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UniversidaddeCostaRicaEscueladeMatematica1n x1n y1ny y1nyxx x1nALGEBRALINEALCarlosArceS.WilliamCastilloE.JorgeGonzalezV.2003AlgebraLinealCarlos Arce S., William Castillo E., Jorge GonzalezTercera Edicion 2002Edicion y Diagramacion: Carlos Arce.Dise no de portada:Tipografa y compilador: LATEXiPresentacionLos materiales de este libro han sido desarrollados para el cursointroductorio de algebra lineal, dirigido a estudiantes de ingenierayotrascarrerasdelaUniversidaddeCostaRica. Enellosseresume la experiencia de impartir el curso durante seis a nos.Nuestro proposito ha sido dotar a los estudiantes de un folletocon los temas basicos de la teora del algebra lineal que, resalte losaspectos geometricos del tema, no oculte algunas demostracionesfundamentales que permiten reconocer las vinculaciones entre dis-tintosconceptosymuestrealgunasdesusaplicaciones. Ellibroincluyeademaslistasabundantesdeejerciciosqueprivilegianlaaplicacion de conceptos sobre los aspectos p uramente algortmicos.Esta nueva edicion presenta algunos cambios respecto a la an-terior. Todos los captulos fueronrevisados, se mejoraronlosgracos y en algunos se agregaron nuevos ejercicios. El captulo deregresion lineal se reformulo completamente, haciendo una mejorexposiciondeltema. Porotraparte, ellibroincluyeahora, unanueva presentacion en formato PDF con hypertexto, que permiteser distribuido por medios electronicos y que constituye un nuevorecurso para que los profesores hagan sus exposiciones con ayudade ... o equipos similares.Agradecemos a los colegas de la catedra de algebra lineal susobservaciones sobre errores en la edicion anterior y las sugerenciaspara mejorar el material.iiIndiceGeneral1 Sistemasdeecuacioneslineales 11.1 Sistemas con dos incognitas . . . . . . . . . . . . . 11.2 Sistemasn m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Sustitucion hacia atras . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Operaciones elementales . . . . . . . . . . . 81.2.3 Sistemas equivalentes y reduccion gaussiana 81.3 Solucion de sistemas representados como matrices . 101.3.1 Matriz del sistema y matriz aumentada . . 101.3.2 Operaciones elementales sobrelas las deuna matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Matriz escalonada . . . . . . . . . . . . . . 121.3.4 Reduccion gaussiana y matriz escalonada . 151.3.5 Reduccion de Gauss-Jordan. . . . . . . . . 161.4 Matrices equivalentes y rango . . . . . . . . . . . . 181.4.1 Escritura matricial de sistemas . . . . . . . 181.4.2 Equivalencia de matrices . . . . . . . . . . . 201.4.3 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . 23iiiiv1.5 Caracterizacion de los sistemas, por su solucion. . 241.5.1 Sistemas que no tienen solucion . . . . . . . 241.5.2 Sistemas con solucion . . . . . . . . . . . . 251.5.3 Sistemas homogeneos . . . . . . . . . . . . 281.5.4 Sistemas con menos ecuaciones que variables 291.5.5 Sistemasn n . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6 Interpretacion del rango de una matriz. . . . . . . 301.7 Redes y sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . 321.7.1 Redes de ujos . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7.2 Redes electricas . . . . . . . . . . . . . . . . 341.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Matrices 472.1 Algunos tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . 492.2 Operaciones con matrices y propiedades . . . . . . 542.3 Algunas interpretaciones para el producto matricial 572.4 Propiedades del producto matricial . . . . . . . . . 592.5 Matrices inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.6 Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.6.1 Propiedades de las matrices elementales . . 682.7 Independencia lineal de vectores . . . . . . . . . . 752.7.1 Combinacion lineal de vectores . . . . . . . 752.7.2 Dependencia e independencia lineal . . . . . 772.7.3 Mas interpretaciones para el rango . . . . . 802.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84v3 Determinantes 953.1 Propiedades denitorias de la funcion determinante 963.2 Determinante de una matriz de orden n . . . . . . 973.3 Propiedades del determinante . . . . . . . . . . . . 993.4 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 ProgramacionLineal 1114.1 Dos modelos clasicos de programacion lineal . . . . 1114.1.1 Modelo de transporte . . . . . . . . . . . . 1124.1.2 Modelo de produccion . . . . . . . . . . . . 1144.2 Solucion del problema de programacion lineal . . . 1164.2.1 Metodo geometrico. . . . . . . . . . . . . . 1174.2.2 Solucion algebraica: metodo simplex . . . . 1194.3 Variables articiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3.1 Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3.2 Formulaciondelatecnicadelasvariablesarticiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405 Geometradevectores 1455.1 Representacion geometrica de vectores . . . . . . . 1465.1.1 Interpretacion geometrica de echa para vec-tores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.1.2 Interpretacion geometrica de la suma de vec-tores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150vi5.1.3 Interpretaciongeometricadel productodeun escalar por un vector . . . . . . . . . . . 1515.1.4 Relacion entre echas y puntos . . . . . . . 1525.2 Normas, angulos y proyecciones. . . . . . . . . . . 1565.2.1 Producto punto y norma . . . . . . . . . . . 1575.2.2 Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.2.3 Proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . 1645.3 Producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.3.1 Relacion entre el producto cruz, el volumende paraleleppedos y los determinantes . . . 1705.4 Conceptosdedistanciayanguloenel analisisdedatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.4.1 Metricas de pesos y medidas estadsticas . 1745.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776 Rectasyplanos 1896.1 Descripcion vectorial de una recta . . . . . . . . . 1896.1.1 Ecuacion vectorial de una recta. . . . . . . 1916.1.2 Ecuacionesparametricasescalaresysime-tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.2 Descripcion vectorial de los puntos de un plano . . 1956.2.1 Ecuacion vectorial de un plano . . . . . . . 1966.2.2 Ecuacion normal de un plano en IR3. . . . 1976.3 Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.4 Distancias entre puntos, rectas y planos . . . . . . 2026.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204vii7 Espaciosvectoriales 2117.1 Denicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . 2127.1.1 Ejemplos: espacio de matrices . . . . . . . . 2127.1.2 Mas ejemplos: espacios de funciones . . . . 2137.2 Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2147.2.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.2.2 Tres subespacios tpicos de IRn. . . . . . . 2187.3 Combinaciones lineales y conjuntos generadores . . 2207.3.1 Conjuntos generadores. . . . . . . . . . . . 2217.3.2 Dependencia e independencia lineal . . . . . 2257.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257.4.1 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.4.2 Conjuntos generadores de hiperplanos . . . 2327.4.3 Vector de coordenadas . . . . . . . . . . . . 2347.5 Espacio generado por las las de una matriz. . . . 2367.5.1 Operaciones elementales y espacio generado 2367.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2408 Ortogonalidadyproyecciones 2458.1 Conjuntos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . 2458.2 Bases ortonormales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2478.3 Subespacios ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . 2498.4 Proyeccion ortogonal sobre un subespacio . . . . . 2528.5 Construccion de bases ortonormales . . . . . . . . 2568.5.1 Ortonormalizacion de Gram-Schmidt . . . . 256viii8.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2609 RegresionLineal 2639.1 El caso de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . 2649.1.1 Planteo del modeloy = a0 +a1x + . . . . 2649.1.2 Solucion: mnimos cuadrados . . . . . . . . 2679.1.3 Aplicacion al ejemplo 9.1 . . . . . . . . . . 2699.1.4 Calidad de las estimaciones . . . . . . . . . 2709.2 Regresion Lineal M ultiple . . . . . . . . . . . . . . 2739.2.1 Planteo del modelo. . . . . . . . . . . . . . 2739.2.2 Solucion geometrica . . . . . . . . . . . . . 2769.2.3 Indice de calidad . . . . . . . . . . . . . . . 2779.2.4 Ejemplo 9.2:estimaciones con datos no cen-trados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.2.5 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2799.2.6 Ejemplo 9.2:estimaciones usando datos cen-trados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28210 TransformacionesLineales 28910.1Concepto de transformacion lineal . . . . . . . . . 29010.1.1 Imagenes de los vectores de una base deter-minan la t.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29110.2Relacion entre transformaciones y matrices . . . . 29310.2.1 Toda matriz dene una transformacion lineal 29310.2.2 Asociacion de matrices a las transformaciones29410.2.3 Matrices de cambio de base . . . . . . . . . 299ix10.2.4 Composicion de t.l. y producto matricial . 30110.2.5 Matricesasociadasaunamismatransfor-macion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30410.3N ucleo e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30610.3.1 Denicion de n ucleo e imagen. . . . . . . . 30710.3.2 Inyectividad y sobreyectividad . . . . . . . 31010.3.3 Transformaciones invertibles . . . . . . . . . 31610.4Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31911 VectoresyValoresPropios 32711.1Concepto de valor y vector propio . . . . . . . . . 32711.1.1 Calculo de valores y vectores propios. . . . 33011.2Diagonalizacion de matrices . . . . . . . . . . . . . 33311.2.1 Caracterizacion de matrices diagonalizables 33311.2.2 Matrices ortogonalmente diagonalizables. . 33711.3Valores y vectores propios de operadores. . . . . . 34111.3.1 Diagonalizacion de operadores . . . . . . . 34311.4Diagonalizacion de formas cuadraticas . . . . . . . 34511.5Rotacion de conicas y supercies cuadraticas . . . 34811.5.1 Conicas y sus ecuaciones canonicas. . . . . 34911.5.2 Ejes principales, angulo de rotacion . . . . 35311.5.3 Supercies cuadraticas usuales . . . . . . . 35611.6Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362AExamenes 371A.1 Examenes Parciales I. . . . . . . . . . . . . . . . . 371xA.1.1 I ciclo lectivo de 1996 . . . . . . . . . . . . 371A.1.2 II ciclo lectivo de 1996. . . . . . . . . . . . 376A.1.3 I ciclo lectivo 1997 . . . . . . . . . . . . . . 379A.1.4 II ciclo lectivo de 1997. . . . . . . . . . . . 380A.2 Examenes Parciales II . . . . . . . . . . . . . . . . 382A.2.1 I ciclo lectivo de 1996 . . . . . . . . . . . . 382A.2.2 II ciclo lectivo de 1996. . . . . . . . . . . . 386A.2.3 I ciclo lectivo de 1997 . . . . . . . . . . . . 388A.2.4 II ciclo lectivo de 1997. . . . . . . . . . . . 390A.3 Examenes Parciales III . . . . . . . . . . . . . . . . 392A.3.1 I ciclo lectivo de 1996 . . . . . . . . . . . . 392A.3.2 II ciclo lectivo de 1996. . . . . . . . . . . . 394A.3.3 I ciclo lectivo de 1997 . . . . . . . . . . . . 396A.3.4 II ciclo lectivo de 1997. . . . . . . . . . . . 398BRespuestasaalgunosejercicios 403B.1 Ejercicios 1.8 (pag. 36) . . . . . . . . . . . . . . . . 403B.2 Ejercicios 2.8 (pag. 84) . . . . . . . . . . . . . . . . 405B.3 Ejercicios 3.5 (pag.105) . . . . . . . . . . . . . . . 407B.4 Ejercicios 4.4 (pag. 140) . . . . . . . . . . . . . . . 408B.5 Ejercicios 5.5 (Pag. 177). . . . . . . . . . . . . . . 409B.6 Ejercicios 6.5 (Pag. 204). . . . . . . . . . . . . . . 411B.7 Ejercicios 7.6 (Pag. 240 ) . . . . . . . . . . . . . . 413B.8 Ejercicios 8.6 (Pag. 260). . . . . . . . . . . . . . . 414B.9 Ejercicios 9.3 (pag. 282) . . . . . . . . . . . . . . . 416xiB.10 Ejercicios 10.4 (pag.319) . . . . . . . . . . . . . . . 416B.11 Ejercicios 11.6 (pag. 362) . . . . . . . . . . . . . . 417Captulo1SistemasdeecuacioneslinealesComenzamos el estudiode los temas del algebralineal conelmetododereducciongaussianapararesolversistemasdeecua-cioneslineales. Suintroduccionseharademaneraoperativayse nalandolosprincipalesresultadosquecaracterizanlasolucionde un sistema. No nos ocuparemos de las demostraciones, pero senfatizamosenlalecturadelainformacionqueproveelaformaescalonada de la matriz aumentada del sistema. Se espera que laexperiencia adquirida al conocer dicho metodo se convierta en unabase concreta que permita abordar de mejor manera el estudio delas matrices, sus operaciones y otros conceptos mas complejos co-mo la invertibilidad de matrices y la independencia lineal. En la ultima seccion se incluyen algunos ejemplos de redes elementalescon el n de ilustrar una forma de modelacion mediante sistemasde ecuaciones lineales.1.1 SistemascondosincognitasLossistemasdeecuacioneslinealescondosincognitastienenlaparticularidaddequelospuntos(x1, x2)quesatisfacencadae-cuacionpuedenservisualizadoscomolospuntosdeunarecta,12 Sistemasdeecuacioneslinealesesdecir, cadaecuaciondel sistemaeslaecuaciondeunarecta.Por eso, el sistema y su solucion tienen una interpretacion gracacomo se ilustra en el siguiente ejemplo.Ejemplo1.1Sea el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales endos incognitas:___x1 +x2= 32x1 +x2= 0x1 +x2= 1Para resolver este sistema por el metodo graco se dibujan enunmismosistemadecoordenadas, lastresrectasasociadasconlas tres ecuaciones, como se ve en la siguiente gura.-6?

x1 +x2 = 1x1 +x2 = 32x1 +x2 = 012Un punto (a, b) es un punto solucion del sistema solo si satisfacecada ecuacion, o lo que es lo mismo, solo si es un punto de cadauna de las rectas (cada recta pasa por (a, b)). En nuestro ejemploeste punto es (1, 2).Cuando se tiene un sistema de m ecuaciones lineales distintas,con dos incognitas, se tendran las siguientes posibilidades:1. Haydosecuacionescorrespondientesarectasparalelasco-mo se ilustra en la siguiente gura. En este caso no puedehaber un mismo punto que pertenezca a todas las rectas ydecimos que el conjunto solucion del sistema es: S= . Elgraco siguiente ilustraesta situacion,para elcaso de tresecuaciones.1.1Sistemascondosincognitas 3-6?

2. No hay rectas paralelas pero tampoco hay un punto en queconcurran todas las rectas,como lo muestra el graco. Eneste caso la solucion del sistema tambien es el conjunto vaco:S = .-6?

3. Todaslasrectasconcurrenenexactamenteunpunto. Eneste caso la solucion es el punto de concurrencia, S = (a, b) ,como en el graco siguiente, para el caso de 4 ecuaciones.-6?

ab4. Todas las ecuaciones corresponden a la misma recta, en cuyocasotodoslospuntosdelarectasonsoluciondelsistema.Esto se ilustra con el siguiente sistema:4 Sistemasdeecuacioneslineales___4x1 2x2= 02x1 +x2= 0x1 x2/2 = 0-6?

x1 x2/2 = 04x1 2x2 = 02x1 +x2 = 0El conjunto solucion es: S = (x1, x2)[x2 = 2x1.Para sistemas de ecuaciones lineales con tres incognitas, cadaecuacion en el sistema es la ecuacion de un plano. De modo quetambien en este caso podemos dar un signicado geometrico a lasolucion. Sinembargo, afaltadeunmejorconocimientosobrelas ecuaciones de planos en IR3, posponemos su discusion hasta elcaptulo 6.Un sistema de ecuaciones lineales se interpreta tambien comouna formulacion matematica de un conjunto de restricciones, unapor cada ecuacion. Esto se comprende mejor si las variables tienenun signicado fsico como se ilustra en el ejemplo siguiente.Ejemplo1.2En un acuarium hay dos especies de pecesA yBque se alimentan con dos clases de alimentos. En la tabla siguien-teseindicanel consumopromediodiariodealimentodeambasespecies y la cantidad de alimento disponible por clase (columnacuatro), en gramos.EspeciesAlimentos A B Totalclase 1 2 1 25clase 2 4 3 55El problema a resolver consiste en calcular la cantidad maximade peces de cada especie que pueden vivir en el acuarium.Sean xA y xBlas cantidades maximas de peces de las especiesA yBrespectivamente, que pueden coexistir en el acuarium. Elproblema es entonces calcular xA yxB. Las restricciones del pro-blema son :1.2Sistemasn m 52xA +xB = cantidad de alimento de la clase 1, consumida diaria-mente por la totalidad de los peces. Es decir : 2xA +xB = 25.4xA + 3xB= cantidad de alimento de la clase 2, consumida dia-riamente por la totalidad de los peces. Es decir : 4xA+3xB = 55.La solucion al problema planteado se encuentra resolviendo elsiguiente sistema de ecuaciones lineales 2 2 :_2xA+ xB= 254xA+ 3xB= 55De la primera ecuacion se obtiene xB = 252xA. Esta expre-sion se sustituye en la segunda ecuacion: 4xA +3(25 2xA) = 55y despejandoxA, se tiene: xA = 10. LuegoxB = 25 2xA = 25 2(10) = 5.Por lo tanto pueden coexistir diariamente 10 peces de la especieA y 5 de la especieB.1.2 Sistemasn mSedicequeunconjuntodeecuaciones, cadaunadelascualesrestringe los valores que pueden asumirm variables o incognitasx1, . . . , xm, representanunsistemade ecuaciones, cuando nosinteresamosporlos n-etuplos(x1, x2, . . . , xm)quesatisfacensi-multaneamente todas las ecuaciones. Una ecuacion en las varia-blesx1, . . . , xm, es lineal si es de la forma:a1x1 +a2x2 + +amxm = bdondea1, a2, . . . , amyb son n umeros reales dados. En general,escribimos un sistema de ecuaciones lineales como:6 SistemasdeecuacioneslinealesDenicion1.1(Sistemadeecuacioneslinealesn m)Unsistemadenecuacioneslinealesymincognitasx1, . . . , xm,se escribe en la forma:___a11x1+ a12x2++ a1mxm= b1a21x1+ a22x2++ a2mxm= b2.........an1x1+ an2x2++ anmxm= bndondelosn umerosaijybisonconocidos. Elsmboloaijdenotael coeciente en la ecuacioni asociado a la variablej.En adelante usaremos la expresion sistema nm para refe-rirnos a un sistema den ecuaciones lineales conm incognitas.Ejemplo1.3El siguiente es un sistema 34, en las incognitasx1, x2, x3yx4:___2x2+ 4x3+ x4= 102x1+ 5x2+ 12x3+ 6x4= 10x1+ 1x2+ 3x3+ 3x4= 1Denicion1.2(Soluciondeunsisteman m)Dadounsistemadenecuacioneslinealesconmincognitas, sedice que elm-etuplo (x1, x2, . . . , xm) es una solucion del sistema,si satisfacecadaunadelas necuaciones. Yal conjuntoSdetodas las soluciones del sistema, se le llama conjunto solucion delsistema.Ejemplo1.4Veriqueque(1, 4, 0, 2)esunasoluciondel sis-tema en el ejemplo 1.3.Claramente se tiene que:___2(4) + 4(0) + (2) = 102(1) + 5(4) + 12(0) + 6(2) = 10(1) + 1(4) + 3(0) + 3(2) = 1S= (1, 4, 0, 2)seraelconjuntosoluciondelsistema? Siesas, lasolucionanteriorserala unicasolucion. Sinembargo,1.2Sistemasn m 7todava no hemos planteado los resultados necesarios para poderresponder.1.2.1 SustitucionhaciaatrasAlgunos sistemas de ecuaciones lineales tienen una forma especialquepermiteresolverlos facilmente. El metodoparahacerloesconocidocomosustitucionhaciaatrasyseintroduceconelsiguiente ejemplo:___x1+ 1x2+ x3+ 3x4= 1x2+ 2x3+ 2x4= 4x3+ 1x4= 2x4= 2Dada la forma de este sistema, de la ultima ecuacion se obtiene elvalor para la variablex4:x4 = 2Este valor se sustituye en las restantes ecuaciones, lo que permite,a partir de la ecuacion 3, determinar el valor de la variablex3:x3 1(2) = 2 =x3 = 4Denuevoelvalordelavariablex3sesustituyeenlasrestantesecuaciones y se obtiene de la ecuacion 2 que:x2 2(4) + 2(2) = 4 =x2 = 8Finalmente, conociendo los valores dex4, x3 yx2, de la ecuacion1 se tiene que:x1 1(8) + 4 + 3(2) = 1 =x1 = 3As (x1, x2, x3, x4) = (3, 8, 4, 2) es una solucion del sistema.Al reconocerlaformadeaquellossistemasqueseresuelvenfacilmente, para resolver un sistema cualquiera, el metodo de re-duccion gaussiana se ocupa de transformarlo en uno de este tipo.Sin embargo, claramente, esta transformacion debe hacerse de for-ma que no se cambie el conjunto solucion.8 Sistemasdeecuacioneslineales1.2.2 OperacioneselementalesTres tipos de operaciones sobre las ecuaciones de un sistema, lla-madas operacioneselementales, permiten transformar un sis-tema a otros, sin modicar el conjunto solucion:a) Multiplicar unaecuacionpor unn umeroreal distintodecero,esto es,multiplicar a ambos lados de la igualdad porun mismo n umero.b) Multiplicarunaecuacionporunn umeroreal ysumarlaaotra ecuacion.c) Intercambiar de posicion dos ecuaciones cualesquiera.Parece bastante claro que aplicando operaciones del tipo a) yc), aunsistemadado, seobtenganotrossistemasconelmismoconjunto solucion. Lo mismo ocurre si se aplican operaciones deltipo b), aunque en este caso la justicacion tal vez no sea tan e-vidente. En todo caso, demostrar que las operaciones elementalesno cambian el conjunto solucion de un sistema es un ejercicio im-portante, que se pospone hasta disponer del producto de matrices.1.2.3 Sistemas equivalentes y reducciongaus-sianaDenicion1.3(Sistemasequivalentes)Dos sistemas de ecuaciones lineales conm incognitas son equiva-lentes si tienen el mismo conjunto solucion.Deestadenicionsetienequesi unsistemadeecuacioneslineales es el resultado de aplicarle operaciones elementales a otro,ambos sistemas son equivalentes.El metodo de reduccion gaussiana permite resolver sistemas deecuaciones lineales, explotando la idea de equivalencia. Es decir,transformando el sistema mediante operaciones elementales, hastaobtener uno cuya forma permite resolverlo mediante sustitucionhacia atras. El siguiente ejemplo, ilustra la idea.1.2Sistemasn m 9Ejemplo1.5Aplicando la siguiente secuencia de operaciones e-lementalesal sistemadel ejemplo1.3seobtienenlossiguientessistemas equivalentes:Intercambiando de posicion las ecuaciones 1 y 3 se obtiene:___x1+ 1x2+ 3x3+ 3x4= 12x1+ 5x2+ 12x3+ 6x4= 102x2+ 4x3+ x4= 10Multiplicando la primera ecuacion por 2 y sumandola a la se-gunda:___x1+ 1x2+ 3x3+ 3x4= 13x2+ 6x3= 122x2+ 4x3+ x4= 10Multiplicando por13la segunda ecuacion tenemos:___x1+ 1x2+ 3x3+ 3x4= 1x2+ 2x3= 42x2+ 4x3+ x4= 10Multiplicando la segunda ecuacion por (-2) y sumandola a latercera, nos da:___x1+ 1x2+ 3x3+ 3x4= 1x2+ 2x3= 4x4= 2Este ultimosistemaesequivalenteal inicial tieneel mis-mo conjunto solucion y su solucion se puede obtener mediantesustitucion hacia atras, en la siguiente forma:de la ultima ecuacion se tiene quex4 = 2de la segunda ecuacion: x2 2x3= 4 =x2= 4 + 2x3.Observe que en este caso no se conoce el valor dex3, por lotanto el valor dex2se hace depender del dex3.Y de la primera ecuacion:x1 (4 + 2x3) + 3x3 + 3(2) = 1 = x1 +x3 + 2 = 1= x1 = 1 x3.10 SistemasdeecuacioneslinealesEn resumen___x1= 1 x3x2= 4 + 2x3x4= 2Seobservaquetantoel valordex1comoel dex2dependendex3, esto es, se puede dar un valor arbitrario a x3, lo cual se indicaasignadole cualquier n umero t, x3 = t. As, x1 = 1t, x2 = 4+2tyentodosloscasosx4=2. Luegosedicequelasoluci ondelsistema depende de un parametrot y es dada por:S = (x1, x2, x3, x4) = (1 t, 4 + 2t, t, 2)[t IR1.3 SoluciondesistemasrepresentadoscomomatricesLa aplicacion del metodo de reduccion gaussiana para resolver unsistema, resulta mas sencillo con el empleo de matrices.1.3.1 MatrizdelsistemaymatrizaumentadaEn un sisteman m:___a11x1+ a12x2++ a1mxm= b1a21x1+ a22x2++ a2mxm= b2.........an1x1+ an2x2++ anmxm= bnse puede distinguir el siguiente arreglo rectangular de n umeros aijqueseconoceracomomatrizdel sistemaysedenotaracomoA = (aij):A =_____a11a12 a1ma21a22 a2m.........an1an2 anm_____Una matrizA como esta, se dice que es una matrizn m, esdecir, conn las ym columnas.1.3Soluciondesistemasrepresentadoscomomatrices 11Si a la matriz del sistema se agregan los valoresbicomo una ultima columna, el nuevo arreglo se denomina matriz aumenta-da del sistema, el cual se suele denotar como (A[b):(A[b) =_____a11a12 a1mb1a21a22 a2mb2............an1an2 anmbn_____Ejemplo1.6En el ejemplo 1.3, el sistema 3 4 dado:___2x2+ 4x3+ x4= 102x1+ 5x2+ 12x3+ 6x4= 10x1+ 1x2+ 3x3+ 3x4= 1tiene como matrices del sistema y aumentada:Matriz del sistema Matriz aumentada__0 2 4 12 5 12 61 1 3 3____0 2 4 1 102 5 12 6 101 1 3 3 1__1.3.2 OperacioneselementalessobrelaslasdeunamatrizCuandolossistemasserepresentancomomatricesaumentadas,las operaciones elementales sobre ecuaciones se denotan en la si-guiente forma:Notacion:afiMultiplicar (ecuacion) lai por la constante no nulaa.afi +fjMultiplicar la (ecuacion) lai por un n umero realay sumarla a la (ecuacion) laj.fi, fjIntercambiar las (ecuaciones) lasi yj.Cuandoestas operaciones seescribensobreunaecha, porejemploaf1 +f2, se indica que la matriz (sistema) a la derecha12 Sistemasdeecuacioneslinealeses equivalente al anterior, por la aplicacion de la operacion elemen-tal indicada.Ejemplo1.7El procedimiento de reduccion gaussiana aplicadoen el ejemplo (1.5) se resume en la siguiente forma:__0 2 4 1 102 5 12 6 101 1 3 3 1__f1, f3__1 1 3 3 12 5 12 6 100 2 4 1 10__2f1 +f2__1 1 3 3 10 3 6 0 120 2 4 1 10__13f2__1 1 3 3 10 1 2 0 40 2 4 1 10__2f2 +f3__1 1 3 3 10 1 2 0 40 0 0 1 2__La ultima matriz tiene la forma especial que se busca al aplicarel metodo de reduccion gaussiana, es decir, representa un sistemacon la forma requerida para resolverlo por sustitucion hacia atras,como fue hecho en el ejemplo 1.5.En general, para aplicar el metodo de reduccion gaussiana esnecesariotenerclaro,cualesesaformageneraldelamatrizau-mentada que se busca y que permite terminar de resolverlo medi-ante sustitucion hacia atras.1.3.3 MatrizescalonadaParaprecisar las ideas sobrelaformaespecial delos sistemasquepuedenresolverseporel metododesustitucionhaciaatras,se utiliza el concepto de matrizescalonada. As se dira que unsistema con esta forma especial tiene como matriz aumentada unamatriz en la forma escalonada.1.3Soluciondesistemasrepresentadoscomomatrices 13Denicion1.4(Matrizescalonada)SeaA una matriznm. A es escalonada si es nula o si satisfacelas tres condiciones siguientes:i. El primer elemento no nulo de cada la, si existe, es un 1.ii. El primer 1 de la segunda la y sucesivas esta a la derechadel primer 1 de la la anterior.iii. Si tiene las nulas compuestas solo de ceros estas apare-cenenlaparteinferiordelamatriz, abajodelaslasnonulas.Ejemplo1.8Las matrices (A[b) y (B[c) siguientes, tienen la for-ma escalonada:Matriz (A[b) Matriz (B[c)____1 1 3 5 50 1 0 1 10 0 1 0 30 0 0 0 1__________1 1 0 3 10 1 2 0 40 0 1 1 20 0 0 1 40 0 0 0 0______La matrices escalonadas,ademas de caracterizar los sistemasquepuedenser resueltos por sustitucionhaciaatras, permitenreconocer facilmente los sistemas que tienen solucion de los que nola tienen. Por ejemplo, si consideramos los sistemas de ecuacionesque representan las matrices aumentadas (A[b) y (B[c) anteriores,observamos:Sistemaconmatrizaumentada(A[b). El sistema correspon-diente a esta matriz no tiene solucion, porque hay una ecua-cion inconsistente:Observe que la ultima ecuacion es:0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 1y claramente, no existen valores x1, x2, x3 y x4 quemultiplicados por cero y sumados puedan dar 1.Una ecuacion de este tipo la llamaremos inconsistente y bas-ta con que un sistema tenga una ecuacion inconsistente, para14 Sistemasdeecuacioneslinealesquenotengasolucion. Claramentenopuedeexistir unasolucion que satisfaga todas las ecuaciones.Sistemaconmatrizaumentada(B[c). Este sistema tiene solu-cion puesto que no tiene ecuaciones inconsistentes y se de-termina por sustitucion hacia atras:de la ultima la (ecuacion) no nula se tiene que x4 = 4.de la tercera ecuacion: x3 + 4 = 2 =x3 = 6.de la segunda ecuacion: x22(6) = 4 =x2 = 8.Finalmente, de la primera ecuacion se obtiene que:x1 1(8) + 3(4) = 1 =x1 = 19.En conclusion, el sistema tiene una unica solucion:(x1, x2, x3, x4) = (19, 8, 6, 4).La ultima ecuacion de este sistema, la que corresponde a lala de ceros, es una ecuacionsuperua:0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0Observequecualesquieravalores x1, x2, x3, yx4lasatis-facen, de manera que no constituye ninguna restriccion. Sise omite se obtiene un sistema con el mismo conjunto solu-cion.Un sistema de ecuaciones puede contener ecuaciones super-uasoredundantes, en el sentido de que las restricciones queestablecen ya estan contempladas en las otras ecuaciones. De estamanera no aportan informacion adicional para resolver el sistema.Caracterizar dichas situaciones es uno de los objetivos mas impor-tantesal estudiarlossistemasdeecuacioneslineales, paraesto,enelcaptulosiguienteseutilizaralaideadedependenciaein-dependencialinealdelaslasdelamatrizaumentada. Enestaetapa nos conformamos con observar, en cada ejemplo y ejercicioque se resuelva,que las ecuaciones redundantes se convierten enlasnulas, cuandoseobtienelaformaescalonadadelamatrizaumentada del sistema.1.3Soluciondesistemasrepresentadoscomomatrices 151.3.4 ReducciongaussianaymatrizescalonadaAl hacer operaciones elementales para resolver un cierto sistema,por reduccion gaussiana, se busca darle la forma escalonada a lamatrizaumentada. Enel siguienteejemplosevericaqueparalograr este proposito no hay una secuencia unica de operaciones e-lementales a realizar. Y a un mas, el resultado nal de la secuenciade operaciones elementales (la forma escalonada), no siempre serala misma. Es decir, una matriz aumentada puede tener varias for-mas escalonadas (equivalentes), que representan el mismo sistemade ecuaciones.Ejemplo1.9Resolver el siguiente sistema 44, mediante reduc-cion gaussiana:___2x1+ 6x2+ 12x3+ 16x4= 70x1+ 2x2+ 6x3+ 6x4= 261x1+ 3x2+ 3x3+ 7x4= 304x2+ 3x3+ 6x4= 26Solucion:la siguiente secuencia de operaciones elementales trans-forman la matriz aumentada en una forma escalonada:____2 6 12 16 701 2 6 6 261 3 3 7 300 4 3 6 26____12f1____1 3 6 8 351 2 6 6 261 3 3 7 300 4 3 6 26____f1 +f2f1 +f3____1 3 6 8 350 1 0 2 90 0 3 1 50 4 3 6 26____4f2 +f4____1 3 6 8 350 1 0 2 90 0 3 1 50 0 3 2 10____f3 +f4(1/3)f3____1 3 6 8 350 1 0 2 90 0 1 1/3 5/30 0 0 1 5____16 SistemasdeecuacioneslinealesPero tambien, si se inicia con la operacion elementalf1, f2para obtener el primer 1, en la posicion (1,1) y se contin ua con lasoperaciones2f1 +f2,f1 +f3,f2, f3,2f2 +f3,4f2, f4,1/6f39f3, f4, se obtiene nalmente otraforma escalonada:____1 2 6 6 260 1 3 1 40 0 1 1/3 5/30 0 0 1 5____Sin embargo, observe que las operaciones elementales3f3 +f2yf2 +f1sobreesta ultimamatrizlareducenalaanteriorforma escalonada, es decir, ambas formas escalonadas representansistemas 4 4 con la misma solucion.Por otra parte, la solucion del sistema se obtiene por sustitu-cion hacia atras:de la ultima ecuacion: x4 = 5de la tercera ecuacion: x3 + 5/3 = 5/3 =x3 = 0.de la segunda ecuacion: x2 + 3(0) 1(5) = 4 =x2 = 1nalmente: x1 2(4) + 6(0) + 6(5) = 26 =x1 = 2.Resumiendo, la unica solucion es (2, 1, 0, 5).1.3.5 ReducciondeGauss-JordanCuando se resuelve un sistema de ecuaciones por reduccion gaus-siana, el procesoquecorrespondealasustitucionhaciaatras,tambienpuedeser realizadohaciendomasoperaciones elemen-tales, hasta obtener un sistema equivalente cuya solucion resultaevidente.1.3Soluciondesistemasrepresentadoscomomatrices 17En este caso, la forma que debemos buscar en la matriz aumen-tada del sistema es la denominada forma escalonada reducida,denida a continuacion y el metodo de solucion de sistemas resul-tante se conoce como metodo de Gauss-Jordan.Denicion1.5(Matrizescalonadareducida)UnamatrizA, nm,esescalonadareducidasiesescalonadayademas todo elemento en una columna, arriba del primer uno decualquier la, es cero.Es decir, la forma escalonada reducida se obtiene de una formaescalonada, haciendo cero los elementos de la matriz arriba de losprimeros unos de cada la.Ejemplo1.10LamatrizAsiguientetienelaformaescalonadareducida, sin embargo la matrizBno es escalonada reducida:MatrizA MatrizB____1 0 1 0 50 1 1 0 10 0 0 1 30 0 0 0 0__________1 0 0 3 10 1 0 0 00 0 1 1 00 0 0 0 10 0 0 0 0______Ejemplo1.11Escriba todas las formas escalonadas y escalona-das reducidas, de una matriz 2 2.Solucion: Todas las formas escalonadas son:_0 00 0_,_1 b0 1_,_1 a0 0_y_0 10 0_cona, b IRTodas las formas escalonadas reducidas son:_0 00 0_,_1 00 1_,_0 10 0_,_1 a0 0_cona, b IREjemplo1.12Resolver el sistema del ejemplo 1.9, por el metodode Gauss-Jordan.18 SistemasdeecuacioneslinealesSolucion:Hay que determinar la forma escalonada reducida de lamatriz aumentada del sistema. Una secuencia de operaciones ele-mentales para lograr este objetivo, es dada por las que se hicieronenel ejemplo 1.9 para obtener la forma escalonada,a las que sedeben agregar las siguientes:____1 3 6 8 350 1 0 2 90 0 1 1/3 5/30 0 0 1 5____3f2 +f1____1 0 6 2 80 1 0 2 90 0 1 1/3 5/30 0 0 1 5____6f3 +f1____1 0 0 0 20 1 0 2 90 0 1 1/3 5/30 0 0 1 5____(1/3)f4 +f32f4 +f2____1 0 0 0 20 1 0 0 10 0 1 0 00 0 0 1 5____luego___x1= 2x2= 1x3= 0x4= 5As, la solucion unica del sistema es:(x1, x2, x3, x4) = (2, 1, 0, 5).1.4 MatricesequivalentesyrangoParacaracterizarlossistemasdeecuacioneslinealesquetienensolucionyaquellosquenolatienenseintroduciralanocionderango de una matriz, lo cual requerira ampliar un poco la notacionde sistemas.1.4.1 EscrituramatricialdesistemasLlamaremos vector la a cualquiern-tuplo(a1, a2, . . . , an),1.4Matricesequivalentesyrango 19compuesto por n n umeros reales. Y cuando este n-tuplo se escribecomo una columna:_____a1a2...an_____ se dira que es un vector columna.Unvector layunvector columna, siemprequetenganelmismon umerodecomponentes, puedensermultiplicadosenlasiguiente forma:(a1, a2, . . . , an)_____b1b2...bn_____= a1b1 +a2b2 +. . . +anbnPor ejemplo:(2, 1, 3, 5)____4201____= 2(4) 1(2) + 3(0) + 5(1) = 1Conestaoperacion, unaecuacioncomo2x1 + 3x2 5x4=10puede ser escrita en la forma:(2, 3, 0, 5)____x1x2x3x4____= 10.As, un sistema de ecuacionesn m___a11x1+ a12x2++ a1mxm= b1a21x1+ a22x2++ a2mxm= b2.........an1x1+ an2x2++ anmxm= bnse puede expresar como:_____a11a12 a1ma21a22 a2m.........an1an2 anm__________x1x2...xn_____=_____b1b2...bm_____20 Sistemasdeecuacioneslinealeslo que se simplica escribiendo simplementeAx = b,dondeA = (aij) es la matrizn m de coecientes del sistema,b =___b1...bm___y x =___x1...vn___,son el vector de constantes en las ecuaciones a la derecha del igualy el vector de incognitas del sistema, respectivamente.EstaformadeescrituraAx =bseconoceracomoescrituramatricial del sistema. Yenellacadaecuacioni del sistemaserepresentacomo: elproductodelvectorlaidelamatrizAmultiplicado por el vector columnax igual a la componentei delvectorb.Ejemplo1.13El siguiente sistema 43, en las incognitas x1, x2yx3:___x1 2x3= 22x1+ x2+ 5x3= 1x1+ x2+ 3x3= 1x2+ x3= 3se escribe en su forma matricial como:____1 0 22 1 51 1 30 1 1______x1x2x3__=____2113____.Si Ax =b es un sistema de ecuacionesnm, la matrizA esla matriz del sistema y (A[b) su matriz aumentada.1.4.2 EquivalenciadematricesAhoranosocuparemosdelasmatricesdelossistemasdeecua-cioneslinealescomoobjetosqueexistenindependientementedeestos. As una matriz nm es un arreglo rectangular de n umeros1.4Matricesequivalentesyrango 21reales conn las ym columnas. Y a estos objetos (matrices) lesaplicaremos la nocion de equivalencia, heredada de los sistemas.Denicion1.6(Matricesequivalentes)SeanA, B matricesnm, se dice que la matrizA es equivalenteporlasaB(osimplementeequivalente), si BseobtienedeAporaplicaciondeoperacioneselementalesderenglon. SeescribeA B.Aunquelaideadeequivalenciaenmatriceseslamismaqueensistemas, presentaunapeque nadiferencia. Dossistemasdeecuacioneslinealesenmvariablespuedenserequivalentes, a uncuando tengan distinta cantidad de ecuaciones. Sin embargo, dosmatrices aumentadas no son equivalentes si tienen un n umero delas (ecuaciones) distinto, a un cuando representen sistemas equi-valentes. Aunque es claro, en este caso, que agregando las nulasalaquetengamenoslas, sepuedentransformarenmatricesequivalentes.Ejemplo1.14Consideremos lamatrizaumentadadel sistemaen el ejemplo 1.13, que denominamos B y apliquemos operacioneselementales hasta obtener una matriz escalonadaC:B =____1 0 2 22 1 5 11 1 3 10 1 1 3____2f1 +f2f1 +f3____1 0 2 20 1 1 30 1 1 30 1 1 3____f2 +f2f2 +f4____1 0 2 20 1 1 30 0 0 00 0 0 0____= CAs se tiene queB es equivalente aC. Y tambien es cierto queBes equivalente a:____1 0 2 20 1 1 30 1 1 30 1 1 3____, y tambien a____1 0 2 20 1 1 30 0 0 00 1 1 3____.22 SistemasdeecuacioneslinealesAhoraseprecisaraelconceptoderangodeunamatriz,paralo cual se requiere del siguiente resultado fundamental.Teorema1.7Si A es una matriz mn entonces existe una unicamatrizBconlaformaescalonadareducidaqueesequivalenteaA.No proponemos una demostracion de este resultado, mas bien,observemos con el siguiente ejemplo, que para el caso de matricesescalonadas, el resultado es falso.Ejemplo1.15SeaA =_2 2 3 42 1 0 3_Calcule dos matrices escalonadas, equivalentes a A.Solucion:_2 2 3 42 1 0 3_f1 +f2_2 2 3 40 3 3 1_12f1,13f2_1 13220 1 1 13_= B1Por otra parte tenemos,_2 2 3 42 1 0 3_f1, f2_2 1 0 32 2 3 4_f1 +f2_2 1 0 30 3 3 1_12f113f2_1120320 1 1 13_= B2Las matrices B1yB2sonescalonadas, AB1, AB2yB1 ,= B2.1.4Matricesequivalentesyrango 231.4.3 RangodeunamatrizComo cada matriz es equivalente a una unica matriz en la formaescalonada reducida, se puede denir el rango como:Denicion1.8(RangodeA)Sea A una matriz nm, se llama rango de A y se denotaRng (A)al n umerodelasnonulasdelamatrizenlaformaescalonadareducida equivalente aA.As paradeterminarel rangodeunamatriz Aesnecesariocalcular su forma escalonada reducida, sin embargo, observe quecualquier matriz escalonada equivalente a Atiene el mismo n umerode las nonulas que laescalonadareducida. Estoporque laescalonadareducidaseobtienedelaescalonadaaplicandomasoperaciones, las cuales no modican el n umero de las no nulas.Ejemplo1.16En el ejemplo 1.14, se observo que las matrices ByCson equivalentes,B =____1 0 2 22 1 5 11 1 3 10 1 1 3________1 0 2 20 1 1 30 0 0 00 0 0 0____= C.Y comoCes escalonada reducida (es suciente con que sea esca-lonada) y tiene dos las no nulas, entoncesRng (B) = 2.Recordemos que la matrizBes la matriz aumentada del sistema43 en el ejemplo 1.13. Entonces el rango deBinforma que elsistema se puede reducir a uno de dos ecuaciones sin perder infor-macion,oseaquelasrestantes4 Rng (B) = 2sonecuacionessuperuas.24 Sistemasdeecuacioneslineales1.5 Caracterizacion de los sistemas, porsusolucionSeguidamente se dara una caracterizacion de los sistemas de ecua-ciones lineales con solucion unica, innito n umero de soluciones osin solucion, basados en las caractersticas de la matriz del sistemaylamatrizaumentada, ambasenunaformaescalonada, queseresumen en la nocion de rango.1.5.1 SistemasquenotienensolucionEl problema de decidir si un sistema de ecuaciones lineales tienesolucion o no, es el problema de reconocer si tiene ecuaciones in-consistentes o no. Y esto se reconoce facilmente cuando el sistematiene la forma escalonada y se observa al menos una ecuacion dela forma:0x1 + 0x2 + + 0xn = 1como en el ejemplo 1.8, matriz (A[b).Tambien resulta facil de reconocer que hay ecuaciones incon-sistentes, enunsistemaensuformainicial, cuandodosdeellastienenigualescoecientesasociadosalasmismasvariablesylaconstante a la derecha es distinta, por ejemplo, las ecuaciones 2 y4 del sistema siguiente:___x1+ 5x3+ 1x4= 12x1+ 1x2+ 5x3+ x4= 33x1+ 1x2+ 2x3+ 3x4= 12x1+ 1x2+ 5x3+ x4= 6Obtengalaformaescalonadadeestesistemayveriquequeenesta forma escalonada aparece una ecuacion inconsistente, o sea,el sistema no tiene solucion.Sinembargo, enterminosdel sistemainicial hayotrostiposde dependencia entre las ecuaciones que las pueden hacer incon-sistentes. Estees unproblemadifcil queserelacionaconlosconceptos de rango e independencia lineal,que se estudiara masadelante. Peroentodosloscasos, cuandoestoocurre, laforma1.5Caracterizaci ondelossistemas,porsusolucion 25escalonada del sistema hara evidente la existencia de al menos unaecuacion inconsistente con la forma vista.Finalmente observemos que en un sistema de ecuaciones linea-lesAx =b,la presencia de al menos una ecuacion inconsistente,en la forma escalonada de la matriz aumentada del sistema haraque el rango de A y el rango de (A[b) sean distintos. Por ejemplo,en un sistema 4 4, la forma escalonada de la matriz (A[b) de unsistema inconsistente puede ser:(A[b)...____1 0 0 1 0 0 0 0 10 0 0 0 0____donde el smbolo representa cualquier n umero real. En este casolaecuacionquerepresentalatercerladelamatrizanterioresinconsistente y hace queRng (A) ,=Rng (A[b). Especcamente,2 =Rng (A) 0. Ademas, si lafuncion objetivo se eval ua eny se tiene:z(y) = csxs< 0 = z(x)porquecs< 0. Entonces, claramente, se pueden elegir solu-ciones factibles para hacer z(y) tan peque na como se quiera.Es decir,la funcion objetivo no es acotada inferiormente ypor lo tanto no existe una solucion optima.Caso2.b: Existe una entrada en la columnaAsque es positiva.Es decir, existeaks> 0.En este subcaso expresando el conjunto de restricciones co-moen(4.1)paraobtenerunanuevasolucionfactible, quedependadexs, sedebeelegirxsdemaneraquetodaslasentradas ded = b xsAssean positivas o cero, esto es:d = b xsAs =________b1...bk...bm________xs________a1s...aks...ams________=________b1 xsa1s...bk xsaks...bm xsams________ 0Cuandoaks 0, claramentesetienequebk xsaks 0para cualquier eleccion xs> 0. Y para las entradas k de Asen las queaks> 0,xsdebe cumplir:bk xsaks 0= bk xsaks= xsaks bk= xs bkaksEntonces eligiendoxscomo:xs =brars= minbkaks[aks> 0, k = 1, . . . , m4.2Soluciondelproblemadeprogramacionlineal 127seobtienequexsespositivoyesel mayorvalortal quedk=bk xsaks 0 para cadak = 1, . . . , m. Luego, comoen el caso anterior:y = (d1, . . . , dm, 0, . . . , 0, xs, 0, . . . , 0) IRnes una nueva solucion factible que al evaluarla en la funcionobjetivo mejora la solucionxque le dio origen:z(y) = csxs< 0 = z(x)Por otra parte, se observa quedr=br brarsars = 0 con loque puede probarse que y es una solucion basica factible, convariablesbasicasx1, . . . , xr1, xs, xr+1, . . . , xm. As, enlanueva solucionxrdeja de ser variable basica y se sustituyepor la nueva variable basicaxs.TabladelsimplexParaefectosdecalcularlanuevasoluciony, enel caso2.b, essuciente con darle al problema de programacion lineal una nuevaforma canonica que convierta, mediante operaciones elementales,la columnaAsen el vector canonicoer. O lo que es lo mismo, sedeben efectuar las siguientes operaciones elementales:aksarsfr +fk k = 1, . . . , m, k ,= r y1arsfrsobre la matriz aumentada del sistema de restricciones.Para hacer esto, convenimos en representar el problemaMinz = cx, sujeto a Ax = b yx 0.mediante la matriz aumentada de las restricciones,agregando lafuncionobjetivocomounaecuacionmasquedependedel para-metroz:a11. . . a1s. . . a1nb1a21. . . a2s. . . a2nb2............ar1. . . [ars] . . . arnbr............am1. . . ams. . . amnbmc1. . . cs. . . cnz128 ProgramacionLinealAunque la tabla anterior no lo reeje, todava estamos consideran-do que sus primeras mcolumnas correspondena los vectorescanonicose1, e2, . . . , em.Cuando se hacen las operaciones elementales indicadas paraproducirun1enlalarycolumnasycerosenlasrestantesentradas de dicha columna al elemento ars se le llama pivote ysuele identicarse en la tabla anterior encerrandolo por un crculo,en nuestro caso lo marcamos con [ ].Observe que las mencionadas operaciones elementales no modi-can las columnase1, . . . , er1, er+1, . . . , em, porque estas tienenun 0 en la la r, luego lo que hacen es cambiar de posicion el vectorer, de la columnar (en nuestro caso) a la columnas. Ademas sixs =brars, los valoresdkde la nueva soluciony son:dk = bk xsaks = bk brarsaks = bk aksarsbrque es precisamente el resultado de la operacion elemental aksarsfr+fksobrela ultimacolumnadelatablaanterior. As, lasopera-cioneselementalesindicadasdanlaformacanonicaal problemadeprogramacionlineal, cuyarespectivasolucionbasicafactiblecorresponde a la soluciony obtenida en el caso 2.b. Aunque faltahacerqueelcoeciente, cs, delafuncionobjetivoasociadoalanueva variable basica sea cero,para lo que se requiere aplicar laoperacion elementalcsarsfr +fm+1en la tabla anterior.Por otraparte, unavezelegidalacolumna s, donde csesnegativo y es el menor de los coecientes de la funcion objetivo,paraseleccionar lalar quecorresponderaal pivote, sesueleagregar una ultima columna a la tabla anterior, con los coecientesbkakstales queaks> 0:a11. . . a1s. . . a1nb1b1a1sa21. . . a2s. . . a2nb2b2a2s...............ar1. . . [ars] . . . arnbrbrars...............am1. . . ams. . . amnbmbmamsc1. . . cs. . . cnz4.2Soluciondelproblemadeprogramacionlineal 129As, la la r del elemento pivote es la la del menor cociente,bkaks,considerando solo aquellos en los queaks> 0.AlgoritmoSimplexEl procedimiento conocido como Simplex, para resolver un proble-ma de programacion, parte de un problema formulado en la formacanonica,yrepresentadoenunatablacomoseindico. Enestastablasseaplicanrecursivamentelosresultadosanterioresenlasiguiente forma:P.1: Todos los coecientes ci de la funcion objetivo son positivoso cero?Si esto es cierto, la solucion correspondiente a estaforma canonica es la optima y el algoritmo termina.Si es falsa, contin ua en el paso P.2.P.2: Seas el ndice de la columna tal quecs< 0 y cs = mini=1,...,nci.Si todas las entradasaksde la columnas deA son negati-vas o cero, entonces el problema de programacion lineal noalcanza un valor mnimo. La funcion objetivo no es acotadainferiormente. El algoritmo termina.En caso contrario, contin ua en el paso P.3.P.3: Si al menos una entrada aks de la columna s de A es positiva,considere el ndicer de la la deA tal quebrars= minbkaks[aks> 0, k = 1, . . . , mTransforme el problema de programacion lineal, a otra for-ma canonica haciendo 1 la entradaarsde la tabla del sim-plex y cero las restantes entradas de esta columna, medianteoperaciones elementales.Regrese al paso P.1.130 ProgramacionLinealEjemplo4.5Sea el programa linealminz = x2 x1 + 1, sujeto a:___2x1+x2 2x1 2x2 2x1+x2 5xi 0 iSi la funcion objetivo se interpreta como una ecuacion con para-metroz, x1 +x2 = z 1, el programa lineal se escribe como unsistema de ecuaciones lineales con un parametroz:___2x1+x2+x3= 2x1 2x2+x4= 2x1+x2+x5= 5x1+x2= z 1conxi0 i. Laprimerasolucionbasicafactiblesecalculahaciendocerolasvariablesnobasicas, x1=x2=0, porloquex3 = 2, x4 = 2 yx5 = 5. El valor de la funcion objetivo en estasolucionesz=1yseobtieneal despejarel parametrozenla ultima ecuacion despues de evaluarla.Como nota al margen del metodo simplex,si se hace una re-presentaciongeometricadelaregiondesoluciones factibles deesteproblema, ensuformulacioninicial (condosvariables), seobservara que (0, 0) es uno de sus vertices, al que corresponde estaprimera solucion basica factible (0, 0, 2, 2, 5), cuando se omiten lasvariables de holgurax3, x4yx5.Primeraiteracion:Partiendo de la tabla inicial del simplex:2 1 1 0 0 21 2 0 1 0 21 1 0 0 1 51 1 0 0 0 z 1a la pregunta del paso P.1 respondemos con falso, porque c1 = 1.YenelpasoP.2seobservaquea21=a31= 1> 0, luegodebeefectuarse el paso P.3:4.2Soluciondelproblemadeprogramacionlineal 131En este caso se tiene que s = 1 y calculando la columnade cocientesbkaksobtenemos:2 1 1 0 0 2[1] 2 0 1 0 2 2/11 1 0 0 1 5 5/11 1 0 0 0 z 1Elcocientemnimoapareceenlalar= 2,luegolaposiciondelpivoteeslalar= 2ycolumnas = 1,el cual sese nalaenlatablaanterior encerradoporparentesiscuadrados. Aplicandolasoperacionesele-mentales2f2 +f1, f2 +f3, f2 +f4a la tabla anterior, se transforma en 1 el elemento pi-vote (en este caso ya se tiene) y en cero las restantesentradas de la columna del pivote:0 3 1 2 0 61 2 0 1 0 20 3 0 1 1 30 1 0 1 0 z + 1La ultima la de esta tabla corresponde a los nuevoscoecientes de la funcion objetivo y las nuevas varia-bles basicas sonx3,x5 yx1. La nueva solucion basicafactible, en este caso, es:(x1, x2, x3, x4, x5) = (2, 0, 6, 0, 3)y si observamos la representacion graca de la regionde soluciones factibles, se reconoce que (x1, x2) = (2, 0)es otro de sus vertices.Utilizandolanuevaformulacioncanonica, el algoritmocon-tin ua en el paso P.1.SegundaiteracionP.1: Es falso que todos los nuevos coecientes de la funcion ob-jetivo, seannonegativos. Entoncessecontin uaenelpasoP.2.132 ProgramacionLinealP.2: s =2, porqueel coecientedelafuncionobjetivoenlacolumna 2, es negativo y es el menor de todos.Ademas es falso que todas la entras en la columna s = 2 seannegativas o cero (no positivas), luego se sigue en el paso P.3.P.3: r = 3 puesto que en la columnas = 2 de esta matriz todaslas entradas son negativas, excepto la de la la 3.0 3 1 2 0 61 2 0 1 0 20 [3] 0 1 1 30 1 0 1 0 z + 1El pivoteeslaentradaenlala3ycolumna2, comosese nalaenla ultimatabla. Luegoparaobtenerunanuevaformulacion canonica del problema con una mejor solucionbasica factible, deben efectuarse las operaciones:f3 +f1,23f3 +f2,13f3 +f4y13f3con lo que se obtiene:0 0 1 1 1 91 0 0 1/3 2/3 40 1 0 1/3 1/3 10 0 0 2/3 1/3 z + 2La nueva solucion basica factible es (4, 1, 9, 0, 0), la que co-rresponde con el vertice (4, 1) de la region de soluciones fac-tibles.TerceraiteracionAl continuar en el paso P.1, con la nueva formulacion canonicadel problema, se observaque todos los coecientes enlafun-cion objetivo son n umeros no negativos, entonces el mnimo de lafuncion objetivo se alcanza en la correspondiente solucion basicafactible (x1, x2, x3, x4, x5) = (4, 1, 9, 0, 0).El valormnimodelafuncionobjetivosepuedeobteneralevaluar la solucion en la ultima forma de la funcion objetivo:z + 2 =23x4 + 13x5 = 0, luego z = 2.4.3Variablesarticiales 133o naturalmente, en la forma original de la funcion objetivo:z = 1x1 +x5 + 1 = 1(4) + 1 + 1 = 2.Observacion: Enlafundamentaciondelmetodosimplexnosehanconsideradolos programas lineales que tenganalg unladoderechodeunarestriccionigual acero. Esdecir evitamoslassoluciones degeneradas. Sin embargo, el algoritmo tambien lograsu objetivo en estos casos, aunque teoricamente si hay solucionesdegeneradasnosepuedegarantizarlaconvergenciadelmetodo.El ejercicio 2 en la pagina 140 permite comprobar que el simplexopera bien en presencia de soluciones degeneradas.Cuandolaformulacioninicialdelproblemadeprogramacionlineal no tiene la forma canonica, no es claro que operaciones ele-mentales deben realizarse para transformalo en uno con la formacanonica. Y sin la forma canonica no podemos aplicar el metodosimplex. La siguiente tecnica resuelve este problema.4.3 VariablesarticialesLasvariablesarticialessonunarticioquepermitenutilizarelmismo simplex, para encontrar una primera forma canonica a unproblema de programacion lineal, siempre que el problema tengasoluciones factibles. Enseguida se ilustra el procedimiento.4.3.1 UnejemploEjemplo4.6Considere el programa linealmaxz = 2x1 +x2 + 1, sujeto a:___2x1+ x2 4x1+ x2 43x1+ x2 15x1 7x1, x2 0134 ProgramacionLinealComoentodoproblemadeprogramacionlineal, primeroseefect uan las operaciones elementales fjnecesarias para que loscoecientesbjsean no negativos. Luego se convierten las inecua-ciones en ecuaciones utilizando variables de holgura.(1)___2x1+x2 x3= 4x1+x2+x4= 43x1 x2+x5= 15x1+x6= 7xi 0 iObserve que cuando se tienen inecuaciones con y a la derechael n umeroespositivo, laintroducciondelavariabledeholgurano produce un vector canonico, luego la formulacion resultante nosiempre tendra la forma canonica.Enestasituacionseagreganarticialmentevariablesadicio-nales sucientes paraqueaparezcalabasecanonica, entrelascolumnas delamatrizaumentadadel sistemamodicado. Enel ejemplo solo es necesario agregar la variable articial x7en laecuacion 1.(2)___2x1+x2 x3+x7= 4x1+x2+x4= 43x1 x2+x5= 15x1+x6= 7xi 0 iCon el conjunto de restricciones (2),denotado comoAx =b,consideramos un nuevo problema de programacion lineal:Minimizar w = x7, sujeto aAx = b yx 0donde, en general, la funcion objetivo sera minimizar la suma delas variables articiales. Nos referiremos a este problema como elproblema ampliado con variables articiales o simplemente comoel problema con variables articiales.Aplicamoselmetodosimplexalnuevoproblema, sinolvidarla funcion objetivo del problema original, a n de actualizarla conlas tranformaciones que se produzcan sobre el problema ampliado4.3Variablesarticiales 135con variables articiales. As la primera tabla del simplex sera:2 1 1 0 0 0 1 41 1 0 1 0 0 0 43 1 0 0 1 0 0 151 0 0 0 0 1 0 72 1 0 0 0 0 0 z + 10 0 0 0 0 0 1 wSin embargo, observe que el coeciente de la funcion objetivo w enla columna 7 (correspondiente a una variable basica) no es cero,luego todava la formulacion del problema con variables articialesno tiene la forma canonica. Para corregir esto basta con efectuarla operacion elemental f1 +f6:2 1 1 0 0 0 1 41 1 0 1 0 0 0 43 1 0 0 1 0 0 151 0 0 0 0 1 0 72 1 0 0 0 0 0 z + 12 1 1 0 0 0 0 w 4Ahora s se puede aplicar el simplex al problema con variablesarticiales. Y se observa que la columna con coeciente menor ynegativo en la funcion objetivo (del problema con variables arti-ciales) es la columnas = 1. Por otra parte, seg un la columna decocientes en la tabla siguiente, se tiene que la del pivote es la 1.[2] 1 1 0 0 0 1 4 21 1 0 1 0 0 0 43 1 0 0 1 0 0 15 51 0 0 0 0 1 0 7 72 1 0 0 0 0 0 z + 12 1 1 0 0 0 0 w 4Haciendo las operaciones elementales necesarias para convertir en1 el pivote y en cero las restantes entradas de la primera columna,obtenemos:1 0.5 0.5 0 0 0 0.5 20 1.5 0.5 1 0 0 0.5 60 2.5 1.5 0 1 0 1.5 90 0.5 0.5 0 0 1 0.5 50 2.0 1.0 0 0 0 1.0 z 30 0.0 0.0 0 0 0 1.0 w136 ProgramacionLinealTodos los coecientes en la ultima la son no negativos por lo queel metodo simplex ha concluido con una solucion optima para elproblema ampliado con variables articiales. La solucion optimaes (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7) = (2, 0, 0, 6, 9, 5, 0) y como la variablearticialx7es no basica, su valor es cero, lo cual permite descar-tarla, para reducirla a la siguiente solucion basica factible del prob-lema original: (x1, x2, x3, x4, x5, x6) = (2, 0, 0, 6, 9, 5).Mas especcamente, si se elimina la columna 7 y la la 6 dela ultima tabla, se reconoce que lo que se ha hecho es transformarel problema original mediante operaciones elementales en uno quetiene la forma canonica.1 0.5 0.5 0 0 0 20 1.5 0.5 1 0 0 60 2.5 1.5 0 1 0 90 0.5 0.5 0 0 1 50 2.0 1.0 0 0 0 z 3As, elprogramalinealcanonicocorrespondienteaestatablaesequivalente al programa original:minz = 2x1 x2 1 sujeto a las restricciones (1),lo cual permite resolverlo mediante el simplex.Enestanuevaaplicaciondel simplex, laiteracion1ubicaelpivote en la columnas = 2 y los cocientes correspondientes son:1 [0.5] 0.5 0 0 0 2 2/(0.5) = 40 1.5 0.5 1 0 0 6 6/(1.5) = 40 2.5 1.5 0 1 0 90 0.5 0.5 0 0 1 50 2.0 1.0 0 0 0 z 3Luego el pivote puede ser tanto el elemento de (1,2) como el (2,2).Si se elige el segundo, puede vericarse que conduce mas rapido ala solucion, nosotros escogemos como pivote el elemento de la la1 y columna 2 y efectuamos las operaciones elementales necesariaspara hacer 1 en la entrada (1,2) y 0 en las restantes posiciones de4.3Variablesarticiales 137la columna 2.2 1 1 0 0 0 43 0 [1] 1 0 0 05 0 1 0 1 0 191 0 0 0 0 1 74 0 1 0 0 0 z + 5Con la eleccion del elemento (2,3) como pivote una nueva iteracionproduce la tabla:1 1 0 1 0 0 43 0 1 1 0 0 02 0 0 1 1 0 191 0 0 0 0 1 71 0 0 1 0 0 z + 5Y obtenemos una formulacion canonica para el problema originalcon todos los coecientes de la funcion objetivo no negativos, porlo que hemos encontrado una solucion optima:(x1, x2, x3, x4, x5, x6) = (0, 4, 0, 0, 19, 7)con valor en la funcion objetivo z = 5.Observe que el valor mnimo es z = 5 y el valor maximo de lafuncion objetivo esz = 5.Por otra parte, la solucion optima y la solucion basica factibleen el paso anterior son soluciones degeneradas, porque en amboscasosx3es una variable basica y su valor es 0.4.3.2 FormulaciondelatecnicadelasvariablesarticialesDado el programa lineal minz =

ni=1cixi +z0sujeto a(1)___a11x1++ a1nxn= b1a21x1++ a2nxn= b2............am1x1++ am1xn= bm138 ProgramacionLinealconxi 0 i ybj 0 j, la tecnica de las variables articiales,para generar una primera forma canonica de este problema, con-siste en aplicar los siguientes pasos:1. Encadaecuacionsesumaunavariable yj0, llamadavariablearticial. Algunasveces, comoocurreenelejem-plo anterior, hay variables que pueden servir como basicas,lo quehaceinnecesariosumarunavariablearticialenlasecuaciones correspondientes. El sistema (1) as transforma-do es canonico teniendo como variables basicas las variablesarticialesy, eventualmente, algunasdelasvariablesdelalistax1, . . . , xn. Denotamos este sistema como (2):(2)___a11x1+ +a1nxn+y1= b1a21x1+ +a2nxn+y2= b2.........am1x1+ +am1xn+ym= bm2. Siy1, . . . , yp son las variables articiales conp m, se con-sidera el nuevo problema de programacion lineal:Minimizar w = y1 + +yp,sujeto a las restriciones (2) y x 0, y 0.Comolanuevafuncionobjetivodependedelas variablesbasicas, debenaplicarselasoperacioneselementalesnece-sarias para hacer cero todos los coecientes asociados a va-riables basicas en esta funcion objetivo. Con esto el progra-ma lineal minw sujeto a las restricciones (2) es canonico yse aplica el metodo simplex.3. Una vez obtenida la solucion optima del problema modica-do y si en esta, las variables articiales son todas variablesnobasicas. Seeliminanlas columnas correspondientes avariablesarticialesyla ultimala, conloqueseobtieneunaformulacioncanonicaequivalenteal problemadepro-gramacion original.4.3Variablesarticiales 139El procedimiento se basa en los siguientes resultados:Toda solucion factible del problema con variables articialesen la que las variables articiales valgan cero, cuando estasseomitenlareducenaunasolucionfactibledel problemaoriginal.E inversamente, toda solucion factible del problema originales una solucion factible al problema con variables articiales,tomando como cero las variables articiales.Para toda solucion factible x del problema con variables ar-ticiales,w(x) 0.Ademas, toda solucion factible x del problema original agre-gandolasvariablesarticialesconvalorcero,produceunasolucionxfactibleparael problemaconvariablesarti-ciales, que es optima porquew(x) = 0.De esto se deducen los dos principales resultados:Una solucion basica factible optima, del problema con varia-bles articiales, cuyas variables articiales sean no b asicas,se reduce a una solucion basica factible del problema origi-nal.Ylaformulacioncanonicaal problemaconvariablesarti-ciales, delcualseobtuvoestasolucionoptima, sereduceaunaformulacioncanonicadel problemaoriginal, simple-mente eliminando las variables articiales.Si lasolucionoptimaxdel problemaconvariablesarti-ciales, incluye como variable basica alguna variable articialconvalornocero, entonces w(x) >0ycomoes optimaentonces el conjuntodesoluciones factibles del problemaoriginal debe ser .140 ProgramacionLineal4.4 Ejercicios1.Identique la region de soluciones factibles del sistema de res-tricciones___12x1+14x2 30x1+ 5x2 200x1+ x2 50x1, x2 02.Sea el programa lineal max 3x1 x2sujeto ax1 x2 32x1 x2x1+ x2 12x2 10x1,x2 01.Resuelva el programa lineal.2.Si sequitalarestriccionx1 x2 3, semodicalasolucion?Explique.3.Si se quita la restriccionx2 10, cual es la respuesta ala pregunta 1?3.Resuelva el programa lineal max 3x1 + 2x2sujeto ax1 50x2 1002x1+ 4x2 400x1, x2 04.Considere el siguiente conjunto de restricciones lineales:3x1+ 2x2 125x1 x2 103x1+ 2x2 24x1 0 yx2 0.a)Graquelaregiondesolucionesfactibles, indicandolainterseccion de las rectas con los ejes.b)Resuelva el programa lineal: Max z = 9x1+4x2, sujetoa las restricciones dadas, utilizando el metodo graco.4.4Ejercicios 1415.Unacompa natienedosfabricasensambladorasdeautomo-vilesdeunmismomodelo, paraabastecerdosclientes. Loscostosdetransporteendolaresporcadaautomovil, lasde-mandas de los clientes as como las reservas de automoviles,se dan en el cuadro siguiente:FabricaCliente A B Demanda1 30 36 4002 25 30 300Reservas a bdondea>0yb >0. Lacompa nadeseaabastecerasusclientes con el mnimo costo de transporte.1.Dibujeunaredpararepresentarel problemadetrans-porte.2.Formuleelprogramalinealcorrespondientesuponiendoque la compa na puede dejarse un sobrante. Resuelva elprograma por el metodo graco y de las condiciones sobrelos parametrosa yb necesarias para que haya solucion.6.Considereel programalineal siguiente: Minz=x1 + x2 +4x3 + 7x4sujeto a las restriccionesx1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 8,2x1 +x2 + 8x3 = 14 yxi 0,i = 1, 2, 3, 4.1.Mediante operaciones elementales, obtenga un programalineal canonico con variables basicas x1 y x2, equivalenteal propuesto.2.Resuelva el programa lineal.7.Seaelprogramalinealminz= x1 2x4 + x5sujetoalasrestricciones x1+x3+6x4+3x5 = 2, 3x1+x2+3x4+x5 = 2y xi 0, i = 1, 2, 3, 4, 5. Usando solo operaciones elementales,halleunprogramalineal canonicoequivalente, enel cual selea directamente la solucion optima. Calcule esta solucion.8.Resuelva el programa lineal maxz = 10x1 +6x28x3 sujetoa las restricciones 5x12x2+6x3 20, 10x1+4x26x3 30yxi 0,i = 1, 2, 3.142 ProgramacionLineal9.Unacompa nacafetaleracompralotesdemezclasdegranosdecafeydespueslosclasicaendeprimera, regulares, masunaporcioninservible. Lacompa nanecesitaal menos280ton(toneladas)deprimeray200tondeclaseregular. Lacompa na puede comprar a los distribuidores A y B, cualquiercantidad de cafe sin clasicar. Muestras proporcionadas porlosdistribuidorestienenlossiguientesporcentajesdegranode primera, regular e inservible:Distribuidor De Primera Regular InservibleA 20% 50% 30%B 40% 20% 40%SiAcobra$125portoneladayBcobra$200portonelada,formuleel modelodeprogramacioncuyasolucionproveelacantidad de cafe que compra la compa na a cada distribuidorparacubrir sus necesidades auncostomnimo. Resuelvagracamente el problema lineal.10.Un granjero tiene 100 acres para plantar dos cultivos A y B.Lasemillaparael cultivoAcuesta$4poracreylasemillapara el cultivo B, $6 por acre. El costo total de la mano deobraserade$20poracreparael cultivoAy$10poracreparael cultivoB. El granjeroconfaobteneruningresode$110poracredel cultivoA; ydel cultivoB, $150poracre.Si el granjero no desea gastar mas de $480 para la semilla y$1400 para la mano de obra , cuantos acres de cada uno delos cultivos debe plantar para obtener: (a) maximo ingreso y(b) maxima ganancia (use el metodo graco).11.Una compa na fabrica dos productos A y B. Para cada pro-ductoesnecesarioempleardosmaquinasdiferentes, XyY.Para fabricar una unidad del producto A, la maquina X debeusarse1/2hora,ylamaquinaY,1hora. Parafabricarunaunidad del producto B, es necesario utilizar tanto la maquinaX como la Y, 2 horas. La ganancia en el producto A es $20porunidad, ylagananciaenel Bes$50porunidad. Si lamaquina X puede usarse durante 8 horas al da y la maquinaY durante 12 horas al da, determine cuantas unidades de ca-daproductodeberanfabricarsecadadaparamaximizarlaganancia.4.4Ejercicios 14312.Enunaferiadeunda, unhombretieneunpuestodondevendera bolsas de man y bolsas de dulces. Tiene $100 dispo-nibles para adquirir su mercanca, que costara $0.10 la bolsade man y $0.20 la bolsa de dulces. Pretende vender el mana$0.15ylosdulcesa$0.26labolsa. Puedeacomodarensupuesto500bolsas deman y400bolsas dedulces. Deexperiencias pasadas sabe que no vendera mas de un total de700 bolsas.1.Formule los modelos de programacion cuya solucion danlas ventas maximas y la utilidad maxima, donde esta sedene como la diferencia de las ventas menos el costo dela mercanca.2.Represente gracamente la region de soluciones factibles.3.Encuentre el n umero de bolsas de cada artculo que de-bera tener disponibles para lograr: (a) ventas m aximasy (b) utilidad maxima. Cual es el monto de las ventasy utilidades maximas?13.Resuelva el programa lineal : max 2x1 +x2 +x3sujeto ax1+ x2+ x3 604x1+ 2x2+ x3 522x1+ x3 40xi 0 i14.Resuelva el programa lineal : minx1 +x2 +x3sujeto ax1+ 2x2+ x3 1x1+ 2x3 4x1 x2+ 2x3= 4xi 0 i15.Resuelva el programa lineal por dos metodos distintos:min 2x1 + 2x2 5x3sujeto a3x1+ 2x2 4x3= 1x1 x2+ 3x3= 2xi 0 i16.Resuelvael programa lineal correspondiente al modelodetransporte (ver la pagina 112).144 ProgramacionLinealCaptulo5IRn: GeometradevectoresEncaptulosanterioressetrabajoconlasmatricesM(m, n, IR),sus operaciones yconceptos relacionados; momentoenque sellamovectorlaalasmatricesconunasolalayncolumnas,yvectorcolumnaalasquetienenunasolacolumnaynlas.Ahora se estudiaran estos mismos objetos como elementos del es-pacioIRn, sinhacermayordistincionporqueseanvectoreslao columna, y principalmente, para reconocer las interpretacionesgeometricas que se les asocia.EstanuevaaproximacionalosvectoresdeIRn, partedelre-conocimiento de las operaciones de igualdad entre vectores, sumadevectores, multiplicaciondeunescalar por unvector, ysuspropiedades, todo lo anterior visto ya al observar queIRn= M(1, n, IR) o IRn= M(n, 1, IR).Astambiensereconocen,losconceptosdecombinacionlinealeindependencia lineal de vectores y sus distintas caracterizaciones,desarrolladas con anterioridad.145146 Geometradevectores5.1 Representaciongeometricadevec-toresA partir de la representacion de IR como una recta numerica, loselementos (a1, a2) de IR2y (a1, a2, a3) de IR3se asocian con puntosde un plano y puntos del espacio tridimensional, en la forma quees bien conocida y se ilustra seguidamente.xya2a1 (a1, a2)xyza1a2a3(a1, a2, a3)Figura 5.1: Representacion de (a1, a2) y (a1, a2, a3)como puntos.En estos gracos el sistema de coordenadas esta determinadopor dos rectas numericas en un plano,dispuestas perpendicular-mente, (o tres rectas numericas en el espacio, m utuamente perpen-diculares). El punto de interseccion representa a (0, 0) (y (0, 0, 0)respectivamente) y una vez que se elige cuales de estas rectas iden-ticanelejeX, ejeY (yejeZ), cadaelemento(a1, a2) IR2o((a1, a2, a3)enIR4) se asocia con el punto determinado por la coor-denadaa1sobre el ejeX, a2sobre el ejeY (ya3sobre el ejeZ,para el caso de IR3), como se muestra en la gura 5.1.EstasideasseextiendenaIRnysepiensaencadaelemen-toA=(a1, a2, . . . , an)comoenunpuntodeunespacioconndimensiones, dondecadacomponenteaideAcorrespondealai-esima coordenada medida sobre eli-esimo eje de un sistema decoordenadas rectangulares, o cartesianas, conn ejes m utuamenteperpendiculares. No podemos visualizarn ejes m utuamente per-pendicularessi n>3, peroestaidea, imprecisaahora, sefor-malizara mas adelante echando mano a recursos p uramente alge-braicos, que permitiran intuir algunas caractersticas geometricasde los objetos de IRn. Todo esto, teniendo siempre como referen-5.1Representaciongeometricadevectores 147cia el mejor conocimiento de los espacios IR2y IR3, que el poderde la visualizacion nos da.5.1.1 InterpretaciongeometricadeechaparavectoresAdicionalmente a la interpretacion de punto que se ha dado aloselementosdeIRn, sepuedeasociaracadaunodeellos, unanuevaideageometrica, contotalindependenciaalaanterior(loquenosignicaquenoestenrelacionadas). Considere,primero,algunos ejemplos:Ejemplo5.1El vector (2, 3) IR2se interpreta como el des-plazamiento resultante de moverse dos unidades en la direccionpositiva del eje Xy 3 unidades en la direccion negativa del eje Y .xy232323Figura 5.2: Tresposiblesrepresentacionesdel vec-tor (2, 3) como echa.En esta nueva interpretacion geometrica, las coordenadas delvector (2, 3) solo describen un desplazamiento: dos unidades enla direccion positiva del eje X y 3 unidades en la direccion negativadel eje Y , sin indicar el punto donde se origina el movimiento. Setrata de una nueva interpretacion geometrica para (2, 3),quetambiendependedel sistemadecoordenadas, peroestavezresumiendolaideadeecha: unaidentidadcaracterizada por su magnitud y direccion y que no tieneubicacion.148 GeometradevectoresEjemplo5.2Similarmente, en IR3el vector (3, 2, 4, ) se puedevisualizarcomounaechaodesplazamientoresultantedemo-verse tres unidades en la direccion negativa del ejeX, 2 unidadesen la direccion positiva de Yy 4 unidades en la direccion negativadel ejeZ.324324Figura 5.3: dos posibles formas de representar elvector (3, 2, 4) como echa.Ydenuevo, el desplazamientototal descritoporlascoorde-nadas del vector (3, 2, 4), se visualiza como una echa de mag-nitud y direccion que determinan las coordenadas -3, 2 y -4, perosin especicar el punto inicial del movimiento.En el caso general de IRn, esta nueva representacion geometricadesuselementos,encuentralamismadicultaddevisualizacionque lade punto. Sinembargo, si se puede pensar ennejesm utuamenteperpendicularesquedotenaIRndeunsistemadecoordenadas rectangulares, es posible intuir el desplazamiento re-sultantedenmovimientosencadaunadelasdireccionesdelosejes, locual describeundesplazamientototal condeterminadamagnitudydireccioneindependientementedel puntodondeseinicia el movimiento.En resumen, sia = (a1, a2,, an) IRn, se puede dar a este5.1Representaciongeometricadevectores 149elemento una interpretacion geometrica de punto el que deter-minan las coordenadasai o de echa: la determinada por losdesplazamientosparalelosalosejesqueindicanlascoordenadasai. Ambas interpretaciones geometricas son igualmente validas yaplicables en cualquier caso, sin embargo, algunas veces convienetener en mente una de las dos interpretaciones, preferentemente,por la cual se hara el siguiente convenio:Notacion: puntos?echas?Cuando se escribeA = (a1, a2,, an) oA IRn, utilizan-doletras may usculas, seatribuyeaAunainterpretaciongeometrica de punto, preferentemente (no exclusivamente).Si se utilizan letras min usculas techadas con una echa co-mo a = (a1, a2,, an) o a IRn, entonces, geometricamente,se interpreta a a como una echa. Tambien preferentementey no exclusivamente.Por otra parte, en este material inicialmente se utilizaran nom-bres de vectores techados con echas, para reforzar su nueva inter-pretacion geometrica,comox oa,sin embargo,mas adelante seescribira simplemente x o a con exactamente el mismo signicado.a

ba +

ba1a2b1b2a1 +b1a2 +b2Figura 5.4: a +

b = (a1 +b1, a2 +b2).150 Geometradevectores5.1.2 InterpretaciongeometricadelasumadevectoresDados dos vectores a y

b en IRn, geometricamente, el vector a +

bcorresponde a una nueva echa que resume los dos desplazamien-tos totales: el determinado por las coordenadas de a seguido delcorrespondiente a las coordenadas de

b, o inversamente.Porejemplo, enIR2, si a=(a1, a2)y

b=(b1, b2), entoncesa +

b = (a1 + b1, a2 + b2) y reeja el desplazamiento total de losdosvectoresoechasay bcomoseilustraenlosgracos5.4y5.5.a

ba +

ba1a2b1b2a1 +b1a2 +b2Figura 5.5: a +

b = (a1 +b1, a2 +b2), conb2< 0.Engeneral, sienIRnserepresentaelvectoramedianteunaecha y al vector

b tambien mediante una echa pero que comienzaen el punto terminal de a, entonces a+

b se asocia al desplazamien-tototalresultantedeefectuarlosdesplazamientosdeterminadospor ambas echas,a

ba +

bca +

b +ca1 +b1 +c1a2 +b2 +c2Figura 5.6:Ilustracion de la suma de tres vectores5.1Representaciongeometricadevectores 151yrepresentadoporunanuevaechaqueseoriginaenel puntoinicial de a y termina en el punto nal de

b. La situacion se gene-raliza al caso de la suma de mas dos vectores, como se muestra enla gura 5.6.Si los dibujos de las echas, no consideran los sistemas de coor-denadasrectangulares, larepresentaciongeometricaresultamasclara y aplicable a todos los espacios IRn, observe la gura 5.7.a

ba

ba +

bFigura 5.7: Paralelogramo de lados a y

b y diagonala +

b =

b +a.Dadoquea +

b=

b + a, lainterpretaciongeometricaparaa+

b se asocia con un paralelogramo de lados sucesivos a y

b cuyadiagonal une el punto inicial de a con el punto terminal de

b, o elpunto inicial de

b con el punto terminal de a.5.1.3 Interpretacion geometrica del producto deunescalarporunvectorCuandounvectora IRn, semultiplicaporunescalar t >0el nuevo vectorta tiene la misma direccion que a y su magnitudaumenta o disminuye en un factor det. Sin embargo si el escalares negativo, r < 0, entonces la direccion de ra es contraria a la dea.En la gura 5.8, se representan los vectores a, ta y ra, suponien-do quet> 2 y 1 2 y 1 < r < 0.Observe que los vectores a, ta y ra se alinean sobre una mismarecta dado que la multiplicacion por los factorest yr no cambiala inclinacion (pendiente) de los vectores:a2a1=ta2ta1=ra2ra1.Denicion5.1(Vectoresparalelos)Dos vectores a y b no nulos, se dicen paralelos si existet IR talquea =t

b. Cuandot> 0,ay btienenlamismadireccionysit < 0, tienen direccion contraria.5.1.4 RelacionentreechasypuntosAunquelainterpretaciondeechadadaalosvectoressehaes-tablecido de manera independiente a la idea de punto, estas dosinterpretaciones geometricas se relacionan de manera muy conve-niente, a traves del concepto de echalocalizada.Denicion5.2(FlechaslocalizadasAB)DadosA yBen IRn, a los que se les atribuye una interpretaciongeometrica de punto, se llama echa localizada deA aB al vectorAB = BA IRny que, geometricamente, se asocia con la unicaecha que se origina en el puntoA y termina enB.Observe que comoB A IRn,B A, al igual que cualquiervector en IRn, puede ser interpretado como un punto o como una5.1Representaciongeometricadevectores 153echa sin ubicacion. Sin embargo, aABsolo le damos una inter-pretacion geometrica: la de la echa que comienza en A y terminaenB. Naturalmente, esta unicaechaqueseasociaconABesuna de las innitas que se le pueden asociar a BA (o que reejael desplazamiento descrito por las coordenadas deB A). Estasideas se discuten seguidamente:SeanO= (0, 0,, 0) IRnelorigendelsistemadecoorde-nadasrectangularesdeIRnyA, BpuntosdeIRn. Observequeseg un la denicion de echa localizada se tiene que:OA = A yOB = B.Algebraicamente, lo anterior es claro, pero ademas geometricamentesignicaquelaechalocalizadadeOaA, correspondealain-terpretaciondeAcomoecha(cuandoAserepresentaporlosdesplazamientos determinados por sus coordenadas, cuando estosse originan en O). Lo mismo se tiene paraOB y la representaciondeBcomo echa.OABOAABOBFigura 5.9: RepresentaciondeABylos puntos AyBidenticados tambien como echas desdeO.Porlotanto, delainterpretaciongeometricadelasumadevectores, se obtiene que:OA+ AB =OB= A+ AB = B=AB = B A.lo que hace consistente la denicion de echa localizada dada.154 GeometradevectoresEnel siguientegraco, observelarepresentaciongeometricadel vectorB A, cuando se le representa como una echa que seinicia en el origen y cuando se identica como el vector localizadoAB.OABOA = AB-A =ABOBB AAFigura 5.10: B A representado como la echaABy como una echa que se origina enO.LaechalocalizadaABesuncasoparticulardeechaquecorrespondeal vector B A, deentreunainnidaddeposibi-lidades. Porejemplo, paracualquierH IRn, si C=A + HyD = B+H entonces la echa localizadaCD tambien correspondeal vectorB A, puesto queCD = D C = (B +H) (A+H) = B A.Ejemplo5.3SupongaqueA, B, CyDsonlosverticesdeuncuadrilaterodemaneraqueAByADsonladosadyacentesyporlotantoABnoesparaleloaADcomosemuestraenlagura 5.11.ABCDFigura 5.11: CuadrilateroA, B, C, D.5.1Representaciongeometricadevectores 155Demuestre que siBC es paralelo aAD yDC es paralelo aABentonces:a) el cuadrilateroABCD tiene sus lados opuestos iguales.b)AB +12BD =12AC.Demostracion: Partea). ComoBCesparaleloaADyDCparalelo aABentonces existent ys en IR no nulos tales que:BC = tAD (5.1)DC = sAB (5.2)Ademas, delainterpretaciongeometricadelasumadevectoresse tiene que:AB + BC =AD +DCLuego, si se sustituyeBC yDC seg un (5.1) y (5.2) se obtiene queAB +tAD =AD +sABy nalmente:AB sAB =AD tAD(1 s)AB = (1 t)ADAhora, si s ,= 1 entoncesAB =1t1sADy contradice la hipotesisdequeABnoes paraleloaAD. Deigual manera, si t,=1entoncesAD=1s1tABysecontradicetambienqueADnoesparaleloaAB. Luegonecesariamentedebeocurrirques=1yt = 1 y de (5.1) y (5.2) se tiene que los lados no consecutivos deun paralelogramo son iguales.BC =ADDC =AB156 GeometradevectoresDemostracion: Parteb). ObservequeAD=AB +BDdedondeBD =AD ABy12BD =12AD 12AB, entoncesAB +12BD =AB +12AD 12AB=AB 12AB +12AD=12AB +12AD=12(AB +AD)PeroAB + AD =AC, dado queAD =BCcomo se demostro enla parte a), entonces:AB + 12BD =12ACabv = (a, b)|v| = a2+b2= cFigura 5.12: |v| = a2+b2.5.2 Normas,angulosyproyeccionesEn esta seccion nos ocuparemos de precisar los conceptos de mag-nitud de un vector y angulo entre dos vectores de IRn. Conceptosmuy naturales si se piensan en los espacios IR2o IR3, pero no tantosi se aplican a vectores de IRnen general. Este es el momento enque la intuicion debe abandonar el sentido de la vista y comenzaracreermasenlasdescripcionesalgebraicas, paralogrardeestamanera que el ojo humano pueda penetrar a IRn.5.2Normas,angulosyproyecciones 157En IR2o IR3, la magnitud de un vector puede determinarse apartir del teorema de Pitagoras. Si la magnitud de un vector v sedenotapor |v|, observandoeltriangulorectanguloenelgraco5.12, por el teorema de Pitagoras se tiene que:|v|2= a2+b2por lo cual|v| =_a2+b2.Similarmente, el caso de IR3, dada la representacion de v = (a, b, c),mostradaenlagura5.13, ysi deslamagnituddeladiagonaldel triangulo rectangulo con catetos de magnituda yb, entoncesd2= a2+b2.abcdv = (a, b, c)Figura 5.13: |v| = a2+b2+c2.Ycomolamagnituddelvectorv, |v|, eslamagnituddeladiagonal del triangulorectangulocuyoscatetosmidendyc, envalor absoluto, entonces:|v|2= d2+c2= a2+b2+c2luego |v| = a2+b2+c2.5.2.1 ProductopuntoynormaPara extender el concepto de magnitud de un vector de IR2o IR3aIRn, as como el de angulo entre vectores, se introducira una nuevaoperacionvectorial queasociaacadaparejadevectoresenIRn158 Geometradevectorescon un n umero, denominada producto punto o producto escalar.Como se vera mas adelante, la denicion de esta operacion puedecambiar,yconellomodicarlasideasdemagnitud,distanciayangulo entre vectores, pero siempre conservando sus propiedadesestablecidas en los teoremas de esta seccion.Denicion5.3(Productopuntoa

b)Seana=(a1, a2, . . . , an)ty

b =(b1, b2, . . . , bn)t. El productoescalar,o producto punto dea y b es un n umero real denotado yexpresado en la siguiente forma:a

b = a1b1 +a2b2 + +anbnEn terminos de operaciones matriciales, el producto punto a

bes el producto matricial: vector la a por el vector columna b, osea:a

b = at

b= (a1, a2, . . . , an)_____b1b2...bn_____= a1b1 +a2b2 + +anbnUna de las razones que justican la introduccion del productopunto, se deja ver en el siguiente ejemplo.Ejemplo5.4Siu = (a, b, c) entoncesuu = (a, b, c)(a, b, c) = a2+b2+c2de manera que la norma de |u| = uu.Esteejemplosugiereque, engeneral, si u IRnentoncessepuededenirlanormadeu,como |u| = uu,comoefectiva-mente se hara. Sin embargo,una denicion as requiere mostrarqueel productopuntotienelas caractersticas sucientes paragarantizar que el concepto de magnitud de un vector en IRnnaceconlaspropiedadesdelamagnitudquesonbienconocidasenlosespaciosIR2oIR3. Resultadoqueselograconel siguienteteorema.5.2Normas,angulosyproyecciones 159Teorema5.4Si u, v yw son tres vectores cualesquiera deIRny aIR, entonces el productopuntotiene las siguientespropiedades:(1) uu > 0 siu ,=

0uu = 0 solo siu =

0(2) uv = vu(3) u(av) = (au)v = a(uv)(4) u(v + w) = (uv) + (uw)Demostracion: Ver ejercicio 19.Denicion5.5(Normadeunvector)Si u=(u1, u2,, un)tesunvectordeIRn, sellamanormaomagnitud deu y se denota |u| al siguiente valor:|u| = uu =_u21 +u22 + +u2nLa proposicion (1) en el teorema 5.4, garantiza que la anteriordenicion es consistente con la idea que la magnitud de un vectorsiempreserapositivayqueseracerosolosi setratadel vectorcero. Las restantes proposiciones garantizan otras caractersticasque se esperan de la magnitud de un vector, y que son establecidasen el siguiente teorema.Teorema5.6Si u y v son vectores cualesquiera de IRnya IR,entonces la norma de vectores tiene las siguientes propiedades:(1) |u| 0 y |u| = 0 si y solo siu =

0(2) |av| = [a[ |v|(3) |u v| = |v u|(4) [uv[ |u| |v| (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)(5) |u +v| |u| +|v| (Desigualdad triangular)Demostracion: (1), (2), (3) y (5) ejercicio.160 GeometradevectoresDemostracion: parte (4) desigualdad de Cauchy-Schwarz. Observe que para todox IR,u +xv es un vector cuya normaal cuadrado es positiva, de manera que|u +xv|2= (u +xv)(u +xv) 0ademas facilmente se muestra que(u +xv)(u +xv) = x2(vv) + 2x(uv) +uuentoncesx2(vv) + 2x(uv) +uu 0 x IR.Esta desigualdad involucra un polinomio de segundo grado, ax2+bx + c, en la variablex, cuyos coecientes son los n umeros realesa = vv, b = 2uv y c = uu. Ademas se conoce que ax2+bx+c 0,x IR solo si su discriminante es negativo y a > 0. En este casocomoa = vv> 0 debe tenerse que:b24ac = (2uv)24(vv)(uu) 0Ydeestadesigualdadsesigueque(uv)2(vv)(uu), demanera que:[uv[ _(vv)(uu).Por lo tanto [uv[ vvuu = |u| |v|.Las propiedades para el producto escalar que establece el teo-rema 5.4 y la desigualdad de Cauchy-Schwarz permiten demostrarlos otros enunciados del anterior teorema, cuyos resultados garan-tizanquelanormadeunvector(ylosangulosentrevectores)correspondan con las ideas que se tienen para IR3. Y de esa ma-nera, compensan de alguna forma,la imposibilidad de visualizarlos objetos de IRn.DesigualdaddeCauchy-Schwarz. Observe que sia = (a1, a2, . . . , an)ty

b = (b1, b2, . . . , bn)t5.2Normas,angulosyproyecciones 161entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz adquiere la siguienteforma:[a1b1+a2b2++anbn[ _a21 +a22 + +a2n_b21 +b22 + +b2nDenicion5.7(Distanciaentrelosvectoresuyv)Dados dos vectoresu = (u1, u2,, un)ty v = (v1, v2,, vn)tenIRnse dene la distancia entre estos vectores como la norma delvector diferencia,d(u, v) = |u v| = |v u|, o sea:d(u, v) =_(v1 u1)2+ (v2 u2)2+ + (vn un)2El anterior concepto resulta mas natural si se les da a u y v lainterpretacion de punto.vuu vvuv uFigura 5.14: d(u, v) = |v u| = |u v|Sin embargo, la distancia entreu y vvistos como echasse puede entender como la distancia entre sus puntos terminales,si estos han sido representados de manera que el punto inicial deambas echas sea el mismo. Lo anterior porque tanto u v comov userepresentanporechasqueunenlospuntosterminalesdeu y v, en uno u otro sentido.Teorema5.8SeanA, ByCen IRnarbitrarios, entonces:(1) d(A, B) = d(B, A)(2) d(A, B) d(A, C) +d(C, B)Demostracion: Ejercicio.162 Geometradevectores5.2.2 AngulosenIRnLa siguiente ley de cosenos es un resultado conocido para tri angulosen IR2y IR3ver ejercicio 1.8.25 en pagina 45, el cual se de-muestra utilizando resultados basicos de trigonometra y la nocionde magnitud que apoyan nuestros sentidos.Ley de cosenos:las magnitudes a, b y c, de los lados de cualquiertriangulo, satisfacen que:c2= a2+b22ab cos donde es la medida del angulo entre los ladosa yb.uu vvFigura 5.15: |u v|2= |u|2+|v|22 |u| |v| cos .Siestaleyseescribeutilizandounanotacionvectorial,enlaque los lados del triangulo son los vectoresu, vyu v, como semuestra en la gura 5.15 se obtiene que:|u v|2= |u|2+|v|22 |u| |v| cos (5.3)conlamedidadel angulocomprendidoentrelosvectoresuyv. Perorecuerdeque, hastaahora, estoesas siemprequelosvectores pertenezcan a IR2o IR3, donde las nociones de angulos ymagnitudes estan bien precisadas.Porotraparte, sisecontin uadesarrollando |u v|2en5.3,se transforma en:|u v|2= (u v)(u v) = |u|2+|v|22uv (5.4)5.2Normas,angulosyproyecciones 163Con lo cual, igualando los lados derechos de (5.3) y (5.4) resulta:uv = |u| |v| cos Entonces de la ley de cosenos se obtiene:cos =uv|u| |v|Reiterando, siempre que u y v sean vectores no nulos en IR2o IR3.Esteresultadoofreceunaformadedenirel cosenodel anguloentredos vectores, dependiendosolodelanociondeproductopunto, y que por lo tanto puede extenderse a cualesquiera vectoresdeIRn. Peroantesdehaceresto, serequierereconocerquetaldenicion sera una buena denicion en IRn.Observequesi uyvsonvectoresenIRn, ladesigualdaddeCauchy-Schwarz[uv[ |u| |v|conduce a:|u| |v| uv |u| |v|y que dividiendo por |u| |v|, para vectores no nulos, se obtiene:1 uv|u| |v| 1Entonces se puede garantizar que para cada pareja de vectoresuy v en IRnno nulos, existe un unico valor [0, ] tal que:cos =uv|u| |v|lo cual justica la siguiente denicion.Denicion5.9(AnguloentredosvectoresdeIRn)Si uyvsondosvectoresnonulosdeIRn, sedicequeel unicovalor, 0 tal quecos =uv|u| |v|es la medida del angulo entre los vectoresu yv.164 GeometradevectoresDenicion5.10(Vectoresortogonales)Dos vectoresu y v en IRnson ortogonales si el angulo entre ellosmide/2 radianes, o al menos uno de ellos es el vector cero.Teorema5.11Los vectoresu yven IRnson ortogonales o per-pendiculares si y solo siuv = 0Demostracion: Ejercicio.5.2.3 ProyeccionesortogonalesDados dos vectoresu yv, el proceso de descomponer el vectorucomo la suma de dos vectores ortogonales, uno de ellos paralelo av, tiene gran importancia en el desarrollo de modelos, por ejemploal determinar la componente de una fuerza en una direccion dada,yengeneral, comounmecanismodeaproximacionoptimal devectores, idea que se discutira mas adelante.Elproblema: Dados los vectoresu y vde IRn,v ,= 0, se quieredeterminar un vector a paralelo a v y otro (

b) ortogonal a v y talesqueu =a +

bcomo se muestra en la siguiente gura.va

buav

buFigura 5.16: a: proyeccion deu sobre v.En terminos algebraicos lo anterior signica que se deben de-5.2Normas,angulosyproyecciones 165terminar a y

b tales que:1) a = tv para alg unt IR2) v

b = 0y 3)

b = u tv.locual reduceel problemaabuscarel valor t apropiado, paradenir a y

b como en 1) y 3), de forma que se satisfaga 2):v

b = 0 v(u tv) = 0 vu tvv = 0 vu = tvvPorotraparte, comov ,=

0entoncesvv ,=0yel valordetrequerido es:t =vuvvFinalmente los vectores a y

b buscados son:a =vuvvvy

b = u aGeometricamente, la idea anterior corresponde a proyectar or-togonalmente el vector u sobre el v, para obtener a, por lo cual alvector a se le llama proyeccionortogonaldeusobrevy a bcomponente deu ortogonal a v.Denicion5.12(Proyeccionortogonaldeusobrev)Si u y v son dos vectores IRny v ,=

0 se llama proyeccion ortogonaldeu sobrevy se denota Proyvu al vectorProyvu =vuvvv =uv|v|2vY el vector uProyvu se conoce como componente de u ortogonalav.Observe que sives un vector unitario entonces la proyeccionortogonal deu sobre v se reduce a: Proyvu = (uv)v.166 GeometradevectoresEnmodelosestadsticos, laideadeortogonalidadentrevec-tores, estaasociadaconlaideadeindependenciapuradelainformacion que resumen ambos vectores. En otras palabras, or-togonalidadsuponenocorrelacionentrelas variables represen-tadasporlosvectores, contextoenelcualladescomposiciondeun vector u en dos componentes ortogonales, Proyvu y uProyvucorresponde a la idea de separar la informacion en u que es depen-diente de v, esto es Proyvu, de aquella que es totalmente indepen-diente de v o sea uProyvu. Lograda esta separacion, se dice queProyvu es la mejor representacion de u en el espacio generado porv y |u Proyvu| es una medida del error de esa representacion.Enterminosmasgenerales, sedicequeProyvuesel vectorparaleloavquemejoraproximaau, olamejorrepresentaciondeuenlarectageneradaporv, ideassobrelasqueseseguiratrabajando, en los siguientes captulos.5.3 ProductocruzEl producto cruz es una operacion singular entre vectores de IR3,queresultaconalgunaspropiedadesinteresantesporsusinter-pretacionesgeometricas. Sinembargo, sedebeenfatizarqueesun concepto denido solo para vectores en IR3.Denicion5.13(Productocruz)Seanv = (v1, v2, v3)yw = (w1, w2, w3)dosvectoresenIR3,en-toncesel productocruzdevconwesunnuevovectordeIR3,denotado porvw, que se dene como:vw =v2v3w2w3e1 v1v3w1w3e2 +v1v2w1w2e3dondee1, e2, e3son los vectores canonicos de IR3.Una forma simple de recordar la denicion del producto cruzde v y w, es mediante el siguiente determinante, desarrollandolo5.3Productocruz 167por la primera la:vw =e1e2e3v1v2v3w1w2w3.Aunque esta expresion carece de sentido, porque la primera la dela matriz no se compone de n umeros sino de vectores, y la expre-sion resultante es un vector de IR3, y no un n umero como corres-pondera al determinante. A un as, ignorando esta aberracion, seseguira empleando por la comodidad que ofrece para recordar ladenicion de producto cruz.Ejemplo5.5Si v = (1, 3, 2) y w = (2, 1, 0):vw =e1e2e31 3 22 1 0=3 21 0e1 1 22 0e2 +1 32 1e3= 2e1 + 4e2 7e3= (2, 4, 7).Enparticular, paralosvectorescononicos, facilmentesevericaque:1. e1e2 = e3.2. e2e3 = e1.3. e1e3 = e2.168 GeometradevectoresTeorema5.14(Propiedadesdelproductocruz)Seanu, vywvectoresdeIR3yaunescalar. El productocruzvericalassiguientes propiedades:a)w

0 =

0w =

0b) vw = w vc) avw = a(vw)d) v av =

0e) u (v + w) = u v +uwf ) El vectorvwes ortogonal avy wg) (u v)w = u(vw)h) (u v)w = (uw)v (vw)uDemostracion: Cadaunadeestaspropiedadessedemuestraenformadirectaapartirdeladeniciondeproductocruz. Acontinuacion se presenta la correspondiente a g):Si u=(u1, u2, u3), v=(v1, v2, v3)yw=(w1, w2, w3), en-toncesu v =u2u3v2v3e1 u1u3v1v3e2 +u1u2v1v2e3.Luego,(u v)w =u2u3v2v3w1 u1u3v1v3w2 +u1u2v1v2w3=w1w2w3u1u2u3v1v2v3=u1u2u3v1v2v3w1w2w3=v2v3w2w3u1 v1v3w1w3u2 +v1v2w1w2u3= u(vw).5.3Productocruz 169Teorema5.15Si eselanguloentrelosvectoresuyvdeIR3entonces|u v| = |u| |v| sen()Demostracion: (Indicacion) verique que|u v|2= |u|2|v|2(uv)2y utilice que (uv) = |u| |v| cos().El teorema 5.15 provee una interpretacion geometrica para lamagnitud del producto cruz de dos vectores.u vvuh = |v|sen()Figura 5.17: |u v|: areadelparalelogramodela-dosu y v.Observe en el anterior graco, que sies el angulo entreu yv, la altura h del paralelogramo que determinan estos vectores, sepuede expresar comoh = |v| sen ()y utilizando quesen () = h/ |v| se tiene:|u v| = |u| |v| sen ()= |u| h,170 Geometradevectoreslo que corresponde al area de paralelogramo de ladosu y v.5.3.1 Relacion entre el producto cruz, el vo-lumendeparaleleppedos ylos determi-nantesTres vectoresu, v,w de IR3que sean l.i. determinan un paralele-ppedo: una especiedecaja o gura cerrada delespacio tridi-mensional conseiscarasplanas(conformadeparalelogramos),que se unen en aristas formadas por los vectoresu, v,w, como semuestra en la siguiente gura.uv wFigura 5.18: Paraleleppedo determinado por los vectoresu, v,w.La propiedad g) del teorema 5.14 permite tambien una inter-pretaciongeometricaquelarelacionadaconlosparaleleppedos,especcamente:El volumen Vdel paraleleppedo que determinan u, v,w,vectores l.i. de IR3, es dado porV= [(u v)w[.ConstrucciondelresultadoSi se considera como base del paraleleppedo, el paralelogramode lados u y v, como u v es un vector ortogonal a este paralelo-gramo, la alturah del paraleleppedo corresponde a la magnitudde la proyeccion ortogonal dew sobreu v:5.3Productocruz 171uv wu vh = Proyuv whFigura 5.19: Altura: h =__Proyuv w__.Entoncesh se calcula en la siguiente forma:h = __Proyuv w__=____(u v)w|u v|2(u v)____=[(u v)w[|u v|2|(u v)|=[(u v)w[|u v|De esta manera:V = (area de la base) altura= |u v| h= |u v| [(u v)w[|u v|= [(u v)w[con lo que se obtiene el resultado.Porotraparte, comoenlademostraciondelapropiedadg)del teorema 5.14 se obtuvo que(u v)w =w1w2w3