a Exercicios de Vestibular

25
1 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO

Transcript of a Exercicios de Vestibular

Page 1: a Exercicios de Vestibular

1

TRIGONOMETRIATRIÂNGULO RETÂNGULO

Page 2: a Exercicios de Vestibular

2

TRIGONOMETRIA

Triângulo Retângulo

sen =

cos =

tg =

b

a

c

ab

c

Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 3e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo.

m

12m

34

3

3αtg

12

34αtg

= 30o

Page 3: a Exercicios de Vestibular

3

( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x

3 0 ° 6 0 °

A

B

CD

AD = x DC= x - 38 BD = y

tg 30o =

x x – 38

y

60o30o

y

x

3

3 yx

tg 60o = y

x – 38

3 =x – 38

y

(x – 38) 3 = y

=

3

3= (x – 38) 3

x

x = 3(x – 38)

x = 3x – 114

114 = 2x

57 = x

Page 4: a Exercicios de Vestibular

4

TRIGONOMETRIASENO COSSENO TANGENTE E

DEMAIS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Page 5: a Exercicios de Vestibular

5

SENO E COSSENO E TANGENTE

SENO

+ 1

– 1

+ +__

COSSENO

+ 1– 1

+

+

_

_

TANGENTE

+

+

_

_

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

sen2x + cos2 x = 1

tg x = sen xcos x

x sen = x cossec

1

x cos = x sec

1x sen

x cos

x tg = x cotg

1

Page 6: a Exercicios de Vestibular

6

a) cos x

sen2x + cos2 x = 1

1cos25

16 2 x

25

161cos2 x

25

9cos2 x

5

3xcos

1xcos5

4 22

tg x = sen xcos x

53

54

xtg

3

4xtg

b) tg x

c) cotg x

Sendo sen = 5

4 e

22

3 , calcule:

4

3

xtg

1xcotg

d) sec x

3

5

xcos

1xsec

e) cossec x

4

5

xcos

1xcossec

SENO

+ +__

COSSENO

++

__

TANGENTE

++

__

Page 7: a Exercicios de Vestibular

7

Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

180o

x 225o 225o = x.180o

4

5x

01. A medida em radianos de um arco de 225º é rad6

11πF

02. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para 2 m 3

– 1 2m – 5 1

– 1 + 5 2m 1 + 5

4 2m 6

2 m 3

V

Page 8: a Exercicios de Vestibular

8

04. Se sen x > 0, então cossec x < 0

sen 30o = 1/2 cossec 30o = 2

sen 210o = - 1/2

F

FP180o

160o

200o

cossec 210o = - 2

08. Se tg 20º = a, o valor de 2- éo

oo

tg200tg340tg160

F

360o

340o

tg 160o =tg 200o =tg 340o =

– tg 20o = tg 20o = – tg 20o =

– a a – a

+

+

_

_

o

oo

tg200tg340tg160

aa)(a-

a2a

– 2

V

Page 9: a Exercicios de Vestibular

9

16. Para todo x 1o quadrante, a expressão (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2x é igual a cos2x

(sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen2x

xsenx

xsen

xx

xsen

x2

coscos

1.

coscos

1

xsenx

xsen

x

xsen 2

cos

1.

cos

1

xsenx

xsen 2

2

22

cos

1

xsenx

xsen 2

2

2

cos

1

xsenx

x 2

2

2

cos

cos

sen2x + cos2 x = 1

sen2x = 1 – cos2 x

cos2x = 1 – sen2 x

1 – sen2 x

cos2 x

V

Page 10: a Exercicios de Vestibular

10

6

6

5 32. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para 0 x 2 é

x = ou x =

2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0

= b2 – 4ac

= 32 – 4.2.(-2)

= 25

a

bx

2

4

53xsen

22

1 xsenouxsen

2

1xsen

++30o150o

6

5,

6

S

V

Page 11: a Exercicios de Vestibular

11

( UFSC ) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é:

cossec x = 4

5

sen x = 5

4

sen2x + cos2 x = 1

1cos5

4 2

2

x

1cos25

16 2 x

25

161cos2 x

25

9cos2 x

5

3cos x

3

5sec x

tg x = sen xcos x

53

54

xtg

3

4xtg

9.(sec2 x + tg2 x)

22

3

4

3

59

9

16

9

259

9

419 41

Page 12: a Exercicios de Vestibular

12

TRIGONOMETRIAOPERAÇÃO COM ARCOS

Page 13: a Exercicios de Vestibular

13

Adição e Subtração de Arcos

sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a

cos (a b) = cos a . cos a sen a . sen b

sen 75º =

sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30ºsen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a

2

3.

2

2

2

2.

2

1

sen 75º =4

62

cos 15º =

cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30ºcos (a – b) = cos a . cos b + sen a. sen b

cos 15º =4

62

2

1.

2

2

2

3.

2

2

Page 14: a Exercicios de Vestibular

14

O valor de cos 10o cos 35o – sen 10o. sen 35º, é:

sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a

cos (a b) = cos a . cos a sen a . sen b

cos (a + b) = cos a . cos b - sen a. sen b

cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º cos (10º + 35o) =

cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º cos 45o =

= cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º

2

2

Page 15: a Exercicios de Vestibular

15

Seno e Cosseno do arco duplo

sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a

cos (a b) = cos a . cos a sen a . sen b

sen (2x) = 2sen x . cos x

cos (2x) = cos2 x - sen2 x

sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos xcos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x

Page 16: a Exercicios de Vestibular

16

Cálculo do sen x

sen2x + cos2 x = 1

125

16xsen2

25

161xsen2

25

9xsen2

5

3xsen

15

4 xsen

22

Sendo cos x = 5

4e

22

3 x , calcule sen 2x e cos 2x:

sen (2x) = 2sen x . cos x

cos (2x) = cos2 x - sen2 x

sen (2x) =

5

4.

5

3.2

sen (2x) =25

24

cos (2x) =25

9

25

16

cos (2x) =25

7

Page 17: a Exercicios de Vestibular

17

TRIGONOMETRIAFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

GRÁFICOS

Page 18: a Exercicios de Vestibular

18

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÃO SENO y = sen x

sen x

2

2

3

20

0 + 1 0 - 1 0

0o 90o 180o 270o 360o

x

x IMAGEM:

DOMÍNIO: REAIS

[-1, 1]

CRESCENTE:

DECRESCENTE:

1º. e 4º. q

2º. e 3º. q

PERÍODO: 2

Page 19: a Exercicios de Vestibular

19

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÃO COSSENO y = cos x

cos x

2

2

3

20

+1 0 - 1 0 +1

0o 90o 180o 270o 360o

x

x IMAGEM:

DOMÍNIO: REAIS

[-1, 1]

CRESCENTE:

DECRESCENTE:

3º. e 4º. q

1º. e 2º. q

PERÍODO: 2

Page 20: a Exercicios de Vestibular

20

FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m xf(x) = a + b cos m x

Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de:

a) y = 2 + sen x

sen x

2

2

3

20

0 + 1 0 - 1 0

0o 90o 180o 270o 360o

x

x

2 + sen x 2 3 2 1 2

IMAGEM: [1, 3]

PERÍODO: 2

Page 21: a Exercicios de Vestibular

21

FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m xf(x) = a + b cos m x

Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de:

b) y = 3sen x

sen x

2

2

3

20

0 + 1 0 - 1 0

0o 90o 180o 270o 360o

x

x

3sen x 0 3 0 -3 0

IMAGEM: [-3, 3]

PERÍODO: 2

Page 22: a Exercicios de Vestibular

22

FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m xf(x) = a + b cos m x

IMAGEM DA FUNÇÃO SENO E COSSENO: [a – b; a + b]

CONCLUSÕES: a desloca o gráficob estica o gráfico

Determinar a imagem da função f(x) = 2 + 3sen x

f(x) = 2 + 3 sen xf(x) = 2 + 3 (-1)

f(x) = 2 + 3 (1)

= - 1

= 5

IMAGEM: [-1, 5]

Determinar a imagem da função f(x) = 5 + 2cos x

f(x) = 5 + 2 cos xf(x) = 5 + 2 (-1)

f(x) = 5 + 2 (1)

= 3

= 7

IMAGEM: [3, 7]

Page 23: a Exercicios de Vestibular

23

PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO

m2π

TPeríodo

Determinar o período da função f(x) = sen 2x

FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m xf(x) = a + b cos m x

2

2πTPeríodo

Determinar o período da função f(x) = 3sen x/2

42

12π

TPeríodo

Page 24: a Exercicios de Vestibular

24

Determine o período da função f(x) = cos4x – sen4x é:

Um pouquinho de matemáticabásica

(a + b)(a – b) = a2 – b2

(x + 3)(x – 3) = x2 – 9

= x2 – 25(x + 5)(x – 5)

= cos4x – sen4x(cos2x + sen2x )(cos2x – sen2x)

= cos4x – sen4x(1)(cos2x)

f(x) = cos4x – sen4x

f(x) = cos 2x

2

2πTPeríodo

m2π

TPeríodo

= cos4x – sen4xcos2x

fórmulas do arco duplofórmulas do arco duplo

sen 2x = 2sen x.cos xsen 2x = 2sen x.cos xcos 2x = cos2 x – sen2 xcos 2x = cos2 x – sen2 x

Page 25: a Exercicios de Vestibular

25

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÃO TANGENTE y = tg x

tg x

2

2

3

20

0 não 0 não 0 existe existe

0o 90o 180o 270o 360o

x

x IMAGEM:

DOMÍNIO:

REAISCRESCENTE: SEMPREPERÍODO:

{x |x 2

+ k}

O domínio da função f(x) = tg 2x é:

24

22

22

kx

kx

kx