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Tema 8: Teste Qui-quadrado e

Distribuio F

Profa. Renata M. G. Dalpiaz

Para incio de conversa

Teste Qui-quadrado ()

utilizado para verificar se as distribuies de duas ou mais amostras no relacionadas diferem significativamente em relao determinada varivel.

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Teste Qui-quadrado ()

Para realizar um teste de qualidade do ajustamento, preciso, inicialmente, estabelecer as hipteses nula e alternativa.

Condies para execuo do teste

Para fazer o teste estatstico com o teste qui-quadrado para a qual idade do ajustamento, podem ser usadas as frequncias observadas e as esperadas.

Condies para execuo do teste

Exclusivamente para variveis nominais e ordinais; Preferencialmente para amostras grandes; Observaes independentes; No se aplica, se 20% das observaes forem

inferiores a 5; No pode haver frequncias

inferiores a 1;

Nos dois ltimos casos, se houver incidncias desta ordem, aconselha-se agrupar os dados segundo outro critrio especfico.

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Condies para execuo do teste

Se as frequncias observadas estiverem muito prximas das frequncias esperadas correspondentes, as diferenas entre Fo e Fe sero pequenas e a estatstica do teste estar prxima de zero.

Determinao das hipteses I

H0: as variveis so independentes ou no esto relacionadas; aqui, assumimos que no h diferenas nas propores das populaes amostras estudadas, ou seja: H0: p1 = p2.

H1: contradiz H0. Estabelecer nvel de significncia. Determinar a regio de rejeio de H0.

Teste qui-quadrado para a independncia

usado para testas a independncia de duas variveis.

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Condies para o teste qui-quadrado para a independncia

1. A frequncia observada deve ser obtida usando uma amostra aleatria.

2. Cada frequncia esperada deve ser maior ou igual a cinco.

Determinao das hipteses II

Determinar o valor dos graus de liberdade: g.l. = (L 1)*(C 1) onde L o nmero de linhas da tabela a ser estudada e C, o nmero de colunas.

Encontrar o valor de

onde fo a frequncia observvel e fe a frequncia normal esperada.

e

2eo

clulasastotas

2

f)ff(

=

Continuando

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Orientaes gerais

1. Identifique a alegao. Estabelea as hipteses nula e alternativa.

2. Especifique o nvel de significncia. 3. Determine o nmero de graus de

liberdade. 4. Obtenha o valor crtico. 5. Identifique a rea de rejeio.

Orientaes gerais

6. Calcule a estatstica teste. 7. Tome a deciso de rejeitar ou no a

hiptese nula. 8. Interprete a deciso no contexto da

alegao original.

Teste de homogeneidade de propores

usado para determinar se vrias propores so iguais quando as amostras so tomadas de populaes diferentes.

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Determinao das hipteses III

Para calcular a proporo, basta fazer:

onde x representa os sucessos obtidos e n, o nmero de elementos da amostra.

Sendo o Qui-Quadrado calculado maior do que o tabelado, rejeita-se H0 em prol de H1.

1 2

1 2

x x xpn n n+

= =+

Distribuio F

Primeiramente para determinar se as varincias so iguais, pode-se realizar um teste F de duas amostras, agora como distribu-la?

Distribuio F

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Orientaes da Distribuio F

A distribuio F uma famlia de curvas na qual cada uma determinada por dois tipos de graus de liberdade, g.l.n e g.l.d, a primeira corresponde varincia no numerador e a segunda varincia do denominador.

Obtendo valores crticos para a distribuio F

Vamos praticar

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Exerccio 1

Dois gerentes de uma unidade de uma grande empresa de prestao de servios discutem, entre si, para saber qual deles possuem clientes mais satisfeitos em suas respectivas carteiras, na tentativa de melhorar os servios prestados. Para medir o grau de satisfao junto aos clientes, aplicam um questionrio com questes intervalares de 5 pontos.

continua

Primeiro Gerente Segundo Gerente

1 2 3 2 4 2 4 5 3 3 3 3 3 4 4 4 2 5 4 5 3 4 3 2 1 3 3 4 5 3 3 4 2 4 2 2 1 3 4 2

Total 57 Total 69

A tabela que apresenta os resultados obtidos pelos gerentes a seguinte:

distribuio de frequncias

Gerentes

1 2

Notas Fo Fe Fo Fe Totais

1 2 1,5 1 1,5 3,0

2 5 4,5 4 4,5 9,0

3 7 6,5 6 6,5 13,0

4 6 5,5 5 5,5 11,0

5 0 2,0 4 2,0 4,0

total 20 20 20 20 40

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Aplicando o teste

Aplicando o teste: g.l. = (L 1)*(C 1) g.l. = (2 1)*(2 1) g.l. = 1 (grau de liberdade)

0 1 2 1 1 2H :p p ; H :p p=

Tabela auxiliar

o e(f f ) 2o e(f f ) e2

eo

f)ff(

fo fe

2 1,5 -0,5 0,25 0,167

1 1,5 0,5 0,25 0,167

5 4,5 -0,5 0,25 0,056

4 4,5 0,5 0,25 0,056

7 6,5 -0,5 0,25 0,038

6 6,5 0,5 0,25 0,038

6 5,5 -0,5 0,25 0,045

5 5,5 0,5 0,25 0,045

0 2,0 2 4 2,000

4 2,0 -2 4 2,000

4,612

Finalizando o exerccio

Para = 0,1 e grau de liberdade 1, a tabela nos informa uma leitura de 3,841, ou seja,

portanto, sendo o Qui-Quadrado calculado maior do que o tabelado, rejeita-se H0 em prol de H1.

2 2calc tab4,612 3,841 = > =

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Concluso

A hiptese H0 considerada determinava que as variveis estudadas eram independentes ou no estavam relacionadas, ou seja, no havia diferenas nas amostras estudadas.

H0 foi rejeitada, isto , as amostras diferem entre si.

Exerccio 2

Obtenha o valor F crtico para um teste monocaudal direito sendo =0,05, g.l.n = 6 e g.l.d=29 e distribua no grfico.

Exerccio 3

Obtenha o valor F crtico para um teste bicaudal sendo =0,05, g.l.n = 4 e g.l.d=15 e distribua no grfico.

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Exerccio 4

S u p o n h a q u e s e j a m s e l e c i o n a d o s aleatoriamente 300 ouvintes de msica em uma dada regio, obtenha as frequncias esperadas para cada tipo de msica:

N = 300

clssica 8

Country 210

Gospel 72

Antiga 10

Pop 75

rock 125

Resolvendo

Tipo de msica

Porcentagem de ouvintes

Frequncia observada

Frequncia esperada

clssica 8 8

Country 210 210

Gospel 72 72

Antiga 10 10

Pop 75 75

rock 125 125

Finalizando

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Qui-quadrado ()

utilizado para verificar se as distribuies de duas ou mais amostras no relacionadas diferem significativamente em relao determinada varivel.

Condies para execuo do teste

Para fazer o teste estatstico com o teste qui-quadrado para a qual idade do ajustamento, podem ser usadas as frequncias observadas e as esperadas.

Condies para execuo do teste

Exclusivamente para variveis nominais e ordinais; Preferencialmente para amostras grandes; Observaes independentes; No se aplica, se 20% das observaes forem

inferiores a 5; No pode haver frequncias

inferiores a 1;

Nos dois ltimos casos, se houver incidncias desta ordem, aconselha-se agrupar os dados segundo outro critrio especfico.

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Determinao das hipteses I

H0: as variveis so independentes ou no esto relacionadas; aqui, assumimos que no h diferenas nas propores das populaes amostras estudadas, ou seja: H0: p1 = p2.

H1: contradiz H0. Estabelecer nvel de significncia. Determinar a regio de rejeio de H0.

Determinao das hipteses II

Determinar o valor dos graus de liberdade: = (L 1)*(C 1) onde L o nmero de linhas da tabela a ser estudada e C, o nmero de colunas.

Encontrar o valor de

onde fo a frequncia observvel e fe a frequncia normal esperada.

e

2eo

clulasastotas

2

f)ff(

=

Determinao das hipteses III

Para calcular a proporo, basta fazer:

onde x representa os sucessos obtidos e n, o nmero de elementos da amostra.

Sendo o Qui-Quadrado calculado maior do que o tabelado, rejeita-se H0 em prol de H1.

1 2

1 2

x x xpn n n+

= =+

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Distribuio F

Orientaes da Distribuio F

A distribuio F uma famlia de curvas na qual cada uma determinada por dois tipos de graus de liberdade, g.l.n e g.l.d, a primeira corresponde varincia no numerador e a segunda varincia do denominador.