1

FOURIEROV RAD-VLASTNOSTI • Vlastnosti uvedieme v exponenciálnom tvare • Platí ( ) ( )FRx t X k←⎯→ , ;, ( ) ( );R kt x t CXZ k∈ ∈ ∈

• Platí ( ) ( )FRy t Y k←⎯→ , ;, ( ) ( );R kt y t Z Y Ck∈ ∈ ∈ Názov Časová oblasť Frekvenčná oblasť Poznámka ( )x t , perióda 1T

( )y t , perióda 1T

( )X k , k=1 odpovedá 1 1/2 Tω π= ( )Y k , k=1 odpovedá 1 1/2 Tω π=

( ) 1

11

1( ) jk t

T

X k x t e dtT

ω−= ∫ ( ) 1( ) tjk

kx t X k e ω=∑

Linearita ( ) ( )x t y tα β+ ( ) ( )X k Y kα β+ Časové posunutie

0( )x t t− 1 0jkk

tX e ω−

Časové otočenie ( )x t− ( )X k− Zmena mierky ( )x at ,perióda 1 /T a ( )X k , k=1 odpovedá 1 1/2 a Tω π=

Konvolúcia v čase 1

( )* ( ) ) ( )(T xx t y t y t dτ τ τ= −∫ ( ) ( )TX k Y k

Násobenie v čase ( ) ( )x t y t ( )* ( )X k Y k Časová derivácia ( ) /dx t dt 1 ( )jk X kω

Časová integrácia )(

t

x dτ τ−∞∫ ;

1

1 ( )jk

X kω

Symetria v spektre ( )x t ( ) ( )X k X k= −

Parsevalova teoréma

1

2

1

( )1s

T

P xT

t dt= ∫ 2 ( )

ksP X k=∑

Odvodené na prednáške 2

2

- Vlastnosti – využitie (napr. vpi počítaní prikladov) o Linearita: ako vyzerajú spektrá zložitejších signálov ak poznáme spektrá jednoduchších?) o Časový posun: ako vyzerá spektrum posunutého signálu? Čo dokáže zmeniť posun v čase? o má zmena mierky vplyv?

- Vlastnosti – odvodenie o vediet odvodiť aspon 3 vlastnosti

Príklady MATLAB

- Na príklade harmonického signálu – čo ak sa nestrafíme do skutočnej periódy signálu? (nielen že získame „falošné“

frekvencie, ale stratíme aj skutočné!)

- Na príklade pravouhlého signálu – čo sa stane ak zvačšujeme iba periódu, mení sa frekvenčý obsah? (napr. obsahuje signál frekvenciu 1Hz?)

- Príklad šikmého signálu - ...

3

Interpretácia FR v Hilbertových priestoroch

Množina funkcií { }( ) ;jktke e Zt k= ∈ tvorí ortonormálnu bázu priestoru všetkých po štvorcoch integrovateľných funkcií na

intervale ,π π− , resp. 0,2π .Platí: ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )

k kk k kx t x t e t e t X k e t= =∑ ∑

OPAKOVANIE:

- Čo je to Báza? Je to Množina lineárne nezávislých funkcií, ktorých kombináciou viem dostať všetky ostatné funkcie z daného priestoru

- Lineárna nezávislosť : funkciu nie je možné vyjadriť lineárnou kombináciou iných funkcií z množiny

- po štvorcoch integrovateľné: 2 ( )t dtx

π

π−<∞∫

- ortonormálna báza 0

( ), ( )1k l

k le t e t

k l≠⎧

= ⎨ =⎩

4

Diracov impulz a diracov “hreben“ (comb) Diracov impulz - opakovanie

Uvažujeme pravouhlý impulz pre ktorý platí A = 1ϑ

- Pre plochu ohraničenú impulzom potom platí P A= =ϑ 1 - Ak pri zachovanej jednotkovej ploche ϑ → 0 , potom A→ ∞

- výsledný impuls nazývame jednotkový impulz resp. Diracov impulz (funkcia) ( )δ t

( )δ t ( )δ t t− 0

- Výsledkom nie je klasická funkcia, ale skor „rozdelenie“ Pre Diracov impulz platí

ϑ0

A

x(t)

t

δ(t) δ(t-t )0

t t

a) b)

t00 0

5

( )δ tpre tpre t

=∞ =

≠⎧⎨⎩

00 0

Ďaľej platí

a) ( )δ t dt

−∞

∞

∫ = 1 resp.

( )δ t t dt− =−∞

∞

∫ 0 1

b) Diracova funkcia má nekonečnú energiu c) Súčin ( )A tδ vyjadruje jednotkový impulz o intenzite(mohutnosti) A . d) Pre integrál súčinu jednotkového impulzu a ľubovoľnej funkcie ( )x t , spojitej v bode t = 0 , resp. t t= 0 platí

( ) ( ) ( )δ t x t dt x−∞

∞

∫ = 0 resp.

( ) ( ) ( )δ t t x t dt x t− =−∞

∞

∫ 0 0

e) Súčin funkcie ( )x t a jednotkového impulzu ( )δ t t− 0 je jednotkový impulz o intenzite ( )x t0 , teda( ) ( ) ( ) ( )x t t t x t t tδ δ− = −0 0 0

f) Konvolúcia funkcie ( )x t s jednotkovým impulzom ( )δ t t− 0 je pôvodná funkcia ( )x t posunutá o t0 , teda dostaneme ( )x t t− 0

6 Periodický rad jednotkových impulzov (Diracov „hrebeň“)

xδ(t)

T1

Ck1

t k

1/T1

ω2π/T1

1 2 30

4π/T1 6π/T10

( ) ( )x t t nTn

δ δ= −=−∞

∞

∑ 1

Keďže sa jedná o periodickú funkciu, môžeme ju rozvinúť do Fourierovho radu, pre ktorý platí

( )x t C ekjk t

kδ

ω==−∞

∞

∑ 1

Pre koeficienty Ck potom platí

( ) ( )CT

x t e dtT

t e dtTk

jk t

T

T

jk t

T

T

= = =−

−

−

−

∫ ∫1 1 1

12

2

12

2

1

1

1

1

1

1

1

δω ωδ

Následne

( ) ( )x t t nT C eT

en

kjk t

k

jk t

kδ

ω ωδ= − = ==−∞

∞

=−∞

∞

=−∞

∞

∑ ∑ ∑11

1 11

7

FOURIEROVA TRANSFORMÁCIA Analyzujme neperiodické signály – majú aj oni frekvenčný obsah (hoci sú typicky konečné v čase), má zmysel hovoriť o „frekvencii“ ?

– majú typicky konečnú, nenulovú energiu ( )x t dt2

< ∞−∞

∞

∫

Ako zistiť frekvenčný obsah („Inžinierske“ odvodenie) Uvažujme periodický signál ( )x t uvedený na obr. 3.26, pre ktorý platí

Predpokladajme teraz, že periódu T1 tohoto signálu necháme narastať tak, že T1 →∞.

tτ0

A

x(t)

T1

tτ0

A

x(t)

8

Ak T1 →∞:

• Základná harmonická ω1 má potom veľmi malú hodnotu. Pre vzdialenosť medzi susednými harmonickými zložkami

platí ( )Δω ω ω ω= + − =n n1 1 1 1pričom Δω ω→ d

• nω 1 môže nadobúdať ľubovoľnú spojitú hodnotu nω , t.j. 1 nnω ωω→ →

• Pre periódu platí T d11

2 2 2= = =πω

πω

πωΔ

t.j. 1

1 12d

Tω

π=

Nasledne

( )1

1 1

1

2

12

1( )

T

jn t jn t

n T

x t x t e dt eT

ω ω−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∫

môžeme prepísať do tvaru

( ) ( ) ( )1

1 12

n nj t j t j t j t

nx t x t e dt e x t e dt e d

Tω ω ω ω ω

π

∞ ∞ ∞− −

−∞ −∞ −∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∫ ∫ ∫

Z tohoto vzťahu vyplýva: Spätná FT Priama FT

a)

( ) ( )x t X e dj t=−∞

∞

∫ ω ωω

pričom

( ) ( )X x t e dtj tωπ

ω= −

−∞

∞

∫12

b) Resp. ( ) ( )x t X e dj t=

−∞

∞

∫12π

ω ωω

pričom ( ) ( )X x t e dtj tω ω= −

−∞

∞

∫

– Alternatíva b) sa v literatúre používa častejšie a preto v ďalšom budeme uvažovať s ňou.

9

– ( ) ( ){ }X x tω =F nazývame Fourierovym obrazom funkcie ( )x t

– ( ) ( ){ }x t X= −F 1 ω nazývame originálom (predmetom) Fourierovej transformácie

– Fourierov obraz ( )X ω je frekvenčnou reprezentáciou signálu ( )x t a nazývame ho tiež spektrálnou funkciou.

– ( )X ω Môžeme vyjadriť v tvare

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( )X A jB X j X X e jω ω ω ω ω ω ϕ ω= + = + =Re Im

kde ( )X ω je spektrálna hustota amplitúd

( )argϕ ω je fázové spektrum

Spektrum neperiodického signálu nie je diskrétne (čiarové) ale spojité.

Názov Časová oblasť Frekvenčná oblasť Poznámka ( )x t , neperiodické

( )y t , neperiodické ( )X ω , neperiodické ( )Y ω , neperiodické ( ) ( )X x t e dtj tω ω= −

−∞

∞

∫

( ) ( )x t X e dj t=−∞

∞

∫12π

ω ωω

10 Energetické pomery u neperiodických signálov

Energetické pomery vyjadrujeme celkovou energiou, ktorú signál ( )x t odovzdá do reálnej záťaže s hodnotou 1Ω . Pre celkovú energiu E platí

( )E i t dt=−∞

∞

∫ 2

Vyjadrime si ( )i t pomocou jeho Fourierovho obrazu:

i t( ) = 12π

I ω( )e jωt dω−∞

∞

∫

Následne

( ) ( ) ( ) ( )E i t I e d dt I i t e dt dj t j t=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

∫∫ ∫∫12

12π

ω ωπ

ω ωω ω

pretože

( ) ( )i t e dt Ij tω ω−∞

∞

∫ =

dostaneme

( ) ( ) ( ) ( )E I I d I d S d= = =−∞

∞ ∞ ∞

∫ ∫ ∫12

1 2

0 0πω ω ω

πω ω ω ω

t.j. rovnosť energie neperiodického signálu v jeho časovom a frekvenčnom vyjadrení (Rayleighova veta, ktorá je obdobou Parcevalovej vety platnej pre periodické priebehy)

11 Platí

• Zatiaľ čo u periodických signálov môžeme stredný výkon vo frekvenčnej oblasti rozložiť na jednotlivé harmonické signálu, u neperiodických signálov sú amplitúdy a teda aj energia jednotlivých spektrálnych zložiek nekonečne malé.

• Energia v určitom frekvenčnom pásme má konečnú hodnotu. Napr. elementárna energia obsiahnuta v elementárnom

frekvenčnom pásme šírky dω je ( )dE I d= 1

2

πω ω

• Energiu na jednotkovú širku pásma nazývame spektrálna hustota energie, s rozmerom A Hz. −1. Platí

( ) ( )S Iω

πω= 1

2

• Pre energiu vo frekvenčnom pásme ( )1 2,ω ω platí( ) ( )E I d S dΔω

ω

ω

ω

ω

πω ω ω ω= =∫ ∫

1 2

1

2

1

2

12 Vzťah medzi funkciami v časovej a frekvenčnej oblasti

• Uvažujeme reálnu funkciu času ( )f t a jej komplexnú spektrálnu funkciu ( )F ω • Platí:

( ) ( )( ) ( )F F

F F

ω ωω ω= −

− =

Základné vlastnosti - Veta o šírke signálu a spektra

Nebudeme tu podrobne rozoberať všetky vlastnosti Fourierovej transformácie (Fourieroveho integrálu), ale obmedzíme sa

len na tie, ktoré sú z pohľadu teórie signálov rozhodujúce. Uvažujeme jednorázový impulz ako signál ( )x t , pre ktorý platí

( )x t A pre t

pre ostatné t= ∈ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

ϑ ϑ2 2

0

;

f0

b)

0t

b)

x(t)

ϑ

ϑa

A

X(f) X(f)

X(fa)1a

ϑ ∞

ϑ 0

Aϑ

Aϑa

1ϑ

2ϑ

3ϑ

aϑ

13

Fourierovou transformáciou dostaneme spektrálnu funkciu ( )X ω

( ) ( )2

2

22

sin22 sin

22

j t j t j tA AX x t e dt A e dt e j A A si fj j

ϑϑ

ω ω ωϑ

ϑ

ϑωϑω ω ϑ ϑ π ϑϑω ω ω

∞− − −

−−∞ −

⎛ ⎞⎡ ⎤= = = = − = =⎜ ⎟⎣ ⎦− − ⎝ ⎠∫ ∫

Ako bude vyzerať spektrálna funkcia signálu ( )x at ?

( )x at A pre ta a

pre ostatné t= ∈ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

ϑ ϑ2 2

0

;

Pre spektrálnu funkciu signálu ( )x at platí

( ){ } ( ) j tF x at x at e dtω∞

−

−∞

= ∫

Ak použijeme substitúciu at = τ a predpokladáme, že { } ( )( )( ) j tF x t X x t e dtωω∞

−

−∞

= = ∫ dostaneme

( ){ } ( ) ( ) ( )1 1 1 1j j ja a aF x at x e d x e d x e d Xa a a a a

τ τ ωω ω τ ωτ τ τ τ τ τ∞ ∞ ∞

− − −

−∞ −∞ −∞

⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫

Zhrnutie:

a) funkcii ( )x t odpovedá spektrálna funkcia ( )X ω a funkcii ( )x at odpovedá spektrálna funkcia 1aXaω⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ,

b) a násobnému skráteniu signálu v čase odpovedá a násobné rozšírenie spektrálnej funkcie, c) a násobnému skráteniu signálu v čase (pri zachovaní amplitúdy signálu) odpovedá a násobné zmenšenie modulu

spektrálnej funkcie.

14 Základné vlastnosti - Veta o reciprocite (dualite) signálov a spektra

Ak porovnáme transformačné vzťahy pre priamu a spätnú FT vidíme, že až na konštantu a znamienko v exponente sú

podobné. Ak vo vzťahu pre spätnú FT

( ) ( )x t X e dj t=−∞

∞

∫12π

ω ωω

urobíme substitúciu ′t = −t , potom dostaneme

x − ′t( ) = 12π

X ω( )e− jω ′t dω−∞

∞

∫

zameňme ′t a ω

2π x −ω( ) = X ′t( )e− jω ′t d ′t−∞

∞

∫

Porovnajme tento vzťah so vzorcom na výpočet priamej FT:

( ) ( )X x t e dtj tω ω= −

−∞

∞

∫

Zo vzťahov je zrejmé, že • ak časovej funkcii ( )x t odpovedá spektrálna funkcia ( )X ω , potom • časovej funkcii ( )X t ( ( )X t je časová funkcia tvarovo zhodná so spektrálnou funkciou ( )X ω ) odpovedá spektrálna

funkcia ( )x −ω , ktorá je tvarovo zhodná s časovou funkciou ( )x t− .

Názov Časová oblasť Frekvenčná oblasť Poznámka Dualita ( )X t 2 ( )xπ ω−

15

x(t) X( )ω

t ω0 0

x(t) X( )ω

t ω0 0

x(t) X( )ω

X( )ω x(t)

16 Základné vlastnosti - Veta o časovom posunutí (oneskorení) signálu

V komunikačných systémoch veľmi často dochádza k oneskoreniu signálu. Je preto dôležité poznať aký vplyv má

oneskorenie v časovej oblasti na spektrálnu funkciu.

Ak signál ( )x t −ϑ je voči signálu ( )x t posunutý (oneskorený) o hodnotu ϑ , potom pre jeho spektrálnu funkciu

( )Xϑ ω platí

( ) ( )X x t e dtj tϑ

ωω ϑ= − −

−∞

∞

∫ (3.114)

Ak použijeme substitúciu t − =ϑ τ potom platí tdt d= +=ϑ τ

τ

Po dosadení do (3.114) dostaneme

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

X x e d e x e d

e X X e X e

j j j

j j j

ϑω ϑ τ ωϑ ωτ

ωϑ ϕ ω ωϑ ϕ ω

ω τ τ τ τ

ω ω ω ϑ

= = =

= = =

− +

−∞

∞− −

−∞

∞

− −

∫ ∫ (3.115)

Zo vzťahu (3.115) vyplýva, že modul spektrálnej funkcie signálu oneskoreného o čas n je totožný s modulom spektrálnej funkcie neposunutého signálu, teda

( ) ( )X Xϑ ω ω= (3.116)

Fázové spektrum oneskoreného signálu je dané superpozíciou fázového spektra neposunutého signálu a hodnoty −ωϑ , teda ( ) ( )ϕ ω ϕ ω ωϑϑ = − (3.117)

17 Príklad 3.2.1

Je uvedená funkcia ( )x t (jednorázový impulz o šírke ϑ a amplitúde A) a funkcia ( )x t x tϑϑ= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2 , pre ktorú platí

( )x t A pre t

pre ostatné t= ∈ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

ϑ ϑ2 2

0

; ( ) ( )x t

A pre tpre ostatné tϑ

ϑ=

∈⎧⎨⎩

00

;

Pre uvedené funkcie máme nájsť odpovedajúce spektrálne funkcie Riešenie:

Pre spektrálnu funkciu ( )X ω signálu ( )x t platí

( ) ( ) ( )X x t e dt A e dt A si fj t j tω ϑ π ϑω ω

ϑ

ϑ

= = =−

−∞

∞−

−

∫ ∫2

2

Na základe vety o časovom posunutí signálu

( ) ( )X X ej

ϑ

ωϑ

ω ω=−

2

tϑϑ00

A A

x(t) x (t)ϑ

ϑϑ/2- /2ϑt

18

ω

0

0

0

X ( )ϑ ω

arg X( )ω

arg X ( )ϑ ω

Aϑ

1ϑ

2ϑ

3ϑ

3ϑ

2ϑ

1ϑ

X( )ω =

3π

2π

π

-π

-2π

-3π

π

-π

ω

ω