Angulos Ab

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ANGULOS TEORIA PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS ABRAHAM GARCIA ROCA [email protected] u.pe

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Page 1: Angulos Ab

ANGULOSTEORIA

PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

ABRAHAM GARCIA ROCA

[email protected]

Page 2: Angulos Ab

O

A

B

ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice.

ELEMENTOS DE UN ANGULO:

Page 3: Angulos Ab

0º < < 180º 0º < < 180º

0º < < 90º0º < < 90º

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA

a) ÁNGULO CONVEXO

a.1) ÁNGULO AGUDO

Page 4: Angulos Ab

= 90º = 90º

90º < < 180º 90º < < 180º

a.2) ÁNGULO RECTO

a.3) ÁNGULO OBTUSO

Page 5: Angulos Ab

= 90º = 90º

+ = 180º + = 180º

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA

a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Page 6: Angulos Ab

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN

a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Son congruentes

Puede formar más ángulosUn lado común

Page 7: Angulos Ab

01. Ángulos alternos internos: m 3 = m 5; m 4 = m 6

02. Ángulos alternos externos: m 1 = m 7; m 2 = m 8

03. Ángulos conjugados internos: m 3+m 6=m 4+m 5=180°

04. Ángulos conjugados externos: m 1+m 8=m 2+m 7=180°

05. Ángulos correspondientes: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE

1 2

34

5 6

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Page 8: Angulos Ab

+ + = x + y + + = x + y

x

y

01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas.

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

Page 9: Angulos Ab

+ + + + = 180° + + + + = 180°

02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

Page 10: Angulos Ab

+ = 180° + = 180°

03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

Page 11: Angulos Ab
Page 12: Angulos Ab

El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”.

90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2

90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X

90° - 90° = 180° - 2X

2X = 180° X = 90°X = 90°

RESOLUCIÓN

Problema Nº 01

La estructura según el enunciado:

Desarrollando se obtiene:

Luego se reduce a:

Page 13: Angulos Ab

La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos.

Sean los ángulos: y + = 80° Dato: = 80° - ( 1 )

( 90° - ) = 2 ( 2 )

Reemplazando (1) en (2):

( 90° - ) = 2 ( 80° - )

90° - = 160° -2

= 10°

= 70°

- = 70°-10°

= 60°

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

Dato:

Diferencia de las medidas

Resolviendo

Page 14: Angulos Ab

La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos.

Sean los ángulos: y

( 90° - ) ( 90° - ) = 130°+ + = 50° ( 1 )

( 180° - ) ( 180° - ) = 10°- - = 10° ( 2 )

Resolviendo: (1) y (2)

+ = 50° - = 10°

(+)

2 = 60°

= 30°

= 20°

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

Del enunciado:

Del enunciado:

Page 15: Angulos Ab

Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB.

A B

O C

M

60°

20°X

De la figura:

= 60° - 20°

Luego:

X = 40° - 20°

= 40°

X = 20°X = 20°

Problema Nº 04

RESOLUCIÓN

Page 16: Angulos Ab

La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB.

A

O

B

C

X

(- X)

( + X)

( - X) = 30º

2X=30º

X = 15°X = 15°

Problema Nº 05

RESOLUCIÓN

M

Construcción de la gráfica según el enunciado

Del enunciado:

AOB - OBC = 30°

-

Luego se reemplaza por lo queSe observa en la gráfica

Page 17: Angulos Ab

Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la mAOC = mBOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

A

C

B

D

M

N

X

De la figura:

2 + = 90° + 2 = 90°

( + )

2 + 2 + 2 = 180° + + = 90°

X = + + X = + +

X = 90°X = 90°

Problema Nº 06

RESOLUCIÓNConstrucción de la gráfica según el enunciado

Page 18: Angulos Ab

Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”

80°

30°

X

m

n

Problema Nº 07

Page 19: Angulos Ab

2 + 2 = 80° + 30°

Por la propiedad

Propiedad del cuadrilátero cóncavo

+ = 55° (1)

80° = + + X (2)

Reemplazando (1) en (2)

80° = 55° + X

X = 25°X = 25°

80°

30°

X

m

n

RESOLUCIÓN

Page 20: Angulos Ab

Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”

5

4 65°

X

m

n

Problema Nº 08

Page 21: Angulos Ab

5

4 65°

X

m

n

Por la propiedad:

4 + 5 = 90°

= 10° = 10°

Ángulo exterior del triángulo

40° 65°

X = 40° + 65°

X = 105°X = 105°

RESOLUCIÓN

Page 22: Angulos Ab

Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”

2

x

m

n

2

Problema Nº 01

Page 23: Angulos Ab

3 + 3 = 180°

+ = 60° + = 60°

Ángulos entre líneas poligonales

X = + X = 60° X = 60°

RESOLUCIÓN

2

x

m

n

2

x

Ángulos conjugados internos

Page 24: Angulos Ab
Page 25: Angulos Ab

PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m x

A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

x

4x

3x L1

L2

Page 26: Angulos Ab

m

n

30°

X

PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m x

A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

Page 27: Angulos Ab

PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m

A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°

3

33

m

n

Page 28: Angulos Ab

PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x”

A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

40°

95°

2x

m

n

Page 29: Angulos Ab

PROBLEMA 05.- Calcule la m x

A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°

3

6

x

Page 30: Angulos Ab

4

4

Xm

n

PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m x

A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

Page 31: Angulos Ab

A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°

PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m x

88°

24°

x

m

n

Page 32: Angulos Ab

PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m x

20°

30°

X

m

n

A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

Page 33: Angulos Ab

PROBLEMA 09.-Si m//n y - = 80°. Calcule la mx

A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

x

m

n

Page 34: Angulos Ab

PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m x

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

x

x

x

m

n

Page 35: Angulos Ab

PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m

A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°

180°-2

2m

n

Page 36: Angulos Ab

PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m x

A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°

x

80°

m

n

Page 37: Angulos Ab

PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m x

A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

80°

m

n

x

Page 38: Angulos Ab

REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

1. 20º 8. 50º

2. 30º 9. 80º

3. 45º 10. 30º

4. 10º 11. 60º

5. 120º 12. 40º

6. 36º 13. 50º

7. 32º