ANALISI DINAMICA CON IL MEF Principali tipi di analisi ... · La riduzione delle matrici di massa e...

ANALISI DINAMICA CON IL MEF

Principali tipi di analisi

• analisi modale

• analisi della risposta armonica

• analisi di transitorio dinamico

i

j

k

xy

{ }v&&ρ

Accelerazione

{ } { } sieTe

est LLPUL ++= δ

{ } { }{ } { } { } [ ] [ ]{ }

{ } [ ] [ ] { }∫

∫∫

−=

=−=−=

−=

V

eTTe

V

eTTe

V

Ti

Ti

UdVNNU

dVUNNUdVvvL

dVvvdL

&&

&&&&

&&

ρδ

ρδρδ

ρδ

Contributo inerzia

Contributo smorzamentoyv&&ρ

xv&&ρ

ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/1

i

j

k

xy

{ }vc &

Smorzamento

{ } { } sieTe

est LLPUL ++= δ

{ } { }{ } { } { } [ ] [ ]{ }

{ } [ ] [ ] { }∫

∫∫

−=

=−=−=

−=

V

eTTe

V

eTTe

V

Ts

Ts

UdVNNU

dVUNNUdVvvL

dVvcvdL

&

&&

&

ρδ

ρδρδ

δ

Contributo inerzia

Contributo smorzamentoyvc &

xvc &



{ } { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { }

{ } [ ] [ ][ ] { }e

V

TTe

e

V

Te

V

TeTe

UdVBDBU

UdVNNUdVNcNPU

∫

∫∫

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

δ

ρδ &&&

[ ] [ ]dVNcNV

T∫[ ] [ ]dVNNV

T∫ ρ

[ ]{ } [ ] { } [ ] { } { }eeeeeee PUKUCUM =++ &&&

[ ]{ } [ ] { } [ ] { } { }FUKUCUM =++ &&&

Equazione di equilibrio dinamico

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM =++ &&&

Velocità nodali

Spostamenti nodali

Matrice di rigidezza

Forze esterne

Accelerazioni nodali

Matrice di smorzamento

Matrice di massa


FORMULAZIONE DELLA MATRICE DI MASSA/1

Matrice di massa “consistent”: [ ] [ ] [ ]∫= dVNNM Te ρ

[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫

dVNdVNNdVNN

dVNdVNNdVNN

dVNNdVNdVNN

dVNNdVNdVNN

dVNNdVNNdVN

dVNNdVNNdVN

dVNNN

NNN

NN

NN

NN

dVNN T

21515131511

21515131511

15132

131311

15132

131311

151113112

11

151113112

11

151311

151311

15

15

13

13

11

11

000

000

000

000

000

000

000000

00

00

00

ρ

ρρ

Elemento triangolare

piano

• simmetrica• sostanzialmente piena


Matrice di massa “lumped”: la massa viene concentrata nei nodi in qualche modo fisicamente accettabile (di solito ovvio per gli elementi con nodi nei vertici, meno ovvio per quelli con nodi intermedi), in modo che risulti:

• la struttura della matrice di massa è diagonale

m/3

m/3

m/3

∫∑ = dVMj

j ρ

m/4

m/4

m/4

m/4

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

XX

XX

XX

M

000000000000000000000000000000


• La formulazione “consistente” produce errori minori in valore assoluto• Le matrici “consistente” e “lumped” tendono a produrre rispettivamente una sovrastima ed una sottostima delle pulsazioni proprie• La struttura diagonale può risultare molto vantaggiosa in alcune soluzioni iterative (es. analisi di transitorio) in quanto non richiede inversione

-20

-15

-10

-5

0

5

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modo proprio

Erro

re p

erce

ntua

le

ConsistentLumped

Trave appoggiata, 10 elementi

OSCILLAZIONE LIBERA SISTEMA 1 G.D.L. NON SMORZATO

Sistema ad 1 g.d.l.

x

m

k

0=+ kxxm &&

( )tAtx ωsin)( =

( )( )tAtxtAtxωω

ωω

sin)(cos)(

2−=

=

&&

&

( )

mkA

mkAtkAtAm

n ==→≠

=−

=+−

ωω

ω

ωωω

0

00)sin()sin(

2

2

OSCILLAZIONE LIBERA SISTEMA 1 G.D.L. NON SMORZATO

Sistema ad 1 g.d.l.

x

m

k

2

2

2121

xkE

xmE

p

c

⋅=

⋅= & ( )( )tAtx

tAtxω

ωωsin)(

cos)(==&

( ))(sin)(cos21 2222 tktmA ωωω +⋅=

mk

kmE

n ==

=→=

ωω

ω 2cost

( ) ( ) =⋅+⋅= 22 )sin(21)cos(

21 tAktAm ωωω

=⋅+⋅=+= 22

21

21 xkxmEEE pc &

=⋅+⋅= )(sin21)(cos

21 22222 tAktAm ωωω

OSCILLAZIONE LIBERA SISTEMA 1 G.D.L. SMORZATO

Sistema ad 1 g.d.l.

x

m

c k

0=++ kxxcxm &&&

tata eAeAtx 2121)( ⋅+⋅=

02 =++mka

mca

kmccmk

mc

cr 2042

2

==→=−=Δ

coniugatecomplesseaacc cr

21,0<Δ→<

0 5 10

0

20

x t( )

t

realiaacc cr

21,0>Δ→>

0 0.5 10

10x t( )

t

OSCILLAZIONE LIBERA SISTEMA 1 G.D.L. SMORZATO

Sistema ad 1 g.d.l.

x

m

c k

( )21

)sin()cos()(

ξωω

ωω

ξ

ξω

−=

+=

=

−

ns

sst

cr

tBtAetx

cc

n

coniugatecomplesseaacc cr

21,0<Δ→<

0 5 10

0

20

x t( )

t

ANALISI MODALE/2

Analizza le oscillazioni libere della struttura, in assenza dei carichi esterni

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM =++ &&&

Effetto dello smorzamento solitamente molto piccolo

[ ]{ } [ ]{ } 0=+ UKUM &&

x

m

c k

ns

nsn

hasiPer

mk

ωωξ

ξωωω

⋅==

−==

995.0%)10(1.0

1 2

Si propone di determinare le pulsazioni proprie di una struttura e le relative forme modali.

ANALISI MODALE/3

[ ]{ } [ ]{ } 0=+ UKUM &&

Calcolo delle pulsazioni proprie

{ } { } ( )tU ⋅= ωφ sin

{ } { } ( ){ } { } ( )tU

tU⋅−=

⋅=

ωφω

ωφω

sincos

2&&

&

[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) 0sinsin2 =⋅+⋅− tKtM ωφωφω

ANALISI MODALE/4

Calcolo delle pulsazioni proprie

[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) 0sinsin2 =⋅+⋅− tKtM ωφωφω

[ ] [ ]( ){ } 02 =− φω MK

Sistema lineare omogeneo nelle incognite { }φ

[ ] [ ]( ) { }⎩⎨⎧

∞==≠

−soluzioni

soluzioneMK

0010

det 2 φω

ANALISI MODALE/5

[ ] [ ]( ){ } 02 =− φω MK

[ ] [ ]( ) 0det 2 =− MK ω

( ) ( ) ( ) 0... 21

222

121

2 =+⋅++⋅+⋅+ −

−−

nnnnn aaaa ωωωω

Radici

ni ωωωωω ≤≤≤≤≤ ......321

{ } { } { } { } { }ni φφφφφ ......321 Forme modali

ANALISI MODALE/6

[ ] [ ]( ){ } 02 =− φω MK i

n-1 equazioni indipendenti n incognite

1∞ soluzioni

{ }

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

in

i

i

i

ϕ

ϕϕ

φ2

1

Le componenti della forma modale sono note a meno di una costante

Rappresentano solo la forma della deformata, non i valori effettivi degli spostamenti

Normalizzazioni tipiche

{ } [ ]{ }⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

1

1max

iT

i

ij

M φφ

ϕ

ANALISI MODALE/7

Struttura reale(continuo)

Modello ad EF(discretizzato)

∞ pulsazioni proprie n gradi di libertà

n pulsazioni proprie

Relazione ?

ANALISI MODALE/8Tipico andamento spaziale delle Forme modali

1° modo2° modo5° modo9° modo

1 solo elemento: rappresentazione poco accurata del campo di velocità ed

accelerazione

Trave appoggiata, 10 elementi

ANALISI MODALE/9Trave appoggiata, 10 elementi

-1.00E+00

0.00E+00

1.00E+00

2.00E+00

3.00E+00

4.00E+00

5.00E+00

6.00E+00

7.00E+00

8.00E+00

9.00E+00

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modo proprio

Erro

re p

erce

ntua

le

Modi calcolati in modo accurato ≈ n° g.d.l./2

SIMMETRIA STRUTTURALE/1Se si usano considerazioni di simmetria per ridurre le dimensioni di un modello,si otterranno solo i modi propri le cui forme modali rispettano la stessa simmetria.

SIMMETRIA STRUTTURALE/2Se si utilizza l’assialsimmetria, si ottengono solo i modi con forma

assialsimmetrica5

m

φ=0.5 ms=0.01 m

1° modo proprioDeformata assiale

f = 260 Hz

Modello conelementi piani

assialsimmetrici

SIMMETRIA STRUTTURALE/3Se si utilizza l’assialsimmetria, si ottengono solo i modi con forma

assialsimmetrica5

m

φ=0.5 ms=0.01 m

1° modo proprioDeformata flessionale

f = 20 Hz

Modello conelementi trave

UNITÀ DI MISURA/1È preferibile usare il sistema m.k.s

mk

=ωmsmkg

mN

⋅⋅

= 2

kgsskgmsmkg 111

22 ==⋅⋅⋅

mk

=ωmmsmkg

mmN

⋅⋅

= 2

kg3

22 10110001sskgmms

mkg==⋅

⋅⋅

ANALISI RIDOTTA/1

Nell’analisi ridotta, lo stato di spostamento, velocità ed accelerazione dellastruttura viene espresso in termini di un sottoinsieme dei nodi (Nodi “Master”). Gli spostamenti dei nodi rimanenti (Nodi “Slave”) sono quindi calcolati a partireda quelli dei nodi Master.L’analisi ridotta può essere applicata anche in capo statico, per ridurre l’onerecomputazionale dell’analisi.

{ } { }{ }⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=S

M

UU

U { } { }{ }⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=S

M

FF

F

[ ]{ } { }FUK =

g.d.l. “Master”

g.d.l. “Slave”

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ }{ }⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

S

M

S

M

SSSM

MSMM

FF

UU

KKKK

ANALISI RIDOTTA/2

[ ]{ } [ ]{ } { }[ ]{ } [ ]{ } { }⎩

⎨⎧

=+=+

SSSSMSM

MSMSMMM

FUKUKFUKUK

{ } [ ] { } [ ]{ }( )MSMSSSS UKFKU −= −1

[ ]{ } [ ][ ] { } [ ]{ }( ) { }MMSMSSSMSMMM FUKFKKUK =−+ −1

[ ] [ ][ ] [ ]( ){ } { } [ ][ ] { }SSSMSMMSMSSMSMM FKKFUKKKK 11 −− −=−

[ ]{ } { }FUK Mˆˆ = { } [ ] { }FKUM

ˆˆ 1−=

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ }{ }⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

S

M

S

M

SSSM

MSMM

S

M

SSSM

MSMM

S

M

SSSM

MSMM

FF

UU

KKKK

UU

CCCC

UU

MMMM

&

&

&&

&&

La riduzione delle matrici di massa e smorzamento ai soli g.d.l. “Master”non può essere fatta in modo esatto, come per la matrice di rigidezza.Si usa pertanto una formula di riduzione semplificata ed approssimata proposta da Guyan (”Guyan reduction”)

ANALISI RIDOTTA/3

Introducendo la suddivisione tra “Master” e “Slave” nell’equazione di equilibrio dinamico si ottiene:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }FUKUCUM MMMˆˆˆˆ =++ &&&

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]SMSSSSSSMS

SMSSMSSMSSMSMM

KKMKK

KKMMKKMM11

11ˆ−−

−−

+

+−−=

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]SMSSSSSSMS

SMSSMSSMSSMSMM

KKCKK

KKCCKKCC11

11ˆ−−

−−

+

+−−=

Si ottiene in tal modo:

ANALISI RIDOTTA/4

ANALISI RIDOTTA/5

Criteri di selezione dei g.d.l. “Master” (MDOF):

• i MDOF devono essere in numero almeno doppio dei modi da estrarre

• scegliere i MDOF nelle direzioni in cui si vuole analizzare le vibrazioni della struttura

• scegliere i MDOF in punti della struttura caratterizzati da bassa rigidezza e/o elevata massa

• scelta automatica: si basa sul rapporto: ii

iii m

kQ =

Verifica qualità analisi: • la massa ridotta deve differire da quella totale per non più del 10-15%• studio di convergenza al variare del numero di MDOF

ANALISI RIDOTTA/6

Principali algoritmi di estrazione di autovalori ed autovettori (ANSYS) :

Richiede mesh finiBassaElevataElevataElevatoBassoPower Dynamics

Bassa

Bassa

Media

RAM

Bassa

Elevata

Bassa

Hard disk

Usa MDOFElevataMedio-piccolo

TuttiReduced(Householder)

Elementi non distorti

MediaElevatoBassoSubspaceiteration

Shell o shell+solid.Elementi distorti

ElevataElevatoElevatoBlock Lanczos

NoteVelocitàN° g.d.l.modello

N° modiAlgoritmo

Potenziali applicazioni dell’analisi ridotta:

• riduzione degli oneri computazionali dell’analisi

• riduzione del numero di g.d.l. attivi nell’analisi modale, rispetto a quella statica, pur utilizzando un unico modello

• in modelli semplici, separazione dell’effetto dei diversi g.d.l. nodali (es. in una trave si possono analizzare separatamente i modi flessionali, estensionali, etc.)

ANALISI RIDOTTA/7

COMANDI ANSYS/1ANALISI NON RIDOTTA

/SOLUANTYPE, MODAL Definisce il tipo di analisi richiesta

MODOPT, Method, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey

- LANB Block-Lanczos (Default)- SUBSP Subspace- …..

N° modi da estrarre(per SUBSP, al massimo n° g.d.l./2)

Frequenza iniziale e finale per la ricerca dei modi

• OFF: forme modali normalizzate su [M]

• ON: forme modali normalizzate al valore 1

Per Power Dynamics:•MODOPT,SUBSP•EQSLV,PCG

COMANDI ANSYS/2ANALISI RIDOTTA

LUMPM, OPZ Attiva la matrice di massa “Lumped”

OFF: matrice “consistent” (default)ON: matrice “lumped” (deafult per “Power Dynamics”)

/POST1SET,LIST Gli “n” modi richiesti compaiono come “n” substep del

Load step 1

SET,1,n Carica il modo “n”

PLDISP, PRDISP Rappresentano la deformata


/SOLUANTYPE, MODAL Definisce il tipo di analisi richiesta

MODOPT, REDUC, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey

M, Node, Lab1, …

Nodo in cui mettere il MDOF

g.d.l. da usare come MDOF:-UX, UY, UZ-ROTX, ROTY, ROTZ-ALL

SOLVE


FINISH Esce dalla soluzione/SOLU Rientra nella soluzione per il passo di “espansione”EXPASS,ON Attiva il passo di espansione

MXPAND, NMODE, FREQB, FREQE, Elcalc, SIGNIF

N° di modi da estrarre(al massimo, tutti quelli indicati in MODOPT)

SOLVE

Frequenza iniziale e finale per la ricerca dei modi

OFF: non calcola i risultati completi per gli elementi (default)ON: calcola i risultati completi per gli elementi

OSCILLAZIONE FORZATA SISTEMA 1 G.D.L.

Sistema ad 1 g.d.l.

F(t)=F0cos(Ωt)x

m

c k

( )tFkxxcxm Ω=++ cos0&&&

( ) ( )φωϕ ξω ++−Ω⋅= − tAetXtx stn sincos)(

21 ξωωω −== nsn mk

22

2

2

0

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω−

=

nn

KFX

ωξ

ω ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Ω−

Ω

=

2

2

1arctan

n

n

ω

ωξ

ϕ

( ) transttpertXtx >−Ω⋅≅ ϕcos)(

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Ω−

Ω

=

2

2

1arctan

n

n

ω

ωξ

ϕ

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0.010.050.1

Pulsazione forzante [1/s]

Ang

olo

di fa

se [°

]

Sistema ad 1 gdl

ξ

22

2

2

0

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω−

=

nn

KFX

ωξ

ω

0 5 10 15 20 25 300

0.05

0.1

0.010.050.1

Pulsazione forzante [1/s]

Am

piez

za o

scill

azio

ne [m

]

ξSistema ad 1 gdl

OSCILLAZIONE FORZATA SISTEMA 1 G.D.L.

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA

SCOPO: Valutare la risposta del sistema in presenza di una forzante esterna di tipo sinusoidale ed ampiezza costante nel tempo.

F0(t)=A0 cos(Ωt)

Su di una struttura, la “forzante” è in generale costituita da una o più forze esterne, aventi tutte la stessa pulsazione, ma ampiezza e fase distinte.

F1(t)=A1 cos(Ωt+Φ)

0 5 10 15 20 25 30

20

10

10

20

Fors

a [N

]

Forza applicata

0 5 10 15 20 25 30

0.04

0.02

0.02

0.04

0.06

Tempo [s]

Spos

tam

ento

[m]

Oscillazione di un sistema con partenzaa riposo a t=0

Se si applica la forzante a partire dall’istante t=0, con la struttura inizialmente a riposo, la risposta mostra un transitorio iniziale, che si esaurisce dopo un certo tempo, dopodiché la struttura oscilla con ampiezza costante.

Transitorio Analisi risposta armonica

F(t)=F0 cos(Ωt)

δ



Ipotesi: comportamento lineare della struttura ([M], [C] e [K] costanti)

0 2 4 6 8 10 12

10

10

tempo (s)

Forz

a (k

N)

0 2 4 6 8 10 12

10

10x1x2x3

tempo (s)

Spos

tam

ento

(mm

)

x1

x3

x2

I vari g.d.l. della struttura vibrano con una legge del moto avente:• andamento nel tempo di tipo sinusoidale• pulsazione uguale a quella della forzante• ampiezza e fase variabili da punto a punto

{ } { } ( ){ } titii eifeeftF ΩΩ ⋅+=⋅= )sin()cos()( maxmax ψψψ

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })(tFUKUCUM =++ &&&


{ }

( )( )

( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

+Ω⋅−−

+Ω⋅+Ω⋅

=

jj tf

tftf

tFψ

ψψ

cos

coscos

)(

max

2max2

1max1

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

⋅⋅−−

⋅⋅⋅⋅

=Ω

Ω

Ω

tiij

tii

tii

eef

eefeef

jψ

ψ

ψ

max

max2

max12

1

{ } tii eef Ω⋅= ψmax

{ } { } tii eeftF Ω⋅= ψmax)(

{ } { } tii eeuitU Ω⋅Ω= ϕmax)(&

{ } { } tii eeutU Ω⋅Ω−= ϕmax

2)(&&

{ } { } ( ){ } titii eiueeutU ΩΩ ⋅+=⋅= )sin()cos()( maxmax ϕϕϕ

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })(tFUKUCUM =++ &&&


[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } tiitiitiitii eefeeuKeeuCieeuM ΩΩΩΩ =+Ω+Ω− ψϕϕϕmaxmaxmaxmax

2

[ ] [ ]( ) [ ]( ){ } { }ψϕ ii efeuCiMK maxmax2 =Ω+Ω−

[ ] [ ]( ) [ ]( ){ } { }ψϕ ii efeuCiMK maxmax2 =Ω+Ω−

[ ]{ } { }ψϕ iic efeuK maxmax =

{ } [ ] { }ψϕ ic

i efKeu max1

max−=

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MD

Principali tecniche di soluzione:• Metodo diretto• Metodo di sovrapposizione modale

Soluzione: metodo diretto (MD)

{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)(

{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)( &&

{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)( &&&&

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM

Soluzione: metodo di sovrapposizione modale (MSM)

Proprietà modi propri { }jΦ• i modi propri sono ortogonali rispetto alle

matrici [M] e [K]{ } [ ]{ }

⎩⎨⎧

=≠≠=

ΦΦkjsekjse

M jTk 0

0

• i modi propri costituiscono una base di vettori linearmente indipendenti

{ } { } ( )∑∞

=

Φ=1

)(j

jj tYtU{ } { } ( )∑∞

=

Φ=1

)(j

jj tYtU &&{ } { } ( )∑∞

=

Φ=1

)(j

jj tYtU &&&&

[ ] { } [ ] { } [ ] { } { })(tFYKYCYMj

jjj

jjj

jj =Φ+Φ+Φ ∑∑∑ &&&

{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } { })(tFYKYCYM Tk

jjj

jjj

jjj

Tk Φ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ+Φ+ΦΦ ∑∑∑ &&&


[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })(tFUKUCUM =++ &&&

{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } { })(tFYKYCYM Tk

jjj

jjj

jjj

Tk Φ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ+Φ+ΦΦ ∑∑∑ &&&


{ } [ ]{ }⎩⎨⎧

=≠≠=

ΦΦkjsekjse

M jTk 0

0 { } [ ]{ }⎩⎨⎧

=≠≠=

ΦΦkjsekjse

K jTk 0

0

{ } [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ]{ } { } { })(tFYKYCYM Tkkk

Tk

jjj

Tkkk

Tk Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ ∑ &&&


Ipotesi aggiuntiva: smorzamento proporzionale (di Rayleigh) o costante

{ } [ ]{ }⎩⎨⎧

=≠≠=

ΦΦkjsekjse

C jTk 0

0

[ ] [ ] [ ] [ ]IKMC δβα ++=

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { })(tFYKYCYM Tkkk

Tkkk

Tkkk

Tk Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ &&&

{ } [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ]{ } { } { })(tFYKYCYM Tkkk

Tk

jjj

Tkkk

Tk Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ ∑ &&&

La matrice di smorzamento deve avere anch’essa una forma che garantisca la normalità rispetto ad essa delle forme modali.Non sono ammessi, ad esempio, smorzatori “localizzati”.

{ } [ ]{ } 1=ΦΦ kTk M

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { })(tFYKYCYM Tkkk

Tkkk

Tkkk

Tk Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ &&&


Normalizzazione

{ } [ ]{ } kkkTk YYM &&&& =ΦΦ

[ ] [ ]( ){ } 02 =Φ− kk MK ω

{ } [ ] [ ]( ){ } 02 =Φ−Φ kkTk MK ω

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } 02 =ΦΦ−ΦΦ kTkkk

Tk MK ω

{ } [ ]{ } kkkkTk YYK 2ω=ΦΦ

{ } [ ]{ } { } { })(2 tFYYCY Tkkkkk

Tkk Φ=+ΦΦ+ ω&&&

{ } [ ]{ } { } [ ] [ ] [ ]( ){ } =Φ++Φ=ΦΦ kTkk

Tk IKMC δβα

{ } [ ]{ } { } { })(2 tFYYCY Tkkkkk

Tkk Φ=+ΦΦ+ ω&&&


{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } ( )kkkTkk

Tkk

Tk IKM ωδβωαδβα 1

2 ++=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=

Sistema 1 gdl:

( )tmFxxxx

mkx

mcx nn Ω=++=++ cos2 02ωξω &&&&&&

{ } [ ]{ } kkkTk C ωξ2=ΦΦ

( )k

kk

kk ω

ωδβωωαξ 1++=

( )tFkxxcxm Ω=++ cos0&&&

{ } { })(2 2 tFYYY Tkkkkkkk Φ=++ ωωξ &&&

{ } { } kTkkkkkkk ftFYYY =Φ=++ )(2 2ωωξ &&&

( ) tikc

tiikk efeeff k ΩΩ == ψ

max,

tikck

tikck

tikck

eYY

eYiY

eYY

Ω

Ω

Ω

Ω−=

Ω=

=

2&&

&

( ) kckckkk fYi =Ω+Ω− ωξω 222


tikc

tikck

tikckk

tikc efeYeYieY ΩΩΩΩ =+Ω+Ω− 22 2 ωωξ

( ) Ω+Ω−=

kkk

kckc i

fYωξω 222

( )

22

2

2

2

22

21

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω−

=

=Ω+Ω−

=

kk

k

k

kc

kkk

kckc

fi

fY

ωξ

ω

ω

ωξω


{ } { } { } tin

kkck

n

k

tikck eYeYtU

MPMPΩ

==

Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ=Φ= ∑∑

11

)(

0 500 1000 1500 2000 25000

5

10

15

EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]

AM

PLIT

UDE

[mm

] RISPOSTA ARMONICA

ω1 ω2 ω3 ω4 ω5

|Y1c |

|Y2c ||U|

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forz

a (k

N)

T T

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI

Forzanti: le forzanti esterne agenti sulla struttura hanno generalmente un andamento nel tempo di tipo periodico, ma non armonico.

Per determinare il loro effetto sulla struttura è quindi necessario:• scomporre la forzante in una somma di funzioni armoniche (serie di Fourier)• ottenere la risposta complessiva tramite la sovrapposizione degli effetti

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forz

a (k

N)

T T

( )∑∞

=

+Ω⋅+=

=Ω

100

0

cos)(

2

hhh thAAtF

T

λ

π

( )∑=

+Ω⋅+≅Fn

hhh thAA

100 cos λ


0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ordine armonica

Am

piez

za [k

N]

Andamento tipico delle ampiezze delle diverse armoniche eccitatrici con il relativo ordine h

Oss: al di sopra di un certo numero d’ordine l’ampiezza Ah diviene usualmente trascurabile.

nF = 8 Armoniche non considerate


0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forz

a (k

N)

nB 1=


Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e

( )∑=

+Ω⋅+=Fn

hhh thAAtF

100 cos)(' λ

nF = 1

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forz

a (k

N)

nB 2=



( )∑=

+Ω⋅+=Fn

hhh thAAtF

100 cos)(' λ

nF = 2

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forz

a (k

N)

nB 3=



( )∑=

+Ω⋅+=Fn

hhh thAAtF

100 cos)(' λ

nF = 3

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forz

a (k

N)

nB 4=



( )∑=

+Ω⋅+=Fn

hhh thAAtF

100 cos)(' λ

nF = 4

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forz

a (k

N)

nB 5=



( )∑=

+Ω⋅+=Fn

hhh thAAtF

100 cos)(' λ

nF = 5

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forz

a (k

N)

nB 7=



( )∑=

+Ω⋅+=Fn

hhh thAAtF

100 cos)(' λ

nF = 8

{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)(

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI

{ } ( ) MPM

n

jjj nntY

M

<Φ≅ ∑=1

Non è possibile, né conveniente utilizzare tutti i modi propri:

Effetto della scelta di nM: il sistema si comporta come un filtro passa basso, che “taglia” la risposta alle pulsazioni della forzante maggiori di

Mnω

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLIT

UDE

[mm

]

nM = 1

{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)(


{ } ( ) MPM

n

jjj nntY

M

<Φ≅ ∑=1



Mnω

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLIT

UDE

[mm

]

nM = 2

{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)(


{ } ( ) MPM

n

jjj nntY

M

<Φ≅ ∑=1



Mnω

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLIT

UDE

[mm

]

nM = 3

{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)(


{ } ( ) MPM

n

jjj nntY

M

<Φ≅ ∑=1



Mnω

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLIT

UDE

[mm

]

nM = 4

{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)(


{ } ( ) MPM

n

jjj nntY

M

<Φ≅ ∑=1



Mnω

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLIT

UDE

[mm

]

nM = 5

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLIT

UDE

[mm

]

nM = 2

Banda passante


Condizioni da soddisfare: • la massima armonica contenuta nella forzante deve risultare compresa nella “banda passante” del modello

0ΩFn

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLIT

UDE

[mm

]

nM = 5

Banda passante


Condizioni da soddisfare: • la massima armonica contenuta nella forzante deve risultare compresa nella “banda passante” del modello

0ΩFn

0Ω> Fn nM

ω


Condizioni da soddisfare: • il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

180200250

Numero di modi propri consideratiA

mpi

ezza

vib

razi

one

[mm

]

Ω

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLIT

UDE

[mm

]

nM = 5

I modi propri di alta frequenza mantengono un contributo anche alle basse frequenze



0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

180200250


mpi

ezza

vib

razi

one

[mm

]

Ω

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLIT

UDE

[mm

]

nM = 5

180



0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

180200250


mpi

ezza

vib

razi

one

[mm

]

Ω

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLIT

UDE

[mm

]

nM = 5

200



0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

180200250


mpi

ezza

vib

razi

one

[mm

]

Ω

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLIT

UDE

[mm

]

nM = 5

250

0Ω>> Fn nM

ω 05.1 Ω⋅> Fn nM

ω

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA – MSM + MD - APPLICAZIONI

Ulteriore requisito per MD e per MSM:• il modello FEM deve essere costruito in maniera da rappresentare in

maniera sufficientemente accurata tutti i modi che danno un contributo significativo alla risposta del sistema (tutti gli nM modi propri nel caso del MSM)

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA – SMORZAMENTO

α-damping (ALPHAD)

β-damping (BETAD)β-damping dip. materiale (MP,DAMP)

Constant damping ratio (DMPRAT) (Anal. arm. e anal. trans. con MSM)Constant damping ratio dip materiale (MP,DMPR) (Anal. armonica non ridotta )Modal damping ratio (MDAMP)

Element damping (applicabile con metodi particolari)

( )k

mk

mk

kk

kk

kk ξξξωββω

ωα

ωωδβω

ωαξ +++++=++= 1

COMANDI ANSYS/1ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO COMPLETO

/SOLUANTYPE, HARMIC Definisce il tipo di analisi richiesta

HROPT, FULL, ….. Sceglie il tipo di analisi diretto completo

HARFRQ, FREQB, FREQE

Frequenza iniziale e finale per l’analisi

NSUBST, NSBSTP

N° di “step” in cui suddividere l’intervallo di frequenze da analizzare


HROUT, Reimky, Clust, Mcont

- ON Stampa i risultati come parti reale ed immaginaria - OFF Stampa i risultati come ampiezza e fase

-OFF “Step” di frequenza equispaziati-ON “Step” di frequenza addensati attorno ai modi propri

-OFF Non stampa il contributo dei diversi modi-ON Stampa il contributo dei diversi modi

F, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC

Parti reale ed immaginaria della forza

SOLVEFINISH


/POST26

NSOLESOL Definizione grandezze da estrarre dal databaseRFORCEetc.

PRCPLX, KEYPRVAR

0 – Stampa i risultati nella forma parte reale + parte immaginaria1 – Stampa i risultati nella forma ampiezza + fase

PLCPLX, KEYPLVAR

0 — Ampiezza 1 — Fase 2 — Parte reale 3 — Parte immaginaria

COMANDI ANSYS/4ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO RIDOTTO

/SOLUANTYPE, HARMIC Definisce il tipo di analisi richiesta

HROPT, REDUC, ….. Sceglie il tipo di analisi diretto ridotto

HARFRQ, FREQB, FREQENSUBST, NSBSTPHROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINCSOLVEFINISH

COMANDI ANSYS/5ANALISI ARMONICA – METODO DIRETTO RIDOTTO

/SOLUEXPASS, ON Passo di espansione

NUMEXP, NUM, BEGRNG, ENDRNG, …

Numero di soluzioni da espandere (se ALL espande tutti gli “step” disponibili)

“Range” di frequenza sul quale effettuare l’espansione delle soluzioni

EXPSOL, LSTEP, SBSTEP, TIMFRQ, Elcalc

SOLVEFINISH

COMANDI ANSYS/6ANALISI ARMONICA – METODO SOVRAPPOSIZIONE MODALE

/SOLUANTYPE, MODAL Analisi modale preliminareMODOPT, Method, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey----------SOLVEFINISH

/SOLU Analisi armonica con MSM

HROPT, MSUP, MAXMODE, MINMODE

N° d’ordine finale (default e max.: NMODE) ed iniziale (default: 1) dei modi da impiegare

HROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC

SOLVEFINISH

COMANDI ANSYS/7ANALISI ARMONICA – METODO SOVRAPPOSIZIONE MODALE RIDOTTO

/SOLUANTYPE, MODAL Analisi modale preliminare ridottaMODOPT, REDUC, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey----------SOLVEFINISH

/SOLU Analisi armonica con MSMHROPT, MSUP, MAXMODE, MINMODEHROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINCSOLVEFINISH

/SOLU Passo di espansioneEXPASS, ONNUMEXP, NUM, BEGRNG, ENDRNGSOLVEFINISH

ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO

SCOPO: Valutare la risposta del sistema in presenza di forze o sollecitazioni esterne, generalmente di tipo non periodico, applicate abbastanza rapidamente da rendere non trascurabili gli effetti delle forze di inerzia.


Può essere impiegato anche per valutare la risposta del sistema a forze o sollecitazioni esterne di tipo periodico, in presenza di effetti non lineari.

Non linearità di contatto

F(t)=F0 cos(Ωt)

δ

Materiale elastico non lineare

Principali tecniche di soluzione:Metodo di sovrapposizione modale (MSM)

Ipotesi: • Struttura in campo lineare, con matrici [M], [C] e [K] costanti• Matrice di smorzamento proporzionale o costante

Metodi di integrazione diretta (MID)Ipotesi:

• Struttura oprante anche in campo non lineare• Matrici [M], [C] e [K] anche non costanti• Matrice di smorzamento qualsiasi



{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)(

{ } { } ( )tftFYYY kTkkkkkkk =Φ=++ )(2 2ωωξ &&&

Soluzione della equazione relativa ad ogni modo con metodi “passo-passo”(Es. Runge-Kutta)

Soluzione: metodo di sovrapposizione modale (MSM)

L’intervallo temporale in cui si vuole studiare il comportamento del sistema viene suddiviso in intervalli (“passi”) temporali successivi.

ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID

Metodi di integrazione diretta (MID): nesuna ipotesi preliminare sulla linearità del problema, né sulle matrici [M], [C] e[K]

{U(t)}

Δt

Noto lo stato del sistema (spostamenti, velocità, accelerazioni) al tempo “tn-1” si calcola il nuovo stato al tempo “tn” (“step-by-stepintegration”).

tn-1

{U}n-1

tn

Δtn

{U}n

tn+1

Δtn+1

{U}n+1

Tra i metodi di integrazione diretta, rientrano due tipi principali di algoritmi:

Algoritmi di tipo implicito: la soluzione al passo temporale n+1 è ottenuta tramite la conoscenza della soluzione al passo n e delle condizioni imposte al passo n+1 (Es.: metodo di Newmark)

Algoritmi di tipo esplicito: la soluzione al passo temporale n+1 è ottenuta tramite la conoscenza della soluzione e delle condizioni imposte al passo n(Es.: metodo delle differenze centrali)


Metodi di integrazione diretta (MID): nesuna ipotesi preliminare sulla linearità del problema, né sulle matrici [M], [C] e[K]

Metodo delle differenze centrali (Esplicito)

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }nnnn tFUKUCUM =++ &&&

Eq. di eq. dinamico al tempo “tn” (nota)

Si assume:

{ } { } { } { } { }⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−

+Δ−

≈ −+

tUU

tUUU nnnn 11

21&


{ }{ } { } { } { }

ttUU

tUU

Unnnn

ΔΔ−

−Δ−

≈−+ 11

&&

{ } { } { }( )12

1+ΔΔ +≈

nn tt UUU &&&

{ } { }tUU nn

Δ−

≈ −+

211

{ } { } { }( )t

UUU nn tt

Δ

−≈ ΔΔ +

&&&& 1

{ } { } { }2

11 2t

UUU nnn

Δ+−

≈ −+


[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }nnnn tFUKUCUM =++ &&&

{ } { } { } { }2

11 2t

UUUU nnn

Δ+−

≈ −+&&

[ ]{ } { } { } [ ]{ } { } [ ]{ } ( ){ }nnnnnnn tFUK

tUUC

tUUUM =+

Δ−

+Δ

+− −+−+

22 11

211

Sostituendo:

{ }( ){ } [ ]{ }( ) [ ]{ } [ ] [ ] { }

[ ] [ ]2

22 1

2

1 tCM

UtCMUMUKtFtU

nnnn

n Δ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−−+−Δ=

−

+


{ } { } { }tUUU nn

Δ−

≈ −+

211&


{ }( ){ } [ ]{ }( ) [ ]{ } [ ] [ ] { }

[ ] [ ]2

22 1

2

1 tCM

UtCMUMUKtFtU

nnnn

n Δ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−−+−Δ=

−

+

Se si fa in modo che [M] e [C] siano diagonali il calcolo è immediato.

Stabilità:max

2ω≤Δt Massima pulsazione propria del modello EF

Possibili stime Δt: ( )( )( )

21

1211

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+≤Δ

υυυρμ

ELt


L’algoritmo risulta condizionatamente stabile, vale a dire che la stabilitàdipende dal passo temporale prescelto.

Metodo di Newmark (Implicito)

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }1111 ++++ =++ nnnn tFUKUCUM &&&

Eq. di eq. dinamico al tempo “tn+1” (non nota)

Si assume: { } { } ( ){ } { }( ) { }1,01 11 ∈Δ+−+≈ ++ δδδ tUUUU nnnn&&&&&&


δ0 1

{ }nU&&

{ } 1+nU&&

1/2

{ } { }( )2

1 nn UU &&&& ++


Si assume:


{ } { } { } { } { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∈Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+Δ+≈ ++ 2

1,021 2

11 ααα tUUtUUU nnnnn&&&&&

α0 1/2

{ }nU&&

{ } 1+nU&&

1/4

{ } { }( )2

1 nn UU &&&& ++


[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }1111 ++++ =++ nnnn tFUKUCUM &&&

Eq. di eq. dinamico al tempo “tn+1” (non nota)

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }{ } { } ( ){ } { }( ){ } { } { } { } { }

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+Δ+≈

Δ+−+≈

=++

++

++

++++

211

11

1111

21

1

tUUtUUU

tUUUU

tFUKUCUM

nnnnn

nnnn

nnnn

&&&&&

&&&&&&

&&&

αα

δδ

Risolvendo per


[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }{ } { } ( ){ } { }( ){ } { } { } { } { }

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

Δ−

Δ−

=

Δ+−+≈

=++

++

++

++++

nnnn

n

nnnn

nnnn

Ut

Ut

UUU

tUUUU

tFUKUCUM

&&&

&&

&&&&&&

&&&

121

1

21

1

11

1111

ααα

δδ



[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }

{ } { } { } { } { }

{ } { } { } { } { }⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

Δ−

Δ−

=

Δ−

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −≈

=++

++

++

++++

nnnn

n

nnnnn

nnnn

Ut

Ut

UUU

tUUtUUU

tFUKUCUM

&&&

&&

&&&&

&&&

121

211

21

1

11

1111

ααα

αδ

αδ

αδ

[ ] { } { } { } { }

[ ] { } { } { } { }[ ]{ } ( ){ }11

1

21

211

121

++

+

+

=+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

Δ−

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

Δ−

Δ−

nn

nnnn

nnnn

tFUK

tUUtUUC

Ut

Ut

UUM

&&&

&&&

αδ

αδ

αδ

ααα



{ } [ ] [ ] [ ] ( ){ }

[ ] { } { } { }

[ ] { } { } { } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Δ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

Δ+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

Δ+

Δ+

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Δ+

Δ ++

nnn

nnn

nn

UtUUt

C

UUt

Ut

M

tFKt

Ct

MU

&&&

&&&

22

1

12111

2

121

αδ

αδ

αδ

ααα

αδ

α

[ ]{ } [ ]FUK nˆˆ

1 =+

Risoluzione:

{ } [ ] [ ]FKU nˆˆ 1

1

−

+ =

Oss.: se [M], [C] e [K] sono costanti, la matrice è anch’essa costante e può essere costruita ed invertita una sola volta.

[ ]K̂

21

21

41 2

≥

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +≥

δ

δα

Condizioni di stabilità:


All’interno del campo di stabilitàl’algoritmo risulta incondizionatamente stabile,vale a dire stabile indipendentemente dal passo temporale prescelto.

δ

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Condizionatamente stabile

Stabile

Instabile

Instabile

Esiste anche una regione in cui l’algoritmo risulta condizionatamente stabile, con passo limite:

αδ 421

22

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Ω

≤Δt

Al variare di α e δ si ottengono altri algoritmi classici di soluzione:


δ

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

210

=

=

δ

α Metodo delle differenze centrali

2141

=

=

δ

α Metodo dell’accelerazione media

2161

=

=

δ

α Metodo dell’accelerazione lineare

( )

γδ

γα

+=

+=

21

141 2

In ANSYS i due parametri α e δ sono generalmente espressi in funzione di un terzo parametro γ (TINTP):


δ

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=⇒=

2141

0δ

αγ

⎩⎨⎧

==

⇒=505.02525.0

005.0δα

γ

Per default


All’interno del campo di stabilità (incondizionata o condizionata), la soluzione tende a quella esatta, al tendere a zero di Δt.

δ

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

U

t

sln. esatta

stabile

Δt0



δ

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

U

t

sln. esatta

stabile

Δt1< Δt0



δ

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

U

t

sln. esatta

stabile

Δt2< Δt1

-2.00E-03

-1.50E-03

-1.00E-03

-5.00E-04

0.00E+00

5.00E-04

1.00E-03

1.50E-03

2.00E-03

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00 2.50E+00

Tempo [s]

Spos

tam

ento

mez

zeria

[m]

0.2132.66E-024.25E-03

Δt [s]

5050.02525.0

==

δα

L = 10 m

x

y L = 10 mL = 10 m

x

y

100 N, 4.07466 Hz (risonanza), onda triangolare


Effetto del passo di integrazione in condizioni di stabilità incondizionata

δ

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

δ

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile


Al di fuori del campo di stabilità, la soluzione mostra una rapida divergenza (in genere con forti oscillazioni) da quella esatta, senza convergere su quest’ultima al tendere a zero di Δt.

δ

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

U

t

sln. esatta

stabileinstabile

-5.00E-03

-4.00E-03

-3.00E-03

-2.00E-03

-1.00E-03

0.00E+00

1.00E-03

2.00E-03

3.00E-03

4.00E-03

5.00E-03

0 5 10 15 20 25

Tempo [s]

Spos

tam

ento

mez

zeria

[m]

8.00E-024.00E-022.00E-021.33E-02

Δt [s]

51.025.0

==

δα

L = 10 m

x

y L = 10 mL = 10 m

x

y

100 N, 0.25 Hz, onda triangolare


Effetto del passo di integrazione in condizioni di stabilità condizionata

δ

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

δ

α0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile


Scelta del passo di integrazione temporale.

F(t)

tT

Procedura per valori indicativi frequenze in gioco

( )∑∞

=

+Ω⋅+=

=Ω

100

0

cos)(

2

hhh thAAtF

T

λ

π

“Periodicizzazione” della storia di carico

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ordine armonica

Am

piez

za [k

N]


nF = 7Armoniche non

considerate

Andamento tipico delle ampiezze


{ } { } ( )∑=

Φ=MPn

jjj tYtU

1)( 0Ω>> Fn n

Mω

Metodo di sovrapposizione modale:

Tutti i metodi di soluzione:

30202

0

÷>Ω

≤Δ PFP

nnn

t π

In ogni caso, a partire da questa prima stima, è generalmente necessario uno studio di convergenza su nP e Δt.Situazioni che possono richiedere valori particolarmente ridotti di Δt:• fenomeni di contatto• propagazione di onde elastiche (dimensioni elementi < 1/20 lungh. d’onda)• non linearità geometriche, “stress stiffening”

INTEGRAZIONE RISPETTO AL TEMPO/2

Campo non lineare

Campo lineare

Generale

Tipo di problema

Necessari piccoli passi temporali per la

convergenza

Necessari passi temporali molto piccoli per la stabilità

Convergenza non sempre assicurata per forti non

linearità

Verifiche di convergenza non richieste

Soluzione tramite tecniche iterative

Soluzione diretta ad ogni passo

Possibile stabilitàincondizionata; grandi passi

temporali

Stabilità condizionata; necessari passi temporali

molto piccoli

Inversione di matrici ad ogni step; elevato tempo di

calcolo per step

Nessuna inversione di matrici; basso tempo di

calcolo per step

Algoritmi implicitiAlgoritmi espliciti

INTEGRAZIONE RISPETTO AL TEMPO/3

Strain rate [s-1]

Statico Quasi statico Dinamico

10110-2 104

Urti autovettureStampaggio

Urto proiettiliEsplosioniProblemi “standard”

Comportamento statico materiale Effetti “strain rate” sul materiale

Metodi Impliciti

Metodi Espliciti

Campo applicativo

Possibili anche approcci misti Impliciti+Espliciti

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