∆ακτύλιοιΚυρίωνΙδεωδώνκαι...

27
Κεφάλαιο 10 Δακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήμαντης Ανάλυσης 10.1 Συνοπτική Θεωρία Η παρούσα ενότητα είναι αφιερωμένη στην υπενθύμιση ασικών εννοιών και αποτελεσμάτων από τη ϑεωρία περιοχών κυρίων ιδεωδών και περιοχών μονοσήμαντης ανάλυσης ή παραγοντοποίησης. Στην παρούσα ενότητα, R = (R , +, ·) συμβολίζει έναν μεταθετικό δακτύλιο, όπως πάντα με μονάδα 1 R 6= 0 R . 10.1.1 Περιοχές Κυρίων Ιδεωδών Προφανώς το μηδενικό ιδεώδες 0 = ' 0 = (0) και ο δακτύλιος R = (1 R ) είναι κύρια ιδεώδη. Επειδή ο δακτύλιος R είναι μεταθετικός, ένα κύριο ιδεώδες I = (r ) του R ϑα είναι της μορφής : I = (r ) = ' rx R | x R = ' xr R | x R Ορισμός 10.1.1. ΄Ενας μεταθετικός δακτύλιος καλείται δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, αν κάθε ιδεώδες του είναι κύριο. Μια ακέραια περιοχή η οποία είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, καλείται περιοχή κυρίων ιδεωδών. Παράδειγμα 10.1.2. 1. Κάθε σώμα είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μόνα ιδεώδη ενός σώματος R είναι τα τετριμμένα, ' 0 = (0) και R = (1), τα οποία είναι κύρια. 2. Θεωρούμε τον δακτύλιο Z των ακεραίων. Επειδή τα ιδεώδη του δακτυλίου Z των ακεραίων, συμπίπτουν με τις υποομάδες της προσθετικής ομάδας (Z, +), έπεται ότι τα ιδεώδη του Z είναι τα εξης : nZ = (n) = ' nk Z | k Z , n = 0,1,2,3, ··· Με άλλα λόγια τα ιδεώδη του Z είναι όλα κύρια, και επομένως ο δακτύλιος Z είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. p Πρόταση 10.1.3. ΄Εστω ότι K είναι ένα σώμα. Τότε ο δακτύλιος πολυωνύμων K[t ] και ο δακτύλιος K[[t ]] των τυπικών δυναμοσειρών υπεράνω του K είναι περιοχές κυρίων ιδεωδών. Παρατήρηση 10.1.4. Οι δακτύλιοι πολυωνύμων K[t 1 , t 2 , ··· , t n ], n 2, όπου K είναι σώμα, δεν είναι περιο- χές κυρίων ιδεωδών. Παρόμοια ο δακτύλιος πολυωνύμων R [t ] δεν είναι γενικά περιοχή κυρίων ιδεωδών, αν η ακέραια περιοχή R δεν είναι σώμα (π.χ. αν R = Z). N 437

Transcript of ∆ακτύλιοιΚυρίωνΙδεωδώνκαι...

  • Κεφάλαιο 10

    ∆ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών καιΠεριοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης

    10.1 Συνοπτική Θεωρία

    Η παρούσα ενότητα είναι αφιερωµένη στην υπενθύµιση ϐασικών εννοιών και αποτελεσµάτων από τη ϑεωρίαπεριοχών κυρίων ιδεωδών και περιοχών µονοσήµαντης ανάλυσης ή παραγοντοποίησης.

    Στην παρούσα ενότητα, R = (R,+, ·) συµβολίζει έναν µεταθετικό δακτύλιο, όπως πάντα µε µονάδα 1R 6=0R .

    10.1.1 Περιοχές Κυρίων Ιδεωδών

    Προφανώς το µηδενικό ιδεώδες 0= {0}= (0) και ο δακτύλιος R = (1R ) είναι κύρια ιδεώδη. Επειδή ο δακτύλιοςR είναι µεταθετικός, ένα κύριο ιδεώδες I = (r ) του R ϑα είναι της µορφής:

    I = (r ) = {r x ∈ R | x ∈ R}= {xr ∈ R | x ∈ R}Ορισµός 10.1.1. ΄Ενας µεταθετικός δακτύλιος καλείται δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, αν κάθε ιδεώδεςτου είναι κύριο. Μια ακέραια περιοχή η οποία είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, καλείται περιοχή κυρίωνιδεωδών.

    Παράδειγµα 10.1.2. 1. Κάθε σώµα είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότιτα µόνα ιδεώδη ενός σώµατος R είναι τα τετριµµένα,

    {0}= (0) και R = (1), τα οποία είναι κύρια.

    2. Θεωρούµε τον δακτύλιο Z των ακεραίων. Επειδή τα ιδεώδη του δακτυλίου Z των ακεραίων, συµπίπτουνµε τις υποοµάδες της προσθετικής οµάδας (Z,+), έπεται ότι τα ιδεώδη του Z είναι τα εξης :

    nZ= (n) = {nk ∈Z | k ∈Z}, n = 0,1,2,3, · · ·Με άλλα λόγια τα ιδεώδη του Z είναι όλα κύρια, και εποµένως ο δακτύλιος Z είναι περιοχή κυρίωνιδεωδών.

    p

    Πρόταση 10.1.3. ΄Εστω ότι K είναι ένα σώµα. Τότε ο δακτύλιος πολυωνύµων K[t ] και ο δακτύλιος K[[t ]]των τυπικών δυναµοσειρών υπεράνω του K είναι περιοχές κυρίων ιδεωδών. ■

    Παρατήρηση 10.1.4. Οι δακτύλιοι πολυωνύµων K[t1, t2, · · · , tn], n ≥ 2, όπου K είναι σώµα, δεν είναι περιο-χές κυρίων ιδεωδών. Παρόµοια ο δακτύλιος πολυωνύµων R[t ] δεν είναι γενικά περιοχή κυρίων ιδεωδών, ανη ακέραια περιοχή R δεν είναι σώµα (π.χ. αν R =Z). N

    437

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 438

    Στην παρούσα ενότητα ϑα παραθέσουµε στοιχεία από τη ϐασική ϑεωρία διαιρετότητας στο πλαίσιο τωνπεριοχών κυρίων ιδεωδών, γενικεύοντας την αντίστοιχη οικεία ϑεωρία διαιρετότητας στον δακτύλιο των ακε-ϱαίων και στον δακτύλιο πολυωνύµων µιας µεταβλητής υπεράνω ενός σώµατος.

    Ορισµός 10.1.5. Αν a,b είναι στοιχεία του R, όπου b 6= 0, τότε ορίζουµε ότι το στοιχείο b διαιρεί τοστοιχείο a, αν : υπάρχει στοιχείο c ∈ R έτσι ώστε a = bc, και τότε ϑα γράφουµε b | a:

    ∀a,b ∈ R, a 6= 0 : b | a ⇐⇒ ∃c ∈ R : a = bc

    Σ΄ αυτή την περίπτωση επίσης ϑα λέµε ότι το b είναι διαιρέτης του a ή το a είναι πολλαπλάσιο του b.΄Οταν το στοιχείο b δεν διαιρεί το στοιχείο a, ϑα γράφουµε : b - a.

    Ορισµός 10.1.6. ΄Εστω ότι a,b είναι δύο µη-µηδενικά στοιχεία ενός µεταθετικού δακτυλίου R. Τα στοιχείαa,b καλούνται συντροφικά αν: a | b και b | a.

    Για παράδειγµα κάθε µη-µηδενικό στοιχείο a του R είναι συντροφικό µε τον εαυτό του, και επίσης µετο αντίθετό του −a, διότι −a = (−1)a και a = (−1)(−a). Για να χαρακτηρίσουµε τα συντροφικά στοιχεία ενόςδακτυλίου R χρειάζεται να υποθέσουµε ότι ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή.

    Πρόταση 10.1.7. ΄Εστω ότι a,b είναι δύο µη-µηδενικά στοιχεία µιας ακέραιας περιοχής R. Τότε τα ακόλουθαείναι ισοδύναµα:

    1. Τα στοιχεία a,b είναι συντροφικά.

    2. Τα κύρια ιδεώδη τα οποία παράγονται από τα a,b συµπίπτουν : (a) = (b).3. Υπάρχει αντιστρέψιµο στοιχείο u ∈ R: a = ub.

    Ιδιαίτερα, ένα στοιχείο r του R είναι αντιστρέψιµο αν και µόνον αν το r είναι συντροφικό µε την µονάδα 1 τουR αν και µόνον αν (r ) = (1) = R. ■

    Ορισµός 10.1.8. ΄Εστω ότι a1, a2, · · · , an είναι µη-µηδενικά στοιχεία ενός µεταθετικού δακτυλίου R.1. ΄Ενας κοινός διαιρέτης των στοιχείων a1, a2, · · · , an είναι ένα στοιχείο d ∈ R, το οποίο είναι διαιρέτης

    του ak , δηλαδή d | ak , ∀k = 1,2, · · · ,n.΄Ενας κοινός διαιρέτης d ∈ R των a1, a2, · · · , an είναι ένας µέγιστος κοινός διαιρέτης των a1, a2, · · · , an ,αν κάθε άλλος κοινός διαιρέτης των a1, a2, · · · , an είναι επίσης διαιρέτης του d .

    2. ΄Ενα κοινό πολλαπλάσιο των στοιχείων a1, a2, · · · , an είναι ένα στοιχείο e ∈ R, το οποίο είναι πολλα-πλάσιο του ak , δηλαδή ak | e, ∀k = 1,2, · · · ,n.΄Ενα κοινό πολλαπλάσιο e ∈ R των a1, a2, · · · , an είναι ένα ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των a1, a2, · · · ,an , αν κάθε άλλο κοινό πολλαπλάσιο των a1, a2, · · · , an είναι επίσης πολλαπλάσιο του e.

    ΄Ενας µέγιστος κοινός διαιρέτης ή ένα ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων στοιχείων, ότανυπάρχει, δεν είναι µοναδικά ορισµένο στοιχείο του δακτυλίου, αλλά ορίζεται µε ακρίβεια συντροφικούστοιχείου. ∆ηλαδή αν d1,d2, αντίστοιχα e1,e2, είναι µεγιστοι κοινοί διαιρέτες, αντίστοιχα ελάχιστα κοινάπολλαπλάσια, στοιχείων ενός µεταθετικού δακτυλίου, τότε τα στοιχεία d1 και d2, αντίστοιχα τα στοιχεία e1και e2, είναι συντροφικά.

    Αν και υπάρχουν ακέραιες περιοχές στις οποίες υπάρχουν στοιχεία χωρίς µέγιστο κοινό διαιρέτη, αυτόδεν µπορεί να συµβεί όταν εργαζόµαστε σε περιοχές κυρίων ιδεωδών:

    Θεώρηµα 10.1.9. ΄Εστω ότι R είναι µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, και a1, a2, · · · , an µη-µηδενικά στοιχεία της.1. (αʹ) Υπάρχει ένας µέγιστος κοινός διαιρέτης των στοιχείων a1, a2, · · · , an .

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 439

    (ϐʹ) Αν d είναι ένας µέγιστος κοινός διαιρέτης των στοιχείων a1, a2, · · · , an , τότε υπάρχουν στοιχείαr1,r2, · · · ,rn , έτσι ώστε :

    d = a1r1 +a2r2 +·· ·+anrn(γʹ) Το στοιχείο d είναι ένας µέγιστος κοινός διαιρέτης των στοιχείων a1, a2, · · · , an αν και µόνον αν

    (d) = (a1)+ (a2)+·· ·+ (an)

    2. (αʹ) Υπάρχει ένα ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των στοιχείων a1, a2, · · · , an .(ϐʹ) Το στοιχείο e είναι ένα ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των στοιχείων a1, a2, · · · , an αν και µόνον αν

    (e) = (a1)∩ (a2)∩·· ·∩ (an) ■

    Ορισµός 10.1.10. Τα µη-µηδενικά στοιχεία a1, a2, · · · , an του δακτυλίου R καλούνται σχετικώς πρώτα αν:(a1, a2, · · · , an

    )= 1Ισοδύναµα ένας µέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του R.

    Τα µη-µηδενικά στοιχεία a1, a2, · · · , an του δακτυλίου R καλούνται πρώτα µεταξύ τους ανά δύο αν:

    1 ≤ i 6= j ≤ n =⇒ (ai , a j )= 1Ισοδύναµα, ανά δύο τα στοιχεία αυτά έχουν ως µέγιστο κοινό διαιρέτη ένα αντιστρέψιµο στοιχείο του R.

    Η ακόλουθη συνέπεια προκύπτει άµεσα από το Θεώρηµα 10.1.9.

    Πόρισµα 10.1.11 (Ταυτότητα του Bezout). ΄Εστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, και έστω τα µη-µηδενικάστοιχεία a1, a2, · · · , an του R. Τότε :

    Τα στοιχεία a1, a2, · · · , an είναι σχετικώς πρώτα ⇐⇒ ∃r1,r2, · · · ,rn ∈ R : r1a1 + r2a2 +·· ·+ rn an = 1 ■

    Πρόταση 10.1.12. ΄Εστω ότι a,b είναι µη-µηδενικά στοιχεία σε µια περιοχή κυρίων ιδεωδών R. Αν (a,b)είναι ένας µέγιστος κοινός διαιρέτης των a,b και [a,b] είναι ένα ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των a,b, τότευπάρχει αντιστρέψιµο στοιχείο u ∈U(R), έτσι ώστε :

    (a,b)[a,b] = uab

    δηλαδή τα στοιχεία (a,b)[a,b] και ab είναι συντροφικά. ■

    Η ακόλουθη σηµαντική συνέπεια της Πρότασης 10.1.12 µας είναι οικεία στο πλαίσιο της στοιχειώδουςΘεωρίας Αριθµών.

    Πόρισµα 10.1.13. ΄Εστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών και a,b δύο σχετικώς πρώτα στοιχεία της : (a,b) = 1.Αν c ∈ R, τότε :

    1. a | bc =⇒ a | c.2. a | c και b | c =⇒ ab | c. ■

    Σηµαντικά παραδείγµατα περιοχών κυρίων ιδεωδών αποτελούν οι Ευκλείδειες περιοχές µε την έννοιατου ακόλουθου ορισµού:

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 440

    Ορισµός 10.1.14. Αν R είναι µια ακέραια περιοχή, µια απεικόνιση

    δ : R \{0}−→N0, a 7−→ δ(a)

    καλείται Ευκλείδεια στάθµη επί της R, αν για τυχόντα στοιχεία a,b ∈ R, όπου b 6= 0, υπάρχουν στοιχείαq,r ∈ R έτσι ώστε :

    a = bq + r, όπου είτε r = 0 ή δ(r ) < δ(b)Μια ακέραια περιοχή καλείται Ευκλείδεια περιοχή αν είναι εφοδιασµένη µε µια Ευκλείδεια στάθµη.

    Ισχύει το ακόλουθο αποτέλεσµα.

    Θεώρηµα 10.1.15. Κάθε Ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. ■

    Παράδειγµα 10.1.16. 1. Η ακέραια περιοχή Z των ακεραίων είναι Ευκλείδεια περιοχή µε Ευκλείδειαστάθµη

    δ : R \{0}−→N0, a 7−→ δ(a) := |a|

    2. Η ακέραια περιοχή K[t ] των πολυωνύµων υπεράνω ενός σώµατος K είναι Ευκλείδεια περιοχή µεΕυκλείδεια στάθµη

    δ : K[t ] \{0}−→N0, P (t ) 7−→ δ(a) := degP (t )

    3. Η απεικόνισηδ : Z[i ] \

    {0}−→N0, a = m +ni 7−→ δ(a) := aa = m2 +n2

    είναι µια Ευκλείδεια στάθµη επί της ακέραιας περιοχής Z[i ] των ακεραίων του Gauss, και άρα οδακτύλιος Z[i ] είναι Ευκλείδεια περιοχή.

    p

    Τα στοιχεία ενός µεταθετικού δακτυλίου τα οποία διαδραµατίζουν αντίστοιχο ϱόλο µε τους πρώτουςαριθµούς στον δακτύλιο των ακεραίων ή τα ανάγωγα πολυώνυµα στον δακτύλιο των πολυωνύµων υπεράνωενός σώµατος, είναι αντικείµενο του ακόλουθου ορισµού:

    Ορισµός 10.1.17. ΄Ενα µη-µηδενικό στοιχείο a ενός µεταθετικού δακτυλίου R καλείται ανάγωγο αν δενείναι αντιστρέψιµο, και οι µόνοι διαιρέτες του είναι αντιστρέψιµα στοιχεία του R ή τα συντροφικά του στοιχεία.

    Παράδειγµα 10.1.18. 1. Στον δακτύλιο Z των ακεραίων, το στοιχείο 3 είναι προφανώς ανάγωγο. ΄Οµωςαν το 3 ϑεωρηθεί στο σώµα Q των ϱητών, δεν είναι ανάγωγο διότι για παράδειγµα 3 = 32 ·2.

    2. Αν ο δακτύλιος R είναι σώµα, τότε κανένα στοιχείο του δεν είναι ανάγωγο.

    3. Τα µόνα ανάγωγα στοιχεία τοτ Z είναι τα στοιχεία ±p, όπου p είναι πρώτος.4. Τα ανάγωγα πολυώνυµα του δακτυλίου K[t ] συµπίπτουν µε τα ανάγωγα στοιχεία του.

    p

    Η έννοια του ανάγωγου στοιχείο σχετίζεται µε την έννοια του πρώτου στοιχείου σε έναν µεταθετικό δακτύ-λιο :

    Ορισµός 10.1.19. ΄Ενα µη-µηδενικό στοιχείο p ∈ R σε έναν µεταθετικό δακτύλιο R καλείταιπρώτο στοιχείο,αν το p δεν είναι αντιστρέψιµο, και αν a,b ∈ R είναι µη-µηδενικά στοιχεία του R έτσι ώστε p | ab, τότε είτε p | aείτε p | b.

    Σε µια ακέραια περιοχή R, κάθε πρώτο στοιχείο είναι ανάγωγο. Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Στηνπερίπτωση των περιοχών κυρίων ιδεωδών κάθε ανάγωγο στοιχείο είναι πρώτο :

    Θεώρηµα 10.1.20. ΄Εστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, και p ∈ R ένα µη-µηδενικό στοιχείο της. Τότε ταακόλουθα είναι ισοδύναµα:

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 441

    1. Το στοιχείο p είναι ανάγωγο.

    2. Το ιδεώδες (p) είναι µεγιστοτικό.

    3. Το ιδεώδες (p) είναι πρώτο.

    4. Το στοιχείο p είναι πρώτο.

    Ιδιαίτερα κάθε µη-µηδενικό πρώτο ιδεώδες µιας περιοχής κυρίων ιδεωδών είναι µεγιστοτικό ιδεώδες. ■

    10.1.2 Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης

    Γνωρίζουµε ότι κάθε ϑετικός ακέραιος µπορεί να γραφεί µοναδικά ως γινόµενο πρώτων παραγόντων. Ηακόλουθη κλάση δακτυλίων γενικεύει την ιδιότητα µοναδικής παραγοντοποίησης η οποία ικανοποιείταιστον δακτύλιο των ακεραίων.

    Ορισµός 10.1.21. Μια ακέραια περιοχή R καλείται περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, αν :

    (ΠΜΑ1) Κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του R είναι είτε αντιστρέψιµο είτε (πεπερασµένο) γινόµενο αναγώγωνστοιχείων.

    (ΠΜΑ2) ΄Εστω{

    pi}n

    i=1 και{

    q j}m

    j=1 είναι δύο σύνολα αναγώγων στοιχείων του R και έστω ότι :

    a := p1 ·p2 · · ·pn = q1 ·q2 · · ·qmΤότε n = m, υπάρχει µια µετάθεση σ ∈ Sn και αντιστρέψιµα στοιχεία ui , 1 ≤ i ≤ n, του R, έτσι ώστε :qσ(i ) = ui pi , 1 ≤ i ≤ n.

    ΄Οταν ισχύει η ιδιότητα (ΠΜΑ2), τότε ϑα λέµε ότι η ανάλυση ή παραγοντοποίηση ενός στοιχείου σεγινόµενο ανάγωγων στοιχείων είναι µοναδική.

    Η ακόλουθη σηµαντική Πρόταση πιστοποιεί ότι σε περιοχές µονοσήµαντης ανάλυσης, τα ανάγωγα καιτα πρώτα στοιχεία ταυτίζονται.

    Πρόταση 10.1.22. Σε µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, ένα στοιχείο είναι πρώτο αν και µόνον αν είναιανάγωγο. ■

    Ορισµός 10.1.23. ΄Ενα µεταθετικός δακτύλιος R ικανοποιεί την συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας γιακύρια ιδεώδη, αν για κάθε αύξουσα ακολουθία

    (a1) ⊆ (a2) ⊆ ·· · (an) ⊆ (an+1) ⊆ ·· ·

    κύριων ιδεωδών του R, υπάρχει δείκτης m ≥ 1, έτσι ώστε : (am) = (am+1) = ·· · .

    Το ακόλουθο Θεώρηµα παρουσιάζει κάποιες σηµαντικές ιδιότητες οι οποίες αφορούν την ύπαρξη καιµοναδικότητα παραγοντοποίησης στοιχείων σε ανάγωγους παράγοντες.

    Θεώρηµα 10.1.24. ΄Εστω R µια ακέραια περιοχή.

    1. Αν ο R είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, τότε ο R ικανοποιεί τη συνθήκη αύξουσας αλυσίδας γιακύρια ιδεώδη.

    2. Αν ο R ικανοποιεί τη συνθήκη αύξουσας αλυσίδας για κύρια ιδεώδη, τότε ο R ικανοποιεί την ιδιότητα(ΠΜΑ1).

    3. Αν ο R ικανοποιεί την ιδιότητα (ΠΜΑ1) και κάθε ανάγωγο στοιχείο του R είναι πρώτο, τότε ο R είναιπεριοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. ■

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 442

    Ως άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος 10.1.24 και της Πρότασης 10.1.22, έχουµε το ακόλουθο Θεώρηµατο οποίο χαρακτηρίζει τις περιοχές µονοσήµαντης ανάλυσης.

    Θεώρηµα 10.1.25. Για µια ακέραια περιοχή R, τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα:

    1. Η R είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης.

    2. (αʹ) Η R ικανοποιεί την ιδιότητα (ΠΜΑ1), δηλαδή κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του R είναι είτε αντιστρέψιµοείτε (πεπερασµένο) γινόµενο αναγώγων στοιχείων, και

    (ϐʹ) κάθε ανάγωγο στοιχείο της R είναι πρώτο.

    3. (αʹ) Η R ικανοποιεί την συνθήκη αύξουσας αλυσίδας για κύρια ιδεώδη, και

    (ϐʹ) κάθε ανάγωγο στοιχείο της R είναι πρώτο. ■

    Το ακόλουθο Θεώρηµα δείχνει ότι µια σηµαντική κλάση ακέραιων περιοχών είναι περιοχές µονοσήµα-ντης ανάλυσης.

    Θεώρηµα 10.1.26. Κάθε περιοχή κυρίων ιδεωδών, ιδιαίτερα µια Ευκλείδεια περιοχή, είναι περιοχή µονοσή-µαντης ανάλυσης. ■

    Οι περιοχές µονοσήµαντης ανάλυσης έχουν κοινές πολλές ιδιότητες οι οποίες ικανοποιούνται σε µιαπεριοχή κυρίων ιδεωδών. Για παράδειγµα:

    Πρόταση 10.1.27. Για κάθε δύο µη-µηδενικά στοιχεία µιας περιοχής µονοσήµαντης ανάλυσης, υπάρχει έναςµέγιστος κοινός διαιρέτης και ένα ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. ■

    Από τώρα και στο εξής R συµβολίζει µια (µεταθετική) περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. Το ενδιαφέρονµας τώρα στρέφεται σε δακτυλίους πολυωνύµων οι οποιοι είναι περιοχές µονοσήµαντης ανάλυσης.

    ΄Εστω P (t ) = a0+a1t+·· ·+an t n ένα µη-µηδενικό πολυώνυµο µε στοιχεία από την περιοχή µονοσήµαντηςανάλυσης R.

    Ορισµός 10.1.28. Η περιεκτικότητα του µη-µηδενικού πολυωνύµου P (t ) = ∑nk=0 ak t k ∈ R[t ] ορίζεται ναείναι το στοιχείο

    c(P (t )) = (a0, a1, a2, · · · , an)΄Ενα πολυώνυµο P (t ) =∑nk=0 ak t k καλείται πρωταρχικό, αν c(P (t )) = 1.

    Το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα είναι γνωστό ως Λήµµα του Gauss.

    Λήµµα 10.1.29 (Λήµµα του Gauss). Αν P (t ) και Q(t ) είναι µη-µηδενικά πολυώνυµα υπεράνω του R, τότε

    c(P (t )Q(t )) = c(P (t ))c(R(t ))

    Ιδιαίτερα, το γινόµενο πρωταρχικών πολυωνύµων είναι πρωταρχικό πολυώνυµο. ■

    Το επόµενο αποτέλεσµα συσχετίζει τα ανάγωγα, ισοδύναµα τα πρώτα, στοιχεία, του πολυωνυµικού δσκτυ-λίου R[t ] µε τα ανάγωγα στοιχεία του δακτυλίου πολυωνύµων Q(R)[t ] υπεράνω του σώµατος κλασµάτων Q(R)της ακέραιας περιοχής R.

    Λήµµα 10.1.30. Για ένα πολυώνυµο P (t ) ∈ R[t ] ϐαθµού ≥ 1, τα ακόλουθα είναιν ισοδύναµα:1. Το P (t ) είναι πρώτο στοιχείο του R[t ].

    2. Το P (t ) είναι ανάγωγο στοιχείο του R[t ].

    3. Το P (t ) είναι ανάγωγο πρωταρχικό στοιχείο του Q(R)[t ]. ■

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 443

    Το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα δείχνει ότι η ιδιότητα µοναδικής παραγοντοποίησης µεταφέρεταιστον δακτύλιο πολυωνύµων.

    Θεώρηµα 10.1.31. Αν ο δακτύλιος R είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, τότε ο δακτύλιος πολυωνύµωνR[t ] είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. ■

    Τα επόµενα πορίσµατα είναι άµεσες συνέπειες του Θεωρήµατος 10.1.31.

    Πόρισµα 10.1.32. Αν ο δακτύλιος R είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, τότε ο δακτύλιος πολυωνύµωνR[t1, t2, · · · , tn], ∀n ≥ 1, είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. ■

    Πόρισµα 10.1.33. 1. Ο δακτύλιος Z[t1, t2, · · · , tn], ∀n ≥ 1, είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης.2. Αν K είναι ένα σώµα, τότε ο δακτύλιος πολυωνύµων K[t1, t2, · · · , tn], ∀n ≥ 1, είναι περιοχή µονοσήµαντης

    ανάλυσης.

    3. Αν R είναι µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, τότε ο δακτύλιος πολυωνύµων R[t1, t2, · · · , tn], ∀n ≥ 1, είναιπεριοχή µονοσήµαντης ανάλυσης. ■

    10.2 Λυµένες Ασκήσεις

    ΄Ασκηση 10.2.1. Γνωρίζουµε ότι αν ο µεταθετικός δακτύλιος R είναι σώµα, τότε ο δακτύλιος πολυωνύµωνR[t ] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Να εξετασθεί αν ισχύει το αντίστροφο.

    Λύση. Υποθέτουµε ότι ο δακτύλιος R[t ] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. ∆είχνουµε πρώτα ότι ο δακτύλιος Rείναι ακέραια περιοχή. ΄Εστω a,b ∈ R έτσι ώστε a ·b = 0. Τότε για τα σταθερά πολυώνυµα a= a και b= b, ϑαέχουµε ab = ab = 0 είναι το µηδενικό σταθερό πολυώνυµο. Επειδή ο δακτύλιος R[t ] είναι ακέραια περιοχή,έπεται ότι a= 0 ή b= 0, και αυτό σηµαίνει ότι a = 0 ή b = 0 στον R. ΄Αρα ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή.

    Θεωρούµε ένα µη-µηδενικό στοιχείο a ∈ R και έστω I = (a, t ) το ιδεώδες του R[t ] το οποίο παράγεταιαπό το σταθερό πολυώνυµο a = a και το πολυώνυµο t . Επειδή ο δακτύλιος R[t ] είναι δακτύλιος κυρίωνιδεωδών, έπεται ότι υπάρχει πολυώνυµο P (t ) ∈ R[t ] έτσι ώστε : (P (t )) = (a, t ). Τότε επειδή a, t ∈ (P (t )), έπεταιότι υπάρχουν πολυώνυµα A(t ),B(t ) ∈ R[t ] έτσι ώστε :

    a = A(t )P (t ) και t = B(t )P (t )

    Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, ϑα έχουµε 0 = dega = deg(A(t )P (t )) = deg A(t )+degP (t ) καιάρα τα πολυώνυµα A(t ) και P (t ) είναι σταθερά, αναγκαστικά µη-µηδενικά πολυώνυµα διότι a 6= 0, καιέτσι A(t ) = b και P (t ) = c, όπου b,c ∈ R \ {0}. Τότε από τη δεύτερη σχέση ϑα έχουµε t = B(t )c, και άρα1 = deg t = deg(B(t )c) = degB(t )+degc = degB(t )+0, απ΄ όπου έπεται ότι B(t ) = r t + s, για κάποια r, s ∈ R.Τότε :

    1 = B(t )c = (r t + s)c = r ct + sc =⇒ r c = 1 και sc = 0απ΄ όπου προκύπτει ότι το στοιχείο c είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του r . Τότε (P (t )) = (c) = R[t ], και εποµένωςϑα έχουµε

    (a)+ (t ) = (a, t ) = R[t ] = (1) =⇒ ∃ C (t ),D(t ) ∈ R[t ] : 1 = aC (t )+ tD(t )Το πολυώνυµο tD(t ) έχει προφανώς µηδενικό σταθερό όρο, και άρα αν c0 είναι ο σταθερός όρος του πολυω-νύµου C (t ), τότε εξισώνοντας συντελεστές στην παραπάνω σχέση, ϑα έχουµε 1 = ac0. Αυτό σηµαίνει ότι τοτυχόν µη-µηδενικό στοιχείο a του R είναι αντιστρέψιµο. Εποµένως ο δακτύλιος R είναι σώµα. ■

    ΄Ασκηση 10.2.2. ΄Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος. Τότε ο δακτύλιος πολυωνύµων R[t1, t2, · · · , tn], δενείναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, αν n ≥ 2.

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 444

    Λύση. Αν ο δακτύλιος R[t1, t2] είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, τότε επειδή R[t1, t2] = (R[t1])[t2], από την΄Ασκηση 10.2.1 έπεται ότι ο δακτύλιος R[t1] είναι σώµα και αυτό είναι προφανώς άτοπο, για παράδειγµατο µη-µηδενικό στοιχείο του t1 δεν είναι αντιστρέψιµο στον δακτύλιο R[t1]. ΄Αρα ο δακτύλιος R[t1, t2] δενείναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών. Αν ο δακτύλιος R[t1, t2, t3] είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, τότε όπως καιπριν ϑα έχουµε ότι ο δακτύλιος R[t1, t2] είναι σώµα και άρα και δακτύλιος κυρίων ιδεωδών το οποίο είναιάτοπο. ΄Αρα ο δακτύλιος R[t1, t2, t3] δεν είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδιακσία,ϐλέπουµε άµεσα ότι ο δακτύλιος R[t1, t2, · · · , tn] δεν είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, όταν n ≥ 2. ■

    ΄Ασκηση 10.2.3. ΄Εστω R µια ακέραια περιοχή και a ∈ R ένα ανάγωγο στοιχείο του R. Να δειχθεί ότι τοιδεώδες (a, t ) του R[t ] το οποίο παράγεται από το σταθερό πολυώνυµο a και το πολυώνυµο t δεν είναι κύριο.

    Λύση. Υποθέτουµε ότι το ιδεώδες (a, t ) = Ra + (t ) είναι κύριο µε γεννήτορα το πολυώνυµο P (t ):(a, t ) = Ra + (t ) = (P (t )) = {P (t )A(t ) ∈ R[t ] | A(t ) ∈ R[t ]}

    Επειδή a ∈ (a, t ), έπεται ότι a ∈ (P (t )) και άρα a = P (t )A(t ) για κάποιο πολυώνυµο A(t ) ∈ R[t ]. Παρόµοιαεπειδή t ∈ (a, t ), έπεται ότι t ∈ (P (t )) και άρα t = P (t )B(t ) για κάποιο πολυώνυµο B(t ) ∈ R[t ]. Επειδήτο στοιχείο a ∈ R είναι ανάγωγο, εξ΄ ορισµού είναι µη-µηδενικό και άρα το σταθερό πολυώνυµο a είναιµη-µηδενικό. Θεωρώντας ϐαθµούς πολυωνύµων στις παραπάνω σχέσεις, ϑα έχουµε:

    0 = deg(P (t )A(t )) = degP (t )+deg A(t ) και 1 = deg(P (t )B(t )) = degP (t )+degB(t )Από τις παραπάνω σχέσεις έπεται ότι degP (t ) = 0, δηλαδή το πολυώνυµο P (t ) είναι ένα σταθερό πολυώνυµο,το οποίο είναι µη-µηδενικό διότι διαφορετικά ϑα είχαµε t ∈ (a)+ (t ) = {0} το οποίο είναι είναι προφανώςάτοπο. Επίσης deg A(t ) = 0 και άρα το πολυώνυµο A(t ) είναι σταθερό και µη-µηδενικό (διότι αν A(t ) = 0 ϑαείχαµε a = 0 το οποίο είναι άτοπο διότι το στοιχείο a είναι ανάγωγο), και επίσης degB(t ) = 1. ΄Αρα A(t ) = d ,όπου d ∈ R \{0} και B(t ) = b0+b1t , για κάποια στοιχεία b0,b1 ∈ R. ΄Ετσι P (t ) = c, όπου 0 6= c ∈ R και τότε απότη σχέση t = P (t )B(t ) = c(b0 +b1t ), έπεται ότι

    cb0 = 0 και cb1 = 1Αυτό ιδιαίτερα σηµαίνει ότι ϱτο στοιχείο c είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του RT και εποµένως το σταθερόπολυώνυµο P (t ) = c είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του πολυωνυµικού δακτυλίου R[t ]. Τότε όµως ϑα έχουµε(P (t )) = (a, t ) = R[t ] και εποµένως υπάρχουν πολυώνυµα C (t ),D(t ) ∈ R[t ] έτσι ώστε 1 = aC (t )+ tD(t ). ΑνC (t ) =∑mk=0 ck t k , τότε ϑα έχουµε 1 = ac0 και αυτό σηµαίνει ότι το ανάγωγο στοιχεία a είναι αντιστρέψιµο καιαυτό είναι άτοπο διότι εξ΄ ορισµού ένα ανάγωγο στοιχείο δεν είναι αντιστρέψιµο. Εποµένως το ιδεώδες (a, t )δεν είναι κύριο. ■

    ΄Ασκηση 10.2.4. ΄Εστω R µια ακέραια περιοχή και 0 6= a ∈ R ένα στοιχείο του R. Θεωρούµε το ιδεώδες (a, t )του R[t ] το οποίο παράγεται από το σταθερό πολυώνυµο a και το πολυώνυµο t . Να προσδιορισθεί ο δακτύλιοςπηλίκο

    R[t ]/

    (a, t )

    Αν η ακέραια περιοχή είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, να δειχθεί ότι το ιδεώδες (a, t ) είναι πρώτο αν καιµονον αν το ιδεώδες (a, t ) είναι µεγιστοτικό αν και µόνον αν το στοιχείο a ∈ R είναι ανάγωγο.Λύση. Θεωρούµε το κύριο ιδεώδες (a) του R το οποίο παραγεται από το στοιχείο a ∈ R, και ορίζουµεαπεικόνιση

    f : R[t ] −→ R/(a), f (P (t )) = P (0)+ (a)∆ηλαδή, αν P (t ) = ∑nk=0 ak t k , τότε f (P (t )) = a0 + (a). Η απεικόνιση f είναι επιµορφισµός δακτυλίων διότιείναι σύνθεση του επιµορφισµού δακτυλίων R[t ] −→ R, P (t ) 7−→ P (0), και του κανονικού επιµορφισµούr 7−→ r + (a). Αν P (t ) =∑nk=0 ak t k ∈Ker( f ), τότε :

    f (P (t )) = 0R/(a) =⇒ P (0)+ (a) = (a) =⇒ P (0) = a0 ∈ (a) =⇒ ∃r ∈ R : a0 = ar

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 445

    Αντίστροφα, αν P (0) = a0 ∈ (a), τότε f (P (t )) = P (0)+ (a) = a0 + (a) = (a). Εποµένως

    Ker( f ) = {P (t ) = n∑k=0

    ak tk ∈ R[t ] | P (0) = a0 ∈ (a)

    }= {a0+t (a1+a2t+·· ·+an t n−1 ∈ R[t ] | a0 ∈ (a)}= (a)+(t ) = (a, t )Εποµένως από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ∆ακτυλίων, ϑα έχουµε έναν ισοµορφισµό

    R[t ]/

    (a, t )∼=−→ R/(a)

    Επειδή ο δακτύλιος R είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, γνωρίζουµε ότι ένα µη-µηδενικό ιδεώδες του, όπωςτο ιδεώδες (a), είναι πρώτο αν και µόνον αν είναι µεγιστοτικό αν και µόνον αν το στοιχείο a είναι ανάγωγο.Εποµένως, επειδή a 6= 0, ο δακτύλιος R/(a) είναι ακέραια περιοχή αν και µόνον αν είναι σώµα. Λόγω τουπαραπάνω ισοµορφισµού, ϑα έχουµε ότι ο δακτύλιος R[t ]

    /(a, t ) είναι ακέραια περιοχή αν και µόνον αν είναι

    σώµα. Ισοδύναµα το ιδεώδες (a, t ) είναι πρώτο αν και µόνον αν είναι µεγιστοτικό. Εποµένως, συνοψίζοντας,δείξαµε ότι το ιδεώδες (a, t ) είναι πρώτο αν και µονον αν το ιδεώδες (a, t ) είναι µεγιστοτικό αν και µόνον αντο στοιχείο a ∈ R είναι ανάγωγο. ■

    ΄Ασκηση 10.2.5. ΄Εστω R µια ακέραια περιοχή, και υποθέτουµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του R είναιείτε αντιστρέψιµο είτε ανάγωγο. Να δειχθεί ότι η ακέραια περιοχή R είναι σώµα1.

    Λύση. ΄Εστω a ∈ R∗ = R \ {0} ένα στοιχείο του R το οποίο δεν είναι αντιστρέψιµο. Τότε προφανώς και τοστοιχείο a2 δεν είναι αντιστρέψιµο. Επειδή από την υπόθεση, το a είναι ανάγωγο, ϑα πρέπει τα στοιχείαa και a2 να είναι συντροφικά. Εποµένως υπάρχει αντιστρέψιµο στοιχείο u ∈ R έτσι ώστε a = ua2. Τότεχρησιµοποιώντας ότι ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή και a 6= 0, ϑα έχουµε:

    a = ua2 =⇒ (1−ua)a = 0 =⇒ 1 = ua =⇒ a ∈U(R)

    Εποµένως το a είναι αντιστρέψιµο και αυτό είναι άτοπο. ΄Αρα κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του R είναιαντιστρέψιµο και εποµένως η ακέραια περιοχή R είναι σώµα. Τότε προφανώς όλα τα µη-µηδενικά στοιχείατου R είναι αντιστρέψιµα. ■

    ΄Ενας µεταθετικός δακτύλιος R καλείται δακτύλιος της Noether, αν ικανοποιείται η συνθήκη αύξου-σας αλυσίδας για τα ιδεώδη του, δηλαδή για κάθε αύξουσα ακολουθία

    I1 ⊆ I2 ⊆ ·· · ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ ·· ·

    ιδεωδών του R, υπάρχει δείκτης m ≥ 1, έτσι ώστε : Im = Im+1 = ·· · .

    ΄Ασκηση 10.2.6. Κάθε µεταθετικός δακτύλιος κυρίων ιδεωδών R είναι δακτύλιος της Noether.

    Απόδειξη. Θεωρούµε µια αλυσίδα ιδεωδών του R:

    I1 ⊆ I2 ⊆ I3 ⊆ ·· · ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ ·· ·

    Από την ΄Ασκηση 7.2.7, έπεται ότι η ένωση I := ⋃∞n=1 In είναι ιδεώδες του R. Επειδή ο δακτύλιος R είναιδακτύλιος κυρίων ιδεωδών, έπεται ότι I = (r ) για κάποιο r ∈ R. Επειδή r ∈ I , προφανώς ϑα έχουµε ότι r ∈ Ikγια κάποιο k ≥ 1. Τότε I = (r ) ⊆ Ik και επειδή προφανώς In ⊆ I , ∀n ≥ 1, έπεται ότι I = Ik . Τότε, ∀l ≥ 1, ϑαέχουµε Ik+l ⊆ I = Ik ⊆ Ik+l , και εποµένως Ik = Ik+l , ∀l ≥ 1. Εποµένως κάθε αύξουσα αλυσίδα ιδεωδών είναιτελικά σταθερή και εποµένως ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος της Noether. ■

    1και τότε όλα τα µη-µηδενικά στοιχεία του R είναι αντιστρέψιµα.

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 446

    ΄Ασκηση 10.2.7. Να δειχθεί ότι κάθε γνήσιο ιδεώδες σε έναν δακτύλιο κυρίων ιδεωδών, περιέχεται σε έναµεγιστοτικό ιδεώδες2.

    Λύση. ΄Εστω I1 ένα γνήσιο ιδεώδες του R. Αν το I1 είναι µεγιστοτικό, τότε έχουµε εντοπίσει ένα µεγιστοτικόιδεώδες του R το οποίο περιέχει το I1, το ίδιο το I1. Αν το I1 δεν είναι µεγιστοτικό, τότε υπάρχει γνήσιοιδεώδες I2 του R µε I1 6= I2 έτσι ώστε I1 ⊆ I2. Αν το I2 είναι µεγιστοτικό, τότε έχουµε εντοπίσει ένα µεγιστοτικόιδεώδες του R το οποίο περιέχει το I1, το ιδεώδες I2. Αν το I2 δεν είναι µεγιστοτικό, τότε υπάρχει γνήσιοιδεώδες I3 του R µε I2 6= I3 έτσι ώστε I1 ⊆ I2 ⊆ I3. Αν το I3 είναι µεγιστοτικό, τότε έχουµε εντοπίσει έναµεγιστοτικό ιδεώδες του R το οποίο περιέχει το I1, το ιδεώδες I3. Αν το I3 δεν είναι µεγιστοτικό συνεχίζουµεαυτή τη διαδικασία µέσω της οποίας προκύπτει µια αύξουσα αλυσίδα ιδεωδών του R:

    I1 ⊆ I2 ⊆ I3 ⊆ ·· · ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ ·· ·

    και αυτή η διαδικασία σταµατά στο n-οστό της ϐήµα αν το ιδεώδες In είναι µεγιστοτικό, και τότε In = In+1 =·· · . Επειδή ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, από την ΄Ασκηση 10.2.6, έπεται ότι η παραπάνωαλυσίδα ιδεωδών του R σταµατά, δηλαδή υπάρχει δείκτης n ≥ 1, έτσι ώστε In = In+1 = ·· · . Αυτό σηµαίνει ότιϱτο ιδεώδες In είναι µεγιστοτικό και προφανώς περιέχει το I1. ■

    ΄Ασκηση 10.2.8. ΄Εστω R µια Ευκλείδεια περιοχή µε Ευκλείδεια στάθµη δ. Τότε υπάρχει µια Ευκλείδειαστάθµη δ∗ : R \ {0} −→N ορισµένη επί της R, έτσι ώστε :

    ∀a,b ∈ R \ {0} : δ∗(a) ≤ δ∗(ab)

    Λύση. Για κάθε µη-µηδενικό στοιχείο a ∈ R έχουµε δ(a) 6= 0 και άρα το σύνολο S = {δ(ab) ∈N | b ∈ R \ {0}}είναι µη-κενό διότι δ(a ·1) ∈ S. Από την Αρχή Καλής ∆ιάταξης3, έπεται ότι το συνολο S έχει ελάχιστο στοιχείοκαι άρα µπορούµε να ορίσουµε:

    δ∗ : R \ {0} −→N, δ∗(a) = minb 6=0

    δ(ab)

    ΄Ετσι δ∗(a) = δ(ab0) για κάποιο b0 ∈ R \ {0}, και ιδιαίτερα δ∗(a) ≤ δ(a).Για κάθε a,b ∈ R \ {0}, ϑα έχουµε δ∗(ab) = δ(abc) για κάποιο c ∈ R \ {0} και τότε εξ΄ ορισµού ϑα έχουµε

    δ∗(a) ≤ δ(abc) = δ∗(ab).΄Εστω τώρα a,b ∈ R, όπου b 6= 0. Τότε υπάρχει στοιχείο c ∈ R, c 6= 0, έτσι ώστε δ∗(b) = δ(bc). Επειδή η

    συνάρτηση δ είναι µια Ευκλείδεια στάθµη, ϑα έχουµε ότι υπάρχουν στοιχεία q,r ∈ R έτσι ώστε :

    a = (bc)q0 + r0, όπου: είτε r0 = 0 είτε δ(r0) < δ(bc)

    Θέτουµε q = cq0 και r = r0. Τότε a = b(cq0)+ r0 = bq + r . Επειδή δ(bc) = δ∗(b) και δ∗(r ) ≤ δ(r ), ϑα έχουµε:δ(r ) = δ(r0) < δ(bc) και άρα δ∗(r ) < δ∗(b). Εποµένως ϑα έχουµε:

    a = bq + r, όπου είτε r = 0 είτε δ∗(r ) < δ∗(b)

    ΄Αρα η απεικόνιση δ∗ είναι µια Ευκλείδεια στάθµη η οποία ικανοποιεί την επιπλέον ιδιότητα ότι δ(a) ≤δ∗(ab), ∀a,b ∈ \{0}. ■

    Η παραπάνω ΄Ασκηση µας επιτρέπει, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, να ϑεωρούµε πάντα Ευκλειδειεςπεριοχές R για τις οποίες η Ευκλείδεια στάθµη δ ικανοποιεί την επιπλέον ιδιότητα ότι δ(a) ≤ δ(ab), ∀a,b ∈R \ {0}.

    2Με χρήση του Λήµµατος του Zorn, αποδεικνύεται ότι κάθε γνήσιο ιδεώδες σε τυχόντα δακτύλιο περιέχεται σε ένα µεγιστοτικόιδεώδες, ϐλέπε [12]. Εδώ αποφεύγουµε τη χρήση του Λήµµατος του Zorn εκµεταλλευόµενοι τη δοµή των ιδεωδών του R.

    3Η Αρχή Καλής ∆ιάταξης πιστοποιεί ότι κάθε µη-κενό συνόλο ϑετικών ακεραίων έχει ελάχιστο στοιχείο.

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 447

    ΄Ασκηση 10.2.9. ΄Εστω R µια Ευκλείδεια περιοχή µε Ευκλείδεια στάθµη δ η οποία ικανοποιεί την ιδιότηταδ(a) ≤ δ(ab), ∀a,b ∈ R \ {0}. Τότε για κάθε στοιχείο x ∈ R, x 6= 0, τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα:

    1. x ∈U(R).2. δ(x) = δ(1).

    Λύση. Επειδή δ(a) ≤ δ(ab), ∀a,b ∈ R \ {0}, διαλέγοντας a = 1, έπεται ότι δ(1) ≤ δ(b), ∀b ∈ R \ {0}.

    1. «=⇒» ΄Εστω ότι το x είναι αντιστρέψιµο, και άρα υπάρχει y ∈ R έτσι ώστε x y = 1. Θέτοντας a = y στησχέση δ(x) ≤ δ(xa), ∀a ∈ R \ {0}, έπεται ότι δ(x) ≤ δ(1). Επειδή δ(a) ≥ δ(1), ∀a ∈ R \ {0}, έπεται ότιδ(x) = δ(1).

    2. «⇐=» ΄Εστω ότι x 6= 0 και δ(x) = 1. Επειδή η απεικόνιση δ είναι µια Ευκλείδεια στάθµη, έπεται ότιυπάρχουν στοιχεία q,r ∈ R έτσι ώστε :

    1 = qx + r, όπου: είτε r = 0 είτε δ(r ) < δ(x) = δ(1)

    Αν r = 0, τότε 1 = qx και το στοιχείο x είναι αντιστρέψιµο. Αν r 6= 0, τότε ϑα έχουµε δ(r ) < δ(x) = δ(1).Επειδή r 6= 0 ϑα έχουµε δ(1) ≤ δ(r ·1) = δ(r ) < δ(1) και αυτό είναι άτοπο. ΄Αρα αναγκαστικά ϑα έχουµεr = 0 και το στοιχείο x είναι αντιστρέψιµο. ■

    Σχόλιο 10.2.10. Η Ευκλείδεια στάθµη δ(z) = zz στον δακτύλιο Z[i ] των ακεραίων του Gauss, και ηΕυκλείδεια στάθµη δ(P (t )) = degP (t ), στον δακτύλιο πολυωνύµων K[t ], όπου K είναι ένα σώµα, ικανοποιούνπροφανώς την ιδιότητα δ(a) ≤ δ(ab), ∀a,b 6= 0, της παραπάνω ΄Ασκησης 10.2.9. Σύµφωνα µε την ΄Ασκηση10.2.8, για κάθε Ευκλείδεια περιοχή R µε Ευκλείδεια στάθµη δ, υπάρχει Ευκλέιδεια στάθµη δ∗ η οποίαικανοποιεί τις προϋποθέσεις της ΄Ασκησης 10.2.9.

    p

    ΄Ασκηση 10.2.11. ΄Εστω R µια Ευκλείδεια περιοχή µε Ευκλείδεια στάθµη δ, και a,b ∈ R. Να δειχθεί ότι στηνακολουθία διαδοχικών εφαρµογών της Ευκλείδειας ∆ιαίρεσης :

    a = q0b + r1, όπου είτε r1 = 0 είτε δ(r1) < δ(a)

    a = q1r1 + r2, όπου είτε r2 = 0 είτε δ(r2) < δ(r1)r1 = q2r2 + r3, όπου είτε r3 = 0 είτε δ(r3) < δ(r2)

    ...

    rm−2 = qm−1rm−1 + rm , όπου είτε rm = 0 είτε δ(rm) < δ(rm−1)...

    υπάρχει n ≥ 1 έτσι ώστε rn−1 6= 0 και rn−1 = qnrn . Τότε

    (a,b) = rnΛύση. 1. ∆είχνουµε πρώτα ότι µε ακρίβεια συντροφικών στοιχείων, έχουµε:

    ∀q ∈ R : (a,b) = (a,b −qa)

    Πράγµατι, έστω d1 = (a,b) και d2 = (a,b −qa). Τότε d1 | a και άρα d1 | qa. Επειδή d1 | b, ϑα έχουµεότι d1 | (b − qa), και εποµένως επειδή d1 | a, έπεται ότι d1 | (a,b − qa) = d2. Αντίστροφα, ϑα έχουµεd2 | a και άρα d2 | qa. Επειδή d2 | b −qa, έπεται ότι d2 | b και επειδή d2 | a, έπεται ότι : d2 | (a,b) = d1.Επειδή d1 | d2 και d2 | d1, έπεται ότι υπάρχει αντιστρέψιµο στοιχείο u ∈ R έτσι ώστε d1 = ud2. ΄Αρα οιµέγιστοι κοινοί διαιρέτες d1 και d2 είναι συντροφικά στοιχεία.

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 448

    2. Στην ακολουθία των Ευκλείδειων ∆ιαιρεσεων, ϑα έχουµε ότι υπάρχει δείκτης k έτσι ώστε n ≥ 1 έτσιώστε rn−1 6= 0 και rn = 0. Πράγµατι, διαφορετικά αν δ(rk ) 6= 0, ∀k ≥ 1, τότε επειδή δ(x) ≥ 0, ∀x ∈ R, ϑαείχαµε µια γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία ϑετικών ακεραίων :

    · · · < δ(rn) < δ(rn−1) < ·· · < δ(r2) < δ(r1) < δ(a)

    και αυτό είναι άτοπο. ΄Αρα υπάρχει n ≥ 1 έτσι ώστε rn+1 = 0 και rn 6= 0, και τότε rn−1 = qnrn . Θαδείξουµε ότι (a,b) = rn . Παρατηρούµε ότι rk 6= 0, 1 ≤ k ≤ n −1, διότι διαφορετικά ϑα είχαµε ότι rn = 0.Από το µέρος 1., από τις διαδοχικές Ευκλείδειες ∆ιαρέσεις, ϑα έχουµε:

    (a,b) = (a,b −q0a) = (a,r1) = (r1, a)

    (r1, a) = (r1, a −q1r1) = (r1r2) = (r2,r1)(r2,r1) = (r2,r1 −q2r2) = (r2,r3) = (r3,r2)

    ...

    (rn−1,rn−2) = (rn−1,rn−2 −qn−1rn−1) = (rn−1,rn) = (rn ,rn−1) = (rn , qnrn) = rnΕποµένως rn = (a,b) (µε ακρίβεια συντροφικών στοιχείων). ■

    ΄Ασκηση 10.2.12. Να προσδιορισθούν οι µέγιστοι κοινοί διαιρέτες

    (3+4i ,4−3i ) και (11+7i ,18− i )

    στον δακτύλιο Z[i ] των ακεραίων του Gauss.

    Λύση. 1. Επειδή 3+4i = i (4−3i ), έπεται ότι (3+4i ,4−3i ) = (i (4−3i ),4−3i ) = 4−3i .2. Θα εφαρµόσουµε τον Ευκλείδειο αλγόριθµο:

    18− i11+7i =

    (18− i )(11−7i )(11+7i )(11−7i ) =

    191−137i170

    = 191170

    − 137170

    i = (1+ 21170

    )− (1− 33170

    )i = (1− i )+ 21+33i170

    Θέτουµε r ′ = 21+33i170 = a +bi και q = 1− i . Παρατηρούµε ότι a = 21170 ≤ 12 και b = 33170 ≤ 12 και εποµένωςδ(r ′) = δ( 21+33i170 < 12 + 12 = 1. Τώρα η παραπάνω σχέση, πολλαπλασιαζόµενη µε τον παρονοµαστή 11+7iκαι ϑέτοντας r = (11+7i )r ′, δίνει

    18− i = (11+7i )q + (11+7i )r ′ = (11+7i )q + r και δ(r ) = δ((11+7i )r ′) = δ(11+7i )δ(r ′) < δ(11+7i )

    Με άλλα λόγια ϑα έχουµε

    18− i = (11+7i )(1− i )+ r, απ΄ όπου r = 3i

    και εποµένως έχουµε εκτελέσει το πρώτο ϐήµα στον Ευκλείδειο αλγόριθµο:

    18− i = (11+7i )(1− i )+3i , και δ(3i ) = 9 < δ(11+7i ) = 170

    Εποµένως(18− i ,11+7i ) = (11+7i ,3i )

    Για το δεύτερο ϐήµα του Ευκλείδειου αλγόριθµου, ϑα έχουµε:

    11+7i3i

    = (11+7i )(−3i )−3i =21−33i

    9= (2−4i )+ 1+ i

    3=⇒ 11+7i = 3i (2−4i )+3i 1+ i

    3=⇒

    =⇒ 11+7i = 3i (2−4i )+ (−1+ i )

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 449

    ΄Αρα έχουµε εκτελέσει το δεύτερο ϐήµα στον Ευκλείδειο αλγόριθµο:

    11+7i = 3i (2−4i )+ (−1+ i ), και δ(−1+ i ) = 2 < δ(3i ) = 9

    Εποµένως(11+7i ,3i ) = (3i ,−1+ i )

    Για το τρίτο ϐήµα στον Ευκλείδειο αλγόριθµο, ϑα έχουµε:

    3i

    −1+ i =3i (−1− i )

    (−1+ i )(−1− i ) =3−3i

    2= (1− i )+ 1− i

    2=⇒ 3i = (1− i )(−1+ i )+ (1− i )(−1+ i )

    2=⇒

    =⇒ 3i = (1− i )(−1+ i )+ i΄Αρα έχουµε εκτελέσει το τρίτο ϐήµα στον Ευκλείδειο αλγόριθµο:

    3i = (1− i )(−1+ i )+ i , και δ(i ) = 1 < δ(1− i ) = 2

    Εποµένως(3i ,−1+ i ) = (−1+ i , i )

    Το στοιχείο i είναι αντιστρέψιµο στον δακτύλιο Z[i ] και αυτό προφανώς σηµαίνει ότι ο µέγιστος κοινόςδιαρέτης (−1+i , i ) είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του Z[i ]. Ισοδύναµα, µε ακρίβεια συντροφικών στοιχείωνϑα έχουµε ότι (−1+ i , i ) = 1, και εποµένως, µε ακρίβεια συντροφικών στοιχείων, έπεται ότι

    (11+7i ,18− i ) = 1 ■

    ΄Ασκηση 10.2.13. Στην Ευκλείδεια περιοχή Z[i ] των ακεραίων του Gauss, να δειχθεί ότι ένα στοιχείο z =a +bi ∈Z[i ] είναι πρώτο αν και µόνον αν το συζυγές του z = a −bi είναι πρώτο.Λύση. ΄Εστω ότι a 6= 0 ή b 6= 0. ΄Εστω ότι το στοιχείο z = a+bi είναι πρώτο, και το συζυγές του z δεν είναι πρώτο.Τότε ϑα έχουµε µια γνήσια παραγοντοποίηση z = uv του z και εποµένως µια γνήσια παραγοντοποίησηz = z = u v του z και αυτό είναι άτοπο. Παρόµοια δείχνουµε ότι αν το z είναι πρώτο, τότε και το z είναιπρώτο. ΄Αρα σ΄ αυτή την περίπτωση το z = a+bi ∈Z[i ] είναι πρώτο αν και µόνον αν το συζυγές του z = a−biείναι πρώτο. Αν a = 0 ή b = 0, τότε προφανώς τα στοιχεία z = bi ή z = a αντίστοιχα και z = −bi ή z = aαντίστοιχα, είναι συντροφικά, και τότε προφανώς το z είναι πρώτο αν και µόνον αν το z είναι πρώτο. ■

    ΄Ασκηση 10.2.14. Στην Ευκλείδεια περιοχή Z[i ] των ακεραίων του Gauss, να δειχθεί ότι το στοιχείο 0 6=a +bi ∈Z[i ] είναι ανάγωγο, ή ισοδύναµα πρώτο, αν και µόνον αν ο ϑετικός ακέραιος a2 +b2 είναι πρώτος.

    Ως εφαρµογή, να δειχθεί ότι το στοιχείο 1+2i ∈Z[i ] είναι πρώτο.Λύση. Επειδή U(Z[i ]) = {1, i ,−1,−i}, αν ο ϑετικός ακέραιος a2 +b2 είναι πρώτος, τότε το στοιχείο a +biδεν είναι αντιστρέψιµο. Αντίστροφα εξ΄ ορισµού ένα ανάγωγο στοιχείο δεν είναι αντιστρέψιµο. ΄Αρα σε ότιακολουθεί µπορούµε να υποθέσουµε ότι το µη-µηδενικό στοιχείο a +bi δεν είναι αντιστρέψιµο.

    ΄Εστω ότι a+bi = (x+yi )(z+wi ) = (xz−y w)+(xw+y z)i , όπου x+yi , z+wi ∈Z[i ]. Εποµένως ϑα έχουµετις σχέσεις :

    xz − y w = a και xw + y z = bΧρησιµοποιώντας την Ευκλείδεια στάθµη δ : Z[i ]∗ −→ N, δ(a +bi ) = a2 +b2, ϑα έχουµε δ(a +bi ) = δ((x +yi )(z +wi )) = δ(x + yi )δ(z +wi ), και εποµένως :

    a2 +b2 = (x2 + y2)(z2 +w2)

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 450

    1. «⇐=» Αν ο ϑετικός ακέραιος a2 +b2 := p είναι πρώτος, τότε ϑα έχουµε ότι x2 + y2 = 1 και z2 +w2 = p ήx2+ y2 = p και z2+w2 = 1. ΄Εστω ότι x2+ y2 = 1 και z2+w2 = p. Τότε προφανώς ϑα έχουµε x =±1 καιy = 0 ή x = 0 και y = ±1. Στην πρώτη περίπτωση το στοιχείο x + yi = ±1 είναι αντιστρέψιµο και στηνδεύτερη περίπτωση το στοιχείο x + yi =±i είναι αντιστρέψιµο.΄Εστω τώρα ότι x2 + y2 = p και z2 +w2 = 1. Τότε όπως και πριν ϑα έχουµε z = ±1 και w = 0 ή z = 0και w = ±1. Στην πρώτη περίπτωση το στοιχείο z + wi = ±1 είναι αντιστρέψιµο και στην δεύτερηπερίπτωση το στοιχείο z +wi =±i είναι αντιστρέψιµο. ΄Αρα σε κάθε περίπτωση είτε το στοιχείο x + yiείναι αντιστρέψιµο είτε το στοιχείο z + wi είναι αντιστρέψιµο. Εποµένως το στοιχείο a + bi είναιανάγωγο.

    2. «=⇒» Αντίστροφα έστω ότι το στοιχείο z = a+bi είναι ανάγωγο. Επειδή ο δακτύλιος Z[i ], ως Ευκλείδειαπεριοχή, είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, το ανάγωγο στοιχείο z = a +bi είναι πρώτο, και ιδιαίτερα τοz = a +bi είναι µη-µηδενικό και µη-αντιστρέψιµο. Υποθέτουµε ότι ο ϑετικός ακέραιος δ(z) = zz =a2 +b2 δεν είναι πρώτος και άρα µπορούµε να γράψουµε a2 +b2 = mn, όπου m 6= 1 6= n.Μπορούµε να υποθέσουµε ότι τα στοιχεία z, z είναι πρώτα µεταξύ τους. Πράγµατι, διαφορετικά ταστοιχεία z, z ϑα ήταν συντροφικά, ως πρώτα στοιχεία, σύµφωνα µε την προηγούµενη ΄Ασκηση 10.2.13.Αυτό µπορεί να συµβαίνει µόνο όταν a =±1 και b =±1. Τότε όµως a2 +b2 = 2 ο οποίος είναι πρώτος.Εποµένως υποθέτουµε ότι ότι τα στοιχεία z, z είναι πρώτα µεταξύ τους. Επειδή το στοιχείο z είναιπρώτο και z | (a2 +b2) = mn, έπεται ότι z | m ή z | n. Αν z | m, τότε µπορούµε να γράψουµε m = zwκαι τότε m = zw = zw , και άρα z | m. Επειδή τα στοιχεία z, z είναι πρώτα µεταξύ τους, ϑα έχουµεa2 +b2 = mn = zz | m. Αυτό σηµαίνει ότι m = a2 +b2 και τότε αναγκαστικά n = 1 το οποίο είναι άτοπο.Παρόµοια αν z | n, προκύπτει η αντίφαση m = 1. Εποµένως ϑα έχουµε ότι ο ϑετικός ακέραιος a2 +b2είναι πρώτος.

    Επειδή δ(1+ 2i ) = 11 + 22 = 5 ο οποίος είναι πρώτος αριθµός, έπεται ότι το στοιχείο 1+ 2i ∈ Z[i ] είναιπρώτο. ■

    ΄Ασκηση 10.2.15. ΄Εστω p ένας περιττός πρώτος αριθµός. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα:

    1. Ο p είναι άθροισµα δύο τετραγώνων.

    2. Ο p είναι της µορφής 4n +1, n ≥ 1.Λύση. «1. =⇒ 2.» Υποθέτουµε ότι ο πρώτος p είναι άθροισµα δύο τετραγώνων: p = a2 +b2, a,b ∈ Z.

    Αν a = 2k, τότε a2 = 4k2 και αν a = 2k +1, τότε a2 = 4k2 +4k +1 = 4(k2 +k)+1. Παρόµοια αν b = 2l ,τότε b2 = 4l 2, και αν b = 2l + 1, τότε b2 = 4l 2 + 4l + 1 = 4(l 2 + l )+ 1. ΄Αρα αν a = 2k και b = 2l , τότεp = a2 +b2 = 4(k2 + l 2), το οποίο είναι άτοπο διότι ο p είναι πρώτος. Αν a = 2k +1 και b = 2l +1, τότεp = a2+b2 = 4(k2+k)+1+4(l 2+l )+1 = 4(k2+k+l 2+l )+2, το οποίο είναι άτοπο διότι ο p είναι πρώτος.Αν a = 2k +1 και b = 2l , τότε p = a2+b2 = 4(k2+k)+1+4l 2 = 4(k2+k + l 2)+1, και παρόµοια αν a = 2kκαι b = 2l +1, τότε p = a2 +b2 = 4(k2 + l 2 + l )+1. ΄Αρα αν ο p είναι άθροισµα δυο τετραγώνων, τότε ο pείναι της µορφής 4n +1.

    «2. =⇒ 1.» Υποθέτουµε ότι ο πρώτος p είναι της µορφής 4n + 1, όπου n ≥ 1. Τότε (p − 1)! =(2n)! · (2n +1)(2n +2) · · ·4n = (2n)! · (p −2n) · · · (p −1). Θεωρώντας αυτή τη σχέση mod p, ϑα έχουµε:

    (p −1)! ≡ 1 ·2 · · · (2n)! · (−2n) · · · (−1)(mod p) ≡ (1 ·2 · · ·2n)2(−1)2n (mod p) = (2n)!(−1)n (mod p)

    Θέτοντας x = (2n)!(−1)n , χρησιµοποιώντας ότι από το Θέωρηµα του Wilson της Στοιχειώδους ΘεωρίαςΑριθµών4 έχουµε (p − 1)! ≡ −1(mod p), έπεται ότι : x2 ≡ −1(mod p), και εποµένως p | x2 + 1. Τότε

    4Υπενθυµίζουµε ότι το Θεώρηµα του Wilson πιστοποιεί ότι για έναν ϑετικό ακέραιο p > 1 ισχύει ότι :ο p είναι πρώτος ⇐⇒ (p −1)! ≡ −1(mod p)

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 451

    εργαζόµενοι στην περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης Z[i ], ϑα έχουµε p | (x + i )(x − i ). Αν p | x + i ,τότε ϑα έχουµε p(a +bi ) = x + i , για κάποιο a +bi ∈ Z[i ], δηλαδή pa +pbi = x + i , απ΄ όπου pb = 1και αυτό είναι άτοπο διότι p > 2. Παρόµοια, p | x − i , τότε ϑα έχουµε p(c +di ) = x − i , για κάποιοc + di ∈ Z[i ], δηλαδή pc + pdi = x − i , απ΄ όπου pd = −1 και αυτό είναι άτοπο διότι p > 2. ΄Αρατο στοιχείο p δεν είναι πρώτο και εποµένως δεν είναι ανάγωγο. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν µη-αντιστρέψιµα στοιχεία a +bi ,c +di ∈ Z έτσι ώστε p = (a +bi )(c +di ) και τότε χρησιµοποιώντας τηνΕυκλείδεια στάθµη δ : Z[i ] −→N0, δ(a +bi ) = a2 +b2, έπεται ότι

    δ(p) = p2 = δ((a +bi )(c +di ))= δ(a +bi )δ(c +di ) = (a2 +b2)(c2 +d 2)΄Αρα p ·p = (a2 +b2)(c2 +d 2), απ΄ όπου ϑα έχουµε ότι p = a2 +b2 = c2 +d 2. ■

    ΄Ασκηση 10.2.16. 1. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει πρώτος αριθµός p της µορφής 4n+3 ο οποίος ικανοποιείτη γραµµική ισοτιµία x2 ≡−1 mod p, δηλαδή ότι p | x2 +1 για κάποιον ακέραιο x.

    2. Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθµοί της µορφής 4n +1.Λύση. 1. Υποθέτουµε ότι υπάρχει πρώτος p της µορφής 4n + 3 έτσι ώστε η ισοτιµία x2 ≡ −1mod p να

    έχει λύση, έστω x. Επειδή p = 4n +3, ϑα έχουµε p −1 = 4n +3−1 = 4n +2 = 2(2n +1) και εποµένωςp−1

    2 = 4n +1. Τότε

    x2 ≡−1mod p =⇒ (x2) p−12 ≡ (−1) p−12 mod p =⇒ xp−1 ≡ (−1)2n+1 mod p =⇒ xp−1 ≡−1mod p

    Προφανώς ϑα έχουµε (x, p) = 1 διότι διαφορετικά αν (x, p) = d > 1, τότε d | p και άρα d = p. Τότεp | x και άρα x ≡ 0mod p και άρα x2 ≡ 0mod p και επειδή από την υπόθεση x2 ≡−1mod p έπεται ότι0 ≡−1mod p δηλαδή p | 1 το οποίο είναι άτοπο. ΄Αρα (x, p) = 1 και τότε από το Θεώρηµα του Fermatαπό τη Στοιχειώδη Θεωρία Αριθµών5, έχουµε xp−1 ≡ 1mod p. ΄Αρα ϑα έχουµε xp−1 ≡ 1mod p καιxp−1 ≡−1mod p, απ΄ όπου 1 ≡−1mod p, δηλαδή p | 2 και άρα p = 2. Αυτό είναι άτοπο διότι ο πρώτοςp είναι περιττός. ΄Αρα η ισοτιµία x2 ≡−1mod p δεν έχει λύση.

    2. Υποθέτουµε ότι υπάρχει πεπερασµένο πλήθος πρώτων αριθµών της µορφής 4n +1, και έστω ότι όλοιοι πρώτοι αυτής της µορφής είναι οι : p1, p2, · · · , pk . Θεωρούµε τον αριθµό

    A = (2p1p2 · · ·pk )2 +1

    ο οποίος είναι της µορφής 4n +1 διότι A = 4(p1p2 · · ·pk )2 +1. Προφανώς A > 1 και άρα ο A έχει ένανπρώτο διαιρέτη p. Οι πρώτοι διαιρέτες του αριθµού A είναι είτε το 2 είτε περιττοί της µορφής 4n +1και 4n+3. Προφανώς 2 - A διότι ο A είναι περιττός. Αν υπάρχει πρώτος διαιρέτης p του A της µορφής4n +3, τότε

    A ≡ 0 mod p =⇒ (2p1p2 · · ·pk )2 +1 ≡ 0 mod p =⇒ (2p1p2 · · ·pk )2 ≡−1 mod p

    και άρα η ισοτιµία x2 ≡ −1 mod p έχει µια λύση, την x = 2p1p2 · · ·pk , και αυτό είναι άτοπο από τοµέρος 1. διότι υποθέσαµε ότι ο p είναι της µορφής 4n+3. Εποµένως όλοι οι πρώτοι διαιρέτες του A ϑαείναι της µορφής 4n +1. ΄Εστω p είνας πρώτος διαιρέτης του A ο οποίος ϑα είναι της µορφής 4n +1,και άρα ϑα είναι κάποιος από τους pi , 1 ≤ i ≤ k, έστω ότι p = pi . Τότε προφανώς p = pi | (2p1p2 · · ·pk )2και επειδή p | A, έπεται ότι p | A− (2p1p2 · · ·pk )2 = 1, δηλαδή p | 1 και αυτό είναι άτοπο. Εποµένως τοπλήθος των πρώτων αριθµών της µορφής 4n +1 είναι άπειρο. ■

    5Υπενθυµίζουµε ότι το Θεώρηµα του Fermat πιστοποιεί ότι για έναν πρώτο p και για έναν ακέραιο a, ισχύει ότι :

    (a, p) = 1 =⇒ ap−1 ≡ 1(mod p)

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 452

    ΄Ασκηση 10.2.17. Να προσδιορισθούν όλα τα πρώτα στοιχεία του δακτυλίου Z[i ] των ακεραίων του Gauss.

    Λύση. Γνωρίζουµε από την ΄Ασκηση 10.2.14 ότι αν z = a + bi είναι ένα πρώτο στοιχείο του Z[i ], τότε οϑετικός ακέραιος zz = a2 +b2 είναι ένας πρώτος ακέραιος p. Οι πρώτοι ϑετικοί ακέραιοι είναι είτε το 2 είτετης µορφής 4n +1 είτε της µορφής 4n +3.

    1. Υποθέτουµε ότι : p = 2. Τότε a2 +b2 = 2, απ΄ όπου έπεται ότι : a = 1 και b = 1, είτε a = 1 και b =−1, είτεa =−1 και b = 1, είτε a =−1 και b =−1. Με άλλα λόγια

    z = 1+ i ή z = 1− i ή z =−1+ i ή z =−1− i

    δηλαδή z = 1+ i ή κάποιο από τα συντροφικά του στοιχεία −z, i z, −i z.2. Υποθέτουµε ότι ο πρώτος p είναι της µορφής 4n+3. Τότε ο p είναι και πρώτο στοιχείο του Z[i ]. Πράγµατι,

    αν το στοιχείο p δεν είναι πρώτο στον δακτύλιο Z[i ], τότε ϑα έχουµε p = w1 · w2, όπου τα στοιχείαw1, w2 ∈Z[i ] δεν είναι αντιστρέψιµα, και άρα δ(w1) 6= 1 6= δ(w2), ϐλέπε την ΄Ασκηση 10.2.9. Τότε p2 =δ(p) = δ(w1w2) = δ(w1)δ(w2) στον δακτύλιο Z, και άρα αναγκαστικά ϑα έχουµε δ(w1) = p = δ(w2). Ανw1 = k + l i , τότε p = k2 + l 2 και άρα ο πρώτος p είναι άθροισµα τετραγώνων δύο ακεραίων. Από την΄Ασκηση 10.2.15 έπεται ότι ο p ϑα είναι της µορφής 4n+1 και αυτό είναι άτοπο διότι ο p είναι πρώτοςτης µορφής 4n +3. Εποµένως ο πρώτος ϑετικός ακέραιος p είναι πρώτο στοιχείο του Z[i ].

    3. Υποθέτουµε ότι ο πρώτος ϑετικός ακέραιος p είναι της µορφής 4n +1. Σύµφωνα µε την ΄Ασκηση 10.2.14,τα στοιχεία z = a + bi και z = a − bi είναι πρώτα στοιχεία του Z[i ]. Τα στοιχεία a + bi και a − biδεν είναι συντροφικά διότι, επειδή τα αντιστρέψιµα στοιχεία του Z[i ] είναι τα στοιχεία της οµάδαςU(Z[i ]) = {1,−1, i ,−i}, ϑα έπρεπε να είχαµε είτε a +bi = −(a +bi ) = −a −bi είτε a +bi = i (a +bi ) =−b + i a είτε a + bi = −i (a + bi ) = −b − i a. Ισοδύναµα ϑα έπρεπε να είχαµε 2a + 2bi = 0 και άραa = b = 0 το οποίο είναι άτοπο, είτε b = a = −b και άρα a = b = 0 το οποίο είναι άτοπο, είτε a = −bκαι άρα z = a +bi = a − ai = a(1− i ) και το οποίο και αυτό είναι άτοπο διότι διαφορετικά ϑα είχαµεp = a2 +a2 = 2a2 και άρα 2 | p, δηλαδή p = 2 και αυτό δεν ισχύει διότι ο πρώτος p είναι περιττός. ΄Αρατα πρώτα στοιχεία a +bi και a −bi δεν είναι συντροφικά.

    ΄Ετσι έχουµε p = a2 +b2 = (a +bi )(a −bi ), όπου τα στοιχεία a +bi και a −bi είναι πρώτα και µη-συντροφικά στοιχεία του Z[i ]. Αν p = (c +di )(c −di ) όπου τα στοιχεία c +di και c −di είναι πρώταστοιχεία του Z[i ], τότε επειδή ο δακτύλιος Z[i ] είναι περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, έπεται ότιυπάρχει αντιστρέψιµο στοιχείο u ∈ Z[i ], και άρα u ∈ {1,−1, i ,−i}, έτσι ώστε είτε c +di = u(a +bi ) είτεc +di = u(a −bi ). Αν u = −1, ϑα έχουµε είτε c = −a και d = −b είτε c = −a και b = d . Αν u = i , ϑαέχουµε είτε c =−b και d = a είτε c = b και d = a. Αν u =−i , ϑα έχουµε είτε c = b και d =−a είτε c =−aκαι d =−a. Εποµένως c+di = (±)a+(±b)i , και άρα η παράσταση του p ως p = a2+b2 = (a+bi )(a−bi )είναι µοναδική µε ακρίβεια προσήµου και διάταξης των ακεραίων a,b. Εποµένως αν ο πρώτος p είναιτης µορφής 4n +1, τότε υπάρχουν ακριβώς δύο πρώτα µη-συντροφικά στοιχεία του Z[i ], τα a +bi καιa −bi και τα οποία ικανοποιούν τη σχέση p = a2 +b2.

    Συνοψίζοντας : τα πρώτα στοιχεία του Z[i ], µε ακρίβεια συντροφικών στοιχείων, είναι τα εξής :

    1. Το στοιχείο 1+ i ,2. ΄Ολοι οι πρώτοι ακέραιοι της µορφής 4k +1,3. ΄Ολα τα στοιχεία της µορφής a +bi και a −bi έτσι ώστε ο ϑετικός ακέραιος a2 +b2 είναι πρώτος της

    µορφής 4k +1. ■

    ΄Ασκηση 10.2.18. Να δειχθεί ότι για κάθε πρώτο αριθµό p, το ακόλουθο σύνολο

    Z(p) ={ a

    b∈Q ∣∣ p - b}

    είναι ένας υποδακτύλιος τουQ ο οποίος είναι Ευκλείδεια περιοχή, και εποµένως είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 453

    Λύση. Εύκολα ϐλέπουµε ότι το σύνολο Z(p) είναι ένας υποδακτύλιος του Q και εποµένως είναι µια ακέραιαπεριοχή. Αν cb ∈Z(p), τότε για τον αριθµητή c µπορούµε προφανώς να γράψουµε c = p t a, όπου t ∈N0 καιa ∈Z και p - a. ΄Ετσι από τώρα και στο εξής, τα στοιχεία του Z(p) µπορούν να γραφούν ως

    p t a

    b, t ∈N0, a,b ∈Z, b 6= 0, και p - a, p - b

    Ορίζουµε απεικόνιση

    δ : Z(p) \{0} −→ N0, δ( p t a

    b

    )= t΄Εστω ότι x = p t ab και 0 6= y =

    p s cd είναι στοιχεία του Z(p), όπου a,b,c,d ∈Z, b,d 6= 0 και ο p δεν διαιρεί κανέναν

    από τους a,b,c,d . Αν t < s, τότε ϑέτουµε r = x και q = 0, και ϑα έχουµε x = q y +r και δ(x) = t < s = δ(y) = s.Αν t ≥ s, µπορούµε να ϑεωρήσουµε τον ϱητό αριθµό

    q = xy=

    p t ab

    p s cd

    = pt ad

    p s bc= p

    t−s adbc

    ο οποίος ανήκει στον δακτύλιο Z(p) διότι p 6= bc αφού ο p είναι πρώτος και p - b,c. ΄Ετσι x = q y + r , όπουr = 0. Εποµένως η απεικόνιση δ είναι µια Ευκλείδεια στάθµη στην ακέραια περιοχή Z(p) και εποµένως οδακτύλιος Z(p) είναι µια Ευκλείδεια περιοχή, και εποµένως είναι µια περιοχή κυρίων ιδεωδών. ■

    ΄Ασκηση 10.2.19. ΄Εστω R µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης και p ∈ R ένα στοιχείο της. Θεωρούµετο ιδεώδες (p, t ) του δακτυλίου πολυωνύµων R[t ] το οποίο παράγεται από το σταθερό πολυώνυµο p και τοπολυώνυµο t . Να δειχθεί ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός δακτυλίων :

    R[t ]/(p, t )∼=−→ R/(p)

    Λύση. Ορίζουµε απεικόνιση

    f : R[t ] −→ R/(p), P (t ) =m∑

    k=0ak t

    k 7−→ f (P (t )) = a0 + (p)

    1. Η απεικόνιση f είναι ένας επιµορφισµός δακτυλίων. Πράγµατι, ϑα έχουµε f (1) = 1+ (p), όπου 1 είναι τοσταθερό πολυώνυµο 1 = 1R ∈ R[t ], και άρα η f στέλνει την µονάδα του R[t ] στην µονάδα του R/(p). ΑνP (t ) =∑rk=0 ak t k και Q(t ) =∑mk=0 bk t k είναι δύο πολυώνυµα του R[t ], µπορούµε να υποθέσουµε χωρίςϐλάβη της γενικότητας ότι r ≤ m και τότε µπορούµε να γράψουµε P (t ) =∑mk=0 ak t k όπου ar+1 = ·· · =am = 0. Τότε ϑα έχουµε

    f(P (t )+Q(t ))= f ( m∑

    k=0ak t

    k +m∑

    k=0bk t

    k)= f ( m∑k=0

    (ak +bk )t k)= (a0 +b0)+ (p) =

    = (a0 + (p))+ (b0 + (p)) = f (P (t ))+ f (Q(t ))Παρόµοια, ϑέτοντας ck =

    ∑ks=0 as bk−s , 0 ≤ k ≤ r +m, ϑα έχουµε:

    f(P (t ) ·Q(t ))= f ( r∑

    k=0ak t

    k ·m∑

    k=0bk t

    k)= f ( r+m∑k=0

    ck tk)= c0 + (p) = (a0b0)+ (p) =

    = (a0 + (p))(b0 + (p)) = f (P (t )) f (Q(t ))΄Ετσι η απεικόνιση f είναι ένας οµοµορφισµός δακτυλίων. Αν a+(p) ∈ R/(p), τότε ϑεωρούµε το σταθερόπολυώνυµο P (t ) = a ∈ R[t ] και τότε προφανώς ϑα έχουµε

    f (P (t )) = f (a) = a + (p)και εποµένως πράγµατι η απεικόνιση f είναι επιµορφισµός δακτυλίων.

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 454

    2. Θα δείξουµε ότι : Ker( f ) = (p, t ). ΄Εστω P (t ) =∑mk=0 ak t k ∈ (p, t ). Υπενθυµίζουµε ότι (p, t ) = (p)+ (t ) καιάρα:

    (p, t ) = (p)+ (t ) = {A(t )+B(t ) ∈ R[t ] | A(t ) ∈ (p) και B(t ) ∈ (t )}== {A(t )+B(t ) ∈ R[t ] | A(t ) = ps και B(t ) = m∑

    k=1ak t

    k , για κάποια s, a1, · · · , am ∈ R}

    Αν P (t ) := A(t )+B(t ) = ps +∑mk=1 ak t k ∈ (p, t ), τότε f (A(t )+B(t )) = ps + (p) = (p) = 0R/(p) και άραP (t ) ∈Ker( f ), δηλαδή (p, t ) ⊆Ker( f ).Αντίστροφα, έστω P (t ) = ∑mk=0 ak t k ένα πολυώνυµο του R[t ] το οποίο ανήκει στον πυρήνα Ker( f ) καιεποµένως ϑα έχουµε:

    f (P (t )) = f ( m∑k=0

    ak tk)= a0 + (p) = 0R/(p) =⇒ a0 + (p) = (p) =⇒ a0 ∈ (p) =⇒ ∃b ∈ R : a0 = pb

    Τότε P (t ) = a0+a1t +·· ·+am t m = pb+(a1+a2t +·· ·+an t n−1)t ∈ (p)+(t ) = (p, t ) και άρα Ker( f ) ⊆ (p, t ).Συνοψίζοντας, δείξαµε ότι

    Ker( f ) = (p, t )

    3. Από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ∆ακτυλίων, έπεται ότι ο επιµορφισµός f επάγει έναν ισοµορ-ϕισµό δακτυλίων

    R[t ]/(p, t )∼=−→ R/(p) ■

    Η επόµενη ΄Ασκηση δείχνει ότι το Θεώρηµα 10.1.20 για περιοχές κυρίων ιδεωδών, ισχύει και στο γενι-κότερο πλαίσιο των περιοχών µονοσήµαντης ανάλυσης.

    ΄Ασκηση 10.2.20. ΄Εστω R µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης, και έστω 0 6= p ∈ R ένα µη-µηδενικό στοιχείοτης : Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα:

    1. Το στοιχείο p είναι ανάγωγο.

    2. Το ιδεώδες (p) είναι µεγιστοτικό.

    3. Το ιδεώδες (p) είναι πρώτο.

    4. Το στοιχείο p είναι πρώτο.

    Ιδιαίτερα κάθε µη-µηδενικό πρώτο ιδεώδες µιας περιοχής κυρίων ιδεωδών είναι µεγιστοτικό ιδεώδες.

    Λύση. 1. «1. ⇐⇒ 4.» Από το Θεώρηµα 10.1.25 προκύπτει ότι σε µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης,τα πρώτα και τα ανάγωγα στοιχεία ταυτίζονται.

    2. «2. =⇒ 3.» Προκύπτει άµεσα διότι δε κάθε µεταθετικό δακτύλιο, κάθε µεγιστοτικό ιδεώδες είναιπρώτο.

    3. «3. ⇐⇒ 4.» [Αυτή η ισοδυναµία ισχύει σε κάθε ακέραια περιοχή]. ΄Εστω ότι το στοιχείο p είναι πρώτο καιέστω ab ∈ (p). Τότε ab = pc για κάποιο c ∈ R και άρα p | ab. Επειδή το στοιχείο p είναι πρώτο, ϑαέχουµε p | a ή p | b, δηλαδή a ∈ (p) ή b ∈ (p). ΄Αρα το ιδεώδες (p) είναι πρώτο. Αντίστροφα, έστω ότι τοκύριο ιδεώδες (p) είναι πρώτο, και έστω ότι a,b ∈ R είναι στοιχεία του R τέτοια ώστε : p | ab. Τότε ϑαέχουµε ότι ab = pc ∈ (p) για κάποιο c ∈ R και τότε επειδή το ιδεώδες (p) είναι πρώτο, έπεται ότι είτεa ∈ (p) είτε b ∈ (p). Ισοδύναµα αυτό σηµαίνει ότι είτε a = pc για κάποιο c ∈ R είτε b = pd για κάποιοd ∈ R. ∆ηλαδή είτε p | a είτε p | b.

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 455

    4. «4. =⇒ 2.» ΄Εστω ότι p είναι ένα πρώτο στοιχείο του R και έστω I ⊆ R ένα ιδεώδες του R έτσι ώστε

    (p) ⊆ I ⊆ R

    Υποθέτουµε ότι (p) 6= I και ϑα δείξουµε ότι I = R. Επειδή (p) 6= I , υπάρχει στοιχείο x ∈ I \ (p). Επειδήσε µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης υπάρχει ο µέγιστος κοινός διαιρέτης δύο τυχόντων στοιχείων,έπεται ότι µπορούµε να ϑεωρήσουµε τον µέγιστο κοινό διαιρέτη d = (x, p). Από το Θεώρηµα 10.1.9έπεται ότι υπάρχουν στοιχεία a,b ∈ R έτσι ώστε d = ax+pb. Επειδή d | p και το στοιχείο p είναι πρώτο,έπεται ότι το στειχείο d είναι, µε ακρίβεια συντροφικότητας, είτε αντιστρέψιµο είτε της µορφής d = up,όπου το στοιχείο u ∈ R είναι αντιστρέψιµο. Αν d = up, τότε επειδή έχουµε και d | x, έπεται ότι x = dcγια κάποιο c ∈ R και άρα ϑα έχουµε x = dc = puc ∈ (p) το οποίο είναι άτοπο. Εποµένως η δεύτερηπερίπτωση δεν εµφανίζεται και άρα το στοιχείο d είναι αντιστρέψιµο. Τότε επειδή p, x ∈ I και το I είναιιδεώδες, από τη σχέση d = ax +py έπεται ότι d ∈ I και επειδή το στοιχείο d είναι αντιστρέψιµο, ϑαέχουµε I = R. ΄Αρα το ιδεώδες (p) είναι µεγιστοτικό. ■

    ΄Ασκηση 10.2.21. ΄Εστω R µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης και p ∈ R \{0} ένα µη-µηδενικό στοιχείο της.Θεωρούµε το ιδεώδες (p, t ) του δακτυλίου πολυωνύµων R[t ] το οποίο παράγεται από το σταθερό πολυώνυµο pκαι το πολυώνυµο t . Να δειχθεί ότι :

    το ιδεώδες (p, t ) είναι πρώτο ⇐⇒ το ιδεώδες (p, t ) είναι µεγιστοτικό ⇐⇒ το στοιχείο p είναι πρώτο

    Λύση. Από την ΄Ασκηση 10.2.19 έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων

    R[t ]/(p, t )∼=−→ R/(p)

    Τότε το ιδεώδες (p, t ) του δακτυλίου R[t ] είναι πρώτο αν και µόνον αν ο δακτύλιος πηλίκο R[t ]/(p, t ) είναιακέραια περιοχή ή ισοδύναµα αν και µόνον αν ο δακύλιος R/(p) είναι ακέραια περιοχή, και παρόµοιατο ιδεώδες (p, t ) του R[t ] είναι µεγιστοτικό αν και µόνον αν ο δακτύλιος πηλίκο R[t ]/(p, t ) είναι σώµα ήισοδύναµα αν και µόνον αν ο δακτύλιος R/(p) είναι σώµα. Το Ϲητούµενο τώρα προκύπτει µε χρήση της΄Ασκησης 10.2.20 σύµφωνα µε την οποία ένα στοιχείο p σε µια περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης R, είναιπρώτο αν και µόνον αν το στοιχείο p είναι ανάγωγο αν και µόνον αν το ιδεώδες (p) είναι πρώτο αν και µόνοναν το ιδεώδες (p) είναι µεγιστοτικό. ■

    ΄Ασκηση 10.2.22. Θεωρούµε ένα σώµα K και έστω K[x, y] ο δακτύλιος πολυωνύµων στις δύο µεταβλητές.Αν P (x) ∈K[x] ⊆K[x, y], να δειχθεί ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός δακτυλίων

    K[x, y]/(P (x), y)∼=−→ K[x]/(P (x))

    Εποµένως το ιδεώδες (P (x), y) είναι πρώτο αν και µόνον αν είναι µεγιστοτικό αν και µόνον αν το πολυώνυµοP (x) είναι ανάγωγο.

    Ως εφαρµογή να δειχθούν τα εξής :

    1. R[x, y]/(x2 +1, y) ∼=C.2. Ο δακτύλιος Z[x, y]/(xn −p, y), όπου p είναι πρώτος ϑετικός ακέραιος και n ≥ 1, είναι σώµα.

    Λύση. Θέτουµε R = K[x] ο οποίος είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών και άρα είναι περιοχή µονοσήµαντηςανάλυσης. Τότε R[y] =K[x, y], και τότε από την ΄Ασκηση 10.2.19 έπεται ότι

    K[x, y]/(P (x), y) = R[y]/(P (x), y) ∼=−→ R/(P (x)) =K[x]/(P (x))

    Από την ΄Ασκηση 10.2.21, έπεται το Ϲητούµενο : το ιδεώδες (P (x), y) είναι πρώτο αν και µόνον αν είναιµεγιστοτικό αν και µόνον αν το πολυώνυµο P (x) είναι ανάγωγο.

  • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. ∆ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΚΥΡΙΩΝ Ι∆ΕΩ∆ΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 456

    1. Το πολυώνυµο P (x) = x2 +1 είναι ανάγωγο υπεράνω του R, και άρα ϑα έχουµε:

    R[x, y]/(x2 +1, y) ∼=−→ R[x]/(t 2 +1) ∼=−→ C

    2. Θα έχουµε έναν ισοµορφισµό δακτυλίων

    Z[x, y]/

    (xn −p, y) ∼=−→ Z[x]/(t n −p)Το πολυώνυµο t n −p είναι ανάγωγο υπεράνω της περιοχή µονοσήµαντης ανάλυσης Z[x], ϐλέπε την΄Ασκηση 8.2.13, και εποµένως το ιδεώδες (t n −p) είναι µεγιστοτικό. Εποµένως ο δακτύλιος πηλίκοZ[x]/(t n −p) είναι σώµα. ■

    ΄Ασκηση 10.2.23. ΄Εστω R µια ακέραια περιοχή και I ένα ιδεώδες του R. Θέτουµε R = R/I και, για κάθεστοιχείο r ∈ R, ϑέτουµε r = r + I . Να δειχθεί ότι η απεικόνιση