Algebra Linear Exercicios Olimpo

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IME ITA

lgebra Linear 01 - (FUVEST SP) sen cos 0 1 sen cos 0 0 A matriz sen 1 0 0 0 1 0 0 somente se:

inversvel, se e

a. n / n Z b. 2n/n Z c. + n /n z 2 d. + n/n Z 4e. R

07 - (UNICAMP SP) Uma matriz real quadrada P dita ortogonal se PT = P1, ou seja, se sua transposta igual a sua inversa. a) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal. Dica: voc pode usar o fato de que P1P = I, em que I a matriz identidade. 1 / 3 2 / 3 2 / 3 P = 2 / 3 a 1/ 3 b 2/3 2 / 3 b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo. Sabendo que Q ortogonal, determine a soluo do sistema Ax = b, para o vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que x = A1b. 1/ 2 1 / 2 2 / 2 0 2 0 Q = 1/ 2 1/ 2 2 /2 , R = 0 2 0 , 2 /2 2 2 /2 0 0 0 6 b = 2 . 0

02 - (Mau SP) Determine as condies que x deve satisfazer para que a matriz A seja invertvel. 1 2 3 4 1 3 x 5 A= 1 3 4 3 1 6 5 x 03 - (ITA SP) Sejam A, B e C matrizes reais 3 x 3, satisfazendo s relaes AB = C-1, B = 2 A. Se o determinante de C 32, qual o valor do mdulo do determinante de A ? a) 1/16 b) 1/8 c) 1/4 d) 8 e) 4 04 - (INTEGRADO RJ) O valor de a tal que 7 11 3 7 5 2 -32 seja a matriz inversa de : 2 a 11 2 a) 1 b) 3 c) 1/5 d) 2 e) 5 05 - (ITA SP) Sejam as matrizes 0 1 / 2 1 3 1 / 2 1 1 2 3 1 2 2 2 5 e B= A= 1 1 2 1 1 1 1 5 1 3 / 2 0 5 1 1/ 2 1 3 1 5

08 - (CEFET PR) Considere a matriz A = 0 i 0 ,

i 0 0 0 0 i

na qual

i a unidade imaginria. afirmar que A9 igual a: (I3 identidade de ordem 3) a) b) c) d) A. A. i . A. I3 .

correto

e) I3 . 09 - (ITA SP) Seja A M3x3 tal que det A = 0. Considere as afirmaes: I. Existe X M3x1 no nula tal que AX identicamente nula II. Para todo Y M3x1, existe X M3x1 tal que AX = Y.

1 0

5 2

III. Sabendo que A 0 = 1

Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B) 1 . 06 - (ITA SP) Uma matriz real quadrada A ortogonal se A inversvel e A 1 = A t . Determine todas as matrizes 2 x 2 que so simtricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus elementos que esto fora da diagonal principal.

ento a primeira linha da transposta de A [5 1 2]. Temos que: a) todas so falsas b) apenas (II) falsa c) todas so verdadeiras. d) apenas (I) e (II) so verdadeiras. e) n.d.a

Matemtica Ney

10 - (UnB DF) Um industrial instalou cinco fbricas, que sero representadas pelos nmeros 1, 2, 3, 4, 5. Ele necessita de instalar uma oficina de manuteno de mquinas em uma das fbricas. Na matriz (C = cij)5x5, o elemento cij representa o custo (em mil Reais) de transporte de uma mquina da fbrica i para a fbrica j. Na matriz coluna M = (mi1)5x1, o elemento mi1 fornece o nmero de mquinas da fbrica i. Considere as

2 1 2 c. 2 2 1 1 2 2 1 2 2 e. 2 2 1 1 1 2

2 1 2 d. 1 2 2 1 2 2

0 6 matrizes C = 4 6 5

5 4 5 4 5 2 0 2 3 1 3 0 2 1 e M = 3 e julgue 4 3 0 1 4 3 2 3 2 0

os itens seguintes. 00. Para transportar todas as mquinas para a fbrica 4, o custo de 43.000 Reais. 01. Se x o custo de transporte de todas as mquinas das outras fbricas para a fbrica i, ento o custo de retorno dessas mquinas para as fbricas de origem x, qualquer que seja 1 i 5. 02. Considerando que as mquinas encontram-se em igual estado de conservao, como opo mais econmica, o industrial dever instalar a oficina de manuteno na fbrica 5. 11 - (PUC RJ) Calcule a vigsima potncia da matriz

14 - (UERJ) Joo comeu uma salada de frutas com a, m e p pores de 100 g de abacaxi, manga e pra, respectivamente, conforme a matriz X. A matriz A representa as quantidades de calorias, vitamina C e clcio, em mg, e a matriz B indica os preos, em reais, dessas frutas em 3 diferentes supermercados. A matriz C mostra que Joo ingeriu 295,6 cal, 143,9 mg de vitamina C e 93 mg de clcio.

1 a 0 1 . 12 - (UERJ) Considere as matrizes A e B: A = ( a ij ) quadrada de ordem n em que a

Considerando que as matrizes inversas de A e B 1 so A1 e B , o custo dessa salada de frutas, em cada supermercado, determinado pelas seguintes operaes: a) B . A1 . C b) C . A1 . B 1 c) A1 . B .C 1 1 . C d) B .A 15 - (ITA SP) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B . Ento, [(A + B)t]2 igual a a) (A + B)2. b) 2(At . Bt). c) 2(At + Bt). c) At + Bt. e) At Bt . 16 - (ITA SP) Seja A uma matriz real 2 x 2. Suponha que e sejam dois nmeros distintos, e V e W duas matrizes reais 2 x 1 no-nulas, tais que AV = V e AW = W. Se a, b R so tais que a V + b W igual matriz nula 2 x 1, ento a + b vale a) 0 b) 1 c) 1 d) 1 2 e) 1 2

1, se i par a ij = 1, se i mparB=(bij

) de ordem n x p em que b

ij

= ji

a) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A. b) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB igual a 4094. Calcule o nmero de linhas da matriz B.

0 13 - (UERJ) Multiplicando-se A = 0 1 a b b , obtm-se AX = c , c a

1 0 0 1 por X = 0 0 que uma

permutao dos elementos de X. Existem cinco outras matrizes de mesma ordem da matriz "A", com apenas elementos 0 e 1, que, multiplicadas por X, formam as outras permutaes dos elementos de X. A soma destas cinco matrizes :

1 2 2 a. 2 1 2 2 2 1

2 1 2 b. 1 2 2 2 2 1

2

Exerccios Complementares

17 - (ITA SP) 1.Mostre que se uma matriz quadrada no-nula A satisfaz a equao: A3 + 3A2 + 2A = 0 (1) ento (A + I)3 = A + I, em que I a matriz identidade. 1 1 2. Sendo dado que A= satisfaz 0 2 equao (1) acima, encontre duas matrizes no-nulas B e C tais que B3 + C3 = B + C = A. Para essas matrizes voc garante que o x 0 sistema de equaes ( B C) = . y 0 18 - (UFC CE) Considere a matriz A =

2. + A que transforma a matriz Am x n numa outra matriz A1 x n onde cada elemento da nica linha de A obtido somando-se os elementos da coluna correspondente de A. Nestas condies, se A for a matriz identidade de ordem p a expresso +/(+A) vale: a) 2p b) p c) p2 d) p . m e) 2 x 2 21 - (UNIFICADO RJ) Cludio anotou as suas mdias bimestrais de matemtica, portugus, cincias e estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a figura:

1 1 de 0 1

ordem 2x2. Ento pode-se afirmar que a soma A + A2 + ... + An igual a: a)

1 b matemtica 5,0 portugus 8,4 cincias 9,0 est. sociais 7,7

2 b 4,5 6,5 7,8 5,9

3 b 4 b 6,2 7,1 6,8 5,6 5,9 6,6 8,6 6,2

b) c)

1 n 0 1 n n 2 0 n 1 n (n + 1) / 2 0 n

d) e)

n (n 2 + n ) / 2 n 0 n n 0 n

Sabe-se que as notas de todos os bimestres tm o mesmo peso, isto , para calcular a mdia anula do aluno em cada matria basta fazer a mdia aritmtica de suas mdias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos representem as mdias anuais de Cludio, na mesma ordem acima apresentada, bastaria multiplicar essa matriz por: a) b)

19 - (UFRJ) O agente id Ota inventou o seguinte cdigo secreto para a transmisso de datas de certos fatos importantes: o cdigo transforma uma data d-m-a, onde d o dia, m o ms e a representa os dois ltimos algarismos do ano, em uma nova tripla de nmeros d-m,a, de acordo com a regra:

1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4

1 4

1 4

1 4

c)

2 3 1 d d 1 2 1 m = m 2 3 1 a a O cdigo revelou-se um desastre. De fato, vrias datas originais distintas (d,m,a) correspondem a um mesmo cdigo transmitido (d, m, a). Por exemplo, as datas 1/1/97 e 2/2/96 correspondem ao mesmo cdigo 98-98-98, pois:

d)

e)

2 3 1 1 - 2 3 1 2 98 1 2 1 1 = - 1 2 1 2 = 98 2 3 1 97 - 2 3 1 96 98 Id Ota pensou em alterar o coeficiente central da matriz, a22, igual a 2, para um outro valor k. Determine, se possvel, os valores de k que fazem o cdigo funcionar bem. 20 - (FCChagas SP) Dada uma matriz Am x n e as operaes: 1. +/ A que transforma a matriz A numa outra matriz Am x 1 onde cada elemento da nica coluna de A obtido somando-se os elementos da linha correspondentes de A.3

22 - (UFC CE) Considere a matriz A =

1 1 de 0 1

ordem 2x2. Ento pode-se afirmar que a soma A + A2 + ... + An igual a: a)

1 n 0 1 1 n (n + 1) / 2 0 n n n 0 n

b)

n n 2 0 n n (n 2 + n ) / 2 n 0

c) e)

d)

Matemtica Ney

23 - (UFG GO) Dadas as matrizes sen cos cos sen M= sen cos e N = cos sen Onde um ngulo compreendido entre 0 e /2 rad. Abaixo esto relacionadas algumas operaes envolvendo estas matrizes. As igualdades corretas so: 0 1 01. M.N = 1 0 ; 02. det M + det N = 2; 04. M.N = N.M; 2 0 no caso em que = /4 rd; 08. M + N = 2 0 16. N1 = N, onde N1 a inversa de N; 32. det kM = k det M, onde K R. 24 - (ITA SP) Sejam A = (ajk) e B = (bjk) duas matrizes quadradas n x n, onde ajk e bjk so, respectivamente, os elementos da linha j e coluna k das matrizes A e B, definidos por j k a jk = , quando j k , a jk = quando j < k e k j jk jk b jk = (2) p . p p =0 O trao de uma matriz quadrada (cjk) de ordem n x n definido por n =1 c pp . Quando n for mpar, o p

28 - (UEM PR) Sobre matrizes e determinantes, assinale a(s) alternativa(s) correta(s). 01. Se o determinante de uma matriz quadrada A 10 e se a segunda linha for multiplicada por 4 e a quinta linha por

determinante da matriz resultante 20. 02. Uma matriz quadrada A de ordem 3 tal que seus elementos satisfazem aij + aji = 0 para todo 1 i, j 3. Ento, det(A) 0. 04. Se uma matriz quadrada A de ordem n tem determinante satisfazendo a equao det(A2) + 2det(A) + 1 = 4, ento o det(A) igual a 1 ou 3. k 1 1 08. Se A a matriz dada por 1 1 2 , ento o k 0 k nico valor de k que torna o determinante de A2 nulo zero. 16. A equao matricial Xt A X = 3 onde A a 3 4 matriz dada por , tem como soluo o 4 3x conjunto das matrizes X 21 = , tais y + y2 = 1. 1 0 32. Se A = B C, onde B = 1 1 3 4 3 1

1 , 2

ento

o

que x2

trao de A + B igual a a) n(n 1)/3 b) (n 1)(n + 1)/4 c) (n2 3n +2)/(n 2) d) 3(n 1)/n e) n 1)/(n 2) 25 - (UFU MG) Seja A uma matriz de ordem 3 inversvel tal que (A 2I)2 = 0, em que I a matriz identidade de ordem 3. Assim, pode-se afirmar que a matriz inversa A1 igual a a) c)

0 0 1

e

3 2 4 C = 0 1 2 , ento o determinante de A 3 3 0 0 4 igual a 4.29 - (UFAC) Considere a funo : C M 2 (R )

I 1 A4

b) d)

2A1I 2

4I A

y x z = x + yi ( z) = y x que a cada nmero complexo em C associa uma matriz quadrada de ordem 2 em M2(R). A proposio errada dentre as dos itens abaixo :a) b) c) d) e) 30 Det ( ( z )) = z ; z C2

26 - (FGV ) O montante aplicado de R$ 50.000,00 foi dividido em duas partes, x e y, uma tendo rendido 1% em um ms, e a outra 10% no mesmo perodo. O total dos rendimentos dessa aplicao foi de R$ 4.000,00. Sendo M, P e Q as x 50 1 0,01 matrizes M = , P = e Q = , a y 4 1 0,1 matriz M pode ser obtida pelo produto: a) 1 000 (Pt Q)1 b) Pt Q 1 000 c) Q1 P 1 000 d) 1 000 (Qt)1 P e) (Q1)t P 1 000 27 - (IME RJ) Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um nmero real diferente de 1. Sabendo-se que A3 = k A, prove que a matriz A + I invertvel, onde I a matriz identidade n x n.4

( z.w ) = ( z ). ( w ); z, w C ( z + w ) = ( z ) + ( w ); z, w C

1 - 1 ((1 i) 1 ) = 1 1 2 x 2 (1) = 12

(UFBA BA) Considerando-se a matriz u 2 + log v 0 u 2 log v , sendo u, wR e B= 0 2w 0 2 2 u log v 0 u + log v vR*+, correto afirmar: 01. A matriz B simtrica, para quaisquer u, wR, vR*+. 02. O determinante de B negativo se e somente se u 0 e v > 1 .

Exerccios Complementares

04. Se u = 6, e v = 0,0001, ento existe um nico wR tal que os elementos da diagonal principal de B so medidas de um tringulo eqiltero. 08. Se u = 0, existem vR*+ e wR tais que B2 uma matriz nula. 16. Para qualquer wR, o sistema de equaes BX = 0 tem uma infinidade de solues

x X = y se e somente se v = 1 . z 31 - (UEM PR) Considere a equao matricial

01. a coluna central no contm nmeros compostos. 02. a linha de ordem k contm (2k 1) nmeros naturais, k =1,2, 04. a quantidade de nmeros naturais escritos at o final da linha k k2, k =1,2, 08. a soma de todos os nmeros naturais escritos at o final da 20. linha 80.200. 16. o nmero natural 628 o quarto nmero da 26. linha. 34 - (ITA SP) Sejam A e P matrizes reais quadradas de ordem n tais que A assimtrica (isto , A = At) e P ortogonal (isto , P . Pt = I = Pt . P), P diferente da matriz identidade. Se B = PtAP ento: a) AB simtrica b) BA simtrica c) det A = det B d) BA = AB e) B ortogonal 35 - (ITA SP) Seja A uma matriz real quadrada de ordem n e B = I A, onde I denota a matriz identidade de ordem n. Supondo que A inversvel e idempotente (isto , A2 = A) considere as afirmaes: 1. 2. 3. 4. 5. B idempotente AB = BA B inversvel A 2 + B2 = I AB simtrica

2 a x 3 a 3 a a y = 1 . 2 4a 2 z 6 a) Para qual(is) valor(es) de a a equao matricial possui uma nica soluo? Justifique. b) Determine a soluo da equao matricial para a = 1 , justificando sua resposta. 32 - (UFAL) Considere: a matriz A = (aij)2x2, tal que aij = 2j i; que trao de uma matriz quadrada A a soma dos elementos da diagonal principal de A; 2 2 x + , em que n um x nmero natural. Use essas informaes para concluir se as afirmaes seguintes so falsas ou verdadeiras. 3 00. O trao da matriz inversa de A . 2 01. Se At a matriz transposta de A, ento 5 3 A At = . 3 2 3n

o binmio

Com respeito a estas afirmaes temos: a) Todas so verdadeiras. b) Apenas uma verdadeira. c) Apenas duas so verdadeiras. d) Apenas trs so verdadeiras. e) Apenas quatro so verdadeiras. 36 - (UFG GO) Aps uma prova de 4 questes aplicada a 4 alunos, o professor construiu uma matriz (A) onde cada linha corresponde a um aluno e cada coluna s questes da prova, colocou 0 (zero) se o aluno errou a questo e 1 (um) se acertou. Com base nesse enunciado podemos afirmar: 01. Se cada aluno acertou apenas 1 questo a matriz pode ser a matriz identidade se as questes acertadas so distintas; 02. Se um aluno tirou zero na prova o determinante da matriz zero; 04. A nica situao em que A2 = 0 se todos os alunos tirarem zero na prova; 1 se i j 08. Se A = A ij onde a ij = , ento um 4x 4 0 se i < j

02. Se n o trao de A , ento o 4o termo do desenvolvimento do binmio dado, segundo as potncias decrescentes de x, 168x9. 03. Se n = 2, a soma dos coeficientes do binmio dado 243. 04. Se n = 3, ento, no desenvolvimento do binmio dado, o termo independente de x 168.

33 - (UEM PR) Considere os nmeros naturais colocados ordenadamente em linhas da disposio triangular mostrada na figura e suponha que a distribuio continue, indefinidamente, obedecendo ao mesmo padro.1 2 5 10 ... ... 11 ... 6 ... ... 3 7 ... ... 4 8 ... ... 9 ... ... ... ... ...

[ ]

aluno acertou todas as questes 16. Considere a funo f definida em { aij, 1 i, j 4}cuja lei de formao f (aij) = aji Se A = I (identidade) a funo f a funo nula; 32. Se todos os alunos acertarem todas as questes da prova ento de A 0. 37 - (ITA SP) Sejam A e P matrizes nxn inversveis e B = P1 AP. Das afirmaes:5

Sobre o exposto, correto afirmar que:

Matemtica Ney

I. BT inversvel e (BT)1 = (B1)T. II. Se A simtrica, ento B tambm o . III. det(A I) = det(B I), R. (so) verdadeira(s): a) todas b) apenas I c) apenas I e II d) apenas I e III e) apenas II e III 38 - (ITA SP) Se A uma matriz real, considere as definies: I. Uma matriz quadrada A ortogonal se e s se

para o ponto 3B. Ento, a rea do paralelogramo gerado por 2A e 3B igual a 5 vezes a rea de P. 02. O produto da matriz M pela matriz

cos 30 sen 30 sen 30 cos 30 uma matiz 2 x 2 cujas linhas so as coordenadas dos pontos C e D. Ento, a rea do paralelogramo gerado por C e D igual rea de P. 42 - (PUC SP) Seja a matriz A = (aij)3x3, tal que

A

for inversvel e

A 1 = A T

.

II. Uma matriz quadrada se a = 0 , para todo

ij

i, j = 1, ..., n, com i j

A

diagonal se e s

7 cos i a ij 7 sen j a) b) c) d) e)

se i = j se i j

O determinante da matriz A igual a:

Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que so, simultaneamente, diagonais e ortogonais. 39 - (ITA SP) Sejam A e B matrizes 2 x 2 tais que AB = BA e que satisfazem equao matricial A2 + 2AB B = 0. Se B inversvel, mostre que (a) AB1 = B1A e que (b) A inversvel

3 2 1 2

1

1 23 2 x 5 1 A= 0 5

2 0 1 A = 0 2 0 40 - (ITA SP) Considere as matrizes 1 0 2 1 1 0 e B= 0 2 0 . 1 0 1 Sejam 0, 1 e 2 as razes da equao det(A I3) = 0 com o 0 1 2. Considere as afirmaes: I. B = A - 0I3 II. B = (A - 1I3)A III. B = A(A - 2I3) Ento: a) todas as afirmes so falsas. b) todas as afirmaes so verdadeiras c) apenas I falsa d) apenas II falsa e) apenas III falsa 41 - (UnB DF) Considere os sistema de coordenadas cartesianas no plano, cuja origem denotada por O = (0,0). Sejam A e B pontos dessse plano, distintos da origem. O paralelogramo P, gerado pelos pontos A e B, aquele que tem os segmentos OA e OB como arestas. A rea desse paralelogramo o determinante det M da matriz quadrada M, de ordem 2, cujas linhas so as coordenadas dos pontos A e B. Tendo em vista essa informaes, julgue os itens que se seguem. 00. Se det M = 0, ento os segmentos OA e OB so colineares. 01. Sejam 2A o ponto cuja coordenadas so duas vezes as coordenadas de A. Analogamente6

43 - (UFMS MS) Sejam

e B =

0 3 1 3 x matrizes reais de ordem 2 e f : IR IR a funo definida por f(x) = 3.det.(A.B) , onde det.(A.B) denota o determinante da matriz produto de A por B . Calcule o valor mximo da funo f.

44) Qualquer que seja x R, tal que determinante

x

k (k z) , o 2

1 sen 2 x cos2 xa) b) c) d) e)

sec2 x cossec2 x 1 tg 2 x 1 cotg 2 x igual a:

secx . cossecx 1 1 zero n.d.a

45 - (FEI SP) Calcule;

cos2a cos2a sen 2a cos2b cos2b sen 2b cos2c cos2c sen 2c46 - (FEI SP) Seja M uma matriz quadrada de 3a ordem; constri-se uma matriz N em que cada coluna a soma das outras duas colunas da matriz M. Sendo A o determinante de M e B o determinante de N, tem-se: a) B = 0 b) B = A

Exerccios Complementares

c) B = 2A d) A = 2B e) n.d.a 1 47 - (UnB DF) Seja f(x) = reais no-nulos e distintos. As razes de f(x) = 0 so: 00. x = a, x = b, x = c 01. x = a, x = c 02. x = b, x = c 03. x = a, x = b 48 - (PUC SP) Indica-se por det A o determinante de uma matriz quadrada A. Seja a matriz A = (aij), de ordem 2, em que sen .(i + j), se i = j a ij = 4 . sen[ x.(i j)], se i j quantos nmeros reais x, tais que 2 < x < 2, 1 satisfazem a sentena det A = ? 4 a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 49 - (IME RJ) Calcule o determinante da matriz n x n em funo de b, onde b um nmero real tal que b2 1,b2 +1 b 0 0 0 0 b b2 +1 b 0 0 0 0 b b2 + 1 b 0 0 0 0 b b2 +1 0 0n colunas

1 b

1 c bx com a, b, c

I. II. III. IV.

Se A = At e B = Bt, ento AB = (AB)t. det(A + B) = det A + det B. Se AB = CB, ento A = C. A2 B2 = (A B)(A + B).

x

bc cx

A respeito dessas afirmaes, assinale a alternativa correta. a) Todas as afirmativas so falsas. b) Apenas a afirmao I verdadeira. c) Apenas as afirmaes I e III so verdadeiras. d) Apenas a afirmao II falsa. e) Todas as afirmaes so verdadeiras. 52 - (ITA SP) Sejam A e I matrizes reais quadradas de ordem 2, sendo I a matriz identidade. Por T denotamos o trao de A, ou seja, T a soma dos elementos da diagonal principal de A. Se T 0 e 1, 2 so razes da equao det(A - I) = det(A) det(I), ento: a) 1 e 2 independem de T b) 1 . 2 = T c) 1 . 2 = 1 T d) 1 + 2 = 2 e) 1 + 2 = T 53 (ITA SP) Considere a equao onde

2 det G ( x ) [G ( x )]2 x

2 2x 4x 2

2 F( x ) = 0 [F( x )]2

4 3 F( x ) = x + x 2 x +1 e G(x ) =

x 2 1 , com x R, x 0. x

0 0 0 0 0 0 n linhas 2 b +1 b b b2 + 1 0 0

Sobre as razes reais dessa equao, temos: a) Duas delas so negativas. b) Uma delas um nmero irracional. c) Uma delas um nmero par. d) Uma delas positiva e outra negativa. e) n.d.a. 54 - (ITA SP) Seja C = {X M2x2; X2 + 2x = 0}. Dadas as afirmaes: I. Para todo X C, (X + 2I) inversvel. II. Se X C e det (X + 2I) 0 ento X no inversvel. III. Se X C e det X 0 ento det X > 0. podemos dizer que: a) Todas so verdadeiras. b) Todas so falsas. c) Apenas (II) e (III) so verdadeiras. d) Apenas (I) verdadeira. e) n.d.a. 55 - (UnB DF) Para A e B matrizes quadradas quaisquer, de ordem 3, denote por A o produto de A por si mesmo e por det A o derminante da matriz A. julgue os itens. 00. (A + B) . (A B) = A2 . B2. 01. det (2A) = 2 det A

50 - (UFBA BA) Considere a matriz simtrica A = (aij), 1 i 3, 1 j 3, que satisfaz as seguintes condies: Se j = i + 1 ou i = j + 1, ento aij a distncia do ponto P ao ponto Q, sendo P e Q intersees da parbola y = x2 2x + 1 com a reta y = x + 1. II. Se j = i + 2 ou i = j + 2, ento aij a rea do tringulo PQR, sendo o ponto R o simtrico de Q em relao origem do sistema de coordenadas xOy. III. Se i = j, ento aij o valor mximo da funo quadrtica f(x) = 2x2 + 4x. Assim sendo, escreva a matriz A e calcule o seu determinante. 51 - (UFU MG) Sejam A, B e C matrizes reais quadradas de ordem 3. Considere as seguintes afirmaes:7

I.

Matemtica Ney

02. Somando-se 4 a todos os elementos da

1 1 1 matriz A = 2 1 1 , o determinate da nova 3 a 1 matriz ser 4det A

60 - (UFU MG) Sejam A e B matrizes de elementos reais, quadradas de ordem 3, e represente por I a matriz identidade de ordem 3. Se A + B = 3 I e det(A B) = 1, determine det(A2 + AB BA B2). 61 - (ITA SP) Considere as afirmaes dadas a seguir, em que A uma matriz quadrada n n ,

1 0 0 2 03. Se (det A) = 1, ento A = 0 1 0 ou 0 0 1 1 0 0 A = 0 1 0 . 0 0 1 2 a (a + 2) 2 (a + 4) 2 04. Se A = (a + 2) 2 (a + 4) 2 (a + 6) 2 , o det A (a + 4) 2 (a + 6) 2 (a + 8) 2 no depender do valor de a. 56 - (MACK SP) A uma matriz quadrada de ordem 4 e det A = -6. o valor de x tal que det (2A) = x 97 : a) -12 b) zero c) 1 d) 97/2 e) 194 x y z 1 2 3 57 - (UNIP SP) Se 6 x vale: a) -4 b) 4/3 c) 4/3 d) 4 e) 12 58 - (VUNESP SP) Considere as matrizes reais 3x3 9 12 = 12 , ento 2 1 y z 3 4 2 3

n2:I. O determinante de A nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.

II. Se

A = (a i j )

tal

que

aij = 0

para ento

i > j , com i, j = 1, 2,..., n, det A = a11 a 22 ... a n n .III. Se

B

for obtida de

primeira coluna por

A , multiplicando-se a 2 + 1 e a segunda porinalteradas as que (so)

2 1,

mantendo-se afirmar

demais colunas, ento Ento, podemos verdadeira(s): a) apenas II. b) apenas III. c) apenas I e II. d) apenas II e III. e) todas.

det B = det A .

62 - (UECE) Seja X = M + M 2 + M 3 + ... + M k , em que M 1 1 a matriz e k um nmero natural. Se o 0 1 determinante da matriz X igual a 324, ento o valor de k 2 + 3k 1 : a) 207 b) 237 c) 269 d) 377 63 - (ITA SP) Sejam A e C matrizes n x n inversveis tais que det(I + C 1A) = 1 / 3 e det A = 5 . Sabendo-se que B = 3 A 1 + C 1 , ento o determinante de B igual a a) 3n c) e)1 5

a b c m n p x y z e x y z . Se indicarmos por A e 1 1 1 1 1 1 B, respectivamente, os determinantes dessas matrizes, o determinante da matriz

(

)

t

a + m + 1 b + n + 1 c + p + 1 1 1 1 igual a: 2x 2y 2z a) b) c) d) e) 2 2 2 2A2B A+2B+1 A + 2B 2A2B1 A 2 B 1.

b) d)

2

3n 52

3n1 5

5 3 n 1

64 - (MACK SP) O menor valor positivo de , para que o sistema

59 - (UFU MG) Sejam A e B matrizes quadradas quaisquer de ordem dois. Indique qual das afirmaes abaixo verdadeira. a) (A + B) (A B) = A2 B2. b) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. c) se AB a matriz nula ento A ou B so nulas. d) se A e B so inversveis ento A + B inversvel. e) se A e B so inversveis ento AB inversvel.8

(sen ) x y = 0 tenha mais de x + (4 cos )y = 0

uma soluo, igual a: a) 75 b) 105 c) 120 d) 165 e) 225

Exerccios Complementares

65 - (FUVEST SP) Dado um nmero real a, considere o seguinte problema: Achar nmeros reais x1, x2, , x6, no todos nulos, que satisfaam o sistema linear: (r 2) (r 3)xr 1 + ((r 1) (r 3) (r 4) (r 6)a + (-1)r)xr + (r 3)xr + 1 = 0, para r = 1, 2, , 6, onde x0 = x7 = 0. a) Escreva o sistema linear acima em forma matricial. b) Para que valores de a o problema cima tem soluo? c) Existe, para algum valor de a, uma soluo do problema com x1 = 1? Se existir, determine tal soluo. 66 - (ITA SP) A seqncia (a1, a2, a3, a4) uma progresso geomtrica de razo q R* com q 1 e a1 0. Com relao ao sistema podemos afirmar que: a) impossvel para c, d [-1, 1] b) possvel e determinado somente se c = d. c) indeterminado quaisquer que sejam c, d R. d) impossvel quaisquer que sejam c, d R*. e) indeterminado somente se d = cq2 67 - (ITA SP) O sistema abaixo, nas incgnitas x, y e z,

69

- (ITA SP) Considere o sistema linear homogneo nas incgnitas x1, x2, ..., xn dado por:

a1x1 + (a1 + 1)x 2 + ... + (a1 + n 1)x n = 0 a x + (a + 1)x + ... + (a + n 1)x = 0 2 1 2 2 2 n ............................................................... a n x1 + (a n + 1)x 2 + ... + (a n + n 1)x n = 0

a 1x + a 2 y = c a 3 x + a 4 y = d

Onde a1, a2, ..., an so nmeros reais dados. Sobre a soluo deste sistema podemos afirmar que: a) Se ai > 0, i = 1, 2, ..., n o sistema possui uma nica soluo. b) Se ai < 0, i = 1, 2, ..., n o sistema possui uma nica soluo. c) Se ai > 0, i = 1, 2, ..., n o sistema impossvel. d) Se ai < 0, i = 1, 2, ..., n o sistema impossvel. e) O sistema possui infinitas solues quaisquer que sejam os valores dos nmeros a1, ..., an dados. 70 - (FUVEST SP) Discutir o sistema de equaes: ax + by = 0 bx + ay = 0 x 2 + y 2 = a 2 + b 2 + 1 71 - (UnB DF) Sendo um nmero real qualquer, considere o sistema de equaes: x + y + 3z = 1 - m S : 2x y + z = 2 + m 3x + 2 y - mz = m Analise os itens a seguir: 00. O sistema S sempre possvel e determinado 01. O sistema S, sempre que possvel, tambm determinado 02. Se m = 0 ento a nica soluo de S tal que x = 10/22 03. Se m torna possvel uma soluo de de S, ento qualquer tal soluao satisfaz a equao 2y (4+m) z = m 3 04. Exixtema pelo menos 2 valores de m para os quais S impossvel 0 1 72 - (UFU MG) Considere a matriz A = 1 0 . Determine quantas solues tem o sistema linear x 0 A 2 + A 3 + A 222 + A 333 = . y 0

3a x 9 a y + 3z = 2 a a +1 a +1 3 x 5y + 9z = 2 a 1 a +1 x +3 y+3 z =1 possvel e determinado quando o nmero a diferente de:

1 ( 1 + log 2 5) . 2 1 b) log 2 3 e log 2 5 . 2 1 c) log 2 1 e log 2 3 . 2 1 ( 1 + log 2 1) e 1 ( 1 + log 2 3) . d) 2 2 1 e) log 3 1 e ( 1 + log 3 5) . 2a)

log 3 2 e

68 - (ITA SP) Sejam a, b, c, d nmeros reais no nulos que esto nesta ordem em progresso aritmtica. Sabendo que o sistema abaixo:

(

)

4.2 a .x + 2c.y = 2 .2 b 3 d b 3 .x + 9.3 .y = 81 possvel e indeterminado, podemos afirmar que a soma desta progresso aritmtica : a) 13 b) 16 c) 28 d) 30 e) n.d.a.

73 - (ITA SP) Considere o sistema Ax = b, em que 1 1 -2 3 A = 2 k 6 , b = 6 e k R . 0 - 1 3 k - 3 Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossvel e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema possvel e indeterminado, ento o valor de T S a) 4 b) 3 c) 0 d) 1 e) 49

Matemtica Ney

74 - (UFOP MG) Considerando que um sistema de equaes lineares homogneo 3x3, nas incgnitas x, y e z , com coeficientes reais, possvel e indeterminado, assinale a alternativa que no representa uma soluo geral desse sistema. a) {x = 2 t , y = t, z = 3t , t R } b) c) d)

t x = , y = t, z = t , t R 2 {x = 2t , y = t + 1, z = t , t R} {x = t , y = t, z = t , t R }

75 - (UFPR) Disponho de certa quantia para fazer compras. Para comprar um par de tnis, uma camisa e uma cala, faltaro R$ 30,00. Se eu comprar a cala e a camisa, sobraro R$ 90,00; e se eu comprar a cala e o par de tnis, sobraro R$ 10,00. Nessas condies, correto afirmar: 01. Se eu comprar s a cala, sobraro R$ 130,00. 02. Se eu comprar o par de tnis e a camisa, gastarei R$ 160,00. 03. O par de tnis custa R$ 110,00. 04. A camisa custa R$ 50,00. 76 - (FUVEST SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o nmero de irmos igual ao nmero de irms. Cada filha tem o nmero de irmos igual ao dobro do nmero de irms. Qual o total de filhos e filhas do casal? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 77 - (UnB DF) A distncia entre duas cidades, A e B, de 156 km. De A para B, a extenso das descidas e 0,7 vezes a extenso das subidas. Um ciclista pedala a 25 km/h, nas partes planas da estrada, a 15 km/h, nas subidas, e a 30 km/h, nas descidas. A diferena entre o tempo de ida e o tempo de volta do ciclista de 48 minutos. Calcule, em quilmetros, a extenso da parte plana do trajeto, desconsiderando a parte fracionria de seu resultado, caso exista. 78 - (UnB DF) Em uma corrida de motocross, os competidores devem seguir um percurso de um ponto A at um outro ponto B e, em seguida, retornar ao ponto A pela mesma trilha. Um dos motociclistas desenvolve uma velocidade constante de 12km/h em trechos de subida, 30km/h em trechos planos e 60km/h em trechos de descida. Um segundo motociclista desenvolve uma velocidade de 10km/h em trechos de subida, 40km/h em trechos planos e 80km/h em trechos de descida. O primeiro gasta 1h para ir de A at B e 1h e 10 min para ir de B at A, enquanto o segundo gasta 1h e 3min para ir de A at B. Calcule, em quilmetros, a distncia que, no sentido de A para B, corresponde ao trecho de subida. Despreze a parte fracionria de seu resultado, caso exista.

79 - (UERJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana: Loja Produto Preo/unid.(R$) Despesa(R$) 3,00 caneta 50,00 A lapiseira 5,00 caderno 4,00 B 44,00 corretor 2,00 Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, alm do maior nmero possvel de lapiseiras, o nmero de corretores comprados foi igual a: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 80 - (UERJ) Um comerciante gastou R$250,00, adquirindo as mercadorias A e B para revender. Observando a tabela abaixo, calculou e comprou o nmero de unidades de A e B para obter o lucro mximo.Mercadoria Preo por unidade(R$) de custo de vendamximo de unidades libe rado para o comerciante

A B

1,00 2,00

2,50 3,00

100 200

Com a venda de todas unidades compradas, o lucro mximo, em reais, foi: a) 225 b) 250 c) 275 d) 325 81 - (UFF RJ) Em um restaurante existem mesas de 3, 4 e 6 cadeiras, num total de 16 mesas.Ocupando todos os lugares nas mesas de 3 e 4 cadeiras, 36 pessoas ficam perfeitamente acomodadas. Sabendo-se que o restaurante acomoda, no mximo, 72 pessoas, quantas mesas de cada tipo existem? 82 - (UFF RJ) Um biscoito composto por acar, farinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade de farinha o dobro da quantidade de acar. Os preos por quilograma do acar, da farinha e da manteiga so, respectivamente, R$ 0,50, R$ 0,80 e R$ 5,00. O custo por quilograma de massa do biscoito, considerando apenas esses ingredientes, R$ 2,42. Calcule a quantidade, em gramas, de cada ingrediente presente em 1 kg de massa do biscoito. 83 - (UNICAMP SP) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-par. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-par, R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. Alm disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um tero da soma das outras duas.

10

Exerccios Complementares

a) Escreva o sistema linear que representa a situao descrita acima. b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata 84 - (UFV MG) Em uma urna vazia so colocadas 20 bolas nas cores vermelha e branca. Se acrescentssemos uma bola vermelha urna, o nmero de bolas brancas passaria a ser igual metade do nmero de bolas vermelha. Quantas bolas vermelhas e quantas bolas brancas existem na urna? 85 - (UNIFOR CE) Um grupo de amigos comprou um presente por R$ 6.300,00. Pretendiam dividir essa quantia entre si, em partes iguais. Como 2 membros do grupo no puderam cumprir o compromisso, cada um dos restantes teve sua parcela aumentada de R$ 360,00. O nmero de pessoas do grupo era, inicialmente, a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7 86 - (UNICAMP SP) O IBGE contratou um certo nmero de entrevistadores para realizar o recenseamento em uma cidade. Se cada um deles recenseasse 100 residncias, 60 delas no seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residncias foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas residncias tem a cidade? 87 - (INTEGRADO RJ) Num concurso, a prova de Matemtica apresentava 20 questes. Para cada questo responda corretamente, o candidato ganhava 3 pontos e, para cada questo respondida erradamente ou no respondida, perdia 1 ponto. Sabendo-se que para ser aprovado deveria totalizar, nessa prova, um mnimo de 28 pontos, o menor nmero de questes respondidas corretamente para que o candidato fosse aprovado era de: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 88 - (FGV ) Um galo custa 5 moedas; uma galinha, 3 moedas e 3 frangos custam 1 moeda. Com 100 moedas, compram-se 100 dessas aves. Quantos galos, galinhas e frangos so? Esse o problema chins do Cento de Aves, que foi enunciado pela primeira vez no livro Manual Matemtico, de Zhang Quijian, editado no sculo V. O problema ficou famoso e apareceu, mais tarde, em diversos textos matemticos na ndia, no mundo islmico e na Europa. a) Expresse o enunciado do problema chins mediante um sistema de equaes. b) D a soluo geral do sistema. c) Nessa poca, o zero no era considerado um nmero e, por isso, no entrava na soluo dos problemas. Ento, quais as provveis respostas que o matemtico chins deve ter encontrado para o problema do Cento de Aves?11

89 - (FUVEST SP) Considere o sistema de equaes lineares

x + y + z = 2m x y 2z = 2m 2x + y 2z = 3m + 5 a) Para cada valor de m, determine a soluo (xm, ym, zm) do sistema. b) Determine todos os valores de m, reais ou complexos, para os quais o produto xmymzm igual a 32. 90 - (ITA SP) Sejam a, b, c R* com a2 = b2 + c2. Se x, y e z satisfazem o sistema

c cos y + b cos z = a c cos x + a cos z = b ento cos x + cos y + cos z b cos x + a cos y = c igual a: a) c) e)

a b . c b+c . ab2 + c2 a

b) d)

a+b . c c+a b

91 - (ITA SP) Se (x, y, z, t) soluo do sistema

x y + 2z t = 0 3x + y + 3z + t = 0 qual das alternativas abaixo x y z 5t = 0 verdadeira? a) x + y + b) x + y + c) x + y + d) x + y + e) n.d.a. z z z z + + + + t t t t e e e e x tem o mesmo sinal. t tem o mesmo sinal. y tem o mesmo sinal. z tem sinais contrrios.

92 - (PUC RJ) Resolva o sistema

x + y - z = 0 . x - y + z = 0

Descreva geometricamente o seu conjunto de solues. 93 - (UFMA) Sendo (a, b, c) soluo do sistema

x y + 2Z = 1 tal que ab = 2c, ento um valor de y + 3Z = 5a : a) 3 d) 3 b) e) 4 4 c) 2

94 - (FUVEST SP) Joo, Maria e Antnia tinham, juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antnia passou a ter R$ 11.000,00 mais o dobro do novo capital de Joo. No ano seguinte, os trs reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antnia era igual soma dos novos capitais de Maria e Joo. Qual era o capital inicial de Joo?

Matemtica Ney

a) b) c) d) e)

R$ R$ R$ R$ R$

20.000,00 22.000,00 24.000,00 26.000,00 28.000,00

95 - (UNICAMP SP) Encontre o valor de a para que o sistema: x + 2yz=3 seja possvel. Para o valor

2x y+3z=a

7x +4y+3z=13

encontrado de a ache a soluo geral do sistema, isto , ache expresses que representem todas as solues do sistema. Explicite duas dessas solues. 96 (UNICAMP SP) Considere o sistema:

a) Mostre graficamente que esse sistema no tem soluo. Justifique. b) Para determinar uma soluo aproximada de um sistema linear Ax = b impossvel, utilizase o mtodo dos quadrados mnimos, que consiste em resolver o sistema ATAx = ATb. Usando esse mtodo, encontre uma soluo aproximada para o sistema dado acima. Lembre-se de que as linhas de MT (a transposta de uma matriz M) so iguais s colunas de M. 101 - (UFAC) Os nmeros reais positivos a e b, ambos diferentes de 1, solues do sistema de 1 b a = 16 equaes , quando multiplicados, tm log 1 a = b 2 como produto o nmero: a) 2 b) 4 1 c) 2 1 d) 4 e) 8 102 - (FGV ) a. Mostre que existem infinitas triplas ordenadas (x, y, z) de nmeros que satisfazem a equao matricial: 1 2 1 0 x 2 + y 0 + z 10 = 0 1 1 7 0 b) Resolva o sistema linear abaixo, nas incgnitas x e y, usando o conceito de matriz inversa: 2 x + y = a 5x + 3y = b Use o fato de que a inversa da matriz 2 1 3 1 1 A= A = 5 3 5 2 103 - (UFC CE) Sejam x e y os nmeros reais positivos que satisfazem o sistema de equaes:

1 x + 2 ( y + z) = p 1 y + ( x + z) = p 2 z + 1 ( x + y ) = p 2a) Mostre que se tal sistema tem soluo (x, y, z) com x, y e z inteiros, ento o parmetro p mltiplo inteiro de 17. b) Reciprocamente, mostre que se o parmetro p for mltiplo inteiro de 17, ento este sistema tem soluo (x, y, z) com x, y e z inteiros. x + y + z = 28 97 - (MACK SP) As solues do sistema 2x - y = 32 onde x > 0, y > 0 e z > 0 obedecem s seguintes restries: a) 2 < x < 8 e 2 < y < 8 b) 16 < x < 20 e 0 < y < 8 c) 10 < x < 20 e 2 < y < 10 d) 1 < x < 3 e 8 < y < 12 e) 7 < x < 15 e 9 < y < 11

98 - (FUVEST SP) So dados trs nmeros naturais a, b e c, com a < b < c. Sabese que o maior deles a soma dos outros dois e o menor um quarto do maior. Se a b + c = 30 ento o valor de a + b + c ser: a) 45 b) 60 c) 900 d) 120 e) 150 99 - (ITA SP) Sendo x, y, z e w nmeros reais, encontre o conjunto soluo do sistema log[(x + 2y)(w 3z)1] = 0, 2x+3z 8 . 2y3z+w = 0,3

log 3 x + log1 / 3 y = 3 + log3 2 . log3 x + log3 y = 3 + log 3 2 Assinale a alternativa na qual consta o valor numrico de x + y . a) 12 b) 18 c) 24 d) 30 e) 36

2 x + y + 6z 2 w 2 = 0

100 - (UNICAMP SP) Seja dado o sistema linear:

x 1 + 2x 2 = 2 2x1 - x 2 = 2 x + x = 2 2 1

12

Exerccios Complementares

Gabarito 01 a 02 x 2 03 a 04 e 2 05 111 0 06 , 0 1 b -1 0 1- b2 , 0 - 1 b - 1- b e

38 As matrizes de ordem 3 que so, simultaneamente, diagonais e ortogonais so da

39 a)

2 1 b b 07 a) b)

com - 1 b 1 . 1- b 2 1 ; b= a= 3 3 1 1 4 b2

08 a 09 b 10 CEC 11

1 20a 0 1 -1 +1 1 +1 ...(-1)0 =

12 a) 13 14 15 16 17

0, se n par 1, se n impar

40 41 42 43 44 45 46 47 48

1)Se B inversvel, ento existe B1, tal que B B1 = I . 2) Sendo AB = BA, temos: A = A A I = A A B B1 = A B A B1 = A B1 B A B1 = B1 A I A B1 = B1 A A B1 = B1 A b) A2 + 2AB B = 0 B = A2 + 2AB B = A (A + 2B) det B = det [A (A + 2B)] = det A det (A + 2B) 0, pois B inversvel. Se det A det (A + 2B) 0, ento det A 0 e, portanto, A inversvel. e 00-C; 01-E; 02-C. a 45 d zero c 00-F; 01-F; 02-V; 03-F bb 2n +2 1

a 0 0 forma 0 b 0 tais que a, b, c {1, 1} 0 0 c

b) n = 11 c a c a 1. (A + I) = (A + I).(A + I).(A + I) = (A + 2A + I).(A + I) = A + 3A + 2A + A + I = A + I , como A + 3A + 2A + A = 0, temos que: 0 + A + I = A + I, ou seja, A + I = A + I 0 1 -1 0 2. B = e o sistema C= e 0 - 1 0 - 1

49 D n =

apresentado admite soluo (x, y) (0, 0) 18 d 19 no h valores de k que solucionem o problema com o cdigo. 20 b 21 e 22 d 23 VFFVVF 24 c 25 a 26 DE 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

b2 1 50 Sendo A = (aij) uma matriz simtrica tem-se que aij = aij. Da condio I, obtm-se os elementos a12, a21, a23 e a32 cujos valores correspondem distncia dos pontos P e Q, interseces da parbola y = x2 2x + 1 com a reta y = x + 1 y = x 2 2x + 1 Resolvendo-se o sistema , obtemse y = x + 1 x = 0 ou x = 1. Para x = 0 encontra-se y = 1 e para x = 1 encontra-se y = 0, assim P(0,1) e Q(1,0) ou P(1,

0) e Q(0, 1) e a distncia entre P e Q Logo, a12 = a21= a23 = a32 =

2

2

53 d 05

1 1 A + I a inversa de A + I A2 1 k 1 k

Da condio II. obtm-se os elementos a13 e a31 cujos valores correspondem rea do tringulo PQR, sendo R o simtrico de Q em relao origem e portanto R(1, 0) se Q (1, 0) ou R (0, 1) se Q (0,1) A rea do tringulo PQR em qualquer caso igual a 1. Logo, a13 = a31 = 1. Da condio III, obtm-se os elementos da diagonal a11, a22 e a33. cujos valores correspondem ao valor mximo da funo quadrtica f(x) = 2x2 + 4x. A funo quadrtica tem valor mximo que ocorre 4 = 1 . Logo, o valor mximo f(1) = para x = 2( 2) 2 e a11 = a22 = a33 = 2.

VFFFF 14 c e VVFVFF d

13

Matemtica Ney

A

matriz

2 2 1 2 2 2 1 2 2

e

o

determinante

88 a) Sejam x o nmero de galos, y o nmero de galinhas e z o nmero de ternos de frangos comprados. Ento: 5 x + 3 y + 1 z = 100 5x + 3y + z = 100 x + y + 3z = 100 x + y + 3z = 100 E, b) c) supondo que a moeda no tenha subdivises, temos U = N 3 . 5x + 3y + z = 100 5x + 3y = 100 z x = 100 + 4z x + y + 3z = 100 x + y = 100 3z y = 200 7 z

2 2 151 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

2 2 2

1 2 =8+2+2244=2 2

a d e c EEEEC c d a e det(A2 + AB BA B2) = 27 d d d b1 0 0 0 0 0 2 ( 8a +1) 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 1 ( 8a 1) 12 0 0 0 0 2 1

89 90 91 92 93 94

4 galos; 18 galinhas; 3 . 26 = 78 frangos; 8 galos; 11 galinhas; 3 . 27 = 81 frangos; 12 galos; 4 galinhas; 3 . 28 = 84 frangos. a) (-m 1, m + 3, -2m 2); b) 1, -3 2i e 3 + 2i c c x = 0, y = z. O conjunto soluo a reta y = z no plano x = 0. b a

95 a = 2 Z / 7 Z, 7 + Z, Z

{

(5

5

)}

65 a)

x1 0 x 2 0 x3 0 ; x = 0 4 x5 0 x 0 6

b) a = 1 ou a = 31 ;8 8

96 a) A proposio falsa b) A proposio falsa 97 b 98 d 31 -8 5 99 V = + w ; ; ; w t.q.w R - {- 5} 3 3 3 100 a)

c) (1, -1/2, 0, 0, 0, 0) e e e e a = b = 0 SPI a = b 0 SPD a + b e a b SI 71 FVVVF 72 73 a 74 c 75 VVFF 76 e 77 46 78 08 79 b 80 a 81 4 mesas de 3 lugares 6 mesas de 4 lugares 6 mesas de 6 lugares 82 Acar 200g, Farinha 66 67 68 69 70

Cada equao pode ser representada por uma reta no plan b) x1 = 4/3, x2 = 4/3 101 c 1 2 1 0 102 a) x 2 + y 0 + z 10 = 0 1 1 7 0 x + 2 y z = 0 2 x 10z = 0 x + y + 7 z = 0 400g, Manteiga 400g Como no sistema pgina anterior, 1 2 1 linear homogneo da

83 a)

x + y + z = 0,5 5x + 68z = 17,25 (x + z) y= 3

D= 2

0 10 = 0 , conclui-se que o sistema 1 1 7

b) 250g de amendoim, 125g de castanha de caju e 125g de castanha-do-par. 84 13 vermelha e 7 brancas 85 e 86 3060 residncias 87 a

possvel e indeterminado e, portanto, infinitas triplas ordenadas (x, y, z) de nmeros satisfazem a equao matricial dada. b) V = {(3a b; 5a + 2b)} 103 c

14

IME ITA