1

FREDERICK UNIVERSITY

ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2008

ACEM 216: CONSTRUCTION MATERIALS II

ΑΣΚΗΣΗ 1:Μελέτη Σύνθεσης Σκυροδέµατος (Mix Design)

Σύµφωνα µε την µέθοδο της έκδοσης:

ACI 211.1-81 (ACI= American Concrete Institute)

(Revised 1985)

“Standard Practice for Selecting Proportions for Normal, Heavyweight, and Mass Concrete”

Antonis Michael

Email: eng.ma@frederick.ac.cy

2

1. Μελέτη Σύνθεσης Σκυροδέµατος (Mix Design)

Μελέτη Σύνθεσης Σκυροδέµατος (Mix Design) µπορεί να οριστεί η διαδικασία της επιλογής

κατάλληλων υλικών για την κατασκευή µπετόν και ο προσδιορισµός των αναλογιών

ανάµειξης µε στόχο την παραγωγή οικονοµικού µπετόν που να ικανοποιεί συγκεκριµένες

ελάχιστες απαιτήσεις όπως εργασιµότητα, αντοχή και ανθεκτικότητα στον χρόνο. Ανάλογα

µε τις απαιτήσεις κάποιου έργου µπορεί να επιβληθούν και άλλες απαιτήσεις όπως

πυκνότητα, εµφάνιση, χρωµατισµός, µέγιστος συντελεστής ύδατος τσιµέντου (Water/Cement

ratio), µέγιστη περιεκτικότητα σε τσιµέντο, ελάχιστο ποσοστό κενών και άλλες.

Έχουν αναπτυχθεί διάφορες εµπειρικές µέθοδοι για τον προσδιορισµό των αναλογιών των

επιµέρους υλικών που θα χρησιµοποιηθούν για την κατασκευή µπετόν δεδοµένων

απαιτήσεων. Πρέπει όµως να γίνει αντιληπτό ότι αναλογίες προσδιορισθείσες µε οποιαδήποτε

µέθοδο πρέπει να θεωρούνται δοκιµαστικές και πρέπει να ελέγχονται (και να τροποποιούνται

συνήθως) µε βάσει την εµπειρία που αποκτάται µε δοκιµαστικές αναµείξεις (trial batches).

Στο εργαστήριο αυτό θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο που καλύπτεται από την έκδοση ACI

211.1-81 που είναι µία από τις πλέον χρησιµοποιούµενες παγκόσµια. Όλες οι λεπτοµέρειες

της µεθόδου και πολλές άλλες χρήσιµες πληροφορίες περιέχονται στην έκδοση αυτή. Αρκετά

στοιχεία της µεθόδου όπως και παράδειγµα αρχικού σχεδιασµού υπάρχουν στο βιβλίο ∆οµικά

Υλικά του Α.Χ. Τριανταφύλλου, κεφάλαιο 6.11 (σελ 205-213).

2 Χρήσιµες έννοιες που θα χρησιµοποιηθούν

2.1 Εργασιµότητα (Workability) – Ρευστότητα-συνεκτικότητα (cohesiveness)-∆οκιµή

κάθισης (Slump Test).Βλέπε Βιβλίο Τριανταφύλλου (παρ 6.9.2 και 6.9.3). Οι

προηγούµενες ιδιότητες επηρεάζονται από την κοκκοµέτρηση, το σχήµα των αδρανών,

την αναλογία άµµου/σκύρων, την ποσότητα τσιµέντου, παρουσία φυσαλίδων αέρα

(αερακτικά), πρόσµεικτα.

2.2 Αντοχή. Χαρακτηριστική (fck,cyl και fck,cube) και Μέση Αντοχή (fcm).

Κατηγορίες Αντοχής για Κανονικό και βαρύ σκυρόδεµα κατά ΕΝ206-1:2000.

Compressive

strength class

Minimum characteristic

cylinder(Diam=150mmX300mm),

strength

fck,cyl

N/mm2

Minimum characteristic

cube(150x150x150mm)

strength

fck,cyl

N/mm2

C8/10 8 10

C12/15 12 15

C16/20 16 20

C20/25 20 25

C25/30 25 30

C30/37 30 37

C35/45 35 45

C40/50 40 50

C45/55 45 55

C50/60 50 60

C55/67 55 67

κλπ

3

Κατά τους υπολογισµούς στις στατικές µελέτες, αλλά και στις προδιαγραφές αντοχής του

µπετόν χρησιµοποιείται η χαρακτηριστική αντοχή.

Χαρακτηριστική αντοχή: Τιµή αντοχής κάτω από την οποία αναµένεται να

παρουσιάσουν 5% του πληθυσµού όλων των δυνατών προσδιορισµών αντοχής, για τον

όγκο του µπετόν που αναφερόµαστε, Με την παραδοχή ότι οι αντοχές δοκιµίων ακολουθούν την Κανονική Κατανοµή (Gauss) µε

µέση τιµή=fcm ,cube και τυπική απόκλιση σ τότε:

fck,cube =fcm,cube - 1.64485* σ ή fcm,cube = fck,cube+ 1.64485* σ

-------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------- Στο σχεδιασµό µείγµατος χρησιµοποιείται η µέση αντοχή.

Γιά δεδοµένες συνθήκες και δεδοµένα υλικά η αντοχή του σκυροδέµατος καθορίζεται από

τον συντελεστή Ύδατος/Τσιµέντου (λόγος µαζών). Στον υπολογισµό του συντελεστή αυτού

χρησιµοποιούµε την µάζα του «ελεύθερου» ύδατος. ∆εν λαµβάνουµε δηλαδή το ύδωρ πού

απορροφείται από τα αδρανή. Για δεδοµένο συντελεστή Υδωρ/Τσιµέντου, διαφορετικές

αντοχές µπορεί να οφείλονται: Ονοµαστικό µέγιστο κόκκο αδρανούς, κοκκοµέτρηση, υφή

επιφάνειας αδρανών, σχήµα κόκκων, αντοχή αδρανών, διαφορές στους τύπους τσιµέντου,

ποσοστό αέρα στο µείγµα, χρήση προσµείκτων.

Εµείς στο παράδειγµα µας θα χρησιµοποιήσουµε περιθώριο (Margin) 8Ν/mm2.

∆ηλαδή : fcm,cube = fck,cube+ 8Ν/mm2.

4

3

5

3. Χρήσιµες Πληροφορίες σχετικές µε υλικά Στο βαθµό που είναι δυνατόν, η επιλογή των αναλογιών των υλικών του σκυροδέµατος

πρέπει να βασίζεται σε αποτελέσµατα δοκιµών ή εµπειρία µε τα υλικά που θα

χρησιµοποιηθούν. Όπου τέτοια στοιχεία δεν είναι διαθέσιµα, µπορούν να εφαρµόζονται

προσεγγιστικές εκτιµήσεις που δινονται στην έκδοση ACI 211.1-81.

Οι πιο κάτω πληροφορίες για τα διαθέσιµα υλικά είναι χρήσιµες.

Α. Κοκκοµετρήσεις λεπτών και χονδρών αδρανών.

Β. Ειδικό βάρος χονδρών αδρανών

Γ. Bulk Specific Gravity (ρrd κατα ΕΝ) χονδρών αδρανών

∆. Προδιαγραφές για νερό ανάµειξης

Ε. Σχέσεις µεταξύ αντοχής και συντελεστή Ύδατος / Τσιµέντου.

Ζ. Ειδικά βάρη τσιµέντου, Πουζολάνης αν χρησιµοποιείται.

Άσκηση

Ζητείται να ετοιµάσουµε µια µελέτη σχεδιασµού σύνθεσης σκυροδέµατος

C25/30. Υπάρχουν προσιτά στην περιοχή του εργοστασίου παραγωγής

έτοιµου σκυροδέµατος 4 είδη αδρανών. Το µπετόν θα τοποθετηθεί µε χρήση

αντλίας.

Γνωρίζουµε επίσης τα πιο κάτω:

Ορολογία ΕΝ

?

(Particle density on

an oven-dried

basis=ρrd)/ρw

(Apparent Particle

density=ρa)/ρw

(Particle density on a

saturated and surface-

dried basis=ρssd)/ρw

WA24

Ορολογια ASTM

?Bulk Specific

Gravity

Apparent Specific

Gravity Bulk Sp. Grav.(SSD) Absorption %

Σκύρα 20mm

∆ιαβασικά2,576 2,784 2,650 2,900

Σκύρα 10mm

∆ιαβασικά2,551 2,770 2,630 3,100

Άµµος Ζ1 ∆ιαβ/κός 2,531 2,717 2,600 2,700

Άµµος Ζ3 Ασβεστ.

Λατουρος2,544 2,686 2,600 2,000

Πυκνότητες και απορροφητικότητα Άµµου και Σκύρων

6

Κόσκινο (mm) Σκύρα 20mm Σκύρα10mm Άµµος Ζ 1 Άµµος Ζ 3

Κόσκινο (mm) ∆ιερχόµενο% ∆ιερχόµενο % ∆ιερχόµενο % ∆ιερχόµενο%

31,500 100,0 100,0 100,0 100,0

25,000

20,000 97,5 100,0 100,0 100,0

16,000

14,000 73,0 100,0 100,0 100,0

10,000 11,7 96,1 100,0 100,0

8,000

5,000 0,7 19,0 97,8 100,0

4,000

2,360 0,1 1,1 71,5 97,5

2,000

1,180 0,0 0,0 47,3 83,4

1,000

0,600 24,5 61,5

0,300 13,6 33,0

0,250

0,150 9,6 11,2

0,075 0,0 0,0 6,0 3,8

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

100,0

0,010 0,100 1,000 10,000 100,000

Σκύρα 20mm ∆ιερχόµενο%

Σκύρα10mm ∆ιερχόµενο %

Άµµος Ζ 1 ∆ιερχόµενο %

Άµµος Ζ 3 ∆ιερχόµενο%

Σύµφωνα µε το ASTM C125-02: Σκύρα= Coarse Aggregate=aggregate predominantly retained on the 4.75-mm sieve.

7

Άµµος=Fine aggregate=aggregate passing the 9.5-mm sieve and almost entirely passing the

4.75-mm sieve and predominantly retained on the 75-µm sieve.

MIX DESIGN –

Step 1. Επιλογή Slump

Για την περίπτωση µας υποθέτουµε ότι ζητείται Slump=75mm

Step 2. Επιλογή ονοµαστικά µέγιστου κόκκου.

Για τα δεδοµένα αδρανή διαλέγουµε ονοµαστικά µέγιστο κόκκο 20mm, εφόσον δεν

έχουµε άλλους περιορισµούς και µεγαλύτερο δεν µπορούµε να διαλέξουµε.

Step 3. Υπολογισµός Υδατος Ανάµειξης και κενών αέρα.

Χρησιµοποιώντας τον πίνακα Α1.5.3.3 Για Slump=75-100mm και nominal maximum size of

aggregate=19mm βρίσκουµε:

Νερό =205Kg/m3.

Approximate amount of entrapped air in non air entrained concrete=2%

Απαιτήσειs κονίας, 1/5 στενότερης διατοµής side forms, 1/3 depth of slab, 3/4 of

min clear spacing between bars

8

9

Step 4. Επιλογή W/C Ratio. Από Πίνακα 5.3.4(α)

Θέλουµε C25/30

Άρα αντοχή Κυλίνδρου (µέση) = 25+8=33Ν/mm2

βρίσκουµε W/C=0.498

Step 5. Υπολογισµός Ποσότητας Τσιµένου

Βρήκαµε ήδη : W=205Kg/M3 και W/C=0.498

Αρα C=205/.498=411.6 Kg/m3

Step 6. Υπολογισµός Σκύρων(Coarse Aggregate) Χρησιµοποιείται ο Πίνακας Α1.5.3.6

Θα χρησιµοπποιήσουµε σκύρα 20mm=2 µέρη και 10mm=1 µέρος άρα για το µίγµα Gµίγµατος

=2,568

Για την χρήση του πίνακα αυτού απαιτείται η χρήση του fineness modulus του λεπτού

αδρανούς. Το χαρακτηριστικό αυτό της άµµου ορίζεται στο πρότυποASTM C125 και για τον

προσδιορισµό του χρειάζεται να γίνει κοκκοµέτρηση.

10

Fineness modulus= ένας αριθµός που προκύπτει

a) αθροίζοντας τα ποσοστά του υλικού που συγκρατούνται στα κόσκινα

(Συσσωρευµένα Ποσοστά):

150µm, 300µm, 600µm, 1.18mm, 2.36mm, 4.75mm, 9.5mm,

19mm,37.5mm, 75mm, 150mm

b) Το πιο πάνω αθροισµα διαιρείται /100.

Sieve Retained Retained Passing

Cumulative

percentage

retained

mm gr. % %

37,5 0

20 0

10 0 100,0 0

5 12 2,2 97,8 2,2

2,36 145 26,4 71,5 28,5

1,18 133 24,2 47,3 52,7

0,600 125 22,7 24,5 75,5

0,300 60 10,9 13,6 86,4

0,150 22 4,0 9,6 90,4

0,075 20 3,6 6,0

Passing 33 6,0

Total 550 3,36Fineness Modulus=

Άµµος Ζ1

Sieve Retained Retained Passing

Cumulative percentage retained

mm gr. % %

37,5 20 10 0 100,0 5 0 0,0 100,0 0 2,36 13 2,5 97,5 2,51,18 74 14,1 83,4 16,60,600 115 21,9 61,5 38,50,300 150 28,6 33,0 67,00,150 114 21,7 11,2 88,80,075 39 7,4 3,8 Passing 20 3,8 Total 525 100,0

2,1333333 Fineness Modulus=

Aµµος Ζ3 ΑΣΒ. Ψαµµίτης

Λόγω πείρας θα χρησιµοποιήσουµε 50% κατά µάζα κάθε άµµου. Άρα Fineness Modulus=(3,36+2,13)/2=2,74

11

Y1= Y3= Y2=

2,600 2,740 2,800

X1= 19,000 0,640 0,626 0,620

X3= 20,000 0,648 0,634 0,628

X2= 25,000 0,690 0,676 0,670 Όγκος Σκύρων=0,634m

3 (In dry-rodded condition).

Μάζα σκύρων=0.634Χ1550=982,7Kg

Εδώ θα µπορούσαµε να είµαστε πιο ακριβείς αν είχαµε κάνει

εργαστηριακή δοκιµή για προσδιορισµό της πυκνότητας σωρού.

Step 7 Εύρεση Άµµου, (Αbsolute volume basis )

Έχοντας βρει τις ποσότητες Νερού, Τσιµέντου,και σκύρων µπορούµε να βρούµε µε αφαίρεση

την άµµο

Μέθοδος Αθροίσµατος Ογκων

Όγκος Νερού 205Kg/1000= 0,205m3

Όγκος Στερεών Τσιµέντου 411Kg/3170Kg/m3= 0.130m3

Όγκος Στερεών Σκύρων 983Kg/2568Kg/m3= 0.383m3

Όγκος εγκλωβισµένου αέρα 2%*1= 0.020m3

__________

Ολικός Όγκος Υλικών εκτός άµµου = 0.738m3

12

Άρα Όγκος στερεών Άµµου=1-0,738=0,262m3

Μάζα ξηρής Άµµου=0,262*2537Kg/m3=664.72Kg

Step 7 Εύρεση Άµµου, (Mass Basis) Χρησιµοποιούµε τον Πίνακα Α1.5.3.7.1

Θα χρησιµοποιήσουµε δύο ειδη άµµου.

Bulk Sp. Gravity % κατα µάζα

Αµµος Ζ1 2.531 50%

Αµµος Ζ1 2.544 50%

13

Από τον πίνακα Πίνακα Α1.5.3.7.1, αφού κάνουµε και τις διορθώσεις των υποσηµειώσεων

βρίσκουµε

Μαζα 1 m3 νωπού σκυροδέµατος=2270Kg.

Νερο 205

Τσιµέντο 411

Σκύρα 983

Σύνολο 1599

Αρα Άµµος=2270-1599=671Kg

Συνοψίζοντας:

Based on

estimated

concrete mass

(Kg)

Based on

absolute

volume of

ingredients

Νερό 205 205

Τσιµέντο 411 411

Σκύρα 983 983

Άµµος 671 665

Επίσης κάναµε τις Παραδοχές ότι

ΣΚΥΡΑ Αµµος

Σκύρα 20mm Σκύρα 10mm Σύνολο Ζ1 Ζ2 Συνολον

655,3 327,7 983 332,5 332,5 665

39,7 % 19,9 % 20,2 % 20,2 %

1A

Σκύρα

20mm

B

Σκύρα10mm

C

Άµµος Ζ 1

D

Άµµος Ζ 3

Κοκκο/ση

Μείγµατος

Κόσκινο ∆ιερχόµενο ∆ιερχόµενο ∆ιερχόµενο ∆ιερχόµενο Μείγµατος ∆ Ε Z Zmm % % % % % %mm Μείγµατος ∆min Εmin Zmin Zmax

31.500 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100 100 100 100

25.000

20.000 97.5 100.0 100.0 100.0 99.0

16.000 70 87 93 96

14.000 73.0 100.0 100.0 100.0 89.3

10.000 11.7 96.1 100.0 100.0 64.2

8.000 45 68 80 86

5.000 0.7 19.0 97.8 100.0 44.0

4.000 30 52 67 76

2.360 0.1 1.1 71.5 97.5 34.4

2.000 18 40 55 67

1.180 0.0 0.0 47.3 83.4 26.4

1.000 10 30 44 58

0.600 24.5 61.5 17.4

0.300 13.6 33.0 9.4

0.250 2 13 17 23

0.150 9.6 11.2 4.2

0.075 0.0 0.0 6.0 3.8 2.0

Πινακας 4.3.2.10α Κανονισµού

Τεχνολογίας Σκυροδέµατος

14

Step 8 Προσαρµογές για την υγρασία Αδρανών.

Based on

absolute volume of ingredients (ξηρά Υλικά)

Υγρασία Υλικών Στο εργοστάσιο

Απαιτούµενη Ποσότητα υλικού µε υγρασία

Νερό που περιέχεται στα Υλικά Εργοστασίου

Υδροαπορροφητικότητες Υλικών

Νερό που απαιτείται για να γίνουν τα υλικά απο ξηρα SSD

Αναλογίες Εργοστασίου

Νερο 205 ----- 205 0 210,9

Τσιµέντο 411 ------- 411 0 411

Σκύρα

20mm

655,3 2% 668,4 13,1 2,9% 19,0 655,3

Σκύρα

10mm

327,7 3.8% 340,2 12,5 3,1% 12,5 327,7

Αµµος Z1 332,5 9.8% 365,1 32,6 2,7% 32,6 332,5

Αµµος Z2 332,5 10,2% 366,4 33,9 2,0% 33,9 332,5

Νερό που πρέπει να προστίθεται στα µε υγρασία υλικά στο εργοστάσιο=

=205-(13,1+12,5+32,6+33,9) + (19,0+12,5+32,6+33,9)=210,9Kg

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

90.0

100.0

0.010 0.100 1.000 10.000 100.000

Μείγµατος

∆min

Εmin

Zmin

Zmax

15

Step 9 Προσαρµογές στις αναλογίες, εύρεση

πραγµατικής πυκνότητας και πραγµατικών κενών

Αφού καταλήξουµε στις επιθυµητές αναλογίες κατόπιν δοκιµών θα πρέπει να βρούµε

εργαστηριακά την πραγµατική πυκνότητα του νωπού σκυροδέµατος.(∆οκιµή ASTM C138)

και τα κενά (ASTM C175).

Έχοντας την πραγµατική πυκνότητα και το άθροισµα όλων των µαζών των υλικών που

χρησιµοποιήσαµε µπορούµε να βρούµε τον Πραγµατικό Όγκο του σκυροδέµατος που

κατασκευάσαµε. ( Κάναµε την παραδοχή ότι οι υπολογισµοί µας βασίζονταν στην

Παρασκευή 1m3

Άσκηση 1 1. Σε ένα εργοστάσιο παραγωγής έτοιµου σκυροδέµατος γνωρίζουµε ότι η

µέση τιµή της αντοχής κύβων είναι 35,6N/mm2 και η τυπική απόκλιση

3,6 Ν/mm2. Ποια είναι η χαρακτηριστική τιµή του Μπετόν;

2. Ποια είναι η πιθανότητα 3 κύβοι να έχουν Μέσο αντοχής µικρότερο της

χαρακτηριστικής αντοχή;

3. Ποια η πιθανότητα ένας µεµονωµένος κύβος να δείξει αντοχή µικρότερη

της χαρακτηριστικής;

16

Άσκηση Η Εταιρεία όπου µόλις εργοδοτηθήκατε, αναλαµβάνει στατικές µελέτες στις Αραβικές

Χώρες. Στις περισσότερες από τις χώρες αυτές απαιτείται να υποβάλετε τους

υπολογισµούς σας σύµφωνα µε τους Αµερικανικούς Κανονισµούς. Ο µεσήλικας

εργοδότης σας είναι εξαιρετικός επιχειρηµατίας αλλά γνωρίζει ελάχιστα από πολιτική

µηχανική. Σε σχετική απορία σας, για το πώς συσχετίζεται η χαρακτηριστική αντοχή

του Ευρωπαϊκού κανονισµού (fck,cyl) µε την αντίστοιχη «ελάχιστη=fc,min» του

Αµερικάνικου κανονισµού απάντησε ότι από πολύ παλιά θεωρεί ότι

fc,min = 0.8*fck,cyl και χρησιµοποιώντας την σχέση αυτή λύει όλα τα προβλήµατα.

Εσείς αποφασίζετε να διερευνήσετε την ορθότητα της σχέσης αυτής.

Γνωρίζετε από το Πανεπιστήµιο πολύ καλά πως ορίζεται η fck,cyl

Σύµφωνα µε τον αµερικάνικο Κανονισµό, ή αντίστοιχη έννοια, δηλαδή η fc,min ορίζεται

σύµφωνα µε τις 2 πιο κάτω συνθήκες ( και οι δύο πρέπει να πληρούνται):

1. Υπάρχει πιθανότητα ίση µε 0.01 ώστε ο µέσος Όρος τριών δοκιµών να είναι

µικρότερος από την fc,min .Σύµφωνα µε τον κανονισµό αυτό µία δοκιµή

θεωρείται ο µέσος όρος της αντοχής δύο Κυλίνδρων.

2. Υπάρχει πιθανότητα ίση µε 0.01µία δοκιµή(µέσος όρος δύο κυλίνδρων) να είναι

µικρότερος από (fc,min -3.5MPa)

Τελικός σας στόχος είναι να καταλήξετε σε γράφηµα όπως πιο κάτω:

17

Στο γράφηµα αυτό θα υπάρχουν 3 καµπύλες (σ=3, σ=6,σ=9) και ή καµπύλη του

εργοδότη (ευθεία στην πραγµατικότητα). Η καµπύλη που δεικνύεται για σ=3 µπήκε

εντελώς στην τύχη σαν παράδειγµα.

Πρόσθετες πληροφορίες

1. Οι κύλινδροι δοκιµών Αµερικανικού κώδικα θεωρούνται πανοµοιότυποι µε

κυλίνδρους Ευρωπαϊκού.

2. Η αντοχή των κυλίνδρων ακολουθεί την κανονική κατανοµή Gauss.

Βοήθεια

1. Με τις γνώσεις στατιστικής, και την βοήθεια Πινάκων Κανονικής Κατανοµής

εκφράστε τις συνθήκες 1 και 2 σε 2 εξισώσεις. (Θα περιέχουν µέσα µέση τιµη και

τυπική απόκλιση της Κανονικής Κατανοµής)

2. Για να µαζέψετε τα στοιχεία που χρειάζεστε µπορείτε να χρησιµοποιήσετε τον

πιο κάτω πίνακα

20 30 40 50

fck,cyl (Ευρωπαικός Κανονισµός)

fc,min (Αµερικανικός Κανονισµός)

fck,cyl (Ευρωπαικός Κανονισµός)

fc,min (Αµερικανικός Κανονισµός)

fck,cyl (Ευρωπαικός Κανονισµός)

fc,min (Αµερικανικός Κανονισµός)

σ=3,0 Mpa

σ=6,0 Mpa

σ=9,0 Mpa

Μέση Τιµή Αντοχής Κυλίντρου(Mpa)

Να συνεργαστείτε κατά οµάδα . Κάθε οµάδα να παραδώσει µία λύση. Όποιος θέλει µπορεί

να εργαστεί και να παραδώσει µόνος του (και θα βαθµολογηθεί µόνος του). Όλα τα βήµατα

και αριθµητικοί υπολογισµοί να φαίνονται.