MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY NMEROS INTEIROS, OPERAES E PRINCIPAIS PROPRIEDADES. O conjunto dos nmeros inteiros ( ) est contido no conjunto dos nmeros reais, assim como os conjuntos dos nmeros naturais, racionais ou fracionrios e irracionais, e representado por = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}. No conjunto dos nmeros inteiros destacam-se os subconjuntos: * = conjunto dos inteiros no nulos + = conjunto dos inteiros no negativos = conjunto dos inteiros no positivos * + = conjunto dos inteiros positivos * = conjunto dos inteiros negativos As principais operaes com nmeros inteiros so: Adio, subtrao, multiplicao e diviso. Estudaremos agora as principais propriedades que envolvem os nmeros inteiros. ADIO Os termos da adio so denominados parcelas e o resultado da adio a soma ou total. Ex: 7 + 3 = 10 1 parcela 2 parcela soma ou total Qualquer adio ou subtrao de dois nmeros inteiros resulta sempre um nmero inteiro, dizemos ento que essas operaes esto bem definidas em ou, que o conjunto fechado para as operaes de adio e subtrao. Representao de um nmero inteiro A cada nmero, associamos um ponto de uma reta. Sobre esta reta, existe um ponto 0 (zero) denominado origem, a partir do qual medimos, sua esquerda os nmeros inteiros negativos e, sua direita, os positivos, assim: SUBTRAO Os termos da subtrao so denominados minuendo, subtraendo e resultado da operao de subtrao o resto ou diferena. Ex: 7 3 minuendo subtraendo = 4 resto ou diferena

A ordem dos termos altera a subtrao. Se a b a b b a A soma do minuendo com o subtraendo e resto igual ao dobro do minuendo. M + S + R = 2.M A subtrao a operao inversa da adio, ou seja, MS=RM=R+S

A ordem das parcelas no altera a soma. Ex: 7 + 3 = 3 + 7 = 10 O zero chamado elemento neutro da adio. Ex: 0 + 4 = 4 + 0 = 4 Exerccio 01 (COVEST) A tabela ao lado ilustra uma operao correta de adio, onde as parcelas e a soma esto expressas no sistema de numerao decimal e x, y e z so dgitos entre 0 e 9. Quanto vale x + y + z? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

Na reta, os nmeros inteiros aumentam da esquerda para a direita, ou seja, qualquer nmero inteiro maior que um outro que esteja sua esquerda. Ex: 2 > -3, veja!

O zero menor que qualquer inteiro positivo e maior que qualquer inteiro negativo. Ex: 0 < 3, mas 0 > -100 Todo nmero negativo menor que qualquer nmero positivo. Ex: -1000 < 1

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY Mdulo ou Valor Absoluto Podemos associar o valor absoluto de um nmero, distncia desse nmero ao 0 (zero), quando consideramos a representao dele na reta, logo o valor absoluto de um nmero nunca negativo e o representamos por n . (L-se: mdulo de n) Exemplos:-5 =5; - Ento escrevemos os dois totais encontrados, lado a lado, atribuindo o sinal do nmero com maior mdulo. (3 passo) 28 19 = + 9 ou 19 + 28 = + 9.

-8 =8; 0 =0;4 = 4.

Ateno! Ao somarmos nmeros inteiros de sinais contrrios, subtramos os seus mdulos e escrevemos, esquerda do resultado, o sinal do nmero inteiro de maior mdulo.

Ex2: Calcular o valor da expresso: 12 + 6 23 + 13 15 + 20 1.

Nmeros Simtricos ou OpostosDois nmeros so simtricos se tm mesmo mdulo e sinais contrrios. Veja!

5 e 5 so simtricos ou opostos. O oposto de 7 7. O oposto de zero o prprio zero. Dois nmeros simtricos tm sempre o mesmo mdulo. Ex: - 4 = 4 = 4. Adies e Subtraes com Nmeros Inteiros A maneira mais prtica de calcularmos adies e subtraes com nmeros inteiros fazendo as somas de forma separada. Veja nos exemplos seguintes:Ex1: Calcular o valor da expresso: 3 + 5 10 + 15 6 + 8.

Soluo. 1 passo: 6 + 13 + 20 = 39 2 passo: 12 + ( 23 ) + ( 15 ) + (1 ) = 51 3 passo: 39 51 = 12 ou 51 + 39 = 12 MULTIPLICAOOs termos de uma multiplicao so denominados fatores ou multiplicando (1 fator) e multiplicador (2 fator) e o resultado da multiplicao o produto. Ex: 25 x 4 = 100 1 fator 2 fator produto

O produto de dois nmeros inteiros sempre um nmero inteiro, ou seja, a operao de multiplicao est bem definida em . A ordem dos fatores no altera o produto. axb=bxa O nmero 1 o elemento neutro da multiplicao. 1xa=ax1 Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adio qualquer. ax(b + c) = axb + axc Podemos distribuir um fator pelos termos de uma subtrao qualquer. ax(b c) = axb axc

Soluo. Basta fazermos duas somas separadas:- uma s com os nmeros positivos: (1 passo) 5 + 15 + 8 = + 28 - uma s com os nmeros negativos: (2 passo) ( 3 ) + ( 10 ) + ( 6 ) = 19

Ateno! Ao somarmos nmeros de mesmos sinais, somamos os mdulos e repetimos, esquerda do resultado, o sinal desses nmeros.

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEYExerccio 02 Quantos algarismos usamos para enumerar as pginas de um livro de 235 pginas?

32 divisvel por 4 4 divide 32 Ex: 32 4 = 8 4 divisor de 32 32 mltiplo de 4 Multiplicaes e Divises com Nmeros Inteiros

Nas multiplicaes e divises de dois nmeros inteiros necessrio observar os sinais dos termos envolvidos na operao.Veja! DIVISOOs quatro nmeros inteiros envolvidos na diviso so o dividendo ( D ), o divisor ( d ), o quociente ( q ) e o resto ( r ). Na diviso inteira de D por d 0, existir um nico par de inteiros, q e r, tais que:

SINAIS IGUAIS + ( + 3 ) . ( + 5 ) = + 15 (3 ).(2)=+6 ( 15 ) ( 5 ) = + 3 ( + 20 ) ( + 4 ) = + 5

SINAIS OPOSTOS ( + 3 ) . ( 5 ) = 15 (3).(+2)=6 ( 15 ) ( + 5 ) = 3 (+ 20 ) ( 4 ) = 5

D = q . d + r em que 0 r d A diviso acima denominada Diviso euclidiana. O resto nunca pode ser negativo. O divisor nunca pode ser 0 (zero). O maior resto possvel uma unidade menor que o divisor, ou seja, r=d1. Ex1: Na diviso inteira de 50 por 7, temos:

Exerccio 03 (UNIVASF/08) Se hoje domingo, qual ser o dia da semana, passados 100 dias a partir de hoje? A) segunda-feira B) tera-feira C) quarta-feira D) quinta-feira E) sexta-feira

7 x 7 + 1 = 50 e 0 1 Ex2: Na diviso inteira de 50 por 7, temos: -8 x 7 + 6 = - 50 e 0 6

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Exerccio 04 (FCC TRT-PI/2010) Seja XYZ um nmero inteiro e positivo em que X, Y e Z representam os algarismos das centenas, das dezenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 36 935 (XYZ) = 83, correto afirmar que A) X = Z B) X . Y = 16 C) Z Y = 2X D) Y = 2X E) Z = X + 2

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Na diviso de D por d, se r = 0, temos D = q x d e a diviso denominada exata. Se a diviso de D por d 0 for exata, dizemos que D divisvel por d ou que D mltiplo de d ou ainda que d divisor de D ou d fator de D ou d divide D.3

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Exerccio 05 (CESPE/MP-08) O casal Pedro e Marisa, juntamente com o filho Jnior, de 6 anos de idade, foi a um restaurante que serve comida a quilo. A balana do restaurante estava com defeito e s funcionava para pesos superiores a 700g. Assim, depois de se servirem, eles pesaram os pratos dois a dois e os resultados foram os seguintes: Pedro e Marisa = 1,50 kg; Pedro e Jnior = 1,20 kg; Marisa e Jnior = 0,90 kg. Nessa situao, considerando que o restaurante cobra R$ 16,90 por 1 kg de comida, correto afirmar que71 nenhum dos pratos pesou mais que 800 g. 72 dois dos pratos pesaram, cada um, mais que 850 g. 73 Pedro comeu tanto quanto Marisa e Jnior juntos. 74 a despesa com a refeio dos trs foi superior a R$ 30,00.

Conjunto dos Mltiplos de um Nmero Inteiro

O conjunto dos mltiplos de um nmero inteiro n formado pelo produto desse nmero n por todos os nmeros inteiros. M ( n ) = { 0; 1n; 2n; 3n; 4n; 5n;...}Ex: M ( 3 ) = { 0; 3; 6; 9; 12; ...}

Qualquer nmero mltiplo de 1. O zero mltiplo de todo nmero. O zero tem somente um mltiplo: M ( 0 ) = { 0 }Critrios de Divisibilidade

Um critrio de divisibilidade uma regra que permite saber se um nmero ou no divisvel por outro.Divisibilidade por 2

Exerccio 06 (CORREIOS/08) o valor da expresso 2 - 3{2 - [(-3 + 2).(3 - 5)]} 1 : A) - 2 B) - 1 C) 1 D) 2

Um nmero divisvel por 2 quando par, ou seja, quando o seu algarismo das unidades 0, 2 4, 6 ou 8.Ex: 3.764 divisvel por 2. Divisibilidade por 3

Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos resulta num nmero divisvel por 3.Ex: 2496 divisvel por 3 , pois 2 + 4 + 9 + 6 = 21 que divisvel por 3. Divisibilidade por 4

Conjunto dos Divisores de um Nmero Inteiro

J vimos que um nmero inteiro m 0 divisor de outro inteiro n quando existe um inteiro p tal que n = m . p. Sendo assim, podemos indicar o conjunto dos divisores de um nmero inteiro n por D ( n ) = { m ; p tal que m . p = n }.Ex1: D ( 15) = { 1, 3; 5; 15 } Ex2: D ( 24) = { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Um nmero divisvel por 4 quanto termina por dois zeros ( 00) ou os dois algarismos da direita formam um nmero divisvel por 4.Ex: 124 e 4.500 so divisveis por 4. Divisibilidade por 5

O conjunto dos divisores de um nmero inteiro um conjunto finito. O maior divisor de um nmero inteiro n n . O 1 o menor divisor positivo de todo e qualquer nmero. D1=D O zero no pode ser divisor de nenhum nmero. O zero divisvel por qualquer nmero no nulo.

Um nmero divisvel por 5 quando o seu algarismo das unidades 0 ou 5.Ex: 1.245 divisvel por 5. Divisibilidade por 6

Um nmero divisvel por 6 quando mltiplo de 2 e de 3 simultaneamente, ou seja, quando par e divisvel por 3. Ex: 120 divisvel por 6, pois par e 1 + 2 + 0 = 3. 4

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY Divisibilidade por 7 Ex: 598 divisvel por 13, pois 59 + 4 x 8 = 59 + 32 = 91, se voc ainda no percebeu que 91 divisvel por 13, faa: 9 + 4 x 1 = 13 que divisvel por 13. Divisibilidade por 15

Um nmero divisvel por 7 quando a diferena entre a sua quantidade de dezenas e o dobro do valor do seu algarismo das unidades divisvel por 7.Ex: 266 divisvel por 7, pois 26 2 x 6 = 26 12 = =14, que divisvel por 7. Divisibilidade por 8

Um nmero divisvel por 15 quando divisvel por 3 e por 5 simultaneamente.Ex: 1005 divisvel por 15, pois termina por 5 e 1+0+0+5=6. Divisibilidade por 25

Um nmero divisvel por 8 quanto termina por trs zeros ( 000) ou os trs algarismos da direita formam um nmero divisvel por 8.Ex: 1.024 e 45.000 so divisveis por 8.

Um nmero divisvel por 25 quando os seus dois algarismos da direita formam 00, 25, 50 ou 75.Ex: 1.525, 6.000, 3.450 e 175 so divisveis por 25.

Divisibilidade por 9

Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos resulta um nmero divisvel por 9.Ex: 7.902 divisvel por 9 , pois 7 + 9 + 0 + 2 = 18, que divisvel por 9. Divisibilidade por 10, 100, 1000, etc.

Exerccio 07 (UNIVASF/07) Qual o dgito das unidades do produto 1x3x5x...x101x103, cujos fatores so os naturais mpares, de 1 at 103? A) 1 B) 5 C) 3 D) 7 E) 9Conjunto dos Nmeros Primos

Um nmero divisvel por 10, 100, 1000, etc. quando termina por 1, 2, 3, etc. zeros direita.Ex: 23.000, 4.300 e 3.780 so, respectivamente, divisveis por 1000, 100 e 10. Divisibilidade por 11

Um nmero inteiro n primo (n 0), quando tem, exatamente, quatro divisores, que so: 1, 1, n e n, ou seja, n primo D( n ) = { 1, 1, n, n}

Um nmero divisvel por 11 quando a diferena entre a soma dos algarismos de ordem mpar (a partir das unidades) e a soma dos algarismos de ordem par (a partir das dezenas ) resulta um nmero divisvel por 11.Ex: 13.816 divisvel por 11, pois 6 + 8 + 1= 15 (s.i.) e 1 + 3 = 4 (s.p.), fazendo (s.i.) (s.p.) = = 15 4 = 11, que divisvel por 11. Divisibilidade por 12

Caso n admita outros divisores, n denominado composto. Exemplos: 3, 5, 11 e 13 so inteiros primos. Hoje, apesar de se conhecer diversas funes que descrevem os nmeros primos, o mtodo mais prtico para a obteno de primos o Crivo de Eratstenes. Eratstenes ( 273 192 a.C.), bibliotecrio de Alexandria, famoso por sua descoberta acurada da circunferncia da Terra, por seu mapa do mundo, ento conhecido e pelo mtodo de isolar os nmeros primos num dado conjunto de nmeros naturais, que eram dispostos em ordem crescente em uma tbua, sendo furados os nmeros compostos. A tbua com diversos furos, tinha a semelhana de uma peneira, da o nome Crivo. Todos os primos so mpares, exceto o nmero 2, que nico nmero natural par e primo, pois todos os outros nmeros pares so mltiplos de 2. 5

Um nmero divisvel por 12 quando divisvel por 3 e por 4 simultaneamente.Ex: 120 divisvel por 12, pois termina por 20 e 1 + 2 + 0 = 3. Divisibilidade por 13

Um nmero divisvel por 13 quando a soma das suas dezenas com o qudruplo do algarismo das unidades resulta num nmero divisvel por 13.

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY Reconhecimento de um Nmero Natural Primo

Exerccio 08 Quantos divisores naturais tem o nmero 180?

Para reconhecermos se um nmero primo, devemos dividi-lo pelos sucessivos nmeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... , at obter um quociente exato ou um quociente no exato e menor ou igual ao divisor. Exemplo: Verificar se o nmero 71 primo. soluo Exerccio 09 (CORREIOS) Determine a sentena falsa: A) 770 divisvel por 7 B) 13 divisor de 260 C) O maior mltiplo de 9, menor que 100 99 D) 204 divisvel por 24

Obtivemos na ltima diviso, o quociente 6, menor que o divisor 11, o que nos garante que 71 primo.Fatorao de um Nmero Natural

Exerccio 10 (PM-PE/09) Carlos e Pedro so alunos muito aplicados em matemtica. Certo dia, Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver a seguinte questo: Determine o algarismo das unidades do 642 nmero (8325474) . Pedro resolveu o problema, chegando ao resultado correto. Qual foi o resultado a que Pedro chegou? A) 4 B) 2 C) 5 D) 6 E) 1

Todo nmero composto no nulo admite uma nica decomposio em fatores primos (sem levar em considerao a ordem dos fatores). Esse um dos teoremas demonstrados por Gauss. Fatorar um nmero significa decompor este nmero num produto de fatores primos.Quantidade de Divisores de um Nmero Inteiro

Mnimo Mltiplo Comum (M.M.C.)

Se a decomposio de um nmero natural composto n

n = (p1 ) a . (p2 ) b . (p3 ) c . ... . (pn ) qem que p1, p2, p3, ... , pn so os fatores primos de n e a, b, c, ... , q so os seus respectivos expoentes, ento o nmero de divisores naturais do nmero n dado por: (N de divisores naturais) = (a + 1).( b + 1).( c + 1)..... (q + 1) Logo o total de divisores inteiros do nmero n o dobro do nmero de divisores naturais, ou seja, (N de divisores inteiros) = 2.(a + 1 ).( b + 1 ).( c + 1 )..... ( q + 1 )

O Mnimo Mltiplo Comum (MMC) de dois ou mais nmeros inteiros e no nulos, o menor nmero inteiro positivo, que mltiplo de todos os nmeros dados. Exemplo: Dados os nmeros 3, 4 e 6, temos: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,...} M(4) = {0, 4; 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...} M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...} M(3) M(4) M(6) = {0, 12, 24, ...} MMC(3,4,6) = 12Existem outras maneiras de encontrar o MMC: Por decomposio em fatores primos e por fatorao simultnea.

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Exerccio 11 (UFPE) Um nibus chega a um terminal rodovirio a cada 4 dias. Um segundo nibus chega ao terminal a cada 6 dias e um terceiro, a cada 7 dias. Numa ocasio, os trs nibus chegaram ao terminal juntos. A prxima vez em que chegaro juntos novamente, ao terminal, ocorrer depois de: A) 60 dias B) 35 dias C) 124 dias D) 84 dias E) 168 dias

Mximo Divisor Comum (M.D.C.)

O Mximo Divisor Comum de dois ou mais nmeros inteiros e no nulos, o maior nmero inteiro, que divisor de todos os nmeros dados. Exemplo: Dados os nmeros 12, 18 e 30, temos: D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12} D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18} D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} D(12) D(18) D(30) = { 1, 2, 3, 6} MDC(12,18,30) = 6Existem outras maneiras de encontrar o MDC: Por decomposio em fatores primos e pelo mtodo das divises sucessivas.

Exerccio 12 (PM-BA/01) Trs policiais fazem plantes regularmente, o primeiro a cada 6 dias, o segundo a cada 8 dias e o terceiro a cada 10 dias, inclusive aos sbados, domingos feriados. Se no dia 12/06/01 os trs fizeram planto, a prxima coincidncia de data em seus plantes A) 10/08/01 B) 12/08/01 C) 10/09/01 D) 10/10/01 E) 12/10/01

Exerccio 14 (CORREIOS/08) O M.D.C. de 28 e 84 A) 4. B) 14. C) 7. D) 28. E) 21. Exerccio 15 (UFPE) Uma escola dever distribuir um total de 1260 bolas de gude amarelas e 9072 bolas de gude verdes entre alguns de seus alunos. Cada aluno contemplado receber o mesmo nmero de bolas amarelas e o mesmo nmero de bolas verdes. Se a escola possui 300 alunos e o maior nmero possvel de alunos da escola dever ser contemplado, qual o total de bolas que cada aluno contemplado receber? A) 38 B) 39 C) 40 D) 41 E) 42

Exerccio 13 (PM-PE/09) Trs ciclistas A, B e C treinam em uma pista. Eles partem de um ponto P da pista e completam uma volta na pista ao passarem novamente pelo mesmo ponto P. O ciclista A gasta 30 seg , o ciclista B, 45 seg, e o ciclista C, 40 seg, para dar uma volta completa na pista. Aps quanto tempo, os trs ciclistas passam juntos, no ponto P, pela terceira vez consecutiva? A) 18 min. B) 25 min. C) 30 min. D) 15 min. E) 20 min.

Se o MDC(a,b) = 1, ento a e b so denominados primos entre si. Ex: 10 e 21 so primos entre si. Quaisquer dois nmeros consecutivos so primos entre si. Ex: MDC(28,29) = 1. Se a mltiplo de b, ento o MMC(a,b) = a. Ex: MMC(6,12) = 12 Se a e b so primos entre si, ento o MMC(a,b) = a.b MDC(a,b) . MMC(a,b) = a . b

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY EXERCCIOS PROPOSTOS 06. (FCC TCE-SP/2010) De gosto muito duvidoso, Alfonso, a fim de distrair-se, estava escrevendo a sucesso dos nmeros naturais comeando do zero quando sua esposa o chamou para jantar, fazendo com que ele interrompesse a escrita aps escrever certo nmero. Considerando que, at parar, Alfonso havia escrito 4 250 algarismos, o ltimo nmero que ele escreveu foi

01. (UNIVASF) Joo folga em seu trabalho de 20 em 20 dias e Maria de 12 em 12 dias. Numa certa semana, Joo folgou na segunda-feira e Maria na sexta-feira. A partir dessa sexta feira em que Maria folgou, o nmero de dias decorridos at que eles folguem no mesmo dia, pela segunda vez, ser:

A) 1 339. B) 1 353. C) 1 587.

D) 1 599. E) 1 729.

A) 60 B) 78 C) 96

D) 124 E) 142

02. (CORREIOS/08) Um termmetro marcava - 4 graus pela manh, mas, tarde, a temperatura aumentou para 6 graus. Houve, portanto, uma variao de:

07. (CESGRANRIO BB/2010) De acordo com o Plano Nacional de Viao (PNV) de 2009, a malha de estradas no pavimentadas de Gois tem 62.868km a mais do que a malha de estradas pavimentadas. Sabe-se, tambm, que a extenso total, em quilmetros, das estradas no pavimentadas supera em 393km o sxtuplo da extenso das estradas pavimentadas. Quantos quilmetros de estradas pavimentadas h em Gois?

A) 12.495 B) 12.535 C) 12.652

D) 12.886 E) 12.912

A) 2 graus B) 10 graus C) 24 graus

D) 1,5 grau08. (FCLC) As idades de Caio e Cayane somam 27 anos, as de Cayane e Carla Eduarda 19 anos e as de Caio e Carla Eduarda 20 anos. A idade de Cayane :

03. (FCC Agente Penitencirio-BA/2010) O menor nmero possvel de lajotas quadradas inteiras necessrias para revestir um painel retangular, com 1,62 m de comprimento por 0,90 m de largura, como mostra a figura abaixo,

A) 6 anos B) 8 anos C) 13 anos

D) 14 anos E) 15 anos

A) 14 B) 18 C) 36 D) 45 E) 9204. (CESGRANRIO) Trs mas e uma pra equilibram-se, em uma balana, com treze ameixas. Cinco ameixas e uma ma, juntas, equilibram-se com uma pra. Considerando que todas as frutas de mesma natureza tm a mesma massa, o nmero de ameixas necessrio para equilibrar a pra :

09. (UFPB) Tenho 20 cdulas de R$ 5,00 e de R$ 10,00, no total de R$ 115,00. O nmero de cdulas de R$ 5,00 que tenho :

A) 2 B) 15 C) 17

D) 18 E) 19

10. (CORREIOS) Qual o menor nmero que maior que 100 e mltiplo comum de 3 e de 4 ?

A) 96 B) 102 C) 104

D) 108

A) 2 B) 8 C) 6

D) 7 E) 4 raiz da equao

05. (CORREIOS/08) A 10x + [4x - (x + 3)] = 10 : A) 1 D) 0 B) 2 C) 3

11. (FACAPE/08.2) Com base no produto dos nmeros 315456 7054931, podemos afirmar que o resto da diviso do mesmo por 6 corresponde a:

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY 12. (UFC) Um nmero positivo N, de dois algarismos, tal que, ao inverterem-se os dois algarismos, o novo nmero assim formado excede N em 27 unidades. Se a soma dos algarismos de N igual a 11 qual o valor de N? 17. (CORREIOS/08) O maior mltiplo de 8 e menor que 1000 :

A) 800 B) 88 C) 992

D) 998

A) 47 B) 74 C) 38

D) 83 E) 65

13. (UEFS) Numa empresa que promove eventos, existem 108 faxineiras, 60 garons e 84 ajudantes de cozinha. Se cada equipe de trabalho deve conter o mesmo nmero X de faxineiras, o mesmo nmero Y de garons e o mesmo nmero Z de ajudante de cozinha, o nmero mximo de equipes que se podem formar igual a:

18. (BNB/04) Uma agncia bancria vende dois tipos de aes. O primeiro tipo vendido a R$ 1,20 por cada ao e o segundo a R$ 1,00. Se um investidor pagou R$ 1.050,00 por mil aes, ento necessariamente ele comprou:

A) 300 aes do primeiro tipo B) 300 aes do segundo tipo C) 250 aes do primeiro tipo D) 250 aes do segundo tipo E) 200 aes do primeiro tipo19. (PM-PE/09) Resolvendo o sistema abaixo, CORRETO afirmar que 2xy igual a

A) 6 B) 9 C) 12

D) 15 E) 30

14. (UEFS) Joo e Maria se conheceram numa sala de bate papo, na internet, no dia 30 de dezembro de 1999. Como Joo s acessa essa sala de 3 em 3 dias, e Maria, de 5 em 5 dias, o prximo encontro dos dois poder ocorrer em janeiro de 2000, no dia.

A) 12 B) 24 C) 16 D) 20 E) 18

6 5 x+y =4 2 10 + =3 x y

20. (CORREIOS/08) O M.M.C. de 32 e 18

A) 14 B) 15 C) 18

D) 25 E) 30

A) 288. B) 144. C) 432.

D) 576. E) 720.

15. (TTN) Certa quantidade de sacos precisa ser transportada e para isto dispe-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento, sobram treze sacos; se colocarmos trs sacos em cada jumento sobram trs jumentos. Quantos sacos precisam ser carregados?

21. (UNIVASF/09) Em um teste contendo 30 questes, cada questo certa vale 3 pontos, e cada erro vale -1 ponto. Se um estudante respondeu todas as questes, e teve nota 46, quantas questes ele errou?

A) 18 B) 19 C) 27

D) 36 E) 57

A) 8 B) 9 C) 10

D) 11 E) 12

16. (BNB/07) Dentre os servios que um BANCO presta comunidade, h trs pelos quais cobra as taxas X, Y e Z em reais. Ao final do expediente de um dia de trabalho, os caixas A, B e C anotaram os valores recebidos referentes s taxas supracitadas:

A 5X + 4Y + 7z = 127,90 B X + 2Y + Z = 77,50 C 3X + 3Y + Z = 113,20Logo, a soma das taxas X + Y + Z , em real, igual a: A) 35,40 D) 33,80 B) 46,20 E) 36,70 C) 44,70 9

22. (BB/09) A Fundao Banco do Brasil apia, financeiramente, projetos educacionais e culturais em muitas cidades do Brasil. Considere que, em determinada regio, o total dos recursos destinados a um projeto de dana clssica e a um projeto de agroecologia tenham sido iguais ao quntuplo dos recursos destinados a um projeto de alfabetizao; que a soma dos recursos destinados aos projetos de alfabetizao e de dana clssica tenham sido de R$ 40.000,00; e que a diferena entre os recursos destinados aos projetos de agroecologia e alfabetizao tenham sido de R$ 20.000,00. Nessa situao, correto afirmar que os recursos destinados

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY47 ao projeto de dana clssica foram superiores a

R$ 29.000,00. 48 aos projetos de dana clssica e agroecologia foram inferiores a R$ 59.000,00. 49 aos trs projetos foram superiores a R$ 70.000,00.23. (CORREIOS) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o nmero de irmos igual ao nmero de irms. Cada filha tem o nmero de irmos igual ao dobro do nmero de irms. Qual o total de filhos e filhas do casal?

NMEROS FRACIONRIOS OPERAES E PRINCIPAIS PROPRIEDADES

O conjunto dos nmeros racionais ou fracionrios ( Q ) o conjunto dos nmeros que p podemos representar na forma , com p e q q *, para os quais adotam-se as seguintes definies:

A) 3 B) 4 C) 5

D) 7

24. (PM-Ba/07) Uma lesma encontra-se no fundo de um poo de 15 metros de profundidade. Suponha que durante o dia, ela suba exatamente 3 metros e noite, quando est dormindo, ela escorrega exatamente um metro pela parede do poo. Nessas condies, quantos dias essa lesma levaria para ir do fundo ao topo desse poo?

a c = ad = bc b d a c ad + bc II) adio: + = b d bd a c a.c III) multiplicao: x = b d b.dI) igualdade: No conjunto dos racionais, destacam-se os subconjuntos: Q* = conjunto dos racionais no nulos Q+ = conjunto dos racionais no negativos Q = conjunto dos racionais no positivos * Q + = conjunto dos racionais positivos * Q = conjunto dos racionais negativos

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

25. (TTN) Para enumerar as pginas de um livro de 468 pginas, quantos algarismos so escritos?

Na frao

A) 468 B) 936 C) 1296

D) 1324 E) 1428

26. (FUVEST) No alto de uma torre de uma emissora de televiso duas luzes piscam com freqncias diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, aps quantos segundos eles voltaro a piscar simultaneamente?

A) 12 B) 10 C) 20

D) 15 E) 30

GABARITO - PROPOSTOS 01 C 10 D 19 D 02 B 11 A 20 A 03 D 12 A 21 D 04 D 13 C 22 E,E,C 05 A 14 A 23 D 06 A 15 E 24 B 07 A 16 A 25 C 08 C 17 C 26 A 09 C 18 C

a , a o numerador e b o b denominador e se a e b forem primos entre si, a uma isto , se mdc(a,b) = 1, dizemos que b 3 7 frao irredutvel. Ex: as fraes e so 5 9 6 irredutveis, mas no. 8 a a b O inverso multiplicativo de , com 0 , b b a a b tal que x = 1. b a a c a c a d e racionais no nulos. : = x , para b d b d b c Q, pois todo inteiro pode ser representado na a forma , que denominada frao aparente. b

Ex1: 3 = Ex2: 3 =

3 ; 1

21 7

10

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY Representao DecimalQuando dividimos o numerador pelo denominador de uma frao, podemos encontrar um decimal exato, quando h sempre uma quantidade finita de casas decimais ou um decimal no exato e peridico (dzima peridica), quando ocorre uma seqncia finita, de algarismos que se repetem indefinidamente. Exemplos:

x tem as y seguintes caractersticas: a soma dos quadrados dos termos x e y igual a 241 e o quadrado da soma dos termos x e y 361. Logo, o produto de x por y igual aExerccio 18 (BNB/07) O nmero racional

3 = 3 : 4 = 0,75 decimal exato 4 1 = 0,333... = 0, 3 decimal peridico 3 11 = 1,8333... = 1,83 decimal peridico 6 31 = 0,031 decimal exato 1000

A) 45 B) 30 C) 60 D) 90 E) 75

Nmero Misto

(PM-PE/04) dados os nmeros 5 3 7 racionais A = , B = e C = , podemos afirmar 4 2 6 que

Exerccio

19

b em que a,b c b b ac + b ; c *, tal que a = a + = . c c c todo nmero da forma a Exerccio 16 Encontre as fraes geratrizes: a) 0,25 b) 0,777... c) 0,252525... d) 1,222... e) 0, 2555...

A) A < B < C B) C < A < B C) C < B < A D) A < C < B E) B < A < CSISTEMA MTRICO DECIMAL

Para medir uma grandeza devemos compar-la com outra de mesma espcie chamada de unidade padro. Para efetuarmos operaes com unidades de medidas diferentes, devemos, antes, convert-las para uma mesma unidade de medida. Antes de tudo devemos conhecer alguns prefixos usados na Matemtica, Fsica, Qumica, Engenharia e em outras cincias exatas. exa ( E ) 10 ; 15 peta ( P ) 10 ; tera ( T ) 10 ; 9 giga ( G ) 10 ; 6 mega ( M ) 10 ; 3 quilo ( K ) 10 ; hecto ( h ) 10 ; deca ( da ) 10 ; -1 deci ( d ) 10 ; centi ( c ) 10-2- ; -3 mili ( m ) 10 ; -6 micro ( ) 10 ; -9 nano ( n ) 10 ; ngstron ( A ) 10 ; -12 pico ( p ) 10 ; -15 femto ( f ) 10 ; -18 atto ( a ) 1011o-10 18

f) 1,37444...

Exerccio 17 (CORREIOS/06) O resultado de 0,045 1,32, com quatro algarismos aps a vrgula A) 0,0257 B) 0,0340 C) 0,0358 D) 0,0352 E) 0,0371

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY

No estudo das medidas de comprimento, capacidade, massa, superfcie e volume, costumase usar a escala abaixo:

Medidas agrrias

Unidade Padro: are a 1ha = 1 hm = 10000m 1a = 1dam = 100m 1ca = 1m

Observe que, no centro da escala aparece o smbolo da unidade padro (U.P.) de cada sistema de medida, direita, os seus submltiplos: deci d, centi c, mili m, e esquerda, os seus mltiplos: deca da, hecto h, quilo k.Observe as escalas abaixo: Medidas de comprimento

Medidas de volume

Relao entre volume, capacidade e massa

A gua destilada (pura), a uma temperatura de 4 C, que ocupa um volume de 1dm ou 1 litro de capacidade, tem massa 1kg. 1 dm = 1000 cm = 1 litro

1000 m = 1000 litros

1 cm = 1 mlMedidas de capacidade

1 dm 1 litro 1kg , quando a gua tem 4 de temperatura.Converso das unidades capacidade e massa de comprimento,

Medidas de massa

feita se deslocando a vrgula o mesmo nmero de casas, e no mesmo sentido que corresponde mudana. Exerccio 20 Transforme: a) 12 dal em l

tonelada 1 ton = 1000kg

b) 12 cm em m c) 12 mg em dag d) 0,75 l em ml

Medidas de superfcie

e) 0,75 m em km f) 0,75 g em mg

12

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY Converso das unidades de superfcie e volume 30. (MPU) Que horas so agora, se 1/4 do tempo que resta do dia igual ao tempo j decorrido?

Converta: g) 453,235 m em dm h) 453,235 m em hm i) 453,235 m em dam j) 453,235 m em cm A) 8 horas B) 4 horas C) 4h 48 min D) 6h 48 min E) 5h 48 min

31. (CORREIOS/08) Uma prova de Matemtica 7 das contm 50 questes. Um aluno acertou 10 questes. Esse aluno errou:

A) 35 B) 32 C) 18

D) 15

Exerccio 21 (CORREIOS/08) Daniel tem 1,55 metros de altura, e seu amigo Pedro, 12 centmetros a mais. A altura de Pedro, em centmetros : A) 167 centmetros B) 162 centmetros C) 160 centmetros D) 161 centmetros

32. (CORREIOS/08) A frao equivalente a

15 que 24

tem numerador 10 : A)

10 13 10 B) 8 10 C) 16

D)

10 16

EXERCCIOS PROPOSTOS 33. (SEFAZ/09) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao mximo, o tanque encher em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao mximo, o tanque encher em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao mximo, em quanto tempo o tanque encher?

27. (CORREIOS/08) O cubo de 0,2 :

A) 12 horas B) 20 horas C) 16 horas

D) 24 horas E) 30 horas

A) 0,8 B) 0,08 C) 0,008

D) 0,0008

28. Os 3/7 dos 4/11 de um nmero so 480. Calcule esse nmero.

A) 3080 B) 3800 C) 3600

D) 3060 E) 4800

34. (TTN) Uma caixa d`gua com capacidade para 960 m possui uma tubulao que a alimenta e que a enche em 7 horas. Possui tambm um ladro que a esvazia em 12 horas. Com a gua jorrando, enchendo a caixa, e o ladro funcionando simultaneamente, em que tempo a caixa d`gua ficar cheia?

29. (BB) Retirei, inicialmente, uma quinta parte de minha conta bancria. Depois saquei uma quarta parte do resto e ainda sobraram R$ 750,00. Qual era o saldo inicial, em reais?

A) 16h 8min B) 16h 48min C) 14h 8min(CORREIOS/08) y 21 equao y + = : 2 2 A) 3 B) 4 C) 6 35.

D) 14h 48min E) 16h 28min O valor de y na

A) 1275 B) 1250 C) 1225

D) 10200 E) 960

D) 7

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY 36. (CEF) Se A o nmero misto 2

1 , calcule 12A. 2

A) 75 B) 80 C) 85

D) 90 E) 95

43. (INSS/05) Um terreno de 1km ser dividido em 5 lotes, todos com a mesma rea. A rea de cada lote, em m, ser de:

37. (PM-Ba/01) Um soldado iniciou seu planto quando eram decorridos 2/5 de um dia e o encerrou quando eram decorridos 7/9 do mesmo dia. Se parou 1 hora e 50 minutos para almoar, ele trabalhou, nesse dia, durante um perodo de

A) 1000 B) 2000 C) 20000

D) 200000 E) 100000

A) 7h 36 min B) 7h 28 min C) 7h 14 min

D) 7h 4 min E) 7 horas

44. (CORREIOS/06) Uma torta de morangos, dividida em pedaos iguais, foi colocada venda em uma confeitaria. Em meia hora, 3/4 da torta j haviam sido vendidos, restando apenas 6 pedaos. Em quantos pedaos a torta foi dividida?

38. (CORREIOS/08) O valor de x da equao x 7x + 4(x + 1) = 16 : 3 A) 2 D) 8 B) 4 C) 6 39. (TJ/RS 2005) Um advogado ingressou com uma ao de cobrana no valor de R$ 100.000,00. A ao foi julgada procedente em parte, sendo o ganho do cliente de 8/10 do valor pleiteado. Como os honorrios do advogado foram contratados em 1/4 do valor que o cliente viesse a receber, quanto sobrou para o cliente?

A) 6 B) 7 C) 30

D) 24

45. (BNB/04) Sejam x e y nmeros reais dados por suas representaes decimais

x = 0,111111.. . y = 0,999999.. . Pode-se afirmar que: A) x + y = 1 B) x y = 8/9 C) xy=0,9 D) 1/(x+y) = 0,9 E) xy = 1

A) R$ 6.000,00 B) R$ 8.000,00 C) R$ 20.000,00

D) R$ 40.000,00 E) R$ 60.000,00

46. (CORREIOS/06) Escolha uma alternativa para indicar, entre as igualdades apresentadas, a verdadeira

40. (CORREIOS/06) A diviso de 11,025 por 0,7 resulta no valor

A)

0,16 = 0,4

A) 15,75 B) 15,25 C) 14,95

D) 15,55 E) 15,15

B) 0,2 0,1 = 0,2 4 C) > 3/5 7 D) nenhuma delas verdadeira

41. (CORREIOS/08) A distncia percorrida pelos atletas na maratona de So Paulo 42 km, essa distncia, em centmetros, :

A) 420 cm B) 4200 cm C) 42000 cm

D) 4200000 cm

42. (BB) 100 dm x 0,1 dam x 100 mm =

A) 0,010m B) 10m C) 100m

D) 1m E) 0,100m

PROPOSTOS 27 C 37 C 28 A 38 C 29 B 39 E 30 C 40 A 31 A 41 D 32 D 42 D 33 C 43 E 34 B 44 D 35 D 45 D 36 A 46 A

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY RAZO Propriedade Fundamental

Dados dois nmeros a e b, com b 0, chamamos de razo de a para b, ou simplesmente razo entre a e b, nessa ordem, ao quociente a que tambm pode ser indicado a : b . b a antecedente b conseqente Exerccio 22 (CORREIOS/08) Um automvel a 36km/h percorre a cada segundo: A) 24 m B) 12 m C) 15 m D) 10 m

Em toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos. a c = b.c =a.d b d

Outras propriedades

a c = b d a c II) = b d a c III) = b d a c IV) = b dI) V)

ab c d = a c ab c d = b d ab a = bd b ab c = bd d

a c a.c a 2 = = b d b.d b 2

Razes especiais

VI)

escala =

compriment o no desenho compriment o real

a c a.c c 2 = = b d b.d d 2 a c e ac e a c e VII) = = = = = proporo b d f bd f b d f mltipla.

(escala) 2 =

rea no desenho rea real

A quarta proporcional de trs nmeros dados, a, b e c, o nmero x que forma, nesta ordem, com os outros trs a proporo

a c = b xvelocidade mdia= distncia percorrida tempo gasto para percorr - laExemplo: A quarta proporcional entre 2, 6 e 9 o nmero x, tal que 2 9 = 2x = 6.9 2x = 54 x = 27. 6 x Proporo contnua aquela em que os meios so iguais. O valor comum dos meios chamado mdia proporcional (mdia geomtrica) dos extremos e o ltimo termo dessa proporo a terceira proporcional.

densidade =

massa do corpo volume do corpo

densidade demogrfica =

nmero de habitantes rea

PROPORO

Dadas as razes chamamos de proporo. a e d extremos b e c meios

a c a c e , sentena = b d b d

Exemplo: A terceira proporcional entre 3 e 27 o nmero x, tal que

3 x 2 2 x = 3.27 x = 81 x = = x 27

81 x = 9.

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEYExerccio 23 (CORREIOS/08) O valor de x na x + 4 25 + x proporo : = 9 12 A) 59 B) 60 C) 61 D) 62

Diviso em partes inversamente proporcionais

Dividir um nmero N em partes inversamente proporcionais aos nmeros x,y,z,..., significa encontrar os nmeros X, Y, Z,..., tais que

X Y Z = = = ... X.x = Y.y = Z.z = ... 1 1 1 x y ze

X + Y + Z + ... = N Dividir um nmero N em partes inversamente proporcionais a outros nmeros dados, significa dividir esse nmero N, em partes diretamente proporcionais aos inversos desses nmeros. Exerccio 26 (TTN) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia til de cada ms, os trs primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento, dividindo Cr$ 507 000, 00 em 1 2 partes inversamente proporcionais a 2 , 1 e 1,2. 4 3 Nessas condies, o prmio de menor valor a ser pago ser de: A) Cr$ 110.000,00 B) Cr$ 118.905,54 C) Cr$ 225.000,00 D) Cr$ 222.947,00 E) Cr$ 120.000,00

DIVISO PROPORCIONAL Diviso em partes diretamente proporcionaisDividir um nmero N em partes diretamente proporcionais aos nmeros x,y,z,..., significa encontrar os nmeros X, Y, Z,..., tais que X Y Z = = = ... e X + Y + Z + ... = N x y z

Exerccio 24 Dividir o nmero 24 em partes diretamente proporcionais aos nmeros 3, 4 e 5.

Exerccio 25 (CORREIOS/08) Dividindo-se R$ 3.375,00 em partes A, B e C, proporcionais respectivamente, a 3, 5 e 7, a parte correspondente a C igual a

A) R$ 675,00. B) R$ 1.125,00. C) R$ 2.025,00. D) R$ 1.575,00. E) R$ 1.350,00

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY EXERCCIOS PROPOSTOS 53. (UNEB) Um ciclista fez um percurso entre duas cidades que distam 250 km, em trs dias. No primeiro dia, pedalou 6 horas a uma velocidade mdia de 15km/h. No segundo dia, pedalou 5 horas a uma velocidade mdia de 20km/h. O tempo que precisou pedalar, no terceiro dia, a 25km/h para completar o percurso foi igual a

01) 2h 02) 2h 4min 03) 2h 24min47. (UNIFOR) A planta de uma cidade foi desenhada na escala 1 : 40 000, o que significa que as medidas reais so iguais a 40 000 vezes s medidas correspondentes na planta. Assim, 4 cm da planta correspondem a uma medida real de

04) 2h 40min 05) 2h 44min

A) 0,16 km B) 1,6 km C) 16 km

D) 160 km E) 1600 km

54. (UNEB) Devido ocorrncia de casos de raiva, a secretaria de sade de um municpio promoveu uma campanha de vacinao de ces e gatos. Em um bairro desse municpio, foram vacinados, durante a campanha, 0,9 dos ces e 0,7 dos gatos. Sabendo-se que, no total, foram vacinados 0,82 dos ces e gatos existentes no bairro, pode-se concluir que o nmero de ces corresponde

48. (UFC) O valor de x que soluo, nos nmeros 1 1 1 x reais, da equao + + = igual a: 2 3 4 48

01) a um tero do nmero de gatos. 02) metade do nmero de gatos. 03) a dois teros do nmero de gatos. 04) a trs meios do nmero de gatos. 05) ao dobro do nmero de gatos.55. (PM-Ba/01) Num grupo de policiais, a razo entre o nmero de homens e o nmero de mulheres, nessa ordem, de 3 para 5. Se 24 mulheres deixarem o grupo e 24 homens entrarem para o grupo, a razo ser de 5 para 3. O grupo inicial formado por

A) 36 B) 44 C) 52

D) 60 E) 68

49. A escola tem 350 alunos e a cantina vendeu 4025 hambrgueres em setembro. Qual foi o consumo mdio por aluno, nesse ms?

A) 9 B) 10,5 C) 9,5

D) 11,5

50. (UFC) A distncia entre duas cidades em linha reta 175km.Num mapa cuja escala de 1 : 250 000 qual a distncia, em cm, entre estas cidades? 51. (UFPE) A maquete de uma vila feita na escala de 1dm para 20 m. Se a vila tem rea de 8000m, qual a rea correspondente na maquete, em dm? 52. (UFMG) Um mapa est desenhado em uma escala em que 2 cm correspondem a 5 km. Uma regio assinalada nesse mapa tem a forma de um quadrado de 3cm de lado. A rea real dessa regio

A) 12 mulheres e 20 homens B) 20 mulheres e 12 homens C) 30 mulheres e 18 homens D) 36 mulheres e 60 homens E) 60 mulheres e 36 homens56. (UFPE) A populao de insetos numa plantao inversamente proporcional quantidade de agrotxicos utilizada para combat-la. Quando se utilizou 10 de agrotxico a populao restante foi estimada em 2000 insetos. Quantos litros de agrotxicos deveriam ter sido utilizados para que a populao de insetos fosse reduzida a 400? 57. (CORREIOS/06) O valor 7,2 foi dividido em partes proporcionais a 6, 11 e 19. O valor correspondente a 19

A) 37,50 km B) 56,25 km C) 67,50 km

D) 22,50 km

A) 3,8 B) 3,4 C) 3,39

D) 2,4 E) 2,7

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY 58. (CORREIOS/08) A proporo entre 16 e 36 a mesma que entre 96 e 64. (PM-PE/09) Sr. Jairo tem trs filhos: Pedro, Carlos e Jos. A razo entre as idades de Pedro e Carlos 1/3 nessa ordem, e a razo entre as idades de Jos e Carlos 1/2. Sabendo-se que a soma das respectivas idades 99 anos, correto afirmar que a soma dos algarismos da idade de Carlos

A) 216. B) 186. C) 236.

D) 206. E) 196.

59. (UERJ) Os termos da seqncia (10; x; 5) so inversamente proporcionais aos da seqncia (20; 50; y). Ento (x + y) igual a:

A) 9 B) 12 C) 11

D) 16 E) 10

a) 30 b) 44 c) 10

d) 35 e) 100

60. (FAAP/SP) Dois scios lucraram R$ 5000,00. O primeiro entrou para a sociedade com o capital de R$ 18 000,00 e o segundo com R$ 23 000,00. Se os lucros de cada scio so proporcionais aos capitais, a diferena entre os lucros foi de aproximadamente:

65. (UPE) Os amigos: Neto, Maria Eduarda, Daniela e Marcela receberam um prmio de R$ 132.000,00, que deve ser dividido, entre eles, em partes inversamente proporcionais s respectivas idades. Sabendo que as idades esto em progresso aritmtica, que Daniela a mais velha e tem 28 anos, Neto o mais novo e tem 4 anos, podemos afirmar que

A) R$ 509,00 B) R$ 609,00 C) R$ 709,00

D) R$ 809,00 E) R$ 1 009,00

A) Neto recebeu R$ 78.750,00 B) Marcela recebeu R$ 27.050,00 C) Daniela recebeu R$ 13.700,00 D) Neto recebeu o dobro de Maria Eduarda E) Maria Eduarda recebeu R$ 57.200,0066. (Puccamp/SP) A tabela a seguir mostra a participao de uma empresa, de seus trs scios, em tempo (a partir do incio das atividades da empresa) e em capital investido.

61. (PUC-PR) Uma construtora edificou 6 residncias com as seguintes reas construdas, em m: 110, 112, 120, 116, 120 e 102 e destinou uma rea comum para lazer de 51m, que deve ser dividida em partes proporcionais rea de cada residncia. Assim a rea que corresponde residncia de 110m , em m, igual a:

Scio A) 9,00 B) 8,70 C) 8,40 D) 8,25 E) 7,65 Antnio Carlos Emerson

62. (PM-Ba/01) Trs policiais, cujas idades somam 60 anos, dividiram a despesa de um almoo em partes diretamente proporcionais s suas respectivas idades. Se a despesa foi de R$ 42,00 e os dois mais velhos pagaram, respectivamente, R$ 14,00 e R$ 15,40, quantos anos tinha o mais novo?

Tempo de participao 6 meses 12 meses 9 meses

Capital inicial investido R$ 5 000,00 R$ 2 500,00 R$ 3 000,00

Ao completar um ano funcionamento, o lucro de L reais foi dividido entre eles. A parte que coube a: A) Antnio correspondeu a 13/29 de L. B) Carlos correspondeu a 11/29 de L. C) Ernesto correspondeu a 9/29 de L. D) Carlos correspondeu a 7/29 de L. E) Antnio correspondeu a 5/29 de L.

A) 18 B) 19 C) 20

D) 21 E) 22

63. (PM-SP) Quando um automvel freado, a distncia que ele percorre at parar diretamente proporcional ao quadrado da sua velocidade. Se um automvel a 40 km/h freado e pra depois de percorrer mais 8m, se estivesse a 60km/h, pararia aps percorrer mais:

A) 12 metros B) 14 metros D) 16 metros

D) 18 metros E) 20 metros

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas so diretamente proporcionais, quando a razo entre a medida y de uma e a correspondente x da outra (x 0) for y constante e diferente de zero, isto , = k , em que x k, k 0 denominada constante de proporcionalidade. Quando duas grandezas so diretamente proporcionais, medida que uma aumenta, a outra tambm aumenta e medida que uma diminui, a outra tambm diminui na mesma proporo. Ex: quilogramas de arroz e preo.GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Exerccio 28 Se um carro viaja com velocidade de 80 km/h e percorre certa distncia em 4h, quanto tempo teria gasto, se ele tivesse viajado a 100km/h?

Exerccio 29 (CORREIOS/06) A cada 15 passos uma criana percorre 4m, em 6s. Qual o tempo necessrio para esta criana, mantendo seu ritmo, percorrer 0,71 km? A) 15 min 5s. B) 17 min 45s. C) 15 min 5s. D) 18 min 15s. E) 15 min 30s.

Duas grandezas so inversamente proporcionais quando o produto da medida y de uma e a correspondente x da outra for constante e diferente de zero, isto , y.x = k , em que k uma constante diferente de zero. Quando duas grandezas so inversamente proporcionais, medida que uma aumenta, a outra diminui e medida que uma diminui, a outra aumenta na proporo inversa. Ex: velocidade e tempo.REGRA DE TRS SIMPLES

Exerccio 30 (CESGRANRIO BB/2010) No Brasil, os clientes de telefonia mvel podem optar pelos sistemas pr-pago ou ps-pago. Em certa empresa de telefonia mvel, 17 em cada 20 clientes utilizam o sistema pr-pago. Sendo assim, o nmero de clientes que utilizam o sistema pr-pago supera o nmero de clientes do ps-pago em 24,36 milhes. Quantos milhes de clientes so atendidos por essa empresa? A) 29,58 B) 30,25 C) 31,20 D) 32,18 E) 34,80

Regra de trs simples o processo de clculo utilizado para se resolver um tipo de problema matemtico que envolve duas grandezas direta ou inversamente proporcionais, em que so dadas trs informaes para se chegar ao resultado desejado. Exerccio 27 (FCC BB/2010) Pesquisadores descobriram que o uso do fundo preto nas pginas de busca da internet produz um consumo menor de energia em relao tela branca. Se todas as buscas fossem feitas com tela preta, a economia total em um tempo mdio de 10 segundos seria equivalente energia gasta por 77 milhes de geladeiras ligadas ininterruptamente durante 1 hora. Nessas condies, a economia total em um tempo mdio de buscas de 30 minutos seria equivalente energia gasta por essas geladeiras ligadas ininterruptamente durante A) 8 dias. B) 7 dias e meio. C) 5 dias. D) 3 dias. E) 2 dias e meio. 19

REGRA DE TRS COMPOSTA

Quando um problema de regra de trs envolve mais de duas grandezas denominado regra de trs composta. Exerccio 31 (PM-Ba/01) Uma pessoa fez um percurso em 5 dias, viajando 6 horas por dia com velocidade mdia de 70 km por hora. Viajando 7 horas por dia, faria o mesmo percurso em 4 dias, se sua velocidade mdia fosse de A) 48 km/h B) 65 km/h C) 75 km/h D) 80 km/h E) 102 km/h

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Exerccio 32 (PETROBRS) 6 homens, trabalhando 6 horas por dia, constroem 6 muros em 6 dias. Em quantos dias, 12 homens, trabalhando 12 horas por dia, construiro 12 muros? A) 3 B) 6 C) 12 D) 36 E) 48

68. (UFPB) A capacidade mxima que uma determinada caminhonete suporta 2400 kg de cimento, o que equivale a 2000 tijolos. Se a caminhonete est carregada com 1434 kg de cimento, quantos tijolos, no mximo, ela ainda pode carregar?

A) 1172 B) 700 C) 549

D) 805 E) 1196

Exerccio 33 (UFPE/06) Para escaparem de uma penitenciria, 10 prisioneiros decidem cavar um tnel de 450m de comprimento. Em uma fuga anterior, 12 prisioneiros cavaram um tnel de 270m, trabalhando 6 horas por noite, durante 9 noites. Se os atuais prisioneiros pretendem trabalhar 4 horas por noite, em quantas noites o tnel ficar pronto? A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 Exerccio 34 (ASS. ADM-PC/08) Uma obra foi executada por 30 operrios, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias. Quantos operrios sero precisos para realizar uma outra obra com o dobro de dificuldade da primeira, em 18 dias, trabalhando 10 horas dirias? A) 10 B) 50 C) 30 D) 40 E) 20

69. (PM-PE/09) Para construir sua casa de praia, Fernando contratou a Construtora More Bem. No contrato, ficou estabelecido que a casa seria entregue em 8 meses, e, se a construtora no cumprisse o prazo, estaria sujeita multa proporcional ao tempo de atraso. O setor de execuo de obras da empresa verificou que, para cumprir o contrato, seriam necessrios 20 operrios com jornada diria de 6 horas. Seis meses aps o incio da obra, 5 operrios foram demitidos, e a Construtora resolveu no contratar mais operrios e concluir a obra com os restantes, aumentando a carga horria destes. Para cumprir o contrato, CORRETO afirmar que a carga horria passou a ser de

A) 7h/d. B) 8h/d. C) 7h 20 h/d.

D) 8h 30 h/d. E) 9h/d.

70. (UFRN/07) Se o vazamento de uma torneira enche um copo de 200ml de gua a cada hora, correto afirmar que, para se desperdiar 3m de gua, so necessrios

A) 625 dias. B) 626 dias. C) 624 dias.

D) 623 dias.

EXERCCIOS PROPOSTOS

71. (UNIVASF/09.2) O consumo de 12 lmpadas de mesma potncia, acesas durante 3 horas por dia, em 10 dias de 7 quilowatts. Qual ser o consumo, em 30 dias, deixando acesas somente 10 destas lmpadas, durante 6 horas por dia?

A) 42 quilowatts B) 40 quilowatts C) 37 quilowatts

D) 35 quilowatts E) 32 quilowatts

67. (UNICAP) Em uma exposio de equipamentos, foi apresentada uma mquina que, segundo o fabricante, varre, lava e enxuga uma rea de 2 5.100m , em 6 horas. Nas mesmas condies, em quantas horas a mquina executar a mesma operao em rea de 11.900m2 ?

72. (CORREIOS/08) Com 50 Kg de trigo, um moinho consegue produzir 35 kg de farinha. A quantidade de trigo que necessria para produzir 210 kg de farinha :

A) 200 kg B) 300 kg C) 400 kg 20

D) 500 kg

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY 73. (UNEB) Fazendo x biqunis por dia, uma costureira consegue entregar uma encomenda em 5 dias. Se fizesse x + 4 biqunis por dia, nas mesmas condies, a encomenda seria entregue em 3 dias. O valor de x est compreendido entre GABARITO PROPOSTOS 47 B 57 A 67 14 48 C 58 D 68 D 49 D 59 B 69 B 50 70 60 B 70 24 51 20 61 D 71 D 52 B 62 A 72 B 53 03 63 D 73 A 54 04 64 A 74 E 55 E 65 A 75 D 56 50 66 C 76 E

01) 5 e 8 02) 9 e 12 03) 14 e 17

04) 18 e 21 05) 22 e 24

74. (CORREIOS) Se quatro impressoras iguais imprimem 600 cartazes em 2,5 h, em quanto tempo duas dessas mquinas imprimiro o triplo de cartazes?

A) 2 h B) 5 h C) 7 h 30min

D) 15 h

2 de uma obra, 16 3 operrios, trabalhando 6 horas por dia, completaram a tarefa em 20 dias. Em quantos dias 20 operrios, trabalhando 8 horas por dia, completaro a obra, supondo que estes operrios tenham a mesma capacidade que os primeiros e as mesmas condies de trabalho?75. (BNB/07) Para construir

A) 5 dias B) 3 dias C) 8 dias

D) 6 dias E) 4 dias

76. (UPE) Doze operrios, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36m de certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operrios, trabalhando 6 horas por dia levaro:

A) 90 dias B) 80 dias C) 12 dias

D) 36 dias E) 64 dias

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY PORCENTAGEM Introduo

Exerccio 35 Calcule: a) 12% de 300

Consideremos os valores do Produto Interno Bruto (PIB) de dois pases, A e B, em bilhes de dlares, em dois anos consecutivos que chamaremos de 0 e 1.Pas PIB (ano 0) 400 600 PIB (ano 1) 432 642 Crescimento do PIB (entre 0 e 1) 32 42

b) (20%)

A B

Exerccio 36 (BB) Calcular 40% de 40%. A) 1,6 B) 16 C) 16% D) 1,6% E) 160% Exerccio 37 (BNB) A) 0,7% B) 7% C) 70% D) 700% E) 7

Verificamos que a razo entre o crescimento do PIB e o PIB do ano 0 vale:

32 para o pas A; 400 42 para o pas B: 600Uma maneira de compararmos essas razes consiste em expressarmos ambas com o mesmo denominador, por exemplo, 100. Assim:

49% igual a:

Pas A:vale

32 x = x = 8; portanto, a razo 400 100

8 . 100 42 x x = 7; portanto, a razo = 600 100

Pas B:vale

7 . 100

Exerccio 38 (CORREIOS/08) Num concurso foram inscritos 8600 candidatos. Dos inscritos, 15% faltaram. Logo, o nmero de candidatos que compareceram foi: A) 1290 B) 6450 C) 7310 D) 9890 Exerccio 39 (SECTMA-PE/09) Paulo recebeu um aumento de 20% no ms de maio e 22%, em junho. Qual o total de aumento de Paulo? A) 42,3% B) 45,21% C) 43,5% D) 42% E) 46,4%

Dessa forma, conclumos que o pas A teve uma razo (taxa) maior de crescimento do PIB, pois 8 7 > . 100 100Definio

Porcentagem, razo centesimal ou ainda taxa percentual uma razo de denominador 100.Formas de representao

Ex: Oito por cento

8 (razo de denominador 100) 1008% (taxa percentual) 0,08 (nmero decimal) 22

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY

Exerccio 40 (CORREIOS/06) Um produto oferecido pelo preo de R$ 3.245,00 vista e por R$ 3.829,10 para pagamento parcelado. O percentual de acrscimo no valor vista de A) 15,5 %. B) 20,5 %. C) 16 %. D) 18 %. E) 19,8 %. Exerccio 41 (UNEB/08) O proprietrio de um imvel contratou uma imobiliria para vend-lo, pagandolhe 5% do valor obtido na transao. Se a imobiliria recebeu R$ 5600,00, o valor que coube ao proprietrio foi, em reais, 01) 89400 02) 95000 03) 100800 04) 106400 05) 112000 Exerccio 42 (PETROBRS) Um supermercado est fazendo a promoo leve 4 e pague 3. Isso equivale a conceder, a quem leva 4, um desconto de: A) 40% B) 35% C) 33% D) 30% E) 25%

Exerccio 44 (UNEB/07) Um cantor lanou no mercado, simultaneamente, um CD e um DVD de um show, gravados ao vivo. Sendo preo do DVD 30% maior do que o preo do CD, pode-se afirmar que o preo do CD menor que o preo do DVD, aproximadamente, 01) 30% 02) 28% 03) 25% 04) 23% 05) 20%

Exerccio 45 (PM-PE/09) Uma loja de vendas de computadores fez uma parceria com determinada fbrica, para conceder um desconto de 20% na venda dessa marca. Um certo dia, foi vendido o ltimo computador do estoque, porm a atendente vendeu o computador por R$ 1500,00, o que causou loja um prejuzo de R$ 100,00. Sem a parceria, a loja venderia o computador por um preo cuja soma dos algarismos igual a A) 9 B) 13 C) 2 D) 19 E) 3

Exerccio 43 (ASS. ADM PC-PE/08) Uma agncia de automveis vendeu dois veculos por preos iguais, sendo o primeiro com um lucro de 30% sobre o preo de custo, e o segundo, com um prejuzo de 30% sobre o preo de custo. Ento, relativamente ao custo total dos veculos, a agncia A) obteve um lucro de 7%. B) obteve um prejuzo de 7%. C) obteve um lucro de 9%. D) obteve um prejuzo de 9%. E) no obteve lucro nem prejuzo.

EXERCCIOS PROPOSTOS

77. (UFPE) Em uma eleio, um candidato recebeu 7/20 dos votos dos eleitores. Portanto o percentual de votos obtidos por esse candidato foi de:

A) 35% B) 20% C) 7% 23

D) 14% E) 27%

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY 78. (BB) A quantidade de selos que tenho, mais sua metade, mais sua tera parte, mais sua quinta parte, menos 200, somam um total de 410 selos. Quantos representam 30% dos selos que possuo? 85. (FGV AUDITOR FISCAL-AP/10) O dono de uma loja aumenta os preos durante a noite em 20% e na manh seguinte anuncia um desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele est oferecendo em relao aos preos do dia anterior de:

A) 60 B) 75 C) 90

D) 100 E) 105

79. (UNIVASF/09.2) Um produto podia ser comprado, h algum tempo atrs, por 80% do seu valor atual. Qual o aumento percentual sofrido pelo preo do produto neste perodo de tempo?

A) 10% B) 12% C) 14%

D) 16% E) 18%

86. (TRT) A razo entre a quinta parte de um nmero e o dobro do mesmo nmero, nessa ordem, equivalente a:

A) 20% B) 23% C) 24%

D) 25% E) 28%

A) 5% B) 10% C) 25%

D) 40% E) 250%

80. (BB) Numa prova com 72 questes, Slvia acertou 75%. A razo entre o nmero de acertos e o de erros nessa ordem de: A) 1/3 D) 3/2 B) 3/5 E) 3/1 C) 2/3 81. (URCA/02) Se o salrio de Teresa aumenta 20%, e os preos aumentam 10%, seu poder aquisitivo aumenta de um percentual prximo de:

87. (CESGRANRIO - BB/2010) Um investidor aplicou certa quantia em um fundo de aes. Nesse fundo, 1/3 das aes eram da empresa A, 1/2 eram da empresa B e as restantes, da empresa C. Em um ano, o valor das aes da empresa A aumentou 20%, o das aes da empresa B diminuiu 30% e o das aes da empresa C aumentou 17%. Em relao quantia total aplicada, ao final desse ano, este investidor obteve

A) 8% B) 9% C) 10%

D) 11% E) 12% F) 13%

A) lucro de 10,3%. B) lucro de 7,0%. C) prejuzo de 5,5%.

D) prejuzo de 12,4%. E) prejuzo de 16,5%.

82. (CEF) Num grupo de 400 pessoas, 70% so do sexo masculino. Se nesse grupo, 10% dos homens so casados e 20% das mulheres so casadas, o nmero de pessoas casadas :

A) 28 B) 52 C) 62

D) 83 E) 120

88. (UNIVASF/09.2) Uma loja vende uma televiso em duas prestaes; a primeira, de R$ 1.650,00, a ser paga um ms aps a compra, e a segunda, de R$ 1.815,00, a ser paga dois meses aps a compra. Se a loja cobra juros mensais cumulativos de 10% ao ms, qual o preo da televiso vista?

83. (CESPE/UnB) A soma de dois nmeros x e y 28 e a razo entre eles de 75%. Qual o maior desses nmeros? 84. (UNIVASF/05) O dono de uma loja fez uma semana de promoo, dando um desconto de 20% na sua tabela de preos. Na semana seguinte, o gerente da loja decidiu encerrar a promoo e fixou um aumento de 20% nessa tabela. Para que os preos dessa ltima tabela retorne aos valores anteriores aos da promoo, o dono da loja dever

A) R$ 3.000,00 B) R$ 3.100,00 C) R$ 3.200,00

D) R$ 3.300,00 E) R$ 3.400,00

89. (UFPE/06) Jnior tem uma coleo de cds de msica nos gneros erudito, popular e jazz. Se 65% da coleo consiste de msica erudita, 1/5 consiste de msica popular e 930 cds so de jazz, quantos so os cds de msica erudita da coleo?

A) 4010 B) 4020 C) 4030

D) 4040 E) 4050

A) mant-los inalterados. B) aument-los 4%. C) aument-los 25/6 %. D) diminu-los 4%. E) diminu-los 25/6 %

90. (CORREIOS) Quanto 30% de R$ 420,00?

A) R$ 14,00 B) R$ 42,00 C) R$ 84,00

D) R$ 126,00

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY 91. (UFBA/07) Um comerciante compra determinado produto para revender. A diferena entre o preo de venda e o preo de custo, quando positiva, chamada de lucro por unidade. O comerciante estabeleceu um preo de venda tal que o seu lucro seja 50% do preo de custo. Com base nessas informaes, correto afirmar:

porcentagem o nmero de gua existente em nosso sangue. A) 8,3% B) 83% C) 830% D) 0,83%

(01) O lucro total obtido diretamente proporcional quantidade vendida. (02) O preo de venda 150% maior que o de custo. (04) Se o comerciante conceder um desconto de 20% sobre o preo de venda, ento ter um lucro de 20% sobre o preo de custo. (08) Se o preo de custo aumentar em 10%, e o preo de venda for mantido, ento o lucro ser 40% do preo de custo depois do aumento. (16) Se o comerciante fizer uma promoo do tipo Leve 4 e pague 3, ento isso representar, para o cliente, um desconto total de 25%. (32) Se, nos meses de janeiro e fevereiro de 2006, o lucro do comerciante cresceu exponencialmente a uma taxa mensal de 2% em relao ao ms anterior, ento, ao final de fevereiro, o lucro foi de 4,04% maior que o lucro ao fim de dezembro de 2005.

95. (UFPE) Um vendedor ambulante compra sete canetas por cinco reais, para comercializ-las ao preo de quatro canetas por trs reais. Qual o lucro comercial do vendedor?

A) 0,05% B) 0,5% C) 5%

D) 15% E) 50%

96. (UFC/05) Numa sala h 100 pessoas, das quais 97 so homens. Para que os homens representem 96% das pessoas contidas na sala, dever sair que nmero de homens?

A) 2 B) 5 C) 10

D) 15 E) 25

97. (UNEB/07) A taxa de juros de dbito de um carto de crdito de, aproximadamente, 10% ao ms, calculado cumulativamente. Se uma dvida for paga trs meses aps a data de vencimento, ento ter um acrscimo de, aproximadamente,

92. (UPE) Um consumidor necessita comprar um determinado produto. Na loja, o vendedor oferecelhe duas condies de pagamento. A primeira, pagamento vista com um desconto de 10% sobre o preo de tabela; e a segunda em duas parcelas, pelo preo de tabela, sendo 50% de entrada e o restante com 30 dias. O consumidor dispe do valor para o pagamento a vista. Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante taxa de 25% ao ms (30 dias), ento

01) 30,3% 02) 31,2% 03) 32,3%

04) 33,1% 05) 34,3%

98. (CORREIOS/06) Um produto cujo valor a prazo de R$ 1280,00, ao ser vendido vista custa R$ 960,00. O percentual de desconto no pagamento vista de

A) mais vantajoso ele comprar a prazo. B) se comprar a prazo, ele tem um lucro de 8%. C) mais vantajoso comprar a vista. D) se comprar a prazo, ter um prejuzo de 8%. E) indiferente comprar a vista ou a prazo.93. (UFPE/01) Quando o preo da unidade de determinado produto diminuiu 10%, o consumo aumentou 20% durante certo perodo. No mesmo perodo, de que percentual aumentou o faturamento da venda deste produto? A) 8% D) 15% B) 10% E) 30% C) 12% 94. (CORREIOS/06) Em cada 100 litros de sangue, 83 litros so de gua. Escreva na forma de

A) 19% B) 23% C) 25%

D) 27% E) 21%

99. (UFPE/02) Um investidor resolveu empregar todo o seu capital da seguinte forma: Metade em caderneta de poupana que lhe renderam 30% ao ano. Um tero na bolsa de valores que lhe rendeu 45% no mesmo perodo. O restante ele aplicou em fundos de investimento que lhe rendeu 24% ao ano. Ao trmino de um ano o capital deste investidor aumentou em:

A) 33% B) 38% C) 34%

D) 32% E) 36%

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY 100. (CORREIOS) Na lanchonete, um sanduche que custava R$ 2,80 teve seu preo aumentado em 25%. Esse sanduche passou a custar: 106. (UNEB) Em uma loja h a seguinte promoo: Leve 20 unidades e pague o preo de 17. O desconto concedido por essa loja, sobre o preo de cada unidade do produto em promoo, de:01) 10% 02) 15% 03) 17% 04) 17,5% 05) 20%

A) R$ 3,50 B) R$ 3,05 C) R$ 2,95

D) R$ 0,70

101. (UEFS) Uma determinada categoria de trabalhadores participou de uma greve, reivindicando 25% de reajuste salarial e, depois de muitas negociaes, obtiveram apenas 7% e encerraram a greve. A partir dessa informao, conclui-se que o novo salrio de um trabalhador que passou a receber R$ 180,00 a menos do que pretendia, antes da greve, igual, em reais, a

107. (UNEB) Um objeto que custa R$ 240,00 vista poder ser comprado com uma entrada de R$ 60,00 e o restante, a prazo, com um acrscimo de 10%. Nessas condies, o preo final do objeto ser de01) R$ 300,00 02) R$ 264,00 03) R$ 258,00 04) R$ 198,00 05) R$ 180,00

A) 750,00 B) 817,50 C) 925,00

D) 937,50 E) 1070,00

102. (UFPE/04) Uma loja oferece a seguinte opo: Pague x reais e leve mercadorias no valor de (x+x/3) reais. Qual o desconto sobre o valor da mercadoria que se leva?

108. (UFPE/06) Um depsito de gua tem a seguinte propriedade: quando est 40% vazio, o volume de gua excede em 40 litros o volume de quando o reservatrio est 40% cheio. Qual a capacidade do reservatrio?A) 160 litros B) 180 litros C) 200 litros D) 220 litros E) 240 litros

A) 21% B) 22% C) 23%

D) 24% E) 25%

103. (UFPE) Ao comprar um objeto vista, um cliente obteve um desconto de 20%. Ao chegar ao caixa, o mesmo cliente foi premiado com um novo desconto de 15%, sobre o valor resultante do desconto anterior. Qual o desconto total, na forma percentual? 104. (PUC/MG) Do salrio bruto de Paulo so descontados:

109. (UFPE/05) Uma proposta para ajudar a combater a fome no mundo taxar as transaes financeiras internacionais em 0,01%. Estas transaes movimentam US$ 1,2 trilho ao dia til. Qual seria o total arrecadado em um ano? (Considere que o ano consiste de 52 semanas e cada semana contm 5 dias teis).A) 3,12 milhes de dlares. B) 31,2 milhes de dlares. C) 3,12 bilhes de dlares. D) 31,2 bilhes de dlares. E) 3,12 trilhes de dlares.

INSS 4%

FGTS 8%

IR 15%

Aps esses descontos, Paulo recebe o salrio lquido de R$ 2 190,00. O salrio bruto de Paulo : A) R$ 2 500,00 B) R$ 3 000,00 C) R$ 3 500,00 D) R$ 4 000,00 E) R$ 4 500,0077 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 GABARITO 88 A 99 A C 89 C 100 D 90 D 101 91 53 102 E 92 E 103 B 93 A 104 B 105 16 94 B C 95 C 106 107 D 96 E 97 04 108 B C 98 C 109

105. (UNIVASF/07) Se a populao do planeta era 5,94 bilhes de habitantes em 2000 e, a cada ano, cresceu 1% em relao ao ano anterior, qual era a populao do planeta em 1900? (Dado: use 1,01100 2,70 )A) 2,1 bilhes B) 2,2 bilhes C) 2,3 bilhes D) 1,9 bilhes E) 2 bilhes

C A E E 32 B B 02 03 C D

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY CAPITAL, JUROS, MONTANTE TAXA DE JUROS EO juro total produzido ao final de quatro meses : R$ 28.000 R$ 20.000 = R$ 8.000. No regime de capitalizao composta os juros do 1 perodo so adicionados ao capital, gerando o montante M1 aps o 1 perodo. Os juros do 2 perodo so obtidos multiplicando-se a taxa pelo montante M1; esses juros so adicionados ao montante M1, gerando o montante M2, aps dois perodos, e assim sucessivamente, ou seja, os juros de cada perodo so iguais ao montante do incio do perodo, multiplicado pela taxa; e esses juros so adicionados ao montante do incio do perodo, gerando o montante do final do perodo. No regime de capitalizao composta, um investimento de vinte mil reais (R$ 20.000) taxa de 10% ao ms. Ao final do 1 ms: 20.000 + 0,1 . 20.000 = 22.000 Ao final do 2 ms: 22.000 + 0,1 . 22.000 = 24.200 Ao final do 3 ms: 24.200 + 0,1 . 24.200 = 26.620 Ao final do 4 ms: 26.620 + 0,1 . 26.200 = 29.282 O juro total produzido ao final de quatro meses de R$ 9 282,00. Observe que a taxa foi aplicada, sempre, sobre o montante do ms imediatamente anterior.

Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetrio, durante certo tempo, essa quantia chamada de capital (ou principal) e indicada por C. O valor que o emprestador cobra pelo uso do dinheiro, ou o valor pago pelo tomador do emprstimo chamado de juros e indicado por J. A taxa de juros, indicada por i, expressa em porcentagem do capital, esta taxa i representa os juros numa certa unidade t de tempo, que pode ser indicada ao dia (a.d.), ao ms (a.m.) ou ao ano (a.a.). Assim, por exemplo, se o capital C emprestado for R$ 6000,00 e a taxa i for 2% a.m., os juros pagos no tempo t de 1 ms sero iguais a 2% sobre R$ 6000,00, que equivale a 0,02.(6000) e, portanto, igual a R$ 120,00. De modo geral, os juros no perodo da taxa so iguais ao produto do capital pela taxa, isto :

J =C.iSe o pagamento for feito numa nica parcela, ao final do prazo do emprstimo, o tomador pagar a soma do capital emprestado com o juro, que chamaremos montante e indicaremos por M. No caso do emprstimo de R$ 6 000,00, durante 1 ms, taxa de 2% ao ms, o montante ser igual a R$ 6120,00. De modo geral, teremos: M=C+J Imagine que um capital R$ 16 000,00 foi aplicado durante 3 meses taxa de 5%a.t.(ao trimestre). Vamos calcular os juros e o montante recebidos aps 3 meses. Em reais, aps 3 meses, os juros recebidos foram: J = 16 000 . (0,05) = 800 Assim o montante recebido, em reais, foi: M = 16 000 + 800 = 16 800.

JUROS SIMPLESConsideremos um capital C aplicado a juros simples, a uma taxa i por perodo e durante t perodos de tempo. Os juros do 1 perodo so iguais a C . i e, de acordo com a definio de capitalizao simples, em cada um dos perodos seguintes os juros so iguais C . i . Assim, os juros simples da aplicao sero a soma de t parcelas iguais a C . i, ou seja: J = C . i + C . i + C . i + ... + C . i e, portanto:

J=C.i.tAlguns matemticos gostam de trabalhar a frmula assim:

Regime de capitalizao simples e compostaNo regime de capitalizao simples, os juros gerados em cada perodo so sempre os mesmos e so dados pelo produto do capital pela taxa. Os juros so pagos somente no final da aplicao. No regime de capitalizao simples, um investimento de vinte mil reais (R$ 20.000) taxa de 10% ao ms. Ao final do 1 ms: 20.000 + 0,1 . 20.000 = 22.000 Ao final do 2 ms: 22.000 + 0,1 . 20.000 = 24.000 Ao final do 3 ms: 24.000 + 0,1 . 20.000 = 26.000 Ao final do 4 ms: 26.000 + 0,1 . 20.000 = 28.000

J=

C.i.t 100

Nessa frmula, se a taxa de juros for i = 2%, voc substituir o i por 2, pois o 100 do denominador j representa o smbolo de taxa percentual %. Em alguns problemas de juros simples no h coerncia entre a taxa de juros fornecida e o perodo de capitalizao. Portanto voc tem que 27

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEYlanar mo de uma taxa proporcional, que deve ser aplicada ao mesmo capital durante o mesmo prazo, produzindo o mesmo montante acumulado no final daquele prazo. Exemplo: - 12% ao ano proporcional a 6% ao semestre; - 1% ao ms proporcional a 12% ao ano. Exerccio 46 Um capital de R$ 20 000,00, aplicado a juros simples, durante dois anos, taxa de 2% a.m., proporciona quanto de juros? Exerccio 50 (BB) 2/5 de um capital foi empregado a 6% ao ms, durante 3 meses; e o restante a 5% ao ms durante 3 meses. O lucro recebido foi de R$ 972,00. O capital empregado foi: Exerccio 47 (PMN-RNF/06) Qual a taxa mensal de juros simples a que deve ser aplicado o capital de R$ 2.500,00 para que, aps um perodo de 3 anos e 4 meses, triplique o seu valor? A) 6% B) 4% C) 5% D) 8% E) 7% A) R$ 5.000,00 B) R$ 6.000,00 C) R$ 7.000,00 D) R$ 8.000,00 E) R$ 9.000,00 Exerccio 49 (CORREIOS/08) Qual o valor do montante de uma aplicao de R$ 4.000,00 aps um ano e meio, a uma taxa de juros simples de 0,6 % ao ms? A) R$ 4.182,00. B) R$ 4.332,00. C) R$ 4.432,00. D) R$ 4.512,00. E) R$ 4.492,00.

Exerccio 48 (BB) Em quantos meses o capital de R$ 740.000,00 aplicado a 3,6% a.a., renderia juros necessrios formao de um montante de R$ 762.200,00?

Exerccio 51 (FCC SEFAZ-PB/06) Um investidor aplica em um determinado banco R$ 10.000,00 a juros simples. Aps 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ 10.900,00 referente a esta operao e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente primeira aplicao. O montante no final do segundo perodo igual a A) R$ 12.862,00 B) R$ 12.750,00 C) R$ 12.650,00 D) R$ 12.550,00 E) R$ 12.535,00

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY JUROS COMPOSTOSJ vimos que os juros simples so aqueles calculados taxa fixa, sempre a partir da quantia inicial. Na capitalizao composta os juros J, que se obtm atravs de um capital C, aplicado a uma taxa i, durante um certo perodo t, produzem um montante M que calculado da seguinte maneira: 1 perodo: M1 = C + C . i = C( 1 + i) 2 perodo: M2 = M1 + M1. i = M1 . (1 + i) = = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2 3 perodo: M3 = M2 + M2 . i = M2 . (1 + i) = 2 3 = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i) Podemos concluir, ento, que o montante ser dado por: Exerccio 54 (UFMG) Por um emprstimo de R$ 80.000,00 taxa de x% ao ms, se paga de uma nica vez, aps dois meses, o montante de R$ 115.200,00. Por terem sido aplicados juros compostos, a taxa de: A) 15% B) 20% C) 22% D) 24% E) 25%

M = C(1 + i)

t

Observemos ainda que, embora a frmula acima tenha sido deduzida para t inteiro e no negativo, ela pode ser estendida para qualquer valor real no negativo. Alm disso, o valor de t deve ser expresso de acordo com a unidade de tempo da taxa. Essa operao a mais utilizada nas transaes comerciais e financeiras: Os juros compostos. Exerccio 52 Um investidor aplicou R$ 14.000,00 a juros compostos de 2% a.m.. Quanto, em reais, ter aps oito meses de aplicao? 8 Dado: 1,02 = 1,17166

Exerccio 55 (UFPI) Um capital empregado a uma taxa anual de 5% (juros compostos), calculada anualmente. Se o valor do montante, depois de n anos, aproximadamente 34% maior do que o capital inicial, qual o valor de n? (Use log101,05 = 0,02 e log101,34 = 1,02.)

Exerccio 53 (BNB/03) Ftima aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ms e por um prazo de um trimestre. Tendo sido as capitalizaes mensais, qual ser o valor do resgate? A) R$ 1.331,00 B) R$ 1.300,00 C) R$ 331,00 D) R$ 300,00 E) R$ 1.000,00

Exerccio 56 (UNIVASF/08.2) Um banco paga juros compostos de 6% ao ano. Se um cliente lucrou R$ 1.700,00, com uma aplicao de R$ 5.000,00, quanto tempo o capital ficou aplicado? Dado: use a aproximao ln(1,34) 0,30 e ln (1,06) 0,06. A) 3 anos B) 4 anos C) 5 anos D) 6 anos E) 7 anos

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEYExerccio 57 (ACEP - BNB/2010) Um cliente de uma concessionria de veculos financia metade do valor de um automvel. O financiamento consiste em seis parcelas mensais fixas de R$ 5.970,00, a primeira das quais vencendo um ms aps assinatura do contrato de financiamento. A soma destas parcelas o montante resultante da aplicao de metade do valor inicial do automvel a uma taxa mensal de juros compostos de 3% a.m. Assinale a alternativa que apresenta o valor inicial do automvel, considerando o valor aproximado (1,03)6 = 1,194 . A taxa nominal usada apenas como referncia para clculos rpidos da taxa efetiva. Nunca se pode usar a taxa nominal nos clculos com juros compostos.

Taxa efetiva a taxa de juros compostos em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao. So exemplos de taxas efetivas:- 2% ao ms, capitalizados mensalmente; - 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente; - 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; A passagem da taxa nominal para a taxa efetiva feita de modo proporcional, como nos juros simples, por conveno, para facilitar os clculos. Exemplo: Numa transao financeira com capitalizao mensal, Taxa nominal 48% ao ano Taxa efetiva 48% = 4% ao ms. 12

TAXAS DE JUROSNo mercado financeiro em geral se faz uma grande confuso no que se refere aos conceitos de taxas de juros nominal, efetiva e real. Existe uma verdadeira poluio de taxas de juros, pois alm das citadas tem-se ainda a simples, composta, equivalente, proporcional, aparente, antecipada, etc. Porm tentaremos simplificar as coisas a fim de tornar sua compreenso muito mais fcil. Exerccio 58 Um capital de R$ 5000,00 foi investido, capitalizado trimestralmente, sob taxa de 20% ao ano. O montante final dessa aplicao, sabendo que ela foi feita por um prazo de dois anos, : 8 Dado: (1,05) = 1,477454 A) R$ 7387,27 B) R$ 7837,27 C) R$ 7787,27 D) R$ 7738,72 E) R$ 7873,72

Conceito e classificaoSuponha que voc tenha feito um emprstimo de uma determinada quantia a fim de pag-la aps certo perodo. Como j vimos anteriormente, a taxa de juros a razo entre os juros pagos no final do perodo e o capital inicialmente tomado. Por exemplo: Se voc tomou R$ 1000,00 emprestado por um determinado perodo e pagou R$ 1200,00, ento pagou R$ 200,00 de juros pelo emprstimo, logo 200 pagou = 0,2 ou 20% de taxa de juros. 1000

Taxa nominal a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo no coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao. Exemplos:- 12% ao ano, capitalizados mensalmente; - 24% ao ano, capitalizados semestralmente; - 10% ao ano, capitalizados trimestralmente;

Taxas equivalentes so taxas de juros efetivas fornecidas em unidades de tempo diferentes, que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo. O conceito de taxas equivalentes est, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos. Assim, a diferena entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEYExemplo1: A taxa de 4% ao ms equivalente a 8,16% ao bimestre. Note que se aplicarmos essas duas taxas sobre um capital de R$ 1000,00, para um investimento de um ano, iro gerar os seguintes montantes: 4% a.m. M = 1000.(1,04)12 = 1601,03 8,16% a.b. M = 1000. (1,0816) = 1601,03 Obs! Para os clculos de (1,04) e (1,0816) as provas de concursos disponibilizam tabelas de consultas ou permitem o uso da calculadora. Como taxas equivalentes so taxas que geram o mesmo montante, se quisermos determinar uma taxa equivalente a outra, basta usarmos a relao:12 6 6

1 + i = (1 + i m )12 = (1 + i b ) 6 = (1 + i t ) 4 = ... = (1 + i d ) 360

onde: ia taxa anual im taxa mensal ib taxa bimestral it taxa semestral id taxa diria Exemplo2: (CEF/08) A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i% ao semestre, capitalizada bimestralmente. O nmero de divisores inteiros positivos de i A) 4 B) 5 C) 6 Soluo Taxa efetiva (anual) = 50% = 0,5 Taxa nominal semestral = i% capit. bimestralmente 1 + ia = (1 + ib) 6 1 + 0,5 = (1 + ib) 6 (1 + ib) = 1,5 Usando a tabela ao lado fornecida na prova, temos: Ib = 7% Como o semestre tem trs bimestres a taxa proporcional 7%. 3 = 21% ao semestre, logo o nmero 21 possui 4 divisores inteiros positivos. Resposta: Alternativa A 316

Exerccio 59 (CEF/08) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? A) 75,0% B) 72,8% C) 67,5% D) 60,0% E) 64,4%

D) 7 E) 8

Taxa real e Taxa aparenteA taxa real de juros nada mais do que a apurao de ganho ou perda em relao a uma taxa de inflao ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros o verdadeiro ganho financeiro. Exemplo: Se considerarmos que uma determinada aplicao financeira rendeu 15% em um determinado perodo de tempo e, que no mesmo perodo ocorreu uma inflao de 5%, correto afirmar que o ganho real desta aplicao no foi de 15%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorizao de 5% no mesmo perodo de tempo; desta forma temos de encontrar qual o verdadeiro ganho em relao inflao, ou seja, temos de encontrar a taxa real de juros.

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEYA taxa aparente a taxa que se obtm numa operao financeira sem se considerar os efeitos da inflao. Se a inflao for zero, a taxa aparente e a taxa real so iguais. Exemplo: Um trabalhador recebia R$ 450,00 de salrio, em 2004, e passou a receber R$ 549,00, em 2005. Qual a correo aparente que este salrio recebeu? Qual a correo real, supondo que a inflao acumulada do perodo tenha sido de 18%? Soluo Se o salrio era R$ 450,00 e passou a R$ 549,00, ento a taxa aparente de ganho salarial : 450.(1 + i) = 549 1 + i = 549/450 i = 549/450 1 i = 1,22 1 i = 0,22 ou 22% Porm, se houve inflao nesse perodo, o salrio corrigido pela inflao seria 450.1,18 = 531. Portanto, o ganho real foi o que transformou R$ 531,00 em R$ 549,00, ou seja, o que se estabeleceu acima da inflao. Dessa forma, a taxa real de correo foi de: 531.(1 + i) = 549 1 + i = 549/531 i = 549/531 1 i = 1,034 1 i = 0,034 ou 3,4% (aproximadamente) Resposta: 3,4%. Exerccio 60 (BNB/04) Em 01/01/2003 um certo veculo, zero km, custava R$ 20.000,00 a vista. Em 01/01/2004 o mesmo modelo do veculo, tambm zero km, custa R$ 26.400,00. Tendo sido de 10 % a inflao do ano de 2003, pergunta-se qual foi o aumento real do veculo neste perodo. A) 10,00 % no ano B) 20,00 % no ano C) 22,00 % no ano D) 30,00 % no ano E) 32,00 % no ano Onde:

DESCONTO SIMPLESExistem duas formas de desconto simples: O Desconto Comercial, bancrio ou por fora e o Desconto Racional ou por dentro. O desconto comercial o desconto aplicado sobre o valor nominal, ou futuro do ttulo, muito utilizado nas instituies financeiras e no comrcio em geral. Esse desconto pode ser calculado usando a expresso:

D = N.i.n

D desconto comercial N valor nominal i taxa de juros n perodo de antecipao do ttuloO valor atual comercial A dado por: A=ND A = N N.i.n

A = N(1 i.n)

Exerccio 61 Um ttulo de R$ 6.000,00 deve ser descontado, a ttulo de desconto comercial, 45 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa cobrada de 2,1% ao ms, calcule: a) O valor do desconto

b) O valor atual

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MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEYO desconto racional o desconto aplicado sobre o valor atual do ttulo utilizando-se para o clculo a taxa efetiva, e dado pela expresso: Exerccio 63 (CESGRANRIO CEF/08) Um ttulo de valor nominal R$ 24.200,00 ser descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao ms. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferena D d, em reais, vale A) 399,00 B) 398,00 C) 397,00 D) 396,00 E) 395,00

Dr =

N.i.n. 1 + i.n

Obs! Existe uma relao entre o desconto comercial simples (D) e o desconto racional simples (Dr), que : D = Dr (1 + i.n) Exerccio 62 Um ttulo de R$ 6.500,00 resgatado 4 meses antes de seu vencimento, utilizando a taxa de juros simples de 2,3% ao ms. Quanto ser pago na data do resgate e qual o valor do desconto racional obtido atual?

DESCONTO COMPOSTOO desconto simples, racional ou comercial so aplicados somente aos ttulos de curto prazo, geralmente inferiores a 1 ano. Quando os vencimentos tm prazos longos, no conveniente transacionar com esses tipos de descontos, porque podem conduzir a resultados que ferem o bom senso. Como no desconto simples, temos duas formas de desconto composto, o Desconto Comercial, bancrio composto ou por fora e o Desconto Racional ou por dentro. valor nominal Exerccio 64 (CESGRANRIO BNDES/2008) Uma nota promissria cujo valor de face R$ 12.100,00 foi saldada dois meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto racional composto utilizada foi de 10% ao ms. Imediatamente aps receber o pagamento, o credor da nota promissria aplicou todo o dinheiro recebido taxa de juros compostos de 44% ao bimestre com capitalizao mensal. Dois meses aps a aplicao, o montante obtido pelo credor, em reais, corresponde a A) 13.800,00 B) 13.939,20 C) 14.400,00 D) 14.407,71 E) 14.884,00

:osserpxe alep odad e olutt otsopmoC otsopmoC od o erbos odaluclac otsopmoC otsopmoC laicremoC otnocseD laicremoC otnocseD laicremoC otnocseD o ,selpmis laicremoc otnocsed on omoCJ o Desconto Racional dado pela expresso:

Dr = N A r , onde N = A r (1 + i)nObs! Existe uma relao entre as taxas de desconto composto por fora ( i f ) e por dentro ( id ), veja: 1 1 =1 i f id 33

edn

D = N A, o

A = N(1 i)n

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY RENDAS CERTASAs transaes financeiras, de um modo geral, compreendem emprstimos ou capitalizaes. Neste contexto, se inserem as rendas certas ou anuidades, como tambm so chamadas. Os emprstimos se constituem em operaes de financiamento, cujo capital, ou seja, a devoluo do principal pode ser exigida de uma s vez ou amortizada por sucessivos pagamentos ou recebimentos peridicos. As capitalizaes se caracterizam por depsitos nicos ou peridicos. Trata-se de uma poupana para se constituir um montante de determinada quantia em data futura. Chama-se de rendas certas aquelas operaes nas quais, depois de definidas as condies do financiamento, o valor financiado e o montante no sofrem alteraes, isto , uma vez estabelecidas as condies, elas sero imutveis. Os elementos que compem as rendas certas so as seguintes: Sabendo-se que a frmula do montante dada por M = C(1 + i)t, pode-se associar mesma o conceito de valor monetrio no tempo, o que nos permite resolver inmeros problemas de financiamento, quando dois ou mais capitais estiverem disponveis em datas diferentes, veja o grfico do montante ao longo do tempo t!

Assim, pode-se dizer que uma quantia, cujo valor atual x, equivaler, depois de um perodo de tempo n, uma quantia y, dada por: y = x.(1 + i)n

Onde y pode ser encarado como o capital futuro e x como o capital hoje (capital atual). Para se obter o valor futuro y, deve-se multiplicar o valor atual x por n (1 + i) e para se obter o valor atual x, deve-se n dividir o valor futuro por (1 + i) , veja!

P (parcela) valor da prestao; perodo intervalo de tempo ente duas parcelas; n nmero de parcelas; Va (valor atual) soma dos valores atuais de cada uma das parcelas; M (montante) soma dos montantes de cada uma das parcelas; i (taxa de juros) a taxa de juros tomada para o perodo.As rendas certas podem ser classificadas como: Postecipadas prestaes pagas no fim de cada perodo. Exemplo: Compra feita em 10 prestaes mensais e sucessivas, sem entrada, vencendo-se a primeira prestao 30 dias aps a compra. Exemplo1: Uma dvida de R$ 2000,00 dever ser paga 3 meses antes do seu vencimento, em 20 de setembro. Sabendo que a taxa de juros para essa dvida de 5% a.m., em regime de juros compostos, qual ser o valor do desconto? Soluo

Antecipadas prestaes pagas no incio de cada perodo.Exemplo: Compra feita a prazo, em 10 prestaes mensais e sucessivas, sendo a primeira no ato da compra, isto , sendo uma parcela vista.

A dvida futura de y = R$ 2.000,00. Para encontrarmos o valor atual (3 meses antes) basta usarmos a frmula: y , com n = 3 e i = 0,05, segue: x= (1 + i)n

x=

2000 (1 + 0,05)3

x=

2000 (1,05)3

x = 1.727,12

Diferidas a primeira prestao paga aps um determinado perodo, ou seja, h um perodo de carncia.

Logo, 2000 1727,12 = 272,88 Resposta: O desconto ser de R$ 272,88. 34

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEYExemplo2: Um carro, que custa vista R$ 14.000,00, est sendo vendido com financiamento nas seguintes condies: Entrada igual a 30% do preo vista e o restante em duas parcelas iguais, taxa de juros compostos de 7% a.m., com a primeira parcela vencendo 30 dias aps o pagamento da entrada e a segunda, 60 dias aps a entrada. Qual o valor de cada parcela? Soluo Entrada: 30% de 14000 = 0,3.14000 = 4200 Restante: 14000 4200 = 9800 P P 9800 = + (1 + 0,07) (1 + 0,07) 2 P P + (1,07) (1,07) 2 P = 5420 9800 = Resposta:O valor de cada parcela de R$ 5.420,30. Note que se, por exemplo, um financiamento fosse feito em uma srie de 12 prestaes iguais a P, a serem satisfeitas no final de cada perodo, o valor atual na data zero seria obtido pelo somatrio dos valores atuais individuais de cada uma das 12 parcelas na data zero: Va = P (1 + i)1

Obs.! Os valores de a n i so tabulados e, geralmente, quando exigidos em questes de concursos, em que no so permitidos uso de calculadoras financeiras ou cientficas, so fornecidas tabelas para as solues das questes. Exemplo3: Um carro foi vendido a prazo em 12 pagamentos mensais e iguais de R$ 2.800,00, sendo a primeira prestao no ato da compra. Sabendo-se que a concessionria opera a uma taxa de juros de 2% a.m., calcule o preo vista desse carro. Soluo i = 0,02 a.m. n = 12 meses P = R$ 2.800,00 Va = ? Essa compra foi feita com entrada, ou seja, um caso de renda certa antecipada. Para se calcular o preo vista (Va) usa-se a expresso:

+

P (1 + i)2

+ ... +

P (1 + i)12

Va = P + P.ani , onde Va o preo vista, P a entrada, P.a ni , em que a n i encontrado na tabela abaixo, observando que n agora vale 11, pois foi dada uma entrada. Observe que a11 2 = 9,786848, pois este valor se encontra na linha em que n = 11 e na coluna em que i = 2%. Veja!

E seria invivel fazer essa operao, mesmo usando calculadora. Entretanto, colocando P em evidncia no segundo membro da expresso acima, a expresso abaixo entre colchetes a soma dos termos de uma P.G.: 1 1 1 + + ... + Va = P. , 1 2 (1 + i) (1 + i)12 (1 + i)

generalizando, temos:

1 1 1 Va = P. + + ... + 1 2 (1 + i) (1 + i)n (1 + i) Portanto (1 + i) n 1 Va = P. , i.(1 + i) n onde a expresso entre

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1% 0,99099 1,970395 2,940985 3,901966 4,853431 5,795476 6,728195 7,651678 8,566018 9,471305 10,36763 11,25508

2% 0,980392 1,941561 2,883883 3,807729 4,71346 5,601431 6,471991 7,325481 8,162237 8,982585 9,786848 10,57534

3% 0,970874 1,913472 2,828611 3,717098 4,579707 5,417191 6,230283 7,019692 7,786109 8,50203 9,252624 9,954004

Portanto, substituindo os valores na frmula, temos: Preo vista = entrada + valor atual, logo:

colchetes representa-se a n i e l-se a, n cantoneira i ou simplesmente, a, n,i, que vem do fato das tabelas financeiras serem de dupla entrada e, em n, tem-se a coluna dos perodos, enquanto que na linha, as taxas i. Portanto Va pode ser representado assim:

Va = P + P.aniVa = 2800 + 2800.9,786848 Va = 30.203,17 Resposta: O preo vista R$ 30.203,17.

Va = P. a n i35

MATEMTICA BSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY

Exemplo4: Uma moto vendida em 4 prestaes de R$ 1.750,00, com o primeiro pagamento para 3 meses aps a compra. Sabendo que a loja trabalha com juros de 3% a.m., calcule o valor vista dessa moto. Soluo Esse o famoso caso de renda diferida. Temos: n=4 P = R$ 1.750,00 i = 0,03 a.m. Va = ? Para este tipo de financiamento usamos a seguinte frmula:

Exerccio 65 (CEF/08) Um investimento consiste na realizao de 12 depsitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um ms aps o incio da transao. O montante ser resgatado um ms depois do ltimo depsito. Se a taxa de remunerao do investimento de 2% ao ms, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, ser A) 1200,00 B) 1224,00 C) 1241,21 D) 1368,0