Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

15
3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5–7 Νοεμβρίου, 2008 Άρθρο 2011 Ανάλυση της Σεισμικής Συμπεριφοράς Γεφυρών με Λεπτότοιχες Διατομές Τυχούσας Γεωμετρίας Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled Cross- sections of Arbitrary Geometry Βασίλης ΛΕΚΙΔΗΣ 1 , Ισσάμ ΣΟΥΣ 2 , Χρήστος ΚΑΡΑΚΩΣΤΑΣ 3 , Αριστοτέλης ΤΟΚΑΤΛΙΔΗΣ 4 . ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στόχος της εργασίας είναι η ανάπτυξη ενός πεπερασμένου στοιχείου, το οποίο θα μπορεί να περιγράφει την πολύπλοκη συμπεριφορά φορέων γεφυρών κατά τον σεισμό με αποτελεσματικό και οικονομικό τρόπο. Προσομοιώνονται γέφυρες με λεπτότοιχες διατομές, τυχούσας γεωμετρίας. Η τυχούσα μορφή διατομής προσομοιώνεται με συνδυασμό ανεξάρτητων τμημάτων. Γίνεται η υπόθεση ότι η θεμελιώδης συμπεριφορά της γέφυρας καθορίζεται από τη συμπεριφορά κατά μήκος του οριζόντιου άξονά της (συμπεριφορά δοκού). Οι παραμορφώσεις διατομής και οι άλλες πρόσθετες επιδράσεις όπως η στρέβλωση περιγράφονται θεωρώντας τα τοιχώματα της διατομής ως ξεχωριστά τμήματα, σαν χωρικές πλάκες με ταυτόχρονη καμπτική και εφελκυστική παραμόρφωση. Η προτεινόμενη μεθοδολογία πεπερασμένων στοιχείων επιτρέπει την άμεση επέκταση της για την μελέτη της ανελαστικής συμπεριφοράς φορέων από οπλισμένο σκυρόδεμα. Με σκοπό τον αποτελεσματικό, μη γραμμικό υπολογισμό γεφυρών, κρίνεται σκόπιμη η χρησιμοποίηση μακροσκοπικών καταστατικών μοντέλων. Τα καταστατικά μοντέλα που προτείνονται περιγράφουν αξιόπιστα τη συμπεριφορά του υλικού, είναι πειραματικά τεκμηριωμένα και ενσωματώνονται χωρίς προβλήματα στα πεπερασμένα στοιχεία που ανεπτύχθησαν. ABSTRACT: A methodology is presented for the dynamic finite element analysis of bridge structures with thin walled cross-sections of arbitrary geometric configuration. The cross- section of the bridge is modeled as a combination of individual structural components. It is assumed that the fundamental structural behavior of the bridge is governed by the response along its longitudinal axis, which can be considered as the behavior of a beam. Cross- sectional deformations and other effects (such as warping and ovalization) are described by considering the wall of the individual component as plate with both extensional as well as flexural deformations. These additional deformations are considered to take place relative to the beam deformations. The proposed finite element methodology allows a straightforward extension to the inelastic analysis of reinforced concrete structures. Towards an efficient non-linear analysis of RC bridges with relatively low computational cost, macroscopic material laws are proposed. 1 Δρ Πολιτικός Μηχανικός, Δ/ντής Ερευνών ΙΤΣΑΚ, email: [email protected] 2 Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Επικ. Καθηγητής ΤΕΙ Σερρών, email: [email protected] 3 Δρ Πολιτικός Μηχανικός, Δ/ντής Ερευνών ΙΤΣΑΚ, email: [email protected] 4 Δρ Πολιτικός Μηχανικός, Μελετητής.

Transcript of Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

Page 1: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

3o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας

5–7 Νοεμβρίου, 2008 Άρθρο 2011

Ανάλυση της Σεισμικής Συμπεριφοράς Γεφυρών με

Λεπτότοιχες Διατομές Τυχούσας Γεωμετρίας

Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled Cross-sections of Arbitrary Geometry

Βασίλης ΛΕΚΙΔΗΣ 1, Ισσάμ ΣΟΥΣ 2, Χρήστος ΚΑΡΑΚΩΣΤΑΣ 3, Αριστοτέλης

ΤΟΚΑΤΛΙΔΗΣ 4.

ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στόχος της εργασίας είναι η ανάπτυξη ενός πεπερασμένου στοιχείου, το οποίο θα μπορεί να περιγράφει την πολύπλοκη συμπεριφορά φορέων γεφυρών κατά τον σεισμό με αποτελεσματικό και οικονομικό τρόπο. Προσομοιώνονται γέφυρες με λεπτότοιχες διατομές, τυχούσας γεωμετρίας. Η τυχούσα μορφή διατομής προσομοιώνεται με συνδυασμό ανεξάρτητων τμημάτων. Γίνεται η υπόθεση ότι η θεμελιώδης συμπεριφορά της γέφυρας καθορίζεται από τη συμπεριφορά κατά μήκος του οριζόντιου άξονά της (συμπεριφορά δοκού). Οι παραμορφώσεις διατομής και οι άλλες πρόσθετες επιδράσεις όπως η στρέβλωση περιγράφονται θεωρώντας τα τοιχώματα της διατομής ως ξεχωριστά τμήματα, σαν χωρικές πλάκες με ταυτόχρονη καμπτική και εφελκυστική παραμόρφωση. Η προτεινόμενη μεθοδολογία πεπερασμένων στοιχείων επιτρέπει την άμεση επέκταση της για την μελέτη της ανελαστικής συμπεριφοράς φορέων από οπλισμένο σκυρόδεμα. Με σκοπό τον αποτελεσματικό, μη γραμμικό υπολογισμό γεφυρών, κρίνεται σκόπιμη η χρησιμοποίηση μακροσκοπικών καταστατικών μοντέλων. Τα καταστατικά μοντέλα που προτείνονται περιγράφουν αξιόπιστα τη συμπεριφορά του υλικού, είναι πειραματικά τεκμηριωμένα και ενσωματώνονται χωρίς προβλήματα στα πεπερασμένα στοιχεία που ανεπτύχθησαν. ABSTRACT: A methodology is presented for the dynamic finite element analysis of bridge structures with thin walled cross-sections of arbitrary geometric configuration. The cross-section of the bridge is modeled as a combination of individual structural components. It is assumed that the fundamental structural behavior of the bridge is governed by the response along its longitudinal axis, which can be considered as the behavior of a beam. Cross-sectional deformations and other effects (such as warping and ovalization) are described by considering the wall of the individual component as plate with both extensional as well as flexural deformations. These additional deformations are considered to take place relative to the beam deformations. The proposed finite element methodology allows a straightforward extension to the inelastic analysis of reinforced concrete structures. Towards an efficient non-linear analysis of RC bridges with relatively low computational cost, macroscopic material laws are proposed. 1 Δρ Πολιτικός Μηχανικός, Δ/ντής Ερευνών ΙΤΣΑΚ, email: [email protected] 2 Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Επικ. Καθηγητής ΤΕΙ Σερρών, email: [email protected] 3 Δρ Πολιτικός Μηχανικός, Δ/ντής Ερευνών ΙΤΣΑΚ, email: [email protected] 4 Δρ Πολιτικός Μηχανικός, Μελετητής.

Page 2: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Oι φορείς των γεφυρών είναι δυνατόν να περιέχουν μεγάλη ποικιλία δομικών συστημάτων και μορφών διατομής. Χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι τα συστήματα πλακοδοκών που χρησιμοποιούνται για τη στήριξη ορθοτροπικών πλακών ή τα σύμμεικτα καταστρώματα από χάλυβα και σκυρόδεμα καθώς επίσης και τις γέφυρες μονοκυψελικής και πολυκυψελικής διατομής (Σχήμα 1). Επιπλέον, οι κιβωτιοειδείς γέφυρες μπορεί να είναι κλειστής ή ανοικτής ή μεικτής διατομής (ανοικτές και κλειστές διατομές). Οι κανονισμοί και οι προδιαγραφές επιβάλλουν περιπτώσεις φορτίων, οι οποίες οδηγούν σε περίπλοκη δομική συμπεριφορά. Τα φορτία αυτά προκαλούν διατμητική υστέρηση, στρεπτικές, διατμητικές τάσεις, καθώς και στρέβλωση, οβαλοποίηση με τοπικές συγκεντρώσεις τάσεων. Επιπλέον, ο αντισεισμικός σχεδιασμός απαιτεί ιδιαίτερα να ληφθούν υπόψη η επιρροή αδρανειακών μεγεθών με άμεσες επιπτώσεις στο συνολικό κόστος. Επομένως, απαιτείται η διατύπωση πεπερασμένων στοιχείων, ικανών να περιγράψουν την περίπλοκη δομική συμπεριφορά των γεφυρών κατά τρόπο αποδοτικό και οικονομικό.

Σχήμα 1. Διατομές διαφόρων φορέων γεφυρών: α) κλειστή μονοκυψελική β) κλειστή πολυκυψελική γ) πλακοδοκός δ) μεικτή (ανοικτές και κλειστές διατομές)

Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας, παρουσιάζεται μια μεθοδολογία για τη δυναμική ανάλυση γεφυρών με τη χρήση, λεπτότοιχου, πεπερασμένου στοιχείου τυχούσας γεωμετρικής διατομής. Η τυχούσα μορφή της διατομής περιγράφεται με συνδυασμό επιμέρους επίπεδων τμημάτων. Γίνεται η παραδοχή ότι η θεμελιώδης δομική συμπεριφορά της γέφυρας καθορίζεται από την απόκριση κατά μήκος του διαμήκους άξονά της. Αυτή η απόκριση μπορεί να θεωρηθεί ως συμπεριφορά μιας δοκού. Οι παραμορφώσεις της διατομής και άλλες πρόσθετες επιρροές όπως η στρέβλωση μπορούν να περιγραφούν με την θεώρηση του επιμέρους τμήματος του τοιχώματος ως κέλυφος ή ως πλάκα με καμπτικές και εφελκυστικές παραμορφώσεις. Οι παραμορφώσεις της διατομής εκφράζονται σε συνάρτηση με τις παραμορφώσεις του διαμήκους άξονα. Οι σχέσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά των επιμέρους τμημάτων τοιχώματος προκύπτουν με την εξειδίκευση των εξισώσεων της τρισδιάστατης Μηχανικής συνεχούς μέσου με την εισαγωγή των κατάλληλων παραδοχών για την κινηματική και την κατανομή τάσης / παραμόρφωσης. Η δομική συμπεριφορά της γέφυρας περιγράφεται πλήρως λαμβάνοντας υπόψη και τη σύζευξη της συμπεριφοράς δοκού και επίπεδου κελύφους κατά την παραγωγή των εξισώσεων του συστήματος καθώς επίσης και κατά την έκφραση της κατάλληλης ενεργειακής αρχής. Στην περίπτωση λεπτότοιχης διατομής, η επίδραση των εγκάρσιων διατμητικών παραμορφώσεων συμπεριλαμβάνεται στη διατύπωση. Μια έκφραση της

Page 3: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

3

γενικευμένης αρχής των HU-Washizu χρησιμεύει ως αφετηρία για τη διακριτοποίηση. Επιπλέον, εισάγονται κατάλληλες ανεξάρτητες παραδοχές για τις μετατοπίσεις, τις στροφές, τις παραμορφώσεις και τις τάσεις [ Zhang (1984), Rhodes & Walker (1987), Bull (1990), Lekidis (1995), Wempner & Talaslidis (2000) ].

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ - ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

Η τυχούσα μορφή της διατομής παρουσιάζεται ως συνδυασμός επιμέρους τμήματων τοιχώματος. Τα περιμετρικά τοιχώματα αυτών των τμημάτων μπορούν να ταξινομηθούν ως "λεπτά" μέσα στο πλαίσιο της θεωρίας Reissner/Mindlin. Ένα υλικό σημείο P του τοιχώματος βρίσκεται σ’ένα επίπεδο διατομής κάθετο στον άξονα του δομικού στοιχείου που έχει τη μορφή δοκού (Σχήμα 2). Η θέση του P μπορεί να περιγραφεί είτε με τη χρησιμοποίηση ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων )3,2,1( =ixi συνδεδεμένου με

τη διατομή ή χρησιμοποιώντας ένα τυχαίο σύστημα συντεταγμένων )2,1( =αθ α στη μέση επιφάνεια και η απόσταση 3θ του P από την επιφάνεια αναφοράς )0( 3 =θ . Τα διανύσματα βάσης που αναφέρονται στα προαναφερθέντα συστήματα συμβολίζονται με ii ge ,ˆ με

1|||ˆ == ii ge| . Για την απλή περίπτωση των παράλληλων τοιχωμάτων προς στον άξονα αναφοράς 1x (Σχήμα 2) προκύπτει 11 eg = 322 ˆcosˆsin eeg φφ −= φcos3 =g (1)-(3)

Σχήμα 2. Απαραμόρφωτος φορέας – συστήματα συντεταγμένων διατομής Η κυρίαρχη παραδοχή για την περιγραφή της παραμόρφωσης ενός τμήματος γέφυρας είναι ότι η βασική συμπεριφορά της καθορίζεται κυρίως από την απόκριση κατά μήκος του άξονά της, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως συμπεριφορά δοκού. Οι πρόσθετες παραμορφώσεις της διατομής (π.χ., οβαλοποίηση και στρέβλωση) περιγράφονται με την θεώρηση των περιμετρικών τοιχωμάτων ως πλακών που εμφανίζουν καμπτικές και μεμβρανικές παραμορφώσεις. Για τον λόγο αυτό, η εισαγωγή δύο διαφορετικών συστημάτων συντεταγμένων ix και iθ επιτρέπει στα πεδία μεταβλητών, που σχετίζονται με τις

Page 4: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

4

παραμορφώσεις της δοκού ή στις σχετικές παραμορφώσεις τοιχώματος, να περιγραφούν με έναν φυσικότερο και πιο συνεπή τρόπο. Η τελική παραμορφωμένη διαμόρφωση επιτυγχάνεται με τα τρία ακόλουθα βήματα (Σχ. 3):

Σχήμα. 3. Στάδια παραμόρφωσης

(i) η διατομή του στοιχείου μετατοπίζεται και περιστρέφεται ως στερεό επίπεδο. Το τμήμα

BP υποβάλλεται σε μια μεταφορά )( iB xw και σε μια στροφή (με τις αντίστοιχες μετατοπίσεις λόγω στροφής )( ixθ ) κατά τέτοιο τρόπο ώστε η μετατοπισμένη γραμμή

PB ′′ της διατομή να είναι κάθετη στην εφαπτομένη του παραμορφωμένου άξονα αναφοράς.

(ii) Στην περίπτωση που συμπεριλαμβάνονται και οι εγκάρσιες διατμητικές παραμορφώσεις, τότε η διατομή υποβάλλεται σε μια επιπλέον στροφή (γραμμή ∗′PB ). Η μετακίνηση λόγω της συνολικής στροφής )( ixφ συμβολίζεται με )( it xθ . Η διατομή παραμένει επίπεδη και δεν παραμορφώνεται αλλά δεν είναι πλέον κάθετη στον άξονα αναφοράς.

(iii) Εάν εγκαταλείψουμε την παραδοχή ότι η διατομή δεν στρεβλώνεται, τότε ένα τμήμα ∗P του τοιχώματος θα υποστεί μια πρόσθετη σχετική μετατόπιση ( )αθ

∼Δ λόγω της

μεταφοράς της μέσης επιφάνειας καθώς και μιας μετακίνησης ( )αθ∼Δö που

προκαλείται από τη σχετική στροφή της γραμμής ∗′PS . Έτσι, λόγω της εντός επιπέδου παραμόρφωση και στρέβλωση της διατομής, το τμήμα μετακινείται από τη θέση ∗P στη ∗∗P . Αυτή η πρόσθετη μετατόπιση, σχετική της μετατόπιση tB θ+w , είναι ίση με

∼ ∼+Δ Δö . Στην περίπτωση διατομής τοιχώματος μεγάλου πάχους εμφανίζονται μόνο οι

μετατοπίσεις ∼Δ.

Η θέση ∗∗P είναι η τελική θέση της κίνησης του υλικού σημείου P , ενώ η τελική επιβατική ακτίνα της παραμορφωμένης διατύπωσης ∗∗pR είναι p p B t∗∗ ∼ ∼

= + + + +R r w θ Δ Δφ (4)

Page 5: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

5

Οι τρεις πρώτοι όροι περιγράφουν την παραμόρφωση της δοκού ενώ οι δύο τελευταίοι την πρόσθετη παραμόρφωση του περιμετρικού τοιχώματος. Τα διανύσματα Bw και tθ είναι συναρτήσεις των συντεταγμένων ( )ix ενώ τα διανύσματα

∼Δ και

∼Δφ συναρτήσεις των

συντεταγμένων ( )θ i . Τα αντίστοιχα διανύσματα βάσης στην κατάσταση του παραμορφωμένου φορέα iG προκύπτουν από την χρήση του ορισμού παραμορφώσεων ijγ των Cauchy - Green, οδηγώντας τελικά στις ακόλουθες σχέσεις παραμορφώσεων – μετακινήσεων:

( ) ( )

( ) ( )

2 p pB t B tm mij i j j j

m m

p pi j j i

x xx xx x x x

κ κ

κ κ

γθ θ θ θ

θ θ θ θ∼ ∼ ∼ ∼

⎧ ⎫∂ ∂∂ + ∂ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪= + +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎡ ⎤∂ + ∂ +∂ ∂⎢ ⎥+ +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

w w

Δ Δ Δ Δ

r rè è

ö ör r (5)

Από την περαιτέρω επεξεργασία της εξίσωσης (5) και μετά από έλεγχο, προκύπτει ότι η παραμορφωτική συμπεριφορά του στοιχείου επηρεάζεται από την επιμήκυνση, την κάμψη και την στρέβλωση του άξονα αναφοράς. Λόγω της παρουσίας των εγκάρσιων διατμητικών παραμορφώσεων, η διατομή δεν είναι κάθετη στο παραμορφωμένο άξονα αναφοράς. Οι πρόσθετες μετατοπίσεις

∼Δ της μέσης επιφάνειας του περιμετρικού τοιχώματος θα

προκαλέσουν αξονικές και μεμβρανικές διατμητικές παραμορφώσεις στην επιφάνεια. Στην περίπτωση της λεπτότοιχης διατομής οι σχετικές μετατοπίσεις

∼Δ μαζί με τις σχετικές

μετατοπίσεις ∼Δö , λόγω της σχετικής στροφής της 3θ -γραμμής, προκαλούν την κάμψη της

μέσης επιφάνειας και τις εγκάρσιες διατμητικές παραμορφώσεις. Υποθέτοντας ότι το∼Δö

είναι επιφανειακό διάνυσμα, η επέκταση της 3θ -γραμμής δεν επιτρέπεται. Εξειδικεύοντας την σχέση (5) στις διάφορες γεωμετρίες προκύπτουν οι αντίστοιχες σχέσεις παραμορφώσεων – μετατοπίσεων για τα δομικά στοιχεία με ευθύγραμμους άξονες αναφοράς στο τρισδιάστατο 3 D χώρο με επίπεδα τοιχώματα. Για τη γεωμετρία του σχήματος (2) προκύπτουν αντίστοιχα οι ακόλουθες σχέσεις [Bull (1990)]: ( ) 111

311033

322

21111 γθγεγ ++++= kxkx (6)

2213

22022 γθγγ += 033 =γ (7), (8)

( ) ( ) 1213

1202

133

1212 cos21sin

21 γθγεϕεϕγ +++−−= TxTx (9)

( ) ( ) 1302

133

1213 sin21cos

21 γεϕεϕγ ++−−−= TxTx 23023 γγ = (10), (11)

Στις εξισώσεις (6) έως (11) οι όροι αβγ0 , αβγ1 και 30 αγ υποδηλώνουν τις σχετικές μεμβρανικές, καμπτικές και εγκάρσιες διατμητικές παραμορφώσεις των περιμετρικών τοιχωμάτων, αντίστοιχα. Στην περίπτωση των διατομών μεγάλου πάχους τοιχώματος, εμφανίζονται μόνο οι όροι αβγ0 και 30 αγ . Οι όροι 11ε , 22k , 33k , 12ε , 13ε και T υποδηλώνουν τις αξονικές, καμπτικές, εγκάρσιες διατμητικές και στρεβλωτικές παραμορφώσεις του άξονα αναφοράς της δοκού.

Page 6: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

6

ΕΝΤΑΤΙΚH ΚΑΤAΣΤΑΣΗ

Με σκοπό αφενός την περιγραφή της σύζευξης συμπεριφοράς μεταξύ της δοκού και αφετέρου της λεπτότοιχης πλάκας τοιχώματος / του τρισδιάστατο χώρου (μεγάλου πάχους) κατά τρόπο συνεπή χρησιμοποιείται ως αφετηρία η τρισδιάστατη εντατική κατάσταση και στη συνέχεια αναφερόμαστε στις μεταβλητές των τάσεων του άξονα αναφοράς ή του τοιχώματος. Το διάνυσμα τάσεων t που ανήκει σε ένα στοιχείο του τρισδιάστατου χώρου με το μοναδιαίο κάθετο n να μπορεί να εκφραστεί σε όρους των διανυσμάτων τάσης it or it που ενεργούν στις iθ - ή ix - επιφάνεια. Εάν iT και iT υποδηλώνουν τις δυνάμεις ανά μονάδα των iθ και

ix συντεταγμένων, αντίστοιχα, τότε ισχύει:

jiijiiiijii nsGnnGnGn GtGTtt ijii

iii ===⋅=⋅⋅= ∑/ (12)

Στις σχέσεις (12) τα στοιχεία ijΣ και ijs του τανυστή των τάσεων αναφέρονται στα ix και iθ συστήματα συντεταγμένων, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι το συνολικό διάνυσμα τάσεων t αποτελείται από ένα μέρος Bt , το οποίο οφείλεται στις παραμορφώσεις της δοκού, και από ένα πρόσθετο μέρος sΔt που προκαλείται από τις σχετικές παραμορφώσεις. Η παραδοχή αυτή οδηγεί στις ακόλουθες σχέσεις για τους τανυστές που συνθέτουν την τάση ij

sijB

ijt sss Δ+= ij

sijB

ijt SSS Δ+= (13), (14)

Στην περίπτωση των λεπτότοιχων διατομών, η γενικευμένη ενεργειακή πρόταση (Ηu-Washizu), που χρησιμεύει ως αφετηρία για τη διακριτοποίηση, απαιτεί επίσης και την ανεξάρτητη προσέγγιση των αναπτυσσόμενων εσωτερικών δυνάμεων και ροπών. Με σκοπό την αξιοποίηση του πλεονεκτήματος της προηγούμενης εμπειρίας μας σε ότι αφορά στην κατάλληλη επιλογή των προσεγγίσεων για τις δυνάμεις και ροπές στα προβλήματα δοκών και κελυφών, οι σχέσεις μεταξύ των τανυστών τάσης ijΣ , ijs και των εντατικών μεγεθών μπορούν να εξαχθούν. Οι σχέσεις αυτές πρέπει να είναι συμβατές με τις κινηματικές παραδοχές, και να περιλαμβάνουν τόσο τους ορισμούς για τις δυνάμεις όσο και τους καταστατικούς νόμους. Επιπρόσθετα, οι σχέσεις που θα προκύψουν πρέπει να είναι ανεξάρτητες από τη θέση και την επιλογή της γραμμής αναφοράς. Έτσι, ως αποτέλεσμα προκύπτουν σχέσεις της μορφής: ( ) ( )3

232

2221223132

121111

11 xFxFFMxFxFFN +++++=Σ

( )323

2222122 xFxFFM +++ (15)

( ) ( ) ( )33112

3012

1132112

2012

33

1112

1012

212 xRRMxRRQxRRQ +++++=Σ (16)

( ) ( ) ( )23113

3013

112

2113

2013

33

1113

1013

213 xRRMxRRQxRRQ +++++=Σ (17) Στις εξισώσεις (15) έως (17) οι όροι ijF και ijR lκ εξαρτώνται από τη γεωμετρία της διατομής και της θέσης του άξονα αναφοράς της δοκού.

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΕΡΓΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ H γενικευμένη εργική πρόταση του Hu-Washizu χρησιμεύει για την παραγωγή των εξισώσεων διακριτοποιημένου πεδίου, αλλά και ως αφετηρία για τη διακριτοποίηση. H εργική

Page 7: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

7

πρόταση του Hu-Washizu, προκύπτει από την προσθήκη στην αρχική ενέργεια παραμόρφωσης και των σχέσεων παραμόρφωσης-μετατοπίσεων.

( ) .....221..... +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−+= ∫ dVgsP ijijji

tijv

ijtHW GgGgγ (18)

Η εργική πρόταση του Hu-Washizu επιτρέπει το χειρισμό των παραμορφώσεων και μετατοπίσεων ως ανεξάρτητες μεταβλητές. Προς την κατεύθυνση αυτή, απαιτούνται ειδικές θεωρήσεις με σκοπό την επιλογή των κατάλληλων εκφράσεων για τις τάσεις και τις παραμορφώσεις.

Με στόχο την ορθολογική και συνεπή διατύπωση, ξεκινάμε από το τρισδιάστατο συνεχές μέσο. Η ενέργεια παραμόρφωσης προκύπτει με την εισαγωγή καταλλήλων σχέσεων για τις παραμορφώσεις, εισάγοντας την παραδοχή της ελαστικής συμμετρίας του υλικού τοιχώματος λαμβάνοντας υπόψη ότι θ3=0 και με την χρήση συνθηκών επίπεδης τάσης στην περίπτωση λεπτών τοιχωμάτων. Αυτό συνεπάγεται ότι η ενέργεια παραμόρφωσης θα αποτελείται από τα ακόλουθα τρία μέρη: Τα πρώτα δύο μέρη περιγράφουν την ενέργεια παραμόρφωσης που παράγεται από τη δοκό και τις μεταβλητές παραμόρφωσης του επίπεδου κελύφους ενώ το τρίτο μέρος λαμβάνει υπόψη τη σύζευξη των διαφορετικών δομικών συμπεριφορών. Από τη παραγώγιση των τάσεων και παραμορφώσεων προκύπτουν οι σχέσεις παραμορφώσεων – μετατοπίσεων και οι καταστατικές εξισώσεις. Επιπρόσθετα, από τη διαφόριση των μετακινήσεων και των στροφών και με την εισαγωγή του θεωρήματος του Green προκύπτουν τόσο οι εξισώσεις ισορροπίας όσο και οι συνοριακές στατικές συνθήκες.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΕΣ - ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΑΡΤΗΣΕΙΣ

Οι συνολικές μετατοπίσεις του επιμήκους υποφορέα αποτελούνται από το τμήμα εκείνο που σχετίζεται με την κινηματική της δοκού (wB , φΒ) και το τμήμα εκείνο που σχετίζεται με την κινηματική της περιμετρικής χωρικής πλάκας (Δ , Δφ). Στο κεφάλαιο της διακριτοποίησης, αναφέρεται ότι χρησιμοποιούνται διγραμμικές συναρτήσεις παρεμβολής για τις παραμορφώσεις της περιμετρικής πλάκας Δ , Δφ. Λόγω της επιλογής αυτής για τις συναρτήσεις παρεμβολής, προκύπτουν έξι κινήσεις στερεού σώματος και δεκατέσσερις δυνατοί τρόποι κύριας παραμόρφωσης. Η λειτουργία του περιμετρικού τοιχώματος, ως συμπληρωματικής της συμπεριφοράς της δοκού, δεν λαμβάνεται υπόψη εξ αρχής κατά την δικριτοποίηση. Σύμφωνα με τις παραδοχές σχετικά με την κινηματική της παραμόρφωσης θα έπρεπε οι μετακινήσεις Δ , Δφ να περιγράφουν μόνο το πρόσθετο κομμάτι της συνολικής παραμόρφωσης πέρα από αυτό που καλύπτεται με τις μετατοπίσεις της δοκού wB , φΒ. Ο διαχωρισμός αυτός δεν θα ήταν δυνατόν να γίνει εξ αρχής και δεν θα επέτρεπε την χρήση των απλών συναρτήσεων μορφής που επιλέχθηκαν. Έτσι στα μητρώα δυνατού έργου εμφανίζονται γραμμικά εξαρτημένες σειρές και στήλες. Τα μητρώα που προκύπτουν από τον πρόσθετο όρο (εξίσωση 18) στην εργική πρόταση του Hu-Washizu περιέχει σειρές με γραμμική εξάρτηση και το τελικό μητρώο δυσκαμψίας εμφανίζει πάνω από έξι μηδενικές ιδιοτιμές. Η φυσική σημασία αυτών των εξαρτήσεων αποδίδεται στο γεγονός ότι το ίδιο δυνατό έργο παράγεται μερικώς από τη δοκό και από τους μεταβλητές του τοιχώματος: μερικές από τις μορφές παραμόρφωσης του τοιχώματος αντιστοιχούν στις παραμορφώσεις της δοκού και δεν πρέπει να εμφανίζονται στη διατύπωση. Με την εφαρμογή κατάλληλων

Page 8: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

8

αλγορίθμων, οι γραμμικές εξαρτήσεις μπορούν να εντοπιστούν αριθμητικά και να απαλειφθούν. Τέλος, η ύπαρξη περισσοτέρων μορφών μηδενικής ενέργεια από τις έξι που αντιστοιχούν στις έξι κινήσεων στερεού σώματος μπορεί να αποφευχθεί θεωρώντας ότι έξι μετακινήσεις σε κάθε διατομή αντιστοιχούν στις έξι σταθερές μορφές παραμόρφωσης της δοκού και με την απαλοιφή αυτών των έξι σχετικών μετακινήσεων.

ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ Η βάση της διακριτοποίησης είναι η εργική πρόταση του Hu-Washizu με ανεξάρτητες προσεγγίσεις για τις μετακινήσεις, τις παραμορφώσεις και τάσεις. Τα διανύσματα μετακινήσεων και στροφών )( iB xw και )( iB xφ της δοκού εκφράζονται με γραμμικά πολυώνυμα κατά την διαμήκη διεύθυνση. Στην περίπτωση λεπτών και (ή μεγάλου πάχους) τοιχωμάτων οι σχετικές μετατοπίσεις ( )αθ

∼Δ (ή ( )iθ

∼Δ ) εκφράζονται με συναρτήσεις

παρεμβολής που περιέχουν διγραμμικά (τριγραμμικά) πολυώνυμα. Για τις σχετικές στροφές ( )αθ

∼Δö χρησιμοποιούνται διγραμμικά πολυώνυμα παρεμβολής. Προϋπόθεση για απλές

αλλά αξιόπιστες διατυπώσεις στοιχείου αποτελεί η αποφυγή ανεπιθύμητων φαινομένων όπως είναι η εμπλοκή και η εμφάνιση μορφών μηδενικής ενέργειας. Προς την κατεύθυνση αυτή, τόσο οι αξονικές και οι καμπτικές παραμορφώσεις όσο και η στρέβλωση της γραμμής αναφοράς της δοκού θεωρούνται σταθερά κατά τη διαμήκη κατεύθυνση. Οι σχετικές παραμορφώσεις μιας λεπτότοιχης διατομής προσεγγίζονται ως ακολούθως: Οι συνιστώσες παραμορφωσης ),,( 130111110 γγγ μεταβάλλονται γραμμικά στη 2θ -διεύθυνση, οι όροι

),,( 230221220 γγγ υποτίθεται ότι έχουν γραμμική μεταβολή κατά τη 1θ -διεύθυνση ενώ οι

όροι παραμόρφωσης ),( 121120 γγ θεωρούνται σταθεροί. Στην περίπτωση των υπο-

στοιχείων με τοιχώματα μεγάλου πάχους, οι παραμορφώσεις )( 11γ , )( 22γ κι )( 33γ της τρισδιάστατης κατάστασης παραμόρφωσης εκφράζονται με τη χρήση διγραμμικών πολυώνυμων στις κατευθύνσεις )( 32 θθ − , )( 31 θθ − και )( 21 θθ − , αντίστοιχα. Για τους όρους των διατμητικών παραμορφώσεων )( 12γ και των εγκάρσιων διατμητικών παραμορφώσεων )( 13γ και )( 23γ χρησιμοποιούνται γραμμικά πολυώνυμα παρεμβολής στις

−3θ , −2θ και −1θ κατευθύνσεις, αντίστοιχα. Οι συνισταμένες τάσεις εκφράζονται με παρόμοιο τρόπο. Οι διατυπώσεις απλοποιούνται περαιτέρω όταν οι γραμμικές / διγραμμικές μεταβολές των παραμορφώσεων και των αντίστοιχων τάσεων αντικατασταθούν από εκφράσεις σταθερές ανά τμήμα (piecewise constant approximations) (σχ. 4).

Σχήμα 4. Εκφράσεις σταθερές ανά τμήμα

Page 9: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

9

Χρησιμοποιώντας την προαναφερόμενη διατύπωση, καταλήγουμε στη διαμόρφωση οικογένειας απλών πεπερασμένων στοιχείων που προορίζονται για την μοντελοποίηση εύκαμπτων δομικών στοιχείων τύπου δοκού με επίπεδα τοιχώματα (σχ. 5). Χάρη στην απλότητα των διατυπώσεων, μακροστοιχεία με διαφορετικές μορφές διατομής μπορούν εύκολα να συντίθενται και να χρησιμοποιηθούν. Επιπρόσθετα, οι βαθμοί ελευθερίας που αντιστοιχούν στους εσωτερικούς κόμβους αυτών των μακροστοιχείων μπορεί να απαλειφθούν στο επίπεδο του στοιχείου. Η προσέγγιση αυτή παρέχει απλά στοιχεία ικανά να περιγράφουν τη στατική και δυναμική συμπεριφορά της κατασκευής με ακριβή και οικονομικό τρόπο. Επίσης, τα στοιχεία –μετά την απαλοιφή των τάσεων και παραμορφώσεων σε επίπεδο στοιχείου- διαθέτουν μόνο μηχανικούς βαθμούς ελευθερίας και μπορούν εύκολα να ενσωματωθούν σε προγράμματα πολλαπλών εφαρμογών. Σε σχέση με τη τρισδιάστατη ανάλυση μέσω επίπεδων στοιχείων κελύφους, το προτεινόμενο στοιχείο μειώνει το υπολογιστικό κόστος ενώ περιγράφει τη δομική συμπεριφορά των γεφυρών κατά τρόπο πιο ρεαλιστικό από τα στοιχεία δοκού ή από άλλες μεθόδους προσέγγισης.

Σχήμα 5. Μακροστοιχεία

Οι προσεγγίσεις που εισάγονται για τα πεδία των μετακινήσεων περιγράφοντας τις παραμορφώσεις του τοιχώματος δεν λαμβάνουν υπόψη το γεγονός ότι τα πεδία αυτά αντιπροσωπεύουν σχετικές μετατοπίσεις της δοκού και ως τέτοια δεν πρέπει να περιέχουν κινήσεις και παραμορφώσεις που έχουν ήδη περιγραφεί από τα πεδία μετακινήσεων της δοκού. Ο σκοπός μιας τέτοιας προσέγγισης ήταν να επωφεληθούμε από την προηγούμενή μας εμπειρία σχετικά με την κατάλληλη επιλογή παραδοχών για τις παραμορφώσεις και τις τάσεις. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΓΙΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΑΠΟ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ. Η συμπεριφορά φορέων από οπλισμένο σκυρόδεμα καθορίζεται σε σημαντικό βαθμό από παράγοντες οι οποίοι είναι ασύμβατοι με την παραδοχή του ομογενούς, ισότροπου και γραμμικά ελαστικού υλικού. Φαινόμενα όπως η ρηγμάτωση και η σύνθλιψη του σκυροδέματος, η διαρροή του χάλυβα, η εμπλοκή των αδρανών, η δράση βλήτρου των οπλισμών, η ατελής συνάφεια χάλυβα – σκυροδέματος, συμβάλλουν δραστικά στη μη γραμμική απόκριση κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος υπό στατικές ή δυναμικές φορτίσεις. Οι περισσότερες συμβατικές μέθοδοι σχεδιασμού αντιμετωπίζουν το οπλισμένο σκυρόδεμα ως μη ρηγματωμένο γραμμικά ελαστικό υλικό κατά το στάδιο της ανάλυσης,

Εξωτ. Κόμβος Εσωτ. Κόμβος

Page 10: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

10

αγνοώντας ή λαμβάνοντας υπόψη προσεγγιστικά τα μη γραμμικά φαινόμενα που προαναφέρθηκαν. Η ανάγκη, ωστόσο, εμβάθυνσης στη συμπεριφορά του οπλισμένου σκυροδέματος καθώς και η απαίτηση ορθολογικού σχεδιασμού ειδικών κατασκευών με πολύπλοκη γεωμετρία και σύνθετες φορτίσεις έδωσαν ιδιαίτερη ώθηση τα τελευταία χρόνια στην ανάπτυξη μη γραμμικών μεθόδων υπολογισμού με τη χρήση πεπερασμένων στοιχείων.

Στην παρούσα εργασία, διερευνήθηκαν και ζητήματα που αφορούν στα καταστατικά μοντέλα του σκυροδέματος και του χάλυβα καθώς και για τη συνάφεια χάλυβα – σκυροδέματος, στη ρηγμάτωση του σκυροδέματος, στη μεταφορά διατμητικών τάσεων στο ρηγματωμένο σκυρόδεμα καθώς και στα στρωσιγενή στοιχεία για την ανάλυση επιφανειακών φορέων.

Μέχρι σήμερα έχουν προταθεί πολυάριθμα μοντέλα για τη μη γραμμική ανάλυση κατασκευών από Ο.Σ. Η ανάπτυξη μιας ορθολογικής μεθοδολογίας πεπερασμένων στοιχείων για τον υπολογισμό επιφανειακών φορέων από Ο.Σ απαιτεί: (α) απλά και αποτελεσματικά επιφανειακά στοιχεία για τον υπολογισμό δίσκων, πλακών και κελυφών και (β) έναν πειραματικά τεκμηριωμένο καταστατικό νόμο για την περιγραφή της μη γραμμικής συμπεριφοράς του Ο.Σ. Το καταστατικό μοντέλο θα πρέπει, καταρχήν, να περιγράφει αξιόπιστα τη συμπεριφορά του υλικού σε επίπεδη ένταση. Η μετάβαση στη γενική περίπτωση του κελύφους είναι άμεση με τη διατύπωση στρωσιγενών (ή στρωματοποιημένων) στοιχείων τα οποία αξιοποιούν το διδιάστατο μοντέλο.

Οι καταστατικές εξισώσεις για την κατάσταση επίπεδης έντασης εκφράζονται σε μητρωϊκή μορφή και εισάγονται στα πεπερασμένα στοιχεία που αναπτύχθηκαν στις προηγούμενες ενότητες, μέσω μιας στρωσιγενούς διατύπωσης. Το προτεινόμενο μοντέλο εφαρμόστηκε στην ανάλυση δίσκων και κελυφών με ικανοποιητικά αποτελέσματα. Οι καταστατικές εξισώσεις εισάγονται στο προτεινόμενο στοιχείο με σκοπό την ανάπτυξη μη γραμμικού μικρο-αυξητικού μοντέλου ρηγματωμένου σκυροδέματος. Το αρηγμάτωτο σκυρόδεμα στο προτεινόμενο μοντέλο, θεωρείται ως ορθότροπο, μη γραμμικό ελαστικό υλικό.

Χρησιμοποιήθηκαν οι σχέσεις τάσεων – παραμορφώσεων από τα πειραματικά αποτελέσματα των εργασιών Polak & Vecchio (1993) και Selby & Vecchio (1997). Η πειραματική διερεύνηση της συμπεριφοράς δίσκων Ο.Σ. υπό ομοιόμορφη μονότονη φόρτιση και η διατύπωση αναλυτικών σχέσεων τάσεων-παραμορφώσεων για το διαξονικά επιπονούμενο σκυρόδεμα αποτελεί το αντικείμενο της εργασίας των Vecchio και Collins (1982, 1986 & 1988). Οι Vecchio και Collins διενήργησαν ένα εκτεταμένο πρόγραμμα πειραματικών δοκιμών φόρτισης επίπεδων στοιχείων από Ο.Σ. Τα δοκίμια είναι τετραγωνικής μορφής με διαστάσεις 890x890x70 mm και οπλίζονται με δύο στρώσεις συγκολλητού δομικού πλέγματος. Οι ράβδοι των πλεγμάτων είναι παράλληλες προς τις πλευρές των δοκιμίων και οι δύο διευθύνσεις όπλισης χαρακτηρίζονται ως "διαμήκης" (longitudinal) και "εγκάρσια" (transverse). Η διάμετρος των ράβδων είναι μεταβλητή, ανάλογα με το επιθυμητό ποσοστό οπλισμού. Η φόρτιση επιβάλλεται με κλείδες διάτμησης (shear keys) οι οποίες αγκυρώνονται στην περίμετρο των δοκιμίων. Κατά τη διάρκεια μίας τυπικής δοκιμής, το φορτίο αυξάνεται μονότονο, μέχρι την αστοχία του δοκιμίου. Σε κάθε στάδιο φόρτισης, το επιβαλλόμενο φορτίο σταθεροποιείται και λαμβάνονται μετρήσεις των παραμορφώσεων του δοκιμίου και των ασκούμενων δυνάμεων. Οι περιπτώσεις φόρτισης περιλαμβάνουν καθαρή διάτμηση, συνδυασμένη διάτμηση και θλίψη και τέλος, μεταβλητούς λόγους συνδυασμένων φορτίων. Μεταβλητές παράμετροι των δοκιμών είναι η θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος, η τάση διαρροής του χάλυβα, το ποσοστό οπλισμού καθώς και ο λόγος των ποσοστών οπλισμού στις δύο διευθύνσεις.

Page 11: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

11

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΤΡΩΣΙΓΕΝΟΥΣ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

Οι καταστατικές εξισώσεις που διατυπώθηκαν ατό προηγούμενο κεφάλαιο ενσωματώνονται σε στρωσιγενή στοιχεία με σκοπό τη μη γραμμική ανάλυση επιφανειακών φορέων από Ο.Σ. Το στοιχείο κελύφους διαιρείται σε έναν αριθμό στρώσεων σκυροδέματος κατά τη διεύθυνση του πάχους και ο οπλισμός κατανέμεται σε ισοδύναμες στρώσεις χάλυβα (Σχ. 6). θεωρείται ότι κάθε στρώση βρίσκεται σε κατάσταση επίπεδης έντασης και η επιρροή των εγκάρσιων διατμητικών τάσεων στη διαξονική συμπεριφορά του σκυροδέματος αγνοείται. Η συμπεριφορά του σκυροδέματος και του χάλυβα σε κάθε στρώση περιγράφεται από τις μη γραμμικές καταστατικές σχέσεις του προηγούμενου κεφαλαίου ενώ οι εγκάρσιες διατμητικές τάσεις και παραμορφώσεις συνδέονται με έναν γραμμικό ελαστικό νόμο υλικού.

Σχήμα 6. Στρωσιγενές στοιχείο κελύφους για τον υπολογισμό φορέων Ο.Σ.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΣΕ ΓΕΦΥΡΕΣ Παρουσιάζονται δύο παραδείγματα που υποδεικνύουν την ακρίβεια της προτεινόμενης διατύπωσης. Τα αποτελέσματα των παραδειγμάτων συγκρίνονται με τα αντίστοιχα αποτελέσματα που δίνει το πεπερασμένο τρισδιάστατο στοιχείο κελύφους που χρησιμοποιείται από το λογισμικό ανάλυσης κατασκευών SAP2000. Στo πρώτο παράδειγμα αναλύεται η δυναμική συμπεριφορά κλειστής μονοκυψελικής γέφυρας, τραπεζοειδούς σχήματος (σχ. 7), ενώ στο δεύτερο παράδειγμα αναλύεται η συμπεριφορά γέφυρας με ανοιχτή διατομή (σχ. 10). Και στα δύο παραδείγματα εφαρμογής το πλάτος του καταστρώματος είναι έξι (6) μέτρων και το πάχος των τοιχωμάτων 35 εκ. Η τιμή του μέτρου ελαστικότητας λήφθηκε ίση με 21*103 MN/m2. Κατά την τρισδιάστατη ανάλυση με τη χρήση επίπεδου στοιχείου κελύφους, χρησιμοποιήθηκαν έξι (6) πεπερασμένα στοιχεία για την διακριτοποίηση του καταστρώματος, τόσο της κλειστής μονοκυψελικής όσο και της ανοιχτής διατομής. Η διακριτοποίηση του δομικού συστήματος με τη χρήση της προτεινόμενης μεθοδολογίας επιτυγχάνεται με τη χρήση των μακροστοιχείων που

στρώση σκυροδέματος

Στρώση χάλυβα

Page 12: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

12

περιγράφονται στην προηγούμενη παράγραφο. Διενεργήθηκε ιδιομορφική ανάλυση καθώς και ανάλυση με χρονο-ιστορίες (Time-History). Στην τελευταία χρησιμοποιήθηκε το επιταχυνσιογράφημα του El-Centro. Στους Πίνακες 1 και 2 παρουσιάζονται οι ιδιομορφές που προέκυψαν από τις δύο συγκριτικές αναλύσεις (Παρουσιάζονται οι δέκα (10) πρώτες ιδιομορφές). Οι ιδιομορφές αυτές περιγράφουν την καμπτική και στρεπτική συμπεριφορά των δύο συστημάτων γεφυρών(Σχ. 8, 9, 11 και 12). Σε αντίθεση με την περίπτωση της γέφυρας ανοιχτής διατομής, στην περίπτωση γεφυρών κλειστής μονοκυψελικής διατομής η επιρροή της στρέβλωση είναι λιγότερο κρίσιμη και δεν επηρεάζει τη δυναμική συμπεριφορά. Οι αποκλείσεις που παρατηρούνται στα αποτελέσματα αποδίδονται κυρίως στις διαφορετικές παραδοχές της κινηματικής και στο βαθμό των χρησιμοποιούμενων συναρτήσεων παρεμβολής.

Σχήμα 7: Απαραμόρφωτο σχήμα της γέφυρας κλειστής μονοκυψελικής διατομής

Σχήμα 8: 2η και 4η ιδιομορφή, κάμψη και στρέψη της γέφυρας, T= 0.1147 and 0.0531sec

Σχήμα 9 : 5η και 9η ιδιομορφή, κάμψη και στρέψη της γέφυρας, T=0.0509 and 0.0236sec

Page 13: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

13

ΠΙΝΑΚΑΣ 1: Ιδιομορφική ανάλυση της γέφυρας κλειστής μονοκυψελικής διατομής

Ιδιομορφές (sec) SAP2000 F.E.M. Προτεινόμενο Στοιχείο

1η ιδομορφή 2η ιδομορφή καμπτική 3η ιδομορφή στρεπτική 4 η ιδομορφή στρεπτική 5 η ιδομορφή καμπτική

6η ιδομορφή 7 η ιδομορφή καμπτική

8 η ιδομορφή 9 η ιδομορφή 10 η ιδομορφή

0.150081 0.114738 0.061593 0.053056 0.050913 0.027091 0.026078 0.024368 0.023559 0.021278

+2.8% +2.2% -3.5% -4.8% +1.2% +1.5% +2.5% -1.7% -1.8% -3.8%

Σχήμα 10: Απαραμόρφωτο σχήμα της γέφυρας ανοιχτής διατομής

Σχήμα 11: 1η και 2η ιδιομορφή, κάμψη γέφυρας ανοιχτής διατομής, T= 0.140 and 0.121 sec

Σχήμα 12: 3η και 8η ιδιομορφή, στρέψη γέφυρας ανοιχτής διατομής, T=0.010 and 0.0367 sec

ΠΙΝΑΚΑΣ 2: Ιδιομορφική ανάλυση της γέφυρας ανοιχτής διατομής

Page 14: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

14

Ιδιομορφές (sec) SAP2000 F.E.M. Προτεινόμενο Στοιχείο

1η ιδομορφή 2η ιδομορφή καμπτική 3η ιδομορφή στρεπτική 4 η ιδομορφή στρεπτική 5 η ιδομορφή καμπτική 6η ιδομορφή 7 η ιδομορφή καμπτική 8 η ιδομορφή 9 η ιδομορφή 10η ιδιομορφή

0.133670 0.114775 0.109168 0.055013 0.049495 0.043835 0.040330 0.040225 0.035901 0.032229

+4.8% +5.2% -9.5%

-10.8% +5.2% +7.5% +4.5% -8.7% -5.8% -9.8%

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Σ’ αυτή την εργασία προτείνεται μέθοδος για τη δυναμική ανάλυση γεφυρών με πεπερασμένα στοιχεία. Προσομοιώνονται γέφυρες με λεπτότοιχες διατομές, τυχούσας γεωμετρίας. Η τυχούσα μορφή διατομής προσομοιώνεται με συνδυασμό ανεξάρτητων τμημάτων. Γίνεται η υπόθεση ότι η θεμελιώδης συμπεριφορά της γέφυρας καθορίζεται από τη συμπεριφορά κατά μήκος του οριζόντιου άξονά της. Αυτή η απόκριση δύναται να θεωρηθεί σαν συμπεριφορά δοκού. Οι παραμορφώσεις διατομής και οι άλλες πρόσθετες επιδράσεις όπως η στρέβλωση περιγράφονται θεωρώντας τα τοιχώματα της διατομής ως ξεχωριστά τμήματα σαν χωρικές πλάκες με ταυτόχρονη καμπτική και εφελκυστική παραμόρφωση. Οι παραμορφώσεις της διατομής εκφράζονται συναρτήσει των παραμορφώσεων του διαμήκους άξονα. Η προτεινόμενη μεθοδολογία πεπερασμένων στοιχείων επιτρέπει την άμεση επέκταση της για την μελέτη της ανελαστικής συμπεριφοράς φορέων από οπλισμένο σκυρόδεμα. Με σκοπό τον αποτελεσματικό, μη γραμμικό υπολογισμό γεφυρών από οπλισμένο σκυρόδεμα σε συνδυασμό με σχετικά χαμηλό υπολογιστικό κόστος κρίνεται σκόπιμη η χρησιμοποίηση μακροσκοπικών καταστατικών μοντέλων. Τα καταστατικά μοντέλα που προτείνονται περιγράφουν αξιόπιστα τη συμπεριφορά του υλικού, είναι πειραματικά τεκμηριωμένα και μπορούν να ενσωματωθούν χωρίς προβλήματα στα πεπερασμένα στοιχεία που ανεπτύχθησαν.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Bull J. B., “Finite Element Applications to Thin-Walled Structures”, El-sevier Appl. Science,

1990.

Frank J. Vecchio, Michael P. Collins, "Predicting the Response of Reinforced Concrete Beams Subjected to Shear Using Modified Compression Field Theory", ACI Journal, May-June 1988.

Frank J. Vecchio, Michael P. Collins, "The modified compression Field Theory for reinforced Concrete Elements Subjected to Shear", ACI Journal, March- April 1986.

Lekidis V., Talaslidis D., Effective finite elements for the dynamic analysis of structural cores, In: 11th European Conference on Earthquake Engineering, Balkema, (1998).

Polak M. A., Vecchio F. J., (1993), “Non linear analysis of reinforced concrete shells”, ASCE

Page 15: Analysis of Seismic Behavior of Bridges with Thin-walled ...

15

J. Struct. Engng., 119, 3439-3462.

Rhodes J., Walker A.C., “Developments in Thin-Walled Structures, El-sevier Appl. Science, vol. 3, 1987.

Selby R. G., Vecchio F. J., (1997), “A constitutive model for analysis of reinforced concrete solids”, Can. J. Civ. Engng., 24, , 460-470.

Vecchio, F., Collins M. P., (1982), “The response of Reinforced Concrete to In-Plane Shear and Normal Stresses”, Publ. University of Toronto, Dept. of Civil Engineering.

Wempner G., Talaslidis D., “Mechanics of Solids and Shells: Foundations”, CRC Press, 2000.

Zhang, S.H., Lyons L.P.R., "The application of the thin-walled box beam element to multi box bridge analysis" Computers and Structures Vol.18, No.5, 1984.