Analysis IIIb von

Prof. PhD. A. GriewankSommersemester 2010

Vorlesungsmitschrift von Paul BoeckKorrektur durch Dr. Lutz Lehmann

Letzte nderung: 20. August 2010

Inhaltsverzeichnis

XI Ma- und Integrationstheorie 246 Algebren und Mae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Lebesgue Ma auf Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148 Messbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449 Integration messbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950 Produktmae und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2351 Transformationsformel fr das LebesgueIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

XII Vektoranalysis 3452 Integration ber Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3453 Integralstze von Gau und Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Index 55

XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

XI Ma- und Integrationstheorie

46 Algebren und Mae

Wnschenswerte Eigenschaften eines Volumenmaes auf Rn X(i) Monotonie: A B = (A) (B)

(ii) Quaderwert: A = [a1, b1] [a2, b2] . . . [an, bn] {x Rn : ai xi bi} = (A) = ni=1(bi ai) geometrisches Volumen

(iii) Translationsinvarianz: A X, r Rn = (A + r) = (A)(iv) Additivitt: Ai X, Ai Aj = fr i 6= j, i, j N = (

i=1 Ai) =

i=1 (Ai), wobei schon vorausge-

setzt ist, dass (A) 0.Lemma 46.1Es ist nicht mglich, ein solches fr alle Teilmengen A X = Rn, d.h. als Abbildung : P(X) = 2X R mit P(X) diePotenzmenge zu definieren.

Beweis: (Auswahlaxiom vorausgesetzt) Betrachte X = Rn mit quivalenzrelation x y x y Qn,d.h. Differenzvektor x y Qn. Sei A [0, 1]n eine Menge von Reprsentanten dieser quivalenzklassen.(Dabei ist |A| > |Qn|)

B =

r [1, 1]n Qn(A + r) [1, 2]n B [0, 1]n

Also verlangt Monotonie und Additivitt

([0, 1]n) = 1 (B) = (

r [1, 1]n Qn(A + r)

) (iv)=

r [1, 1]n Qn(A + r)

(iii)=

r [1, 1]n Qn(A) ([1, 2]n) = 3n

Widerspruch, da linke Ungleichung fr (A) = 0 verletzt und rechte Ungleichung fr (A) > 0 verletzt ist.

Beispiel (BanachTarskiParadox) Eine Erbse kann zerschnitten und dann zur Sonne zusammengesetzt werden.

Man kann die Kugeln B1 = B1(0) {x Rn : x 1} und B2 = B2(0) in einer Dimension n 3 so in endlichviele disjunkte Teilmengen Ai, Ai fr i = 1 . . . m zerlegen, dass

B1 =m

i=1

Ai, Ai Aj = falls i 6= j

B2 =m

i=1

Ai, Ai Aj = falls i 6= j

und die Stcke bis auf Drehungen und Verschiebungen bereinstimmen. D.h., es gibt Euklidische, den Abstanderhaltende lineare Transformationen

Ti : Rn Rn, Ti(x) = Qix + qi

mit Ti(Ai) = Ai.

Schlussfolgerung: Mengen A mssen auf geeignete Systeme S P(X) eingeschrnkt werden.Definition 46.2S P(X) heit

(i) Ring, falls S, sowie A, B S = A B, A \ B S(ii) Algebra, falls Ring und zustzlich A S = Ac X \ A S

(iii) Algebra, falls Algebra und Ai S fr i N =

i=1 Ai S

2

46 Algebren und Mae XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Bemerkung Diese Eigenschaften sind realisierbar.

Beispiel {, X} = S ist Algebra. Fr A X ist {, A} Ring und {, A, Ac, X} Algebra.

S {A X mit A oder Ac abzhlbar} ist Algebra

Prfung der Eigenschaften:

(i) A S Ac = X \ A S per Definition. Ist X abzhlbar, so S = P(X). Sei also X berabzhlbar, z.B.X = Rn.

(ii) A\B 1 0 1 bedeutet Menge selbst abzhlbar1 1 0 0 bedeutet Komplement abzhlbar0 0 0 (A B)c = Ac Bc

Tabelle fr A B, welches immer eindeutigenStatus hat, d.h. zu S gehrt.

(iii) Fr A B entsprechend.(iv) Abzhlbare Vereinigung Abgeschlossenheit

A =

i=1

Ai, Ai S fr i N

Falls alle Ai abzhlbar sind, ist auch A abzhlbar nach Diagonalisierungsargument = A S. Andernfallsexistiert ein Ai mit Aci abzhlbar. Daraus folgt A

c =

j=1 Acj Aci auch abzhlbar.

Definition 46.3(i) Die Eigenschaft, Algebra zu sein, bleibt erhalten unter endlichen oder unendlichen Schnittbildungen. Also

Si, i I Algebren =

iISi S ist auch Algebra

(ii) Fr beliebiges System S P(X) nennt man A(S) =

S S AlgebraS die durch S erzeugte Algebra.

(iii) Speziell mit S = O(X) Menge aller offenen Teilmengen in X oder S F (X) Menge aller geschlossenen Teilmen-gen von X erhlt man das System A(O(X)) = A(F (X)) der BorelMengen

Beweis: In Teilen in bung.

Definition 46.4Eine Funktion : S M [0, ] = R+ {} heit

(i) Inhalt, falls A, B S, A B = = (A B) = (A) + (B), was insbesondere verlangt, dass () = 0 (wennnicht ).

(ii) Inhalt, falls {Ai}iN S,

i=1 Ai S und Ai Aj = = (

i=1 Ai) = i=1 (Ai). Diese Eigenschaft

heit Additivitt..

(iii) Ma , falls Inhalt auf Algebra.

(iv) A S mit Ma heit messbar.(v) Falls (A) = 0 fr Inhalt heit A ()Nullmenge.

Satz 46.5 (Eigenschaften von Inhalt auf S)(i) A B = (A) (B) (Monotonie)

(ii) (A B) + (A B) = (A) + (B) (de Moivre)(iii) (

mi=1 Ai) mi=1 (Ai) (Subadditivitt)

(iv) Falls Ai S paarweise disjunkt (

i=1 Ai) i=1 (Ai), vorausgesetzt,

i=1 Ai S.Beweis:

(i) B = A (B \ A) Add.= (B) = (A) + (B \ A)

0

(A)

3

46 Algebren und Mae XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

(ii)

A B = A (B \ A) = (A B) = (A) + (B \ A)(B \ A) (B A) = B = (B \ A) + (B A) = (B)

Einsetzen ergibt (A B) = (A) + (B) (B A)

(iii)

Bi = Ai \ {A1 A2 . . . Ai1} = Bi Bj = ,m

i=1

Bi =m

i=1

Ai, Bi Ai

(m

i=1

Ai) = (m

i=1

Bi)Add.=

m

i=1

(Bi)Monot.

m

i=1

(Ai)

(iv) Fr beliebiges m

(m

i=1

Ai) =m

i=1

(Ai) m

i=1

(Ai) (

i=1

Ai) wie behauptet

Monotonie: (

i=1

Ai) (m

i=1

Ai)

Satz 46.6 (Eigenschaften von Inhalten)(i)

i=1 Ai S = (

i=1 Ai) i=1 (Ai)

(Subadditivitt)(ii) Stetigkeit von unten A1 A2 . . . Ai1 Ai

limi (Ai) = (

i=1 Ai)(iii) Stetigkeit von oben A1 A2 . . . Ai1 Ai

limi (Ai) = (

i=1 Ai)

A =

i=1

AiA1A2

A3

Beweis:

(i)

Bi = Ai \ {A1 A2 . . . Ai1} =

i=1

Bi =

i=1

Ai

(

i=1

Ai) = (

i=1

Bi) =

i=1

(Bi)

i=1

(Ai)

(ii)

Bi = Ai \ Ai1, B1 = A1

(Am) = (m

i=1

Bi) =m

i=1

(Bi) m

i=1

(Bi) = (

i=1

Ai)

(iii) durch Rckfhrung auf (ii). Setze Bi = A1 \ AiA1 A2 A3 . . . Ai Ai+1

B1 = B2 = A1 \ A2 B3 = A1 \ A3 . . . Bi = A1 \ Ai Bi+1 = A1 \ Ai+1 =

i=1

Bi = A1 \

i=1

Ai

Nach (ii) limi

(Bi) = (

i=1

Bi) = (A1 \

i=1

Ai) = (A1) (

i=1

Ai)

(Bi) = (A1 \ Ai) = (A1) (Ai) da Ai A1

limi

(A1) (Ai) = (A1) (

i=1

Ai) = (Ai) i

(

i=1

Ai)

4

46 Algebren und Mae XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Idee: Mae lassen sich als Restriktionen von ueren Maen auf messbaren Mengensystemen definieren. Die ue-ren Mae lassen sich aus Inhalten auf Ringen S P(X) fr P(X) Potenzmenge definieren. Zunchst Restriktions-schritt nach Carathodory.

Definition 46.7Eine Funktion : P(X) [0, ] = R0 {+} heit ueres Ma, falls

(i) () = 0

(ii) A B X = (A) (B) (Monotonie)(iii) (

i=1 Ai) i=1 (Ai) (Subadditivitt)

Definition 46.8Eine Menge A P(X) heit messbar fr ein gegebenes ueres Ma auf X, falls

(E) = (E A) + (E Ac) fr alle E XSatz 46.9 (Carathodory)Die Menge aller messbaren Mengen A X bilden eine Algebra S = S und die Restriktion =

S

von auf

S P(X) ist ein Ma.Beweis: Nach Definition (von messbar) gilt A S Ac S. Fr die AlgebraEigenschaft ist nur nochzu zeigen, dass A, B S = A B S.

(E) = (E B) + (E Bc) da B messbar ist= (E B) + (E Bc A) + (E Bc Ac) da A messbar ist

Vereinigung (E B) (E Bc A) = E (A B) leicht nachzuprfen. Diese ergibt wegen Subaddititivitt

(E B) + (E Bc A) (E (A B))

Einsetzen in obige Gleichung ergibt

(E) (E (A B)) + (E (A B)c)

Wegen Subadditivitt gilt auf jeden Fall

(E) (E (A B)) + (E (A B)c)

und somit Gleichheit, die die Messbarkeit von A B garantiert.Zwischenergebnis: S ist Algebra. Zu zeigen bleibt die AlgebraEigenschaft. Seien

A =

i=1

Ai mit Ai S und o.B.d.A. Ai Aj = falls i 6= j .

Dann ist Bn =n

i=1 Ai, n N, eine monoton wachsende Mengenkette von messbaren Mengen.

(E) = (E Bn) + (E Bcn)Monot. (E Bn) + (E Ac) da Bn A und Bcn Ac

(E Bn) = (E Bn An) + (E Bn Acn) da An messbar= (E An) + (E Bn1)= (E An) + (E An1) + (E Bn2) = . . .

=n

i=1

(E Ai)

Einsetzen in obige Gleichung ergibt

n N (E) (E Ac) +n

i=1

(E Ai)

n

(E) (E Ac) +

i=1

(E Ai)Subadd. (E Ac) + (E A)

5

46 Algebren und Mae XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Die Umkehrung (E) (E Ac) + (E A) folgt aus der Subadditivitt, so dass Gleichheit entsteht,A =

i=1Ai S. Also ist S eine Algebra.

Noch zu zeigen: Maeigenschaften von auf S.

Additivitt A B = , A, B S(A B) = ((A B) B) + ((A B) Bc) da B messbar

= (B) + (A)

Additivitt A =

i=1

Ai mit Ai S, Ai Aj = falls i 6= j

(A) = (

i=1

Ai) (n

i=1

Ai) =n

i=1

(Ai) fr beliebiges n

n ergibt (A)

i=1

(Ai)

Da fr A S gilt (A) = (A) und subadditiv gilt umgekehrt

(A)

i=1

(Ai)

und somit Gleichheit, d.h. Additivitt.

Definition 46.10Ein Ma auf S P(X) heit

(i) vollstndig, falls aus A B S mit (B) = 0, auch A S mit (A) = 0 folgt.(ii) endlich, falls (X) < .

(iii) endlich, falls X =

i=1 Ai mit Ai S, (Ai) < .Korollar 46.11Jedes nach Satz 46.9 konstruierte Ma ist vollstndig.

Beweis: A B S mit (B) = 0 = (B) = (A) = 0 = (A E) = 0 fr E X.E X = (E) (E A) + (E Ac) = 0 + (E Ac) (E) wegen Monotonie.Also gilt Gleichheit (E) = (E A) + (E Ac) und A ist messbar und deshalb A S.

Frage: Wie konstruiert man ein ueres Ma?Antwort: Durch Erweiterung von Inhalten auf Ringen.

Satz 46.12Falls ein Inhalt auf einem Ring R P(X) ist, dann wird durch

(A) inf{

i=1

(Ai) : A

i=1

Ai, Ai R}

fr A P(X)

ein ueres Ma auf P(X) definiert.Beweis: Da R P(X) gilt () = () = 0. Falls B A i=1 Ai, dann gilt B

i=1 Ai, d.h. die Ai

sind auch abzhlbare berdeckung von B, so dass

(B)

i=1

(Ai)

Nimmt man nun das Infimum ber die berdeckungen von A, so folgt (B) (A).Zum Beweis der Subadditivitt betrachte A =

i=1 Ai mit Ai P(X). Dann existiert fr beliebiges > 0

und jedes i eine Folge (Cij)j=1, mit Cij R, so dass

(Ai)

j=1

(Cij) 2i

6

46 Algebren und Mae XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

und Ai

j=1 Cij. Also folgt

(A) = (

i=1

Ai)Monot. (

i=1

j=1

Cij

R

)

i=1

(

j=1

(Cij)

)

i=1

((Ai) + 2i) = +

i=1

(Ai)

Damit ist tatschlich subadditiv, da beliebig klein gemacht werden kann.

Beispiel Ring R = {(a, b] R mit a b < } P(R) mit (a, b] = (b a).Behauptung: (Q) = 0 und damit Q messbar bezglich .

Beweis: Betrachte Aufzhlung Q = {qi}i=1 und berdeckung durch Ai = (qi 2i, qi] fr festes > 0 undi = 1 . . . .= Q i=1 Ai, Ai R, (Q) i=1 (Ai) = i=1 2i = = (Q) = 0 da beliebig.

Satz 46.13Sei das nach Satz 46.12 aus Inhalt auf Ring R konstruierte uere Ma und das nach Satz 46.9 daraus konstruierteMa auf der Algebra S. Dann gilt R S, d.h. alle A R sind messbar und = |R, falls schon ein Inhalt ist.

Beweis: Betrachte A R und E X. Falls (E) = folgt aus Subadditivitt (E A) = oder (E Ac) = und damit Gleichheit. Andernfalls existiert berdeckung E i=1 Ai mit Ai R und (E)

i=1

(Ai) . Dann gilt

Ai = (Ai A) (Ai Ac) = (Ai A)

R

(Ai \ A)

R= (Ai) = (Ai A) + (Ai \ A)

Einsetzen + (E)

i=1

(Ai A) +

i=1

(Ai \ A)

Subadditivitt (

i=1

Ai A) + (

i=1

Ai \ A)

Monotonie (E A) + (E \ A) 0 = (E) (E A) (E Ac)

+ Subadditivitt = Gleichheit = A ist messbar = R S. A R = (A) = (A) (A). Zuzeigen ist, dass (A) < (A) zum Widerspruch fhrt. Wenn das so wre, msste eine berdeckung

i=1 Ai

A existieren, mit Ai R und

i=1

(Ai) < (A)

O.B.d.A. ist die berdeckung disjunkt (Ai Aj = fr i 6= j), ansonsten Ai = Ai \i1

j=1 Aj R.

i=1

(Ai)Monot.

i=1

(Ai A

R

)Add.

= (

i=1

Ai A) = (A)

= (A) < (A) ist Widerspruch, d.h. (A) = (A) = (A).

Lemma 46.14Das aus auf R P(X) konstruierte uere Ma ist regulr in dem Sinne, dass fr alle E X ein A in der von Rerzeugten Algebra S0 existiert, so dass

(E) = (A) mit E A S0 S

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46 Algebren und Mae XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Beweis: Wegen Monotonie gilt es auszuschlieen, dass

(E) < inf ((A), E A S0) ,

was nur fr (E) < eintreten kann. Dann existiert wiederum einedisjunkte berdeckung E i=1 Ai mit Ai R.

(E)

i=1

(Ai) < inf ((A), E A S0)

A

E nicht m

essbar

(E) = (A) = (A)

O.B.d.A. seien die Ai disjunkt und da A =

i=1 Ai S0 S folgt

(A) = (A) < inf ((A), E A S0) .

Das ist ein Widerspruch.

Inhalt auf R ueres Ma auf P(X)

Ma auf S0 = A(R)eindeutig falls endlich

Vollstndiges Ma auf maximalem S P(X)

Restriktion nachCarathodoryErweitern

Vervollstndigung

Satz 46.15 (Vervollstndigung eines Maes)Sei ein Ma auf S P(X) und

N {

B X| B S : B B (B) = 0}

die Familie der Nullmengen. Dann istS

{A B : A S, B N

}

eine Algebra und die Funktion

(E) = (A) fr E = A B mit A S, B N

ein vollstndiges Ma auf S.

Beweis: Abgeschlossenheit

E =

i=1

Ei, Ei = Ai Bi und Bi Bi 1(0)

=

i=1

Ai

i=1

Bi = A B

A =

i=1

Ai S und B =

i=1

Bi B =

i=1

Bi

wobei Bi und B messbar, so dass

(B)

i=1

(Bi) = 0

Also gilt E = A B S da B N.

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46 Algebren und Mae XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Abgeschlossenheit bzgl. Komplementierung

(A B)c = Ac Bc, B BBc = B

c (B \ B), B \ B N(A B)c = Ac (Bc (B \ B))

= Ac Bc

S (Ac B \ B)

N da Teilmenge von B

S

Zu zeigen bleibt Additivitt von

S E =

i=1

Ei =

i=1

(Ai Bi) mit (Ai Bi) (Aj Bj) = fr i 6= j

(E) = (

i=1

Ai

i=1

Bi

N

)Def= (

i=1

Ai)

Add.=

i=1

(Ai) =

i=1

(Ai Bi) =

i=1

(Ei)

= auch Additiv und damit Ma.Zum Beweis der Vollstndigkeit von betrachte F X

F A B S mit (A B) = (A) = 0= F A B S = (A B) (A) + (B) = 0= F N S

A

BC

D

Eindeutigkeit von :

E = A B = C D mit B, D N, A, C S

Zu zeigen ist, dass (A) = (C).

(A) + (C) = (A C) + (A C), da A, C S(A B)c = Ac Bc = (C D)c = Cc Dc

(A) = (A C) + (A D)(C) = (A C) + (C B)

}

= (A) = (A C) = (C) = (A C) = (B D)

(A) (A C A D) (A C) + (A D) = (A C)Monot. (A)

= (A) = (A C) entsprechend nach Austausch A C und B D(C) = (A C) = (A) = (C) = (A B) eindeutig definiert.

Satz 46.16Sei ein (endlicher) Inhalt auf dem Ring R P(X) und ein durch auf P(X) erzeugte ueres Ma. S0 =A(R) P(X) ist die durch R erzeugte Algebra, S das System der messbaren Elemente von P(X). S0 ist die Erwei-terung von S0 gem dem Satz 46.15 mit = |S und =

|S0 .

Dann ist die Verallgemeinerung von auf S = S0 gem Satz 46.15.

Beweis:

(i) S0 S:

E S0 = E = A B mit A S0 und B B mit (B) = (B) = 0A S S0, (B) = 0 = B S da alle Nullmengen messbar

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46 Algebren und Mae XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

(ii) S S0:

E S 46.14= A S0 mit A E so dass (A) = (E) = (E)

Da E messbar ist, folgt (A) = (A E) + (A Ec) = (E) + (A \ E). Auerdem existiert nach46.14 B S0, so dass B A \ E und (B) = (A \ E) = 0.Also gilt schlielich

E = (A \ B)

S0

(E B)

N da (B) = 0

(A \ B) A \ (A \ E) = E Bc. Hierbei wurde vorausgesetzt, dass (E) < . Falls (E) = folgt ausvorausgesetzter Endlichkeit

X =

i=1

Xi mit Xi R wobei (Xi) <

nach obiger Aussage gilt fr E S, dass Ei = E Xi = Ai Ci mit Ai S0 und Ci N.Daraus folgt

E =

i=1

Ei =

i=1

(Ai Ci) =(

i=1

Ai

)

S0

(

i=1

Ci

)

S0

Satz 46.17 (Eindeutigkeit der Erweiterung)Falls ein endlicher Inhalt auf R ist, dann exisitiert genau ein erweitertes Ma 0 auf der von R erzeugten AlgebraS0 = A(R).

Beweis: Annahme: ist ein weiteres Ma auf S0 mit (A) = (A) fr A R. Sei wiederum das durch erzeugte uere Ma auf P(X). Fr beliebiges A S0 gilt

0(A) = (A) = inf

(

i=1

(Ai)

)

mit Ai R disjunkt und

i=1

Ai A

= inf(

i=1

(Ai)

)

Add.= inf

(

(

i=1

Ai)

)

inf (A) = (A)

da A i=1 Ai und auch monoton. Also gilt (A) 0(A) fr A S0. Betrachte A A mit A R. Dannfolgt A \ A S0 und somit nach Symmetrie (A \ A) 0(A \ A).Daraus folgt wegen Additivitt

(A) = (A \ A) + (A) 0(A \ A) + 0(A) = 0(A)

Da A R vorausgesetzt, gilt (A) = 0(A) und somit berall Gleichheit, d.h. (A) = 0(A).Da endlich vorausgesetzt ist, gilt X =

i=1 Xi mit Xi R, (Xi) <

= A S0 = A =

i=1

(A Xi) =

i=1

Ai

mit Ai S0, Ai Xi R. Fr A = Xi folgt aus obigem Beweis

(Ai) = 0(Ai)Add.= (A) = 0(A) A S0

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47 Lebesgue Ma auf Rn XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

47 Lebesgue Ma auf Rn

Betrachte halboffenen Quader

Q = [a1, b1) [a2, b2) . . . [an, bn) Rn mit < ai bi < d.h. Q =

{(x1, . . . , xn) Rn : ai xi < bi fr i = 1 . . . n

}

und entsprechende Figuren A,

A =m

i=1

Qi mit disjunkten Quadern Qi .

Die Figuren bilden einen Ring, aber keine Algebra, da nur Differenzen, aber keine Komplemente enthalten sind. DerInhalt n ist definiert durch

n(Q) =n

i=1

(bi ai) = n(Q) = 0 falls ai = bi fr ein i Q =

und entsprechend fr Figuren

n(A) =m

i=1

n(Qi) [0, )

Lemma 47.1n ist auf R ein endlicher Inhalt.

Beweis: siehe bung

Definition 47.2Sei n das durch n auf P(Rn) erzeugte uere Ma, L(Rn) die nmessbaren Mengen in P(Rn), n = (n)|L(Rn) dasentsprechende LebesgueMa.

B(Rn) ist die von R erzeugte Algebra der sogenannten BorelMengen.n = (n)|B(Rn) ist das BorelLebesgue Ma .

Bemerkung Nach Satz 46.15 ist L(Rn) die Vervollstndigung von B(Rn) durch Nullmengen und n die einzigeErweiterung von n auf B(Rn).Satz 47.3 (Notwendige und hinreichende Bedingung fr LebesgueMessbarkeit)A L(Rn) gdw. es gibt fr jedes > 0 eine offene Menge U A und eine abgeschlossene Menge F A, so dass

(i) n(U \ A) < und(ii) n(A \ F) < .

Beweis: (i) A L(Rn). Dann gibt es eine berdeckung A i=1 Ai durch Figuren Ai =mi

j=1 Qij mit

2 + n(A) =

n(A) +

2

i=1

n(Ai) = i,j

n(Qij) =

k=1

n(Qk)

fr eine geeignete Abzhlung der Qij als Qk. Fr jedes k existiert ein offenes Qk

Qk = (a1, b1) (a2, b2) . . . (an, bn) Qkmit ai < ai nahe genug, so dass

n(Qk) =n

j=1

(bi ai) < n(Qk) +

2k+1

Einsetzen in erste Ungleichung ergibt

U =

k=1

Qk offen und deswegen in L(Rn)

mit Ma

n(U)

k=1

n(Qk)

2+

k=1

n(Qk) + n(A) = n(U \ A) = n(U) n(A) <

11

47 Lebesgue Ma auf Rn XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Sei B = kN U1/k L(Rn) mit n(U1/k \ A) < 1k . Dann ist A B. Sei N = B \ A. Zu zeigen ist(N) = 0, denn dann ist A = B \ N L(Rn). Es gilt

N U1/k \ A = n(N) n(U1/k \ A) < 1kk= n(N) = 0

(ii) Betrachte X \ A. Dann existiert nach (i) eine offene Menge U X \ A mit n(U \ (X \ A)) < . Seidann F = X \ U.

Sei B = kN F1/k mit F1/k A abgeschlossen und n(A \ F1/k) < 1k . Setze N = A \ B

analog= n(N) = 0 = B

L(Rn) N

L(Rn)= A L(Rn)

Bemerkung

(i) Wie aus dem Beweis ersichtlich, reicht es fr die LebesgueMebarkeit von A aus, dass A nur nach (i) vonauen oder nur nach (ii) von innen approximierbar ist.

(ii) Sei A L(Rn), dann ist

n(A) = inf {n(U)| U offen, A U} = sup {n(F)| F abgeschlossen, F A}

(iii)

A L(Rn) A = (

iNFi) N Fi abgeschlossen, N ist nNullmenge

A = (

iNUi) \ N Ui offen, N ist nNullmenge

(iv) A ist genau dann eine nNullmenge, falls > 0 Wrfel W1, W2, . . . existieren mit

A

iNInt(Wi) und

i

n(Wi) <

Verhalten von n unter Abbildungen

Satz 47.4Sei T : U Rn Rn eine C1Abb. Ist A eine nNullmenge, dann ist T(A) eine nNullmenge.

Beweis: Sei U =

iN Qi mit cl Qi U.

T(A) = T(A

iNQi) = T(

iNA Qi) =

iNT(A Qi)

Also reicht es zu zeigen, dass T(A Qi) eine nNullmenge ist.Sei > 0 fix und W1, W2, . . . Wrfel mit

A

iNInt(Wi) und

iNn(Wi) <

Sei x A Qi Int Wj. Bezeichne 2rj die Kantenlnge von Wj und j den Mittelpunkt von Wj. Weil T| cl Qilipschitzstetig mit Konstante Mi ist, gilt

T( j) T(x) < Mirj, denn x j < rj

12

47 Lebesgue Ma auf Rn XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Daher liegt T(x) in einem Wrfel Wj mit Kantenlnge 2Mirj.

= T(A Qi) = T

(A Qi)

j

Int Wj

=

j

T(A Qi Int Wj)

= T(A Qi)

j

Int Wj und j

n(Wj) j

2n(rj Mi)n Mnj n(Wi) < Mni

Also ist T(A Qi) nNullmenge.

Satz 47.5(i) Sei T : U Rn Rn eine abgeschlossene (d.h. das Bild einer abgeschlossenen Menge ist abgeschlossen) C1Abbildung.

Dann folgt aus A L(Rn) = T(A) L(Rn).(ii) Sei L : Rn Rn eine lineare Abbildung mit det L 6= 0

= n(L(A)) = |det L| n(A) A L(Rn)

Beweis: (i) O.B.d.A. A = (

iN Fi) N, Fi abgeschlossen, N eine nNullmenge

T(A) = (

iNT(Fi)

abg.

) T(N)

Nullmenge

47.4 L(Rn)

(ii) a) Sei A = Q = [a1, b1) . . . [an, bn). Betrachte

P = Q a mit a = (a1, . . . , an)= [0, b1 a1) . . . [0, bn an)

Setze bj = (bj aj)ej

= P = P([b1, . . . bn]) := {x Rn|x = xjbj, 0 xj 1}

das Parallelepiped von {bi}. Dann gilt L(P) = P([L(b1), . . . , L(bn)]) = L(Q) L(a).

= n(L(Q))

nTranslations-

invarianz= n(L(P))

!= vol(P([L(b1), . . . L(bn)]))Lin.Alg.

= |det(L(b1), . . . , L(bn))|= (bi ai)|det(L(e1), . . . , L(en))|= n(Q)|det L|

b) Sei U offen = U = iN Qi Quader

L bij.= n(L(U)) = n(

iN(Qi)) =

iNn(L(Qi))

a)= |det L|

i

n(Qi)

= |det L|n(U)

c) A L(Rn) beliebig. Sei fix und A U offen mit n(U \ A) < .

= n(L(A)) n(L(U)) = |det L|n(U) |det L| (n(A) + )0= n(L(A)) |det L| n(A)

13

48 Messbare Funktionen XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Analog F A abgeschlossen mit n(A \ F) < so dass

n(A) = n(F) + n(A \ F) < n(F) + = |det L|(n(A) ) |det L|n(F) |det L|n(U)

b)= n(L(U)) = n(L(F)) + n(L(U \ F

offen

))

n(L(A)) + |det L| 20= |det L|n(A) n(L(A))

Bemerkung Ist F : Rn Rn eine euklidische Bewegung, d.h.

F(x) = L(x) + a mit L O(Rn) (orth. Abb.) und a Rn= n(F(A)) = n(L(A)) = n(A), da det L = 1

48 Messbare Funktionen

Es soll ein Integralbegriff definiert werden, der das RiemannIntegral erweitert. Bekanntlich ist die

DirichletFunktion f : [0, 1] R f (x) ={

0 x irrational

1 x rational

nicht Riemannintegrierbar, da in jeder endlichen Zerlegung von [0, 1] jedes Teilintervall rationale und irrationalePunkte enthlt.

Sei (X,A, ) ein Maraum. Es sollen Integrale fr Funktionen f : X R definiert werden. Es muss dazu eineTeilmenge geeigneter Funktionen ausgewhlt werden (da es sonst Gegenbeispiele analog zum BanachTarskiParadox gibt).

Definition und Eigenschaften messbarer Funktionen

Sei (X,A) ein messbarer Raum, E X beliebig.

AE = A E = {A E : A A}

AE ist wieder eine Algera. Die (von A) auf E induzierte Algebra.Definition 48.1Seien (X,A), (Y,B) messbare Rume, E X. f : E Y heit (A,B)messbar, wenn fr alle B B gilt f1(B) AE.

Es gelten folgende erste Eigenschaften:

Satz 48.2(X,A), (Y,B) messbare Rume

(i) Falls B von einem System S P(Y) erzeugt wird, dann ist f : X Y genau dann (A,B)messbar, falls S S :f1(S) A, bzw. allgemeiner

E X, f : E Y messbar S S : f1(S) AE

(ii) f : X Y (A,B)messbar, E X, dann ist auch f|E : E Y (A,B)messbar.(iii) Sei X =

i=1 Xi, Xi A eine berdeckung, f : X Y eine Abbildung mit f|Xi (A,B)messbar fr alle i N, dann

ist auch f (A,B)messbar.(iv) (X,A, ) sei ein vollstndiger Maraum, N X eine Nullmenge, dann ist jede Abbildung f : N Y (A,B)

messbar. Insbesondere gilt: Sind f , g : X Y Abbildungen mit f messbar, g ist nur auf einer Nullmenge N X von fverschieden, dann ist auch g messbar.

14

48 Messbare Funktionen XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Beweis: (i) Betrachte B = f(AE) = {B Y : f1(B) AE}, diese ist eine Algebra (nach Aufgabe 1.3).

S B = B = A(S) B = f1(B) AE

(ii) Fr alle B B giltf1|E (B) = f

1(B)

A

E AE

(iii) Xi A = AXi A.

B B ( f|Xi )1(B) =: Ai AXi A = f1(B) =

i=1

Ai A

(iv) 1) f : N Y, f1(B) N B B. Da (X,A, ) vollstndig, ist auch f1(B) als Nullmenge in Aenthalten.

2) f , g : X Y, N = {x X : f (x) 6= g(x)} Nullmenge.

X = X1 X2, X1 = X \ N, X2 = N

Wende iii) und iv.1) an.

Ist (Y, d) ein metrischer Raum, so wird, falls nicht anders angegeben, die Algebra der Borelmengen

B = B(Y) = A(O(Y)) = A(F (Y))

verwendet.

Definition 48.3Seien (X,A) ein messbarer und (Y, d) ein metrischer Raum. Dann heit f : X Y Amessbar, falls f (A,B(Y))messbarist. Insbesondere ist f Amessbar, falls f1(U) A fr alle offenen Teilmengen U Y.Korollar 48.4Seien (X,A) ein messbarer und (Y1, d1), (Y2, d2) metrische Rume, sowie h : Y1 Y2 stetig. Dann ist fr jede AmessbareAbbildung f : X Y auch die Verknpfung h f Amessbar.

Beweis: Sei V Y2 offen. Dann ist auch U = h1(V) offen und

(h f )1(V) = f1(h1(V)) = f1(U) A

Die Borelmengen von R werden von den Intervallen [a, +) bzw. (a, +) erzeugt.

B(R) = A ({[a, ) : a R})

Korollar 48.5Seien (X,A) ein messbarer Raum und f : X R eine Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen quivalent:

(i) f ist Amessbar(ii) {x X : f (x) a} A a R

(iii) {x X : f (x) > a} A a R(iv) {x X : f (x) a} A a R(v) {x X : f (x) < a} A a R

Zur einfacheren Formulierung von Konvergenzaussagen erweitert man R durch Hinzufgen von + und zu

R = R {, +}

mit den Rechenregeln:

15

48 Messbare Funktionen XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

(i) () + () = (ii) () + a = a + () =

(iii) () a = a () ={

, falls a (0, +] , falls a [, 0)

und den Vereinbarungen:

(+) + () = () + (+) = 0 () 0 = 0 () = 0

Damit ist R bzgl. + und abgeschlossen. Die Operationen sind weiterhin kommutativ, aber nicht mehr assoziativ.Eine Teilmenge A R ist offen, falls A R offen ist und

+ A = a R mit (a, +] A A = b R mit [, b) A

Abbildungen f : X R werden numerische Funktionen genannt.Die Borelmengen von R ergeben sich als

B(R) = A(O(R)) = {A E : A B(R), E {, +}}

Definition 48.6Sei (A, X) ein messbarer Raum. Dann heit f : X R Amessbar, falls f (A,B(R))messbar ist.Bemerkung Die Charakterisierung Amessbarer Funktionen in 48.5 gilt auch fr numerische Funktionen.Satz 48.7Sei (X,A) ein messbarer Raum.

(i) Sind f , g : X R Amessbar, so auch f g, f g, max( f , g), min( f , g), | f |.(ii) f = ( f1, . . . , fn) : X Rn ist Amessbar gdw. jedes fi, i = 1, . . . , n Amessbar ist.

(iii) fn : X R, n N, seien Amessbar. Dann sind auch supnN fn, infnN fn, lim supn fn und lim infn fnAmessbar.

Aus (iii) folgt, dass falls f (x) = limn fn(x) fr alle x X, d.h. f ist punktweiser Grenzwert der fn, dann diesein messbares f ergibt, falls fi messbar. Im Gegensatz dazu wird Stetigkeit bei (nur) punktweise Konvegenz nichterhalten.

Beweis: Hilfsaussage fr beliebiges a R

N {x X : f (x) + g(x) < a} !=

yQ{ f (x) < y} {g(x) < a y} M

trivial, da x M = f (x) < y und g(x) < a y = f (x) + g(x) < a y + y = a, so dassx f1(, a)

x N = f (x) < y < a g(x) fr ein y Q, da die rationalen Zahlen dicht liegen= f (x) < y g(x) < a y = x M= N = M, damit gilt die Hilfsaussage.

(i) Laut Voraussetzung sind f , g messbar und somit alle { f (x) < y} und {g(x) < a y} Elemente ausder Algebra A. Wegen deren Abgeschlossenheit bzg. abzhlbarer Schnitte und Vereinigungen gilt auchN = M A.

f g = f + (1)g messbar, da fr beliebiges c 6= 0

{c g(x) < a} ={

{g(x) < a/c} falls c > 0{g(x) > a/c} falls c < 0

Also erbt (1)g die Messbarkeit von g und damit auch f g.

16

48 Messbare Funktionen XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

(ii) Da B(Rn) von Quadern Q = [a1, b1) [a2, b2) . . . [an, bn) erzeugt wird, betrachte Urbild

f1(Q) = {x X : ai fi(x) < bi fr i = 1 . . . n} =n

i=1

f1i ([ai, bi)) =n

i=1

{x X : ai fi(x) < bi}

Also folgt aus der Messbarkeit aller Komponentenfunktionen fi unmittelbar die Messbarkeit der Vektor-funktion f . Umkehrung in bung.

(iii) {x X : sup fn(x) > a} =

n=1{x X : fn(x) > a}. Also folgt Messbarkeit von sup fn aus Messbarkeitder fn ( = inf entsprechend).

lim supn

fn(x) = infm

supnm

fn(x) = infm

f m mit f m(x) = supnm

fn(x) messbar nach (iii) erste Aussage

Damit ist infm0 f m auch messbar. Daraus folgt, wenn

limn fn(x) = f (x) = lim supn

fn(x) = lim infn fn(x), dann ist auch f messbar.

Reste siehe bung. Hinweis fr f g: Nutze die ApolloniusIdentitt

f g = 14 [( f + g)2 ( f g)2]

Bemerkung (zu Numerische Funktion, d.h. Bildbereich R = {} R {})

(i) Name merkwrdig. Erklrung: Analytiker denken numerisch bedeutet keine strenge MathematikEnglisch: Extended Real Valued Function, d.h. erweiterter reeller Wertebereich

(ii) Hierachie

c/0 = sign(c) fr c 6= 0 okay= in IEEE Arithmetik

0 =??? = NaN (Not a Number)

Test in C: (x == x) ergibt

{

1 = wahr falls x 6= NaN0 = f alsch falls x NaN

(iii) Es gab und gibt viele Versuche, R um unendliche Gren zu erweitern, so dass algebraische und topologischeEigenschaften erhalten bleiben (Nonstandard Analysis)

(iv) Bis auf Weiteres sind Fallunterscheidungen ntig.

Definition 48.8 (Einfache Funktionen)auch Treppenfunktionen, stckweise konstante Funktionen

(i) Fr A X definiert man die charakteristische Funktion A : X {0, 1}

A(x) =

{

1 falls x A0 falls x / A

A ist offensichtlich messbar gdw. 1A (1) = A A

(ii) f : X R heit einfach, wenn fr n paarweise disjunkte Mengen Ai X (Ai Aj = falls i 6= j) und reelleKoeffizienten ci R

f (x) =n

i=1

ciAi (x)

quivalenterweise kann man verlangen, dass f auf X nur endlich viele unterschiedliche Werte in R annimmt.

Satz 48.9Falls f : X [0, ] messbar, dann ist es monoton von unten durch messbare einfache Funktion fk : X 7 [0, ) annherbar,d.h. fk(x) f (x) fr alle x X.

17

48 Messbare Funktionen XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Beweis: Betrachte zunchst einfache Funktionen k : [0, ) [0, ) mit k(y) y fr alle y [0, ),Konstruktion spter. Dann folgt unmittelbar fr fk(x) = k( f (x)), dass

fk(x) = k( f (x)) k

( f (x)) = f (x)

Aus der Kettenregel folgt die Messbarkeit von fk aus der Messbarkeit von f und k.

Definition der k

k(y) =

k falls y ki12k

falls i12k

y < i2k

fr 1 i k 2k

Satz 48.10 (Erhaltung von Messbarkeit bei punktweiser Konvergenz)(X,A) messbarer, (Y, d) metrischer Raum, fi : X Y messbar und f (x) = limi fi(x) fr alle x X, dann ist auch fmessbar.

Beweis: Es reicht zu zeigen, dass fr alle offenen (und deswegen auch messbaren) U Y das Urbild f1(U)messbar ist. Es ist

U =

k=1

Uk , Uk {

y Y : d(y, Uc) > 1k}

wobei die Uk fr alle k offen und damit auch messbar sind.

f1(Uk) ={

x X : d( f (x), Uc) > 1k}

sowie lim fi(x) = f (x)

={

x X : j Ni j : d( fi(x), Uc) > 1k}

=

j=1

i=j

{

x X : d( fi(x), Uc) > 1k}

f1i (Uk)

UkU

Uc

Messbarkeit der f1i (Uk) folgt aus der Messbarkeit der Folgenelemente fi. Schnitt und Vereinigung bleibt inAlgebra = f messbar.

Satz 48.11Sei E X messbar mit (E) < . Betrachte die Funktionenfolge fk : E R, messbar und f (x) = limk fk(x) fr x E.Dann existieren fr alle Paare > 0 < ein messbares A E und ein k0, so dass (A) < und

| fk(x) f (x)| < fr x E \ A und k k0

Beweis: Betrachte

Gk = {x E : | fk(x) f (x)| } und Em =

k=m

Gk {x E : | fk(x) f (x)| fr ein k m }

Offensichtlich ist Em eine monotone Folge, d.h. Em1 Em Em+1 . . .

m=1

Em = {x E : | fk(x) f (x)| fr unendlich viele k} = wegen punktweiser Konvergenz.

Wegen Stetigkeit von oben nach Satz 46.6 gilt

limm (Em) = (

m=1

Em) = () = 0

Also existiert ein m, so dass fr A = Em gilt (A) < und X E \ A impliziert | fk(x) f (x)| fr allek m.

18

49 Integration messbarer Funktionen XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

49 Integration messbarer Funktionen

Einfache Funktionen sind Verallgemeinerungen von Treppenfunktionen, so dass man sinnvollerweise das Riemann-integral in [a, b] R verallgemeinert zu

E d =

n

k=1

ck(Ak E) fr =n

k=1

ckAk und Ak, E messbar

Satz 49.1 (Eigenschaften des Integrals fr einfache )(i) unabhngig vom Reprsentanten von (Eindeutigkeit)

(ii)

E( + ) d =

E d +

E d (Linearitt)

(iii)

E1E2 d =

E1 d +

E2 d fr E1 E2 = (Additivitt bzgl. E)

(iv)

E d

E d falls (x) (x) fr x E (Monotonie)(v)

E d

E || d (E) fr = supxE |(x)|(vi)

A d

B d falls 0 und A Bwobei E messbar, , einfach auf X und , R und | | der bliche Betrag.

Beweis: Einfaches Nachrechnen, eventuell in bung

Ziel: Integral so auf mglichst alle messbaren Funktionen erweitern, dass (i)-(vi) gltig bleiben. Abgesehen vonunendlichen Werten ist Messbarkeit hinreichend und notwendig fr Integrierbarkeit.

Satz 49.2Sei E X messbar, (E) < und f : E R mit Schranke M | f (x)| fr x E. Dann gilt mit und einfacheFunktionen

sup f

E d = inf

f

E d

gdw. f messbar.

Beweis: Fr beliebiges, aber festes m betrachte Niveaumengen (messbar)

Ek ={

x E : (k1)Mm < f (x) km M}

fr k = m,m + 1, . . . , m

m(x) =m

k=m

(k 1)Mm

Ek (x)

m(x) =m

k=m

kMm

Ek (x)

= m(x) f (x) m(x) fr x E

Em d

m

k=m

(k 1)Mm

(Ek)

Em d

m

k=m

kMm

(Ek)

Em d

Em d =

E(m m) d =

m

k=m

(kMm

(k 1)Mm

)

(Ek)

=m

k=m

Mm

(Ek) =Mm

m

k=m

(Ek) =Mm

(E)

inf f

E d sup

f

E d inf

m f

Em d sup

m f

Em d

infm f

Em d + inf

m f

E(m) d

infmN

E(m m) d inf

mNMm

(E) = 0 = inf f

E d sup

f

E d

Daraus folgt die Gleichheit wie behauptet, da aus f wegen Monotonie des Integrals bei einfachenFunktionen folgt

E d

E d = sup inf.

19

49 Integration messbarer Funktionen XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Seien n f eine wachsende und n f eine fallende Folge einfacher Funktionen, fr die gilt

limn

En d = sup

f

E d = inf

f

E d = lim

n

En d

Diese mssen nach Voraussetzung von existieren. Daraus folgt, dass

En d

En d =

E(n n) d

n 0

Seien = limn n und = limnn, diese erfllen punktweise (x) f (x) (x) und sindnach Satz 48.7 messbar.

Annahme{x E : (x) > (x)} > 0

dann folgt fr ein > 0, dass auch

{x E : (x) > (x) + }

A

> 0

und fr alle n : n(x) (x) > (x) + n(x) + x A

Dann gilt

E(n n

0

) d

A(n n) d

A d (A) > 0

Da rechte untere Schranke fr alle n gilt, widerspricht dies der Voraussetzung, dass

E( ) d 0.Also gilt {x E : (x) < (x)} = 0 und daher

E (x) d =

E (x) d und mit {x E : f (x) 6=(x)} = 0 folgt aus der Vollstndigkeit des Maes, dass auch f messbar ist.

Definition 49.3Falls E X und f messbar mit f beschrnkt, setze (bei f einfache Funktion)

Ef d = inf

f

E d

Falls = n das LebesgueMa spricht man vom LebesgueIntegral und schreibt einfach

Ef d =

Ef (x)dx

M.a.W. DefaultMa ist LebesgueMa.

Korollar 49.4Falls f : [a, b] R beschrnkt und Riemannintegrierbar, dann ist f messbar und das LebesgueIntegral ergibt den selbenWert wie das RiemannIntegral.

Beweis: Wie beim RiemannIntegral auftretenden Unter- und Obersummen lassen sich als Integral ber einfa-che, d.h. Treppenfunktionen interpretieren, die mit der neuen Definition bereinstimmen. Konvergenz unddamit nach Satz 49.2 Messbarkeit von f folgen.

Beispiel (die Umkehrung gilt nicht)

Q = Q [0, 1], Q(x) ={

1, falls x Q;0, sonst.

ist nicht Riemannintegrierbar auf [0, 1], da alle Untersummen = 0 und alle Obersummen = 1 fr beliebig feineZerlegung. Q ist Borelmessbar = Lebesguemessbar.

1Q

(U) =

[0, 1] , falls 0 U 1Qc , falls 1 / U 0 fr offenes U RQ , falls 0 / U 1 , falls 0, 1 / U

20

49 Integration messbarer Funktionen XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Q =

j=1{qi} mit Q = {q1, q2, . . .} auszhlen ist Borelmenge und auch Qc und damit

[0,1]Q(x)dx = 0

Definition 49.5Falls f : X [0, ] messbar und E X messbar, setze

Ef d = sup

{

E d : 0 f , einfach

}

Lemma 49.6Das obige Integral erfllt aus 49.1 die Eigenschaften (iii),(v), (vi) und

E f d =

E f d falls 0.

Beweis: Siehe bung

Lemma 49.7 (von Fatou)0 fn messbar, f = lim infn fn punktweise, E X messbar.

lim infn

Efn d

Elim inf

n fn d =

Ef d

(

= sup f einfach

E d

)

(Vergleiche lim inf(an + bn) lim inf an + lim inf bn.)Beweis: Es reicht zu zeigen, dass lim inf

E d fr beliebiges einfaches f .1. Fall:

E d = . Setze A = E \ 1(0), dann ist auch (A) = . Es gibt ein a > 0 mit (x) > a > 0 frjedes x A. Konstruiere

An = {x E : fk(x) > a fr alle k n} = An An+1,

n=1

An A = limn (An) = (

n=1

An) (A) = ;

Efn d a(An)

n = lim infn

Efn d = lim

n

Efn d =

2. Fall: 0

E d < . Sei 0 beliebig,

An {x E : fk(x) > (1 )(x) fr alle k n}

An An+1 . . .

n=1

An A,

n=1

(A \ An) =

(A \ An) n 0. D.h., ab einem bestimmten n0 gilt (A \ An) < falls n n0. Mit (x) M fr x E:

Efn d

fn0 + Monot.

Anfn d (1 )

An d

= (1 )(

A d

A\An d

)

(1 )(

E d M

)

da (x) M

fr 0 ergibt sich genau die Behauptung.

Korollar 49.8 (Monotone Konvergenz)Falls 0 fn f auf E, alles messbar, und lim infn fn = f punktweise in E, dann gilt

limn

Efn d =

Ef d

21

49 Integration messbarer Funktionen XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Beweis: Aus Monotonie des Integrals folgt zunchst

Ef d

Efn d

=

Ef d lim inf

n

Efn d

Fatou

Ef d

Also gilt Gleichheit und lim inf fn ist ein echter Grenzwert.

Lemma 49.9 (Linearitt des Integrals fr nichtnegative Funktionen f 0 g)

E( f + g) d =

Ef d +

Eg d mit 0

Beweis: Nach Satz 48.9 gibt es einfache Funktionen n f und n g. O.B.d.A. n 0 und n 0 da sonstn max(0, n) und n max(0, n) ersetzt werden kann.

limn n(x) + n(x) = f (x) + g(x) auch von unten

Aus monotoner Konvergenzaussage folgt

E( f + g) d

49.8= lim

n

E(n + n) d

49.1= lim

n

En d +

En d

49.8=

Ef d +

Eg d

Korollar 49.10fn 0, E messbar

E

n=1

fn d =

n=1

Efn d

Beweis: Folgt aus Anwendung von 49.8 auf Partialsummen

fn =n

k=1

fk f (x) = limn fn(x) =

n=1

fn(x)

Definition 49.11(i) f : X [0, ] heit integrierbar auf E X falls

Ef d <

(ii) f : X R heit integrierbar auf E, wenn f +(x) = max(0, f (x)) und f(x) = max(0, f (x)) beide integrierbarsind. Man setzt dann

Ef d =

Ef + d

Ef d

da f (x) = f +(x) f(x) nach Definition.Lemma 49.12Falls f , g auf E integrierbar und , R

(i)

E( f + g) d =

E f d +

E g d

(ii) fr messbares h folgt aus |h| g 0 dass auch h integrierbar ist mit

Eh d

E|h| d

Eg d <

Beweis: (i) siehe bung

22

50 Produktmae und Integration XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

(ii)

0 h+(x) |h(x)| g(x)0 h(x) |h(x)| g(x)

E+ = {x E : h(x) > 0}E = {x E : h(x) 0}

Eh+ d =

E+h+ d

E+|h| d

E+g d <

Eh d =

Eh d

E|h| d

Eg d <

= h integrierbar

Eh d

=

E+h+ d

Eh d

E+h+ d +

Eh d

E|h| d

Eg d

Satz 49.13 (Beschrnkte Konvergenz nach Lebesgue)Falls fn(x) f (x) und | fn(x)| g(x) fr x E mit g auf E integrierbar, dann gilt f integrierbar und

Ef d = lim

n

Efn d

Beweis: Betrachte die nichtnegativen Funktionen

0 g + fn n g + f 0

0 g fn n g f 0

Nach Fatou

Eg d + lim inf

n

E fn d = lim inf

n

E(g fn) d

Fatou

E(g f ) d =

Eg d

Ef d

Eg d + lim inf

E fn d

Eg d

Ef d

lim infn

Efn d

Ef d

lim infn

E fn d = lim sup

n

Efn d

Ef d

lim infn

Efn d

Ef d lim sup

n

Efn d

Daraus folgt Gleichheit und damit die behauptete Konvergenz der Integrale.

50 Produktmae und Integration

Ziel: Definition und Auswertung von Maen und Integralen in Rn durch wiederholte = geschachtelte Integrationin R.

23

50 Produktmae und Integration XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Voraussetzung: im ganzen Kapitel: Zwei endliche Marume (X,A, ), (Y, B, )und deren Cartesisches Produkt Z X Y {(x, y) : x X, y Y}.Fr einfache Teilmengen von Z, sogenannte Rechtecke

A B mit A A, B B,

definiere den Produktinhalt =

(A B) = (A) (B).b

b

X = R = Y

A

B

x

y

A B

Aufgabe: erweitere eindeutig von (A B) P(Z) P(X Y) auf die von (A B) in P(Z) erzeugteAlgebra C.

Satz 50.1Die Menge

C0 {

m

i=1

(Ai Bi) : Ai A, Bi B fr i = 1 . . . m}

bildet eine Algebra, wobei o.B.d.A. Disjunktheit der (Ai Bi), d.h. (Ai Bi) (Aj Bj) = falls i 6= j, angenommenwerden kann. Dann ist fr E =

mi=1 Ei C0 mit Ei Ai Bi durch

(E) =m

i=1

(Ai) (Bi)

ein endlicher und additiver Inhalt definiert.

Korollar 50.2Der Inhalt lsst sich nach Satz 46.17 eindeutig zu einem Ma auf die von C0 erzeugte Algebra C erweitern. wird als Produktma bezeichnet.

Beweis: Schnittbildung E = A B, E = A B

E E = (A A)

A

(B B)

B

C0

Entsprechend fr endliche Vereinigungen E =n

i=1 Ei, E =m

j=1 Ej

E E =n

i=1

m

j=1

(Ei Ej) C0

weiter E \ E =[(B \ B) (A \ A)

][(A A) (B \ B)

][(B B) (A \ A)

]

E E = (E \ E) E ist disjunkte Zerlegung C0Ec = Z \ E = (X Y) \ E C0

= Algebraeigenschaften gegeben.

E

EB

A

A \ A

B \ B

A A

B B

A

B

A A

B B

Die Endlichkeit folgt allgemein aus der vorausgesetzten Endlichkeit von und , da

i=1

Xi = X mit (Xi) < und

i=1

Yi = Y mit (Yi) <

und o.B.d.A. Xi Xi+1, Yi Yi+1, dann gilt fr Zi = Xi Yi

i=1

Zi = Z und (Zi) = (Xi)(Yi) <

Die Addititvitt als bung.

24

50 Produktmae und Integration XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Satz 50.3Falls E C, dann sind die Schnitte (eng. slice)

Ex {z : (x, z) E} Y und Ey {z : (z, y) E} X

B bzw. A messbar.

X

y

x

Y

E

Ey

Ex

Beweis: Sei S C die Menge der E fr die diese Behauptung wahr ist. Dann ist zu zeigen, dass C0 S und Sbzgl. abzhlbarer Vereinigungen eine abgeschlossene Algebra ist.

E C0 = E =m

i=1

Ei, Ei = Ai Bi

Ex =

{

z Y : (x, z) E}

=

{

z Y : (x, z) Ei fr ein i}

=

{

z Y : z (Ei)x fr ein i}

=m

i=1

(Ei)x

wobei (Ei)x ={

z : (x, z) Ei}

=

{

z : X Ai z Bi}

=

{

, falls x / AiBi, falls x Ai

Ex =

i: xAiBi B da Bi B nach Voraussetzung.

Entsprechend gilt wegen Symmetrie Ey X ist Amessbar.Es wird nun gezeigt, dass fr E =

i=1 Ei mit Ei S auch Ex B und Ey A und damit E S. Es gilt

Ex =

{

z Y : (x, z) Ei fr ein i}

=

{

z Y : z (Ei)x fr ein i}

=

i=1

{

z Y : z (Ei)x}

=

i=1

(Ei)x

B da EiS

= Ex B da dieses System Algebra

Entsprechend gilt Ey A und daher E S.Es bleibt der Abschluss unter Komplementbildung zu zeigen.

E S = (Z \ E)x ={

z Y : (x, z) Z \ E}

=

{

z Y : (x, z) / E}

=

{

z Y : z / Ex}

= Y \ Ex B

Also gilt S = C.

Satz 50.4Fr E C gilt

x (Ex) ist eine Amessbare Funktiony (Ey) ist eine Bmessbare Funktion

X((Ex)) d(x) =

Y((Ey))d(y)

Beweis: Sei S C die Menge der E C, fr die die Behauptung gilt. Die erste Aussage ist dann C0 S.

25

50 Produktmae und Integration XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Betrachte E C0

E =m

i=1

Ai Bi

Ei

disjunkt

Ex =m

i=1

(Ei)x =

xAiBi wie im letzten Beweis

(Ex) = xAi

(Bi) =m

i=1

Ai (x)(Bi)

ist eine einfache Funktion und deshalb messbar.

Entsprechend ist (Ey) einfach und messbar mit (Ey) = mi=1 (Ai)Bi (y). Integration ergibt unmittelbar

X(Ex) d =

m

i=1

(Bi)

XAi (x) d(x) =

m

i=1

(Bi)(Ai)

=

Y(Ey)d(y)

Betrachte E =

i=1 Ei mit Ei S, d.h. erfllt Behauptung. O.B.d.A. Ei Ei+1 monoton steigend in X Y unddaher (Ei)x (Ei+1)x monoton steigend in Y.

(Ex) =

i=1

(Ei)x = (Ex) = limi

((Ei)x)

wegen Stetigkeit von unten des Maes. Die ((Ei)x) sind eine monoton steigende Folge nichtnegativer, mess-barer Funktionen. Also ist nach Satz ber monotone Konvergenz auch (Ex) messbar und es gilt

X(Ex) d(x) = lim

i

X((Ei)x) d(x)

Entsprechend gilt symmetrisch

Y(Ey)d(y) = lim

i

Y((Ei)y)d(y)

Beide Grenzwerte sind gleich, da die Ei bereits die Aussage erfllen, so dass fr alle i gilt, dass

Y((Ei)y)d(y) =

X((Ei)x)d(x)

Um Abschluss bzgl. Schnitten zu zeigen, betrachte eine abfallende Folge

E1 . . . Ei Ei+1 . . .

1. Fall E1 A B mit (A) < > (B). Wegen Stetigkeit von oben gilt fr E =

i=1 Ei, dass

(E)x = limi

((Ei)x) mit ((Ei)x) < (E1) <

Also haben die ((Ei)x) die messbare Grenzfunktion (Ex) und es gilt wiederum

X(Ex) d = lim

i

X((Ei)x)d = lim

i

Y((Ei)y)d =

Y(Ey)d

wie bei der Vereinigung.

2. Fall E 6 A B ist in keinem endlichen Rechteck enthalten. Wegen vorausgesetzter Endlichkeit

X =

i=1

Xi, Xi Xi+1, Y =

i=1

Yi, Yi Yi+1

mit (Xi) < > (Yi) fr alle i.

i=1

(Xi Yi)

Zi

= Z = X Y

26

50 Produktmae und Integration XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Ei = E (Xi Yi) erllen schlielich Behauptung nach Fall 1.

X((Ei)x) d =

Y((Ei)y) d,

X(Ex) d(x) =

Y(Ey) d(y),

da die ((Ei)x) eine monoton steigende Folge nichtnegativer Funktionen bilden, die gegen die deshalbmessbare Funktion (Ex) : X [0, ] konvergieren.

Bemerkung AlgebraEigenschaften und Abschluss bzgl. abzhlbarer Vereinigung und Schnitte ergibt AlgebraEigenschaft. (Monotones System nach Baum)

Korollar 50.5Unter den Voraussetzungen von Satz 50.4 wird durch

(E)

X(Ex) d(x) =

Y(Ey) d(y)

ein Ma definiert, dass gerade die Erweiterung des Inhaltes = auf C0 darstellt. (Wegen Endlichkeit eindeutig.)Beweis: bereinstimmung auf C0 ergibt wie folgt A B, A A, B B

(A B) =

XYAB d =

X[(A B)x

]d(x) =

XA(B) d(x) = (B)

XA d(x)

= (A)(B) = ( )(A B) wie ursprnglich definiert

Zu zeigen bleibt, dass die neue Definition von auch additiv ist. Betrachte E =

i=1 Ei, mit Ei disjunkt.

(Ei) =

X((Ei)x) d(x)

i=1

(Ei) =

i=1

X((Ei)x)

nichtnegativemessbare Fkt. auf X

d(x)Korollar 49.10

=

X

(

i=1

(Ei)x

)

d(x)

=

X(Ex) d(x) = (E)

da Ex =

i=1(Ei)x disjunkte Vereinigung messbarer Mengen. Also ist tatschlich ein Ma, das genau dieErweiterung des ursprnglichen Inhaltes ist.

Satz 50.6 (Fubini)(X,A, ), (Y,B, ) endlich. f : X Y [0, ] messbar bzgl. C. Dann sind die Funktionen

x 7

Yf (x, y) d(y) Amessbar,

y 7

Xf (x, y) d(x) Bmessbar.

Fr die Integrale gilt die Identitt

XYf (x, y) d( ) =

X

[

Yf (x, y) d(y)

]

d(x) =

Y

[

Xf (x, y) d(x)

]

d(y)

Einfache Interpretation: Unter bestimmten Voraussetzungen kommutiert die Integration bzgl. verschiedenen Varia-blen, hnlich wie die Differentiation nach Schwarzschen Satz.

Beweis: Zunchst betrachte f = E mit E X Y

Yf (x, y) d(y) =

YE d(y) =

YEx d(y) = (Ex) messbar nach Satz 50.4

27

50 Produktmae und Integration XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

wegen Symmetrie ist

X f (x, y) d(y) = (Ey) Bmessbar und

X(Ex) d(x) =

Y(Ey) d(y)

|| ||

X

[

Yf (x, y) d(y)

]

d(x) =

Y

[

Xf (x, y) d(x)

]

d(y)

wurde bereits in 50.4 gezeigt.

Behauptung gilt wegen Linearitt dann unmittelbar auch fr einfache Funktionen, d.h. endliche Linearkombi-nationen von charakteristischen Funktionen. Beliebige messbare f 0 sind Grenzwerte monoton steigenderFolgen einfacher Funktionen

f (x, y) = limi

fi(x, y) mit fi(x, y) fi+1(x, y) fr alle i

Dann sind wegen Monotonie des Integrals auch die Funktionenfolgen

x 7

Yfi(x, y) d(y) und y 7

Xfi(x, y) d(x)

monoton steigend und es gilt nach monotoner Konvergenz

limi

Yfi(x, y) d(y) =

Xlimi

fi(x, y) d(y)

Da die Aussage fr jede einfache Funktion fi(x, y) gilt

X

[

Yfi(x, y) d(y)

]

d(x) =

Y

[

Xfi(x, y) d(x)

]

d(y)

gilt auch im Grenzwert i

X

[

Yf (x, y) d(y)

]

d(x) =

Y

[

Xf (x, y) d(x)

]

d(x)

Bemerkung Wird beim letzten Satz die Messbarkeit bzgl. C ausgetauscht durch integrierbar bzgl. und Mess-barkeit bzgl. A ausgetauscht durch integrierbar fr fast alle x (und B entsprechend), so wird der Beweis wiefolgt verallgemeinert:

Nach Vorausgesetzter Integrierbarkeit gilt

XYf +(x, y) d( ) < >

XYf(x, y) d( )

Der Satz 50.6 ist auf f jeweils anwendbar, so dass

XYf(x, y) d( ) =

X

[

Yf(x, y) d(y)

]

()

d(x)

(): nichtnegative Funktion von x mit endlichem Integral bzgl (x). Daher kann sie nur auf einer Menge A x mit(A) = 0 unendlich sein.

Yf(x, y) d(y) endlich fr fast alle x X entsprechend

Xf(x, y) d(x) endlich fr fast alle y Y

XYf (x, y) d( ) =

XYf +(x, y) d( )

XYf(x, y) d( )

=

X

[

Yf +(x, y) d(x)

]

d(x)

X

[

Yf(x, y) d(x)

]

d(x)

=

X

[

Yf +(x, y) d(y)

fast berall

Yf(x, y) d(y)

]

d(x)

28

50 Produktmae und Integration XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Beispiel (i) f (x, y) = xex+y auf [0, 1]2, = = =LebesgueMa

1

0

[ 1

0xex+y dx

]

dy = 1

0

[

xex+y

1

0 1

0ex+y dx

]

dy = 1

0

[

e1+y 0 ex+y

1

0

]

dy

= 1

0e1+y dy

1

0e1+y dy +

1

0ey dy = e 1

1

0

[ 1

0xex+y dy

]

dx = 1

0

[xex+y

]10 dx =

1

0

[

xe1+x xex]

dx

= (e 1) 1

0xex dx = (e 1)

[

xex

1

0 1

0ex dx

]

= (e 1) [e e + 1] = e 1

(ii)

0

[ 1

0x cos(xy) dy

]

dx = 1

0

[

sin(xy)

0

]

dx

= 1

0(sin(x)) dx = 1 cos(x)

1

0= 1 ( 1 + 1) = 2

0

[ 1

0x cos(xy) dx

]

dy =

0

[

xy

sin(xy)

1

0 1

0

1y

sin(xy) dx

]

dx

=

0

[

sin(y)y

+cos(xy)

y2

1

0

]

dy =

0

[sin(y)

y+

cos(y) 1y2

]

ganze Funktionen

=2

(iii) Gegenbeispiel zu Fubini (nach Cauchy)

f (x, y) =x2 y2

(x2 + y2)2=

2

xyarctan( xy )

auf X Y = [0, 1]2 mit f (0, 0) = 0

x=

1

(1 + x2

y2)y

=y

y2 + x2y

x2 y2(x2 + y2)2

y=

1

(1 + x2

y2)

(xy2

)

=x

x2 + y2x

x2 y2(x2 + y2)2

1

0

[ 1

0

x2 y2(x2 + y2)2

dx

]

dy = 1

0

xx2 + y2

1

0dy =

1

0

11 + y2

dy = arctan(y)

1

0=

4 1

0

[ 1

0

x2 y2(x2 + y2)2

dy

]

dx = 1

0

yx2 + y2

1

0dx =

1

0

11 + x2

dx = arctan(x)

1

0=

4

Schlussfolgerung: Voraussetzung verletzt. (Integrierbarkeit ist nicht gegeben). Messbarkeit ist wegen Stetigkeitgegeben.

Motivation: Wir wollen den Satz von Fubini auf Lebesgueintegrierbare Funktionen im Rn anwenden.

X = Rn, Y = Rm, X Y = Rn+m, A = L(Rn), B = L(Rm), C = A(L(Rn) L(Rm))Problem: C 6= L(Rn+m). Genauer: Es ist bekannt, dass

(i) L(Rn) L(Rm) L(Rn+m) (bung)(ii) A(L(Rn) L(Rm)) L(Rn+m)

(iii) A(L(Rn) L(Rm)) 6= L(Rn+m)Beispiel E = {p} B, B Rm nicht messbar. E ist Nullmenge in Rn+m, aber

E 6 A(L(Rn) L(Rm)) denn Ep ist nicht messbar.

29

50 Produktmae und Integration XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

(iv) (n+m)|A(L(Rn)L(Rm)) = n m(v) A(L(Rn)L(Rm))nm = L(R

n+m) (Vervollstndigung des Produktmaes). Denn fr die Algebren derBorelmengen gilt

A(B(Rn) B(Rm)) = B(Rn+m)B(Rn) B(Rm) L(Rn) L(Rm) L(Rn+m)

= B(Rn+m) A(L(Rn)) L(Rm)) L(Rn+m)= L(Rn+m) = B(Rn+m)n+m A(L(R

n) L(Rm))nm L(Rn+m)

Allgemeiner: Seien (X,A, ), (Y,B, ) vollstndige Marume, C = A(A B), = Produktalgebra und Ma und C die Vervollstndigung bzgl. . Untersuchen nun die Integration von Cmessbaren bzw. integrierbarenFunktionen.

Korollar 50.7 (aus 50.5)Sei E C. Dann gilt (E) = 0 gdw.

(Ey) = 0 fr y Y fast berall (Ex) = 0 fr x X fast berall

Beweis: Satz 50.5 und bung 5.1b

x 7 (Ex) 0, messbar, A X messbar

0

A(Ex) d

X(Ex)

50.5= (E) = 0

. 5.1b= (Ex) = 0 fast berall

(Ex) = 0 fast berall =

x (Ex) d = 0

Satz 50.8(X,A, ), (Y,B, ) vollstndige Marume. C, , C wie oben.Wenn E C, eine Nullmenge und F E sind, dann gilt

(Fy) = 0 fast berall

(Fx) = 0 fast berall

Beweis: Fr die Fasern gilt auch Fx Ex.Nach 50.7 gibt es ein X0 X messbar mit (X \ X0) = 0, so dass (Ex) = 0 x X0.Nach Definition der Vollstndigkeit ist fr x X0 auch Fx messbar und (Fx) = 0. Fr Fy analog.

Satz 50.9 (vervollstndigter Fubini)(X,A, ), (Y,B, ) vollst. Marume, C = A(A B), = , C Vervollst. bzgl. , d.h. (X Y, C, ) ist vollst.Maraum.

1. Wenn f : X Y [0, ] Cmessbar ist, danna) x 7 f (x, y0) ist Amessbar fast berall (y0 Y0) und y 7 f (x0, y) ist Bmessbar fast berall (x0 X0)

b) X0 x0 7

Yf (x0, y) d(y) ist Amessbar und Y0 y0 7

Xf (x, y0) d(x) ist Bmessbar

c)

XYf (x, y) d(x, y) =

X

(

Yf (x, y) d(y)

)

d(x) =

Y

(

Xf (x, y) d(x)

)

d(y)

2. Wenn f : X Y R Cintegrierbar ist, danna) x 7 f (x, y0), y 7 f (x0, y) sind fast berall integrierbar

b) x 7

Yf (x, y) d(y), y 7

Xf (x, y) d(x) sind integrierbar.

30

50 Produktmae und Integration XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

c)

XYf (x, y) d =

X

Yf d d =

Y

Xf d d

Beweis: Es gengt, 1. fr charakteristische Funktionen H , H C, zu zeigen. Die Schlussfolgerung auf einfa-che und dann messbare nichtnegative Funktionen sowie nachfolgend auf integrierbare Funktionen erfolgt wiein Satz 50.6.

Sei also H = G F C mit G C, F eine Nullmenge, d.h. F E C mit (E) = 0. Betrachten f = H . Frdie vertikalen Schnitte gilt

Hx = Gx Fx, Gx B, Fx Ex B.Nach 50.8 gibt es ein X0 X, (X \ X0) = 0 mit

(Ex) = 0 x X0 = Fx B und (Fx) = 0= Hx B(1), (Hx) (Gx) + (Fx)

=0

= (Gx) (Hx)

= (Hx) = (Gx) fast berall

YH(x, y) d(y) = (Hx) = (Gx) =

YG(x, y) d(y)

(2)

(1): y 7 H(x0, y) ist Bmessbar fast berall, (2): x 7

H(x, ) d ist Amessbar.Analog fr die horizontalen Schnitte, und zusammen

XYH d = (H) = (G) = ( )(G)

50.5=

X

(

YG d

)

d =

X

YH d d

=

Y

XG d d =

Y

XH d d

Korollar 50.10 (Fubini fr Lebesgueintegrierbare Fkt.)Seien A Rn, B Rm Lebesguemessbare Mengen und f : A B R Lebesgueintegrierbar bzw. nicht negativ undmessbar. Dann gilt

ABf dn+m =

A

(

Bf dm

)

dn =

B

(

Af dn

)

dm

Ist f = g h mit messbaren Funktionen g : A R, h : B R, dann ist

ABf dn+m =

(

Ag dn

)(

Bh dm

)

Korollar 50.11E Rn Lmessbar, f : E R Lintegrierbar

Ef dn =

RnE f dn

=

R

(

Rn1(E f )(x1, . . . , xi, . . . , xn) dn1(x1, . . . xi, . . . xn)

)

dxi

=

R

(

Exi

f dn1

)

dxi

Korollar 50.12 (Prinzip von Cavalieri)Fr E L(Rn) gilt

n(E) =

Rn1(Ex) d1(x) =

Rn11(Ey) dn1(y)

31

51 Transformationsformel fr das LebesgueIntegral XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

Beispiel (i) Sei E L(Rn), f : E [0, ] Lmessbar. Betrachte das Volumen

Vf ={

(x, y) Rn+1x E, y [0, f (x)]

}

unter dem Graphen von f . Dann gilt

n+1(Vf ) =

Rn1(Vfx ) dn(x) =

Ef (x) dn(x)

denn

Vfx = {y R| 0 y f (x)} ={

,falls x / E[0, f (x)] ,sonst

(ii) Sei f : [a, b] R+ Lintegrierbar. Betrachten den Rotationskrper K des Graphen von f um die xAchse.Dann gilt

3(K) =

R2(Kx) d1(x) =

b

af 2(x) dx denn Kx =

{

,falls x / [a, b]Kreisscheibe mit Radius f (x) ,sonst

51 Transformationsformel fr das LebesgueIntegral

Wir wollen die Transformationsformel fr das RiemannIntegral

(I)f (t) dt =

If ((x)

t

)|(x)| dx

mit : I R (I) R ein C1Diffeomorphismus sowie f : (I) R stetig, auf das mehrdimensionaleLebesgueIntegral verallgemeinern.

Satz 51.1Seien U Rn offen und : U V = (U) Rn ein C1Diffeomorphismus. Dann gilt

A L(U) : (A) ist Lmessbar und() n((A)) =

A|det| dn

Korollar 51.2Seien U Rn offen und : U V = (U) Rn ein C1Diffeomorphismus. Dann gilt fr alle A L(U) undf : (A) R Lmessbar.

() f ist Lmessbar und

(A)f dn =

A( f ) |det| d1

Insbesondere ist f ber (A) Lintegrierbar gdw. ( f ) |det| ber A Lmessbar ist.Beweis: Folgt aus Lemma 51.3

Bemerkung () und () sind quivalent.Beweis: (von Satz 51.1) Messbarkeit von (A) folgt aus der Abgeschlossenheit von . (Bild von abgeschlosse-nen Mengen ist abgeschlossen)

(i) Brauchen nur zu zeigen, dass p UW U offen, so dass |W () erfllt. Denn linke und rechte Seitevon () sind additiv und jedes A L(U) kann man in eine abzhlbare, disjunkte Vereinigung vonTeilmengen Ai solcher Wi zerlegen.

(ii) Brauchen fr n 2 die lokale Eigenschaft nur fr solche zu zeigen, fr die

(x1, . . . , xi, . . . , xn

x

) =(

1(x), . . . , i1(x), xi, i+1(x), . . . , n(x))

fr mindestens ein i {1, . . . , n} gilt. Denn:

32

51 Transformationsformel fr das LebesgueIntegral XI MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE

a) Sind U1 1

U2 2

U3 C1Diffeomorphismus die () erfllen, dann erfllt auch 2 1 ().

n(2(1(U1))2,()=

1(U1)|det2| dn

2,()=

U1|det2| 1|detn|

|det(21)|

dn

b) Sei Tij die Vertauschung der iten und jten Koordinate. Gilt fr Tij Tkl (), dann gilt () auchfr . Aus der Linearitt von Tij folgt

n(Tij((Tkl(U

))))

= |det Tij|n(

(Tkl(U)))

und () fr Tij, sowie

n(Tij((Tkl(U

))))

=

U

det(Tij Tkl)

dn

n((Tkl(U)

U

)) =

U|det| Tkl |det Tkl | dn

Tkl ,()=

U|det| dn

c) Sei : U (U) ein C1Diffeomorphismus und p U fix. Aus |det(p)| 6= 0 kann mandurch Vertauschen der Koordinaten im Bild und Definitionsbereich 1x1 (p) 6= 0 erlangen. Setzen(x) = (1(x), x2, . . . , xn), dann ist det = 1x1 6= 0 und es existiert lokal eine Umkehrung

1.Fr p(y) = 1 und y = (x) folgt

p(y) =(y1, p2(y), . . . , pn(y)

)

Daraus folgt, dass man (Modulo Vertauschung) fr n 2 jeden C1Diffeomorphismus lokal alsKomposition zweier C1Diffeomorphismen schreiben, die mindestens eine Koordinate fest lassen.

(iii) Eigentlicher Beweis durch Induktion ber n

IA: n = 1 Betrachten die Mae 1(A) = 1((A)) und 2(A) =

A || d1 auf L(U).Fr A = [a, b] folgt dies aus der Transformationsformel fr das RiemannIntegral.

Wegen [a, b) =

n=1[a, b 1n ] und der Unterhalbstetigkeit fr Mae gilt die Gleichheit von 1 und2 auf dem Ring der halboffenen Intervalle. Weil 1 und 2 endlich sind, folgt die Gleichheit aufL(U) aus der Eindeutigkeit der Fortsetzung.

IV: () gilt fr alle C1Diff. in Dimension n 1 N.

IB: Sei U (t, x) 7 (t, t(x)) Rn mit t : Ut = {x Rn1|(t, x) U} Rn1.

= |det|(t, x) = |dett|(x) und (A)t = t(At) und

n((A)) =

Rn1((A)t) dt =

Rn1(t(At)) dt

IV=

R

At|dett|(x) dn1(x) dt =

R

Rn1At(x)

A(t,x)

|det|(t, x)dn1 dt

Fubini=

A|det| dn

Beispiel Sei KR = {(x, y, z) R3|x2 + y2 + z2 R} die Vollkugel mit Radius R und

(x, y, z) = (, , r) = (r cos(), r cos() sin(), r sin())

Dann ist : U = (0, 2) (2 , 2 ) (0, R) (U) R3 ein C1Diffeom. |det| = r2 cos() und 3(K) =3((U)).

51.1= 3(K) =

(U)d3 =

Ur2 cos() d3 =

2

0

2

2

R

0r2 cos() dr d d =

4

R3

33

XII VEKTORANALYSIS

Lemma 51.3Sei : U : Rn (U) Rn ein Diffeomorphismus. Dann gilt () ().

Beweis: Siehe bungsaufgabe.

XII Vektoranalysis

Motivation: Hufig mchte man Analysis auf gekrmmten Flchen und anderen sogenannten Mannigfaltigkeiten(eng. manifold) durchfhren. Ein Beispiel ist die Berechnung vom Durchschnitt einer gegebenen Temperaturvertei-lung T(, ) auf Erdoberflche

BrT(, ) d(, ).

Letztlich betrachten wir den Gaussschen Divergenzsatz, der zum Beispiel das folgende formalisiert

BrWrmeabstrahlung

BrWrmeabsorbtion =

BrWrmeerzeugung

52 Integration ber Mannigfaltigkeiten

Definition 52.1Eine Teilmenge M Rn heit (Unter)Mannigfaltigkeit der Dimension d n, wenn eine der folgenden quivalentenBedingungen erfllt ist:

(i) (Lsung eines regulren Gleichungssystems) Es existiert zu jedem x M eine Umgebung U Rn mit x U undeine Funktion F : Rn Rnd, F C1(U), so dass

F1(0) U = M U und rang(F(x)) = n d fr x U

m.a.W. Elemente der Mannigfaltigkeit sind lokal Lsungen von n d Gleichungen.Beispiel 1) M {x2 + y2 + z2 = r2 : x, y, z R} = Br R3 ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension d = 2 fr r > 0,

da

F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 r2 = 0 R1, d = 3 1 = 2mit F = 2(x, y, z) 6= 0 da F = 2(x, y, z) = r

2) Mr {(x, y, z) M : x + y + z = 1} ist Mannigfaltigkeit der Dimension d = 1 = 3 2, vorausgesetzt, dassr > 1/(, , )

(, , )(x, y, z) 1(, , ) mit (, , ) =(, , )

(, , )

(ii) (Existenz von Karten) Es existiert zu jedem x M eine Umgebung U Rn und eine stetige differenzierbare, injektiveAbbildung (Parametrisierung)

: Rd Rn mit offen und C1()

die ebenfalls ein Homomorphismus

: U M ist und so dass rang(()) = d fr

(iii) (Graph einer glatten Abbildung) Wie (ii) mit Einschrnkung, dass

P () =(

()

) } d Komponenten} n d Komponenten mit einer Permutationsmatrix P

d.h. M U ist, bis auf Permutation der Koordinaten, der Graph der Abbildung : Rnd.

34

52 Integration ber Mannigfaltigkeiten XII VEKTORANALYSIS

(iv) (Bgelabbildung) Fr jedes x M gibt es eine Umgebung U Rn mit x U und eine offene Menge Rn

: U C1Diffeomorphismusmit 1(M U) Rd {0}nd

Beispiel (Parameterdarstellung von M Br) Nahe Nordpol/Sdpol = +/

() =

xy

r2 x2 y2

= (x, y)

Nahe quator, z.B. (x, y, z) = (r, 0, 0) parametrisierende

(yz

)

=

r2 y2 z2yz

Breite [2 , 2 ], Lnge (, ]. Parametrisierung:

(, ) = r

cos cos cos sin

sin

surjektiv, aber nicht injektiv, da

(+

2, ) = (0, 0, 1) fr alle

U = R3 \ {y = 0 x = 0} geeignete offene UmgebungU \ M =

((2 , 2 ) (, )

)ist regulre Parametrisierung

(, ) =

sin cos cos sin sin sin cos cos

cos 0

=Drei 2 2Untermatrizenmit Determinanten

det (, ) =

cos sin cos2 sin cos sin2 = 2 sin cos = 2 sin 2 6= 0 , falls 6= 0 und || < 2

cos2 sin 6= 0 , falls 6= 0 und || < 2cos2 cos 6= 0 , falls || < 2 und || < 2

Beweis: (i) (iii) O.B.d.A bzw. nach Permutation der Variablen in Rn nehme an, dass

F(x, y) =(

Fx

,Fy

)

mitFy

R(nd)(nd)

nicht singulr an Stelle (x0, y0) mit F(x0, y0) = 0. Dann existiert nach IFT eine differenzierbare Funktiong : Rd Rnd mit

g(x0) = y0 und F(x, g(x)) = 0 x

Setze x = und (x) =(

xg(x)

)

mit (x) =(

Ig(x)

)

also rang() = d und ist deshalb in hinreichend

kleiner Umgebung injektiv, sodass nach Einschrnkung von U gilt

() = M U (x0, y0)

(iii) (ii) trivial, da spezieller Fall

(ii) (i) O.B.d.A sei =(

12

)

mit 1 =1 Rdd integrierbar.

Dann folgt aus Umkehrfunktionensatz nahe (0) =(

x0y0

)

=

(1(0)2(0)

)

die Existenz einer Funktion

h : U(1(0)) Rd, so dass h(1()) = fr alle 0. Dann giltF(x, y) = 2(h(x)) y C1(U(1(0)) U(y0)) Rnd

mitFy

= I R(nd)(nd)

und F(x, y) = 0 falls y = 2(), x = 1() fr ein 0

35

52 Integration ber Mannigfaltigkeiten XII VEKTORANALYSIS

F erfllt Eigenschaften von (i) in hinreichend kleiner Umgebung U von (x0, y0) Rn.

Bemerkung Mannigfaltigkeiten brauchen nicht zusammenhngend sein und knnen durch Vereinigung mehrererdisjunkter Teilmannigfaltigkeiten entstehen.

Beispiel (i)

M = {x Rn : xAx = } mit 6= 0 mit A = A nicht singulr.

F = xAx , F(x) = 2Ax 6= 0 da x 6= 0 fr x M

A =

(1 00 1

)

= x21 x22 =

= Niveaumengen f = x21 x22x22 = + x21 = x2 =

+ x21

x 2=

+

x2 1

x1=

+x22

> 0 > 0x1

x2

< 0

< 0

(ii)

M {A = A R22 : det(A) = 0, A 6= 0} =

(

)

: det(A) = 2

F(,,)

= 0, 6= 0 6= 0 6= 0

F(, , ) = (,2, ) 6= 0 da A = 0 ausgeschlossen wurde. = regulre Mannigfaltigkeit der Dimension2

M {

A =

(

)

R22 : = , det(A) = 0, A 6= 0}

= F1(, , , ) = F2(, , , ) =

= F(, , , ) =(

0 1 1 0

)

drei Unterdeterminanten , , + ,,, 0

= (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) = = 0, = 0, = 0, + = 0 = = 0 =

ist 2dimensionale Untermannigfaltigkeit von R3 bzw. R4. = 2 0 = sign() = sign() = (, )in erstem oder dritten Quadranten der (, )Ebene

+ = 2 = 2 = (2 ) = ( )2 + 2 ( )2 + 2 = 2

M ist der Rand eines Doppelkegel ohne gemeinsame Spitze. Kegel besteht aus positiv semidefiniten und ne-gativ semidefiniten Matrizen.

Regulre Parametrisierung

=

(12

)1 A =

(12

)

(1, 2) =(

21 1212

22

)

= pos. semidef.

2 A = neg. semidef.

Definition 52.2Ein offenes Teilgebiet G = M U mit U offen in Rn einer ddimensionalen Mannigfaltigkeit M Rn heit Kartengebiet,wenn es Bild einer injektiven regulren Parametrisierung : Rd Rn ist, d.h. () = G. Dann heit auch Kartevon G.

Lemma 52.3Je zwei Karten : G und : G sind quivalent in dem Sinne, dass es einen Diffeomorphismus T : gibt,so dass

= T () = (T()) fr

36

52 Integration ber Mannigfaltigkeiten XII VEKTORANALYSIS

Beweis: Wegen vorausgesetzter Injektivitt von und existiert T = 1 und T1 = 1 . Zu zeigenbleibt somit nur noch die stetige Diffbarkeit von T, die von T1 folgt analog aus Symmetriegrnden.

Wegen vorausgesetzter Regularitt von existiert Projektion P = (ej )jJ Rdn mit ej = (0, . . . , 1, . . . , 0) Rn und J {1 . . . , n} und |J| = d so dass

P() = (ej ())jJ = (j())jJ : Rd

in offener Teilmenge 0 mit 0 0 eine regulre Jacobimatrix (P(()) = (j())jJ . Dann existiertnach Satz ber Umkehrfunktionen eine Funktion h : U(P(()) Rd Rd so dass h P () = fr alle 0.Auerdem ist h sogar stetig diffbar und das selbe gilt fr P. Also ist auch T = h P () : ist aufallen Umgebungen und damit auf ganz differenzierbar. Entsprechend ist auch T1 differenzierbar und es gilt = T sowie = T1.

Definition 52.4(i) Fr eine Karte : G heit

() = ()() =

(n

k=1

k()

i

k()

j

)i=1...d

j=1...d

Rdd

die Grammatrix von . Sie ist symmetrisch positiv definit so dass g() = det(()) > 0 fr alle .(ii) f : G R heit integrierbar bzgl. falls

g() f (()) auf der Menge Lebesgueintegrierbar ist. Man setztdann

f d =

g() f (()) d

A Rnd mit rang(A) = d = = AA = vv = vAAv = Av2 0 fr v 6= 0 gilt sogarAv2 > 0 da sonst Av = 0 was der Vollrangeigenschaft widerspricht.

PA =

(A1A2

)

mit det(A1) 6= 0, PAv = 0 = A1v = 0A2v = 0 = v = 0

Satz 52.5Die obige Definition ergibt fr alle Karten den selben Wert, so dass wir setzen knnen

Gf dd =

f dd =

f (())

g() d

Beweis: Betrachte alternative Karte : G mit = T, T : . Nach Kettenregel() = (T())T()

= () = T()((T())(T()))T()() = T

()(T()) T()g() = det(T())2g(T())

f d =

f (())

g() d

=

f ( T())

g(T())|det(T())| dnach Trafosatz

=

f (())

g() d

Def=

f d

Also ergibt sich fr jede Karte der selbe Integralwert.

Korollar 52.6Falls () =

(

h()

)

Rd(nd) ergibt sich

f d =

f (())

det(I + h()h()) d

37

52 Integration ber Mannigfaltigkeiten XII VEKTORANALYSIS

speziell fr Hyperflchen, d.h. n d = 1 = h R

f d =

f (, h())

1 + h()2 d

Beweis:

=

(

h()

)

= =(

Ih()

)

() = ()() =(

I h())(

Ih()

)

= I + h()h()

d = n 1, d.h. M ist Hyperflche.

= I + h()h() Rang 1 Strung von I

det(I + aa) = nj=1 j mit j die Eigenwerte von I + aa

v1 a ist Eigenvektor mit (I + aa)v1 = a(1 + a2) = 1 = 1 + a2. v1 lsst sich durch Vektoren vj frj = 2 . . . n zu orthogonalen Basis erweitern und es gilt

(I + aa)vj = vj + aavj = vj + a v1 vj

0

= j = 1 fr j = 2 . . . n

Also ist det(I + aa) = 1 + a22 wie behauptet, a22 = aa.

Beispiel Aufgabe: Berechne Flche auf Nordhalbkugel, die durch Zylinder ausgeschnitten wird. (Darstellung inEulerwinkeln.)

Auf Kugeloberflche:

x = 2 sin cos y = 2 sin sin z = 2 cos = (, )

= () = 2

cos cos sin sin cos sin sin cos sin 0

() = 4(

cos cos cos sin sin sin sin sin cos 0

)

cos cos sin sin cos sin sin cos sin 0

= 4(

1 00 sin2

)

=

g() =

4 sin2 = 2 sin

Es bleibt zu zeigen, was auf Parametrisierungsbereich = {0 < < 2 }, < < }. Auf Schnittkurve gilt:

(2 sin cos )2 + (2 sin sin 1)2 = 1 = 4 sin2 cos2 + 4 sin2 sin2 4 sin sin + 1 = 1

Im Inneren des kleineren Kreises gilt < < Flche des Ausschnittes

1

g() d =

2

0

2 sin d d =

2

0

(

2 sin

d

)

d

=

2

02 sin ( 2) d = 2 cos ( 2)

2

0

2

02 cos 2 d = 2() + 4 sin

2

0

= 2 + 4 > 0

Mit Cartesischer Parametrisierung

z =

4 x2 y2

h(x,y)

=

1 00 1x

4x2y2y

4x2y2

g = 1 + h(x, y)22 = 1 +x2 + y2

4 x2 y2 =4

4 x2 y2 h(x, y) =(2x,2y)

2

4 x2 y2

38

52 Integration ber Mannigfaltigkeiten XII VEKTORANALYSIS

Ein alternativer Ausdruck fr die Flche ist

2

0

1(y1)2

1(y1)2

44 x2 y2 dx dy

die Auswertung erfolgt wiederum mit Hilfe von trigonometrischer Substitution.

Bemerkung Anwendung der jeweiligen Ergebnisse fr LebesgueIntegrale ber Rd auf Funktionenf (())

g() ergibt unter Voraussetzung von Satz 52.5

(i) f integrierbar ber G = | f | ist integrierbar. f, f + integrierbar(ii) fk integrierbar auf G und monoton steigend fk f punktweise, dann gilt

limk

Gfk dd =

Gf dd Monotone Konvergenz

(iii) fk f messbar und punktweise konvergent sowie | fk| g mit g auf G integrierbar, dann ist auch f integrier-bar mit

G f dd = limu

G fk dd. (Lebesgue beschrnkte Konvergenz).

Frage: Wie definiert man

M f dd wenn M Rn ddimensionale Untermannigfaltigkeit, aber kein Kartengebiet,zum Beispiel S2 {x2 + y2 + z2 = 1 : (x, y, z) R3}Antwort: Benutze Zerlegung der 1 (partition of unity)

Definition 52.7Eine abzhlbare Menge von Funktionen i : M [0, 1] heit Zerlegung der 1 auf M, falls alle Trger

supp(i) = cl{x M : i(x) > 0}

im Inneren eines Kartengebietes von M enthalten sind und

i=1

i(x) = 1 fr x M

wobei jedes x nur zu endlich vielen Trgern gehren darf.

( f hat kompakte Trger genau dann, wenn supp f beschrnkt.)

Beispiel (Htchenfunktionen auf M = R)

k = max(0, 1 |x k|)supp(k) = (k 1, k + 1)

k=

k(x) = k(x) + k+1(x) fr x [k, k + 1)

= 1 (x k) + 1 (k + 1 x)= 1 + 1 1 + k k x + x = 1

Bemerkung Htchen sind zwar global Lipschitzstetig, aber keinmal differenzierbar auf R.

Eine Alternative ist die beliebig oft differenzierbare Funktion

(d) = e12/(2d2) fr < d < (d) = 0 auerhalb.

Sie ist ein Beispiel fr Funktionen, die an einer Stelle, hier d = , beliebig oft reell differenzierbar sind, aber nichtholomorph (CauchyRiemann nicht erfllt), insbsondere nicht in eine Potenzreihe entwickelbar.

Beispiel (Torus) Mannigfaltigkeit der Dimension 2 da 1 definierende Funktion (

x2 + y2 R)2 + z2 = r2.

=

xyz

=

R cos + r cos cos R sin + r sin cos

r sin

(, ) hat berall Rang 2, aber kann nicht auf ganz M injektiv sein.Offene Teilmenge M = {(, ) : 0 < < ,2 < < 2 }.

39

52 Integration ber Mannigfaltigkeiten XII VEKTORANALYSIS

R r

Zerlegung der 1: ij(, ) = i()j() und

1() = max(0, 1 2 | + 2 |

)

2() = max(0, 1 2 | 0|

)

3() = max(0, 1 2 | 2 |

)

4() = max(0, 1 2 | |

)

supp(1) = [, 0], supp(1) = [2 , 2 , . . .

4 3 2 1 4

0

ij

ij(, ) =4

i=1

4

j=1

i()j() =4

i=1

i()4

j=1

j()

1

=4

i=1

i() = 1

Lemma 52.8Sei M Untermannigfaltigkeit und x V M mit V offen. Dann existiert eine stetige Funktion : M [0, 1] so dass(x) 6= 0 und supp() V.Erinnerung: V offen in M, falls offenes U in Rn existiert, so dass V = M U.

Beweis: > 0 : cl B M V.

(x) (x x) fr x M,

Satz 52.9 (Kompakte Ausschpfung)Fr jede Untermannigfaltigkeit M existiert eine aufsteigende Folge kompakter Ki M, so dass

Ki K0i+1 Ki+1 K0i+2

und M =

i=1 Ki wobei K0i+1 = Innere von Ki+1 in M.

Beweis: Definiere abzhlbares System offener Vi M mit cl Vi M z.B. Vi = Qi M mit Qi Rn offenerQuader mit rationalen Ecken und cl Qi M kompakt und

i=1

Vi = M K1 = cl V1 und Ki =ki

i=1

cl Vi ki+1

i=1

Vi

letztere Beziehung definiert die Teilfolge K1 < K2 < < Ki < Ki+1. Die so konstruierten kompakten MengenKi erfllen die Behauptung.

Korollar 52.10Jede Untermannigfaltigkeit M Rn hat einen abzhlbaren Atlas A = (Gi)i=1, d.h. ist die Vereinigung abzhlbar vielerKartengebiete Gi.

40

52 Integration ber Mannigfaltigkeiten XII VEKTORANALYSIS

Beweis: Wir wissen, dass jeder Punkt x M zu einem Kartengebiet gehrt. Jedes Ki wird also durch endlichviele dieser Kartengebiete berdeckt (wegen Kompaktheit). Das System aller dieser ausgewhlten Kartenge-biete ist somit abzhlbar.

Satz 52.11Zu jedem (abzhlbaren, lokal endlichen) Atlas A einer Untermannigfaltigkeit M gibt eine Zerlegung der 1, die ihr untergeord-net ist in dem Sinne, dass

i=1

i = 1 mit i : M [0, 1], i C(M)

so dass es fr jedes i eine Karte Gj A gibt mit supp(i) Gj.

Beweis: Abschluss der schraffierten Menge ist Ki \ K0i1

Ki \ K0i1 K0i+1 \ Ki2 offen

x Ki \ K0i1 existiert eine Umgebung V K0i+1 \ Ki2 und entspre-chend eine Funktion ix; M [0, 1] mit ix(x) > 0 und supp(ix) Gj (K0i+1 \ Ki2).

Ki1

Ki

Ki+1

Ki2

K0i1 \ Ki2

Die strikten Trger{x M : ix(x) > 0}

bilden eine offene berdeckung des Ki \ K0i1. Also gibt es eine endliche Teilberdeckung durch die Trger vonFunktion

ij fr j = 1, . . . , nj mit nj <

Da die Trger der ij hchstens noch nach Ki+1 \ Ki oder Ki1 \ Ki2 reichen, schneiden hchsten ni1 + ni +ni+1 Trger die Menge Ki \ K0i1. Folglich gehrt jedes x M hchstens zu endlich vielen Trgern der ij unddie Summe

(x) =

i=1

ni

j=1

ij(x) : M (0, )

ist eine stetige berall positive Funktion. Folglich ist auch

ij = ij/

eine stetige Funktion mit i,j ij = 1. Nach Umnummerierung erhlt man Folge (i)i=1 mit den geforderten

Eigenschaften.

Lemma 52.12Falls f : M R mit supp( f ) G Kartengebiet, dann ist f auf G integrierbar genau dann, wenn fr jede Zerlegung der 1die Produkte f i auf G integrierbar sind und G

| f i| dd < . Dann gilt

G

f dd =

i=1

G

f i dd

Man setzt dann auch

M

f dd

G

f dd.

Beweis: 1. Fall ist d = n, d.h. M = = G ist offene Teilmenge von Rn. Da f integrierbar auf G, ist auch | f |integrierbar auf G und daher |i f | | f | fr jedes i integrierbar (wegen Lebesguebeschrnkter Konver-genz).

fn =

(n

i=1

i

)

| f |

ist monoton steigende punktweise konvergente Folge, so dass nach monotoner Konvergenzaussage

G

| f | dn =

G

limk

k

i=1

i| f | d = limk

k

i=1

G

i| f | dn =

i=1

G

|i f | dn

41

52 Integration ber Mannigfaltigkeiten XII VEKTORANALYSIS

d.h. aus Integrierbarkeit von f folgen die Beschrnktheit der Summe ber

Gi| f | d.

limk

G

k

i=1

i f d =

G

f d

folgt nach Lebesgue aus gemeinsamen Beschrnkungen

k

i=1

i f

| f |

2. Fall G Gebiet von ddimensionaler Untermannigfaltigkeit. Betrachten Parametrisierung : G undwende Argumentation von Fall 1 an auf die Zerlegung der 1, nmlich i = i auf und Integranden

f = ( f ) grfolgt analog.

Bemerkung Die Zerlegung der 1 ist eher ein theoretisches als praktisches Werkzeug. Integrale ber Mannigfaltig-keiten mssen fast immer numerisch ausgewhlt werden. Dann sind verschiedene Darstellungen ber Zerlegungenauch nicht mehr exakt quivalent.

Satz 52.13 (Integrierbarkeit auf Untermannigfaltigkeit)M Rn, f : M [, ] heit integrierbar ber M, falls fr einen Atlas A und eine untergeordnete Zerlegung der 1

1 =

i=1

i(x) fr x M

gilt:

f i mit supp(i) Gj sind integrierbar

=

M

f i dd =

Gj

f i dd

i=1

M

| f |i dd <

Dann setzt man

M

f dd

i=1

M

f i dd (, )

Diese Setzung ist von speziellem Atlas und Zerlegung unabhngig.

Beweis: Betrachten anderen Atlas A und entsprechende Zerlegung k=1 k = 1. Zu zeigen ist

f k und | f |k sind integrierbar

k=1

M

| f k| dd <

k=1

M

f k dd =

i=1

M

f i dd

Es ist | f ki| mit supp( f ki) < supp( f i) Gj. Also sind sowohl f ki wie | f ki| integrierbar nach Lemma52.12 und es gilt

M

f k dd =

i=1

M

f ki dd

M

| f k| dd =

i=1

M

| f k|i dd

42

52 Integration ber Mannigfaltigkeiten XII VEKTORANALYSIS

Umgekehrt gilt wegen Integrierbarkeit von f i und Zerlegungseigenschaften von k

M

f i dd =

k=1

M

f ik dd

Summation ber i ergibt fr Absolutbetrge

i=1

k=1

M

| f |ik dd

i=1

| f |i ddVor.<

Deswegen darf Doppelsumme umgeordnet werden.

i=1

M

| f |i dd =

k=1

i=1

M

| f |ik dd

=

k=1

M

| f |k dd

Dasselbe folgt aus beschrnkter Konvergenz nach Lebesgue fr die Integranden ohne Betrag. Also sind beideDarstellen wohldefiniert und ergeben den selben Wert.

Definition 52.14Eine beliebige Teilmenge A M heit messbar, wenn die charakteristische Funktion

A : M {0, 1} mit A(x) ={

1 falls x A0 sonst

integrierbar ist, man nennt dann

vd(A) =

M

A dd das Volumen A

Satz 52.15Jede stetige Funktion auf einer kompakten Teilmenge A M ist ber diese integrierbar.

Beweis: Fr Fall A Kartengebiet G (Allgemein wieder mit Zerlegung der 1). : G ergibt stetigeFunktion

g() f (()). Urbild B = 1(A) ist auch kompakt und messbar. Also gilt

A

f dd =

M

f A dd =

( f )gB d =Integral von stetigen

Funktion ber kompakter

Teilmenge von Rd

Bemerkung: muss Homomorphismus sein.

Bemerkung Stze ber monotone und beschrnkte Konvergenz lassen sich auf Untermannigfaltigkeiten erweitern.

Nchste Hrde: Viele Oberflchen sind keine regulren Mannigaltigkeiten, sondern haben Knicke, also Sprngein der Ableitung der Parametrisierung.

Beispiel (Wrfel) Es existieren berall stetige, aber nicht notwendiger Weise differenzierbare Karten. D.h. der Wr-fel ist nur eine C0 Mannigfaltigkeit. Wir haben bisher immer C1Mannigfaltigkeiten betrachtet.

Wrfel =Vereinigung von

6 offene Quadrate, d.h. 2dimensionale Untermannigfaltigkeiten

12 offene Kanten, d.h. 1dimensionale Untermannigfaltigkeiten

8 Ecken, d.h. 0dimensionale Untermannigfaltigkeiten

Hier wie allgemeiner bei C0Mannigfaltigkeiten M lassen sich Integrale ber dem Komplement M \ N definieren,wobei N eine sogenannte dNullmenge ist.

43

52 Integration ber Mannigfaltigkeiten XII VEKTORANALYSIS

Definition 52.16Sei M Rn eine ddimensionale C1Mannigfaltigkeit. f : M Rk ist stetig differenzierbar gdw. fr jede Karte : Mdie Verknpfung f eine C1Abbildung ist,

f : Rd Rk

Definition 52.17Eine Menge N Rn heit HausdorffNullmenge der Dimension d n oder kurz dNullmenge, falls zu jedem > 0 eineberdeckung N i=1 Wi mit Wrfeln der Kantenlnge ri existiert, so dass i=1 rdi Beispiel Fr d = n erhalten wir genau die Nullmengen bezglich des Lebesguemaes n. (Siehe Bemerkung (iv))nach Satz 47.3).

Lemma 52.18 (Elementare Eigenschaften)(i) N N und N ist dNullmenge, dann gilt das auch fr N

(ii) d d impliziert, dass jede dNullmenge auch dNullmenge ist

(iii)

k=1

Nk ist dNullmenge, falls dies fr alle Nk gilt.

Beweis: (i) und (ii) offensichtlich

(iii) Fr gegebenes whle zu Nk eine berdeckung Nk

j=1

Wkj mit Kantenlnge rkj so dass

j=1

rdkj =

2k

Daraus folgt N

k=1

j=1

Wkj und damit

j=1

k=1

rdkj

k=1

k = .

Beispiel (i) {x1 = x2 0 : (x1, x2) R2} NSumme der Kantenpotenzen fr d = 2

n=0

m(n + 1)21

(m(n + 1)2)2=

n=0

1m(n + 1)2

=1m

n=0

1(n + 1)2

m 0

(ii) N = Rnm {0}m fr m [0, n] ist dNullmenge fr d > n m. Fr n = 3, m = 1 ist Ebene R2 {0} R3.Beweis analog zu Beispiel 1. (3Nullmenge, aber nicht 2Nullmenge).

Lemma 52.19 (Vererbung unter Lipschitz bzw. C1Abbildung)(i) Falls N Rn dNullmenge und F : N Rm ist Lipschitzstetig (global) mit Konstante L, dann ist auch F(N ) Rm

eine dNullmenge.

(ii) Falls F : U Rn Rm auf offenen U Rn stetig differenzierbar und N U dNullmenge, dann ist auch F(N )eine dNullmenge.

Beweis: (i) N

k=1

Wk mit

k=1

rdk < dann folgt aus Schrankensatz

F(Wk N ) Wk mit Kantenlngen 2Lrk.

Daraus folgt k=1(rk)d 2dLd kann auch beliebig klein gemacht werden.

(ii) Betrachte Ausschpfung von U =

i=1 Ki durch kompakte Teilmengen, es knnen Wrfel mit rationalenEcken gewhlt werden. Dann hat F(x) auf Ki jeweils ein Maximum Li, das eine LipschitzKonstantevon F auf Ki N ist.Dann folgt nach (i), dass F(Ki N ) dNullmenge und nach (iii) des Lemmas 52.17 auch die abzhlbareVereinigung F(N ) = j=1 F(N Kj)

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52 Integration ber Mannigfaltigkeiten XII VEKTORANALYSIS

Korollar 52.20Jede ddimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn ist d + iNullmenge fr 1 i n d

Beweis: Betrachte Atlas A = {Gj}j=1 mit Gj = j(j) fr j Rd. Wobei o.B.d.A mit

j() =

(

hj()

) }d}(n d) einmal stetig differenzierbar

Modifiziere

j

(12

)

=

(1

hj(1)

)

mit 1 2 j {