Agata Boratynsk a - SGH Warsaw School of Economicsweb.sgh.waw.pl/~aborata/ekonomia/Zadsek2.pdf ·...

1

Agata Boratynska

ZADANIA NA CWICZENIA ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

(II rok ekonomii)

UWAGA: Jesli w zadaniu nie podano innej definicji, to przyja↪c: X = 1

nΣni=1Xi, S

2 =1

n−1Σni=1(Xi − X)2, n oznacza licznosc proby losowej.

1. STATYSTYKA OPISOWA, WSTE↪PNA ANALIZA DANYCH.

1.1. W grupie 25 studentow zbadano oceny pracy kontrolnej ze statystyki. Otrzymanowyniki: 3.5; 4; 3; 3.5; 4.5; 3; 3; 3; 2.5; 4; 2; 3.5; 2; 2.5; 3.5; 4; 5; 2.5; 3; 2; 5; 4; 2; 3;3. Przedstaw dane w szeregu rozdzielczym. Podaj cze

↪stosci dla poszczegolnych ocen.

Wyznacz i narysuj dystrybuante↪

empiryczna↪

oraz wykres s lupkowy cze↪stosci. Wyznacz

podstawowe miary po lozenia i rozproszenia (wartosc srednia↪, mediane

↪, mode

↪, wariancje

↪

probkowa↪).

1.2. W pewnym instytucie zbadano liczbe↪

wyjazdow pracownikow do krajow UE.Otrzymano wyniki:

liczba wyjazdow 0 1 2 3 4 5 6liczba pracownikow 50 80 38 15 10 5 2

Jaki odsetek pracownikow wyjezdza l rzadziej niz raz w roku a jaki cze↪sciej niz raz w

roku? Ile razy pracownicy la↪cznie wyjezdzali do krajow UE? Ile razy pracownik przecie

↪tnie

wyjezdza l do UE? Jaka jest moda, a jaka mediana (zinterpretuj wyniki)? Wyznacz wykress lupkowy.

1.3. W grupie 25 osob pisza↪cych prace

↪kontrolna

↪ze statystyki zbadano czas pisania

tej pracy. Otrzymano wyniki w minutach: 83; 85; 89; 63; 75; 82; 88; 81; 65; 88; 83; 74;52; 85; 71; 60; 87; 81; 88; 59; 82; 78; 86; 78; 89. Przedstaw dane w szeregu rozdzielczymprzyjmuja

↪c liczbe

↪4 klas rownej szerokosci. Wyznacz dystrybuante

↪empiryczna

↪i histogram

cze↪stosci. Wyznacz srednia

↪, mediane

↪, wariancje

↪probkowa

↪, odchylenie przecie

↪tne, rozste

↪p

mie↪dzykwartylowy.

Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 2

1.4. Badanie 50 kandydatow na maklerow papierow wartosciowych ze wzgle↪du na czas

przygotowywania sie↪do egzaminu dostarczy lo naste

↪puja

↪cych danych (czas w godzinach):

15 27 37 36 44 17 47 34 40 4925 46 42 50 48 39 44 49 20 4819 44 53 50 54 54 15 53 47 2035 32 15 49 27 30 34 24 52 3642 34 49 43 53 54 27 41 37 43

Zbuduj szereg rozdzielczy przyjmuja↪c jednakowe rozpie

↪tosci przedzia low klasowych. Prze-

dstaw histogram i dystrybuante↪

empiryczna↪. Na podstawie wykresu dystrybuanty em-

pirycznej okresl w przyblizeniu jaki odsetek kandydatow poswie↪ca l na przygotowanie do

egzaminu od 28 do 45 godzin. Przedstaw wykres ramkowy (pude lkowy). Wyznacz srednia↪

na podstawie danych i na podstawie szeregu przedzia lowego, wyjasnij zrod lo roznic.

1.5. Analiza zarobkow inzynierow w pewnej ga le↪zi przemys lu dostarczy la naste

↪puja

↪cych

danych:

zarobki w tys. Dystrybuanta empirycznaponizej 2,6 0

3,0 0,103,4 0,193,8 0,324,2 0,504,6 0,755,0 0,905,4 0,965,8 1

Przedstaw graficznie dystrybuante↪

empiryczna↪

i histogram cze↪stosci. Okresl dla jakiego

poziomu zarobkow poziom dystrybuanty wynosi odpowiednio: 0,25; 0,5; 0,75. Zinter-pretuj te wyniki. Wyznacz srednia

↪, mediane

↪, mode

↪, wariancje

↪, wspo lczynnik asymetrii,

zinterpretuj wyniki.


1.6. Wysokosci cen akcji pewnej spo lki na kolejnych 50 sesjach podaje ponizsza tabela:

Ceny akcji liczba sesji3,3-3,4 93,4-3,5 133,5-3,6 143,6-3,7 53,7-3,8 43,8-3,9 43,9-4,0 1

Podaj cze↪stosci skumulowane, przedstaw histogram cze

↪stosci. Jaki jest procent sesji

na ktorych cena by la wyzsza niz 3,7? Wyznacz srednia↪, mediane

↪, mode

↪, wariancje

↪,

wspo lczynnik asymetrii, zinterpretuj wyniki.

1.7. Statystyk ananlizowa l wiek nowozencow obu p lci. Na podstawie danych otrzyma lnaste

↪puja

↪ce charakterystyki:

Miara Kobiety Me↪zczyzni

srednia 23 26mediana 21,4 24,7

wariancja s2 16dominanta 21,8 22,0

wspo lczynnik skosnosci 0,667

Wyznacz brakujce w tabeli charakterystyki, wspo lczynniki zmiennosci i dokonaj analizyporownawczej rozk ladu wieku nowozencow.

1.8. W celu oszacowania czasu poswie↪canego tygodniowo przez studentow uczelni A

na studiowanie w bibliotece wylosowano niezaleznie probke↪

121 studentow i otrzymanonastpuja

↪ce wyniki.

czas w godzinach licznosc(0,2] 13(2,4] 27(4,6] 40(6,8] 29(8,10] 12


a) Wykorzystuja↪c odpowiednie charakterystyki probkowe uzupe lnij zdania:

25% studentow spe↪dza w bibliotece co najmniej ........................................ godzin,

25% studentow spe↪dza w bibliotece co najwyzej ........................................ godzin tygod-

niowo.

Dominanta jest rowna .........................................

b) Wyznacz pozycyjny wspo lczynnik asymetrii i pude lko z wa↪sami.

c) W sa↪siedniej uczelni B analogiczne badanie da lo wyniki: srednia

↪czasu 6,5 godz. i

odchylenie standardowe 2,4 godz. Dane uczelni A wskazuja↪na MNIEJSZE / WIE

↪KSZE

(podkresl w lasciwa↪

odpowiedz) zroznicowanie czasu spe↪dzanego w bibliotece przez stu-

dentow uczelni A niz B. Podaj wartosci odpowiednich charakterystyk probkowych.

2. INDEKSY STATYSTYCZNE.

2.1. Informacje z warszawskiej giedy o cenach akcji pewnej spo lki w pierwszych dwochtygodniach stycznia podaje tabela

data 2.01 3.01 4.01 5.01 6.01 9.01 10.01 11.01 12.01 13.01cena 120 128 135 130 121 102 98 103 111 102

Wyznacz indeksy lancuchowe i indeksy jednopodstawowe przyjmuja↪c za podstawe

↪date

↪

9.01. Ustal srednie tempo zmian cen akcji w pierwszym, a naste↪pnie drugim tygodniu,

oraz srednie tempo zmian w ca lym podanym okresie.

2.2. Dynamike↪

wynagrodzen brutto w latach 2003-2007 charakteryzuje naste↪puja

↪cy

cia↪g indeksow prostych lancuchowych (na podst. danych z Rocznika Statystycznego 2008):

lata 2003 2004 2005 2006 2007rok poprzedni=100 1,042 1,040 1,038 1,049 1,079

Oblicz ile wynosi prosty indeks jednopodstawowy w 2007r. przy przyje↪ciu za podstawe

↪rok

2004. Wyznacz srednie roczne tempo zmian wynagrodzen w podanym okresie. Zak ladaja↪c

niezmieniony poziom sredniego tempa zmian wynagrodzen w latach naste↪pnych oszacowac

przewidywany poziom sredniego wynagrodzenia w roku 2009 przyjmuja↪c, ze w roku 2007

srednie wynagrodzenie wynosi lo 2673 z l.


2.3. Dynamike↪

liczby widzow w kinach w przeliczeniu na 1000 ludnosci podajetabela indeksow jednopodstawowych, za podstawe

↪przyje

↪to rok 2002 (na podst. danych z

Rocznika Statystycznego 2008):

lata 2003 2004 2005 2006 2007indeks 0,93 1,23 0,92 1,20 1,25

Ocen srednie tempo zmian w badanym okresie. Wyznacz indeksy lancuchowe. W ktorymroku liczba widzow w kinach by la najmniejsza, a w ktorym najwie

↪ksza. W ktorym roku

w stosunku do roku poprzedniego by l najwie↪kszy przyrost liczby widzow w kinach. Jesli

w roku 2002 by lo 709 widzow na 1000 ludnosci, to ilu by lo widzow w 2007 roku.

2.4. Obroty sklepu przedstawia ly sie↪naste

↪puja

↪co:

Wartosc obrotow cenaTowar w tys PLN

1998 1999 1998 1999A 60 60 10 11B 75 90 30 27C 70 80 20 21

Zbadaj dynamike↪wartosci obrotow tych trzech towarow la

↪cznie, obliczaja

↪c indeksy agre-

gatowe wartosci. Okresl w jakim stopniu dynamika cen a w jakim dynamika ilosci wp lyne↪ la

na dynamike↪wartosci obrotow. Zastosuj znane indeksy ilosci, cen, wartosci.

2.5. W ponizszej tabeli podane sa↪

lancuchowe indeksy cen za okres luty, marzec ikwiecien oraz wartosci sprzedazy dwoch artyku low w miesia

↪cach luty i kwiecien.

Wartosc sprzedazy lancuchowe indeksy cenartyku ly II IV II III IV

A 100 150 1,2 0,9 0,9B 200 220 1,0 1,1 1,2

Oblicz agregatowe indeksy wartosci, cen i ilosci dla porownania sprzedazy artyku low wkwietniu i lutym. Zinterpretuj wyniki. Okresl wp lyw zmiany cen na dynamike

↪wartosci

sprzedazy w miesia↪cu lutym w stosunku do stycznia.

2.6. Pewien inwestor posiada akcje trzech firm. Ich la↪czna wartosc po kursie z dnia

1.09.08 wynosi la 95 tys. PLN, a po kursie z 1.12.08 80 tys. PLN. Obliczyc agregatowyindeks cen i zinterpretowac wynik.


2.7. Dynamike↪wielkosci nak ladow inwestycyjnych w pewnym zak ladzie w latach 2000

- 2004 podaje tabela indeksow jednopodstawowych, za podstawe↪przyjto rok 2002.

lata 2000 2001 2002 2003 2004indeks 0,90 1,20 1 1,20 1,25

Wyznacz srednie tempo zmian nak ladow inwestycyjnych w okresie 2000-2004. Wktorym roku by ly najmniejsze a w ktorym najwie

↪ksze nak lady inwestycyjne. W ktorym

roku (z lat 2001-2004) w stosunku do roku poprzedniego by l najwie↪kszy przyrost nak ladow

inwestycyjnych. Jesli w roku 2000 nak lady wynosi ly 50000 z, to ile wynosi ly w 2004 roku.

2.8. Na pewnym targowisku ustalono, e wartosc sprzedazy jaj wzros la z 25 tys. z l. w2000 r. do 50 tys. z l. w 2002 r., sera bia lego z 8 tys. z l. do 12 tys. z l., natomiast wartoscsprzedazy smietany zmala la z 6 tys. z l. do 3 tys. z l. Wiadomo, ze ilosciowo sprzedaz jajwzros la o 30%, sera o 10% a smietany zmala la dwukrotnie. Uzupe lnij tabele

↪.

Wartosc sprzedazy indeks zmian indeks zmianTowar w tys PLN ilosci cen

2000 2002

jaja

ser bia ly

smietana

Wyznacz indeksy: Laspeyresa cen i Paaschego ilosci oraz podaj ich interpretacje↪.

2.9. Pewien sklep internetowy mia l naste↪puja

↪ce dane dotyczce obrotow trzema pro-

duktami:

produkt wartosc obrotow w tys. z l zmiany cen w 2008 r.w 2008 r w stosunku do 2007 r. (w %)

A 500 spadek o 10B 800 wzrost o 5C 300 bez zmian


Ponadto wiadomo, ze la↪czne obroty w 2007 r. wynosi ly 2 mln z l.

Wyznacz indeksy wartosci, ilosci i cen i podaj ich interpretacje↪. Wiadomo, ze w roku

2006 cena towaru A by la nizsza o 15% niz w roku 2007. Wyznacz indeks jednopodstawowydla ceny towaru A w 2008 roku, przy przyje

↪ciu roku 2006 za rok bazowy.

3. MODEL STATYSTYCZNY.

3.1. Wykonujemy n doswiadczen losowych z ktorych kazde konczy sie↪

sukcesem zprawdopodobienstwem θ. Wiadomo, ze θ ∈ [θ1, θ2], gdzie θ1, θ2 ∈ (0, 1) sa

↪ustalone.

Sformu luj model statystyczny tego eksperymentu.

3.2. Z populacji N elementow wsrod ktorych jest nieznana liczba D elementow wadli-wych losujemy n elementow i poddajemy je kontroli. NiechX oznacza liczbe

↪wylosowanych

elementow wadliwych. Podaj model statystyczny doswiadczenia.

3.3. Zak ladaja↪c, ze plon kukurydzy z poletka ma rozk lad normalny z wartoscia

↪oczeki-

wana↪µ i wariancja

↪σ2, µ i σ2 sa

↪nieznane, podaj model statystyczny eksperymentu pole-

gaja↪cego na zmierzeniu wielkosci plonow z 10 takich samych poletek.

3.4. Pewne urza↪dzenie techniczne pracuje dopoki nie uszkodzi sie

↪ktorys z k elementow

typu A lub ktorys z l elementow typu B. Czas zycia elementow typu A jest zmienna↪

losowa↪

o rozk ladzie wyk ladniczym z ge↪stoscia

↪fa(x) = ae−ax dla x > 0, a czas zycia

elementow typu B jest zmienna↪

losowa↪

o rozk ladzie wyk ladniczym z ge↪stoscia

↪fb(x) =

be−bx dla x > 0, i wszystkie elementy pracuja↪

niezaleznie. Parametry a i b sa↪

nieznaneoraz a, b > 0. Obserwuje sie

↪czas zycia T ca lego urza

↪dzenia. Sformu luj model statystyczny

tej obserwacji.

3.5. Z urny, w ktorej jest 50 losow (w tym pewna liczba losow wygranych), losujemy 5razy po jednym losie. Po kazdym losowaniu sprawdzamy czy los jest wygrany i z powrotemwk ladamy go do urny. Z jakim rodzajem losowania mamy do czynienia. Podaj modelstatystyczny tego dowiadczenia. Podaj model statystyczny doswiadczenia przy za lozeniu,ze dokonujemy losowania losow bez zwracania.

3.6. Obserwuje sie↪

liczbe↪

roszczen dla kazdego z n niezaleznych jednorodnych kon-traktow ubezpieczeniowych. Za lozmy, ze liczba roszczen dla pojedynczego kontraktu jestzmienna

↪losowa

↪o rozk ladzie Poissona z nieznanym parametrem. Podaj model statysty-

czny tej obserwacji.

3.7. W jeziorze p lywa pewna liczba N nieznana ryb. Od lowiono z jeziora m ryb,oznakowano je i z powrotem wpuszczono do jeziora. Po wymieszaniu sie

↪ryb oznakowanych


z pozosta lymi wy lowiono n ryb i zliczono ile wsrod ryb wy lowionych jest oznakowanych.Podaj model statystyczny tego eksperymentu.

3.8. Z populacji pracownikow pewnego zak ladu losujemy 50 osob: 25 kobiet i 25me

↪zczyzn, ktore maja

↪utworzyc probke

↪do zbadania odsetka pala

↪cych kobiet i me

↪zczyzn.

Co jest cecha↪w tym doswiadczeniu?

3.9. Samoloty bombowe przedzieraja↪

sie↪

przez dwie linie obrony przeciwlotniczej.Kazdy samolot, niezaleznie od pozosta lych, z prawdopodobiestwem θ1 jest stra

↪cony przez

pierwsza↪linie

↪obrony, a z prawdopodobiestwem θ2 przechodzi przez pierwsza

↪linie

↪i zostaje

stra↪cony przez druga

↪linie

↪. Obserwujemy liczbe

↪samolotow stra

↪conych przez pierwsza

↪linie

obrony X i liczbe↪

samolotow stra↪conych przez druga

↪linie

↪obrony Y sposrod n leca

↪cych.

Sformu luj model statystyczny.

3.10. Sposrod duzej liczby wyborcow 100p% g losuje na partie↪

A, a 100q% na partie↪

B, pozostali nie g losuja↪. Wybrano losowo niezaleznie 1000 wyborcow i zanotowano liczby

X - wyborcow g losuja↪cych na partie

↪A i Y - wyborcow g losuja

↪cych na B. Sformu luj model

statystyczny.

3.11. Obserwujemy la↪czny czas swiecenia 5 zarowek. Czas swiecenia pojedynczej

zarowki jest zmienna↪o rozk ladzie wyk ladniczym. Sformu luj model statystyczny.

3.12. Obserwuje sie↪ la↪czna

↪liczbe

↪roszczen z n niezaleznych jednorodnych kontraktow

ubezpieczeniowych. Za lozmy, ze liczba roszczen dla pojedynczego kontraktu jest zmienna↪

losowa↪

a)o rozk ladzie Poissona z nieznanym parametrem λ ;b) o rozk ladzie geometrycznym z nieznanym parametrem p.Podaj model statystyczny tej obserwacji w obu przypadkach.

3.13. W pomieszczeniu zapalono n zarowek i obserwowano czas do chwili przepaleniawszystkich. Czas swiecenia pojedynczej zarowki jest zmienna

↪o rozk ladzie wyk ladniczym.

Sformu luj model statystyczny tej obserwacji.

4. PODSTAWOWE ROZK LADY PRAWDOPODOBIENSTWA

4.1. Automat tokarski produkuje nity, ktorych srednica ma rozk lad normalny z od-chyleniem standardowym rownym 0, 04mm. Wartosc oczekiwana tej zmiennej losowejmoze byc dowolnie regulowana przez odpowiednie ustawienie automatu. Nit uwaza sie

↪za

dobry, gdy jego srednica miesci sie↪w przedziale (2,9mm,3,1mm).

a) Jakie jest prawdopodobienstwo wyprodukowania braku, gdy automat nastawiony jestna wartosc srednia

↪3,05.


b) Przy jakiej wartosci sredniej prawdopodobienstwo wyprodukowania braku be↪dzie na-

jmniejsze.

4.2. Waga skupowanych jaj kurzych ma rozk lad normalny N(50, 32). Pakowane sa↪

one po 9 sztuk, przy czym dobor sztuk ma cechy doboru losowego. Okreslic rozk ladsredniej arytmetycznej wagi jaj w pojedynczym opakowaniu. Jakie jest prawdopodobien-stwo zdarzenia, ze srednia waga jaj w opakowaniu be

↪dzie wie

↪ksza niz 52?

4.3. Tygodniowa wartosc sprzedazy pewnego produktu ma rozk lad normalnyN(2450, 4002).a) Jakie jest prawdopodobienstwo zdarzenia, ze sprzedaz tego produktu w cia

↪gu tygodnia

be↪dzie w granicach (2050,3100)?

b) Zbadano wartosc sprzedazy w cia↪gu 16 tygodni. Jaki jest rozk lad sredniej arytmety-

cznej wartosci sprzedazy? Jakie jest prawdopodobienstwo zdarzenia, ze srednia wartoscsprzedazy z 16 tygodni waha sie

↪w przedziale (2200,2700)?

4.4. Czas przeznaczony w cia↪gu tygodnia na czytanie ksia

↪zek i prasy przez ogo l

mieszkancow pewnego rejonu ma rozk lad normalny z odchyleniem standardowym rownym1,5 godz. Jakie jest prawdopodobienstwo zdarzenia, ze odchylenie standardowe czasuprzeznaczonego na czytanie ksia

↪zek i prasy wyliczone na podstawie 20 losowo wybranych

osob nie przekroczy 2 godz.?

4.5. Zmienna losowa ma rozk lad normalny. Z populacji o tym rozk ladzie pobrano400-elementowa

↪probe

↪losowa

↪. Znalezc odchylenie standardowe w rozk ladzie tej zmien-

nej, jesli wiadomo, ze srednia z proby rozni sie↪

od sredniej w populacji o mniej niz 1 zprawdopodobienstwem rownym 0,6826.

4.6. Wadliwosc procesu produkcyjnego wynosi 10%. Oblicz prawdopodobienstwo, zena 8 wylosowanych sztuk be

↪da

↪co najwyzej 2 wadliwe. Wyznacz oczekiwana

↪wartosc sztuk

wadliwych.

4.7. W pojedynczej grze w ruletke↪wygrywamy 1 z prawdopodobienstwem 18

38a prze-

grywamy 1 z prawdopodobienstwem 2038

. Oszacuj prawdopodobienstwo, ze po 361 grachmamy wie

↪cej pienie

↪dzy niz na pocza

↪tku?

4.8. Pewien uniwersytet stanowy wysy la co roku swoich pracownikow do szko l srednichaby zache

↪cic uczniow do studiowania na tym uniwersytecie. Z dokumentow wynika, ze

25% osob sposrod zache↪canych sk lada rzeczywiscie dokumenty na ten uniwersytet. Pra-

cownicy w danym roku przeprowadzili 1889 rozmow. Oszacuj prawdopodobienstwo, zena uniwersytet zg losi sie

↪ponad 500 kandydatow z tej grupy.

4.9. Pewne towarzystwo ubezpieczeniowe ma 625 klientow w pewnej grupie ryzyka, oktorej (z przesz losci) wiadomo, ze srednie roczne roszczenie jednego klienta wynosi 1000


przy odchyleniu standardowym 300. Oszacuj jaka↪kwote

↪na wyp lacanie roszczen powinno

przewidziec towarzystwo, aby prawdopodobienstwo, ze zostanie ona przekroczona by lonie wie

↪ksze niz 0,05 (zastosowac aproksymacje

↪rozk ladem normalnym).

4.10. Zmienne losowe X, Y , Z sa↪niezalezne, przy czym X ∼ N(0, 1), Y ∼ N(2, 1) i

Z ∼ χ29. Obliczyc prawdopodobienstwa: P (X−Y < 1), P (X+Y > 3), P (X2+(Y −2)2 >

6), P (43X <

√Z), P (Y > 2 + 7

15

√Z).

4.11.. Zmienne losowe X, Y , Z sa↪niezalezne, przy czym X ∼ N(0, 1), Y ∼ N(1, 1),

Z ∼ χ28. Obliczyc prawdopodobienstwa: (a) P{X2 + (Y − 1)2 < 1, 115Z}, (b) P{Y <

1 + 1312

√X2 + Z}.

4.12. Z rozk ladu N(µ, 122) wylosowano 6-elementowa↪

prosta↪

probe↪

losowa↪. Znalezc

P (13, 2 < S2 < 38, 54), gdzie S2 = 16Σ6i=1(Xi − X)2.

4.13. Niech X1, X2, . . . , Xn be↪dzie proba

↪losowa

↪z rozk ladu a) jednostajnego na

przedziale (0, θ), b) wyk ladniczego z parametrem θ o ge↪stosci pθ(x) = θe−θx i x > 0.

Wyznacz ge↪stosc zmiennej losowej X1:n = min(X1, X2, . . . , Xn) i ge

↪stosc zmiennej losowej

Xn:n = max(X1, X2, . . . , Xn).


5. ESTYMACJA PARAMETROW MODELU.

5.1. W n niezaleznych okresach czasu, kazdy ustalonej tej samej d lugosci badanoliczbe

↪po la

↪czen telefonicznych w pewnej centrali. Uzyskane wyniki by ly realizacjami

niezaleznych zmiennych losowych o rozk ladzie Poissona z nieznanym parametrem θ.a) Wyznacz model statystyczny eksperymentu.b) Wyznacz estymator najwie

↪kszej wiarogodnosci parametru θ. Sprawdz, czy jest on es-

tymatorem nieobcia↪zonym. Jaka jest wariancja tego estymatora?

5.2. W jeziorze p lywa pewna nieznana liczba θ ryb. Aby oszacowac te↪liczbe

↪poste

↪pujemy

naste↪puja

↪co: od lawiamy m ryb, znaczymy je, a naste

↪pnie wpuszczamy do jeziora, czekamy

az ryby wymieszaja↪

sie↪, lowimy n ryb i zliczamy liczbe

↪ryb znaczonych. Podaj model

statystyczny i wyznacz estymator najwie↪kszej wiarogodnosci parametru θ.

5.3. Niech (X1, . . . , Xn) be↪dzie proba

↪losowa

↪z rozk ladu beta B(a, b) o ge

↪stosci

pa,b(x) =Γ(a+ b)

Γ(a)Γ(b)xa−1(1− x)b−11(0,1)(x),

gdzie a, b > 0. Wyznacz estymatory metoda↪momentow parametrow a i b, korzystaja

↪c z

dwoch pierwszych momentow zwyk lych w rozk ladzie beta.

5.4. Niech X1, X2, . . . , Xn be↪da

↪niezaleznymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozk ladzie o ge↪stosci postaci

fθ(x) =1

6θ4x3e−

xθ

gdy x ∈ (0,+∞), gdzie θ jest nieznanym parametrem i θ ∈ (0,∞). Wyznacz estymatornajwie

↪kszej wiarogodnosci parametru θ. Wiedza

↪c, ze wartosc oczekiwana EXi = 4θ

sprawdz, czy otrzymany estymator jest estymatorem nieobcia↪zonym.

5.5. Niech X1, X2, . . . , Xn be↪da


rozk ladzie jednostajnym na przedziale (0, θ], gdzie θ jest nieznanym parametrem i θ ∈(0,∞).a) Wyznacz sta la

↪a tak aby estymator

T (X1, X2, . . . , Xn) =a

n

n∑i=1

Xi

by l estymatorem nieobcia↪zonym parametru θ? Wyznacz jego wariancje

↪. Czy jest to

estymator zgodny?b) Wyznacz estymator najwie

↪kszej wiarogodnosci parametru θ. Czy jest to estymator

nieobcia↪zony? Czy jest to estymator zgodny?


5.6. Niech X1, . . . , Xn be↪dzie proba

↪losowa

↪z rozk ladu o ge

↪stosci

pθ(x) =

{θxθ−1 gdy x ∈ (0, 1),0 w pozosta lych przypadkach

gdzie θ > 0. Wyznacz estymator najwie↪kszej wiarogodnosci parametru θ. Wyznaczyc

informacje↪Fishera w tym modelu i podac wariancje

↪asymptotyczna

↪tego estymatora.

5.7. Zawartosc bia lka w pewnym produkcie zywnosciowym zmierzono 10-krotniemetoda

↪I i 10-krotnie metoda

↪II. Wyniki metody I sa

↪niezaleznymi zmiennymi losowymi

X1,1, X1,2, . . . , X1,10 z rozk ladu N(m, 32), zas wyniki metody II sa↪

niezaleznymi zmien-nymi losowymi X2,1, X2,2, . . . , X2,10 z rozk ladu N(m, 52). Pomiary dwiema metodami sa

↪

niezalezne. Rozpatrzmy naste↪puja

↪ce estymatory parametru m:

m1 = X1 m2 = 0.8X1 + 0.2X2 m3 = 0.5(X1 + X2)

gdzie Xi = 110

(Xi,1+Xi,2+ . . .+Xi,10), i = 1, 2. Zbadaj czy sa↪to estymatory nieobcia

↪zone.

Wyznacz estymator o najmniejszej wariancji.

5.8. Sekretarka otrzyma la kartke↪

z danymi, ktore sa↪

realizacjami niezaleznych zmi-ennych losowych o tym samym rozk ladzie normalnym N(m,σ2), gdzie oba parametry sa

↪

nieznane. Na kartce by lo 100 liczb zapisanych w 10 rownych kolumnach. Sekretarkapoliczy la srednie z kazdej kolumny otrzymuja

↪c

X1, X2, . . . , X10

i zapisa la je na oddzielnej kartce. Niestety oryginalne dane zosta ly zgubione.a) Wyznacz wariancje

↪estymatora parametru m postaci X = 0, 1(X1 + . . .+ X10).

b) Na podstawie srednich X1, . . . , X10 wyznacz estymator nieobcia↪zony parametru σ2.


↪losowa

↪z rozk ladu o ge

↪stosci

pθ(x) =

{θ2

xθ2+1gdy x > 1,

0 gdy x ≤ 1,

gdzie θ > 0. Wyznacz estymator najwie↪kszej wiarogodnosci parametru θ.


↪losowa

↪z rozk ladu o ge

↪stosci

fa(x) = 4a4x−51[a,∞)(x),

gdzie a > 0. Wyznaczyc ENW (a). Sprawdzic czy jest to estymator nieobcia↪zony. Wyz-

naczyc b la↪d sredniokwadratowy.



↪losowa

↪z rozk ladu Poissona z nieznanym

parametrem θ. Wyznacz estymator najwie↪kszej wiarogodnosci funkcji e−θ (zauwazmy,

ze e−θ = P (X1 = 0), jezeli ten rozk lad opisuje liczbe↪

szkod w pewnym okreslonym cza-sie, to jest to prawdopodobienstwo zdarzenia, ze nie be

↪dzie zadnych szkod w tym czasie).

Wyznaczyc rozk lad asymptotyczny otrzymanego estymatora i asymptotyczna↪efektywnosc

bezwzgle↪dna

↪.

5.12. Cecha X ma rozk lad geometryczny z parametrem θ ∈ (0, 1), gdzie Pθ(X = x) =(1 − θ)xθ, dla x = 0, 1, 2, . . .. Niech (X1, . . . , Xn) be

↪dzie proba

↪losowa

↪z tego rozk ladu.

Wyznaczyc ENW (θ) i EMM(θ), wiedza↪c ze EθX = 1−θ

θ.

5.13. Niech X1, . . . , X10 be↪da

↪niezaleznymi zmiennymi losowymi takimi, ze X1, . . . , X8

maja↪rozk lad o ge

↪stosci

pθ(x) =

{2θe−2θx gdy x > 0,0 gdy x ≤ 0,

natomiast zmienne X9, X10 maja↪rozk lady o ge

↪stosci

fθ(x) =

{θe−θx gdy x > 0,0 gdy x ≤ 0,

gdzie θ > 0. Wyznacz estymator najwie↪kszej wiarogodnosci parametru θ.


↪losowa

↪z rozk ladu normalnego N(m,σ2). Wyz-

nacz a tak, aby estymator T (X1, X2, . . . , Xn) = aΣni=1|Xi − X| by l estymatorem nieob-

cia↪zonym parametru σ.

5.15. Niech X1, X2, . . . , Xn, n > 1, be↪da

↪niezaleznymi zmiennymi losowymi o tym

samym rozk ladzie wyk ladniczym o ge↪stosci

pλ(x) =1

λe−

1λx1[0,∞)(x),

λ > 0. Rozpatrz estymator parametru λ postaci

T (x1, x2, . . . , xn) = n ·min(x1, x2, . . . , xn).

Sprawdz, czy jest to estymator nieobcia↪zony i czy jest to estymator zgodny.

5.16. Obserwujemy czas zycia, x1, x2, . . . , xn, n elementow pierwszego rodzaju i czaszycia, y1, y2, . . . , ym, m elementow drugiego rodzaju. Obserwacje sa

↪realizacjami niezalez-

nych zmiennych losowych o rozk ladach wyk ladniczych. Wiadomo, ze sredni czas zyciaelementow pierwszego rodzaju jest 2 razy d luzszy niz sredni czas zycia elementow drugiegorodzaju. Wyznacz model statystyczny w tym doswiadczeniu i estymator najwie

↪kszej


wiarogodnosci parametru rownego wartosci oczekiwanej czasu zycia elementu pierwszegorodzaju.

5.17. Niech X1, X2, . . . , Xn, n > 1, be↪da


samym rozk ladzie wyk ladniczym o wartosci oczekiwanej θ. Rozwazmy estymatory parametruθ postaci

θ = aS, gdzie S = Σni=1Xi.

Znajdz a, dla ktorej b la↪d sredniokwadratowy estymatora jest najmniejszy. Wskazowka:

EXi = θ, V ar Xi = θ2.

5.18 Zmienne losowe X1, . . . , Xn opisuja↪ceny (w z l.) pewnego artyku lu w n roznych

sklepach. Zak ladamy, ze sa↪

to zmienne niezalezne, o jednakowym rozk ladzie normal-nym N(µ, σ2). Interesuje nas estymacja sredniej ceny µ. Wyniki wczesniejszych badansugeruja

↪, ze nieznana wielkosc µ powinna byc bliska 300 z l. Wobec tego uzywamy

naste↪puja

↪cego estymatora:

µ =300 + X

2,

gdzie X = 1n

∑Xi. Obliczyc obcia

↪zenie tego estymatora. Obliczyc b la

↪d sredniokwadratowy

tego estymatora.

5.19 Niech X1, X2, . . . , Xn be↪da

↪niezaleznymi zmiennymi losowymi z tego samego

rozk ladu o ge↪stosci

fθ(x) =

1

24θ5x4e−

xθ dla x > 0

0 w przeciwnym przypadku,

gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Wiadomo, ze EθXi = 5θ i V arθXi = 5θ2.Dobrac sta la

↪c tak, aby statystyka T = cX by la estymatorem nieobcia

↪zonym parametru

θ i obliczyc jego wariancje↪. Porownac wariancje

↪estymatora z dolnym ograniczeniem na

wariancje↪w nierownosci informacyjnej.

5.20 Niech X1, . . . , Xn be↪dzie probka

↪z rozk ladu o ge

↪stosci

fθ(x) =

{θx−2e−θ/x dla x > 0;0 w przeciwnym przypadku,

gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Podac wzor na estymator najwie↪kszej wiaro-

godnosci (ENW) parametru θ. Wyznaczyc parametry rozk ladu normalnego, ktory przy-bliza rozk lad ENW θ, jesli n = 400 i parametr θ jest rowny 2.



↪losowa

↪prosta

↪z rozk ladu jednostajnego U(0, θ).

Zdefiniowano dwa estymatory parametru θ:

T1 =n+ 1

nXn:n T2 =

n

n− 1Xn:n,

gdzie Xn:n jest ostatnia↪statystyka

↪pozycyjna

↪. Wyznacz obcia

↪zenia poszczegolnych esty-

matorow.

5.22. Niech X1, X2, . . . , Xn be↪da


rozk ladzie jednostajnym na przedziale [0, 1]. Niech Fn(t) oznacza dystrybuante↪

em-piryczna

↪w punkcie t (wyznaczona

↪na podstawie zaobserwowanych wartosciX1, X2, . . . , Xn).

• Podaj wartosc oczekiwana↪i wariancje

↪zmiennej losowej Fn(1/2).

• Wyznacz rozk lad asymptotyczny zmiennej√n(Fn(1/2)− F (1/2))

5.23. Samoloty bombowe przedzieraja↪

sie↪

przez dwie linie obrony przeciwlotniczej.Kazdy samolot, niezaleznie od pozosta lych, z prawdopodobienstwem θ jest stra

↪cony przez

pierwsza↪linie

↪obrony, z prawdopodobienstwem θ(1− θ) przechodzi przez pierwsza

↪linie

↪i

zostaje stra↪cony przez druga

↪linie

↪, wreszcie a prawdopodobienstwem (1 − θ)2 przechodzi

przez obie linie. Parametr θ jest nieznany. Sposrod n = 100 samolotow, K1 = 40 zosta lostra

↪conych przez pierwsza

↪linie

↪, a dalszych K2 = 20 zosta lo stra

↪conych przez druga

↪linie

↪.

• Oblicz wiarogodnosc dla zaobserwowanych wartosci K1 i K2.

• Podaj estymator najwie↪kszej wiarogodnosci parametru θ.

5.24. Niech Y1, Y2, . . . , Yn be↪da

↪niezaleznymi zmiennymi losowymi, przy czym Yi ma

rozkad normalny N(bxi, 1), gdzie b jest nieznanym parametrem a x1, x2, . . . , xn ustalonymiznanymi liczbami. Wyznacz ENW (b). Jaki rozk lad ma otrzymany estymator? Wyznaczprzedzia l ufnosci dla parametru b w oparciu o otrzymany estymator na poziomie ufnosci0,95.


6. PRZEDZIA LY UFNOSCI

6.1. Firma telekomunikacyjna chce oszacowac srednia↪d lugosc rozmow zamiejscowych

w soboty i niedziele na podstawie 20 elementowej proby losowej, dla ktorej srednia wynosi14,5 i odchylenie standardowe 5,6. Zak ladaja

↪c, ze czas rozmowy ma rozk lad normalny

wyznaczyc realizacj przedzia lu ufnosci dla wartosci oczekiwanej czasu rozmowy na poziomieufnosci 95%. Jak zmieni sie

↪d lugosc przedzia lu ufnosci gdy poziom ufnosci wzrosnie.

6.2. Firma zajmuja↪ca sie

↪badaniem rynku chce przyblizyc przecie

↪tna

↪kwote

↪wydawana

↪

przez osoby odwiedzaja↪ce popularny kurort. Firma chce okreslic te

↪kwote

↪za pomoca

↪

przedzia lu o szerokosci nie przekraczaja↪cej 200 na poziomie ufnosci 95%. Z przesz losci

wiadomo, ze odchylenie standardowe wynosi 400. Jaka jest minimalna wielkosc probylosowej potrzebna do uzyskania takiego oszacowania przy za lozeniu, ze kwota wydawanapodlega rozk ladowi normalnemu.

Od jakich czynnikow i jak zalezy d lugosc przedzia lu ufnosci dla wartosci oczekiwanejµ cechy o rozk ladzie normalnym. Czy prowadza

↪cy doswiadczenia moze miec wp lyw na

d lugosc przedzia lu ufnosci?

6.3. W lasciciel kantoru wymiany walut na lotnisku chce wyestymowac srednia↪wielkosc

gotowki potrzebna↪do wymiany noca

↪frankow na dolary. Z doswiadczenia w lasciciel wie,

ze wielkosc popytu na dolary ma rozk lad normalny z odchyleniem standardowym 4. Ob-serwuja

↪c popyt przez 10 dni w lasciciel otrzyma l wyniki: X = 24, 4.

a) Podac realizacje↪przedzia lu ufnosci dla wartosci oczekiwanej popytu na poziomie ufnosci

0,9.b) Oszacowac (korzystaja

↪c z otrzymanego przedzia lu ufnosci) prawdopodobienstwo zdarzenia,

ze w lasciciel be↪dzie potrzebowa l gotowki ponad 30.

c) Oszacowac wartosc a tak, ze prawdopodobienstwo zdarzenia, ze w lasciciel be↪dzie potrze-

bowa l gotowki o wartosci wie↪kszej niz a nie przekroczy 0,1.

6.4. Pewien automat w fabryce czekolady wytwarza tabliczki czekolady. W celuoszacowania precyzji w wytwarzaniu tabliczek przez automat kontrola techniczna pobra laprobe

↪losowa

↪16 tabliczek i otrzyma la ich odchylenie standardowe rowne 5.

a) Podac realizacje↪przedzia lu ufnosci dla wariancji na poziomie ufnosci 0,95, wiedza

↪c ze

waga wytwarzanych tabliczek jest zmienna↪losowa

↪o rozk ladzie normalnym.

b) Wiedza↪c, ze nominalna waga produkowanych tabliczek wynosi 250 oszacowac prawdo-

podobienstwo zdarzenia, ze automat wyprodukuje tabliczki czekolady o wadze wie↪kszej

niz 260.

6.5. Na podstawie informacji o srednim czasie przepisywania na komputerze jednejstrony tekstu przez 25 losowo wybranych maszynistek oszacowano przedzia l dla sredniego


czasu pisania jednej strony tekstu przez maszynistki wynosza↪cy (5, 588; 6, 412). Wiedza

↪c

dodatkowo, ze rozk lad czasu pisania jednej strony jest zblizony do normalnego i ze odchyle-nie w wylosowanej probie wynosi 1, ustalic jaki poziom ufnosci przyje

↪to przy szacowaniu

powyzszego przedzia lu?

6.6. Procent gospodarstw rolnych, ktorych w lasciciele przekroczyli 60 lat oznaczmyprzez 100θ%. W celu oszacowania parametru θ, pobrano sposrod gospodarstw 400 ele-mentowa

↪probke

↪losowa

↪i okaza lo sie

↪, ze 144 w lascicieli przekroczy lo 60 lat. Zbudowac

przedzia l ufnosci dla parametru θ na poziomie ufnosci 0,95.

6.7. Analityk chce oszacowac procent rynku mikrokomputerow opanowany przezIBM. Proba losowa z lozona z 590 spo lek uzywaja

↪cych mikrokomputery da la rezultat,

ze 500 spo lek mia lo komputery IBM. Podac 95% przedzia l ufnosci dla procentu rynkuopanowanego przez IBM.

6.8. Wykonuje sie↪pomiary wytrzyma losci pewnego materia lu budowlanego (w kG/cm2).

Wiadomo, ze pomiary sa↪niezaleznymi zmiennymi losowymi o rozk ladzie N(µ, 1) (z niez-

nana↪

srednia↪µ i wariancja

↪rowna

↪1). Ile pomiarow nalezy wykonac, zeby zbudowac

przedzia l ufnosci dla µ, o d lugosci 0.4, na poziomie ufnosci 1− α = 0.99?

6.10. Badano wydatki studentow warszawskich na rozrywke↪. Wylosowano 20 stu-

dentow i zanotowano ich wydatki otrzymuja↪c srednia

↪152,95 i odchylenie standardowe

s = 58, 95 (s2 = 1n−1Σn

i=1(xi − x)2). Podac realizacje↪

przedzia lu ufnosci dla srednichwydatkow studenta zak ladaja

↪c, ze wydatki studentow podlegaja

↪rozk ladowi normalnemu

i przyjmuja↪c poziom ufnosci 0,98. Jak liczna

↪probke

↪nalezy dolosowac aby otrzymac

przedzia l ufnosci o d lugosci mniejszej niz 10.

6.11. Procent wypadkow samochodowych spowodowanych nadmierna↪pre

↪dkoscia

↪oz-

naczmy przez 100θ%. Na n = 800 zbadanych wypadkow samochodowych okaza lo sie↪,

ze X = 320 zosta lo spowodowanych nadmierna↪

pre↪dkoscia

↪. Podaj przyblizony przedzia l

ufnosci dla θ, pos luguja↪c sie

↪faktem, ze

Pθ

X :√n

|X/n− θ|√(X/n)(1−X/n)

≤ z

≈ Φ(z)− Φ(−z),

gdzie Φ jest dystrybuanta↪rozk ladu normalnego N(0, 1). Przyjmij poziom ufnosci rowny

0,95. Jak liczna powinna byc probka losowa aby otrzymac przedzia l o szerokosci nieprzekraczaja

↪cej 0,04.

6.12. Niech X1, X2, . . . , Xn, n > 1, be↪da


samym rozk ladzie wyk ladniczym o ge↪stosci

pλ(x) = λe−λx1[0,∞)(x),


λ > 0. Wiedza↪c, ze zmienna losowa T = 2λΣn

i=1Xi ∼ χ22n wyznaczyc a, b tak, aby

P{T < a} = P{T > b} =α

2.

Wyznaczyc na tej podstawie przedzia l ufnosci dla parametru λ na poziomie ufnosci 1−α.

6.13 Wylosowano niezaleznie 25 maszynistek i zanotowano czas pisania jednej stronytekstu na komputerze dla kazdej z nich otrzymuja

↪c dane x1, x2, . . . , x25. Na podstawie

tych danych wyznaczono

x =1

25

25∑i=1

xi = 8, s2 =1

24

25∑i=1

(xi − x)2 = 1, 21

oraz zbudowano przedzia l ufnosci dla sredniego czasu pisania jednej strony tekstu przezmaszynistki na poziomie ufnosci 0,9, zak ladaja

↪c, ze rozk lad czasu pisania jednej strony

jest normalny. Wyznacz ten przedzia l. Ile maszynistek nalezy jeszcze dolosowac, aby przyprzyje

↪tym poziomie ufnosci otrzymac przedzia l ufnosci o d lugosci nie wie

↪kszej niz 0,2.

6.14. Niech X1, X2, . . . , Xn, n > 1, be↪da


samym rozk ladzie jednostajnym na przedziale (0, θ), gdzie θ > 0 jest nieznanym parame-trem. Korzystaja

↪c z estymatora najwie

↪kszej wiarogodnosci θ parametru θ wyznacz przedzia l

ufnosci dla parametru θ na poziomie ufnosci 1 − α postaci [aθ, bθ], gdzie a, b dobrane sa↪

tak by dla kazdego θ > 0

Pθ(θ < aθ

)= Pθ

(θ > bθ

)=α

2

6.15. Niech X1, X2, . . . , X100 oraz Y1, Y2, . . . , Y50 be↪da

↪dwiema niezaleznymi probkami

losowymi z tego samego rozk ladu normalnego N(µ, 1). Kazdy z dwoch statystykowniezaleznie buduje przedzia l ufnosci dla parametru µ na poziomie ufnosci 0, 8, ale jedenstatystyk ma do dyspozycji probke

↪X-ow zas drugi – probke

↪Y -ow.

• Podac prawdopodobienstwo tego, ze przynajmniej jeden ze statystykow zbudujeprzedzia l, do ktorego nalezy wartosc µ.

• Podac prawdopodobienstwo tego, ze obaj statystycy zbuduja↪przedzia ly, do ktorych

nalezy wartosc µ.

• Obliczy prawdopodobienstwo, ze otrzymane przedzia ly ufnosci nie be↪da

↪mia ly cze

↪sci

wspolnej.


7. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH


↪losowa

↪z rozk ladu normalnego N(m, 22). Wery-

fikuje sie↪hipoteze

↪, ze m = 0 za pomoca

↪testu z obszarem krytycznym{

(x1, x2, . . . , xn) : | 1√n

Σni=1xi| > 4

}.

Oblicz rozmiar testu.

7.2. W celu zweryfikowania hipotezy, ze nieznane prawdopodobienstwo sukcesu w po-jedynczej probie jest mniejsze od 0,5 wykonuje sie

↪20 niezaleznych prob i hipoteze

↪odrzuca

sie↪, gdy liczba sukcesow jest wie

↪ksza lub rowna 12. Wyznacz funkcje

↪prawdopodobienstwa

b le↪du pierwszego rodzaju i funkcje

↪prawdopodobienstwa b le

↪du drugiego rodzaju.

7.3. Z populacji N elementow wsrod ktorych jest nieznana liczba D elementow wadli-wych losujemy n elementow i poddajemy je kontroli. Niech x oznacza liczbe

↪wylosowanych

elementow wadliwych. Podaj model statystyczny doswiadczenia. Weryfikacje↪

hipotezyH : D = D0 przeciwko hipotezie K : D > D0, gdzie D0 jest ustalona

↪liczba

↪naturalna

↪

mniejsza↪od N przeprowadzamy za pomoca

↪naste

↪puja

↪cego testu: jezeli x > k, to hipoteze

↪

odrzucamy, w przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy. Wyz-nacz sta la

↪k dla testu na poziomie istotnosci α = 0, 1 przy danych: D0 = 3, N = 10,

n = 3. Jaka jest moc testu przy alternatywie D = 6?


↪losowa

↪z rozk ladu normalnego N(m, 22). Hipoteze

↪

H0 : m = 1 przy alternatywie H1 : m = 3 weryfikuje sie↪

za pomoca↪

testu o zbiorzekrytycznym postaci: {(x1, x2, . . . , xn) : Σn

i=1xi > kα}.a) Wyznacz kα, aby otrzymac test o rozmiarze 0,05. Jak duza

↪probe

↪losowa

↪nalezy pobrac,

aby uzyskac test o mocy nie mniejszej niz 0,95?b) Jak zmieni sie

↪kα jesli przyjmiemy α = 0, 01. Jak duza

↪probe

↪losowa

↪nalezy pobrac,

aby przy α = 0, 01 uzyskac test o mocy nie mniejszej niz 0,95?

7.5. Niech x1, x2, . . . , xn be↪da

↪wynikami n-elementowej proby losowej pobranej z

populacji, w ktorej cecha X ma rozk lad jednostajny na przedziale (0, θ). Do wery-fikacji hipotezy H : θ = θ0 przy alternatywie K : θ > θ0 zaproponowano test: gdymax(x1, x2, . . . , xn) = xn:n < c, gdzie c jest pewna

↪sta la

↪, nie mamy podstaw do odrzuce-

nia hipotezy H, gdy max(x1, x2, . . . , xn) = xn:n ≥ c hipoteze↪H odrzucamy na korzysc

hipotezy K. Wykorzystuja↪c fakt, ze statystyka Xn:n ma rozk lad o ge

↪stosci

f(z) ={ nθnzn−1 gdy z ∈ (0, θ)

0 w pozosta lych przypadkach,

a) wyznacz sta la↪c tak, aby rozmiar testu by l rowny 0,1,

b) wyznacz funkcje↪mocy testu,


c) wyznacz liczebnosc proby aby prawdopodobienstwo pope lnienia b le↪du drugiego rodzaju

dla alternatywy θ = 1, 2θ0 by lo mniejsze niz 0,09.

7.6. Dysponuja↪c jedna

↪obserwacja

↪x o rozk ladzie prawdopodobienstwa o ge

↪stosci

pθ(x) =

{1θe−

xθ gdy x > 0

0 w pozosta lych przypadkach.

weryfikujemy hipoteze↪

H: θ = 10 przy alternatywie K: θ > 10 na podstawie testu oobszarze krytycznym K = {x : x > kα}. Wyznacz kα, aby otrzymany test by l testem napoziomie istotnosci 0,01. Wyznacz moc testu dla wartosci alternatywy rownej 20.

8. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH - TESTY OPARTE NA ILORA-ZIE WIAROGODNOSCI

8.1. Przeprowadzamy n = 10 niezaleznych doswiadczen z nieznanym, jednakowymprawdopodobienstwem sukcesu θ. Niech X oznacza liczbe

↪sukcesow. Podac test najmoc-

niejszy dla weryfikacji hipotezy H0 : θ = 12

przy alternatywie H1 : θ = 34

na poziomieistotnosci 0,05.


↪losowa

↪z rozk ladu normalnego N(m, 32). Podac

test najmocniejszy dla weryfikowania hipotezy H0 : m = 2 przy alternatywie H1 : m = 0na poziomie istotnosci 0,1. Jak duza powinna byc licznosc proby, aby b la

↪d drugiego

rodzaju by l nie wie↪kszy niz 0,1.


↪losowa

↪z rozk ladu wyk ladniczego Ex(θ) o ge

↪stosci

pθ(x) = θe−θx i x > 0, gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Wyznaczyc test naj-mocniejszy dla testowania hipotezy H0 : θ = θ0 przy alternatywie H1 : θ = θ1, θ0 < θ1ustalone, na poziomie istotnosci 0,05. Podac dok ladna

↪postac testu, gdy θ0 = 1 i n = 10.

Czy otrzymany test jest testem jednostajnie najmocniejszym dla testowania hipotezyH0 : θ = θ0 przy alternatywie H1 : θ > θ0. Wskazowka: Jezeli X ∼ Ex(θ), to2θX ∼ χ2

2.

8.4. Obserwujemy dodatnia↪

zmienna↪

losowa↪X i weryfikujemy hipoteze

↪H0 : X ma

rozk lad o ge↪stosci f(x) = e−x przy alternatywie H1 : X ma rozk lad o ge

↪stosci g(x) = xe−x.

Zbudowac test najmocniejszy na poziomie istotnosci 0,05.

8.5. Dysponuja↪c pojedyncza

↪obserwacja

↪X z rozk ladu o ge

↪stosci

pθ(x) =

{θ

xθ+1 gdy x > 1,0 gdy x ≤ 1,


gdzie θ > 0 rozwazyc test najmocniejszy na poziomie istotnosci 0,04 dla testowaniahipotezy H: θ = 1 przeciw alternatywie K: θ = 3. Wyznaczyc obszar krytyczny testui obliczyc prawdopodobienstwo b le

↪du drugiego rodzaju.

8.6. Zmienna losowa X ma rozk lad geometryczny o funkcji prawdopodobienstwapθ(x) = θ(1 − θ)x, dla x = 0, 1, 2, . . ., θ ∈ (0, 1) jest nieznanym parametrem. Z rozk laduwylosowano probe

↪o liczebnosci 100 i otrzymano x = 3. Przyjmuja

↪c poziom istotnosci

0,1 zweryfikowac hipoteze↪H0 : θ = 0, 4 przy alternatywie H1 : θ 6= 0, 4 stosuja

↪c

asymptotyczny test oparty na ilorazie wiarogodnosci.

8.7. Zmienna losowa X ma rozk lad Poissona z nieznana↪wartoscia

↪oczekiwana

↪θ > 0.

Z rozk ladu wylosowano probe↪

o liczebnosci 100 i otrzymano x = 4. Przyjmuja↪c poziom

istotnosci 0,05 zweryfikowac hipoteze↪H0 : θ = 3 przy alternatywie H1 : θ 6= 3 stosuja

↪c

asymptotyczny test oparty na ilorazie wiarogodnosci.

8.8. Niech X1, . . . , X20 be↪dzie proba

↪losowa

↪z rozk ladu normalnego N(0, σ2). Podac

test najmocniejszy dla weryfikowania hipotezy H0 : σ = 2 przy alternatywie H1 : σ = 1na poziomie istotnosci 0,05.


9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH - POROWNANIE Z NORMA↪

9.1. Dzienne zuzycie wody w pewnej fabryce podlega wahaniom losowym o rozk ladzienormalnym z odchyleniem standardowym rownym 50. Na podstawie 25 dni roku stwierd-zono, ze srednie dzienne zuzycie wody wynosi 1025. Zweryfikowac hipoteze

↪, ze wartosc

oczekiwana µ dziennego zuzycia wody wynosi 1000 przy alternatywie, ze µ > 1000 napoziomie istotnosci 0,02. Podac postac obszaru krytycznego dla odpowiedniego testu iwyznaczyc b la

↪d drugiego rodzaju dla alternatywy µ = 1040. Obliczyc p-wartosc.

9.2. Miesie↪czne wydatki na zywnosc w przeliczeniu na jedna

↪osobe

↪w gospodarst-

wie pracowniczym maja↪

rozk lad normalny. Na podstawie badania 25 losowo wybranychgospodarstw stwierdzono, ze srednie wydatki w tej grupie wynosza

↪250 i odchylenie stan-

dardowe wynosi 50. Czy na podstawie powyzszych danych na poziomie istotnosci 0,05mozna sa

↪dzic, ze wydatki na zywnosc ogo lu gospodarstw przekraczaja

↪230.

Przy jakim poziomie istotnosci decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie?

9.3. Maszyna jest nastawiona tak aby produkowa la kulki lozyskowe maja↪ce przecie

↪tna

↪

srednice↪rowna

↪1. Proba losowa 10 wyprodukowanych kulek przez te

↪maszyne

↪da la srednia

↪

srednice↪rowna

↪1,004 oraz odchylenie standardowe 0.003. Czy na poziomie istotnosci 0,05

jest powod do podejrzen, ze maszyna produkuje kulki niezgodne z norma↪? Zak ladamy, ze

srednica produkowanych kulek ma rozk lad normalny.

9.4. W celu sprawdzenia dok ladnosci wskazan pewnego przyrza↪du pomiarowego doko-

nano 6 pomiarow tej samej wielkosci i uzyskano wyniki:

1, 017 1, 021 1, 015 1, 019 1, 022 1, 019

Zak ladaja↪c, ze wyniki pomiarow maja

↪rozk lad normalny na poziomie istotnosci 0,01 zwe-

ryfikowac hipoteze↪, ze wariancja pomiarow wynosi 0,001.

9.5. Dokonano 12 pomiarow woltomierzem pewnego napie↪cia pra

↪du i otrzymano z tej

proby S2 = 0, 9. Na poziomie istotnosci 0,05 sprawdzic hipoteze↪, ze wariancja pomiarow

napie↪cia tym woltomierzem jest nie wie

↪ksza niz 0,6.

9.6. Czy mozna stwierdzic, ze w transporcie psuje sie↪

25% owocow, jezeli na 200przebadanych owocow by lo 60 zepsutych. Podac wartosc p-value.

9.7. Analityk chce zweryfikowac hipoteze↪, ze 70% inwestorow zagranicznych na

gie ldzie to Amerykanie. Wsrod 210 wylosowanych inwestorow 130 by lo z USA. Czyna podstawie tych danych analityk moze odrzucic hipoteze

↪na poziomie istotnosci 0,05.

Wyznaczyc wartosc p-value. Podac wartosc funkcji mocy testu dla alternatywy: 50%inwestorow zagranicznych to Amerykanie.

9.8. W sondazu na temat jakosci kawy A przeprowadzonym wsrod 90 losowo wybranych


klientow firmy zajmuja↪cej sie

↪jej dystrybucja

↪uzyskano nastpuja

↪ce oceny

ocena 1 2 3 4 5 6 7 8 9liczba osob 2 4 4 10 17 18 21 8 6

Wyznacz srednia↪z ocen, mediane

↪i rozste

↪p mie

↪dzykwartylowy.

Na podstawie powyzszych danych weryfikowano hipoteze↪, ze 40% ogo lu klientow stawia

kawie ocene↪wyzsza

↪niz 6 przy alternatywie, ze taka

↪ocene

↪stawia mniej niz 40%. Wyznacz

p-wartosc odpowiedniego testu.

9.9. W celu oszacowania sredniej powierzchni mieszkan wybudowanych w 2008 rokuw pewnym duzym miescie, wylosowano niezaleznie 150 wybudowanych w rozwazanymroku mieszkan i otrzymano dla nich naste

↪pujcy rozk lad powierzchni mieszkalnej (w m2)

powierzchnia w m2 liczba mieszkan(25,35] 20(35,45] 25(45,55] 45(55,65] 40(65,75] 20

Wyznacz przedzia l ufnosci dla sredniej powierzchni mieszkania, na poziomie ufnosci0,9.

Testujemy hipoteze↪zerowa

↪H, mowia

↪ca

↪, ze srednia powierzchnia mieszkania jest rowna

50 m2 przeciw alternatywie, ze jest ona rozna od 50 m2. Przy zaobserwowanych danychoblicz p-wartosc odpowiedniego testu. (Do obu polecen wykorzystaj rozk lady asympto-tyczne)


10. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH - POROWNANIE DWOCHI WIE

↪CEJ POPULACJI

10.1. Rozk lad tygodniowego czasu poswie↪canego na nauke

↪poza uczelnia

↪studentow

I roku studiow dziennych na SGH jest rozk ladem normalnym N(m, 52), natomiast wrozk ladzie normalnym tygodniowego czasu nauki studentow II roku odchylenie standar-dowe wynosi 6. Pobrano niezaleznie 10-elementowa

↪probe

↪losowa

↪studentow I roku i

18-elementowa↪

probe↪

studentow II roku. Srednie w tych probach wynosi ly 20 i 15. Czyna poziomie istotnosci 0,1 mozna przyja

↪c, ze sredni czas nauki poza uczelnia

↪dla stu-

dentow obu lat jest taki sam? Do jakiego przedzia lu powinny nalezec wartosci odpowied-niej statystyki aby nie by lo podstaw do odrzucenia hipotezy? Jaka jest moc testu przyalternatywie, ze studenci II roku ucza

↪sie

↪o 3 godz. krocej?

10.2. W pewnym sklepie zwazono jaja dostarczane przez dwoch roznych dostawcow.Pobrano po 10 jaj od kazdego dostawcy i otrzymano wyniki:

dostawca I: Σ10i=1X1i = 645 Σ10

i=1X21i = 41715

dostawca II: Σ10i=1X2i = 680 s2 = 10

Na poziomie istotnosci 0,05 zweryfikowac hipoteze↪, ze srednie cie

↪zary jaj sa

↪takie same.

10.3. Pewnej grupie 12 pacjentow leczonych na nadcisnienie podano odpowiedni lek.Wyniki pomiaru cisnienia krwi w tej grupie by ly naste

↪puja

↪ce:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12przed leczeniem 190 180 170 190 200 185 150 190 175 200 160 170

po leczeniu 190 170 160 160 140 150 140 150 130 140 160 150

Zak ladaja↪c, ze rozk lad cisnienia jest normalny zweryfikowac hipoteze

↪o nieskutecznosci

podanego leku, przy czym lek uwazamy za nieskuteczny jesli przecie↪tny spadek cisnienia

jest nie wie↪kszy niz 20 jednostek.

10.4. Wazna↪

miara↪

ryzyka zwia↪zana

↪z zakupem akcji jest wariancja wahania ceny

akcji. Sa↪dzono, ze wariancje wahan cen akcji A i B sa

↪rowne. Analityk chce sprawdzic

przypuszczenie, ze wariancja wahan ceny akcji A jest wie↪ksza niz wariancja ceny B. Proba

losowa z lozona z 26 dziennych cen akcji A da la odchylenie standardowe rowne 2,55 aproba losowa z lozona z 21 dziennych cen akcji B da la odchylenie standardowe rowne 1,86.Zak ladaja

↪c, ze wahania cen maja

↪rozk lad normalny i pomiary cen by ly niezalezne zwery-

fikowac w lasciwa↪hipoteze

↪na poziomie istotnosci 0,01. Podac postac obszaru krytycznego

w lasciwego testu. Co to jest b la↪d pierwszego rodzaju i b la

↪d drugiegu rodzaju? Co to jest

funkcja mocy testu?


10.5. Dla sprawdzenia stabilnosci pracy maszyny pobrano dwie probki d lugosciwykonywanych produktow, pierwsza

↪w pocza

↪tkowej fazie eksploatacji a druga

↪po mie-

sie↪cznej pracy. Otrzymano wyniki:

dla pierwszej proby losowej: n1 = 23, S21 = 0, 1446,

dla drugiej proby losowej: n2 = 18, S22 = 0, 1521.

Zweryfikowac hipoteze↪

o rownosci wariancji wymiarow wykonywanych produktow wbadanym czasie.

10.6. Wsrod 200 po la↪czen centrali A by lo 20 omy lkowych , natomiast na 150 po la

↪czen

centrali B z lych by lo 18. Zweryfikowac hipoteze↪, ze procent z lych po la

↪czen jest jednakowy

w obu centralach.

10.7. Sprawdzono ceny jednego kwiatu rozy ogrodowej w trzech miastach M, W, P.Stosuja

↪c test analizy wariancji zbadac czy ponizsze dane udowadniaja

↪zaleznosc ceny od

miasta. Podac za lozenia przy ktorych mozna zastosowac ten test.

miasto srednia cena (z 10 powtorzen)M 10,5W 9,1P 8,3

3∑i=1

10∑j=1

(xi,j − xi)2 = 2, 7.

10.8. W czterech ulach zmierzono srednice plastrow zbudowanych przez pszczo ly. Wkazdym ulu wykonano po 10 pomiarow. Otrzymano naste

↪puja

↪ce wyniki:

ul sredni cie↪zar plastra

I 5,6II 5,4III 5,1IV 5,5

4∑i=1

10∑j=1

x2i,j = 1170.

Stosuja↪c test analizy wariancji zbadac czy powyzsze dane udowadniaja

↪zaleznosc cie

↪zaru

plastra od ula. Podac za lozenia przy ktorych mozna zastosowac ten test.


10.9. Zanotowano ceny pewnego produktu w trzech miastachX1, X2, . . . , X10 ceny w pierwszym miescie,Y1, Y2, . . . , Y15 ceny w drugim miescie,Z1, Z2, . . . , Z5 ceny w trzecim miescie.Zak ladamy, ze zmienne losowe Xi stanowia

↪probe losowa

↪z rozk ladu N(m1, σ

2), zmienneYi stanowia

↪probe losowa

↪z rozk ladu N(m2, σ

2), zmienne Zi stanowia↪

probe losowa↪

zrozk ladu N(m3, σ

2). Zmienne sa↪niezalezne. Wiadomo, ze

X = 10 Y = 12 Z = 8

S2X = 3 S2

Y = 2 S2Z = 4

gdzie S2 = 1nΣni=1(xi − x)2. Zweryfikowac hipoteze

↪o rownosci przecie

↪tnych cen w trzech

miastach na poziomie istotnosci 0,01.

10.10. Sondaz opinii publicznej na temat frekwencji oczekiwanej na wyborach samo-rza

↪dowych wykaza l, ze na dwa tygodnie przed wyborami w losowo wybranej grupie

1000 osob 620 zamierza uczestniczyc w g losowaniu, a po tygodniu w grupie 990 osobw g losowaniu zamierza uczestniczyc 680 osob. Probki by ly niezalezne. Czy na podstawietych wynikow na poziomie istotnosci 0.02 mozna sa

↪dzic, ze procent osob maja

↪cych za-

miar uczestniczyc w g losowaniu wzros l? Przy jakim poziomie istotnosci twoj osa↪d ulegnie

zmianie?

11. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH - TESTY ZGODNOSCI I NIE-ZALEZNOSCI.

11.1. Za lozmy, ze naste↪puja

↪ce liczby sa

↪prosta

↪proba

↪losowa

↪z pewnego rozk ladu

cia↪g lego:

−1.5; 0.3; 0.8; 2.0;−2.0;−0.8; 0.6;−0.6; 1.5;−0.3

Rozwazmy zagadnienie weryfikacji hipotezy zerowej “H0 : proba pochodzi z rozk laduN(0, 1)”; przeciw hipotezie alternatywnej “H1 : proba pochodzi z rozk ladu innego, nizN(0, 1)”. Przeprowadzic test Ko lmogorowa na poziomie istotnosci 0.10.

11.2. W celu zbadania zaleznosci pomie↪dzy p lcia

↪klientow i ich preferencjami, wylosowano

probe↪200 kobiet i me

↪zczyzn i zadano im pytanie: czy uwazasz za lepszy produkt firmy A

czy B? Wyniki by ly naste↪puja

↪ce:


Wybrany produkt kobiety me↪zczyzni

wole↪A 20 45

wole↪B 60 15

nie widze↪roznicy 40 20

Zweryfikowac hipoteze↪

mowia↪ca

↪, ze preferencje klientow nie zaleza

↪od p lci, na poziomie

istotnosci 0,10.

11.3. Producent zegarkow chce dowiedziec sie↪

czy klienci maja↪

preferencje co dokoloru blatu zegarka. Proba 80 losowo wybranych klientow da la naste

↪puja

↪ce wyniki co do

wyboru koloru:

bia ly bra↪zowy ecru czarny

12 40 8 20

Zweryfikuj hipoteze↪o braku preferencji na poziomie istotnosci 0,1.

11.4. Na przebadanych 200 szczurow u 60 stwierdzono objawy obnizonego refleksu.Wsrod szczurow z obnizonym refleksem tylko 20 dostawa lo pewien preparat P, a wszys-tkich szczurow karmionych tym preparatem by lo 80. Czy mozna uznac, ze karmieniepreparatem P wp lywa na obnizenie refleksu u szczurow?

11.5. Badano zwia↪zek pomie

↪dzy wykszta lceniem a zarobkami. Wykszta lcenie kazdej

z badanych osob sklasyfikowano jako podstawowe, srednie lub wyzsze. Zarobki zosta lysklasyfikowane na trzech poziomach. Wyniki przedstawia ponizsza tabela.

podstawowe srednie wyzsze< 1000 54 78 128

1000− 2000 75 122 73> 2000 71 40 49

Zweryfikowac hipoteze↪o niezaleznosci obu cech na poziomie istotnosci 0,025.

11.6. Pewien produkt mozna wytwarzac trzema metodami produkcji. Wysunie↪to

hipoteze↪, ze wadliwosc nie zalezy od metody produkcji. Wylosowano niezaleznie od

metody produkcji probe↪270 sztuk i otrzymano wyniki

Metoda produkcji jakosc dobra jakosc z lametoda I 40 10metoda II 80 60metoda III 60 20


Zweryfikowac w lasciwa↪

hipoteze↪

na poziomie istotnosci 0,05. Czy twoja decyzja ulegniezmianie przy przyje

↪ciu poziomu istotnosci 0,01?

11.7. W lasciciel podejrzewa, ze czarne szale sa↪

kupowane dwa razy cze↪sciej niz

bra↪zowe, a te z kolei dwa razy cze

↪sciej niz bia le. Czy mozna uznac przypuszczenie

sprzedawcy za uzasadnione, jesli na 350 sprzedanych szali 220 by lo czarnych i 90 bra↪zowych.

Przyja↪c poziom istotnosci 0,01.

11.8. Badano popyt na trzy rownorze↪dne produkty A, B, C. Zbadano 120 osob wsrod

ktorych produkt A wybra lo 45 osob, produkt B 50 osob i produkt C 25 osob. Zweryfikujhipoteze

↪, ze stosunek liczby osob kupuja

↪cych produkt A, B, C jest jak 5:5:2. Przyjmij

poziom istotnosci 0,05.

11.9. Kandydatow na kierowcow poddano badaniom sprawdzaja↪cym refleks. Kazdy

kandydat mia l wykonac okreslone czynnosci na trzech typach aparatow. Przebadano 1000osb otrzymuja

↪c wyniki

Liczba wykonanych zadan 0 1 2 3Liczba osob 300 200 200 300

Testem χ2, na poziomie istotnosci 0,01, zweryfikowac hipoteze↪, ze rozk lad ten jest rozk ladem

dwumianowym B(3, 12).

12. MODEL BAYESOWSKI

12.1. Produkuje sie↪

duze serie lamp elektrycznych. Czas zycia (trwa losc) lampyjest zmienna

↪losowa

↪o rozk ladzie wyk ladniczym z nieznanym parametrem θ > 0. Serie

↪

uwaza sie↪

za udana↪, gdy srednia trwa losc lamp w serii jest wie

↪ksza od t. Parametr θ w

poszczegolnych partiach lamp zmienia sie↪

zaleznie od jakosci wolframu, z ktorego pro-dukuje sie

↪w lokna zarzenia; zmiennosc tego parametru opisuje sie

↪za pomoca

↪rozk ladu

o ge↪stosci π(θ) = 1

(k−1)!θk−1e−θ1(0,∞)(θ). Z pewnej serii produkcyjnej wybrano losowo n

lamp i w wyniku zmierzenia ich trwa losci otrzymano (X1, X2, . . . , Xn). Obliczyc na tejpodstawie prawdopodobienstwo a posteriori, ze seria ta jest udana. Obliczyc estymatorbayesowski parametru θ przy kwadratowej funkcji straty.


12.2. Niech X be↪dzie liczb sukcesow w n niezaleznych probach Bernoulliego z praw-

dopodobienstwem sukcesu θ ∈ (0, 1) nieznanym. Zak ladamy ze parametr θ ma rozk lad apriori Beta o ge

↪stosci

π(θ) = θ(1− θ)1(0,1)(θ)

Wyznacz rozk lad a posteriori przy wartosci x zmiennej losowej X. Wyznacz bayesowskiestymator najwie

↪kszej wiarogodnosci parametru θ i estymator bayesowski przy kwadra-

towej funkcji straty.

12.3. W pewnej piekarni cie↪zar chleba w duzym wypieku jest zmienna

↪losowa

↪o

rozk ladzie N(1, 1/θ). Parametr θ zmienia sie↪

od wypieku do wypieku wed lug rozk laduchi-kwadrat o 6 stopniach swobody. Z pewnego wypieku wylosowano 10 bochenkow otrzy-muja

↪c wagi X1, X2, . . . , X10. Wyznacz estymator bayesowki parametru θ i wariancji 1/θ

przy kwadratowej funkcji straty.

12.4. Wiadomo, ze liczby 0,38, 0,65, 0,72, 1,00 sa↪

niezaleznymi realizacjami zmien-nej losowej o rozk ladzie jednostajnym na przedziale (0, θ) gdzie θ > 0 jest nieznanymparametrem. Zak ladamy, ze parametr θ jest zmienna

↪losowa

↪o rozk ladzie jednostajnym

na przedziale [0, 5, 2]. Wyznacz mediane↪

rozk ladu a posteriori i wartosc bayesowskiegoestymatora parametru θ przy kwadratowej funkcji straty.

12.5. Zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn sa↪niezalezne o tym samym rozk ladzie Poissona

Poiss(θ), θ > 0. Parametr θ ma rozk lad a priori Gamma(α, β). Wyznacz estymatorbayesowski parametru θ przy kwadratowej funkcji straty.

12.6. Niech X be↪dzie liczba

↪sukcsow w 3 probach Bernoulliego z nieznanym praw-

dopodobienstwem sukcesu θ ∈ (0, 1). O parametrze θ zak ladamy, ze ma rozk lad a priorijednostajny na przedziale (0,1). Przy X = 2 wyznacz estymator metoda

↪momentow

parametru θ i estymator bayesowski parametru θ przy kwadratowej funkcji straty.

Wskazowka: ∫ 1

0θk(1− θ)dθ =

1

(k + 1)(k + 2)

12.7. Niech X1, . . . , X4 be↪da

↪niezaleznymi zmiennymi losowymi z rozk ladu jednosta-

jnego na przedziale (0, θ], gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. W wyniku obserwacjiotrzymano probk:

2, 3, 2, 5, 1.

Za lozmy, ze parametr θ ma rozk lad a priori o ge↪stosci π(θ) = 1

24θ4e−θ dla θ > 0 i π(θ) =

0 w przeciwnym przypadku. Wyznacz wartosc bayesowskiego estymatora najwie↪kszej

wiarogodnosci dla tej probki.


12.8. Przypuscmy, ze czas remisji pewnej choroby (mierzony w latach) jest zmienna↪

losowa↪o rozk ladzie jednostajnym na przedziale [0, θ], gdzie θ jest nieznanym parametrem.

Badacz przyjmuje, ze rozk lad a priori parametru θ jest rozk ladem o ge↪stosci f(θ) =

(2θ

)3dla θ > 2 i 0 w p.p. W probce losowej n-elementowej najduzszy czas remisji wynios l 5 lat.Przy tej obserwacji wyznacz rozk lad a posteriori dla θ i bayesowski estymator parametruθ przy kwadratowej funkcji straty oraz bayesowski estymator najwie

↪kszej wiarygodnosci

dla θ.Wskazowka: Jesli X1, X2, . . . , Xn sa

↪i.i.d. z rozk ladu jednostajnego na przedziale (0, θ),

to rozkad zmiennej max{X1, X2, . . . , Xn} ma ge↪stosc f(x) = nxn−1

θnna przedziale (0, θ).

Agata Boratynsk a - SGH Warsaw School of Economicsweb.sgh.waw.pl/~aborata/ekonomia/Zadsek2.pdf ·...

Documents

Transcript of Agata Boratynsk a - SGH Warsaw School of Economicsweb.sgh.waw.pl/~aborata/ekonomia/Zadsek2.pdf ·...