Analysis of Covariance(ANACOVA)

Oleh:Betti Kasih Paramitha Liya FitriyaniIhda Ihsania Muhammad AlawidoGempur Safar Erma Apriliana

Eka Setyaningsih

Prof. Dr. Sri Haryatmi Kartiko

Program Studi StatistikaFMIPA – Universitas Gadjah Mada

2009

Analysis of Covariance (ANACOVA)

Merupakan suatu uji apakah faktor tertentu memiliki efek pada

variabel hasil setelah mengeluarkan kuantitatif yang berbeda

untuk predictors (variabel bebas).

ANACOVA merupakan teknik yang mengkombinasikan

Analisis variansi dan Analisis regresi.

Merupakan metode yang berbasis di regresi linear, maka

hubungan antara variabel dependen dengan variabel independen

harus linear dalam parameter.

ANACOVA dilakukan dengan menambahkan variabel concomitant

pada model ANOVA yang memuat efek faktor dengan satu atau

lebih variabel tambahan yang berelasi dengan variabel dependen

(Y). Penambahan ini bertujuan mengurangi variansi kesalahan

(error) dalam model.

Model ANACOVA

random variabelyang hanyakonstan dianggap X

var)l(additiona independenvar X

),0N( iid

Xdan Y antara regresikoefisien

i-kefactor level dariefek

mean overall.

..)(.

ijij

ij

2

ij

i

ijijiij XXY

Asumsi dalam ANACOVA :

Galat percobaan berdistribusi normal ~

Masing-masing populasi untuk setiap level faktor memiliki

variansi yang sama

Data observasi, Y independent

Hubungan antara X dan Y bersifat linear dan bebas dari

perlakuan atau kelompok percobaan.

X bersifat tetap dan tidak berkorelasi (bebas) dengan perlakuan

yang dicobakan.

),0N( iid 2

ij

Estimasi Parameter

x

xy

ii

SSE

SSE

y

y

ˆ

ˆ

ˆ

..

..

Uji efek perlakuan:

1. H0 : τ1 = τ2 = ... = τt = 0

H1 : tidak semua τi = 0 , i = 1,2,......t

2. Tingkat signifikansi (α)

3. Statistik uji

4. Daerah kritis:

H0 ditolak jika F rasio > F(α;t-1; t(r-1) -1)

5. Kesimpulan

.)(

.)(Frasio

adjMSE

adjMSTR

Tabel Analisis Kovariansi Single Factor dengan satu

kovariat:

Sumber

variasi

Sum of Squares

Y X XY df

Treatments SSTRy SSTRx SSTRxy t-1

Error SSEy SSEx SSExy t(r-1)

Total SSTOy SSTOx SSTOxy tr -1

Tabel Analisis kovariat sebagai koreksi dari ANAVA:

Sumber

variasi

Adjuste

d SS

Adjusted

df

Adjusted

MS

Frasio

Treatment

s

SSTR

(adj.)

t-1 MSTR

(adj.)

Error SSE

(adj.)

t(r-1)-1 MSE

(adj.)

Total SSTO

(adj.)

tr-1 (adj.) MSE

(adj.) MSTR

Analisis variansi untuk variabel Y:

i j

iijy

i

i

i

iy

i j

ij

i j

ijy

YYSSE

rt

Y

r

YYYSSTR

tr

YYYYSSTO

2.

22

.2.

222

)(

....)(

..)..(

yyy SSESSTRSSTO

i j

iijx

i

i

i

ix

i j

ij

i j

ijx

XXSSE

rt

X

r

XXXSSTR

rt

XXXXSSTO

2.

22

.2.

222

)(

....)(

..)..(

xxx SSESSTRSSTO

Analisis variansi untuk variabel X:

))((

......)...)(.(

......)..)((

..

..

iiji

i j

ijxy

i i

iiiiixy

i j

ijij

i j

ijijxy

YYXXSSE

rt

YX

r

YXYYXXnSSTR

rt

YXYXYYXXSSTO

xyxyxy SSESSTRSSTO

Analisis variansi untuk variabel XY:

.)(.)(.)(

)(.)(

)(.)(

2

2

adjSSEadjSSTOadjSSTR

SSE

SSESSEadjSSE

SSTO

SSTOSSTOadjSSTO

X

XYY

X

XYY

1

)()(

t

AdjSSTRAdjMSTR

1)1(

)()(

rt

AdjSSEAdjMSE

APLIKASI

Ada suatu percobaan dalam bidang industri yang ingin

mengetahui pengaruh mesin terhadap respon kekuatan serat yang

dihasilkan (Y) dan dipergunakan dalam industri tekstil. Terdapat

3 perlakuan mesin, masing-masing diulang 5 kali. Telah diketahui

bahwa kekuatan serat yang dihasikan juga tergantung pada

diameter serat tersebut. Untuk itu dalam percobaan ini digunakan

concomitant variabel (X) yaitu diameter serat yang dihasilkan

(10-3cm).

Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3

X Y X Y X Y

20 36 22 40 21 35

25 41 28 48 23 37

24 39 22 39 26 42

25 42 30 45 21 34

32 49 28 44 15 32

Total 126 207 130 216 106 180

Rata-

rata 25.2 41.4 26 43.2 21.2 36

i-kemesin pada j-keulangan pada timbulyanggalat komponen =

diukur yangserat diameter rata-rata nilai =..X

j-keulangan pada

i-kemesin dihasilkan yangserat kekuatan pengamatan nilai Yij

Yijdengan berkaitan yang j-ken pengulanga pada

i-kemesin dihasilkan yangserat diameter pengukuranX

Xij pada Yijn menunjukka yang regresikoefisien

i-kemesin efek

yasesungguhn yangserat kekuatan rata-rata nilai.

..)(.

ij

ij

i

ijijiij XXY

Asumsi :

Diameter serat bersifat tetap dan tidak berkorelasi

(bebas) dengan mesin-mesin yang dicobakan

Hubungan pengaruh antara kekuatan serat dan

diameter serat bersifat linear serta koefisien regresi

untuk setiap mesin adalah sama

),0N( iid 2

ij

4.14035

603

5

)180()216()207(..

4.34635

603)32(....)41()36(

..

222222

.

2222

22

rt

Y

r

YSSTR

tr

YYSSTO

i

iy

i j

ijy

2064.1404.346 yyy SSTRSSTOSSE

Analisis variansi untuk variabel Y:

13.6635

362

5

)106()130()126(..

73.26135

362)15(....)25()20(

..

222222

.

2222

22

rt

X

r

XSSTR

rt

XXSSTO

i

ix

i j

ijx

6.19513.6673.261 xxx SSTRSSTOSSE

Analisis variansi untuk variabel X:

9635

603362

5

180106....207126....

6.28235

603362)3215.....41253620(

....

..

rt

YX

r

YXSSTR

rt

YXYXSSTO

i

ii

xy

i j

ijijxy

6.186966.282 xyxyxy SSTRSSTOSSE

Analisis variansi untuk variabel XY

28.1399.2727.41.)(.)(.)(

99.276.195

6.186206

)(.)(

27.4173.261

6.2824.346

)(.)(

22

22

adjSSEadjSSTOadjSSTR

SSE

SSESSEadjSSE

SSTO

SSTOSSTOadjSSTO

X

XYY

X

XYY

64.62

28.13

1

)()(

t

AdjSSTRAdjMSTR

54.211

99.27

1)1(

)()(

rt

AdjSSEAdjMSE

Estimasi Parameter

40478.1)13.242.21(954.02.4036)(ˆˆ

21602.1)13.2426(954.02.402.43)(ˆˆ

17922.0)13.242.25(954.02.404.41).(ˆˆ

)(ˆˆ

954.06.195

6.186ˆ

2.40ˆ

...3....33

...2....22

..1....11

.......

..

xxyy

xxyy

xxyy

xxyy

SSE

SSE

y

iii

x

xy

Tabel Analisis Kovariansi Single Factor

dengan satu kovariat:

Sumber

variasi

Sum of Squares

Y X XY df

Treatments 140.4 66.13 96 2

Error 206 195.6 186.6 12

Total 346.4 261.73 283.6 14

Tabel Analisis kovariat sebagai koreksi dari

ANAVA:

Sumber

variasi

Adjusted

SS

Adjusted

df

Adjusted

MS

Frasio

Treatments 13.28 2 6.64

2.61Error 27.99 11 2.54

Total 41.27 14

Uji efek perlakuan:

1. H0 : τ1 = τ2 = τ3 = 0

H1 : tidak semua τi = 0 , i = 1,2,3

2. Tingkat signifikansi

3. α = 5%

4. Statistik uji

Frasio = 2,61

4. Daerah kritis

F(α;t-1; t(r-1) -1) = F(0,05;2;11) = 3,98

H0 ditolak jika F rasio > F(α;t-1; t(r-1) -1)

5. Kesimpulan

Karena Frasio < F(0,05;2;11) (2,61 < 3,98) maka H0 tidak

ditolak berarti tidak ada pengaruh perlakuan jenis mesin

yang dicobakan terhadap kekuatan serat yang dihasilkan.

Sekian

&

Terima Kasih