9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni...

38
9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model SMO (sistem masovnog opsluživanja) SMO (sistem masovnog opsluživanja) SMO (sistem masovnog opsluživanja) SMO (sistem masovnog opsluživanja) j – trenutni broj poslova (zahteva) u sistemu, stanje sistema k i i j n kapacitet sistema j n, n+λ j – intenzitet prispeća zahteva kada u sistemu postoji j zahteva (λ n =0 - kada je sistem, pun ne može nijedan posao da dođe u sistem) μ j intenzitet odlazaka (μ 0 =0 - kada je sistem prazan nema odlazaka) U op U opštem slučaju, intenziteti prispeća i opsluživanja su zavisni od trenutnog štem slučaju, intenziteti prispeća i opsluživanja su zavisni od trenutnog ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema 1 stanja sistema, tj. trenutnog broja zahteva u sistemu (zato pišemo stanja sistema, tj. trenutnog broja zahteva u sistemu (zato pišemo λ j , , μ j )

Transcript of 9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni...

9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

SMO (sistem masovnog opsluživanja)SMO (sistem masovnog opsluživanja)SMO (sistem masovnog opsluživanja) SMO (sistem masovnog opsluživanja)

j – trenutni broj poslova (zahteva) u sistemu, stanje sistema

k i i jn – kapacitet sistema j ≤ n, n≤+∞

λj – intenzitet prispeća zahteva kada u sistemu postoji j zahteva(λn=0 - kada je sistem, pun ne može nijedan posao da dođe u sistem)

μj – intenzitet odlazaka (μ0 = 0 - kada je sistem prazan nema odlazaka)

U opU opštem slučaju, intenziteti prispeća i opsluživanja su zavisni od trenutnog štem slučaju, intenziteti prispeća i opsluživanja su zavisni od trenutnog

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

1

pp j , p p p j gj , p p p j gstanja sistema, tj. trenutnog broja zahteva u sistemu (zato pišemo stanja sistema, tj. trenutnog broja zahteva u sistemu (zato pišemo λλjj, , μμjj ))

9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

Dijagram prelaza stanjaDijagram prelaza stanjaDijagram prelaza stanjaDijagram prelaza stanja

Sj - stanje sistema kada u njemu ima j zahteva; Sj 1 prethodno stanje;Sj-1 prethodno stanje; Sj+1 sledeće stanje (posmatramo susedna stanja)

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

2

9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

EksponencijalniEksponencijalni modelmodel rorođđenjaenja ii smrtismrti (EM(EMRRS/EBDMS/EBDMEksponencijalniEksponencijalni model model rorođđenjaenja ii smrtismrti (EM(EMRRS/EBDMS/EBDM ––Exponential Birth Death ModelExponential Birth Death Model))

Posmatramo sistem konačnog kapaciteta n koji se može naći u jednom od n+1diskretnih stanja gde je Sj stanje sistema kada u sistemu ima j zahtevadiskretnih stanja, gde je Sj stanje sistema kada u sistemu ima j zahteva,j∈{o,1,…,n}, n≤+∞. Prosečan intenzitet prispeća zahteva λj, λj≥0, j=0,1,..,n-1, λn=0Prosečan intenzitet odlazaka zahteva μj, μj≥0, j=1,2,..,n, μ0=0μj, μj , j , , , , μ0

p0 + p1 + ... + pn = 1

( )( )i

ttP i t e λλ − ⋅⋅= ⋅

Izraz za Poisson-ovu raspodelu za male vremenske intervale i male i št j ij M kl d

( , )!XP i t e

i= ⋅

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

3

priraštaje vremena razvijamo u Maklorenov red:

9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

EksponencijalniEksponencijalni modelmodel rorođđenjaenja ii smrtismrti (EM(EMRRS/EBDM)S/EBDM)EksponencijalniEksponencijalni model model rorođđenjaenja ii smrtismrti (EM(EMRRS/EBDM)S/EBDM)

( )( , )!

it

XtP i t e

iλλ − ⋅⋅

= ⋅

dt→0Px(0,dt)= ≈1-λ·dtPx(1,dt)=

!idte λ− ⋅

( ) ( )21dtdt e dt dt dt dt dtλλ λ λ λ λ λ− ⋅⋅ ⋅ ≈ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ≈ ⋅Px(i,dt) ≈0, za i>1

Sistem, dakle, nikad ne pravi direktne prelaze u stanje koje se po broju poslova razlikuje od polaznog za više od jedan

( ) ( )

poslova razlikuje od polaznog za više od jedan.

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

4

9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

Posmatramo vremenski interval 1/λ između 2 događaja i određujemo verovatnoćuPosmatramo vremenski interval 1/λ između 2 događaja, i određujemo verovatnoćuprelaska iz tekućeg stanja Sj u susedna stanja:

P[j→j+1]=Pj·λj dt - (verovatnoća da se nalazi u stanju Sjpomnožena verovatnoćom stizanja novog zahteva)

Sj

p j g )p0+p1+p2+…+pn=1

P[j→j-1]= Pj·μj dt - (verovatnoća da se nalazi u stanju Sj pomnožena verovatnoćomodlaska starog zahteva)

j

Određujemo verovatnoću zaticanja sistema u stanju j:1. Ako je bio u tom stanju i nije se desila nikakva promena (bio i ostao)2. Došao u stanje j, u dva smera: • iz prethodnog, tako što je došao zahtev

• iz sledećeg tako sto je opslužen zahtev• iz sledećeg, tako sto je opslužen zahtev

pj(t+dt)=pj{1-Pr[ odlaska iz stanja j ]} + P[dolazak u stanje j u toku dt], j=1,…,n-1

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

5

verovatnoća da se ne pojavi ili ne opsliži nijedan zahtev

9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

Izvodi verovatnoća stanja:

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

6

9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

Pretpostavka da je proPretpostavka da je proššlolo dovoljnodovoljno vremena da bi sistem uvremena da bi sistem uššao uao u

λj-1

jj 1

p j pp j p jjravnoteravnotežžno stanje tj. nastupila je no stanje tj. nastupila je STOHASTISTOHASTIČČKA RAVNOTEKA RAVNOTEŽŽAA::

μj

jj-1

U stacionarnom režimu važi ravnoteža

Jednačina ravnoteže Jednačina ravnoteže (balansa) saobraćaja:(balansa) saobraćaja:

saobracaja

pj-1· λj-1 = pj · μj

ppjj--11·· λλjj--11dtdt - verovatnoverovatnoćća a prelaskaprelaska iziz stanjastanja jj--11 u u jjppjj ·· μμjj dtdt -- verovatnoverovatnoćća a prelaskaprelaska iziz stanjastanja jj u u jj--11

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

7

9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

0, 0,1, 2, ...,jdpj N

dt= = ⇒

01 0

1

·1

p pλμ

λ λλ

= ⋅

0 112 1 1 1 0 0 1 0

2 2 1 2

j 1

1 [( )· · ] · ··

ji

p p p p p

p p p

λ λλλ μ λ

μ μ μ μ

λ λ −

= ⋅ + − = =

− ⎡ ⎤= = ⋅⎢ ⎥Πj j 1 0

1j

· i i

p p pμ μ−

=

= = ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦Π

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

8

9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

Formula rođenja i smrtiFormula rođenja i smrti FRSFRSFormula rođenja i smrti Formula rođenja i smrti -- FRSFRS

01

1n

kk

p p=

+ =∑1

01

1

1

k

n ki

=

=+∑Π

11

1

1ik i

ji

μλμ

==

+∑Π

Π1

1

1 11

i ij n k

i

k i i

pμλμ

=

= =

=+ ΣΠ

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

9

9.4 Parametri sistema i njihove veze

11 ProsProsečan broj poslova u sistemu masovnog opsluživanja (SMO)ečan broj poslova u sistemu masovnog opsluživanja (SMO)::1.1. ProsProsečan broj poslova u sistemu masovnog opsluživanja (SMO)ečan broj poslova u sistemu masovnog opsluživanja (SMO)::

0 1

n n

j jj j

J j p j p= ⋅ = ⋅∑ ∑

2.2. Produktivnost sistema (throughput), protok zahteva kroz sistem:Produktivnost sistema (throughput), protok zahteva kroz sistem:

0 1j j= =

1 Pretpostavka je da nema Pretpostavka je da nema nagomilavanja posla, nagomilavanja posla, λλnn=0=0 , tj. , tj. sistem odbija nove zahteve kada sistem odbija nove zahteve kada je punje pun

1

0 0

n n

j j j jj j

X p pλ λ−

= =

= ⋅ = ⋅ =∑ ∑je punje pun

Ako ne bi postojalo odbijanje Ako ne bi postojalo odbijanje zahteva bilo bi zahteva bilo bi λλnn≠≠000 1

n n

j j j jj j

p pμ μ= =

= ⋅ = ⋅∑ ∑

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

10

nn

9.4 Parametri sistema i njihove veze

33 Iskorišćenost:Iskorišćenost:3.3. Iskorišćenost:Iskorišćenost:pp00 verovatnoverovatnoćća a dada je je sistemsistem besposlenbesposlen11--pp00 verovatnoverovatnoćća a dada obraobrađđujeuje bar bar jedanjedan posaoposaoUz samo jedan server iskorišćenje je:Uz samo jedan server iskorišćenje je:Uz samo jedan server iskorišćenje je:Uz samo jedan server iskorišćenje je:

UU == 11--pp00

4.4. Vreme boravka posla u sistemu:Vreme boravka posla u sistemu:

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

11

9.4 Parametri sistema i njihove veze

5 Little ova formula:5. Little-ova formula:

J = X · T

(važi i za mnoge druge sisteme)

6. Prosečno vreme boravka posla u sistemu:

T = J / XT = J / X

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

12

9.4 Parametri sistema i njihove veze

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

13

9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO

λ const inten itet prispećaλ = const, intenzitet prispeća zahteva, nezavistan od stanja sistema jλ0=λ1=…=λn-1=λμ - intenzitet opsluživanja μ0=μ1=…=μn=μn - sistem konačnog kapaciteta

(maksimalno n-1 u redu za čekanje i 1 koji se servisira)Ovo je sistem M|M|1|n-1:Ovo je sistem M|M|1|n-1:M|M - Eksponencijalna raspodela pristizanja/opsluživanja zahteva1 - jedan kanal (server) Kapacitet reda čekanja: n-1. Ukupan kapacitet sistema je n.p j p p jMaksimalna produktivnost sistema: Xmax = μ

Radi jednostavnosti, uvodimo smenu λρμ

=

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

14

μ

9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO

Dijagram prelaza stanja sistema:

Pišemo formulu rođenja i smrti za ovaj sistem. Razmatramo odvojeno j j jslučajeve kada je i kada je

1 1 1i iρ ρ− −

, . 1tjλ μ ρ≠ ≠ 1ρ ≠

0 01 1

1

1 1 1, , ( 1), 1, 2...,1 11

i ijN n n

i

J

p p p j nρ ρρ ρ ρ

ρ ρρ+ +

=

= = = ⋅ = ⋅ ≠ =− −+∑

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

15

9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO

Specijalan slučaj (ρ = 1), sva stanja su jednako verovatna:

0 01 1, 1, 2, ...,

1 1jp p p j nn n

= = = =+ +

Srednje vreme opsluživanja, u svakom slučaju iznosi:

1s =

Iskorišćenost servera:

=

0 1

11 , 11

n

nU p ρρ ρρ +

−= − = ⋅ ≠

−, 1

1nU

nρ= =

+

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

16

9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO

S d ji b j ht i t ( dif i jSrednji broj zahteva u sistemu (sume se diferenciraju pa integrale član po član):

1+1

0 10 1

1 ( 1)... , za 11 1

n nn ni

j nj j

n nJ j p p j ρ ρ ρρ ρρ ρ

+

+= =

− + ⋅ + ⋅= ⋅ = ⋅ = = ⋅ ≠

− −∑ ∑

( )11 1 , za 11 1 2 2

n n n nJ j ρ⋅ +

= ⋅ = ⋅ = =∑0

,1 1 2 2i

jn n

ρ=+ +∑

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

17

9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO

Intenzitet prispeća zahteva u sistem (suma nije do n jer jeIntenzitet prispeća zahteva u sistem (suma nije do n, jer je sistem sa otkazivanjem, u poslednjem stanju ne prima zahteve, λn=0):

1

10

1(1 ) , 1; 1

nn

j n nj

X p p ρλ λ λ ρρ

+

−= ⋅ = ⋅ − = ⋅ ≠

−∑0

1

1

1

1 , 11 1 1

j

n

j

n nXn n n

ρ

λ μλ ρ

=

=

⋅ ⋅= ⋅ = = =

+ + +∑Kako je jedan deo zahteva odbačen nepovratno imamo X < λ, a X ≤ μ = Xmax.

-Prihvaćen tok poslova je (1-pn)·λ, a odbijen tok je pn·λ. -Sve dok je λ<μ nema nagomilavanja uz graničnu vrednost λ=μ Za λ>μ dolazi do-Sve dok je λ<μ nema nagomilavanja, uz graničnu vrednost λ=μ. Za λ>μ dolazi do zagušenja. -Ako pretpostavimo da je n veliko, ρ<1, onda nema odbacivanja:

1 (1 )jp pρ ρ ρ= − = ⋅ −

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

18

0 1 , (1 )p pρ ρ ρ= =

9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO

Srednje vreme boravka zahteva u sistemu:

11 ( 1) 1n nJ n nT ρ ρ ρ +− + ⋅ + ⋅

1

( ) , 1; (1 ) 1

1 1 1

nTX

n nT

ρ ρ ρρ

λ ρ ρ

ρ

+= = ⋅ ≠⋅ − −

+ += = = , 1

2 2T ρ

λ μ= = =

⋅ ⋅

Kada n teži beskonačnosti, dobijaju se izrazi za M/M/1.

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

19

9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO

Za M/M/1 sistem važi:Zakon iskorišćenja:

0 01 , 1p U pX X U X

ρ ρλ

= − = − = 1/μ = - srednje vreme opsluživanjaμ - intenzitet opsluživanja

s

Srednji broj zahteva:

max

s X U s XX

ρμ

= = = ⋅ ⇔ = ⋅ λ - intenzitet prispeća zahteva

1 1UJ

Uρρ

= =− −

Intenzitet prispeća zahteva:

1 1 Uρ− −

max max1,UX U X X

s sλ μ= = = ⋅ = =

Srednje vreme boravka zahteva:

min1 1 , kada je U 0

(1 ) (1 ) 1sT T sU X X

ρλ ρ μ ρ

= = = = ⇒ = →⋅ − ⋅ − − −

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

20

max(1 ) (1 ) 1 U X Xλ ρ μ ρ⋅ − ⋅ − − −

9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO

Kada je u pitanju samo vreme opsluživanja – posmatramo kao da je

1T T T

Kada je u pitanju samo vreme opsluživanja posmatramo kao da je zahtev došao u prazan red – ne računamo čekanje. Vreme čekanja dobijamo kad od ukupnog vremena oduzmemo vreme servisiranja.

,(1 )

- vreme čekanja

j i i j

q

q

T T T sq

= = −⋅ −

- srednje vreme servisiranjas

s s U1 1q

s s UT s s JU U

⋅= − = = ⋅

− −Za U → 1 imamo Tq → ∞

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

21

9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

22

9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)

Imamo više ekvivalentnih paralelnih servera koji opslužuju zahteve:

I i h Z h k š i d k d k đImamo i zahteva. Zahtev pokušava pristup redom svakom serveru dok ne nađe slobodan server. Ukoliko je i≤c imamo i aktivnih servera, a ako je i≥c onda su sviserveri aktivni, pa se pristupa prvom oslobođenom serveru.

Intenzitet opsluživanja nije konstantan, već zavisi od broja poslova u sistemu.Intenzitet opsluživanja nije konstantan, već zavisi od broja poslova u sistemu.Discipline opsluživanja: 1. prvi slobodan server, počev od prvog servera pa redom do c2. najduže slobodan server prihvata zahtev za opsluživanje3 i b l ži l č j či (k d lik t ć j 3 di 2 )

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

23

3. izbor opslužioca na slučajan način (kod velikog opterećenja 3. se svodi na 2.)

9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)

Višekanalno opsluživanje:Višekanalno opsluživanje:

j je broj zahteva u sistemu, c – broj opslužilaca1 zahtev, 1 opslužilac radi ⇒ intenzitet opsluživanja je μc zahteva c opslužilaca ⇒ c·μ

j

c zahteva, c opslužilaca ⇒ c μj zahteva, c opslužilaca ⇒ c·μ, za j≥c

j·μ, za j≤c

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

24

9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)

Pretpostavka: n→∞, tj. kapacitet sistema je velikiλ/ρ= λ/μ,

ρ1 = λ1/μ1 = λ/μ = ρρ2 = λ2/μ2 = λ/2 · μ = ρ/2…ρc = λc/μc = λ/c · μ = ρ/c{ , 1,2,...,

, , 1,...

, 0, j

j j cj c j c c

za jμμ

λ λ

μ ⋅ =⋅ = +

= >

=Formula rođenja i smrti:

ρc μ μ ρ{ , , 1,...j c j c cμμ +

0 , 0,1, ...,!

j

jp p j cjρ

= ⋅ =

Srednji broj poslova koji čekaju:

0

!

, , 1, ...!

j

j j c

j

p p j c cc cρ

−= ⋅ = +⋅

Srednji broj poslova koji čekaju:

( )

10

0 2 21( ) ...

! ( 1)!1

cc

q jj c

pcJ j c p pc c c

ρρρ

ρ ρ

+∞

= +

⋅= − ⋅ = = ⋅ ⋅ =

− ⋅ −⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ Čekaju samo poslovi od c+1, c+2,..., jer je c poslova zauzelo c opslužilaca

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

25

c⎜ ⎟⎝ ⎠

9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)

• Koristeći Little-ovu formulu, možemo izračunati srednje vreme čekanjaposlova u sistemu kao:

J J

• U našem slučaju je , jer je sistem neograničenog kapaciteta iki ht ih t ij d dbij

, gde je ' efektivna brzina prispeća zahteva u sistemu.'

q qq

J JT

λ= =

'λ λ=svaki zahtev se prihvata, a nijedan ne odbija.

' 1j j jp pλ λ λ λ λ∞ ∞

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =∑ ∑0 0

j j jj j

p p= =∑ ∑

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

26

9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)

Srednje vreme čekanja:

Srednje vreme boravka u sistemu:

02( 1)! ( )

cq

q

J pT

c cρ

λ μ ρ⋅

= =⋅ − ⋅ −

j

02

1 1 [1 ]( 1)! ( )

c

qp

T Tc c

ρμ μ ρ

⋅= + = ⋅ +

− ⋅ −

Srednji broj zahteva (poslova) u sistemu:

02[1 ], 1, 2, 3, ...

( 1)! ( )

c

q qp

J T J J cc c

ρλλ ρ ρμ ρ

⋅= ⋅ = + = + = ⋅ + =

( 1)! ( )q q c cμ ρ− ⋅ −

Jq – srednji broj poslova koji čekajuJ- Jq = ρ – srednji broj poslova koji se opslužuju

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

27

9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)

Iz formule rođenja i smrti (FRS) određujemo p0 – verovatnoću stanja u j ( ) j p0 jkome je sistem bez zahteva:

1 1p = =0 11

11 1

11! !

1 1

j j jci

j cj j cj i i

p

j c cλ ρ ρμ

− ∞∞−

−= == =

= =+ ++

⋅∑ ∑∑∏

1 1

1 1 0

1 1! ! ! !

1 1

j c j c j c jc c

j c jj j c j jj c c j c cρ ρ ρ ρ ρ ρ−− ∞ − ∞

−= = = =

= =+ + ⋅ + + ⋅∑ ∑ ∑ ∑

( )1 1

1 1

1 1

1 1! ! ! ( 1)!

j c j cc c

j j

cj c c j c cρ ρ ρ ρ

ρ ρ

− −

= =

= =+ + ⋅ + +

− − ⋅ −∑ ∑

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

28

9.6 Eksponencijalni višekanalni SMO (i specijalni slučaj c=2)

Specijalan slučaj, c=2. Dobijamo formulu za sistem M|M|2:

( )0 21

1

1 1 2 , 21 1

! ( 1)! 2

j cc

j

p

j c c

ρρ ρ ρ ρρ

ρ ρ

=

−= = =

++ + + +

− ⋅ − −∑ ( )1

1 0 0 0

( )

, 2 2 , 2, 3, ...2 2

j

jj

j j

j

j

p p p p p j

ρ ρ

ρ ρρ

=

⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞

Srednji broj zahteva u sistemu:

02 , 1, 2,3, ...2

j

jp p jρ⎛ ⎞=> = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

42j

ρρ ρ∞ ∞ ⎛ ⎞∑ ∑0 0 2 2

1 1

422 22 4

12

jj j

J j p p j pρ ρρρ= =

⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

S d j b k i t4 1JT λ

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

29

Srednje vreme boravka u sistemu: 22 22

,(4 ) (1 ) 2

T ρλ μ ρ μ ρ μ

= = = =− −

9.7 Šta je bolje – dvoprocesorski sistem ili dvostruko brži procesor?

1. Dvostruko brži procesor

1 2λρμ

=1

1| | 1 sistem 2 (1 )

M M T⇒ =2μ 112 (1 )μ ρ⋅ ⋅ −

2 Dvoprocesorski sistem2. Dvoprocesorski sistem

2 1 2λρ ρμ

= =

2 22

1| | 2 sistem (1 )

M M Tμ ρ

⇒ =⋅ −

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

30

2

9.7 Šta je bolje – dvoprocesorski sistem ili dvostruko brži procesor?

21 1

2 2

(1 ) 1 1, 1 2 (1 ) 2

T TT T

μ ρ ρ ρμ ρ⋅ − +

= ⇒ = < <⋅ ⋅ −

Kada je intenzitet prispeća mali ρ→0 (neopterećen sistem) ⇒ T2 = 2·T1Porast prispeća zahteva ρ→1, ali nikada neće biti T1>T2

Zaključak: Bez obzira na intenzitet zahteva, dvostruko brži procesor ćej , puvek brže opsluživati prispele zahteve od dvoprocesorskog sistema.

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

31

11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli

ekvivalentni paralelni serveri(iz zajedničkog reda se uzimaju zahtevi

za obradu)

neekvivalentni paralelni serveri(ulazni tok se sa verovatnoćom pi upućuje u granu i, red čekanja nije zajednički)

Glavni razlozi za uvođenje paralelnih servera:

1. povećanje produktivnosti 2. povećanje kapaciteta memorije

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

32

2. povećanje kapaciteta memorije 3. povećanje pouzdanosti i raspoloživosti sistema

11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli

Teorijska razmatranja

1. Ako se ulazni Poisson-ov tok dekomponuje na više grana sa poznatim verovatnoćama pi, tada je na svakoj od grana tok takođe Poisson-ov, na i-t j i č i t it t λ λ i 1 2 k (K b hi j t d ktoj grani prosečnog intenziteta λi=pi·λ , i=1,2,…,k (Kobayashi je to dokazao 1978.)

2 Ako se k nezavisnih Poisson ovih tokova sa parametrima λ λ sastavi2. Ako se k nezavisnih Poisson-ovih tokova sa parametrima λ1,…, λk sastavi u jedan izlazni tok, taj tok će biti Poisson-ov sa prosečnim intenzitetom λ=λ1+λ2+… +λk

3. Izlazni tok iz sistema M|M|c je Poisson-ov (dokazao Burke 1978.) sa intenzitetom napuštanja koji je jednak intenzitetu prispeća

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

33

11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli

Ako je u sistemu paralelnih servera intenzitet opsluživanja u jednom kanalu μ, određujemo intenzitet opsluživanja celog sistema u kome je jposlova (prosečan intenzitet izlaska zahteva iz sistema):

μ(j)=μ·a(j) , 0≤a(j)≤k , j≥0, j je broj zahteva u sistemu, k broj opslužioca.

Zavisno od funkcije a(j) razmatramo 4 modela (3 su fizička, poslednji je matematički):

• L - low• M - medium• M medium• H - high • A - adaptive(podesiv)

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

34

11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli

L – model (opterećenje niskog intenziteta)To je sistem neekvivalentnih paralelnih servera kod kojih se sa istom verovatnoćom

pristupa svakoj od k grana:p1=p2=…=pk=1/k , zahteve označavamo sa i∈{1,2,…,j} , servere sa s∈{1,2,…,k}

p=1/k= P[i-ti zahtev se obraća s-tom serveru] , 1-p=P[i-ti zahtev se ne obraća s-tom serveru]

j = P[ni jedan od j zahteva se ne obraća s-tom serveru, s-ti server je besposlen]

=P[s-tom serveru se obraća bar jedan od j zahteva, s-ti server je aktivan]

(1 ) jp−

1 (1 ) jp− −

Prosečan broj (srednji) istovremeno aktivnih servera u L modelu sa k servera i j zahteva:

1( ) 1 (1 ) 1 1j

ja j k p kk

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤= − − = − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

35

( ) ( )j pk⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli

M – model

Odgovara sistemu sa ekvivalentnim paralelnim serverima.

k je najveći broj aktivnih servera

Ukoliko se sistamu upućuje j≤k poslova pri tada je a(j)=j.Ukoliko se sistamu upućuje j≤k poslova pri tada je a(j) j.Ukoliko se sistemu upućuje više od k poslova, tada je a(j)=k.

a(j)= j j≤k μj= j·μ j≤ka(j)= j , j≤k μj= j μ , j≤k k, j≥k k·μ, j≥k

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

36

11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli

H – model (opterećenje visikog intenziteta)

Svi serveri su aktivni:

Naziva se još i model maksimalnog dohvatljivog nivoa

a(j)=k

- Naziva se još i model maksimalnog dohvatljivog nivoa.- Zavistan od načina distribucije poslova po serverima.- Posao treba da se vrši paralelno na svim trenutno slobodnim serverima (poslovi se

idealno raspoređuju po svim opslužiocima).- Za svaki broj poslova u sistemu, aktivan broj servera je k (svi su uposleni).

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

37

11. Paralelni serveri – teorijska razmatranja i modeli

A – model (podesivi, adaptivni model)f ( ) f ( )/( ) 1 j hj k −Nastao je iz L modela kada je uočeno da grafik a(j) liči na funkciju:

Kod L modela je:

( )/( ) 1 j ha j k e= ⋅ −

( )( ) 1 1 1/ ja j k k⎡ ⎤= ⋅ − −⎣ ⎦

Kod A modela je:

Ako se izjednače ove funkcije za određene k i j, jednakost će važiti za

h je parametar za podešavanjeoblika karakteristike krive (h>0)( )/( ) 1 j ha j k e−= ⋅ −

1l ( / ( 1))

hk k

=

Za veliko k, ovaj parametar h teži k, pa se funkcija a(j) za A model često aproksimira sa:ln( / ( 1))k k −

( )/( ) 1 j ha j h e−= ⋅ − 1h k= →

Može da se pronađe i takvo h da odgovarajući A model bude ekvivalentan M ili H modelu.

( )( )j ,ln( / ( 1))

h kk k

= →−

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

38