AMAK1 Handbook

140
ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΤΑΛΑΣΛΙΔΗΣ ΗΛΙΑΣ ΜΠΟΥΓΑΪΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΙΝΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Α Κ Ε Σ Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2011

Transcript of AMAK1 Handbook

Page 1: AMAK1 Handbook

ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΤΑΛΑΣΛΙΔΗΣ ΗΛΙΑΣ ΜΠΟΥΓΑΪΔΗΣ – ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΙΝΟΠΟΥΛΟΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι

ΤΕΥΧΟΣ A

Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Α Κ Ε Σ Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ

ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2011

Page 2: AMAK1 Handbook

ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ι ΤΕΥΧΟΣ A

Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης – Ιωάννης Ντινόπουλος

Θεσσαλονίκη 2011

Page 3: AMAK1 Handbook

ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελίδα ΜΕΡΟΣ Β: ΡΟΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Υπολογισμός μιας συνεχούς δοκού 1 2. Υπολογισμός ενός δικτυώματος 16 3. Υπολογισμός ενός πλαισίου 27 4. Υπολογισμός ενός σύνθετου πλαισίου 39 5. Μητρώα μετασχηματισμού 57 6. Μητρώα δυσκαμψίας 63

ΜΕΡΟΣ Γ: ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 67 ΜΕΡΟΣ Δ: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

1. Δοκοί με αρθρώσεις 76 2. Αντικατάσταση υποσυστημάτων με

γενικευμένα ελατήρια /φορτία 81 3. Άκαμπτοι σύνδεσμοι 85 4. Αριθμητικά αποτελέσματα 89 5. Συνθήκες που διέπουν τη

στατική συμπεριφορά της δοκού 91 6. Αρχή των δυνατών έργων: Μητρώα

δυσκαμψίας/ Εργικά ισοδύναμα φορτία 95 7. Δεσμεύσεις 100

ΜΕΡΟΣ Ε: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ

―Στατικό μοντέλο φέροντος οργανισμού 108 ―Έδαφος - Θεμελιώσεις 112 ―Διαφραγματική λειτουργία πλάκας ορόφου 114 ―Ροπές αδρανείας δοκών/ πλακοδοκών 116 ―Ισοδύναμα πλαίσια 117 ―Ανοικτοί/Κλειστοί πυρήνες 118 ―Παρατηρήσεις/Σχόλια 124

ΜΕΡΟΣ ΣΤ: Ασκήσεις 125

Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης

Θεσσαλονίκη 2008

Page 4: AMAK1 Handbook

ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α

ΜΕΡΟΣ Β: ΡΟΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ - ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

σελίδα 1. Υπολογισμός μιας συνεχούς δοκού 1

2. Υπολογισμός ενός δικτυώματος 16

3. Υπολογισμός ενός πλαισίου 27

4. Υπολογισμός ενός σύνθετου πλαισίου 39

5. Μητρώα μετασχηματισμού 57

6. Μητρώα δυσκαμψίας 63

Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης – Ιωάννης Ντινόπουλος

Θεσσαλονίκη 2011

Page 5: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΡΟΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ

1) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1

Δεδομένα: Γραμμικός φορέας

P

1M2M

TT

11, EJL 22, EJL

Σχ. 1.1

Φορτίσεις: ,P ,1M ,2M ,T∆ q

ΒΗΜΑ 1:

α) Διερεύνηση για ύπαρξη συμμετρίας ή αντισυμμετρίας

εάν ΝΑΙ ------------------- επιλογή ΝΕΟΥ συστήματος για μείωση υπολογιστικού όγκου (πάντοτε; Πότε είναι ασύμφορη η θεώρηση αυτή;)

π.χ.

aa

bb

ΑΝΤΙΣΥΜMΕΤΡΙΑ

Σχ. 1.2

Page 6: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

2

a a

b b

0Q

0Q

0M

0

2F

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Σχ. 1.3

Γενικά:

ΕπίπεδοΣυμμετρίας

ΕπίπεδοΑντισυμμετρίας

όπου: :πιθανές μετατοπίσεις :πιθανές στροφές Τί παρατηρείτε;

Σχ. 1.4

β) Αρίθμηση κόμβων/Αρίθμηση γραμμικών στοιχείων

1 32

1 2

Σχ. 1.5

Page 7: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

3

ΒΗΜΑ 2:

α) Επιλογή του ΤΥΠΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ (π.χ. δοκός, ράβδος κ.λ.π.)

β) Προσδιορισμός του ΜΗΤΡΩΟΥ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ/ΔΥΣΤΕΝΕΙΑΣ/

ΔΥΣΤΡΕΨΙΑΣ iLk για το i -οστό στοιχείο, αναφερόμενο στο τοπικό

σύστημα συντεταγμένων ( )L .

Σημείωση: Η προσήμανση των δυνάμεων/ροπών στην κλασσική στατική θεωρεί θετικές τις φορές όπως απεικονίζονται στο Σχ. 1.6

a bi

Σχ. 1.6

Στην παρούσα ανάπτυξη θα θεωρηθεί η ακόλουθη προσήμανση

ως θετική (Σχ. 1.7)

a b

i

Γιατί;

Σχ. 1.7

Δηλαδή, θετική ροπή είναι η αριστερόστροφη και θετικές

τέμνουσες αυτές που ακολουθούν τη θετική φορά των

αντιστοίχων τοπικών αξόνων.

Τα φορτία διατομής στους κόμβους προκύπτουν από την

παρακάτω σχέση:

0iL

iL

iL

iL pvkp +⋅= (1.1)

Page 8: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

4

όπου: i

Lk μητρώο δυσκαμψίας του i -οστού στοιχείου στο τοπικό του σύστημα )(L .

iLv διάνυσμα Β.Ε. του i -οστού στοιχείου (τοπικό σύστημα) (Β.Ε.:

Βαθμοί Ελευθερίας). 0iLp διάνυσμα φορτίων διατομής στους κόμβους εξαιτίας εξωτερικών

φορτίσεων στο εσωτερικό του i -οστού στοιχείου (τοπικό σύστημα)

iLp διάνυσμα φορτίων διατομής του i -οστού στοιχείου (τοπικό

σύστημα) Το μητρώο δυσκαμψίας για την δοκό (αμφίπακτη, μόνο κάμψη) στο

επίπεδο είναι της εξής μορφής:

−−−

−−−

=

22

22

3

46266126122646612612

iiii

ii

iiii

ii

i

iiL L

EJ

k (1.2)

2,1=i (Πλήθος στοιχείων)

Η φυσική ερμηνεία του μητρώου δυσκαμψίας δίνεται ακολούθως:

“Κάθε στήλη του μητρώου iLk περιέχει τα φορτία διατομής που αναπτύσσονται

στους κόμβους του στοιχείου, αν θεωρήσουμε την αντίστοιχη επικόμβια στροφή

ή μετακίνηση του στοιχείου ίση με τη μονάδα και τις υπόλοιπες μηδενικές.“

π.χ. τα στοιχεία της στήλης 4 εκφράζουν αντίστοιχα την τέμνουσα και ροπή που

αναπτύσσονται σε κάθε κόμβο του στοιχείου για μοναδιαία στροφή του κόμβου

2 του στοιχείου (όλες οι υπόλοιπες στροφές/μετακινήσεις=0):

Σχ. 1.8

1 2

)1(2224 == y

iLEJk ϕ 442 )1(4 k

LEJ

yi

==ϕ

iL

12=yϕ

3422 )1(6 kLEJ

yi

==ϕ14226 kLEJ

yi

Page 9: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

5

[ ]2211

1yzyzL MQMQT =p (1.3)

[ ]3322

2yzyzL MQMQT =p (1.4)

[ ]2211

1yzyzL uuT ϕϕ=v (1.5)

[ ]3322

2yzyzL uuT ϕϕ=v (1.6)

Σχ. 1.9

ΒΗΜΑ 3:

Φόρτιση (εκτός από μοναχικά φορτία/ροπές στους κόμβους)

Διάνυσμα φόρτισης στοιχείου 0iLp

0iL

iL

iL

iL pvkp +⋅= (1.7)

Οι εξωτερικές φορτίσεις είναι:

α) Μεμονωμένα φορτία στους κόμβους: ,P ,1M 2M (λαμβάνονται υπόψη στο ΒΗΜΑ 7)

1 2 2 3

11, yyM ϕ 22, yyM ϕ 22, yyM ϕ 33, yyM ϕ

11, zz UQ 22, zz UQ 22, zz UQ 33, zz UQ

Page 10: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

6

β) Θερμοκρασία: T∆

∆⋅−

∆⋅=

iTi

iTiL

dTEJ

dTEJ

α

α0

0

0ip (1.8)

γ) Ομοιόμορφα κατανεμημένη φόρτιση: q

−−

=

122

122

2

2i0

i

i

i

i

L

qLqL

qLqL

p (1.9)

Σημείωση: Η διαδικασία υπολογισμού των διανυσμάτων 0iLp είναι η ακόλουθη:

α): Θεωρούμε τις εξωτερικές φορτίσεις να δρούν σε αμφίπακτη δοκό:

Σχ. 1.10

Από το Beton Kalender (π.χ) ορίζουμε τις τιμές των φορτίων

διατομής που εμφανίζονται στα δύο άκρα.

β): Επειδή η προσήμανση των θετικών φορών του Beton Kalender

ακολουθεί το Σχ. 1.6, πολλαπλασιάζουμε τις τιμές της αριστερής

πλευράς ( a ) με (-1.0), ώστε να δίνονται τα δεδομένα σύμφωνα με

την προσήμανση του Σχ. 1.7.

a ab b

T

i i

Page 11: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

7

ΒΗΜΑ 4:

Επιλογή ενός ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ συστήματος συντεταγμένων: ( ,X ,Y Ζ)

(Είναι απαραίτητο; Μόνο ένα; Μπορούμε να έχουμε περισσότερα του

ενός συστήματα αναφοράς; Βλέπε Κεφ. Μητρώα Μετασχηματισμού)

Σχ. 1.11

Όπου: ( ,X ,Y Ζ) καθολικό σύστημα συντεταγμένων

Τοπικό σύστημα τα χαρακτηριστικά/ιδιότητες του κάθε στοιχείου

περιγράφονται ανεξάρτητα από τα άλλα στοιχεία.

Μόνο ενα καθολικό σύστημα

τα χαρακτηριστικά/ιδιότητες όλων των στοιχείων

έχουν κοινό σημείο αναφοράς το σύστημα αυτό.

Διάφορα συστήματα αναφοράς

Οι βαθμοί ελευθερίας στους κόμβους αναφέρονται

σε διαφορετικά συστήματα

1 2 2 3

Y

X

Z

Page 12: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

8

ΒΗΜΑ 5:

α) Μητρώα μετασχηματισμού ( )T

Σχ. 1.12

Για το στοιχείο i :

,iGL

iiL vTv = ,

= i

ii

τ00τT 2,1=i

Γενική περίπτωση: βλέπε Κεφ. 5 (σελ. )

Εδώ: 0==== zxyx uu ϕϕ

zU yΦ

άρα

−=

1001

y

zi uϕτ (1.11)

Το μητρώο όλου του στοιχείου i είναι της μορφής:

ΚΟΜΒΟΣ a

IT −=

−−

−−

=

1000010000100001

b

b

y

z

y

z

i

u

u

ϕ

ϕα

α

(1.12)

ΚΟΜΒΟΣ b

YZ

1 1 22 3

zUyU

xUX

xϕyu

zu

xu

Page 13: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

9

=

b

b

y

z

y

z

iL u

u

ϕ

ϕα

α

v ( ) [ ]bb yzyz

TiGL UU ΦΦ=

ααv

β) Μετασχηματισμός των μητρώων δυσκαμψίας

Γενικά: ( ) iiL

TiiGL TKTK ∗∗= (1.14)

Εδώ : ( ) ( ) iL

iL

TiGL KIKIK =−∗∗−= (1.15)

όπου : IT −=i

γ) Μετασχηματισμός των διανυσμάτων φόρτισης στοιχείων 0iLp

( ) 00 iiL

TiGL pTp ∗= (1.16)

Θερμοκρασία:

∆⋅

∆⋅−=

iTi

iTiGL

dTEJ

dTEJ

α

α0

0

0ip (1.17)

Ομοιόμ. κατανεμ. φόρτιση:

=

122122

2

2i0

i

i

i

i

GL

qLqLqLqL

p (1.18)

ΒΗΜΑ 6: Συνολικός φορέας

Μέχρι τώρα: υπολογισμός μεμονομένων μητρώων στοιχείων.

+∗=

+∗=

+∗=

iGL

iGL

iGL

GLGLGL

GLGLGLGL

vKp

vKp

pvKp

.....................

222

1111 0

Page 14: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

10

Τώρα: Σύνθεση Ιδιότητες όλου του συστήματος / φορέα

ΣΣΣΣ +∗=0PVKP (1.19)

=Σ 332211 YZYZYZ

T ΦUΦUΦUV

Σχ. 1.13

ΣK = Μητρώο δυσκαμψίας του συστήματος (Σ: Σύστημα)

ΣP = Διάνυσμα φόρτισης (εξωτερικά φορτία) του συστήματος

α) Σύνθεση του ΣK από τα μητρώα δυσκαμψίας iGLK

Ποιά διαδικασία ακολουθείται σε ένα πρόγραμμα Πεπερασμένων Στοιχείων;

Διαδικασία (εδώ) :

1) Σχεδιάζεται ένα μητρώο NN ×

=N Πλήθος των Β.Ε.*) του συστήματος ΣV

2) Σημειώνονται οι Β.Ε. του συστήματος αριστερά και πάνω από το μητρώο.

3) Τα στοιχεία του 1GLK εισάγονται στο ΣK στις αντίστοιχες

θέσεις (σημειώνεται με διπλή γραμμή)

4) Τα στοιχεία 2GLK εισάγονται στο ΣK στις θέσεις που

αντιστοιχούν (σημειώνεται με διακεκομένη γραμμή) 5) Η περιοχή τομής των δύο μητρώων σημειώνεται με

τονισμένη γραμμή. (Τα αντίστοιχα στοιχεία προστίθενται!)

1yΦ 2yΦ 3yΦYZ

X 1zU 2zU 3zU

Page 15: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

11

:ΣK

1ZU 1YΦ 2ZU 2YΦ 3ZU 3YΦ

(1.21)

1ZU 112α 116 Lα− 112α− 116 Lα− 0 0

1YΦ 116 Lα− 2114 Lα 116 Lα 2

112 Lα 0 0

2ZU 112α− 116 Lα

2

1

1212

αα

+

22

11

66

LL

αα

− 212α− 226 Lα−

2YΦ 116 Lα− 2112 Lα

22

11

66

LL

αα

222

211

4

4

L

L

αα

+ 226 Lα 2

222 Lα

3ZU 0 0 212α− 226 Lα 212α 226 Lα

3YΦ 0 0 226 Lα− 2222 Lα 226 Lα 2

224 Lα

όπου: 3

iii LEJ=α β) Σύνθεση των διανυσμάτων φόρτισης

Σ0P Από μία ανάλογη διαδικασία προς το α) προκύπτει:

−+

+

∆−∆+

∆−

122

121222

122

0

00

0

22

2

22

21

21

21

1

22

2211

11

0

qLqL

qLqLqLqL

qLqL

dTEJ

dTEJdTEJ

dTEJ

P

T

TT

T

α

αα

α

(1.22)

Λόγω T∆ Λόγω q *) Β.Ε.: Βαθμοί Ελευθερίας

γ) Μεμονωμένα φορτία

Θεωρούνται θετικά όταν δρούν κατά τη φορά των μετακινήσεων ή στροφών του καθολικού συστήματος ή του συστήματος αναφοράς.

−−

Φ

Φ

Φ

2

1

3

3

2

2

1

1

0

00

M

MP

U

U

U

y

z

y

z

y

z

P (1.23)

Page 16: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

12

δ) Χαρακτηριστικές ιδιότητες του μητρώου δυσκαμψίας του συστήματος ΣK

α) Θετικά διαγώνια στοιχεία, συμμετρικά.

β) Δομή ταινίας (πλάτος ταινίας).

γ) ,0det =totK λόγω ύπαρξης κινήσεων στερεού σώματος.

Μόνο ύστερα από απαλοιφή των κινήσεων στερεού σώματος –με

συνυπολογισμό των συνοριακών συνθηκών- ορίζεται θετικά:

0>xKx totT , x : τυχαίο, 0x ≠ , 0det ≠totK

4) Φυσική σημασία των σειρών;

ΒΗΜΑ 7: Συνυπολογισμός των συνοριακών συνθηκών (απαλοιφή των κινήσεων στερεού σώματος)

Πώς λαμβάνει υπόψη ένα πρόγραμμα

Πεπερασμένων Στοιχείων τις συνοριακές συνθήκες;

Σχ. 1.14

YZ

X

1 2 3

03 =zU011 =Φ= yzU

Page 17: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

13

Τρόποι αντιμετώπισης

Τρόπος 1:

654321

xxx

xxxxxx

000010000

000000

000010000001

654321

K

x

xx

0

00

P

x

xx

0

00

0P

Διαδικασία: Έστω 1xU αντιστοιχεί στο Β.Ε. αρ.1: θέτουμε στην 1η στήλη και στη 1η σειρά μηδενικά εκτός από τη θέση (1,1) όπου τίθεται μονάδα.

Μειονεκτήματα:1) Πολύ χρονοβόρα η εκ των υστέρων προσθήκη των

0 και 1. 2) Το μέγεθος του συστήματος εξισώσεων μένει

αμετάβλητο, παρ’όλο που πολλοί άγωστοι είναι μηδενικοί.

Τρόπος 2:

Συμπύκνωση του συνολικού μητρώου με απομάκρυνση των αντίστοιχων

σειρών και στηλών.

Εστω ότι απομακρύνουμε την 1η, 2η και 5η σειρά και στήλη. Απομένει το

μητρώο rΣK :

( )( )

+

−−+=Σ

222

2222

221

21

22221121

4Συμμετρ.24661212

ααααααααα

LLLLLLL

rK (1.24)

Περίπτωση ,(P ,M )T∆

( )

∆−∆=

Σ

22

22110

0

dJTEdJdJTE

T

T

ααP

−−−

2

1

MMP

P (1.25)

Λόγω T∆ Λόγω μεμονομένων φορτίων

Page 18: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

14

ΒΗΜΑ 8: Καθορισμός των μετακινήσεων του συστήματος ( ) ( )

ΣΣΣΣ−=→+∗= Σ

−ΣΣΣ 0

10 PPKVPVKP rr (1.26)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

6121

04521

2211

21

1001.02051010/101.21

=====∆====∗===

TMmddTNPmJJ

NmMmNEmLL

α

( ) 6351121 101.2110101.2 ∗=∗∗== −αα

Για τα δεδομένα αυτά, τα rΣ

K , Σ0P , ΣP δίνουν

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗−∗∗∗

62

6262

66

101.214Συμμετρ.101.212101.2124101.2160101.2212

rK

∗∗∗∗=

−−Σ

1.0/201010101,200

65110P (λόγω T∆ )

−=Σ

1005

P

( )384101.2

1

1924848486012

481228

6

1

∗∗∗

−−−

−=

−ΣrK

Περίπτωση φόρτισης ( )MPP + :

( ) 6110

67859.2669643.0768849.0

1005

−−ΣΣ ∗

−=

−= rKV

Περίπτωση φόρτισης ( )TP ∆0 :

( ) 6110

1002525

42000

−−ΣΣ ∗

−=

−= rKV

Περίπτωση φόρτισης 0PP + :

Page 19: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

15

( ) 6110

67857.102669643.25768849.25

4201005

−−ΣΣ ∗

−=

−−

−= rKV

[ ]322 yyzT U ΦΦ=Σ

V

Σχ. 1.15

Έλεγχος: Beton Kalender

(a) mEJ

PLw 63

2 101736112.07687 −∗==

(b); ( ) mEJ

MLw 6322

2 10595238.04

−∗=−= ξξ

(c ): md

TLw T 62

2 10254

−∗=∆

Πώς λαμβάνουν υπόψη τα προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων τα

παρακάτω:

α) Συνοριακές συνθήκες (γεωμετρικές);

β) Συνοριακές συνθήκες (στατικές);

Πώς γίνεται η επίλυση του συστήματος εξισώσεων;

1 2

2yΦ

3yΦ

(a)

(b)

(c)T

M

P

Page 20: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

16

2. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ

ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΡΟΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ

Δεδομένα: Δικτύωμα

Σχ.2.1

Φόρτιση: P

ΒΗΜΑ 1:

α) Διερεύνηση για ύπαρξη συμμετρίας ή αντισυμμετρίας

εάν ΝΑΙ επιλογή ΝΕΟΥ συστήματος για επίτευξη μείωσης υπολογισμών

(Βλέπε αντίστοιχο βήμα του 1ου παραδείγματος)

β) Αρίθμηση των κόμβων / Αρίθμηση γραμμικών στοιχείων

*) είναι απαραίτητο;

Σχ. 2.2

Προσοχή: Η αρίθμηση πρέπει να είναι τέτοια, ώστε να διατηρείται το πλάτος της

ταινίας όσο το δυνατόν μικρότερο (είναι απαραίτητο;), επειδή το

11, FL

33, FL22, FL

045

P

1

2

3

32

1

Page 21: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

17

πλάτος της ταινίας επηρεάζει το χρόνο που απαιτείται για την επίλυση

του συστήματος εξισώσεων.

Τα παρακάτω δύο παραδείγματα έχουν διαφορετική δομή ταινίας.

Π.χ.

Μεγάλο πλάτος ταινίας Μικρότερο πλάτος ταινίας Ασαφής δομή ταινίας (α) (β) (γ)

ΒΗΜΑ 2:

― Επιλογή ενός ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ συστήματος συντεταγμένων: ( ,X ,Y Ζ) ― ( x ) τοπικός άξονας Συντεταγμένες κόμβων:

Σχ. 2.4

Σημείωση: Η φορά του τοπικού άξονα x καθορίζει την αρίθμηση των κόμβων ενός στοιχείου b→α

1 : 31 → 1=α , 3=b

2 : 21 →

3 : 32 → 2=α , 3=b

1 7

10 11 12 13 14

Y Z

X

a a

a

b

b

b

32

1

Page 22: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

18

ΒΗΜΑ 3:

α) Επιλογή του ΤΥΠΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ (π.χ. δοκός, ράβδος, σχάρα κ.λ.π.)

β) Προσδιορισμός του ΜΗΤΡΩΟΥ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ iLk για το i -οστό στοιχείο,

αναφερόμενο στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων ( )L .

i0L

iL

iL

iL pvkp +⋅= (2.1)

1 11 1

i iL

i

EAL

− = − k (2.2)

όπου: 3,2,1=i (πλήθος στοιχείων) [ ]31

1xx

TL NN=p (2.3)

Εδώ )12(i0 ×= 0p

L [ ]21

2xx

TL NN=p (2.4)

[ ]323

xxT

L NN=p (2.5)

[ ]311

xxT

L uu=v (2.6)

[ ]212

xxT

L uu=v (2.7)

[ ]323

xxT

L uu=v (2.8)

Σχ. 2.5

1

2

3

1

1

x

x

uN

1

1

x

x

uN

2

2

x

x

uN

2

2

x

x

uN

3

3

x

x

uN

3

3

x

x

uN

1a

1a

2a

3b

3b

2b

Page 23: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

19

ΒΗΜΑ 4:

Φόρτιση : Διάνυσμα φόρτισης στοιχείου

LiL

iL

iL

i0pvkp +⋅= (2.9)

Εδώ )12(i0 ×= 0p

L (μόνο μοναχικά φορτία, βλ. Βήμα 6)

ΒΗΜΑ 5:

α) Μητρώα μετασχηματισμού ( )T

Σχ. 2.6

Για το στοιχείο i :

,iGL

iiL vTv = 3,2,1=i

π.χ.: ( ) [ ]323v xxT

L uu= ( ) [ ]33223v ZXZXT

GL UUUU=

X Z X Z

=

010000011

xx

T (2.10)

↓ ↓ ΚΟΜΒΟΣ a ΚΟΜΒΟΣ b

−=

100000102T (2.11)

21

110000113

=T (2.12)

3

3

3

22

2

11

1 Y Z

X

Page 24: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

20

β) Μετασχηματισμός των μητρώων δυσκαμψίας

Γενικά: iL

iiGL

TTKTK ∗∗= (2.14)

1

11

0000010100000101

LEA

GL

=K (2.15)

2

22

1010000010100000

LEA

GL

−=K (2.16)

3

33

21111111111111111

LEA

GL

−−−−

−−−−

=K (2.17)

Σημείωση: Έχει αναφερθεί ότι τα διαγώνια στοιχεία του μητρώου δυσκαμψίας πρέπει να τηρούν τη σχέση 0>ijd . Στην περίπτωση της ράβδου, επειδή η ράβδος αναπτύσσει εσωτερικές δυνάμεις μόνο κατά τον άξονά της, εμφανίζονται κατά το μετασχηματισμό μηδενικά στη διαγώνιο (η δεδομένη διεύθυνση δεν παρουσιάζει αντίσταση!). Αυτό γίνεται στην περίπτωση που ο άξονας της ράβδου είναι κάθετος προς έναν καθολικό άξονα. Αν η ράβδος σχηματίζει κάποια γωνία o0≠ με τους καθολικούς άξονες, τότε όλα τα διαγώνια στοιχεία του μητρώου είναι 0> .

γ) Μετασχηματισμός των διανυσμάτων φόρτισης στοιχείων i0Lp

i0

i0 L

iTGL pTp ∗= (2.18)

Page 25: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

21

ΒΗΜΑ 6: Συνολικός φορέας

ΣΣΣΣ +∗= 0PVKP (2.19)

Σχ. 2.7

=Σ 332211 ZXZXZX

T UUUUUUV :Μετακινήσεις του συστήματος

:ΣK

1XU 1ZU 2XU 2ZU 3XU 3ZU

(2.20)

1XU 1

2

*10

bb +∗

1

2

*00

bb +∗

20 b∗ 20 b∗ 11 b∗− 10 b∗

1ZU 1

2

*00

bb +∗

1

2

*01

bb +∗

20 b∗ 21 b∗− 10 b∗ 10 b∗

2XU 20 b∗ 20 b∗ 3

2

*10

bb +∗

3

2

*10

bb +∗

3*1 b− 3*1 b−

2ZU 20 b∗ 21 b∗− 3

2

*10

bb +∗

3

2

*11

bb +∗

3*1 b− 3*1 b−

3XU 11 b∗− 10 b∗ 3*1 b− 3*1 b− 1

3

*11

bb +∗

1

3

*01

bb +∗

3ZU 10 b∗ 10 b∗ 3*1 b− 3*1 b− 1

3

*01

bb +∗

1

3

*01

bb +∗

όπου: i

ii L

EAb = , 2,1=i

3

33 2L

EAb =

3

2

1

1zU

2zU

3zU

1xU

2xU

3xU

Page 26: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

22

γ) Μεμονωμένα φορτία

(θετικά όταν έχουν τη φορά των θετικών μετακινήσεων του συστήματος)

+

P00000

P (2.21)

δ) Ιδιότητες ΣK

α) Θετικά διαγώνια στοιχεία

β) Δομή ταινίας (το πλάτος της ταινίας εξαρτάται από το πλήθος των

αγνώστων ανά κόμβο και την αρίθμηση).

γ) ,0det =totK λόγω κίνησης στερεού σώματος (γραμμική εξάρτηση)

Μετά την απαλοιφή των κινήσεων στερεού σώματος

(λαμβάνοντας υπόψη τις συνοριακές) → θετικά ορισμένο:

=totK b : μισό πλάτος ταινίας

0>xKx totT , x : τυχαίο, 0x ≠

b

b

0

0

Page 27: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

23

ΒΗΜΑ 7: Συνυπολογισμός των συνοριακών συνθηκών (απαλοιφή της κίνησης στερεού σώματος)

Σχ. 2.8

Τρόποι αντιμετώπισης

Τρόπος 1:

654321

xxxxxxxxx

000000000

000100000010000001

654321

K

xxx000

P

Διαδικασία: Έστω 1XU αντιστοιχεί στο 1: θέτουμε στην 1η στήλη και στη 1η σειρά μηδενικά εκτός από τη θέση (1,1) όπου τίθεται μονάδα.

Μειονεκτήματα: 1) Πολύ χρονοβόρα η εκ των υστέρων προσθήκη των

0 και 1. 2) Το μέγεθος του συστήματος εξισώσεων μένει

αμετάβλητο, παρ’όλο που πολλοί άγνωστοι είναι μηδενικοί.

Τρόπος 2:

Συμπύκνωση του συνολικού μητρώου με απομάκρυνση των αντίστοιχων σειρών και στηλών.

Εστω ότι απομακρύνουμε την 1η, 2η και 3η σειρά και στήλη. Απομένει το μητρώο r

ΣK :

YZ

X

0211 === xzx UUU

2

1 3

Page 28: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

24

2ZU 3XU 3ZU

−+−

−−+=Σ

333

3313

3332

bbbbbbbbbbb

rK ,

+=Σ

P00

P (2.22), (2.23)

ΒΗΜΑ 8: Καθορισμός των μετακινήσεων του συστήματος

( ) ( )ΣΣΣΣ

−=→+∗= Σ−

ΣΣΣ 01

0 PPKVPVKP rr (2.24)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

NP

mNEmAmLmAAmLL

100

/101.2202.02

01.01

211

233

22121

=

∗=∗==

====

( )( ) ( ) 911

3

91121

101.222202.0101.2

101.2101.0101.2

∗=∗∗∗=

∗=∗∗==

b

bb

Με αντικατάσταση στις (2.22), (2.23) προκύπτει

9101.2111-121112

∗∗

−−=r

ΣK

10000

P

Με αντιστροφή

( ) 9

1

101.21

311110101

∗∗

−−=

−ΣrK

Περίπτωση φόρτισης P :

( ) 9

1

101.21

300100100

10000

∗∗

−=

=

−ΣΣrKV

Page 29: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

25

[ ]332 ZXZr UUU=ΣV

2

31

Σχ. 2.9

ΒΗΜΑ 9: Υπολογισμός κομβικών δυνάμεων του στοιχείου i

iiiiGLGLGLGL 0pvKp +∗= (2.25)

↓ γνωστό από ΒΗΜΑ 8

)(

01000

100

30010000

0000010100000101

3

3

1

1

1 N

NNNN

z

x

z

x

GL

−=

=

=p

)(

10001000

100000

1010000010100000

2

2

1

1

2 N

NNNN

z

x

z

x

GL

=

−=

=p

)(

100100100100

3001001000

1111111111111111

3

3

2

2

3 N

NNNN

z

x

z

x

GL

−−

=

−−−−

−−−−

=

=p

Page 30: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

26

Σχ.2.10

Δύναμη ράβδου: NS 1001 = → θλίψη NS 1002 = → θλίψη

NS 21003 = → εφελκυσμός

‘Ελεγχος:

010022:0ΣFZ

022S:0ΣFX

3

31

=−=

=−=

S

S

Αξονικές Δυνάμεις (τοπικό σύστημα):

,ig

iiL vTv = L

iiL

iL

iL 0pvKp +=

100

100

100

100100

100100

100

1S

2S

3S

N100

3

Page 31: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

27

3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΠΛΑΙΣΙΟΥ

Σχ. 3.1

Δεδομένα: 74

4321

101.21075.1

∗=∗====

EAEJEJEJEJ

14.14L20L14.14L10L10001000100045

4321

21o

========= qMMPα

Δοκοί 1,2,3: θεωρείται αμελητέα η επίδραση των αξονικών παραμορφώσεων

Περιπτώσεις φόρτισης:

1) q 2) ,P ,1M 2M 3) Στροφή πάκτωσης o10=ϕ

ΒΗΜΑ 1:

α) Συμμετρία; → όχι → διατηρείται αρχικό σύστημα

β) Αρίθμηση κόμβων, αρίθμηση στοιχείων, τοπολογία

Σχ. 3.2

2

1

3

4

1

2

34

P 1M2M

1L2L

3L

4L1EJ

2EJ

3EJ

EA4

Page 32: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

28

ΒΗΜΑ 2:

Τοπικά συστήματα, καθολικό σύστημα συντεταγμένων:

Σχ. 3.3

ΒΗΜΑ 3:

Μητρώα δυσκαμψίας, τοπικά συστήματα.

α) Στοιχεία δοκών: ( .3,2,1=i )

−−

−−−−

=

22

22

31

46266126122646612612

iiii

ii

iiii

ii

i

iiL

LLLLLLLLLLLL

LEJ

k (3.1)

0iL

iL

iL

iL pvkp +⋅= (3.2)

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]44334433

33223322

22112211

33

22

11

yzyzLyzyzL

yzyzLyzyzL

yzyzLyzyzL

uuMQMQ

uuMQMQ

uuMQMQ

TT

TT

TT

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

==

==

==

vp

vp

vp

1a

2b

x

x

x

x

z

z

z

y

2a

3b

2a

1 3

2

4

4b4b

3a

Page 33: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

29

Σχ. 3.4

β) Στοιχείο ράβδου: 4

−=

1111

4

44

LEA

Lk (3.3)

[ ]44

2 xxL NNT =p (3.4)

[ ]424

xxL uuT =v (3.5)

Σχ. 3.5

ΒΗΜΑ 4:

α) Μεμονωμένα φορτία: λαμβάνονται υπόψη μετά τη σύνθεση του Σk

β) Στροφή πάκτωσης : λαμβάνονται υπόψη μετά τη σύνθεση του Σk

γ) Ομοιόμορφη κατανεμημένη φόρτιση : Beton Kalender

22, zz uQ

22, zz uQ11

, zz uQ

33, zz uQ

44, zz uQ

22, yyM ϕ

22, yyM ϕ

11, yyM ϕ

33 , yyM ϕ

33, yyM ϕ

44, yyM ϕ

1 2 333, zz uQ

22, xx uN

44, xx uN

4

4

2

Page 34: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

30

−−−=

122122

211

211

0qLqLqLqLpT

L : προσήμανση 1

−−−=

122122

211

211

0qLqLqLqLpT

L : προσήμανση 2

ΒΗΜΑ 5:

Μητρώα μετασχηματισμού ( )T

GLL vTv ∗= (3.6)

XU ZU YΦ

=

100000001000000100000001

y

zuϕ1T (3.7)

=

100000

02

12

1000000100

00002

12

1

2T (3.8)

=

100000001000000100000001

3T (3.9)

=

21

2100

002

12

14T (3.10)

Page 35: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

31

Σημείωση: Ο γενικός υπολογισμός του μητρώου μετασχηματισμού γίνεται ώς

εξής (βλέπε Κεφάλαιο: Μητρώα Μετασχηματισμού)

X Y Z

=

τ00τ

Ti όπου cos( , ) cos( , ) cos( , )cos( , ) cos( , ) cos( , )cos( , ) cos( , ) cos( , )

x x X x Y x Zy y X y Y y Zz z X z Y z Z

τ =

(3.11)

Σχ. 3.6

Αν το στοιχείο είναι ράβδος, τότε απαλοίφονται όλοι οι όροι των ),cos( ji με

zyi ,= (τοπικά) (βλέπε 4T παραδείγματος)

5α) Μετασχηματισμός των μητρώων δυσκαμψίας

iiL

TiGL

iTKTK ∗∗=

−−

−−−

=

211

211

11

211

211

11

31

11

406206000000

60126012206406

00000060126012

LLLL

LLLLLL

LL

LEJ

GLK (3.12)

X

XZ

Z

YY

211

Page 36: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

32

−−−−−−

−−−−−−−−−−

=

2222

2222

22

22

2222

2222

22

22

32

22

42323223232366236623662366

22323423232366236623662366

LLLLLLLLLL

LLLLLLLLLL

LEJ

GLK (3.13)

−−−−

=

23

233

33

23

23

33

33

33

3

33

40620600000060126012

206406000000

60126012

LLLL

LLLLLL

LL

LEJ

GLK (3.14)

−−−−

−−−−

=

1111111111111111

2 4

44

LEJ

GLK (3.15)

Σημείωση: Ο όρος 21 στο 4GLK προκύπτει από τα συνημίτονα κατεύθυνσης

μεταξύ των τοπικών αξόνων της ράβδου και των καθολικών

21)45cos( o =→ . Κατά τον υπολογισμό του 4GLK χρησιμοποιείται

δύο φορές το μητρώο μετασχηματισμού 4T , το οποίο έχει ως ένα

παράγοντα τον όρο 21

21

21

21 =→

Page 37: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

33

5β) Μητρώο μετασχηματισμού του διανύσματος φόρτισης

i0

i0 L

iTGL pTp ∗= (3.16)

( ) [ ]12021202 21

211

i0 1

qLqLqLqLT

GL −−−=p (3.17)

Σχ. 3.7

Μετατοπίσεις/στροφές κόμβων (Καθολικό Σύστημα)

2xu

3xu

2yϕ

2zu

3zu22

3

2xu

2xu

3xu2yϕ 3yϕ

2zu

2zu 3zu

2

2

4

411yϕ 1xu

1zu

4xu

4xu

4zu

4zu

1

4

3

3

4yϕ

3φ y

Page 38: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

34

=ΣK

Όπου

311 LEJ=α

322 LEJ=α

333 LEJ=α

44 2LEA=α

1XU 1ZU 1YΦ 2XU 2ZU 2YΦ 3XU 3ZU 3YΦ 4XU 4ZU 4YΦ

112α 0 11

6 αL− 112α− 0 11

6 αL−

0 0 0 0 0 0 116 αL− 0

121

4 αL 116 αL 0

121

2 αL

112α− 0 11

6 αL

4

2

1

612

ααα

++

4

260

αα ++

22

11

23

6

α

α

L

L

− 26α− 26α− 22 23 αL− 4α− 4α−

0 0 0

4

260

αα ++

4

260

αα ++

22 23

0

αL− 26α− 26α− 22 23 αL− 4α− 4α−

116 αL− 0 1

21

2 αL

22

11

23

6

α

α

L

L

22 23

0

αL−

22

12

2

1

4

4

α

α

L

L

+ 22 23 αL 22 23 αL 2

22

2 αL

26α− 26α− 22 23 αL 3

2

126

αα

+

06 2 +α

33

22

623α

αL

L+

312α− 0 336 αL

26α− 26α− 22 23 αL 06 2 +α

06 2 +α

023 22

+αL

0 0 0

22 23 αL− 22 23 αL− 2

22

2 αL

33

22

623

αα

LL

023 22

+αL

323

222

4

4

ααL

L

+ 336 αL− 0

323

2 αL

4α− 4α− 312α− 0 336 αL−

4

312αα

+

4

0α+

336 αL−

4α− 4α− 0 0 0

4

0α+

4

0α+

0

336 αL 0 3

23

2 αL 336 αL− 0 3

23

4 αL

Page 39: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

35

ΒΗΜΑ 7: Συνοριακές συνθήκες (βλέπε Κεφ. 6)

ΚΟΜΒΟΣ 1: πάκτωση 0111 =Φ==→ YZX UU ΚΟΜΒΟΣ 4: πάκτωση 0444 =Φ==→ YZX UU Διαγραφή των γραμμών και στηλών: 1, 2, 3, 10, 11, 12.

Παραμένει το μητρώο που είναι τονισμένο (βλ. μητρώο [3.19])

Επειδή θεωρήθηκε αμελητέα η επιρροή των αξονικών παραμορφώσεων

→ 032 == ZZ UU

/ /

(3.20)

/ / / / / / / / / / / / / / / / /

και uUU XX == 32 → 1η και 4η γραμμή και στήλη προστίθενται

Πώς όμως λαμβάνεται υπόψη ότι: uUU XX == 32 ;

Το σκεπτικό είναι:

===++=++=++

kxxpxxxpxxxpxxx

21

1321

1321

1321

και4535223210

33

213

33

23

13

48816

4)53(

)(5)22(3)210(

pxkppxk

pxkpxkpxk

=++=+

=++

+

=++=++

Δηλαδή από ένα σύστημα εξισώσεων 33× , με δεδομένη τη σχέση μεταξύ

δύο αγνώστων ( kxx == 21 ), προκύπτει με αντικατάσταση και πρόσθεση ένα

σύστημα ( )22× προς επίλυση. Ανάλογη διαδικασία εφαρμόζεται και στο

μητρώο (3.20) και προκύπτει τελικά:

Page 40: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

36

=ΣK

32

2

2

421

12666

612

αααα

ααα

++−−

++

22

2211

23

236

α

αα

L

LL

+

33

22

22

623

23

αα

α

LL

L

++

(3.21) 22

2211

23

236

α

αα

L

LL

+

− 2

21

221

44 αα LL + 222

2 αL

33

22

22

623

23

αα

α

LL

L

++

2

22

2 αL 32

22

3244 αα LL +

U 2YΦ 3YΦ

Περίπτωση φόρτισης: Μεμονωμένα φορτία ,P ,1M 2M

+−+

100010001000

P

Περίπτωση φόρτισης: Ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο TOT0p

∗−∗−

02101000

21010002

0p

Περίπτωση φόρτισης: Στροφή στην πάκτωση 10=ϕ

Δίνεται:

===++=++=++

1020591255113105235

1

321

321

321

xxxxxxxxxx

ϕ

=−=+=−=+

18522055912535511

132

132

xxxxxx

Σύστημα προς επίλυση

Στην περίπτωση μας είναι:

Page 41: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

37

=

∗∗

035001050

0102106

12

11

1αα

ϕ LL

P

Επίλυση του συστήματος εξισώσεων

( ) ( ) ( )ϕϕ P-P-PKVPPVKP 0tot1

tot0tottot−

=→++∗= rr (3.22)

Από την επίλυση με υπολογιστή προκύπτουν τα παρακάτω αποτελέσματα:

ϕϕ :00194404.00037968826.0039046065.0

,

:00187111.000903654.002551985.0

,

,,:00194404.000131107.002146274.0

,

3

2

3

2tot0

213

2

++−−−

ΦΦ=

+−+−

ΦΦ=

++−−

ΦΦ=

EEEU

p

qEEEU

p

MMPEEEU

p

Y

Y

Y

Y

Y

Y

V

V

V

Υπολογισμός κομβικών φορτίων διατομής στοιχείων

iiii PVKPGLGLGLGL 0+∗= (3.24)

iiii PVKPLLLL 0+∗= (3.25)

Page 42: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

38

Περίπτωση φόρτισης: 21,, MMP

805120

75,8 19

67

39,95532,6

39,9

67

266,495

19

46,7

75,8

402 120

1013

1013

1528

1528

2

4

31

Page 43: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

39

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4

Δίδεται:

X

Z

Y

555500600010664.4500010553.3

0.040042.2300030031.1200020022.0100010011.0

21

610

662

510

551

4442

3331

2222

1111

===⋅====⋅===================

CCEIEAMEIEAMEIEAPEIEAPEIEAqEIEAq

o30=α o60=β 003.03 =Tα , 3.03 =d , 010T∆ =

Ζητείται:

Α) ΣK , ΣP , ,0

ΣP ΣK (ορθογωνική μορφή), GLU

Β) Φορτία διατομής της δοκού 1 και τιμές για MQ, στον κόμβο 4 της

ράβδου 3 για την περίπτωση:

4,2,

,20,10

44

32

2

2

==ΦΦ=Φ

==

YZ

ZZ

Y

X

U

UU

Page 44: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

40

Α1) Αρίθμηση κόμβων, Τοπικά συστήματα, Τοπολογία

1

2

2

34

5

1

34

X

xX

X

Z

z

Z

Z

Y

a β

Παρατηρήσεις:

1) Γιατί δεν υπάρχει το ελατήριο 2C ;

2) Γιατί ισχύει

6

66

5

55 3,4

EI

CEI

C == ;

(Βλ. BETON-KALENDER, Περίπτωση 57, 48)

3) Εναλλακτικά

Στην περίπτωση αυτή πώς θα ληφθεί υπόψη το 1P ;

3

44

5

3

5

64

1P

1PaP cos1

aP sin1

=⇒ Σ ?

?P

Page 45: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

41

4) Δοκός : ?=α ?=b

5) Ράβδος 4: Εναλλακτικά;

Α2) Μητρώα δυσκαμψίας, iii pup ,,o

Περίπτωση: Επίπεδο πλαίσιο, EAEJ y , Δοκοί: 3,2,1=i

αXu α

Zu αϕY bXu b

Zu bYϕ

−−

−−−−

=

iiiiiiii

iiiiii

ii

iiiiiiii

iiiiii

ii

iL

αααα

ααααββ

αααα

ααααββ

22

22

460260

612061200000

260460

612061200000

k

,i

ii

EA

=β 3i

yii

EJ

=

=

by

bz

bx

ay

az

ax

iTL

by

bz

bx

ay

az

ax

iTL

MQNMQNp

uuuuu ϕϕ

bi

432321321

===

bai

bxu

axu

azu

bzu

ayϕ

byϕ

axN b

xN

ayM b

yMazQ b

zQ

a b

Page 46: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

42

Περίπτωση: Ραβδος : 4=i

,1111

−= i

iL βk

EAβ

NN

uu

i

bxx

iL

bxx

iL

=

=

=

α

α

p

u

Εναλλακτικά: εάν 04 ≠EJ

Α3) Διανύσματα iLpo

Beton-Kal.: 11

2qQQ BA

=−= Περ. 51

12

21

1qMM BA −==

−−−=

1220

1220

21

11

1

21

11

1To qqqqLp

Beton-Kal.: 42

2qQQ BA =−= Περ. 54 2

22965qMM BA −==

:τότε

Δοκός

P ?

11 2

1q

Bb,

2q

Aa,

Page 47: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

43

−−+−=Τ 2

222

2222

22

2o

965

40

965

40

qqqqLp

axu a

zu ayϕ b

xu bzu b

___________________________________________________________

1P Beton-Kal.: ,21PQQ BA =−=

83

1

PMM BA −==

Περ. 50

T∆ Beton-Kal.: ,0== BA QQ 3

3

dTEJ

MM TBA

∆−==

α

Περ. 58

∆−−+−+∆

++−+=3

33

11

33

31

13o

80

200

80

200

dTEJPP

dTEJPP

TTi

L αα p

1P

T

3a b

Page 48: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

44

Α4) Μητρώα μετασχηματισμού iT

=

001

XE

=

010

YE

=

100

ZE (βλ. Κεφ. 5)

1=== ZYX EEE 1=== zyx eee ( ) ( )jiji ,cos11 ∗∗≡∗ Ee

iGL

iiL vTv =

α

XU αYU α

ZΦ bXU b

YU GL

Z Φα

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

Τ

τ0τ

EeEeEeEeEe

=

× b

Zy

YzXz

YxXx

L

by

bz

bx

y

z

x

uu

uu

33

0000000000000

α

α

α

α

ϕ

ϕ

Δοκός i τττ == bα

Παρατήρηση

Πότε ,bττ ≠α Περίπτωση;

yE xE

zE

X

Z

Y

X

ZY

b

ye

xe

ze

Page 49: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

45

Ράβδος:

αXU b

YU bXU b

YU ( ) ( )

( ) ( )YxXx

YxXxbx

x

uu

EeEeEeEe00

00=

α

:i =Txe =T

ye =Tze

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )0cossin

0cossin010001

100100100100

0sincos0sincos001010

4321

ββαα

ββαα

−−−−

100001010

1 =τ 100010001

2 −=τ

1000cossin0sincos

3 αααα

−=τ ββ

ββsincos0000sincos4

−−

=T

T)(

sin0cos0

0sin0cos

4T=

ββ

ββ

Page 50: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

46

Α5) ,iGLK i

GLp

iiL

iTiGL TkTK =

−−

−−−

−−−

−−−

=⋅

)(4)(6

0)(2)(6

0

)(6)(12

)()(6)(12

)(

)(6)(12

)()(6)(12

)(

)(2)(6

0)(4)(6

0

)(6)(12

)()(6

)(12)(

)(6)(12

)()(6

)(12)(

2

2

2

2

Zyii

Zyii

Zyii

Zyii

Yzii

Yzi

Yxi

Yzii

Yzi

Yxi

Xzii

Xzi

Xxi

Xzii

Xzi

Xxi

Zyii

Zyii

Zyii

Zyii

Yzii

Yzi

Yxi

Yzii

Yzi

Yxi

Xzii

Xzi

Xxi

xzii

Xzi

Xxi

iiL

EeEe

EeEe

EeEe

EeEeEe

Ee

EeEe

EeEeEe

Ee

EeEe

EeEe

EeEe

EeEe

EeEe

EeEe

EeEe

EeEe

TK

αα

αα

αα

βαα

β

αα

βαα

β

αα

αα

αα

βα

αβ

αα

βα

αβ

Ti

Ti

Zy

YzYx

Xzxx

TiEe

EeEeEeEe

τ0

τ

0

T

)33(

)33(

)(000)()(0)()(

×

×

= ( ) ( )YixYx EeEe ⋅=

−−−

=

121111

2111

11

111111

121111

2111

11

111111

1

406206

0000

60126012

206406

0000

60126012

αααα

ββαααα

αααα

ββαααα

GLk

Page 51: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

47

−−−−

−−

=

222222

2222

222222

22

222222

2222

222222

22

2

460260

612061200000

260460

612061200000

αααα

ααααββ

αααα

ααααββ

GLk

;cos3 α=c ;sin3 α=s 3i

yii

EJ

32

333

333

32

333

6333

333

23

22

333333

333

23

22

5333333

333

333333

23

23

333

333333

4233

233

32

333

333

1232

333

3333

333

23

23

333333

333

23

23

2333333

333

333333

23

23

333

333333

1233

233

3

3

3

33

33

33

3

3

33

33

33

46

62

6)(6

61212

612

)(12

61212

612

)(12

26

6)(4

6)(6

61212

612

)(12

61212

612

)(12

αα

αα

αα

ααβαβ

ααβ

αβ

αβα

βαα

αβαβ

αα

αα

αα

ααβαβ

ααβ

αβ

ααβαβ

ααβ

αβ

cs

cfs

ccs

scscc

csfsccs

ssccs

css

scscfsc

csf

cfs

ccs

sccsc

csfscsc

sscsc

scs

sccsfsc

GL

=−

−+−

−−−

=+−

+−+

+−=−−

=

=−

+−−+−

+=−

−+−−−

−−

=+

=K

αα

sincos

3

3

==

sc

για ΣK

=

212018

201917`

181716

15116

14105

1394

151413

11109

654

1283

872

321

3

fffffffff

fffffffff

fffffffff

fffffffff

GLK

,cos4 β=c ,sin4 β=s 4

44

EA=β

44444

444444 β∗

−−

−−=⋅

scscscsc

L TK

Page 52: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

48

( ) 44

2444

2444

442444

24

2444

2444

442444

24

44GLL

T

scsscscscscc

scsscssccscc

KTKT =∗

−−−−−−

−−

=⋅ β

4) Τί παρατηρείτε για τα 4iiK ;

_____________________________________________________________

iL

TiiGL pTp oo =

33

31

222

2

1

3122

3111

33

31

222

2

1

3122

3111

8965

12

240

20

2

8965

12

240

20

2

1

1

dTEJPqq

cPq

sPq

dTEJPqq

cPq

sPq

T

T

∆−−−−

−−

∆+

+

−−

α

α

1oGLP 2o

GLP 3oGLP

Α6) ,GLΣK ,oGLΣP

GLΣP

,122

112

112

1111

KKKKK TGL = ,2

33223

223

2222

KKKKK TGL = 3

44334

334

3333

KKKKK TGL =

455

445

445

4444

KKKKK TGL = :k

ijK )33( × για 3,2,1=k

)22( × για 4=k

Π.χ.: 2444

44244

45 sscsccT

−−=K

12

11

1

111112

1206

006012

ααβ

αα

−−

−=TK

Page 53: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

49

24

42

4

3

3

3

12

2

2

:0:

:

000

:::

:0:0:

MU

PU

UU

MUU

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

Φ

=ΣP

33

31

31

31

33

31

222

31

22

31

222

21

1

22

11

io

8

2

2

8965

24

20

965

12

40

02

dTEJP

cP

sP

dTEJPq

cPq

sP

qq

q

q

T

T

GL

∆−−

∆++−

+−

+−

+

+−

α

α

P

,2XU ,2

YU 2ZΦ ,3

XU ,3YU

3ZΦ

,4XU ,4

YU 4ZΦ

222

122 KK +

1c+

223K

0

GLΣ= K

:"!"+ Γιατί;

T2

23K

333

233 KK +

6

5

cc

++

334K

0

T3

34K

444

344 "" KK +

Page 54: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

50

2XU 2

YU 2ZΦ 3

ZΦ 4XU 4

YU 4zϕ

2

112βα

+

00

+

06 11

0 0 0 0

00

+

2

11

12αβ+

+ c

2260

α+ 226 α 0 0 0

06 11

226

0α+

2

21

2

2

1

44

αα

+ 2

22

2 α 0 0 0

0 226 α 222

2 α

65

12

222

4

ccf++

13f 14f 15f

0 0 0 13f 24

16

cf

+

44

17

scf

− 18f

0 0 0 14f 44

17

scf

− 2

4

19

sf

+ 20f

0 0 0 15f 18f 20f 21f

GLΣK

m

=ΣK

2112 βα + 0 116 α 0 n

1

21 12c+

+ αβ 226 α 226 α 0

22

12

2

1

44

αα

+ 2

22

2 α 0 0

6512

222

4ccf +++

α 13f 14f 15f

2416 cf + 4417 scf − 18f 0 2419 sf + 20f 0 0

21f 0 0 0

Page 55: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

51

A7) ( )Σ

−= Σ−Σ GLPPKU o1

Β1) Περίπτωση ,102 =XU ,202 =YU ,24 =Φ Z 44 =YU

2ZΦ 3

ZΦ 4XU

222

121

44

αα + 2

222 α 0

=

+−− 2

22

21

11 965

12

qqM

2222 α

12222

65

4 fcc

+++

α 13f −

∆++−− T

dJEPq Tα3

31

222 896

50

0 13f 2416 cf + −

−−−

23

12s

PP

( ) 106 11 ∗− α ( ) 206 22 ∗+− α 40 ∗− 20 ∗−

100 ∗− ( ) 206 22 ∗+− α 414 ∗− f 215 ∗− f

100 ∗− 200 ∗− [ ] 44417 ∗−− scf 218 ∗− f

Φ=Φ=Φ 32ZZ

Φ 4XU

+

−−

=

+

++++

++

||

42

2044

241613

12222

1365222

222

2221

21

cff

ffcc

αα

ααα

Page 56: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

52

Φ 4XU

222

1265222

2222

221

21

42

244

αα

ααα

++++

++fcc 130 f+

=

13f 2416 cf +

=

151422

3

3312222211

222

21

11

24120896

512060965

12ff

dTEJP

qqqM T

−−−

∆−−+−−−+

α

ααα

4417183

12 4422

scffs

PP +−−+−

,10001

100031 ==α ,250

82000

2 ==α 111.11127

30003 ==α

,4000550004

5 =∗=c 3000660003

6 =∗=c

,400027

3000944 32312 =⋅∗== αf ,5.03 =s 866.03 =c

000.15.027

3000366 33313 =∗∗∗== sf α

3.408753.33375.03

3005.05.027

30001216 =+=∗+∗∗=f

200027

3000922 32315 =⋅∗== αf

1732866.027

30003614 −=∗∗∗−=f

03.534866.05.03

30012866.05.027

300017 −=∗∗∗−∗∗=f

10005.027

30003618 =∗∗∗=f

Page 57: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

53

=

+

∗∗++++∗∗+

∗∗+∗∗+∗∗

25.03.4081000

100025044

400030004000250422504225044100014

∗∗+∗+∗−+−

∗+∗−∗∗−

∗∗∗−∗−∗∗−∗−+

=

866.05.0403.5344100025.021.12.2

17324200022502120

101033.0

30008

31.125021201000601211.03.3 3

Φ 4XU

−=

136

1773696.4081000

100027000

24.705.18

27000100010006.408

det1

3

41

−=Φ=⇒

−−=−

Z

XUA

24

05.1824.7

00

24.72010

000

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

=Φ==

−=Φ==

−=Φ===Φ==

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

UU

UU

UU

UU

X

Z

Y

Page 58: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

54

Β2) Φορτία διατομής δοκός 1

,

24.72010000

1

=GLv

=

0083.00

05.00083.00

05.0

1oGLp

1o11GLGLGLGL pvkp +=

40620601.0001.006012601220640601.0001.0060126012

10001

−−

−−

−−−−

∗=GLk

+

+−

−−

=

+

∗−+

∗−∗−∗+∗

∗+∗−∗∗+∗+−

=+∗

9917.31039000.2

05.7655945520

000.205.05600.76

0083.00

05.00083.00

05.0

24,746002

24.7612024.72200106

24.70201.010024.76200120

10001o11GLGL pvk

X

Z

Y?

2000

2000

45520,0083

31039,9917

76559,95 2

176560,05

Page 59: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

55

Για τη δοκό 1 ισχύει επίσης

1o111

2

2

2

1

1

1

LLL

y

z

x

y

z

x

L

MQNMQN

pvkp +=

=

11

24.71020000

24.72010000

*

100001010

100001010

LL v

0

0

v =

=

=

,1000*

46026061206120001.0001.026046061206120001.0001.0

1

−−

−−

−−−−

=Lk

0083.005.0

00083.0

05.00

1o

−−

=Lp

=

−−

=

−−

+

−−

=+

2

2

2

1

1

1

0083.3104095.76559

000.20083.45520

05.76560000.2

0083.005.00

0083.005.00

1000

04.3156.76

252.4556.76

2

1o11

y

z

x

y

z

x

LLL

MQNMQN

pvk

Page 60: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

56

B3) 44 , yz MQ της ράβδου 3

[ ]2405.1824.7003 −=T

GLv

,333GLL vTv = LLLL pvkp o+=

2025.763.1724.7

00

2cos4sin05.18sin4cos05.18

24.700

3 −=

−+

−=

ααααLv

[ ]

−+∗−=

261206120 13

3333334 PQ Lz vαααα

∆−−+∗

−=

33

31

33

23333

2333

4

8460260

dTEJPM TLy ααααα

v

2000

2000

45520,0083

31039,9917

76559,95

76560,05

+ 8

21

1q

Page 61: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

57

5. ΜΗΤΡΩΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ

GLL VTV =

TKTK LT

GL = LT

GL

00pTp = ! Γιατί ;

xau zau yaϕ xbu zbu ybϕ

/EA 0 0 /EA− 0 0

0 α12 α6− 0 α12− α6−

:iLK 0 α6− α24 0 α6 α22

/EA− 0 0 /EA 0 0

0 α12− α6 0 α12 α6

0 α6− α22 0 α6 α24 3yEJ=α

Page 62: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

58

1=== zyx eee , 1=== iZ

iY

iX EEE , bai ,=

0=⋅=⋅=⋅ zyzxyx eeeeee , 0=⋅=⋅=⋅ iZ

iY

iZ

iX

iY

iX EEEEEE

π.χ. ),cos(11 iiZx Zx⋅⋅=⋅ Ee

iZ

iZ

iY

iY

iX

iXz

izy

iyLx

ix

i

GLGLGLLLUUUuuuV EEEeee ++=++=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )iZz

iZ

iYz

iY

iXz

iX

iz

iz

iZx

iZ

iYx

iY

iXx

iX

ix

ix

GLGLGLL

GLGLGLL

UUUuV

UUUuV

EeEeEee

EeEeEee

⋅+⋅+⋅==⋅

⋅+⋅+⋅==⋅

Aντιστοίχως:

iZ

iZ

iY

iY

iX

iXz

iLy

iyx

ix

i

GLGLGLzLLEEEeee Φ+Φ+Φ=++=Φ ϕϕϕ

( ) ( ) ( )iZx

iZ

iYx

iY

iXx

iX

ix

ix GLGLGLL

EeEeEee ⋅Φ+⋅Φ+⋅Φ==Φ⋅ ϕ

ay

E

axE

az

EaX

aY

aZ b

ye

xe

ze

by

EbxE

bz

E

bX

bY

bZ

aV

bVbΦ

yx

z

Page 63: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

59

aXGL

U aYGL

U aZGL

U aXGL

Φ aYGL

Φ aZGL

Φ bXGL

U bYGL

U bzGL

U ( )TbGLΦ

axL

u ayL

u azL

u

axx Ee ⋅ axy Ee ⋅ axz Ee ⋅

ayx Ee ⋅ ayy Ee ⋅ ayz Ee ⋅

azx Ee ⋅ azy Ee ⋅ azz Ee ⋅

33×0 33×0 13×0

axL

ϕ ayL

ϕ azL

ϕ

3x3 Υπομητρώο: aτ

0 aτ 0 0

bxL

u byL

u bzL

u

0 aτ 0

bτ bxL

ϕ byL

ϕ bzL

ϕ

0 0

T

GLL T VV = , 1−= TTT , ( )iiYx Yx,cos=⋅ Ee

ba ττ ≠ : πότε; ( )

ΦΦΦ= b

ZbY

bX

TbGL GLGLGL

Φ

bτ : όμοιο με aτ

(αντί bZ

bY

bX

aZ

aY

aX EEEEEE ,,,, → )

Page 64: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

60

Παράδειγμα

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]100,100

010,010

001001

=−=

=−=

==

TZ

Tz

TY

Ty

TX

Tx

Ee

Ee

Ee

100010001

21

−−== ττ

Δοκός:

=

aXGL

U aZGL

U GLaYΦ b

XGLU b

ZGLU b

YGLΦ

axL

u 1 0 0 22×0 0 a

zLu 0 1− 0

ayL

ϕ 0 0 1− 0 0 b

xLu 0 0 0 1 0 0

bzL

u 0 0 0 0 1− 0 b

yLϕ 0 0 0 0 0 1−

T Δοκός (μόνο κάμψη)

azL

u 1− 0 0

ayL

ϕ 0 1− bzL

u 0

1− 0 byL

ϕ 0 1−

ye

xe

ze

1 2

yE

xE

zE

X

Page 65: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

61

Παράδειγμα (βλ. Παράδειγμα 3) α) Βαθμοί Ελευθερίας: ,zu yϕ

2

1

34

xx

x

x

β

α

X

ZY

1 : [ ]100 −=T

xe , [ ]010=Tye ,

[ ]001=Tze

2 : [ ]aaTx sin0cos −=e , [ ]010=T

ye ,

[ ]aaTz cos0sin=e

3 : [ ]100=Txe , [ ]010=T

ye ,

[ ]001−=Tze

4 : [ ]ββ sin0cos=Txe , [ ]010=T

ye ,

[ ]ββ cos0sin−=Tze

045=a

=

aXGL

U aZGL

U aYGL

Φ bXGL

U bZGL

U bYLG

Φ

azL

u Xz Ee ⋅ Zz Ee ⋅ 0 0

ayL

ϕ 0 0 Yy Ee ⋅ bzL

u 0

Xz Ee ⋅ Zz Ee ⋅ 0 byL

ϕ 0 0 Yy Ee ⋅

=1T 100001

0

=2T 1000cossin aa

0

0 100001

0 1000cossin aa

=3T

100001−

0

0 100001−

Page 66: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

62

=4T

aXGL

U aZGL

U bXGL

U bZGL

U

Xx Ee ⋅ Zx Ee ⋅ 0 0 Xx Ee ⋅ Zx Ee ⋅

= βcos βsin 0 0

0 0 βcos βsin b) Περίπτωση: Βαθμοί ελευθερίας i

xu , izu , i

aXGL

U aZGL

U aYGL

Φ bXGL

U bZGL

U bYGL

Φ ax L

u Xx Ee ⋅ Zx Ee ⋅ 0

0 azL

u Xz Ee ⋅ Zz Ee ⋅ 0 ayL

ϕ 0 0 Yy Ee ⋅

bxL

u τ

0 τ bzL

u byL

ϕ T

100001010

1

−=τ

1000cossin0sincos

2 aaaa −

=τ 100001010

3 −=τ

Page 67: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

63

6. ΜΗΤΡΩΑ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΔΟΚΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ – ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

6.1 Δοκός στο χώρο (Προσήμανση 2)

Στη δοκό στο χώρο αντιστοιχεί το μητρώο (6.1)

Σχ. 6.1

6.2 Στοιχείο ράβδου (Αξονική παραμόρφωση)

Σχ. 6.2

1 11 1

xa xa

xb xb

N uEAN uL − = ⋅ −

(6.2)

6.3 Στοιχείο δοκού (Στρέψη)

Σχ. 6.3

−=

xb

xaT

xb

xa

LGJ

MM

ϕϕ

1111

[6.3]

ayuayϕ

ayM

axu axϕ axNazu

azϕazQ

azM

bbxu bxN bxϕ

bxM

byϕ

byMbyu

byQbzu

bzQ

bzMbyϕ

axN axu

bxu bxN

b

baxM axϕ

bxϕ bxM

Page 68: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

64

6.1 Δοκός: κάμψη (Μεγέθη yz MQ − , κάμψη επίπεδο zx − )

Σχ. 6.4

−−−

−−−

=

yb

zb

ya

za

y

yb

zb

ya

za

u

u

LLLLLLLLLL

LL

L

EJ

MQMQ

ϕ

ϕ

22

22

3

46266126122646

612612

(6.4)

LK

6.2 Δοκός: κάμψη (Μεγέθη zy MQ − , κάμψη επίπεδο yx − )

Σχ. 6.5

−−−−

−−

=

zb

yb

za

ya

z

zb

yb

za

ya

u

u

LLLLLL

LLLLLL

LEJ

MQMQ

ϕ

ϕ

22

22

3

4626612612

2646612612

(6.5)

ayM ayϕ

byϕbyM

b

azu

azQ

bzu

bzQ

b

ayQayu

byu byQ

azϕ

azM

bzϕ

bzM

Page 69: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

65

6.3 Σχάρα (Μεγέθη yxz MMQ −− , κάμψη επίπεδα xz − , yz − )

Σχ. 6.6

−−

−−

−−−−

=

yb

xb

zb

ya

xa

za

yb

xb

zb

ya

xa

za

u

u

aLLaaLLabb

LaaLaaaLLaaLLa

bbLaaLaa

MMQMMQ

ϕϕ

ϕϕ

22

22

4062060000

60126012206406

000060126012

(6.6)

όπου : 3L

EJa y=

LGJb T=

b

axM axϕ

bxϕ bxM

byϕbyM

bzu

bzQ

azu

azQ

ayϕayM

Page 70: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Β Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαϊδης

66

xau yau zau xaϕ yaϕ zaϕ xbu ybu zbu xbϕ ybϕ zbϕ

xaN LEA 0 0 0 0 0 LEA-

0 0 0 0 0

yaQ 0 312 LEJ z 0 0 0 26 LEJ z 0 312 LEJ z− 0 0 0 26 LEJ z

zaQ 0 0 312 LEJ y 0 26 LEJ y− 0 0 0 312 LEJ y− 0 26 LEJ y− 0

xaM 0 0 0 LGJT 0 0 0 0 0 LGJT− 0 0

yaM 0 0 26 LEJ y− 0 LEJ y4 0 0 0 26 LEJ y 0 LEJ y2 0

zaM = 0 26 LEJ z 0 0 0 LEJ z4 0 26 LEJ z− 0 0 0 LEJ z2

xbN LEA-

0 0 0 0 0 LEA 0 0 0 0 0

ybQ 0 312 LEJ z− 0 0 0 26 LEJ z− 0 312 LEJ z 0 0 0 26 LEJz−

zbQ 0 0 312 LEJ y− 0 26 LEJ y 0 0 0 312 LEJ y 0 26 LEJ y 0

xbM 0 0 0 LGJT− 0 0 0 0 0 LGJT 0 0

ybM 0 0 26 LEJ y− 0 LEJ y2 0 0 0 26 LEJ y 0 LEJ y4 0

zbM 0 26 LEJ z 0 0 0 LEJ z2 0 26 LEJ z− 0 0 0 LEJz4

(6.1)

Page 71: AMAK1 Handbook

ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α

σελίδα

ΜΕΡΟΣ Γ: ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 67

Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης – Ιωάννης Ντινόπουλος

Θεσσαλονίκη 2011

Page 72: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

67

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1

Ζητείται:

1) ?=P για 1=δ

2) ,BQ BM

Δίδεται:

== 21 EJEJ 1043 == EJEJ

1 2 3 4 " "EA EA EA EA= = = = ∞

6 10,EA = 5 20 2EA =

,60=q ,100 =−=∆ ttT u

210−=Tα

,1=d 1=

52 2

2 2( 2 ) 2 2EA EAC = =

1yϕ

2zu 2yϕ

=ΣK

32

21

4

34

α

+

+EJEJ

36 α 322 α

=

110 60 20

36 α 6 5

3 4

2 212 12

EA EA

α α

+

+ +

3

4

66

αα

+−

20+120 +120 0

322 α

3

4

66

αα

+−

3

24

2

4

4

αα

+ .sym 40

+40

33

3 EJ

=α 34

4 EJ

Page 73: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

68

o3p

2

2

1

1

2

2

20207

30203

:

MQMQ

qq

qq

BK

−−−

20207

30203

2

2o3

qq

qq

−−

=p

4o

T∆p

∆−

∆−

dTEJ

dTEJ

BK

T

T

α

α

0

0

:

∆−

=∆

dTEJ

dTEJ

T

T

T

α

α

0

04o

p

=−+

−=

∆−

+−

=− ΣΣ

21321

2

20

20730

2

2

0 P

dTEJq

Pqq

PP

1) 1!

2== zuδ )602(6220110

21−−=−=+ yy ϕϕ

2802021

=+ yy ϕϕ

5952.01

−=yϕ 1738.02

=yϕ

3,203=P

2) 0pkup +=

+

−−

10

00174.01

4060

60120

2060

60120

52.571174.02060

56.109174.060120

−=−⋅+−=

−=⋅+−=

B

B

M

Q

Page 74: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

69

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2

000.10=REI 000.12=stEI

,10 5−=tα ,5.0=Rd

4.0=Std

0t

:.KB ut

dTEJMM TBA

∆−== α ; 0== BA

0ttT u −=∆ ; ,0=w

94.0

03010000.12

65.0

03010000.10

5

5

−=−⋅⋅−=

−=−⋅⋅−=

tS

R

M

M

R

RR

EIk

= 000.104 =Rk

t

tt

S

SS

EIk

= 000.164 =

tSk

REI

tSEI Rd

tSd030=iT

0a 0=T

3h

421

3 4

3

3

3

3

6

6

6

6

9

9

9

9

+

fixed

Page 75: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

70

1ϕ 2ϕ 3ϕ 4ϕ

3

3

3

3

44

244

2044

02244

=

+

+

+

+

t

t

t

t

t

t

S

R

R

S

R

S

S

R

SR

S

R

kk

sym

kkk

kkk

kkkk

4

!

3 ϕϕ −= 2

!

1 ϕϕ −= 1ϕ 3ϕ

000.10

1.28.01.28.08.01.28.01.2

3333

6.25.08.005.06.208.08.006.25.0

08.05.06.2

000.10 ⋅

−−

−−⇒

=∗

1ϕ 3ϕ

3

!

166

000.102.46.16.12.4

ϕϕ −=⇒

−=⋅

1ϕ⇒

−=

− 6

66.26.2

000.10 ⇒−=⋅000.10122.51ϕ 0002307.01 −=ϕ

6153846.1

6)000.5000.10(153846.7

433

+=

=++= ϕϕRM

Page 76: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

71

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3

Ζητείται: ,1ϕ RM , SM , StM

411 10559.

833.265.15.1

34

53

43 −⋅−=−⇒−=

++ ϕϕ EI

5808.2341925.04

301 =+−=+= MEIM R ϕ

2453.25.174533.03

401 −=−−=+= MEIM St ϕ

3354.05

31

1 −== ϕEIM S

5.1q

3h

2W4

1

2

3

""1 ∞=EF 3,2,1i

SM

StM

RM

34

1EIC =

43

2EIC =

)5(3

33 =

=

EIC

38

451 2=⋅⋅

5.112

302 2=⋅⋅

1.5

1.5

2.2453

0.3354

ΕΑi = “∞”

Page 77: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

72

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4

10=P 199=M

1 2 5 " "EA EA EA= = = ∞

,103=iEI

,10 4−=Tα 121 == dd

ou tt 100 =−=∆Τ

3 4 200 2EA EA= =

Ζητείται: α) ΣΣ PK , β) 4N

Παραδοχή:

42 2

2 2( 2 ) 2 2EA EAC = =

1zu

1yϕ

2yϕ

α)

=ΣK

2212 EF+α α6− α6−

=ΣP

−∆Τ−

∆Τ+

Md

EJ

dEJ

T

T

1

1

0

α

α

α24+ α22+ ,

α

α

2

2

4

44

+

+ EI

3LEJa = ςσυντελεστή Θερμοκρασ.:Ta

1

0!

1=yϕ

10P

0ttT u −=∆1

13

32

2

4

4

5

199M

1 32

XY

Z

EJC 4~3 =

Page 78: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

73

β)

0!

1=yϕ ⇒ 1zu 2yϕ

=

−200

0120060

6022⇒

19298.2

−=⇒ yϕ 52632.1

−=zu

1 4 .52632 5.26312 2zEAN u C= ⋅ = ⋅ =

72157.3222631.54 =⋅=N

1

0!

1=yϕ

72157.3222631.54 =⋅=N

2631.522

52632.~41 =⋅=⋅= EFCuN z

EA

Page 79: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

74

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5

000.10=EJ 1000=TGJ

Ζητείται: α) Μετατοπίσεις, στροφές στο Β

β) Φορτία διατομής Α

ϕϕϕϕ ~22!

===bb yx

1 1 200 102 2 10

EA = =

200EF

AB

C

D

(0, 0, 10)(10, 0, 10)

(0, 10, 10)(0, 0, 0)

A AB

C

C

102

EF xϕ

0

0

0=bzϕ

bxϕ

free

EA = 200

EA

Page 80: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Γ Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

75

bzu bxϕ

byϕ

( )α

βαα

240100

601012

sym=

+ =

120

2

2

q

q

103 ==

yEJα

10010

1000 ===

TGIβ

zu ϕ~

4100600130

sym=

106

⇒ 075.1=zu 132925.0~ −=ϕ ϕϕϕ ~45cos ==x ϕϕϕ ~45sin ==y

+

−−

−−−

=

.

.

.2

133.0133.0

075.1000

2000600....01000....

6000120.... q

MMQ

y

x

z

α

α

α

Page 81: AMAK1 Handbook

ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α

ΜΕΡΟΣ Δ: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ σελίδα 1. Δοκοί με αρθρώσεις 76

2. Αντικατάσταση υποσυστημάτων με γενικευμένα ελατήρια /φορτία 81

3. Άκαμπτοι σύνδεσμοι 85

4. Αριθμητικά αποτελέσματα 89

5. Συνθήκες που διέπουν τη στατική συμπεριφορά της δοκού 91

6. Αρχή των δυνατών έργων: Μητρώα

δυσκαμψίας/ Εργικά ισοδύναμα φορτία 95

7. Δεσμεύσεις 100

Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης – Ιωάννης Ντινόπουλος

Θεσσαλονίκη 2011

Page 82: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 76 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

1. ΔΟΚΟΙ ΜΕ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ

Πώς θα ληφθεί υπόψη η δοκός −i και το φορτίο 1P ; Γιατί;

Πώς θα ληφθεί υπόψη η δοκός j− και το φορτίο 2P ; Γιατί;

Πώς λαμβάνουν υπόψη προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων (π.χ. SAP)

την άρθρωση στο σημείο j ;

1) Περίπτωση: 0=

byM

b

b

b

b

a

a

y

z

y

z

y

z

y

z

u

u

MQMQ

ϕ

ϕα α

α

22

22

4626612612

2646612612

−−−

−−−

= (1)

3EJ=α

( ) 04626!

22 =+++−=bbb yzyzy uuM ϕϕα

αα

( )bb zyzy uu

626

41 2

2 −−=αα

ϕϕ (2)

0=jM0=aM

0=kQ

0N

1P

2Pi

a kj

a b

Page 83: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 77 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

(2) → (1)

azu

ayϕ bzu

+−

+−

+−

+−

646126

426

46612

24662

424

4626

646126

426

46612

22

2

2

22

22

22

22

22

2

2

α

bz

ay

az

Q

M

Q

0=

αyM

( ) ( )

( ) ( )5566

3344

××

××

LL

LL

kk

kk

333333

3332

)33(

−−

−−=× αLk

Φορτία π.χ. ∆Τ

Β.Κ.: ,23

dEJQQ TBA

∆Τ== α

d

EJM TA∆Τ−= α

23

T

Page 84: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 78 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

2) Περίπτωση: 0=αyM

[ ] 02646!

22 =+++−= bzyzy buuM ϕϕα

ααα

[ ] 22

41266

bb yzzy uu ϕϕ

αα−−=

( )

−−−−−= bzyzzzz bbb

uuuuQ ϕϕαααα

612266

4612 2

2

=

bzQ

2333

333333

−−

−−= αk

3) Περίπτωση: 0=αzQ

22

22

0000

0

−α

Σχολιασμός !

a b

Page 85: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 79 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

Δίδονται

- Το 66 × μητρώο baL

−K της δοκού ba −

(δείκτης L : τοπικό σύστημα αναφοράς)

α b

zx

βαθμοί ελευθερίας: ay

az

bx

ay

az

ax uuuu ϕϕ ,,,,,

- Τα 55 × μητρώα baL

−Ka και baL

−Kb τα οποία λαμβάνουν υπόψη τις

συνθήκες ayM 0= και byM 0= , αντιστοίχως (δεν υπάρχουν βαθμοί

ελευθερίας ayϕ και b

yϕ , αντιστοίχως)

αα

b

b

baL

−Ka

baL

−Kb

Οι βαθμοί ελευθερίας του κόμβου i σε ένα κοινό σύστημα αναφοράς

συμβολίζονται ως εξής:

i

Page 86: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 80 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

Να σχολιασθεί ο συνδυασμός/χρησιμοποίηση των μητρώων και βαθμών

ελευθερίας στις παρακάτω περιπτώσεις (προβλήματα που προκύπτουν,

τρόποι αντιμετώπισης, πλεονεκτήματα/μειονεκτήματα, επίλυση με

πρόγραμμα SAP):

1)

j i k

l

jiL−K , ki

L−K , −i

LKi

ixU , i

zU , iyΦ

2)

k

j i

2a) jiL−Ki , ki

L−Ki , i

xU , izU , i

2b) jiL−K , ki

L−Ki , i

xU , izU , i

Συνθήκη ισορροπίας: iyM 0= ;

2c) jiL−Ki , ki

L−Ki , i

xU , izU

3) M

4)

0

00

00000

00

=+

Φ

k

iy

Αποτελέσματα για iyΦ

στην περίπτωση

0=k και 1010−=k ;

Page 87: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 81 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

2. ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΥΠΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΤΗΡΙΑ / ΦΟΡΤΙΑ

Παράδειγμα 1:

0111 === ϕwu , ,02 =u ,02 =w 0333 === ϕwu 02 ≠ϕ

=

xxxxxxxxxxLxxxxx

LEJk

2

324

LEJC 4

2 =

Παράδειγμα 2: Τρίστυλο πλαίσιο – Αντικατάσταση τμήματος 1-2-3

2P

Γενικευμένο ελατήριο/Φορτίο

k

1 1 2

2

3LEJC 4

2 =

2C

"", ∞→EFL

L

1

1

2 2 3

xu

zu

H

1P

2P

h

"":AE

L

kH

Page 88: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 82 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

Βήμα 1: Σχηματισμός μητρώου δυσκαμψίας του τμήματος 1-2-3.

=+ 2kk ""1

2xu 2zu

2yϕ 3xu

3zu 3yϕ

22

222

2

2222

22

2122

221

2222

11

460260

61206120

0000

26044660

61206120

0060012

αααα

αααα

αααααα

αααα

αα

+−+

−−−

−++

EAEA

hh

EAhEA

,31 hEJ=α 3

2 EJ=α

Βήμα 2: Διάνυσμα φόρτισης (τμήμα 1-2-3)

Συνοριακές συνθήκες, κ.τ.λ.

Δευτερεύον σύστημα:

00

3

111

32

====

=

z

yzx

xx

uuuuu

ϕ

1

1

2 2 3,

1P

h

kH

Page 89: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 83 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

3xu 2

yϕ 3yϕ

,

420

24

46

0612

22

22

22

122

2

1

11

αα

αα

αα

αα

hh

h

+

12

12

2

1

2

1

p

p

H

−=P

,21 ααα == =h

=22

223

4022680126

EJK

1212

21

21

PP

H−

Βήμα 3: Απαλοιφή εσωτερικών βαθμών ελευθερίας ( )2yϕ

(Μέθοδος GAUSS)

2yϕ 3xu

3yϕ

=22

223

4022680126

EJK

( )

( )41και

43

12

12

4020126

268

21

21

22

22

3

3

3

2

−∗

−∗

−=

pH

puEJ

y

x

y

ϕ

ϕ

+

+

−−−

−−−

4812

1243

12

214

46022

460

291266

268

2

1

2

1

1

21

2222

22

3

PP

PH

pEJ

Page 90: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 84 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

+

=

−−⇒

48516

12

5.35.105.15.70

268

21

1

_

21

3

3

2

2

22

3

p

p

p

uEJ Hy

x

y

ϕ

ϕ

Επικόμβιες

φορτίσεις

στον κόμβο 3

Δυσκαμψία ελατηρίου σύζευξης 3C )(Ck

=L

Νέο σύστημα:

−= 23 5.35.1

5.15.7LLL

LEJC k

, 3k48

2

1P

21P

kC

+

161PH

2P

Page 91: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 85 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

3. ΑΚΑΜΠΤΟΙ ΣΥΝΔΕΣΜΟΙ

Τρόποι προσομοίωσης; Πλεονεκτήματα - Μειονεκτήματα

Rigid offsets:

Δίδεται:

=bαk 3EJ=α 22

22

4626612612

2646612612

−−−

−−−

α

Μητρώο δυσκαμψίας

εύκαμπτου τμήματος

b−α

άκαμπτοτμήμα

άκαμπτοτμήμα

Ζητείται: =cdk ?

1x∆ 2x∆

cyMayM byM

dyM

czQ azQ bzQ dzQ

στύλος

πέδιλοσυνδετήρια δοκός

Page 92: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 86 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

Μητρώο cdk = Μητρώο bαk

1Xzyy QMMc

∆⋅−=αα

⇒ 2η σειρά = 2η σειρά - 1η σειρά 1x∆∗

αzz QQc

= ⇒ 1η σειρά = 1η σειρά

bd zz QQ = ⇒ 3η σειρά = 3η σειρά

2Xzyy bbdQMM ∆⋅+= ⇒ 4η σειρά = 4η σειρά + 3η σειρά 2x∆∗

(Το ίδιο ισχύει και για τις στήλες)

22

222

2

12

112

1

6412662126612612

6212664126612612

xxxx

xxxx

∆+∆+∆+∆−−−

∆+∆+∆+∆−−−−−

Σειρές + Στήλες

,kk ⋅= αcd 3EJ=α

22

2

22

2212

12

2

21

212

12

121

112

1

21

)(12

6

64

126126

62126

1261212612

126

62126)(12

664126

1261212612

x

x

x

xxxx

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xx

∆+

∆+

∆+

∆+∆∆+∆+

∆+∆−−

∆+∆+−

∆∆+∆+

∆+∆+∆+

∆+∆+∆−−

∆−−−∆−−

k

Page 93: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 87 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

Εναλλακτικός τρόπος: Γεωμετρικές συνθήκες

ααϕ yzz xuu

c⋅∆+= 1

αϕϕ yyc

=

cy

z

cy

z uxuVVT ==

∆= αα

αϕϕ 10

1 1

2xyzz bbduu ∆−= ϕ

bd yy ϕϕ =

=∆−

=b

y

z

dy

z uxuϕϕ 10

1 2

bbd VTV =

Εάν:

bbb

b b

kkkk

αααα = ; Tbaab kk =

,1caa vTv −= ,1

dbb vTv −= ( ) Ta

Tc

Ta

1−= Tvv

( ) Tb

Td

Tb

1−= Tvv

και επειδή:

[ ] !=

=

b

aabT

bTaiA

vvkvv δδδ :Τμήμα b−α

[ ]

d

ccdTd

Tc v

vkvv δδ : Τμήματα dbbc −+−+− αα

c a

b d

1x∆

2x∆

czu azu

bzu dzu

φ

Page 94: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 88 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

Μετά από αντικατάσταση ,Tαv T

bv προκύπτει:

( ) ( )[ ] !

1

111 =

−−−

db

ca

bbba

abaaTb

Td

Ta

Tc vT

vTkkkk

TvTv δδ

[ ]

d

ccdTd

Tc v

vkvv δδ

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

!

11

1111

=

−−

−−−−

d

c

bbbT

b

babT

aaaaT

aTd

Tc

sym vv

TkT

TkTTkTvv δδ

[ ]

d

ccdTd

Tc v

vkvv δδ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11

1111

−−

−−−−

=bbb

Tb

babT

aaaaT

acd

sym TkT

TkTTkTk

cdk : βλέπε μητρώο 3.1

ή με ,1 ⋅=∆ dx ,2 ⋅=∆ bx ⋅= c

3)( cEJcd =k

12 ( )cd 612 −− -12 ( )cb 612 −−

( )dccd 12412 222 ++ ( )cd 612 + ( )[ ]dbccdb +++ 6212 22

sym 12 ( )cb 612 +

( )222 41212 ccbb ++

Page 95: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 89 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ - Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν τα αριθμητικά αποτελέσματα;

- Τί είναι μήκος λέξης;

- Floating point arithmetic; digit;

± Fractional part a * 10b, 0.1≤| a |<1

(εκτός αν a =0)

Παράδειγμα: 4103258.1 −⋅ 13258. 310−⋅

00358.0 358. 210−⋅

13258 13258. 510⋅

01.1 101. 110⋅

Εάν χρησιμοποιηθούν δύο θέσεις μετά το κόμμα, τι τιμή πέρνουν οι

παραπάνω αριθμοί;

Επιρροή τρόπου επίλυσης συστήματος εξισώσεων και

αριθμός θέσεων μετά το κόμμα (digits)

Μέθοδος GAUSS

2 θέσεις μετά το κόμμα

Δίδεται: bAx =

=

10.011-1

A

[ ],21 xxT =x [ ]10T =b

Ακριβής λύση: 990099.001.1121 === xx

Page 96: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 90 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

Α Pivot: )1,1(a

021 =− xx )01.0(−∗

101.0 21 =+ xx

021 =− xx

0.1)01.01(0 2 =++ x ⇒ 2 θέσεις:

0.101.1 2 =x

11 101.10101. 2 ⋅=⋅ x

12 =x 1'' 21 == xx

Β Pivot: )1,2(α

101.0 21 =+ xx )100(−∗

021 =− xx

101.0 21 =+ xx (α)

100)1001(0 21 −=+− xx (b)

Ομως: το 1011001 =+ υπολογίζεται (2 θέσεις)

ως ⇒⋅ 310101.0 1001010.0 3 ⇒⋅

Επομένως η εξίσωση (b) λαμβάνει τη μορφή:

101.0 21 =+ xx (α)

100100 2 −=− x

12 =′x

Από εξίσωση (α) προκύπτει: 01 =′x

Page 97: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 91 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

5. Συνθήκες που διέπουν τη στατική συμπεριφορά της δοκού

1. Γεωμετρικές συνθήκες

udxdu

x ′==ε

wx ′′−=κ

2. Συνθήκες ισορροπίας

0=+ xpdxdN ;

Qdx

dM = , zpdxdQ −= , 02

2

=−= zpdx

Md

3. Νόμος υλικού

uEFEFN x ′== ε

⇒′′−=−= )(wEIEIM xκ ( )( )″′′wEI zp=

4. Συνοριακές συνθήκες

uO 00

=′=

ww

pO 00(00)(

=′′>−=′′==′′′>−=′′′=

wwfMwwfQ

0000

=′′=′′==

wwww

p

u

OO

0== ϕw 0=′= ww uO

00 =p `

Γεωμετρικές συνοριακές συνθήκες uO

Στατικές συνοριακές συνθήκες p0

Μικτές συνοριακές συνθήκες "0"""0 puO +=

Page 98: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 92 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

Παρατηρήσεις: Ισχύουν σε κάθε σημείο:

( ) MWpwEI z →→=″′′ σε κάθε σημείο

Αφετηρία: Μέθοδος Διαφορών, Μητρώων Μεταφοράς,

Αναλυτικές μέθοδοι κ.τ.λ.

Προβλήματα:

Εργικές Προτάσεις – Αρχή των δυνατών έργων

0=+ ai AA δδ ⇔

Για γεωμετρικά επιτρεπτές μετατοπίσεις / παραμορφώσεις

Μη επιτρεπτές

uu ≠ u0

Σώμα σε ισορροπία →έργο που παράγουν φορτία διατομής = έργο

των εξωτερικών δυνάμεων.

[ ] 0=+−− ∫∫b

a

b

az

b

awPMdxwpdxEI δϕδδκδκ

[ ] 0=+−−′′′′ ∫∫b

a

b

az

b

awPMdxwpdxwwEI δϕδδδ

Ισοδυναμία: Αρχή των δυνατών έργων ↔ Συνθ. Ισορροπίας και

στατικές Σ.Σ.

x

Page 99: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 93 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

[ ] 0=+−−′′′′ ∫∫b

a

b

az

b

a

wPMdxwpdxwEIw δδϕδδ

Επειδή ∫ δκM ⇒ wwEIM ′′−=′′−= κ;

[ ] ( ) [ ]b

a

b

a

b

a

b

a

uvuvduvvduvu =⇒+−= ∫∫∫ δ

( ) [ ] b

a

b

a

wEIwdxwEIw ′′′−=′′′′∫ δδ

( ) ( )b

a

b

a

b

a

wEIwdxwEIwwEIw ′′′=′′′′+′′′′⇒ ∫∫ δδδ

( ) ( ) b

a

b

a

b

a

wEIwdxwEIwwEIw ′′′+′′′′−=′′′′ ∫∫ δδδ

[ ]b

a

b

a

wEIwwEIwdxwEIw ′′′′+′′′′−=′′′′ ∫∫ δδδ

[ ] [ ]b

a

b

a

b

a

wEIwwEIwwEIwdxwEIw δδδδ ′′′−′′′+′′′′=′′′′ ∫∫

[ ] [ ] [ ] [ ] 0=−′′′+−′′′+−′′′′ ∫∫b

a

b

a

b

a

b

az

b

a

wPwEIwMwEIwdxwpwEIw δδδϕδδδ

0000

=+= p

0=uδ ( uu = ανήκει στο u0 )

Page 100: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 94 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

[ ] ( )[ ] ( )[ ] 0)0()0( =+′′′−+′′+−′′′′∫ pba

baz

b

a

PEIwwMEIwdxpEIwwp

δδϕδ

0=ab ; b∀ 0a =⇒

εσωτερικό στο0=−′′′′ zpEIw

Εφόσον 0=uδ στο u0

00

=+′′′=+′′

PEIwMEIw

στο p0

==

DuE

εεσ

στο εσωτερικό

Εφαρμογή: Συνθήκες ισορροπίας κ.τ.λ.

Αφετηρία για Αριθμητικές Μεθόδους

Η λύση EIw ′′′′ ή 0=Aδ ↔ ισοδύναμα

Διαφορές:

σε κάθε σημείο zpEIw =′′′′ ↔ ∫ ⇒ προτερήματα, μειονεκτήματα

Η αρχή δυνατών έργων εκπληρεί (εδώ) συνθήκες ισορροπίας και στατικές

συνοριακές συνθήκες

Πρέπει όμως να εκπληρωθούν οι γεωμετρικές συνοριακές συνθήκες ( )uu = ;

π.χ.

Γενικά:

Εαν μία διαφορετική εξίσωση περιέχει 2m παραγώγους: )2()1(

==

=′′′′−=′′

mm

pwIEpuAE

z

x

Εργική πρόταση: περιέχει m παραγώγους wEIw ′′′′∫δ , dxuAEu ′′∫δ

Γεωμετρικές Συνθήκες: παράγωγο)1( −≤ m πρέπει να εκπληρούνται ( )ww ′,

Στατ. Συνθήκες →≥ m Η εργική πρόταση προσπαθεί να τις εκπληρώσει

το δυνατόν καλύτερα ( )QMww ,ˆ, =′′′′′ .

0=′= ww

Page 101: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 95 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

6. ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ : ΜΗΤΡΩΑ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΕΡΓΙΚΑ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΦΟΡΤΙΑ

6.1 Δίδεται

)(22)(11 ss huhuu ⋅+⋅= (Παραδοχή)

( )sh −= 121

1 ( )sh += 121

2

,Ds AsAA ⋅+= ( ),21

21 AAAs += ( )1221 AAAD −=

( ),12

sx += 2dsdx =

2

dsdu

dxds

dsdu

dxdu ==

[ ] ( )12212211 212

212

21)()( uuuushushu

dxdu −=

+

−=+=′

( ) ( ) ( ) dssAAuuuuEdxuEAu Ds +−−=′′ ∫∫−

12

1

1122

12

δδδ

( ) ( )1212 uuuuEAs δδ −−=

[ ]

−=

2

121 11

11uuEAuu s

δδ

k (ράβδου)

2u

1u

1A 2A

xs = -1 s = 1s

Page 102: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 96 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

6.2 Εργικά ισοδύναμα φορτία

6.2.1 Ράβδος

( ) ( )[ ]122121 ppsppp −++=

( ) dsdxsx2

12

=⇒+=

Παραδοχή: )(33)(22)(11)( ssss huhuhuu ++=

( ),21 2

1 ssh −= ( ),21 2

2 ssh += 23 1 sh −=

Τί ιδιότητες έχουν τα πολυώνυμα ;ih (τύπου Lagrange) Έργο εξωτερικών δυνάμεων:

=⋅∫ dxup s δ

0)(

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) dssussussuppspp2

121

21

21 2

32

22

11221

1

1

−+++−⋅−++= ∫

δδδ

sp dp

⋅+

++

−= sDsDs puppuppu

342

32

32

32

32

8 321 δδδ

( )

++

+

= 2132211 366

ppupupu δδδ

[ ]( )

+=

366

21

2

1

321

pppp

uuu δδδ

2u1u

x

s = -1s = 1

s s

3u

1 3 21p 2p

)(xp

1 3 2

61p 62p321 pp +

Page 103: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 97 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

6.2.2 Δοκός (κάμψη)

Παραδοχή:

)(4)(3)(2)(1)( xbxbxaxax HHwHHww ϕϕ +++=

Ιδιότητες ;iH (τύπου Hermite: ww ′, )

∫ =dxwpzδ

( ) ( ) aaz wp δϕξξξδξξ 321

0

32 2231 −+−++−= ∫

( ) ( ) ξδϕξξδξξ dw ab 3232 23 −+−+

[ ] zbbaa pww

12212

2

2

2

−= δϕδδϕδ

zp

a bx, ξ

Page 104: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 98 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

6.3 Βαθμοί ελευθερίας / Συνοριακές συνθήκες / Καταναγκασμοί:

Τεκμηρίωση διαδικασίας

ΣΣΣ =Κ Puuu ΤΣ

ΤΣ δδ (1)

Δίδεται: ,

653

542

321

KKKKKKKKK

K

[ ] ,221 ϕuuu =ΤΣ [ ]121 MPP=Τ

ΣP

(1)⇒ [ ]+++ 2322111 ϕδ kukuku

[ ]+++ 2524122 ϕδ kukuku

[ ] 1222112625132 MPuPukukuk δϕδδϕδϕ ++=++ (2)

1η Περίπτωση: == 22 uu γνωστή

0!

2 =uδ (γιατί;)

Από τη σχέση (2) προκύπτει:

( ) ( ) =+++ 2631223111 ϕδϕϕδ kkukuku

( ) ( )22 512211 ukMukPu −+−= δϕδ

1u 2ϕ

251

221

63

31

ukMukP

kkkk

−−

=

Page 105: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 99 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

2η Περίπτωση: uu == 2

!

1 u

uuu δδδ == 21

(2) ⇒

( ) ( )[ ]2634221 ϕδ kkukkkku +++++

( )[ ] ( ) 122126532 MPPukukk δϕδϕδϕ ++=+++

u 2ϕ

1

21

653

53421 2M

PPKkk

kkkkk +=

++++

Page 106: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 100 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

7. ΔΕΣΜΕΥΣΕΙΣ (Constraints)

7.1

Ελατήριο με σταθερά k : 2

21 xk=Π

( ) ( )

332211

2233

2122

211 2

121

21:

uPuPuP

uukuukukp

−−−

−+−+Π

3

2

1

3

2

1

33

3322

221

0

0

PPP

uuu

kkkkkk

kkk=

−−+−

−+

ΣK

Δίδονται:

10321 === kkk 21 =P , 42 =P , 23 −=P

Page 107: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 101 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

242

1010010201001020

3

2

1

−=

−−−

uuu

4,01 =u 6,02 =u 4,03 =u

7.2 Το ίδιο πρόβλημα, αλλά με τη ΔΕΣΜΕΥΣΗ: 3

!

2 uu =

Α) Μέθοδος LAGRANGE

( λ : Lagrange multiplier)

)( 32

* uup −+Π=Π λ

=

Σ

00 1-101-1 0

3

2

1

3

2

1

PPP

uuu

λ

K

4,01 =u 6,02 =u 4,03 =u 2=λ

Έλεγχος: 2η εξίσωση:

23323212 1)( Pukukkuk =⋅+−++⋅− λ

24216,0106,0)1010(4,010 2 ===⋅+⋅−++⋅− P

Page 108: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 102 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

Β) Penalty Method ""∞→a

ΔΕΣΜΕΥΣΗ: 3

!

2 uu =

232

* )(2

min uuap −+Π=→Π

""∞→a : 032 →− uu

1 2 2 1 1

2 2 3 3 2 2

3 3 3 3

0

0

k k k u Pk k k a k a u P

k a k a u P

+ − − + + − − = − − +

4,01 =u 6,02 =u 23 102 u

au +

+−=

6,010

23 +

+−=

au

59998,0:5998,0:5980,0:5818,0:5,0:4182,0:

000.100000.10

000.1100101

3

3

3

3

3

3

======

======

uuuuuu

aaaaaa

Page 109: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 103 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

Παρατήρηση:

""∞→a : →− )( 32 uua Lagrange multiplier λ

Εδώ 2=λ (Βλέπε Α)

auu

+=−

102

32 ⇒ λ=+

=−a

auua10

2)( 32

Θα πρέπει: ""∞→a : λλ →

9998,1100010200000:998,11001020000:

9802,110102000:8182,1110200:

12020:18182,0112:

000.100000.10

000.1100101

====

====

====

======

λλλλλλ

aaaaaa

Γ) Μητρώα Μετασχηματισμού:

11 uu = , 32 uu =

π.χ

newvTv ⋅= ~

[ ]321 uuuT =v [ ]21 uuTnew =v

=

2

1

3

2

1

101001

uu

uuu

v T~ newv

TKTK ~~Σ= T

new PTP ⋅= Tnew

~

Page 110: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 104 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

−+=

−−+−

−+=Σ

00101001

0

0~

22

221

33

3322

221

kkkkk

kkkkkk

kkkTK

−+=

=

−+

22

221

22

221

00110001~

kkkkk

kkkkk

T TKT

+

=

=32

1

3

2

1

110001~

PPP

PPP

T PT

+

=

−+

32

1

2

1

22

221

PPP

uu

kkkkk

4,01 =u 32 6,0 uu ==

Ας θεωρήσουμε το φορέα του σχήματος 1 με τα ακόλουθα ελαστικά και

γεωμετρικά χαρακτηριστικά:

1,001,02,001,03,0000.000.1 1211 ====== AJAJvE

Page 111: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 105 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

100 KN

4 m

3 m

Σχήμα 1

Η διακριτοποίηση του φορέα με ευθύγραμμα γραμμικά πεπερασμένα οδηγεί

στο παρακάτω διακριτό σύστημα (σχήμα 2)

100

4

3 [1] [1]

[2]

1 4

2 3

1

2

3 4

5

6

y

x

Έστω ότι ο φορέας υπόκειται στην δέσμευση 1 4u u= (ισότητα των

οριζοντίων μετακινήσεων -ατένεια ζυγώματος)

Page 112: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 106 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

Α Τρόπος: Πολλαπλασιαστές Lagrange

Επιλέγουμε τους κόμβους 2 και 3 και εφαρμόζουμε την προαναφερόμενη

δέσμευση ( assign → joint → constraint → equal → translation xu )

Από την επίλυση προκύπτουν οι ακόλουθες αντιδράσεις:

100

[1] [1]

[2]

50 5030,37 30,37

Αν ζητήσουμε από το πρόγραμμα τις αξονικές δυνάμεις των στοιχείων τότε

θα διαπιστώσουμε ότι η αξονική του ζυγώματος (στοιχείο [2]) είναι μηδενική.

Ας θεωρήσουμε την ισορροπία των δυνάμεων στον κόμβο 2.

100

50y

x

N=02

Page 113: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος Δ 107 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

Η εξίσωση ισορροπίας δεν επαληθεύεται επειδή δεν ελήφθη υπόψη η

δύναμη λόγω της δέσμευσης (constraint force); υπενθυμίζουμε ότι η

εξίσωση ισορροπίας δίνεται από την εξίσωση

PBKu T =+ λ

εσωτερικές δυνάμεις

Δυνάμεις λόγω δέσμευσης

εξωτερικές δυνάμεις

Από το αρχείο αποτελεσμάτων (xxx.out) λαμβάνουμε την πληροφορία ότι η

αντίστοιχη δύναμη της δεσμεύσης είναι 50−

λ05050100 =−+−=Σ NFx

ΠΑΡΑΤΉΡΗΣΗ: Για να εμφανιστούν οι δυνάμεις λόγω δέσμευσης στο

αρχείο (xxx.out) θα πρέπει να δοθούν οι παρακάτω

εντολές:

Analyze > Set Options > Generate

Output > Select Output Results >

Επιλογή: Reaction / Spring forces

Page 114: AMAK1 Handbook

ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α

ΜΕΡΟΣ Ε: ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ σελίδα ―Στατικό μοντέλο φέροντος οργανισμού 108

―Έδαφος - Θεμελιώσεις 112

―Διαφραγματική λειτουργία πλάκας ορόφου 114

―Ροπές αδρανείας δοκών/ πλακοδοκών 116

―Ισοδύναμα πλαίσια 117

―Ανοικτοί/Κλειστοί πυρήνες 118

―Παρατηρήσεις/Σχόλια 124

Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης – Ιωάννης Ντινόπουλος

Θεσσαλονίκη 2011

Page 115: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

108

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Κτήριο ή Κτίριο ⇒ Κτήριο

Συστήματα Φορέων

- Πλαισιακά συστήματα ως τμήμα μικτών συστημάτων ή μεμονομένα (αμιγές πλαίσιο) – Μεμονομένα /συζευγμένα τοιχώματα – Μικτά συστήματα /Πλαίσια

Μόρφωση/Στατικό μοντέλο φέροντας οργανισμού (Φ.0.)

Επίπεδο πλαίσιο vs. Χωρικό πλαίσιο

– Συμμετρία – Καταπόνηση σε στρέψη – Χωρικά ομοιώματα – Όρια Εφαρμογής – Υλικό, δυσκαμψίες

Page 116: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

109

Page 117: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

110

Page 118: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

111

Page 119: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

112

ΕΔΑΦΟΣ – ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΙΣ

*) αγνοείται

Έδαφος

Δείκτης ελαστικής στροφής

2

1BL

vGk ϕϕ β−

= ή 3

12sBLk kφ = = (Γιατί;)

G : μέτρο διάτμησης εδάφους

v : λόγος Poisson “ )35.0( −

B : πλάτος θεμελίου // στον άξονα στροφής

L : μήκος θεμελίου στον άξονα στροφής

sk : σταθερά Winkler (μέτρο καθίζησης εδάφους)

*)

*)

*)BLkC s=ϕk

άξονας στροφής

B

Lθεμέλιο (Β, L)

Page 120: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

113

),( yxukq s ⋅=

q : πίεση ][ Ε∆ , ][ Oks ∆ ,

u : υποχώρηση εδάφους ][M

E : επιφάνεια

O : όγκος, M : μήκος

Πότε πρέπει να ληφθεί υπόψη το έδαφος;

(Soil-Structure Interaction)

Έδαφος: θλιπτικές δυνάμεις --- μονόπλευρα ελατήρια

Θεμελίωση

φ

φ

ΜΜ Μq

μονόπλευρα ελατήρια

στύλος

ή ήϕk

C

συνδετήριαδοκός

ογκώδες πέδιλο + συνδετήρια δοκός

: rigid offset άκαμπτοι βραχίονες

Page 121: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

114

ΔΙΑΦΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΠΛΑΚΑΣ ΟΡΟΦΟΥ

– Η πλάκα ορόφου συμπεριφέρεται στο επίπεδό της ως στερεός δίσκος (δεν

παραμορφώνεται στο επίπεδό της)

– Περιπτώσεις που δεν είναι ρεαλιστική η παραπάνω παραδοχή;

(Γεωμετρική μορφή, ανοίγματα, φόρτιση)

– Πλεονεκτήματα της παραπάνω παραδοχής;

Μείωση υπολογιστικού όγκου, αποφυγή αριθμητικών προβλημάτων.

____________

Οι μετατοπίσεις, στροφές κόμβων που βρίσκονται στο επίπεδο της πλάκας

(εξαρτημένοι κόμβοι, slave, dependent) εκφράζονται ως συνάρτηση των

βαθμών ελευθερίας ενός κόμβου (master):

:× slave, dependent ( s ) :• m (master)

Γενικά:

,jmmms j −×+= rΩUU ms j ΩΩ =

jmz

y

x

mz

y

x

mz

y

x

sz

y

x

rrr

uuu

uuu

j −∆∆∆

×+=ωωω

,msx xxrj

−=∆ ,msy yyrj

−=∆ ,msz zzrj

−=∆

mmU

jmr −

jSzu

yu

xuzω

Page 122: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

115

( ) ( )yzzyxsx rruumj

∆−∆+= ωω

( ) ( )xzzxysy rruumj

∆+∆−+= ωω

( ) ( )xyyxzsz rruumj

∆−∆+= ωω

Οριζόντιο επίπεδο (μόνο zω ):

=

z

m

ω00

Ω ( ) yzxsx ruumj

∆−= ω ( ) xzysy ruumj

∆+= ω

και ( )mj zsz ωω =

Πώς λαμβάνει υπόψη το πρόγραμμα SAP τη διαφραγματική λειτουργία;

Διαφορά: constraints ↔ restraints

Μειονέκτημα εναλλακτικής λύσης;

Ροπές αδράνειας δοκών (πλακοδοκοί)

Δοκός: ""∞→A (διάταση)

""∞→I (οριζόντια κάμψη)

""∞→′A (ολίσθηση)

4

1

5 3

2

6

7

d d

dd

B

B

δοκός

Page 123: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

116

Ροπές αδράνειας δοκών:

Πλακοδοκός

0bdb +⋅= 0bdb +⋅=

_____________________________________________________

Σχολιασμός, Πλεονεκτήματα, Μειονεκτήματα

_______________________________________________________

Εάν υπάρχουν n κόμβοι σε μία πλάκα ορόφου, πόσους βαθμούς

ελευθερίας έχουμε μετά τη θεώρηση διαφραγματικής λειτουργίας

της πλάκας;

(πάχος πλάκας)

+ ++

+

+

+

bd

0b

Page 124: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

117

ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΠΛΑΙΣΙΑ

Τοιχίο (Επιφανειακός Φορέας)

Δοκός (Γραμμικός Φορέας) με διατομή ( LB, ) δια του κέντρου βάρους της

διατομής ( ji − ) + απολύτως στερεοί βραχίονες ( kii −− , ):

µ33,12,1265,65,

: 3333 LBBLILBIBLIAAAABLA

HLzyx

yx

=≅===′=′⋅=

<

– Προσομοίωση στερεών βραχιόνων

– Ορια εφαρμογής, Αδυναμίες, Πλεονεκτήματα

– Συζευγμένα ↔ μικτά πλαίσια

– Παραδείγματα διάταξης στύλων σε ανοικτούς πυρήνες

– Αριθμητικά προβλήματα Προβλήματα αξιοπιστίας

– Περιοχές αποκλίσεων.

B

L

H

z

y

x

j

i k

προβληματικήπεριοχή ;;

f

λεπτομέρεια

Page 125: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

118

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΠΥΡΗΝΑ

Page 126: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

119

Ι Επίπεδα πλαίσια: Α) Επι μέρους τοιχία

Υποκατάσταση σύνθετου τοιχώματος από τα απλά τοιχώματα ορθογωνικής διατομής. Ενδιάμεσες δεσμεύσεις + οπλισμός στις γωνίες ⇒ αμφίβολο αν θα λειτουργήσουν ανεξάρτητα τα τοιχία Β) Ενιαία διατομή

Πλαίσιο x2Π yyJ (βλ. σελ. 110)

Πλαίσια ,3yΠ

y4Π (βλ. σελ. 109) Ο στύλος όχι στα μέσα των αντιστοίχων τοιχωμάτων αλλά στην προβολή του KB στο επίπεδο του πλαισίου

ΠέλμαΠλαίσιο y3Π

ΠέλμαΠλαίσιο

ΚορμόςΠλαίσιο x2Π

(βλ. σελ. 99, 100, 101)11, AI 22, AI

33, AI

y4Π

yyJ ∞=J

2.15 2.15

ϕk

1.04

ϕk

12 xxI

I

12

Page 127: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

120

Σεισμική δύναμη στη διεύθυνση x : σφάλμα στην αντίσταση σε στρέψη ολόκληρου του κτηρίου (επειδή KBK ≠∆ όπως στην προσομοίωση)

ΙΙ Χωρικό πλαίσιο:

Εναλλακτικοί τρόποι προσομοίωσης πυρήνα κλιμακοστασίου

Προσομοίωση (α)

Προσομοίωση με 4 στύλους και άκαμπτους βραχίονες.

:∆K Ιδιότητες για κάμψη σε επίπεδο // στον άξονα :x

,yyI xsA′ και όλα τα υπόλοιπα μεγέθη μηδέν.

:4,3 Ιδιότητες για κάμψη σε επίπεδο // στον άξονα :y

,21

xxJ ysA′21 και όλα τα υπόλοιπα μεγέθη μηδέν.

:KB αξονικές παραμορφώσεις: μόνο A

– Πλεονεκτήματα: Συμβολή πυρήνα στην αντίσταση του κτηρίου σε

στρέψη.

– Δεν δίνεται zzJ (ροπή αδράνειας για στρέψη) σε κανένα στύλο.

Page 128: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

121

Απαιτείται (γιατί;)

Να ληφθεί υπόψη η αντίσταση του κορμού σε αντίθετη κάμψη των

δύο πελμάτων.

Τί δεν περιγράφεται όταν η ροπή αδράνειας σε στρέψη ""∞⇒ ;

Τί είναι στρέψη με στρέβλωση; Διαφορά με καθαρή στρέψη

(St. Venant);

Ροπή αδράνειας σε στρέψη σI (δοκοί 5-6 και 6-7)

GE

HbstI

= 224σ

:H ύψος από θεμέλιο, :t πάχος κορμού, :b μήκος κορμού,

:S απόσταση KB πυρήνα από το μέσο κορμού,

E και :G μέτρο ελαστικότητας και μέτρο διάτμησης

Προσομοίωση (β)

Προσομοίωση με 2 στύλους και απολύτως στερεούς βραχίονες

zzxxsy IIAAKB ,,,: ′

yyxs IAK ,: ′∆

Για να ληφθεί υπόψη η δυστρεψία του πυρήνα:

zzI στον στύλο KB ή ∆K

για ομοιόμορφη στρέψη: ,∑=i

iII σσ 12

3btI i =σ

για ανομοιόμορφη στρέψη: )21(2 2

2

1 βλ

+⋅≈

hId

GEI zz

I : μεγίστη ροπή αδρανείας της διατομής ενός πέλματος περι άξονα

δια κέντρου βάρους του πέλματος

Page 129: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

122

h : ύψος ορόφου

1λ : συντελεστής πάκτωσης του κάθε πέλματος

( ,121 ≤λ 35.11 −≈λ )

β : GAhEI 22,7 ( A : επιφάνεια πέλματος)

G : μέτρο διάτμησης

Προσομοίωση (γ)

Σημεία 5, 7: κόμβοι (Διαφορά στη συμπεριφορά αν δεν υπάρχουν κόμβοι;)

TJ (ροπή αδράνειας σε στρέψη για δοκό 5-7):

( )

−⋅−=

121121.0

31 4

3

hththtJT

h : ύψος ορόφου

Γιατί TJ ; Δεν αρκεί ""∞=TJ ;

....,,,

κορχκορκορκορΑ′Αxy JJ

.... ,,, πελπελπελπελ xyx JJ Α′Α

άκαμπτοι, απολύτως στερεοί βραχίονες

(ν (ισχύουν και για στύλο 3)

x5

3

6 7

4

ty

y

x

Page 130: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

123

• : στύλος : άκαμπτος βραχίων πλ : πλάτη

κ : κορμός πυρ: πυρήνας KB : κέντρο βάρους

Προσομοίωση (α): Στύλος στο T , στύλος στο ,πυρ.KB άκαμπτοι βραχίονες

Προσομοίωση (β): “ “ T , “ “ ,kKB “ “

Μέγεθος Προσομοίωση (α) Προσομοίωση (β)

δοκός στο σημείο

κKB ή πυρ.KB

A πυρ.A κA

xA′ κA κxA′

yA′ 0 κyA′

xxI 0 κxxI

yyI πυρ.yyI κ

yyI

zI 0 κzI

A 0 .πλA

δοκός στο σημείο

T

xA′ 0 πλ.xA′

yA′ .πλA πλ.yA′

xxI πυρ.xxI πλ.

xxI

yyI 0 πλ.yyI

zI πυρ.zI πλ.

zI

y

y

y

x x

T

KBπυρή

kKB

Page 131: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος E Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

124

– Διαφορές : ανοικτοί, ημιανοικτοί, κλειστοί πυρήνες

– Τι είναι ανάστροφη κάμψη;

– Σε ποιές περιπτώσεις (γεωμετρία, φόρτιση) συνιστάται / δεν συνιστάται η

προσομοίωση με πλαισιακά μοντέλα; Εναλλακτικοί τρόποι προσομοίωσης.

– Ποιές είναι οι δυνατότητες των Η/Υ σήμερα:

σε μνήμη RAM;

σε χωρητικότητα δίσκων;

σε ταχύτητα;

σε παρουσίαση των αποτελεσμάτων;

– Ποιές είναι οι δυνατότητες πακέτων πεπερασμένων στοιχείων σήμερα:

σε εισαγωγή / έλεγχο δεδομένων;

σε έλεγχο αποτελεσμάτων;

– Πόσο διαρκεί η επίλυση ενός προβλήματος με 30.000 αγνώστους στην

περίπτωση στατικής και δυναμικής φόρτισης;

Δι αφορές στησυμπερι φοράΔιαφορές στη συμπεριφορά

Page 132: AMAK1 Handbook

ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ: ΤΕΥΧΟΣ Α

σελίδα

ΜΕΡΟΣ ΣΤ: Ασκήσεις 125

Δημοσθένης Ταλασλίδης – Ηλίας Μπουγαΐδης

Θεσσαλονίκη 2011

Page 133: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 125 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

125

1. Δίνεται η 3η σειρά του μητρώου δυσκαμψίας μιάς δοκού (κάμψη): [ ] [ ]4.0,2.1,8.0,2.134333231 −=kkkk .

Ποιά είναι η φυσική σημασία του στοιχείου 32k ; Να ελεγχθεί η ορθότητα των αριθμών (μήκος δοκού m…= )

2. Ζητείται το GLk (σύστημα zx − ) της ράβδου ba − . Τι παρατηρείται; Σχολιασμός!

3. Πώς μπορούν να ληφθούν υπόψη οι συνοριακές συνθήκες των κόμβων 1 ÷4. Σχολιασμός! (καθολικό σύστημα )zx − .

4. Σχεδιάστε το μητρώο δυσκαμψίας της συνεχούς δοκού για τις δύο

εναλλακτικές αριθμήσεις των κόμβων (όχι τύπους). Σχολιασμός. Εναλλακτικοί τρόποι.

5. Να βρεθεί ο βέλτιστος τρόπος αρίθμησης του διπλανού φορέα. Να ερευνηθεί και σχολιασθεί η δυνατότητα επίλυσης του συστήματος με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων.

a b z

x

z

x

1 2

3

4

PM

Δ =φ

11

24

33

42

Page 134: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 126 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

126

6. Είναι δυνατή η επίλυση των παρακάτω συστημάτων με τη μέθοδο των

πεπερασμένων στοιχείων;

7. Να αξιοποιηθεί η συμμετρία (ομάδα φορτίων 1P ) / αντισυμμετρία (ομάδα φορτίων 2P ) του παρακάτω χωρικού πλαισίου.

P1 P1

P2

P2

P2

P2

P1 P1

8. Πώς θα λάβετε υπόψη τις δυνάμεις 1P και 2P ;

9. Αρίθμηση κόμβων:

P1

P2

Page 135: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 127 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

127

10.Δίδεται: ,1000=EF 000.10=EI , ,12=q ,10= o45=α

Ζητείται: α) ,xu zu του κόμβου Β β) ,Q M του κόμβου Β Να χρησιμοποιηθεί μόνο ένα πεπερασμένο στοιχείο και το καθολικό σύστημα αναφοράς ZX − του σχήματος.

/2

/2

B

Z

Xa EF

EF

EI

11. Ζητείται: Προσομοίωση πλαισίου. (Εναλλακτικοί τρόποι \ σχολιασμός)

Θεμελίωση επί ελαστικού εδάφους

12. Να επιλυθούν τα παρακάτω συστήματα εξιισώσεων με τη μέθοδο

Gauss:

=+=−

− 1100

212

21

xxxx

=−=+−

0110

21

212

xxxx

Να γίνει αποκοπή στα 2 δεκαδικά ψηφία Τί παρατηρείτε; (ακριβής λύση: 10110021 == xx )

Page 136: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 128 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

128

13. Δίδεται:

( ) ( ) ( ) ( ) bbaa www ϕξξξξϕξξξξξ 23322332 232231 −+−+−+++−=

α) Να υπολογισθούν τα εργικά ισοδύναμα φορτία β) Γιατί ισχύει: ,TkTk L

TGL = L

TGL PTP =

14. Δίδεται:

5108 ⋅=RI ,4cm 1800=RA ,2cm 7103 ⋅=E 2mkN

41024 ⋅=REI 2mkN 4106 ⋅=SEI 2mkN

[ ]555333222 ϕϕϕ wuwuwu

21021000

4200

2105.3

,

81.367.8.1849.003.1533.167.05.667.022.00002.19

001549.003.3000033.167.008.300067.022.0067.08.18000001549.00

3

11

P

Psym

k

EIk S =−−−

−−−−

∗= ΣΣ

Ζητείται: α) ?,11 =k ?3 =P (τύπος + τιμή)

β) Δίδονται οι μετατοπίσεις και στροφές (στο καθολικό σύστημα): ,492 =u ,3.92 =w ,1.582 −=ϕ ,1.435 =u ,7.95 =w 3.535 =ϕ

,7.453 =u ,2.263 =w ,5.23 −=ϕ ,iSi uEIu ⋅= iSi wEIw ⋅=

p=

x=ξwa

φa

wb

φb

mkNq 20=

mkNq 70=

45102 cmIs ⋅=21300 cmAs =

RR AI , RR AI ,

ss AI , ss AI ,

q

3.5 m

6.0 m 6.0 mφ

u

w

Page 137: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 129 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

129

Να υπολογισθούν και σχεδιασθούν οι ροπές της δοκού 3-5

γ) Το μητρώο Σk (ορθογωνική μορφή) έχει διαστάσεις nm × ?,=m ?,=n ?,=mnA ?,21 =A ?13 =A

δ) Να σχηματισθεί το μητρώο Σk για την περίπτωση ""∞=SEA και

""∞=REA _________________________________________________________

15. Να σχηματισθούν τα μητρώα 1

GLk και 2GLk . Τί παρατηρείτε και γιατί;

16. Γιατί ισχύουν οι τύποι:

,TkTk LT

GL = ;o

LT

GL pTP =

17. Δίδεται:

[ ]ZYXZYXZYXTGL UUUUUU ΦΦΦ=V

κόμβος 1 κόμβος 2 κόμβος 3

[ ]3,10,05,0,05,0,0 ++−=

Ζητείται: παραμορφωμένη δοκός

18.

α) Έχετε ένα πρόγραμμα που διαθέτει μόνο στοιχεία δοκού. Πώς μπορούν να ληφθούν υπόψη οι συνοριακές συνθήκες στους κόμβους 1 και, 2; Τί προβλήματα μπορούν να παρουσιασθούν;

1

a2

1 2 3

Z

Y

X

1 2

40o

Page 138: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 130 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

130

β) Έχετε ένα πρόγραμμα που επιτρέπει την εισαγωγή διαφορετικών συστημάτων αναφοράς σε κάθε κόμβο. Πώς μπορούν να ληφθούν υπόψη οι συνοριακές συνθήκες;

19. Δίδεται:

Ζητείται:– Το Σk (ορθογωνική μορφή) – Πού βρίσκεται η θέση των ,33k ,35k 13k ; – Αριθμός πράξεων για την επίλυση συστήματος εξισώσεων;

20. Δίδονται τα φορτία διατομής ( ,Q ,M N ) και οι μετατοπίσεις και στροφές

στους κόμβους του παρακάτω πλαισίου:

– Πώς μπορούν να ελεγχθούν τα αποτελέσματα; ____________________________________________________________ 21. Δίδεται: PuuKu TT δδ =

[ ]644111 ϕυ wuwuT =u

[ ]644111 δϕδδδδυδδ wuwuT =u

[ ]654321 PPPPPPT =P

=

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

kkkkkksymkkkkkkkkkkkkkkk

K

100

100

20

kΣ=k33

P P

Mq

Page 139: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 131 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

131

Να ληφθεί υπόψη: α) ,01 =w ?1 =wδ β) ,56 =ϕ ?6 =δϕ Να αιτιολογηθούν τα επιμέρους βήματα!

22.

23.

?=cabK

24.

– Επίπεδα πλαίσια – Χωρικό πλαίσιο – ,

sxu ,syu ( ) ?, =Φ= mmz uf

T=?

T=?30o

a b

Δy

Δx

y

x

s

m

Page 140: AMAK1 Handbook

Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών Ι: Σημειώσεις - Μέρος ΣΤ 132 Δημοσθένης Ταλασλίδης - Ηλίας Μπουγαΐδης

132

25.

?=K

26.

____________________________________________________________

27. Πότε πρέπει να υπολογισθεί ο Φ.Ο. ενός κτηρίου ως χωρικό πλαίσιο;

28. Πως μπορεί να ληφθεί υπόψη το έδαφος;

29. Πώς μπορεί να προσομοιωθεί ένα ογκώδες πέδιλο;

30. Τί είναι διαφραγματική λειτουργία της πλάκας ορόφου; Όρια εφαρμογής;

31. Μοντέλο ισοδύναμου πλαισίου; Όρια εφαρμογής;

32. Τί είναι ανοικτοί, ημιανοικτοί, κλειστοί πυρήνες;

33. Προσομοίωση πυρήνων με ισοδύναμα πλαίσια; Αδυναμίες;

34. Εναλλακτικοί τρόποι προσομοίωσης πυρήνων;

K=?

i i

K =?ab

ab