ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις...

141
Τ. Ε. Ι . ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ & ΑΡ∆ΕΥΣΕΩΝ ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ ∆ρ. ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ Ι . ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ 2001

Transcript of ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις...

Page 1: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

Τ.Ε.Ι. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ

ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ & ΑΡ∆ΕΥΣΕΩΝ

ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ–

ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ

∆ρ. ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ Ι. ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ 2001

Page 2: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

2

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

βοηθήματος στους σπουδαστές του Τμήματος Γεωργικών Μηχανών και

Αρδεύσεων της Σχολής Τεχνολογίας Γεωπονίας του Τ.Ε.Ι. Μεσολογγίου, για

το μάθημα Αρδεύσεις - Στραγγίσεις .

Καταβλήθηκε προσπάθεια να καλυφθεί όλη η διδακτική ύλη που

προβλέπεται από το πρόγραμμα σπουδών του Τμήματος όπως στοιχεία

γενικής και εφαρμοσμένης υδραυλικής (υδροστατική, υδροδυναμική ροή σε

ανοικτούς και κλειστούς αγωγούς), αρδευτικά δίκτυα ανοικτών - κλειστών

αγωγών, ποιότητα αρδευτικού νερού. Ορισμένα θέματα αναπτύχθηκαν πιο

διεξοδικά είτε γιατί αποτελούν τις βασικές γνώσεις για την κατανόηση των

μαθημάτων των Αρδεύσεων-Στραγγίσεων ΙΙ. ΙΙΙ και ΙV , είτε γιατί αποτελούν

βασικά στοιχεία της σύγχρονης τεχνολογίας με την οποία θα κληθεί να

ασχοληθεί ο απόφοιτος Τεχνολόγος. Ιδιαίτερη βαρύτητα δόθηκε στην

ανάπτυξη του θέματος ποιότητα αρδευτικού νερού λόγω της μεγάλης

πρακτικής σημασίας που έχει η χρησιμοποίηση κατάλληλου αρδευτικού νερού

στις ξηροθερμικές συνθήκες της χώρας μας.

Θα πρέπει να τονισθεί ιδιαίτερα ότι η περιγραφή των φυσικών

φαινομένων έγινε με την ελαχίστη δυνατή μαθηματική ανάλυση ώστε να είναι

εύκολη η κατανόηση των γνώσεων αυτών. Επί πλέον συχνά αναφέρονται

παραδείγματα για την καλύτερη εμπέδωση της ύλης και τη διευκόλυνση των

σπουδαστών κατά την εφαρμογή..

∆ρ. Λεωνίδας Ι. Παναγιωτόπουλος

Page 3: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

3

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ……………………………………………………………….…….………….2

ΜΟΝΑ∆ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ…………………………………….……………....…….…….8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1……………………………………………………………………….…..….11

1. ΓΕΝΙΚΑ – Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΡΕΥΣΤΩΝ………………………………………… 11

1.1 Τα ρευστά………………………………………………………………..…… 11

1.2 Συμπιεστότητα…………………………………………………………..…… 11

1.3 Σχέσεις μάζας – βάρους – όγκου…………………………………….…… 11

1.3.1 Πυκνότητα…………………………………………………………………….. 11

1.3.2 Ειδικό βάρος………………………………………………………………….. 12

1.3.3 Βάρος – Μάζα…………………………………………………………….….. 12

1.4 Ιξώδες……………………………………………………………………...…. 13

1.4.1 Συντελεστής ιξώδους (μ)………………………………………………..….. 14

1.4.2 Κινηματικό ιξώδες (ν)……………………………………………………….. 16

1.5 Ιδανικά και πραγματικά ρευστά………………………………………....… 17

1.6 Επιφανειακή πίεση………………………………………………………….. 18

1.7 Επιφανειακή τάση…………………………………………………………… 19

1.8 ∆ιαβρέχοντα και μη υγρά………………………………………………...… 20

1.9 Τριχοειδή – Μηνίσκος………………………………………………….....… 20

1.10 Πίεση………………………………………………………………………...… 22

1.11 Μονάδες πίεσης…………………………………………………………...… 23

1.12 Υδραυλική…………………………………………………………………..… 23

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2…………………………………………………………………………..… 24

2 Υ∆ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ…………………………………………………………...…. 24

2.1 Γενικά – υδροστατική πίεση……………………………………………….. 24

2.2 Αρχή του Pascal…………………………………………………………….. 24

2.3 Υδραυλικό πιεστήριο………………………………………………………... 26

2.4 ∆ιαφορά πίεσης μεταξύ δύο σημείων-Γενικές εξισώσεις υδροστατικής……. 28

2.5 Ελεύθερη επιφάνεια συγκοινωνούντων δοχείων……………………….. 30

2.6 Μέτρηση υδροστατικής πίεσης μανόμετρα………………………………. 31

2.6.1 Πιεζόμετρα……………………………………………………………………. 32

2.6.2 Απλά μανόμετρα σχήματος U……………………………………………… 34

Page 4: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

4

2.6.3 ∆ιαφορικά μανόμετρα……………………………………………………….. 37

2.6.4 ∆ιαφορικά μανόμετρα σχήματος ανεστραμμένου U……………………. 39

2.6.5 Mικρομανόμετρα…………………………………………………………….. 42

2.7 Υδροστατική πίεση επί επιφανειών………………………………………. 42

2.7.1 Οριζόντιες επίπεδες επιφάνειες…………………………………………… 43

2.7.2 Κατακόρυφες επίπεδες επιφάνειες……………………………………….. 44

2.7.3 Κεκλιμένες επίπεδες επιφάνειες…………………………………………... 45

2.7.4 Καμπύλες επιφάνειες……………………………………………………….. 48

2.8 Άνωση και πλεύση…………………………………………………………... 51

2.8.1 Αρχή του Αρχιμήδη………………………………………………………….. 51

2.8.2 Κέντρο Άνωσης………………………………………………………………. 52

2.8.3 Ευσταθής, ασταθής και αδιάφορος ισορροπία………………………….. 53

2.8.4 Μετάκεντρο…………………………………………………………………… 56

Παραδείγματα Υδροστατικής πίεσης 56

Παράδειγμα 2.1………………………………………………………………………….. 57

Παράδειγμα 2.2………………………………………………………………………….. 58

Παράδειγμα 2.3………………………………………………………………………….. 59

Παράδειγμα 2.4………………………………………………………………………….. 59

Παράδειγμα 2.5………………………………………………………………………….. 60

Παράδειγμα 2.6………………………………………………………………………….. 61

Παράδειγμα 2.7………………………………………………………………………….. 62

Παράδειγμα 2.8………………………………………………………………………….. 64

Παράδειγμα 2.9………………………………………………………………………….. 65

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3…………………………………………………………………………….. 67

3 Υ∆ΡΟ∆ΥΝΑΜΙΚΗ……………………………………………………………. 67

3.1 Γενικά – ορισμοί……………………………………………………………… 67

3.2 Εξίσωση συνέχειας – Νόμος διατήρησης της μάζας…………………… 69

3.3 Εξίσωση κίνησης ρευστού κατά μήκος μιας γραμμής ροής-

Εξίσωση ενέργειας ή εξίσωση Bernoulli…………………………….……

71

3.4 Eξίσωση ποσότητας κίνησης………………………………………………. 75

Παραδείγματα……………………………………………………………………………. 76

Παράδειγμα 3.1………………………………………………………………………….. 76

Page 5: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

5

Παράδειγμα 3.2………………………………………………………………………….. 76

Παράδειγμα 3.3………………………………………………………………………….. 78

Παράδειγμα 3.4………………………………………………………………………….. 80

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4…………………………………………………………………………….. 82

4 ΜΕΤΡΗΤΕΣ ΡΟΗΣ…………………………………………………………... 82

4.1 Μετρητής Venturi…………………………………………………………….. 82

4.2 Σωλήνας Pitot………………………………………………………………… 87

4.3 Εκροή από οπές……………………………………………………………... 89

4.3.1 Γενικά………………………………………………………………………….. 89

4.3.2 Ελεύθερη ροή από μικρή οπή……………………………………………... 90

4.3.3 Βυθισμένες οπές…………………………………………………………….. 93

4.3.4 Εκροή από μεγάλες οπές…………………………………………………... 94

4.4 Εκκένωση δεξαμενής……………………………………………………….. 96

4.5 Ροή δια μέσω επιστομίων………………………………………………….. 98

4.5.1 Ροή μέσω επιστομίων υπό την επίδραση πίεσης………………………. 100

4.6 Ροή πάνω από εκχειλιστές…………………………………………………. 101

4.6.1 Γενικά………………………………………………………………………….. 101

4.6.2 Εκροή από ορθογώνιους εκχειλιστές…………………………………….. 104

4.6.3 Εκροή από τριγωνικούς εκχειλιστές………………………………………. 107

4.7 Μέτρηση ταχύτητας από την τροχιά εκροής…………………………….. 109

4.8 Μετρητές ταχύτητας τύπου ανεμομέτρου (Μυλίσκος) 109

4.9 Μέτρηση της ταχύτητας με πλωτήρες……………………………………. 111

4.10 Μέτρηση της παροχής με τη χρησιμοποίηση δοχείων………………… 111

4.11 Μέτρηση της μεταβολής της στάθμης του νερού 112

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5…………………………………………………………………………….. 113

5 ΡΟΗ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ………………………………………….. 113

5.1 Γενικά………………………………………………………………………….. 113

5.2 Τύπος ροής – Αριθμός Reynolds………………………………………… 114

5.3 ∆ιαφορές μεταξύ στρωτής και τυρβώδους ροής………………………... 116

5.4 Οριακό

στρώμα………………………………………………………….……..

118

5.5 Λείοι και τραχείς αγωγοί……………………………………………………. 120

Page 6: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

6

5.6 Απώλειες φορτίου σε κλειστούς αγωγούς……………………………….. 121

5.7 Υπολογισμός γραμμικών απωλειών……………………………………… 123

5.8 Εμπειρικές εξισώσεις για κλειστούς αγωγούς…………………………… 126

5.8.1 Εξίσωση Blasius για ομαλή τυρβώδη ροή……………………………….. 127

5.8.2 Εξίσωση Hazen-Williams για μεταβατική τυρβώδη ροή……………… 127

5.8.3 Εξίσωση Manning για τραχεία τυρβώδη ροή σε κλειστούς αγωγούς.. 128

5.9 Τοπικές απώλειες φορτίου…………………………………………………. 129

5.9.1 Απώλειες φορτίου από απότομη διεύρυνση του αγωγού……………… 129

5.9.2 Απώλειες φορτίου λόγω σταδιακής διεύρυνσης του αγωγού……….. 130

5.9.3 Απώλειες φορτίου λόγω απότομης στένωσης του αγωγού…………… 130

5.9.4 Τοπικές απώλειες φορτίου σε διάφορα εξαρτήματα…………………… 131

5.9.5 Τοπικές απώλειες στην είσοδο του αγωγού από δεξαμενή …………. 131

Παράδειγμα 5.1………………………………………………………………………….. 132

Παράδειγμα 5.2………………………………………………………………………….. 132

Παράδειγμα 5.3………………………………………………………………………….. 133

Παράδειγμα 5.4………………………………………………………………………….. 134

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6…………………………………………………………………………….. 136

6 ΡΟΗ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ…………………………………………. 136

6.1 Γενικά – Είδη ροής………………………………………………………... 136

6.2 Βρεχόμενη περίμετρος, υδραυλική ακτίνα, μέσο υδραυλικό βάθος.. 138

6.3 Αριθμός Froude……………………………………………………………… 139

6.4 H εξίσωση του Chezy……………………………………………………….. 140

6.5 Εξίσωση του Manning………………………………………………………. 141

6.6 Επίδραση των παραμέτρων στη παροχή………………………………… 142

6.7 Αναλογίες και σχήμα αγωγών για μεγίστη ταχύτητα ή παροχή………. 143

Παράδειγμα 6.1………………………………………………………………………….. 143

Παράδειγμα 6.2………………………………………………………………………….. 145

Παράδειγμα 6.3………………………………………………………………………….. 146

Παράδειγμα 6.4………………………………………………………………………….. 147

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7…………………………………………………………………………….. 149

7 ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΑΡ∆ΕΥΤΙΚΟΥ ΝΕΡΟΥ……………………………………….. 149

7.1 Εισαγωγή……………………………………………………………………… 149

Page 7: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

7

7.2 Ποιότητα αρδευτικών νερών……………………………………………….. 149

7.2.1 Γενικά………………………………………………………………………….. 149

7.2.2 Είδη αλάτων………………………………………………………………………. 151

7.2.3 Προέλευση αλάτων………………………………………………………….. 151

7.2.4 Ανάλυση δείγματος νερού………………………………………………….. 151

7.2.5 Κριτήρια για τη ταξινόμηση των αρδευτικών νερών……………………. 152

7.2.6 Μέθοδοι ταξινόμησης αρδευτικών νερών………………………………... 152

7.3 Το πρόβλημα της αλατότητας του εδάφους……………………………... 163

7.3.1 Εναλάτωση του εδάφους από τα αρδευτικά νερά………………………. 163

7.3.2 Επίδραση της αλατότητας του εδάφους στα φυτά……………………… 165

7.3.3 Αντιμετώπιση του προβλήματος της αλατότητας………………………. 167

7.4 Το πρόβλημα της αλκαλίωσης του εδάφους…………………………….. 189

7.4.1 Επίδραση των υφάλμυρων νερών στη διηθητικότητα του εδάφους…. 189

7.4.2 Εκτίμηση του βαθμού αλκαλίωσης ………………………………………. 190

7.4.3 Αντιμετώπισης του προβλήματος της αλκαλίωσης από τα υφάλμυρα

νερά…………………………………………………………………………….

193

7.5 Τοξικότητα……………………………………………………………………. 200

7.5.1 Τοξικότητα νατρίου………………………………………………………….. 201

7.5.2 Τοξικότητα χλωρίου…………………………………………………………. 201

7.5.3 Αντιμετώπιση προβλημάτων τοξικότητας……………………………….. 202

7.6 Επιπτώσεις στις καλλιέργειες από υφάλμυρα νερά……………………. 204

7.6.1 Εσπεριδοειδή………………………………………………………………… 204

7.6.2 Θερμοκηπιακές καλλιέργειες………………………………………………. 209

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ…………………………………………………………………………. 212

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α…………………………………………………………………………. 215

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β…………………………………………………………………………. 217

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ…………………………………………………………………………. 219

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ∆…………………………………………………………………………. 221

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ε…………………………………………………………………………. 222

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤ……………………………………………………………….………. 223

Page 8: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

Τ.Ε.Ι. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ

ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ & ΑΡ∆ΕΥΣΕΩΝ

ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ–

ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ

∆ρ. ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ Ι. ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ 2001

Page 9: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

8

ΜΟΝΑ∆ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

Στις σημειώσεις αυτές καθώς και στα φροντιστήρια και τις ασκήσεις

χρησιμοποιούνται κατά βάση οι μονάδες του ∆ιεθνούς Συστήματος (System

International ή συγκοπτόμενα SI) και δευτερευόντως μονάδες που είναι

παράγωγα του SI ή σχετίζονται με τις βασικές αυτές μονάδες.

Σαν γενική αρχή θα πρέπει να αναφερθεί ότι μία αριθμητική απάντηση σε

μία ερώτηση ενός προβλήματος ποτέ (εκτός αν το μέγεθος είναι αδιάστατο)

δεν είναι σωστή εάν δεν ακολουθείται από τις σωστές μονάδες. Συνιστάται

στους σπουδαστές να επιλύουν τις εξισώσεις της υδραυλικής με τη

χρησιμοποίηση των βασικών μονάδων του SI. Αν τυχόν τα δεδομένα δίδονται

με άλλες μονάδες θα πρέπει να μετατρέπονται πριν την αντικατάστασή τους

στις εξισώσεις σε ισοδύναμα αριθμητικά δεδομένα με μονάδες SI. ∆εν θα

πρέπει να διακινδυνεύει κανείς να επιλύσει τις εξισώσεις με την

χρησιμοποίηση άλλων, εκτός SI, μονάδων.

Βασικές Μονάδες SI

Μέγεθος Μονάδα Μονάδα (στα

Aγγλικά)

Σύμβολο

Μήκος Μέτρο meter m

Μάζα Χιλιόγραμμο kilogram kg

Χρόνος ∆ευτερόλεπτο second s

Ένταση ηλεκτρικού.

ρεύματος

Αμπέρ ampere A

Θερμοκρασία Κέλβιν kelvin K

Γραμμοϊσοδύναμo mole mol

Page 10: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

9

Παράγωγα και σχετικές με το SI μονάδες

Μέγεθος Μονάδα Μονάδα(στα

Aγγλικά)

Σύμβολο Τιμή

∆ύναμης Νιούτον Neuton N kg m s-2

Έργο Τζάουλ Joule J N m

Πίεση Πασκάλ Pascal Pa N m-2

Τάση ηλ.

Ρεύματος

Βόλτ Volt V J A-1 s-1

Ηλ. Αγωγιμότητα Σίμεν Siemen S A V-1

Όγκος Λίτρο Liter l ή dm3 10-3 m3

Βάρος Τόνος Tone t 103 kg

Πίεση Μπάρ Bar bar 105 Pa

Mονάδες εκτός SI που χρησιμοποιούνται στις αρδεύσεις

Μέγεθος Μονάδα (Αγγλικά) Σύμβολο Τιμή

Θερμοκρασία Celsius οC K-273

Συγκέντρωση moles per liter M mol l-1

Ικανότητα Ανταλλαγής

Κατιόντων

milli -equivalen

per 100 gram

me per 100 g

Ηλεκτρ. Αγωγιμότητα millimho per cm mmho cm-1 10-3 S cm-1

Page 11: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

10

Προθέματα για πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια μονάδων στο SI

Όνομα προθέματος Σύμβολο Τιμή

kilo (κίλο) k 103

deca (δέκα) da 101

deci (ντέσι) d 10-1

centi (σέντι) c 10-2

milli (μίλι) m 10-3

micro (μίκρο) μ 10-6

nano (νάνο) n 10-9

pico (πίκο) p 10-12

Page 12: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

Τ.Ε.Ι. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ

ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ & ΑΡ∆ΕΥΣΕΩΝ

ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ–

ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ

∆ρ. ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ Ι. ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ 2001

Page 13: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

1. ΓΕΝΙΚΑ – Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΡΕΥΣΤΩΝ

1.1 Τα ρευστά.

Τα υγρά και τα αέρια, στη συνήθη θερμοκρασία και πίεση, υπό την

επίδραση οποιασδήποτε διατμητικής (εφαπτομενικής) τάσης ανεξάρτητα από

το μέγεθός της, παραμορφώνονται (ρέουν) συνεχώς γι’ αυτό αναφέρονται σαν

ρευστά.

1.2 Συμπιεστότητα.

Τα ρευστά υφίστανται μείωση του αρχικού όγκου τους υπό την επίδραση

αυξημένης πίεσης. Η ιδιότητα αυτή χαρακτηρίζει την συμπιεστότητα των

ρευστών. Τα υγρά σε αντίθεση με τα αέρια έχουν πολύ μικρή συμπιεστότητα.

Για παράδειγμα, στο νερό μία αύξηση της πίεσης κατά 1 Kg/cm2 προκαλεί

μείωση του αρχικού όγκου κατά 1:20000. Επομένως στα διάφορα προβλήματα

της υδραυλικής πρακτικά το νερό θεωρείται ασυμπίεστο. Μόνο κατά τη μελέτη

αγωγών υπό ισχυρή πίεση (αγωγοί υδατοπτώσεων) το νερό θεωρείται

συμπιεστό. Σε τέτοιες όμως περιπτώσεις δεν θα αναφερθούμε στις σημειώσεις

αυτές.

1.3 Σχέσεις μάζας - βάρους - όγκου

1.3.1 Πυκνότητα.

Η πυκνότητα (ρ) αποτελεί το μέτρο συγκέντρωσης της ύλης και

εκφράζεται σαν η μάζα του μοναδιαίου όγκου.

ρ=γκοςόςόσυνολικ

μάζα συνολική= m

v (1.1)

Στο International system (S.I.) η μονάδα είναι Kg/m3

ενώ στο σύστημα CGS είναι gr/ cm3.

Page 14: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

12

Η πυκνότητα του αποσταγμένου νερού στους 4ο C είναι 1 000 Kg/m3 ή 1

gr/cm3

1.3.2 Ειδικό βάρος

Ειδικό βάρος (γ) ενός ρευστού είναι το βάρος του μοναδιαίου όγκου, δηλαδή:

γ=V

W =

γκοςόςόσυνολικ

βάρος όσυνολικ (1.2)

Η μονάδα του ειδικού βάρους στο International system ( S.I.) είναι 1 N/m3

ενώ στο σύστημα C.G.S. το 1 dyne/cm3 . Επομένως 1 N/m3=105 dynes.

1.3.3 Βάρος – Μάζα.

Οι έννοιες αυτές θα πρέπει να είναι πλήρως ξεκαθαρισμένες. Η

βασικότερη διαφορά είναι ότι η μάζα του σώματος είναι σταθερή και η τιμή της

παραμένει η ίδια σε κάθε μέρος του σύμπαντος, ενώ το βάρος διαφέρει από

τόπο σε τόπο ανάλογα με τη τιμή της βαρύτητας επειδή :

W = m g (1.3)

Η τιμή της βαρύτητας στη Γη είναι g = 9,81 m/s2 , στη Σελήνη g = 1,6

m/s2 και στο ∆ία g = 26,9 m/s2. Επομένως το βάρος του ιδίου σώματος είναι

πολύ μικρότερο στη Σελήνη από τη Γη ενώ στο ∆ία είναι πολύ μεγαλύτερο.

Από το συνδυασμό των εξισώσεων 1.2 και 1.3 προκύπτει:

γ = ρ g (1.4)

Από την 1.4 προκύπτει ότι το ειδικό βάρος του καθαρού νερού είναι

1000 x 9,81 Ν/m3. Επομένως, το βάρος στους κυβικού νερού ζυγίζει 9,81x103

Ν που είναι ένας τόνος, όσο είναι περίπου το βάρος ενός αυτοκινήτου.

Σχετική πυκνότητα ή ειδική βαρύτητα (s) ενός υγρού (α) είναι η αναλογία

της πυκνότητας του υγρού ρα προς την πυκνότητα του νερού ρ. Φυσικά η ίδια

αριθμητική τιμή προκύπτει αν χρησιμοποιηθούν τα ειδικά βάρη γα του υγρού

(α) και του νερού γ ήτοι:

s = ρα / ρ ή s = γα / γ (1.5)

Είναι προφανές ότι η σχετική πυκνότητα είναι αδιάστατο μέγεθος αφού

είναι αναλογία. Έτσι το νερό έχει σχετική πυκνότητα 1,0 και ο υδράργυρος

13,6. Θα πρέπει να τονισθεί ότι συνήθως η σχετική πυκνότητα του υγρού θα

Page 15: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

13

πρέπει να πολλαπλασιασθεί με την πυκνότητα του νερού πριν χρησιμοποιηθεί

στους υπολογισμούς. Η πυκνότητα του υδραργύρου είναι 13,6 x 1000 kg/m3.

1.4 Ιξώδες.

Το ιξώδες είναι ένα μέτρο της αντίστασης των μορίων ενός υγρού σε

κάθε παραμόρφωση καθώς και σε κάθε σχετική κίνησή των. Το ιξώδες είναι η

αιτία για την εμφάνιση της “εσωτερικής τριβής” του υγρού, μιας δύναμης

δηλαδή αντίθετης προς την κίνηση του υγρού. Η εσωτερική αυτή τριβή των

υγρών είναι τελείως διαφορετική από την τριβή που αναπτύσσεται μεταξύ δύο

στερεών επιφανειών. Στα στερεά, ακόμη και όταν βρίσκονται σε ακινησία,

αναπτύσσεται η λεγόμενη στατική τριβή που όταν το σώμα μετακινηθεί

μετατρέπεται σε δυναμική τριβή που δίνεται από τη γνωστή σχέση:

F = nΝ (1.6)

όπου :

F = δύναμη τριβής

n = συντελεστής τριβής

N = δύναμη που συγκρατεί σε επαφή τις δύο επιφάνειες

Αντίθετα στα ρευστά δεν υπάρχει στατική τριβή αλλά μόνο η δύναμη που

εμφανίζεται κατά την κίνηση των μορίων και εξαρτάται από την σχετική

ταχύτητα των κινουμένων μορίων και μηδενίζεται με την παύση της κίνησης .

Το ιξώδες είναι μία χαρακτηριστική ιδιότητα των ρευστών που επηρεάζει την

συμπεριφορά των ρευστών και διαφέρει στα διάφορα υγρά. Όσο πιο μεγάλο

ιξώδες έχει ένα ρευστό τόσο πιο παχύρρευστο είναι και τόσο λιγότερη

διάτμηση υφίσταται. Η μελάσα, η πίσσα και τα βαριά λάδια έχουν μεγάλο

ιξώδες ενώ τα φυτικά λάδια μικρότερο (Πίνακας 1.1). Το νερό έχει πολύ μικρό

ιξώδες που κατά την μελέτη υδραυλικών φαινομένων συχνά παραλείπεται. Οι

αλκοόλες και οι αιθέρες έχουν ακόμη μικρότερο ιξώδες. Το ιξώδες των υγρών

μειώνεται σημαντικά όταν αυξάνει η θερμοκρασία ενώ δεν μεταβάλλεται

πρακτικά με την μεταβολή της πίεσης. Για παράδειγμα το δυναμικό ιξώδες του

νερού στους 100 0C μειώνεται στο 0,284 x 10-3 kg/ms

Page 16: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

14

Πίνακας 1.1. Πυκνότητα και ιξώδες μερικών υγρών στους 20ο C.

Υγρό Συντελεστής ιξώδους (μ)

(x 10-3 kg/ms)

Πυκνότητα, ρ

(kg/m3)

Αέρας 0,01815 1,2

Νερό 1,005 998.2

Υδράργυρος 1,552 13 546

παραφινέλαιο 1,900 800

Λάδι 10άρι 29 880-950

Λάδι 30άρι 96 880-950

1.4.1 Συντελεστής ιξώδους (μ).

Ο συντελεστής ιξώδους ή απόλυτο ή δυναμικό ιξώδες ή απλά ιξώδες σε

δεδομένη θερμοκρασία και πίεση αποτελεί ένα ξεχωριστό χαρακτηριστικό ενός

υγρού και προσδιορίζεται εργαστηριακά. Ο Νεύτων (Newton) μελέτησε το

ιξώδες τοποθετώντας ένα ρευστό μεταξύ δύο μεγάλων οριζόντιων μεταλλικών

πλακών (Σχήμα 1.1 ). Η κάτω πλάκα είναι σταθερή ενώ η πάνω έχει εμβαδόν

A και μπορεί να κινηθεί ελεύθερα με την άσκηση μίας δύναμης F που ενεργεί

οριζόντια τραβώντας την πλάκα. Η διατμητική τάση ή δύναμη τριβής ανά

μονάδα επιφανείας () που ασκείται στο ρευστό που είναι σε επαφή με την

πλάκα δίδεται από την σχέση:

= F

A (1,7)

Η διατμητική τάση είναι παρόμοια με την πίεση δηλαδή βρίσκεται αν

διαιρέσουμε τη δύναμη με την επιφάνεια και επομένως έχει τις ίδιες μονάδες

(Ν/m2). Όμως η διατμητική τάση ενεργεί συνήθως παράλληλα προς την

επιφάνεια (βλέπε Σχήμα 1.1α) ενώ η πίεση ενεργεί κάθετα.

Εάν το ρευστό παραμένει συνεχώς σε επαφή (κολλημένο) με τις πλάκες

κατά την κίνηση της πάνω πλάκας το τμήμα του ρευστού abcd μετακινείται και

λαμβάνει τη θέση abc*d*. ∆ηλαδή το τμήμα του ρευστού ab παραμένει ακίνητο

ενώ το c*d* μετακινείται με ταχύτητα V όση και της μετακινούμενης πλάκας.

Επομένως η ταχύτητα κάθε στοιχειώδους οριζόντιου τμήματος του ρευστού

Page 17: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

15

εξαρτάται από την απόστασή του από την ακίνητη κάτω πλάκα όπως φαίνεται

από το διάγραμμα των ταχυτήτων του Σχήμα 1.1β.

Σχήμα 1.1. (α) Υγρό μεταξύ των πλακών

(β) Ταχύτητα υγρού λόγω της δύναμης F

O Nεύτων βρήκε ότι η δύναμη F είναι ανάλογη της επιφάνειας Α και της

ταχύτητας V και αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης d μεταξύ των δύο

πλακών (δηλαδή του πάχους του ρευστού) ήτοι:

F = μ A V

d (1.8)

όπου μ είναι ένας συντελεστής που ονομάζεται δυναμικό ή απόλυτο ιξώδες.

Στο ∆ιεθνές σύστημα σαν μονάδα ιξώδους λαμβάνεται το Poiseuille (Pl).

1 Pl = 1 N s m-2 = 1 Kg/m s

Στο σύστημα C.G.S. χρησιμοποιείται το poise και το centipoise = 0,01

poise

I poise = 1po = 1gr /cm s = 1dyn s/cm2.

Eάν στη σχέση (1.8) αντικαταστήσουμε τη διατμητική τάση που

αναπτύσσεται στο ρευστό = F / A από τον τύπο (1.7) παίρνουμε:

Page 18: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

16

= μ V

d (1.9)

Στο διάγραμμα ταχυτήτων (Σχήμα 1.1, β) ας υποθέσουμε μία στοιχειώδη

λωρίδα υγρού σε οποιοδήποτε ύψος y από την κάτω πλάκα (επίπεδο

αναφοράς, y = 0) και u την ταχύτητα στην βάση της λωρίδας και u + du στην

κορυφή. Εάν το πάχος της στοιχειώδους λωρίδας είναι dy τότε η σχέση du/dy

δηλαδή η τιμή της μεταβολής της ταχύτητας u κατά την κάθετη προς τη ροή

διεύθυνση y, λέγεται κλίση της ταχύτητας ( ή βαθμίδα της ταχύτητας ή

ταχύτητα παραμόρφωσης) και από το διάγραμμα είναι προφανές ότι

ισοδυναμεί με το V/d, οπότε έχουμε:

τ = μ du

dy μ =

du/dy

τ (1.10)

Με βάση την εξίσωση (1.10) εάν γίνει ένα διάγραμμα με άξονες την τ και την

du/dy τότε η κλίση της γραμμής θα αντιστοιχεί στο δυναμικό ιξώδες μ (Σχήμα

1.2 ). Τα Νευτώνεια ρευστά χαρακτηρίζονται από μία ευθεία γραμμή (σταθερό

μ) που διέρχεται από το 0. Τα μη Νευτώνεια ρευστά χαρακτηρίζονται από μία

καμπύλη επειδή το μ δεν είναι σταθερό αλλά είναι συνάρτηση της

θερμοκρασίας και της ταχύτητας παραμόρφωσης. Το νερό ανήκει στην πρώτη

κατηγορία.

Η εξίσωση (1.10) που εκφράζει το δυναμικό ιξώδες σύμφωνα με το νόμο

του Νεύτωνα σαν σταθερή αναλογίας μεταξύ διατμητικής τάσεως και βαθμίδας

ταχύτητας, αφορά ορισμένη κατηγορία ροής, που ονομάζεται στρωτή ή

παράλληλη ροή. Θα πρέπει να αναφερθεί ότι το ιξώδες μ δεν συναντάται σε

πολλές εξισώσεις της υδραυλικής εκτός από τον αριθμό Reynolds, όπως θα

δούμε παρακάτω.

1.4.2 Κινηματικό ιξώδες (ν).

Στη πράξη συχνά χρησιμοποιείται ο λόγος του δυναμικού ιξώδους μ

προς την πυκνότητα ρ του υγρού, και καλείται συντελεστής κινηματικού

Page 19: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

17

ιξώδους ή απλά κινηματικό ιξώδες (ν) που βρίσκεται από τη σχέση :

ν = μ

ρ (1.11)

Σαν μονάδα κινηματικού ιξώδους λαμβάνεται το Stokes (St).

1 St = 1 cm2/s = 10-4 m2/s

To αποσταγμένο νερό στους 20 0C είναι ν = 0,01 St.

Στο SI μονάδα κινηματικού ιξώδους είναι το 1 m2/s = 104 St.

Σχήμα 1.2. Νευτώνεια και μη Νευτώνεια ρευστά

Το κινηματικό ιξώδες ν μετράται με ιξωδόμετρα, δηλαδή όργανα με τα

οποία προσδιορίζεται ο χρόνος που απαιτείται για τη ροή ενός ορισμένου

όγκου υγρού μέσα από οπή ή τριχοειδή σωλήνα. Υπάρχουν διάφοροι τύποι

ιξωδομέτρων όπως το ιξωδόμετρο Saybolt Universal (H.Π.A.), Redwood

(Αγγλίας) και Engler (Ευρώπης) .

1.5 Ιδανικά και πραγματικά ρευστά

Ιδανικά χαρακτηρίζονται τα ρευστά στα οποία δεν αναπτύσσονται

εσωτερικές τριβές δηλαδή τα ρευστά αυτά έχουν ιξώδες μηδέν. Επί πλέον

αγνοούνται επιδράσεις από την επιφανειακή τάση ή στροβιλισμούς και

Page 20: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

18

θεωρείται ότι το υγρό (συνήθως νερό) είναι ασυμπίεστο. Όπως είναι

προφανές τέτοια υγρά δεν υπάρχουν αφού όλα τα υγρά έχουν , έστω και

ελάχιστο ιξώδες αλλά όχι μηδενικό.

Τα ρευστά λοιπόν που έχουν έστω και ελάχιστη τιμή ιξώδους

ονομάζονται πραγματικά ή ιξώδη ρευστά. Η έννοια του ιδανικού ρευστού όμως

απλουστεύει πολύ τη θεωρητική μελέτη διαφόρων προβλημάτων που

αναφέρονται στη κίνηση των ρευστών. Στη κίνηση του νερού το ιξώδες

συνήθως παραλείπεται και παραδεχόμαστε ότι συμπεριφέρεται σαν ιδανικό

ρευστό.

Επομένως όταν επιλύονται προβλήματα υδραυλικής αγνοούνται

παράγοντες που υπάρχουν (όλα τα παραπάνω) και επομένως μπορεί να

ισχυρισθεί κάποιος ότι η επίλυση δεν είναι ακριβής. Πλην όμως για να μειωθεί

το λάθος από τις παραδοχές που γίνονται στις διάφορες εξισώσεις της

υδραυλικής εισάγονται διάφοροι συντελεστές (coefficients) οι οποίοι έχουν

προσδιορισθεί πειραματικά. Έτσι οι απλές εξισώσεις για τα ιδανικά ρευστά

δίνουν ακριβείς απαντήσεις σε προβλήματα που αφορούν πραγματικά ρευστά.

1.6 Επιφανειακή πίεση

Στη διαχωριστική επιφάνεια ενός υγρού με τον αέρα και συγκεκριμένα

στα μόρια του επιφανειακού στρώματος του υγρού ασκούνται ελκτικές

δυνάμεις τόσο από τα μόρια του υγρού που βρίσκονται σε επαφή από κάτω

όσο και από τα μόρια των ατμών του που βρίσκονται από πάνω. Επειδή η

πυκνότητα του υγρού είναι πολύ μεγαλύτερη από την πυκνότητα των ατμών

του, η συνισταμένη των δυνάμεων που έχουν φορά προς το εσωτερικό του

υγρού (προς τα κάτω) θα είναι πολύ μεγαλύτερη από την συνισταμένη των

δυνάμεων που έχουν φορά προς τα πάνω. Έτσι ασκείται μία ελκτική δύναμη

που τείνει να μετακινήσει τα επιφανειακά μόρια προς το εσωτερικό του υγρού

με συνέπεια η μάζα του υγρού να δέχεται μία πίεση από το επιφανειακό

στρώμα που ονομάζεται επιφανειακή πίεση που λαμβάνει τιμές μερικών

χιλιάδων ατμοσφαιρών (στο νερό είναι περίπου 1100 ατμόσφαιρες). Τα υγρά

είναι ήδη συμπιεσμένα από την επιφανειακή πίεση και γιαυτό είναι πρακτικά

ασυμπίεστα.

Page 21: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

19

1.7 Επιφανειακή τάση

Μοριακές δυνάμεις ονομάζουμε τις ελκτικές και αποστικές δυνάμεις που

αναπτύσσονται μεταξύ των μορίων της ύλης. ∆ιακρίνονται δε σε δυνάμεις

συνοχής και συνάφειας. ∆υνάμεις συνοχής αναπτύσσονται μεταξύ ομοίων

μορίων ενώ δυνάμεις συνάφειας μεταξύ ανόμοιων μορίων. Έτσι στις

διαχωριστικές επιφάνειες μεταξύ υγρών και αερίων ή γενικά μεταξύ διαφόρων

μη μιγνυομένων ρευστών, οι μοριακές αυτές δυνάμεις είναι η αιτία, ώστε οι

επιφάνειες αυτές να συμπεριφέρονται σαν μεμβράνες σε εφελκυσμό. Η

χαρακτηριστική αυτή ιδιότητα των ρευστών λέγεται επιφανειακή τάση και

συνέπεια της οποίας είναι η εμφάνιση τριχοειδών δυνάμεων όταν περιέχονται

σε λεπτούς σωλήνες. Κάθε μόριο που βρίσκεται στη διαχωριστική επιφάνεια

δύο μη αναμειγνυόμενων ρευστών υφίσταται την επίδραση μοριακών

δυνάμεων των οποίων η συνισταμένη δεν είναι μηδενική επειδή τα

περιβάλλοντα μόρια δεν είναι της ίδιας φύσεως. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα

την εμφάνιση επιφανειακής τάσεως της οποίας η διεύθυνση είναι κάθετος

προς την επιφάνεια επαφής. Στις ελκτικές αυτές δυνάμεις οφείλεται το

σφαιρικό σχήμα που παίρνουν οι σταγόνες της βροχής επειδή έτσι αποκτούν

την μικρότερα επιφάνεια για ένα δεδομένο όγκο νερού. Η επιφανειακή τάση

(σ) εκφράζεται σε μονάδες ενέργειας ανά μονάδα επιφανείας ή σε μονάδες

δυνάμεως ανά μονάδα μήκους, δηλαδή

σ = μήκος

δύναμη

επιφάνεια

απόσταση χ δύναμη

επιφάνεια

έργο (1.12)

Στο σύστημα C.G.S. η επιφανειακή τάση εκφράζεται σε μονάδες erg/cm2

ή dynes/cm που είναι αριθμητικά ισοδύναμες, ενώ στο σύστημα S.I. N/m.

H επιφανειακή τάση ελαττώνεται λίγο με την αύξηση της θερμοκρασίας,

συνήθως γραμμικά. Για παράδειγμα η μεταβολή αυτή για το νερό δίδεται από

τη σχέση;

σΘ = 75,7 (1 – 0,002Θ)

όπου σΘ = επιφανειακή τάση σε dynes/cm και Θ = η θερμοκρασία σε βαθμούς

Κελσίου.

Page 22: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

20

(α) (β)

Σχήμα 1.3. ∆ιαβρέχοντα και μη διαβρέχοντα υγρά

(α) (β)

Σχήμα 1.4. Τριχοειδή φαινόμενα

1.8 ∆ιαβρέχοντα και μη υγρά.

Όταν ένα υγρό είναι σε επαφή με μια επιφάνεια ενός στερεού ή με ένα

άλλο ρευστό εμφανίζονται δύο περιπτώσεις : αν οι δυνάμεις μεταξύ των

μορίων του υγρού είναι μικρότερες από τις δυνάμεις μεταξύ των μορίων του

υγρού και των μορίων της επιφάνειας τότε το υγρό εξαπλώνεται και

χαρακτηρίζεται σαν διαβρέχων (Σχήμα 1.3 α). Αν συμβαίνει το αντίθετο το

υγρό σχηματίζει μια σταγόνα και χαρακτηρίζεται σαν μη διαβρέχων όπως

φαίνεται στο Σχήμα 1.3 (β). Το νερό είναι διαβρέχων ενώ ο υδράργυρος μη

διαβρέχων υγρό.

1.9 Τριχοειδή - Μηνίσκος

Τριχοειδή φαινόμενα οφείλονται στις δυνάμεις επιφανειακής τάσεως που

αναπτύσσονται στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ ενός υγρού και ενός

αερίου που βρίσκονται μέσα σε πολύ λεπτούς (τριχοειδείς) σωλήνες . Έτσι

όταν σωλήνας μικρής διαμέτρου τοποθετηθεί κάθετα σε ένα δοχείο με υγρό, η

Page 23: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

21

επιφάνεια του υγρού μέσα στο σωλήνα ανέρχεται (διαβρέχοντα υγρά) ή

κατέρχεται (μη διαβρέχοντα) σε σχέση με την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού

στο δοχείο.

Σχήμα 1.5. Τριχοειδή φαινόμενα- Μηνίσκος

Μηνίσκος λέγεται η μορφή της ελευθέρας επιφάνειας του τριχοειδούς και

η οποία είναι κοίλη του μηνίσκου στα διαβρέχοντα υγρά και κυρτή στα μη

διαβρέχοντα. Η κοίλη επιφάνεια σχηματίζεται επειδή οι δυνάμεις συνάφειας

υγρού γυαλιού είναι ισχυρότερες από τις δυνάμεις συνοχής των μορίων του

υγρού όπως το νερό. Το αντίθετο συμβαίνει με την κυρτή επιφάνεια του

μηνίσκου (Σχήμα 1.4 α και β). Η ανύψωση (h) του υγρού στον σωλήνα

διαμέτρου (r) και για υγρό ειδικού βάρους γ δίδεται από τη σχέση:

h = α συνr γ

σ 2 (1.13)

όπου: σ= επιφανειακή τάση (για το νερό στους 200 C είναι σ=0,074 N/m

α= γωνία επαφής (Σχήμα 1.5)

Page 24: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

22

Κατά συνέπεια η ύπαρξη του μηνίσκου δυσχεραίνει την ανάγνωση

διαφόρων οργάνων όπως τα μανόμετρα και θα πρέπει να δίδεται η

απαραίτητη προσοχή για να αποφεύγονται λάθη που οφείλονται στα τριχοειδή

φαινόμενα. Τα τριχοειδή φαινόμενα δεν εμφανίζονται όταν η διάμετρος του

σωλήνα είναι μεγαλύτερη από 10 mm.

1.10 Πίεση

Σε μία επιφάνεια εμβαδού A εφαρμόζεται κάθετα μία δύναμη F

ομοιόμορφα κατανεμημένη σε όλη την επιφάνεια. Το πηλίκο της δύναμης

προς το εμβαδόν της επιφάνειας ονομάζεται πίεση P που δέχεται η επιφάνεια

ήτοι:

P = A

F (1.14 )

Η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφεί και ως : F = P A : όπου F = m a

με a = επιτάχυνση. Μονάδα της δύναμης είναι το Newton (N) που ορίζεται

σαν τη δύναμη που απαιτείται για να επιτευχθεί με μάζα 1 kg επιτάχυνση 1

m/s2.

H μονάδα πίεσης στο S.I. είναι το 1 Nm-2 που ονομάζεται Pascal (Pa)

1 Pa= 10 dynescm2= 0,10197 Kgcm-2.

Ως γνωστόν το βάρος (W) είναι ένας τύπος δύναμης που οφείλεται στην

επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g). H εξίσωση που δίνει το βάρος είναι W = m g.

Επομένως η παραπάνω εξίσωση που δίνει την πίεση μπορεί να γραφεί και

P = A

W (1.15 )

Από την εξίσωση προκύπτει ότι όταν θέλουμε να μειώσουμε την πίεση

που προκαλεί μία δοθείσα δύναμη σε ένα σώμα θα πρέπει να αυξήσουμε την

επιφάνεια επαφής της δύναμης με το σώμα. Για παράδειγμα χρησιμοποιούμε

χιονοπέδιλα για να μετακινηθούμε ευκολότερα στα χιόνια. Αντίθετα για να

Page 25: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

23

αυξήσουμε την ασκούμενη πίεση μειώνουμε το εμβαδόν της επιφάνειας προς

την οποία ασκείται η δύναμη, όπως για παράδειγμα στα μαχαίρια και τις

ξυριστικές λεπίδες.

1.11 Μονάδες πίεσης

Τεχνική ατμόσφαιρα (at) είναι η πίεση 1 Kpcm-2 σε γεωγραφικό πλάτος

450 στο επίπεδο της θάλασσας και σε 00 C ή 10 ton/m2.

Bar (b): H πίεση 10 Newton ανά cm2 δηλαδή:

1 bar=1 b= 10 N cm-2= 1,0197 Kgcm-2

Torr (torr) είναι η πίεση 1 mm στήλης υδραργύρου ανά cm2

1 torr= 1,333 10-2 N cm-2= 1,3596 10-3 Kgcm-2

Φυσική ατμόσφαιρα (atm) είναι η πίεση 760 mm στήλης υδραργύρου σε

επιφάνεια 1 cm2, σε γεωγραφικό πλάτος 450 στο επίπεδο της θάλασσας και σε

0o C.

1 atm= 10,1325 Ncm-2= 1,033 Kp cm-2= 10,33 ton.m-2 = 76 cm στήλης Hg /

cm2 = 760 mm στήλης Hg / cm2 = 1033 cm στήλης νερού / cm2 σε 4o C.

H μέτρηση της ατμοσφαιρικής πίεσης γίνεται με βαρόμετρα τα οποία

θεωρούνται ότι είναι γνωστά από τη φυσική.

1.12 Υδραυλική

Υδραυλική είναι το εφαρμοσμένο τμήμα της μηχανικής των ρευστών που

ασχολείται με τη μελέτη των νόμων που καθορίζουν τη συμπεριφορά των

υγρών είτε βρίσκονται σε ακινησία είτε σε κίνηση (ροή). Στα επόμενα κεφάλαια

θα αναπτυχθούν μέρη της Γεωργικής Υδραυλικής που ενδιαφέρουν τον

Γεωπόνο.

Page 26: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

Τ.Ε.Ι. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ

ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ & ΑΡ∆ΕΥΣΕΩΝ

ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ–

ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ

∆ρ. ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ Ι. ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ 2001

Page 27: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

2 Υ∆ΡΟΣΤΑΤΙΚΗ

2.1 Γενικά - υδροστατική πίεση

Η υδροστατική μελετά τους νόμους που ισχύουν όταν τα ρευστά

βρίσκονται σε ισορροπία (ακινησία). Για να βρίσκεται ένα ρευστό σε

ισορροπία πρέπει η επιτάχυνσή του να είναι μηδενική προς όλες τις

διευθύνσεις. Επομένως το άθροισμα όλων των δυνάμεων που ενεργούν σε

κάθε σωματίδιο ενός ρευστού είναι μηδέν προς κάθε κατεύθυνση.

Κάθε υγρό που βρίσκεται σε ηρεμία ασκεί πίεση στα τοιχώματα των

επιφανειών με τις οποίες έρχεται σε επαφή και μάλιστα κάθετα προς αυτές. Σε

ένα δοχείο που περιέχει νερό και παρουσιάζει ελευθέρα επιφάνεια, αν

θεωρήσουμε την επιφάνεια του πυθμένα με συνολικό εμβαδόν A τότε η

συνολική δύναμη F που ασκείται επί του πυθμένα από το βάρος της

υπερκείμενης στήλης νερού κατανέμεται ομοιόμορφα επί της επιφάνειας A και

η πίεση ονομάζεται υδροστατική ή απλά πίεση και δίδεται από τη γνωστή

σχέση p = A

W

A

F

2.2 Αρχή του Pascal

Κάθε πίεση που εξασκείται στην ελεύθερη επιφάνεια ενός υγρού

μεταδίδεται μέσω αυτού προς όλες τις διευθύνσεις ήτοι προς όλα τα σημεία

των τοιχωμάτων του δοχείου καθώς και σε όλα τα σημεία οποιασδήποτε

άλλης επιφάνειας που τυχόν βρίσκεται μέσα στο υγρό.

Έστω ένα δοχείο Α γεμάτο με υγρό (Σχήμα 2.1) που βρίσκεται έξω από

το πεδίο της βαρύτητας ώστε το υγρό να μην έχει βάρος. Εάν το έμβολο Ε1

που βρίσκεται στην πάνω επιφάνεια του δοχείου μετακινηθεί από μία δύναμη

F1 κατά απόσταση Χ1 τότε το έμβολο Ε2 στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου θα

μετακινηθεί κατά απόσταση Χ2. Για να εμποδιστεί αυτή η μετακίνηση θα

πρέπει να εξασκηθεί μία δύναμη F2’ ίση και αντίθετη προς την F2. Για να

Page 28: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

25

μετακινηθεί το έμβολο Ε1 θα πρέπει να αποδοθεί έργο ίσο προς E1= F1Χ1 για

να υπερνικηθεί η δύναμη F2’.

Σχήμα 2.1. Αρχή του Pascal

To έργο E2 που παράγεται από τη μετακίνηση της F2’ είναι: E2 = F2 X2=

F2’X2. Σύμφωνα με την αρχή της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας τα δύο

αυτά έργα είναι ίσα, ήτοι:

F1 Χ1 = F2 X2 (2.1)

Όμως κατά την μετατόπιση των εμβόλων κατά Χ1 και Χ2 ελαττώνεται ο

όγκος του υγρού κατά ∆V1=A1X1 (όπου A1 το εμβαδόν της επιφάνειας του

εμβόλου Ε1) και αυξάνεται κατά ∆V2=A2X2 (όπου A2 το εμβαδόν της

επιφάνειας του εμβόλου Ε2) αντίστοιχα. Επειδή τα ιδανικά υγρά είναι

ασυμπίεστα ισχύει:

∆ V1 = ∆ V2 ή A1 X1 = A2 X2 (2.2)

Page 29: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

26

∆ια διαιρέσεως της (2.1) και (2.2) κατά μέλη λαμβάνουμε:

2

2

1

1

A

F

A

F P1 = P2

Άρα απεδείχθη ότι η πίεση P1 που ασκεί το έμβολο Ε1 στο υγρό και η

πίεση P2 που ασκεί το υγρό επάνω στο έμβολο Ε2 είναι ίσες ή με άλλη

έκφραση η πίεση που ασκεί το έμβολο Ε1 στο υγρό μετατοπίσθηκε στο έμβολο

Ε2 αναλλοίωτη ή ακόμη η αλλαγή της πίεσης σε ένα τμήμα (Ε1) ενός

αποθηκευμένου υγρού επιφέρει την ίδια αλλαγή πίεσης σε όλα τα τμήματα του

υγρού.

2.3 Υδραυλικό πιεστήριο

Το υδραυλικό πιεστήριο είναι μία απλή μηχανή που χρησιμοποιείται για

την υπερνίκηση μεγάλων αντιστάσεων με την άσκηση συγκριτικά μικρότερης

δύναμης.

Αποτελείται από δύο κυλινδρικά δοχεία Α και Β που περιέχουν νερό και

συγκοινωνούν μεταξύ τους και έχουν διαμέτρους ∆1 και ∆2 αντίστοιχα, όπου

∆2=n∆1. Οι ελεύθερες επιφάνειες του νερού στους δύο κυλίνδρους

καλύπτονται από υδατοστεγή έμβολα Ε1 και Ε2 αντίστοιχα (Σχήμα 2.2).

Η δύναμη εξασκείται στο έμβολο Ε1 μέσω ενός μοχλού του οποίου οι

μοχλοβραχίονες ΟΜ και ΟΚ έχουν μήκος L και l αντίστοιχα. Όταν ασκείται

στο άκρο Μ του μοχλού ΟΚΜ μία δύναμη F τότε και ο μοχλός ασκεί μία

δύναμη F1 επί του εμβόλου Ε1. Σύμφωνα με το τρίτο νόμο του Νεύτωνα

(δράση = αντίδραση) και το έμβολο θα εξασκεί μία ίση και αντίθετη δύναμη F1΄

επί του μοχλού μέσω του βραχίωνος ΚΟ. Στη κατάσταση ισορροπίας του

μοχλού θα ισχύει:

F L = F1 l F1 = F l

L

Σύμφωνα με την αρχή του Pascal η πίεση που ασκείται στο υγρό μέσω

του εμβόλου, λόγω της εφαρμογής της δύναμης F είναι:

Page 30: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

27

Σχήμα 2.2. Υδραυλικό πιεστήριο

P = 11

1

A

1

A

F

l

LF (2.3)

όπου A1 = π ∆124 το εμβαδόν του εμβόλου Ε1.

Η πίεση αυτή μεταδίδεται μέσω του υγρού στο έμβολο Ε2. Έτσι στο

έμβολο ασκείται από το υγρό μία δύναμη F2΄ για την οποία ισχύει:

F2΄ = PA2 = Fl

L

1

2

A

A (2.4)

όπου A2= π∆224 το εμβαδόν του εμβόλου Ε2. Η δύναμη F2’ μπορεί να

ισορροπήσει μία δύναμη F2 ίση σε ένταση και αντίθετη σε διεύθυνση (δηλαδή

κατακόρυφο προς τα κάτω) . Επομένως θα ισχύει:

F2 = F2΄ = F l

L

1

2

A

A (2.5)

Page 31: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

28

όμως ισχύει:

1

2

A

A =

4

∆ π

4

∆ π

1

2

= 1

2

∆ (2.6)

και με αντικατάσταση στην (2.5) έχουμε:

F2 = F l

L

1

2

∆ (2.7)

Eπειδή ∆2 ∆1 και L l έπεται ότι και F2 F και επομένως με το υδραυλικό

πιεστήριο κερδίζουμε σε δύναμη.

2.4 ∆ιαφορά πίεσης μεταξύ δύο σημείων - Γενικές εξισώσεις υδροστατικής

Η μεταβολή της πίεσης από σημείο σε σημείο μέσα στη μάζα ενός

ρευστού που βρίσκεται σε ακινησία μπορεί να υπολογισθεί με τον ακόλουθο

τρόπο.

Σε ένα δοχείο που περιέχει ένα ρευστό (π.χ. νερό) και παρουσιάζει

ελεύθερη επιφάνεια, έστω ένας μικρός όγκος ρευστού σχήματος κυλίνδρου

που έχει εμβαδόν διατομής A και ύψος z, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.3.

Οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται στο κύλινδρο αυτό οφείλονται στο βάρος των

υπερκειμένων στρωμάτων ρευστού (υδροστατικές πιέσεις) και στη βαρύτητα.

Αν ορίσουμε την πίεση και την απόσταση από το επίπεδο αναφοράς p1 και z1

για την κάτω επιφάνεια του κυλίνδρου και p2 και z2 για την πάνω επιφάνεια,

αντίστοιχα, τότε επειδή το ρευστό βρίσκεται σε ισορροπία θα πρέπει το

άθροισμα όλων των δυνάμεων που ενεργούν στο κύλινδρο κατά την

κατακόρυφο διεύθυνση να είναι ίσο με το μηδέν.

Επομένως ισχύει :

p1A – p2A - γAz = 0

ή

p1 – p2 - γ(z2 – z1) = 0

ή

Page 32: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

29

Σχήμα 2.3. ∆ιαφορά πίεσης μεταξύ δύο σημείων

∆p = p1 – p2 = γ(z2 – z1) = γz (2.8)

όπου z είναι η υψομετρική διαφορά των δύο βάσεων του κυλίνδρου.

Η σχέση αυτή εκφράζει το θεμελιώδες θεώρημα της υδροστατικής που

αναφέρει ότι η διαφορά της υδροστατικής πίεσης μεταξύ δύο σημείων που

βρίσκονται σε διαφορετικά βάθη μέσα στη μάζα ενός ομοιογενούς υγρού σε

κατάσταση ισορροπίας ισούται με το βάρος μιας υγρής κατακόρυφης στήλης

που έχει εμβαδόν βάσης ίσο με τη μονάδα επιφάνειας και ύψος την

κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των δύο σημείων.

Από την (2.8) προκύπτει:

22

11

z+γ

p=z+

γ

p (2.9)

Ο όρος γ

p έχει διαστάσεις μήκους και ονομάζεται ύψος πίεσης ή φορτίο

πίεσης. Το ύψος πίεσης εκφράζει το βάθος σε cm ή m στήλης του ρευστού

Page 33: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

30

διατομής ίσης με τη μονάδα και με ειδικό βάρος γ που χρειάζεται για να

παραχθεί πίεση p. Ο όρος z λέγεται ύψος θέσεως ή φορτίο θέσεως. Το

άθροισμα p/γ+z λέγεται πιεζομετρικό ύψος ή φορτίο. Αν το z2 βρίσκεται

πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού, τότε η πίεση p2 = p0 (όπου p0 =

ατμοσφαιρική πίεση) και η (2.8) γίνεται

p1 = p0 + γ . z

ή

pαπ = p0 + γ . z (2.10)

Η (2.10) δίνει την πραγματική ή απόλυτη πίεση σε ένα σημείο μέσα στη

μάζα ενός υγρού. Αν στην (2.10) θέσουμε p = p1 - p0 = pαπ – p0 τότε θα

έχουμε p = γ h. H πίεση αυτή δίνει τη σχετική πίεση ή πίεση οργάνου πάνω σε

ένα σημείο ενός υγρού. Η σχετική πίεση μπορεί να είναι θετική, δηλαδή

μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική πίεση ή αρνητική δηλαδή μικρότερη από

την ατμοσφαιρική πίεση. Η αρνητική σχετική πίεση λέγεται και κενό.

2.5 Ελεύθερη επιφάνεια συγκοινωνούντων δοχείων –

Αρχή συγκοινωνούντων δοχείων

Όταν ένα υγρό ισορροπεί μέσα σε δύο ή περισσότερα δοχεία που

συγκοινωνούν μεταξύ τους τότε η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού σε όλα τα

δοχεία θα πρέπει να βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Η διατύπωση αυτή

είναι γνωστή σαν αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων. Αν θεωρήσουμε δύο

σημεία α1 και α2 που βρίσκονται μέσα στο υγρό στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο

αλλά σε διαφορετικά δοχεία που συγκοινωνούν μεταξύ τους και απέχουν από

τις ελεύθερες επιφάνειες κατακόρυφη απόσταση h1 και h2, αντίστοιχα (Σχήμα

2.4). Αν η ατμοσφαιρική πίεση είναι p0 τότε η απόλυτη πίεση στα σημεία α1

και α2 θα είναι:

Pα1 = p0 + γ h1 και Ρα2 = p0 + γ h2 , (2.11)

αντίστοιχα.

Page 34: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

31

Σχήμα 2.4. Συγκοινωνούντα δοχεία

Επειδή το υγρό ισορροπεί και τα α1 και α2 ευρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο

επίπεδο τότε σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο της Υδροστατικής θα πρέπει να

ισχύει:

Pα1 = Ρα2 ή p0 + γ h1 = p0 + γ h2 ή h1 = h2 (2.12)

∆ηλαδή, οι κατακόρυφες αποστάσεις των σημείων α1 και α2 από τις

ελεύθερες επιφάνειες είναι ίσες και προδήλως βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο

επίπεδο .

2.6 Μέτρηση υδροστατικής πίεσης - Μανόμετρα

Πολλές φορές χρειάζεται να μετρηθεί η πίεση σε αρδευτικούς σωλήνες

για να ρυθμισθεί ο εφοδιασμός και η κατανομή με νερό του δικτύου ή για να

υπολογισθεί η παροχή σε ένα σωλήνα, δεξαμενή κ.λ.π. Με την μέτρηση της

πίεσης παρακολουθούνται τα υδραυλικά χαρακτηριστικά της ροής των υγρών

μέσα στους αγωγούς. Για παράδειγμα οι απώλειες πιέσεως κατά μήκος ενός

αγωγού είναι βασικό χαρακτηριστικό. Επίσης πολύ υψηλή πίεση αποτελεί

κίνδυνο για απώλειες υγρού στα σημεία συνδέσεων των αγωγών.

Page 35: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

32

Βασικές αρχές μέτρησης. Οι βασικές αρχές στις οποίες στηρίζεται η μέτρηση

της υδροστατικής πίεσης αναπτύχθηκαν παραπάνω. Ομαδοποιούνται ως

εξής:

Για κάθε ομοιογενές υγρό ισχύει η βασική εξίσωση μεταξύ πίεσης και βάθους,

δηλαδή: P = ρ g h

Η πίεση σε ένα σημείο οφείλεται στο βάρος του υγρού που υπάρχει πάνω από

το σημείο και υπολογίζεται με την βοήθεια της παραπάνω εξίσωσης.

Σε ένα ομοιογενές υγρό με την ίδια πυκνότητα η πίεση σε όλα τα σημεία του

ιδίου οριζοντίου επιπέδου είναι σταθερή. Αυτή η αρχή μπορεί να διατυπωθεί

και ως εξής: “ίδιο επίπεδο - ίδια πίεση”.

Στη περίπτωση υγρών με διαφορετική πυκνότητα που δεν αναμιγνύονται αλλά

σχηματίζουν ξεχωριστά στρώματα η πίεση που ασκείται από κάθε ξεχωριστό

στρώμα υγρού μπορεί να υπολογιστεί ξεχωριστά με την παραπάνω εξίσωση

και μετά να προστεθούν ώστε να υπολογισθεί η πίεση σε ένα σημείο.

Για τη μέτρηση της πίεσης χρησιμοποιούνται τα πιεζόμετρα ή τα

μανόμετρα

Ανάλογα με το τρόπο λειτουργίας τους διακρίνονται σε απλά και

διαφορικά. Με τα απλά μετράται μόνο η πίεση σε ένα δοχείο , σωλήνα κ.λ.π.

ενώ με τα διαφορικά μετράται η διαφορά πίεσης που υπάρχει σε δύο σημεία

ενός αγωγού , δοχείου, δεξαμενής κ.λ.π.

2.6.1 Πιεζόμετρα

Ο πιo απλός και πρακτικός τύπος μανομέτρου είναι ο πιεζομετρικός

σωλήνας ή απλά το πιεζόμετρο (Σχήμα 2.5α). Αυτό είναι ένας γυάλινος

σωλήνας μικρής διαμέτρου που μπορεί να προσαρμοστεί κατακόρυφα σε ένα

σημείο του αγωγού (π.χ. πλαστικός σωλήνας) ή δοχείου του οποίου πρόκειται

να μετρηθεί η πίεση του περιεχομένου υγρού. Η διάμετρος της οπής

προσαρμογής πρέπει να είναι μικρή 3-4 mm και η σύνδεση του πιεζόμετρου

γίνεται προσεκτικά, ώστε να μην προεξέχει εντός του αγωγού, για να

αποφεύγεται αφ’ ενός κάθε παρεμπόδιση της ροής του νερού στον αγωγό και

Page 36: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

33

αφ’ ετέρου να αποκλεισθεί η συμμετοχή της κινητικής ενέργειας του ρέοντος

υγρού στην ανύψωση του υγρού μέσα στο πιεζόμετρο.

Σχήμα 2.5.(α) Πιεζόμετρο σε αγωγό, h = πιεζομετρικό φορτίο

(β) Πιεζόμετρα για μέτρηση της πίεσης (P1 – P2 )

Το υγρό του αγωγού ή δοχείου ανέρχεται μέσα στον σωλήνα του

πιεζόμετρου σε τέτοιο ύψος h (μετρούμενο από το οριζόντιο επίπεδο που

διέρχεται από το μέσον της διαμέτρου του αγωγού) ώστε η ατμοσφαιρική

πίεση (p0) και το βάρος της στήλης του υγρού μέσα στο πιεζόμετρο (ρgh) να

συνθέτουν μία πίεση ίση με την πίεση (Ρ) μέσα στον αγωγό (Σχήμα 2.5α και

2.6α). Το h είναι γνωστό σαν πιεζομετρικό ύψος ή πιεζομετρικό φορτίο ενώ το

επίπεδο στο οποίο ανέρχεται το υγρό λέγεται πιεζομετρικό επίπεδο.

Η πίεση επομένως δίνεται από την σχέση:

Ρ = p0 + ρgh (απόλυτη πίεση) (2.13)

ή

Ρ - p0 = ρgh = γh (σχετική πίεση ) (2.14)

Αυτός ο τύπος των πιεζόμετρων χρησιμοποιείται μόνο για τη μέτρηση

θετικών πιέσεων, δηλαδή πιέσεων μεγαλύτερων της ατμοσφαιρικής. Επί

πλέον ο τύπος αυτός του πιεζόμετρου είναι ακατάλληλος για τη μέτρηση

Page 37: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

34

μεγάλων πιέσεων γιατί θα χρειαζόταν κατακόρυφος σωλήνας πολύ μεγάλου

ύψους. Σε πολλά δίκτυα η πίεση στους πρωτεύοντες αγωγούς ανέρχεται σε

30-50 m νερού. Η ύπαρξη πιεζόμετρου μήκους 50 m είναι εκτός κάθε λογικής.

Η χρησιμοποίηση μανομέτρου (βλέπε παρακάτω) επιβάλλεται σ’ αυτές τις

περιπτώσεις.

Όταν χρησιμοποιούνται δύο πιεζόμετρα για τη μέτρηση της διαφοράς της

πίεσης μεταξύ δύο σημείων P1 και P2 είναι δυνατόν να συνδεθούν τα ελεύθερα

άκρα των πιεζόμετρων με ένα είδος θαλάμου (Σχήμα 2.5β) που περιέχει αέρα

υπό πίεση μεγαλύτερη της ατμοσφαιρικής . Αυτό μπορεί να επιτευχθεί γιατί ο

θάλαμος αυτός έχει βαλβίδα και μπορεί να αυξηθεί η πίεση με τη βοήθεια

ακόμη μιας αντλίας όμοιας με εκείνης των ποδηλάτων. Η ακριβής τιμή της

πίεσης του αέρα ΡΑ δεν ενδιαφέρει στην περίπτωση αυτή αφού και στις δύο

επιφάνειες του νερού στα πιεζόμετρα ασκείται η ίδια πίεση. Στην περίπτωση

του σχήματος έχουμε:

Ρ1 = ρgh1 + ΡΑ

Ρ2 = ρgh2 + ΡΑ

και μετά την αφαίρεση κατά μέλη

Ρ1 - Ρ2 = ρgh1 + ΡΑ - (ρgh2 + ΡΑ)

Ρ1 - Ρ2 = ρgh1 - ρgh2 = ρgh (2.15)

Eίναι προφανές ότι στην περίπτωση αυτή η πίεση στο θάλαμο δεν

ενδιαφέρει αφού ο παράγοντας ΡΑ δεν εμφανίζεται στην εξίσωση. Επομένως

πρακτική συνέπεια αυτού είναι να αυξάνουμε ή να μειώνουμε την πίεση στο

θάλαμο μέχρις ότου οι τιμές h1 και h2 στα πιεζόμετρα φθάσουν στο επιθυμητό

για τον χρήστη ύψος δηλαδή μεταξύ 0-2 m. Aν η διαφορά πίεσης υπερβαίνει

τα 2 m είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείται διαφορικό μανόμετρο όπως

αναλύεται παρακάτω.

2.6.2 Απλά μανόμετρα σχήματος U

Για τη μέτρηση μικρών αρνητικών ή θετικών σχετικών πιέσεων στα υγρά ,

μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο τύπος του απλού ανοιχτού μανομέτρου που

φαίνεται στο Σχήμα 2.6 (β).

Page 38: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

35

Σχήμα 2.6. Πιεζόμετρο (α) και Ανοιχτά Μανόμετρα (β, γ)

Στη περίπτωση αρνητικής πίεσης στο σημείο Α ο μηνίσκος του

μανομέτρου βρίσκεται κάτω από το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το

σημείο Α. Η πίεση στο σημείο Α δίδεται από την σχέση:

pA + γ h = p0 (απόλυτη πίεση στο Α ) (2.16)

ή

pA - p0 = - γ h (σχετική πίεση στο Α) (2.17)

Για μεγαλύτερες θετικές ή αρνητικές σχετικές πιέσεις χρησιμοποιείται ο

τύπος του απλού ανοιχτού μανομέτρου, με βαρύτερο υγρό , που φαίνεται στο

Σχήμα 2.6 (γ). Το υγρό που περιέχει το μανόμετρο είναι υγρό αναφοράς

(συνήθως υδράργυρος) και λέγεται μανομετρικό υγρό . Το μανομετρικό υγρό

επιλέγεται ώστε να έχει γνωστό αλλά μεγάλο ειδικό βάρος και επί πλέον να

μην αναμειγνύεται με το ρευστό του προς μέτρηση σωλήνα ή δοχείου το οποίο

μπορεί να είναι υγρό ή και αέριο.

Αν το ειδικό βάρος του προς μέτρηση ρευστού είναι γ και το ειδικό βάρος

του μανομετρικού υγρού είναι γm τότε η εξίσωση που δίνει την ένταση της

πίεσης στο σημείο Α είναι:

Page 39: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

36

pΑ + γ h2 - γm h1 = p0 (απόλυτη πίεση στο Α) (2.18)

ή

pΑ ΄ = pΑ - p0 = γm h1 - γ h2 (σχετική πίεση στο Α) (2.19)

Για την λύση προβλημάτων με μανόμετρα χρησιμοποιείται η εξής πορεία:

Α΄τρόπος

1. Αρχίζουμε από το ένα άκρο και γράφουμε την ένταση της πίεσης με το

κατάλληλο σύστημα μονάδων ή συμβόλων (pΑ ή hΑ) αν η πίεση είναι

άγνωστη.

2. Προσθέτουμε την μεταβολή της έντασης της πίεσης από τον ένα μηνίσκο

στον άλλο ( (+) αν ο επόμενος μηνίσκος είναι χαμηλότερα και (-) αν είναι

υψηλότερα.

3. Συνεχίζουμε μέχρις ότου φθάσουμε στο άλλο άκρο του οργάνου και

εξισώνουμε την όλη έκφραση προς την πίεση σ’ αυτό το σημείο. Η

εξίσωση θα έχει ένα μόνο άγνωστο στα απλά μανόμετρα ή την διαφορά της

έντασης της πίεσης μεταξύ δύο σημείων στα διαφορικά μανόμετρα.

Β΄ τρόπος

1. Σύρουμε μία οριζόντια γραμμή ΧΧ΄ που διέρχεται από την χαμηλότερη

διχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών.

2. Υπολογίζουμε την πίεση στο επίπεδο ΧΧ΄ σε κάθε σκέλος του

μανομέτρου ξεχωριστά. Αρχίζουμε πάντοτε από τη βάση (ΧΧ΄) και

προσθέτουμε τις πιέσεις που υπάρχουν προς τα πάνω σε κάθε σκέλος.

3. Εξισώνουμε τις πιέσεις στο αριστερό και το δεξιό σκέλος του μανομέτρου

και επιλύουμε την εξίσωση ως προς τον εκάστοτε άγνωστο (π.χ. πίεση ή

διαφορά πίεσης)

Page 40: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

37

Σχήμα 2.7. ∆ιαφορικά μανόμετρα

2.6.3 ∆ιαφορικά μανόμετρα

Με την βοήθεια των διαφορικών μανομέτρων προσδιορίζουμε την

διαφορά της πίεσης μεταξύ δύο σημείων για παράδειγμα Α και Β σε ένα

σωλήνα όταν οι πιέσεις στα σημεία αυτά δεν είναι γνωστές. Πολλές φορές

είναι πιο χρήσιμη η διαφορά της πίεσης σε δύο σημεία ενός αγωγού παρά η

πίεση σε ένα μόνο σημείο. Στις περιπτώσεις αυτές αντί για τη χρησιμοποίηση

δύο πιεζόμετρων χρησιμοποιείται το διαφορικό μανόμετρο με σωλήνα

σχήματος (U). Το μανομετρικό υγρό είναι συνήθως υδράργυρος (το πιο βαρύ

υγρό) ώστε να επιτυγχάνονται μικρά μανομετρικά. Αν όμως μετρώνται μικρές

διαφορές πιέσεων ένα ελαφρότερο υγρό μπορεί να χρησιμοποιηθεί.

Για το διαφορικό μανόμετρο του Σχήμα 2.7 (α) έχουμε σύμφωνα με το

πρώτο τρόπο επίλυσης:

pΑ - γ1 h1 - γ2 h2 + γ3 h3 = pΒ ή pΑ - pΒ = γ1 h1 + γ2 h2 - γ3 h3 (2.20)

Ομοίως εργαζόμενοι για το μανόμετρο του Σχήμα 2.7 (β) έχουμε:

Page 41: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

38

pΑ + γ1 h1 - γ2 h2 - γ3 h3 = pΒ

ή

pΑ - pΒ = - γ1 h1 + γ2 h2 + γ3 h3 (2.21)

Σχήμα 2.8. ∆ιαφορικό μανόμετρο σε κεκλιμένο αγωγό

Σύμφωνα με το δεύτερο τρόπο επίλυσης για το διαφορικό μανόμετρο του

Σχήμα 2.8 και το κεκλιμμένο αγωγό ακολουθείται η εξής διαδικασία:

1 Σύρεται η οριζόντια γραμμή ΧΧ΄ που διέρχεται από την κατώτερη

διαχωριστική επιφάνεια του υδραργύρου του μανομέτρου και του υγρού

του αγωγού.

2 Πίεση στο αριστερό σκέλος του μανομέτρου: Ρx = ρgz1 + P1

Πίεση στο δεξιό σκέλος του μανομέτρου: Px = ρυgh + ρgz2 + P2

(εφαρμογή της τέταρτης βασικής αρχής που αναφέρθηκε παραπάνω).

3 Εξισώνονται οι πιέσεις στα δύο σκέλη στο επίπεδο ΧΧ΄

ρgz1 + P1 = ρυgh + ρgz2 + P2 ή

(P1 - P2) = ρυgh + ρgz2 - ρgz1 ή

(P1 - P2) = ρυgh + ρg(z2 - z1) (2.22)

Σημειώνεται ότι αν ο αγωγός ήταν οριζόντιος τότε θα ίσχυε; z1 = z2 + h και

επομένως

(P1 - P2) = ρυgh + ρg(z2 - z2 + h) ή

(P1 - P2) = gh (ρυ - ρ) (2.23)

Page 42: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

39

2.6.4 ∆ιαφορικά μανόμετρα σχήματος ανεστραμμένου U

2.6.4.1 Mανόμετρα χωρίς μανομετρικό υγρό

Είναι ένας άλλος τύπος μανομέτρου που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση

διαφορών στη πίεση. Το μανόμετρο αυτό μοιάζει σαν το διαφορικό μανόμετρο

που περιγράφτηκε παραπάνω αλλά έχει σχήμα ανεστραμμένου (U) όπως

φαίνεται στο σχήμα 2.9.

Σχήμα 2.9 ∆ιαφορικό μανόμετρο σχήματος ανεστραμμένου (U)

To υγρό του αγωγού πυκνότητας ρ εισέρχεται και γεμίζει το κατώτερο

τμήμα των σκελών του μανομέτρου ενώ το ανώτερο τμήμα καταλαμβάνει

αέρας του οποίου η πίεση μπορεί να είναι διάφορος της ατμοσφαιρικής. Ο

αέρας αυτός θεωρείται ότι δεν έχει βάρος χωρίς να γίνεται λάθος, όπως θα

αναλυθεί παρακάτω. Όπως και στα διαφορικά πιεζόμετρα η πίεση του αέρα

αυτού μπορεί να αυξάνεται με τη βοήθεια μιας απλής αντλίας ή να ελαττώνεται

με την απελευθέρωση αέρα μέσω της βαλβίδας. Για την επίλυση

προβλημάτων με τα μανόμετρα αυτά εφαρμόζονται οι ίδιες αρχές (δεύτερος

τρόπος) που αναφέρθηκαν για τα διαφορικά μανόμετρα σχήματος U με τις

απαραίτητες προσαρμογές λόγω της αναστροφής.

Page 43: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

40

Έτσι η γραμμή ΧΧ΄ σύρεται έτσι ώστε να διέρχεται από την ανώτερη

διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ των δύο ρευστών (υγρού του αγωγού και

αέρα). Μετά υπολογίζεται η πίεση που οφείλεται στα βάρη των διαφόρων

ρευστών, σε κάθε σκέλος του μανομέτρου χωριστά, αρχίζοντας από κάτω (τον

αγωγό) προς τα πάνω και μέχρι τη γραμμή ΧΧ΄. Η πίεση που υπολογίσθηκε

σε κάθε σκέλος εξισώνεται με την πίεση στο αντίστοιχο σημείο του αγωγού

και υπολογίζεται η διαφορά των πιέσεων. Έτσι για το παράδειγμα του

παραπάνω σχήματος ισχύει:

P1 = ρgz1 + ρgh + Px

P2 = ρgz2 +ραgh + Px

όπου ραgh είναι η πίεση που οφείλεται στο βάρος του αέρα στο δεξιό σκέλος.

Ο όρος αυτός μπορεί να παραληφθεί από την εξίσωση χωρίς σοβαρό σφάλμα.

∆εν ισχύει όμως το ίδιο όταν ο αέρας αντικατασταθεί από υγρό. Οι πιέσεις Px

είναι ίδιες επειδή βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο ΧΧ΄. Αφαιρώντας κατά

μέλη της δύο παραπάνω εξισώσεις λαμβάνουμε:

P1 - P2 = ρgz1 + ρgh + Px - ρgz2 + Px ή

P1 - P2 = ρgz1 + ρgh - ρgz2 ή

P1 - P2 = ρg h + z1 - z2 (2.24)

Eαν η υψομετρική διαφορά μεταξύ των σημείων P1 και P2 είναι α , τότε

ισχύει

α = z2 - z1 και -α = z1 - z2 οπότε η εξίσωση γίνεται:

P1 - P2 = ρg (h - α) (2.25)

Εάν όμως ο αγωγός είναι οριζόντιος τότε α=0 και η εξίσωση γίνεται:

P1 - P2 = ρgh

Επομένως οι παράμετροι z1 , z2 και Px δεν υπεισέρχονται στον

υπολογισμό. Άρα μπορεί να αυξάνεται ή να μειώνεται η πίεση στον αέρα ώστε

οι μετρήσεις να μπορούν να παίρνονται χωρίς δυσκολία (εύκολη ανάγνωση,

αποφυγή ακραίων τιμών). Όπως συμπεραίνεται από την εξίσωση το

μανόμετρο αυτό δεν διαφέρει από τα δύο πιεζόμετρα .

Page 44: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

41

2.6.4.2 Mανόμετρα με μανομετρικό υγρό

Το σημαντικό πλεονέκτημα όμως του ανεστραμμένου U διαφορικού

μανομέτρου είναι ότι αντί για αέρα , στο χώρο πάνω από τις επιφάνειες του

υγρού του αγωγού στα δύο σκέλη του μανομέτρου μπορεί να τοποθετηθεί

άλλο υγρό με την προϋπόθεση ότι δεν αναμιγνύεται με το υγρό του αγωγού

Σχήμα 2.10 .

Σχήμα 2.10. Μανόμετρο ανεστραμμένου (U) με υγρό

Η πυκνότητα του υγρού αυτού επιλέγεται ώστε να συμβάλλει στην ακρίβεια

και ευαισθησία του οργάνου (συνήθως ελαφρό λάδι). To υγρό του μανομέτρου

μπορεί να αυξάνεται ή να μειώνεται με τη βοήθεια ενός μικρού δοχείου

πλήρωσης που έχει τοποθετηθεί στην κορυφή του τμήματος του μανομέτρου

που συνδέει τα δύο σκέλη.

Έστω ότι η πυκνότητα του υγρού του αγωγού είναι ρ και του υγρού του

μανομέτρου ρο (Σχήμα 2.10). Σύμφωνα με τα γνωστά θα ισχύει:

P1 = ρgz1 + ρgh + Px

P2 = ρgz2 +ρ0gh + Px

Px είναι η πίεση που οφείλεται στο υγρό του μανομέτρου. Αφαιρώντας τις

εξισώσεις λαμβάνουμε:

Page 45: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

42

P1 - P2 = ρgz1 + ρgh + Px - ρgz2 + ρ0gh +Px ή

P1 - P2 = ρgz1 + ρgh - ρgz2 - ρ0gh ή

P1 - P2 = ρg h + z1 - z2 - ρ0gh (2.26)

Επειδή όμως a = z2 - z1 και -a = z1 - z2 η εξίσωση γίνεται

P1 - P2 = ρg (h - α) - ρ0gh (2.27)

και εάν ο αγωγός είναι οριζόντιος οπότε a = 0 η εξίσωση γίνεται:

P1 - P2 = gh(ρ - ρ0 ) (2.28)

2.6.5 Μικρομανόμετρα

Υπάρχουν διάφοροι τύποι μικρομανόμετρων στην διεθνή αγορά για τον

ακριβή προσδιορισμό πολύ μικρών ή πολύ μεγάλων διαφορών έντασης της

πίεσης μεταξύ δύο σημείων. Η περιγραφή έστω και των πιο

αντιπροσωπευτικών τύπων θα απαιτήσει αρκετές σελίδες διότι τα

συνοδεύοντα αυτά μικροτηλεοπτικά όργανα ανάγνωσης των υψομετρικών

διαφορών μεταξύ των μηνίσκων, είναι πολύπλοκα στην περιγραφή και

λειτουργία αν και είναι πολύ απλά στην χρήση. Οπωσδήποτε όμως τα

εργοστάσια κατασκευής δίνουν για κάθε τύπο μανομέτρου τις απαραίτητες

οδηγίες εγκατάστασης και λειτουργίας του καθώς και ορισμένες σταθερές και

πίνακες ή σχεδιαγράμματα για την εύκολη χρήση των.

2.7 Υδροστατική πίεση επί επιφανειών

Κάθε επιφάνεια που περικλείει υγρό έχει ελεύθερη επιφάνεια και

βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας υπόκειται σε υδροστατική πίεση. Το ίδιο

συμβαίνει και σε κάθε επιφάνεια που είναι εμβαπτισμένη μέσα σε ένα υγρό.

Στις περιπτώσεις αυτές θα πρέπει να υπολογισθεί η δύναμη (πίεση) που

ασκείται στις επιφάνειες αυτές καθώς και το σημείο εφαρμογής που καλείται

κέντρο πίεσης.

Page 46: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

43

Σχήμα 2.11. Υδροστατικό παράδοξο

2.7.1 Οριζόντιες επίπεδες επιφάνειες

Κλασική περίπτωση οριζόντιας επίπεδης επιφάνειας που δέχεται

υδροστατική πίεση είναι ο πυθμένας κάθε δοχείου που περιέχει υγρό. Εάν το

εμβαδόν του πυθμένα είναι A και το ειδικό βάρος του υγρού γ και η

κατακόρυφη απόσταση του πυθμένα από την ελεύθερη επιφάνεια h τότε η

πίεση που δέχεται ο πυθμένας δίδεται από την εξίσωση:

p = γ h Α (2.29)

Το ίδιο ισχύει και για κάθε επίπεδη οριζόντια επιφάνεια εμβαδού Α που

είναι εμβαπτισμένη σε ρευστό σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνειά του. Η

δύναμη είναι κάθετη προς την επιφάνεια και το σημείο εφαρμογής της

συμπίπτει με το κέντρο βάρους Κ της επιφάνειας Α. H δύναμη που ασκείται

στον πυθμένα του δοχείου οφείλεται στο βάρος του περιεχομένου ρευστού και

είναι ίση με το βάρος στήλης που έχει βάση τον πυθμένα και ύψος την

κατακόρυφη απόσταση του πυθμένα από την ελεύθερη επιφάνεια του

ρευστού. Αυτό σημαίνει πως η δύναμη με την οποία πιέζεται ο πυθμένας είναι

ανεξάρτητη από το σχήμα του δοχείου, δηλαδή ανεξάρτητη από το βάρος του

υγρού που περιέχεται σε ολόκληρο το δοχείο. Αυτό συχνά αναφέρεται και σαν

υδροστατικό παράδοξο (Σχήμα 2.11).

Page 47: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

44

2.7.2 Κατακόρυφες επίπεδες επιφάνειες

Τα πλευρικά τοιχώματα ενός δοχείου δέχονται πιέσεις από το

περιεχόμενο υγρό. Η πίεση είναι πάντοτε κάθετη στην επιφάνεια (Σχήμα

2.12α), ανεξάρτητα από τη μορφή και τον προσανατολισμό της επιφάνειας .

Επομένως σε ένα κατακόρυφο τοίχο μιας δεξαμενής γεμάτης με νερό για τα

διαδοχικά σημεία 1,2,3,…n από την ελεύθερη επιφάνεια προς τον πυθμένα

(Σχήμα 2.12β) θα έχουμε πιέσεις :

Σχήμα 2.12. Πίεση σε κατακόρυφες επίπεδες επιφάνειες

p1 = γ . h1

p2 = γ . h2

p3 = γ . h3

…………

pn = γ . hn

Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι η κατανομή των πιέσεων στο

πλευρικό τοίχωμα ενός δοχείου είναι τριγωνικής μορφής. Η συνισταμένη των

πιέσεων αυτών εφαρμόζεται σε ένα σημείο (p) που απέχει από την ελεύθερη

επιφάνεια απόσταση (hp) :

hp = 23 hn (2.30)

Page 48: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

45

Eπομένως η ολική δύναμη P που ασκείται στην επιφάνεια Α

κατακόρυφου τοιχώματος ενός δοχείου που περιέχει υγρό είναι ίση με το

βάρος στήλης του υγρού που έχει βάση την επιφάνεια Α και ύψος την

απόσταση hΚ του κέντρου βάρους της επιφάνειας από την ελεύθερη επιφάνεια

του υγρού, δηλαδή:

P = γ Α hΚ (2.31)

Η εξίσωση αυτή χρησιμοποιείται όταν ζητείται να υπολογισθεί η

υδροστατική πίεση που ασκείται σε οποιαδήποτε επίπεδη επιφάνεια

βυθισμένη κατακόρυφα μέσα στο νερό. Στις περιπτώσεις αυτές το Α

αντιπροσωπεύει μόνο το εμβαδόν της επιφάνειας που βρίσκεται σε επαφή με

το νερό ή το ρευστό γενικότερα.

2.7.3 Κεκλιμένες επίπεδες επιφάνειες

Έστω αβγδ είναι ένα τμήμα της επίπεδης επιφάνειας που ορίζεται από

τους άξονες ΟΧ και ΟΨ (Σχήμα 2.13 α) και έχει εμβαδόν Α . Η επίπεδη αυτή

επιφάνεια αποτελεί την κεκλιμένη πλευρά μιας δεξαμενής ή δοχείου που είναι

γεμάτο με νερό. Η κεκλιμένη επιφάνεια σχηματίζει με την ελεύθερη επιφάνεια

του νερού (άξονας ΟΧ΄) γωνία θ. Ζητείται να προσδιορισθεί η ένταση, η

διεύθυνση και το σημείο εφαρμογής της δύναμης P που ασκείται στην

κεκλιμένη επιφάνεια αβγδ (μεγένθυση της οποίας φαίνεται στο Σχήμα 2.13 β)

που οφείλεται στην υδροστατική πίεση που ασκεί το υγρό.

Ας υποθέσουμε ότι dA είναι μία στοιχειώδης επιφάνεια (λωρίδα) της

επιφάνειας αβγδ . Η πίεση σε ένα στοιχείο της λωρίδας είναι:

p = ρgΖ

Όπου Ζ είναι η απόσταση της στοιχειώδους λωρίδας από την ελεύθερη

επιφάνεια του νερού.

Η δύναμη που ασκείται στην dΑ από την υδροστατική πίεση είναι:

dΡ = pdA = ρgΖdA (2.32)

Page 49: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

46

(α)

(β)

Σχήμα 2.13. Πίεση σε κεκλιμένη επιφάνεια

Aν η απόσταση της dA από τον άξονα ΟΨ, που είναι η τομή της

επιφάνειας του νερού με το κεκλιμένο επίπεδο, είναι Χ τότε η κατακόρυφη

απόσταση Ζ δίδεται από την τριγωνομετρία:

Ζ = Χ ημθ (2.33)

Και η (2.32) γίνεται:

dΡ = ρgXημθ dA (2.34)

Επειδή όλες οι στοιχειώδεις δυνάμεις dP είναι παράλληλες μεταξύ τους

σαν κάθετες πάνω στο ίδιο επίπεδο μπορούμε να ολοκληρώσουμε την

Page 50: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

47

εξίσωση (2.34) σε ολόκληρη την επιφάνεια Α. Έτσι η ολική δύναμη πίεσης Ρ

πάνω στην επιφάνεια Α θα είναι:

Ρ = ρgημθ A

0

Χ dA (2.35)

Σύμφωνα όμως με το γνωστό από τη μηχανική ορισμό της στατικής

ροπής της επιφάνειας Α ως προς τον άξονα Ψ:

ΜΨ= A

0

Χ dA = ΧΚΑ (2.36)

Όπου ΧΚ = η απόσταση του κέντρου βάρους Κ της επιφάνειας αβγδ από

τον άξονα ΟΨ που είναι η τομή της επιφάνειας του νερού με το κεκλιμένο

επίπεδο .

Με αντικατάσταση στην (2.35) παίρνουμε την ένταση της συνισταμένης

δύναμης P από τη σχέση:

P = ρgημθ ΧΚΑ = γ ΖΚ Α (2.37)

όπου:

γ = ρg, το ειδικό βάρος του υγρού

Α = το εμβαδόν της επίπεδης κεκλιμένης επιφάνειας αβγδ

ΖΚ = η κατακόρυφη απόσταση του κέντρου βάρους Κ της επιφάνειας αβγδ

από την ελεύθερη στάθμη του νερού. Το ΖΚ δίδεται από τη σχέση:

ΖΚ = ΧΚ . ημ θ (2.38)

Επομένως με βάση την (2.37) η ένταση της συνισταμένης δύναμης των

υδροστατικών πιέσεων πάνω σε μια κεκλιμένη επίπεδη επιφάνεια εμβαδού Α

ισούται με το γινόμενο του εμβαδού της επιφάνειας επί την υδροστατική πίεση

πάνω στο κέντρο βάρους της, η αλλιώς ισούται με το βάρος όγκου του υγρού

που έχει σαν βάση την επιφάνεια (Α) και ύψος την κατακόρυφη απόσταση ZΚ

του κέντρου βάρους της επιφάνειας από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού.

Page 51: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

48

Ο προσδιορισμός του σημείου εφαρμογής της πίεσης P, που είναι γνωστό και

σαν κέντρο πίεσης δίνεται από την εξίσωση:

ΧP = ΧK + AX

I

k

Y (2.39)

όπου :

ΧP = η απόσταση του κέντρου πίεσης από τον άξονα ΟΨ

IY = η ροπή αδρανείας της επιφάνειας Α ως προς τον κεντροβαρικό άξονα που

είναι παράλληλος προς τον άξονα ΟΨ.

ΧΚ = η απόσταση του κέντρου βάρους από τον άξονα ΟΨ

Πίνακας 2. Γεωμετρικές σταθερές μερικών απλών σχημάτων

Σχήμα ∆ιαστάσεις

Θέση του

Κέντρου βάρους,

Κ

∆εύτερη ροπή

αδράνειας της

επιφάνειας Α

Ορθογώνιο

Πλάτος b

Μήκος h

ΧΚ = h/2 από τη

βάση

Iy = bh3 / 12

Τρίγωνο

Βάση b

Ύψος h

ΧΚ = 1/3 h από τη

βάση

Iy = bh3 / 36

Κύκλος

Ακτίνα R

ΧΚ = R δηλαδή

το κέντρο του

κύκλου

Iy = πR4 / 4

Ημικύκλιο

Ακτίνα R

ΧΚ = 4R / 3π από

τη βάση

Iy = 0,1102 R4

2.7.4 Καμπύλες επιφάνειες

Ο υπολογισμός των υδροστατικών πιέσεων πάνω σε μια επιφάνεια

οποιουδήποτε σχήματος είναι δύσκολη εργασία γιατί απαιτείται να

προσδιοριστούν τρεις συνιστώσες της ολικής δυνάμεως πιέσεων και τρεις

Page 52: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

49

ροπές. Στις περιπτώσεις όμως που καμπύλες επιφάνειες έχουν ένα

κατακόρυφο επίπεδο συμμετρίας , το πρόβλημα είναι πιο απλό γιατί έχουμε

να προσδιορίσουμε μία συνισταμένη δύναμη από τις οριζόντιες και

κατακόρυφες συνιστώσες δυνάμεις που βρίσκονται πάνω στο επίπεδο

συμμετρίας. Πιο αναλυτικά για τον υπολογισμό της πίεσης σε μια καμπύλη

επιφάνεια ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

Σχήμα 2.14. ∆υνάμεις που ενεργούν σε καμπύλη επιφάνεια

(α) (β)

Σχήμα 2.15 (α) Κατακόρυφη συνιστώσα (β) Η συνισταμένη F

1. Η συνισταμένη δύναμη των υδροστατικών πιέσεων (P) ενεργεί πάντοτε

κάθετα προς την καμπύλη επιφάνεια. Αυτή η δύναμη έχει μία οριζόντια

(Fh) και μία κάθετη (Fv) συνιστώσα (Σχήμα 2.14(α)

Page 53: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

50

2. Για τον υπολογισμό της οριζόντιας συνιστώσας παίρνουμε την

κατακόρυφη προβολή της καμπύλης επιφάνειας όπως φαίνεται στο

Σχήμα 2.14(β). Υπολογίζουμε την Fh όπως θα υπολογίζαμε την πίεση σε

κάθε κατακόρυφη επίπεδη επιφάνεια (παραγ. 2.7.2) από την εξίσωση

(2.31) Ρ = γhKA έχοντας υπόψη ότι το Α αντιπροσωπεύει το εμβαδόν της

προβολής της καμπύλης επιφάνειας στο κατακόρυφο επίπεδο και όχι το

το πραγματικό εμβαδόν της καμπύλης επιφάνειας δηλαδή:

3. Fh = ρghKA (2.40)

4. Η κατακόρυφη συνιστώσα ισούται με το βάρος του υγρού που περιέχεται

στον όγκο (V) πάνω από την καμπύλη επιφάνεια (Σχήμα2.15 (α) δηλαδή:

Fv=ρgV (2.41)

5. H συνισταμένη δύναμη πιέσεων Ρ πάνω στην καμπύλη επιφάνεια δίνεται

από τη σχέση:

P = 2v

2h FF (2.42)

6. H γραμμή ενέργειας της Ρ ως προς το οριζόντιο επίπεδο σχηματίζει

γωνία που δίνεται από τη σχέση:

εφ = h

v

F

F (2.43)

Υπενθυμίζεται ότι και η συνισταμένη ενεργεί κάθετα προς καμπύλη

επιφάνεια και επομένως διέρχεται από το κέντρο ( C ) του κύκλου του

οποίου η επιφάνεια είναι ένα τμήμα Σχήμα 2.14 (β).

7. Με τις παραπάνω εξισώσεις υπολογίζονται οι υδροστατικές πιέσεις που

ασκούνται στο πάνω μέρος της καμπύλης επιφάνειας (από την κοίλη

πλευρά της καμπύλης). Θα πρέπει όμως να λαμβάνεται υπόψη ότι μία

ίση και αντίθετη προς τη συνισταμένη Ρ ενεργεί στο άλλο μέρος της

επιφάνειας(από την κυρτή πλευρά). Έτσι για τον υπολογισμό της

Page 54: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

51

συνισταμένης δύναμης στην κυρτή πλευρά μιας καμπύλης επιφάνειας,

υπολογίζεται η συνισταμένη στην κοίλη επιφάνεια έστω ακόμη και αν δεν

βρίσκεται σε επαφή με το νερό, γιατί είναι απλούστερη διαδικασία.

2.8 Άνωση και Πλεύση

2.8.1 Αρχή του Αρχιμήδη

Ένα σώμα που επιπλέει ή είναι βυθισμένο σε ένα υγρό υφίσταται την

επίδραση δύναμης που έχει κατεύθυνση προς τα πάνω και ένταση ίση με το

βάρος του εκτοπιζόμενου υγρού. Η δύναμη αυτή καλείται δύναμη άνωσης. Θα

πρέπει να τονισθεί ότι η άνωση δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια υδροστατική

πίεση. Η άνωση που δέχεται ένα πλοίο είναι η συνισταμένη των πιέσεων που

δέχεται το βυθισμένο στο νερό τμήμα του πλοίου.

Σχήμα 2.16. Αρχή του Αρχιμήδη

Έστω ένας κύβος με εμβαδόν πλευράς Α που είναι βυθισμένος στο νερό

και h1 είναι η απόσταση από την επιφάνεια του νερού μέχρι την πάνω

επιφάνεια του κύβου (Σχήμα 2.16). Στο κύβο αυτό οι πιέσεις που ασκούνται

Page 55: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

52

στις τέσσερες κάθετες πλευρές έχουν συνισταμένη μηδέν επειδή

αλληλοεξουδετερώνονται. Aν η πάνω πλευρά είναι οριζόντια θα ισχύει:

Πίεση στην πάνω πλευρά είναι = ρgh1A

Πίεση στην κάτω πλευρά είναι = ρgh2A

επειδή όμως h2 είναι μεγαλύτερο από το h1 η συνισταμένη δύναμη (πίεση) F

ενεργεί κάθετα στην κάτω επιφάνεια του κύβου με κατεύθυνση προς τα πάνω

και έχει μέτρο

F = ρgh2A - ρgh1A = ρg (h2 - h1) A (3.1)

όμως (h2 - h1) A είναι ο όγκος του κύβου V, επομένως:

F = ρgV (3.2)

άρα η δύναμη F που λέγεται άνωση είναι ίση με το βάρος του νερού που

εκτοπίζει ο κύβος.

2.8.2 Κέντρο Άνωσης

Κέντρο άνωσης είναι το σημείο B Σχήμα 2.16 μέσω του οποίου η δύναμη

άνωσης (F) ενεργεί στο σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω και αντιστοιχεί στο

κέντρο βάρους του όγκου του εκτοπιζόμενου υγρού. Αν το σώμα είναι

ομοιογενές και είναι ολόκληρο βυθισμένο τότε μόνο το κέντρο βάρους του

σώματος συμπίπτει με το κέντρο άνωσης. Στην περίπτωση του κύβου είναι το

κέντρο του κύβου.

Στην περίπτωση του βυθισμένου κύβου ελήφθη υπόψη μόνο η

υδροστατική πίεση ενώ το βάρος του κύβου αγνοήθηκε. Η θέση όμως που

τελικά θα πάρει ένα σώμα όταν τοποθετηθεί σε ένα υγρό εξαρτάται από τη

σχέση μεταξύ του βάρους (W) του σώματος και της δύναμης άνωσης (F). Για

παράδειγμα τo βάρος του κύβου θα είναι:

W = ρκgV

και η άνωση F = ρgV

Page 56: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

53

όπου ρκ και ρ είναι οι πυκνότητες του κύβου (υλικά και περιεχόμενο) και

του νερού , αντίστοιχα. Επειδή στις εξισώσεις αυτές g και V είναι ίδια

συμπεραίνεται ότι όταν ρκ είναι μεγαλύτερο από το ρ θα είναι και W F και ο

κύβος θα βυθισθεί. Αντίστοιχα, αν ρκ ρ τότε και W F και ο κύβος θα

επιπλέει.

Επομένως γενικά αν το βάρος ενός σώματος που τοποθετείται σε ένα

υγρό είναι μικρότερο της άνωσης το σώμα ανέρχεται στην επιφάνεια και

επιπλέει, αν είναι μεγαλύτερο τότε το σώμα βυθίζεται και αν το βάρος είναι ίσο

με την άνωση (W = F) το σώμα επιπλέει αλλά παραμένει βυθισμένο στο βάθος

εκείνο που τοποθετήθηκε αρχικά, όπως ένα πλοίο με σταθερό φορτίο. ΄Ετσι

είναι πλέον εύκολο να εξηγηθεί γιατί ένας κύβος από μπετό βυθίζεται στο νερό

ενώ ένας κύβος ίσου όγκου από φελλό ή πλαστικό που τοποθετείται μέσα στο

νερό μόλις αφεθεί ελεύθερος ανέρχεται και επιπλέει. Θα πρέπει να

διευκρινισθεί ότι η πυκνότητα ρκ που χρησιμοποιείται στην εξίσωση αφορά

ολόκληρο το κύβο ή ένα σώμα γενικότερα είτε είναι γεμάτο είτε κενό. Όταν το

σώμα αποτελείται από διάφορα υλικά θα πρέπει να υπολογισθεί η μέση

πυκνότητα των υλικών.

2.8.3 Ευσταθής, ασταθής και αδιάφορος ισορροπία

Στο Σχήμα 2.17(α) φαίνεται μία φορτηγίδα σχήματος ορθογωνίου

παραλληλεπιπέδου που επιπλέει με σταθερό βύθισμα. Οι δυνάμεις που

ενεργούν στην φορτηγίδα είναι, το βάρος W με κατεύθυνση κατακόρυφα προς

τα κάτω και σημείο εφαρμογής το κέντρο βάρους G και η άνωση F με

κατεύθυνση κατακόρυφα προς τα πάνω και σημείο εφαρμογής το κέντρο

άνωσης Β που είναι το κέντρο βάρους του εκτοπιζόμενου νερού. Οι δυνάμεις

W και F ενεργούν επί της ιδίας κατακόρυφου γραμμής που διέρχεται από τα

σημεία G και B , το δε σημείο G βρίσκεται πάνω από το Β.

Εάν περιστραφεί ελαφρά (πάρει κλίση) η φορτηγίδα και βρεθεί στη θέση

που δείχνει το Σχήμα 2.17(β) θα παρατηρήσουμε τα εξής. Το κέντρο βάρους

παραμένει στο ίδιο σημείο G αλλά το κέντρο άνωσης Β* μετακινήθηκε

αριστερότερα από το Β και συγκεκριμένα αριστερότερα από την κατακόρυφο

που διέρχεται από το κέντρο βάρους G.

Page 57: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

54

Σχήμα 2.17.(α) Φορτηγίδα κανονική (β) Φορτηγίδα με κλίση

Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι άλλαξε το σχήμα του όγκου του εκτοπιζόμενου

νερού και από παραλληλεπίπεδο έγινε τραπεζοειδές και στο ότι ο όγκος του

εκτοπιζόμενου νερού προς τα αριστερά της κατακορύφου WG είναι

μεγαλύτερος από ότι στα αριστερά. Τώρα οι δυνάμεις W και F δεν ενεργούν

επί της ιδίας κατακορύφου αλλά σχηματίζουν ζεύγος ροπής επαναφοράς της

φορτηγίδας στην αρχική της θέση. Σημειώνεται ότι τα μέτρα των δυο αυτών

δυνάμεων δεν άλλαξαν αφού η άνωση F είναι ίση με τον όγκο του

εκτοπιζόμενου νερού που ισούται με το βάρος του σώματος που δεν άλλαξε

μετά την κλίση που πήρε η φορτηγίδα. Η κατάσταση αυτή χαρακτηρίζεται σαν

ευσταθής.

Σχήμα 2.18 Φορτηγίδα με υψηλό φορτίο

Page 58: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

55

Εάν φορτωθεί στην φορτηγίδα ένα φορτίο σχετικά υψηλό και ορθογωνίου

(για λόγους απλοποίησης) σχήματος (Σχήμα 2.18) θα προκαλέσει μετατόπιση

του κέντρου βάρους του σώματος (φορτηγίδα + φορτίο) G προς τα αριστερά

και μάλιστα η κατακόρυφος που ενεργεί το βάρος W είναι τώρα αριστερότερα

από την κατακόρυφο που ενεργεί η άνωση F και διέρχεται από το Β*. Στις

συνθήκες αυτές δημιουργείται ροπή ανατροπής της φορτηγίδας και η

κατάσταση χαρακτηρίζεται σαν ασταθής ισορροπία. Από τα παραπάνω

προκύπτει ότι η θέση του κέντρου βάρους έχει καθοριστική σημασία για την

κατάσταση ισορροπίας ενός σώματος που επιπλέει σε ένα υγρό.

Γενικά μπορεί να αναφερθεί ότι αδιάφορος (Σχήμα 2.19) είναι η

ισορροπία για όλα τα επιπλέοντα σώματα κυλινδρικής ή σφαιρικής μορφής

όπου το κέντρο βάρους του σώματος και το κέντρο της άνωσης είναι πάντοτε

στην ίδια ευθεία. Στην περίπτωση αυτή μια μικρή περιστροφή έχει σαν

αποτέλεσμα τη δημιουργία μιας ροπής επαναφοράς που επαναφέρει το σώμα

στην αρχική του θέση.

Ασταθής (Σχήμα 2.20) ισορροπία δημιουργείται όταν το κέντρο βάρους

του σώματος βρίσκεται αρκετά υψηλότερα από το κέντρο άνωσης ώστε μία

μικρή περιστροφή έχει σαν αποτέλεσμα τη δημιουργία μιας ροπής ανατροπής

που τοποθετεί το σώμα σε μια νέα θέση στατικής ισορροπίας. Τέλος ευσταθής

ισορροπία (Σχήμα 2.21), για όλα τα επιπλέοντα σώματα , επιτυγχάνεται όταν

το κέντρο βάρους του σώματος βρίσκεται χαμηλότερα από το κέντρο άνωσης.

Σχήμα 2.19

Page 59: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

56

Σχήμα 2.20

Σχήμα 2.21

2.8.4 Μετάκεντρο

Έστω μία φορτηγίδα σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου που

επιπλέει χωρίς να έχει καμία κλίση. Το κέντρο βάρους και το κέντρο άνωσης

βρίσκονται στα σημεία G και Β αντίστοιχα. Η νοητή γραμμή που διέρχεται από

τα σημεία G και Β και επεκτείνεται προς τα πάνω και κάτω είναι κατακόρυφη

και σχηματίζει γωνία 900 με την πάνω οριζόντια επιφάνεια της φορτηγίδας. Αν

τώρα η φορτηγίδα πάρει μία μικρή κλίση (Σχήμα 2.22) το κέντρο της άνωσης

θα μετακινηθεί από τη θέση Β στη θέση Β*. Η κατακόρυφη γραμμή που

διέρχεται από το σημείο Β* συναντά την γραμμή ΒG στο σημείο Μ όπως

φαίνεται στο Σχήμα. Το σημείο Μ ονομάζεται μετάκεντρο. Η απόσταση GΜ

ονομάζεται μετακεντρικό ύψος.

Page 60: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

57

Σχήμα 2.22. Μετάκεντρο

Γενικά ισχύουν τα ακόλουθα: Εάν το μετάκεντρο είναι πάνω από το

κέντρο βάρους η κατάσταση της ισορροπίας είναι ευσταθής. Εάν το

μετάκεντρο βρίσκεται κάτω από το κέντρο βάρους η ισορροπία είναι ασταθής.

Αν δε το μετάκεντρο συμπίπτει με το κέντρο βάρους η ισορροπία είναι

αδιάφορος δηλαδή αν για παράδειγμα στη φορτηγίδα με αυτά τα

χαρακτηριστικά δοθεί μία μικρή κλίση αυτή θα εξακολουθήσει να επιπλέει με

την ίδια κλίση χωρίς ούτε να επανέρχεται στην αρχική της θέση αλλά ούτε να

ανατρέπεται μόνη της. Ο προσδιορισμός του μετάκεντρου και ο υπολογισμός

του μετακεντρικού ύψους είναι χρήσιμοι παράμετροι για να βρεθεί αν ένα

επιπλέον σώμα (συνήθως πλοίο) έχει ευσταθή ή ασταθή ισορροπία, αλλά δεν

θα μας απασχολήσουν περισσότερο.

Παραδείγματα Υδροστατικής Πίεσης

Παράδειγμα 2.1:

Στο ανοιχτό μανόμετρο του Σχήματος 2.6(γ) αν το υγρό στο Α είναι λάδι

με ειδικό βάρος γ = 0,8 gr / cm3 και το υγρό στο μανόμετρο είναι υδράργυρος

με ειδικό βάρος γ = 13,6 gr / cm3 και το ύψος h1 είναι 120 cm ενώ το h2 είναι

80 cm τότε να βρεθεί η πίεση στο Α.

Page 61: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

58

Λύση

Σύμφωνα με την εξίσωση (2.18) έχουμε

pΑ + γ h2 - γm h1 = p0 (απόλυτη πίεση στο Α)

Αντικαθιστώντας τις δοθείσες τιμές στην παραπάνω εξίσωση έχουμε:

pΑ + = p0 - γ h2 + γm h1 = 1 Kg / cm2 - 0,8 gr / cm3 x 80 cm + 13,6 gr / cm3 .

120 cm =

= 1 Kg / cm2 - 0,0008 Kg / cm3 x 80 cm + 0,0136 Kg / cm3 x 120 cm =

= ( 1 - 0,064 + 1,632) Kg / cm2 = 2,568 Kg / cm2

Επομένως η απόλυτη πίεση στο Α είναι pΑ = 2,568 Kg / cm2. Με τον ίδιο

τρόπο υπολογίζεται ότι η σχετική πίεση στο Α είναι pΑ΄ = 1,568 Kg / cm2. Το

ύψος πίεσης h (εάν διαιρέσουμε την πίεση (p) με το ειδικό βάρος του νερού (

γνερού) ) είναι:

h = pΑ΄ / γνερού = 1,568 Kg / cm2 / 0,001 Kg / cm3 = 1568 cm = 15,68 m.

Παράδειγμα 2.2:

Το μανόμετρο του παρακάτω σχήματος περιέχει υδράργυρο με

πυκνότητα ρυ = 13 600 kg / cm3. Ο σωλήνας περιέχει νερό με πυκνότητα ρν =

1000 kg/m3. Nα προσδιορισθεί (σύμφωνα με το δεύτερο τρόπο) η πίεση Ρ

στο κέντρο του σωλήνα εάν z = 0,5 m και h = 0,4 m

Λύση

Page 62: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

59

1. Σύρεται μία οριζόντια γραμμή ΧΧ΄ που διέρχεται από την χαμηλότερη

διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών νερού-υδραργύρου.

2. H πίεση στο αριστερό σκέλος στο επίπεδο ΧΧ΄ = ρνgz + Ρ

Η πίεση στο δεξιό σκέλος στο επίπεδο ΧΧ΄ = ρυg

3. Εξισώνεται η πίεση στα δύο σκέλη

ρνgz + Ρ = ρυgh

Ρ = ρυgh - ρνgz

Αντικαθιστάται όπου: ρυ = 13 600 kg/m3 , h = 0,4 m , ρν = 1 000 kg/m3 και

z = 0,5 m

Eπομένως:

Ρ = 13 600 x 9,81 x 0,4 - 1 000 x 9,81 x 0,5 = 48,5 x 103 N/m2

Παράδειγμα 2.3.

Να βρεθεί η διαφορά πίεσης και ύψους πίεσης των σημείων Α και Β του

διαφορικού μανομέτρου του σχήματος 2.7 (β) όταν: γ1 = 0,0008 Kg / cm3, γ2 =

0,001 Kg / cm3 , γ3 = 0,0136 Kg / cm3 και h1 = 20cm, h2 = 10 cm και h3 = 30

cm.

Λύση

Σύμφωνα με την εξίσωση (2.21) έχουμε

pΑ - pΒ = - γ1 h1 + γ2 h2 + γ3 h3 ή

pΑ - pΒ = - 0, 0008 Kg /cm3 20 cm + 0,001 Kg /cm3 x 10 cm + 0.0136 Kg /cm3

x 30 cm ή

pΑ - pΒ = (-0,016 + 0,01 + 0,408) Kg /cm3 =0,402 Kg /cm2 .

Το ύψος πίεσης είναι

h = hΑ - hΒ = 0,402 / 0,001 = 402 cm = 4,02 m

Παράδειγμα 2.4.

Ένα διαφορικό μανόμετρο ( Σχήμα 2.8) χρησιμοποιείται για τη μέτρηση

της μεταβολής της πίεσης μεταξύ των δύο σημείων Ρ1 και Ρ2 ενός κεκλιμένου

αγωγού που μεταφέρει πετρέλαιο με σχετική πυκνότητας 0,8. Το μανομετρικό

υγρό είναι υδράργυρος πυκνότητας 13 600 kg/m3. H υψομετρική διαφορά των

Page 63: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

60

δύο σημείων είναι 26 cm . Εάν z1 = 0,60 m , z2 = 0,73 m και h = 0,13 m να

υπολογισθεί η διαφορά της πίεσης στα σημεία αυτά.

Λύση

Η πυκνότητα του πετρελαίου είναι: 0,8 x 1000 = 800 kg/m3

1. Σύρεται η γραμμή ΧΧ΄

2. Πίεση στο αριστερό σκέλος

(ΠΑΣ) = ρgz1 + P1 ή

(ΠΑΣ) = 800 x 9,81 x 0,60 + P1 = 4709 + P1

Πίεση στο δεξιό σκέλος

(Π∆Σ) = ρυgh + ρgz2 + P2 ή

(Π∆Σ) = 13 600 x 9,81x 0,13 + 800 +9,81 x 0,73 + Ρ2 ή

(Π∆Σ) = 23 073 + Ρ2

3. Εξισώνονται οι πιέσεις στα δύο σκέλη:

(ΠΑΣ) = (Π∆Σ) ή

4709 + Ρ1 = 23 073 + Ρ2 και επομένως

Ρ1 - Ρ2 = 23 073 - 4709 = 18 364 Ν/m2.

Παράδειγμα 2.5.

Το μανόμετρο του παρακάτω σχήματος είναι του τύπου ανεστραμμένου U

και χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της διαφοράς της πίεσης μεταξύ δύο

σημείων Ρ1 και Ρ2 ενός κεκλιμένου αγωγού (Ρ1 - Ρ2 =a). Ο αγωγός μεταφέρει

νερό πυκνότητας ρ = 1 000 kg/m3. Πάνω από το νερό στο μανόμετρο υπάρχει

αέρας. Εάν η ανύψωση του νερού στο αριστερό σκέλος (πάνω από το σημείο

Ρ1) είναι 100 mm , στο δεξιό σκέλος (πάνω από το σημείο Ρ2) είναι 340 mm

και η υψομετρική διαφορά των διαχωριστικών επιφανειών των δύο ρευστών

(νερού και αέρα) στα δύο σκέλη του μανομέτρου είναι 90 mm , να υπολογισθεί

η διαφορά της πίεσης (Ρ1 - Ρ2). g = 9,81 m/s2.

Page 64: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

61

Λύση

Από τα δεδομένα του προβλήματος προκύπτει ότι δίδονται;

z1 = 0,1 m, z2 = 0,34 - 0,09 = 0,25 m , h = 0,09 m και α = 0,15 m.

Εργαζόμενοι κατά τα γνωστά έχουμε:

P1 = ρgz1 +Px

P2 = ρgz2 +ρgh + Px

Αφαιρώντας τις εξισώσεις λαμβάνουμε:

P1 - P2 = ρgz1 + Px - ρgz2 + ρgh +Px ή

P1 - P2 = ρgz1 - ρgz2 - ρgh ή

P1 - P2 = ρg z1 - z2 - h

P1 - P2 = ρg (h - α) - ρ0gh και αντικαθιστώντας έχουμε:

P1 - P2 = 1 000 x 9,81(0,1 -0,25 - 0,09) = - 2,35 x 103 N/m2

Παράδειγμα 2.6

Ένα δοχείο έχει σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις

βάσεως 2,5 m μήκος και 1,6 m πλάτος και περιέχει δύο υγρά που δεν

αναμειγνύονται, δηλαδή νερό και λάδι, και η πάνω επιφάνειά του είναι ανοιχτή

στον αέρα. Μέσα στο δοχείο το νερό έχει βάθος 2 m ενώ το λάδι 1,5 m. Να

Page 65: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

62

υπολογισθούν: 1) Η πίεση που ασκούν τα υγρά στον πυθμένα του δοχείου

(N/m2) και 2) Η πίεση που ασκείται στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου με

μήκος 2 m, σε Ν.

∆ίδονται: Πυκνότητα νερού 1 gr/cm3 , πυκνότητα λαδιού 0,8 g/cm3, g =

9,81 m/s2.

Λύση

1) Η πίεση στον πυθμένα σύμφωνα με τον ορισμό της πίεσης (P) είναι ίση

με το βάρος (W) προς το εμβαδόν (Α) της επιφάνειας που εφαρμόζεται

ομοιόμορφα, δηλαδή:

P = A

W και επειδή Α =2 x 1,6 = 4 m2

P= A

)Aghρgh(ρ 2211 =

4

40281910000151819100080 ),x,xx,,x,xx,( = 31 392 N/m2.

2) Η πίεση που ασκεί το λάδι στην πλευρά με 2 m μήκος σύμφωνα με την

εξίσωση (2.31) είναι :

Ρ1 = ρ1ghk1 A1 = 0,8 x 1000 x 9,81 x 2

1,5 x (2 x 1,5) = 17 658 N .

Η πίεση που ασκεί το νερό στην ίδια πλευρά είναι :

P2 = ρ2g hK2 A2 = 1,0 x 1000 x 9,81 x 2

2 x (2 x 2) = 39 430 N.

Eπομένως στην πλευρά με μήκος 2 m ασκούνται πιέσεις:

P = P1 + P2 = 17 658 + 39 430 = 57 088 N .

Παράδειγμα 2.7.

Μία καμπύλη θυρίδα είναι τοποθετημένη στην έξοδο μιας στραγγιστικής

διώρυγας με το κοίλο μέρος (ανάντη) σε επαφή με το νερό. Η κάθετη τομή της

θυρίδας με τη κατακόρυφο αποτελεί το ένα τέταρτο ενός κύκλου ακτίνας 2 m.

Το νερό πάνω από το πάνω άκρο της θυρίδας είναι 1,5 m. Τα πλάτος της

θυρίδας είναι 1,5 m. Να υπολογισθεί το μέγεθος και η γραμμή ενέργειας της

συνισταμένης δύναμης των υδροστατικών πιέσεων που ενεργούν στο πάνω

(κοίλο) μέρος της θυρίδας. ∆ίδεται g = 9,81 m/s2

Page 66: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

63

Λύση

Με βάση τα δεδομένα του προβλήματος κατασκευάζεται το παρακάτω

σχήμα .

Σχεδιάζεται η προβολή της θυρίδας στο κατακόρυφο επίπεδο και

υπολογίζεται η Fh με βάση τη (2.40) όπως παρακάτω.

A = 2 m x 1,5 m = 3 m2

hK = 2

2 + 1,5 = 2,5 m. To

2

2 είναι επειδή το κέντρο βάρους βρίσκεται σε

απόσταση 1/2 από την κορυφή της θυρίδας. Και τελικά υπολογίζεται:

Fh = ρghKA = 1000 x 9,81 x 2,5 x 3 = 73,57 x 103 N

Υπολογίζεται το Fv από το βάρος του νερού πάνω από την θυρίδα, δηλαδή:

Fv = ρgV = 1000 χ 9,81 χ [4

1 (π 22) x 1,5 + 2 x 1,5 x 1,5]

= 9810 x 9,21 = 90,35 x 103 Ν.

Υπολογίζεται το μέγεθος και η γραμμή ενέργειας της συνισταμένης σύμφωνα

με τις (2.42 και 2.43):

P = 2v

2h FF = 622 )x1090,35(73,57 = 116,51 x 103 N.

Φ = εφ-1

h

v

F

F = εφ-1

73,57

90,35= 50,8ο.

Page 67: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

64

Επομένως η συνισταμένη Ρ διέρχεται από το κέντρο C της καμπύλης και

σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία 50,8ο.

Παράδειγμα 2.8.

Μια θυρίδα με καμπύλη επιφάνεια της οποίας η πρόσοψη αποτελεί μέρος

κύκλου ακτίνας 5 m συγκρατεί πίσω της προς την κυρτή πλευρά νερό. Ο

κυκλικός τομέας που αντιστοιχεί η θυρίδα έχει γωνία 300 στο κέντρο. Νερό

παραμένει ακίνητο από τη βάση της θυρίδας μέχρι και σε ύψος 2 m πάνω από

την κορυφή της θυρίδας προς την ανάντη πλευρά. Η άλλη πλευρά (κοίλη) της

θυρίδας είναι σε επαφή μόνο με τον ελεύθερο αέρα. Να υπολογισθεί το

μέγεθος και η γραμμή ενέργειας της συνισταμένης δύναμης των υδροστατικών

πιέσεων. Η θυρίδα έχει πλάτος 3,5 m . ∆ίδεται g = 9,81 m/s2.

Λύση

Προβάλλεται η καμπύλη επιφάνεια στο κατακόρυφο επίπεδο και

υπολογίζεται η Fhj:

Κατακόρυφο ύψος της προβολής = BC = 5 x συν600 = 2,5 m

hK = 2 + (2,5/2) = 3,25 m, και Α = 2,5 x 3,5 =8,75 m2 .

Fh = ρg hKA = 1000 x 9,81 x 3,25 x 8,75 = 278,97 103 N .

Υπολογίζεται η Fv από το βάρος του νερού πάνω από την καμπύλη

επιφάνεια: Στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται το βάρος του νερού που θα

υπήρχε πάνω από την κοίλη πλευρά όπως στο προηγούμενο παράδειγμα,

δηλαδή το βάρος του νερού που θα καταλάμβανε τον όγκο AEFH που είναι ο

Page 68: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

65

όγκος του εκτοπιζόμενου νερού από τη θυρίδα. Το πλάτος αυτής της περιοχής

DE υπολογίζεται ως ακολούθως :

ΑΒ = 5 x ημ600 = 5 x 0,866 = 4,33m , και DE = 5 – 4,33 = 0,67 m.

Για να υπολογιστεί το εμβαδόν της περιοχής AEFH υπολογίζεται πρώτα

το εμβαδόν του τμήματος ADE ως ακολούθως:

Eμβαδόν κυκλικού τομέα ACE = (30 / 360) π 52 = 6,54 m2

Εμβαδόν τριγώνου ACD = (1 / 2) x (DC) x (AD) = 0,5 x 4,33 x 2,5 = 5,41 m2 .

Εμβαδόν ADE = 6,54 – 5,41 = 1,13 m2 .

Επομένως η ολική περιοχή AEFH = 1,13 + 0,67 x 2 = 2,47 m2 .

Όγκος εκτοπιζόμενου νερού V = 2,47 x 3,5 = 8,65 m3 .

Fh = ρg V = 1000 x 9,81 x 8,65 = 84,86 x 103 N

Υπολογίζεται η συνισταμένη Ρ:

P = 2v

2h FF = 622 )x1084,86(278,97 = 291,59 x 103 N .

Υπολογίζεται η γωνία της γραμμής ενέργειας της συνισταμένης Ρ.

= εφ-1(Fv / Fh) = εφ-(84,86 / 278,97) = 16,90 .

Επομένως η γραμμή ενέργειας της συνισταμένης Ρ σχηματίζει γωνία

16,90 με το οριζόντιο επίπεδο με κατεύθυνση προς τα πάνω και διέρχεται από

το κέντρο C.

Παράδειγμα 2.9

Ένα φορτηγό πλοίο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει μάζα

41 τόνους. Το μήκος του είναι 12 m, το πλάτος 5 m και το ύψος 2 m. ∆ίδεται

ότι η πυκνότητα του θαλασσινού νερού είναι ρΘ = 1025 kg/m3. Nα

υπολογισθούν:

α) Ο όγκος του νερού που εκτοπίζει

β) Το τμήμα (ύψος) του πλοίου που είναι μέσα στο νερό και

γ) Την άνωση

Λύση

Page 69: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

66

α) Όγκος V θαλασσινού νερού που εκτοπίζεται = μάζα πλοίου / ρΘ – θαλασ.

νερού ή

V = 41 000 / 1025 = 40 m3

β) Βύθισμα στο νερό = V (όγκος εκτοπιζόμενου νερού) / εμβαδόν κάτω

επιφάνειας

ή

40 / (12 x 5) = 40 / 60 = 0,67 m

γ) Άνωση F = βάρος εκτοπιζόμενου νερού

F = ρgV = 1025 x 9,81 x 40 = 402,2 x 103 N.

(που είναι ίσο με το βάρος του πλοίου: Wπλ.= mπλ. g = 41 000 x 9,81= 402,2

x103 N.

Page 70: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

Τ.Ε.Ι. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ

ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ & ΑΡ∆ΕΥΣΕΩΝ

ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ–

ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ

∆ρ. ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ Ι. ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ 2001

Page 71: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

67

KΕΦΑΛΑΙΟ 3

3. ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ

3.1 Γενικά – Ορισμοί

Η υδροδυναμική σε αντίθεση με την υδροστατική μελετά τους νόμους που

ισχύουν όταν τα ρευστά (νερό) βρίσκονται σε κίνηση. Όταν όμως το νερό

βρίσκεται σε κίνηση η ανάλυση του φαινομένου είναι περισσότερο πολύπλοκη

γιατί οι δυνάμεις που προκαλούν την κίνηση (όπως η ταχύτητα και οι

επιταχύνσεις ) είναι διανυσματικά μεγέθη και θα πρέπει να λαμβάνονται

υπόψη τόσο οι εντάσεις όσο και οι διευθύνσεις. Επιπλέον στην κίνηση του

νερού θα πρέπει να ληφθούν υπόψη παράμετροι, όπως το ιξώδες, ο τύπος

της ροής (τυρβώδης κ.λ.π.) και η τριβή. Πολλές δυσκολίες παρακάμπτονται

υποθέτοντας ότι το νερό συμπεριφέρεται σαν ιδανικό ρευστό χωρίς δηλαδή

ιξώδες, ασυμπίεστο κ.λ.π. και εισάγοντας στις διάφορες εξισώσεις

συντελεστές που βρέθηκαν από πειράματα όπως θα αναφερθεί παρακάτω.

Σαν τροχιά (pathline) ενός μορίου ρευστού ονομάζουμε το σύνολο των

διαδοχικών θέσεων αυτού στο χώρο κατά τη διάρκεια της κίνησής του, σε

χρόνο δηλαδή t.

Σχήμα 3.1. Γραμμές ροής

Γραμμή ροής (streamline) ονομάζουμε την τροχιά (φανταστική γραμμή)

η οποία σε κάθε σημείο της και σε κάθε χρονική στιγμή δέχεται σαν

εφαπτομένη το διάνυσμα της ταχύτητας. Οι γραμμές ροής χρησιμοποιούνται

για να γίνει κατανοητή η συμπεριφορά των ρευστών κατά την κίνηση. Γίνεται

Page 72: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

68

απεικόνιση της κίνησης των ρευστών π.χ. σε ένα αγωγό σχεδιάζοντας

κατάλληλα γραμμές ροής (Σχήμα 3.1).

Γενικά όταν οι εικονιζόμενες γραμμές ροής είναι παράλληλες η ταχύτητα

και η πίεση είναι σταθερές. Όταν οι γραμμές ροής συγκλίνουν (ροή πριν από

τη στένωση ενός κλειστού αγωγού) η ταχύτητα αυξάνει και η πίεση μειώνεται

ενώ όταν αποκλίνουν (ροή μετά τη στένωση) η ταχύτητα ελαττώνεται και η

πίεση αυξάνει.

Όταν η ταχύτητα μεταβάλλεται με το χρόνο η ροή ονομάζεται ασταθής ή

μη μόνιμη . Στην αντίθετη περίπτωση η ροή ονομάζεται σταθερή ή μόνιμη.

Στη μόνιμη ροή η παροχή είναι σταθερή με το χρόνο.

Ομοιόμορφη ονομάζεται η ροή όταν τα διανύσματα των ταχυτήτων είναι

παράλληλα μεταξύ τους και δεν υπάρχει μεταβολή της ταχύτητας (μέγεθος,

διεύθυνση) κατά μήκος της κατεύθυνσης ροής. Στην ομοιόμορφη ροή το

εμβαδόν της διατομής του αγωγού και η μέση ταχύτητα ροής πρέπει να είναι

τα ίδια σε κάθε κάθετη τομή. Ένα παράδειγμα είναι η ροή σε ένα γεμάτο με

νερό σωλήνα και με σταθερή διατομή. Αντίθετα ανομοιόμορφη ροή υπάρχει

όταν η διατομή του σωλήνα μεταβάλλεται καθώς και η μέση ταχύτητα ροής.

Σωλήνα ροής (streamtube) ονομάζουμε ένα φανταστικό αγωγό με ελάχιστο

μέγεθος που η επιφάνειά του αποτελείται από γραμμές ροής με οδηγό κλειστή

καμπύλη (Σχήμα 3.2).

Σχήμα 3.2 Σωλήνας ροής

Ταχύτητα V σε οποιοδήποτε σημείο ενός ρευστού ορίζεται ως:

V = dA

dQ

Page 73: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

69

Όπου : Q = παροχή και Α = η κάθετη προς τη ροή διατομή που κατέχεται

από το υγρό.

Επιτάχυνση ορίζεται η μεταβολή της ταχύτητας προς την αντίστοιχη

μεταβολή του χρόνου:

a = dt

dV

όπου V = ταχύτητα και t = ο χρόνος που έγινε η μεταβολή της ταχύτητας.

Στρωτή ονομάζεται η ροή όταν η κίνηση του υγρού γίνεται κατά λείες

στρώσεις που σχηματίζουν λείες γραμμές ροής, όχι όμως υποχρεωτικά

ευθύγραμμες και χωρίς ορατή ανάμειξη ρευστού μεταξύ των γειτονικών

στρώσεων. Στρωτή ροή έχουν τα ρευστά που κινούνται με μικρές ταχύτητες

και έχουν μεγάλο ιξώδες. Η ροή αυτή είναι σχετικά σπάνια στη φύση. Ένα

παράδειγμα είναι η κίνηση του νερού σε ένα υδροφόρο ορίζοντα. Η κίνηση

αυτή του υπόγειου νερού είναι μόλις ολίγα μέτρα το χρόνο.

Παράλληλη ροή (ή ροή Poiseuille) oνομάζεται η στρωτή ροή που οι

γραμμές ροής είναι ευθείες και παράλληλες μεταξύ τους.

Τυρβώδης είναι η ροή όταν τα ρευστά σωματίδια κινούνται ακανόνιστα,

οι γραμμές ροής μεταβάλλονται σε κάθε στιγμή και υπάρχει έντονη ανάμειξη

μεταξύ των γειτονικών στρώσεων του ρευστού. Η ανάπτυξη τέτοιας ροής

απαιτεί μεγάλη ταχύτητα και μεγάλο μέτωπο ροής

3.2 Εξίσωση συνέχειας - Νόμος διατήρησης της μάζας

Η εξίσωση της συνέχειας βασίζεται στην αρχή της διατήρησης της μάζας:

« η μάζα ενός ρευστού δεν δημιουργείται ούτε καταστρέφεται».

Ας θεωρήσουμε ένα τμήμα ενός σωληνωτού αγωγού που αποτελείται

από πολλούς σωλήνες ροής όπως αυτός του Σχήματος 3.3. Στο σωλήνα ροής

του σχήματος δΑ1 και V1 είναι η διατομή και η ταχύτητα του ρευστού που

εισέρχεται και δΑ2 και V2 η διατομή και η ταχύτητα όταν εξέρχεται από το

σωλήνα ροής, αντίστοιχα. Η παροχή δια μέσω του σωλήνα ορίζεται ως δQ. Η

έκφραση της εξίσωσης της συνέχειας βασίζεται στην παραδοχή ότι η μάζα του

ρευστού που εισέρχεται από την διατομή δΑ1 του σωλήνα ροής στη μονάδα

Page 74: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

70

του χρόνου πρέπει να είναι ίση με την μάζα του ρευστού που εξέρχεται από τη

διατομή δΑ2 στη μονάδα του χρόνου. Eπειδή όμως:

Σχήμα 3.3 Aγωγός και σωλήνας ροής

Μάζα / δευτερόλεπτο = πυκνότητα Χ παροχή ή σε μονάδες (3.1)

(Kg / s) = (Kg / m3) X (m3 / s)

Επομένως θα έχουμε:

ρδQ1 =ρδQ2 (3.2)

όπου ρ = η πυκνότητα και Q η παροχή του ρευστού.

Γνωρίζουμε όμως ότι ισχύει:

δQ1 = δΑ1V1 και δQ2 =δΑ2V2 (3.3)

όπου V1 και V2 είναι οι ταχύτητες στα άκρα του σωλήνα ροής

Αν αντικαταστήσουμε τις τιμές της (3.3) στην (3.2) θα έχουμε:

ρ δA1V1 = ρδΑ2V2 (3.4)

Eαν προστεθούν όλες οι παρόμοιες εξισώσεις που αντιστοιχούν στους

σωλήνες ροής που αποτελούν την διατομή Α του αγωγού θα έχουμε :

Σ(ρδΑ1V1)=Σ(ρδΑ2V2)

(3.5)

Page 75: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

71

Επειδή το ρευστό (νερό) θεωρείται ασυμπίεστο τότε το ρ είναι σταθερό

και μπορεί να παραλειφθεί οπότε η (3.5) γίνεται:

Σ(δΑ1V1)=Σ(δΑ2V2)

(3.6)

Επιπλέον εάν: ΣδΑ1 = Α1 και ΣδΑ2 = Α2 και αν V1 και V2 είναι οι μέσες

ταχύτητες κατά την είσοδο και έξοδο του ρευστού από τον αγωγό θα έχουμε

την τελική μορφή της εξίσωσης της συνέχειας:

Q1 = A1V1 = A2V2 = Q2 = σταθερή (3.7)

Σε γενική μορφή η εξίσωση γίνεται:

Q = A1V1 = A2 V2 =……= AnVn = σταθερή (3.8)

Η εξίσωση αυτή είναι η γενική εξίσωση συνέχειας της σταθερής

ασυμπίεστης και ανομοιόμορφης ροής μέσα σε κλειστούς αγωγούς με

μεταβαλλόμενη διατομή και σταθερά ( μη ελαστικά) τοιχώματα. Η ίδια εξίσωση

ισχύει και για ανομοιόμορφη ροή, μέσα σε ανοικτούς αγωγούς με

επενδεδυμένα τοιχώματα.

Η εξίσωση μπορεί να εφαρμοσθεί σε όσες διατομές απαιτεί το κάθε

πρόβλημα. Η εξίσωση (3.7) δείχνει ότι όταν αυξάνεται η διατομή Α τότε η μέση

ταχύτητα ελαττώνεται και αντίστροφα. Αν δηλαδή η διατομή διπλασιασθεί η

ταχύτητα θα ελαττωθεί στο μισό.

Αν η διατομή του αγωγού είναι αμετάβλητη δηλαδή Α = σταθερή , η

εξίσωση συνέχειας παίρνει τη μορφή V1 = V2 δηλαδή η ροή είναι ομοιόμορφη

με τη έννοια της σταθερής μέσης ταχύτητας.

Όταν ένας σωληνωτός αγωγός διακλαδίζεται σε δύο τότε η εξίσωση

συνέχειας γίνεται:

Q1 = Q2 + Q3 (3.8)

ή

A1V1 = A2V2 + A3V3 (3.9)

Page 76: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

72

3.3 Εξίσωση κίνησης ρευστού κατά μήκος μιας γραμμής ροής – Εξίσωση

ενέργειας ή εξίσωση Bernoulli

Σύμφωνα με το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα η δύναμη είναι ίση με την

μάζα επί την επιτάχυνση δηλαδή:

F = m α = m (V2 – V1) / t = m dv/dt (3.10)

Όπου V2 και V1 είναι η αρχική και η τελική ταχύτητα ενός σώματος και t ο

χρόνος που έγινε η μεταβολή της ταχύτητας.

Θεωρούμε ένα απειροστό κυλινδρικό όγκο ρευστού διατομής dA, μήκους

ds και πυκνότητας ρ που ακολουθεί σταθερή ροή χωρίς τριβές κατά μήκος

μιας γραμμής ροής (Σχήμα 3.4).

Σχήμα 3.4. Εξίσωση Ενέργειας (Bernoulli)

Οι δυνάμεις που τείνουν να επιταχύνουν την κινούμενη μάζα του ρευστού

είναι:

οι δυνάμεις πιέσεως στα άκρα του απειροστού όγκου

F1 = p dA – ( p + dp ) dA = - dp dA

Page 77: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

73

η συνιστώσα του βάρους στην κατεύθυνση της κίνησης s

F2 = - W συνΘ ή

F2 = ρ g ds dA ds

dz = - ρ g dA dz

Η μάζα του ρευστού είναι ρ dA ds, ενώ η επιτάχυνση α μπορεί να

εκφρασθεί σαν :

α = V ds

dV

Σύμφωνα με το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα θα έχουμε:

F = F1 + F2 = m a ή

dp dA – ρg dA dz = ρ ds dA V ds

dV

Διαιρώντας με – ρ dA έχουμε:

ρ

dp+ g dz + V dV = 0 (3.11)

H εξίσωση αυτή ισχύει για συμπιεστά και ασυμπίεστα ρευστά επειδή η

μεταβολή του ρ κατά μήκος του στοιχειώδους μήκους ds είναι ασήμαντη. Η

εξίσωση (3.11) μπορεί επίσης να γραφεί ως:

dp+ dz + d

g2

V2

= 0 (3.12)

Στη περίπτωση των ασυμπίεστων ρευστών όπως το νερό το γ = ρg είναι

σταθερό και μπορούμε να ολοκληρώσουμε την (3.12):

γ

dp+ dz+ d

g2

V2

=σταθερό ή

γ

p + z +

g2

V2

= σταθερό = Η (3.13)

Η = ολικό ύψος ή ολικό φορτίο ανά μονάδα βάρους.

Page 78: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

74

Η εξίσωση (3.12) είναι γνωστή σαν το θεώρημα ή εξίσωση του Bernoulli

που ισχύει για σταθερή, ασυμπίεστη ροή κατά μήκος μιας γραμμής ροής ενός

ιδανικού ρευστού χωρίς ιξώδες. Το Η αναφέρεται σαν ολικό ύψος ή φορτίο ή

ολική ενέργεια ανά μονάδα βάρους του ρευστού. Ο όρος γ

pονομάζεται

ύψος ή φορτίο πιέσεως, ο όρος z ύψος ή φορτίο θέσεως , ο όρος g2

V2

ύψος ή φορτίο ταχύτητας και το άθροισμα ( γ

p + z ) oνομάζεται πιεζομετρικό

ύψος ή πιεζομετρικό φορτίο. Όλοι οι όροι της εξίσωσης εκφράζονται σε

μονάδες μήκους, συνήθως μέτρα (m). Όταν το ρευστό είναι ακίνητο ο όρος

που εκφράζει τη κινητική ενέργεια g2

V2

παραλείπεται και η εξίσωση παίρνει τη

μορφή:

γ

p+ z = σταθερό (3.14)

H εξίσωση του Bernoulli εφαρμόζεται σε δύο διατομές ή δύο σημεία κατά

μήκος μιας γραμμής ροής που στις περισσότερες περιπτώσεις χωρίς

σημαντικό λάθος λαμβάνεται η κεντρική γραμμή π.χ. ενός κλειστού αγωγού. Η

ταχύτητα V είναι η μέση ταχύτητα της ροής (= Q/A) και η ροή λαμβάνεται ως

ομοιόμορφη. Στην περίπτωση των ιδανικών υγρών που δεν υπάρχει απώλεια

ενέργειας θα ισχύει

z1 + g2

V 2

1 + γ1P = z2 +

g2

V 2

2 + γ

P2 (3.15)

Στα πραγματικά όμως ρευστά έχουμε απώλειες ενέργειας λόγω τριβών

(hf) οπότε η εξίσωση γίνεται:

Page 79: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

75

z1 + g2

V 2

1 + γ1P = z2 +

g2

V 2

2 + γ

P2 + hf (3.12)

H εξίσωση αυτή μόνη της ή σε συνδυασμό με την εξίσωση συνέχειας

(3.8) χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων σε σωληνωτούς

αγωγούς άρδευσης, σιφώνια, ακροφύσια κ.α.

3.4 Εξίσωση ποσότητας κίνησης

Ο πιο απλός ορισμός της ποσότητας κίνησης είναι:

Ποσότητα κίνησης = μάζα Χ ταχύτητα ή

m = m V = g

γ Q V (3.13)

Επομένως κάθε κινούμενο σώμα έχει ποσότητα κίνησης και σε κάθε

ακίνητο σώμα η ποσότητα κίνησης ισούται με το μηδέν. Επειδή η ποσότητα

κίνησης αφορά τη μάζα και όχι το βάρος ακόμη και τα κινούμενα στο διάστημα

σώματα έχουν ποσότητα κίνησης.

Η εξίσωση της ποσότητας κίνησης που εφαρμόζεται στην υδραυλική είναι:

F = ρ Q ( V2 – V1) (3.14)

και επειδή Q = A1 V1 η εξίσωση γίνεται

F = ρ Α1 V1 ( V2 – V1) (3.15)

Θα πρέπει να τονισθεί ότι η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος και

συνεπώς έχει διεύθυνση και μέγεθος. Επομένως οι εξισώσεις (3.14) και (3.15)

πρέπει να εφαρμόζονται σε καθορισμένες κατευθύνσεις όπως κατά μήκος των

Page 80: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

76

αξόνων Χ, Ψ, Ζ. Επίσης θα πρέπει να έχουμε υπόψη πως σε κάθε περίπτωση

ισχύει ότι το αλγεβρικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται

σε ένα ορισμένο όγκο ρευστού σε μία ορισμένη κατεύθυνση (ΣF) ισούται με το

ρυθμό αλλαγής της ποσότητας κίνησης προς την κατεύθυνση αυτή ρQ (V2 -

V1 ). Eπομένως ισχύουν:

ΣFX = ρ Q ( V2X – V1X ) (3.16)

ΣFΨ = ρ Q ( V2Ψ – V1Ψ ) (3.17)

και όταν υπάρχει και κατακόρυφη κατεύθυνση

ΣFΖ = ρ Q ( V2Ζ – V1Ζ )

(3.18)

Παραδείγματα

Παράδειγμα 3.1

Νερό ρέει σε ένα αγωγό με παροχή Q1, διάμετρο D1 και μέση ταχύτητα V1.Σε

ένα σημείο ο αγωγός διακλαδίζεται σε δύο αγωγούς με αντίστοιχα μεγέθη Q2,

D2, V2 και Q3, D3, V3. . Εάν η διάμετρος D2 είναι 200 mm, V2 = 1,5 m/s και V3

= 1,2 m/s να βρεθούν:

α) Η διάμετρος D3 ώστε να ικανοποιείται η σχέση Q3 = 2Q2

b) Ποια είναι η ολική παροχή στον αρχικό αγωγό Q1

Λύση

α) Q3 = 2Q2 ή A3V3 = 2A2V2 ή

(π D32/4) X 1,2 = 2 X (π X 0,202/4) X 1,50 ή

D3 = 0,22 m

b) Q2 = A2 V2

= (π Χ 0,22 /4) Χ 1,50 = 0,047 m3/s

Q3 = 2Q2 = 2 X 0,047 = 0,094 m3/s και επομένως η ολική παροχή θα είναι:

Page 81: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

77

Q1 = Q2 + Q3 = 0,047 + 0,094 = 0,141 m3/s

Παράδειγμα 3.2

Στο σιφώνιο του παρακάτω Σχήματος 3.5 να ευρεθεί η παροχή του σιφωνίου

(m3 / s) από το κατώτερο άκρο προς τον αέρα και το φορτίο πίεσης στο

ανώτερο σημείο (3) όταν η διάμετρος του σιφωνίου είναι σταθερή και ίση με

18 cm, δεν υπάρχουν τριβές και το επίπεδο του νερού στην δεξαμενή (σημείο

1) παραμένει σταθερό.

Λύση

Eφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernouli μεταξύ των σημείων 1 και 2

λαμβάνοντας σαν επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από

το σημείο 2, τότε θα έχουμε:

Σχήμα 3.5

z1 + g2

V 2

1 + γ1P = z2 +

g2

V 2

2 + γ

P2 και αντικαθιστώντας τις τιμές θα έχουμε

Page 82: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

78

5,0 + 0 + 0 = 0 + g2

V 2

2 + 0

V2 = 0,5gx2 = 9.90 m / s

Eφαρμόζουμε την εξίσωση συνέχειας

Q = A2 V2 = A3 V3 όπου Α2 = Α3 = π(0,18/2)2 = 0,0254 m2

Eπομένως θα έχουμε:

Q = 0,0254 x 9,90 = 0,251 m3 / s

Eφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ των σημείων 1 και 3 για

να βρούμε το Ρ3 / γ . Λαμβάνουμε σαν επίπεδο αναφοράς εκείνο που

διέρχεται από το σημείο 1. Έτσι θα έχουμε

z1 + g2

V 2

1 + γ1P = z3 +

g2

V 23 +

γ

P3 ή

0 +0 +0 = 1,2 + (9,9)2 / 2g +P3 / γ και

P3 / γ = - 1,2 – 4,995 = - 6,195 m νερού

Το παράδειγμα αυτό μας δείχνει πως δουλεύει το σιφώνιο. Δηλαδή η

πίεση στο σημείο 1 είναι ίση με την ατμοσφαιρική δηλαδή 10,33 m ενώ στο

υψηλότερο σημείο του σιφωνίου (σημείο 3) είναι μόλις –6,195 m. Επομένως

το νερό ρέει από ένα σημείο υψηλής πίεσης (τη δεξαμενή) προς ένα σημείο με

χαμηλότερη πίεση (το σημείο 3)

Παράδειγμα 3.3

Η γωνία ενός σωληνωτού αγωγού έχει σταθερή διάμετρο 40 cm και δεν

αλλάζει επίπεδο. Η παροχή του νερού από το σωλήνα είναι 0,2 m3 / s και η

πίεση στη καμπύλη 30 m νερού. Η γωνία της καμπύλης είναι 60ο (Σχήμα 3.6).

Να υπολογισθεί το μέγεθος και η διεύθυνση της συνισταμένης δύναμης που

Page 83: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

79

ασκείται στα τοιχώματα της γωνίας λόγω της μεταβολής της διεύθυνσης της

ροής.

Λύση

Η εξίσωση συνέχειας είναι:

Q = A1 V1 = A2 V2 όπου Α1 = Α2 = (π 0,42) / 4 = 0,1256 m2 Eπομένως;

0,2 = 0,1256 V1

V1 = V2 = 1,59 m / s

Eφαρμόζουμε την εξίσωση ποσότητας κίνησης προς την Χ και Ψ

διεύθυνση:

P1 = P2 = ρgh = 1000 x 9,81 x 30 = 294,30 x 103 N / m2

Σχήμα 3.6. Γωνία σωληνωτού αγωγού

Κατά τη Χ διεύθυνση:

P1 A1 – P2 A2 συν 600 – FRX = ρ Q ( V2 συν 600 – V1 )

294,30 x 103 x 0,1256 – 294,30 x 103 x 0,1256 συν 600 - FRX = 1000 x 0,2

(1,59 συν600 – 1,59) ή

36964,08 – 18482,04 - FRX = 200 (-0,795)

FRX = 18,64x 103 N

Κατά τη Ψ διεύθυνση

FRΨ – P2 A2 ημ600 = ρ Q ( V2 ημ600)

FRΨ – 294,3 x 103 x 0,1256 x 0,866 = 1000 x 0,2 ( 1,59 x 0,866)

Page 84: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

80

FRΨ – 32,01x 103 = 0,275 x 103

FRΨ = 32,28 x 103 N

H συνισταμένη FR όπως φαίνεται από το σχήμα δίδεται από τη σχέση:

FR = 2ΨR

2RX F+F = 2323 )10x28,32(+)10x64,18( = 37,27 x 103 N

H FR σχηματίζει γωνία Φ με την Χ διεύθυνση. Επομένως η διεύθυνση

της FR μπορεί να προσδιορισθεί από τη σχέση:

ΕφΦ = RX

ΨR

F

F = 3

3

10x64,18

10x28,32 = 1,7317 Φ = 600 ως προς το οριζόντιο επίπεδο.

Παράδειγμα 3.4

Ένας σωληνωτός αγωγός καταλήγει σε ένα ακροφύσιο (Σχήμα3,7).

Δίδονται Q = 0,4 m3 / s, Διάμετρος Δ1 = 0,70 m, Δ2 = 0,40 m, Πίεση P1 = 26 m

νερού, P2 = 10 m νερού και ρ = 1000 Kg / m3. Nα υπολογισθούν οι δυνάμεις

που ασκούνται από το νερό στο ακροφύσιο κατά την ροή του νερού.

Σχήμα 3.7. Ακροφύσιο

Λύση

Από την εξίσωση συνέχειας Q = A1 V1 = A2 V2 έχουμε:

A1 = (π 0,702) / 4 = 0,3846 m2

A2 = (π 0,402) / 4 = 0,1256 m2

0.4 = 0,3846 V1 V1 = 0,96 m / s

Page 85: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

81

0,4 = 0,1256 V2 V2 = 3,18 m / s

Eφαρμόζουμε την εξίσωση ποσότητας κίνησης κατά την διεύθυνση της

ροής.

Στην περίπτωση αυτή υπάρχει αλλαγή στην ταχύτητα λόγω της

στένωσης (μείωση διαμέτρου) και όχι αλλαγή στην διεύθυνση. Επομένως η

εξίσωση ποσότητας κίνησης θα εφαρμοστεί μόνο κατά την διεύθυνση Χ

(παραλείποντας τον δείκτη).

P1 = ρ g h1 = 1000 x 9,81 x 26,0 = 255,06 103 N / m2

P2 = ρ g h2 = 1000 x 9,81 x 10,0 = 98,1 103 N / m2

P1 A1 – P2 A2 – FR = ρ Q ( V2 – V1 )

255,06 x 103 x 0,3846 – 98,1 x 103 x 0,1256 - FR = 1000 x 0,4 (3,18 – 0,96)

98,096 x 103 – 12,321 x 103 – FR = 0,888 x 103

FR = 84,887 x 103 N (από τα δεξιά προς τα αριστερά)

Η εσωτερική δύναμη που ασκείται από το νερό είναι η ίδια δηλαδή

84,887 Ν από τα αριστερά προς τα δεξιά.

Page 86: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

Τ.Ε.Ι. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ

ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ & ΑΡ∆ΕΥΣΕΩΝ

ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ–

ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ

∆ρ. ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ Ι. ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ 2001

Page 87: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

82

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

4. ΜΕΤΡΗΤΕΣ ΡΟΗΣ

Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται πως μπορεί να μετρηθεί η παροχή σε

ένα κλειστό ή ανοιχτό αγωγό με τη χρησιμοποίηση συσκευών όπως ο

μετρητής Venturi , ο σωλήνας Pitot, οπές, επιστόμια, εκχειλιστές και μετρητές

ταχύτητας. Οι μετρήσεις με τις συσκευές αυτές (εκτός των μετρητών

ταχύτητας) στηρίζονται στην εξίσωση του Bernoulli.

4.1 Μετρητής Venturi

Η συσκευή είναι κατάλληλη για τη μέτρηση της παροχής σε κλειστούς

αγωγούς. Αποτελείται από ένα σωλήνα μεταβλητής διατομής με τρία

συνεχόμενα τμήματα. Στην αρχή υπάρχει ένα κωνικό τμήμα που συγκλίνει,

ακολουθείται από ένα κυλινδρικό τμήμα σταθερής διατομής (λαιμός) και στη

συνέχεια από ένα κωνικό τμήμα που αποκλίνει σταδιακά μέχρι να φθάσει την

αρχική διάμετρο του σωλήνα. Η γωνία συγκλίσεως του κώνου είναι συνήθως

21ο, το μήκος του λαιμού είναι ίσο με τη διάμετρό του ενώ η γωνία

αποκλίσεως του κώνου κυμαίνεται μεταξύ 5ο και 7ο ώστε να περιορίζονται οι

απώλειες ενέργειας. Στο σημείο του πρώτου τμήματος που αρχίζει η σύγκλιση

και στο λαιμό υπάρχουν μπρούντζινοι πιεζομετρικοί δακτύλιοι για την σύνδεση

διαφορικού μανομέτρου ώστε να μπορεί να μετρηθεί η διαφορά του φορτίου

(πίεσης) H. Όπως θα δειχθεί παρακάτω η παροχή σε ένα κλειστό αγωγό είναι

ανάλογη με την H . Η αρχή λειτουργίας του μετρητή στηρίζεται στο γεγονός

ότι η στένωση προκαλεί αλλαγή της πίεσης η οποία μπορεί να μετρηθεί και

μετά να υπολογισθεί η παραχή.

Ο τύπος του μετρητή Venturi χαρακτηρίζεται συνήθως από τις

διαμέτρους σωλήνα και λαιμού, π.χ. ο τύπος 6’’x 4’’ σημαίνει μετρητή Venturi

που συνδέεται με σωληνωτό αγωγό με διάμετρο 6 ιντσών και έχει διάμετρο

λαιμού 4 ιντσών.

Page 88: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

83

Στο σχήμα 4.1 ένα τρίτο πιεζόμετρο έχει προστεθεί για να γίνει πιο

κατανοητό τι συμβαίνει όταν νερό ρέει στο σωλήνα. Η εξίσωση συνέχειας

εφαρμοζόμενη για τα δεδομένα του Σχήματος 4.1 θα είναι:

Σχήμα.4.1 Μετρητής Venturi

Q = A1 V1 = A2 V2 = A3 V3 (4.1)

Όπου Α είναι τα εμβαδά των διατομών του μετρητή και V η μέση

ταχύτητα ροής. Επειδή Α2 < Α1 έπεται ότι V2 > V1 δηλαδή η ταχύτητα αυξάνει

στο συγκλίνον τμήμα του κώνου και έχει μεγίστη τιμή στο λαιμό. Εάν ο

σωλήνας Venturi είναι οριζόντιος τότε το φορτίο θέσεως Ζ μπορεί να

παραληφθεί από την εξίσωση ενέργειας και για το σχήμα 4.1 θα ισχύει:

g2

V 2

1 + γ1P =

g2

V 2

2 + γ

P2 (4.2)

Eπειδή V2 > V1 έπεται από την εξίσωση (4.2) ότι Ρ2 < Ρ1 ή ότι στο λαιμό η

πίεση έχει την ελαχίστη τιμή. Στο Σχήμα 4.1 φαίνεται η Γραμμή Ολικής

Page 89: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

84

Ενέργειας (ΓΟΕ) ή ολικό ύψος ενέργειας για ιδανικά ρευστά που προφανώς

είναι οριζόντια γιατί δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας και θα ισχύει V1 = V3

και P1 = P3. Κατά τη ροή όμως των πραγματικών ρευστών υπάρχει απώλεια

ενέργειας η οποία βαίνει πάντοτε μειούμενη προς την κατεύθυνση της ροής

συνεπεία της τριβής και της τυρβώδους ροής. Η απώλεια ενέργειας

εμφανίζεται σαν πτώση της πιέσεως (ή του φορτίου) μεταξύ των δύο

τμημάτων δηλαδή Ρ1> Ρ3. Η γραμμή που συνδέει τα επίπεδα των πιεζομέτρων

στα τμήματα 1, 2 και 3 αναφέρεται σαν πιεζομετρική γραμμή ή υδραυλική

κλίση ή Γραμμή Υδραυλικού Φορτίου (ΓΥΦ). Εάν η ΓΥΦ πέσει κάτω από

την αξονική γραμμή του μετρητή τότε θα έχουμε αρνητική πίεση ή μύζηση που

θα καταλήξει σε αναρρόφηση αέρα στο πιεζόμετρο και τον αγωγό. Ο

σχεδιασμός πρέπει να είναι τέτοιος ώστε να αποκλείεται αυτό το ενδεχόμενο.

Το ρευστό ρέει προς την κατεύθυνση της υδραυλικής κλίσης δηλαδή από την

υψηλότερη πίεση προς την μικρότερη. Εξαίρεση στον γενικό αυτό κανόνα

είναι η ροή σε αγωγό υπό πίεση και για μικρά τμήματα όπως συμβαίνει μεταξύ

του τμήματος 2 και 3 στο σχήμα 4.1 όπου Ρ3 > Ρ2 ενώ η ροή είναι από

αριστερά προς τα δεξιά. Το γεγονός όμως αυτό παρεμποδίζει τη ροή και έχει

σαν συνέπεια τη μείωση της ταχύτητας ροής V3 < V2.

Η εξίσωση που δίνει την παροχή στον αγωγό βρίσκεται εύκολα με την

βοήθεια των εξισώσεων συνέχειας και ενέργειας. Εάν ο μετρητής Venturi είναι

οριζόντιος τότε θα έχουμε z1 = z2 και θα ισχύει η εξίσωση (4.2). Από την

εξίσωση 4.1 έχουμε:

A1 V1 = A2 V2 ή V1 = A2 V2 / A1 (4.3)

Aπό την 4.2 έχουμε

Ρ1 / ρg – Ρ2 /ρg = V22 /2g – V1

2 /2g (4.4)

Το αριστερό μέρος της εξισώσεως (4.4) (Ρ1 – Ρ2 ) / ρg όμως είναι η

διαφορά των πιεζομετρικών ενδείξεων H του σχήματος 4.1. Αντικαθιστώντας

την τιμή του V1 από την εξίσωση 4.3 στην εξίσωση 4.4 θα έχουμε:

H = V22 /2g – (A2 V2 / A1 )2 / 2g ή

Page 90: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

85

H = g2

V 2

2 1 – ( A2 / A1 )2 ή

V2 = - )A/(A1

gH22

12

Eπειδή όμως η θεωριτική παροχή Qθ = Α2 V2 θα έχεουμε:

Qθ = Α2 - )A/(A1

gH22

12

(4.5)

H πραγματική παροχή QA βρίσκεται με την εισαγωγή στην εξίσωση του

συντελεστή παροχής CD :

QA = CD Α2 - )A/(A1

gH22

12

(4.6)

CD έχει τιμές γύρω στο 0,97

Στην περίπτωση που έχουμε ένα κεκλιμένο μετρητή Venturi στον οποίο

έχει τοποθετηθεί διαφορικό μανόμετρο (Σχήμα. 4.2) εφαρμόζουμε την

εξίσωση Bernulli στα σημεία 1 και 2 και έχουμε:

z1 + g2

V 2

1 + gρ

P1 = z2 + g2

V 2

2 + gρ

P2 με αναδιάταξη των όρων έχουμε

) ( 2g

V -

g2

V 21

22 = ) (

ρg

P -

ρg

P 21 + (z1 – z2 ) (4.7)

Aπό την εξίσωση συνέχειας έχουμε:

A1 V1 = A2 V2 ή V2 = (A1 / A2) V1 και αντικαθιστώντας στην 4.7 έχουμε

Page 91: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

86

g2

V 2

1 2

1

A

A 2- 1 = ) (

ρg

P -

ρg

P 21 + ( z1 – z2 ) και επομένως

V1 = )( )z - (z +ρg

P -

ρg

Px

1A/A

g221

21

-21

)(

2 (4.8)

Στην εξίσωση αυτή είναι προτιμότερο να αντικατασταθούν τα z1 και z2

με τα δεδομένα του διαφορικού μανομέτρου (Σχήμα 4.2).

Σχήμα.4.2 Μετρητής Venturi με μανόμετρο

Εάν ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού του αγωγού, ρΜ η πυκνότητα του

υγρού του μανομέτρου και hM η διαφορά του μανομετρικού υγρού στα δύο

σκέκη του μανομέτρου και CD ο συντελεστής παροχής, τότε η παροχή δίδεται

από την εξίσωση:

QA = CD A1 1 - )/ΑΑ(

1 - )ρ/ρ(gh2

22 1

ΜM

(4.9)

Page 92: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

87

4.2 Σωλήνας Pitot

Ο σωλήνας Pitot χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της τοπικής ταχύτητας

σε ένα σημείο της ροής ενός συμπιεστού αγωγού ή σε ένα ανοιχτό αγωγό.

Συνήθως μετράται η ταχύτητα σε διάφορα σημεία της διατομής και

υπολογίζεται η μέση ταχύτητα V και στη συνέχεια από τη σχέση Q = A V

υπολογίζεται η παροχή

Σχήμα. 4.3 Σωλήνας Pitot

Η πιο απλή μορφή ενός σωλήνα Pitot αποτελείται από ένα λεπτό

γυάλινο σωλήνα ανοιχτό από τα δύο άκρα του με δύο σκέλη που σχηματίζουν

ορθή γωνία (Σχήμα 4.3)

Το οριζόντιο τμήμα του σωλήνα τοποθετείται μέσα στο υγρό του

σωλήνα παράλληλα και αντίθετα προς τη διεύθυνση ροής. Η στατική πίεση

στο σημείο 1 Ρ1/ρg δείχνεται από το ύψος του υγρού στον πιεζομετρικό

σωλήνα πάνω από το σημείο 1. Ένα μέρος από το κινούμενο ρευστό

εισέρχεται στο σωλήνα Pitot από το άνοιγμα που είναι στο σημείο 2 και

ανέρχεται στο κατακόρυφο σκέλος κατά Ρ2/ρg (ολικό ύψος πιέσεως ή ύψος

στάσιμης πιέσεως). Το υγρό στο σημείο 2 ηρεμεί και επομένως έχει μηδενική

ταχύτητα. Το σημείο αυτό ονομάζεται στάσιμο σημείο (stagnation point). Στο

σημείο 2 προφανώς το ύψος ταχύτητας V2/2g της ροής μετράται με το

ισοδύναμο ύψος δυναμικής πιέσεως H (Σχήμα 4.3) με τη μετατροπή της

Page 93: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

88

κινητικής ενέργειας σε στατική πίεση. Εφαρμόζοντας την εξίσωση Bernulli στα

σημεία 1 και 2 έχουμε :

z1 + g2

V 2

1 + γ1P = z2 +

g2

V 2

2 + γ

P2

Επειδή όμως z1 = z2 και V2 = 0 (στάσιμο σημείο) έχουμε:

g2

V 2

1 = ρg

P

P 12 - όμως H = ρg

P - P 12 και επομένως (4.10)

V1 = gH2 (4.11)

Για να έχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια θα πρέπει να εισαγάγουμε

στην εξίσωση (4.11) ένα συντελεστή C για τις διαταραχές που προκαλούνται

στη ροή του ρευστύ από τον σωλήνα. Οι τιμές του C κυμαίνονται από 0,98

έως 0,99.

V1 = C gH2 (4.12)

Σχήμα. 4.4. Σωλήνας Pitot με μανόμετρο

Ο σωλήνας Pitot μπορεί να συνδυασθεί με διαφορικό μανόμετρο (Σχήμα

4.4) έτσι ώστε οι μετρήσεις του διαφορικού μανομέτρου να δίνουν το ύψος της

δυναμικής πιέσεως. Στην περίπτωση που ο σωλήνας Pitot και το μανόμετρο

συνδυασθούν σε ένα όργανο αυτό ονομάζεται σύνθετος σωλήνας Pitot ή

σωλήνας του Prandtl του οποίου η συντελεστής C ισούται με τη μονάδα. Εάν

Page 94: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

89

ρ είναι η πυκνότητα του υγρού του ρευστού και ρΜ η πυκνότητα του υγρού του

μανομέτρου εφαρμόζοντας την εξίσωση του μανομέτρου θα έχουμε:

γ1P ρ + h ρ + Η ρΜ = (h + H) ρ +

γ

P2 ρ που τελικά γίνεται

γ

P - P2 = H ( 1 -

ρ

ρΜ ) (4.13)

Και με την εισαγωγή του συντελεστή C γίνεται:

V1 = C ) ( 1 - ρ

ρ gH2 Μ (4.15)

4.3 Eκροή από οπές

4.3.1 - Γενικά

Στην υδραυλική «οπή» ονομάζουμε ένα άνοιγμα κανονικού κλειστού

σχήματος που βρίσκεται στα τοιχώματα (παρειές) ή τον πυθμένα ενός δοχείου

δια μέσου της οποίας γίνεται η εκροή του υγρού που περιέχει το δοχείο. Έτσι

ανάλογα με το σχήμα οι οπές διακρίνονται σε κυκλικές, ορθογώνιες,

τετράγωνες, τριγωνικές κ.λ.π. Οι οπές χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση της

παροχής αλλά και για τον έλεγχο της ροής. Η μέτρηση της παροχής

επιτυγχάνεται με την εύρεση της ταχύτητας εκροής και στην συνέχεια την

εφαρμογή της εξίσωσης συνέχειας.

α) Μικρές οπές: Η διάμετρος της οπής έναι μικρή σε σχέση με το φορτίο που

προκαλεί τη ροή και έτσι η ταχύτητα της φλέβας που εξέρχεται από την οπή

είναι η ίδια σε όλα τα σημεία της διατομής. Γενικά οι μικρές οπές έχουν σχήμα

κυκλικό.

β) Μεγάλες οπές: Η διάμετρος της οπής είναι μεγάλη σε σχέση με το φορτίο,

Η, του νερού που προκαλεί την ροή. Έτσι το Η στην κορυφή της οπής είναι

διαφορετικό από το Η της βάσης της οπής με συνέπεια η ταχύτητα εκροής στη

φλέβα να διαφέρει στα διάφορα σημεία της διατομής (κορυφή και βάση). Οι

μεγάλες οπές έχουν συνήθως ορθογώνιο σχήμα.

Page 95: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

90

Οι διαφορές αυτές έχουν σαν αποτέλεσμα να χρειάζεται να ακολουθηθεί

διαφορετική προσέγγιση για τον υπολογισμό των εξισώσεων που δίνουν την

παροχή. Στις μικρές οπές η εφαρμόζεται η εξίσωση του Bernulli ενώ στις

μεγάλες οπές χρειάζεται να γίνει ολοκλήρωση.

Μία οπή ονομάζεται λεπτής παρειάς όταν η υγρή φλέβα εφάπτεται στην

οπή μόνο στα εσωτερικά χείλη της περιμέτρου της.

4.3.2 Ελεύθερη ροή από μικρή οπή

Ας θεωρήσουμε μία μικρή οπή διατομής Α που βρίσκεται στο πλευρικό

τοίχωμα μιας μεγάλης δεξαμενής. Μία φλέβα νερού εξέρχεται από την οπή και

ρέει ελεύθερα στην ατμόσφαιρα (Σχήμα 4.5).

Η ροή μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι πρακτικά σταθερή για μικρά σχετικά

χρονικά διαστήματα. Για τον υπολογισμό της παροχής εφαρμόζεται η εξίσωση

του Bernoulli κατά μήκος μιας γραμμής ροής που συνδέει το σημείο 1 στην

επιφάνεια του νερού με το σημείο 2 που βρίσκεται στο κέντρο της

συνεσταλμένης διατομής σε μικρή απόσταση από το επίπεδο της οπής.

Σχήμα 4.5 Εκροή από μικρή οπή

Τα υγρά μόρια που ακολουθούν την τροχιά της παραπάνω γραμμής ροής

βγαίνουν από τη δεξαμενή κάθετα προς το επίπεδο της οπής ενώ τα άλλα

υγρά μόρια και ιδιαίτερα όσα είναι κοντά στα πλευρικά τοιχώματα διαγράφουν

καμπυλόγραμμες τροχιές που συνεχίζονται και έξω από το επίπεδο της οπής.

Page 96: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

91

Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να δημιουργείται μία στένωση της φλέβας σε

μικρή φλέβας (απόσταση έξω από το επίπεδο της οπής (Σχήμα 4.5). Η

ελαχίστη διατομή της στένωσης ονομάζεται συνεσταλμένη διατομή (vena

contracta) και βρίσκεται σε μία απόσταση περίπου 0,5D έως 1,0D από την

οπή διαμέτρου D. Στο επίπεδο της συνεσταλμένης διατομής οι γραμμές ροής

είναι πλέον παράλληλες ενδεικτικό ότι η πίεση είναι ίση με αυτήν του

περιβάλλοντος, δηλαδή την ατμοσφαιρική, ενώ στη συνέχεια μπορεί να

αποκλείνουν ελαφρώς.

Εφαρμόζοντας την εξίσωση Bernoulli στα σημεία 1 και 2 (Σχήμα 4.5) για

σταθερή ασυμπίεστη ροή χωρίς απώλειες ενέργειας θα έχουμε:

z1 + g2

V 2

1 + γ1P = z2 +

g2

V 2

2 + γ

P2

Για μεγάλη δεξαμενή η ταχύτητα V1 = 0. Oι πιέσεις Ρ1 και Ρ2 είναι ίσες με την

ατμοσφαιρική και z1 = H ενώ z2 = 0 επειδή λαμβάνουμε επίπεδο αναφοράς

εκείνο που διέρχεται από το σημείο 2. Επομένως η εξίσωση γίνεται:

H = V22 / 2g ή

V2 = gH2 (4.1)

H εξίσωση (4.1) είναι γνωστή σαν τύπος του Torricelli που

υπολογίζεται η θεωρητική ταχύτητα VΘ στη συνεσταλμένη διατομή.

Ορίζουμε σαν συντελεστή ταχύτητας Cv το λόγο της πραγματικής

ταχύτητας προς την θεωρητική δηλαδή:

Cv = Θ

π

V

V (4.2)

Ο λόγος της συνεσταλμένης διατομής Αc προς την διατομή Α της οπής

ονομάζεται συντελεστής συστολής Cc και δίνεται από τη σχέση:

Page 97: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

92

Cc = A

Ac (4.3)

Aπό τις εξισώσεις (4.1) και (4.2) παίρνουμε:

V2π = Cv gH2 (4.4)

Η παροχή δίδεται από την εξίσωση συνέχειας Q = A V2π και αν εισάγουμε

τους δύο συντελεστές θα πάρουμε:

Q = Cv Cc A gH2 (4.5)

ή

Q = Cd A gH2 (4.6)

Όπου:

Cd = Cv Cc (4.7)

Επειδή ο συντελεστής ταχύτητας Cv έχει τιμές κοντά στην μονάδα π.χ. 0,95

έπεται ότι η τιμή του συντελεστή εκροής, Cd, εξαρτάται κυρίως από τις τιμές

του συντελεστή συστολής Cc. Οι τιμές του συντελεστή Cc κυμαίνονται από

0,60 μέχρι 0,97 ανάλογα με το σχήμα και την κατάσταση των χειλέων της

οπής.

Σχήμα 4.6 Τύποι οπών και τιμές του συντελεστή Cd.

Επομένως οι τιμές του συντελεστή Cd είναι μεγαλύτερες όταν τα χείλη των

οπών είναι στρογγυλευμένα σε σύγκιση με τις οπές που φέρουν αιχμηρά χείλη

Page 98: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

93

επιδή στην πρώτη περίπτωση η συστολή της φλέβας είναι μικρότερη (Σχήμα

4.6).

4.3.3 Bυθισμένες οπές

Η περίπτωση αυτή αφορά την ροή υγρού από μία δεξαμενή σε μία άλλη

διπλανή δια μέσου μιας οπής που βρίσκεται στο διαχωριστικό τοίχωμα των

δύο συνεχόμενων δεξαμενών (Σχήμα 4.7)

Σχήμα 4.7 Βυθισμένη οπή

Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ των σημείων 1 που

βρίσκεται στην επιφάνεια της ανάντη δεξαμενής και του σημείου 2 στο κέντρο

της συνεσταλμένης διατομής θα έχουμε (υποθέτουμε ροή χωρίς απώλειες

ενέργειας και λαμβάνουμε σαν επίπεδο αναφοράς εκείνο που διέρχεται από το

σημείο 2 ) :

z1 + g2

V 2

1 + γ1P = z2 +

g2

V 2

2 + γ

P2

Για τις συνθήκες της ροής θα ισχύει:

Z1 = H1 , V1 = 0, P1 = 0, Z2 = 0 και V2 η ταχύτητα που ζητείται να βρεθεί και Ρ2

= Η2 δηλαδή η υδροστατική πίεση σε βάθος Η2 m υγρού. Οπότε θα έχουμε:

Page 99: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

94

H1 = g2

V 2

2 + H2 ή

V2 = [ ]2 - 1 HH g2 ή

V2 = dgH2 (4.8)

H εξίσωση αυτή είναι ίδια με την (4.1) με τη διαφορά αντί του φορτίου

πάνω από την οπή Η χρησιμοποιείται το φορτίο Ηd. Εάν το επίπεδο του νερού

στις δύο δεξαμενές του Σχήμα 4.7 είναι στο ίδιο επίπεδο Ηd = 0 και προφανώς

δεν υπάρχει ροή. Η παροχή Q δίδεται από την παρακάτω εξίσωση:

Q = Cd A dgH2 (4.9)

Όπου Cd είναι ο συντελεστής εκροής και Α η διατομή της οπής. Μια

αντιπροσωπευτική τιμή του συντελεστή Cd είναι 0,8.

Στην περίπτωση βυθισμένης οπής που η ταχύτητα V1 είναι

αξιοσημείωτη η παροχή δίνεται από την εξίσωση:

Q = C "d A [ V2 + 2

22

1 d V- V+ gH2 ] (4.10)

Όπου C "d = 0,986 Cd

4.3.4 Εκροή από μεγάλες οπές

Oι μεγάλες οπές συναντώνται κυρίως σε δεξαμενές από μπετόν και

είναι προτιμότερο να έχουν σχήμα ορθογώνιο ή τετράγωνο. Όπως

προαναφέρθηκε το φορτίο Η είναι διαφορετικό στην κορυφή (Η1) και στη βάση

(H2) της οπής και επομένως και η ταχύτητα εκροής τόσο στην κορυφή όσο και

στη βάση της οπής είναι διαφορετικές. Επί πλέον επειδή η μεταβολή της

ταχύτητας εκροής δεν είναι γραμμική για να πάρουμε το μέσο όρο

Page 100: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

95

ακολουθείται η παρακάτω προσέγγιση. Έστω μία λεπτή οριζόντια λωρίδα της

φλέβας εκροής με μήκος L, ίσο δηλαδή με το πλάτος της ορθογώνιας οπής

(Σχήμα 4.8) και στοιχειώδες ύψος dh και εμβαδόν dA. H βρίσκεται σε βάθος h

κάτω από την επιφάνεια του νερού της δεξαμενής. Επομένως θα ισχύουν:

Σχήμα 4.8 Εκροή από μεγάλη ορθογώνια οπή

dA = L dh

V = gh2

dQ = dA V = L dh gh2 και με αναδιάταξη θα έχουμε:

dQ = L gh2 dh

και ολοκληρώνοντας με όρια Η1 και Η2 που είναι τα βάθη της κορυφής και της

βάσης της οπής θα έχουμεγια τη θεωρητική παροχή (τα L και g είναι

σταθερές):

QΘ = L g2 h dh ή

QΘ = 3

2 L g2 ( H 2/3

2 - H 2/31 ) (4.11)

Page 101: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

96

Η πραγματική παροχή Q βρίσκεται αν εισάγουμε το συντελεστή εκροής

Cd οπότε θα έχουμε:

Q = 3

2 Cd L g2 ( H 2/3

2 - H 2/31 ) (4.12)

Οι τιμές του συντελεστή Cd διαφέρουν σημαντικά ανάλογα με το σχήμα

και το βάθος της οπής και δεν είναι πολλές φορές εύκολο να προσδιορισθούν,

γι’ αυτό συνήθως χρησιμοποιούνται οι μικρές οπές.

4.4 Eκκένωση δεξαμενής

Ένα πρόβλημα που συχνά αντιμετωπίζουν οι τεχνολόγοι είναι ο

υπολογισμός του χρόνου που χρειάζεται να αδειάσει μία δεξαμενή. Ο χρόνος

εκκένωσης μιας δεξαμενής που χρησιμοποιείται για παράδειγμα σαν

απόθηκευτικός χώρος για την άρδευση ή την ύδρευση μιάς περιοχής είναι

βασική παράμετρος για την ομαλή λειτουργία του δικτύου, ιδιαίτερα όταν οι

ανάγκες σε νερό δεν καλύπτονται από την παροχή της βασικής πηγής

υδροδότησης.

Έστω η δεξαμενή του Σχήματος 4.9 με διατομή Α που περιέχει μια

ορισμένη ποσότητα υγρού. Έστω επίσης ότι η διατομή της οπής εκκένωσης Α0

που βρίσκεται είτε στη βάση είτε στο πλευρικό τοίχωμα της δεξαμενής. Επειδή

δεν υπάρχει αναπλήρωση του νερού που εκρέει από την οπή η στάθμη της

επιφάνειας του νερού στη δεξαμενή θα πέφτει βαθμιαία. Προφανώς η ροή

είναι ασταθής και συνεπώς δεν ισχύει η εξίσωση Bernoulli. Eπειδή όμως η

πτώση της στάθμης του υγρού είναι βαθμιαία μπορούμε να δεχθούμε ότι

ισχύει η εξίσωση του Bernoulli. Επομένως η ταχύτητα εκροής δίνεται από την

εξίσωση:

V = Cv gh2

και η παροχή από την εξίσωση:

Q = Cd A0 gh2 (4.13)

Page 102: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

97

Aν dh (Σχήμα 4.9) είναι η απειροστή πτώση του φορτίου στον

απειροστό χρόνο dt τότε η μεταβολή του όγκου του υγρού στο χρόνο αυτό θα

είναι Αdh. Αλλά η μείωση του όγκου του υγρού στη δεξαμενή ισούται με την

ποσότητα που εκρέει από την οπή, δηλαδή θα ισχύει:

Σχήμα 4.9 Εκκένωση δεξαμενής

- Α dh = Q dt ή Q = - dt

Adh (4.14)

To αρνητικό πρόσημο δηλώνει την μείωση του βάθους h με την αύξηση

του χρόνου. Από τις εξισώσεις (4.13) και (4.14) έχουμε:

Cd A0 gh2 = - dt

Adh ή

dt = 2gAC

1

0 d A

h

dh

Page 103: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

98

Aν ολοκληρώσουμε την εξίσωση αυτή για τα χρονικά όρια από t = 0

μέχρι t που αντιστοιχούν τα βάθη h = h1 μέχρι h2 θα έχουμε:

2

1

t

t

dt = - 2gAC

1

0 d η

2

1

H

H

A h-1/2 dh ή

t = - 2gAC

1

0 d η

2

1

H

H

A h-1/2 dh (4.15)

Για να ολοκληρώσουμε την εξίσωση (4.15) θα πρέπει να εκφράσουμε

την διατομή Α σαν συνάρτηση του h. Aν η διατομή είναι γνωστή τότε το α

βγαίνει έξω από το ολοκλήρωμα και θα έχουμε:

t = - 2g AC

A2

0 d η

2

1

H

H

ωα h-1/2 dh = - 2g AC

A2

0 d [ h 2/1

2 - h 2/11 ] ή

t = 2g AC

A2

0 d ( 1h - 2h ) (4.16)

Στην περίπτωση που η οπή βρίσκεται στον πυθμένα της δεξαμενής και

εκκενωθεί όλη η δεξαμενή δηλαδή h2 = 0 τότε ο ολικός χρόνος εκκένωσης της

δεξαμενής δίνεται κατά προσέγγιση από την εξίσωση:

Τ = 2g AC

A2

0 d 1h (4.17)

4.5 Ροή δια μέσω επιστομίων

Το επιστόμιο είναι συνήθως ένα μικρό κομμάτι σωλήνα που

προσαρμόζεται σε μία οπή (Σχήμα 4.10) μέσα από την οποία γίνεται η εκροή

του υγρού. Το μήκος του επιστομίου κυμαίνεται από 2D μέχρι 4D (όπου D η

διάμετρος του επιστομίου) και επιφέρει αύξηση ή ελάττωση της παροχής που

εκρέει. Μία οπή με παχύ τοίχωμα (π.χ. οπή σε τσιμεντοδεξαμενή) μπορέι να

θεωρηθεί σαν επιστόμιο. Τα επιστόμια είναι διαφόρων τύπων όπως εισέχοντα,

εξέχοντα, αποκλίνοντα και συγκλίνοντα (Σχήμα 4.10).

Page 104: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

99

Σχήμα 4.10 (α) Κυλινδρικό εξέχον επιστόμιο με στρογγυλευμένα χείλη

(β) Κυλινδρικό εξέχον επιστόμιο με αιχμηρά χείλη

(γ) Κυλινδρικό εισέχον – εξέχον επιστόμιο ή Borda

Η ροή στα επιστόμια έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με τη ροή στις οπές με

λεπτά χείλη μέχρι τη συνεσταλμένη διατομή.Μετά όμως τη συνεσταλμένη

διαστολή οι γραμμές ροής αποκλίνουν και η φλέβα του υγρού καταλαμβάνει

όλη τη διατομή του επιστομίου, όταν φυσικά το επιστόμιο έχει το αναγκαίο

μήκος. Στη περιοχή της διεσταλμένης διατομής πλησίον στην εσωτερική

επιφάνεια του επιστομίου σχηματίζεται θύλακας μέσα στον οποίο το υγρό

κινείται με μορφή τοπικών στροβίλων με τελική συνέπεια το τμήμα αυτό του

ρευστού να θεωρείται «στάσιμο» σε σχέση με την ροή στο επιστόμιο . Στη

συνεσταλμένη διατομή η ταχύτητα έχει τη μεγίστη τιμή ενώ η πίεση την

ελαχίστη. Οι απώλειες ενέργειας στο γραμικό τμήμα του επιστομίου είναι

αμελητέες ενώ είναι σημαντικές στο στάσιμο τμήμα λόγω των στροβίλων. Οι

συντελεστές συστολής, ταχύτητας και παροχής εξαρτώνται από το τύπο του

επιστομίου, τη μορφή των χειλέων στο σημείο εισόδου και το μήκος του. Οι

συντελεστές συνήθως προσδιορίζονται στο εργαστήριο πειραματικά εκτός

ελαχίστων περιπτώσεων που μπορούν να προσδιοριστούν και θεωρητικά. Στο

Σχήμα 4.10 δίδονται μερικές τιμές συντελεστών κυλινδρικών επιστομίων και

στο Πινακα 4.1 τιμές συντελεστών κωνικών συγκλινόντων επιστομίων.

Στα αποκλίνοντα επιστόμια η μεγίστη γωνία του ανοίγματος που

επιτρέπεται είναι θ = 80 . Για θ > 80 δενισχύουν οι συντελεστές. Η παροχή

Page 105: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

100

γίνεται μεγίστη για θ0 =5 και μήκος επιστομίου ίσο με 9D. Η παροχή των

επιστομίων δίδεται από το γενικό τύπο

Q = Cd A gh2

Πινακας 4.1. Συντελεστές σε κωνικά συγκλίνοντα επιστόμια

1. ΚΩΝΙΚΑ ΣΥΓΚΛΙΝΟΝΤΑ ΕΠΙΣΤΟΜΙΑ

ΜΕ ΑΙΧΜΗΡΑ ΧΕΙΛΗ

Γωνία θ Cd

00 0,83

50 45΄ 0,94

110 15΄ 0,92

220 30΄ 0,865

450

2. ΚΩΝΙΚΑ ΣΥΓΚΛΙΝΟΝΤΑ ΕΠΙΣΤΟΜΙΑ

ΜΕ ΣΤΡΟΓΚΥΛΕΥΜΕΝΑ ΧΕΙΛΗ

Γωνία θ Cd

00 0,97

50 45΄ 0,95

110 15΄ 0,92

220 30΄ 0,88

450 0,75

4.5.1 Pοή μέσω επιστομίων υπό την επίδραση πίεσης

Για μικρά επιστόμια που βρίσκονται στην παρειά μιας δεξαμενής υπό

την επίδραση εξωτερικής πίεσης (p) που ασκείται από την επιφάνεια του

υγρού στη δεξαμενή η ταχύτητα, η παροχή και το μήκος εκτόξευσης του νερού

L (Σχήμα 4.11) δίδονται από τις παρακάτω εξισώσεις:

Page 106: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

101

V = Cv ) ( γ

p + h g2 1 (4.18)

Q = Cd A ) ( γ

p + h g2 1 (4.19)

L = 2 2 1 h γ

p +h ) ( (4.20)

Σχήμα. 4.11 Δεξαμενή με επιστόμιο και εξωτερική πίεση

4.6 Ροή πάνω από εκχειλιστές

4.6.1 Γενικά

Οι εκχειλιστές χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση της παροχής σε μικρές

ανοιχτές διώρυγες ή για μετρήσεις μικρών παροχών σε υδραυλικά εργαστήρια

που απαιτείται ακρίβεια. Οι εκχειλιστές αποτελούνται από μία λεία, επίπεδη

και κατακόρυφη πλάκα (συνήθως μεταλλική από ανοξείδωτο χάλυβα) που

τοποθετείται κάθετα προς τη διεύθυνση της ροής και αναγκάζουν το νερό να

Page 107: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

102

περάσει πάνω από τον εκχειλιστή. Η πάνω παρειά του εκχειλιστή είναι πολύ

λεπτή και έχει πάχος συνήθως μικρότερο από 1,6 mm, ονομάζεται δε στέψη.

Ο τύπος αυτός του εκχυλιστή ονομάζεται «εκχειλιστής λεπτής στέψεως» και η

ακρίβεια μέτρησης της παροχής κυμαίνεται σε 1 – 2% (Σχ.4.8). Οι εκχειλιστές

αυτοί επειδή είναι πολύ λεπτοί δεν χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση παροχών

σε ποτάμια γιατί θα υποστούν ζημιές. Στις περιπτώσεις αυτές

χρησιμοποιούνται ανθεκτικές κατασκευές από μπετό και η αρχή λειτουργίας

τους διαφέρει από τους εκχειλιστές λεπτής στέψεως. Όταν οι εκχειλιστές

χρησιμοποιούνται και για την ανύψωση της στάθμης του νερού ονομάζονται

φράγματα. Στα φράγματα η στέψη είναι ευρεία. Τα πιο συνήθη σχήματα

εκχειλιστών είναι το ορθογώνιο, το τριγωνικό και το τραπεζοειδές. Υπάρχουν

όμως και εκχειλιστές άλλων σχημάτων όπως παραβολικό κ.λ.π.

Αν η στέψη του εκχειλιστή εκτείνεται σε ολόκληρο το πλάτος του αγωγού

που μετράται η παροχή (b = B) ονομάζεται εκχειλιστής χωρίς πλευρική

συστολή ενώ αν το μήκος της στέψης είναι μικρότερο από το πλάτος του

αγωγού(b < B) ονομάζεται εκχειλιστής με πλευρική συστολή (Σχήμα 4.12).

Ανάλογα με τις συνθήκες ροής και τη θέση της φλέβας νερού που

διέρχεται πάνω από τον εκχειλιστή οι εκχειλιστές διακρίνονται στις πςρακάτω

κατηγορίες:

α) Ελεύθεροι εκχυλιστές με ελεύθερη φλέβα νερού όταν η φλέβα νερού

που διέρχεται πάνω από τον εκχειλιστή ρέει ελεύθερα προς το τμήμα του

αγωγού κατάντη του εκχειλιστή χωρίς το νερό κατάντη της στέψης να

επηρεάζει τη ροή. Στη περίπτωση αυτή η πάνω αλλά και η κάτω επιφάνεια της

υπερχειλίζουσας φλέβας βρίσκονται υπό ατμοσφαιρική πίεση (Σχήμα 4.13 α).

Η ροή αυτή είναι επιθυμητή και απαιτεί αρκετό φορτίο ανάντη.

β) Ελεύθεροι εκχειλιστές με προσκολλημένη φλέβα Στη περίπτωση αυτή

δεν υπάρχει αερισμός στη κάτω επιφάνεια της υπερχειλίζουσας φλέβας και το

νερό ρέει προσκολλημένο στην κατάντη επιφάνεια του εκχειλιστή. Οι συνθήκες

αυτές είναι ανεπιθύμητες για μετρήσεις παροχών

γ) Βυθισμένοι εκχειλιστές όταν η στάθμη του νερού κατάντη του

εκχειλιστή είναι πάνω από το επίπεδο της στέψεως.

Page 108: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

103

Σχήμα 4.12 Εκχειλιστής λεπτής στέψεως με πλευρική συστολή

Σχήμα 4.13 Ελεύθερη φλέβα εκχειλιστή (α) τομή κατά μήκος (β) εγκάρσια

τομή

Σχήμα 4.14 Ελεύθερος εκχειλιστής με προσκολλημένη φλέβα

Page 109: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

104

4.6.2 Εκροή από ορθογώνιους εκχειλιστές

Για τον υπολογισμό της παροχής σε ορθογώνιο εκχειλιστή με πλευρική

συστολή ακολουθείται η ίδια μέθοδος που εφαρμόσθηκε για τον υπολογισμό

της παροχής σε μεγάλες ορθογώνιες οπές. Η μέθοδος υπολογισμού της

παροχής του εκχειλιστή βασίζεται στην εφαρμογή της εξίσωσης του Bernoulli

σε ένα σημείο 1 στην επιφάνεια του νερού μικρή απόσταση ανάντη της στέψης

και σε ένα σημείο 2 στην υπερχειλίζουσα φλέβα και σε βάθος, h, κάτω από

την επιφάνεια του νερού (Σχήμα 4.15).

Σχήμα 4.15 Ορθογώνιος εκχειλιστής με πλευρική συστολή. b μήκος

της στέψης, LE πλάτος εκχειλίζουσας φλέβας νερού

Για την επίλυση του προβλήματος του υπολογισμού της παροχής

γίνονται οι παρακάτω παραδοχές: α) η ταχύτητα ανάντη του εκχειλιστή είναι

αμελητέα (εκροή δηλαδή από μία μεγάλη δεξαμενή δια μεσω του εκχειλιστή)

και η πίεση ίση με την ατμοσφαιρική οπότε θα ισχύει V1 = 0 και P1 =0 β) η

φλέβα βρίσκεται υπο ατμοσφαιρική πίεση δηλαδή P2 = 0 γ) δεν υπάρχουν

απώλειες ενέργειας δ) η ταχύτητα του νερού στη φλέβα μεταβάλλεται σε

συνάρτηση με το βάθος, h, δηλαδή V = gh2 , ενώ δεν υπάρχουν

διαφοροποιήσεις στην ταχύτητα κατά μήκος της στέψης, b. στ) το πλάτος της

φλέβας είναι b όσο και το μήκος της στέψης, δηλαδή παραδεχόμαστε ότι δεν

υπάρχει συστολή της φλέβας και ζ) οι γραμμές ροής πάνω από τη στέψη είναι

οριζόντιες.

Page 110: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

105

Αν μία απειροστή οριζόντια λωρίδα υγρού (Σχήμα 4.15) έχει μήκος b και

πάχος dh και βρίσκεται σε βάθος h και dA το εμβαδόν της λωρίδας θα ισχύει:

dA = b dh

V = gh2

dQ = b gh2 dh

Για να προσδιορίσουμε την ολική θεωρητική παροχή QΘ θα πρέπει να

ολοκληρώσουμε την εξίσωση με όρια h = 0 και h = H, έχοντας υπόψη ότι b και

g είναι σταθερές οπότε θα έχουμε:

QΘ = b g2 ηH

0

h dh

QΘ = 3

2 b g2 H3/2 (4.21)

H εξίσωση αυτή είναι ίδια με την εξίσωση 4.12 με τη διαφορά ότι το άνω

όριο Η1 έχει παραληφθεί επειδή είναι ίσο με το μηδέν (επιφάνεια του νερού).

Για να βρούμε την πραγματική παροχή εισάγουμε το συντελεστή παροχής Cd

και έχουμε:

QΘ = 3

2 Cd b gh2 H3/2 (4.22)

Μία αντιπροσωπευτική τιμή του Cd είναι 0,62. Πλην όμως οι τιμές

μεταβάλλονται ανάλογα με την παροχή. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η

φλέβα που εκχειλίζει υφίσταται συστολή με αποτέλεσμα το μήκος να μην είναι

b αλλά LE (Σχήμα 4.15). Η συστολή της φλέβας αυξάνει με την αύξηση της

ταχύτητας ροής της φλέβας και επομένως το LE γίνεται μικρότερο. Ο J.

B.Francis (1883) ανακάλυψε πειραματικά ότι η συστολή κατά μεσο όρο είναι

της τάξεως 0,1Η για κάθε πλευρά της φλέβας που υφίσταται τη συστολή.

Όπου Η είναι το φορτίο πάνω από τη στέψη του εκχειλιστή (Σχήμα 4.15).

Επομένως θα ισχύει:

LE = (b – 0,1nH) (4.23)

Page 111: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

106

Όπου n =2 για εκχειλιστές με πλευρική συστολή και n =0 για εκχειλιστές

χωρίς πλευρική συστολή και n =4 ή 6 για σύηθετους εχειλιστές. Στους

τριγωνικούς εκχειλιστές δεν υπάρχει αυτή η συστολή της φλέβας.

Στις περισσότερες περιπτώσεις όμως η πρώτη παραδοχή που

υποθέσαμε για να υπολογίσουμε την παροχή δεν ισχύει αλλά υπάρχει μά

ταχύτητα προσπελάσεως V1 0 επειδή το νερό φθάνει στον εκχειλιστή

ρέοντας σε κάποιο αγωγό. Στη περίπτωση αυτή, αν όλες οι υπόλοιπες

παραδοχές ισχύουν, θα έχουμε:

g2

V 2

1 + Η = g2

V 2

2 (4.24)

V2 = (2g [ g2

V 2

1 + H ])1/2 (4.25)

V2 = TgH2

Όπου ΗΤ είναι το ολικό φορτίο ανάντη της στέψης (στατικό και κινητικό).

Σχήμα 4.16 Ορθογώνιος εκχειλιστής με ταχύτητα προσπελάσεως V1.

Εάν πάρουμε μία στοιχειώδη λωρίδα dh (Σχήμα 4.16) σε βάθος h από

τη γραμμή ενέργειας (όχι από την επιφάνεια του νερού) τότε τα όρια της

Page 112: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

107

ολοκληρώσεως για να υπολογίσουμε την παροχή θα είναι h = V 21 / 2g και h =

V 21 / 2g + H, παραδεχόμενοι ότι V 2

1 / 2g = V 22 / 2g δηλαδή ότι οι ταχύτητες

στα σημεία 1 και 2 είναι ίδιες. Αυτό φυσικά δεν συμβαίνει στην

πραγματικότητα γιατί μετά την στέψη επιταχύνεται η ροή. Το σφάλμα όμως

δεν θεωρείται σημαντικό.

Η εξίσωση της παροχής βρίσκεται ακολουθόντας την ίδια μέθοδο όπως

παραπάνω αλλά έχοντας υπόψη ότι το h μετράται από την γραμμή ενέργειας

και επομένως στα όρια της ολοκληρώσεως συμπεριλαμβάνεται το φορτίο

ταχύτητας V 21 / 2g. Επομένως θα έχουμε:

QΘ = b g2 ηH+g2/V

g2/V

21

21

h dh

QΘ = 3

2 b g2 [(

g2

V21 + H)3/2 - (

g2

V21 )3/2 ] (4.26)

Όπου Η είναι το φορτίο του νερού πάνα από τη στέψη.

Η πραγματική παροχή θα είναι:

QΘ = 3

2 Cd b g2 [(

g2

V21 + H)3/2 - (

g2

V21 )3/2 ] (4.27)

Όπου Cd είναι ο συντελεστής παροχής. Η εξίσωση αυτή

συμπεριλαμβάνει την ταχύτητα προσπέλασης

4.6.3 Εκροή από τριγωνικούς εκχειλιστές

Οι τριγωνικοί εκχειλιστές για μέτρηση μικρών παροχών πλεονεκτούν σε

σχέση με τους ορθογώνιους εκχειλιστές. Επειδή είναι πιο ακριβείς η ταχύτητα

προσπελάσεως μπορεί να αγνοηθεί καθώς και η συστολή της φλέβας χωρίς

σοβαρό σφάλμα. Έτσι οι υπολογισμοί απλουστεύονται χωρίς να μειώνεται η

ακρίβεια των μετρήσεων. Το πιο σπουδαίο μειονέκτημα είναι όταν η παροχή

Page 113: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

108

είναι σχετικά μεγάλη απαιτείται υψηλό φορτίο με συνέπεια η στάθμη του νερού

να υψώνεται σημαντικά ανάντη του εκχειλιστή. Το άνοιγμα της γωνίας θ του

εκχειλιστή κυμαίνεται μεταξύ 100 και 900 και σπάνια είναι μεγαλύτερο.

Σχήμα 4.17 Τριγωνικός εκχειλιστής

Ο υπολογισμός της παροχής γίνεται με τις ίδιες παραδοχές και την ίδια

μέθοδο όπως στους ορθογώνιους εκχειλιστές. Για τα στοιχεία του Σχήμα 4.17

θα ισχύει: Η θεωρητική παροχή δια μέσω της στοιχειώδους λωρίδας dh και

εμβαδού dA θα είναι:

dQ = gh2 dA αλλά ισχύουν ότι:

dA = b dh και h) -H(

2/b = εφ (θ/2) ή b = 2 εφ (θ/2) (H-h)

αντικαθιστόντας το b και εισάγοντας τον συντελεστή παροχής Cd

καταλήγουμε ότι:

Q = Cd 2 g2 εφ (2

θ) Η0 ( Η – h) h dh και τελικά

Q = 15

8 Cd g2 εφ (

2

θ) H5/2 (4.28)

Page 114: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

109

Μια τυπική τιμή του Cd είναι 0,58 εάν η γωνία θ έχει άνοιγμα μεταξύ 450 και

1200.

Σχήμα 4.18

4.7 Μέτρηση της ταχύτητας από την τροχιά εκροής

Η μέθοδος χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της ταχύτητας εκροής

του νερού από δοχείο ή σωλήνα πλήρη νερού. Η δέσμη του νερού που

εξέρχεται του δοχείου ακολουθεί την τροχιά που φαίνεται στο Σχήμα 4.18. Αν t

είναι ο χρόνος που απαιτείται για την πτώση του νερού από το σημείο 1 μέχρι

το 2 τότε θα έχουμε:

X = v t και t = t

X

y = 2

1 g t2 και αντικαθιστώντας την τιμή του t θα έχουμε:

y = 2

1 g (x/v)2 και επομένως η ταχύτητα V δίδεται από την εξίσωση:

v = x y2

g ή

V y

X 22,2 (4.29)

Page 115: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

110

4.8 Μετρητές ταχύτητας τύπου ανεμομέτρου (Μυλίσκος)

Ο μυλίσκος είναι όργανο που αποτελούνται από ένα έλικα (προπέλα)

που είναι προσαρμοσμένος σε μία συνήθως οριζόντια ράβδο και τοποθετείται

στο προς μέτρηση ποτάμι, κανάλι ή χείμερο. Η λειτουργία του στηρίζεται στην

αρχή ότι η ταχύτητα περιστροφής της προπέλας εξαρτάται από την ταχύτητα

ροής του νερού. Κάθε περιστροφή της προπέλας μετατρέπεται σε ηλεκτικό

παλμό. Το σύνολο των παλμών σε ορισμένο χρονικό διάστημα καταγράφεται

αυτόματα και με τη βοήθεια εξίσωσης, που χορηγείται από τον οίκο

κατασκευής του μετρητή, υπολογίζεται η ταχύτητα στο σημείο που βρίσκεται η

προπέλα.

Υπάρχουν πολλά μεγέθη και σχήματα μυλίσκων. Οι μεγαλύτροι

χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση ταχυτήτων σε μεγάλα ποτάμια ή σε μέτρια

ποτάμια σε περίοδο πλημυρών, οι μεσαίοι σε μικρά και μέτρια ποτάμια υπό

κανονικές συνθήκες ενώ οι μικροί μυλίσκοι χρησιμοποιούνται αποκλειστικά για

μετρήσεις στο εργαστήριο. Οι μετρητές αυτοί τοποθετούνται στο νερό με τη

βοήθεια κατακόρυφων ράβδων ή συρματόσχοινων, και βαριδιών αν είναι

απαραίτητο, για να μη παρασύρονται από το νερό.

Σχήμα 4.19

Για μετρήσεις σε ποτάμια, κανάλια ή χειμάρους ακολουθείται η εξής

διαδικάσία. Μια εγκαρσια διατομή του ποταμού χωρίζεται σε κατάλληλο

αριθμό τμημάτων με τη βοήθεια κατακόρυφων νοητών γραμμών (Σχήμα 4.19).

Ακολούθως μετράται η μέση ταχύτητα κάθε τμήματος, υπολογίζεται το

εμβαδόν κάθε τμήματος και τελικά υπολογίζεται η παροχή στο τμήμα αυτό .

Page 116: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

111

‘Ετσι για το τμήμα που βρίσκεται μεταξύ των κατακόρυφψν γραμμών 2 και 3

του Σχ. 4. 15 θα έχουμε:

Q2-3 = ( 2

y+y 3 2 ) b2-3 (2

V+V 3 2 )

Όπου y είναι το βάθος της κοίτης και b το πλάτος κάθε τμήματος (Σχήμα

4.55)

H oλική παροχή υπολογίζεται από το άθροισμα των παροχών των τμημάτων

δηλαδή: Qολ = ΣQ .

Όπως είναι φυσικό το εμβαδόν κάθε υποθετικού τμήματος δεν είναι

δυνατόν αν υπολογισθεί με ακρίβεια. Επομένως θα πρέπει να αναμένονται

σφάλαματα στις μετρήσεις που αρχίζουν από 5% και φθάνουν το 20-25% για

μετρήσεις σε περίοδο πλημυρών.

4.9 Μέτρηση της ταχύτητας με πλωτήρες

Η μέθοδος αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση της

ταχύτητας σε ανοικτό αγωγό γνωστής διατομής. Αφίνεται στην επιφάνεια του

νερού ένα ελαφρύ αντικείμενο (Ξύλο, φελλός) και μετράται ο χρόνος που

απαιτείται για να διανύσει μία απόσταση 20-30 m. Η μέτρηση

επεναλαμβάνεται και εξάγεται ο μέσος όρος των μετρήσεων. Με τον τρόπο

αυτό προσδιορίζεται η ταχύτητα ροής στην επιφάνεια του αγωγού που είναι

μεγαλύτερη από τη μέση ταχύτητα. Η μέση ταχύτητα υπολογίζεται με την

εισαγωγή ενός συντελεστή διόρθωσης που έχει την τιμή 0,8 από την σχέση:

VMES = 0,8 t

S x 0,8 =

νοςόρΧ

στασηόπΑ (4.30)

4.10 Μέτρηση της παροχής με τη χρησιμοποίηση δοχείων

Με την άμεση αυτή μέθοδο μετρούμε την παροχή των γεωτρήσεων ή

πηγών μικρής παροχής. Χρησιμοποιείται δοχείο γνωστού όγκου και μετράται,

με τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια, ο χρόνος που απαιτείται για να γεμίσει. Θα

πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη σημασία στην ταχύτητα διενέργειας της μέτρησης.

Το δοχείο θα πρέπει να τοποθετείται κάτω από την πηγή άδειο και να

Page 117: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

112

απομακρύνεται μόλις γεμίσει με τέτοια ταχύτητα ώστε να αποφεύγεται η

μέτρηση πλασματικού χρόνου. Θα πρέπει να υπολογίζεται μέσος χρόνος

πλήρωσης του δοχείου μετά από τουλάχιστον τρείς μετρήσεις.

4.11 Μέτρηση της μεταβολής της στάθμης του νερού

Η μέθοδος αυτή όπως και η προηγούμενη κατατάσσονται στις άμεσες

μεθόδους. Όταν υπάρχει διαθέσιμη δεξαμενή γνωστών διαστάσεων και μπορεί

να εξασφαλισθεί εισροή νερού στη δεξαμενή από την προς μέτρηση πηγή και

εκροή είναι δυνατή η μέτρηση της παροχής. Μετράται η μεταβολή της στάθμης

του νερού στη δεξαμενή (και υπολογίζεται ο όγκος του νερού) καθώς και ο

αντίστοιχος χρόνος και υπολογίζεται η παροχή μετά από μερικές μετρήσεις

ώστε να περιοριστεί το σφάλμα.

Page 118: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

Τ.Ε.Ι. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ

ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ & ΑΡ∆ΕΥΣΕΩΝ

ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ–

ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ

∆ρ. ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ Ι. ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ 2001

Page 119: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

113

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

5. ΡΟΗ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ

5.1 Γενικά

Η μελέτη της συμπεριφοράς των ρευστών σε γραμμικούς σωλήνες

αποτελεί μία από τις σπουδαιότερες κατηγορίες προβλημάτων που έχει να

αντιμετωπίσει ο Τεχνολόγος Γεωργικής Μηχανολογίας και Τεχνολογίας της

Άρδευσης και όχι μόνο. Στα προβλήματα αυτά ζητείται να βρεθούν οι

απώλειες ενέργειας κατά μήκος του δικτύου και να υπολογισθεί η ισχύς της

αντλίας και της μηχανής για την εξυπηρέτηση δεδομένων αναγκών ενός

δικτύου.

Ένας αγωγός ονομάζεται κλειστός όταν το ρευστό γεμίζει ολόκληρη τη

διατομή του. Η ροή σε αγωγούς που το ρευστό δεν γεμίζει ολόκληρη τη

διατομή του θα εξεταστεί στους ανοικτούς αγωγούς. Οι κειστοί αγωγοί έχουν

συνήθως σχήμα κυλινδρικό (σωλήνες) και χρησιμοποιούνται στα αρδευτικά

και υδρευτικά δίκτυα.

Τα βασικά χαρακτηριστικά που λαμβάνονται υπόψη κτα την ανάλυση

στη ροή σε κλειστούς αγωγούς είναι:

α) σε όλα τα σημεία του αγωγού ισχύει η εξίσωση της συνέχειας δηλαδή

Q = A V ακόμη και όταν ο αγωγός έχει ανοδική κλίση όπως είναι στις

περιπτώσεις που ανέρχεται επικλινές έδαφος.

β) Η ανάλυση στους κλειστούς αγωγούς βασίζεται στην εφαρμογή της

εξίσωσης του Bernoulli. Θα πρέπει να έχουμε πάντοτε υπόψη ότι στους

κλειστούς αγωγούς την ροή καθορίζει η διαφορά της πίεσης μεταξύ του

σημείου εισόδου και εξόδου του ρευστού στον αγωγό. Αντίθετα στους

ανοιχτούς αγωγούς η ροή είναι το αποτέλεσμα της βαρύτητας και επομένως ο

αγωγός θα πρέπει να έχει κλίση κατά τη διεύθυνση της ροής.

γ) Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τη ροή και τις απώλειες που

συναστώνται υπό φυσικές συνθήκες στους σωλήνες, όταν δηλαδή δεν

Page 120: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

114

υπάρχουν αντλίες ή βαλβίδες ή βάνες μερικώς κλειστές που παρεμποδίζουν

τη ροή.

Στους κλειστούς αγωγούς ένα τμήμα μπορεί να βρίσκεται υπεράνω του

επιπέδου του νερού στη πηγή τροφοδοσίας (π.χ. δεξαμενή) με την

προϋπόθεση ότι το σημείο εκροής του αγωγού βρίσκεται κάτω από το επίπεδο

αυτό. Η πίεση στα υψηλότερα αυτά σημεία είναι αρνητική (σιφώνιο) αλλά δεν

μπορεί να υπερβεί την τιμή των –7,5 m νερού γιατί σε μεγαλύτερες απόλυτες

τιμές πίεσης θα πρέπει να αναμένεται εξαέρωση του νερού με συνέπεια την

εμφάνιση προβλημάτων στην ομαλή ροή. Για αυτό σε ορισμένα υψηλά σημεία

του αγωγού θα πρέπει να τοποθετούνται βαλβίδες εξαερώσεως. Το φορτίο

πίεσης επίσης θα πρέπει να διατηρείται μικρότερο των 70 m (7 ατμ. περίπου)

για την αποφυγή προβλημάτων αντοχής στους πλαστικούς αγωγούς.

5.2 Τύπος ροής- Αριθμός Reynolds

Όπως προαναφέρθηκε το ιξώδες αναγκάζει το νερό να ρέει υπό τη

μορφή δύο τύπων ροής: την στρωτή ροή ή παράλληλη ροή και την

τυρβώδη ή στροβιλώδη ροή. Το φαινόμενο μελετήθηκε από τον Reynolds

(1883) με τη βοήθεια μιας κατάλληλης συσκευής (Σχήμα 5.1).

Σχήμα. 5.1 Συσκευή Reynolds

Page 121: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

115

H ροή του ρευστού από το δοχείο Β γίνεται μέσω ενός γυάλινου σωλήνα

Γ ενώ η παροχή ρυθμίζεται από μία δικλείδα Δ. Το δοχείο Α περιέχει

χρωματισμένο νερό που στη βάση του είναι προσαρμοσμένος ένας μικρός

σωλήνας που εκρέει στο κωδωνοειδές στόμιο του σωλήνα Γ (Σχήμα 5.1(α))

και να ρέει μέσα από αυτόν. Όταν η παροχή του σωλήνα Γ είναι μικρή, δηλαδή

η ταχύτητα ροής είναι μικρή (V = Q/A) τότε το χρωματισμένο νερό ακολουθεί

μία ευθεία γραμμή παράλληλη προς τα τοιχώματα του σωλήνα (στρωτή ή

παράλληλη ροή, Σχ.5.1α). Όταν αυξήσουμε την παροχή το χρωματισμένο

νερό γίνεται κυματοειδές, ταλαντεύεται και διευρύνεται (μεταβατική

κατάσταση). Όταν η παροχή αυξηθεί περισσότερο και επομένως και η

ταχύτητα ροής στο σωλήνα Γ τότε το χρωματισμένο νερό σπάζει και

διασκορπίζεται ακανόνιστα προς όλες τις κατευθύνσεις έτσι ώστε να

χρωματίζει όλη τη μάζα του νερού μέσα στο σωλήνα (τυρβώδης ροή Σχ.5.1β).

Ο Reynolds πραγματοποίησε πολλά πειράματα, με σωλήνες διαφόρων

διαμέτρων και υγρά με διαφορετικές πυκνότητες και ιξώδη, για να

προσδιορίσει την κρίσημη ταχύτητα κατά την οποία το χρωματισμένο νερό

από ευθύγραμμο άρχισε να γίνεται κυματοειδές. Τελικά ο Reynolds απέδειξε

ότι οι καταστάσεις ροής που προαναφέρθηκαν εξαρτώνται από τη τιμή που

παίρνει η παρακάτω εξίσωση που είναι αδιάστατη και είναι γνωστή σαν

αριθμός του Reynolds.

Re = ρ μ

D V (5.1)

Και επειδή ν = μ/ρ η (5.1) γράφεται:

Re = ν

D V (5.2)

Όπου:

D = η διάμετρος του αγωγού

V = μέση ταχύτητα ροής

ρ = πυκνότητα του ρευστού

μ = δυναμικό ιξώδες και

ν = συντελεστής κινηματικού ιξώδους

Page 122: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

116

Σαν ένας γενικός ενδεικτικός κανόνας για το πότε εμφανίζεται ο κάθε τύπος

ροής ισχύουν τα ακόλουθα:

Η στρωτή ή παράλληλη ροή εμφανίζεται όταν Re < 2 000

Η ενδιάμεση μεταβατική ροή όταν Re = 2 000-4 000

Η τυρβώδης ροή όταν Re > 4 000

Τα παραπάνω όρια είναι ένας οδηγός κατά προσέγγιση. Τα όρια της

μεταβατικής ροής μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερα και εξαρτώνται από

πολλούς παράγοντες. Υπάρχουν περιπτώσεις που δεν εμφανίζεται τυρβώδης

ροή ακόμη και για Re > 10 000 ή ακόμη και 50 000. Στις περιπτώσεις αυτές

όμως η ροή είναι ασταθής και πολύ εύκολα μεταπίπτει σε τυρβώδη. O αριθμός

10 000 μπορεί να φαίνεται πολύ μεγάλος εκ πρώτης όψεως αλλά στην

πραγματικότητα δεν είναι αν αναλογιστούμε ότι οι οικιακοί σωλήνες

λειτουργούν με Re γύρωστο 25 000 και πολλοί αγωγοί μεγάλων βιομηχανικών

εταιρειών με Re 100 000 ή ακόμη και 1 000 000. Επομένως η τυρβώδης ροή

είναι η πιο συχνή που έχουν να αντιμετωπίσουν οι μηχανικοί ενώ η στρωτή

ροή είναι σπάνια στη φύση.

Η ταχύτητα στην οποία παρουσιάζεται η αλλαγή της ροής από την

παράλληλη στη τυρβώδη γέγεται ανώτερη κρίσιμη ταχύτητα, ενώ η ταχύτητα

στην οποία παρουσιάζεται αλλαγή της ροής από τη τυρβώδη στη παράλληλη

λέγεται κατώτερη κρίσιμη ταχύτητα και είναι κατώτερη της πρώτης. Εάν στο

τύπο του Reynolds αντικαταστήσουμε τις τιμές για νερό στους 200 C και για

σωλήνα λείο διαμέτρου 25 mm Re =2000 βρίσκουμε ταχύτητα V = 0,073 m/s,

ενώ αν η ταχύτητα ήταν 0,73 m/s η διάμετρος έπρεπε να είναι 2,5 mm.

Επομένως ταχύτητες και διάμετροι τόσο μικρές δεν συναντώνται στις

εφαρμογές στο ύπαιθρο παρά μόνο σε εργαστήρια.

5.3 Διαφορές μεταξύ στρωτής και τυρβώδους ροής

- Κατανομή ταχύτητας στους κλειστούς αγωγούς

Το είδος της ροής σε ένα αγωγό έχει μεγάλη σημασία γιατί από αυτό

εξαρτώνται μια σειρά από τα χαρακτηριστικά της ροής όπως οι απώλειες

ενέργειας, η κατανομή της ταχύτητας από τα τοιχώματα μέχρι το κέντρο του

αγωγού και την ανάμιξη των διαφόρων υλικών που τυχόν μεταφέρονται.

Page 123: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

117

Στρωτή Τυρβώδης Στρωτή Τυρβώδης

(α) (β) (γ) (δ)

Σχήμα 5.2 Διαφορές μεταξύ στρωτής και τυρβώδους ροής σε σωληνωτό

αγωγό. (α) και (β) Διαγράμματα ταχυτήτων σε μια διατομή του

αγωγού.(γ) και (δ) Αλλαγές στην ταχύτητα με το χρόνο σε τρία

διαφορετικά σημεία μιας διατομής του αγωγού

Κατά τη ροή των πραγματικών ρευστών η ταχύτητα πλησίον των

τοιχωμάτων του αγωγού είναι μηδενική λόγω της εσωτερικής τριβής. Σε μικρή

απόσταση η ταχύτητα αυξάνει σταδιακά ακολουθόντας παραβολική καμπύλη

και φτάνει τη μεγίστη τιμή στο κέντρο του αγωγού. Πλήν όμως η κατανομή των

ταχυτήτων διαφέρει μεταξύ της στρωτής και της τυρβώδους ροής. Στη στρωτή

ροή ο λόγος της μεγίστης ταχύτητας (VMAX) προς την μέση ταχύτητα V έχει μία

τιμή κοντά στο 2 ενώ στην τυρβώδη ροή η τιμή του ιδίου λόγου είναι περίπου

1,7 (Σχήμα 5.2 α και β).

Η διαφορά στη κατανομή των ταχυτήτων μεταξύ στρωτής και

τυρβώδους ροής φαίνεται επίσης στο Σχήμα 5.3. Το διάγραμμα ταχυτήτων στη

τυρβώδη ροή είναι πιο πεπλατυσμένο στο κεντρικό τμήμα του αγωγού και με

μεγαλύτερη κλίση κοντά στα τοιχώματα σε σχέση με το διάγραμμα στη στρωτή

ροή. Επι πλέον οι λείοι αγωγοί έχουν διαφορετικό διάγραμμα ταχυτήτων από

τους τραχείς μόνο στη τυρβώδη ροή.

Άλλη ουσιώδης διαφορά μεταξύ της στρωτής και τυρβώδους ροής έιναι

ότι στην στρωτή ροή σε κάθε σημείο του αγωγού η ταχύτητα παραμένει

σχεδόν σταθερά ενώ στη τυρβώδη ροή μεταβάλλεται συνεχώς με το χρόνο και

σε κάθε σημείο κατά διαφορετική ένταση (Σχήμα 5.2 γ και δ).

Page 124: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

118

Σχήμα 5.3 Διάγραμμα ταχυτήτων για στρωτή και τυρβώδη ροή με ίδια παροχή

5.4 Οριακό στρώμα

Εάν ο αριθμός του Reynolds είναι μεγαλύτερος από την κρίσιμη τιμή με

συνέπεια την ανάπτυξη τυρβώδους ροής θα έχουμε τις παρακάτω συνθήκες

ροής. Η περιοχή μέσα στην οποία η ταχύτητα του ρευστού μεταβάλλεται από

V=0 μέχρι το σημείο κοντά στον άξονα που η ταχύτητα είναι V = 0,99VMAX

ονομάζεται οριακό στρώμα ή οριακή στοιβάδα (boundary layer), (Σχήμα 5.4)

το πάχος του οποίου απεικονίζεται με το γράμμα δ. H ύπαρξη του οριακού

στρώματος οφείλεται στο ότι η επιβραδυντική δύναμη λογω της τριβής δεν

επηρεάζει μόνο ένα λεπτό στρώμα υγρού που βρίσκεται σε επαφή με τα

τοιχώματα αλλά και τη ροή σε κάποια απόσταση από το τοίχωμα λόγω

μεταφοράς της διατμητικής τάσεως μέσω του υγρού. Το οριακό στρώμα

διακρίνεται:

α) σε μία περιοχή που η ροή μπορεί να θεωρηθεί στρωτή και μόνιμη και

ονομάζεται στρωτό οριακό στρώμα

β) ακολουθεί μια περιοχή όπου αρχίζουν να εμφανίζοται μερικοί στροβιλισμοί

και αρχίζει να εξαφανίζεται η στρωτή ροή και ονομάζεται μεταβατικό οριακό

στρώμα και

γ)τέλος ακολουθεί το τυρβώδες οριακό στρώμα όπου η διαταραχή

της ροής επεκτείνεται και γενικεύεται. Το πάχος του οριακού στρώματος

εξαρτάται από το επί μέρους πάχος κάθε ενός από τα τρία παραπάνω

στρώματα.

Page 125: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

119

Σχήμα 5.4 Οριακό στρώμα σε τυρβώδη ροή σωληνωτού αγωγού

Το τυρβώδες οριακό στρώμα γενικά αυξάνει σε πάχος σχετικά γρήγορα

και τα δύο στρώματα που ξεκινούν από τα εκ διαμέτρου αντίθετα τοιχώματα

συναντώνται στον κεντρικό άξονα του αγωγού όπου αναπτύσσεται πλήρως η

τυρβώδης ροή.

Το πολύ λεπτό στρώμα του υγρού που είναι σε επαφή με το τοίχωμα

και έχει ταχύτητα μηδενική ονομάζεται στρωτή υποστοιβάδα ή ιξώδης

υποστοιβάδα επειδή η διάτμηση στη περιοχή αυτή οφείλεται αποκλειστικά

στο ιξώδες του ρευστού. Η στοιβάδα αυτή διατηρείται κατά μήκος των

τοιχωμάτων του αγωγού ακόμη και στην περιοχή που έχει αναπτυχθεί πλήρως

η τυρβώδης ροή. Το πάχος της στρωτής υποστοιβάδας έχει μεγάλη σημασία

και σημειώνεται με το δL.

Θα πρέπει να τονισθεί ότι η ροή στον αγωγό λαμβάνει χώρα δια μέσω

του οριακού στρώματος ως εξής: Καθώς το ρευστό κινείται πάνω στο τοίχωμα

του αγωγού δημιουργείται ένα σχετικά μικρό σε έκταση στρωτό οριακό

στρώμα, στο οποίο η ροή προς τα εμπρός επιτυγχάνεται με τις δυνάμεις της

διάτμησης που αναπτύσσονται από τα υπερκείμενα στρώματα υγρού που

κινούνται ταχύτερα. Με την συνέχιση της ροής οι δυνάμεις τριβής αυξάνουν

βαθμιαία και συγχρόνως αυξάνει το πάχος δ του οριακού στρώματος. Σε

κάποιο σημείο αρχίζει να σταματάει η επίδραση της διάτμησης και έτσι

Page 126: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

120

δημιουργείται ένα σχετικά αργά κινούμενο στρώμα ρευστού και ο τύπος της

ροής είναι μεταβατικός μεταξύ της στρωτής και της τυρβώδους ροής. Πάνω

από το στρώμα αυτό κινούνται με ταχύτητες που πλησιάζουν σχεδόν VMAX

επάλληλα στρώματα ρευστού. Αυτές είναι οι συνθήκες που επιτρέπουν τη

δημιουργία στρωβίλων με συνέπεια μερικά υγρά μόρια του γρήγορα

κινούμενου στρώματος να εισέρχονται ακανόνιστα κάτω στο αργά κινούμενο

στρώμα. Έτσι ορμή μεταφέρεται από το γρήγορα κινούμενο στρώμα στο από

κάτω αργά κινούμενο με συνέπεια να ωθείται το τελευταίο προς τα εμπρός με

τελικό αποτέλεσμα την διατήρηση της ροής. Μερικά μόρια του αργά

κινούμενου στρώματος αντίστροφα εισέρχονται στο πάνω στρώμα και έτσι

δημιουργούνται οι συνθήκες του τυρβώδους οριακού στρώματος. Τέλος το

κεντρικό στρώμα του αγωγού κινείται με πλήρως αναπτυγμένη τυρβώδη ροή

(Σχήμα 5.4).

5.5 Λείοι και τραχείς αγωγοί

Στη περάγραφο αυτή θα εξηγήσουμε τι εννοoύμε με τους όρους λείος ή

τραχύς αγωγός. Με την μαθηματική έννοια φυσικά δεν υπάρχουν λείοι αγωγοί.

Πλην όμως ανάλογα με τις ανωμαλίες των τοιχωμάτων του αγωγού

διακρίνονται σε υδραυλικά λείους ή τραχείς. Το πάχος δL της στρωτής

υποστοιβάδας μπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση:

δL = 32,8 f Re

D (5.1)

όπου D είναι η διάμετρος του αγωγού, f αδιάστατος συντελεστής τριβής και Re

ο αδιάστατος αριθμός Reynolds. Επομένως το πάχος της στρωτής

υποστοιβάδος είναι αντιστρόφως ανάλογο του αριθμού του Reynolds. To δL

τυπικά κυμαίνεται από ολίγα mm μέχρι ένα δέκατο του mm. Ενδεικτικά

αναφέρεται ότι για D = 0,6 m, Re = 10 000 και λ=0,04 η τιμή του δL = 0,01 m,

ενώ για την ίδια διάμετρο και λ αλλά για Re = 100 000 δL = 0,001 m.

Eάν οι προεξοχέςτων εσωτερικών τοιχωμάτων ενός αγωγού έχουν ύψος

k , που είναι μικρότερο από δL τότε ο αγωγός συμπεριφέρεται σαν λείος. Η

Page 127: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

121

ροή είναι ομαλή τυρβώδης και ο αγωγός αναφέρεται σαν υδραυλικά λείος.

Εάν k είναι λίγο μεγαλύτερο από δL τότε έχουμε μεταβατική τυρβώδη ροή ενώ

όταν k > δL έχουμε μεγάλους στροβίλους και η ροή αναφέρεται σαν έντονη

τυρβώδης ροή και ο αγωγός θεωρείται υδραυλικά τραχύς.

5.6 Απώλειες Φορτίου σε κλειστούς αγωγούς

Όταν το νερό κινείται μέσα στους κλειστούς αγωγούς εμφανίζονται

απώλειες φορτίου. Αυτές οφείλονται κυρίως στην οριακή στοιβάδα που αιτία

είναι η διατμητική τάση που αναπτύσσεται στα τοιχώματα του αγωγού και

αναφέρονται σαν γραμμικές απώλειες ή απώλειες τριβής ή κύριες

απώλειες φορτίου. Επί πλέον απώλειες εμφανίζονται κατά την είσοδο και

έξοδο του νερού στον αγωγό και από τις αλλαγές της διαμέτρου του αγωγού

(σμίκρυνση, διεύρυνση). Από την συνάντηση εμποδίων (βλαννες, βαλβίδες

κ.λ.π.), από την αλλαγή διευθύνσεως (καμπύλες) κ.λ.π. Οι τελευταίες

απώλειες φορτίου ονομάζονται τοπικές απώλειες ή δευτερεύουσες

απώλειες φορτίου και είναι πολύ μικρότερες από τις γραμμικές απώλειες όταν

οι αγωγοί έχουν μεγάλο μήκος. Για να γίνουν κατανοητές οι διαφόρων ειδών

απώλειες χρησιμοποιείται το παρακάτω σύστημα αγωγών.

Νερό ρέει από τη δεξαμενή Α προς τη δεξαμενή Β (Σχήμα 5.5 ). Οι δύο

δεξαμενές συνδέονται με δύο σωληνωτούς αγωγούς 1 και 2 που είναι

συνδεδεμένοι σε σειρά. Οι αγωγοί 1 και 2 έχουν μήκος και διάμετρο L1, D1 και

L2, D2, αντίστοιχα.

Εάν εφαρμόσουμε την εξίσωση του Bernoulli στα σημεία Α και Β θα

έχουμε :

ZA + V2

A/2g + PA/ρg = ΖΒ + V

2

B/2g + PB /ρg + απώλειεςν (5.2)

Επειδή η δεξαμενή είναι μεγάλη VA = VB = 0. Eάν πάρουμε για επίπεδο

αναφοράς της πίεσης την ατμοσφαιρική πίεση τότε ΡΑ = ΡΒ = 0. Εάν το

επίπεδο αναφοράς για το φορτίο θέσεως διέρχεται από το σημείο Β τότε:

ΖΒ = 0 οπότε η 5.2 γίνεται:

ΖΑ = απώλειες

Page 128: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

122

Σχήμα 5.5 Απώλειες φορτίου σε αγωγούς σε σειρά

και αν το ΖΑ γραφεί σαν Ζ δηλαδή η υψομετρική διαφορά μεταξύ Α και Β

(μεταξύ των δύο δεξαμενών) τότε θα έχουμε:

Ζ = απώλειες (5.3)

Η εξίσωση αυτή δείχνει ότι το φορτίο θέσεως Ζ είναι εκείνο που

προκαλεί την ροή του νερού στους κλειστούς αγωγούς και ότι οι απώλειες

είναι ο παράγοντας που ελέγχει τη ροή στον αγωγό.

Εάν η έξοδος του αγωγού δεν γινόταν στη δεξαμενή Β αλλά στον ελεύθερο

αέρα τότε θα ίσχυε:

Ζ = V2

B/2g + απώλειες (5.4)

Ο όρος V2

B/2g είναι το ύψος ταχύτητας στην έξοδο του αγωγού. Η τιμή

του όρου αυτού πολύ συχνά είναι σχετικά μικρή και επομένως για μια

δεδομένη τιμή του Ζ είναι οι απώλειες που ελέγχουν τη ροή και προσδιορίζουν

την παροχή του αγωγού στην έξοδο.

Page 129: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

123

Στο Σχήμα 5.5παρατηρούμε την μείωση του ολικού φορτίου ή ολικής

ενέργειας (ύψος θέσεως + ύψος ταχύτητας + ύψος πιέσεως). Εάν δεν

υπήρχαν απώλειες ενέργειας τότε η γραμμή ενέργειας θα ήταν οριζόντια.

Επειδή όμως υπάρχουν απώλειες η γραμμή ενέργειας έχει καθοδική κλίση

προς την κατεύθυνση της ροής. Μεγάλη κλίση της γραμμής ενέργειας δηλώνει

μεγάλες απώλειες φορτίου ή απότομη πτώση στα σημεία αλλαγής της

διατομής του αγωγού. Η γραμμή πιέσεως ή πιεζομετρική γραμμή (ύψος

θέσεως + ύψος πιέσεως) ακολουθεί σε κλίση την γραμμή ενέργειας αφού

υπολείπεται κατά την ποσότητα V2/2g (ύψος ταχύτητας) που είναι σταθερό

μόνο σε ένα αγωγό σταθερής διαμέτρου. Όταν ο αγωγός διευρύνεται η

ταχύτητα μειώνεται απότομα και η πιεζομετρική γραμμή έχει κατακόρυφη

κλίση προς τα πάνω ενώ το αντίθετο συμβαίνει όταν ο αγωγός στενεύει.

Επομένως η γραμμή ενέργειας συνεχώς έχει καθοδική κλίση ενώ η

πιεζομετρική γραμμή μπορεί να έχει και ανοδική κλίση.

Στο Σχήμα 5.5 οι απώλειες είναι:

hεισ = απώλειες κατά την είσοδο του νερού από τη δεξαμενή Α στον

αγωγό (απώλειες λόγω στένωσης). Κατακόρυφη πτώση της γραμμής

ενέργειας

hf1 = απώλειες τριβής στον μικρής διαμέτρου αγωγό. Συνεχής πτώση

της κλίσης τόσο της γραμμής ενέργειας όσο και της γραμμής πιέσεως

hδ = απώλειες λόγω διεύρυνσης του αγωγού. Λόγω των απωλειών

έχουμε κατακόρυφη πτώση της γραμμής ενέργειας. Κατακόρυφη άνοδος

της γραμμής πίεσης επειδή το ύψος ταχύτητας μειώνεται από την

αύξηση της διαμέτρου του αγωγού.

Hf2 = απώλειες τριβής στον μεγάλο αγωγό

Hεξ = απώλειες λόγω της εξόδου του νερού στην δεξαμενή Β (απώλειες

λόγω διεύρυνσης).

5.7 Υπολογισμός γραμμικών απωλειών

Το 1841 ο Poiseuille επρότεινε μία εξίσωση για τον υπολογισμό των

απωλειών λόγω τριβής στη στρωτή ροή:

Page 130: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

124

hf = 2D g

L V ν 32 (5.5)

όπου ν = κινηματικό ιξώδες (m2/s)

V = μέση ταχύτητα

L = μήκος του αγωγού

D = διάμετρος του αγωγού

Στην εξίσωση δεν υπάρχει όρος για την τραχύτητα του αγωγού επειδή η

στρωτή ροή δεν επηρεάζεται από αυτόν το παράγοντα.

Αργότερα το 1850 οι Darcy και Weisbach ανέπτυξαν την παρακάτω

εξίσωση που είναι γνωστή σαν εξίσωση Darcy–Weisbach και

χρησιμοποιείται ευρέως για τον υπολογισμό των γραμμικών απωλειών στους

σωληνωτούς αγωγούς στην τυρβώδη ροή. Η εξίσωση έχει τη μορφή:

hf = f g2

V

D

L 2

(5.6)

όπου:

f = συντελεστής τριβής Darcy–Weisbach

V = μέση ταχύτητα

L = μήκος του αγωγού

D = διάμετρος του αγωγού

Ο συντελεστής f είναι αδιάστατος και εξαρτάται από τον αριθμό Reynolds

(Re = V D / ν ) και τη σχετική τραχύτητα (k/D) και το σχήμα και μέγεθος του

αγωγού. O υπολογισμός του γίνεται με τη βοήθεια του διαγράμματος Moody

(Σχήμα 5.6)

Σχετικά με τον υπολογισμό των γραμμικών τριβών σήμερα ισχύουν τα παρακάτω: α) Εάν ο αριθμός Re < 2000 η ροή είναι στρωτή και οι εξισώσεις (5.5) και

(5.6) μπορούν να εξισωθούν, δηλαδή:

Page 131: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

125

Σχήμα 5.6 Διάγραμμα Moody

Page 132: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

126

2D g

L V ν 32 = f

g2

V

D

L 2

Μετά από απαλοιφές θα έχουμε :

f = DV

ν64 και επειδή Re =

ν

DV θα έχουμε:

f = Re

64 (5.7)

β) Για αριθμούς Reynolds 6 000 < Re < 80 000 δηλαδή τυρβώδη ροή αλλά

μόνο για λεία τοιχώματα ισχύει η εμπειρική εξίσωση του Blasius (1913):

f = 25,0Re

316,0 (5.8)

γ) Για τυρβώδη ροή (Re > 6 000) και αγωγούς και τοιχώματα λεία ή τραχέα

ισχύει η είσωση των Colebrook – White:

f

1 = -2 log (

D 7,3

k +

f Re

51,2 ) (5.9)

Η εξίσωση (5.9) δείχνει ότι για λεία τοιχώματα (k/D = 0) ο συντελεστής

τριβής f εξαρτάται μόνο από τον αριθμό Reynolds ενώ για μεγάλους αριθμούς

Reynolds o συντελεστής τριβής f εξαρτάται από τη σχετική τραχύτητα του

αγωγού k/D.

5.8 Εμπειρικές εξισώσεις για κλειστούς αγωγούς

Η επίλυση της εξίσωσης των Colebrook – White είναι πολύπλοκη.

Στην πράξη επιδιώκεται να χρησιμοποιούνται εξισώσεις που απαιτούν για την

Page 133: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

127

επίλυσή τους μικρότερο χρόνο ακόμη και αν είναι λιγότερο ακριβείς. Το πρώτο

βήμα για την επιλογή της κατάλληλης εξισώσεως είναι να προσδιορισθεί ο

τύπος ροής. Για τις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιείται ένας κατά προσέγγισιν

αριθμός Reynolds που συμβολίζεται με το Re* και υπολογίζεται από την

εξίσωση:

Re* = Re 8

f )

D

k( (5.10)

Mε βάση την τιμή αυτή Re* εκτιμάται ο τύπος της ροής από τις

παρακάτω τιμές:

Ομαλή τυρβώδης ροή Re* < 4

Μεταβατική τυρβώδης ροή Re* = 4 έως 60

Τραχύς τυρβώδης ροή Re* > 60

Μετά την εκτίμηση του τύπου της ροή επλέγουμε την κατάλληλη

εξίσωση. Οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται περισσότερο είναι: oι εξισώσεις

του Blasius, των Hazen-Williams και του Manning.

5.8.1 Eξίσωση Blasius για ομαλή τυρβώδη ροή

Η εξισωση αυτή προκύπτει από συνδυασμό των εξισώσεων των Darcy-

Weisbach (5.6) και Blasius (5.8) :

V = 75 D5/7 h 7/4L (5.11)

5.8.2 Εξίσωση Hazen-williams για μεταβατική τυρβώδη ροή

Η εξίσωση αυτή είναι από τις πιο πολύ χρησιμοποιούμενες στη

μεταβατική τυρβώδη ροή που είναι και ο τύπος ροής που συναντάται πιο πολύ

στις εφαρμογές:

V = 0,355 CHW D0,63 S0,54 (5.12)

Page 134: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

128

Ή

Q = 0,297 C D0,63 S0,54 (5.13)

Όπου:

CHW = ο συντελεστής Hazen-Williams

S = κλίση του πιεζομετρικού φορτίου (hf/L)

Πίνακας 5.1 Τιμές του συντελεστή CHW για ταχύτητα ροής νερού 1 m/s

Διάμετρος(m)

Tύπος αγωγού 0,15 0,60 1,20

Xυτοσίδηρος με επίχρηση-60 ετών-μερική οξείδωση 80 90 96

Xυτοσίδηρος με επίχρηση-30 ετών-μερική οξείδωση 90 102 107

Xυτοσίδηρος με επίχρηση-30 ετών-ελαφρά οξείδωση 106 118 120

Χυτοσίδηρος με ηλετροστατική βαφή-καινούργιος 142 148 148

Σκυρόδεμα-εσωτερικό με ατέλειες (k=1,25 mm) 102 110 113

Σκυρόδεμα-εσωτερικό λείο με καλές ενώσεις (k= 0,50)mm) 117 125 128

Σκυρόδεμα-εσωτερικό τέλειο, άριστες ενώσεις(k=0,25 mm) 126 132 134

Αγωγοί με επένδυση από σκυρόδεμα ή PVC 148 152 153

H εξίσωση είναι σχετικά ακριβής για αγωγούς με διάμετρο (D)

μεγαλύτερη των 0,15 m, ταχύτητα μικρότερη των 3 m/s και CHW μεγαλύτερο

από 100. Η τιμή του συντελαστή CHW εξαρτάται από την ταχύτητα, τη διάμετρο

και το υλικό κατασκευής του αγωγού (Πίνακας 5.1)

5.8.3 Εξίσωση του Μanning για τραχεία τυρβώδη ροή σε κλειστούς αγωγούς

Η εξίσωση του Manning χρησιμοποιείται κυρίως για υπολογισμούς

στους ανοικτούς αγωγούς. Μπορεί όμως να χρησιμοποιειθεί και στους

κλειστούς αγωγούς αν δεχθούμε ότι για ένα αγωγό που ρέει πλήρης η

υδραυλική ακτίνα

Page 135: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

129

(Re = διατομή αγωγού / βρεχομένη περίμετρο) είναι ίση με D/4. Οπότε η

εξίσωση γίνεται:

V = ( 0,397/n) D2/3 S1/2 (5.14)

Όπου:

n = ο συντελεστής τραχύτητας Manning

5.9 Τοπικές απώλειες φορτίου

5.9.1 Απώλειες φορτίου από απότομη διεύρυνση του αγωγού

Σταδιακή ή απότομη διεύρυνση του αγωγού έχει σαν συνέπεια την

απώλεια ενέργειας. Όσο πιο απότομη είναι η διεύρυνση τόσο μεγαλύτερες

είναι οι απώλειες. Όταν το μήκος του αγωγού είναι μικρό οι τοπικές απώλειες

όπως αυτές που οφείλονται σε απότομη διεύρυνση του αγωγού θα πρέπει να

υπολογίζονται γιατί συμμετέχουν σε σημαντικό ποσοστό στις απώλειες

φορτίου.

Σχήμα 5.7 Απότομη διεύρυνση αγωγού

Με την αύξηση της διαμέτρου από D1 σε D2 η ταχύτητα μειώνεται από

V1 σε V2 ενώ η πίεση από p1 αυξάνεται σε p2 με συνέπεια τη δημιουργία δινών

και στροβιλισμών στις γωνίες του διευρυμένου αγωγού (Σχήμα 5.7). Αυτές οι

δίνες και οι στροβιλισμοί του νερού αφαιρούν ενέργεια από τη ροή και

προκαλούν τις λεγόμενες απώλειες φορτίου λόγω της διεύρυνσης του αγωγού.

Οι απώλειες λόγω διεύρυνσης του αγωγού υπολογίζονται από την εξίσωση:

Page 136: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

130

hδ = g2

) V- V( 22 1

(5.15)

5.9.2 Aπώλειες φορτίου λόγω σταδιακής διεύρυνσης του αγωγού

Εάν η διεύρυνση του αγωγού είναι σταδιακή οι απώλειες υπολογίζονται

από την εξίσωση:

h΄= k΄ g2

) V- V( 22 1

(5.16)

Ο συντελεστής k΄ εξαρτάται από τη γωνία διεύρυνσης α και δίδεται από

διαγράμματα ή πίνακες.

5.9.3 Aπώλειες φορτίου λόγω απότομης στένωσης του αγωγού

Σχήμα 5.8 Απότομη στένωση αγωγού

Η περίπτωση αυτή φαίνεται στο Σχήμα 5.8. Υπάρχει μια απότομη μείωση της

πίεσης από p1 σε p2 επειδή υπάρχει μεγάλη αύξηση της ταχύτητας και

απώλεια ενέργειας λόγω των στροβιλισμών. Οι απώλειες δίνονται από την

εξίσωση:

hσ = kσ g2

V22 (5.17)

Page 137: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

131

Οι τιμές του συντελεστή kσ δίνονται στο Πίνακα 5.2.

Πίνακας 5.2 Τιμές του συντελεστή kσ για απότομη στένωση αγωγού

D2/D1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Ο,8 0,9 1,0

kσ 0,50 0,45 0,42 0,39 0,36 0,33 0,28 0,22 0,15 0,06 0,00

5.9.4 Τοπικές απώλειες φορτίου σε διαφορα εξαρτήματα

Η απώλεια φορτίου σε διάφορα εξαρτήματα (βάνες, καμπύλες κ.λ.π.) που

συναντά το νερό κατά τη ροή του στους αγωγούς μπορούν να εκφρασθούν

γενικά με την εξίσωση kV2/2g. Οι τιμές του συντελεστή k για διάφορα

εξαρτήματα δίδεται στο Πίνακα 5.3.

Πίνακας 5.3 Τιμές συντελεστή k για απώλειες σε διάφορα εξαρτήματα

Εξάρτημα k

Βάννα σφαιρική (ανοικτή) 10

Βάννα γωνιακή (ανοικτή) 5

Κλειστή καμπύλη 2,2

Ταύ (Τ) 1,8

Μικρής ακτίνας καμπύλη 0,9

Μεσαίου μήκους ακτίνας καμπύλη 0,75

Μεγάλου μήκους ακτίνας καμπύλη 0,60

Καμπύλη 45ο 0,42

5.9.5 Τοπικές απώλειες στην είσοδο του αγωγού από δεξαμενή

Η εξίσωση υπολογισμού είναι hεισ = kσ V2 /2g. Μερικές τιμές του

συντελεστή k για τις συνθήκες εισόδου από τη δεξαμενή στον αγωγό που

περιγράφονται (βλέπε και Σχ. 4.6) είναι: στρογγυλευμένα χείλη kσ =0,04,

αιχμηρά χείλη kσ =0,5, εισέχον-εξέχον αγωγός kσ =0,8.

Page 138: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

132

Παραδείγματα

Για τη λύση των προβλημάτων στους σωληνωτούς αγωγούς

xρησιμοποιούνται οι παρακάτω εξισώσεις:

α) η εξίσωση συνέχειας:

Q = A V = 4

D π 2

V

β) Η εξίσωση των Darcy-Weisbach

hf = g2

V

D

L 2

γ) η συναρτησιακή εξίσωση τριβής

f = f Re, k/D, σχήμα, μέγεθος

που δίνεται από το διάγραμμα Moody και

δ) από την εξίσωση ενέργειας Bernoulli

Z1 + + 2g

V +

γ

p + Z =

2g

V +

γ

p 222

2

211

Σhf

Παράδειγμα 5.1

Ένα λάδι έχει συντελεστή κινηματικού ιξώδους 1,8 10-5 m/s2 και ρέει σε

σωλήνα διαμέτρου 10 cm με ταχύτητα 0,5 L/s. Ti τύπος ροής είναι παράλληλη

ή τυρβώδης

Λύση

V = A

Q =

4/)10(π

5002 = 6,37 cm/s ή 0,0637 m/s και επομένως

Re = ν

D V = 5-

10x8,1

0,10 x 0637,0

s/m

s/mxm2 = 354

Eπομένως η ροή είναι παράλληλη.

Page 139: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

133

Παράδειγμα 5.2

Ένας αγωγός έχει μήκος 200 m και διαμετρο 15 cm. Να βρεθεί το ύψος

των απωλειών ενέργειας λόγω τριβών αν η παροχή του νερού είναι 45,5 l/s

και ο συντελεστής τριβής f = 0,04.

Λύση

Η ταχύτητα ροής είναι:

V = 4/dπ

Q2 =

4/)15.0(x14,3

0455,02 = 2,576 m/s

Επομένως οι απώλειες λόγω τριβών που δίνεται από την εξίσωση

Darcy – Weisbach θα είναι:

hf = f g2

V

d

L 2

= 0,04 x 81,9x2

(2,576) x

15,0

200 2

= 18,04 m

Παράδειγμα 5.3

Δύο δεξαμενές πετρελαίου συνδέονται με σωλήνα μήκους 200 m και

ακτίνας 7,5 cm. Ποια πρέπει να είναι η υψομετρική διαφορά των δεξαμενών

ώστε η παροχή να είναι 30 L/s. Το κινηματικό ιξώδες είναι 2x10-4 m2/s και οι

τοπικές απώλειες θεωρούνται αμελητέες.

Λύση

Η ταχύτητα του πετρελαίου στον αγωγό είναι:

Q = π r2 V και επομένως

V = =(0,075) x 3,14

0,03 =

Q22

1,7 m/s

Ο αριθμός Reynolds είναι:

R = 4-10 x 2

0,15 x 1,7 =

ν

Vd= 1275 < 2000-10-14

Page 140: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

134

Επομένως η ροή είναι στρωτή και ισχύει

f = 1275

64 =

R

64 = 0,05

Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli στις δύο επιφάνειες των δεξαμενών:

0 + 0 + Ζ = 0 + 0 + 0 + hF ή

Ζ = hF δηλαδή η εξίσωση (5.3) . Αντικαθιστώντας παίρνουμε:

Z = f L V2 /2gD = 0,05 x 200 x (1,7)2/2x9,81x0,15 = 14,2 m.

Παράδειγμα 5.4

Ένας σωληνωτός αγωγός από χυτοσίδηρο έχει διάμετρο 8 ίντσες, μήκος

1000 m που μεταφέρει νερό θερμοκρασίας 200 με παροχή 0,13 m3/h. Να

υπολογιστούν οι απώλειες φορτίου μέσα στον αγωγό λόγω των τριβών στα

τοιχώματα του αγωγού.

Δίδονται: 1 ίντσα = 0,0254 m, ν = 1,007 x 10-6 m2/s, k χυτοσιδήρου = 0,0259

cm.

Λύση

Η σχετική τραχύτητα είναι:

0,001275 = 2032,0

0,00259 =

D

k

Aπό την εξίσωση συνέχειας έχουμε:

V = m/s 4 = (0,2032) x 3,14

0,13 x 4 =

Q422

O αριθμός Reynolds είναι:

Re = 610x007,1

0,2032 x 4 =

ν

VD = 8,07 10-5

Aπό το διάγραμμα Moody βρίσκουμε την τιμή του συντελεστή τριβής f

που αντιστοιχεί στη σχετική τραχύτητα k/D=0,001275 και αριθμό Reynolds

Re=8,07 x 10-5 που είναι f = 0,021

Page 141: ΑΡ∆ΕΥΣΕΙΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΕΙΣ · 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν με στόχο την παροχή ενός απαραίτητου

135

Οι γραμμικές απώλειες υπολογίζονται από την εξίσωση Darcy-

Weisbach και είναι:

hf = g2

V

D

L 2

= 0,021x 81,9x2

4 x

2032,0

1000 2

= 84,28 m.