσουμε το τ παίρνοντας Br a , και 2 1 10.2eV,p sω ε ε= − = οπότε 91.77 10 sτ −× , πολύ

κοντά στην τιμή 91.59 10 sτ −× που δίνει ένας λεπτομερειακός και περίπλοκος κβαντομηχανικός υπολογισμός. (3) Μας ενδιαφέρει κυρίως η μέση ελεύθερη διαδρομή, , της Η/Μ ακτινοβολίας. Το δίνει τη μέση απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σκεδάσεων, ή πιο σαφώς το μήκος απόσβεσης της Η/Μ ακτινοβολίας καθώς προχωράει στο μέσο. /( ) (0) xI x I e−= (16.4) Το εξαρτάται από τη συγκέντρωση των σκεδαστών, /s sn N V≡ , και την ενεργό διατομή σκέδασης, σ , κάθε σκεδαστή. Έχουμε τον εξής βασικό τύπο:

Page 200: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

174

1

sn σ= (16.5)

Το σ , η ενεργός διατομή σκέδασης, είναι εξ ορισμού

αριθμός σωματίων που σκεδάζονται/μονάδα χρόνουροή σωματίων ( συγκέντρωση φωτονίων επί )F c

Γσ ≡ =≡

(16.6)

IΓω

= (γιατί;) (16.7)

2 1

4EF cπ ω

= (γιατί;) (16.8)

(4) Σκέδαση φωτονίου από σωμάτιο φορτίου q και μάζας m 2

23

23

qI ac

= από σχέση (16.1)

/oq m=a E

2 222 2

3 2 2 22 1 1 83 3/ 4

o

o

q Eq qc m E c mc

πσω π ω

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (16.9)

όπου, 2 2/or q mc≡ , είναι η ονομαζόμενη κλασσική ‘ακτίνα’ του σωματίου. Ο τύπος (16.9) βγαίνει και διαστατικά: Το σ εξαρτάται από το q (αν 0q = δεν θα υπήρχε σκέδαση), από το c (λόγω Η/Μ ακτινοβολίας), από το m (γιατί αν το m = ∞ , το προσπίπτον κύμα δεν θα μπορούσε να θέσει το σωμάτιο σε ταλάντωση και επομένως δεν θα ακτινοβολούσε) και ενδεχομένως και από το ω . Άρα, γενικότερα

22

2 2(8 / 3) q fmc mc

ωσ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(16.10)

όπου αποδεικνύεται ότι (0) 1f = , ( ) 0f ∞ = και ( )f x είναι μονότονα φθίνουσα. Η (16.10) με ρητή έκφραση για την ( )f x είναι γνωστή ως ο τύπος των Κlein-Nishina. Ερώτηση: Ποια είναι η μέση ελεύθερη διαδρομή ορατού φωτός σ’ ένα μέταλλο;

Ισχύει ο συνδυασμός των σχέσεων (16.5) και (16.9) ή (16.10); Αν όχι, γιατί;

(5) Σκέδαση φωτονίου από ουδέτερο άτομο ή μόριο Από τις σχέσεις (16.2), (16.6), (16.7) και (16.8) έχουμε

Page 201: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

175

2 4

3 2

4 2

4 2

2 1 13 / 4

83

o

o

pc E c

pc E

ωσω π ω

π ω

= =

=

(16.11)

Αλλά εξ ορισμού ο λόγος / op E είναι η πολωσιμότητα, pa , του ατόμου ή μορίου

po

paE

≡ (16.12)

Άρα 4 2

483

pac

ωπσ = (16.13)

Πρέπει να βρούμε την πολωσιμότητα (που έχει διαστάσεις μήκους στον κύβο). Αφού το βασικό μήκος του ατόμου ή του μορίου είναι η ακτίνα του ar ,

περιμένουμε ότι 3p aa r≈ . Υπάρχει όμως μια πολύ σημαντική εξαίρεση: H

απόκριση του ατόμου ή του μορίου ενέχει τη δυνατότητα συντονισμού, οπότε η απόκριση είναι πολύ μεγαλύτερη. Αυτό συμβαίνει όταν η συχνότητα, ω , του προσπίπτοντος Η/Μ συμπέσει με ιδιοσυχνότητα του ατόμου ή του μορίου, δηλαδή με διαφορά δύο ενεργειακών σταθμών τους, οπότε το pa θα γίνει πολύ

μεγαλύτερο κατά /ω Γ όπου Γ είναι το εύρος του συντονισμού. Το 1/Γ , βάσει της αρχής της απροσδιοριστίας, ισούται με τον ήδη υπολογισθέντα χρόνο ζωής τ της διεγερμένης κατάστασης (ενέργειας 1E ) που αποδιεγείρεται εκπέμποντας ένα φωτόνιo συχνότητας τέτοιας ώστε 1o oE Eω = − . Επομένως ο τύπος πρέπει να έχει τη συνήθη για συντονισμό εξάρτηση από τη συχνότητα ώστε να ανάγεται σε κάτι ανάλογο του 3

ar εκτός συντονισμού και να μεγαλώνει κατά ένα παράγοντα /oω Γ εντός συντονισμού. Άρα είναι περίπου ο εξής

3 2

2 24,5 ,a o

p a Bo

ra r ai

ωω ω ω

≈ ≈− + Γ

(16.14)

Πράγματι, ο τύπος (16.14) για oω ω γίνεται

34,5p aa r≈ (16.14α)

ενώ για 1o oE Eω ω= ≡ −

3 34,5 / 4,5p a o a oa r rω ω τ= Γ = (16.14β)

Επομένως

6

543 10 ,o

orσ ω ωλ

≈ × (16.15α)

2 , oσ λ ω ω≈ = (16.15β) Η σχέση (16.15β) προέκυψε λαμβάνοντας υπόψη ότι η φυσική διαπλάτυνση, Γ , της διεγερμένης στάθμης είναι, βάσει της (16.3),

3 2

23

23

oB

e ac

ωΓ ≈ (16.16)

Page 202: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

176

Η (16.16) προκύπτει και από διαστατική ανάλυση λαμβάνοντας υπόψη ότι το Γ θα εξαρτάται από την κβαντομηχανική εκδοχή της διπολικής ροπής, Bea , από το c (αφού ο χρόνος ζωής εξαρτάται από την εκπομπή φωτονίου) και από τη συχνότητα συντονισμού oω (αφού 1o oE Eω = − ). Σημειώστε ότι η πολωσιμότητα συνδέεται με τη διηλεκτρική συνάρτηση e βάσει του τύπου

1 4 1 4 a po

P n aE

π π= + = +e , G-CGS (16.17)

όπου an είναι η συγκέντρωση των ατόμων ή μορίων στο αέριο. Σημειώστε ακόμη ότι η πόλωση, P, ενός αερίου συνδέεται με την πολωσιμότητα με τη σχέση

/ ( / )o a p a pP E n a N V a= = . Ο λόγος / oP E ισούται εξ ορισμού με την

ηλεκτρική επιδεκτικότητα eχ , οπότε e a pn aχ = . Για τον ατμοσφαιρικό αέρα

(χωρίς σταγονίδια νερού) το /a an N V≡ μπορεί να υπολογισθεί από τον τύπο a BPV N k T= (16.18)

πίεση θερμοκρασία

Το 34,5p aa r≈ , 0,75ar ≈ Α , 6000λ ≈ Α , για oω ω , οπότε 27 24 10 cmσ −≈ ×

19 32,5 10 cman −≈ × ατμοσφαικός 100km≈ αέρας ξηρός

1.0006≈e Ο ρόλος σταγονιδίων 2H O ή άλλων μακροσκοπικών σωματιδίων αναλύεται αμέσως παρακάτω. (6) Σκέδαση Η/Μ κύματος από μακροσκοπικό σωματίδιο ακτίνας α και διηλεκτρικήs συνάρτησης e (μαγν. διαπερατότητας 1μ = )

2 2

424 1 ,

2V aσ λ

π λ−⎛ ⎞≈ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ee

(16.19)

Όπου ( ) 34 /3V aπ= [Τύπος Rayleigh, παράβαλε με τύπο (16.15α)]. Μπορείτε να βγάλετε τον τύπο (16.19) με διαστατική ανάλυση και λίγη σκέψη; Όταν το

α 2 /cλ π ω≡ e γίνει συγκρίσιμο με ακέραιο πολλαπλάσιο της διαμέτρου, 2d a≡ , τότε έχουμε γεωμετρικής φύσεως συντονισμό (βλέπε τα σχήματα στην

επόμενη σελίδα). Το αλ είναι το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας

μέσα στο σωματίδιο. Ισχύει η σχέση α / / nλ λ λ= =e , όπου λ είναι το μήκος κύματος στο κενό και n είναι ο δείκτης διαθλασης. Σημειώστε ότι για α dλ η ενεργός διατομή σκέδασης είναι περίπου δύο φορές μεγαλύτερη από τη γεωμετρική διατομή 2aπ (για τις περισσότερες τιμές του e ). (7) Ελαστική σκέδαση ακτίνων Χ από υλικό

( )

4

2 4 31 8

3 4 /3ee s

e Znm c r

πσπ

= = (16.20)

Page 203: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

177

όπου 3(4 /3) srπ είναι ο όγκος ανά άτομο, / aV N . Σημείωσε ότι το είναι αντιστρόφως ανάλογο του ατομικού αριθμού Z . Οι ακτίνες Χ σκεδάζονται κυρίως μη ελαστικά και πολύ λιγότερο ελαστικά. Οι μηχανισμοί μη ελαστικής σκέδασης ακτίνων Χ είναι δύο: Μέσω φαινομένου Compton και μέσω φωτοηλεκτρικού φαινομένου, που είναι ο κύριος μηχανισμός.

Ανηγμένη ολική διατομή σκέδασης, 2/ aσ π , Η/Μ κύματος από μία σφαίρα ακτίνας ( 2 )a d a= ως συνάρτηση του λόγου / ad λ για διάφορες τιμές της

διηλεκτρικής σταθεράς ae της σφαίρας. Το / /a a nλ λ λ= =e είναι το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας στο υλικό της σφαίρας. Για το νερό το ae ισούται με 1,77. (8) Ακτινοβολία μαγνητικού διπόλου και ηλεκτρικού τετραπόλου.

Μαγνητική διπολική ροπή: 12 i i

ie

c= ×∑m r υ , G-CGS (16.21)

Ηλεκτρική τετραπολική ροπή: 2a ia i a i

iD e x x rβ β βδ⎡ ⎤= −⎣ ⎦∑ (16.22)

Page 204: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

178

Η εκπεμπόμενη ενέργεια ανά μονάδα χρόνου για τις παραπάνω δύο περιπτώσεις δίνεται από τους επόμενους δύο τύπους αντιστοίχως

2 4

323m

mIcω

= (βγάλτε τον τύπο διαστατικά) (16.23)

2 6 2 6

5 51( )

180DD DI

c cω ω

= = (βγαίνει διαστατικά) (16.24)

(9) Διάδοση Η/Μ κύματος (με Baλ ) σε ομοιογενές στερεό ή υγρό. Εξαρτάται από τη διηλεκτρική συνάρτηση 1 2( ) ( ) ( )iω ω ω= +e e e και τη μαγνητική διαπερατότητα 1 2( ) ( ) ( )iμ ω μ ω μ ω= + . Συνήθως ( ) 1μ ω ≈ . Ο δείκτης διάθλασης n ισούται εξ ορισμού με 1 2n n in μ= + ≡ ≈e e (16.25)

1/ 2

1 11 ( )2

n ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦e e (16.26)

1/ 2

2 11 ( )2

n ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦e e (16.27)

Το ( )ωe συνδέεται με την ηλεκτρική αγωγιμότητα1, ( )σ e , και την ηλεκτρική επιδεκτικότητα1, ( )eχ ω ,

( )4

( ) 1iπ σ ω

ωω

= +e , G-CGS (16.28)

( )( ) 1 4 eω πχ ω= +e , G-CGS (βλ. σχέση (16.17)) (16.29) Η διάδοση Η/Μ σ’ ένα ομοιογενές μέσο είναι όπως στο κενό με τη διαφορά ότι το

,c η ταχύτητα του φωτός στο κενό, αντικαθίσταται με το / /c n c= e . Άρα ο κυματαριθμός /k cω= γίνεται

1 2 1 2( )k k ik n n inc cω ω

= + = = + (16.30)

και ο όρος διάδοσης για τα πεδία, exp( )ik x γίνεται

2 1exp expn x i n xc cω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (16.31)

που σημαίνει ότι η ενέργεια του κύματος θα αποσβένεται σύμφωνα με τον νόμο

22exp n xcω⎛ ⎞− ≡⎜ ⎟

⎝ ⎠exp x⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ (16.32)

Άρα

1 Εξ ορισμού έχουμε

( ) jE

σ ω ≡ και ( )ePE

χ ω ≡ ηλεκτρική πολώση (Υπ.1)

ηλεκτρικό πεδίο Για αέρια e a pn aχ = (βλ. σχέση (16.17)).

Page 205: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

179

2 21 2 4

μήκος κύματος στο κενό, 2 /

n nc

c

ω πλ

λ π ω

= =

=

(16.33)

Μπορούμε να βρούμε το ( )ωe (και επομένως και το ( )n ω ) από το νόμο του Νεύτωνα. Θεωρήστε ένα δέσμιο ηλεκτρόνιο. Έχουμε

δύναμη αποκατάστασης αφού είναι δέσμιο

λόγω δύναμη τριβής ηλεκτρικ

ee

mm e E xυ κ υτ

= − −

ού πεδίου

(16.34)

αφού exp( )x i tω−∼ έχουμε i xυ ω= − και 2xυ ω= − . Άρα

2

e e

e Exm im ωκ ω

τ

=− −

(16.35)

Ορίζουμε 2 /o emω κ= , οπότε

2 2

e o

eExm iωω ω

τ

=⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦

(16.36)

(Παράβαλε με τη σχέση (16.14) και θέσε 1/τ Γ≡ ) Επειδή έχουμε πολλά ηλεκτρόνια σε διαφορετικές καταστάσεις, π.χ., ελεύθερα (οπότε 0oκ ω= = ), ή σε διάφορες δέσμιες καταστάσεις, η συνολική διπολική

ροπή jj

p e x=∑ και η συνολική πόλωση /P p V= είναι

( )

2 2

2 22 /( )

f i

i e oi ief

e E n e E nPm im i ω ω ω ω τω

τ

= − +− −+

∑ (16.37)

όπου /f fn N V≡ είναι η συγκέντρωση των ελεύθερων ηλεκτρονίων,

/i in N V≡ είναι η συγκέντρωση των δέσμιων ηλεκτρονίων στη στάθμη i και

oiω είναι η ενέργεια διέγερσης της στάθμης i . Σ’ ένα στέρεο ή υγρό επειδή υπάρχουν πάμπολλες στάθμες πρέπει να σκεπτόμαστε με ενεργειακές ζώνες και όχι στάθμες. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (16.29) και (16.37) έχουμε

Page 206: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

180

( )2 2

2 2 21 pf pi

i oif i

ii

ω ωω ω ωω ω ω

τ τ

= − −+ − +

∑e (16.38)

όπου

2

2 4 fpf

e

e nmπ

ω ≡ , G-CGS (16.39)

2

2 4 ipi

e

e nmπω ≡ , G-CGS (16.40)

Το επιδερμικό φαινόμενο προκύπτει στο όριο, όπου

1

και 1

f

pf f

ωτ

ω τ

(10) Για Lasers

βλ. Τραχανά, Κβαντομηχανική Ι (Νέα έκδοση 2005) Κεφ. 15, σελ. 726-742

Page 207: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΜΕΡΟΣ ΠΕΜΠΤΟ

ΠΑΡΑΤΗΡΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟ

Page 208: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

182

Page 209: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

183

ΑΝΑΡΩΤΙΕΜΑΙ ΓΙΑ ΤΟ ΠΩΣ ΚΑΙ ΤΟ ΓΙΑΤΙ ΠΑΡΑΤΗΡΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟ

1. Γιατί μπορούμε να παρατηρήσουμε τα αντικείμενα γύρω μας;

(Υπόδειξη: Ποιες φυσικές συνθήκες πρέπει να ικανοποιούνται για να βλέπουμε; Οι φυσικοί νόμοι επιβάλλουν το να ικανοποιούνται αυτές οι συνθήκες; Εξηγήστε. Μπορείτε να σχολιάσετε ακροθιγώς τους απαραίτητους φυσιολογικούς μηχανισμούς της όρασης; Υπάρχουν εναλλακτικοί φυσικοί τρόποι που κάποιοι υποθετικοί εξωγήινοι ενδεχομένως χρησιμοποιούν για να βλέπουν;

2. Πως δικαιολογείτε το ότι έχουμε πανσέληνο κάθε 29,5 ημέρες ενώ η περίοδος της Σελήνης γύρω από τη Γη είναι 27,32 ημέρες; Επιβιώνει η εξήγησή σας σε ποσοτικό έλεγχο;

3. Γιατί ο ουρανός είναι γαλάζιος; Γιατί στο ηλιοβασίλεμα κοκκινίζει; Είναι δυνατό ανεβαίνοντας στη στρατόσφαιρα να βλέπουμε ταυτόχρονα τον Ήλιο και έναστρο ουρανό; Αν όχι, γιατί; Αν ναι, γιατί;

4. Τι ενδείξεις είχαν οι αρχαίοι για το ότι η Γη είναι σφαιρική; Πώς μέτρησε ο Ερατοσθένης την ακτίνα της Γης;

5. Πώς μέτρησαν οι αλεξανδρινοί την απόσταση Γης- Σελήνης; (Βλέπε Quantum, Ιανουάριος/ Φεβρουάριος 2000, σελ. 29).

6. Βρήτε την απόσταση Γης – Σελήνης γνωρίζοντας ότι η τροχιά της Σελήνης γύρω από τη Γη είναι σχεδόν κυκλική, ότι η περίοδος είναι 27,32 ημέρες και ότι η περιφέρεια του ισημερινού της Γης είναι 40Χ106 m.

7. Γιατί ένα μέταλλο το αισθανόμαστε πιο «κρύο» από ένα ξύλο παρόλο που και τα δύο είναι σε θερμοδυναμική ισορροπία με το περιβάλλον και ως εκ τούτου οφείλουν να έχουν την ίδια θερμοκρασία; (Βλέπε Quantum, Ιανουάριος/ Φεβρουάριος 1998, σελ. 12)

8. Όταν αρχίζει να φυσάει πάνω από την επιφάνεια μιας απόλυτα ήρεμης λίμνης (ή θάλασσας) στην αρχή εμφανίζεται ένα «ρυτίδωμα» της επιφάνειας που δεν είναι τίποτε άλλο παρά επιφανειακά κύματα με μικρό μήκος κύματος (της τάξεως του 1cm). Στη συνέχεια εμφανίζονται και κύματα με όλο και μεγαλύτερο πλάτος και μήκος κύματος. Αυτό συμβαίνει επειδή ο άνεμος μεταφέρει ενέργεια υπό συνθήκες συντονισμού όταν η ταχύτητά του είναι ίση με την φασική ταχύτητα του κύματος. Επομένως καθώς αρχίζει να φυσάει θα διεγερθούν πρώτα τα κύματα με τη μικρότερη φασική ταχύτητα.

Ι. Υπολογίστε την ελάχιστη αυτή φασική ταχύτητα (επομένως και την κρίσιμη ταχύτητα του ανέμου κάτω από την οποία δεν δημιουργείται παρά ελάχιστος κυματισμός) και το μήκος κύματος που της αντιστοιχεί λαμβάνοντας υπόψη τα ακόλουθα:

(1) Οι ποσότητες από τις οποίες εξαρτάται η κυκλική συχνότητα, ω, του επιφανειακού κύματος είναι: η επιτάχυνση της βαρύτητας g, ο κυματαριθμός k (k=2π/λ), η πυκνότητα του υγρού ρ και η επιφανειακή του τάση σ.[Το βάθος της λίμνης ή της θάλασσας είναι τόσο μεγάλο ώστε να θεωρείται άπειρο.]

(2) Δύο δυνάμεις δρουν αθροιστικά για την επαναφορά στην κατάσταση ισορροπίας (που αντιστοιχεί σε οριζόντια επιφάνεια): η βαρύτητα που είναι ανάλογη του g) και η δύναμη λόγω επιφανειακής τάσης (που είναι ανάλογη του σ).

Page 210: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

184

(3) Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω και διαστατική ανάλυση (με αριθμητικούς συντελεστές που θα τους πάρετε ίσους με τη μονάδα

δείξτε ότι 1

23σkω= gk +ρ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ΙΙ. Εκτιμήστε το μέγεθος της επιφανειακής τάσης με βάση την ατομική ή μοριακή δομή της ύλης (το σ για νερό 20ο C είναι 73×10-3 Ν/m). III. Σχεδιάστε πρόχειρα το γράφημα της φασικής ταχύτητας υ ως συνάρτηση του μήκους κύματος λ σημειώνοντας στους άξονες αριθμητικές τιμές που αντιστοιχούν σε νερό (δηλαδή θαλάσσια κύματα). (Βλέπε ομιλία Οικονόμου).

9. Ο υπολογισμός της άσκησης 8 βασίζεται στο ότι το γινόμενο kz (όπου z το βάθος της λίμνης ή της θάλασσας) είναι πολύ μεγαλύτερο από τη μονάδα. Ποιος είναι ο τύπος για το ω στην αντίθετη περίπτωση όπου kz`1;

10. Θεωρήστε ένα κινούμενο με ταχύτητα υ σφαιρικό στερεό σώμα ακτίνας r μέσα σ’ ένα ρευστό μέσο (υγρό ή αέριο). Δύο είναι οι φυσικές αιτίες που απαιτούν δαπάνη ενέργειας για τη διατήρηση της κίνησης: (α) η κινητική ενέργεια που συνεχώς προσφέρει το κινούμενο σώμα στις μάζες του ρευστού. (β) οι τριβές που αναπτύσσονται ανάμεσα στα στρώματα του ρευστού διαφορετικής ταχύτητας, οι οποίες τριβές χαρακτηρίζονται από το ιξώδες η (που έχει διαστάσεις [ ] [ ][ ]M / L T ).

Χρησιμοποιώντας διαστατική ανάλυση βρέστε πως εξαρτάται η δύναμη αντίστασης F εάν υπήρχε μόνο ο πρώτος μηχανισμός ή εάν υπήρχε μόνο ο δεύτερος μηχανισμός. Ο λόγος της πρώτης δύναμης, Fα, προς τη δεύτερη, Fβ, είναι ο αριθμός του Reynolds

ae

FRF

Δείξτε ότι για μεγάλα σώματα ή και μεγάλες ταχύτητες κυριαρχεί η δύναμη Fα (που είναι αδρανειακής φύσεως) ενώ για μικρά και χαμηλές ταχύτητες κυριαρχεί η Fβ (που οφείλεται στη συνεκτικότητα του ρευστού).

Εκτιμήστε πόση ισχύ καταναλώνει ένα αυτοκίνητο που κινείται με 100 km/h για να υπερνικήσει τη δύναμη αντίστασης του αέρα. Ο λόγος /ν η ρ≡

του αέρα είναι περίπου ίσος με -51,5 10× 2m / s . 1hp 746 W≈ (βλέπε σχετικά το εξαίρετο άρθρο του G.Golitsyn, Quantum, Μάρτιος/ Απρίλιος, 2000, σελ.6).

11. Οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση ενός ασυμπίεστου ρευστού (υπό συνθήκες ακόμη και τα αέρια μπορούν να θεωρηθούν ασυμπίεστα) είναι οι εξής:

( 2ρ p ηt

∂⎡ ⎤+ ⋅ ) = − + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦υ υυ ∇ ∇ υ (εξίσωση Navier- Stokes) (1)

0∇⋅υ = (εξίσωση συνέχειας) (2)

Οι άγνωστες συναρτήσεις είναι τέσσερις: οι τρεις συνιστώσες της ταχύτητας υ και ο λόγος p/ρ της πίεσης προς τη σταθερή πυκνότητα. Η μόνη παράμετρος στην εξίσωση είναι ο λόγος του ιξώδους προς την πυκνότητα του ρευστού, το

λεγόμενο κινηματικό ιξώδες, ηνρ

≡ , , με διαστάσεις [ ]2L / T⎡ ⎤⎣ ⎦ και τιμές (υπό

συνήθεις συνθήκες) 0.15 cm2/s για τον αέρα σε 20 C.

Page 211: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

185

Θεωρήστε τώρα τη σταθερή σχετική κίνηση ταχύτητας u ενός στερεού σώματος (π.χ. ένα αυτοκίνητο) γνωστού σχήματος και γεωμετρικών διαστάσεων μέσα σε ένα ρευστό (π.χ. αέρα). Πως εξαρτάται η αντίσταση του ρευστού F από τις παραμέτρους του προβλήματος; Ποια είναι η αντίσταση του αέρα για ένα αυτοκίνητο που τρέχει με 60 km/h; με 120 km/h; Ποια είναι η ορική ταχύτητα μιας σταγόνας βροχής ακτίνας 1mm; (Υπόδειξη: Υπάρχει μια και μόνο μια αδιάστατη παράμετρος στο πρόβλημα που λέγεται αριθμός Reynolds, συμβολίζεται με R και ορίζεται από τη σχέση:)

uRν

= (3)

Υπάρχει μόνο ένας συνδυασμός των παραμέτρων του προβλήματος, ρ, u, που έχει διαστάσεις δύναμης 22ρu ή ισοδύναμα 2ρu S (όπου S~ 2 είναι η διατομή του σώματος κάθετα στη διεύθυνση της ταχύτητας u). Άρα η ζητούμενη δύναμη θα έχει τη μορφή:

1 ( )2

2F C R ρu S= (4)

όπου η ποσότητα C(R) εξαρτάται από το σχήμα του σώματος, τον προσανατολισμό του σχετικά με την ταχύτητα u και τον αριθμό Reynolds. Για μικρά R ( 1R ), ( ) 1/C R R∼ (ειδικά για σφαίρα διαμέτρου d,

24 / 24C R ν/ud= ≡ ). Για μεγάλα 3 6(~ 10 10 )R − , 0.45 0.3C ≈ − . Έτσι για σφαίρα:

3F dvρu= π ( 1R ) (5)

20.17 2ρu d≈ ( 4 610 10R ≈ − ) (6) 12. Γιατί ο Ήλιος, στον οποίο συμβαίνουν συνεχώς πυρηνικές συντήξεις, δεν

εκρήγνυται σαν βόμβα Υδρογόνου; 13. Τι καθορίζει την ευσταθή ισορροπία ενός συστήματος ενταγμένου σ’ ένα

περιβάλλον πίεσης Po και θερμοκρασίας Το; Με βάση την απάντησή σας στο παραπάνω ερώτημα εξηγήστε γιατί η ύλη περνάει διαδοχικά από τη στερεά, στην υγρή και τέλος στην αέρια φάση καθώς ανεβαίνει η θερμοκρασία υπό σταθερή πίεση. Είναι δυνατόν να περάσει από τη στερεά κατ’ ευθείαν στην αέρια; Υπό ποιες προϋποθέσεις συμβαίνει αυτό, εάν συμβαίνει; Δώστε κάποια γραφήματα που διευκρινίζουν ή υποβοηθούν τις απαντήσεις σας.

14. Τι είναι η “ψυχρή παγίδα” στην ατμόσφαιρα της Γης, σε τι ύψος περίπου συμβαίνει και ποιος είναι ο βασικός της ρόλος; Κατά ποίο τρόπο ο συνδυασμός ψυχρής παγίδας και οζονόσφαιρας έχουν κατορθώσει να διατηρήσουν το νερό και συνεπώς και τη ζωή στην επιφάνεια της Γης;

15. Θεωρήστε ένα Κόσμο όπου οι χωρικές του διαστάσεις είναι περισσότερες από ή ίσες με τέσσερα. Θεωρήστε ακόμη ότι οι νόμοι προσδιορισμού των πεδίων (βαρυτικού και ηλεκτρομαγνητικού) έχουν τον ίδιο υδροδυναμικό χαρακτήρα και ότι οι νόμοι της φύσης (που αναφέρουμε στο 2ο Μέρος) παραμένουν εν ισχύ. Θα υπήρχαν ευσταθείς τροχιές των πλανητών γύρω από τον Ήλιο; Θα υπήρχε το άτομο του υδρογόνου ως μια σταθερή βασική

Page 212: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

186

μονάδα της ύλης; Μπορείτε να συμπεράνετε από τις απαντήσεις σας ότι ο Κόσμος οφείλει να είναι τριδιάστατος;

16. Ο δίσκος του Ήλιου φαίνεται από τη Γη υπό γωνία 32 ' 0,53θ = της μοίρας. Η ενέργεια του Ήλιου που φτάνει στη Γη ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας είναι 21,36kW / m . Εκτιμήστε από τα δεδομένα αυτά τη θερμοκρασία της επιφάνειας του Ήλιου. [Δίνονται: 341,05 10 Js−= × ,

83 10 m / sc × , 319,1 10 kgem −× , 231,38 10 J / KBk −= × , 236,02 10 l / molAN = × ,

191,6 10 Ce −= × , 128,85 10 F / mo−= ×e ]

17. Η αντοχή των ελαστικών ενός αυτοκινήτου θέτει ένα άνω όριο στην μέγιστη ταχύτητα που μπορεί να αναπτύξει το αυτοκίνητο (που συχνά είναι κατώτερο από αυτό που καθορίζει η ισχύς του κινητήρα). Μπορείτε να εκτιμήσετε αυτό το άνω όριο;

(Βλέπε Quantum, Ιανουάριος/ Φεβρουάριος 1999, σελ. 10) 18. Το 1798 ο Henry Cavendish χρησιμοποιώντας ζυγό στρέψης μέτρησε για

πρώτη φορά τη σταθερά της παγκόσμιας έλξης G ( 11 2 26,673 10 Nm / KgG −= × ). Η μέτρηση αυτή προσδιόρισε τη μάζα της Γης (“Ζύγισε” τη Γη, όπως είπαν τότε).

(α) Εξηγήστε πώς. (β) Προσδιορίστε τη μάζα και τη μέση πυκνότητα της Γης.

19. Υποθέτοντας αδιαβατική συμπεριφορά υπολογίστε την εξάρτηση της πίεσης, P(z), και της θερμοκρασίας, Τ(z), της γήινης ατμόσφαιρας από το υψόμετρο z. Συμφωνούν τα αποτελέσματά σας με τα δεδομένα που ξέρετε;

[Δείξτε ότι / (28,96gr) ddP P g z / RT= − ] [Βλέπε, Ε. Ν. Οικονόμου, Στατιστική Φυσική & Θερμοδυναμική, σελ. 36-38]

Στοιχειώδη Σωμάτια

20. Δώστε τη σύνθεση σε κουάρκ των εξής βαρυονίων ( , , , , ,ο ο + -p n Λ Σ Σ Ω ) και των εξής μεσονίων ( , , , , /ο + ο - -π π Κ Κ J ψ,Β )

21. Καταρτίστε ένα πίνακα των τριών οικογενειών λεπτονίων και κουάρκ δίνοντας κατά σειρά το όνομα, το σύμβολο, τη μάζα, το σπιν, και το ηλεκτρικό φορτίο.

22. Καταρτίστε ένα πίνακα των τεσσάρων βασικών δυνάμεων της φύσης δίνοντας το όνομά τους, την εμβέλεια, την σχετική ισχύ τους, τα σωμάτια φορείς τους (μαζί με τη μάζα τους, το ηλεκτρικό τους φορτίο, το σπιν τους και τις πηγές τους).

23. Το μεσόνιο πο διασπάται με πιθανότητα 99% σε δύο φωτόνια, οπ → γγ . Ποια είναι η ορμή και η ενέργεια των φωτονίων στο σύστημα όπου το πο ακινητεί; Ποια η σχετική διεύθυνσή τους; Από ποια quarks αποτελείται το πο;

24. Ποια από τις ακόλουθες αντιδράσεις παρατηρούνται και ποιες όχι και γιατί; +K p Σ π− −+ → + , K p π+ K n+ ++ → + , ο οK p Λ π− + → + ,

ο οK p Λ K− + → + , ο -Λ π p→ +

Page 213: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

187

25. Αδρόνιο έχει σπιν=1, ηλεκτρικό φορτίο q=+1, παραδοξότητα S=0 και μάζα μικρότερη από τη μάζα του πρωτονίου. Από τι quarks ή/ και antiquarks αποτελείται;

26. Ποιο είναι το κοινό χαρακτηριστικό όλων των θεμελιωδών δυνάμεων όπως τις γνωρίζουμε σήμερα; Ποια είναι η θεμελιώδης αρχή που βρίσκεται πίσω από αυτό το χαρακτηριστικό; Ποιες από τις δυνάμεις αυτές δρουν μόνο από κοντά και ποιες από κοντά και μακριά;

Πυρήνες

27. Η ενέργεια σύνδεσης, Β, ενός πυρήνα με Α νουκλεόνια ( A N Z= + ) δίνεται

από ένα τύπο της μορφής (σε MeV)

23

13

2( 1) ( )15,75 17,8 0,71 23,69Z Z N ZB A A δAA

− −= − − − +

(α) Αναφέρετε και δικαιολογήστε τη φυσική προέλευση κάθε όρου στον παραπάνω τύπο. (β) Υπολογίστε το ποσοστό πρωτονίων Ζ/Α. (γ) Δώστε τη γραφική παράσταση της ποσότητας –Β/Α ως συνάρτησης του Α. (δ) Γιατί το Β/Α είναι πιο μικρό για πολύ μικρούς και για πολύ μεγάλους πυρήνες; (ε) Γιατί δεν υπάρχουν πυρήνες με 92Z ≥ ;

28. Το Ουράνιο 238 έχει χρόνο υποδιπλασιασμού ίσο με 4,47×109 έτη. Πόσες διασπάσεις ανά δευτερόλεπτο (δηλαδή πόσα Bequerel) συμβαίνουν σ’ ένα γραμμάριο Ουρανίου 238; Γιατί το Ουράνιο είναι ραδιενεργό; Ποια είναι η ηλεκτρονική δομή του ατόμου του Ουρανίου; Από πόσα νετρόνια και από πόσα πρωτόνια αποτελείται ο πυρήνας του Ουρανίου 238; Το Ουράνιο 238 έπειτα από μια σειρά α και β- διασπάσεων (εκπέμποντας συνολικά 8α και 6β- σωμάτια) καταλήγει σε μόλυβδο 206. Πόση ενέργεια απελευθερώνεται συνολικά ανά διάσπαση Ουρανίου 238 μέχρι να καταλήξει στο Pb206; (Δίνεται ότι η διαφορά 2 2

uMc Am c− είναι 116,6 MeV, 36,15 MeV και 3,607 MeV για το U-238, το Pb-206 και το Ηe-4 αντιστοίχως). Σε τι διαφέρει το U-235 από το Ουράνιο 238; Ποια είναι η περιεκτικότητα του Φυσικού Ουρανίου σε U-238 και U-235; Τι είναι το απεμπλουτισμένο ουράνιο (Depleted Uranium, DU); Πως επιτυγχάνεται; Με φυσικές ή χημικές μεθόδους ; Με ποιες;

29. Υπολογίστε το ενεργειακό κέρδος που θα προκύψει από τη διάσπαση ενός πυρήνα σε δύο ίσα κομμάτια ( , ) ( / 2, / 2) ( / 2, / 2)Z N Z N Z N→ + .

Πότε το κέρδος αυτό είναι θετικό; Από ποιο στοιχείο και πέρα (δηλαδή από ποιο Ζ και πάνω) συμφέρει ενεργειακά η διάσπαση του πυρήνα σε δύο ίσα κομμάτια; Τότε γιατί υπάρχουν πυρήνες με Ζ πάνω από αυτή την τιμή;

30. Πόσοι περίπου πυρήνες (μη ραδιενεργοί) υπάρχουν στη φύση; Δικαιολογήστε την απάντησή σας (Βλέπε Ε. Ν. Οικονόμου, Η Φυσική Σήμερα ΙΙ, σελ. 61-62)

31. Γιατί τα ραδιενεργά κατάλοιπα ενός πυρηνικού αντιδραστήρα σχάσεως εκπέμπουν ακτινοβολία β (δηλαδή ηλεκτρόνια;).

32. Πώς σπάνε οι μεγάλοι πυρήνες; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. (Βλέπε Ε. Ν. Οικονόμου, Η Φυσική Σήμερα, ΙΙ, σελ. 66-67)

Page 214: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

188

33. Από ποιο μέγεθος ενός πυρήνα και πέρα ο ενεργειακός φράκτης για τη σχάση μηδενίζεται; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

34. Η ενέργεια σύνδεσης που θα κερδίσει ένας πυρήνας (Ν, Ζ) προσροφώντας ένα νετρόνιο μηδενικής κινητικής ενέργειας ισούται με την μίνιμουμ ενέργεια που απαιτείται για την αποκόλληση ενός νετρονίου από τον πυρήνα (Ν+1, Ζ). Υπολογίστε την τελευταία αυτή ενέργεια και εξηγήστε λαμβάνοντας υπόψη το ύψος του ενεργειακού φράχτη) γιατί το U-235 είναι σχάσιμο ενώ το U-238 δεν είναι. (Βλέπε Ε. Ν. Οικονόμου, Η Φυσική Σήμερα, ΙΙ, σελ. 71-72, 81-82)

35. Γιατί οι πυρηνικοί αντιδραστήρες χρησιμοποιούν κάποιο υλικό ως επιβραδυντή; Γιατί το βαρύ ύδωρ είναι ο προτιμότερος επιβραδυντής (αγνοώντας το κόστος);

36. Ποια πυρηνική αντίδραση αποτελεί το πρώτο βήμα στη θερμοπυρηνική σύντηξη του υδρογόνου προς ήλιο (κύκλος καύσης pp) και ποια η σημασία της; Ποια χαρακτηριστική θερμοκρασία απαιτείται για την έναρξη της καύσης του κύκλου pp; Ποιος είναι ο ρυθμός καύσης υδρογόνου προς ήλιο στο εσωτερικό του Ήλιου (σε τόνους/sec);

37. Ένα ελεύθερο νετρόνιο διασπάται σύμφωνα με την εξώθερμη αντίδραση, 0,78MeVn p e→ + + ν + . Γιατί όλα τα νετρόνια κάθε πυρήνα δεν

μετατρέπονται σε πρωτόνια; Η ενέργεια συνδέσεως ενός πυρήνα είναι περίπου 8 MeV ανά νουκλεόνιο. Γιατί είναι τόσο μεγάλη;

ATOMA

38. Συμπληρώστε τον επισυναπτόμενο πίνακα 4, σελ.189 (στο πρότυπο του Lu που είναι συμπληρωμένο) και στην συνέχεια ελέγξτε πιθανά σφάλματα (κυρίως στην ηλεκτρονιακή διάταξη των μεταβατικών στοιχείων, των σπανίων γαιών και των ακτινιδίων.

39. Πόσο μεγάλη είναι η διάμετρος ενός τυπικού ατόμου; Πώς δικαιολογείτε την απάντησή σας; Από πόσα άτομα αποτελείται το σώμα σας; (Τάξη μεγέθους). Πόσο θα άλλαζε η πυκνότητα του σώματός σας εάν η μάζα του ηλεκτρονίου ήταν η μισή;

40. Υπολογίστε με χρήση θεωρίας μεταβολών το πρώτο και το δεύτερο έργο ιονισμού του He. Δίδεται ότι 121/ 5 / 8r a= , όπου α είναι η ακτίνα του υδρογονοειδούς τροχιακού 1s. Θεωρήστε ως μεταβολική παράμετρο το

/Bx a a≡ , όπου Ba είναι η ακτίνα του Bohr. (Πειραματική τιμή για το πρώτο έργο ιονισμού, 24,59eVI = ).

41. Θεωρήστε δύο άτομα υδρογόνου σε απόσταση R μεταξύ των κέντρων τους. Δώστε σε λογαριθμική κλίμακα την ολική ενέργεια του συστήματος ως συνάρτηση της απόστασης R (1 fm 100 AR≤ ≤ ). Σημειώστε στους δύο λογαριθμικούς άξονες τις χαρακτηριστικές τιμές. (Τα πρωτόνια θεωρούνται με μηδενική κινητική ενέργεια).

42. Ένα ηλεκτρόνιο και ένα ποζιτρόνιο μπορούν να αλληλοπαγιδευτούν (για ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα πριν εξαϋλωθούν). Υπολογίστε την ακτίνα και την ενέργεια σύνδεσης του προκύπτοντος “ατόμου” θεωρώντας ότι βρίσκεται στην κατάσταση 1s. Πόση είναι η μέση κινητική ενέργεια και πόση η μέση δυναμική ενέργεια;

Page 215: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

189 Πίν.4. Κατά το πρότυπο του συμπληρωμένου ορθογωνίου (που αναφέρεται στο Lu) συμπληρώστε τον περιοδικό πίνακα των στοιχείων με τους σωστούς για κάθε στοιχείο αριθμούς, ή σύμβολα (που λείπουν), και ονόματα. Β∫ Μποζόνιο το ουδέτερο άτομο (δηλαδή, άρτιος αριθμός το άθροισμα Α+Ζ) F∫ Φερμόνιο το ουδέτερο άτομο (δηλαδή, περιττός αριθμός το άθροισμα Α+Ζ) Η

He

Na

Mg Al Si P S Cl Ar

K

Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr

Rb

Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn(w) Sb Te I Xe

Cs

Ba La Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg(n) TI Pb Bi Po At Rn

Fr

Ra Ac

Ce

Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb 71 Lu 104 71 Κασσιόπειο

Β [ ] 14 1 24 5 6f d s

90 Th 142 Β 90 Θόριο

Β[ ] 2 26 7d s

Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr

σύμβολο òΖ Ν òe òΌνομα Β ή F; ò Ηλεκ/νική δομή εξωτερικού φλοιού

Ένα ακόμη παράδειγμα

απάντησηςÆ

Ηλεκτρονική δομή εξωτερικού φλοιούÆ

Page 216: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

190

43. Ποια είναι τα ονόματα των 8 πρώτων στοιχείων του περιοδικού πίνακα

(Ζ=1 έως 8); Από πόσα πρωτόνια, ηλεκτρόνια, και νετρόνια αποτελείται το άτομο καθενός από τα παραπάνω οκτώ στοιχεία; Ποια είναι μποζόνια και ποια φερμιόνια;

ΜΟΡΙΑ

44. Η αλληλεπίδραση μεταξύ δύο ατόμων ευγενών αερίων που βρίσκονται σε απόσταση d δίνεται από τον τύπο

12 6

( ) 4ijV dd d

⎡ ⎤σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ε −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Για το Ar ε =10 meV και σ=3,4Å. Στο απόλυτο μηδέν μπορεί να υπάρξει το μόριο 2Ar ; Αν ναι, ποιο είναι το μήκος του δεσμού;Ποια η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης; Θα επιβιώσει το μόριο 2Ar σε θερμοκρασία περιβάλλοντος;

45. Εξηγήστε κβαντομηχανικά γιατί δεν υπάρχει το μόριο He2. Εν τούτοις δύο άτομα Ηe στη διεγερμένη κατάσταση (1s)1 (2s) 1 μπορούν να σχηματίσουν ένα (βραχύβιο) μόριο γνωστό ως διεγερμένο διμερές (excimer). Γιατί συμβαίνει αυτό;

46. Για το μόριο του υδρογόνου με μήκος δεσμού 0,74Α υπολογίστε το κβάντο της περιστροφικής κίνησης και εκτιμήστε το κβάντο της ταλαντωτικής.

47. Για τα μόρια 2 2 2 2 4 4CO ,C H ,C H ,SiH αναφέρετε μεταξύ ποίων ατομικών τροχιακών (υβριδικών ή μη) δημιουργείται ο χημικός δεσμός. Ποια είναι η στερεοχημεία των παραπάνω μορίων;

48. Για το μόριο Ο2 σχεδιάστε πρόχειρα την εξάρτηση της ολικής θεμελιώδους ενέργειας U, ως συνάρτησης του μήκους του δεσμού, d ( 0,8Å 8Åd≤ ≤ . (Δεχτείτε ότι U=0 για d = ∞ ). Ποια είναι η εξάρτηση από το d για 0d d , όπου 0 1, 2Åd = , το μήκος ισορροπίας; Πώς, αν είχατε την παραπάνω καμπύλη, θα βρίσκατε τη συχνότητα ταλάντωσης του μορίου και την ενέργεια συνδέσεως;

49. Η ενέργεια Ε του μορίου Η2 ως συνάρτηση της απόστασης d μεταξύ των δύο πυρήνων δίνεται από τη σχέση (Ε, d σε ατομικές μονάδες):

2

0,343 0,49Ed d

= −

Υπολογίστε κατά σειρά τα εξής: (α) το μήκος του δεσμού do (σε Å). (β) τη δονητική ιδιοσυχνότητα οω (σε meV) του Η2. (γ) την ελάχιστη ενέργεια , Εο, διάσπασης σε δύο ανεξάρτητα άτομα (σε eV). (δ) δώστε τη γραφική παράσταση της Ε ως συνάρτησης του d. (Πειραματικές τιμές: 0,74117Aod = , 516meVοω = , 4, 4775eVE = )

50. Επικαλεστείτε τη θεωρία του υβριδισμού για να προβλέψετε την ακριβή γεωμετρική μορφή των ακόλουθων μορίων σ’ όλες τις δυνατές μορφές τους α)CH2O β) C4H6

Page 217: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

191

ΣΤΕΡΕΑ

51. Το χάσμα ενός σύνθετου ημιαγωγού μπορεί να εκτιμηθεί από τον τύπο:

2 23 2

122g h h pA pB sA sBE V V ⎡ ⎤≈ + − ε + ε − ε − ε⎣ ⎦

που γενικεύει τη σχέση (12.12). 3 / 2h hA hBV = ε − ε Εκτιμήστε το χάσμα του GaAs.

52. Δώστε τη γραφική παράσταση και την αναλυτική εξάρτηση της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης από τη θερμοκρασία. Τ για ένα τυπικό μέταλλο και για ένα τυπικό ημιαγωγό. Γιατί στη μια περίπτωση έχουμε μείωση και στην άλλη αύξηση της αντίστασης με την άνοδο της θερμοκρασίας;

Page 218: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

192

53. Η ταχύτητα του ήχου είναι μεγαλύτερη στο αλουμίνιο ή στο μόλυβδο; Γιατί;

54. Δώστε τη γραφική παράσταση της θερμοχωρητικότητας Cp ενός mol 2H Oως συνάρτηση της απόλυτης θερμοκρασίας Τ για Τ από 0 Κ έως 500

Κ (υπό πίεση 1bar). 55. Θεωρήστε το κρυσταλλικό Πυρίτιο (Si)

(α) Ποια είναι η κρυσταλλική του δομή; (β) Τι είδους υβριδικά τροχιακά είναι υπεύθυνα για την ως άνω δομή; (γ) Πώς από τα υβριδικά αυτά δημιουργούνται η ζώνη σθένους και ή ζώνη αγωγιμότητας; (δ) Πόσο είναι το ενεργειακό χάσμα του Si; (ε) Πως μεταβάλλεται η ειδική ηλεκτρική αντίσταση καθαρού κρυσταλλικού Si με τη θερμοκρασία; (Δώστε τη γραφική παράσταση και την αναλυτική έκφραση). (στ) Πόσο θα μεταβληθεί η ειδική ηλεκτρική αντίσταση για

300T K≈ καθαρού κρυσταλλικού Si εάν αντικαταστήσουμε ένα ποσοστό 0,001% ατόμων Si από άτομα φωσφόρου, Ρ;

56. Εκτιμήστε χοντρικά το συντελεστή θερμικής διαστολής ενός στερεού στους 300Κ.

57. * Το μόριο CO2 έχει τις εξής ταλαντωτικές ιδιωσυχνότητες: 1 0,0827eVω = , 2 0,172eVω = , 2 0, 291eVω = . Δώστε τη γραφική

παράσταση της θερμοχωρητικότητας Cp για ένα mol αερίου CO2 ως συνάρτηση της θερμοκρασίας (200Κ<Τ<1000Κ).

58. * Στα σχήματα που ακολουθούν δίνονται, με βάση πειραματικά δεδομένα, οι γραφικές παραστάσεις της συχνότητας ω 2ν= / π (σε 1012 Hz) ιοντικών ταλαντώσεων ως συνάρτηση του ανηγμένου μέτρου κυματανύσματος

max/q q . Στην περίπτωση (α) q=qi και max 2 /q a= π . Στην περίπτωση (β)

( )q ∝ +i j και max 2 /q a= √ π . Στην περίπτωση (γ) ( )q ∝ + +i j k και

max /q a= √3π . (α) Ποιοι κλάδοι είναι οι εγκάρσιοι και ποιοι οι διαμήκεις και γιατί; (β) Ποιοι κλάδοι είναι οι οπτικοί και ποιοι οι ακουστικοί; (γ) Ποιοι κλάδοι είναι εκφυλισμένοι και ποιοι όχι;

59. * Η ειδική θερμότητα του χαλκού (που έχει 38,9 gr cmρ= / και ατ. βάρος

63,55) σε χαμηλές θερμοκρασίες δίνεται στο παρακάτω σχήμα. Με βάση αυτά τα δεδομένα εκτιμήστε την ταχύτητα του ήχου στο χαλκό. Δεδομένου

Page 219: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

193

ότι ο λόγος διαμήκους προς εγκάρσια ταχύτητα του ήχου στο χαλκό είναι 2,05 υπολογίστε αυτές τις δύο ταχύτητες.

60. Η ενέργεια ενός μετάλλου ως συνάρτηση του rs δίνεται από τον τύπο

( 13

sr ζ r= , αN ζΝ= )

2o s s

E aCNE r r

γ= + − , s

sB

rra

= , C= σταθερά 2

oB

eEa

=

Υπολογίστε την πυκνότητα του μετάλλου αυτού και το μέτρο ελαστικότητας Β. Το ατομικό βάρος του μετάλλου θεωρείται γνωστό. Ποια είναι η φυσική προέλευση των δύο τελευταίων όρων στον παραπάνω τύπο. Για το Cs δίνεται ότι α=4,014 και γ=1,46. Υπολογίστε το ρ και το Β του Cs (Πειρ. Τιμές: ρ=1,87 g/cm3, B=20 Kbar) 241,66 10 grum −= × .

61. Ποια η θερμοκρασία Ττ του τριπλού σημείου του νερού; Είναι η πίεση, Ρτ, του τριπλού σημείου του νερού μικρότερη η μεγαλύτερη της 1 ατμόσφαιρας;

Δίνεται ότι η θερμότητα βρασμού είναι περίπου 43 kJ/mol. Μπορείτε να εκτιμήσετε την πιέση του τριπλού σημείου του νερού; Πόση είναι; [Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το διάγραμμα φάσεων στο επίπεδο Ρ, Τ.]

62. Έχουμε ένα φούρνο με θερμοκρασία 600Κ και θέλουμε να επιτύχουμε θερμοκρασία 900Κ χρησιμοποιώντας ένα συγκεντρωτικό φακό. Μπορούμε; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

63. Δύο ίδια σώματα, Α και Β βρίσκονται σε διαφορετικές θερμοκρασίες A BT T> . Οι θερμοχωρητικότητες τους είναι ίδιες και ανεξάρτητες της

θερμοκρασίας. Τα δύο σώματα (με τη βοήθεια ενός τρίτου βοηθητικού που εκτελεί κυκλικές διαδικασίες) φτάνουν σε ολική θερμοδυναμική ισορροπία υπό συνθήκες άντλησης του μεγίστου έργου (χωρίς ανταλλαγή θερμότητας με το περιβάλλον). Ποια είναι η τελική θερμοκρασία; Τι ποσοστό της ενέργειας που έχασε το σώμα Α έγινε έργο;

(Απάντηση: A BT T T= , Α Β

Α

Τ Τη=

Τ−

)

64. Ένα ηλεκτρικό ρεύμα 10 Α περνάει από μια αντίσταση 25 Ω ενώ η θερμοκρασία της αντίστασης διατηρείται σταθερά στους 27 οC. (α) Πόση είναι η αλλαγή της εντροπίας της αντίστασης;

Page 220: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

194

(β) Πόση είναι η αλλαγή της εντροπίας του Σύμπαντος; (γ) Εάν η αντίσταση είναι θερμικά μονωμένη πόση είναι η αλλαγή της εντροπίας του Σύμπαντος;

Απαντήσεις: (α) / 0adS dt = , (β)2

o/ 8,33 W/ KΣRIdS dtT

= = ,

(γ) o0 8,33 W / KΣdSdt

< <

65. Θεωρήστε μια μπάλα που κινείται στον αέρα με μια αρχική ταχύτητα u ενώ ταυτόχρονα στρέφεται αριστερόστροφα (ιδωμένη από πάνω) όπως φαίνεται στο σχήμα. Η μπάλα θα αποκλίνει προς τα δεξιά ή τα αριστερά; Γιατί;

(Βλέπε Quantum, Νοεμβ./Δεκ. 94, σελ. 7-14).

u

66. Εκτιμήστε το μέγιστο μέγεθος μιας σταγόνας βροχής (που έχει φτάσει την οριακή ταχύτητα) θεωρώντας ότι καθορίζεται από τη δύναμη της βαρύτητας και από την επιφανειακή τάση σ (για το νερό,

0.05 0.08 Νt/mσ - ≈ ). (Βλέπε Quantum, Μαϊου/ Ιουνίου 94, σελ. 12-15). 67. Θεωρήστε ένα μικρό αεροπλανάκι με δύο πτέρυγες 1 m x 0.16 m. [ Η πάνω

όψη έχει (λόγω καμπυλότητας) μήκος 0.1636 m ενώ η κάτω 0.1624 m). Η μάζα του είναι 0.7 kg και η τυπική ταχύτητα πτήσεως 10 m/s. Υπολογίστε τη δυναμική άνωση βάσει του νόμου του Bernoulli:

( )12

2 2κατω πανω κατω πανωP Ρ ρ υ υ− = −

όπου ρ η πυκνότητα του αέρα ( 31.2 kg / mρ ≈ ). Είναι επαρκής η έτσι υπολογισμένη δυναμική άνωση για να πετάξει το αεροπλανάκι; Σχολιάστε το αποτέλεσμά σας. (Η ανυψωτική δύναμη βάσει της παραπάνω εξίσωσης ισούται με 0, 28 Nt . Βλέπε Quantum Νοέμ/ Δεκ.94 σελ. 7-14).

ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ κλπ

68. Ένα αστρικό σώμα καταρρέει υπό την επίδραση της δικής του βαρύτητας.

Η αρχική του γωνιακή ταχύτητα θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή θα μείνει αμετάβλητη; Δικαιολογείστε την απάντησή σας.

Γιατί οι πλανήτες και τα άστρα έχουν σχήμα σφαιρικό; Γιατί οι αστεροειδείς δεν έχουν;

69. Δώστε τη γραφική παράσταση και την αναλυτική έκφραση της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου ως συνάρτησης της συχνότητας. Δεδομένου ότι το μέγιστο εμφανίζεται για συχνότητα 0,665 meVmω = , ποια είναι η θερμοκρασία της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου;

70. Υπολογίστε την πίεση στο κέντρο ενός πλανήτη σταθερής πυκνότητας θεωρώντας μια κυλινδρική στήλη ύλης που ξεκινάει από το κέντρο του πλανήτη και φτάνει στην επιφάνειά του. Για να αποτελείται ο πλανήτης από συνήθη στερεά (ή υγρή) ύλη θα πρέπει η πίεση στο κέντρο του, Ρο, να είναι μικρότερη ή περίπου ίση με Β (όπου Β το υδροστατικό μέτρο ελαστικότητας), γιατί αλλιώς τα άτομα θα χάνoυν σταδιακά τα εσωτερικά ηλεκτρόνιά τους καθώς το Po γίνεται πολύ μεγαλύτερο του Β και θα

Page 221: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

195

καταλήξουμε σε λευκό νάνο και όχι σε πλανήτη. Δείξτε ότι η σχέση oP B≤ οδηγεί στην εντυπωσιακά απλή σχέση:

2

2

33 224,83o

a

eN Nf Gm

⎛ ⎞⎛ ⎞π≤ ≈ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠στο σύστημα G – CGS.

Στο SI το 2 2 / 4e e ο→ πe . Το a B um A m= είναι η μέση ατομική μάζα, το Ν είναι ο συνολικός αριθμός ατόμων στον πλανήτη, το ΑΒ είναι το μέσο ατομικό βάρος και ο αδιάστατος αριθμός 2 2/ ae Gm είναι ο λόγος της ηλεκτροστατικής δύναμης για φορτία e.e προς τη βαρυτική δύναμη για μάζες mα·mα. Δίδεται ότι 50BA ≈ , 2 2 36/ 1, 25 10ue Gm = × , και 271,66 10 kgum −= × . Υπολογίστε την τιμή του Νο και τη μάζα, ΝοΜα, του πλανήτη. Πως συγκρίνεται το αποτέλεσμά σας με τη μάζα της Γης ( 245,98 10 kgrM ≈ × ); Πως συγκρίνεται το αποτέλεσμά σας με την ελάχιστη μάζα για την ύπαρξη ενός ενεργού άστρου;

71. Πόσο μεγάλος (σε γραμμικές διαστάσεις) και πόσα περίπου άστρα περιέχει ο Γαλαξίας μας;

72. Εξηγήστε τη σημασία της ελάχιστης μάζας, Μκρ, που μπορεί να έχει ένα άστρο. Δώστε την αριθμητική της τιμή. Γιατί αντικείμενα με Μ<Μκρ αποκλείεται να γίνουν άστρα;

73. Γιατί δεν υπάρχουν άστρα με πολύ μεγάλη μάζα (Μ>100Μο);

76. Υπολογίστε την ηλικία του Σύμπαντος από το παρατηρησιακό δεδομένο ότι η σταθερά του Hubble έχει τιμές μεταξύ 15 και 30 (km/s)/Mly. Υπολογίστε την παραγομένη ισχύ ανά kg στον Ήλιο λαμβάνοντας υπόψη ότι η ακτίνα: του Ηλίου είναι 87 10 m× , ότι το σ ισούται με 8 3 45,67 10 kg/s K−× ,

75. Δίνεται παραπλεύρως το φάσμα απορρόφησης Η/Μ ακτινοβολίας από την ατμόσφαιρα 3 πλανητών του ηλιακού μας συστήματος. Ποιο φάσμα αντιστοιχεί στη γήινη ατμόσφαιρα; Γιατί; (Δίνονται τα μήκη κύματος (σε μ) των δονητικών συχνοτήτων των εξής μορίων: CO2 (15μ, 7,21μ, 4,26μ), Η2Ο (6,29μ, 9,6μ, 9,07μ).

Page 222: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

196

ότι η θερμοκρασία της επιφάνειας του Ηλίου είναι 5800Κ, και ότι η μάζα του Ηλίου ισούται με 1,99x1030 kg. Πώς συγκρίνεται η παραπάνω ποσότητα με την ισχύ που διακινεί το ανθρώπινο σώμα ανά kg;

77. Εάν το 31% της προσπίπτουσας, στο σύστημα Γης/ατμόσφαιρας, ηλιακής ακτινοβολίας ανακλάται, να βρεθεί η ενεργός θερμοκρασία του πλανήτη μας ( 87 10 mHR ≈ × , 111,5 10 mH ΓR − ≈ × ). Πόσο είναι το ποσό της ηλιακής ενέργειας που απορροφάται σε ls από το σύστημα Γης/ατμόσφαιρας; Πώς συγκρίνεται η ισχύς αυτή με την εγκατεστημένη ηλεκτρική ισχύ των 400MW στην Κρήτη;

(4

8 3 43 2 5,67 10 kg/s K

60

2Bπ kσc

−≡ = × ) ( 66, 4 10 mΓR = × )

78. Χρησιμοποιώντας το ότι σε μια έλλειψη με α και b μεγάλο και μικρό ημιάξονα, το εμβαδόν της ισούται με παb και η ακτίνα καμπυλότητας R στα σημεία που ο μεγάλος άξονας κόβει την έλλειψη ισούται με 2 /R b a= , δείξτε τον τρίτο νόμο του Kepler, ότι, δηλαδή, η περίοδος περιστροφής ενός πλανήτη περί τον Ήλιο δίνεται από τον τύπο

322 / HT a GM= π . (Υπόδειξη:

Αποδείξτε πρώτα το 2ο νόμο του Kepler, ότι, δηλαδή η επιβατική ακτίνα που ενώνει τον πλανήτη με τον Ήλιο σαρώνει σε ίσους χρόνους ίσα εμβαδά)

79. Πέστε αν ένα άστρο μας πλησιάζει ή απομακρύνεται στην κάθε μια από τις παρακάτω 5 περιπτώσεις για τις οποίες ξέρουμε ότι μια φασματική γραμμή μετατοπίστηκε: 1. Από το κίτρινο στο ερυθρό 2. Από το υπέρυθρο στο ερυθρό 3. Από το μπλε στο υπεριώδες 4. Από τις ακτίνες γ στις ακτίνες Χ 5. Από το πράσινο στο μπλε

80. Η φασματική γραμμή 2 1p s→ του ατόμου του υδρογόνου (με λ=122 nm) διαφέρει κατά 1,8x10-12m μεταξύ δυο αντιδιαμετρικών σημείων του ισημερινού του Ήλιου. Ποια είναι η ταχύτητα ενός σημείου στο ισημερινό του Ηλίου σε km/s;

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

81. Δίνεται μια άπειρη περιοδική συνδεσμολογία αντιστάσεων R που σχηματίζει ένα επίπεδο τετραγωνικό πλέγμα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Υπολογίστε την ισοδύναμη αντίσταση μεταξύ των γειτονικών σημείων Α και Β.

A B

R

Σχήμα

Page 223: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

197

82. Δώστε τη γραφική παράσταση και την αναλυτική έκφραση της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου ως συνάρτηση της συχνότητας. Δεδομένου ότι το μέγιστο εμφανίζεται για συχνότητα 0,665meVmω = ποια είναι η θερμοκρασία της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου;

83. Στο ουράνιο τόξο το κόκκινο ή το ιώδες είναι στην πάνω μεριά; Δικαιολογήστε την απάντησή σας με βάση φυσικούς νόμους και ιδιότητες.

84. Στα παλιρροιακά φαινόμενα η περίοδος είναι περίπου 12,5 ώρες. Εξηγήστε γιατί. Πότε έχουμε πιο έντονα παλιρροιακά κύματα, όταν έχουμε πανσέληνο, νέα σελήνη, ή σελήνη 14 ημερών; (Συγκρίνετε και τις τρεις περιπτώσεις)

85. Το στοιχείο Be με A=8 είναι ραδιενεργό με χρόνο ημιζωής περίπου 1510 s− , ενώ το Be με A=9, Z=4, N=5 είναι σταθερό. Με βάση το συμπέρασμα ότι για μικρούς πυρήνες, Ν=Ζ=Α/2 θα περίμενε κανείς ότι το Be με Α=8 θα έπρεπε να είναι σταθερό. Πώς εξηγείτε αυτή την ‘ανωμαλία’; Δημιουργεί αυτή η ανωμαλία πρόβλημα στο σενάριο πυρηνοσύνθεσης στα άστρα; Πώς ο Hoyle υπερκέρασε αυτό το πρόβλημα;

86. Θεωρείστε το μόριο του Βενζολίου ( 6 6C H )

(α) Δώστε τη στεροχημική του δομή και δικαιολογείστε την με βάση την

ικανοποίηση όλων των υβριδικών και μη τροχιακών ( 19,37eVscε = − 11,07eVpcε = − ) 1,39Accd = 1,076chd A=

(β) Δώστε το ενεργειακό διάγραμμα (σε σωστή κλίμακα) των ηλεκτρονιακών σταθμών του μορίου αυτού σημειώνοντας τον εκφυλισμό κάθε στάθμης και το βαθμό κατάληψής της. (Βλέπε άσκηση 98).

87. Αν η παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας διπλασιαζόταν, κατά πόσο θα άλλαζε η περιοχή τιμών της μάζας των άστρων; Κατά πόσο η ακτινοβολία τους ανά μονάδα χρόνου; Κατά πόσο ο χρόνος ζωής τους; (Θεωρήστε ότι η πυκνότητα τους δεν αλλάζει)

88. Από την εξισορρόπηση της θερμικής και βαρυτικής πίεσης στην επιφάνεια ενός άστρου, δείξτε ότι η επιφανειακή του θερμοκρασία Tε είναι ανάλογη

Page 224: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

198

του 2 /3M (Δεχθείτε ότι η πυκνότητα M/V είναι σταθερή). Πώς εξαρτάται η λαμπρότητα ενός άστρου από τη μάζα του με βάση τα παραπάνω;

89. Ας ασχοληθούμε με το νερό; Υπολογίστε:

(α) Το μέγεθος sB

rfa

≡ όπου το r ορίζεται από τη σχέση

3μόρια

4/3

V N rπ=

(β) Ποια είναι η ταχύτητα του ήχου στο νερό;

90. Πώς ο κ. Στ. Τραχανάς βρίσκει κατ’ εκτίμηση τις τιμές των «πιο» παγκόσμιων σταθερών c και από παρατηρήσεις και γνώσεις της καθημερινής ζωής και επιλεγμένους τύπους που βγαίνουν με διαστατική ανάλυση (βλέπε σχετική άσκηση).

(α) Το κινητό τηλέφωνο εκπέμπει και δέχεται Η/Μ κύματα συχνότητας

1,8GHzf = . Εκτιμήστε την ταχύτητα του φωτός. (β) Η ηλιακή ισχύς, rI , (ανά τετραγωνικό μέτρο) στη Γη επιτρέπει τη

λειτουργία του ηλιακού θερμοσίφωνα ο οποίος είναι συγκρίσιμος με τον συνήθη ηλεκτρικό που έχει ισχύ 2kW . Αυτό σημαίνει ότι το

2(1 2)kW/mrI − . (Στην πραγματικότητα και πάνω από την

ατμόσφαιρα είναι 21,36kW/mrI = ). (γ) Το mλ (βλέπε άσκηση 92(α)) μπορεί να εκτιμηθεί από τη διακριτική

ικανότητα του ανθρώπινου οφθαλμού (Πείραμα δύο παράλληλων γραμμών).

(δ) Το HI , στην επιφάνεια του Ήλιου, υπολογίζεται εύκολα από τη γωνία που φαίνεται ο Ήλιος από τη Γη. ( 32θ ′= της μοίρας)

Με τα δεδομένα και μόνο των (α) έως (δ) αυτής της άσκησης εκτιμήστε την τιμή του .

91. Μια συμπαγής ομοιογενής σφαίρα ακτίνας R και μάζας M και ένα στεφάνι ίσης μάζας και ακτίνας κυλίονται χωρίς ολίσθηση σ’ ένα κεκλιμένο επίπεδο ξεκινώντας από το ίδιο ύψος h και με μηδενική ταχύτητα αρχικά. Ποιο θα φτάσει πρώτο στο υψόμετρο μηδέν και με τι ταχύτητα;

92. Με διαστατική ανάλυση βρείτε: (α) Το μήκος κύματος, mλ , που αντιστοιχεί στο μέγιστο της κατανομής

( )J λ της ακτινοβολίας ενός μέλανος σώματος θερμοκρασίας KoT . (Η αριθμητική σταθερά είναι 1.27. Το ( )J λ έχει διαστάσεις ενέργειας ανά μονάδα χρόνου, ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα μήκους κύματος).

(β) Τη συνολική ακτινοβολία 0

( )I d Jλ λ∞

= ∫ ενός μέλανος σώματος

θερμοκρασίας KoT ανά μονάδα επιφάνειας και χρόνου. (Η

αριθμητική σταθερά είναι 2 / 60π ). (γ) Την ταχύτητα του ήχου, oc , στο Αλουμίνιο (δ) Την θερμοκρασία μιας μαύρης τρύπας μάζας Μ.

Page 225: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

199

Κατακόρυφος άξονας

Ακίνητο σημείο

93. Από την κορυφή του Ψηλορείτη φαίνονται τα βουνά της Σαντορίνης ( , 150kmdΨ Σ ) όταν η ατμόσφαιρα είναι διαυγής και ξηρή. Εκτιμήστε από

την παρατήρηση αυτή, το μέγεθος των μορίων της ατμόσφαιρας σε A . (Υπόδειξη: Η θερμοκρασία της επιφάνειας του Ήλιου είναι 5800 οΚ και το μάτι μας είναι προσαρμοσμένο στο μήκος κύματος που αντιστοιχεί μέγιστο της ηλιακής ακτινοβολίας ( )J λ ).

94.

Εξηγήστε γιατί δεν πέφτει η κεκλιμένη περιστρεφόμενη σβούρα, αλλά αντίθετα ο άξονας της περιστροφής της περιστρέφεται περί τον κατακόρυφο άξονα (αγνοήστε τις τριβές.)

95. Εάν δεχθούμε το κλασικό (χωρίς ) πλανητικό μοντέλο του ατόμου του

Υδρογόνου με αρχική ακτίνα Ba , ο χρόνος ot για να καταλήξει το ηλεκτρόνιο πάνω στον πυρήνα δίνεται από τον τύπο:

2 3 3

114

1 1,55 104

Bo

m c at se

−= ×

(Ευτυχώς υπάρχει το !) Δικαιολογήστε τον παραπάνω τύπο ( m ≡μάζα ηλεκτρ.)

96. Υπολογίστε το δεύτερο και το τρίτο έργο ιονισμού του Li . 97. Μελετήστε το μοντέλο του ατόμου του υδρογόνου σύμφωνα με την κλασσική

μηχανική υποθέτοντας ότι η αρχική απόσταση πρωτονίου-ηλεκτρονίου είναι

0,529ABa = . (α) Ποιά είναι η περίοδος περιστροφής του ηλεκτρονίου; (β) Ποιός ο χρόνος ζωής του ατόμου του υδρογόνου; (υποθέστε ότι και τα δύο σωμάτια είναι σημειακά). (γ) Ποιός ο λόγος χρόνου ζωής προς περίοδο;

Page 226: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

200

ΒΕΝΖΟΛΙΟ 6 6C H

H, s

2C, sp

zC, p

Πάρτε CCd 1,24A (Πειρ. CCd 1,39A )

CHd 1,15A CHd 1,076A

(Α)

C,p

H,s H,s

2C,sp

Αντιδεσμικό2 2sp - sp

Αντιδεσμικό2

Hsp - s

LUMO

HOMO

LUMO LOWEST UNOCCUPIED MOLECULAR ORBITAL

HOMO HIGHEST OCCUPIED MOLECULAR ORBITAL

Δεσμικό2

Hsp - s

2 2sp - spΔεσμικό

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Άδειες Στάθμες

ΚατειλημμένεςΣτάθμες

C,p

C,s

Αντιδεσμικό2 2sp - sp

Αντιδεσμικό2

Hsp - s

LUMO

HOMO

LUMO LOWEST UNOCCUPIED MOLECULAR ORBITAL

HOMO HIGHEST OCCUPIED MOLECULAR ORBITAL

Δεσμικό2

Hsp - s

2 2sp - spΔεσμικό

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ΚατειλημμένεςΣτάθμες

Page 227: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

201

(Β) (Α) Σχηματική παράσταση (δικαιολογήστε την) των ενεργειακων σταθμών του 6 6C H , όπου οι αριθμοί δίπλα στις τελικές στάθμες δείχνουν τον εκφυλισμό (δηλαδή πόσες καταστάσεις αντιστοιχούν σε κάθε στάθμη). Έχουμε τελικά 20 στάθμες και τριάντα (30) καταστάσεις, όσες φυσικά και οι αρχικές. Οι ενεργειακές αποστάσεις δεν είναι κατ’ανάγκη και οι ακριβείς. (Β) Μεγένθυνση των μοριακών σταθμών zp (δηλ. των HOMO και LUMO και των δύο εκατέρωθεν αυτών) και απεικόνιση των αντιστοίχων μοριακών τροχιακών.

Page 228: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

202

LCAO σε στερεά

98. Το απλούστερο μονοδιάστατο στερεό (ένα άτομο ανά θεμελιώδη κυψελίδα, ένα τροχιακό (το ίδιο) ανά άτομο) εικονίζεται σχηματικά αμέσως παρακάτω.

d2V2V

n -1 n n +1

οε

H Eψ ψ= , n n nm m nn m

c H c Ecψ φ= ⇒ =∑ ∑ , 1,...n N=

nn oH ε= , , 1 2n nH V± = , 0nmH = όταν m n≠ , 1n ±

2 1 1ˆ ( )o n n n nH E c V c c Ecψ ψ ε − += ⇒ + + = , 1,...,n N=

Λύση: nikxi nnc ce ceϕ= ≡ , /k dϕ= , nx nd=

22 cosoE V kdε= +

2Nπϕ = , ...

2 2N N

= −

kd dπ π

− < ≤ 1η ζώνη Brillouin

Ένα ηλεκτρόνιο ανά άτομο F oE ε ε⇒ = ≡

Page 229: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

203

Ζώνη Αγωγιμότητας

ΧΑΣΜΑ

Ζώνη σθένους

Ζώνη Αγωγιμότητας

ΧΑΣΜΑ

Ζώνη σθένους

99. Μονοδιάστατο μοντέλο μονοστοιχειακού ‘ημιαγωγού’ (δύο τροχιακά ανά άτομο, s , xp , δύο ηλεκτρόνια ανά άτομο).

p s

2spV

2psV 2ssV

2ppV

n = 1,..., N

n -1 n n +1

pε sε

Άπειρη

αντίσταση για o0 KT =

exp2

gnn

B

ET

k Tλρ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2

26,5g p se

Em d

ε ε− −

Τροχιακά

ΑντιδεσμικάΔεσμικά

n -1 n n +1

Page 230: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

204

Page 231: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΕΠΙΛΟΓΟΣ: ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ‘ΑΝΘΡΩΠΙΚΗ ΑΡΧΗ’1

Από Στ. Τραχανά Η εμπειρική διαπίστωση ότι: Όλοι οι φυσικοί νόμοι (και όλες οι πλευρές της φυσικής πραγματικότητας του σύμπαντος στο οποίο ζούμε) είναι βιολογικά αναγκαίοι: Κανείς δεν θα μπορούσε να λείπει χωρίς να καταρρεύσει η αλυσίδα των προϋποθέσεων που κάνουν το φαινόμενο της ζωής δυνατό. Και δεν είναι μόνο η γενική μορφή των φυσικών νόμων που είναι βιολογικά η κατάλληλη αλλά και οι τιμές των θεμελιωδών φυσικών σταθερών οι οποίες υπεισέρχονται στη μαθηματική τους διατύπωση: Μια ασήμαντη αλλαγή στις αριθμητικές τιμές αυτών των σταθερών θα αρκούσε επίσης για να καταστρέψει τη ‘βιολογική καταλληλότητα’ του σύμπαντος μας.

Το φαινόμενο της ζωής φαίνεται να είναι το κατ’ εξοχήν κεντρικό φαινόμενο στο σύμπαν. Ένα φαινόμενο του οποίου η ύπαρξη προϋποθέτει τη συνέργεια όλων των φυσικών νόμων και όλων των πλευρών της φυσικής πραγματικότητας. Η δήλωση ότι ‘σ΄ αυτό το σύμπαν υπάρχει ζωή’ ίσως είναι η πιο περιεκτική εμπειρική δήλωση που μπορεί να κάνει κανείς για τον κόσμο μας. Μια δήλωση ενδεχομένως τόσο περιεκτική ώστε απ’ αυτήν και μόνο να μπορούσε να ‘συναχθει’ το πλήρες σύνολο των νόμων που τον διέπουν.

Συμπερασμα:

Ανθρωπική αρχή ≡ Η βιολογική καταλληλότητα των φυσικών νόμων.

1 Βλ. σχετικά το άρθρο του Στ. Τραχανά στη ‘Φυσική Σήμερα ΙΙ’ σελ. 381-420 Επίσης βλέπε το Quantum, Μάρτιος 1999, σελ. 4

Page 232: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

206

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΒΙΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΑΛΛΗΛΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟΥΣ ΦΥΣΙΚΟΥΣ

ΝΟΜΟΥΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΕΣ ΣΤΑΘΕΡΕΣ Το γενικό πλαίσιο μιας πλήρους φυσικής θεωρίας: Φυσικό σύμπαν ≡ Σωματίδια + Δυνάμεις

Νόμοι της κίνησης των σωματιδίων (Κβαντομηχανική+Σχετικότητα) Φυσικοί νόμοι Νόμοι των Θεμελιωδών Δυνάμεων Από το μικρόκοσμο στο μακρόκοσμο (Στατιστική Θερμοδυναμική) Μάζες θεμελιωδών σωματιδίων ( , , ,...e p nm m m ) Θεμελιώδεις Φυσικές Σταθερές Σταθερές ισχύος των θεμελιωδών δυνάμεων ( , ,...e G )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: Ο κβαντικός νόμος της κίνησης ≡ Η αρχή της αβεβαιότητας.

x pΔ Δ ≈i ,

α

m· /x a p aΔ ≈ ⇒ Δ ≈

2

22kEma

= Σε όσο μικρότερο χώρο είναι ‘στριμωγμένο’ ένα κβαντικό σωματίδιο τόσο μεγαλύτερη είναι η κινητική του ενέργεια

Τα άτομα είναι σταθερά ακριβώς διότι η περαιτέρω σμίκρυνση του μεγέθους τους θα προκαλούσε τεράστια αύξηση στην κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων τους. Γενικό συμπέρασμα: Χωρίς την αρχή της αβεβαιότητας (γενικότερα, χωρίς τους κβαντικούς νόμους της κίνησης) θα ήταν αδύνατη η ύπαρξη σταθερών ατόμων και μορίων δηλαδή ύλης με σταθερή και προβλέψιμη φυσικοχημική συμπεριφορά. Θα απουσίαζε δηλαδή η # 1 φυσική συνθήκη για την ύπαρξη ζωής. Ένα καθαρά κλασικό σύμπαν θα ήταν σίγουρα νεκρό σύμπαν.

Page 233: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

207

Η ΒΙΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΑΛΛΗΛΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ ΩΣ ‘ΣΚΑΝΔΑΛΟ’ ΠΟΥ ΖΗΤΑΕΙ ‘ΕΞΗΓΗΣΗ’

Α. Σε τι συνίσταται το ‘σκάνδαλο’ Ότι η ‘βιολογική κατάλληλη περιοχή’ μέσα στο σύνολο των επιτρεπόμενων τιμών των φυσικών σταθερών είναι τόσο αμελητέα μικρή ώστε αν αυτές οι τιμές επιλέγονταν τυχαία τότε ο κόσμος στον οποίο ζούμε θα ήταν αποτέλεσμα της πιο απίθανης ‘ζαριάς’. Είμαστε εδώ επειδή μια ‘κοσμική ρουλέτα’ -στο πρώτο και μοναδικό της παιχνίδι- έβγαλε αυτόν τον απίθανο συνδυασμό τιμών των φυσικών σταθερών. Εναλλακτικά θα έπρεπε να δεχτούμε ότι ‘κάποιος’ επέλεξε αυτές τις τιμές, οπότε το ‘σκάνδαλο’ είναι ακόμα μεγαλύτερο: Ποιος είναι αυτός και βάσει ποιού ‘σχεδίου’ τις επέλεξε; Β. … και οι πιθανές ‘εξηγήσεις’ του. Εξήγηση #1: Το σκάνδαλο δεν είναι σκάνδαλο (εκδοχή 1). Το πρόβλημα, όπως τίθεται, είναι ‘καθαρή μεταφυσική’ και δεν έχει θέση σε μια επιστημονική συζήτηση έστω και φιλοσοφικού ή επιστημολογικού χαρακτήρα. Μεταξύ άλλων διότι εισάγει στη Φυσική ένα τελεολογικό στοιχείο -ένα είδος σκοπού (την πορεία του σύμπαντος προς την αυτογνωσία)- από το οποίο είχαν απαλλαγεί προ πολλού οι Επιστήμες της Φύσης σίγουρα για το καλό τους. Με άλλα λόγια δεν είναι δουλειά μας να ρωτάμε ‘για ποιο λόγο είναι έτσι οι νόμοι της Φύσεως’ παρά μόνο να τους ανακαλύπτουμε και να τους διατυπώνουμε εν πλήρη επίγνωση της προσωρινότητάς τους. Όλα τα άλλα είναι μεταφυσικές ανοησίες. Εξήγηση #2: Το σκάνδαλο δεν είναι σκάνδαλο (εκδοχή 2). Ταυτόχρονα με το ‘δικό μας’ η Φύση δημιούργησε -όπως ήταν ‘υποχρεωμένη’(;)- όλα τα νοητά σύμπαντα που αντιστοιχούν στις δυνατές τιμές των φυσικών σταθερών που είναι επιτρεπτές από τους θεμελιώδεις φυσικούς νόμους. Δημιούργησε δηλαδή όλα τα ‘θεωρητικώς επιτρεπτά’ σύμπαντα και άρα μεταξύ αυτών και όλα εκείνα που έχουν τις βιολογικά κατάλληλες τιμές των φυσικών τους σταθερών και είναι επομένως ‘ικανά’ να φτάσουν στην αυτογνωσία. Κι εμείς συμβαίνει απλώς να ζούμε σε ένα από αυτά. Επιφορτισμένοι με το επιπλέον ‘καθήκον’ να συλλάβουμε και να ‘περιγράψουμε’ εκτός από το δικό μας και όλα τα άλλα ‘παράλληλα’ σύμπαντα! Εξήγηση #3: Το σκάνδαλο δεν είναι σκάνδαλο (εκδοχή 3). Η βιολογική μας ‘φαντασία’ είναι τόσο ‘δεσμευμένη’ από το μοναδικό ‘πείραμα ζωής’ που έχουμε μελετήσει -εκείνο της γήινης ζωής- ώστε μας είναι αδύνατο να συλλάβουμε όλες τις δυνατές εκδοχές του ‘φαινομένου’ κα επομένως να διερευνήσουμε αν είναι πραγματοποιήσιμες ή όχι σε τούτο ή σε άλλα από τα ‘επιτρεπόμενα’ σύμπαντα. Επομένως το σημερινό επίπεδο κατανόησής μας του ‘φαινομένου ζωής’ η ίδια η διαπίστωση περί ‘βιολογικής καταλληλότητας των φυσικών νόμων’ είναι πολύ πρόωρη και -κατά πάσα πιθανότητα- δεν θα επιζήσει μιας ωριμότερης επανεξέτασης στο μέλλον.

Page 234: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

208

Εξήγηση #4: Το ταλαντευόμενο (και μεταλλασσόμενο) σύμπαν. Αν ζούμε -όπως είναι πιθανό- σ’ ένα κλειστό και ταλαντευόμενο σύμπαν (όπου η διαστολή ακολουθείται από συστολή, έως την τελική σύνθλιψη, μια νέα μεγάλη έκρηξη κ.ο.κ.) -τότε είναι πολύ πιθανόν σε κάθε νέο ‘κύκλο ζωής’ του, το σύμπαν να ‘επιλέγει’ διαφορετικές τιμές των φυσικών του σταθερών και εμείς συμβαίνει να ζούμε σ’ εκείνο τον ‘κύκλο ζωής’ -ύστερα από άπειρους προηγούμενους του- στον οποίο οι φυσικές σταθερές συνέπεσε να έχουν τις τιμές που είναι συμβιβαστές με την ύπαρξή μας. (Σημείωση Οικονόμου: H υπόθεση κλειστού και ταλαντευόμενου Σύμπαντος απορρίπτεται από τα πρόσφατα παρατηρησιακά δεδομένα) Εξήγηση #5: Η ‘ισχυρή ανθρωπική αρχή’. Επειδή το σύμπαν είναι θεμελιωδώς κβαντικό -αν δεν ήταν, σίγουρα δεν θα ήμασταν εδώ με οποιαδήποτε εκλογή των φυσικών του σταθερών- και επειδή στην Κβαντομηχανική (σύμφωνα με μια ορισμένη ‘ανάγνωση’ του περιεχόμενού της) ο παρατηρητής ενός φαινομένου είναι ‘αναγκαίος’ για την πραγμάτωσή του, το σύμπαν δεν είναι δυνατόν να νοηθεί χωρίς την ύπαρξη -ή τη δυνατότητα ύπαρξης στο μέλλον- συνειδητών παρατηρητών ικανών να ‘παρατηρήσουν’ και να ‘καταγράψουν’ την ‘ιστορία’ του’ το παρόν, το παρελθόν και το μέλλον του. Το σύμπαν υπάρχει δια μέσου της παρατήρησής του από συνειδητούς παρατηρητές. Η ‘αυτογνωσία’ –ή καλύτερα, η δυνατότητα της αυτογνωσία- είναι συνθήκη ύπαρξης του σύμπαντος. Επομένως, τόσο οι φυσικοί νόμοι όσο και ο φυσικές σταθερές υποχρεούνται να έχουν εκείνη τη μορφή, και τις τιμές, που καθιστούν το φαινόμενο της ζωής δυνατόν. Πρέπει δηλαδή οι φυσικοί νόμοι να ‘συμπληρώνονται’ μ’ ένα είδος ‘υπερνόμου’ –ή ‘ανθρωπικής αρχής’; -ο οποίος υποχρεώνει τις απροσδιόριστες φυσικές σταθερές να πάρουν τις βιολογικά κατάλληλες τιμές τους. Εξήγηση #6: Η υπόθεση της ‘μοναδικότητας του κόσμου’.. Το σκάνδαλο της βιολογικής καταλληλότητας των φυσικών σταθερών θα εκλείψει αυτόματα αν υπάρξει μια τελική φυσική θεωρία στο πλαίσιο της οποίας οι τιμές αυτών των σταθερών δεν είναι αυθαίρετες, όπως σήμερα, αλλά έχουν προκαθορισμένες τιμές. Αν δηλαδή η φυσική θεωρία είναι τέτοια ώστε να επιτρέπει την ύπαρξη ενός και μοναδικού σύμπαντος τότε η βιολογική του καταλληλότητα δεν θα είναι προϊόν ‘τύχης’ ή σχεδιασμού αλλά υποχρεωτική, θα πρόκειται δηλαδή για ένα σύμπαν που δεν θα έχει άλλο τρόπο ύπαρξης από εκείνον που περιλαμβάνει, ως αναγκαία συνέπεια της εξέλιξής του, και το φαινόμενο της ζωής. Στο πλαίσιο μιας τέτοιας ‘τελικής θεωρίας’ -χωρίς απροσδιόριστες φυσικές σταθερές- η βιολογική καταλληλότητα του κόσμου μας θα είναι αναπόφευκτη συνέπεια της μοναδικότητάς του. Μεταξύ των άλλων μια τέτοια ‘τελική θεωρία’ θα πρέπει να εμπεριέχει την πλήρη ενοποίηση όλων των θεμελιωδών δυνάμεων της φύσης -ώστε να παύσουν να είναι ανεξάρτητες οι τιμές των ‘εντάσεών’ τους -αλλά, ενδεχομένως και την οργανική ενοποίηση μικρόκοσμου και μεγάκοσμου. Στο τέλος αυτής της διαδρομής ίσως μας περιμένει και η ανατροπή της πιο βασικής απ’ όλες τις ‘αρχές’ που συνόδευσαν την ανάπτυξη των Επιστημών της Φύσεως έως τώρα: την αρχή του αναγωγισμού. Ίσως η τελική εξήγηση του μυστηρίου της βιολογικής καταλληλότητας του κόσμου μας να ‘περνά’ από την εισαγωγή ενός ολιστικού στοιχείου στη μορφή των φυσικών νόμων. Την ενοποίηση του μέρους με το όλον. Μία διατύπωση των φυσικών νόμων και των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων που θα εμπεριέχει και την επίγνωση του ότι όλα λαμβάνουν χώρα σ’ ένα σύμπαν.

Page 235: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

209

…και ένα τελικό σχόλιο:

Πλάτωνος Νόμοι: [Παιδί μου, είσαι νέος· και ο χρόνος με το πέρασμά του θα σε κάνει, αφού αλλάξεις πολλά απ’ όσα τώρα παραδέχεσαι, να ακολουθήσεις τα αντίθετα.]

Page 236: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

210

Page 237: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ I. ΓΕΝΙΚΗ

1. Ε.Ν. Οικονόμου, ‘Η Φυσική Σήμερα’, Τόμος 1ος, 5η έκδοση (2003), Τόμος 2ος, 5η έκδοση (2004), ΠΕΚ, Ηράκλειο.

2. Στ. Τραχανά, ‘Κβαντομηχανική’ Ι, Νέα έκδοση (2005) ΠΕΚ, Ηράκλειο. 3. L.D. Landau-E.M. Lifshitz, ‘ Mechanics’, Τόμος 1ος, 3η έκδοση (1976),

Elsevier, Μεγάλη Βρετανία. 4. D. J. Griffiths, ‘Εισαγωγή στην Ηλεκτροδυναμική’, Τόμος Ι & ΙΙ, 1η

έκδοση (1996), ΠΕΚ, Ηράκλειο. 5. L.D. Landau-E.M. Lifshitz, ‘The classical theory of fields’, Τόμος 2, 2η

έκδοση (1962), Pergamon Press, Μεγάλη Βρετανία. 6. L.D. Landau-E.M. Lifshitz, ‘Electrodynamics of continuous media’,

Τόμος 8ος, 2η έκδοση (1984), Pergamon Press, Μεγάλη Βρετανία. 7. Ε. Ν. Οικονόμου, ‘Στατιστική Φυσική & Θερμοδυναμική’, 2η έκδοση

(2001), ΠΕΚ, Ηράκλειο. 8. F. Shu, ‘Αστροφυσική’, Τόμος Ι & ΙΙ, 1η έκδοση (1991), ΠΕΚ,

Ηράκλειο. 9. M. W. Zemansky & R. H. Dittman, ‘Heat and Thermodynamics’, 6η

έκδοση, Mc. Graw-Hill, Σιγκαπούρη. 10. J. L. Martin, ‘Γενική Σχετικότητα’, 1η έκδοση (2005), ΠΕΚ, Ηράκλειο 11. L.D. Landau-E.M. Lifshitz, ‘Theory of Elasticity’, Τόμος 7ος, 1η έκδοση

(1959), Pergamon Press, Μεγάλη Βρετανία. 12. L.D. Landau-E.M. Lifshitz, ‘Fluid Mechanics’, Τόμος 6ος, 1η έκδοση

(1959), Pergamon Press, Μεγάλη Βρετανία. 13. Ε. Ν. Οικονόμου, ‘Από τα άτομα στα Στερεά’ Ι & ΙΙ, 1η έκδοση (2000),

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμειο, Πάτρα. 14. P.C.W. Davies, ‘The accidental Universe’, 1η έκδοση (1982),

Cambridge Un. Press, Μεγάλη Βρετανία. 15. R. P. Feynman, et al., ‘The Feynman Lectures on Physics’, Addison-

Wesley (1965). 16. Gino Segre, ‘O Φάουστ στην Κοπεγχάγη’, 1η έκδοση (2009),

ΤΡΑΥΛΟΣ, Αθήνα. 17. Ph. Morrison & Ph. Morrison, ‘Powers of Ten’, 1η έκδοση (1982),

Scientific American Books, Η.Π.Α. IΙ. ΕΙΔΙΚΗ

1 Στοιχειώδη σωμάτια E. N. Οικονόμου, Η φυσική Σήμερα, Τόμος 2ος, 5η έκδοση (2004), ΠΕΚ, Ηράκλειο.

D. H. Perkins: Εισαγωγή στη Φυσική Υψηλών Ενεργειών’, 3η έκδοση (1987), τυπωθήτω, Αθήνα.

W.N. Cottingham and D. A. Greenwood, An introduction to the Standard Model, 2nd ed., Cambridge Un. Pess, 2007

Brian Green: The elegant Universe (εκλαϊκευτικό). 2 Πυρήνες

Ε.Ν. Οικονόμου. Η Φυσική Σήμερα, Τόμος 2ος, 5η έκδοση (2004), ΠΕΚ, Ηράκλειο, (και βιβλιογραφία).

A. Das, Th. Ferbel, Introduction to Nuclear and particle physics’. Ρ.Β. Leighton, Principles of Modern Physics, McGraw-Hill, 1959

Page 238: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

212

3 Άτομα Στ. Τραχανά, ‘Κβαντομηχανική’ Ι, Νέα έκδοση (2005) ΠΕΚ, Ηράκλειο. Κεφ. 7, 11, 15. Ιδιαίτερα σελ. 47, 61-68.

4 Μόρια Στ. Τραχανά, ‘Κβαντομηχανική’ Ι, Νέα έκδοση (2005), ΠΕΚ, Ηράκλειο. (Κεφ. 12), Ιδιαίτερα σελ. 255-271.

McMurry, ‘Oργανική Χημεία’, Κεφ. 1, Σελ. 1-35, Τόμος Ι, 1η έκδοση (1998), ΠΕΚ, Ηράκλειο.

5 Στερεά (Βλ. Γενική Βιβλιογραφία, Αρ. 2). Στ. Τραχανά ‘Κβαντομηχανική’ Ι, Νέα έκδοση (2005) ΠΕΚ, Ηράκλειο. (Κεφ. 13).

Ε. Ν. Οικονόμου: Φυσική Στερεάς Κατάστασης, Τόμος Ι & ΙΙ, 1η έκδοση (2003), ΠΕΚ, Ηράκλειο.

Ε.Ν. Οικονόμου (Γενική Βιβλιογραφία, Αρ. 13). 6 Πλανήτες

E. R. Cohen et al.: ‘AIP Physics Desk Reference, 3rd ed., Springer 2003.

7 Άστρα Ε. Ν. Οικονόμου, Η Φυσική Σήμερα, 2ος τόμος (ή το βιβλίο του Ξανθόπουλου)

Shu: Αστροφυσική, Τόμος Ι & ΙΙ, 1η έκδοση (1991), ΠΕΚ, Ηράκλειο.

B. W. Caroll and D. A. Ostlie, An introduction to modern astrophysics, Addison-Wesley, 2007

8 Αστροφυσική και Κοσμολογία Ε. Ν. Οικονόμου, Η Φυσική, Σήμερα 2ος τόμος, Έκδοση (2004), αναθεωρημένη

F. Shu, ‘Αστροφυσική’, Τόμος Ι & ΙΙ, 1η έκδοση (1991), ΠΕΚ, Ηράκλειο.

Lee Smolin, Τρεις δρόμοι προς την κβαντική βαρύτητα, Weidenfeld & Nicolson, 2000, Ελλ. Μετ. Εκδ. Κάτοπτρο, Αθήνα, 2002.

Black holes, Thermodynamics and information, άρθρο των D. A. Kitzhnits and V. P. Frolov.

Fang Li Zi & Li Shu Xian, ‘Creation of the Universe’ World Scientific, Singapore, 1989.

Β. Ξανθόπουλος ‘Περί αστέρων και Συμπάντων’, 6η έκδοση (1997), ΠΕΚ, Ηράκλειο.

B. W. Caroll and D. A. Ostlie, An introduction to modern astrophysics, Addison-Wesley, 2007.

Page 239: Aπό τα Quarks μέχρι το Σύμπανph403.edu.physics.uoc.gr/files/economou_notes2010.pdf · Πώς είναι φτιαγμένος ο Κόσμος ... δεν είναι

213

ΠΙΝΑΚΑΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΣΤΑΘΕΡΩΝ (Δεδομένα 2009) (Οι εντός παρενθέσεως αριθμοί δηλώνουν την τυπική απόκλιση στα δύο τελευταία ψηφία)

Ποσότητα Σύμβολο Τιμή (έτους 2008) Μονάδες / 2h π= ( ) 341 054 571 628 53 10. −× J s⋅

Planck constant over 2π ( ) 166.582 118 99 16 10−× eV s⋅

Velocity of light c 299 792 458 -1m s⋅ Gravitational constant G ( ) 116.674 28 67 10−× 3 -1 -2m kg s

Proton charge e ( ) 191.602 176 487 40 10−× C

Electron mass or em m ( ) 319.109 382 15 45 10−× kg

Proton mass pm ( ) 271.672 621 637 83 10−× kg

Neutron mass nm ( ) 271.674 927 211 84 10−× kg Atomic mass constant

( )12112 Cm um (or u ) ( ) 271.660 538 782 83 10−× kg

Vacuum permittivity 0e -128.854 187 817... 10× -1F m⋅ Vacuum permeability 0μ 74 10π −× -2N A⋅ Boltzmann constant Bk ( ) 231.380 6504 24 10−× -1J K⋅ Avogadro constant AN ( ) 236.022 141 79 30 10× -1mol

Fine-structure constant α * ( )( ) 1137.035 999 679 94

Magnetic flux quantum 0Φ* ( ) 152.067 833 667 52 10−× Wb

Quantum Hall resistance HR * ( )25 812.8075 80 Ω Bohr magneton Bμ

* ( ) 26927.400 915 23 10−× -1J T⋅ Nuclear magneton Nμ

* ( ) 275.050 783 24 13 10−× -1J T⋅ Electron magnetic

moment eμ ( )1.001 159 652 181 11 74− Bμ

Proton magnetic moment pμ ( )2.792 847 356 23 Nμ Neutron magnetic

moment nμ ( )1.913 042 73 45− Nμ

Gas constant A BR N k≡ ( )8.314 472 15 -1 -1J mol K⋅ ⋅ Bohr radius 2 2

04 /B ea m eπ≡ e ( ) 100.529 177 208 59 36 10−× m

* 20/ 4e cα π= e , 0 / 2h eΦ = , 2/HR h e≡ , / 2 eB e mμ ≡ , ( )/N Be pm mμ μ≡ (Όλα στο SI)

( )2 2 2

0 B // , / 2 , / , = / 2 (Όλα στο G-CGS) B e e N Be pm me c hc e a m e e m c,α μ μΦ μ ≡= = =