AN INTRODUCTION TO MULTISCALE METHODS - WMI - ??AN INTRODUCTION TO MULTISCALE METHODS G.A....

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  • AN INTRODUCTION TO MULTISCALEMETHODS

    G.A. PavliotisDepartment of Mathematics

    Imperial College Londonand

    A.M. StuartMathematics InstituteUniversity of Warwick

    June 25, 2006

  • 2

  • i

    To my parents A and o and to my brother o.Carry Home. o .

    For my children Natalie, Sebastian and Isobel.AMS.

  • ii

  • Contents

    Preface xi

    1 Introduction 11.1 Motivating Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1 Example I: Steady Heat Conduction in a Composite Material 11.1.2 Example II: Homogenization for AdvectionDiffusion Equa-

    tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Example III: Averaging, Homogenization and Dynamics . 41.1.4 Example IV: Dimension Reduction in Dynamical Systems 5

    1.2 Averaging Versus Homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    I Background 9

    2 Analysis 112.1 SetUp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Banach and Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.3.1 Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2 Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.4 Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.1 Lp Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.3 Banach SpaceValued Spaces . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.4 Sobolev spaces of Periodic Functions . . . . . . . . . . . 21

    2.5 TwoScale Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    iii

  • iv CONTENTS

    2.5.1 TwoScale convergence for steady problems . . . . . . . 232.5.2 TwoScale convergence for time dependent problems . . . 26

    2.6 Equations in Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6.1 Lax-Milgram Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6.2 Fredholm Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.7 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3 Probability Theory and Stochastic Processes 353.1 SetUp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Probability and Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Martingales and Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.4.1 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.2 The Ito Stochastic Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.3 The Stratonovich Stochastic Integral . . . . . . . . . . . . 45

    3.5 Weak Convergence of Probability Measures . . . . . . . . . . . . 463.6 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    4 Ordinary Differential Equations 554.1 Set-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Existence and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 The Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4 Ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    5 Markov Chains 635.1 Set-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 The Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3 Existence and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4 Ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.5 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

  • CONTENTS v

    6 Stochastic Differential Equations 736.1 Set-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 Existence and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 The Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.4 Ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.5 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    7 Partial Differential Equations 857.1 Set-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2 Elliptic PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.3 The Dirichlet Problem for Elliptic PDE . . . . . . . . . . . . . . 867.4 The Periodic Problem for Elliptic PDE . . . . . . . . . . . . . . . 887.5 Fredholm alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.6 Parabolic PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.7 Hyperbolic PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.8 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    II Perturbation Expansions 99

    8 Invariant Manifolds for ODE 1018.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.2 Full Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.3 Simplified Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.4 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    8.5.1 Linear Fast Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.5.2 Large Time Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.5.3 Centre Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    8.6 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    9 Averaging for Markov Chains 1099.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.2 Full Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

  • vi CONTENTS

    9.3 Simplified Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.4 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.6 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    10 Averaging for ODE and SDE 11510.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11510.2 Full Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11510.3 Simplified Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11710.4 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11810.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    10.5.1 A Skew-Product SDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11910.5.2 Hamiltonian Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    10.6 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    11 Homogenization for ODE and SDE 12711.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12711.2 Full Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12711.3 Simplified equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12911.4 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13211.5 Properties of the Effective Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 13411.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    11.6.1 Fast Ornstein-Uhlenbeck Noise . . . . . . . . . . . . . . 13511.6.2 Fast Chaotic Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13711.6.3 Stratonovich Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.6.4 Stokes Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14011.6.5 Kubo Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14111.6.6 Neither Ito nor Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . 14311.6.7 The Levy Area Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    11.7 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14611.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    12 Homogenization for Elliptic Equations 14912.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14912.2 Full Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14912.3 Simplified Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

  • CONTENTS vii

    12.4 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

    12.5 Properties of the Homogenized Coefficients . . . . . . . . . . . . 154

    12.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    12.6.1 The OneDimensional Case . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    12.6.2 Layered Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    12.7 Discussion and Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

    12.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    13 Homogenization for Parabolic Equations 17113.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

    13.2 Full Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

    13.3 Simplified Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    13.4 Derivation of the Homogenized equation . . . . . . . . . . . . . . 173

    13.5 Effective Diffusivity . . . . . . . . . . . .