Analisis Funcional

Tema 6: Espacios de Hilbert

2-7-8-9 de noviembre

1 Definicion y ejemplos

2 Identidad del paralelogramo

3 Aproximacion y ortogonalidad

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas sexquilineales

Formas sexquilineales

X espacio vectorial. Una forma sexquilineal en X

es una aplicacion ϕ : X ×X →K , que verifica dos condiciones:

Es lineal en la primera variable, es decir:

ϕ(λx+ z , y) = λϕ(x , y)+ϕ(z , y) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Es conjugado-lineal en la segunda variable, es decir:

ϕ(x , λy+ z) = λϕ(x , y)+ϕ(x , z) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Si K = R : forma sexquilineal = forma bilineal

La forma sexquilineal ϕ es hermıtica cuando: ϕ(y , x) = ϕ(x , y) ∀x,y ∈ X

Se tiene entonces ϕ(x,x) ∈ R ∀x ∈ X

Si K = R : forma sexquilineal hermıtica = forma bilineal simetrica

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas sexquilineales

Formas sexquilineales

X espacio vectorial. Una forma sexquilineal en X

es una aplicacion ϕ : X ×X →K , que verifica dos condiciones:

Es lineal en la primera variable, es decir:

ϕ(λx+ z , y) = λϕ(x , y)+ϕ(z , y) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Es conjugado-lineal en la segunda variable, es decir:

ϕ(x , λy+ z) = λϕ(x , y)+ϕ(x , z) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Si K = R : forma sexquilineal = forma bilineal

La forma sexquilineal ϕ es hermıtica cuando: ϕ(y , x) = ϕ(x , y) ∀x,y ∈ X

Se tiene entonces ϕ(x,x) ∈ R ∀x ∈ X

Si K = R : forma sexquilineal hermıtica = forma bilineal simetrica

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas sexquilineales

Formas sexquilineales

X espacio vectorial. Una forma sexquilineal en X

es una aplicacion ϕ : X ×X →K , que verifica dos condiciones:

Es lineal en la primera variable, es decir:

ϕ(λx+ z , y) = λϕ(x , y)+ϕ(z , y) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Es conjugado-lineal en la segunda variable, es decir:

ϕ(x , λy+ z) = λϕ(x , y)+ϕ(x , z) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Si K = R : forma sexquilineal = forma bilineal

La forma sexquilineal ϕ es hermıtica cuando: ϕ(y , x) = ϕ(x , y) ∀x,y ∈ X

Se tiene entonces ϕ(x,x) ∈ R ∀x ∈ X

Si K = R : forma sexquilineal hermıtica = forma bilineal simetrica

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas sexquilineales

Formas sexquilineales

X espacio vectorial. Una forma sexquilineal en X

es una aplicacion ϕ : X ×X →K , que verifica dos condiciones:

Es lineal en la primera variable, es decir:

ϕ(λx+ z , y) = λϕ(x , y)+ϕ(z , y) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Es conjugado-lineal en la segunda variable, es decir:

ϕ(x , λy+ z) = λϕ(x , y)+ϕ(x , z) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Si K = R : forma sexquilineal = forma bilineal

La forma sexquilineal ϕ es hermıtica cuando: ϕ(y , x) = ϕ(x , y) ∀x,y ∈ X

Se tiene entonces ϕ(x,x) ∈ R ∀x ∈ X

Si K = R : forma sexquilineal hermıtica = forma bilineal simetrica

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas sexquilineales

Formas sexquilineales

X espacio vectorial. Una forma sexquilineal en X

es una aplicacion ϕ : X ×X →K , que verifica dos condiciones:

Es lineal en la primera variable, es decir:

ϕ(λx+ z , y) = λϕ(x , y)+ϕ(z , y) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Es conjugado-lineal en la segunda variable, es decir:

ϕ(x , λy+ z) = λϕ(x , y)+ϕ(x , z) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Si K = R : forma sexquilineal = forma bilineal

La forma sexquilineal ϕ es hermıtica cuando: ϕ(y , x) = ϕ(x , y) ∀x,y ∈ X

Se tiene entonces ϕ(x,x) ∈ R ∀x ∈ X

Si K = R : forma sexquilineal hermıtica = forma bilineal simetrica

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas sexquilineales

Formas sexquilineales

X espacio vectorial. Una forma sexquilineal en X

es una aplicacion ϕ : X ×X →K , que verifica dos condiciones:

Es lineal en la primera variable, es decir:

ϕ(λx+ z , y) = λϕ(x , y)+ϕ(z , y) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Es conjugado-lineal en la segunda variable, es decir:

ϕ(x , λy+ z) = λϕ(x , y)+ϕ(x , z) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Si K = R : forma sexquilineal = forma bilineal

La forma sexquilineal ϕ es hermıtica cuando: ϕ(y , x) = ϕ(x , y) ∀x,y ∈ X

Se tiene entonces ϕ(x,x) ∈ R ∀x ∈ X

Si K = R : forma sexquilineal hermıtica = forma bilineal simetrica

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas sexquilineales

Formas sexquilineales

X espacio vectorial. Una forma sexquilineal en X

es una aplicacion ϕ : X ×X →K , que verifica dos condiciones:

Es lineal en la primera variable, es decir:

ϕ(λx+ z , y) = λϕ(x , y)+ϕ(z , y) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Es conjugado-lineal en la segunda variable, es decir:

ϕ(x , λy+ z) = λϕ(x , y)+ϕ(x , z) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Si K = R : forma sexquilineal = forma bilineal

La forma sexquilineal ϕ es hermıtica cuando: ϕ(y , x) = ϕ(x , y) ∀x,y ∈ X

Se tiene entonces ϕ(x,x) ∈ R ∀x ∈ X

Si K = R : forma sexquilineal hermıtica = forma bilineal simetrica

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas sexquilineales

Formas sexquilineales

X espacio vectorial. Una forma sexquilineal en X

es una aplicacion ϕ : X ×X →K , que verifica dos condiciones:

Es lineal en la primera variable, es decir:

ϕ(λx+ z , y) = λϕ(x , y)+ϕ(z , y) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Es conjugado-lineal en la segunda variable, es decir:

ϕ(x , λy+ z) = λϕ(x , y)+ϕ(x , z) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Si K = R : forma sexquilineal = forma bilineal

La forma sexquilineal ϕ es hermıtica cuando: ϕ(y , x) = ϕ(x , y) ∀x,y ∈ X

Se tiene entonces ϕ(x,x) ∈ R ∀x ∈ X

Si K = R : forma sexquilineal hermıtica = forma bilineal simetrica

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas sexquilineales

Formas sexquilineales

X espacio vectorial. Una forma sexquilineal en X

es una aplicacion ϕ : X ×X →K , que verifica dos condiciones:

Es lineal en la primera variable, es decir:

ϕ(λx+ z , y) = λϕ(x , y)+ϕ(z , y) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Es conjugado-lineal en la segunda variable, es decir:

ϕ(x , λy+ z) = λϕ(x , y)+ϕ(x , z) ∀x,y,z ∈ X , ∀λ ∈K

Si K = R : forma sexquilineal = forma bilineal

La forma sexquilineal ϕ es hermıtica cuando: ϕ(y , x) = ϕ(x , y) ∀x,y ∈ X

Se tiene entonces ϕ(x,x) ∈ R ∀x ∈ X

Si K = R : forma sexquilineal hermıtica = forma bilineal simetrica

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas cuadraticas: polarizacion

Formas cuadraticas

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

la aplicacion Q : X → R dada por Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

es la forma cuadratica asociada a ϕ

Por tanto, una aplicacion Q : X → R es una forma cuadratica, cuando

existe una forma sexquilineal hermıtica ϕ en X , con Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

Identidad de polarizacion

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

y Q es la forma cuadratica asociada a ϕ , entonces:

4 Re ϕ(x,y) = Q(x+ y)−Q(x− y) ∀x,y ∈ X

Por tanto, ϕ es la unica forma sexquilineal hermıtica

cuya forma cuadratica asociada es Q

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas cuadraticas: polarizacion

Formas cuadraticas

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

la aplicacion Q : X → R dada por Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

es la forma cuadratica asociada a ϕ

Por tanto, una aplicacion Q : X → R es una forma cuadratica, cuando

existe una forma sexquilineal hermıtica ϕ en X , con Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

Identidad de polarizacion

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

y Q es la forma cuadratica asociada a ϕ , entonces:

4 Re ϕ(x,y) = Q(x+ y)−Q(x− y) ∀x,y ∈ X

Por tanto, ϕ es la unica forma sexquilineal hermıtica

cuya forma cuadratica asociada es Q

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas cuadraticas: polarizacion

Formas cuadraticas

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

la aplicacion Q : X → R dada por Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

es la forma cuadratica asociada a ϕ

Por tanto, una aplicacion Q : X → R es una forma cuadratica, cuando

existe una forma sexquilineal hermıtica ϕ en X , con Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

Identidad de polarizacion

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

y Q es la forma cuadratica asociada a ϕ , entonces:

4 Re ϕ(x,y) = Q(x+ y)−Q(x− y) ∀x,y ∈ X

Por tanto, ϕ es la unica forma sexquilineal hermıtica

cuya forma cuadratica asociada es Q

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas cuadraticas: polarizacion

Formas cuadraticas

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

la aplicacion Q : X → R dada por Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

es la forma cuadratica asociada a ϕ

Por tanto, una aplicacion Q : X → R es una forma cuadratica, cuando

existe una forma sexquilineal hermıtica ϕ en X , con Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

Identidad de polarizacion

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

y Q es la forma cuadratica asociada a ϕ , entonces:

4 Re ϕ(x,y) = Q(x+ y)−Q(x− y) ∀x,y ∈ X

Por tanto, ϕ es la unica forma sexquilineal hermıtica

cuya forma cuadratica asociada es Q

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas cuadraticas: polarizacion

Formas cuadraticas

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

la aplicacion Q : X → R dada por Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

es la forma cuadratica asociada a ϕ

Por tanto, una aplicacion Q : X → R es una forma cuadratica, cuando

existe una forma sexquilineal hermıtica ϕ en X , con Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

Identidad de polarizacion

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

y Q es la forma cuadratica asociada a ϕ , entonces:

4 Re ϕ(x,y) = Q(x+ y)−Q(x− y) ∀x,y ∈ X

Por tanto, ϕ es la unica forma sexquilineal hermıtica

cuya forma cuadratica asociada es Q

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas cuadraticas: polarizacion

Formas cuadraticas

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

la aplicacion Q : X → R dada por Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

es la forma cuadratica asociada a ϕ

Por tanto, una aplicacion Q : X → R es una forma cuadratica, cuando

existe una forma sexquilineal hermıtica ϕ en X , con Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

Identidad de polarizacion

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

y Q es la forma cuadratica asociada a ϕ , entonces:

4 Re ϕ(x,y) = Q(x+ y)−Q(x− y) ∀x,y ∈ X

Por tanto, ϕ es la unica forma sexquilineal hermıtica

cuya forma cuadratica asociada es Q

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas cuadraticas: polarizacion

Formas cuadraticas

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

la aplicacion Q : X → R dada por Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

es la forma cuadratica asociada a ϕ

Por tanto, una aplicacion Q : X → R es una forma cuadratica, cuando

existe una forma sexquilineal hermıtica ϕ en X , con Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

Identidad de polarizacionSi ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

y Q es la forma cuadratica asociada a ϕ , entonces:

4 Re ϕ(x,y) = Q(x+ y)−Q(x− y) ∀x,y ∈ X

Por tanto, ϕ es la unica forma sexquilineal hermıtica

cuya forma cuadratica asociada es Q

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas cuadraticas: polarizacion

Formas cuadraticas

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

la aplicacion Q : X → R dada por Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

es la forma cuadratica asociada a ϕ

Por tanto, una aplicacion Q : X → R es una forma cuadratica, cuando

existe una forma sexquilineal hermıtica ϕ en X , con Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

Identidad de polarizacionSi ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

y Q es la forma cuadratica asociada a ϕ , entonces:

4 Re ϕ(x,y) = Q(x+ y)−Q(x− y) ∀x,y ∈ X

Por tanto, ϕ es la unica forma sexquilineal hermıtica

cuya forma cuadratica asociada es Q

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Formas cuadraticas: polarizacion

Formas cuadraticas

Si ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

la aplicacion Q : X → R dada por Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

es la forma cuadratica asociada a ϕ

Por tanto, una aplicacion Q : X → R es una forma cuadratica, cuando

existe una forma sexquilineal hermıtica ϕ en X , con Q(x) = ϕ(x,x) ∀x ∈ X

Identidad de polarizacionSi ϕ es una forma sexquilineal hermıtica en un espacio vectorial X

y Q es la forma cuadratica asociada a ϕ , entonces:

4 Re ϕ(x,y) = Q(x+ y)−Q(x− y) ∀x,y ∈ X

Por tanto, ϕ es la unica forma sexquilineal hermıtica

cuya forma cuadratica asociada es Q

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Formas cuadraticas positivas

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es positiva cuando: Q(x) ∈ R+0 ∀x ∈ X

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

X espacio vectorial, ϕ forma sexquilineal hermıtica en X tal que

la forma cuadratica Q asociada a ϕ es positiva. Entonces:∣∣ϕ(x,y)∣∣ 6 Q(x)1/2 Q(y)1/2 ∀x,y ∈ X

Como consecuencia, la funcion x 7→ Q(x)1/2 es una seminorma en X

Forma cuadratica definida positiva

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es definida positiva cuando: Q(x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Formas cuadraticas positivas

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es positiva cuando: Q(x) ∈ R+0 ∀x ∈ X

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

X espacio vectorial, ϕ forma sexquilineal hermıtica en X tal que

la forma cuadratica Q asociada a ϕ es positiva. Entonces:∣∣ϕ(x,y)∣∣ 6 Q(x)1/2 Q(y)1/2 ∀x,y ∈ X

Como consecuencia, la funcion x 7→ Q(x)1/2 es una seminorma en X

Forma cuadratica definida positiva

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es definida positiva cuando: Q(x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Formas cuadraticas positivas

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es positiva cuando: Q(x) ∈ R+0 ∀x ∈ X

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

X espacio vectorial, ϕ forma sexquilineal hermıtica en X tal que

la forma cuadratica Q asociada a ϕ es positiva. Entonces:∣∣ϕ(x,y)∣∣ 6 Q(x)1/2 Q(y)1/2 ∀x,y ∈ X

Como consecuencia, la funcion x 7→ Q(x)1/2 es una seminorma en X

Forma cuadratica definida positiva

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es definida positiva cuando: Q(x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Formas cuadraticas positivas

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es positiva cuando: Q(x) ∈ R+0 ∀x ∈ X

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

X espacio vectorial, ϕ forma sexquilineal hermıtica en X tal que

la forma cuadratica Q asociada a ϕ es positiva. Entonces:∣∣ϕ(x,y)∣∣ 6 Q(x)1/2 Q(y)1/2 ∀x,y ∈ X

Como consecuencia, la funcion x 7→ Q(x)1/2 es una seminorma en X

Forma cuadratica definida positiva

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es definida positiva cuando: Q(x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Formas cuadraticas positivas

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es positiva cuando: Q(x) ∈ R+0 ∀x ∈ X

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

X espacio vectorial, ϕ forma sexquilineal hermıtica en X tal que

la forma cuadratica Q asociada a ϕ es positiva. Entonces:∣∣ϕ(x,y)∣∣ 6 Q(x)1/2 Q(y)1/2 ∀x,y ∈ X

Como consecuencia, la funcion x 7→ Q(x)1/2 es una seminorma en X

Forma cuadratica definida positiva

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es definida positiva cuando: Q(x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Formas cuadraticas positivas

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es positiva cuando: Q(x) ∈ R+0 ∀x ∈ X

Desigualdad de Cauchy-SchwartzX espacio vectorial, ϕ forma sexquilineal hermıtica en X tal que

la forma cuadratica Q asociada a ϕ es positiva. Entonces:

∣∣ϕ(x,y)∣∣ 6 Q(x)1/2 Q(y)1/2 ∀x,y ∈ X

Como consecuencia, la funcion x 7→ Q(x)1/2 es una seminorma en X

Forma cuadratica definida positiva

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es definida positiva cuando: Q(x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Formas cuadraticas positivas

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es positiva cuando: Q(x) ∈ R+0 ∀x ∈ X

Desigualdad de Cauchy-SchwartzX espacio vectorial, ϕ forma sexquilineal hermıtica en X tal que

la forma cuadratica Q asociada a ϕ es positiva. Entonces:∣∣ϕ(x,y)∣∣ 6 Q(x)1/2 Q(y)1/2 ∀x,y ∈ X

Como consecuencia, la funcion x 7→ Q(x)1/2 es una seminorma en X

Forma cuadratica definida positiva

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es definida positiva cuando: Q(x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Formas cuadraticas positivas

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es positiva cuando: Q(x) ∈ R+0 ∀x ∈ X

Desigualdad de Cauchy-SchwartzX espacio vectorial, ϕ forma sexquilineal hermıtica en X tal que

la forma cuadratica Q asociada a ϕ es positiva. Entonces:∣∣ϕ(x,y)∣∣ 6 Q(x)1/2 Q(y)1/2 ∀x,y ∈ X

Como consecuencia, la funcion x 7→ Q(x)1/2 es una seminorma en X

Forma cuadratica definida positiva

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es definida positiva cuando: Q(x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Formas cuadraticas positivas

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es positiva cuando: Q(x) ∈ R+0 ∀x ∈ X

Desigualdad de Cauchy-SchwartzX espacio vectorial, ϕ forma sexquilineal hermıtica en X tal que

la forma cuadratica Q asociada a ϕ es positiva. Entonces:∣∣ϕ(x,y)∣∣ 6 Q(x)1/2 Q(y)1/2 ∀x,y ∈ X

Como consecuencia, la funcion x 7→ Q(x)1/2 es una seminorma en X

Forma cuadratica definida positiva

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es definida positiva cuando: Q(x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Formas cuadraticas positivas

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es positiva cuando: Q(x) ∈ R+0 ∀x ∈ X

Desigualdad de Cauchy-SchwartzX espacio vectorial, ϕ forma sexquilineal hermıtica en X tal que

la forma cuadratica Q asociada a ϕ es positiva. Entonces:∣∣ϕ(x,y)∣∣ 6 Q(x)1/2 Q(y)1/2 ∀x,y ∈ X

Como consecuencia, la funcion x 7→ Q(x)1/2 es una seminorma en X

Forma cuadratica definida positiva

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es definida positiva cuando: Q(x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Formas cuadraticas positivas

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es positiva cuando: Q(x) ∈ R+0 ∀x ∈ X

Desigualdad de Cauchy-SchwartzX espacio vectorial, ϕ forma sexquilineal hermıtica en X tal que

la forma cuadratica Q asociada a ϕ es positiva. Entonces:∣∣ϕ(x,y)∣∣ 6 Q(x)1/2 Q(y)1/2 ∀x,y ∈ X

Como consecuencia, la funcion x 7→ Q(x)1/2 es una seminorma en X

Forma cuadratica definida positiva

X espacio vectorial, Q forma cuadratica en X

Q es definida positiva cuando: Q(x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Producto escalar

Espacios pre-hilbertianos

Un producto escalar en un espacio vectorial X es una forma sexquilineal

hermıtica en X , cuya forma cuadratica asociada es definida positiva

Se denota por (x,y) 7→ (x |y) para x,y ∈ X , y verifica:

(αx + z |y) = α(x |y) + (z |y) ∀x,y,z ∈ X , ∀α ∈K(y |x) = (x |y) ∀x,y ∈ X

(x |x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Un espacio pre-hilbertiano es un espacio vectorial X ,

dotado de un producto escalar

Se considera como espacio normado con: ‖x‖ = (x |x)1/2 ∀x ∈ X

El producto escalar esta determinado por la norma:

Identidad de polarizacion: 4 Re(x |y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 ∀x,y ∈ X

Y otro espacio pre-hilbertiano, T : X → Y lineal:

‖T (x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X ⇐⇒ (T (x) |T (z)) = (x |z) ∀x,z ∈ X

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Producto escalar

Espacios pre-hilbertianos

Un producto escalar en un espacio vectorial X es una forma sexquilineal

hermıtica en X , cuya forma cuadratica asociada es definida positiva

Se denota por (x,y) 7→ (x |y) para x,y ∈ X , y verifica:

(αx + z |y) = α(x |y) + (z |y) ∀x,y,z ∈ X , ∀α ∈K(y |x) = (x |y) ∀x,y ∈ X

(x |x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Un espacio pre-hilbertiano es un espacio vectorial X ,

dotado de un producto escalar

Se considera como espacio normado con: ‖x‖ = (x |x)1/2 ∀x ∈ X

El producto escalar esta determinado por la norma:

Identidad de polarizacion: 4 Re(x |y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 ∀x,y ∈ X

Y otro espacio pre-hilbertiano, T : X → Y lineal:

‖T (x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X ⇐⇒ (T (x) |T (z)) = (x |z) ∀x,z ∈ X

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Producto escalar

Espacios pre-hilbertianos

Un producto escalar en un espacio vectorial X es una forma sexquilineal

hermıtica en X , cuya forma cuadratica asociada es definida positiva

Se denota por (x,y) 7→ (x |y) para x,y ∈ X , y verifica:

(αx + z |y) = α(x |y) + (z |y) ∀x,y,z ∈ X , ∀α ∈K(y |x) = (x |y) ∀x,y ∈ X

(x |x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Un espacio pre-hilbertiano es un espacio vectorial X ,

dotado de un producto escalar

Se considera como espacio normado con: ‖x‖ = (x |x)1/2 ∀x ∈ X

El producto escalar esta determinado por la norma:

Identidad de polarizacion: 4 Re(x |y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 ∀x,y ∈ X

Y otro espacio pre-hilbertiano, T : X → Y lineal:

‖T (x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X ⇐⇒ (T (x) |T (z)) = (x |z) ∀x,z ∈ X

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Producto escalar

Espacios pre-hilbertianos

Un producto escalar en un espacio vectorial X es una forma sexquilineal

hermıtica en X , cuya forma cuadratica asociada es definida positiva

Se denota por (x,y) 7→ (x |y) para x,y ∈ X , y verifica:

(αx + z |y) = α(x |y) + (z |y) ∀x,y,z ∈ X , ∀α ∈K(y |x) = (x |y) ∀x,y ∈ X

(x |x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Un espacio pre-hilbertiano es un espacio vectorial X ,

dotado de un producto escalar

Se considera como espacio normado con: ‖x‖ = (x |x)1/2 ∀x ∈ X

El producto escalar esta determinado por la norma:

Identidad de polarizacion: 4 Re(x |y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 ∀x,y ∈ X

Y otro espacio pre-hilbertiano, T : X → Y lineal:

‖T (x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X ⇐⇒ (T (x) |T (z)) = (x |z) ∀x,z ∈ X

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Producto escalar

Espacios pre-hilbertianos

Un producto escalar en un espacio vectorial X es una forma sexquilineal

hermıtica en X , cuya forma cuadratica asociada es definida positiva

Se denota por (x,y) 7→ (x |y) para x,y ∈ X , y verifica:

(αx + z |y) = α(x |y) + (z |y) ∀x,y,z ∈ X , ∀α ∈K

(y |x) = (x |y) ∀x,y ∈ X

(x |x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Un espacio pre-hilbertiano es un espacio vectorial X ,

dotado de un producto escalar

Se considera como espacio normado con: ‖x‖ = (x |x)1/2 ∀x ∈ X

El producto escalar esta determinado por la norma:

Identidad de polarizacion: 4 Re(x |y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 ∀x,y ∈ X

Y otro espacio pre-hilbertiano, T : X → Y lineal:

‖T (x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X ⇐⇒ (T (x) |T (z)) = (x |z) ∀x,z ∈ X

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Producto escalar

Espacios pre-hilbertianos

Un producto escalar en un espacio vectorial X es una forma sexquilineal

hermıtica en X , cuya forma cuadratica asociada es definida positiva

Se denota por (x,y) 7→ (x |y) para x,y ∈ X , y verifica:

(αx + z |y) = α(x |y) + (z |y) ∀x,y,z ∈ X , ∀α ∈K(y |x) = (x |y) ∀x,y ∈ X

(x |x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Un espacio pre-hilbertiano es un espacio vectorial X ,

dotado de un producto escalar

Se considera como espacio normado con: ‖x‖ = (x |x)1/2 ∀x ∈ X

El producto escalar esta determinado por la norma:

Identidad de polarizacion: 4 Re(x |y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 ∀x,y ∈ X

Y otro espacio pre-hilbertiano, T : X → Y lineal:

‖T (x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X ⇐⇒ (T (x) |T (z)) = (x |z) ∀x,z ∈ X

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Producto escalar

Espacios pre-hilbertianos

Un producto escalar en un espacio vectorial X es una forma sexquilineal

hermıtica en X , cuya forma cuadratica asociada es definida positiva

Se denota por (x,y) 7→ (x |y) para x,y ∈ X , y verifica:

(αx + z |y) = α(x |y) + (z |y) ∀x,y,z ∈ X , ∀α ∈K(y |x) = (x |y) ∀x,y ∈ X

(x |x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Un espacio pre-hilbertiano es un espacio vectorial X ,

dotado de un producto escalar

Se considera como espacio normado con: ‖x‖ = (x |x)1/2 ∀x ∈ X

El producto escalar esta determinado por la norma:

Identidad de polarizacion: 4 Re(x |y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 ∀x,y ∈ X

Y otro espacio pre-hilbertiano, T : X → Y lineal:

‖T (x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X ⇐⇒ (T (x) |T (z)) = (x |z) ∀x,z ∈ X

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Producto escalar

Espacios pre-hilbertianos

Un producto escalar en un espacio vectorial X es una forma sexquilineal

hermıtica en X , cuya forma cuadratica asociada es definida positiva

Se denota por (x,y) 7→ (x |y) para x,y ∈ X , y verifica:

(αx + z |y) = α(x |y) + (z |y) ∀x,y,z ∈ X , ∀α ∈K(y |x) = (x |y) ∀x,y ∈ X

(x |x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Un espacio pre-hilbertiano es un espacio vectorial X ,

dotado de un producto escalar

Se considera como espacio normado con: ‖x‖ = (x |x)1/2 ∀x ∈ X

El producto escalar esta determinado por la norma:

Identidad de polarizacion: 4 Re(x |y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 ∀x,y ∈ X

Y otro espacio pre-hilbertiano, T : X → Y lineal:

‖T (x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X ⇐⇒ (T (x) |T (z)) = (x |z) ∀x,z ∈ X

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Producto escalar

Espacios pre-hilbertianos

Un producto escalar en un espacio vectorial X es una forma sexquilineal

hermıtica en X , cuya forma cuadratica asociada es definida positiva

Se denota por (x,y) 7→ (x |y) para x,y ∈ X , y verifica:

(αx + z |y) = α(x |y) + (z |y) ∀x,y,z ∈ X , ∀α ∈K(y |x) = (x |y) ∀x,y ∈ X

(x |x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Un espacio pre-hilbertiano es un espacio vectorial X ,

dotado de un producto escalar

Se considera como espacio normado con: ‖x‖ = (x |x)1/2 ∀x ∈ X

El producto escalar esta determinado por la norma:

Identidad de polarizacion: 4 Re(x |y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 ∀x,y ∈ X

Y otro espacio pre-hilbertiano, T : X → Y lineal:

‖T (x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X ⇐⇒ (T (x) |T (z)) = (x |z) ∀x,z ∈ X

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Producto escalar

Espacios pre-hilbertianos

Un producto escalar en un espacio vectorial X es una forma sexquilineal

hermıtica en X , cuya forma cuadratica asociada es definida positiva

Se denota por (x,y) 7→ (x |y) para x,y ∈ X , y verifica:

(αx + z |y) = α(x |y) + (z |y) ∀x,y,z ∈ X , ∀α ∈K(y |x) = (x |y) ∀x,y ∈ X

(x |x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Un espacio pre-hilbertiano es un espacio vectorial X ,

dotado de un producto escalar

Se considera como espacio normado con: ‖x‖ = (x |x)1/2 ∀x ∈ X

El producto escalar esta determinado por la norma:

Identidad de polarizacion: 4 Re(x |y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 ∀x,y ∈ X

Y otro espacio pre-hilbertiano, T : X → Y lineal:

‖T (x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X ⇐⇒ (T (x) |T (z)) = (x |z) ∀x,z ∈ X

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Producto escalar

Espacios pre-hilbertianos

Un producto escalar en un espacio vectorial X es una forma sexquilineal

hermıtica en X , cuya forma cuadratica asociada es definida positiva

Se denota por (x,y) 7→ (x |y) para x,y ∈ X , y verifica:

(αx + z |y) = α(x |y) + (z |y) ∀x,y,z ∈ X , ∀α ∈K(y |x) = (x |y) ∀x,y ∈ X

(x |x) ∈ R+ ∀x ∈ X \0

Un espacio pre-hilbertiano es un espacio vectorial X ,

dotado de un producto escalar

Se considera como espacio normado con: ‖x‖ = (x |x)1/2 ∀x ∈ X

El producto escalar esta determinado por la norma:

Identidad de polarizacion: 4 Re(x |y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 ∀x,y ∈ X

Y otro espacio pre-hilbertiano, T : X → Y lineal:

‖T (x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X ⇐⇒ (T (x) |T (z)) = (x |z) ∀x,z ∈ X

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Primeras observaciones

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Si X es un espacio pre-hilbertiano, se tiene:∣∣(x∣∣y

)∣∣ 6∥∥x

∥∥ ∥∥y∥∥ ∀x,y ∈ X

Por tanto, el producto escalar de X es una funcion continua

Discusion de la igualdad en dos desigualdades

Si X es un espacio pre-hilbertiano y x,y ∈ X con y 6= 0 , entonces:∣∣(x∣∣y

)∣∣ =∥∥x

∥∥ ∥∥y∥∥ ⇐⇒ ∃ λ ∈K : x = λy

‖x+ y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ⇐⇒ ∃ ρ ∈ R+0 : x = ρy

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Primeras observaciones

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Si X es un espacio pre-hilbertiano, se tiene:∣∣(x∣∣y

)∣∣ 6∥∥x

∥∥ ∥∥y∥∥ ∀x,y ∈ X

Por tanto, el producto escalar de X es una funcion continua

Discusion de la igualdad en dos desigualdades

Si X es un espacio pre-hilbertiano y x,y ∈ X con y 6= 0 , entonces:∣∣(x∣∣y

)∣∣ =∥∥x

∥∥ ∥∥y∥∥ ⇐⇒ ∃ λ ∈K : x = λy

‖x+ y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ⇐⇒ ∃ ρ ∈ R+0 : x = ρy

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Primeras observaciones

Desigualdad de Cauchy-SchwartzSi X es un espacio pre-hilbertiano, se tiene:∣∣(x

∣∣y)∣∣ 6

∥∥x∥∥ ∥∥y

∥∥ ∀x,y ∈ X

Por tanto, el producto escalar de X es una funcion continua

Discusion de la igualdad en dos desigualdades

Si X es un espacio pre-hilbertiano y x,y ∈ X con y 6= 0 , entonces:∣∣(x∣∣y

)∣∣ =∥∥x

∥∥ ∥∥y∥∥ ⇐⇒ ∃ λ ∈K : x = λy

‖x+ y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ⇐⇒ ∃ ρ ∈ R+0 : x = ρy

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Primeras observaciones

Desigualdad de Cauchy-SchwartzSi X es un espacio pre-hilbertiano, se tiene:∣∣(x

∣∣y)∣∣ 6

∥∥x∥∥ ∥∥y

∥∥ ∀x,y ∈ X

Por tanto, el producto escalar de X es una funcion continua

Discusion de la igualdad en dos desigualdades

Si X es un espacio pre-hilbertiano y x,y ∈ X con y 6= 0 , entonces:∣∣(x∣∣y

)∣∣ =∥∥x

∥∥ ∥∥y∥∥ ⇐⇒ ∃ λ ∈K : x = λy

‖x+ y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ⇐⇒ ∃ ρ ∈ R+0 : x = ρy

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Primeras observaciones

Desigualdad de Cauchy-SchwartzSi X es un espacio pre-hilbertiano, se tiene:∣∣(x

∣∣y)∣∣ 6

∥∥x∥∥ ∥∥y

∥∥ ∀x,y ∈ X

Por tanto, el producto escalar de X es una funcion continua

Discusion de la igualdad en dos desigualdades

Si X es un espacio pre-hilbertiano y x,y ∈ X con y 6= 0 , entonces:∣∣(x∣∣y

)∣∣ =∥∥x

∥∥ ∥∥y∥∥ ⇐⇒ ∃ λ ∈K : x = λy

‖x+ y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ⇐⇒ ∃ ρ ∈ R+0 : x = ρy

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Primeras observaciones

Desigualdad de Cauchy-SchwartzSi X es un espacio pre-hilbertiano, se tiene:∣∣(x

∣∣y)∣∣ 6

∥∥x∥∥ ∥∥y

∥∥ ∀x,y ∈ X

Por tanto, el producto escalar de X es una funcion continua

Discusion de la igualdad en dos desigualdadesSi X es un espacio pre-hilbertiano y x,y ∈ X con y 6= 0 , entonces:

∣∣(x∣∣y

)∣∣ =∥∥x

∥∥ ∥∥y∥∥ ⇐⇒ ∃ λ ∈K : x = λy

‖x+ y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ⇐⇒ ∃ ρ ∈ R+0 : x = ρy

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Primeras observaciones

Desigualdad de Cauchy-SchwartzSi X es un espacio pre-hilbertiano, se tiene:∣∣(x

∣∣y)∣∣ 6

∥∥x∥∥ ∥∥y

∥∥ ∀x,y ∈ X

Por tanto, el producto escalar de X es una funcion continua

Discusion de la igualdad en dos desigualdadesSi X es un espacio pre-hilbertiano y x,y ∈ X con y 6= 0 , entonces:∣∣(x

∣∣y)∣∣ =

∥∥x∥∥ ∥∥y

∥∥ ⇐⇒ ∃ λ ∈K : x = λy

‖x+ y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ⇐⇒ ∃ ρ ∈ R+0 : x = ρy

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Primeras observaciones

Desigualdad de Cauchy-SchwartzSi X es un espacio pre-hilbertiano, se tiene:∣∣(x

∣∣y)∣∣ 6

∥∥x∥∥ ∥∥y

∥∥ ∀x,y ∈ X

Por tanto, el producto escalar de X es una funcion continua

Discusion de la igualdad en dos desigualdadesSi X es un espacio pre-hilbertiano y x,y ∈ X con y 6= 0 , entonces:∣∣(x

∣∣y)∣∣ =

∥∥x∥∥ ∥∥y

∥∥ ⇐⇒ ∃ λ ∈K : x = λy

‖x+ y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ⇐⇒ ∃ ρ ∈ R+0 : x = ρy

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Espacios de Hilbert

Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio pre-hilbertiano cuya norma es completa

o lo que es lo mismo

un espacio de Banach cuya norma procede de un producto escalar

Ejemplos de espacios de Hilbert

Para N ∈ N , l N2 es un espacio de Hilbert con:(

x∣∣y

)=

N

∑k=1

x(k)y(k) ∀x,y ∈ l N2

l2 es un espacio de Hilbert con:(x∣∣y

)=

∞

∑n=1

x(n)y(n) ∀x,y ∈ l2

Para N ∈ N y /0 6= Ω = Ω ⊂ RN , L2(Ω) es un espacio de Hilbert con:(f∣∣g

)=

∫Ω

f (t)g(t)dt ∀ f ,g ∈ L2(Ω)

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Espacios de Hilbert

Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio pre-hilbertiano cuya norma es completa

o lo que es lo mismo

un espacio de Banach cuya norma procede de un producto escalar

Ejemplos de espacios de Hilbert

Para N ∈ N , l N2 es un espacio de Hilbert con:(

x∣∣y

)=

N

∑k=1

x(k)y(k) ∀x,y ∈ l N2

l2 es un espacio de Hilbert con:(x∣∣y

)=

∞

∑n=1

x(n)y(n) ∀x,y ∈ l2

Para N ∈ N y /0 6= Ω = Ω ⊂ RN , L2(Ω) es un espacio de Hilbert con:(f∣∣g

)=

∫Ω

f (t)g(t)dt ∀ f ,g ∈ L2(Ω)

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Espacios de Hilbert

Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio pre-hilbertiano cuya norma es completa

o lo que es lo mismo

un espacio de Banach cuya norma procede de un producto escalar

Ejemplos de espacios de Hilbert

Para N ∈ N , l N2 es un espacio de Hilbert con:(

x∣∣y

)=

N

∑k=1

x(k)y(k) ∀x,y ∈ l N2

l2 es un espacio de Hilbert con:(x∣∣y

)=

∞

∑n=1

x(n)y(n) ∀x,y ∈ l2

Para N ∈ N y /0 6= Ω = Ω ⊂ RN , L2(Ω) es un espacio de Hilbert con:(f∣∣g

)=

∫Ω

f (t)g(t)dt ∀ f ,g ∈ L2(Ω)

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Espacios de Hilbert

Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio pre-hilbertiano cuya norma es completa

o lo que es lo mismo

un espacio de Banach cuya norma procede de un producto escalar

Ejemplos de espacios de Hilbert

Para N ∈ N , l N2 es un espacio de Hilbert con:(

x∣∣y

)=

N

∑k=1

x(k)y(k) ∀x,y ∈ l N2

l2 es un espacio de Hilbert con:(x∣∣y

)=

∞

∑n=1

x(n)y(n) ∀x,y ∈ l2

Para N ∈ N y /0 6= Ω = Ω ⊂ RN , L2(Ω) es un espacio de Hilbert con:(f∣∣g

)=

∫Ω

f (t)g(t)dt ∀ f ,g ∈ L2(Ω)

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Espacios de Hilbert

Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio pre-hilbertiano cuya norma es completa

o lo que es lo mismo

un espacio de Banach cuya norma procede de un producto escalar

Ejemplos de espacios de Hilbert

Para N ∈ N , l N2 es un espacio de Hilbert con:(

x∣∣y

)=

N

∑k=1

x(k)y(k) ∀x,y ∈ l N2

l2 es un espacio de Hilbert con:(x∣∣y

)=

∞

∑n=1

x(n)y(n) ∀x,y ∈ l2

Para N ∈ N y /0 6= Ω = Ω ⊂ RN , L2(Ω) es un espacio de Hilbert con:(f∣∣g

)=

∫Ω

f (t)g(t)dt ∀ f ,g ∈ L2(Ω)

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Espacios de Hilbert

Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio pre-hilbertiano cuya norma es completa

o lo que es lo mismo

un espacio de Banach cuya norma procede de un producto escalar

Ejemplos de espacios de Hilbert

Para N ∈ N , l N2 es un espacio de Hilbert con:(

x∣∣y

)=

N

∑k=1

x(k)y(k) ∀x,y ∈ l N2

l2 es un espacio de Hilbert con:(x∣∣y

)=

∞

∑n=1

x(n)y(n) ∀x,y ∈ l2

Para N ∈ N y /0 6= Ω = Ω ⊂ RN , L2(Ω) es un espacio de Hilbert con:(f∣∣g

)=

∫Ω

f (t)g(t)dt ∀ f ,g ∈ L2(Ω)

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Espacios de Hilbert

Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio pre-hilbertiano cuya norma es completa

o lo que es lo mismo

un espacio de Banach cuya norma procede de un producto escalar

Ejemplos de espacios de Hilbert

Para N ∈ N , l N2 es un espacio de Hilbert con:(

x∣∣y

)=

N

∑k=1

x(k)y(k) ∀x,y ∈ l N2

l2 es un espacio de Hilbert con:(x∣∣y

)=

∞

∑n=1

x(n)y(n) ∀x,y ∈ l2

Para N ∈ N y /0 6= Ω = Ω ⊂ RN , L2(Ω) es un espacio de Hilbert con:(f∣∣g

)=

∫Ω

f (t)g(t)dt ∀ f ,g ∈ L2(Ω)

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Espacios de Hilbert

Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio pre-hilbertiano cuya norma es completa

o lo que es lo mismo

un espacio de Banach cuya norma procede de un producto escalar

Ejemplos de espacios de Hilbert

Para N ∈ N , l N2 es un espacio de Hilbert con:(

x∣∣y

)=

N

∑k=1

x(k)y(k) ∀x,y ∈ l N2

l2 es un espacio de Hilbert con:(x∣∣y

)=

∞

∑n=1

x(n)y(n) ∀x,y ∈ l2

Para N ∈ N y /0 6= Ω = Ω ⊂ RN , L2(Ω) es un espacio de Hilbert con:(f∣∣g

)=

∫Ω

f (t)g(t)dt ∀ f ,g ∈ L2(Ω)

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Espacios de Hilbert

Espacios de Hilbert

Un espacio de Hilbert es un espacio pre-hilbertiano cuya norma es completa

o lo que es lo mismo

un espacio de Banach cuya norma procede de un producto escalar

Ejemplos de espacios de Hilbert

Para N ∈ N , l N2 es un espacio de Hilbert con:(

x∣∣y

)=

N

∑k=1

x(k)y(k) ∀x,y ∈ l N2

l2 es un espacio de Hilbert con:(x∣∣y

)=

∞

∑n=1

x(n)y(n) ∀x,y ∈ l2

Para N ∈ N y /0 6= Ω = Ω ⊂ RN , L2(Ω) es un espacio de Hilbert con:(f∣∣g

)=

∫Ω

f (t)g(t)dt ∀ f ,g ∈ L2(Ω)

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Identidad del paralelogramo

Condicion necesaria para que un espacio normado sea pre-hilbertiano

Todo espacio pre-hilbertiano X verifica la identidad del paralelogramo:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 ∀x,y ∈ X

Teorema de Jordan-Von Neumann (1935)

Un espacio normado es un espacio pre-hilbertiano si, y solo si,

verifica la identidad del paralelogramo

Consecuencias

Un espacio normado complejo X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo es XR

Un espacio normado X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo son todos sussubespacios bidimensionales

X normado, M subespacio denso en X

M pre-hilbertiano =⇒ X pre-hilbertiano

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Identidad del paralelogramo

Condicion necesaria para que un espacio normado sea pre-hilbertiano

Todo espacio pre-hilbertiano X verifica la identidad del paralelogramo:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 ∀x,y ∈ X

Teorema de Jordan-Von Neumann (1935)

Un espacio normado es un espacio pre-hilbertiano si, y solo si,

verifica la identidad del paralelogramo

Consecuencias

Un espacio normado complejo X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo es XR

Un espacio normado X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo son todos sussubespacios bidimensionales

X normado, M subespacio denso en X

M pre-hilbertiano =⇒ X pre-hilbertiano

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Identidad del paralelogramo

Condicion necesaria para que un espacio normado sea pre-hilbertiano

Todo espacio pre-hilbertiano X verifica la identidad del paralelogramo:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 ∀x,y ∈ X

Teorema de Jordan-Von Neumann (1935)

Un espacio normado es un espacio pre-hilbertiano si, y solo si,

verifica la identidad del paralelogramo

Consecuencias

Un espacio normado complejo X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo es XR

Un espacio normado X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo son todos sussubespacios bidimensionales

X normado, M subespacio denso en X

M pre-hilbertiano =⇒ X pre-hilbertiano

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Identidad del paralelogramo

Condicion necesaria para que un espacio normado sea pre-hilbertiano

Todo espacio pre-hilbertiano X verifica la identidad del paralelogramo:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 ∀x,y ∈ X

Teorema de Jordan-Von Neumann (1935)

Un espacio normado es un espacio pre-hilbertiano si, y solo si,

verifica la identidad del paralelogramo

Consecuencias

Un espacio normado complejo X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo es XR

Un espacio normado X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo son todos sussubespacios bidimensionales

X normado, M subespacio denso en X

M pre-hilbertiano =⇒ X pre-hilbertiano

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Identidad del paralelogramo

Condicion necesaria para que un espacio normado sea pre-hilbertiano

Todo espacio pre-hilbertiano X verifica la identidad del paralelogramo:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 ∀x,y ∈ X

Teorema de Jordan-Von Neumann (1935)

Un espacio normado es un espacio pre-hilbertiano si, y solo si,

verifica la identidad del paralelogramo

Consecuencias

Un espacio normado complejo X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo es XR

Un espacio normado X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo son todos sussubespacios bidimensionales

X normado, M subespacio denso en X

M pre-hilbertiano =⇒ X pre-hilbertiano

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Identidad del paralelogramo

Condicion necesaria para que un espacio normado sea pre-hilbertiano

Todo espacio pre-hilbertiano X verifica la identidad del paralelogramo:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 ∀x,y ∈ X

Teorema de Jordan-Von Neumann (1935)

Un espacio normado es un espacio pre-hilbertiano si, y solo si,

verifica la identidad del paralelogramo

Consecuencias

Un espacio normado complejo X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo es XR

Un espacio normado X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo son todos sussubespacios bidimensionales

X normado, M subespacio denso en X

M pre-hilbertiano =⇒ X pre-hilbertiano

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Identidad del paralelogramo

Condicion necesaria para que un espacio normado sea pre-hilbertiano

Todo espacio pre-hilbertiano X verifica la identidad del paralelogramo:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 ∀x,y ∈ X

Teorema de Jordan-Von Neumann (1935)

Un espacio normado es un espacio pre-hilbertiano si, y solo si,

verifica la identidad del paralelogramo

ConsecuenciasUn espacio normado complejo X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo es XR

Un espacio normado X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo son todos sussubespacios bidimensionales

X normado, M subespacio denso en X

M pre-hilbertiano =⇒ X pre-hilbertiano

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Identidad del paralelogramo

Condicion necesaria para que un espacio normado sea pre-hilbertiano

Todo espacio pre-hilbertiano X verifica la identidad del paralelogramo:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 ∀x,y ∈ X

Teorema de Jordan-Von Neumann (1935)

Un espacio normado es un espacio pre-hilbertiano si, y solo si,

verifica la identidad del paralelogramo

ConsecuenciasUn espacio normado complejo X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo es XR

Un espacio normado X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo son todos sussubespacios bidimensionales

X normado, M subespacio denso en X

M pre-hilbertiano =⇒ X pre-hilbertiano

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Identidad del paralelogramo

Condicion necesaria para que un espacio normado sea pre-hilbertiano

Todo espacio pre-hilbertiano X verifica la identidad del paralelogramo:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 ∀x,y ∈ X

Teorema de Jordan-Von Neumann (1935)

Un espacio normado es un espacio pre-hilbertiano si, y solo si,

verifica la identidad del paralelogramo

ConsecuenciasUn espacio normado complejo X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo es XR

Un espacio normado X es pre-hilbertiano si, y solo si, lo son todos sussubespacios bidimensionales

X normado, M subespacio denso en X

M pre-hilbertiano =⇒ X pre-hilbertiano

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Aplicaciones inmediatas de la identidad del paralelogramo

Espacios normados de dimension finita que no son espacios de Hilbert

Para N ∈ N con N > 2 y 1 6 p 6 ∞ , se tiene que:

l Np es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2

Espacios de sucesiones que no son espacios de Hilbert

Para 1 6 p 6 ∞ , lp es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

c0 tampoco es un espacio de Hilbert

Espacios de Lebesgue que no son espacios de Hilbert

Para N ∈ N , /0 6= Ω = Ω ⊂ RN y 1 6 p 6 ∞ ,

Lp(Ω) es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

Otros espacios de funciones que no son espacios de Hilbert

Si Γ tiene al menos dos puntos, l∞(Γ) no es un espacio de Hilbert

Si Ω es un espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto,con al menos dos puntos, entonces C00(Ω) con la norma ‖ · ‖∞ no es

pre-hilbertiano, luego C0(Ω) y Cb(Ω) no son espacios de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Aplicaciones inmediatas de la identidad del paralelogramo

Espacios normados de dimension finita que no son espacios de Hilbert

Para N ∈ N con N > 2 y 1 6 p 6 ∞ , se tiene que:

l Np es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2

Espacios de sucesiones que no son espacios de Hilbert

Para 1 6 p 6 ∞ , lp es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

c0 tampoco es un espacio de Hilbert

Espacios de Lebesgue que no son espacios de Hilbert

Para N ∈ N , /0 6= Ω = Ω ⊂ RN y 1 6 p 6 ∞ ,

Lp(Ω) es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

Otros espacios de funciones que no son espacios de Hilbert

Si Γ tiene al menos dos puntos, l∞(Γ) no es un espacio de Hilbert

Si Ω es un espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto,con al menos dos puntos, entonces C00(Ω) con la norma ‖ · ‖∞ no es

pre-hilbertiano, luego C0(Ω) y Cb(Ω) no son espacios de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Aplicaciones inmediatas de la identidad del paralelogramo

Espacios normados de dimension finita que no son espacios de HilbertPara N ∈ N con N > 2 y 1 6 p 6 ∞ , se tiene que:

l Np es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2

Espacios de sucesiones que no son espacios de Hilbert

Para 1 6 p 6 ∞ , lp es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

c0 tampoco es un espacio de Hilbert

Espacios de Lebesgue que no son espacios de Hilbert

Para N ∈ N , /0 6= Ω = Ω ⊂ RN y 1 6 p 6 ∞ ,

Lp(Ω) es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

Otros espacios de funciones que no son espacios de Hilbert

Si Γ tiene al menos dos puntos, l∞(Γ) no es un espacio de Hilbert

Si Ω es un espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto,con al menos dos puntos, entonces C00(Ω) con la norma ‖ · ‖∞ no es

pre-hilbertiano, luego C0(Ω) y Cb(Ω) no son espacios de Hilbert

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Aplicaciones inmediatas de la identidad del paralelogramo

Espacios normados de dimension finita que no son espacios de HilbertPara N ∈ N con N > 2 y 1 6 p 6 ∞ , se tiene que:

l Np es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2

Espacios de sucesiones que no son espacios de Hilbert

Para 1 6 p 6 ∞ , lp es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

c0 tampoco es un espacio de Hilbert

Espacios de Lebesgue que no son espacios de Hilbert

Para N ∈ N , /0 6= Ω = Ω ⊂ RN y 1 6 p 6 ∞ ,

Lp(Ω) es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

Otros espacios de funciones que no son espacios de Hilbert

Si Γ tiene al menos dos puntos, l∞(Γ) no es un espacio de Hilbert

Si Ω es un espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto,con al menos dos puntos, entonces C00(Ω) con la norma ‖ · ‖∞ no es

pre-hilbertiano, luego C0(Ω) y Cb(Ω) no son espacios de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Aplicaciones inmediatas de la identidad del paralelogramo

Espacios normados de dimension finita que no son espacios de HilbertPara N ∈ N con N > 2 y 1 6 p 6 ∞ , se tiene que:

l Np es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2

Espacios de sucesiones que no son espacios de HilbertPara 1 6 p 6 ∞ , lp es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

c0 tampoco es un espacio de Hilbert

Espacios de Lebesgue que no son espacios de Hilbert

Para N ∈ N , /0 6= Ω = Ω ⊂ RN y 1 6 p 6 ∞ ,

Lp(Ω) es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

Otros espacios de funciones que no son espacios de Hilbert

Si Γ tiene al menos dos puntos, l∞(Γ) no es un espacio de Hilbert

Si Ω es un espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto,con al menos dos puntos, entonces C00(Ω) con la norma ‖ · ‖∞ no es

pre-hilbertiano, luego C0(Ω) y Cb(Ω) no son espacios de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Aplicaciones inmediatas de la identidad del paralelogramo

Espacios normados de dimension finita que no son espacios de HilbertPara N ∈ N con N > 2 y 1 6 p 6 ∞ , se tiene que:

l Np es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2

Espacios de sucesiones que no son espacios de HilbertPara 1 6 p 6 ∞ , lp es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

c0 tampoco es un espacio de Hilbert

Espacios de Lebesgue que no son espacios de Hilbert

Para N ∈ N , /0 6= Ω = Ω ⊂ RN y 1 6 p 6 ∞ ,

Lp(Ω) es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

Otros espacios de funciones que no son espacios de Hilbert

Si Γ tiene al menos dos puntos, l∞(Γ) no es un espacio de Hilbert

Si Ω es un espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto,con al menos dos puntos, entonces C00(Ω) con la norma ‖ · ‖∞ no es

pre-hilbertiano, luego C0(Ω) y Cb(Ω) no son espacios de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Aplicaciones inmediatas de la identidad del paralelogramo

Espacios normados de dimension finita que no son espacios de HilbertPara N ∈ N con N > 2 y 1 6 p 6 ∞ , se tiene que:

l Np es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2

Espacios de sucesiones que no son espacios de HilbertPara 1 6 p 6 ∞ , lp es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

c0 tampoco es un espacio de Hilbert

Espacios de Lebesgue que no son espacios de Hilbert

Para N ∈ N , /0 6= Ω = Ω ⊂ RN y 1 6 p 6 ∞ ,

Lp(Ω) es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

Otros espacios de funciones que no son espacios de Hilbert

Si Γ tiene al menos dos puntos, l∞(Γ) no es un espacio de Hilbert

Si Ω es un espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto,con al menos dos puntos, entonces C00(Ω) con la norma ‖ · ‖∞ no es

pre-hilbertiano, luego C0(Ω) y Cb(Ω) no son espacios de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Aplicaciones inmediatas de la identidad del paralelogramo

Espacios normados de dimension finita que no son espacios de HilbertPara N ∈ N con N > 2 y 1 6 p 6 ∞ , se tiene que:

l Np es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2

Espacios de sucesiones que no son espacios de HilbertPara 1 6 p 6 ∞ , lp es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

c0 tampoco es un espacio de Hilbert

Espacios de Lebesgue que no son espacios de Hilbert

Para N ∈ N , /0 6= Ω = Ω ⊂ RN y 1 6 p 6 ∞ ,

Lp(Ω) es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

Otros espacios de funciones que no son espacios de Hilbert

Si Γ tiene al menos dos puntos, l∞(Γ) no es un espacio de Hilbert

Si Ω es un espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto,con al menos dos puntos, entonces C00(Ω) con la norma ‖ · ‖∞ no es

pre-hilbertiano, luego C0(Ω) y Cb(Ω) no son espacios de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Aplicaciones inmediatas de la identidad del paralelogramo

Espacios normados de dimension finita que no son espacios de HilbertPara N ∈ N con N > 2 y 1 6 p 6 ∞ , se tiene que:

l Np es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2

Espacios de sucesiones que no son espacios de HilbertPara 1 6 p 6 ∞ , lp es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

c0 tampoco es un espacio de Hilbert

Espacios de Lebesgue que no son espacios de Hilbert

Para N ∈ N , /0 6= Ω = Ω ⊂ RN y 1 6 p 6 ∞ ,

Lp(Ω) es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

Otros espacios de funciones que no son espacios de Hilbert

Si Γ tiene al menos dos puntos, l∞(Γ) no es un espacio de Hilbert

Si Ω es un espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto,con al menos dos puntos, entonces C00(Ω) con la norma ‖ · ‖∞ no es

pre-hilbertiano, luego C0(Ω) y Cb(Ω) no son espacios de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Aplicaciones inmediatas de la identidad del paralelogramo

Espacios normados de dimension finita que no son espacios de HilbertPara N ∈ N con N > 2 y 1 6 p 6 ∞ , se tiene que:

l Np es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2

Espacios de sucesiones que no son espacios de HilbertPara 1 6 p 6 ∞ , lp es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

c0 tampoco es un espacio de Hilbert

Espacios de Lebesgue que no son espacios de Hilbert

Para N ∈ N , /0 6= Ω = Ω ⊂ RN y 1 6 p 6 ∞ ,

Lp(Ω) es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

Otros espacios de funciones que no son espacios de HilbertSi Γ tiene al menos dos puntos, l∞(Γ) no es un espacio de Hilbert

Si Ω es un espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto,con al menos dos puntos, entonces C00(Ω) con la norma ‖ · ‖∞ no es

pre-hilbertiano, luego C0(Ω) y Cb(Ω) no son espacios de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Aplicaciones inmediatas de la identidad del paralelogramo

Espacios normados de dimension finita que no son espacios de HilbertPara N ∈ N con N > 2 y 1 6 p 6 ∞ , se tiene que:

l Np es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2

Espacios de sucesiones que no son espacios de HilbertPara 1 6 p 6 ∞ , lp es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

c0 tampoco es un espacio de Hilbert

Espacios de Lebesgue que no son espacios de Hilbert

Para N ∈ N , /0 6= Ω = Ω ⊂ RN y 1 6 p 6 ∞ ,

Lp(Ω) es un espacio de Hilbert si, y solo si, p = 2 .

Otros espacios de funciones que no son espacios de HilbertSi Γ tiene al menos dos puntos, l∞(Γ) no es un espacio de Hilbert

Si Ω es un espacio topologico de Hausdorff, localmente compacto,con al menos dos puntos, entonces C00(Ω) con la norma ‖ · ‖∞ no es

pre-hilbertiano, luego C0(Ω) y Cb(Ω) no son espacios de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Mejor aproximacion en espacios de Hilbert

Teorema de aproximacion optima

Si M es un subconjunto no vacıo, convexo y cerrado,

de un espacio de Hilbert H , entonces

cada x ∈ H tiene una unica mejor aproximacion en M

Un subconjunto cerrado de un espacio de Hilbert que no es proximinal

A =

xn : n ∈ N⊂ l2 donde xn =

(n+1)en

n∀n ∈ N

A es cerrado pero no es proximinal en l2

Caracterizacion de las mejores aproximaciones

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= M ⊂ X , M convexo, x ∈ X , y0 ∈M.∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒ Re

(x− y0

∣∣y− y0)

6 0 ∀y ∈M

Si M es de hecho un subespacio de X , se tiene tambien:∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒

(x− y0

∣∣y)

= 0 ∀y ∈M

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Mejor aproximacion en espacios de Hilbert

Teorema de aproximacion optima

Si M es un subconjunto no vacıo, convexo y cerrado,

de un espacio de Hilbert H , entonces

cada x ∈ H tiene una unica mejor aproximacion en M

Un subconjunto cerrado de un espacio de Hilbert que no es proximinal

A =

xn : n ∈ N⊂ l2 donde xn =

(n+1)en

n∀n ∈ N

A es cerrado pero no es proximinal en l2

Caracterizacion de las mejores aproximaciones

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= M ⊂ X , M convexo, x ∈ X , y0 ∈M.∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒ Re

(x− y0

∣∣y− y0)

6 0 ∀y ∈M

Si M es de hecho un subespacio de X , se tiene tambien:∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒

(x− y0

∣∣y)

= 0 ∀y ∈M

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Mejor aproximacion en espacios de Hilbert

Teorema de aproximacion optimaSi M es un subconjunto no vacıo, convexo y cerrado,

de un espacio de Hilbert H , entonces

cada x ∈ H tiene una unica mejor aproximacion en M

Un subconjunto cerrado de un espacio de Hilbert que no es proximinal

A =

xn : n ∈ N⊂ l2 donde xn =

(n+1)en

n∀n ∈ N

A es cerrado pero no es proximinal en l2

Caracterizacion de las mejores aproximaciones

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= M ⊂ X , M convexo, x ∈ X , y0 ∈M.∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒ Re

(x− y0

∣∣y− y0)

6 0 ∀y ∈M

Si M es de hecho un subespacio de X , se tiene tambien:∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒

(x− y0

∣∣y)

= 0 ∀y ∈M

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Mejor aproximacion en espacios de Hilbert

Teorema de aproximacion optimaSi M es un subconjunto no vacıo, convexo y cerrado,

de un espacio de Hilbert H , entonces

cada x ∈ H tiene una unica mejor aproximacion en M

Un subconjunto cerrado de un espacio de Hilbert que no es proximinal

A =

xn : n ∈ N⊂ l2 donde xn =

(n+1)en

n∀n ∈ N

A es cerrado pero no es proximinal en l2

Caracterizacion de las mejores aproximaciones

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= M ⊂ X , M convexo, x ∈ X , y0 ∈M.∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒ Re

(x− y0

∣∣y− y0)

6 0 ∀y ∈M

Si M es de hecho un subespacio de X , se tiene tambien:∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒

(x− y0

∣∣y)

= 0 ∀y ∈M

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Mejor aproximacion en espacios de Hilbert

Teorema de aproximacion optimaSi M es un subconjunto no vacıo, convexo y cerrado,

de un espacio de Hilbert H , entonces

cada x ∈ H tiene una unica mejor aproximacion en M

Un subconjunto cerrado de un espacio de Hilbert que no es proximinal

A =

xn : n ∈ N⊂ l2 donde xn =

(n+1)en

n∀n ∈ N

A es cerrado pero no es proximinal en l2

Caracterizacion de las mejores aproximaciones

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= M ⊂ X , M convexo, x ∈ X , y0 ∈M.∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒ Re

(x− y0

∣∣y− y0)

6 0 ∀y ∈M

Si M es de hecho un subespacio de X , se tiene tambien:∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒

(x− y0

∣∣y)

= 0 ∀y ∈M

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Mejor aproximacion en espacios de Hilbert

Teorema de aproximacion optimaSi M es un subconjunto no vacıo, convexo y cerrado,

de un espacio de Hilbert H , entonces

cada x ∈ H tiene una unica mejor aproximacion en M

Un subconjunto cerrado de un espacio de Hilbert que no es proximinal

A =

xn : n ∈ N⊂ l2 donde xn =

(n+1)en

n∀n ∈ N

A es cerrado pero no es proximinal en l2

Caracterizacion de las mejores aproximaciones

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= M ⊂ X , M convexo, x ∈ X , y0 ∈M.∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒ Re

(x− y0

∣∣y− y0)

6 0 ∀y ∈M

Si M es de hecho un subespacio de X , se tiene tambien:∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒

(x− y0

∣∣y)

= 0 ∀y ∈M

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Mejor aproximacion en espacios de Hilbert

Teorema de aproximacion optimaSi M es un subconjunto no vacıo, convexo y cerrado,

de un espacio de Hilbert H , entonces

cada x ∈ H tiene una unica mejor aproximacion en M

Un subconjunto cerrado de un espacio de Hilbert que no es proximinal

A =

xn : n ∈ N⊂ l2 donde xn =

(n+1)en

n∀n ∈ N

A es cerrado pero no es proximinal en l2

Caracterizacion de las mejores aproximaciones

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= M ⊂ X , M convexo, x ∈ X , y0 ∈M.∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒ Re

(x− y0

∣∣y− y0)

6 0 ∀y ∈M

Si M es de hecho un subespacio de X , se tiene tambien:∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒

(x− y0

∣∣y)

= 0 ∀y ∈M

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Mejor aproximacion en espacios de Hilbert

Teorema de aproximacion optimaSi M es un subconjunto no vacıo, convexo y cerrado,

de un espacio de Hilbert H , entonces

cada x ∈ H tiene una unica mejor aproximacion en M

Un subconjunto cerrado de un espacio de Hilbert que no es proximinal

A =

xn : n ∈ N⊂ l2 donde xn =

(n+1)en

n∀n ∈ N

A es cerrado pero no es proximinal en l2

Caracterizacion de las mejores aproximaciones

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= M ⊂ X , M convexo, x ∈ X , y0 ∈M.∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒ Re

(x− y0

∣∣y− y0)

6 0 ∀y ∈M

Si M es de hecho un subespacio de X , se tiene tambien:∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒

(x− y0

∣∣y)

= 0 ∀y ∈M

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Mejor aproximacion en espacios de Hilbert

Teorema de aproximacion optimaSi M es un subconjunto no vacıo, convexo y cerrado,

de un espacio de Hilbert H , entonces

cada x ∈ H tiene una unica mejor aproximacion en M

Un subconjunto cerrado de un espacio de Hilbert que no es proximinal

A =

xn : n ∈ N⊂ l2 donde xn =

(n+1)en

n∀n ∈ N

A es cerrado pero no es proximinal en l2

Caracterizacion de las mejores aproximacionesX espacio pre-hilbertiano, /0 6= M ⊂ X , M convexo, x ∈ X , y0 ∈M.

∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒ Re

(x− y0

∣∣y− y0)

6 0 ∀y ∈M

Si M es de hecho un subespacio de X , se tiene tambien:∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒

(x− y0

∣∣y)

= 0 ∀y ∈M

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Mejor aproximacion en espacios de Hilbert

Teorema de aproximacion optimaSi M es un subconjunto no vacıo, convexo y cerrado,

de un espacio de Hilbert H , entonces

cada x ∈ H tiene una unica mejor aproximacion en M

Un subconjunto cerrado de un espacio de Hilbert que no es proximinal

A =

xn : n ∈ N⊂ l2 donde xn =

(n+1)en

n∀n ∈ N

A es cerrado pero no es proximinal en l2

Caracterizacion de las mejores aproximacionesX espacio pre-hilbertiano, /0 6= M ⊂ X , M convexo, x ∈ X , y0 ∈M.∥∥x− y0

∥∥ 6∥∥x− y

∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒ Re(

x− y0∣∣y− y0

)6 0 ∀y ∈M

Si M es de hecho un subespacio de X , se tiene tambien:∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒

(x− y0

∣∣y)

= 0 ∀y ∈M

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Mejor aproximacion en espacios de Hilbert

Teorema de aproximacion optimaSi M es un subconjunto no vacıo, convexo y cerrado,

de un espacio de Hilbert H , entonces

cada x ∈ H tiene una unica mejor aproximacion en M

Un subconjunto cerrado de un espacio de Hilbert que no es proximinal

A =

xn : n ∈ N⊂ l2 donde xn =

(n+1)en

n∀n ∈ N

A es cerrado pero no es proximinal en l2

Caracterizacion de las mejores aproximacionesX espacio pre-hilbertiano, /0 6= M ⊂ X , M convexo, x ∈ X , y0 ∈M.∥∥x− y0

∥∥ 6∥∥x− y

∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒ Re(

x− y0∣∣y− y0

)6 0 ∀y ∈M

Si M es de hecho un subespacio de X , se tiene tambien:

∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒

(x− y0

∣∣y)

= 0 ∀y ∈M

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Mejor aproximacion en espacios de Hilbert

Teorema de aproximacion optimaSi M es un subconjunto no vacıo, convexo y cerrado,

de un espacio de Hilbert H , entonces

cada x ∈ H tiene una unica mejor aproximacion en M

Un subconjunto cerrado de un espacio de Hilbert que no es proximinal

A =

xn : n ∈ N⊂ l2 donde xn =

(n+1)en

n∀n ∈ N

A es cerrado pero no es proximinal en l2

Caracterizacion de las mejores aproximacionesX espacio pre-hilbertiano, /0 6= M ⊂ X , M convexo, x ∈ X , y0 ∈M.∥∥x− y0

∥∥ 6∥∥x− y

∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒ Re(

x− y0∣∣y− y0

)6 0 ∀y ∈M

Si M es de hecho un subespacio de X , se tiene tambien:∥∥x− y0∥∥ 6

∥∥x− y∥∥ ∀y ∈M ⇐⇒

(x− y0

∣∣y)

= 0 ∀y ∈M

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Ortogonalidad

Vectores ortogonales

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X . Decimos que x e y son ortogonales,

y escribimos x⊥y , cuando (x |y) = 0

Relacion entre ortogonalidad y “perpendicularidad”

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X .

Caso real: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Caso complejo: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x+ iy‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Subespacio ortogonal a un conjunto

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= E ⊂ X . El subespacio ortogonal a E es

E⊥ =

x ∈ X : x⊥y ∀y ∈ E

, un subespacio cerrado de X

E⊥⊥ =(E⊥

)⊥verifica que Lin E ⊂ E⊥⊥

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Ortogonalidad

Vectores ortogonales

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X . Decimos que x e y son ortogonales,

y escribimos x⊥y , cuando (x |y) = 0

Relacion entre ortogonalidad y “perpendicularidad”

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X .

Caso real: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Caso complejo: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x+ iy‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Subespacio ortogonal a un conjunto

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= E ⊂ X . El subespacio ortogonal a E es

E⊥ =

x ∈ X : x⊥y ∀y ∈ E

, un subespacio cerrado de X

E⊥⊥ =(E⊥

)⊥verifica que Lin E ⊂ E⊥⊥

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Ortogonalidad

Vectores ortogonales

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X . Decimos que x e y son ortogonales,

y escribimos x⊥y , cuando (x |y) = 0

Relacion entre ortogonalidad y “perpendicularidad”

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X .

Caso real: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Caso complejo: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x+ iy‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Subespacio ortogonal a un conjunto

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= E ⊂ X . El subespacio ortogonal a E es

E⊥ =

x ∈ X : x⊥y ∀y ∈ E

, un subespacio cerrado de X

E⊥⊥ =(E⊥

)⊥verifica que Lin E ⊂ E⊥⊥

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Ortogonalidad

Vectores ortogonales

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X . Decimos que x e y son ortogonales,

y escribimos x⊥y , cuando (x |y) = 0

Relacion entre ortogonalidad y “perpendicularidad”

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X .

Caso real: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Caso complejo: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x+ iy‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Subespacio ortogonal a un conjunto

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= E ⊂ X . El subespacio ortogonal a E es

E⊥ =

x ∈ X : x⊥y ∀y ∈ E

, un subespacio cerrado de X

E⊥⊥ =(E⊥

)⊥verifica que Lin E ⊂ E⊥⊥

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Ortogonalidad

Vectores ortogonales

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X . Decimos que x e y son ortogonales,

y escribimos x⊥y , cuando (x |y) = 0

Relacion entre ortogonalidad y “perpendicularidad”X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X .

Caso real: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Caso complejo: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x+ iy‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Subespacio ortogonal a un conjunto

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= E ⊂ X . El subespacio ortogonal a E es

E⊥ =

x ∈ X : x⊥y ∀y ∈ E

, un subespacio cerrado de X

E⊥⊥ =(E⊥

)⊥verifica que Lin E ⊂ E⊥⊥

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Ortogonalidad

Vectores ortogonales

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X . Decimos que x e y son ortogonales,

y escribimos x⊥y , cuando (x |y) = 0

Relacion entre ortogonalidad y “perpendicularidad”X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X .

Caso real: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Caso complejo: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x+ iy‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Subespacio ortogonal a un conjunto

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= E ⊂ X . El subespacio ortogonal a E es

E⊥ =

x ∈ X : x⊥y ∀y ∈ E

, un subespacio cerrado de X

E⊥⊥ =(E⊥

)⊥verifica que Lin E ⊂ E⊥⊥

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Ortogonalidad

Vectores ortogonales

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X . Decimos que x e y son ortogonales,

y escribimos x⊥y , cuando (x |y) = 0

Relacion entre ortogonalidad y “perpendicularidad”X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X .

Caso real: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Caso complejo: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x+ iy‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Subespacio ortogonal a un conjunto

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= E ⊂ X . El subespacio ortogonal a E es

E⊥ =

x ∈ X : x⊥y ∀y ∈ E

, un subespacio cerrado de X

E⊥⊥ =(E⊥

)⊥verifica que Lin E ⊂ E⊥⊥

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Ortogonalidad

Vectores ortogonales

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X . Decimos que x e y son ortogonales,

y escribimos x⊥y , cuando (x |y) = 0

Relacion entre ortogonalidad y “perpendicularidad”X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X .

Caso real: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Caso complejo: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x+ iy‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Subespacio ortogonal a un conjunto

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= E ⊂ X . El subespacio ortogonal a E es

E⊥ =

x ∈ X : x⊥y ∀y ∈ E

, un subespacio cerrado de X

E⊥⊥ =(E⊥

)⊥verifica que Lin E ⊂ E⊥⊥

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Ortogonalidad

Vectores ortogonales

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X . Decimos que x e y son ortogonales,

y escribimos x⊥y , cuando (x |y) = 0

Relacion entre ortogonalidad y “perpendicularidad”X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X .

Caso real: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Caso complejo: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x+ iy‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Subespacio ortogonal a un conjunto

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= E ⊂ X . El subespacio ortogonal a E es

E⊥ =

x ∈ X : x⊥y ∀y ∈ E

, un subespacio cerrado de X

E⊥⊥ =(E⊥

)⊥verifica que Lin E ⊂ E⊥⊥

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Ortogonalidad

Vectores ortogonales

X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X . Decimos que x e y son ortogonales,

y escribimos x⊥y , cuando (x |y) = 0

Relacion entre ortogonalidad y “perpendicularidad”X espacio pre-hilbertiano, x,y ∈ X .

Caso real: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Caso complejo: x⊥y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x+ iy‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Subespacio ortogonal a un conjunto

X espacio pre-hilbertiano, /0 6= E ⊂ X . El subespacio ortogonal a E es

E⊥ =

x ∈ X : x⊥y ∀y ∈ E

, un subespacio cerrado de X

E⊥⊥ =(E⊥

)⊥verifica que Lin E ⊂ E⊥⊥

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El teorema fundamental de los espacios de Hilbert

Teorema de la proyeccion ortogonal (1908)

Si H es un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H , se tiene:

H = M ⊕ M⊥ suma topologico directa

Si PM es la proyeccion lineal de X sobre M con nucleo M⊥ , se tiene:

‖x‖2 = ‖PM(x)‖2 + ‖x−PM(x)‖2 ∀x ∈ X

luego PM es continua y, salvo que M = 0 , verifica que ‖PM‖ = 1

Ademas, para cada x ∈ X , PM(x) es la unica mejor aproximacion de x en M .

Se dice que PM es la proyeccion ortogonal de X sobre M

Finalmente, se tiene: M⊥⊥ = M

Primera consecuencia

H espacio de Hilbert, /0 6= E ⊂ H =⇒ Lin E = E⊥⊥

Si Y es un subespacio de H , se tiene: Y = Y⊥⊥

luego Y es denso en H si, y solo si, Y⊥ = 0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El teorema fundamental de los espacios de Hilbert

Teorema de la proyeccion ortogonal (1908)

Si H es un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H , se tiene:

H = M ⊕ M⊥ suma topologico directa

Si PM es la proyeccion lineal de X sobre M con nucleo M⊥ , se tiene:

‖x‖2 = ‖PM(x)‖2 + ‖x−PM(x)‖2 ∀x ∈ X

luego PM es continua y, salvo que M = 0 , verifica que ‖PM‖ = 1

Ademas, para cada x ∈ X , PM(x) es la unica mejor aproximacion de x en M .

Se dice que PM es la proyeccion ortogonal de X sobre M

Finalmente, se tiene: M⊥⊥ = M

Primera consecuencia

H espacio de Hilbert, /0 6= E ⊂ H =⇒ Lin E = E⊥⊥

Si Y es un subespacio de H , se tiene: Y = Y⊥⊥

luego Y es denso en H si, y solo si, Y⊥ = 0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El teorema fundamental de los espacios de Hilbert

Teorema de la proyeccion ortogonal (1908)

Si H es un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H , se tiene:

H = M ⊕ M⊥ suma topologico directa

Si PM es la proyeccion lineal de X sobre M con nucleo M⊥ , se tiene:

‖x‖2 = ‖PM(x)‖2 + ‖x−PM(x)‖2 ∀x ∈ X

luego PM es continua y, salvo que M = 0 , verifica que ‖PM‖ = 1

Ademas, para cada x ∈ X , PM(x) es la unica mejor aproximacion de x en M .

Se dice que PM es la proyeccion ortogonal de X sobre M

Finalmente, se tiene: M⊥⊥ = M

Primera consecuencia

H espacio de Hilbert, /0 6= E ⊂ H =⇒ Lin E = E⊥⊥

Si Y es un subespacio de H , se tiene: Y = Y⊥⊥

luego Y es denso en H si, y solo si, Y⊥ = 0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El teorema fundamental de los espacios de Hilbert

Teorema de la proyeccion ortogonal (1908)

Si H es un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H , se tiene:

H = M ⊕ M⊥ suma topologico directa

Si PM es la proyeccion lineal de X sobre M con nucleo M⊥ , se tiene:

‖x‖2 = ‖PM(x)‖2 + ‖x−PM(x)‖2 ∀x ∈ X

luego PM es continua y, salvo que M = 0 , verifica que ‖PM‖ = 1

Ademas, para cada x ∈ X , PM(x) es la unica mejor aproximacion de x en M .

Se dice que PM es la proyeccion ortogonal de X sobre M

Finalmente, se tiene: M⊥⊥ = M

Primera consecuencia

H espacio de Hilbert, /0 6= E ⊂ H =⇒ Lin E = E⊥⊥

Si Y es un subespacio de H , se tiene: Y = Y⊥⊥

luego Y es denso en H si, y solo si, Y⊥ = 0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El teorema fundamental de los espacios de Hilbert

Teorema de la proyeccion ortogonal (1908)

Si H es un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H , se tiene:

H = M ⊕ M⊥ suma topologico directa

Si PM es la proyeccion lineal de X sobre M con nucleo M⊥ , se tiene:

‖x‖2 = ‖PM(x)‖2 + ‖x−PM(x)‖2 ∀x ∈ X

luego PM es continua y, salvo que M = 0 , verifica que ‖PM‖ = 1

Ademas, para cada x ∈ X , PM(x) es la unica mejor aproximacion de x en M .

Se dice que PM es la proyeccion ortogonal de X sobre M

Finalmente, se tiene: M⊥⊥ = M

Primera consecuencia

H espacio de Hilbert, /0 6= E ⊂ H =⇒ Lin E = E⊥⊥

Si Y es un subespacio de H , se tiene: Y = Y⊥⊥

luego Y es denso en H si, y solo si, Y⊥ = 0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El teorema fundamental de los espacios de Hilbert

Teorema de la proyeccion ortogonal (1908)

Si H es un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H , se tiene:

H = M ⊕ M⊥ suma topologico directa

Si PM es la proyeccion lineal de X sobre M con nucleo M⊥ , se tiene:

‖x‖2 = ‖PM(x)‖2 + ‖x−PM(x)‖2 ∀x ∈ X

luego PM es continua y, salvo que M = 0 , verifica que ‖PM‖ = 1

Ademas, para cada x ∈ X , PM(x) es la unica mejor aproximacion de x en M .

Se dice que PM es la proyeccion ortogonal de X sobre M

Finalmente, se tiene: M⊥⊥ = M

Primera consecuencia

H espacio de Hilbert, /0 6= E ⊂ H =⇒ Lin E = E⊥⊥

Si Y es un subespacio de H , se tiene: Y = Y⊥⊥

luego Y es denso en H si, y solo si, Y⊥ = 0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El teorema fundamental de los espacios de Hilbert

Teorema de la proyeccion ortogonal (1908)

Si H es un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H , se tiene:

H = M ⊕ M⊥ suma topologico directa

Si PM es la proyeccion lineal de X sobre M con nucleo M⊥ , se tiene:

‖x‖2 = ‖PM(x)‖2 + ‖x−PM(x)‖2 ∀x ∈ X

luego PM es continua y, salvo que M = 0 , verifica que ‖PM‖ = 1

Ademas, para cada x ∈ X , PM(x) es la unica mejor aproximacion de x en M .

Se dice que PM es la proyeccion ortogonal de X sobre M

Finalmente, se tiene: M⊥⊥ = M

Primera consecuencia

H espacio de Hilbert, /0 6= E ⊂ H =⇒ Lin E = E⊥⊥

Si Y es un subespacio de H , se tiene: Y = Y⊥⊥

luego Y es denso en H si, y solo si, Y⊥ = 0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El teorema fundamental de los espacios de Hilbert

Teorema de la proyeccion ortogonal (1908)

Si H es un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H , se tiene:

H = M ⊕ M⊥ suma topologico directa

Si PM es la proyeccion lineal de X sobre M con nucleo M⊥ , se tiene:

‖x‖2 = ‖PM(x)‖2 + ‖x−PM(x)‖2 ∀x ∈ X

luego PM es continua y, salvo que M = 0 , verifica que ‖PM‖ = 1

Ademas, para cada x ∈ X , PM(x) es la unica mejor aproximacion de x en M .

Se dice que PM es la proyeccion ortogonal de X sobre M

Finalmente, se tiene: M⊥⊥ = M

Primera consecuencia

H espacio de Hilbert, /0 6= E ⊂ H =⇒ Lin E = E⊥⊥

Si Y es un subespacio de H , se tiene: Y = Y⊥⊥

luego Y es denso en H si, y solo si, Y⊥ = 0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El teorema fundamental de los espacios de Hilbert

Teorema de la proyeccion ortogonal (1908)

Si H es un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H , se tiene:

H = M ⊕ M⊥ suma topologico directa

Si PM es la proyeccion lineal de X sobre M con nucleo M⊥ , se tiene:

‖x‖2 = ‖PM(x)‖2 + ‖x−PM(x)‖2 ∀x ∈ X

luego PM es continua y, salvo que M = 0 , verifica que ‖PM‖ = 1

Ademas, para cada x ∈ X , PM(x) es la unica mejor aproximacion de x en M .

Se dice que PM es la proyeccion ortogonal de X sobre M

Finalmente, se tiene: M⊥⊥ = M

Primera consecuencia

H espacio de Hilbert, /0 6= E ⊂ H =⇒ Lin E = E⊥⊥

Si Y es un subespacio de H , se tiene: Y = Y⊥⊥

luego Y es denso en H si, y solo si, Y⊥ = 0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El teorema fundamental de los espacios de Hilbert

Teorema de la proyeccion ortogonal (1908)

Si H es un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H , se tiene:

H = M ⊕ M⊥ suma topologico directa

Si PM es la proyeccion lineal de X sobre M con nucleo M⊥ , se tiene:

‖x‖2 = ‖PM(x)‖2 + ‖x−PM(x)‖2 ∀x ∈ X

luego PM es continua y, salvo que M = 0 , verifica que ‖PM‖ = 1

Ademas, para cada x ∈ X , PM(x) es la unica mejor aproximacion de x en M .

Se dice que PM es la proyeccion ortogonal de X sobre M

Finalmente, se tiene: M⊥⊥ = M

Primera consecuencia

H espacio de Hilbert, /0 6= E ⊂ H =⇒ Lin E = E⊥⊥

Si Y es un subespacio de H , se tiene: Y = Y⊥⊥

luego Y es denso en H si, y solo si, Y⊥ = 0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El teorema fundamental de los espacios de Hilbert

Teorema de la proyeccion ortogonal (1908)

Si H es un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H , se tiene:

H = M ⊕ M⊥ suma topologico directa

Si PM es la proyeccion lineal de X sobre M con nucleo M⊥ , se tiene:

‖x‖2 = ‖PM(x)‖2 + ‖x−PM(x)‖2 ∀x ∈ X

luego PM es continua y, salvo que M = 0 , verifica que ‖PM‖ = 1

Ademas, para cada x ∈ X , PM(x) es la unica mejor aproximacion de x en M .

Se dice que PM es la proyeccion ortogonal de X sobre M

Finalmente, se tiene: M⊥⊥ = M

Primera consecuencia

H espacio de Hilbert, /0 6= E ⊂ H =⇒ Lin E = E⊥⊥

Si Y es un subespacio de H , se tiene: Y = Y⊥⊥

luego Y es denso en H si, y solo si, Y⊥ = 0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El teorema fundamental de los espacios de Hilbert

Teorema de la proyeccion ortogonal (1908)

Si H es un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H , se tiene:

H = M ⊕ M⊥ suma topologico directa

Si PM es la proyeccion lineal de X sobre M con nucleo M⊥ , se tiene:

‖x‖2 = ‖PM(x)‖2 + ‖x−PM(x)‖2 ∀x ∈ X

luego PM es continua y, salvo que M = 0 , verifica que ‖PM‖ = 1

Ademas, para cada x ∈ X , PM(x) es la unica mejor aproximacion de x en M .

Se dice que PM es la proyeccion ortogonal de X sobre M

Finalmente, se tiene: M⊥⊥ = M

Primera consecuencia

H espacio de Hilbert, /0 6= E ⊂ H =⇒ Lin E = E⊥⊥

Si Y es un subespacio de H , se tiene: Y = Y⊥⊥

luego Y es denso en H si, y solo si, Y⊥ = 0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El teorema fundamental de los espacios de Hilbert

Teorema de la proyeccion ortogonal (1908)

Si H es un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de H , se tiene:

H = M ⊕ M⊥ suma topologico directa

Si PM es la proyeccion lineal de X sobre M con nucleo M⊥ , se tiene:

‖x‖2 = ‖PM(x)‖2 + ‖x−PM(x)‖2 ∀x ∈ X

luego PM es continua y, salvo que M = 0 , verifica que ‖PM‖ = 1

Ademas, para cada x ∈ X , PM(x) es la unica mejor aproximacion de x en M .

Se dice que PM es la proyeccion ortogonal de X sobre M

Finalmente, se tiene: M⊥⊥ = M

Primera consecuencia

H espacio de Hilbert, /0 6= E ⊂ H =⇒ Lin E = E⊥⊥

Si Y es un subespacio de H , se tiene: Y = Y⊥⊥

luego Y es denso en H si, y solo si, Y⊥ = 0

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Autodualidad de los espacios de Hilbert

Dual de un espacio pre-hilbertiano

X espacio pre-hilbertiano, y ∈ X , y : X →K , y(x) = (x |y) ∀x ∈ X

y ∈ X∗ con ‖ y‖ = ‖y‖

Teorema de Riesz-Frechet

Si H es un espacio de Hilbert, para todo f ∈ H∗ ,

existe y ∈ H tal que: f (x) = (x |y) ∀x ∈ H

Por tanto, si para cada y ∈ H definimos y(x) = (x |y) ∀x ∈ H , entonces

la aplicacion Ψ , dada por Ψ(y) = y ∀y ∈ H ,

es una biyeccion conjugado-lineal e isometrica de H sobre H∗

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Autodualidad de los espacios de Hilbert

Dual de un espacio pre-hilbertiano

X espacio pre-hilbertiano, y ∈ X , y : X →K , y(x) = (x |y) ∀x ∈ X

y ∈ X∗ con ‖ y‖ = ‖y‖

Teorema de Riesz-Frechet

Si H es un espacio de Hilbert, para todo f ∈ H∗ ,

existe y ∈ H tal que: f (x) = (x |y) ∀x ∈ H

Por tanto, si para cada y ∈ H definimos y(x) = (x |y) ∀x ∈ H , entonces

la aplicacion Ψ , dada por Ψ(y) = y ∀y ∈ H ,

es una biyeccion conjugado-lineal e isometrica de H sobre H∗

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Autodualidad de los espacios de Hilbert

Dual de un espacio pre-hilbertianoX espacio pre-hilbertiano, y ∈ X , y : X →K , y(x) = (x |y) ∀x ∈ X

y ∈ X∗ con ‖ y‖ = ‖y‖

Teorema de Riesz-Frechet

Si H es un espacio de Hilbert, para todo f ∈ H∗ ,

existe y ∈ H tal que: f (x) = (x |y) ∀x ∈ H

Por tanto, si para cada y ∈ H definimos y(x) = (x |y) ∀x ∈ H , entonces

la aplicacion Ψ , dada por Ψ(y) = y ∀y ∈ H ,

es una biyeccion conjugado-lineal e isometrica de H sobre H∗

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Autodualidad de los espacios de Hilbert

Dual de un espacio pre-hilbertianoX espacio pre-hilbertiano, y ∈ X , y : X →K , y(x) = (x |y) ∀x ∈ X

y ∈ X∗ con ‖ y‖ = ‖y‖

Teorema de Riesz-Frechet

Si H es un espacio de Hilbert, para todo f ∈ H∗ ,

existe y ∈ H tal que: f (x) = (x |y) ∀x ∈ H

Por tanto, si para cada y ∈ H definimos y(x) = (x |y) ∀x ∈ H , entonces

la aplicacion Ψ , dada por Ψ(y) = y ∀y ∈ H ,

es una biyeccion conjugado-lineal e isometrica de H sobre H∗

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Autodualidad de los espacios de Hilbert

Dual de un espacio pre-hilbertianoX espacio pre-hilbertiano, y ∈ X , y : X →K , y(x) = (x |y) ∀x ∈ X

y ∈ X∗ con ‖ y‖ = ‖y‖

Teorema de Riesz-Frechet

Si H es un espacio de Hilbert, para todo f ∈ H∗ ,

existe y ∈ H tal que: f (x) = (x |y) ∀x ∈ H

Por tanto, si para cada y ∈ H definimos y(x) = (x |y) ∀x ∈ H , entonces

la aplicacion Ψ , dada por Ψ(y) = y ∀y ∈ H ,

es una biyeccion conjugado-lineal e isometrica de H sobre H∗

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Autodualidad de los espacios de Hilbert

Dual de un espacio pre-hilbertianoX espacio pre-hilbertiano, y ∈ X , y : X →K , y(x) = (x |y) ∀x ∈ X

y ∈ X∗ con ‖ y‖ = ‖y‖

Teorema de Riesz-FrechetSi H es un espacio de Hilbert, para todo f ∈ H∗ ,

existe y ∈ H tal que: f (x) = (x |y) ∀x ∈ H

Por tanto, si para cada y ∈ H definimos y(x) = (x |y) ∀x ∈ H , entonces

la aplicacion Ψ , dada por Ψ(y) = y ∀y ∈ H ,

es una biyeccion conjugado-lineal e isometrica de H sobre H∗

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

Autodualidad de los espacios de Hilbert

Dual de un espacio pre-hilbertianoX espacio pre-hilbertiano, y ∈ X , y : X →K , y(x) = (x |y) ∀x ∈ X

y ∈ X∗ con ‖ y‖ = ‖y‖

Teorema de Riesz-FrechetSi H es un espacio de Hilbert, para todo f ∈ H∗ ,

existe y ∈ H tal que: f (x) = (x |y) ∀x ∈ H

Por tanto, si para cada y ∈ H definimos y(x) = (x |y) ∀x ∈ H , entonces

la aplicacion Ψ , dada por Ψ(y) = y ∀y ∈ H ,

es una biyeccion conjugado-lineal e isometrica de H sobre H∗

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El problema del subespacio complementado

Consecuencia del teorema de la proyeccion ortogonal

Si un espacio de Banach X es isomorfo a un espacio de Hilbert,todo subespacio cerrado de X esta complementado en X

Problema: ¿ es cierto el recıproco ?

Un teorema de J. Lindenstrauss y L. Tzafriri (1971)

Si todo subespacio cerrado de un espacio de Banach X

esta complementado en X , entonces

X es isomorfo a un espacio de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El problema del subespacio complementado

Consecuencia del teorema de la proyeccion ortogonal

Si un espacio de Banach X es isomorfo a un espacio de Hilbert,todo subespacio cerrado de X esta complementado en X

Problema: ¿ es cierto el recıproco ?

Un teorema de J. Lindenstrauss y L. Tzafriri (1971)

Si todo subespacio cerrado de un espacio de Banach X

esta complementado en X , entonces

X es isomorfo a un espacio de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El problema del subespacio complementado

Consecuencia del teorema de la proyeccion ortogonalSi un espacio de Banach X es isomorfo a un espacio de Hilbert,

todo subespacio cerrado de X esta complementado en X

Problema: ¿ es cierto el recıproco ?

Un teorema de J. Lindenstrauss y L. Tzafriri (1971)

Si todo subespacio cerrado de un espacio de Banach X

esta complementado en X , entonces

X es isomorfo a un espacio de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El problema del subespacio complementado

Consecuencia del teorema de la proyeccion ortogonalSi un espacio de Banach X es isomorfo a un espacio de Hilbert,

todo subespacio cerrado de X esta complementado en X

Problema: ¿ es cierto el recıproco ?

Un teorema de J. Lindenstrauss y L. Tzafriri (1971)

Si todo subespacio cerrado de un espacio de Banach X

esta complementado en X , entonces

X es isomorfo a un espacio de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El problema del subespacio complementado

Consecuencia del teorema de la proyeccion ortogonalSi un espacio de Banach X es isomorfo a un espacio de Hilbert,

todo subespacio cerrado de X esta complementado en X

Problema: ¿ es cierto el recıproco ?

Un teorema de J. Lindenstrauss y L. Tzafriri (1971)

Si todo subespacio cerrado de un espacio de Banach X

esta complementado en X , entonces

X es isomorfo a un espacio de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El problema del subespacio complementado

Consecuencia del teorema de la proyeccion ortogonalSi un espacio de Banach X es isomorfo a un espacio de Hilbert,

todo subespacio cerrado de X esta complementado en X

Problema: ¿ es cierto el recıproco ?

Un teorema de J. Lindenstrauss y L. Tzafriri (1971)

Si todo subespacio cerrado de un espacio de Banach X

esta complementado en X , entonces

X es isomorfo a un espacio de Hilbert

Definicion y ejemplos Identidad del paralelogramo Aproximacion y ortogonalidad

El problema del subespacio complementado

Consecuencia del teorema de la proyeccion ortogonalSi un espacio de Banach X es isomorfo a un espacio de Hilbert,

todo subespacio cerrado de X esta complementado en X

Problema: ¿ es cierto el recıproco ?

Un teorema de J. Lindenstrauss y L. Tzafriri (1971)

Si todo subespacio cerrado de un espacio de Banach X

esta complementado en X , entonces

X es isomorfo a un espacio de Hilbert