Τ.Ε.Ι. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ & ΑΡ∆ΕΥΣΕΩΝ

ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ–

ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ

∆ρ. ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ Ι. ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ 2001

2

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

βοηθήματος στους σπουδαστές του Τμήματος Γεωργικών Μηχανών και

Αρδεύσεων της Σχολής Τεχνολογίας Γεωπονίας του Τ.Ε.Ι. Μεσολογγίου, για

το μάθημα Αρδεύσεις - Στραγγίσεις .

Καταβλήθηκε προσπάθεια να καλυφθεί όλη η διδακτική ύλη που

προβλέπεται από το πρόγραμμα σπουδών του Τμήματος όπως στοιχεία

γενικής και εφαρμοσμένης υδραυλικής (υδροστατική, υδροδυναμική ροή σε

ανοικτούς και κλειστούς αγωγούς), αρδευτικά δίκτυα ανοικτών - κλειστών

αγωγών, ποιότητα αρδευτικού νερού. Ορισμένα θέματα αναπτύχθηκαν πιο

διεξοδικά είτε γιατί αποτελούν τις βασικές γνώσεις για την κατανόηση των

μαθημάτων των Αρδεύσεων-Στραγγίσεων ΙΙ. ΙΙΙ και ΙV , είτε γιατί αποτελούν

βασικά στοιχεία της σύγχρονης τεχνολογίας με την οποία θα κληθεί να

ασχοληθεί ο απόφοιτος Τεχνολόγος. Ιδιαίτερη βαρύτητα δόθηκε στην

ανάπτυξη του θέματος ποιότητα αρδευτικού νερού λόγω της μεγάλης

πρακτικής σημασίας που έχει η χρησιμοποίηση κατάλληλου αρδευτικού νερού

στις ξηροθερμικές συνθήκες της χώρας μας.

Θα πρέπει να τονισθεί ιδιαίτερα ότι η περιγραφή των φυσικών

φαινομένων έγινε με την ελαχίστη δυνατή μαθηματική ανάλυση ώστε να είναι

εύκολη η κατανόηση των γνώσεων αυτών. Επί πλέον συχνά αναφέρονται

παραδείγματα για την καλύτερη εμπέδωση της ύλης και τη διευκόλυνση των

σπουδαστών κατά την εφαρμογή..

∆ρ. Λεωνίδας Ι. Παναγιωτόπουλος

3

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ……………………………………………………………….…….………….2

ΜΟΝΑ∆ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ…………………………………….……………....…….…….8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1……………………………………………………………………….…..….11 1. ΓΕΝΙΚΑ – Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΡΕΥΣΤΩΝ………………………………………… 11

1.1 Τα ρευστά………………………………………………………………..…… 11

1.2 Συμπιεστότητα…………………………………………………………..…… 11

1.3 Σχέσεις μάζας – βάρους – όγκου…………………………………….…… 11

1.3.1 Πυκνότητα…………………………………………………………………….. 11

1.3.2 Ειδικό βάρος………………………………………………………………….. 12

1.3.3 Βάρος – Μάζα…………………………………………………………….….. 12

1.4 Ιξώδες……………………………………………………………………...…. 13

1.4.1 Συντελεστής ιξώδους (μ)………………………………………………..….. 14

1.4.2 Κινηματικό ιξώδες (ν)……………………………………………………….. 16

1.5 Ιδανικά και πραγματικά ρευστά………………………………………....… 17

1.6 Επιφανειακή πίεση………………………………………………………….. 18

1.7 Επιφανειακή τάση…………………………………………………………… 19

1.8 ∆ιαβρέχοντα και μη υγρά………………………………………………...… 20

1.9 Τριχοειδή – Μηνίσκος………………………………………………….....… 20

1.10 Πίεση………………………………………………………………………...… 22

1.11 Μονάδες πίεσης…………………………………………………………...… 23

1.12 Υδραυλική…………………………………………………………………..… 23

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2…………………………………………………………………………..… 24 2 Υ∆ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ…………………………………………………………...…. 24

2.1 Γενικά – υδροστατική πίεση……………………………………………….. 24

2.2 Αρχή του Pascal…………………………………………………………….. 24

2.3 Υδραυλικό πιεστήριο………………………………………………………... 26

2.4 ∆ιαφορά πίεσης μεταξύ δύο σημείων-Γενικές εξισώσεις υδροστατικής……. 28

2.5 Ελεύθερη επιφάνεια συγκοινωνούντων δοχείων……………………….. 30

2.6 Μέτρηση υδροστατικής πίεσης μανόμετρα………………………………. 31

2.6.1 Πιεζόμετρα……………………………………………………………………. 32

2.6.2 Απλά μανόμετρα σχήματος U……………………………………………… 34

4

2.6.3 ∆ιαφορικά μανόμετρα……………………………………………………….. 37

2.6.4 ∆ιαφορικά μανόμετρα σχήματος ανεστραμμένου U……………………. 39

2.6.5 Mικρομανόμετρα…………………………………………………………….. 42

2.7 Υδροστατική πίεση επί επιφανειών………………………………………. 42

2.7.1 Οριζόντιες επίπεδες επιφάνειες…………………………………………… 43

2.7.2 Κατακόρυφες επίπεδες επιφάνειες……………………………………….. 44

2.7.3 Κεκλιμένες επίπεδες επιφάνειες…………………………………………... 45

2.7.4 Καμπύλες επιφάνειες……………………………………………………….. 48

2.8 Άνωση και πλεύση…………………………………………………………... 51

2.8.1 Αρχή του Αρχιμήδη………………………………………………………….. 51

2.8.2 Κέντρο Άνωσης………………………………………………………………. 52

2.8.3 Ευσταθής, ασταθής και αδιάφορος ισορροπία………………………….. 53

2.8.4 Μετάκεντρο…………………………………………………………………… 56

Παραδείγματα Υδροστατικής πίεσης 56

Παράδειγμα 2.1………………………………………………………………………….. 57

Παράδειγμα 2.2………………………………………………………………………….. 58

Παράδειγμα 2.3………………………………………………………………………….. 59

Παράδειγμα 2.4………………………………………………………………………….. 59

Παράδειγμα 2.5………………………………………………………………………….. 60

Παράδειγμα 2.6………………………………………………………………………….. 61

Παράδειγμα 2.7………………………………………………………………………….. 62

Παράδειγμα 2.8………………………………………………………………………….. 64

Παράδειγμα 2.9………………………………………………………………………….. 65

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3…………………………………………………………………………….. 67 3 Υ∆ΡΟ∆ΥΝΑΜΙΚΗ……………………………………………………………. 67

3.1 Γενικά – ορισμοί……………………………………………………………… 67

3.2 Εξίσωση συνέχειας – Νόμος διατήρησης της μάζας…………………… 69

3.3 Εξίσωση κίνησης ρευστού κατά μήκος μιας γραμμής ροής-

Εξίσωση ενέργειας ή εξίσωση Bernoulli…………………………….……

71

3.4 Eξίσωση ποσότητας κίνησης………………………………………………. 75

Παραδείγματα……………………………………………………………………………. 76

Παράδειγμα 3.1………………………………………………………………………….. 76

5

Παράδειγμα 3.2………………………………………………………………………….. 76

Παράδειγμα 3.3………………………………………………………………………….. 78

Παράδειγμα 3.4………………………………………………………………………….. 80

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4…………………………………………………………………………….. 82 4 ΜΕΤΡΗΤΕΣ ΡΟΗΣ…………………………………………………………... 82

4.1 Μετρητής Venturi…………………………………………………………….. 82

4.2 Σωλήνας Pitot………………………………………………………………… 87

4.3 Εκροή από οπές……………………………………………………………... 89

4.3.1 Γενικά………………………………………………………………………….. 89

4.3.2 Ελεύθερη ροή από μικρή οπή……………………………………………... 90

4.3.3 Βυθισμένες οπές…………………………………………………………….. 93

4.3.4 Εκροή από μεγάλες οπές…………………………………………………... 94

4.4 Εκκένωση δεξαμενής……………………………………………………….. 96

4.5 Ροή δια μέσω επιστομίων………………………………………………….. 98

4.5.1 Ροή μέσω επιστομίων υπό την επίδραση πίεσης………………………. 100

4.6 Ροή πάνω από εκχειλιστές…………………………………………………. 101

4.6.1 Γενικά………………………………………………………………………….. 101

4.6.2 Εκροή από ορθογώνιους εκχειλιστές…………………………………….. 104

4.6.3 Εκροή από τριγωνικούς εκχειλιστές………………………………………. 107

4.7 Μέτρηση ταχύτητας από την τροχιά εκροής…………………………….. 109

4.8 Μετρητές ταχύτητας τύπου ανεμομέτρου (Μυλίσκος) 109

4.9 Μέτρηση της ταχύτητας με πλωτήρες……………………………………. 111

4.10 Μέτρηση της παροχής με τη χρησιμοποίηση δοχείων………………… 111

4.11 Μέτρηση της μεταβολής της στάθμης του νερού 112

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5…………………………………………………………………………….. 1135 ΡΟΗ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ………………………………………….. 113

5.1 Γενικά………………………………………………………………………….. 113

5.2 Τύπος ροής – Αριθμός Reynolds………………………………………… 114

5.3 ∆ιαφορές μεταξύ στρωτής και τυρβώδους ροής………………………... 116

5.4 Οριακό

στρώμα………………………………………………………….……..

118

5.5 Λείοι και τραχείς αγωγοί……………………………………………………. 120

6

5.6 Απώλειες φορτίου σε κλειστούς αγωγούς……………………………….. 121

5.7 Υπολογισμός γραμμικών απωλειών……………………………………… 123

5.8 Εμπειρικές εξισώσεις για κλειστούς αγωγούς…………………………… 126

5.8.1 Εξίσωση Blasius για ομαλή τυρβώδη ροή……………………………….. 127

5.8.2 Εξίσωση Hazen-Williams για μεταβατική τυρβώδη ροή……………… 127

5.8.3 Εξίσωση Manning για τραχεία τυρβώδη ροή σε κλειστούς αγωγούς.. 128

5.9 Τοπικές απώλειες φορτίου…………………………………………………. 129

5.9.1 Απώλειες φορτίου από απότομη διεύρυνση του αγωγού……………… 129

5.9.2 Απώλειες φορτίου λόγω σταδιακής διεύρυνσης του αγωγού……….. 130

5.9.3 Απώλειες φορτίου λόγω απότομης στένωσης του αγωγού…………… 130

5.9.4 Τοπικές απώλειες φορτίου σε διάφορα εξαρτήματα…………………… 131

5.9.5 Τοπικές απώλειες στην είσοδο του αγωγού από δεξαμενή …………. 131

Παράδειγμα 5.1………………………………………………………………………….. 132

Παράδειγμα 5.2………………………………………………………………………….. 132

Παράδειγμα 5.3………………………………………………………………………….. 133

Παράδειγμα 5.4………………………………………………………………………….. 134

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6…………………………………………………………………………….. 1366 ΡΟΗ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ…………………………………………. 136

6.1 Γενικά – Είδη ροής………………………………………………………... 136

6.2 Βρεχόμενη περίμετρος, υδραυλική ακτίνα, μέσο υδραυλικό βάθος.. 138

6.3 Αριθμός Froude……………………………………………………………… 139

6.4 H εξίσωση του Chezy……………………………………………………….. 140

6.5 Εξίσωση του Manning………………………………………………………. 141

6.6 Επίδραση των παραμέτρων στη παροχή………………………………… 142

6.7 Αναλογίες και σχήμα αγωγών για μεγίστη ταχύτητα ή παροχή………. 143

Παράδειγμα 6.1………………………………………………………………………….. 143

Παράδειγμα 6.2………………………………………………………………………….. 145

Παράδειγμα 6.3………………………………………………………………………….. 146

Παράδειγμα 6.4………………………………………………………………………….. 147

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7…………………………………………………………………………….. 1497 ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΑΡ∆ΕΥΤΙΚΟΥ ΝΕΡΟΥ……………………………………….. 149

7.1 Εισαγωγή……………………………………………………………………… 149

7

7.2 Ποιότητα αρδευτικών νερών……………………………………………….. 149

7.2.1 Γενικά………………………………………………………………………….. 149

7.2.2 Είδη αλάτων………………………………………………………………………. 151

7.2.3 Προέλευση αλάτων………………………………………………………….. 151

7.2.4 Ανάλυση δείγματος νερού………………………………………………….. 151

7.2.5 Κριτήρια για τη ταξινόμηση των αρδευτικών νερών……………………. 152

7.2.6 Μέθοδοι ταξινόμησης αρδευτικών νερών………………………………... 152

7.3 Το πρόβλημα της αλατότητας του εδάφους……………………………... 163

7.3.1 Εναλάτωση του εδάφους από τα αρδευτικά νερά………………………. 163

7.3.2 Επίδραση της αλατότητας του εδάφους στα φυτά……………………… 165

7.3.3 Αντιμετώπιση του προβλήματος της αλατότητας………………………. 167

7.4 Το πρόβλημα της αλκαλίωσης του εδάφους…………………………….. 189

7.4.1 Επίδραση των υφάλμυρων νερών στη διηθητικότητα του εδάφους…. 189

7.4.2 Εκτίμηση του βαθμού αλκαλίωσης ………………………………………. 190

7.4.3 Αντιμετώπισης του προβλήματος της αλκαλίωσης από τα υφάλμυρα

νερά…………………………………………………………………………….

193

7.5 Τοξικότητα……………………………………………………………………. 200

7.5.1 Τοξικότητα νατρίου………………………………………………………….. 201

7.5.2 Τοξικότητα χλωρίου…………………………………………………………. 201

7.5.3 Αντιμετώπιση προβλημάτων τοξικότητας……………………………….. 202

7.6 Επιπτώσεις στις καλλιέργειες από υφάλμυρα νερά……………………. 204

7.6.1 Εσπεριδοειδή………………………………………………………………… 204

7.6.2 Θερμοκηπιακές καλλιέργειες………………………………………………. 209

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ…………………………………………………………………………. 212ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α…………………………………………………………………………. 215

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β…………………………………………………………………………. 217

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ…………………………………………………………………………. 219

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ∆…………………………………………………………………………. 221

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ε…………………………………………………………………………. 222

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤ……………………………………………………………….………. 223

Τ.Ε.Ι. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ & ΑΡ∆ΕΥΣΕΩΝ

ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ–

ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ

∆ρ. ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ Ι. ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ 2001

8

ΜΟΝΑ∆ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

Στις σημειώσεις αυτές καθώς και στα φροντιστήρια και τις ασκήσεις

χρησιμοποιούνται κατά βάση οι μονάδες του ∆ιεθνούς Συστήματος (System

International ή συγκοπτόμενα SI) και δευτερευόντως μονάδες που είναι

παράγωγα του SI ή σχετίζονται με τις βασικές αυτές μονάδες.

Σαν γενική αρχή θα πρέπει να αναφερθεί ότι μία αριθμητική απάντηση σε

μία ερώτηση ενός προβλήματος ποτέ (εκτός αν το μέγεθος είναι αδιάστατο)

δεν είναι σωστή εάν δεν ακολουθείται από τις σωστές μονάδες. Συνιστάται

στους σπουδαστές να επιλύουν τις εξισώσεις της υδραυλικής με τη

χρησιμοποίηση των βασικών μονάδων του SI. Αν τυχόν τα δεδομένα δίδονται

με άλλες μονάδες θα πρέπει να μετατρέπονται πριν την αντικατάστασή τους

στις εξισώσεις σε ισοδύναμα αριθμητικά δεδομένα με μονάδες SI. ∆εν θα

πρέπει να διακινδυνεύει κανείς να επιλύσει τις εξισώσεις με την

χρησιμοποίηση άλλων, εκτός SI, μονάδων.

Βασικές Μονάδες SI

Μέγεθος Μονάδα Μονάδα (στα Aγγλικά)

Σύμβολο

Μήκος Μέτρο meter m

Μάζα Χιλιόγραμμο kilogram kg

Χρόνος ∆ευτερόλεπτο second s

Ένταση ηλεκτρικού.

ρεύματος

Αμπέρ ampere A

Θερμοκρασία Κέλβιν kelvin K

Γραμμοϊσοδύναμo mole mol

9

Παράγωγα και σχετικές με το SI μονάδες

Μέγεθος Μονάδα Μονάδα(στα Aγγλικά)

Σύμβολο Τιμή

∆ύναμης Νιούτον Neuton N kg m s-2

Έργο Τζάουλ Joule J N m

Πίεση Πασκάλ Pascal Pa N m-2

Τάση ηλ.

Ρεύματος

Βόλτ Volt V J A-1 s-1

Ηλ. Αγωγιμότητα Σίμεν Siemen S A V-1

Όγκος Λίτρο Liter l ή dm3 10-3 m3

Βάρος Τόνος Tone t 103 kg

Πίεση Μπάρ Bar bar 105 Pa

Mονάδες εκτός SI που χρησιμοποιούνται στις αρδεύσεις

Μέγεθος Μονάδα (Αγγλικά) Σύμβολο Τιμή

Θερμοκρασία Celsius οC K-273

Συγκέντρωση moles per liter M mol l-1

Ικανότητα Ανταλλαγής

Κατιόντων

milli -equivalen

per 100 gram

me per 100 g

Ηλεκτρ. Αγωγιμότητα millimho per cm mmho cm-1 10-3 S cm-1

10

Προθέματα για πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια μονάδων στο SI

Όνομα προθέματος Σύμβολο Τιμή

kilo (κίλο) k 103

deca (δέκα) da 101

deci (ντέσι) d 10-1

centi (σέντι) c 10-2

milli (μίλι) m 10-3

micro (μίκρο) μ 10-6

nano (νάνο) n 10-9

pico (πίκο) p 10-12

Τ.Ε.Ι. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ & ΑΡ∆ΕΥΣΕΩΝ

ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ–

ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ

∆ρ. ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ Ι. ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ 2001

11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

1. ΓΕΝΙΚΑ – Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΡΕΥΣΤΩΝ

1.1 Τα ρευστά. Τα υγρά και τα αέρια, στη συνήθη θερμοκρασία και πίεση, υπό την

επίδραση οποιασδήποτε διατμητικής (εφαπτομενικής) τάσης ανεξάρτητα από

το μέγεθός της, παραμορφώνονται (ρέουν) συνεχώς γι’ αυτό αναφέρονται σαν

ρευστά.

1.2 Συμπιεστότητα. Τα ρευστά υφίστανται μείωση του αρχικού όγκου τους υπό την επίδραση

αυξημένης πίεσης. Η ιδιότητα αυτή χαρακτηρίζει την συμπιεστότητα των

ρευστών. Τα υγρά σε αντίθεση με τα αέρια έχουν πολύ μικρή συμπιεστότητα.

Για παράδειγμα, στο νερό μία αύξηση της πίεσης κατά 1 Kg/cm2 προκαλεί

μείωση του αρχικού όγκου κατά 1:20000. Επομένως στα διάφορα προβλήματα

της υδραυλικής πρακτικά το νερό θεωρείται ασυμπίεστο. Μόνο κατά τη μελέτη

αγωγών υπό ισχυρή πίεση (αγωγοί υδατοπτώσεων) το νερό θεωρείται

συμπιεστό. Σε τέτοιες όμως περιπτώσεις δεν θα αναφερθούμε στις σημειώσεις

αυτές.

1.3 Σχέσεις μάζας - βάρους - όγκου 1.3.1 Πυκνότητα. Η πυκνότητα (ρ) αποτελεί το μέτρο συγκέντρωσης της ύλης και

εκφράζεται σαν η μάζα του μοναδιαίου όγκου.

ρ=γκοςόςόσυνολικμάζα συνολική

= mv (1.1)

Στο International system (S.I.) η μονάδα είναι Kg/m3

ενώ στο σύστημα CGS είναι gr/ cm3.

12

Η πυκνότητα του αποσταγμένου νερού στους 4ο C είναι 1 000 Kg/m3 ή 1

gr/cm3

1.3.2 Ειδικό βάρος Ειδικό βάρος (γ) ενός ρευστού είναι το βάρος του μοναδιαίου όγκου, δηλαδή:

γ=VW

= γκοςόςόσυνολικ

βάρος όσυνολικ (1.2)

Η μονάδα του ειδικού βάρους στο International system ( S.I.) είναι 1 N/m3

ενώ στο σύστημα C.G.S. το 1 dyne/cm3 . Επομένως 1 N/m3=105 dynes.

1.3.3 Βάρος – Μάζα. Οι έννοιες αυτές θα πρέπει να είναι πλήρως ξεκαθαρισμένες. Η

βασικότερη διαφορά είναι ότι η μάζα του σώματος είναι σταθερή και η τιμή της

παραμένει η ίδια σε κάθε μέρος του σύμπαντος, ενώ το βάρος διαφέρει από

τόπο σε τόπο ανάλογα με τη τιμή της βαρύτητας επειδή :

W = m g (1.3)

Η τιμή της βαρύτητας στη Γη είναι g = 9,81 m/s2 , στη Σελήνη g = 1,6

m/s2 και στο ∆ία g = 26,9 m/s2. Επομένως το βάρος του ιδίου σώματος είναι

πολύ μικρότερο στη Σελήνη από τη Γη ενώ στο ∆ία είναι πολύ μεγαλύτερο.

Από το συνδυασμό των εξισώσεων 1.2 και 1.3 προκύπτει:

γ = ρ g (1.4)

Από την 1.4 προκύπτει ότι το ειδικό βάρος του καθαρού νερού είναι 1000 x 9,81 Ν/m3. Επομένως, το βάρος στους κυβικού νερού ζυγίζει 9,81x103

Ν που είναι ένας τόνος, όσο είναι περίπου το βάρος ενός αυτοκινήτου.

Σχετική πυκνότητα ή ειδική βαρύτητα (s) ενός υγρού (α) είναι η αναλογία της πυκνότητας του υγρού ρα προς την πυκνότητα του νερού ρ. Φυσικά η ίδια

αριθμητική τιμή προκύπτει αν χρησιμοποιηθούν τα ειδικά βάρη γα του υγρού

(α) και του νερού γ ήτοι:

s = ρα / ρ ή s = γα / γ (1.5)

Είναι προφανές ότι η σχετική πυκνότητα είναι αδιάστατο μέγεθος αφού

είναι αναλογία. Έτσι το νερό έχει σχετική πυκνότητα 1,0 και ο υδράργυρος

13,6. Θα πρέπει να τονισθεί ότι συνήθως η σχετική πυκνότητα του υγρού θα

13

πρέπει να πολλαπλασιασθεί με την πυκνότητα του νερού πριν χρησιμοποιηθεί

στους υπολογισμούς. Η πυκνότητα του υδραργύρου είναι 13,6 x 1000 kg/m3.

1.4 Ιξώδες. Το ιξώδες είναι ένα μέτρο της αντίστασης των μορίων ενός υγρού σε

κάθε παραμόρφωση καθώς και σε κάθε σχετική κίνησή των. Το ιξώδες είναι η

αιτία για την εμφάνιση της “εσωτερικής τριβής” του υγρού, μιας δύναμης

δηλαδή αντίθετης προς την κίνηση του υγρού. Η εσωτερική αυτή τριβή των

υγρών είναι τελείως διαφορετική από την τριβή που αναπτύσσεται μεταξύ δύο

στερεών επιφανειών. Στα στερεά, ακόμη και όταν βρίσκονται σε ακινησία,

αναπτύσσεται η λεγόμενη στατική τριβή που όταν το σώμα μετακινηθεί

μετατρέπεται σε δυναμική τριβή που δίνεται από τη γνωστή σχέση:

F = nΝ (1.6)

όπου :

F = δύναμη τριβής

n = συντελεστής τριβής

N = δύναμη που συγκρατεί σε επαφή τις δύο επιφάνειες

Αντίθετα στα ρευστά δεν υπάρχει στατική τριβή αλλά μόνο η δύναμη που

εμφανίζεται κατά την κίνηση των μορίων και εξαρτάται από την σχετική

ταχύτητα των κινουμένων μορίων και μηδενίζεται με την παύση της κίνησης .

Το ιξώδες είναι μία χαρακτηριστική ιδιότητα των ρευστών που επηρεάζει την

συμπεριφορά των ρευστών και διαφέρει στα διάφορα υγρά. Όσο πιο μεγάλο

ιξώδες έχει ένα ρευστό τόσο πιο παχύρρευστο είναι και τόσο λιγότερη

διάτμηση υφίσταται. Η μελάσα, η πίσσα και τα βαριά λάδια έχουν μεγάλο

ιξώδες ενώ τα φυτικά λάδια μικρότερο (Πίνακας 1.1). Το νερό έχει πολύ μικρό

ιξώδες που κατά την μελέτη υδραυλικών φαινομένων συχνά παραλείπεται. Οι

αλκοόλες και οι αιθέρες έχουν ακόμη μικρότερο ιξώδες. Το ιξώδες των υγρών

μειώνεται σημαντικά όταν αυξάνει η θερμοκρασία ενώ δεν μεταβάλλεται

πρακτικά με την μεταβολή της πίεσης. Για παράδειγμα το δυναμικό ιξώδες του

νερού στους 100 0C μειώνεται στο 0,284 x 10-3 kg/ms

14

Πίνακας 1.1. Πυκνότητα και ιξώδες μερικών υγρών στους 20ο C.

Υγρό Συντελεστής ιξώδους (μ) (x 10-3 kg/ms)

Πυκνότητα, ρ (kg/m3)

Αέρας 0,01815 1,2

Νερό 1,005 998.2

Υδράργυρος 1,552 13 546

παραφινέλαιο 1,900 800

Λάδι 10άρι 29 880-950

Λάδι 30άρι 96 880-950

1.4.1 Συντελεστής ιξώδους (μ). Ο συντελεστής ιξώδους ή απόλυτο ή δυναμικό ιξώδες ή απλά ιξώδες σε

δεδομένη θερμοκρασία και πίεση αποτελεί ένα ξεχωριστό χαρακτηριστικό ενός

υγρού και προσδιορίζεται εργαστηριακά. Ο Νεύτων (Newton) μελέτησε το

ιξώδες τοποθετώντας ένα ρευστό μεταξύ δύο μεγάλων οριζόντιων μεταλλικών

πλακών (Σχήμα 1.1 ). Η κάτω πλάκα είναι σταθερή ενώ η πάνω έχει εμβαδόν

A και μπορεί να κινηθεί ελεύθερα με την άσκηση μίας δύναμης F που ενεργεί

οριζόντια τραβώντας την πλάκα. Η διατμητική τάση ή δύναμη τριβής ανά

μονάδα επιφανείας () που ασκείται στο ρευστό που είναι σε επαφή με την

πλάκα δίδεται από την σχέση:

= FA

(1,7)

Η διατμητική τάση είναι παρόμοια με την πίεση δηλαδή βρίσκεται αν

διαιρέσουμε τη δύναμη με την επιφάνεια και επομένως έχει τις ίδιες μονάδες

(Ν/m2). Όμως η διατμητική τάση ενεργεί συνήθως παράλληλα προς την

επιφάνεια (βλέπε Σχήμα 1.1α) ενώ η πίεση ενεργεί κάθετα.

Εάν το ρευστό παραμένει συνεχώς σε επαφή (κολλημένο) με τις πλάκες

κατά την κίνηση της πάνω πλάκας το τμήμα του ρευστού abcd μετακινείται και

λαμβάνει τη θέση abc*d*. ∆ηλαδή το τμήμα του ρευστού ab παραμένει ακίνητο

ενώ το c*d* μετακινείται με ταχύτητα V όση και της μετακινούμενης πλάκας.

Επομένως η ταχύτητα κάθε στοιχειώδους οριζόντιου τμήματος του ρευστού

15

εξαρτάται από την απόστασή του από την ακίνητη κάτω πλάκα όπως φαίνεται

από το διάγραμμα των ταχυτήτων του Σχήμα 1.1β.

Σχήμα 1.1. (α) Υγρό μεταξύ των πλακών (β) Ταχύτητα υγρού λόγω της δύναμης F

O Nεύτων βρήκε ότι η δύναμη F είναι ανάλογη της επιφάνειας Α και της

ταχύτητας V και αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης d μεταξύ των δύο

πλακών (δηλαδή του πάχους του ρευστού) ήτοι:

F = μ A Vd

(1.8)

όπου μ είναι ένας συντελεστής που ονομάζεται δυναμικό ή απόλυτο ιξώδες. Στο ∆ιεθνές σύστημα σαν μονάδα ιξώδους λαμβάνεται το Poiseuille (Pl).

1 Pl = 1 N s m-2 = 1 Kg/m s

Στο σύστημα C.G.S. χρησιμοποιείται το poise και το centipoise = 0,01

poise

I poise = 1po = 1gr /cm s = 1dyn s/cm2.

Eάν στη σχέση (1.8) αντικαταστήσουμε τη διατμητική τάση που

αναπτύσσεται στο ρευστό = F / A από τον τύπο (1.7) παίρνουμε:

16

= μ Vd

(1.9)

Στο διάγραμμα ταχυτήτων (Σχήμα 1.1, β) ας υποθέσουμε μία στοιχειώδη

λωρίδα υγρού σε οποιοδήποτε ύψος y από την κάτω πλάκα (επίπεδο

αναφοράς, y = 0) και u την ταχύτητα στην βάση της λωρίδας και u + du στην

κορυφή. Εάν το πάχος της στοιχειώδους λωρίδας είναι dy τότε η σχέση du/dy

δηλαδή η τιμή της μεταβολής της ταχύτητας u κατά την κάθετη προς τη ροή

διεύθυνση y, λέγεται κλίση της ταχύτητας ( ή βαθμίδα της ταχύτητας ή

ταχύτητα παραμόρφωσης) και από το διάγραμμα είναι προφανές ότι

ισοδυναμεί με το V/d, οπότε έχουμε:

τ = μ dudy

μ = du/dyτ (1.10)

Με βάση την εξίσωση (1.10) εάν γίνει ένα διάγραμμα με άξονες την τ και την

du/dy τότε η κλίση της γραμμής θα αντιστοιχεί στο δυναμικό ιξώδες μ (Σχήμα

1.2 ). Τα Νευτώνεια ρευστά χαρακτηρίζονται από μία ευθεία γραμμή (σταθερό

μ) που διέρχεται από το 0. Τα μη Νευτώνεια ρευστά χαρακτηρίζονται από μία

καμπύλη επειδή το μ δεν είναι σταθερό αλλά είναι συνάρτηση της

θερμοκρασίας και της ταχύτητας παραμόρφωσης. Το νερό ανήκει στην πρώτη

κατηγορία. Η εξίσωση (1.10) που εκφράζει το δυναμικό ιξώδες σύμφωνα με το νόμο

του Νεύτωνα σαν σταθερή αναλογίας μεταξύ διατμητικής τάσεως και βαθμίδας

ταχύτητας, αφορά ορισμένη κατηγορία ροής, που ονομάζεται στρωτή ή

παράλληλη ροή. Θα πρέπει να αναφερθεί ότι το ιξώδες μ δεν συναντάται σε

πολλές εξισώσεις της υδραυλικής εκτός από τον αριθμό Reynolds, όπως θα

δούμε παρακάτω.

1.4.2 Κινηματικό ιξώδες (ν). Στη πράξη συχνά χρησιμοποιείται ο λόγος του δυναμικού ιξώδους μ

προς την πυκνότητα ρ του υγρού, και καλείται συντελεστής κινηματικού

17

ιξώδους ή απλά κινηματικό ιξώδες (ν) που βρίσκεται από τη σχέση :

ν = μρ

(1.11)

Σαν μονάδα κινηματικού ιξώδους λαμβάνεται το Stokes (St).

1 St = 1 cm2/s = 10-4 m2/s

To αποσταγμένο νερό στους 20 0C είναι ν = 0,01 St.

Στο SI μονάδα κινηματικού ιξώδους είναι το 1 m2/s = 104 St.

Σχήμα 1.2. Νευτώνεια και μη Νευτώνεια ρευστά

Το κινηματικό ιξώδες ν μετράται με ιξωδόμετρα, δηλαδή όργανα με τα

οποία προσδιορίζεται ο χρόνος που απαιτείται για τη ροή ενός ορισμένου

όγκου υγρού μέσα από οπή ή τριχοειδή σωλήνα. Υπάρχουν διάφοροι τύποι

ιξωδομέτρων όπως το ιξωδόμετρο Saybolt Universal (H.Π.A.), Redwood

(Αγγλίας) και Engler (Ευρώπης) .

1.5 Ιδανικά και πραγματικά ρευστά Ιδανικά χαρακτηρίζονται τα ρευστά στα οποία δεν αναπτύσσονται

εσωτερικές τριβές δηλαδή τα ρευστά αυτά έχουν ιξώδες μηδέν. Επί πλέον

αγνοούνται επιδράσεις από την επιφανειακή τάση ή στροβιλισμούς και

18

θεωρείται ότι το υγρό (συνήθως νερό) είναι ασυμπίεστο. Όπως είναι

προφανές τέτοια υγρά δεν υπάρχουν αφού όλα τα υγρά έχουν , έστω και

ελάχιστο ιξώδες αλλά όχι μηδενικό.

Τα ρευστά λοιπόν που έχουν έστω και ελάχιστη τιμή ιξώδους

ονομάζονται πραγματικά ή ιξώδη ρευστά. Η έννοια του ιδανικού ρευστού όμως

απλουστεύει πολύ τη θεωρητική μελέτη διαφόρων προβλημάτων που

αναφέρονται στη κίνηση των ρευστών. Στη κίνηση του νερού το ιξώδες

συνήθως παραλείπεται και παραδεχόμαστε ότι συμπεριφέρεται σαν ιδανικό

ρευστό.

Επομένως όταν επιλύονται προβλήματα υδραυλικής αγνοούνται

παράγοντες που υπάρχουν (όλα τα παραπάνω) και επομένως μπορεί να

ισχυρισθεί κάποιος ότι η επίλυση δεν είναι ακριβής. Πλην όμως για να μειωθεί

το λάθος από τις παραδοχές που γίνονται στις διάφορες εξισώσεις της

υδραυλικής εισάγονται διάφοροι συντελεστές (coefficients) οι οποίοι έχουν

προσδιορισθεί πειραματικά. Έτσι οι απλές εξισώσεις για τα ιδανικά ρευστά

δίνουν ακριβείς απαντήσεις σε προβλήματα που αφορούν πραγματικά ρευστά.

1.6 Επιφανειακή πίεση Στη διαχωριστική επιφάνεια ενός υγρού με τον αέρα και συγκεκριμένα στα μόρια του επιφανειακού στρώματος του υγρού ασκούνται ελκτικές

δυνάμεις τόσο από τα μόρια του υγρού που βρίσκονται σε επαφή από κάτω

όσο και από τα μόρια των ατμών του που βρίσκονται από πάνω. Επειδή η

πυκνότητα του υγρού είναι πολύ μεγαλύτερη από την πυκνότητα των ατμών

του, η συνισταμένη των δυνάμεων που έχουν φορά προς το εσωτερικό του

υγρού (προς τα κάτω) θα είναι πολύ μεγαλύτερη από την συνισταμένη των

δυνάμεων που έχουν φορά προς τα πάνω. Έτσι ασκείται μία ελκτική δύναμη

που τείνει να μετακινήσει τα επιφανειακά μόρια προς το εσωτερικό του υγρού

με συνέπεια η μάζα του υγρού να δέχεται μία πίεση από το επιφανειακό

στρώμα που ονομάζεται επιφανειακή πίεση που λαμβάνει τιμές μερικών

χιλιάδων ατμοσφαιρών (στο νερό είναι περίπου 1100 ατμόσφαιρες). Τα υγρά

είναι ήδη συμπιεσμένα από την επιφανειακή πίεση και γιαυτό είναι πρακτικά

ασυμπίεστα.

19

1.7 Επιφανειακή τάση Μοριακές δυνάμεις ονομάζουμε τις ελκτικές και αποστικές δυνάμεις που

αναπτύσσονται μεταξύ των μορίων της ύλης. ∆ιακρίνονται δε σε δυνάμεις

συνοχής και συνάφειας. ∆υνάμεις συνοχής αναπτύσσονται μεταξύ ομοίων

μορίων ενώ δυνάμεις συνάφειας μεταξύ ανόμοιων μορίων. Έτσι στις

διαχωριστικές επιφάνειες μεταξύ υγρών και αερίων ή γενικά μεταξύ διαφόρων

μη μιγνυομένων ρευστών, οι μοριακές αυτές δυνάμεις είναι η αιτία, ώστε οι

επιφάνειες αυτές να συμπεριφέρονται σαν μεμβράνες σε εφελκυσμό. Η

χαρακτηριστική αυτή ιδιότητα των ρευστών λέγεται επιφανειακή τάση και

συνέπεια της οποίας είναι η εμφάνιση τριχοειδών δυνάμεων όταν περιέχονται

σε λεπτούς σωλήνες. Κάθε μόριο που βρίσκεται στη διαχωριστική επιφάνεια

δύο μη αναμειγνυόμενων ρευστών υφίσταται την επίδραση μοριακών

δυνάμεων των οποίων η συνισταμένη δεν είναι μηδενική επειδή τα

περιβάλλοντα μόρια δεν είναι της ίδιας φύσεως. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα

την εμφάνιση επιφανειακής τάσεως της οποίας η διεύθυνση είναι κάθετος

προς την επιφάνεια επαφής. Στις ελκτικές αυτές δυνάμεις οφείλεται το

σφαιρικό σχήμα που παίρνουν οι σταγόνες της βροχής επειδή έτσι αποκτούν

την μικρότερα επιφάνεια για ένα δεδομένο όγκο νερού. Η επιφανειακή τάση

(σ) εκφράζεται σε μονάδες ενέργειας ανά μονάδα επιφανείας ή σε μονάδες

δυνάμεως ανά μονάδα μήκους, δηλαδή

σ = μήκοςδύναμη

επιφάνεια

απόσταση χ δύναμηεπιφάνειαέργο (1.12)

Στο σύστημα C.G.S. η επιφανειακή τάση εκφράζεται σε μονάδες erg/cm2

ή dynes/cm που είναι αριθμητικά ισοδύναμες, ενώ στο σύστημα S.I. N/m.

H επιφανειακή τάση ελαττώνεται λίγο με την αύξηση της θερμοκρασίας,

συνήθως γραμμικά. Για παράδειγμα η μεταβολή αυτή για το νερό δίδεται από

τη σχέση;

σΘ = 75,7 (1 – 0,002Θ)

όπου σΘ = επιφανειακή τάση σε dynes/cm και Θ = η θερμοκρασία σε βαθμούς

Κελσίου.

20

(α) (β) Σχήμα 1.3. ∆ιαβρέχοντα και μη διαβρέχοντα υγρά

(α) (β)

Σχήμα 1.4. Τριχοειδή φαινόμενα

1.8 ∆ιαβρέχοντα και μη υγρά. Όταν ένα υγρό είναι σε επαφή με μια επιφάνεια ενός στερεού ή με ένα

άλλο ρευστό εμφανίζονται δύο περιπτώσεις : αν οι δυνάμεις μεταξύ των

μορίων του υγρού είναι μικρότερες από τις δυνάμεις μεταξύ των μορίων του

υγρού και των μορίων της επιφάνειας τότε το υγρό εξαπλώνεται και

χαρακτηρίζεται σαν διαβρέχων (Σχήμα 1.3 α). Αν συμβαίνει το αντίθετο το

υγρό σχηματίζει μια σταγόνα και χαρακτηρίζεται σαν μη διαβρέχων όπως

φαίνεται στο Σχήμα 1.3 (β). Το νερό είναι διαβρέχων ενώ ο υδράργυρος μη

διαβρέχων υγρό.

1.9 Τριχοειδή - Μηνίσκος Τριχοειδή φαινόμενα οφείλονται στις δυνάμεις επιφανειακής τάσεως που

αναπτύσσονται στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ ενός υγρού και ενός

αερίου που βρίσκονται μέσα σε πολύ λεπτούς (τριχοειδείς) σωλήνες . Έτσι

όταν σωλήνας μικρής διαμέτρου τοποθετηθεί κάθετα σε ένα δοχείο με υγρό, η

21

επιφάνεια του υγρού μέσα στο σωλήνα ανέρχεται (διαβρέχοντα υγρά) ή

κατέρχεται (μη διαβρέχοντα) σε σχέση με την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού

στο δοχείο.

Σχήμα 1.5. Τριχοειδή φαινόμενα- Μηνίσκος

Μηνίσκος λέγεται η μορφή της ελευθέρας επιφάνειας του τριχοειδούς και

η οποία είναι κοίλη του μηνίσκου στα διαβρέχοντα υγρά και κυρτή στα μη

διαβρέχοντα. Η κοίλη επιφάνεια σχηματίζεται επειδή οι δυνάμεις συνάφειας

υγρού γυαλιού είναι ισχυρότερες από τις δυνάμεις συνοχής των μορίων του

υγρού όπως το νερό. Το αντίθετο συμβαίνει με την κυρτή επιφάνεια του

μηνίσκου (Σχήμα 1.4 α και β). Η ανύψωση (h) του υγρού στον σωλήνα

διαμέτρου (r) και για υγρό ειδικού βάρους γ δίδεται από τη σχέση:

h = α συνr γσ 2 (1.13)

όπου: σ= επιφανειακή τάση (για το νερό στους 200 C είναι σ=0,074 N/m

α= γωνία επαφής (Σχήμα 1.5)

22

Κατά συνέπεια η ύπαρξη του μηνίσκου δυσχεραίνει την ανάγνωση

διαφόρων οργάνων όπως τα μανόμετρα και θα πρέπει να δίδεται η

απαραίτητη προσοχή για να αποφεύγονται λάθη που οφείλονται στα τριχοειδή

φαινόμενα. Τα τριχοειδή φαινόμενα δεν εμφανίζονται όταν η διάμετρος του

σωλήνα είναι μεγαλύτερη από 10 mm.

1.10 Πίεση Σε μία επιφάνεια εμβαδού A εφαρμόζεται κάθετα μία δύναμη F

ομοιόμορφα κατανεμημένη σε όλη την επιφάνεια. Το πηλίκο της δύναμης

προς το εμβαδόν της επιφάνειας ονομάζεται πίεση P που δέχεται η επιφάνεια

ήτοι:

P = AF (1.14 )

Η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφεί και ως : F = P A : όπου F = m a

με a = επιτάχυνση. Μονάδα της δύναμης είναι το Newton (N) που ορίζεται

σαν τη δύναμη που απαιτείται για να επιτευχθεί με μάζα 1 kg επιτάχυνση 1

m/s2.

H μονάδα πίεσης στο S.I. είναι το 1 Nm-2 που ονομάζεται Pascal (Pa)

1 Pa= 10 dynescm2= 0,10197 Kgcm-2.

Ως γνωστόν το βάρος (W) είναι ένας τύπος δύναμης που οφείλεται στην

επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g). H εξίσωση που δίνει το βάρος είναι W = m g.

Επομένως η παραπάνω εξίσωση που δίνει την πίεση μπορεί να γραφεί και

P = AW (1.15 )

Από την εξίσωση προκύπτει ότι όταν θέλουμε να μειώσουμε την πίεση

που προκαλεί μία δοθείσα δύναμη σε ένα σώμα θα πρέπει να αυξήσουμε την

επιφάνεια επαφής της δύναμης με το σώμα. Για παράδειγμα χρησιμοποιούμε

χιονοπέδιλα για να μετακινηθούμε ευκολότερα στα χιόνια. Αντίθετα για να

23

αυξήσουμε την ασκούμενη πίεση μειώνουμε το εμβαδόν της επιφάνειας προς

την οποία ασκείται η δύναμη, όπως για παράδειγμα στα μαχαίρια και τις

ξυριστικές λεπίδες.

1.11 Μονάδες πίεσης

Τεχνική ατμόσφαιρα (at) είναι η πίεση 1 Kpcm-2 σε γεωγραφικό πλάτος

450 στο επίπεδο της θάλασσας και σε 00 C ή 10 ton/m2. Bar (b): H πίεση 10 Newton ανά cm2 δηλαδή:

1 bar=1 b= 10 N cm-2= 1,0197 Kgcm-2

Torr (torr) είναι η πίεση 1 mm στήλης υδραργύρου ανά cm2

1 torr= 1,333 10-2 N cm-2= 1,3596 10-3 Kgcm-2

Φυσική ατμόσφαιρα (atm) είναι η πίεση 760 mm στήλης υδραργύρου σε επιφάνεια 1 cm2, σε γεωγραφικό πλάτος 450 στο επίπεδο της θάλασσας και σε

0o C.

1 atm= 10,1325 Ncm-2= 1,033 Kp cm-2= 10,33 ton.m-2 = 76 cm στήλης Hg /

cm2 = 760 mm στήλης Hg / cm2 = 1033 cm στήλης νερού / cm2 σε 4o C.

H μέτρηση της ατμοσφαιρικής πίεσης γίνεται με βαρόμετρα τα οποία

θεωρούνται ότι είναι γνωστά από τη φυσική.

1.12 Υδραυλική Υδραυλική είναι το εφαρμοσμένο τμήμα της μηχανικής των ρευστών που

ασχολείται με τη μελέτη των νόμων που καθορίζουν τη συμπεριφορά των

υγρών είτε βρίσκονται σε ακινησία είτε σε κίνηση (ροή). Στα επόμενα κεφάλαια

θα αναπτυχθούν μέρη της Γεωργικής Υδραυλικής που ενδιαφέρουν τον

Γεωπόνο.

Τ.Ε.Ι. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ & ΑΡ∆ΕΥΣΕΩΝ

ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ–

ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ

∆ρ. ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ Ι. ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ 2001

24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

2 Υ∆ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ

2.1 Γενικά - υδροστατική πίεση Η υδροστατική μελετά τους νόμους που ισχύουν όταν τα ρευστά

βρίσκονται σε ισορροπία (ακινησία). Για να βρίσκεται ένα ρευστό σε

ισορροπία πρέπει η επιτάχυνσή του να είναι μηδενική προς όλες τις

διευθύνσεις. Επομένως το άθροισμα όλων των δυνάμεων που ενεργούν σε

κάθε σωματίδιο ενός ρευστού είναι μηδέν προς κάθε κατεύθυνση.

Κάθε υγρό που βρίσκεται σε ηρεμία ασκεί πίεση στα τοιχώματα των

επιφανειών με τις οποίες έρχεται σε επαφή και μάλιστα κάθετα προς αυτές. Σε

ένα δοχείο που περιέχει νερό και παρουσιάζει ελευθέρα επιφάνεια, αν

θεωρήσουμε την επιφάνεια του πυθμένα με συνολικό εμβαδόν A τότε η

συνολική δύναμη F που ασκείται επί του πυθμένα από το βάρος της

υπερκείμενης στήλης νερού κατανέμεται ομοιόμορφα επί της επιφάνειας A και

η πίεση ονομάζεται υδροστατική ή απλά πίεση και δίδεται από τη γνωστή

σχέση p = AW

AF

2.2 Αρχή του Pascal Κάθε πίεση που εξασκείται στην ελεύθερη επιφάνεια ενός υγρού

μεταδίδεται μέσω αυτού προς όλες τις διευθύνσεις ήτοι προς όλα τα σημεία

των τοιχωμάτων του δοχείου καθώς και σε όλα τα σημεία οποιασδήποτε

άλλης επιφάνειας που τυχόν βρίσκεται μέσα στο υγρό.

Έστω ένα δοχείο Α γεμάτο με υγρό (Σχήμα 2.1) που βρίσκεται έξω από

το πεδίο της βαρύτητας ώστε το υγρό να μην έχει βάρος. Εάν το έμβολο Ε1

που βρίσκεται στην πάνω επιφάνεια του δοχείου μετακινηθεί από μία δύναμη

F1 κατά απόσταση Χ1 τότε το έμβολο Ε2 στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου θα

μετακινηθεί κατά απόσταση Χ2. Για να εμποδιστεί αυτή η μετακίνηση θα

πρέπει να εξασκηθεί μία δύναμη F2’ ίση και αντίθετη προς την F2. Για να

25

μετακινηθεί το έμβολο Ε1 θα πρέπει να αποδοθεί έργο ίσο προς E1= F1Χ1 για

να υπερνικηθεί η δύναμη F2’.

Σχήμα 2.1. Αρχή του Pascal

To έργο E2 που παράγεται από τη μετακίνηση της F2’ είναι: E2 = F2 X2=

F2’X2. Σύμφωνα με την αρχή της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας τα δύο

αυτά έργα είναι ίσα, ήτοι:

F1 Χ1 = F2 X2 (2.1)

Όμως κατά την μετατόπιση των εμβόλων κατά Χ1 και Χ2 ελαττώνεται ο

όγκος του υγρού κατά ∆V1=A1X1 (όπου A1 το εμβαδόν της επιφάνειας του

εμβόλου Ε1) και αυξάνεται κατά ∆V2=A2X2 (όπου A2 το εμβαδόν της

επιφάνειας του εμβόλου Ε2) αντίστοιχα. Επειδή τα ιδανικά υγρά είναι

ασυμπίεστα ισχύει:

∆ V1 = ∆ V2 ή A1 X1 = A2 X2 (2.2)

26

∆ια διαιρέσεως της (2.1) και (2.2) κατά μέλη λαμβάνουμε:

2

2

1

1

AF

AF

P1 = P2

Άρα απεδείχθη ότι η πίεση P1 που ασκεί το έμβολο Ε1 στο υγρό και η

πίεση P2 που ασκεί το υγρό επάνω στο έμβολο Ε2 είναι ίσες ή με άλλη

έκφραση η πίεση που ασκεί το έμβολο Ε1 στο υγρό μετατοπίσθηκε στο έμβολο

Ε2 αναλλοίωτη ή ακόμη η αλλαγή της πίεσης σε ένα τμήμα (Ε1) ενός

αποθηκευμένου υγρού επιφέρει την ίδια αλλαγή πίεσης σε όλα τα τμήματα του

υγρού.

2.3 Υδραυλικό πιεστήριο Το υδραυλικό πιεστήριο είναι μία απλή μηχανή που χρησιμοποιείται για

την υπερνίκηση μεγάλων αντιστάσεων με την άσκηση συγκριτικά μικρότερης

δύναμης.

Αποτελείται από δύο κυλινδρικά δοχεία Α και Β που περιέχουν νερό και

συγκοινωνούν μεταξύ τους και έχουν διαμέτρους ∆1 και ∆2 αντίστοιχα, όπου

∆2=n∆1. Οι ελεύθερες επιφάνειες του νερού στους δύο κυλίνδρους

καλύπτονται από υδατοστεγή έμβολα Ε1 και Ε2 αντίστοιχα (Σχήμα 2.2).

Η δύναμη εξασκείται στο έμβολο Ε1 μέσω ενός μοχλού του οποίου οι

μοχλοβραχίονες ΟΜ και ΟΚ έχουν μήκος L και l αντίστοιχα. Όταν ασκείται

στο άκρο Μ του μοχλού ΟΚΜ μία δύναμη F τότε και ο μοχλός ασκεί μία

δύναμη F1 επί του εμβόλου Ε1. Σύμφωνα με το τρίτο νόμο του Νεύτωνα

(δράση = αντίδραση) και το έμβολο θα εξασκεί μία ίση και αντίθετη δύναμη F1΄ επί του μοχλού μέσω του βραχίωνος ΚΟ. Στη κατάσταση ισορροπίας του

μοχλού θα ισχύει:

F L = F1 l F1 = F lL

Σύμφωνα με την αρχή του Pascal η πίεση που ασκείται στο υγρό μέσω

του εμβόλου, λόγω της εφαρμογής της δύναμης F είναι:

27

Σχήμα 2.2. Υδραυλικό πιεστήριο

P = 11

1

A1

AF

lLF (2.3)

όπου A1 = π ∆124 το εμβαδόν του εμβόλου Ε1.

Η πίεση αυτή μεταδίδεται μέσω του υγρού στο έμβολο Ε2. Έτσι στο

έμβολο ασκείται από το υγρό μία δύναμη F2΄ για την οποία ισχύει:

F2΄ = PA2 = FlL

1

2

AA (2.4)

όπου A2= π∆224 το εμβαδόν του εμβόλου Ε2. Η δύναμη F2’ μπορεί να

ισορροπήσει μία δύναμη F2 ίση σε ένταση και αντίθετη σε διεύθυνση (δηλαδή

κατακόρυφο προς τα κάτω) . Επομένως θα ισχύει:

F2 = F2΄ = F lL

1

2

AA (2.5)

28

όμως ισχύει:

1

2

AA =

4∆ π4∆ π

1

2

= 1

2

∆∆ (2.6)

και με αντικατάσταση στην (2.5) έχουμε:

F2 = F lL

1

2

∆∆ (2.7)

Eπειδή ∆2 ∆1 και L l έπεται ότι και F2 F και επομένως με το υδραυλικό

πιεστήριο κερδίζουμε σε δύναμη.

2.4 ∆ιαφορά πίεσης μεταξύ δύο σημείων - Γενικές εξισώσεις υδροστατικής Η μεταβολή της πίεσης από σημείο σε σημείο μέσα στη μάζα ενός

ρευστού που βρίσκεται σε ακινησία μπορεί να υπολογισθεί με τον ακόλουθο

τρόπο.

Σε ένα δοχείο που περιέχει ένα ρευστό (π.χ. νερό) και παρουσιάζει

ελεύθερη επιφάνεια, έστω ένας μικρός όγκος ρευστού σχήματος κυλίνδρου

που έχει εμβαδόν διατομής A και ύψος z, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.3.

Οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται στο κύλινδρο αυτό οφείλονται στο βάρος των

υπερκειμένων στρωμάτων ρευστού (υδροστατικές πιέσεις) και στη βαρύτητα.

Αν ορίσουμε την πίεση και την απόσταση από το επίπεδο αναφοράς p1 και z1

για την κάτω επιφάνεια του κυλίνδρου και p2 και z2 για την πάνω επιφάνεια,

αντίστοιχα, τότε επειδή το ρευστό βρίσκεται σε ισορροπία θα πρέπει το

άθροισμα όλων των δυνάμεων που ενεργούν στο κύλινδρο κατά την

κατακόρυφο διεύθυνση να είναι ίσο με το μηδέν.

Επομένως ισχύει :

p1A – p2A - γAz = 0

ή

p1 – p2 - γ(z2 – z1) = 0

ή

29

Σχήμα 2.3. ∆ιαφορά πίεσης μεταξύ δύο σημείων

∆p = p1 – p2 = γ(z2 – z1) = γz (2.8)

όπου z είναι η υψομετρική διαφορά των δύο βάσεων του κυλίνδρου.

Η σχέση αυτή εκφράζει το θεμελιώδες θεώρημα της υδροστατικής που

αναφέρει ότι η διαφορά της υδροστατικής πίεσης μεταξύ δύο σημείων που

βρίσκονται σε διαφορετικά βάθη μέσα στη μάζα ενός ομοιογενούς υγρού σε

κατάσταση ισορροπίας ισούται με το βάρος μιας υγρής κατακόρυφης στήλης

που έχει εμβαδόν βάσης ίσο με τη μονάδα επιφάνειας και ύψος την

κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των δύο σημείων.

Από την (2.8) προκύπτει:

22

11

z+γp

=z+γp

(2.9)

Ο όρος γp

έχει διαστάσεις μήκους και ονομάζεται ύψος πίεσης ή φορτίο

πίεσης. Το ύψος πίεσης εκφράζει το βάθος σε cm ή m στήλης του ρευστού

30

διατομής ίσης με τη μονάδα και με ειδικό βάρος γ που χρειάζεται για να

παραχθεί πίεση p. Ο όρος z λέγεται ύψος θέσεως ή φορτίο θέσεως. Το

άθροισμα p/γ+z λέγεται πιεζομετρικό ύψος ή φορτίο. Αν το z2 βρίσκεται

πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού, τότε η πίεση p2 = p0 (όπου p0 =

ατμοσφαιρική πίεση) και η (2.8) γίνεται

p1 = p0 + γ . z

ή

pαπ = p0 + γ . z (2.10)

Η (2.10) δίνει την πραγματική ή απόλυτη πίεση σε ένα σημείο μέσα στη

μάζα ενός υγρού. Αν στην (2.10) θέσουμε p = p1 - p0 = pαπ – p0 τότε θα

έχουμε p = γ h. H πίεση αυτή δίνει τη σχετική πίεση ή πίεση οργάνου πάνω σε

ένα σημείο ενός υγρού. Η σχετική πίεση μπορεί να είναι θετική, δηλαδή

μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική πίεση ή αρνητική δηλαδή μικρότερη από

την ατμοσφαιρική πίεση. Η αρνητική σχετική πίεση λέγεται και κενό.

2.5 Ελεύθερη επιφάνεια συγκοινωνούντων δοχείων – Αρχή συγκοινωνούντων δοχείων Όταν ένα υγρό ισορροπεί μέσα σε δύο ή περισσότερα δοχεία που

συγκοινωνούν μεταξύ τους τότε η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού σε όλα τα

δοχεία θα πρέπει να βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Η διατύπωση αυτή

είναι γνωστή σαν αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων. Αν θεωρήσουμε δύο

σημεία α1 και α2 που βρίσκονται μέσα στο υγρό στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο

αλλά σε διαφορετικά δοχεία που συγκοινωνούν μεταξύ τους και απέχουν από

τις ελεύθερες επιφάνειες κατακόρυφη απόσταση h1 και h2, αντίστοιχα (Σχήμα

2.4). Αν η ατμοσφαιρική πίεση είναι p0 τότε η απόλυτη πίεση στα σημεία α1

και α2 θα είναι:

Pα1 = p0 + γ h1 και Ρα2 = p0 + γ h2 , (2.11)

αντίστοιχα.

31

Σχήμα 2.4. Συγκοινωνούντα δοχεία

Επειδή το υγρό ισορροπεί και τα α1 και α2 ευρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο

επίπεδο τότε σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο της Υδροστατικής θα πρέπει να

ισχύει:

Pα1 = Ρα2 ή p0 + γ h1 = p0 + γ h2 ή h1 = h2 (2.12)

∆ηλαδή, οι κατακόρυφες αποστάσεις των σημείων α1 και α2 από τις

ελεύθερες επιφάνειες είναι ίσες και προδήλως βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο

επίπεδο .

2.6 Μέτρηση υδροστατικής πίεσης - Μανόμετρα Πολλές φορές χρειάζεται να μετρηθεί η πίεση σε αρδευτικούς σωλήνες

για να ρυθμισθεί ο εφοδιασμός και η κατανομή με νερό του δικτύου ή για να

υπολογισθεί η παροχή σε ένα σωλήνα, δεξαμενή κ.λ.π. Με την μέτρηση της

πίεσης παρακολουθούνται τα υδραυλικά χαρακτηριστικά της ροής των υγρών

μέσα στους αγωγούς. Για παράδειγμα οι απώλειες πιέσεως κατά μήκος ενός

αγωγού είναι βασικό χαρακτηριστικό. Επίσης πολύ υψηλή πίεση αποτελεί

κίνδυνο για απώλειες υγρού στα σημεία συνδέσεων των αγωγών.

32

Βασικές αρχές μέτρησης. Οι βασικές αρχές στις οποίες στηρίζεται η μέτρηση της υδροστατικής πίεσης αναπτύχθηκαν παραπάνω. Ομαδοποιούνται ως

εξής:

Για κάθε ομοιογενές υγρό ισχύει η βασική εξίσωση μεταξύ πίεσης και βάθους,

δηλαδή: P = ρ g h

Η πίεση σε ένα σημείο οφείλεται στο βάρος του υγρού που υπάρχει πάνω από

το σημείο και υπολογίζεται με την βοήθεια της παραπάνω εξίσωσης.

Σε ένα ομοιογενές υγρό με την ίδια πυκνότητα η πίεση σε όλα τα σημεία του

ιδίου οριζοντίου επιπέδου είναι σταθερή. Αυτή η αρχή μπορεί να διατυπωθεί

και ως εξής: “ίδιο επίπεδο - ίδια πίεση”.

Στη περίπτωση υγρών με διαφορετική πυκνότητα που δεν αναμιγνύονται αλλά

σχηματίζουν ξεχωριστά στρώματα η πίεση που ασκείται από κάθε ξεχωριστό

στρώμα υγρού μπορεί να υπολογιστεί ξεχωριστά με την παραπάνω εξίσωση

και μετά να προστεθούν ώστε να υπολογισθεί η πίεση σε ένα σημείο.

Για τη μέτρηση της πίεσης χρησιμοποιούνται τα πιεζόμετρα ή τα

μανόμετρα

Ανάλογα με το τρόπο λειτουργίας τους διακρίνονται σε απλά και

διαφορικά. Με τα απλά μετράται μόνο η πίεση σε ένα δοχείο , σωλήνα κ.λ.π.

ενώ με τα διαφορικά μετράται η διαφορά πίεσης που υπάρχει σε δύο σημεία

ενός αγωγού , δοχείου, δεξαμενής κ.λ.π.

2.6.1 Πιεζόμετρα Ο πιo απλός και πρακτικός τύπος μανομέτρου είναι ο πιεζομετρικός

σωλήνας ή απλά το πιεζόμετρο (Σχήμα 2.5α). Αυτό είναι ένας γυάλινος

σωλήνας μικρής διαμέτρου που μπορεί να προσαρμοστεί κατακόρυφα σε ένα

σημείο του αγωγού (π.χ. πλαστικός σωλήνας) ή δοχείου του οποίου πρόκειται

να μετρηθεί η πίεση του περιεχομένου υγρού. Η διάμετρος της οπής

προσαρμογής πρέπει να είναι μικρή 3-4 mm και η σύνδεση του πιεζόμετρου

γίνεται προσεκτικά, ώστε να μην προεξέχει εντός του αγωγού, για να

αποφεύγεται αφ’ ενός κάθε παρεμπόδιση της ροής του νερού στον αγωγό και

33

αφ’ ετέρου να αποκλεισθεί η συμμετοχή της κινητικής ενέργειας του ρέοντος

υγρού στην ανύψωση του υγρού μέσα στο πιεζόμετρο.

Σχήμα 2.5.(α) Πιεζόμετρο σε αγωγό, h = πιεζομετρικό φορτίο (β) Πιεζόμετρα για μέτρηση της πίεσης (P1 – P2 )

Το υγρό του αγωγού ή δοχείου ανέρχεται μέσα στον σωλήνα του

πιεζόμετρου σε τέτοιο ύψος h (μετρούμενο από το οριζόντιο επίπεδο που

διέρχεται από το μέσον της διαμέτρου του αγωγού) ώστε η ατμοσφαιρική

πίεση (p0) και το βάρος της στήλης του υγρού μέσα στο πιεζόμετρο (ρgh) να

συνθέτουν μία πίεση ίση με την πίεση (Ρ) μέσα στον αγωγό (Σχήμα 2.5α και

2.6α). Το h είναι γνωστό σαν πιεζομετρικό ύψος ή πιεζομετρικό φορτίο ενώ το

επίπεδο στο οποίο ανέρχεται το υγρό λέγεται πιεζομετρικό επίπεδο.

Η πίεση επομένως δίνεται από την σχέση:

Ρ = p0 + ρgh (απόλυτη πίεση) (2.13)

ή

Ρ - p0 = ρgh = γh (σχετική πίεση ) (2.14)

Αυτός ο τύπος των πιεζόμετρων χρησιμοποιείται μόνο για τη μέτρηση

θετικών πιέσεων, δηλαδή πιέσεων μεγαλύτερων της ατμοσφαιρικής. Επί

πλέον ο τύπος αυτός του πιεζόμετρου είναι ακατάλληλος για τη μέτρηση

34

μεγάλων πιέσεων γιατί θα χρειαζόταν κατακόρυφος σωλήνας πολύ μεγάλου

ύψους. Σε πολλά δίκτυα η πίεση στους πρωτεύοντες αγωγούς ανέρχεται σε

30-50 m νερού. Η ύπαρξη πιεζόμετρου μήκους 50 m είναι εκτός κάθε λογικής.

Η χρησιμοποίηση μανομέτρου (βλέπε παρακάτω) επιβάλλεται σ’ αυτές τις

περιπτώσεις.

Όταν χρησιμοποιούνται δύο πιεζόμετρα για τη μέτρηση της διαφοράς της

πίεσης μεταξύ δύο σημείων P1 και P2 είναι δυνατόν να συνδεθούν τα ελεύθερα

άκρα των πιεζόμετρων με ένα είδος θαλάμου (Σχήμα 2.5β) που περιέχει αέρα

υπό πίεση μεγαλύτερη της ατμοσφαιρικής . Αυτό μπορεί να επιτευχθεί γιατί ο

θάλαμος αυτός έχει βαλβίδα και μπορεί να αυξηθεί η πίεση με τη βοήθεια

ακόμη μιας αντλίας όμοιας με εκείνης των ποδηλάτων. Η ακριβής τιμή της

πίεσης του αέρα ΡΑ δεν ενδιαφέρει στην περίπτωση αυτή αφού και στις δύο

επιφάνειες του νερού στα πιεζόμετρα ασκείται η ίδια πίεση. Στην περίπτωση

του σχήματος έχουμε:

Ρ1 = ρgh1 + ΡΑ

Ρ2 = ρgh2 + ΡΑ

και μετά την αφαίρεση κατά μέλη

Ρ1 - Ρ2 = ρgh1 + ΡΑ - (ρgh2 + ΡΑ)

Ρ1 - Ρ2 = ρgh1 - ρgh2 = ρgh (2.15)

Eίναι προφανές ότι στην περίπτωση αυτή η πίεση στο θάλαμο δεν

ενδιαφέρει αφού ο παράγοντας ΡΑ δεν εμφανίζεται στην εξίσωση. Επομένως

πρακτική συνέπεια αυτού είναι να αυξάνουμε ή να μειώνουμε την πίεση στο

θάλαμο μέχρις ότου οι τιμές h1 και h2 στα πιεζόμετρα φθάσουν στο επιθυμητό

για τον χρήστη ύψος δηλαδή μεταξύ 0-2 m. Aν η διαφορά πίεσης υπερβαίνει

τα 2 m είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείται διαφορικό μανόμετρο όπως

αναλύεται παρακάτω.

2.6.2 Απλά μανόμετρα σχήματος U Για τη μέτρηση μικρών αρνητικών ή θετικών σχετικών πιέσεων στα υγρά ,

μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο τύπος του απλού ανοιχτού μανομέτρου που

φαίνεται στο Σχήμα 2.6 (β).

35

Σχήμα 2.6. Πιεζόμετρο (α) και Ανοιχτά Μανόμετρα (β, γ) Στη περίπτωση αρνητικής πίεσης στο σημείο Α ο μηνίσκος του

μανομέτρου βρίσκεται κάτω από το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το

σημείο Α. Η πίεση στο σημείο Α δίδεται από την σχέση:

pA + γ h = p0 (απόλυτη πίεση στο Α ) (2.16)

ή

pA - p0 = - γ h (σχετική πίεση στο Α) (2.17)

Για μεγαλύτερες θετικές ή αρνητικές σχετικές πιέσεις χρησιμοποιείται ο

τύπος του απλού ανοιχτού μανομέτρου, με βαρύτερο υγρό , που φαίνεται στο

Σχήμα 2.6 (γ). Το υγρό που περιέχει το μανόμετρο είναι υγρό αναφοράς

(συνήθως υδράργυρος) και λέγεται μανομετρικό υγρό . Το μανομετρικό υγρό

επιλέγεται ώστε να έχει γνωστό αλλά μεγάλο ειδικό βάρος και επί πλέον να

μην αναμειγνύεται με το ρευστό του προς μέτρηση σωλήνα ή δοχείου το οποίο

μπορεί να είναι υγρό ή και αέριο.

Αν το ειδικό βάρος του προς μέτρηση ρευστού είναι γ και το ειδικό βάρος

του μανομετρικού υγρού είναι γm τότε η εξίσωση που δίνει την ένταση της

πίεσης στο σημείο Α είναι:

36

pΑ + γ h2 - γm h1 = p0 (απόλυτη πίεση στο Α) (2.18)

ή

pΑ ΄ = pΑ - p0 = γm h1 - γ h2 (σχετική πίεση στο Α) (2.19)

Για την λύση προβλημάτων με μανόμετρα χρησιμοποιείται η εξής πορεία:

Α΄τρόπος 1. Αρχίζουμε από το ένα άκρο και γράφουμε την ένταση της πίεσης με το

κατάλληλο σύστημα μονάδων ή συμβόλων (pΑ