Algebra Linear Exercicios Olimpo

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IME ITA

lgebra Linear 01 - (FUVEST SP) sen cos 0 1 sen cos 0 0 A matriz sen 1 0 0 0 1 0 0 somente se:

inversvel, se e

a. n / n Z b. 2n/n Z c. + n /n z 2 d. + n/n Z 4e. R

07 - (UNICAMP SP) Uma matriz real quadrada P dita ortogonal se PT = P1, ou seja, se sua transposta igual a sua inversa. a) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal. Dica: voc pode usar o fato de que P1P = I, em que I a matriz identidade. 1 / 3 2 / 3 2 / 3 P = 2 / 3 a 1/ 3 b 2/3 2 / 3 b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo. Sabendo que Q ortogonal, determine a soluo do sistema Ax = b, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que x = A1b. 1/ 2 1 / 2 2 / 2 0 2 0 Q = 1/ 2 1/ 2 2 /2 , R = 0 2 0 , 2 /2 2 2 /2 0 0 0 6 b = 2 . 0

02 - (Mau SP) Determine as condies que x deve satisfazer para que a matriz A seja invertvel. 1 2 3 4 1 3 x 5 A= 1 3 4 3 1 6 5 x 03 - (ITA SP) Sejam A, B e C matrizes reais 3 x 3, satisfazendo s relaes AB = C-1, B = 2 A. Se o determinante de C 32, qual o valor do mdulo do determinante de A ? a) 1/16 b) 1/8 c) 1/4 d) 8 e) 4 04 - (INTEGRADO RJ) O valor de a tal que 7 11 3 7 5 2 -32 seja a matriz inversa de : 2 a 11 2 a) 1 b) 3 c) 1/5 d) 2 e) 5 05 - (ITA SP) Sejam as matrizes 0 1 / 2 1 3 1 / 2 1 1 2 3 1 2 2 2 5 e B= A= 1 1 2 1 1 1 1 5 1 3 / 2 0 5 1 1/ 2 1 3 1 5

08 - (CEFET PR) Considere a matriz A = 0 i 0 ,

i 0 0 0 0 i

na qual

i a unidade imaginria. afirmar que A9 igual a: (I3 identidade de ordem 3) a) b) c) d) A. A. i . A. I3 .

correto

e) I3 . 09 - (ITA SP) Seja A M3x3 tal que det A = 0. Considere as afirmaes: I. Existe X M3x1 no nula tal que AX identicamente nula II. Para todo Y M3x1, existe X M3x1 tal que AX = Y.

1 0

5 2

III. Sabendo que A 0 = 1

Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B) 1 . 06 - (ITA SP) Uma matriz real quadrada A ortogonal se A inversvel e A 1 = A t . Determine todas as matrizes 2 x 2 que so simtricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus elementos que esto fora da diagonal principal.

ento a primeira linha da transposta de A [5 1 2]. Temos que: a) todas so falsas b) apenas (II) falsa c) todas so verdadeiras. d) apenas (I) e (II) so verdadeiras. e) n.d.a

Matemtica Ney

10 - (UnB DF) Um industrial instalou cinco fbricas, que sero representadas pelos nmeros 1, 2, 3, 4, 5. Ele necessita de instalar uma oficina de manuteno de mquinas em uma das fbricas. Na matriz (C = cij)5x5, o elemento cij representa o custo (em mil Reais) de transporte de uma mquina da fbrica i para a fbrica j. Na matriz coluna M = (mi1)5x1, o elemento mi1 fornece o nmero de mquinas da fbrica i. Considere as

2 1 2 c. 2 2 1 1 2 2 1 2 2 e. 2 2 1 1 1 2

2 1 2 d. 1 2 2 1 2 2

0 6 matrizes C = 4 6 5

5 4 5 4 5 2 0 2 3 1 3 0 2 1 e M = 3 e julgue 4 3 0 1 4 3 2 3 2 0

os itens seguintes. 00. Para transportar todas as mquinas para a fbrica 4, o custo de 43.000 Reais. 01. Se x o custo de transporte de todas as mquinas das outras fbricas para a fbrica i, ento o custo de retorno dessas mquinas para as fbricas de origem x, qualquer que seja 1 i 5. 02. Considerando que as mquinas encontram-se em igual estado de conservao, como opo mais econmica, o industrial dever instalar a oficina de manuteno na fbrica 5. 11 - (PUC RJ) Calcule a vigsima potncia da matriz

14 - (UERJ) Joo comeu uma salada de frutas com a, m e p pores de 100 g de abacaxi, manga e pra, respectivamente, conforme a matriz X. A matriz A representa as quantidades de calorias, vitamina C e clcio, em mg, e a matriz B indica os preos, em reais, dessas frutas em 3 diferentes supermercados. A matriz C mostra que Joo ingeriu 295,6 cal, 143,9 mg de vitamina C e 93 mg de clcio.

1 a 0 1 . 12 - (UERJ) Considere as matrizes A e B: A = ( a ij ) quadrada de ordem n em que a

Considerando que as matrizes inversas de A e B 1 so A1 e B , o custo dessa salada de frutas, em cada supermercado, determinado pelas seguintes operaes: a) B . A1 . C b) C . A1 . B 1 c) A1 . B .C 1 1 . C d) B .A 15 - (ITA SP) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B . Ento, [(A + B)t]2 igual a a) (A + B)2. b) 2(At . Bt). c) 2(At + Bt). c) At + Bt. e) At Bt . 16 - (ITA SP) Seja A uma matriz real 2 x 2. Suponha que e sejam dois nmeros distintos, e V e W duas matrizes reais 2 x 1 no-nulas, tais que AV = V e AW = W. Se a, b R so tais que a V + b W igual matriz nula 2 x 1, ento a + b vale a) 0 b) 1 c) 1 d) 1 2 e) 1 2

1, se i par a ij = 1, se i mparB=(bij

) de ordem n x p em que b

ij

= ji

a) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A. b) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB igual a 4094. Calcule o nmero de linhas da matriz B.

0 13 - (UERJ) Multiplicando-se A = 0 1 a b b , obtm-se AX = c , c a

1 0 0 1 por X = 0 0 que uma

permutao dos elementos de X. Existem cinco outras matrizes de mesma ordem da matriz "A", com apenas elementos 0 e 1, que, multiplicadas por X, formam as outras permutaes dos elementos de X. A soma destas cinco matrizes :

1 2 2 a. 2 1 2 2 2 1

2 1 2 b. 1 2 2 2 2 1

2

Exerccios Complementares

17 - (ITA SP) 1.Mostre que se uma matriz quadrada no-nula A satisfaz a equao: A3 + 3A2 + 2A = 0 (1) ento (A + I)3 = A + I, em que I a matriz identidade. 1 1 2. Sendo dado que A= satisfaz 0 2 equao (1) acima, encontre duas matrizes no-nulas B e C tais que B3 + C3 = B + C = A. Para essas matrizes voc garante que o x 0 sistema de equaes ( B C) = . y 0 18 - (UFC CE) Considere a matriz A =

2. + A que transforma a matriz Am x n numa outra matriz A1 x n onde cada elemento da nica linha de A obtido somando-se os elementos da coluna correspondente de A. Nestas condies, se A for a matriz identidade de ordem p a expresso +/(+A) vale: a) 2p b) p c) p2 d) p . m e) 2 x 2 21 - (UNIFICADO RJ) Cludio anotou as suas mdias bimestrais de matemtica, portugus, cincias e estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a figura:

1 1 de 0 1

ordem 2x2. Ento pode-se afirmar que a soma A + A2 + ... + An igual a: a)

1 b matemtica 5,0 portugus 8,4 cincias 9,0 est. sociais 7,7

2 b 4,5 6,5 7,8 5,9

3 b 4 b 6,2 7,1 6,8 5,6 5,9 6,6 8,6 6,2

b) c)

1 n 0 1 n n 2 0 n 1 n (n + 1) / 2 0 n

d) e)

n (n 2 + n ) / 2 n 0 n n 0 n

Sabe-se que as notas de todos os bimestres tm o mesmo peso, isto , para calcular a mdia anula do aluno em cada matria basta fazer a mdia aritmtica de suas mdias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos representem as mdias anuais de Cludio, na mesma ordem acima apresentada, bastaria multiplicar essa matriz por: a) b)

19 - (UFRJ) O agente id Ota inventou o seguinte cdigo secreto para a transmisso de datas de certos fatos importantes: o cdigo transforma uma data d-m-a, onde d o dia, m o ms e a representa os dois ltimos algarismos do ano, em uma nova tripla de nmeros d-m,a, de acordo com a regra:

1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4

1 4

1 4

1 4

c)

2 3 1 d d 1 2 1 m = m 2 3 1 a a O cdigo revelou-se um desastre. De fato, vrias datas originais distintas (d,m,a) correspondem a um mesmo cdigo transmitido (d, m, a). Por exemplo, as datas 1/1/97 e 2/2/96 correspondem ao mesmo cdigo 98-98-98, pois:

d)

e)

2 3 1 1 - 2 3 1 2 98 1 2 1 1 = - 1 2 1 2 = 98 2 3 1 97 - 2 3 1 96 98 Id Ota pensou em alterar o coeficiente central da matriz, a22, igual a 2, para um outro valor k. Determine, se possvel, os valores de k que fazem o cdigo funcionar bem. 20 - (FCChagas SP) Dada uma matriz Am x n e as operaes: 1. +/ A que transforma a matriz A numa outra matriz Am x 1 onde cada elemento da nica coluna de A obtido somando-se os elementos da linha correspondentes de A.3

22 - (UFC CE) Considere a matriz A =

1 1 de 0 1

ordem 2x2. Ento pode-se afirmar que a soma A + A2 + ... + An igual a: a)

1 n 0 1 1 n (n + 1) / 2 0 n n n 0 n

b)

n n 2 0 n n (n 2 + n ) / 2 n 0

c) e)

d)

Matemtica Ney

23 - (UFG GO) Dadas as matrizes sen cos cos sen M= sen cos e N = cos sen Onde um ngulo compreendido entre 0 e /2 rad. Abaixo esto relacionadas algumas operaes envolvendo estas matrizes. As igualdades corretas so: 0 1 01. M.N = 1 0 ; 02. det M + det N = 2; 04. M.N = N.M; 2 0 no caso em que = /4 rd; 08. M + N = 2 0 16. N1 = N, onde N1 a inversa de N; 32. det kM = k det M, onde K R. 24 - (ITA SP) Sejam A = (ajk) e B = (bjk) duas matrizes quadradas n x n, onde ajk e bjk so, respectivamente, os elementos da linha j e coluna k das matrizes A e B, definidos por j k a jk = , quando j k , a jk = quando j < k e k j jk jk b jk = (2) p . p p =0 O trao de uma matriz quadrada (cjk) de ordem n x n definido por n =1 c pp . Quando n for mpar, o p

28 - (UEM PR) Sobre matrizes e determinantes, assinale a(s) alternativa(s) correta(s). 01. Se o determinante de uma matriz quadrada A 10 e se a segunda linha for multiplicada por 4 e a quinta linha por

determinante da matriz resultante 20. 02. Uma matriz quadrada A de ordem 3 tal que seus elementos satisfazem aij + aji = 0 para todo 1 i, j 3. Ento, det(A) 0. 04. Se uma matriz quadra