ใบความรท� 6 โจทยปญหาระบบสมการเชงเสน1

การแกโจทยปญหาทางคณตศาสตรท�ดาเนนการอยางเปนระบบ จาเปนตองดาเนนการตามข$นตอน เพ�อใหไดมาซ� งคาตอบท�ถกตอง โดยสรปม 4 ข$นตอน ประกอบดวย 1) ข$นทาความเขาใจปญหา 2) ข$นวางแผนแกปญหา 3) ข$นดาเนนการตามแผน และ 4) ข$นตรวจสอบคาตอบ จะตองดาเนนการใหครบทกข$นตอนซ�งจะไดคาตอบท�ถกตองและกระบวนการทางานท�เปนระบบ

ใบความรท� 3.5 โจทยปญหาระบบสมการเชงเสน (ตอ)

ระยะทาง = อตราเรว × เวลา

เวลาระยะทาง

อตราเรว=

อตราเรวระยะทาง

เวลา =

= ×

ครบญนา เกษ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 150

เม�อเวลา 08.30 น. กองขบรถยนตออกจากเมองดาหลาไปตามถนนสายหน�งดวยอตราเรว 60 กโลเมตรตอช�วโมงอก 1 ช�วโมงตอมา ปอขบรถยนตออกจากท�เดยวกนและไปตามเสนทางเดยวกนดวยอตราเรวมากกวากอง 20 กโลเมตรตอช�วโมง จงหาวาปอจะตามทนกองในเวลาเทาใด วธทา โจทยใหหา ปอจะตามทนกองในเวลาเทาใด โจทยกาหนดให เม�อเวลา 08.30 น. กองขบรถยนตออกจากเมองดาหลาไปตามถนนสายหน�งดวยอตราเรว 60 กโลเมตรตอช�วโมงอก 1 ช�วโมงตอมา ปอขบรถยนตออกจากท�เดยวกนและไปตามเสนทางเดยวกนดวยอตราเรวมากกวากอง 20 กโลเมตรตอช�วโมง

จาก ระยะทาง = อตราเรว × เวลา ให s แทน ระยะทางเปนกโลเมตร v แทน อตราเรวเปนกโลเมตรตอช�วโมง t แทน เวลาเปนช�วโมง

กองขบรถยนตดวยอตราเรว 60 กโลเมตร ออกกอน 1 ช�วโมง → s = 60 × (t + 1) ปอขบรถยนตดวยอตราเรวมากกวากอง 20 กโลเมตรตอช�วโมง → s = 80t (กองขบรถยนตดวยอตราเรว 60 กโลเมตรแสดงวาปอขบรถยนตดวยอตราเรว 80 กโลเมตรตอช�วโมง)

จากปอจะตามทนกองแสดงวาไดระยะทางเทากน

จะได 60 × (t + 1) = 80t 60t + 60 = 80t สมบตการแจกแจง 60 = 20t นา 60t มาลบท$งสองขาง 4 = t นา 20 มาหารท$งสองขาง แสดงวา ปอใชเวลาขบรถยนต 3 ช�วโมงและกองใชเวลาขบรถยนต 4 ช�วโมง

ตรวจสอบ

กองขบรถยนตดวยอตราเรว 60 กโลเมตรตอช�วโมง ใชเวลา 4 ช�วโมง ไดระยะทาง

ท$งหมด 60 × 4 = 240 กโลเมตร และปอขบรถยนตออกจากท�เดยวกนและไปตามเสนทางเดยวกน

ดวยอตราเรวกอง 80 กโลเมตรตอช�วโมง ใชเวลา 3 ช�วโมง ไดระยะทาง 80 × 3 = 240 กโลเมตร เชนกน ดงน+น เม�อเวลา 08.30 น. กองเร�มขบรถยนตและอก 4 ช�วโมง ปอตามมาทนเวลา 12.30 น.

ครบญนา เกษ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 151

ท�สถาน ก รถไฟขบวนแรกออกจากสถานดวยอตราเรว 30 กโลเมตรตอช�วโมง อก 2 ช�วโมงตอมา รถไฟขบวนท�สองซ� งแลนออกจากสถาน ก ไปในทศเดยวกนและเปนรางขนานกบรถไฟขบวนแรกและแลนดวยอตราเรว 45 กโลเมตรตอช�วโมง ถารถไฟท$งสองขบวนแลนดวยอตราเรวคงท�และไมมการจอดพกระหวางทาง รถไฟท$งสองขบวนจะพบกนเม�อรถไฟแลนออกจากสถาน ก เปนระยะทางก�กโลเมตร

วธทา โจทยใหหา รถไฟท$งสองขบวนจะพบกนเม�อรถไฟแลนออกจากสถาน ก เปนระยะทางก�กโลเมตร

โจทยกาหนดให สถาน ก รถไฟขบวนแรกออกจากสถานดวยอตราเรว 30 กโลเมตรตอช�วโมง อก 2 ช�วโมงตอมา รถไฟขบวนท�สองซ� งแลนออกจากสถาน ก ไปในทศเดยวกนและเปนรางขนานกบรถไฟขบวนแรกและแลนดวยอตราเรว 45 กโลเมตรตอช�วโมง

จาก ระยะทาง = อตราเรว × เวลา ให s แทน ระยะทางเปนกโลเมตร v แทน อตราเรวเปนกโลเมตรตอช�วโมง t แทน เวลาเปนช�วโมง

รถไฟขบวนแรก แลนดวยอตราเรว 30 กโลเมตรตอช�วโมงออกกอน 2 ช�วโมง→s =30× (t + 2) รถไฟขบวนท�สองแลนดวยอตราเรว 45 กโลเมตร → s = 45t

จากรถไฟท$งสองขบวนจะพบกนแสดงวาแลนไดระยะทางเทากน

จะได 30 × (t + 2) = 45t 30t + 60 = 45t สมบตการแจกแจง 60 = 15t นา 45t มาลบท$งสองขาง 4 = t นา 15 มาหารท$งสองขาง รถไฟขบวนท�สองพบกบรถไฟขบวนแรกเม�อแลนออกจากสถาน 4 ช�วโมง

น�นคอ รถไฟขบวนแรกแลนไดระยะทาง 30 × (4 + 2) = 180 กโลเมตร ตรวจสอบ สถาน ก รถไฟขบวนแรกออกจากสถานดวยอตราเรว 30 กโลเมตรตอช�วโมง ใช

เวลา 6 ช�วโมง ไดระยะทาง 30 × 6 = 180 กโลเมตร รถไฟขบวนท�สองซ� งแลนออกจากสถาน ก

ดวยอตราเรว 45 กโลเมตรตอช�วโมง ใชเวลา 4 ช�วโมง ไดระยะทาง 45 × 4 = 180 กโลเมตร เชนกน ดงน+น รถไฟท$งสองขบวนจะพบกนเม�อรถไฟแลนออกจากสถาน ก เปนระยะทาง 180 กโลเมตร

ครบญนา เกษ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 152

180 กโลเมตรแบบฝกท� 12 โจทยปญหาระบบสมการเชงเสน7

จงแสดงวธทา

1) รถบสแลนออกจากสถานหมอชตไปจงหวดศรสะเกษดวยอตราเรว 75 กโลเมตรตอช�วโมง อกสองช�วโมงตอมารถบสคนท�สองแลนออกจากสถานหมอชตไปจงหวดศรสะเกษดวยอตราเรว 125 กโลเมตรตอช�วโมง โดยใชเสนทางเดยวกนกบรถบสคนแรก ถารถบสท$งสองคนแลนดวยอตราเรวคงท�และไมมการจอดพกระหวางทาง รถบสคนแรกจะพบกบรถบสคนท�สองเม�อแลนออกจากสถานหมอชตก�ช�วโมง และเปนระยะทางก�กโลเมตรจากสถานหมอชต

วธทา ข+นท� 1 ............................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 2................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 3................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 4................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

แบบฝกท� 3.5 โจทยปญหาระบบสมการเชงเสน

ครบญนา เกษ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 153

2) อภสทธO เดนทางออกจากสถานหวลาโพงไปจงหวดชมพร ดวยขบวนรถไฟท�แลนดวยอตราเรว 35 กโลเมตรตอช�วโมง อก 1 ช�วโมงตอมาจรนทรออกเดนทางจากสถานหวลาโพงไปจงหวดชมพร ดวยขบวนรถไฟท�แลนดวยอตราเรว 40 กโลเมตรตอช�วโมง บนรางรถไฟคขนานกบรถไฟขบวนแรก และแลนดวยอตราเรวคงท�และไมมการจอดสถานใดเลย อยากทราบวาอภสทธO จะพบกบจรนทรเม�อรถไฟท$งสองขบวนอยหางจากสถานหวลาโพงเปนระยะทางเทาใด

วธทา ข+นท� 1 ............................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 2................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 3................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 4................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ครบญนา เกษ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 154

3) เพยงใจขบรถดวยอตราเรวนอยกวาพมพจนทร 20 กโลเมตรตอช�วโมง เพยงใจออกเดนทางเรวกวาพมพจนทร 2 ช�วโมง โดยออกเดนทางเวลา 04.00 น. แตไปถงบานพรอมกบพมพจนทรในเวลา 12.00 น. อยากทราบวาเพยงใจและพมพจนทรขบรถดวยอตราเรวเทาไร

วธทา ข+นท� 1 ............................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 2................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 3................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 4................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ครบญนา เกษ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 155

4) ประกตและจกรภพอยหางกนเปนระยะทาง 500 กโลเมตร และท$งสองคนเร�มเดนทางเขาหากนในเวลาเดยวกนและท$งสองคนจะพบกนใน 2 ช�วโมง ถาประกตขบรถเรวกวาจกรภพ 25 กโลเมตรตอช�วโมง อยากทราบวาประกตและจกรภพขบรถดวยอตราเรวเทาใด

วธทา ข+นท� 1 ............................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 2................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 3................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 4................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ครบญนา เกษ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 156

5) เมอง ก และเมอง ข อยหางกน 480 กโลเมตร รงโรจนขบรถจากเมอง ก ไปเมอง ข สวนอารยขบรถจากเมอง ข ไปเมอง ก บนเสนทางเดยวกนท$งสองออกเดนทาง 6.00 น. พรอมกน จะพบกนเวลา 9.00 น. โดยรงโรจนขบรถไดระยะทางมากกวาอารย 30 กโลเมตร จงหาวาอารยขบรถดวยอตราเรวเทาไร

วธทา ข+นท� 1 ............................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 2................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 3................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 4................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ครบญนา เกษ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 157

6) สมชายกบสมศกดO เร�มเดนทางออกจากเมองสองเมอง ซ� งอยหางกน 37.5 กโลเมตร โดยเดนเขาหากน ความเรวของสมชายเปน 2 เทาของสมศกดO ถาท$งสองพบกนเม�อเดนได 5 ช�วโมง แลวสมชายเดนดวยความเรวก�กโลเมตรตอช�วโมง

วธทา ข+นท� 1 ............................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 2................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 3................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 4................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ครบญนา เกษ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 158

7) วกจข�จกรยานจากบานไปโรงเรยนดวยความเรว 12 กโลเมตรตอช�วโมง จะถงโรงเรยนเรวไป 4 นาท แตถาเขาข�จกรยานดวยความเรว 10 กโลเมตรตอช�วโมง จะถงชาไป 4 นาท จงหาวาบานของวกจอยหางจากโรงเรยนก�กโลเมตร

วธทา ข+นท� 1 ............................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 2................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 3................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 4................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ครบญนา เกษ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 159

8) สมทรขบรถจากบานไปสงพ�ชายและนองสาวท�บานของแตละคน บานนองสาวอยไกลกวาบานพ�ชาย 5 กโลเมตร เขาใชเวลาขบรถไปบานพ�ชาย 45 นาท หลงจากสงพ�ชายแลว เขาขบรถไปสงนองสาวโดยใชอตราเรวลดลง 10 กโลเมตรตอช�วโมง และใชเวลา 12 นาท แลวสมทรขบรถไปสงพ�ชายดวยอตราเรวเทาใด

วธทา ข+นท� 1 ............................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 2................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 3................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 4................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ครบญนา เกษ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 160

9) ตนขบรถจากเมอง ก สวนน$าพขบรถยนตจากเมอง ข ไปพบกนท�รานกาแฟ “Idin” ซ� งอยก�งกลางระหวางเมองท$งสอง ถาน$าพขบรถยนตดวยความเรวมากกวาตน 10 กโลเมตรตอช�วโมง น$าพจะใชเวลาเพยง 40 นาทกถงจดนดพบ สวนตนไปถงชากวาน$าพ 5 นาท แลวน$าพขบรถยนตดวยอตราเรวเทาไร

วธทา ข+นท� 1 ............................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 2................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 3................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

ข+นท� 4................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................