Lanjutan BAB III 1.1Apakah ada segitiga yang sama dalam geometri Lobachevsky? Teorema 4: Dua segitiga kongruen, jika sudut-sudut yang bersesuaian sama. Gambar. 3.7 Bukti:Anggap teorema ini salah. Maka pasti ada dua segitiga yaitu ABC dan ABC ZA =ZA,ZB =ZB, danZC =ZC, tetapi segitiga tersebut tidak kongruen. Maka,' ' B A AB =(jika tidak, segitiga tersebut kongruen melalui sudut sisi sudut) Demikianjugapada' ' C A AC = dan' ' C B BC =. PerhatikantigasegmenAB , AC ,BCdan' ' B A ,' ' C A ,' ' C BDariketigasegmentersebutadaduasegmenyanglebihbesardaridua segmenyangbersesuaiandariketigasegmenlain.Konsekuensinya,AB > ' ' B AdanAC > ' ' C AJadi,dapatditemukanBpadaAB danCpadaAC ' ' B A = " AB dan ' ' C A=" AC. Konsekuensinya, ABC ~ ABC Sehingga,ZABC =ZB =ZB KarenaZBBCmerupakansudutpelurusdariZB,makaZBBC juga merupakan sudut pelurus dariZB. AA B C CB BC Demikianjuga,ZBCCmerupakansudutpelurusdariZC,makaZBCC juga merupakan sudut pelurus dariZC. Oleh karena itu, segiempat BBCC mempunyai jumlah sudut 360, dimana hal ini kontradiksi dengan Teorema 3 Cololarry 1. 3.5. Teori Daerah LobachevskianMari kita klasifikasikan masalah dengan menguji dasar karakter dari sebuah ukuranbidanguntuksegitiga.Perhatikanlahbagaimanabidangtersebut didefinisikan, tentu saja akan mengikuti sifat-sifat: a.Positivity.Untukmasing-masingsegitigamempunyaihubunanunikyang ditentukan oleh bilangan real positif disebut daerah / area. b.InvarianceUnderCongruence.Segitigakongruenmempunyaiwilayahyang sama.c.Additivity.JikasegitigaTdibagimenjadiduasegitigayaituT1danT2oleh garisyangditarikdarititikpuncakkesisiyangdihadapannya,makawilayah dari T adalah penjumlahan dari T1 dan T2. Akibatnyabeberapaprosesuntukpengukuranbidangyangditentukanoleh sebuah fungsinilai real didefinisikan untuk semua segitigayang memenuhi a, b, dan c. Ini memberi tahu kita bahwa konsep pengukuran daerah atau daerah fungsi segitiga dengan mengartikan property- property tersebut. Definisi Suatufungsiyangmenentukansetiapsegitigadenganspesifikasibilangan realmemenuhia,b,danc.Makafungsiitudisebutsebagaidaerahfungsiatau daerah pengukuran untuk segitiga. Jika adalah suatu fungsi seperti itu dan ABC sebuahsegitiga,maka(ABC)merupakannilaidariABCdandisebutdaerah atau ukuran dari ABC yang ditentukan oleh . DefinisiinitentunyatidakterikatolehgeometriLobachevskian,namun geometriiniberlakuuntukgeometrinetral.Kenyataannyadalamgeometri Euclidean,rumusyangdikenaluntukluasdaerahadalahatberlakuuntuk semuasegitiga,sehinggadenganmudahmenghasilkansuatufungsidaerah.Hal inimenunjukkansetiapwilayahsegitigamerupakanukuransetengahdarihasil kali alas dan tinggi. Kita lanjutkan dengan mengamati sifat additivity(c), dimana fungsi daerah dapat diperluas sampai bilangan bulat terbatas. Teorema 5: Jikasetiapsegitigamerupakangabungandarihimpinanterbatasyangtidak beririsan (1,2,...., n). Maka untuk setiap fungsi daerah , () = (1) + (2) + .... + (n) Definisi:The defect dari segitiga ABC adalah 180 - ( ZA +ZB +ZC) DisiniZA, ZB, danZC digunakan sebagai derajat pengukuran dari sudutyang dimaksud,sehinggamenghasilkansuatunilaireal,bukansuatubilnganderajat. Dengan catatanZA +ZB +ZC < 180. Teorema 6: The defect tersebut merupakan fungsi daerah untuk segitiga. Bukti: Sifat (a) mengikuti teorema 3 ZA +ZB +ZC < 180 Sifat(b)segitigayangkongruenmempunyaisudut-sudutyangbersesuaiansama besar, sehingga jumlah sudutnya sama dan the defect juga sama. Gambar. 3.8 A BDC Sifat (c) Diketahui ABC dan D pada BC, AD membagi ABC menjadi ABD dan ACD. Jumlah the defect dari kedua segitiga tersebut adalah180 - ( ZBAD +ZB +ZBDA) + 180 - ( ZCAD +ZC +ZCDA) Dengan mengetahui bahwaZBDA +ZCDA = 180, makaJumlah the defect dari kedua segitiga tersebut adalah 180 - ( ZBAD +ZCAD +ZB +ZC) ZBAD +ZCAD =ZA maka: 180 - ( ZA +ZB +ZC) sesuai dengan definisi diatas.Lanjutan BAB III 3.6.Riemann's Non-Euclidean Geometri TeoriPOSTULAT SEJAJAR RIEMANN Tidak ada garis-garis sejajar TeoriRiemanntidakhanyamemerlukanparalelEucliddaliltapidalil-dalillain juga.Sebabkitatelahmenunjukkan,tanpaberasumsiapapunpostulatparalel,yangada garis-garissejajar(Bab2,Th.2,Kor.3);adanyagaris-garisparalel,tidakkonsisten dengandalil-dalilgeometrinetral.Akibatnya,kitaakanmenemukandalil-dalilgeometri netral menyiratkan adanya garis-garis parallel.Prosedur alami untuk melakukan ini adalah untuk menganalisis bukti adanya garis-garisparalel(Bab2,Th.2,Kor.3)untukmelihatatasmanapropertiitutergantung. Melirik bukti, kita melihat bahwa ia mengikuti langsung dari propertiberikut: Properti(A)adalahakibatlangsungdariteoremasuduteksterior,jadikitaharus menentukan dalil-dalil teorema sudut eksterior bergantung. Tetapi bukti teorema malaikat eksterioradalahkompleksdanmelibatkanpenerimaandiam-diampropertigrafisuntuk dibuang. Namun,ada bukti alternatif properti(A)yang sederhana dan tidak memerlukan dosismalaikateksteriorteorema.Kamimenyajikandanmenganalisisnyauntuk menurunkan sifat-sifat penting.Teorema Dua garis tegak lurus terhadap baris yang sama sejajar. Gambar 3.9 Diberikan.Dua(berbeda)garisL,MyangtegaklurusdengangarisNUntuk membuktikan: L sejajar dengan M. A LM N B (a) N M L A B C C (b) Bukti:Misalkan L sejajar dengan M adalah salah. Kemudian L dan M akan bertemu di titik C (gambar 4,14 (b)). L, M, bertemu dengan N di A, B, masing-masing. 1.Perluas CA panjang sendiri melaluiA ke C 2.Draw CB 3.ABC ABC A ~ A4.' ABC ABC Z = Z1.Sebuahsegmendapatduakali lipat 2.Dua titik menentukan garis 3.SAS 4.Sesuai bagian Dengan demikian' ABC Zadalah sudut siku-siku karenaABC Zjuga sudut siku-siku dan BC dan BC adalah tegak lurus dengan AB. 5.BC dan BC' bertepatan5.Hanyaadasatugaristegak lurusterhadapbaristertentu padasuatutitiktertentudari garis Jadi AC dan BC atau L dan M memiliki titik C dan C ' 6.Oleh karena itu L dan M bertepatan6.Dua titik menentukan garis InibertentangandenganhipotesiskitabahwaLdanMadalahgarisyangberbeda.Jadi, pengandaian kita salah dan teorema berlaku.JikapostulatsejajarRiemannakandijadikanpegangan,teoremainiharus dipahami.Jadikitaharusmembuang(selainpostulatparalelEuclid)salahsatuprinsip yangdigunakandalampembuktian.Tentusajakitainginmempertahankansifat-sifat dasarkongruensegitigadangaristegaklurus.Denganpemikiraninimarilahkita menganalisisbukti.Titikpentingtampaknyalangkah6,bahwaLdanMserupakarena merekamemilikipoinberbedaCdanC'yangsama.Langkahini(danbukti)akangagal jikaCdanC'tidakberbeda,yaitu,jikamerekabersamaan.Bagaimanamerekabisa bertepatan?Sebaliknya,kitaharusbertanyabagaimanakitatahubahwamerekaberbeda. Ini poin penting dalam pembuktian tidak formal dibenarkan, tetapi tampaknya sudah pasti dari diagram. Dapatkah kita menemukan prinsip geometris untuk membenarkan itu? Untuk menjawab ini, mengamati bahwa secara diam-diam Euclid mengasumsikan bahwasetiapgaris"memisahkan"bidangmenjadiduasisiyangberlawanan.Dinyatakan secaralebihtepat:jikaLadalahsuatugaris,titik-titikbidang,Lbukanterletakpadadua bidangataurangkaiantitik-titik,yangdisebutsisiL.sisiinitidakmemilikititikyang sama, dan mempunyai sifat bahwa setiap segmen yang bergabung suatu titik dari satu sisi ke titik yang lain atau memenuhi seberang L. Dalam pandangan pemisahan ini, konstruksi pada langkah 1 dari bukti (untuk memperluas CA panjang sendiri ke C ') menjamin bahwa CdanC'adalahdisisiN,danbegitupulapoinberbeda.TanpapemisahanyangbedaC dariC'tidakmemilikijustifikasiformal,danbuktigagal/salah.Halinimenunjukkan bahwakitadapatmembuatsebuah"Riemann"teorigeometridenganmembuangdalil bahwa setiap garis memisahkan bidang. Jika prinsip pemisahan diterima, C dan C'harusmenjadi titik berbeda, tetapi kita masihdapatmenghindarikontradiksipadalangkah6,jikakitameninggalkanprinsip bahwaduatitikmenentukangaris,danmengizinkanduagarisberpotongandalamdua titik.Padapandanganpertamamungkininitampaknyapembayaranyangterlalutinggi, namun itu mengarah pada yang menarik dan bukan teori geometris sederhana. Ringkasan Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat sejajar Riemann. Pertama, setiapduagarisberpotongandalamtepatsatutitik,tetapitidakadagarismemisahkan bidang. Kedua, dua garis berpotongan dalam tepat dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang.Teori-teoriinidisebut,masing-masing,geometrieliptiktunggaldangeometri eliptikganda.(Istilah"tunggal"dan"rangkap"mengindikasikansifatperpotongandua garisdalamgeometridanistilah"elips"digunakanlebihhalusdalamartiklasifikasi berdasarkangeometriproyektifdimanageometriEucliddanLobachevskiandisebut parabola dan hiperbolik). BAB IV Teori Geometri Insidensi 4.1.Teori Dasar Geometri Insidensi Geometri mengandung: - Unsur-unsur tak terdefinisi - Aksioma - Definisi-definisi - Teorema-teorema Geometri insidensi dapat dikatakan mendasari Geometri Euclides. Unsur-unsur tak terdefinisi pada sebuah geometri : -Titik -Garis -Bidang Ketigaunsurdikaitkansatusamalaindengansebuahaksiomayaitusystemaksioma insidensi. Ada 6 buah postulat : 1.1 Garis adalah himpunan dari titik-titik yang mengandung paling sedikit dua buah titik. 1.2Dua buah titik yang berbeda terdapat dalam satu dan hanya satu garis. 1.3Bidangadalahhimpunantitik-titikyangmengandungpalingsedikittigatitik, dimana ketiga titik tersebut tidak terletak pada garis yang sama. 1.4Tigatitikyangberbeda,yangtidaksegaristerletakdalamsatudanhanyasatu bidang. 1.5Apabilasebuahbidangmemuatduatitikyangberbedadalamsatugaris,bidang tersebut akan memuat semua titik pada garis tersebut. 1.6 Apabila dua buah bidang bersekutu pada satu titik, maka kedua bidang akan bersekutu pada titik kedua yang merupakan titik perpotongan lainnya. DefinisiSebuahhimpunantitik-titikbersamadenganhimpunanbagiansepertigarisdan bidang yang memenuhi postulat 1.1 sampai 1.6 disebut geometri insidensi. Teorema 1Dua garis yang berbeda berpotongan pada paling banyak di satu titik. Bukti : Andai g =h,dan(g,h) = a,b (hipotesis) BuktiKarena a,b = (g,h), a,b dig, a,b di h, g berimpit dengan h (postulat 1.2) Dan pernyataan tersebut berlawanan dengan hipotesis jadi haruslah (g,h)s 1 titik Definisijikaadanbadalahtitik-titikyangberbeda,kitagunakansymbolabuntukmenyatakan garis unik yang memuat a dan b, dan disebut garis yang ditetapkan oleh a dan b. dan juga dikatakangarisabadalahgarisyangmenghubungkanadanb(jikaadanbadalahtitik yang sama symbol ab tidak terdefinisi). DefinisiTitik-titikA1,A2,A3,....,Andikatakansegarisatausejajar,jikaadasebuahgarisyang memuat semua titik tersebut. Dengan cara yang sama kita mendefinisikan bentuk/gambar (himp.Darititik-titik)S1,S2,....,Snmenjadisegarisatausejajarjikaadasebuahgaris yang memuat titik tersebut. Teorema 2 Jika titik a tidak terdapat dalam garis bc, maka titik a,b,c adalah berbeda dan tidak sejajar. Buktibc, b=c (definisi) Andai A = B (hipotesis)Akibatnya, tidak segaris. Akibat a c b a bc = = e , tidak segaris BuktiB , BC di C, BC Karena A=B, ABC berlawanan dengan yang diketahui ABC. KesimpulanAB,A,B,Ctidaksegaris.AndaikanA,B,CsegarisA,B,Cdg (definisi)JikaB,CdigdanBC,g=BC(aksioma1.2).KarenaABCsegaridigmaka pernyataan ini berlawanan dengan hipotesis maka ABC segaris. Teorema 3 Sebuahgarisdansebuahtitikyangtidakterletakpadagaristersebuttermuatpadasatu bidang. Definisi AndaikanAg.satu-satunyabidangyangmemuatgdanditulissebagaigA.Andaikan A,B,C berbeda dan tidak segaris. Satu-satunya bidang yang memuat A,B,C ditulis sebagai nbidang ABC. Definisi: Dua garis l dan m adalah sejajar apabila l dan m terletak pada bidang yang sama dan tidak mempunyai titik perpotongan. Lanjutan BAB IV 4.2. Bidang-bidang Sejajar dan Garis-garis Sejajar Definisi DuabidangPdanQdikatakansejajar(ditulisPQ),jikakeduanyatidak mempunyai titik temu. Teorema 6 Jika bidang-bidang P dan Q sejajar, dan bidang R berpotongan dengan bidang p dan Q, maka perpotongan R dengan P dan Q merupakan garis-garis yang sejajar. Bukti: Denganmenggunakanteorema5:Jikaduabidangberbedaberpotongan,maka perpotongannya merupakan sebuah garis. (i)Akan ditunjukkan bahwa bidang R berbeda dengan bidang P dan Q. ( R P dan R Q ) Andaikan R = P. Maka R memotong Q, akibatnya P memotong Q. Bertentangan dengan PQ. Pengandaian salah. Jadi, R P. Andaikan R = Q. Maka R memotong P, akibatnya Q memotong P. Bertentangan dengan PQ. Pengandaian salah. Jadi, R Q. (ii)Akan ditunjukkan bahwa perpotongan R dengan P dan Q merupakan garis-garis yang sejajar. Misalkan perpotongan R dan P adalah sebuah garis L. Misalkan perpotongan R dan Q adalah sebuah garis M. L dan M terletak pada bidang yang sama, sebut saja R. L dan M tidak bertemu Andaikan L dan M bertemu, misalkan di titik a. Jika L dan M mempunyai satu titik persekutuan, berarti: a di dalam P ( karena L di P ) a di dalam Q ( karena M di Q ) P dan Q berimpit. Bertentangan dengan hipotesis bahwa PQ. Selanjutnya L dan M terletak pada bidang yang sama dan tidak berimpit . Dengan definisi bahwa LM. Definisi:Garis-garisL1,L2,,Lndikatakankongkuren,jikagaris-garistersebut berpotongan di satu titik. Gambar-gambarS1,S2,...,Sndikatakankoplanar,jikaadasebuahbidangyang memuat semua gambar-gambar tersebut. Teorema 7: Jika tiga garis koplanar secara berpasangan, tetapi semuanya tidak koplanar, maka ketiga garis tersebut kongkuren atau ketiganya garis tersebut paralel secara berpasangan. Bukti:Misalkan L, M, dan N tiga buah garis. Misalkan L, M di P. M, N di Q L, N di R. Akan ditunjukkan bahwa P, Q, dan R berbeda ( P Q R ). Andaikan P = Q. Maka L, M, N koplanar. Bertentangan dengan hipotesis. Berarti, P Q. .............. ( 1 ) Andaikan Q = R. Maka M, N, L koplanar. Bertentangan dengan hipotesis. Berarti, Q R...............( 2 ) Andaikan P = R. Maka L, M, N koplanar. Berarti, P R. ..............( 3 ) Dari ( 1 ), ( 2 ), dan ( 3 ), menunjukkan bahwa P Q R. Berikut ini, bidang-bidang memotong secara berpasangan di garis-garis seperti ditunjukkan pada tabel di bawah ini: Bidang-bidangGaris perpotongan P, QM Q, RN P, RL Andai dua garis bertemu. Katakan L, M bertemu di titik a. Karena a di L. Dari tabel a di P dan di R. Karena a di M. Dari tabel a di P dan di Q. Berarti a di Q dan R. Dari tabel a di N. Selanjutnya, jika dua dari L, M, N bertemu. Ketiga garis tersebut kongkuren. Andaikan tidak kedua dari L, M, N bertemu. Karena ketiga garis tersebut koplanar berpasangan. Maka ketiganya sejajar berpasangan. Teorema 8 Pada bidang P, jika garis L diberikan, ada sebuah titik tidak di L. Bukti Dengan postulat 13: Sebuah bidang merupakan himpunan titik-titik, memuat paling sedikit 3 titik yang tidak termuat pada garis yang sama. Ada di P, tiga titik tidak kolinier a, b, c. Karena paling sedikit 1 dari a, b, c tidak di L. Teorema 9 Tiap bidang memuat 3 garis berbeda yang tidak kongkuren. Bukti:Dengan postulat 13: Sebarang bidang P memuat 3 titik berbeda yang tidak kolinier a, b, c. Dengan postulat 15: P memuat ab, bc, ca. dan ab bc. Andaikan ab = bc maka c di ab. Berarti a, b, c kolinier. Bertentangan dengan hipotesis. Jadi, ab bc. Dengan cara yang sama, ab ac dan bc ac. Sehingga ab, bc, ac adalah garis-garis yang berbeda. Karena ab, bc, ac berpotongan secara berpasangan pada titik-titik yang berbeda a, b, c. Titik tersebut tidak dapat menjadi kongkuren. Corrolary 1 Pada bidang P, jika titik a diberikan. Ada sebuah garis yang tidak termuat. Bukti:Dengan teorema, ada pada P tiga garis yang tidak kongkuren. Karena paling sedikit satu yang tidak memuat a. Corrolary 2 Pada bidang P, sebarang titik a termuat pada paling sedikit dua garis. Bukti:Dengan corrolary 1, P memuat satu garis, katakan bcyang tidak termasuk a. Maka ab dan ac merupakan garis-garis berbeda yang memuat a. Definisi Jika dua garis berbeda tidak koplanar, kita katakan garis-garis tersebut menjulur dan menjulur terhadap yang lainnya. Teorema 10 Andaikan ada 4 titik a, b, c, d berbeda, tidak kolinier dan tidak koplanar. Maka: (i)Diberikan sebuah bidang, ada sebuah titik tidak di dalam bidang tersebut. (ii)Diberikan sebuah garis, ada sebuah garismenjulur ke garis tersebut. (iii) Diberikan sebuah titik, ada sebuah bidang tidak termasuk di titik tersebut. (iv) Ada paling sedikit 6 garis dan paling sedikit 4 bidang. Bukti: (i)Misalkan diberikan bidang P. Karena a, b, c, d tidak koplanar, paling sedikit satu dari titik tersebut tidak di P. (ii)Misalkan diberikan garis L. Karena a, b, c, d tidak kolinier, paling sedikit satu dari titik tersebut tidak di L. Misalkan p sebuah titik tidak di L. Perhatikan bidang Lp. Dengan (i) ada sebuah titik g tidak di Lp. Berikut ini garis pq menjulur ke L. (iii) Misalkan diberikan titik r. Karena a, b, c, dberbeda, ada sebuah titik s berbeda dengan r, Perhatikan garis rs. Dengan (ii) ada garis M menjulur ke rs, BAB V Teori Geometri Affin 5.1.Pendahuluan TeoriGeometriAffinmerupakangeometriyangberisikantentanggeometri insidensiyangmemenuhipostulatsejajarEucliddalambentukPlayfair.Geometri insidensi dikatakan geometri Affin jika memenuhi postulat berikut: Postulat EJika titik A tidak terletak pada garis l maka terdapat hanya satu satunya garis m sedemikian hingga m memuat A dan m // l. Ilustrasi: l .m . ADalamuraianini,relasiinsidensiterhadaptitik,garis,danbidangdigunakannotasidan kata pada (konvensi Veblen dan Young), sebagai berikut: A pada l atau l pada A, artinya: titik A berada / terletak pada garis l atau garis l memuat titik A. A pada atau pada A, artinya: Titik A terletak pada bidang atau bidang memuat titik A. lpada atau pada l, artinya: Garis l terletak pada bidang atau Bidang memuat garis l. 5.2Kesejajaran Garis Dengan menunjukkan bahwa Postulat E (postulat kesejajaran) ternyata valid dalam suatu bidang. Pernyataan ini mengikuti postulat E. Corollary Postulat E: Jika A tidakpada l, A pada , dan l pada , maka satu satunya garis m sedemikian hingga m pada A, m // l, dan m pada . Bukti: Menurut postulat E, yaitu: Jika titik A tidak terletak pada garisl maka terdapat dan hanyasatu satunya garis m sedemikian hingga m memuat A dan m // l. Berarti ada garis tunggal (unik) m sedemikian hingga m pada A dan m // l. Menurutdefinisigarissejajar,yaitu:duabuahgarisadalahsejajar,bilagarisitu terletakpadasebuahbidangdantidakmempunyaisatupuntitikpersekutuan.Berarti garis l dan m sebidang (koplane), kita misalkan pada bidang . KarenaA pada m, A pada , maka A, m pada Menurutteorema3bab7,yaitu:sebuahgarisdansebuahtitikyangterletakpada garistersebuttermuatpadasatubidang.BerartiadabidangyangmemuattitikAdan garis l Sesuai hipotesis tadi, yaitu: A, l pada . Jadi = , sehingga m pada . Teorema 1 Dua garis yang berbeda yang sejajar dengan garis yang sama akan sejajar satu sama lainnya. Pernyataan ulang: Jika l // m, n // m, dan l // n, maka l // n. Bukti: Kasus 1: l, m, n, sebidang. Ilustrasi: A l nm Andaikan l berpotongan dengan n titik A, berarti A tidak pada m, karena l // m.Menurut hipotesis l n, maka ada dua garis berbeda l dan n yang memuat A dan sejajar dengan m. Hal ini kontradiksi dengan postulat E, bahwa mestinya hanya ada sebuahgaris yang memuat A yang sejajar dengan m. Sehingga pengandaian l berpotongan n menjadi salah. Karena l, n, dan m sebidang, maka menurut definisi garis sejajar artinya l // n. Kasus 2:l, m, n, tidak sebidang Ilustrasi: P l m n A n

-Karena l // m, maka menurut corrolary 3 bab 7, yaitu apabila l // m maka l dan mtepat berada dalam satu bidang. Artinya ada bidang unik P yang memuat l dan m. -Karena l, m, n tidak sebidang, berarti ada titik A padaN yang tidak pada P. Menurut corollary teorema 7 Bab 7, yaitu apabila l // m dan A tidak terletak pada bidang yang memuat L dan M, maka ada garis unik n yang memuat A sehingga n // l dan n // m. Artinya ada garis unik, kita misalkan garisn yang memuat A sedemikian hingga n // l dann // m. -Karena A pada n dan n // m, maka menurut postulat E, n = njadi l // n CorollaryJika l // m dan m // n, maka l = n atau l // n Kesimpulan dari corollary ini menyarankan bahwa sesejaran dan koinsidensi dapat saja merupakan maksud yang berhubungan satu sama lain. Dikatakan dua garis memiliki arah yang sama, maka garis tersebut dapat sejajar atau koinsiden. Prinsip geometri analitik (Euclid) yang sudah dikenal menyatakan bahwa jika kemiringan garis m, maka l // m atau l = m. Pertimbangan ini menyarankan definisi berikut ini: DefinisiJika l, m memiliki sifat bahwa l // m atau l = m, maka dikatakan l, m memiliki arahyang sama atau kodireksional, atau l kodireksional pada m, ditulis: l cod m. Catatan:Kodireksionalitasgarisdapatdianggapsebagaigeneralisasidarikesejajaran, karena sebagai tambahan pada kesejajaran. Kodireksionalitas mencakup koinsidensi yang merupakan jenis kasus degenerasi dari kesejajaran. Dalam situasi tertentu lebih mudah mempelajarikodireksionalitasdaripadakesejajarankarenasifatformalnyalebihbiasa digunakan.Secarakhususkodireksionalitasgarisdikatakanmerupakanrelasiekivalensi, yakni: Untuk sembarang garis l, m, n maka pernyataan berikut ini berlaku: i.l cod l ii.jika l cod m, maka m cod l iii.jika l cod m dan m cod n, maka l cod n Perhatikanbahwa(i)dan(ii)tidakberlakuuntukkesejajaranrelasigaris,dan(iii) sedikit lebih baik daripada corollary diatas. Postulat E juga lebih disederhanakan jika kita gantikan kesejajaran dengan kodireksionalitas. Dapat dinyatakan sebagai: diketahui A dan l,adagarisunikmsedemikianhinggampadaAdanmcodl(dimanakitaperlu mengasumsikan bahwa A tidak pada l). Karenarelasiekivalensiseringmunculdalamgeometri,makakitaperkenalkan maksud relasi tersebut secara formal. DefinisiMisalkanSmerupakanhimpunandanRmerupakanrelasiyangmelibatkandua elemenS,ditulisARBuntukmenujuSdalamurutanyangdinyatakan.MakaR merupakanrelasiekivalensidalamSjikasifatsifatberikutberlaku,denganA,B,C menunjukkan elemen dari S yang sembarang. i.(kerefleksifan) ARA ii.(kesimetrian) jika ARB, maka BRA iii.(ketransitifan) jika ARB dan BRC maka ARC Sebagaicontoh,kongruensiataukesamaanmerupakanrelasiyangekivalensidalam himpunan semua segitiga. 5.3.Transversalitas Garis Jika garis l, m koplane (sebidang), maka garis tersebut harus memenuhi salah satu dari tiga relasi berikut: 1)l // m. 2)l = m, atau 3)l // m dan l m Dalam kasus ketiga, l dan m berpotongan dan berbeda. Kasus ini merupakan relasi yang penting antara dua garis dan sangat berguna dalam studi kesejajaran, dan diperlukan suatu nama. Jadi, kita perkenalkan definisi berikut: DefinisiKita katakan l transvers m, atau l merupakan suatu transversal dari m, atau l dan madalah transvers, ditulis l tr m jika l memotong m dan l m. Selanjutnya definisi ini dapat ditunjukkan berlaku pada pernyataan pernyataan berikut: Teorema 2: Dalamsuatubidang,garisyangtransverspadasalahsatudariduagarisyang sejajar juga akan transvers pada garis lainnya. Pernyataan ulang: Jika l, m, n terletak pada bidang P, l // m, dan n tr l, maka n tr m. Ilustrasi: P n

A l m Bukti: Misalkan A terletak pada garis l, n. Andaikan n tidak transvers m, maka yang terjadi adalah n = m atau n // m. Sehingga haruslah: (i)n m, maka jika tidak A akan memiliki secara bersama oleh garis sejajar; dan(ii)n//m,makajikatidakakanadaduagarisberbedaldann,dimanasetiapgaris tersebut memuat A, dan setiap garis tersebut sejajar dengan m. Hal tersebut kontradiksi dengan postulat E, bahwa mestinya hanya ada satu garis sejajar m yang memuat A. Jika pengandaian salah, sehingga n tr m Lanjutan BAB V 5.4.Transversalitas Garis dan BidangDefinisi Jikagarisldanbidangtidakmemlikititiksama,dikatakanbahwalsejajar dengan atau sejajar dengan l, ditulis l// atau // l. Lalu dikatan bahwa l transverts pada atau transvers pada l, ditulis l tr atau tr l, jika perpotongan l dan merupakan sebuah titik.Definisi ini bersesuaian bahwa untuk l, sembarang berlaku : 1.l // ,2.l tr , atau 3. l pada Teorema 3: Suatubidangyangtransverspadasalahsatudariduagarissejajarmakaakan transvers juga pada garis lainnya. Bukti: Misalkan l //m, tr l, akan ditunjukkan bahwa tr m. -Misalkan A merupakan titik perpotongan garis l dan bidang , dan misalkan adalah bidang yang memuat garis l dan m.Artinya , jika tidak, l terletak pada yang berarti l juga terletak pada . Hal ini kontradiksi dengan hipotesis tr l. Demikian juga A terletak pada l dan l terletak pada , yang bererti A terletak pada . Jadi titik A sama-sama terletak pada dan . Oleh karena itu berpotongan dengan . -Perpotongan bidang dan pada sebuah garis n yang memuat titik A. Artinya n l, jika tidak l akan terletak pada . Hal ini kontadiksi dengan hipotesis tr l. Jadi n tr l sesuai dengan definisi. Karena l, m, n, terletak di , maka menurut teorema 2, n tr m. MisalkanBmerupakantitikpotonggarisndanmterletakpada,sehinggaBsama-sama terletak pada dan M. -Andaikan terdapat titik lain, yakni C yang sama-sama terletak pada bidang dan garis m, menurut postulat 15, yaitu jika sebuah bidang mengandung dua titikyang sejenis, maka bidang itu memuat garis. Artinya m terletak pada bidang . Karenamterletakjugapadabidang,inimenunjukkanbahwamn,halini kontradiksidenganntrm.Jadipengandaiansalah,danBsatu-satunyatitikyang sama-sama pada m dan .Sehingga menurut definisi tr m. Corollary1 Jika l // m dan tidak tr l, maka tidak tr m. Bukti: Andaikan tr m, maka menurut teorema 3 : tr l (kontradiksi dengan hipotesis) Corollary 2 : Jika l // m dan // l , maka //m atau memuat m. Bukti// l yang berarti tidak tr l, maka menurut corollary 1 : tidak tr m.Oleh karena itu kemungkinanya hanyalah //m atau memuat m. Corollary 3 : Jikal // m dan memuat l, maka memuat m atau //m. Bukti : Karena memuat l berarti tidak tr l, maka tidak tr m (corollary 1) Jadi memuat m atau // m. Corollari 4 (pernyataan ulang corollary 3)Jika sebuah bidang memuat salah satu dari 2 garis sejajar dan tidak memuat yang lainnya,bidangitusejajardenganyanglainnya.Pernyataaniniekuivalendenganjika sebuah garis sejajar sebuah garis yang terletak pada sebuah bidang, maka garis itu sejajar dengan bidang itu. Teorema 4 : Sebuah garis transvers dengan satu dari dua bidang sejajar, maka akan transvers dengan yang laiannya. Bukti : Diketahui //, l tr . Misalkan A sebuah titik pada yang tidak pada l, maka menurut postulat E terdapat garis unik m yang menuat A sedemikian hingga m// l. Menurut teorema 3, m tr , m tidak sejajar dengan , karena m menembus di A. M tidak pada kerena m menembus dan // . Jadi m tr , karena m//l maka dianggap bahwa l tr . Corollary1Jika // dan l tidak tr , maka l tidak tr . Bukti : Andaikan l tr , maka menurut teorema l tr (kontradiksi dengan hipotesis). Corollary 2Jika // dan l //, maka l// atau l pada . Bukti : l // yang beartil tidak tr .Jadi menurut corollary 1 : l tidak tr . Kemungkinan yang ada hanyalahl // atau l pada . BAB VI Teori Urutan Pada Garis 6.1.Konsep Urutan Urutanadalahsalahsatuyangpalingdasardarisuatuidematematika.kita menemukannyadalambentukaljabarsaatkitabelajaruntukmenghitung,dalambentuk geometrisketikakitamengamatibahwasebuahobjekakanberadadisebelahkiridari objek lain, atau berada diantara dua objek lainnya, atau objek tersebut berada berlawanan jalur dari objek yang lain. Ada dua cara dalam mempelajari konsep dari sebuah teori matematika: 1.Untuk mendefinisikannya sehubungan dalam pengertian konsep-konsep dasar. 2.Untuk menggunakannya sebagai konsep dasar dan menentukannya dengan postulat yang sesuai. Initampaknyasangatsulit,jikatidakmemungkinkanuntukmendefinisikanidedari urutandalamhaltitik,garisdanbidangdatarsebagaikonsepdasardariteoriinsidensi, maka kita akan mengadopsi prosedur yang kedua. Adaduabuahteoriurutanyangterkenalyangdisebutdenganteoriprecedence (keutamaan)danteorikeantaraan.Teoripertama,elemendarihimpunandiurutkanoleh relasi dari dua suku (biner) secara spesifikasi yang disebut dengan precedence, contohnya, himpunantitikpadasebuahgarisatauhimpunanbilanganrasional.Teorikedua,adanya relasi tiga suku (terner) yang disebut betweenness , yang ditetapkan dalm suatu himpunan , contohnya, keberadaan titik diantara garis atau keantaraan dalam bilangan ril. Tentu saja postulat yang sesuai dengan masing-masingteori dapat diasumsikan. Secaraumum,teoriprecedencemelibatkansebuahrelasiduasukua