9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni...
Transcript of 9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni...
9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model
SMO (sistem masovnog opsluživanja)SMO (sistem masovnog opsluživanja)SMO (sistem masovnog opsluživanja) SMO (sistem masovnog opsluživanja)
j – trenutni broj poslova (zahteva) u sistemu, stanje sistema
k i i jn – kapacitet sistema j ≤ n, n≤+∞
λj – intenzitet prispeća zahteva kada u sistemu postoji j zahteva(λn=0 - kada je sistem, pun ne može nijedan posao da dođe u sistem)
μj – intenzitet odlazaka (μ0 = 0 - kada je sistem prazan nema odlazaka)
U opU opštem slučaju, intenziteti prispeća i opsluživanja su zavisni od trenutnog štem slučaju, intenziteti prispeća i opsluživanja su zavisni od trenutnog
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
1
pp j , p p p j gj , p p p j gstanja sistema, tj. trenutnog broja zahteva u sistemu (zato pišemo stanja sistema, tj. trenutnog broja zahteva u sistemu (zato pišemo λλjj, , μμjj ))
9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model
Dijagram prelaza stanjaDijagram prelaza stanjaDijagram prelaza stanjaDijagram prelaza stanja
Sj - stanje sistema kada u njemu ima j zahteva; Sj 1 prethodno stanje;Sj-1 prethodno stanje; Sj+1 sledeće stanje (posmatramo susedna stanja)
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
2
9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model
EksponencijalniEksponencijalni modelmodel rorođđenjaenja ii smrtismrti (EM(EMRRS/EBDMS/EBDMEksponencijalniEksponencijalni model model rorođđenjaenja ii smrtismrti (EM(EMRRS/EBDMS/EBDM ––Exponential Birth Death ModelExponential Birth Death Model))
Posmatramo sistem konačnog kapaciteta n koji se može naći u jednom od n+1diskretnih stanja gde je Sj stanje sistema kada u sistemu ima j zahtevadiskretnih stanja, gde je Sj stanje sistema kada u sistemu ima j zahteva,j∈{o,1,…,n}, n≤+∞. Prosečan intenzitet prispeća zahteva λj, λj≥0, j=0,1,..,n-1, λn=0Prosečan intenzitet odlazaka zahteva μj, μj≥0, j=1,2,..,n, μ0=0μj, μj , j , , , , μ0
p0 + p1 + ... + pn = 1
( )( )i
ttP i t e λλ − ⋅⋅= ⋅
Izraz za Poisson-ovu raspodelu za male vremenske intervale i male i št j ij M kl d
( , )!XP i t e
i= ⋅
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
3
priraštaje vremena razvijamo u Maklorenov red:
9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model
EksponencijalniEksponencijalni modelmodel rorođđenjaenja ii smrtismrti (EM(EMRRS/EBDM)S/EBDM)EksponencijalniEksponencijalni model model rorođđenjaenja ii smrtismrti (EM(EMRRS/EBDM)S/EBDM)
( )( , )!
it
XtP i t e
iλλ − ⋅⋅
= ⋅
dt→0Px(0,dt)= ≈1-λ·dtPx(1,dt)=
!idte λ− ⋅
( ) ( )21dtdt e dt dt dt dt dtλλ λ λ λ λ λ− ⋅⋅ ⋅ ≈ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ≈ ⋅Px(i,dt) ≈0, za i>1
Sistem, dakle, nikad ne pravi direktne prelaze u stanje koje se po broju poslova razlikuje od polaznog za više od jedan
( ) ( )
poslova razlikuje od polaznog za više od jedan.
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
4
9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model
Posmatramo vremenski interval 1/λ između 2 događaja i određujemo verovatnoćuPosmatramo vremenski interval 1/λ između 2 događaja, i određujemo verovatnoćuprelaska iz tekućeg stanja Sj u susedna stanja:
P[j→j+1]=Pj·λj dt - (verovatnoća da se nalazi u stanju Sjpomnožena verovatnoćom stizanja novog zahteva)
Sj
p j g )p0+p1+p2+…+pn=1
P[j→j-1]= Pj·μj dt - (verovatnoća da se nalazi u stanju Sj pomnožena verovatnoćomodlaska starog zahteva)
j
Određujemo verovatnoću zaticanja sistema u stanju j:1. Ako je bio u tom stanju i nije se desila nikakva promena (bio i ostao)2. Došao u stanje j, u dva smera: • iz prethodnog, tako što je došao zahtev
• iz sledećeg tako sto je opslužen zahtev• iz sledećeg, tako sto je opslužen zahtev
pj(t+dt)=pj{1-Pr[ odlaska iz stanja j ]} + P[dolazak u stanje j u toku dt], j=1,…,n-1
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
5
verovatnoća da se ne pojavi ili ne opsliži nijedan zahtev
9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model
Izvodi verovatnoća stanja:
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
6
9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model
Pretpostavka da je proPretpostavka da je proššlolo dovoljnodovoljno vremena da bi sistem uvremena da bi sistem uššao uao u
λj-1
jj 1
p j pp j p jjravnoteravnotežžno stanje tj. nastupila je no stanje tj. nastupila je STOHASTISTOHASTIČČKA RAVNOTEKA RAVNOTEŽŽAA::
μj
jj-1
U stacionarnom režimu važi ravnoteža
Jednačina ravnoteže Jednačina ravnoteže (balansa) saobraćaja:(balansa) saobraćaja:
saobracaja
pj-1· λj-1 = pj · μj
ppjj--11·· λλjj--11dtdt - verovatnoverovatnoćća a prelaskaprelaska iziz stanjastanja jj--11 u u jjppjj ·· μμjj dtdt -- verovatnoverovatnoćća a prelaskaprelaska iziz stanjastanja jj u u jj--11
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
7
9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model
0, 0,1, 2, ...,jdpj N
dt= = ⇒
01 0
1
·1
p pλμ
λ λλ
= ⋅
0 112 1 1 1 0 0 1 0
2 2 1 2
j 1
1 [( )· · ] · ··
1·
ji
p p p p p
p p p
λ λλλ μ λ
μ μ μ μ
λ λ −
= ⋅ + − = =
− ⎡ ⎤= = ⋅⎢ ⎥Πj j 1 0
1j
· i i
p p pμ μ−
=
= = ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦Π
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
8
9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model
Formula rođenja i smrtiFormula rođenja i smrti FRSFRSFormula rođenja i smrti Formula rođenja i smrti -- FRSFRS
01
1n
kk
p p=
+ =∑1
01
1
1
k
n ki
pλ
=
−
=+∑Π
11
1
1ik i
ji
μλμ
==
−
+∑Π
Π1
1
1 11
i ij n k
i
k i i
pμλμ
=
−
= =
=+ ΣΠ
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
9
iμ
9.4 Parametri sistema i njihove veze
11 ProsProsečan broj poslova u sistemu masovnog opsluživanja (SMO)ečan broj poslova u sistemu masovnog opsluživanja (SMO)::1.1. ProsProsečan broj poslova u sistemu masovnog opsluživanja (SMO)ečan broj poslova u sistemu masovnog opsluživanja (SMO)::
0 1
n n
j jj j
J j p j p= ⋅ = ⋅∑ ∑
2.2. Produktivnost sistema (throughput), protok zahteva kroz sistem:Produktivnost sistema (throughput), protok zahteva kroz sistem:
0 1j j= =
1 Pretpostavka je da nema Pretpostavka je da nema nagomilavanja posla, nagomilavanja posla, λλnn=0=0 , tj. , tj. sistem odbija nove zahteve kada sistem odbija nove zahteve kada je punje pun
1
0 0
n n
j j j jj j
X p pλ λ−
= =
= ⋅ = ⋅ =∑ ∑je punje pun
Ako ne bi postojalo odbijanje Ako ne bi postojalo odbijanje zahteva bilo bi zahteva bilo bi λλnn≠≠000 1
n n
j j j jj j
p pμ μ= =
= ⋅ = ⋅∑ ∑
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
10
nn
9.4 Parametri sistema i njihove veze
33 Iskorišćenost:Iskorišćenost:3.3. Iskorišćenost:Iskorišćenost:pp00 verovatnoverovatnoćća a dada je je sistemsistem besposlenbesposlen11--pp00 verovatnoverovatnoćća a dada obraobrađđujeuje bar bar jedanjedan posaoposaoUz samo jedan server iskorišćenje je:Uz samo jedan server iskorišćenje je:Uz samo jedan server iskorišćenje je:Uz samo jedan server iskorišćenje je:
UU == 11--pp00
4.4. Vreme boravka posla u sistemu:Vreme boravka posla u sistemu:
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
11
9.4 Parametri sistema i njihove veze
5 Little ova formula:5. Little-ova formula:
J = X · T
(važi i za mnoge druge sisteme)
6. Prosečno vreme boravka posla u sistemu:
T = J / XT = J / X
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
12
9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO
λ const inten itet prispećaλ = const, intenzitet prispeća zahteva, nezavistan od stanja sistema jλ0=λ1=…=λn-1=λμ - intenzitet opsluživanja μ0=μ1=…=μn=μn - sistem konačnog kapaciteta
(maksimalno n-1 u redu za čekanje i 1 koji se servisira)Ovo je sistem M|M|1|n-1:Ovo je sistem M|M|1|n-1:M|M - Eksponencijalna raspodela pristizanja/opsluživanja zahteva1 - jedan kanal (server) Kapacitet reda čekanja: n-1. Ukupan kapacitet sistema je n.p j p p jMaksimalna produktivnost sistema: Xmax = μ
Radi jednostavnosti, uvodimo smenu λρμ
=
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
14
μ
9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO
Dijagram prelaza stanja sistema:
Pišemo formulu rođenja i smrti za ovaj sistem. Razmatramo odvojeno j j jslučajeve kada je i kada je
1 1 1i iρ ρ− −
, . 1tjλ μ ρ≠ ≠ 1ρ ≠
0 01 1
1
1 1 1, , ( 1), 1, 2...,1 11
i ijN n n
i
J
p p p j nρ ρρ ρ ρ
ρ ρρ+ +
=
= = = ⋅ = ⋅ ≠ =− −+∑
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
15
9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO
Specijalan slučaj (ρ = 1), sva stanja su jednako verovatna:
0 01 1, 1, 2, ...,
1 1jp p p j nn n
= = = =+ +
Srednje vreme opsluživanja, u svakom slučaju iznosi:
1s =
Iskorišćenost servera:
sμ
=
0 1
11 , 11
n
nU p ρρ ρρ +
−= − = ⋅ ≠
−, 1
1nU
nρ= =
+
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
16
9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO
S d ji b j ht i t ( dif i jSrednji broj zahteva u sistemu (sume se diferenciraju pa integrale član po član):
1+1
0 10 1
1 ( 1)... , za 11 1
n nn ni
j nj j
n nJ j p p j ρ ρ ρρ ρρ ρ
+
+= =
− + ⋅ + ⋅= ⋅ = ⋅ = = ⋅ ≠
− −∑ ∑
( )11 1 , za 11 1 2 2
n n n nJ j ρ⋅ +
= ⋅ = ⋅ = =∑0
,1 1 2 2i
jn n
ρ=+ +∑
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
17
9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO
Intenzitet prispeća zahteva u sistem (suma nije do n jer jeIntenzitet prispeća zahteva u sistem (suma nije do n, jer je sistem sa otkazivanjem, u poslednjem stanju ne prima zahteve, λn=0):
1
10
1(1 ) , 1; 1
nn
j n nj
X p p ρλ λ λ ρρ
−
+
−= ⋅ = ⋅ − = ⋅ ≠
−∑0
1
1
1
1 , 11 1 1
j
n
j
n nXn n n
ρ
λ μλ ρ
=
−
=
⋅ ⋅= ⋅ = = =
+ + +∑Kako je jedan deo zahteva odbačen nepovratno imamo X < λ, a X ≤ μ = Xmax.
-Prihvaćen tok poslova je (1-pn)·λ, a odbijen tok je pn·λ. -Sve dok je λ<μ nema nagomilavanja uz graničnu vrednost λ=μ Za λ>μ dolazi do-Sve dok je λ<μ nema nagomilavanja, uz graničnu vrednost λ=μ. Za λ>μ dolazi do zagušenja. -Ako pretpostavimo da je n veliko, ρ<1, onda nema odbacivanja:
1 (1 )jp pρ ρ ρ= − = ⋅ −
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
18
0 1 , (1 )p pρ ρ ρ= =
9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO
Srednje vreme boravka zahteva u sistemu:
11 ( 1) 1n nJ n nT ρ ρ ρ +− + ⋅ + ⋅
1
( ) , 1; (1 ) 1
1 1 1
nTX
n nT
ρ ρ ρρ
λ ρ ρ
ρ
+= = ⋅ ≠⋅ − −
+ += = = , 1
2 2T ρ
λ μ= = =
⋅ ⋅
Kada n teži beskonačnosti, dobijaju se izrazi za M/M/1.
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
19
9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO
Za M/M/1 sistem važi:Zakon iskorišćenja:
0 01 , 1p U pX X U X
ρ ρλ
= − = − = 1/μ = - srednje vreme opsluživanjaμ - intenzitet opsluživanja
s
Srednji broj zahteva:
max
s X U s XX
ρμ
= = = ⋅ ⇔ = ⋅ λ - intenzitet prispeća zahteva
1 1UJ
Uρρ
= =− −
Intenzitet prispeća zahteva:
1 1 Uρ− −
max max1,UX U X X
s sλ μ= = = ⋅ = =
Srednje vreme boravka zahteva:
min1 1 , kada je U 0
(1 ) (1 ) 1sT T sU X X
ρλ ρ μ ρ
= = = = ⇒ = →⋅ − ⋅ − − −
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
20
max(1 ) (1 ) 1 U X Xλ ρ μ ρ⋅ − ⋅ − − −
9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO
Kada je u pitanju samo vreme opsluživanja – posmatramo kao da je
1T T T
Kada je u pitanju samo vreme opsluživanja posmatramo kao da je zahtev došao u prazan red – ne računamo čekanje. Vreme čekanja dobijamo kad od ukupnog vremena oduzmemo vreme servisiranja.
,(1 )
- vreme čekanja
j i i j
q
q
T T T sq
Tμ
= = −⋅ −
- srednje vreme servisiranjas
s s U1 1q
s s UT s s JU U
⋅= − = = ⋅
− −Za U → 1 imamo Tq → ∞
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
21
9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)
Imamo više ekvivalentnih paralelnih servera koji opslužuju zahteve:
I i h Z h k š i d k d k đImamo i zahteva. Zahtev pokušava pristup redom svakom serveru dok ne nađe slobodan server. Ukoliko je i≤c imamo i aktivnih servera, a ako je i≥c onda su sviserveri aktivni, pa se pristupa prvom oslobođenom serveru.
Intenzitet opsluživanja nije konstantan, već zavisi od broja poslova u sistemu.Intenzitet opsluživanja nije konstantan, već zavisi od broja poslova u sistemu.Discipline opsluživanja: 1. prvi slobodan server, počev od prvog servera pa redom do c2. najduže slobodan server prihvata zahtev za opsluživanje3 i b l ži l č j či (k d lik t ć j 3 di 2 )
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
23
3. izbor opslužioca na slučajan način (kod velikog opterećenja 3. se svodi na 2.)
9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)
Višekanalno opsluživanje:Višekanalno opsluživanje:
j je broj zahteva u sistemu, c – broj opslužilaca1 zahtev, 1 opslužilac radi ⇒ intenzitet opsluživanja je μc zahteva c opslužilaca ⇒ c·μ
j
c zahteva, c opslužilaca ⇒ c μj zahteva, c opslužilaca ⇒ c·μ, za j≥c
j·μ, za j≤c
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
24
9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)
Pretpostavka: n→∞, tj. kapacitet sistema je velikiλ/ρ= λ/μ,
ρ1 = λ1/μ1 = λ/μ = ρρ2 = λ2/μ2 = λ/2 · μ = ρ/2…ρc = λc/μc = λ/c · μ = ρ/c{ , 1,2,...,
, , 1,...
, 0, j
j j cj c j c c
za jμμ
λ λ
μ ⋅ =⋅ = +
= >
=Formula rođenja i smrti:
ρc μ μ ρ{ , , 1,...j c j c cμμ +
0 , 0,1, ...,!
j
jp p j cjρ
= ⋅ =
Srednji broj poslova koji čekaju:
0
!
, , 1, ...!
j
j j c
j
p p j c cc cρ
−= ⋅ = +⋅
Srednji broj poslova koji čekaju:
( )
10
0 2 21( ) ...
! ( 1)!1
cc
q jj c
pcJ j c p pc c c
ρρρ
ρ ρ
+∞
= +
⋅= − ⋅ = = ⋅ ⋅ =
− ⋅ −⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ Čekaju samo poslovi od c+1, c+2,..., jer je c poslova zauzelo c opslužilaca
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
25
c⎜ ⎟⎝ ⎠
9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)
• Koristeći Little-ovu formulu, možemo izračunati srednje vreme čekanjaposlova u sistemu kao:
J J
• U našem slučaju je , jer je sistem neograničenog kapaciteta iki ht ih t ij d dbij
, gde je ' efektivna brzina prispeća zahteva u sistemu.'
q qq
J JT
Xλ
λ= =
'λ λ=svaki zahtev se prihvata, a nijedan ne odbija.
' 1j j jp pλ λ λ λ λ∞ ∞
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =∑ ∑0 0
j j jj j
p p= =∑ ∑
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
26
9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)
Srednje vreme čekanja:
Srednje vreme boravka u sistemu:
02( 1)! ( )
cq
q
J pT
c cρ
λ μ ρ⋅
= =⋅ − ⋅ −
j
02
1 1 [1 ]( 1)! ( )
c
qp
T Tc c
ρμ μ ρ
⋅= + = ⋅ +
− ⋅ −
Srednji broj zahteva (poslova) u sistemu:
02[1 ], 1, 2, 3, ...
( 1)! ( )
c
q qp
J T J J cc c
ρλλ ρ ρμ ρ
⋅= ⋅ = + = + = ⋅ + =
( 1)! ( )q q c cμ ρ− ⋅ −
Jq – srednji broj poslova koji čekajuJ- Jq = ρ – srednji broj poslova koji se opslužuju
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
27
9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)
Iz formule rođenja i smrti (FRS) određujemo p0 – verovatnoću stanja u j ( ) j p0 jkome je sistem bez zahteva:
1 1p = =0 11
11 1
11! !
1 1
j j jci
j cj j cj i i
p
j c cλ ρ ρμ
− ∞∞−
−= == =
= =+ ++
⋅∑ ∑∑∏
1 1
1 1 0
1 1! ! ! !
1 1
j c j c j c jc c
j c jj j c j jj c c j c cρ ρ ρ ρ ρ ρ−− ∞ − ∞
−= = = =
= =+ + ⋅ + + ⋅∑ ∑ ∑ ∑
( )1 1
1 1
1 1
1 1! ! ! ( 1)!
j c j cc c
j j
cj c c j c cρ ρ ρ ρ
ρ ρ
− −
= =
= =+ + ⋅ + +
− − ⋅ −∑ ∑
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
28
9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)
Specijalan slučaj, c=2. Dobijamo formulu za sistem M|M|2:
( )0 21
1
1 1 2 , 21 1
! ( 1)! 2
j cc
j
p
j c c
ρρ ρ ρ ρρ
ρ ρ
−
=
−= = =
++ + + +
− ⋅ − −∑ ( )1
1 0 0 0
( )
, 2 2 , 2, 3, ...2 2
j
jj
j j
j
j
p p p p p j
ρ ρ
ρ ρρ
=
⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞
Srednji broj zahteva u sistemu:
02 , 1, 2,3, ...2
j
jp p jρ⎛ ⎞=> = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
42j
ρρ ρ∞ ∞ ⎛ ⎞∑ ∑0 0 2 2
1 1
422 22 4
12
jj j
J j p p j pρ ρρρ= =
⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
S d j b k i t4 1JT λ
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
29
Srednje vreme boravka u sistemu: 22 22
,(4 ) (1 ) 2
T ρλ μ ρ μ ρ μ
= = = =− −
9.7 Šta je bolje – dvoprocesorski sistem ili dvostruko brži procesor?
1. Dvostruko brži procesor
1 2λρμ
=1
1| | 1 sistem 2 (1 )
M M T⇒ =2μ 112 (1 )μ ρ⋅ ⋅ −
2 Dvoprocesorski sistem2. Dvoprocesorski sistem
2 1 2λρ ρμ
= =
2 22
1| | 2 sistem (1 )
M M Tμ ρ
⇒ =⋅ −
2μ
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
30
2
9.7 Šta je bolje – dvoprocesorski sistem ili dvostruko brži procesor?
21 1
2 2
(1 ) 1 1, 1 2 (1 ) 2
T TT T
μ ρ ρ ρμ ρ⋅ − +
= ⇒ = < <⋅ ⋅ −
Kada je intenzitet prispeća mali ρ→0 (neopterećen sistem) ⇒ T2 = 2·T1Porast prispeća zahteva ρ→1, ali nikada neće biti T1>T2
Zaključak: Bez obzira na intenzitet zahteva, dvostruko brži procesor ćej , puvek brže opsluživati prispele zahteve od dvoprocesorskog sistema.
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
31
11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli
ekvivalentni paralelni serveri(iz zajedničkog reda se uzimaju zahtevi
za obradu)
neekvivalentni paralelni serveri(ulazni tok se sa verovatnoćom pi upućuje u granu i, red čekanja nije zajednički)
Glavni razlozi za uvođenje paralelnih servera:
1. povećanje produktivnosti 2. povećanje kapaciteta memorije
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
32
2. povećanje kapaciteta memorije 3. povećanje pouzdanosti i raspoloživosti sistema
11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli
Teorijska razmatranja
1. Ako se ulazni Poisson-ov tok dekomponuje na više grana sa poznatim verovatnoćama pi, tada je na svakoj od grana tok takođe Poisson-ov, na i-t j i č i t it t λ λ i 1 2 k (K b hi j t d ktoj grani prosečnog intenziteta λi=pi·λ , i=1,2,…,k (Kobayashi je to dokazao 1978.)
2 Ako se k nezavisnih Poisson ovih tokova sa parametrima λ λ sastavi2. Ako se k nezavisnih Poisson-ovih tokova sa parametrima λ1,…, λk sastavi u jedan izlazni tok, taj tok će biti Poisson-ov sa prosečnim intenzitetom λ=λ1+λ2+… +λk
3. Izlazni tok iz sistema M|M|c je Poisson-ov (dokazao Burke 1978.) sa intenzitetom napuštanja koji je jednak intenzitetu prispeća
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
33
11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli
Ako je u sistemu paralelnih servera intenzitet opsluživanja u jednom kanalu μ, određujemo intenzitet opsluživanja celog sistema u kome je jposlova (prosečan intenzitet izlaska zahteva iz sistema):
μ(j)=μ·a(j) , 0≤a(j)≤k , j≥0, j je broj zahteva u sistemu, k broj opslužioca.
Zavisno od funkcije a(j) razmatramo 4 modela (3 su fizička, poslednji je matematički):
• L - low• M - medium• M medium• H - high • A - adaptive(podesiv)
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
34
11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli
L – model (opterećenje niskog intenziteta)To je sistem neekvivalentnih paralelnih servera kod kojih se sa istom verovatnoćom
pristupa svakoj od k grana:p1=p2=…=pk=1/k , zahteve označavamo sa i∈{1,2,…,j} , servere sa s∈{1,2,…,k}
p=1/k= P[i-ti zahtev se obraća s-tom serveru] , 1-p=P[i-ti zahtev se ne obraća s-tom serveru]
j = P[ni jedan od j zahteva se ne obraća s-tom serveru, s-ti server je besposlen]
=P[s-tom serveru se obraća bar jedan od j zahteva, s-ti server je aktivan]
(1 ) jp−
1 (1 ) jp− −
Prosečan broj (srednji) istovremeno aktivnih servera u L modelu sa k servera i j zahteva:
1( ) 1 (1 ) 1 1j
ja j k p kk
⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤= − − = − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
35
( ) ( )j pk⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli
M – model
Odgovara sistemu sa ekvivalentnim paralelnim serverima.
k je najveći broj aktivnih servera
Ukoliko se sistamu upućuje j≤k poslova pri tada je a(j)=j.Ukoliko se sistamu upućuje j≤k poslova pri tada je a(j) j.Ukoliko se sistemu upućuje više od k poslova, tada je a(j)=k.
a(j)= j j≤k μj= j·μ j≤ka(j)= j , j≤k μj= j μ , j≤k k, j≥k k·μ, j≥k
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
36
11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli
H – model (opterećenje visikog intenziteta)
Svi serveri su aktivni:
Naziva se još i model maksimalnog dohvatljivog nivoa
a(j)=k
- Naziva se još i model maksimalnog dohvatljivog nivoa.- Zavistan od načina distribucije poslova po serverima.- Posao treba da se vrši paralelno na svim trenutno slobodnim serverima (poslovi se
idealno raspoređuju po svim opslužiocima).- Za svaki broj poslova u sistemu, aktivan broj servera je k (svi su uposleni).
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
37
11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli
A – model (podesivi, adaptivni model)f ( ) f ( )/( ) 1 j hj k −Nastao je iz L modela kada je uočeno da grafik a(j) liči na funkciju:
Kod L modela je:
( )/( ) 1 j ha j k e= ⋅ −
( )( ) 1 1 1/ ja j k k⎡ ⎤= ⋅ − −⎣ ⎦
Kod A modela je:
Ako se izjednače ove funkcije za određene k i j, jednakost će važiti za
h je parametar za podešavanjeoblika karakteristike krive (h>0)( )/( ) 1 j ha j k e−= ⋅ −
1l ( / ( 1))
hk k
=
Za veliko k, ovaj parametar h teži k, pa se funkcija a(j) za A model često aproksimira sa:ln( / ( 1))k k −
( )/( ) 1 j ha j h e−= ⋅ − 1h k= →
Može da se pronađe i takvo h da odgovarajući A model bude ekvivalentan M ili H modelu.
( )( )j ,ln( / ( 1))
h kk k
= →−
ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema
38