Annexes II-2 : Modèle de fluage Eurocode 2

Annexe II-2. Le modèle de fluage Eurocode 2.

Le modèle de fluage européen Eurocode 2 est réglementairement, le code de calcul à appliquer à tout élément en béton plein ou armé dans des conditions d'états limites de service en France (Norme NF P18-711-A, 1992). Pour les structures courantes, la vérification des déformations différées de fluage et de retrait ne semble pas toujours nécessaire. A l'inverse, lorsqu'il s'agit de structures particulièrement sensibles aux mécanismes différés, ces règles de calcul ne semblent pas toujours suffisantes (Article 2.5.1.5, AFNOR 2, 1992). Limites d'application du modèle

MPa60/50fMPa15/12 c ≤≤ (II-2.1)

cf%45 ×≤σ (II-2.2)%100RH%40 ≤≤ (II-2.3)

Durée minimale de cure du béton = jour5.0t 0 ≥ (II-2.4)Températures moyennes : T = 10 à 20°C (II-2.5) La déformation totale du béton inclut la déformation sous charge et les déformations induites hors chargement (retrait ou effet thermique , par exemple).

( )tε ( )tcε( )tshε ( )tthε

Déformation sous charge Parmi les déformations sous charge , on distingue la déformation élastique instantanée

due au chargement à l'âge du béton (éq.II-2.8) et la déformation différée de fluage (éq.II-2.12).

( )tcε( )teε 't( )tflε

( ) ( ) ( )t't,tJtc σ=ε (II-2.6)

( ) ( )( )

28ii E't,t

'tE1't,tJ φ+=

(II-2.7)

( ) ( )( )'tEtt

ie

σ=ε (II-2.8)

Où est la raideur tangente instantanée à l'âge du béton au chargement (éq.II-2.9). ( )'tEi 't

( ) ( )3cji 'tf9975'tE ×= (II-2.9)

Avec l'estimation possible de la résistance au temps : 't

( ) ( )'t/281sccj ef'tf −×= (II-2.10)

331

Avec :

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

20.025.038.0

s Pour les ciments à prise lente S Pour les ciments à prise normale ou rapide (N ou R) Pour les ciments à prise rapide et haute résistance (RS)

(II-2.11)

Et cf , la résistance moyenne de caractérisation du béton à 28 jours. Déformation de fluage La déformation de fluage est obtenue d'après le coefficient de fluage ( )tflε ( 't,t )φ et la raideur tangente conventionnelle à 28 jours du béton 28iE .

( ) ( ) ( )tE

't,tt28i

fl σφ=ε (II-2.12)

Le coefficient de fluage ( 't,t )φ (éq.II-2.13) dépend d'un coefficient de fluage fictif 0φ (éq.II-2.14) et d'une fonction ( 'ttc − )β quantifiant l'amplitude de la déformation en fonction de la durée du chargement (éq.II-2.21). ( 'tt − )

)

( ) ( 'tt't,t c0 −β×φ=φ (II-2.13)

( ) ( )'tf cRH0 β×β×φ=φ (II-2.14)

Le facteur RHφ tient compte de l'humidité relative (éqs.II-2.15 & II-2.16) en fonction du rayon moyen de la pièce (en mm) qui est calculé par le rapport de la section transversale

sur le périmètre en contact avec l'air ambiant (éq.II-2.17). Pour un cylindre, le rayon moyen est déterminé par l'équation II-2.18 (voir figure).

RH

0h

cA u

0h = u (mm) = A (mmc

2)

h0

Figure : Représentation du rayon moyen 0h .

332

Annexes II-2 : Modèle de fluage Eurocode 2

30

RH h10.0100/RH11

×−+=φ pour MPa35fc ≤

(II-2.15)

213

0RH h10.0

100/RH11 α×⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡α×

×−+=φ pour MPa35fc >

(II-2.16)

21,αα sont deux coefficients fonction de la résistance du béton, définis en II-2.23.

uA

2h c0 ×= (en mm)

(II-2.17)

rr2

r2h2

0 =×π××π×= (pour un cylindre)

(II-2.18)

Les deux paramètres ( )cfβ et ( )'tβ sont respectivement liés à la résistance du béton cf et l'âge du béton au moment du chargement ' (éqs.II-2.19 & II-2.20). t

( )c

cf

8.16f =β (II-2.19)

( )( ) 20.0't1.01't

+=β

(II-2.20)

( ) ( )( )

3.0

Hc 'tt

'tt'tt ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+β

−=−β (II-2.21)

Avec Hβ , un coefficient lié à l'humidité relative et au rayon moyen de l'élément de béton.

( )[ ] 250hRH012.015.1 018

H +××+×=β

avec : 1500H ≤β pour MPa35fc ≤ (II-2.22)

( )[ ] 30

18H 250hRH012.015.1 α×+××+×=β

avec : 3H 1500 α×≤β pour MPa35fc > (II-2.23)

3α est un coefficient relatif à la résistance du béton, défini en II-2.24.

Les coefficients , et pondèrent les valeurs des facteurs 1α 2α 3α RHφ et Hβ en fonction de la résistance du béton (Comité Européen de Normalisation, 2001(Annexe A)).

[ ] 7.0c1 f/35=α [ ] 2.0

c2 f/35=α [ ] 5.0c3 f/35=α (II-2.24)

333

Le type de ciment peut influencer la raideur du matériau en fonction de sa vitesse de prise. Un exposant est alors introduit pour rétablir l'âge du béton (éq.II-2.26). α 't

( )'t

't291't 2.1 ×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++=

α

avec : jour 5.0't ≥(II-2.25)

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=α

10

1

Pour les ciments à prise lente S Pour les ciments à prise normale ou rapide (N ou R) Pour les ciments à prise rapide et haute résistance (RS)

(II-2.26)

Déformation de retrait La déformation de retrait est initiée au terme de la cure au temps (éq.II-2.27). Son expression est fonction d'un coefficient de retrait fictif (éq.II-2.28) et d'une fonction d'évolution du retrait au cours du temps

( )tshε 0t

csoε( 0s tt − )β (éq.II-2.33).

( ) ( )0scsosh ttt −β×ε=ε (II-2.27)

La déformation de retrait fictif dépend de multiples facteurs (éq.II-2.28). Le terme csoε ( )cs fε considère l'influence de la résistance du béton sur le retrait (éq.II-2.29) ; scβ caractérisant le type de ciment (éq.II-2.30). Quant au terme RHβ , il prend en compte l'humidité relative du milieu ambiant RH (éq.II-2.31).

( ) RHcscso f β×ε=ε (II-2.28)

( ) ( )[ ] 6

csccs 10f90160f −×−×β+=ε (II-2.29)

Avec :

⎪⎩

⎪⎨

⎧=β

854

sc Pour les ciments à prise lente S Pour les ciments à prise normale ou rapide (N ou R) Pour les ciments à prise rapide et haute résistance (RS)

(II-2.30)

⎩⎨⎧ β×−

=β25.0

55.1 sRHRH

Pour (Stockage en air) %99RH%40 <≤Pour (immersion dans l'eau) %99RH ≥

(II-2.31)

Avec :

3

sRH 100RH1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=β

(II-2.32)

334

Annexes II-2 : Modèle de fluage Eurocode 2

)La fonction d'évolution du retrait ( 0s tt −β est reliée au rayon moyen de l'élément (éq.II-

2.17) en fonction de la durée de retrait . 0h

( )0tt −

( ) ( )( ) ( )

2/1

02

0

00s tth035.0

tttt

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+×−

=−β (II-2.33)

Spécification pour les contraintes du domaine non-linéaire de comportement. A très long terme, un coefficient de fluage ( 't,∞ )φ est proposé pour considérer le fluage jusqu'à 70 ans. Des tables de valeurs pour ce terme sont répertoriées dans le règlement Eurocode 2. Lorsque les contraintes excédent , ce coefficient de fluage ultime est pondéré par le ratio de contrainte .

( ) ( )'tf%45t cj×≥σ

σk

( ) ( ) ( )( )45.0k5.1exp't,'t, −×∞φ=∞φ σ (II-2.34)

( )( )'tftk

cj

σ=σ (II-2.35)

Note sur l'effet des variations de température. Pour considérer les variations de température durant la vie de l’ouvrage, la déformation de fluage est calculée à partir de temps équivalents. On remplacera alors et par : t 't

- = Age (en jours) corrigé du béton en fonction de la température au chargement. T,'t- = Age(en jours) corrigé du béton en fonction de la température. T,t- = nombre de jours où une température prédomine. t∆

335

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