Algebra Linear e Multilinear -...

Algebra Linear eMultilinear

Prof. Roldao da Rocha, CMCC/UFABC,

2015

http : //professor.ufabc.edu.br/~ roldao.rocha

E permitido o uso e a reproducao destas notas para fins exclusivamenteeducacionais, COM A AUTORIZACAO EXPLICITA DO AUTOR.

U ⊗ (V ⊗ (W ⊗X))ξ- (U ⊗ V )⊗ (W ⊗X)

ξ- ((U ⊗ V )⊗W )⊗X

=

U ⊗ ((V ⊗W )⊗X)

Id⊗ ξ

? ξ - (U ⊗ (V ⊗W ))⊗X

ξ ⊗ Id

6

i

Men wanted for hazardous journey. Low rages, bitter cold, long months of completedarkness, isolation and starvation, constant danger, safe return doubtful.1

Ernest Shackleton

Recovery is overrated. What counts in a battle is what you do when the pain sets in.

1Em 29 de dezembro de 1913, anuncio de um jornal britanico, convocando voluntarios para viagemao Polo Sul. Mais de cinco mil inscritos, dentre os quais tres mulheres.

Sumario

1 Corpos e Espacos Vetoriais 31.1 Corpos: definicoes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Os corpos Zp (p primo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Isomorfismo entre corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Outras estruturas algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1 Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2 Bases de um Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3 Transformacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.4 Bandeiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Espaco Dual e Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Nucleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8 Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9 Espacos Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9.1 Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Bibliografia 37

1

Capıtulo 1Corpos e Espacos Vetoriais

1.1 Corpos: definicoes fundamentais

Primeiramente apresentaremos o conceito de corpo utilizando uma notacao similarao que e usado usualmente no caso dos numeros inteiros — que nao e um corpo. Umcorpo K e um conjunto nao-vazio dotado de duas operacoes binarias “ + ” e “ · ”,denominadas adicao e multiplicacao, satisfazendo as seguintes propriedades1:

1. A operacao de soma tem as seguintes propriedades:(a) Comutatividade: para todos a, b ∈ K, a+ b = b+ a.(b) Associatividade: para todos a, b, c ∈ K, vale a+ (b+ c) = (a+ b) + c.(c) Elemento neutro: existe um elemento z ∈ K, chamado de elemento nulo, ou zero,tal que a+ z = a = z + a para todo a ∈ K.(d) Inversa: para cada a ∈ K existe um elemento denotado por b com a propriedadea + b = z. Esse elemento e mais comumente denotado por −a em alguns casos, porexemplo, quando K = R.

2. A operacao de produto tem as seguintes propriedades:(a) Comutatividade: para todos a, b ∈ K vale a · b = b · a1A notacao ( · ) e comumente usada para produto escalar, e aqui enquanto possıvel tentaremos denotar

o produto no corpo por justaposicao.

3

4 1. CORPOS E ESPACOS VETORIAIS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015

(b) Associatividade: para todos a, b, c ∈ K vale a · (b · c) = (a · b) · c(c) Elemento neutro: existe um elemento e ∈ K, chamado de unidade, tal que a · e =a = e · a para todo a ∈ K.(d) Inversa: para cada a ∈ K, a 6= z, existe um elemento denotado por b∗ com apropriedade a · b∗ = e. Esse elemento no caso onde K = R e mais comumente denotadopor a−1.

3. Distributividade: o produto e distributivo em relacao a adicao: para todos a, b, c ∈ Kvale a · (b+ c) = a · b+ a · c.

4. Se a · b = z, entao a = z ou b = z.

Alguns autores consideram conveniente incluir tambem a hipotese de que o elementoneutro e o elemento nulo sao distintos, e 6= z, pois de outra forma terıamos K = {z}(prove!), uma situacao trivial.

Obs. 1: Um grupo e um conjunto nao-vazio G munido de uma operacao binaria◦ : G×G→ G, denominada produto, com as seguintes propriedades:

(a) Elemento neutro: existe um elemento e∗ ∈ G, denominado elemento neutro, talque g ◦ e∗ = e∗ ◦ g = g para todo g ∈ G.(b) Elemento inverso: existe uma operacao G → G (g 7→ g−1) bijetiva denominadainversa, tal que g ◦ g−1 = e∗ = g−1 ◦ g, para todo g ∈ G.(c) Associatividade: para todos a, b, c ∈ G vale (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

Quando uma das tres propriedades acima que definem um grupo nao e satisfeita, temosoutras estruturas algebricas. Quando somente (a) e (b) valem, dizemos que G e umgrupoide. Quando somente a propriedade (c) e satisfeita, G e dito ser um semigrupo(alguns autores adicionam a condicao (a) neste caso). Quando somente (a) and (c) saovalidas G e dito ser um monoide. Um monoide e portanto um semigrupo com unidadee um grupoide e um grupo nao associativo. Note-se que corpos sao grupos comutativosem relacao a operacao de soma e monoides comutativos em relacao a operacao deproduto.

A distributividade e a unica propriedade listada acima que relaciona as operacoesde soma e produto. Os elementos de um corpo sao comumente denominados escalares.Por motivos estruturais, e importante enfatizar que um corpo depende da definicao doconjunto K e das operacoes binarias + e · nele definidas, e muitas vezes nos referiremosa um corpo como sendo uma tripla (K, +, ·). E frequente omitir-se o sımbolo “·” deproduto por escalares quando nao houver confusao.

Em um corpo K sempre vale a · z = z para todo a ∈ K. De fato, como z = z + z(Prove!), segue que a · z = a · (z + z) = a · z + a · z. Somando-se a ambos os lados oelemento inverso (−a · z), teremos a · z + (−a · z) = a · z + a · z + (−a · z), ou seja,z = a · z + z = a · z, como querıamos provar. Pela comutatividade do produto valetambem z · a = z para todo a ∈ K.

� Exercıcio 1: Mostre que o elemento neutro da adicao e unico, e que a identidademultiplicativa tambem e unica. �

1.2. OS CORPOS ZP (P PRIMO) — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 5

� Exercıcio 2: Verifique que Q, R e C sao corpos em relacao as operacoes usuaisde soma e produto. O conjunto das matrizes n×n para qualquer n ≥ 2 com o produtousual de matrizes e um corpo?�

� Exercıcio 3: Mostre que R[√

2] := {a + b√

2 | a, b ∈ R} nao e um corpo e que

Q[√

2] := {a+ b√

2 | a, b ∈ Q} e um corpo.�

1.2 Os corpos Zp (p primo)

Uma relacao de equivalenciaR definida em um conjuntoX e uma relacao (i) reflexiva,(ii) simetrica e (iii) transitiva, respectivamente (i) xRx, (ii) se xRy entao yRx, e (iii)se xRy e yRz entao xRz, ∀x, y, z ∈ X. O conjunto de todos os elementos equivalentesa x constituem a classe de equivalencia de x, denotada por [x] = {y ∈ X | yRx}. Oconjunto dessas classes de equivalencia e denotado por X = X/R = {[x] |x ∈ X}, edenominado espaco quociente. Uma notacao muita utilizada para xRy e x ∼ y. Umelemento x ∈ [x] ou qualquer outro elemento em [x] e denominado representante de[x].

Tais classes de equivalencia sao disjuntas, no sentido de que [x] ∩ [y] = ∅. Mostra-remos que se [x] ∩ [y] 6= ∅, entao [x] = [y]. Supondo entao que [x] ∩ [y] 6= ∅, existec ∈ [x] ∩ [y], e em particular c ∼ x e c ∼ y. Por transitividade, x ∼ y. Agora mos-traremos que [x] ⊂ [y]. Tomando um elemento arbitrario x1 ∈ [x] temos que x1 ∼ x,e como x ∼ y, entao y ∼ x1, isto e, x1 ∈ [y], e portanto, [x] ⊂ [y]. Analogamentepodemos mostrar que [y] ⊂ [x], e portanto [x] = [y].

B Exemplo 1: Para n ∈ N, no conjunto dos inteiros Z podemos definir a seguinterelacao de equivalencia: a ∼ b ⇔ a − b = kn, k ∈ {0,±1,±2, . . .} ou seja, os inteirosa e b sao considerados equivalentes se diferirem por um multiplo de n. A classe deequivalencia de a consiste portanto no conjunto

[a] = {c ∈ Z | c = a+ kn} = {a, a± n, a± 2n, a± 3n, . . .}.

O conjunto das classes de equivalencia de Z modulo ∼ e o conjunto Zn = Z/∼, oconjunto dos inteiros modulo n. Outra notacao tambem utilizada e Z/nZ. Lembramosque, se a, b ∈ Z, dizemos que a e congruente a b modulo n — e denotamos a ≡ b(mod n) — se n| (a − b). Podemos ainda mostrar que nesse caso, a ≡ b mod n se esomente se existir um inteiro k tal que a = b+ kn.

Portanto definimos o conjunto das classes de equivalencia a partir da relacao a ∼ b⇔ a = b mod n. C

� Exercıcio 4: Prove que a ∼ b definida por a ≡ b mod n e uma relacao deequivalencia �

� Exercıcio 5: Dado (a, b) ∈ Z×Z\{0}, com a, b ∈ Z, defina a relacao R em Z×Zpor (a, b)R(c, d) se, e somente se ad = cb. Mostre que R e uma relacao de equivalencia

�


Denotamos tambem o conjunto Zn = {[0], [1], . . . , [n − 1]}, com n ∈ N, n ≥ 2,com a soma definida por [a] u [b] ≡ [(a + b) (mod n)] = [a + b], para [a], [b] ∈ Zn.Podemos tambem considerar em Zn uma operacao de produto, definida por [a] • [b] ≡ab (mod n) = [ab].

I Teorema 1: Se o conjunto Zn e um corpo com as operacoes acima definidas, entaon e um numero primo. J

Demonstracao: As operacoes de soma e produto definidas acima sao comutativas,associativas e distributivas (justifique!). Sempre vale que [−a] = [n − a], ∀[a] ∈ Zn,o que implica na existencia de um inverso aditivo. Resta-nos estudar a existencia deelementos inversos [a]−1. Vamos supor que Zn seja um corpo. Entao [a] ∈ {[2], . . . , [n−1]} tem uma inversa em Zn, ou seja, um numero [b] ∈ {[1], . . . , [n−1]} tal que [a]• [b] =1. Lembrando a definicao de produto em Zn, isso significa que existe um inteiro k talque ab = kn+1. Mas isso implica b− 1

a = k na . Como o lado esquerdo nao e um numerointeiro, o lado direito tambem nao pode ser. Portanto n/a nao pode ser inteiro paranenhum a ∈ {2, . . . , n − 1}, ou seja, n nao tem divisores, sendo portanto um numeroprimo o

Os conjuntos Zn tem profundas aplicacoes em teoria de codigos e e relevante tambemem outras areas de Algebra e Geometria.

B Exemplo 2: Tome por exemplo n = 7. Neste caso, [4]u [6] = [10] = [3], enquantoque [6] • [6] = [6 · 6] = [36] = [1]. As tabelas de soma e produto em Z7 sao dadas por

u [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6][1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0][2] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1][3] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2][4] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [3][5] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [4][6] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5]

• [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6][2] [0] [2] [4] [6] [1] [3] [5][3] [0] [3] [6] [2] [5] [1] [4][4] [0] [4] [1] [5] [2] [6] [3][5] [0] [5] [3] [1] [6] [4] [2][6] [0] [6] [5] [4] [3] [2] [1]

Os valores de [a]u [b] e [a] • [b] para Z7 sao exibidos na intersecao da [a]-esima linha[b]-esima coluna, na tabela apropriada. C

� Exercıcio 6:

1.3. ISOMORFISMO ENTRE CORPOS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 7

a) Quais sao os elementos invertıveis de Z10 com respeito a adicao e a multiplicacaoinduzidas?

b) Mostre que Z e Z6 nao sao corpos.

c) Faca a tabela multiplicativa de Z6, Z8 e Z9, identificando quais sao os respectivoselementos inversıveis de tais conjuntos

�

I Proposicao 1: As operacoes u e • estao bem definidas em Zn J

Demonstracao: Provaremos que tais operacoes independem da escolha de repre-sentantes nas classes de equivalencia. Dados a, b, c, d ∈ Z, suponha que [a] = [c] e[b] = [d] em Zn. Entao a = c+ un e b = d+ vn, para u, v ∈ Z apropriados. Assim,

[a+ b] = [c+ un+ d+ vn] = [c+ d+ (u+ v)n]

= [c+ d] + [(u+ v)n] = [c+ d] + [0] = [c+ d]

[a · b] = [(c+ un) · (d+ vn)]

= [c · d+ (c · v + u · d+ u · n · v) · n] = [c · d]

o

1.3 Isomorfismo entre corpos

Dois corpos (K1,u, ◦) e (K2,+, ·) sao ditos serem isomorfos se existir uma aplicacaobijetiva φ : K1 → K2 que preserve as operacoes algebricas de K1 e K2, ou seja, talque φ(a u b) = φ(a) + φ(b), φ(a ◦ b) = φ(a) · φ(b). Podemos provar que φ(1K1

) = 1K2

e φ(0K1) = 0K2

. Acima, 1Kje 0Kj

sao a unidade multiplicativa e o elemento nulo,respectivamente, de Kj , j = 1, 2.

� Exercıcio 7: Prove que φ(−a) = −φ(a) para todo a ∈ K1 e que φ(a−1) = (φ(a))−1

para todo a ∈ K1, a 6= 0K1�

� Exercıcio 8: Considere o conjunto de todas as matrizes reais da forma(a −bb a

),

com a, b ∈ R. Mostre que esse conjunto e um corpo em relacao as operacoes usuais desoma e produto de matrizes. Mostre que esse corpo e isomorfo ao corpo dos numeroscomplexos C, atraves da aplicacao

Θ : C → M(2,R)

(a+ ib) 7→(a −bb a

)(1.1)

�


Considere agora um corpo K com unidade. De acordo com a definicao dada paraum corpo, todo corpo possui unidade. Para um numero natural n, definimos n · 1 =n vezes︷︸︸︷

1 + · · ·+ 1. Define-se a caracterıstica de K — e denotamos por char(K) — como sendoo menor numero natural nao-nulo n tal que n · 1 = 0. Se um tal numero nao existir,dizemos que o corpo tem caracterıstica zero.

� Exercıcio 9: Prove que Q,R,C tem caracterıstica zero, e prove que Zp, com p

primo, tem caracterıstica p �

� Exercıcio 10: Prove que quando char(K) 6= 0, entao char(K) e sempre um numero

primo �

� Exercıcio 11: Prove que quando char(K) = p, entao para quaisquer a, b ∈ Ktemos que (a+ b)p = ap + bp. �

� Exercıcio 12: Sejam a, b ∈ K. Quais das seguintes relacoes sao necessariamenteverdadeiras? Prove ou justifique.

1. 0.a = 0

2. (−1) · a = −a

3. (−a) · (−b) = a · b

4. 1 + 1 6= 0

5. Se a 6= 0 e b 6= 0 entao a · b 6= 0

�

� Exercıcio 13: Dado um isomorfismo de corpos φ : (K1,u, ∗)→ (K2,+, ·), mostreque

1. φ(0K1) = 0K2

2. Se 1K1 denota a identidade de K1, entao a identidade em K2 e dada por φ(1K1).

3. φ(an) = (φ(a))n

4. φ−1 : K2 → K1 existe e tambem e isomorfismo.

5. Se (K3,�,�) e um corpo, e se ψ : (K2,+, ·) → (K3,�,�) e isomorfismo, entaoψ ◦ φ : (K1,u, ∗)→ (K3,�,�) e tambem um isomorfismo

�

1.4. OUTRAS ESTRUTURAS ALGEBRICAS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 9

1.4 Outras estruturas algebricas

Considere elementos a, b, c de um conjunto S, e as seguintes propriedades:

A1) a+ b = b+ a

A2) (a+ b) + c = a+ (b+ c)

A3) ∃z ∈ S tal que z + a = a+ z = a

A4) para cada a ∈ S, ∃a∗ ∈ S tal que a+ a∗ = a∗ + a = z

M1) a · b = b · a

M2) (a · b) · c = a · (b · c)

M3) ∃e ∈ S tal que e · a = a · e = a

M4) para cada a ∈ S tal que a 6= z, ∃a′ ∈ S tal que a · a′ = a′ · a = e

D) a · (b+ c) = a · b+ a · c e (a+ b) · c = a · c+ b · c

Z) Se a · b = z entao a = z ou b = z (ou ambos).

Usamos as palavras zero e identidade para descrever os elementos z e e respectiva-mente. Qualquer elemento a ∈ S (incluindo a = z) para o qual existe b 6= 0 talque a · b = z e chamado de divisor de zero. Substituımos as notacoes 0, 1,−a, a−1respectivamente por z, e, a∗, a′ para evitarmos atribuir mnemonicamente algumas pro-priedades que decorrem das definicoes, mas que nao sao axiomas, e portanto devemser provadas. A seguinte tabela ilustra as diversas estruturas algebricas advindas doconjunto S equipado com as operacoes binarias “+” e “·” :

A1 A2 A3 A4 M2 D M1 M3 M4 Z 〈S,+, ·〉• • • • • • − − − − anel• • • • • • • − − − a.c.• • • • • • − • − − a.u.• • • • • • − − − • a.c.u.s.d.z• • • • • • • • − − a.c.u.• • • • • • • − − • a.c.s.d.z.• • • • • • − • − • a.u.s.d.z.• • • • • • • • − • a.i.• • • • • • − • • • a.d.• • • • • • • • • • corpo

Tabela 1.1: usamos na ultima coluna a notacao: anel comutativo: a.c.; anel com unidade:

a.u.; anel com unidade sem divisores de zero: a.c.u.s.d.z; anel comutativo com unidade: a.c.u.;

anel comutativo sem divisores de zero: a.c.s.d.; anel unital sem divisores de zero: a.u.s.d.z;

anel de integridade: a.i.; anel de divisao: a.d.

Um exemplo de anel bastante utilizado e o anel dos polinomios.


� Exercıcio 14: Prove que as propriedades M4 e Z nao sao satisfeitas para Znquando n e um inteiro composto. Prove que todas as outras propriedades sao satisfeitas�

I Teorema 2: Seja p um inteiro positivo primo. Entao Zp satisfaz as propriedadesM4 e Z J

Demonstracao: a) Suponha que [a] ∈ Zp, [a] 6= [0] e denotemos o produto emZp por •. Entao p - a (isso denota que p nao divide a) em Z, e portanto o maximodivisor comum (m.d.c.) entre p e a, denotado por (p, a) satisfaz (p, a)=1. Portanto,existem r, s ∈ Z tais que rp + sa = 1. Entao [1]=[rp + sa] = [sa] = [s] • [a]. Logo[s]•[a] = [a]•[s] = 1, e segue-se que Zp satisfaz M4.b) Agora suponha que [b], [c] ∈ Zp tais que [b]•[c] = 0. Ou [b] = [0] e nao ha mais nadaa se provar, ou [b] 6= [0]. Pela parte a) da demonstracao, entao existe [t] ∈ Zp tal que[t]•[b] = [1]. Entao, [0] = [t]•[0] = [t]•([b]•[c]) = ([t]•[b])•[c] = [1]•[c] = [c]. Portantoquando assumimos que [b]•[c] = [0] concluımos ou que [b] = [0] ou que [c] = [0], eportanto a propriedade Z e satisfeita para Zp o

1.5 Espacos Vetoriais

Um espaco vetorial V sobre um corpo K e um conjunto de elementos chamadosvetores, munido de uma operacao aditiva +: V × V → V , denominada soma vetorial,e tambem de um produto por escalares . : K×V → V com as seguintes propriedades:

1) A cada par u, v de vetores em V , e associado um elemento u+v ∈ V , denominadosoma de u e v, com as seguintes propriedades:(a) A soma e comutativa: u+ v = v + u para todos u, v ∈ V .(b) A soma e associativa: u+ (v + w) = (u+ v) + w para todos u, v, w ∈ V .(c) Existe um vetor denotado por 0, denominado vetor nulo, tal que u + 0 = u paratodo u ∈ V .(d) A cada u ∈ V existe associado um unico vetor denotado por (−u) tal que u+(−u) =0.

2) A cada par a ∈ K, u ∈ V existe associado um vetor denotado por au ∈ V ,denominado produto de u por a, de forma que(a) O produto por escalares e associativo: a.(b.u) = (ab).u, para todos a, b ∈ K eu ∈ V , onde ab e o produto de a por b em K.(b) 1.u = u para todo u ∈ V , onde 1 denota a unidade de K.(c) O produto por escalares e distributivo em relacao a soma de vetores: a.(u + v) =a.u+ a.v, para todo a ∈ K e todos u, v ∈ V .(d) O produto por escalares e distributivo em relacao a soma de escalares: (a+ b).u =a.u+ b.u, para todos a, b ∈ K e todo u ∈ V .

� Exercıcio 15: Prove que os espacos vetoriais sao grupos comutativos em relacaoa operacao de soma �

1.5. ESPACOS VETORIAIS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 11

Os elementos de um corpo sobre os quais um espaco vetorial se constitui sao fre-quentemente denominados escalares. Usamos o sımbolo “+”tanto para a operacao deadicao do corpo K quanto para a operacao de adicao do espaco vetorial V , ainda que setrate de operacoes distintas. Igualmente usamos o mesmo sımbolo “0” para designaro vetor nulo de V e “0” para denotar o elemento nulo de K.

� Exercıcio 16: Mostre que usando os postulados acima, que 0.u = 0 para todou ∈ V , onde, o elemento “0” do lado esquerdo representa o zero do corpo K e o do ladodireito o vetor nulo de V . Em seguida, prove que para todo a ∈ K e todo u ∈ V vale(−a).u = −(a.u), sendo que −a denota a inversa aditiva de a em K e −(a.u) denota a

inversa aditiva de a.u ∈ V �� Exercıcio 17: Prove que:

1. Se K e um corpo, entao K e um espaco vetorial sobre K com as mesmas operacoesde soma e produto definidas em K.

2. Se K e um corpo e L e um subcorpo de K (ou seja, um subconjunto de K quee por si so um corpo com as operacoes definidas em K), entao K e um espacovetorial sobre L.

3. Se K e um corpo, o produto cartesiano Kn = {(k1, . . . , kn) | kj ∈ K, j = 1, . . . , n}e um espaco vetorial sobre K com a operacao de soma definida por (k1, . . . , kn)+(l1, . . . , ln) = (k1 + l1, . . . , kn + ln) e o produto por escalares por a.(k1, . . . , kn) =(ak1, . . . , akn) para todo a ∈ K. O vetor nulo e o vetor (0, . . . , 0).

4. O conjunto Mm×n(K), de todas as matrizes m × n cujos elementos de matrizpertencem a K, e um espaco vetorial sobre K, com a soma sendo a soma usualde matrizes e o produto por escalares sendo o produto usual de matrizes pornumeros escalares. O vetor nulo e a matriz com todas as entradas nulas

�

� Exercıcio 18: Determine se os seguintes conjuntos sao espacos vetoriais:

1. K = C, V = C, com soma usual, e multiplicacao definida por a•v = a2 v, paraquaisquer v ∈ V e a ∈ K.

2. K = C, V = C, com soma usual, e multiplicacao definida por a•v = (Re a) v,∀v ∈ V e a ∈ K

3. O conjunto de todas as funcoes pares.

4. O conjunto de todas as funcoes ımpares.

�

� Exercıcio 19: Considere o conjunto R com a operacao de soma usual, um corpoZp, com p primo e o produto Zp × R → R, a ∈ Zp e x ∈ R dado pelo produto usual

em R. Essa estrutura define um espaco vetorial? Justifique �


1.5.1 Subespacos Vetoriais

Um subconjunto U 6= ∅ de um espaco vetorial V e dito ser um subespaco vetorialde V se dados a ∈ K e u, v ∈ U , au + v ∈ U . Subespacos vetoriais sao, nestesentido, fechados com relacao a combinacoes lineares. Adicionalmente, o conjunto {0}e elemento de todo subespaco de V . De fato, se U for subespaco vetorial de V , entaosendo w e um elemento arbitrario de U , entao 0.w ∈ U , e ja que 0.w = 0, entao 0 ∈ Upara todo U ⊂ V . Alem disso, quando em particular a = 1, entao u+ v ∈ U .

� Exercıcio 20: Considere V = C3 e os seguintes conjuntos U ⊆ V consistindo dosvetores de componentes (a, b, c), onde a, b, c ∈ C tais que

1. a = 0

2. b = 0

3. a+ b = 1

4. a+ b = 0

5. Re a+ Re b ≥ 0 (aqui Re a denota a parte real de a)

6. a ∈ R

Em quais desses casos U e subespaco vetorial de V ? �

B Exemplo 3: Considere V o espaco vetorial P(R) dos polinomios de grau n comcoeficientes reais, e Ui ⊆ V (i = 1, 2, 3, 4) consistindo dos polinomios p(t) sobre umcorpo K que satisfazem a propriedade i:

1. possuem grau tres.

2. 2p(0) = p(1).

3. p(t) ≥ 0 sempre que 0 ≤ t ≤ 1.

4. p(t) = p(1− t),∀t ∈ R.

Queremos determinar em quais desses casos U e subespaco vetorial de V e para tantoiremos analisar cada caso em separado:

1. O espaco dos polinomios que possuem grau tres nao constitui um subespacovetorial de V . De fato, adicionando ou subtraindo dois polinomios de grau trespode resultar em um polinomio de grau menor. Por exemplo, se f(x) = x3 − 3xe g(x) = x3, entao f(x) − g(x) = 3x e o grau de (g − f) e igual a um. Umaobservacao mais imediata e que o polinomio identicamente nulo nao pertence aU e portanto U nao e um subespaco de V .

2. Aqui U e subespaco vetorial de P(R). Com efeito, p(t) ≡ 0 satisfaz a definicao2p(0) = p(1). Alem disso, se p, q ∈ P(R) sao tais que 2p(0) = p(1) e 2q(0) = q(1),entao para a ∈ R temos 2(ap+q)(0) = 2ap(0)+2q(0) = ap(1)+q(1) = (ap+q)(1).


3. p(t) ≥ 0 sempre que 0 ≤ t ≤ 1. Neste caso U nao e um subespaco vetorial deV pois o inverso aditivo de uma funcao que e nao negativa e nao positiva. Porexemplo se q(x) = x2, entao q ∈ U mas −q /∈ U .

4. p(t) = p(1 − t),∀t ∈ R. Aqui U e subespaco vetorial de P(R), pois o polinomioidenticamente nulo satisfaz a condicao p(t) = p(1 − t) Dado outro polinomioq ∈ P(R), entao (ap+ q)(t) = ap(t) + q(t) = ap(1− t) + q(1− t) = (ap+ q)(1− t).

C

� Exercıcio 21: Prove que a intersecao de subespacos vetoriais e um subespacovetorial �

� Exercıcio 22: Prove que os unicos subespacos de R, sao o proprio R e o subspaconulo. Mostre que todos os subespacos de R2 sao o proprio R2, o subespaco nulo ou ossubespacos consistindo dos conjuntos dos multiplos de um vetor fixo em R2 centradona origem (retas que passam pela origem) �

1.5.2 Bases de um Espaco Vetorial

Seja V um espaco vetorial sobre um corpo K. Um conjunto finito {v1, . . . , vn} ⊂ Vde vetores e dito ser linearmente dependente (LD) se existir um conjunto de escalares{a1, . . . , an} ⊂ K, nem todos nulos, tais que a1v1 + · · · + anvn = 0. Um conjuntoarbitrario de vetores e dito ser linearmente independente (LI) se nao possuir nenhumsubconjunto finito que seja linearmente dependente.

Para um conjunto finito de vetores {v1, . . . , vn} ⊂ V e de escalares {a1, . . . , an} ⊂ K,uma expressao como a1v1 + · · · + anvn e dita ser uma combinacao linear dos vetoresvi.

Considerando agora um conjunto de vetores U ⊆ V , o espaco gerado por U e deno-tado por 〈U〉 e o conjunto de todos os vetores de V que podem ser escritos como umacombinacao linear finita de elementos de U .

Denotando um conjunto arbitrario nao-vazio de ındices por J , uma base em umespaco vetorial V e um conjunto A = {vi | i ∈ J} de vetores linearmente indepen-dentes que geram V (qualquer vetor v ∈ V pode ser escrito de modo unico como umacombinacao linear de elementos de A). Um espaco vetorial e dito ser de dimensaofinita se possuir uma base finita, neste caso sendo sua dimensao e definida como sendoo numero de elementos de sua base.

B Exemplo 4: V = Cn sobre C e V = Rn sobre R sao ambos espacos vetoriais dedimensao finita n, enquanto que V = Cn sobre R e espaco vetorial de dimensao finita2n. Isso mostra a dependencia da dimensao com o corpo utilizado. Esse conceito serabastante utilizado quando falarmos de produto tensorial C

� Exercıcio 23: Em um corpo finito Zp, p primo, calcule o numero de subespacos

vetoriais de dimensao j em um Zp-espaco vetorial (Zp)n �


� Exercıcio 24: Dois conjuntos disjuntos de R2 podem gerar o mesmo espacovetorial? Qual e em R3 o espaco gerado pelo conjunto{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)}? �

B Exemplo 5: V = R sobre o corpo dos reais. O conjunto dos reais sobre o corpodos reais e um espaco vetorial unidimensional, pois qualquer elemento v ∈ R pode serescrito como v = v.1, onde {1} e o unico elemento da base de R. Ao considerarmosV = R sobre o corpo Q dos racionais, tal espaco vetorial nao possui dimensao finita,pois nao existe um conjunto finito {x1, . . . , xm} de numeros reais tais que todo x ∈ Rpossa ser escrito como x = q1x1 + · · · + qmxm, onde qi ∈ Q. Como Q e um conjuntocontavel, a colecao de numeros que podem ser escritos como o lado direito e uma colecaocontavel e tem a mesma cardinalidade de Qm, porem o conjunto R nao e contavel C

� Exercıcio 25: Verifique se P2(R) tem como base os vetores u1(t) = 1 + t, u2(t) =

t+ 2t2 e u3(t) = 1− t2. �

I Teorema 3: Se em um espaco vetorial V existir um conjunto {vi} de n vetoreslinearmente independentes, entao a dimensao de V e maior ou igual a n J

Demonstracao: Suponhamos por absurdo que exista uma base B = {u1, . . . , uk}em V com k < n. Entao podemos escrever v1 = a1u1 + · · ·+ akuk pois B e uma basee pelo menos ak 6= 0, portanto

uk = (ak)−1(v1 − a1u1 − · · · − ak−1uk−1) (1.2)

Analogamente temos que v2 = b1u1 + · · ·+ bkuk e usando a Eq.(1.2) escrevemos v2 =c1u1+ · · ·+ck−1uk−1+d1v1. Os ci nao podem ser todos nulos, senao v2 = d1v1, contra-riando a hipotese de que os {vi} sao LI. Suponhamos que ck−1 seja o elemento nao-nulo,podemos escrever uk−1 como uma combinacao linear envolvendo {u1, . . . , uk−2} e osvetores v1 e v2. Apos k passos provamos que vk+1 = α1v1 + · · · + αkvk, contrariandoa hipotese de que os vi sao LI. o

� Exercıcio 26: Se K e um corpo com p elementos, quantas bases existem em Kn?�

Vimos que o espaco V tem dimensao finita se ele possui uma base finita. Duas basesquaisquer de V tem o mesmo numero (finito) de elementos.

� Exercıcio 27: Prove as seguintes afirmacoes:a) O conjunto de vetores {e1, . . . , en} e LD se e somente se pelo menos um dos vetoresej for combinacao linear dos outros.b) Se o conjunto {e1, . . . , en} e LI e o conjunto {e1, . . . , en, en+1} e LD, entao en+1 e

combinacao linear de e1, . . . , en �

� Exercıcio 28: Considere Kn−1[x] o espaco dos polinomios na variavel x que temgrau menor ou igual a n− 1, com coeficientes em um corpo K. Verifique que:a) O conjunto {1, x, . . . , xn−1} forma uma base de Kn−1[x], e tambem que as coorde-nadas de um polinomio f ∈ Kn−1[x] em tal base sao seus coeficientes.


b) O conjunto S = {1, x− a, (x− a)2, . . . , (x− a)n−1} forma uma base de Kn−1[x]. Sechar(K)= p > n, entao os coeficientes de um polinomio f sao elementos do conjunto

{f(a), f ′(a), . . . , f(n−1)(a)(n−1)! }, em relacao a base ordenada S.

c) Sejam a1, . . . , an ∈ K elementos distintos dois a dois. Seja gi(x) =∏i 6=j(x−aj)(ai−

aj)−1. Os polinomios g1(x), . . . , gn(x) formam uma base de Kn−1[x] — denominada

base de interpolacao — e as coordenadas do polinomio f nessa base e {f(a1), . . . , f(an)}�

Obs. 2: Dado U = {e1, . . . , en} um conjunto finito de vetores em V , e W ={ei1 , . . . , eim} um conjunto LI de U , dizemos que W e maximal se cada elemento de Upuder ser escrito como uma combinacao linear dos elementos de W

I Proposicao 2: Qualquer conjunto {e1, . . . , en} ⊂ S maximal LI e uma base doespaco gerado 〈S〉 de S J

Demonstracao: Mostraremos que qualquer vetor em 〈S〉 pode ser escrito como umacombinacao linear dos vetores e1, e2, . . . , ek. Por definicao, qualquer vetor em 〈S〉 podeser expresso como uma combinacao linear de vetores em S. Qualquer vetor v ∈ S podeser expresso com uma combinacao linear de e1, e2, . . . , ek. Para v ∈ {e1, . . . , en} ⊂ S,isso e obvio. Para v /∈ {e1, . . . , en}, sabemos que um vetor v pode ser expresso comoqualquer combinacao linear de e1, . . . , en se, e somente se v, e1, . . . , en sao LD. Portantosegue o enunciado o

Aplicando as consideracoes do Lema anterior a S = V , obtemos o

I Teorema 4: Qualquer conjunto de vetores LI em V pode ser completado a umabase J

Em particular, qualquer 0 6= v ∈ V esta contido em alguma base de V , e qualquerconjunto de n vetores LI em um espaco vetorial V n-dimensional forma uma base deV .

I Teorema 5: Qualquer subespaco vetorial U de um espaco vetorial de dimensaofinita V tambem possui dimensao finita, e dim U ≤ dim V. Alem disso, se U 6= V ,entao dim U < dim V J

Demonstracao: Seja {e1, . . . , ek} um sistema maximal de vetores LI em U .{e1, . . . , ek} e uma base de U e dim U = k. O conjunto LI {e1, . . . , ek} pode sercompletado a uma base de V , e se U 6= V , entao dim V > k o

� Exercıcio 29: Dados U,W subespacos vetoriais de V , para quais espacos vetoriaisV temos valida a propriedade V ∩ (U +W ) = V ∩ U + V ∩W? �

� Exercıcio 30: Prove que se U e um subespaco de V e dim U = dim V < ∞,entao U = V �


1.5.3 Transformacoes Lineares

Considere U e V espacos vetoriais sobre um corpo K. Uma aplicacao φ : U → V edito ser linear se ∀u, v ∈ U , a ∈ K, tivermos φ(au) = aφ(u) e φ(u+ v) = φ(u) + φ(v).Uma aplicacao linear e um homomorfismo de grupos aditivos. Com efeito, φ(0) =φ(0.0) = 0.φ(0) = 0 e φ(−u) = φ((−1).u) = −φ(u). Denotamos por Hom(U, V ) oconjunto dos homomorfismos entre U e V .

� Exercıcio 31: Mostre que as aplicacoes de homotetia f : V → V , definidos porf(u) = a.u,∀a ∈ K, u ∈ V , sao transformacoes lineares �

Dizemos que dois K-espacos vetoriais U, V sao isomorfos se o homomorfismo φ :U → V for uma aplicacao bijetiva. A aplicacao φ e denominada isomorfismo entre Ue V .

Se {e1, e2, . . . , en} e {f1, f2, . . . , fn} forem bases de U e V respectivamente, a matrizA ∈Mm×n(K) de φ em relacao a tais bases acima tem elementos Aij tais que φ(ei) =a1if1 + · · · + amifm, i = 1, . . . , n. (Isto e, as colunas de A sao as coordenadas dosvetores φ(e1), . . . , φ(en) em relacao a base {f1, f2, . . . , fn} ⊂ V .

I Proposicao 3: Sejam U, V espacos vetoriais sobre um corpo K, e considere{e1, . . . , en} ⊂ U e {h1, . . . , hn} ⊂ V dois conjuntos de vetores com o mesmo numerode elementos. Entao, se 〈e1, . . . , en〉 coincide com U , existe somente uma aplicacaoψ : U → V tal que ψ(ei) = hi, para todo i entre 1 e n. Alem disso, se {e1, . . . , en} forLI — e neste caso {e1, . . . , en} forma uma base de U — entao a aplicacao ψ existe, ee um isomorfismo J

Demonstracao: Sejam ψ e ψ′ duas aplicacoess tais que ψ(ei) = ψ′(ei) = hi.Considere a aplicacao φ = ψ − ψ′, onde (ψ − ψ′)(ei) = ψ(ei) − ψ′(ei). Verifique queφ : U → V e linear, e dada a combinacao linear u = a1e1 + · · ·+ anen ∈ U , temos queφ(u) = 0. Portanto ψ(u) = ψ′(u),∀u ∈ U , logo ψ = ψ′. Agora, ja que cada elementode u ∈ U pode ser unicamente representado na forma u = a1e1 + · · ·+ anen, definimosψ : U → V por ψ(a1e1 + · · ·+ anen) = b1h1 + · · ·+ bnhn, onde bk ∈ K. Prove que talaplicacao e linear o

� Exercıcio 32: Mostre que o conjunto Hom(U, V ) e um espaco vetorial �

Mostraremos agora que a inversa de uma aplicacao linear e linear. Seja ξ ∈Hom(U, V )uma aplicacao bijetiva. Portanto existe ξ−1 : V → U . Mostremos entao que ξ−1 e li-near. Ja que ξ e bijetiva, existem vetores — unicamente definidos — u1, u2 ∈ U tais queV 3 vi = ξ(ui). Das expressoes ξ(u1+u2) = ξ(u1)+ξ(u2) e ξ(a u1) = a ξ(u1), aplicamosξ−1 em ambos os lados dessas duas expressoes, e portanto u1+u2 = ξ−1(ξ(u1)+ξ(u2)) ea u1 = ξ−1(a ξ(u1)). Portanto, ξ−1(v1)+ξ−1(v2) = ξ−1(v1+v2) e a ξ−1(v1) = ξ−1(a v1)

� Exercıcio 33: Mostre que se φ e uma aplicacao linear, entao φn tambem e linear,para todo n ∈ N �

I Proposicao 4: Qualquer K-espaco vetorial V n-dimensional e isomorfo a Kn J


Demonstracao: Seja {e1, . . . , en} uma base de V . Considere a aplicacao φ :V → Kn que associa a cada vetor v ∈ V , a n-upla (a1, . . . , an) de coordenadas dovetor v na base {ei}. Tal aplicacao e bijetiva. Agora, se v = a1e1 + · · · + anen eu = b1e1 + · · ·+ bnen, entao

u+ v = (a1 + b1)e1 + · · ·+ (an + bn)en

λv = (λa1)e1 + · · ·+ (λan)en

Portanto φ e isomorfismo o

I Teorema 6: Dois K-espacos vetoriais U, V de dimensao finita sao isomorfos se esomente se eles possuem a mesma dimensao J

Demonstracao: O isomorfismo φ : U → V leva a base de U na base de V , eportanto dim U = dim V . Reciprocamente, considere dim U = dim V . ConsidereBU = {e1, . . . , en} ⊂ U e BV = {h1, . . . , hn} ⊂ V respectivamente bases de U e V .A expressao φ(a1e1 + · · · + anen) = b1h1 + · · · + bnhn define uma aplicacao linearde U em V , de acordo com a penultima Proposicao. Alem disso φ e bijetiva, poisa1e1 + · · ·+ anen = φ−1(b1h1 + · · ·+ bnhn) o

Obs. 3: Na demonstracao acima tomamos o isomorfismo φ : U → V , e se{e1, . . . , en} e base de U , entao {φ(e1), . . . , φ(en)} e base de V , portanto dim U = dimV . Reciprocamente, provamos no Teorema acima que qualquer K-espaco vetorial Vn-dimensional e isomorfo a Kn, e portanto esses espacos tambem sao isomorfos entresi, por relacao de equivalencia

1.5.4 Bandeiras

Um dos metodos usuais para se estudar conjuntos S que possuem estruturas algebricase por meio de sequencias de subconjuntos — ou cadeias crescentes — S0 ⊂ S1 ⊂ S2 ⊂· · · . No formalismo dos espacos vetoriais, uma sequencia estritamente crescente desubespacos (supondo dim V = n), correspondendo a filtracao2 V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vrem V e denominada bandeira. O numero r e denominado comprimento da bandeiraV0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vr. A bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vn e dita ser maximal se V0 = {0},⋃ni=1 Vi = V , e um subespaco nao pode ser inserido entre Vi e Vi+1: se Vi ⊂M ⊂ Vi+1,

entao ou Vi = M ou M = Vi+1. Quando r = n, entao dim Vi = i para todo i(1≤ i ≤ n), e a bandeira e denominada completa. Neste caso a bandeira e uma seriede composicao de V .

Denominamos assinatura da bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vn a sequencia {dim V0, dimV1, . . . , dim Vn}.

Uma bandeira de comprimento n pode ser construıda a partir de qualquer base doespaco V , definindo-se V0 = {0} e Vi = 〈e1, . . . , ei〉, para i ≥ 1. Tal bandeira e maximale tal construcao nos fornece todas as bandeiras maximais.

2Uma filtracao e um conjunto indexado Si de subobjetos de uma estrutura algebrica S, onde osındices i estao em um conjunto I totalmente ordenado, sujeito a condicao de que se i ≤ j entaoSi ⊆ Sj .


I Teorema 7: A dimensao do espaco vetorial V e igual a dimensao de qualquerbandeira maximal de V J

Demonstracao: Seja V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ · · · uma bandeira maximal em V . Para todoi ∈ N, tomamos um vetor ei ∈ Vi\Vi−1 e mostraremos que {e1, . . . , ei} formam umabase de Vi. Primeiramente, 〈{e1, . . . , ei−1〉 ⊂ Vi−1 e ei /∈ Vi−1, portanto segue-se porinducao sobre i (ja que e1 6= 0), que {e1, . . . , ei} e LI para todo i.

Agora, por inducao em i mostramos que {e1, . . . , ei} gera Vi. Assuma que talafirmacao seja verdadeira para i − 1 e seja M = 〈e1, . . . , ei〉. Entao Vi−1 ⊂ M deacordo com a hipotese de inducao e Vi−1 6= M , ja que ei /∈ Vi−1. A definicao demaximalidade de uma bandeira implica que M = Vi.

Se V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . . ⊂ Vn = V e uma bandeira maximal finita em V , entao deacordo com o que ja foi mostrado, os vetores {e1, . . . , en}, onde ei ∈ Vi\Vi−1, formamuma base de V tal que dim V = n. Se V contem uma bandeira maximal infinita, entaoessa construcao fornece um numero arbitrariamente grande de conjuntos de vetores emV , e portanto V possui dimensao infinita o

� Exercıcio 34: Prove que qualquer bandeira em um espaco V de dimensao finitapode ser estendida a bandeira maximal, e seu comprimento nao excede a (dim V ) �

� Exercıcio 35: Mostre que em uma bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vr, verifica-se que0 ≤ dim V0 < dim V1 < · · · < dim Vr ≤ n �

Uma bandeira de qualquer comprimento pode ser obtida a partir de uma bandeiracompleta, quando eliminamos alguns subespacos vetoriais apropriados. Reciproca-mente, qualquer bandeira pode ser completada, inserindo tambem subespacos vetoriaisapropriados. Em geral isso pode ser feita de maneiras alternativas.

� Exercıcio 36: Complete a seguinte bandeira de R3:{0} ⊂ R2 (plano-xy) ⊂ R3, de duas maneiras diferentes �

1.6 Espaco Dual e Funcionais Lineares

Seja V um espaco vetorial sobre um corpo K. Uma aplicacao α : V −→ K e dita serum funcional linear se α(au+ bv) = aα(u) + α(v), para todos u, v ∈ V e a ∈ K.

� Exercıcio 37: Mostre que de acordo com a definicao acima, para qualquer fun-cional linear α : V −→ K temos que α(0) = 0K �

O conjunto de todos os funcionais lineares de V em K e denominado espaco dualde V e denotado V ∗. O conjunto V ∗ e um espaco vetorial sobre K, ao definirmos(aα+ β)(u) := aα(u) + β(u), ∀α, β ∈ V ∗, a ∈ K, u ∈ V .

� Exercıcio 38: Prove que V ∗ e espaco vetorial sobre K �

O vetor nulo de V ∗ e o funcional linear α que associa trivialmente todo vetor de Va zero: α(u) = 0K,∀u ∈ V .

1.6. ESPACO DUAL E FUNCIONAIS LINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 19

B Exemplo 6: Sejam a1, . . . , an ∈ K escalares. Definimos φ : Kn → K a aplicacaoφ(x1, . . . , xn) = a1x1 + · · ·+ anxn. A matriz de φ e dada por (a1, . . . , an) em relacao abase usual de Kn e a base {1} de K. Notamos que todas as funcoes lineares sobre Knsao dessa forma, e se x = x1e1+ · · ·+xnen ∈ Kn, entao φ(x) = x1φ(e1)+ · · ·+xnφ(en).Denote φ(ei) = ai C

� Exercıcio 39: Defina um funcional α ∈ (C2)∗ tal que α(1, 1) = 0. Defina um

funcional α em (C3)∗ tal que α(1, 1, 1) = 0 e α(1, i, 3) = 0 �

� Exercıcio 40: Considere um funcional linear sobre um C-espaco vetorial. Talfuncional pode assumir somente valores reais? �

� Exercıcio 41: Seja C[a, b] o espaco das funcoes contınuas, f : [a, b]→ R. Defini-

mos φ(f) =∫ baf(t)dt. Prove que φ e um funcional linear �

O seguinte teorema sera implicitamente usado varias vezes no que se segue.

I Teorema 8: Seja um espaco vetorial V sobre um corpo K. Se um vetor v ∈ V tema propriedade α(v) = 0 para todo α ∈ V ∗, entao v = 0 J

Demonstracao: Seja B uma base de V . Para cada elemento u ∈ B podemosassociar um funcional linear αu, definido como

αu(v) = vu, ∀v ∈ V (1.3)

onde, como todo v ∈ V pode ser escrito como uma combinacao linear de elementosde B, podemos sempre escrever v = vu u + v′, onde v′ e uma combinacao linear deelementos de B e vu ∈ K. Alem disso, vu = 0, caso u nao faca parte na decomposicaode v em uma soma finita de elementos de B). Seja entao v ∈ V um vetor como noenunciado do Teorema. Se α(v) = 0 para todo α ∈ V ∗, vale obviamente que αu(v) = 0,para todo u ∈ B. Isso implica que v = 0 o

� Exercıcio 42: Mostre que, para cada u ∈ B, αu : V → K dada pela Eq.(1.3) e

um funcional linear �

� Exercıcio 43: Considere o espaco M(n, K), n ∈ N, das matrizes n × n sobre ocorpo K. Denotando as componentes de A ∈ M(n,K) por {Aij}, defina o traco damatriz como sendo o operador

Tr : M(n,K) → K

A 7→n∑i=1

Aii = A11 +A22 + · · ·+Ann

1. Mostre que Tr e um funcional linear sobre M(n,K).

2. Dado n ∈ N e dadas matrizes A,B ∈ M(n,K), mostre que Tr(AB) = Tr(BA).


3. Mostre que nao existem matrizes A,B ∈ M(n,K) tais que AB − BA = In×n,n ∈ N. Exiba operadores A,B ∈ Hom(V, V ) tais que AB − BA = IV onde V eum espaco vetorial de dimensao infinita.

4. Ainda em V como acima, suponha que AB − BA = idV . Mostre que AmB −BAm = mAm−1, m ∈ N.

�

I Proposicao 5: Se dim V = n, entao dim V ∗ = n e V ' V ∗ J

Demonstracao: Seja {e1, . . . , en} uma base de V . Para cada i ∈ {1, . . . , n}, existeum unico ei ∈ V ∗ tal que ei(ej) = δij , para j ∈ {1, . . . , n}. O conjunto {e1, . . . , en} sao

LI. De fato, se α = α1e1 + · · · + αne

n, entao α(ei) =∑ni=1 αje

j(ei) = αiei(ei) = αi.

Suponhamos que α = 0, ou seja, dada uma combinacao linear nula dos vetores {ej},isso implica que αi = 0, para i ∈ {1, . . . , n}. Alem disso, o conjunto {e1, . . . , en} formauma base para V ∗. Com efeito, mostramos que {ei} e linearmente independente e quetambem gera V ∗. Se α ∈ V ∗, entao α(ei) = αi, e α = α1e

1 + · · ·+ αnen. A base {ej}

e dita ser a base dual de {ei} o

� Corolario 1: Utilizando a notacao acima, α =∑ni=1 α(ei)e

i e v =∑ni=1 e

i(v)ei,para cada α ∈ V ∗ e v ∈ V . De fato, seja α =

∑ni=1 αie

i. As coordenadas αi sao unicas,dadas por α(ei) = αi. Analogamente, se v =

∑ni=1 biei, entao ej(v) = bje

j(ej) = bj

Obs. 4: O isomorfismo (entre espacos vetoriais) V ' V ∗ nao e canonico ounatural, no sentido que tal isomorfismo depende da escolha de bases. Se mudamos debase em V o isomorfismo tambem e modificado

B Exemplo 7: Suponha V tal que dim V = 1. Para qualquer e1 ∈ V \0, o conjunto{e1} e base de V . Considere a base dual {e1} ⊂ V ∗, que satisfaz por definicao a relacaoe1(e1) = 1. Dado a ∈ K\{0}, tome outra base {a e1} de V , portanto {a−1 e1} ⊂ V ∗ ea base dual associada. Mas as aplicacoes lineares φ : e1 7→ e1 e φa : ae1 7→ a−1e1 saodiferentes no caso onde a2 6= 1 C

A todo espaco vetorial V esta associado o espaco dual V ∗ de V . Ja vimos queesse espaco e o conjunto dos funcionais lineares α : V → K, tambem denominadoscovetores. Alem disso os covetores ei, (i ∈ {1, . . . , n}) foram definidos como

ei(ej) = δij =

{1, i = j,0, i 6= j.

Como demonstrado na Proposicao anterior, segue-se que os covetores {ei} formamuma base para V ∗. As coordenadas de um covetor arbitrario α nessa base sao dadaspelo valor de α na base {ei} de V . De fato, dado v =

∑ni=1 v

iei, entao α(v) =α(∑ni=1 v

iei) =∑ni=1 v

iα(ei) =∑ni=1 v

iαi.

1.6. ESPACO DUAL E FUNCIONAIS LINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 21

� Exercıcio 44: Seja {e1, e2, e3} uma base de V = R3 dada por e1 = (1, 0, 1)ᵀ,e2 = (1, 1,−1)ᵀ e e3 = (0, 1, 2)ᵀ. Seja α ∈ V ∗ o covetor dado por α(e1) = 4, α(e2) = 1,α(e3) = 1. Determine α(v) para v = (a, b, c)ᵀ e expresse α em termos da base canonica

de R3�

Como V ∗ e um espaco vetorial, e natural nos perguntarmos se podemos definirtambem um espaco dual ao espaco V ∗. Isso e possıvel, e para tal definimos os funcionaislineares

τ : V −→ (V ∗)∗

v 7→ τv : V ∗ −→ Kα 7→ τv(α) := α(v) (1.4)

Nesse sentido, temos que τv(α) = α(v). Obviamente τv : V ∗ −→ R. A soma dessesfuncionais lineares e dada por τu + τv = τv+u e a multiplicacao por um escalar poraτv = τ(av). Nao e difıcil vermos que dim (V ∗)∗ = dim V . O resultado fundamentalaqui e:

I Teorema 9: Os espacos vetoriais V e (V ∗)∗ sao (canonicamente) isomorfos J

Demonstracao: Pela definicao, dados a ∈ K, u, v ∈ V e α, β ∈ V ∗, entaoτ(au+v)(α) = α(au + v) = aα(u) + β(v) = aτu(α) + τv(α). Portanto τu e elementode (V ∗)∗ e e linear. Como dim V = dim V ∗ = dim (V ∗)∗, entao τ e isomorfismode V em (V ∗)∗ oA definicao na Eq.(1.4) τv(α) = α(v) e a essencia do isomorfismocanonico, ja que α(v) nao depende de escolha de bases, ja que e um escalar, e portantoinvariante.

Obs. 5: Mais geralmente, dados dois espacos vetoriais V e W , e dada umaaplicacao linear φ : V → W , temos uma aplicacao dual associada φ∗ : W ∗ → V ∗

definida por φ∗(α)(v) = α(φ(v)), para cada α ∈W ∗ e v ∈ V . Alem disso, temos aindaa aplicacao bidual φ∗∗ : V ∗∗ →W ∗∗. O diagrama

VτV - V ∗∗

W

φ

? τW- W ∗∗

φ∗∗

?

comuta. De fato, denotando por τV e τW respectivamente a aplicacao (1.4) restrita aV e a W , e dados v ∈ V e α ∈W ∗, segue-se que

((φ∗∗ ◦ τV )(v))(α) = (φ∗∗(τV (v)))(α) = (τv)(φ∗(α))

= (φ∗(α))(v) = α(φ(v)) = (τW (φ(v)))(α)

= ((τW ◦ φ)(v))(α)

� Exercıcio 45: Prove que se dim V < ∞, entao toda base de V ∗ e a dual dealguma base de V �


� Exercıcio 46: Seja dim V <∞ e φ ∈ (V ∗)∗. Mostre que existe um unico v ∈ Vtal que φ(α) = α(v), ∀α ∈ V ∗ �

Obs. 6: E bem sabido que todos os espacos vetoriais com a mesma dimensao saoisomorfos, mas o resultado aqui e mais forte: existe um isomorfismo natural (canonico)entre V e (V ∗)∗ dado por τ . Ja vimos que para um espaco vetorial V e o seu dual V ∗

nao existe um isomorfismo natural (no sentido discutido acima). Precisamos de umaestrutura a mais para definirmos o isomorfismo entre estes espacos, e essa estruturaadicional e chamada correlacao. Para tanto precisamos munir V com uma metricaaqui a denominacao para uma forma bilinear simetrica nao-degenerada.

Obs. 7: Com o isomorfismo canonico V ' V ∗∗, muitas vezes se identificalegitimamente o espaco vetorial bidual V ∗∗ como sendo o proprio espaco vetorial V , apartir da identificacao v 7→ τv. Segue-se que a sequencia de espacos

V → V ∗ → V ∗∗ → V ∗∗∗ → V ∗∗∗∗ → · · ·

e essencialmente dada por V → V ∗ → V ∗∗, de maneira que fundamentalmente seprecisamos dos espacos V, V ∗ e V ∗∗ para fins praticos.

Considere agora um subespaco U ⊂ V , definimos o anulador (ou aniquilador) de U :

U = {α ∈ V ∗ |α(v) = 0 ,∀v ∈ U} (1.5)

� Exercıcio 47: Mostre que U e subespaco de V ∗. Se U = {0}, entao U = V ∗; se

U = V , entao U = {0} ⊂ V ∗ �

I Lema 1: dim U = dim V− dim U J

Demonstracao: Seja {e1, . . . , en} uma base de V tal que U = 〈e1, . . . , ek〉. Se{e1, . . . , en} e uma base de V ∗, entao U = 〈ek+1, . . . , en〉 o

Ja que sabemos identificar os espacos V e (V ∗)∗, o aniquilador de um subespaco Z ∈ V ∗esta em V . Por definicao, Z = {τv ∈ (V ∗)∗ | τv(α) = α(v) = 0 ,∀α ∈ Z}.

I Teorema 10:˚U ' U , para todo subespaco U ⊂ V J

Demonstracao:˚U = 〈τe1 , . . . , τek〉 ' 〈e1, . . . , ek〉 = U . O isomorfismo

˚U e canonico

o

� Exercıcio 48: Dado um K-espaco vetorial V , mostre que se U ⊂ V , entao V ⊂ U�

� Exercıcio 49: Sejam U1 e U2 subespacos de um K-espaco vetorial V . Mostre que(U1 ∩ U2) = U1 + U2 (aqui definimos a soma U1 + U2 = {u1 + u2 | u1 ∈ U1, u2 ∈ U2}.�

1.7. NUCLEO E IMAGEM — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 23

1.7 Nucleo e Imagem

Considere φ ∈ Hom(U, V ). O conjunto ker φ = {u ∈ U |φ(u) = 0} ⊂ U e denomi-nado nucleo de φ, e o conjunto Im φ = {v ∈ V | ∃u ∈ U, φ(u) = v} ⊂ V e denominadoimagem de φ. A dimensao da imagem de uma aplicacao e denominada posto destaaplicacao.

� Exercıcio 50: Seja A ∈ End(R3) definida por: A(x1, x2, x3) = (x1−x2+2x3, 2x1+x2,−x1−2x2+2x3). Verifique que A e uma transformacao linear e determine a imagem

e o posto de A �

� Exercıcio 51: Mostre que ker φ e Im φ sao respectivamente subespacos vetoriaisde U e V �

I Teorema 11: φ ∈ Hom(U, V ) e injetiva se e somente se ker φ = {0} J

Demonstracao: Suponha que ker φ = {0}. Entao φ(u1) = φ(u2) ⇒ φ(u1 − u2) =φ(u1)− φ(u2) = 0 e u1 − u2 ∈ ker φ, o que implica que u1 − u2 = 0, ou seja, u1 = u2.Reciprocamente, suponha que φ seja uma transformacao linear injetiva e, se u ∈ kerφ, entao φ(u) = 0 = φ(0)⇒ u = 0, logo ker φ = {0} o

� Exercıcio 52: Mostre que φ ∈ Hom(U, V ) e injetiva se, e somente se, φ leva

vetores LI em U em vetores LI de V �

Obs. 8: Vimos que um homomorfismo φ : U → V e uma aplicacao que preservaestruturas algebricas, no sentido de que ∀u, v ∈ U , a ∈ K, φ(au + v) = aφ(u) + φ(v).Um homomorfismo que possui o nucleo trivial — e portanto injetivo — e denominadomonomorfismo (ou imersao). No caso em que φ(U) = V , e portanto φ e sobrejetivo, φ edenominado um epimorfismo. Ainda, denominamos por endomorfismo todo elementoφ ∈ Hom(V, V )= End(V ), e por automorfismo um isomorfismo φ : V → V (isomorfismodo mesmo espaco)

� Exercıcio 53: No espaco Kn+1[x] dos polinomios na variavel x, considere asaplicacoes φ, ψ ∈ End(V ) definidas por

φ(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = a1 + a2x+ · · ·+ anx

n−1

ψ(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = a0x+ a1x

2 + · · ·+ anxn+1

Mostre que φ ◦ ψ = I e ψ ◦ φ 6= I. A aplicacao φ possui inversa? �

I Teorema 12: (Teorema do Nucleo e da Imagem) Seja U um espaco vetorial dedimensao finita e φ ∈ Hom(U, V ). Entao ker φ e Im φ tem dimensao finita e

dim kerφ + dim Imφ = dim U

J


Demonstracao: ker φ tem dimensao finita, ja que ker φ e um subespaco veto-rial de U . Tome entao uma base {e1, . . . , em} de ker φ e estenda essa base a umabase {e1, . . . , em, em+1, . . . , em+n} para todo o espaco U . Mostraremos que o conjuntoφ(em+1), . . . , φ(em+n) forma uma base de Im φ. Qualquer vetor em Im φ possui aforma

φ

(m+n∑i=1

aiei

)=

m+n∑i=m+1

aiφ(ei), (1.6)

pois∑mj=1 ajφ(ej) = 0, ja que {e1, . . . , em} ⊂ ker φ, o que significa que φ(e1) = · · · =

· · · = φ(em) = 0. Portanto o conjunto {φ(em+1), . . . , φ(em+n)} gera a Im φ. Seja agora

a combinacao linear nula∑m+ni=m+1 aiφ(ei) = 0. Entao, φ

(∑m+ni=m+1 aiei

)= 0, o que

significa que∑m+ni=m+1 aiei ∈ ker φ, isto e, a combinacao linear

∑m+ni=m+1 aiei pode ser ex-

pressa como∑mj=1 a

′jej , pois {e1, . . . , em} e base de ker φ. Mas φ

(∑m+ni=m+1 aiei

)= 0 so

e possıvel se todos os coeficientes ai, a′i forem nulos, pois {e1, . . . , em, em+1, . . . , em+n}

e base de U . Portanto o conjunto de vetores {φ(em+1), . . . , φ(em+n)} e, pois em par-ticular os coeficientes ai sao nulos o

� Corolario 2: Temos que dim U = dim Im φ se e somente se dim ker φ = 0, istoe, ker φ = {0}. Neste caso, φ e uma aplicacao injetiva e tambem sobrejetiva, ou seja,φ e isomorfismo

� Exercıcio 54: Para cada operador linear abaixo, encontre bases para o nucleo ea imagem, verifique o resultado do Teorema do Nucleo e da Imagem e determine se Te bijetiva.

1. T : R3 → R2, T (a, b, c) = (a− b, 2c).

2. T : R2 → R3, T (a, b) = (a+ b, 0, 2a− b).

3. T : P2(R)→ P3(R), T (p(t)) = tp(t) + p′(t).

4. T : M(2,R)→ R, T (M) = tr M .

�

� Exercıcio 55: Seja P (R) o conjunto dos polinomios reais. Mostre que T : P (R)→P (R) dada por T (p) =

∫ ᵀ0p(s)ds e injetiva, mas nao e sobrejetiva. �

� Exercıcio 56: De exemplos de transformacoes lineares T1, T2 : V → W tais queker T1 = ker T2 e Im T1 = Im T2, mas T1 6= T2. �

� Exercıcio 57: Sejam V e W espacos vetoriais de dimensao finita e T : V → Wlinear. Prove que se dim V < dim W entao T nao pode ser sobrejetiva. Prove que sedim V > dim W entao T nao pode ser injetiva �

1.8. SOMA DIRETA — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 25

� Exercıcio 58: Seja T : R3 → R. Descreva geometricamente as possibilidadespara o nucleo de T �

Um subespaco de dimensao n − 1 de um K-espaco vetorial V de dimensao n edenominado hiperplano — ou subespaco de codimensao 1. Se 0 6= α ∈ V ∗ e se dimV = n, entao dim Im α = 1 e dim ker α = n − 1, pois Im α = K, e dim K = 1. OTeorema do Nucleo e da Imagem nos diz que dim ker α = n− 1.

Obs. 9: Quando a dimensao de V e infinita, um hiperplano e um subespacoU ⊂ V tal que U 6= V , e se W e um subespaco tal que U ⊆W ⊆ V , entao W = V ouW = U , o que caracteriza U como um subespaco proprio maximal de V

I Teorema 13: Se α ∈ V ∗\{0}, entao (ker α) e hiperplano em V . Reciprocamente,todo hiperplano de V e o nucleo de um funcional α ∈ V ∗ (α nao e unico). J

Demonstracao: Dado α ∈ V ∗\{0}, existe v ∈ V tal que α(v) 6= 0. Seja u ∈ V ,definamos a = α(u)/α(v). Entao w = u − av ∈ ker α, pois α(w) = α(u − av) =α(u) − aα(v) = 0. Portanto u = w + av ∈ (ker α + 〈v〉), e (ker α) e um hiperplano,ja que u e um elemento arbitrario de V . Reciprocamente, seja (ker α) um hiperplanoem V , e seja v ∈ V \(ker α). Entao, ja que (ker α) e subespaco proprio maximal de V ,temos que V = ker α + 〈v〉, e cada u ∈ V tem a representacao u = w + av, a ∈ K ew ∈ (ker α). Se tivessemos u = w′+a′v, a′ ∈ K e w′ ∈ ker α, entao (a−a′)v = w′−w.Se a− a′ 6= 0, temos v ∈ ker α, o que nao e possıvel. Portanto a = a′ e w = w′ o

� Exercıcio 59: Seja V = M(n,K). Prove que End(V ) ' (End(V ))∗ (Dica: Proveque para qualquer α ∈ V ∗ existe uma unica matriz A ∈ V com a propriedade de queα(X) = Tr(AX), ∀X ∈ V ). �

1.8 Soma Direta

Considere um conjunto {Vi}ni=1 de subespacos vetoriais em um K-espaco vetorial V .Dizemos que V e soma direta de V1, . . . , Vn se todo v ∈ V puder ser representado daforma v =

∑ni=1 vi, onde vi ∈ Vi e vi /∈ Vj , para cada j 6= i. Se isso ocorrer, escrevemos

V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn = ⊕ni=1Vi

B Exemplo 8: Considere {e1, . . . , en} uma base de V e seja Vi = 〈ei〉. EntaoV = ⊕ni=1Vi. E claro que quando V = ⊕ni=1Vi segue-se que V =

∑ni=1 Vi. A recıproca

nao e verdadeira. C

Seja V um espaco vetorial e U,W subespacos de V . Definimos a soma de U e Wpor

U +W = {u+ w ∈ V |u ∈ U,w ∈W}

Se U ∩W = {0}, denotamos U +W por U ⊕W . Este conjunto chama-se soma diretade U e W .


� Exercıcio 60: Mostre que U +W e subespaco de V . Mostre que se V = U ∩W ,entao todo elemento de V se escreve de maneira unica como soma de um elementode U com outro elemento de W . Mostre que se B1 e base de U e B2 e base de W eV = U + W e U ∩W 6= {0}, entao V = 〈B1 ∪ B2〉, mas B1 ∪ B2 nao e base de V .Mostre que se B1 e base de U e B2 e base de W e V = U +W e U ∩W = {0}, entao

V = 〈B1 ∪B2〉, e B1 ∪B2 e base de V �

� Exercıcio 61: Verifique, em cada um dos itens abaixo, se V = U ⊕W :

1. V = R2 e U,W sao retas distintas que passam pela origem.

2. V = R3 e U,W sao planos distintos que passam pela origem.

3. V = M(2,R), U =

{(a 00 b

) ∣∣∣∣ a, b ∈ R}

, W =

{(0 cd 0

) ∣∣∣∣ c, d ∈ R}

.

4. V = M(n,R) e U,W denotam, respectivamente, os espacos das matrizes simetricase anti-simetricas.

5. V = C(R,R) e o espaco das funcoes reais e U,W sao respectivamente o espacodas funcoes pares e ımpares.

�

Mais geralmente, se tivermos uma colecao finita de espacos vetoriais V1, . . . , Vn sobreum mesmo corpo K procedemos analogamente, primeiro definindo o grupo abelianoV1 ⊕ · · · ⊕ Vn e depois definindo a multiplicacao por escalares por a(v1 ⊕ · · · ⊕ vn) :=(av1)⊕ · · ·⊕ (avn), com a ∈ K e v1⊕ · · ·⊕ vn ∈ V1⊕ · · ·⊕Vn. O espaco vetorial (sobreK) assim definido e denotado por V1 ⊕K · · · ⊕K Vn.

� Exercıcio 62: Mostre que dados vi ∈ Vi, as aplicacoes

φ : (V1 ⊕ V2)⊕ V3 → V1 ⊕ V2 ⊕ V3(v1 + v2) + v3 7→ φ((v1 + v2) + v3) = v1 + v2 + v3

ψ : V1 ⊕ (V2 ⊕ V3) → V1 ⊕ V2 ⊕ V3v1 + (v2 + v3) 7→ ψ(v1 + (v2 + v3)) = v1 + v2 + v3

sao isomorfismos (canonicos) �

� Exercıcio 63: Sejam V1 e V2 subespacos vetoriais de V , com V1 ∩ V2 = {0}.Defina a aplicacao linear

φ : V1 × V2 → V1 ⊕ V2(v1, v2) 7→ φ(v1, v2) = v1 + v2, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2

Prove que φ e um isomorfismo. �

1.8. SOMA DIRETA — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 27

Agora, se V1 ∩ V2 6= {0}, defina a aplicacao linear

φ : V1 × V2 → V1 + V2

(v1, v2) 7→ v1 + v2, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2

φ e sobrejetiva, o que implica que dim (Im φ) = dim (V1 + V2). Alem disso, kerφ = {(v,−v) | v ∈ V1 ∩ V2}. A aplicacao

ψ : V1 ∩ V2 → kerφ

v 7→ (v,−v)

e um isomorfismo (Prove!). Portanto,

dimV1 + dimV2 = dim(V1 × V2)

= dim kerφ+ dim Im(φ),

= dim kerφ+ dim(V1 + V2)

= dim(V1 ∩ V2) + dim(V1 + V2)

� Exercıcio 64: Dados U1 e U2 subespacos vetoriais de U tais que U1 ∩ U2 = {0},mostre que B1 ∪B2 e base de U1 ⊕ U2, onde B1 e base de U1 e B2 e base de U2. �

I Teorema 14: Sejam {Vi}ni=1 ⊂ V subespacos vetoriais de um K-espaco vetorial V .Entao V = ⊕ni=1Vi se e somente se valer qualquer uma das seguintes condicoes:a) V =

∑ni=1 Vi e Vj ∩ (

∑i6=j Vi) = {0}, ∀j = 1, . . . , n.

b) V =∑ni=1 Vi e

∑ni=1 dim Vi = dim V (aqui assumimos que dim V = n <∞ ) J

Demonstracao:

a) A unicidade da representacao de qualquer vetor v ∈ V na forma∑ni=1 vi ∈ V

e equivalente a unicidade do vetor 0 ∈ V . Com efeito, se∑ni=1 vi =

∑ni=1 v

′i, entao

0 =∑ni=1(vi − v′i) e vice-versa. Se existir uma representacao nao-trivial de 0 =∑n

i=1(vi − v′i), na qual, digamos, vj − v′j 6= 0, entao vj − v′j ∈∑i 6=j Vj ∩ (

∑i 6=j Vi), e

portanto a condicao a) nao e mais valida.

b) Se V = ⊕ni=1Vi, entao∑ni=1 Vi = V e

∑ni=1 dim Vi ≥ dim V , pois ∪ni=1Vi = V e

portanto contem uma base de V . Pelo Teorema anterior — que diz que dim V1 + dimV2 = dim (V1 ∩ V2) + dim (V1 + V2) — aplicado aos subespacos Vj e

∑i 6=j Vi, temos

dim

Vj ∩∑i 6=j

Vi

+ dimV = dimVj + dim

∑i 6=j

Vi

Mas a assercao a) nos diz que dim

(Vj ∩

(∑i 6=j Vi

))= 0. Ademais, se

∑ni=1 Vi =

⊕ni=1Vi, entao∑i6=j Vi = ⊕i 6=jVi, e, por inducao, provamos que

dim

∑i 6=j

Vi

=∑i 6=j

dimVi.


Portanto, dim∑ni=1 Vi = dim V .

Reciprocamente, se dim∑ni=1 Vi = dim V , entao a uniao das bases de todos os Vi

consiste de (dim V ) elementos, e gera todo o K-espaco vetorial V , sendo portantouma base de V . Com efeito, uma representacao nao-trivial do vetor 0 ∈ V na forma∑ni=1 vi ∈ V forneceria uma combinacao nula nao-trivial de elementos da base, o que

seria impossıvel o

Dizemos que uma aplicacao linear P : V → V e um operador de projecao se P 2 =P ◦ P = P . Podemos associar n operadores de projecao {Pi}ni=1 a soma direta ⊕ni=1Vida seguinte maneira: para quaisquer vj ∈ Vj ,

Pi

n∑j=1

vj

= vi

As aplicacoes Pi estao bem definidas, ja que v ∈ V pode ser unicamente representadopor v =

∑nj=1 vj , onde vj ∈ Vj . A linearidade de Pi e a propriedade P 2

i = Pi seguemdiretamente da definicao. Evidentemente, Vi = Im Pi.

� Exercıcio 65: a) Verifique que PiPj = O, se i 6= j.

b) Prove que∑ni=1 Pi = I �

� Exercıcio 66: Quando a soma de dois operadores de projecao e novamente umoperador de projecao? �

� Exercıcio 67: Mostre que dado φ ∈ End(V ), se ker φ = ker (φ2) podemos escreverV = ker φ ⊕ Im φ. A recıproca e verdadeira? (Mostre, se for verdadeira, ou de um

contra-exemplo) �

� Exercıcio 68: Dado φ ∈ Hom(U, V ) tal que φ2(1 − φ) = O, φ e idempotente?

Tal condicao e equivalente a φ(1− φ)2 = O? �

� Exercıcio 69: Se ker φ = Im φ, prove que a aplicacao φ ∈ End(V ) e uma projecao.

�

I Teorema 15: Sejam P1, . . . , Pn : V → V um conjunto finito de operadores deprojecao satisfazendo as condicoes PiPj = O, se i 6= j, e

∑ni=1 Pi = I. Seja Vi = Im

Pi. Entao, V = ⊕ni=1Vi. J

Demonstracao: Aplicando-se o operador I =∑ni=1 Pi a cada vetor v ∈ V , obtemos

v =∑ni=1 Pi(v), onde Pi(v) ∈ Vi. Portanto V =

∑ni=1 Vi. Para mostrar que essa soma

e uma soma direta, pelo criterio a) do Teorema anterior, considere v ∈ Vj ∩(∑

i6=j Vi

).

A definicao dos espacos Vi = Im Pi implica que existem vetores v1, . . . , vn tais que

v = Pj(vj), pois em particular se v ∈ Vj ∩(∑

i 6=j Vi

), isso significa que v ∈ Vj = Im Pj

e v ∈∑i6=j Im Pi(vi). Portanto,

v = Pj(vj) =∑i 6=j

Pi(vi).

1.9. ESPACOS QUOCIENTES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 29

Aplicando Pj a igualdade acima, e usando que P 2j = Pj , PiPj = O, i 6= j, obtemos

PjPj(vj) = Pj(vj) =∑i 6=j

PjPi(vi) = 0. (1.7)

Provamos que dado um vetor v ∈ Vj∩(∑

i 6=j Vi

)arbitrario, entao v = 0, o que significa

que Vj ∩(∑

i 6=j Vi

)= {0}, e portanto pelo criterio a) do Teorema anterior, segue-se

que ∩ni=1Vi = {0} o

Obs. 10: Se dim V = n <∞, entao para qualquer subespaco V1 ⊂ V , existe umsubespaco V2 ⊂ V tal que V = V1⊕V2. Dizemos que V2 e o complemento direto de V1.

Podemos definir somas diretas de operadores lineares, considerando U = ⊕ni=1Ui eV = ⊕ni=1Vi e φ : U → V uma aplicacao linear tal que φ(Ui) = Vi. Denotamos porφi : Ui → Vi a aplicacao linear induzida, e escrevemos φ = ⊕ni=1φi. Escolhendo basesde U e V como a respectiva uniao de bases de Ui e Vi, a matriz de φ e a uniao deblocos diagonais.

� Exercıcio 70: Considere V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn uma bandeira em um K-espacovetorial de dimensao finita, onde mi = dim Vi. Prove que dada uma outra bandeiraV ′1 ⊂ V ′2 ⊂ · · · ⊂ V ′n tal que m′i = dim V ′i , entao existe ζ ∈ Aut(V ) que leva uma

bandeira na outra se, e somente se, mi = m′i, para todos i = 1, . . . , n �

I Teorema 16: Seja P ∈ End(V ). Se P 2 = P , entao V = ker P ⊕ Im P J

Demonstracao: Para todo v ∈ V , podemos escrever v = P (v) + (v − P (v)). Umcalculo imediato mostra que (v − P (v)) ∈ ker P , e portanto V = ker P + Im P . Seu ∈ ker P ∩ Im P , temos que P (u) = 0 e P (u) = u, pois para todo u ∈ Im(P ), temosque u = P (w), para algum w ∈ V , o que significa que P (u) = P (P (w)) = P (w) = u.Portanto u = 0 e V = ker P ⊕ Im P o

� Exercıcio 71: Considere uma involucao ω ∈ End(V ) (isto e, ω2 = I). Defina osconjuntos V1 = {v ∈ V |ω(v) = v} e V2 = {v ∈ V |ω(v) = −v}. Mostre que V1 e V2sao subespacos vetoriais de V e que V = V1 ⊕ V2. Mostre que para todo v = v1 + v2,onde va ∈ Va (a = 1, 2), temos que ω(v) = v1 − v2, e que P = 1

2 (ω + I) e a projecao

sobre V1 paralelamente a V2 �

� Exercıcio 72: Considere Kn[x] o conjunto dos polinomios de grau menor igualque n, sobre um corpo K. Mostre que o conjunto de todos os polinomios pares KEn [x](p(x) = p(−x)) e o conjunto de todos os polinomios ımpares KOn [x] (p(x) = −p(−x))

sao subespacos vetoriais. Mostre tambem que Kn[x] = KEn [x]⊕KOn [x] �

1.9 Espacos Quocientes

Considere um subespaco vetorial U ⊆ V . Existem geralmente varios subespacosW ⊂ V tais que W ∩ U = {0} e W + U = V . Em outras palavras, U pode ter


diversos complementos, e nao ha uma maneira natural de escolher qualquer um dessescomplementos. Contudo, existe uma construcao natural que associa a U e V um novoespaco que, heuristicamente, desempenha o papel de complemento de U em relacaoa V . A vantagem formal que essa construcao possui sobre qualquer outra que possadescrever um complemento arbitrario de U e que ela tem um carater natural, e emparticular nao depende da escolha de uma base.

Suponha por exemplo V = R2 e U = {(x, y) | y = 0} o eixo-x. Cada complementode U e uma linha — que nao seja o eixo-x — atraves da origem. Observando quecada complemento possui a propriedade de que a unica intersecao com o eixo-x constade um unico ponto, a ideia que paira sobre espacos quocientes neste caso e podermosconstruir todo o R2 a partir de linhas horizontais.

Voltando agora ao caso mais geral, se v ∈ V , o conjunto v+U que consiste de todosos vetores v + u, u ∈ U , e denominado classe lateral de U . No exemplo do paragrafoanterior, as classes laterais sao linhas horizontais, e podemos ter v1 + U = v2 + U ,mesmo que v1 6= v2.

Dado um subespaco vetorial U ⊆ V , as translacoes de U por um vetor v ∈ Vcorrespondem ao conjunto

v + U = {v + u |u ∈ U}.

Tais translacoes nao sao, necessariamente, subespacos vetoriais de V, e sao denominadassubvariedades lineares.

ñ Definicao 1: Dados U ⊆ V um subespaco vetorial e v1, v2 ∈ V , dizemos que v1 econgruente a v2 modulo U se v1−v2 ∈ U e escrevemos v1 ≡ v2 (mod U) ou v1 ≡ v2 (U)

ou v1U≡ v2. A congruencia modulo U e uma relacao de equivalencia sobre V . (Mostre!)

3

Obs. 11: Se v ∈ V , a classe lateral de v e dada por v = {w ∈ V | v − w ∈ U} ={v + w |w ∈ U}. Por essa razao indicamos v = {v + U | v ∈ V }.

ñ Definicao 2: A colecao de todas as classes laterais de U sera indicada por V/U .Dados v1, v2 ∈ V e a ∈ K, definimos a soma e multiplicacao por escalar como:a) v1 + v2 = v1 + v2b) av1 = av1 3

A fim de verificarmos que a definicao esta correta, devemos mostrar que a soma emultiplicacao por escalar independem dos representantes, e dependem exclusivamentedas classes laterais. Suponha que v1(= v1 + U) = w1(= w1 + U). Pela definicao,v1 − w1 = u1 ∈ U e v2 − w2 = u2 ∈ U . Portanto,

v1 + v2 = (v1 + v2) + U = (w1 + w2) + u1 + u2 + U

= (w1 + w2) + U

= w1 + w2


Agora, como v1 − w1 = u1 ∈ U , entao av1 − aw1 = au1 ∈ U e portanto

av1 = av1 + U = aw1 + au1 + U

= aw1 + U

= aw1

Isso mostra que a soma e multiplicacao por escalar dependem somente das classeslaterais e estao bem definidas. O espaco vetorial V/U assim obtido e denominadoespaco quociente de V por U .

Obs. 12: O vetor nulo 0 de V/U e a classe de equivalencia que consiste de0 = {0 + U} = U .

� Exercıcio 73: Mostre que o conjunto V/U e um espaco vetorial sobre o corpo Kcom as operacoes definidas acima �

� Exercıcio 74: Prove que se {v1 + W, . . . , vn + W} sao LI em V/W , entao

{v1, . . . , vn} sao LI em V . �

� Exercıcio 75: Seja U um subespaco de V . Suponha que {v1, . . . , vn} ⊂ Vsejam LI e gerem um subespaco W tal que U ∩ W = {0}. Prove que o conjunto

{v1 +W, . . . , vn +W} e LI em V/W . �

A transformacao

π : V → V/U

v 7→ π(v) = v = v + U

e denominada projecao canonica.

Podemos provar que π ∈ Hom(V, V/U) e que ker π = U e Im π = V/U . De fato, dadosu, v ∈ V e a ∈ K, temos que π(au+v) = au+v+U = a(u+U)+v+U = aπ(u)+π(v).Alem disso, ker π = {v ∈ V |π(v) = 0 = 0 + U = U}, e portanto v ∈ U . Podemos daıdemonstrar o

I Proposicao 6: Se V tem dimensao finita, entao (dim V/U) = (dimV ) − (dimU)J

Demonstracao: Em relacao a aplicacao canonica π : V → V/U , ja que ker π = Ue Im π = V/U , pelo Teorema do Nucleo e da Imagem, temos que dim ker π + dim Imπ = dim V , e portanto dim U + dim V/U = dim V . Portanto,

(dimV/U) = (dimV )− (dimU)

o

Obs. 13: O numero (dim V/U) e geralmente denominado codimensao do su-bespaco vetorial U em V , e denotado por codim U ou codimV U


ñ Definicao 3: Sejam W,V dois K-espacos vetoriais. Dado φ ∈ Hom(W,V ), acoimagem e o conucleo de φ sao definidos por

coim φ = W/ker φ, coker φ = V/Im φ

A coimagem e o conucleo estao bem definidos, no sentido de que Im φ e subespaco deV , enquanto ker φ e subespaco vetorial de W .

Definimos tambem o ındice de φ como sendo o numero

ind φ = dim coker φ− dim ker φ

3

No caso onde V e W possuem dimensao finita, obtemos do Teorema acima, que

ind φ = (dim V − dim Im φ)− (dim W − dim Im φ)

= dim V − dim W

Nesse caso, o ındice de um operador φ ∈ Hom(W,V ) somente depende dos espacos Ve W .

� Exercıcio 76: Prove que ind φ = 0, ∀φ ∈ Aut(V ), onde V e um K-espaco vetorial

de dimensao finita �

Vimos que existe um epimorfismo natural (canonico) π entre V e o espaco quoci-ente V/U , que mapeia v ∈ V a sua classe de equivalencia v = [v]. O nucleo de talepimorfismo e o subespaco U . Definimos a sequencia exata

{0} - U - Vπ- V/U - {0}

B Exemplo 9: Considerando U = R2 ⊂ V = R3, a sequencia exata acima citadatoma a forma

{0}0 - R2 - R3 π- R3/R2 ' R - {0}

C

1.9.1 Teoremas de Isomorfismos

O Teorema a seguir diz que dado um homomorfismo ϕ : V → U entre dois K-espacosvetoriais, entao

V/ker ϕ ' Imϕ

I Teorema 17: Seja ϕ ∈ Hom(V,U) tal que ϕ(V ) = U . Entao existe um unicoisomorfismo ϕ : V/ker ϕ → U tal que ϕ = ϕ ◦ π, onde π : V → V/ker ϕ e a projecaocanonica J


Demonstracao: Note que π : V → V/ker ϕ e ϕ : V/ker ϕ → U , e portantoϕ = ϕ ◦ π : V → U = ϕ(V ). Defina a aplicacao induzida

ϕ : V/ker ϕ → U = ϕ(V )

v = v + ker ϕ 7→ ϕ(v)

Primeiramente devemos verificar se ϕ e, de fato, bem definida. Com efeito, dadosv1, v2 ∈ V e portanto v1 = v1 + ker ϕ, v2 = v2 + ker ϕ ∈ V /ker ϕ. Se v1 = v2,significa que v1 + ker ϕ = v2 = v2 + ker ϕ. Daı, existe w ∈ ker ϕ tal que v1 = v2 +w.Segue-se que

ϕ(v1) = ϕ(v1) = ϕ(v2 + w) = ϕ(v2) + ϕ(w), pois ϕ ∈ Hom(V,U)

= ϕ(v2) + 0, pois w ∈ ker ϕ

= ϕ(v2) = ϕ(v2)

Portanto a funcao ϕ esta bem definida.A fim de provar que ϕ e isomorfismo, resta agora provar que ϕ e bijetiva e linear.

Por construcao ϕ e linear, pois e a composicao de duas aplicacoes lineares.Para ver que ϕ e sobrejetiva, como ϕ(v) = ϕ(v) e ja que ϕ(V/kerϕ) = ϕ(V ) = U ,

entao a funcao ϕ : V/ker ϕ→ U contempla todo o espaco de chegada U .Agora para provar que ϕ e injetiva, mostraremos que ker ϕ = 0. Por definicao,

ker ϕ = {v ∈ V/kerϕ | ϕ(v) = 0}= {v + kerϕ |ϕ(v) = 0}= {v + kerϕ | v ∈ kerϕ}= kerϕ

= 0 + kerϕ

= 0 (1.8)

Ja demonstramos que se o nucleo de uma aplicacao consistir somente do vetor nulo,entao tal aplicacao e injetiva. Portanto ϕ e bijetiva e linear, sendo portanto um iso-morfismo. Resta mostrar que tal isomorfismo e unico. Suponha que existam doisisomorfismos ϕ1 : V/ker ϕ → U e ϕ2 : V/ker φ → U , ambos com a propriedadeϕ(v) = ϕ(v). Entao, para todo v ∈ V , ϕ1(v) − ϕ2(v) = ϕ(v) − ϕ(v) = 0, e portanto(ϕ1 − ϕ2)(v) = 0, ∀v ∈ V/ker ϕ. Consequentemente, ϕ1 − ϕ2 = O e ϕ1 = ϕ2 = O o

O teorema acima demonstrado pode ser ilustrado pelo seguinte diagrama:

Vϕ - U

V/kerϕ

ϕ

6

π-


Obs. 14: Esse teorema e mais conhecido como o Primeiro Teorema dos Homo-morfismos. Aqui ele e enunciado em termos de espacos vetoriais por se tratarem degrupos abelianos com relacao a soma.

BExemplo 10: Tomando-se a projecao P : Rn+1 → Rn dada por P (x1, . . . , xn, xn+1) =(x1, . . . , xn, 0), podemos ver que ker P = (0, 0, . . . , 0, xn+1) ' R e portanto pelo Teo-rema acima, considerando-se V = Rn+1, temos que Im P = Rn, e portanto, segue-seque

Rn+1/R = Rn

C

� Exercıcio 77: Mostre que Rn/Rp ' Rn−p para todo p ∈ {0, 1, . . . , n} �

A seguir enunciaremos e demonstraremos o chamado 2o Teorema dos Homomorfis-mos

I Teorema 18: Considere V1, V2 ⊂ V dois subespacos vetoriais de V . Entao

V1 + V2V2

' V1V1 ∩ V2

J

Demonstracao: Defina a aplicacao

σ : V1 → V1 + V2V2

v1 7→ v1 + V2, ∀vi ∈ Vi, i = 1, 2

Ja que v1 + V2 = v1, entao σ e um epimorfismo, pois sendo sobrejetiva, dados a ∈ K ew1 ∈ V1,

σ(av1 + w1) = av1 + w1 = av1 + w1

= aσ(v1) + σ(w1)

e portanto σ e linear. Agora provaremos que ker σ = V1 ∩ V2. Por um lado, ker σ ={v1 ∈ V1 |σ(v1) = 0 = 0+V2}. Mas σ(v1) = v1+V2, o que implica que v1 deve estar emV2 tambem. Portanto dado v ∈ ker σ, necessariamente v ∈ V1 ∩ V2. Reciprocamente,dado v ∈ V1 ∩ V2, entao σ(v) = v + V2 = V2 = 0, pois em particular v ∈ V2. Portantoker σ = V1 ∩ V2.

A partir do 1o. Teorema dos Isomorfismos, como ja sabemos que para σ ∈Hom(V1, (V1+V2)/V2) temos V1/ker σ ' Imσ, identificando kerσ = V1 ∩ V2 e Im σ = (V1 + V2)/V2,temos

V1 + V2V2

' V1V1 ∩ V2

o


� Exercıcio 78: Dados V1, V2 subespacos vetoriais de V , explicite o Segundo Teo-rema dos Isomorfismos quando V1 e o eixo-x e V2 e o eixo-y �

� Exercıcio 79: Suponha que um K-espaco vetorial V possa ser escrito comoV = V1 ⊕ V2. Considere a aplicacao canonica

κ : V1 → V

V2v 7→ v = v + V2

Mostre que κ e um isomorfismo �

� Exercıcio 80: Dado U um subespaco vetorial de um K-espaco vetorial V , mostreque (V/U)∗ ' U �

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