A π története

Bécsi Ilona

Szakdolgozat

Matematikai elemz® szakirány

Témavezet®:

Besenyei Ádám, egyetemi tanársegéd

Alkalmazott Analízis Tanszék és Számításmatematikai Tanszék

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

2010

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 3

2. A π története 5

2.1. Egyiptom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Arkhimédész . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Közel-Kelet, Iszlám országok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4. Európa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5. Napjainkban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. A π néhány el®állítása 21

3.1. Leibniz-sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Viète-féle végtelen szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3. Euler-sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4. Wallis-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. A π irracionalitása 31

5. Összefoglalás 33

2

1. fejezet

Bevezetés

Napjainkban rengeteg kör alakú tárgy vesz körül bennünket. Bizonyára

már mindenkiben felmerült a kérdés, hogy vajon mennyi is annak a bizonyos

körnek a kerülete, illetve területe. Honnan jött, hogy a π értékével szá-

moljunk? Mennyi a π pontos értéke? Ezek a kérdések nemcsak egy matema-

tikust foglalkoztatnak, hanem akár egy hétköznapi embert is, hiszen a min-

dennapi életben rendszeresen találkozunk kör alakú tárgyakkal, mint például

a tányér és a pohár, az utcán a közlekedési jelz®táblák egyrésze és még lehetne

sorolni. Nemrégiben napvilágra kerültek a gravitáció elméletével kapcsolat-

ban új felfedezések, melyben a π is érintett. Felbukkan az elhalálozási statiszti-

kákból ismert Gauss-féle normáleloszlásban, és természetesen a matematiká-

ban a terület, kerület, illetve térfogatszámításoknál is. Középiskolai mate-

matika tanulmányainkból a jól ismert képlet a kör kerületére és területére:

K = 2rπ = dπ,

és

T = r2π,

ahol π a kör kerülete és átmér®je közötti arányt fejezi ki. A görög π bet¶ a

�perimeter� (kerület) szót rövidíti. Ludolph-féle számnak is nevezik, ugyanis

Ludolph van Ceulen volt az, aki minél több tizedesjegyét próbálta meghatároz-

ni. A németek a π-t még ma is Ludolph-féle számnak nevezik. A 18. században

3

Euler ezt az értéket p-vel vagy c-vel jelölte. William Jones angol matema-

tikus használta el®ször a görög π bet¶t �A matematika új bemutatkozása�

cím¶ könyvében. Ezt követ®en mindenhol π-vel jelölik ezt a számot, amelyet

Jones valószín¶leg az angol periphery (kerület) szóból származtatott. Értéke

ötven tizedesjegyig:

3, 14159265358979323846264338327950288419716939937510.

Be fogjuk látni, hogy a π irracionális szám, tizedestört alakja végtelen és

periodikusan nem ismétl®dik. Mára közel 2,7 billió (2, 7 · 1012) jegyét számí-

tották ki modern számítástechnikai módszerekkel, de a számjegyek között

hasonlóságot nem fedeztek fel.

A dolgozat betekintést nyújt a π rejtelmeibe, mind történelmi, mind pedig

matematikai szempontból. A következ® fejezetben a π történetét az ókortól

egészen napjainkig végigtekintjük, Európától Amerikáig. Majd megismerked-

hetünk olyan híres matematikusok formuláival, mint Euler, Leibniz, Wal-

lis, Viète, amelyek segítségével meg tudjuk határozni a π-t néhány pontos

tizedesjegyig. Végül belátjuk a π irracionalitását.

4

2. fejezet

A π története

2.1. Egyiptom

A története 10000 esztend®vel korábbra nyúlik vissza, eredetér®l pontos

adatokkal nem rendelkezünk, de annyi megállapítható, hogy a π értékre egy

id® után bizonyosan szükség lehetett, így az állandót 3-nak tekintették. Az

ókori Egyiptomban is ezt az állandót használták egy ideig, azonban kés®bb

rájöttek, hogy ez az arány nem pontosan 3, hanem valamivel nagyobb szám.

Így felmerült a kör terület kiszámításának problémája. Elméleti geomet-

riai gondolatmenetekkel a papiruszokban nem találkozunk. A feladatok közt

szerepel egyenes vonalú síkidomok kerületének kiszámítása, hasáb, henger,

gúla, és csonka gúla térfogatának meghatározása. Az i.e. 1660-ból való egyip-

tomi Rhind-papiruszon található egy képlet a kör területének kiszámítására,

amelyet Ahmész királyi írnok írt. A tekercset 1858-ban Henry Rhind skót

régiségkeresked® vásárolta meg, a papirusz Rhind halála után a British Muse-

umba került. A hiányzó része 50 év múlva került el® a New York-i Történelmi

Társulat gy¶jteményéb®l. Ebben kör területét úgy határozták meg, hogy az

átmér® 89-ét négyzetre emelték. Ez mai jelöléssel:

T ≈(8

9d

)2

.

5

A π értékére tehát az egyiptomi számításból következik, hogy

π ≈ 4

(8

9

)2

= 3 +1

6≈ 3, 16,

ami már egész jó közelítés.

2.2. Arkhimédész

Az ókori görögöknél i.e. 8-7. században fellendült a társadalmi élet és

kultúra. Ez a korszak jelent®s szerepet játszik a tudomány fejl®désében. A

matematikában ekkor jelent meg a szám önmagában. Felmerült a görögökben

egy fontos kérdés, hogy �miért is kell így csinálni?�. A görögök munkái közül az

utókor számára nem sok maradt fenn. A görög matematika geometriai jelleg¶

volt. Megjelentek az arányok, felmerült az �összemérhetetlen� mennyiségek

fogalma is, ami irracionális arányt jelentett. Az ókori görögök felismerték,

hogy a kör területe egy olyan háromszög területével egyezik meg, amelynek

alapja a kör kerülete, magassága a kör sugara.

Meg kell említenünk a szicíliai Szürakúzai Arkhimédész (i.e. 287-212)

munkásságát, aki rokoni kapcsolatban állt az uralkodóval, így annak ud-

varában mindent megkapott, hogy életét �zikai, matematikai kutatásainak

szentelhesse. Az akkori kultúrközpontban, Alexandriában is megfordult, ahol

barátokat szerzett magának.

Arkhimédész kiemelked® m¶ve a �Módszer� nev¶ levél, melyre csak 1906-

ban bukkant rá Heiberg dán nyelvész Konstantinápolyban, a Jeruzsálemi

Szent Sír kolostor könyvtárában. Ebben a m¶vében a szerz® matematikai

felfedezéseit valamilyen mechanikai kisérlet alapján sejtette meg, és a megsej-

tett törvényt a matematika teljes szigorával igazolta.

�A gömbr®l és a hengerr®l� szóló értekezésében az általa megfogalma-

zott axiómákra támaszkodva határozta meg az egyenes henger, az egyenes

kör kúp, valamint a gömb felszínét és térfogatát. A számításaiban kétoldali

közelítést használt, és megállapította, hogy az egyenl® oldalú henger, a bele-

írható gömb és az egyenes körkúp térfogata úgy aránylanak egymáshoz, mint

6

3:2:1. Ezt az eredményt fejezte ki a sírkövére vésett ábra is.

�A körmérésr®l� cím¶ írásában a körbe írt szabályos sokszögek segítségével

közelítette meg a kör kerületét és területét. Ebben a m¶vében egy igen szép

gondolatmenet található a π közelít® értékének a meghatározására. Célját

egy 96 oldalú szabályos sokszög kerületének kiszámolásával érte el.

2.1. ábra.

Az 2.1. ábrán látható: r sugarú k körbe írt, szabályos n oldalú sokszög egy

középponti háromszöge, DCO, és a kör köré rajzolt szabályos n-szög egy

középponti háromszöge, ABO. A beírt sokszög egy oldalát an-nel, a körülírt

sokszög egy oldalát pedig An-nel jelöljük. Az ábrán látható még a beírt és

körülírt szabályos 2n oldalú sokszög egy részlete is. Ekkor a következ®ket

mondhatjuk:

DC = an; AB = An; DE = EC = a2n; GF = FK = A2n.

A BCF és BEO háromszögek hasonlósága miatt

A2n

2:An − A2n

2= r : OB,

ezért

A2n : (An − A2n) = r : OB. (2.1)

7

A BEO és CHO hasonlósága miatt

an2

:An2

= r : OB,

azaz

an : An = r : OB. (2.2)

A (2.1) és (2.2) aránypárból következ®en

A2n : (An − A2n) = an : An,

vagyisA2n

An − A2n

=anAn

,

ahonnan

A2n =anAnan + An

. (2.3)

A CED és CFE háromszögek hasonlósága miatt

an : a2n = a2n :A2n

2,

azazana2n

=2 · a2nA2n

,

ahonnan

a2n =

√an · A2n

2. (2.4)

A sokszögek kerületei tehát

kn = nan; Kn = nAn; k2n = 2na2n; K2n = 2nA2n.

A (2.3) és (2.4) összefüggések �gyelembevételével

K2n = 2nA2n =2nannAnnan + nAn

=2knKn

kn +Kn

,

és

k2n = 2n ·√an · A2n

2=

√4n2anA2n

2=√

2nannA2n =√knK2n.

8

A kerületekb®l és az oldalszámok további duplázásával keletkezett sok-

szögek kerületeib®l egy sorozat állítható el®:

Kn; kn; K2n; k2n; K4n; k4n; K8n; k8n; . . . .

Ezt a sorozatot Arkhimédészi sorozatnak nevezzük. Képzési szabálya a követ-

kez®képpen alakul: a harmadik tagjától kezdve minden páratlan sorszámú tag

közvetlen el®tte álló két tag harmonikus közepe, és minden páros számú tag a

közvetlen el®z® kett® mértani középarányosa. Arkhimédész az r sugarú körbe

írható szabályos hatszögb®l indult ki. Ekkor

K6 = 4r√3; k6 = 6r.

Vegyük most az r = 1 esetet, ekkor

K6 = 4√3; k6 = 6.

A hatszögekhez tartozó kör kerületére érvényes, hogy

4√3 > 2π > 6,

másképp

2√3 > π > 3.

Arkhimédész a K6-tal és a k6-tal kezd®d® tagokból kiszámította a sorozat

tagjait egészen a K96 és k96 kerületekig. A π értékét ezátal két korlát közé

szorította:K96

2> π >

k962.

Számítás közben a kerületekben szerepl®√3 értékét az

1351

780>√3 >

265

153

egyenl®tlenséggel becsülte, de nem tudjuk ez honnan származik, bizonyára

olyan m¶véb®l, amely még számunkra nem ismert. Végül a következ® becs-

léshez jutott:

310

71< π < 3

1

7.

Ez tizedestört alakban 3, 140845 < π < 3, 1428571.

9

2.3. Közel-Kelet, Iszlám országok

Kínában a π = 3 értéket sokszor használták még akkor is, amikor már

a pontos közelítését is ismerték, például a földmér®k π = 3 értékkel szá-

moltak. Az i.e. 2. században készült összefoglaló munkában (�Matematika ki-

lenc könyvben�) szerepel az a becslés, hogy a kör területe köré írt négyzetének34-e, ebb®l származik a π ≈ 3 érték. A gömb térfogatát a V = 9

16d3 képlettel

számolták, ami a π ≈ 278≈ 3, 375 közelítésnek felel meg.

Liu Ci (i.e.50- i.sz.23) csillagász 3,15-del számolt. Csang Heng csillagász

a π helyett√10-et vagy 92

29≈ 3, 1724 vett. Vang Fan a π-t 142

45≈ 3, 1556-nek

számította. A Han dinasztia elrendelte a mértékegységek egységesítését az

egész birodalomban, amelyet Liu Ci hajtott végre. Ekkor a π értéket is ren-

deletileg 3, 1546645 ≈ 3, 1547-nek állapították meg. Ez a számot az alábbiak

szerint számították ki: a régi mér®edények vizsgálata alapján meghatározták

egy 1,62 területegység (csi2) terület¶ kört. Ebbe berajzoltak egy egységnyi

terület¶ négyzetet. A kör átmér®je és a négyzet átlója közti különbség fele,

amit �résnek� neveztek, 0, 0095 csinek mutatkozott. Ezekb®l az adatokból a

kör átmér®je:

d =√2 + 2 · 0, 0095 ≈ 1, 4332.

Mivel a kör területének mér®száma 1,62, azért a

π · d2

4= 1, 62,

illetve a

π · 1, 43322

4= 1, 62

egyenletb®l π ≈ 3, 1547.

Közben akadtak olyan matematikusok, akik pontosabb közelítéseket ke-

restek a π-re, ide tartozik a 3. századi matematikus Lin Huj, aki egy 10

egységnyi sugarú körbe szabályos 192 oldalú sokszöget rajzolt, a kör területé-

nek alsó közelít® értékére a 313584625

-öt találta. Fels® közelítésnek azt a területet

vette, amelyet úgy nyert, hogy a beírt sokszög területéhez hozzáadta a ki-

maradt körszeletek köré írt téglalapok területösszegét. Ekkor a fels® összegre

10

314 64625

-öt kapott. A két érték számtani közepe közelít®leg 314, 0184, ennek

alapján a π ≈ 3, 14 közelítést vette.

Pontosabb számítást hajtott végre Cu Cseng-Cse, aki Liu Huj módszerét

a körbe írt 12288 és 24576 oldalú szabályos sokszögekre alkalmazta. Ekkor

a következ®t kapta: 3, 1415926 < π < 3, 1415927, és számításra a π ≈ 355113

közelít® törtet használta, amely már 7 tizedes jegyig pontos volt. A π-re sok-

féle közelítést adtak, ezáltal arra tudunk következtetni, hogy az ókori és a

középkori Kína matematikusai egymástól elszigetelten éltek, egymás ered-

ményeir®l vagy nem értesültek, vagy csak kés®n szereztek róla tudomást.

Indiában az 5-6. században Árjabhatta alkalmazta a kör területe (T),

kerülete (k) és átmér®je (d) közötti alábbi összefüggést: T = k2d2. A piramis

térfogatát a háromszögt®l vett helytelen analógiával úgy határozta meg, hogy

az alapterületet szorozza meg a magasság felével. A gömb térfogatát úgy

számította ki, hogy a gömbi félkör területét megszorozza a négyzetgyökével,

ami rossz. Árjabhattánál sorakoznak a helyes és helytelen állítások. A felada-

toknál azonban a 3,1416 értékkel számolt, ami a hinduk által kapott 9 tizedes

jegyre pontos, azaz π ≈ 10434833215

= 3, 1415926539.

Az iszlám országokban is történtek kutatások a π-vel kapcsolatban. A

perzsák 16 tizedes jegyig számították ki. Az arab matematikusok Arkhimédész

módszerét alkalmazták egy 180 oldalú, majd 720 oldalú szabályos sokszögre,

azonban kés®bb kiderült, hogy számolási hibát követtek el. Al-Kási Dzsamsid

Gijászaddín a numerikus számolás terén volt jártas a 15. században. 1427-ben

jelent meg �Az aritmetika kulcsa� cím¶ könyve, amelyben a tizedes törteket

ismertette, amelynek az ötlete Kínából származott. Igazán arra volt büszke,

hogy 16 tizedesjegy pontossággal adta meg a 2π tizedestörtjét. Kiszámította

egy 3 · 228 oldalú szabályos sokszög kerületét az �Értekezés a körr®l� cím¶

tanulmányában, és ezt elosztotta a sokszög köré írható kör sugarával. Így

kapta Al-Kási a következ® eredményt:

2π ≈ 6, 2831853071795685,

azaz

π ≈ 3, 14159265358979325.

11

Indiában 700 évnek kellett eltelnie, amíg egy említésre méltó nagy mate-

matikus született, Srínivásza Ramanudzsan (1887-1920), aki tanárait és tár-

sait csodálatba ejtette memóriájával. Ramanudzsan kapcsolatba került God-

frey Harold Hardy angol matematikussal, aki foglalkozott tehetségével és a

π-vel kapcsolatban számos összefüggést ismert.

Például egy jelent®s és meglep® felfedezése volt Ramanudzsannak:

1 +1

1 · 3+

1

1 · 3 · 5+ . . .+

1

1 · 3 · . . . · (2n− 1)+ . . .

végtelen sor és1

1 +1

1 +2

1 +3

1 + . . .

végtelen lánctört. Külön-külön semelyik sem függ össze az e számmal illetve

a π-vel, azonban az összegük

√π · e2

, ezt igazolta Ramanudzsan.

További sorok Ramanudzsantól:

π

4=∞∑n=0

(−1)n (1123 + 21460n) (2n− 1)!! (4n− 1)!!

8822n+132n (n!)3,

992√8π

=∞∑n=0

(4n)! (1103 + 26390n)

(n!)4 3964n.

2.4. Európa

A középkori Európában Kirik diakónus 1134-es jegyzeteiben szerepelnek

az égitestek térfogatának számításai Eratoszthenész mérései alapján, ebben

a π ≈ 3, 125 közelítését használták. Továbbá meg kell említeni Leonardo Fi-

bonacci (1170-1240) nevét, aki a középkor egyik legnevesebb matematikusa

volt. Nevér®l legtöbbeknek a Fibonacci-sorozat jut eszébe, de fontos szerepet

játszott a π értékének meghatározásában is. Fibonacci professzoroktól tanult

matematikát, beutazta Egyiptomot, Szíriát, Görögországot, hogy tanulmá-

nyozza a különböz® vidékek számítási módszereit. A �Patriarca gometriae�

12

cím¶ m¶vét 1228-ban írta, melyben helyreállítja a π valódi identitását, megem-

lítve, hogy a π értéke nem egészen pontosan 317, hanem csak megközelít®leg

annyi. Rámutat arra is, hogy a π értéke a 377120

aránnyal is közelíthet®. Ez az

érték az indiai Ariakhatától származik, ezt Fibonacci megemlíti könyvében,

említése arra vall, hogy ismerte az indiai matematikusok m¶veit is. Az el®bb

említett közelítésekkel Leonardo nem volt megelégedve, megnevezett egy har-

madik közelít® értéket: π = 864275≈ 3, 1418, amelyet maga számított ki. A

m¶vének tartalmából kiderül, hogy ismerte Arkhimédésznek az eljárását,

amellyel a körbe és a kör köré írt 96 oldalú szabályos sokszöget szerkesztett.

Számításai szerint a π értéke az alábbi arányok közé esik:

1440

45849

< π <1448

45815

,

amelyeknek megközelít® értéke 3,1418. Fibonacci tehát megállapította a π

els® három pontos tizedes jegyét.

A 15. században Nicolaus Cusanus több m¶vében foglalkozott a kör kerüle-

tének kiegyenesítésével, de csak egy eredménye volt jobb Arkhimédészénél.

Módszere eltért, Arkhimédész �x kerület¶ körbe és köré írt 3, 6, 12, . . . , 3 · 2n

oldalú sokszögekkel, Cusanus 4, 8, 16, . . . oldalú �x kerület¶ sokszögekbe és

köréjük írt körökkel számolt. Az r sugarú körben az α középponti szöghöz

tartozó körív i hosszára a következ® képletet adta:

i

r=

3 · sinα2 + cosα

.

A 16. században Francois Viète (1540-1603) francia matematikus munká-

jában, a �Canon mathematicus seu ad triangula�-ban ismertette Arkhimédész

eljárását, alkalmazva egy 393216 oldalú sokszögre, így meghatározva a π els®

kilenc pontos tizedes jegyét. Értékére a következ® határokat állapította meg:

3, 1415926535 < π < 3, 1415926537.

Ezután Adriaen van Roomen (1561-1615) 15 pontos tizedes jegyét ál-

lapította meg a π-nek �A sokszögek módszere� cím¶ könyvében, ehhez egy

230 = 1073741824 oldalú sokszöget használt.

13

Johannes Kepler (1517-1630) világhír¶ német csillagász, aki a bolygó-

mozgás törvényivel vált ismertté matematikai problémákkal is foglalkozott.

1615-ben megjelent a �Stereometria doliorum viorum� cím¶ munkája (A

boroshordók térmértana), ahol 92 különböz® alakú forgástest térfogatát számí-

totta ki. Célja, hogy rájöjjön azokra az alapötletekre, amelyeket Arkhimédész

még a bizonyítás el®tt megsejtett. A kör területére vonatkozó tétele szerint:

�A kör területének és az átmér® négyzetének aránya majdnem 11:14�. A π : 4

megközelítésére a 11 : 14 törtet használta, de ismert volt ennél jobb közelítés

is. Kepler véleménye szerint Arkhimédész a következ®képpen okoskodott.

2.2. ábra.

A 2.2. ábrán a körlap felbontható végtelen sok egybevágó (vagy nem egy-

bevágó) körcikkre. Igen vékony körcikkek keletkeznek, amelyek egyenl® szárú

háromszögek. Helyezzük körív alapjukkal a kiterített AB körkerületre úgy,

amint ezt az AkAk+1Ck háromszög mutatja. Toljuk el minden háromszög

Ck csúcspontját az AB-vel párhuzamosan a kör O középpontjába. Az így

nyert AkAk+1O háromszög területe ugyanakkora marad, mint az AkAk+1Ck

háromszög területe. Minden körcikkháromszöget így átalakítva, összességük

14

lefedi az ABO derékszög¶ háromszöget. A kör területe tehát akkora, mint

az ABO háromszögé, azaz r2 · π. Így r2 · π : 4 · r2 = π : 4, ami közelít®leg

11 : 14 ≈ 0, 7857142, amikor is π ≈ 3, 1428568.

Ludolph Van Ceulen (1540-1610) nem volt hivatásos matematikus. Arkhi-

médész módszerét alkalmazta egy 32 milliárd 512 millió oldalú sokszögre,

ezzel megállapította a π értékének 20 pontos tizedes jegyet, az eredményt

1596-ban hozta nyilvánosságra, de halála után kéziratában további 15 tizedes

számjegyet találtak még. A π-t emiatt hosszú id®n át Ludolph- féle számnak

is nevezték.

Christian Huygens (1629-1695) �zikus, csillagász és matematikus, �De

circuli magnitudine inventa� cím¶ könyvében megállapította hatszögre alkal-

mazva a π pontos 9 tizedesjegyét. A π meghatározására Descartes is kigondolt

egy módszert, amit Euler és más híres matematikusok is használtak, ez a

módszer az azonos kerület¶ sokszögek módszere, amely a következ® elgon-

doláson alapul: ugyanakkora kerület¶ n és 2n oldalú szabályos sokszögeket

tekintenek, és megállapítják a sokszögekbe és a sokszögek köré írt körök suga-

rai közötti összefüggést.

Az alábbi lánctört, mely megtalálható Wallis 1655-ben megjelent �Arith-

metica in�nitorum� cím¶ könyvében, egyik barátja William Brouncker nevéhez

f¶z®dik:4

π= 1 +

2

2 +32

2 +52

2 +72

2 +92

2 + . . .

.

James Gregory (1638-1675) skót matematikus és csillagász, aki 1667-ben

adta ki �Vera circuli et hyperbolae quadratura� cím¶ könyvét, 1670-ben meg-

találta azt a sort, amely megadja az arctg x-t az x ív által:

arctg x = x− x3

3+x5

5− x7

7+ . . . .

Gregory azonban nem látta, hogy ezt a sort kapcsolatba lehet hozni a π-vel,

ezt kés®bb Gottfried Wilhelm Leibniz fedezte fel, melyet 1682-ben az �Acta

15

eruditorum�-ban közölt:

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ . . . .

Thomas Fautat De Lagny (1660-1743), aki különböz® algebrai és geometriai

problémákkal fogalkozott, kés®bb megállapította, hogy ez a sor nem alka-

lmazható a π szám közelít® értékének kiszámítására.

Newton (1642-1727) munkái páratlanul nagy hatást gyakoroltak a mate-

matikai és �zikai tudományok fejl®désére. Számos felfedezés köszönhet® New-

tonnak, többek között a di�erenciálszámítás és az általános tömegvonzás

törvénye. A Newton által felfedezett:

arcsinx = x+1

2 · 3· x3 + 1 · 3

2 · 4· x5 + 1 · 3 · 5

2 · 4 · 6· x7 + . . . ,

amelyben ha x = 12, akkor a

π

3= 1 +

1

23 · 3+

3

27 · 5+

5

210 · 7+ . . .

számsor adódik, amelynek segítségével könnyedén ki lehetett számolni a π

els® 14 tizedes számjegyét.

Abraham Sharp (1651-1742) könyveléssel foglalkozott, amikor Flamsteed

csillagász felfedezte ®t. Sharp a 3000 csillag katalógusán dolgozott, és loga-

ritmus, sinus és tangens tálázatokat készített, melyeket 1717-ben közölt. A

logaritmus táblázatokat felhasználva számította ki a π tizedes számjegyeit.

Sharp, aki Gregory képletét alkalmazta, az x =√

13érték behelyettesítésével

az alábbi sort kapta:

π

6=

√1

3·(1− 1

3 · 3+

1

32 · 5− 1

33 · 7+ . . .

).

A sor tagjainak összegzésével meghatározta a π szám 72 tizedes számjegyét.

John Machin csillagász a π-nek 100 tizedes jegyét számította ki az alábbi

formulát alkalmazva

arctg 1 =π

4= arctg

1

5− arctg

1

239,

16

az arctg 15és az arctg 1

239sorbafejtésével a következ® sort kapta:

π

4= 4 ·

(1

5− 1

3 · 53+

1

5 · 55− 1

7 · 57+ . . .

)−(

1

239− 1

3 · 2393+ . . .

).

W. Oughtred (1647) a π-t πσ-val jelölte, a π-n a �periferia� szó kezd®bet¶jét

értette, σ-n pedig a �diaméter� kezd®bet¶jét, jel®lését a matematikusok elfo-

gadták. De Moivre a hányadost cr-rel jelölte. A mai π-vel való jelölést Euler

használta, amelyet William Jones nyomán vezetett be.

Machin után Lagny volt, aki 128 tizedesjegyig jutott el a számjegyek

ismertetésében. Euler fedezte fel, hogy Lagny tévedett a 113. számjegynél,

mivel 7-es helyett 8-as szerepelt.

Heinrich Lambert német matematikus 1766-ban igazolta a π irracionali-

tását. 1794-ben Legendre pontosabb bizonyítást ad, mint Lambert a π és a π2

irracionális voltára. Laplace (1749-1825) a 19. században a valószín¶ségszámí-

tásnak új lendületet adott. 1774-t®l számos tanulmányt írt ebben a témában

és 1821-re összeállt �A valószín¶ség analitikai elmélete� cím¶ m¶ve, majd

ezt követte �A valószín¶ség �lozó�ai esszéje�. Laplace ebben ismerte fel, hogy∫ +∞−∞ ex

2dx valószín¶ség görbe alatti területe

√π. Ferdinand Lindemann német

matematikus (1852-1939) felfedezte, hogy a π szám transzcendens, azaz nem

létezik olyan racionális együtthatós polinom, amelynek a π gyöke lenne.

Eközben tovább folytatódott a π tizedesjegyeinek meghatározása. Vega

140 tizedesjegyet számított ki, de az utolsó 4 nem bizonyult pontosnak. 1841-

ben William Rutherford 208 tizedesjegyet közölt, aki a

π

4= 4arctg

5

70− arctg

1

70+ arctg

1

99

képlettel dolgozott. Z. Dase kimutatta, hogy a 152. tizedesjegyt®l tévedett.

Két hónapnyi számolás után 200 tizedesjegyet határozott meg pontosan az

alábbi formula segítségével:

π

4= arctg

1

2+ arctg

1

5+ arctg

1

8.

1847-ben Thomas Clausen 250 tizedes számjegyet számolt ki, ebb®l 248 pon-

tos volt. Z. Dase 1853-ban már 440 tizdes számjegyig jutott el.

17

A csúcseredmény 1853 William Shanks nevéhez füz®dik, aki 607 tizedes

jegyet közölt, de 1873-ban ezt még növelni tudta 707 tizdesjegyig. 1944-ben az

angol Fergusson megmutatta, hogy Shanks az 528. tizedest®l tévedett. 1958-

ban elektronikus számítógépek segítségével a π-nek 10000 tizedes számjegyét

állapították meg. Az els® 3000 számhoz 10 percre volt szükség.

2.5. Napjainkban

A π tizedesjegyeinek meghatározása a 20. században is folytatódott szu-

perszámítógépek segítségével. 1949-ben George Reitwiesner a marylandi Bal-

lisztikai Kutató Laboratóriumban meghatározta a π értékét 2037 tizedes jegy-

nyi pontossággal, amelyben az els® általános digitális számítógép az ENIAC

volt segítségére. Neumann János az ENIAC egyik fejleszt®je volt, ugyanebben

a kutató laboratóriumban a π tizedesjegyeinek sorrendi összefüggéseit ke-

reste, de sikertelenül. 1950-ben Daniel Shanks és ifjabb John W. Wrench

együtt kiszámították a π els® százezer tizedes jegyét egy IBM 7090 számítógép

segítségével, de rendszert vagy ismétl®dést ®k sem találtak. A verseny szün-

telenül folytatódott a tizedes jegyek meghatározásában 1981-ig, amikor Ya-

sumasa Kanada, a Tokiói Egyetem számítógép tudósainak vezet®je egy japán

gyártmányú NEC szuperszámítógéppel meghatározott kétmillió számjegyet.

1984-ben Kanada és csapata 16 millió számjegyig jutott el, meg�gyelések

nélkül. 1985-ben William Gosper matematikus és ismert számítógépzseni, a

kaliforniai Sunnyvale-ben székel® Symbolics Inc. alkalmazottja meghatározta

a π-t 17,5 millió tizedesjegynyi pontossággal egy Symbolics számítógépet al-

kalmazva.

1986-ban David H. Bailey a NASA-nál egy Cray 2 szuperszámítógépet

felhasználva és a Jonathan és Peter Borwein testvérpáros által felfedezett

algoritmust alkalmazva eljutott 29 millió tizedesjegyig, de semmi szokatlant

nem talált. 1987-ben Kanada és csapata 134 millió számjegyig jutott egy NEC

SX-2 szuperszámítógéppel, de most sem fedeztek fel szabályosságot. 1988-ban

Kanada továbbment, de 200 millió számjegy után sem láttak különösebb

18

dolgot, majd 1989 tavaszán a Chudnovsky testvérek váratlanul bejelentették

480 milliós világrekordjukat, azonban ®k sem találtak semmit.

Gregory Chudnovskynak saját szuperszámítógépe volt, melynek létre-

hozásában bátyja, David segített, számítógépüknek az m-zero nevet adták,

melyet a π meghatározására alkalmaztak, számítógépüket folyamatosan újí-

tották. Kanada és csapata egy Hitachi szuperszámítógéppel a Chudnovsky

testvéreket maguk mögött hagyva új rekordot állítottak fel 536 millió tizedes

jeggyel. Chudnovskyék folyamatosan dolgoztak és hamarosan elérték az egy-

milliárd számjegyet, de Kanada és csapata még ezen is túltettek. A Chud-

novsky testvérek újabb világrekordot állítottak fel, 1989 ®szén 1130160664

tizedes jeggyel. Az eredményüket 1500 darab mágneslemezen tárolták a lakás-

ban, a lemezeken 300 ezer oldal fért el, persze itt csak egyetlen szám van

tárolva. 1991 nyarának végén a Chudnovsky testvérek abbahagyták π felfedez®

kísérletüket. Kiszámították a π els® kétmilliárd-kétszázhatvanmillió-három-

százhuszonegyezer-háromszázharminchat számjegyét. Ez a teljesítmény vi-

lágrekordnak számított, megduplázva az el®z®, 1989-es eredményüket. A test-

vérek ideiglenesen túlszárnyalták versenytársukat, Yasumasa Kanadát, ami

igen rendkívüli eredmény, ha �gyelembe vesszük, hogy Kanada egy 500 kW-os

Hitachi óriásgéppel dolgozhatott, amely egy Cray-nél is gyorsabban m¶ködött.

Kanada elimeréssel nyilatkozott a Chudnovsky-testvérek eredményér®l.

A π eddig kiszámított egymás után következ® számjegyei között el®fordul

néhány érdekes részlet: többször is szerepel a 01234567890 és a 09876543210;

egyszer 314159265358; egyszer a 27828182845, ami az e természeti állandó

els® néhány jegye; egyszer az 111111111111; egyszer a 666666666666; egyszer

a 777777777777; egyszer a 888888888888; egyszer a 999999999999 fordul el®.

1996-ban Bailey, Borwein és Plou�e egy olyan számítási algoritmust mu-

tatott be, amelynek segítségével kiszámítható a π tetsz®leges számjegye (16-

os számrendszerben) az el®z® számjegyek ismerete nélkül, de 1997-re Plou�e

megoldotta ugyanezt tizes számrendszerben is:

π =∞∑k=0

1

16k

(4

8k + 1− 2

8k + 4− 1

8k + 5− 1

8k + 6

).

19

1988 óta március 14-én ünnepeljük a kör kerületének és átmér®jének hánya-

dosát, a legendás π számot. Érdekesség, hogy 1879-ben ezen a napon született

Albert Einstein. A szám rajongói nemcsak nemzetközi napot alapítottak a

π-nek, hanem többek között verseket és dalokat is írtak. 1988-ban Darren

Aronofsky �lmet is forgatott a híres számról.

2002. decemberében már meghatározták 1241100000000 számjegyét szu-

perszámítógép segítségével a Tokiói Egyetemen. 2009 augusztusában, egy

japán szuperszámítógépnek az úgynevezett Open T2K-nak köszönhet®en a π

számjegyeinek rekordja 2576980377524 lett. 2009 decemberében ezt a rekor-

dot sikerült túlszárnyalnia Fabrice Bellardnak otthoni számítógén, melynek

köszönhet®en 2699999990000 tizedes számjegyét ismertette a π-nek.

Máig megoldatlan kérdés, hogy a π normális szám-e, azaz a számjegyei

között azonos gyakorisággal szerepelnek-e a 0, 1, . . . , 9 számjegyek.

20

3. fejezet

A π néhány el®állítása

3.1. Leibniz-sor

Gottfried Wilhelm Leibniz (1647-1716) polihisztor volt: jogász, történész,

�zikus, matematikus egy személyben. 1672-ben diplomataként Párizsban járt,

ott ismerkedett meg Huygensszel, akinek barátja és tanítványa volt. Fi-

gyelemre méltó geometriai és algebrai felfedezései voltak, és különös érdek-

l®déssel viseltetett a technika iránt. Az el®z® fejezetben már szót ejtettünk

a Leibniz által felfedezett sorról, aki a sort 1682-ben közölte, de már jóval

el®tte felfedezte.

1. Tétel. A Leibniz-sor:

∞∑k=0

(−1)k

2k + 1= 1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9− . . . = π

4.

Bizonyítás. Tekintsük a q = −x2 hányadosú mértani sorozatot, melynek

tagjai:

1; −x2; x4; −x6; x8; . . . .

Az els® n tag összege a mértani sorozatok összegképlete alapján:

Sn := anqn − 1

q − 1= 1

qn − 1

q − 1=qn − 1

q − 1.

21

A végtelen mértani sorozat összege, ha |q| < 1,

limn→∞

Sn = limn→∞

qn − 1

q − 1=

0− 1

q − 1= − 1

q − 1=

1

1− q.

Behelyettesítve (−x2)-et (|x| < 1)

limn→∞

Sn = − 1

−x2 − 1=

1

x2 + 1.

Az összegre |x| < 1 esetén tehát felírható, hogy

1− x2 + x4 − x6 + x8 − . . . = 1

x2 + 1.

Mindkét oldalt integrálva:∫(1− x2 + x4 − x6 + x8 − . . .)dx =

∫1

x2 + 1dx.

Az integrálás hatványsorokra tagonként elvégezhet®, így∫1dx−

∫x2dx+

∫x4dx−

∫x6dx+

∫x8dx− . . . =

∫1

x2 + 1dx,

azaz

x− x3

3+x5

5− x7

7+x9

9− . . .+ C = arctg x.

Az x = 0 helyettesítéssel C = 0 adódik.

3.2. Viète-féle végtelen szorzat

Francois Viète (1540-1603) francia matematikus, aki már ifjú korában

érdekl®dött a csillagászat iránt, ekkor kezdett foglalkozni els®sorban a csil-

lagászathoz szükséges trigonometriával, de szabadidejében még a matematika

egyéb területeivel is foglalkozott. Matematikai munkásságát az �In artem ana-

lyticam isagoge� m¶vében foglalta össze, melyet részletekben közölt. Az el®z®

fejezetben megemlítettem már, hogy ® is alkalmazta Arkhimédész eljárását.

A Viète-féle szorzat a π közelítésére alkalmas.

2. Tétel. Viète-féle végtelen szorzat:

2

π=

√1

2·

√1

2+

1

2

√1

2·

√√√√1

2+

1

2

√1

2+

1

2

√1

2. . . .

22

Bizonyítás.A 3.1. ábrán az r sugarú körbe rajzolt n oldalú szabályos sokszög

területe:

Tn =n · r2

2· sin ·2π

n= n · r2 · sin π

n· cos π

n.

3.1. ábra.

A kétszer akkora oldalszámú, ugyancsak az r sugarú körbe írt szabályos sok-

szög területe:

T2n =2n · r2

2· sin π

n= n · r2 · sin π

n,

következésképpen

Tn : T2n = cosπ

n.

Legyen a kezedeti sokszög négyzet, amelynek területe

T4 = 2r2.

Az oldalszámot folyton kett®zve

T4 : T8 = cosπ

4,

T8 : T16 = cosπ

8,

T16 : T32 = cosπ

16,

23

...

Tn : T2n = cosπ

n,

ahol

n = 2k+1; k = 1, 2, . . . .

A fenti arányokat összeszorozva:

T4 : T2n = cosπ

4· cos π

8· cos π

16· . . . · cos π

n.

Ezután vegyük �gyelembe, hogy T4 = 2r2 és hogy n, illetve k növelésével,

T2n tetsz®legesen megközelíti r2π-t, az r sugarú kör területét, így

2r2

r2π=

2

π=

T4T2n

= cosπ

4· cos π

8· . . . · cos π

n,

vagyis2

π=

cos π

4· cos π

8· . . . .

Mivel

cosα

2=

√1 + cosα

2,

ezért

cosπ

4=

√2

2,

cosπ

8=

√1 + cos π

4

2=

√2 +√2

4=

√1

2+

1

2· 1√

2,

...

Így kapjuk, hogy

2

π=

√1

2·

√1

2+

1

2

√1

2·

√√√√1

2+

1

2

√1

2+

1

2

√1

2. . . .

24

3.3. Euler-sor

Leonhard Euler (1707-1783) svájci matematikus és �zikus, a matema-

tikatörténet egyik legjelent®sebb alakja. Annak ellenére, hogy élete vége felé

mindkét szeme világát teljesen elvesztette, munkakedve töretlen maradt. Káp-

rázatos memóriával és bels® látással diktálta m¶veit.

3. Tétel. Az Euler-sor:∞∑n=1

1

n2=π2

6.

Ez az 1734-es eredmény Leonhard Euler egy klasszikus, híres és fontos tétele.

1. Bizonyítás. A most kövezkez® bizonyítás 1956-ban jelent meg William

J. LeVeque számelmélet feladatgy¶jteményében feladatként. A bizonyítás az

I :=

∫ 1

0

∫ 1

0

1

1− xydxdy

kett®s integrál kétféle kiszámításán alapul.

Az els®höz az 11−xy kifejezést mértani sorrá fejtjük

I =

∫ 1

0

∫ 1

0

∞∑n=0

(xy)ndxdy =∞∑n=0

∫ 1

0

∫ 1

0

xnyndxdy.

Az összeadandókat szorzatokra bontjuk, majd integrálunk:

∞∑n=0

(∫ 1

0

xndx

)·(∫ 1

0

yndy

)=

=∞∑n=0

(1

n+ 1− 0

)·(

1

n+ 1− 0

).

Ekkor a következ®t kaptuk

I =∞∑n=0

1

n+ 1· 1

n+ 1=∞∑n=0

1

(n+ 1)2=∞∑n=1

1

n2.

A számítás azt is mutatja, hogy a (pozitív függvényen vett, x = y = 1 pólusú)

kett®s integrál véges.

25

Az I másik kiszámításához új koordinátákat vezetünk be, melyek u := y+x2

és v := y−x2. Az integrálási tartomány egy 1

2

√2 oldalú négyzet, melyet az

eredeti tartományból kapunk meg úgy, hogy a koordinátarendszert 45◦-kal

elforgatjuk, majd√2-ed részére kicsinyítjük. Behelyettesítve x = u − v-t és

y = u+ v-t

1− xy =1

1− (u− v) (u+ v)=

1

1− u2 + v2

adódik. Az integrál átalakításához dxdy-t 2dudv-vel kell helyettesíteni, hogy

kompenzáljuk a koordináta-transzformáció miatti területfelez®dést, ugyanis

a transzformáció Jacobi-determinánsa 2. A Jacobi-determináns kiszámítása

a következ®képpen történik. Az

x = x (u, v) ; y = y (u, v)

változókat behelyettesítjük, ekkor∫T

f (x (u, v) , y (u, v))

∣∣∣∣d (x, y)d (u, v)

∣∣∣∣ dudv,ahol

d (x, y)

d (u, v)=

∣∣∣∣∣∣∣dx

du

dx

dvdy

du

dy

dv

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ 1 −11 1

∣∣∣∣∣ = 2.

Az új integrálási tartomány és az integrálandó függvény az u tengelyre

nézve szimmetrikusak, ezért kétszer kell a tartomány fels® felében kiszámítani

az integrált, melyet természetes módon vágunk két részre:

I = 4

∫ 12

0

(∫ u

0

dv

1− u2 + v2

)du+ 4

∫ 1

12

(∫ 1−u

0

dv

1− u2 + v2

)du.

Felhasználva, hogy ∫dx

a2 + x2=

1

aarctg

x

a+ C,

akkor

I = 4

∫ 12

0

1√1− u2

arctg

(u√

1− u2

)du+

+4

∫ 1

12

1√1− u2

arctg

(1− u√1− u2

)du

26

kapunk. Az integrálokat egyszer¶bbé tehetjük és végül kiszámíthatjuk, ha

u = sin θ-t illetve u = sin θ-t helyettesítünk. Azonban másképp is tovább

haladhatunk, ha közvetlenül kiszámítjuk, hogy a

g (u) = arctg

(u√

1− u2

)függvény deriváltja

g′ (u) =1√

1− u2,

míg a

h (u) = arctg

(1− u√1− u2

)= arctg

(√1− u1 + u

)deriváltja

h′ (u) = −1

2

1√1− u2

.

Használhatjuk tehát az∫ b

a

f ′ (x) f (x) dx =

[1

2f (x)2

]ba

=1

2f (b)2 − 1

2f (a)2

formulát, és így

I = 4

∫ 12

0

g′ (u) g (u) du+ 4

∫ 1

12

−2h′ (u)h (u) du =

= 2[g (u)2

] 12

0− 4

[h (u)2

]112

,

ahonnan

I = 2g

(1

2

)2

− 2g (0)2 − 4h (1)2 + 4h

(1

2

)2

=

= 2(π6

)2− 0− 0 + 4

(π6

)2=π2

6.

Ebb®l a bizonyításból integrálással kaptuk meg az Euler-sor értékét, egy

viszonylag egyszer¶ koordináta-transzformációval. Egy ehhez hasonló jelleg¶

zseniális bizonyítást talált kés®bb Beukers, Calabi és Kolk, melyben egy

27

egyáltalán nem triviális koordináta-transzformációt használtak. Bizonyítá-

suk kiindulópontja a∑∞

n=11n2 sor felbontása páros és páratlan tagokra. Páros

tagok:1

22+

1

42+

1

62+ . . . =

∞∑k=1

1

(2k)2=

1

4

∞∑k=1

1

k2,

páratlan tagok:1

12+

1

32+

1

52+ . . . =

∞∑k=0

1

(2k + 1)2.

Mivel∞∑k=1

1

k2=

1

4

∞∑k=1

1

k2+∞∑k=0

1

(2k + 1)2

azaz3

4

∞∑k=1

1

k2=∞∑k=0

1

(2k + 1)2.

Így az Euler-sor ekvivalens a páratlan tagokra vonatkozó következ® egyen-

l®séggel:∞∑k=0

1

(2k + 1)2=π2

8.

2. Bizonyítás. Az összeget kifejezhetjük egy kett®s integrállal, mint azt az

el®z® bizonyításban is tettük

J =

∫ 1

0

∫ 1

0

1

1− x2y2dxdy =

∞∑k=0

1

(2k + 1)2.

A J integrált kell kiszámítani. Beukers, Calabi és Kolk az alábbi új ko-

ordináták bevezetését javasolták:

u := arccos

√1− x21− x2y2

v := arccos

√1− y21− x2y2

.

A kett®s integrál kiszámításakor nem vesszük �gyelembe az integrálási tar-

tomány határát. Az x-et és y-t a 0 < x < 1 illetve 0 < y < 1 tartományban

vizsgáljuk, ekkor u és v az u > 0, v > 0, u+ v < π2háromszögben fekszik. A

koordináta-transzformáció explicit inverze a következ® helyettesítéshez vezet:

x =sinu

cos vy =

sin v

cosu.

28

Ez a képlet bijektív transzformációt ad meg az S = {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 1}egységnégyzet belseje és a T =

{(u, v) : u, v ≥ 0, u+ v ≤ π

2

}háromszög belseje

között. Ezután a koordináta-transzformáció Jacobi determinánsát kell kiszámí-

tani: ∣∣∣∣∣∣∣cosu

cos v

sinu sin v

cos2 vsinu sin v

cos2 u

cos v

cosu

∣∣∣∣∣∣∣ = 1− sin2 u sin2 v

cos2 u cos2 v= 1− x2y2.

Ez azt jelenti, hogy a kiszámítandó integrál

J =

∫ π2

0

∫ π2−u

0

1dudv

alakba írható, amely a T háromszög1

2

(π2

)2=π2

8területével egyenl®.

3.4. Wallis-formula

John Wallis (1616-1703) angol matematikus, aki nagy csodálója volt a

görög matematikusoknak, kiadta Arkhimédész, Ptolemaiosz és Arisztarkhosz

munkáinak egy részét. 1673-ban közétette a �De algebra tractatus, historicus

et practicus�-t.

Wallis-formula:

π

2=

2

1· 23· 43· 45· 65· . . . =

∞∏n=1

(2n) (2n)

(2n− 1) (2n+ 1).

4. Tétel.

π = limn→∞

[2 · 4 · . . . · 2n

1 · 3 · . . . · (2n− 1)

]2· 1n.

Bizonyítás. Vezessük be az: In =∫ π0sinn x minden n ∈ N-re. Ekkor I0 = π

és I1 = cos 0− cosπ = 2. Ha n ≥ 1, akkor

In+1 =

∫ π

0

sin2 x · sinn−1 xdx =

∫ π

0

(1− cos2 x

)· sinn−1 dx =

=

∫ π

0

[sinn−1 x− cos2 x · sinn−1 x

]dx =

29

= In−1 −∫ π

0

cosx ·[sinn−1 x · cosx

]dx.

A parciális inetegrálás képletét alkalmazva∫ π

0

cosx ·[sinn−1 x · cosx

]dx =

∫ π

0

cosx ·(1

n· sinn x

)′dx =

=

[cosx · 1

n· sinn x

]π0

−∫ π

0

1

n· sinn x · (− sinx) dx =

= 0 +1

n· In+1.

Azt kapjuk, hogy

In+1 = In−1 −1

n· In+1,

amib®l

In+1 =n

n+ 1· In−1.

Így ∫ π

0

sin2n−1 xdx =2 · 4 · . . . · (2n− 2)

1 · 3 · . . . · (2n− 1)· 2 (n ∈ N) ,∫ π

0

sin2n xdx =1 · 3 · . . . · (2n− 1)

2 · 4 · . . . · 2n· π

(n ∈ N+

),

és ∫ π

0

sin2n+1 xdx =2 · 4 · . . . · 2n

1 · 3 · . . . · (2n+ 1)· 2 (n ∈ N) .

Mivel

sin2n−1 x ≥ sin2n x ≥ sin2n+1 x

minden x ∈ [0, π]-re, ezért

2 · 4 · . . . · (2n− 2)

1 · 3 · . . . (2n− 1)· 2 ≥ 1 · 3 · . . . (2n− 1)

2 · 4 · . . . · 2n· π ≥ 2 · 4 · . . . · 2n

1 · 3 · . . . · (2n+ 1)· 2,

amib®l[2 · 4 · . . . · 2n

1 · 3 · . . . (2n− 1)

]2· 1n≥ π ≥

[2 · 4 · . . . · 2n

1 · 3 · . . . · (2n− 1)

]2· 2

2n+ 1

következik. JelöljükWn-nel a[

2·4·...·2n1·3·...·(2n−1)

]2· 1nsorozatot. EkkorWn ≥ π ≥ W ·

22n+1

, vagyis π ≤ Wn ≤ π · 2n+12n

, így a rend®rszabály szerint limn→∞Wn = π.

30

4. fejezet

A π irracionalitása

A π irracionalitását már Arisztotelész is sejtette, amikor a kör sugaráról

és kerületér®l azt állította, hogy nem összemérhet®k. Az els® bizonyítást erre

az alapvet® tulajdonságra Johann Heinrich Lambert adta 1766-ban. A mi bi-

zonyításunk 1947-b®l, Ivan Nivent®l származik: rendkívül elegáns bizonyítás,

mely elemi analízist használ. A módszer hatékony és valamivel több is kijön

bel®le, mint azt mind Iwamoto, mind Koksma megmutatta: π2 irracionális

(ez er®sebb állítás) és er irracionális minden r 6= 0 racionális számra.

5. Tétel. π2 irracionális.

A tétel bizonyításához az alábbi lemmára van szükség:

1. Lemma. Valamely rögzített n ≥ 1-re legyen

f (x) =xn (1− x)n

n!.

Ekkor

• Az f (x) függvény f (x) = 1n!

∑2ni=n cix

i alakú polinom, ahol a ci együtt-

hatók egészek.

• 0 < x < 1 esetén 0 < f (x) < 1n!

teljesül.

• Az fk (0) és az fk (1) minden k ≥ 0-ra egészek.

31

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy π2 =a

b, ahol a, b > 0 egészek. Most az

F (x) := bn(π2nf (x)− π2n−2f 2 (x) + π2n−4f 4 (x)∓ . . .

)polinomot fogjuk használni, mely láthatóan kielégíti az

F ′′ (x) = −π2F (x) + bnπ2n+2f (x)

azonosságot. A lemma harmadik állítása miatt F (0) és F (1) egészek. Elemi

deriválási szabályok alapján

d

dx[F ′ (x) sinπx− πF (x) cosπx] =

(F ′′ (x) + π2F (x)

)sin πx =

= bnπ2n+2f (x) sinπx = π2anf (x) sinπx.

Így ezt kaptuk:

N := π

∫ 1

0

anf (x) sinπxdx =

[1

πF ′ (x) sinπx− F (x) cosπx

]10

=

= F (0) + F (1) ,

ami egész. Továbbá N pozitív, hiszen egy (a határokat leszámítva) pozitív

függvény integráljaként de�niáltuk. Ha azonban n-et olyan nagynak választjuk,

hogy πan

n!< 1 legyen, a lemma második állításából

0 < N < π

∫ 1

0

anf (x) sinπxdx <πan

n!< 1

adódik, ami ellentmondás.

32

5. fejezet

Összefoglalás

A szakdolgozatban betekintést nyertünk a π történetébe, illetve megis-

merhettük annak néhány el®állítását bizonyítással együtt. Találkozhattunk

olyan híres tudósokkal, akik a π felfedezésében jelent®s eredményt értek el,

mégis a tudomány más területén váltak ismertté, többek között �zikusként,

csillagászként emlékezünk rájuk.

33

Irodalomjegyzék

[1] Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Bizonyítások a könyvb®l, Typo-

tex, Budapest (2004)

[2] Laczkovich Miklós, T. Sós Vera: Analízis II., Nemzeti Tankönyvki-

adó, Budapest (2007)

[3] Florica T. Cimpan: A π története, Albatrosz Könyvkiadó (1971)

[4] Sain Márton: Nincs királyi út!, Gondolat, Budapest (1986)

[5] Dörrie, H.: A diadalmas matematika, Gondolat, Budapest (1965)

Internetes oldalak

[6] http://hu.wikipedia.org/wiki/Pi_(szam) [2010.04.20]

[7] http://wadanet.com/hasegawa/chud.htm [2010.04.20]

[8] http://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm [2010.04.20]

[9] http://t-t.freeweb.hu/minden/tudom/pii03.htm [2010.04.20]

[10] http://napipille.blog.hu/2010/03/14/nemzetkozi_pi_nap [2010.04.20]

34