8 - Consolidazione.pdf
description
Transcript of 8 - Consolidazione.pdf
-
CONSOLIDAZIONE GEOTECNICA A.A. 2012-2013 Il carico q applicato al di sopra di un terreno saturo*, si trasferisce inizialmente alla fase pi rigida, lacqua; si ha dunque un incremento di sovrappressioni interstiziali u, in seguito al quale si innesca un moto di filtrazione che evolve, nel tempo, con la dissipazione delle u (finale ripristino delle condizioni di regime idrostatico) ed il trasferimento del carico allo scheletro solido.
q
u0 (lontano dal carico)
u0+u u0 tempo
bulbo tensionale
MOTO DI FILTRAZIONE (dal bulbo tensionale verso le zone circostanti in equilibrio)
u
*La consolidazione pu verificarsi anche se non interviene unapplicazione di carichi, ma solo per variazione delle condizioni idrauliche (es. abbassamento della falda)
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
valvola pistone
molla
rigidezza molla = rigidezza scheletro solido
v
F F
F
t t1
1 2 3
t2 t3
= '+u
t = 0 : 'v = 0, v = ut > 0 : v = 'v+ut : v = 'v,u = 0
carico assorbito dallacqua
carico trasferito alla molla/particelle solide
MODELLO REOLOGICO
v 'vu
CONSOLIDAZIONE
-
CONSOLIDAZIONE GEOTECNICA A.A. 2012-2013
La principale conseguenza della trasmissione di carico dalla fase liquida allo scheletro solido una RIDUZIONE DI VOLUME V (per fuoriuscita di acqua), che si pu interpretare come: Variazione delle deformazioni volumetriche v Variazione dellindice dei vuoti e Cedimento di consolidazione s
v
e
,
e
v = u u diminuiscono
aumentano
Durante la fase di deposizione ad un aumento di v corrisponde un
incremento di v (e una riduzione di e).
Nella condizione iniziale, non c e e lequilibrio garantito solo
dalla fase liquida: v = u. Solo nel tempo sar garantito
dallo scheletro solido.
v = v
-
CONSOLIDAZIONE
CONSOLIDAZIONE GEOTECNICA A.A. 2012-2013
Trasmissione di un carico dalla fase liquida allo scheletro solido con conseguente riduzione di volume per effetto della fuoriuscita dellacqua.
PROCESSO FISICO CHE AVVIENE NEL TEMPO
DURATA = f (Permeabilit, compressibilit)
La CONSOLIDAZIONE si manifesta in qualsiasi tipo di terreno, essendo un fenomeno legato alla natura multifase e particellare dello stesso.
Poich la durata dipende dalla permeabilit dei terreni, quindi dalla loro velocit di drenaggio, in genere studiato per i TERRENI A GRANA
FINE, suscettibili, sotto carico, di iniziali condizioni non drenate. Ai TERRENI A GRANA GROSSA, data la loro elevata permeabilit, si
associano generalmente condizioni drenate (NB esistono casi di velocit di applicazione del carico superiore alla velocit di drenaggio, per i quali anche sabbie e ghiaie sono soggette a iniziali condizioni non drenate).
-
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE GEOTECNICA A.A. 2012-2013
FORMULAZIONE MATEMATICA DEL PROCESSO DI CONSOLIDAZIONE
Poich il PROCESSO DI CONSOLIDAZIONE in un terreno saturo legato a: moto del fluido interstiziale, variazioni di tensioni efficaci, variazioni di deformazioni di volume, disporre di una teoria che ne descriva caratteristiche e conseguenze permette di disporre di uno strumento che accoppia un PROBLEMA IDRAULICO (il moto dellacqua nel terreno) ad un PROBLEMA MECCANICO (la mutua variazione di tensioni e deformazioni). Devono essere presi in conto: continuit del flusso dellacqua, condizioni di equilibrio dellacqua e del mezzo poroso, congruenza delle deformazioni del mezzo poroso e, infine, il legame dinterazione tra acqua e scheletro solido.
-
EQUAZIONE DELLA CONSOLIDAZIONE GEOTECNICA A.A. 2012-2013
Le EQUAZIONI DI CAMPO gi introdotte, da integrare nel rispetto delle condizioni iniziali e al contorno, descrivono la contemporanea evoluzione del regime delle sovrappressioni interstiziali e delle deformazioni dello scheletro solido e, per questo motivo, costituiscono un MODELLO ACCOPPIATO.
HP:TERRENO SATURO CON ACQUA IN MOTO, REGIME TRANSITORIO
'ijx j
+whxi
+ 'iz = 0
hk = 12
Uhxk
+Ukxh
#
$%%
&
'((
hkt
=Chkij 'ijt
k 2h
xi2=vt
Dallultima equazione possibile ricavare lEQUAZIONE DELLA CONSOLIDAZIONE
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
k 2h
xi2=vt
=hkt
hk =Chkij 'ijt
hk =Chkij ijt
utij
#
$%%
&
'((hk
h = z+ uw
kw
2hxi2=Chkij
ijt
utij
#
$%%
&
'((hk
HP: carico esterno costante ij = cost
kw
2uxi2=Chkijijhk
ut
kmw
2uxi2=ut
C 2u
xi2=ut
C : coefficiente di consolidazione
Equazione della CONSOLIDAZIONE
EQUAZIONE DELLA CONSOLIDAZIONE
m : compressibilit volumetrica
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
IPOTESI 1. Deformazioni e flusso monodimensionali (direzione z) 2. Terreno omogeneo e saturo 3. Incompressibilit dellacqua e dei grani solidi 4. Analogia di comportamento tra un elemento infinitesimo ed un volume
finito di terreno 5. Validit della legge di Darcy 6. Legame costitutivo lineare 7. K costante (carichi piccoli e strato piccolo)
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
Si avuto modo di osservare come in molte circostanze sia possibile assimilare il processo deformativo ad un CASO MONODIMENSIONALE.
Pertanto, nel seguito, si analizzer il fenomeno della consolidazione sotto lipotesi principale di condizioni monodimensionali, a partire dalla quale s t a t a f o r m u l a t a l a T E O R I A D E L L A C O N S O L I D A Z I O N E MONODIMENSIONALE (Terzaghi, 1923).
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013 CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
HP.1: Condizioni di carico, drenaggio e deformazione monodimensionali:
dv =dVV0
=dHH0
= dz dz = V0 V1V0
dz = e0 e11+ e0
= de1+ e0
V0 = VS +VV( )0 =VS (1+ e0 ) V1 = VS +VV( )1 =VS (1+ e1)
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013 CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
HP.2 e 3 Terreno omogeneo e saturo e Incompressibilit dellacqua e dei grani solidi
usualmente adottate nelle analisi
HP.4 Analogia di comportamento tra un elemento infinitesimo ed un volume finito di terreno:
permette di trattare il problema a livello di elemento infinitesimo e di
estendere la sua soluzione al volume di terreno in esame
HP.5: Validit della legge di Darcy:
ovviamente accettabile
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
Consente di definire il COEFFICIENTE DI COMPRESSIBILITA VOLUMETRICA
mv =dvd 'z
=1Eed
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
HP.6: Legame lineare tra tensioni e deformazioni nellintervallo tensionale considerato:
Si definisce inoltre lINDICE DI COMPRESSIBILITA VOLUMETRICA
av = ded 'z
= 1+ e( ) mv
Rispettivamente pendenze delle c u r v e t e n s i o n e e f f i c a c e -deformazione verticale e tensione efficace-indice dei vuoti
-
kx2hx2
+ ky2hy2
+ kz2hz2
=11+e
eSt
+ S et
"
#$
%
&'
Con riferimento al secondo termine, esistono 4 tipi di flusso: e, S costanti flusso stazionario
e variabile, S costante (S=1) consolidazione
e costante, S variabile drenaggio a volume costante
e, S variabili compressione ed espansione
EQUAZIONE DI BASE PER IL FLUSSO LAMINARE* NEI TERRENI
GEOTECNICA A.A. 2012-2013 EQUAZIONE DI CONTINUITA
N.B. vediamo come si particolarizza lequazione sotto le HP considerate di CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
Abbiamo introdotto:
-
CONDIZIONI MONODIMENSIONALI
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
k 2h
z2 =1
1+ e0et
Lequazione si trasforma nella forma:
h = z+ uw
!
"#
$
%&
kw
2uz2 =
11+ e0
"
#$
%
&'et
durante il processo di consolidazione la tensione verticale totale non varia nel tempo:
d v = 0 d 'v+ du = 0 'vt =
ut
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
kx2hx2
+ ky2hy2
+ kz2hz2
=11+e
eSt
+ S et
"
#$
%
&'
essendo:
dz = de1+ e0
essendo: e kw
2uz2 =
zt = mv
'ztmv =
dvd 'z
kmvw
2uz2 =
ut
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
Lequazione della consolidazione monodimensionale :
cv2uz2 =
ut
cv =k
w mv
Tale equazione governa un fenomeno di filtrazione in regime transitorio e la sua soluzione fornisce la VARIAZIONE NELLO SPAZIO E NEL TEMPO DELLE SOVRAPPRESSIONI INTERSTIZIALI (e, conseguentemente, delle tensioni efficaci). Il coefficiente di consolidazione dipende dalla permeabilit e dalle caratteristiche meccaniche del terreno. Poich entrambe variano al variare dellindice dei vuoti, non una propriet del terreno. Viene valutato sperimentalmente, in relazione allintervallo tensionale in esame.
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
con COEFFICIENTE DI CONSOLIDAZIONE
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
La soluzione dipende da:
condizione iniziale, ovvero distribuzione iniziale delle u, detta ISOCRONA* INIZIALE
condizioni al contorno: condizioni di drenaggio e delle pressioni interstiziali agenti agli estremi dello strato di terreno in consolidazione.
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
SOLUZIONE DELLEQUAZIONE DELLA CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
sabbia
argilla
sabbia
2H
sabbia
argilla H
* ISOCRONA: curva che descrive la distribuzione spaziale delle u ad un prefissato t
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
SOLUZIONE DELLEQUAZIONE
sabbia
argilla
sabbia
2H
Pressione idrostatica
Sovrappressione iniziale
Sovrappressione al tempo t
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
cv2uz2 =
ut
u = u z, t( )
Condizione iniziale e condizione al contorno: Isocrona iniziale costante con la profondit, quindi: Drenaggio sia dalla base che dalla superficie dello strato soggetto a
consolidazione H = max percorso di drenaggio Sezione di mezzeria impermeabile perch v=0
u = u = z = u0
t0
u0
t
u(z, t)
t
Sovrappressione al tempo t
u = 0
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
SOLUZIONE DELLEQUAZIONE
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
cv2uz2 =
ut
u = u z, t( )
sabbia
argilla
sabbia
2H t0 t t u t0 t t
w2H 2H z z
NB Essendo le tensioni totali costanti, la variazione temporale e spaziale delle u comporta una complementare variazione delle
u = z = u0u = 0
u = 0u
z = 0
u 0
z
t = t0 = 00 = t0 t t0 = t0 t t
t = t
si trasferisce, nel tempo, dallacqua
allo scheletro solido
u diminuisce aumenta
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
SOLUZIONE DI TAYLOR (1948) Introdotti: Fattore adimensionale PROFONDIT
Fattore adimensionale TEMPO
conveniente scrivere lequazione nella forma: La cui soluzione, proposta da Taylor (1948), :
Z = z HTv =
cv t( )H 2
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
u(z, t) = 2u0M sin MZ( )exp M2Tv"# $%n=0
M = (2n+1) / 2
2uZ 2 =
uTcv
2uz2 =
ut
sabbia
argilla H
u
z
t0 t t
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
SOLUZIONE DI TAYLOR (1948)
Introducendo un ulteriore parametro adimensionale, il GRADO DI CONSOLIDAZIONE:
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
U z=u0 u(z, t)
u0=1 u(z, t)u0
La SOLUZIONE diventa: Uz =12M sin M Z( )
#$ %&m=0
eM2Tv
Il grado di consolidazione indica lo sviluppo della consolidazione nel tempo.
t = t0 = 0 Tv = 0Tv =
cvt100H 2
t = t100 = t
Rapporto tra la sovrappressione dissipata e il suo valore iniziale
u = u0u = 0
Uz = 0Uz =1
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
ISOCRONE
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
U z=1u(z, t)u0
=1 2M sin M Z( )#$ %&
m=0
eM2Tv
distribuzione spaziale delle u ad un prefissato t
Forma generale
riferita alla presenza di due contorni
drenanti Zmax = z/H = 2H/H = 2
Utilizzata anche nel caso
di singolo contorno drenante
Zmax = z/H = H/H = 1
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
t=t0=0 t=t0: la consolidazione non si sviluppa per alcuna profondit
t 1 - Nei contorni le u si dissipano subito: Uz=1
2 - Allaumentare della distanza dai contorni drenanti
necessario pi tempo affinch si dissipano le u * t
t: dissipazione totale delle sovrappressioni
piano impermeabile
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE sabbia
argilla
sabbia
2H
t0
u0
t
u(z, t)
t
u = 0
Uz=0
u = u0 Uz = 0
U z=u0 u(z, t)
u0=1 u(z, t)u0
u = 0Uz =1Uz=1
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
SOLUZIONE GRAFICA dellEQUAZIONE DI CONSOLIDAZIONE
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
La conoscenza, per un prefissato tempo adimensionale Tv, del corrispondente valore di Uz, permette di valutare ad ogni profondit le sovrappressioni, noto il valore iniziale (che pari al valore della pressione totale applicata). necessario pertanto determinare unicamente il Cv : Tv =
cv t( )H 2
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
Si pu introdurre il GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO:
livello medio di consolidazione raggiunto allinterno di uno strato
ad un certo tempo t (valore medio di Uz)
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
Definita sovrappressione iniziale media nello strato di spessore generico D
(D=H ovvero D=2H):
1D u0 z, t0( )dz0
D
analogamente, al tempo t sovrappressione media nello strato di spessore generico D:
1D u z, t( )dz0
D
Um =11D u z, t( )dz0
D
1D u0 z, t0( )dz0
D
Dalla definizione: Uz =u0 u(z, t)
u0=1 u(z, t)u0
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
NellHP. di isocrona iniziale rettangolare
u(z, t) = 2 u0M sin M Z( )"# $%
m=1
eM2Tv Um =1
2Mm=1
eM2Tv
GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO
u0 =COST
Esistono varie relazioni approssimate per la stima di Um (nel caso ipotizzato)
Um =Tv3
Tv3 + 0.56 Tv = 0.5 Um
6
1Um63
Um =2
TvTv = 4 Um Um 60%Tv =1.781 0.933log(100Um%) Um > 60%
$
%&
'&
Um =4 Tv ( )
0.5
1+ 4 Tv
"
#$
%
&'2.8(
)**
+
,--
0.179 Tv = 4( )Um2
1Um5.6() +,0.357Brinch-Hansen
Leonards
Terzaghi
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
0
20
40
60
80
100
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2Um (%) Tv 0 0
10 0,008
20 0,031
30 0,071
40 0,126
50 0,196
70 0,403
90 0,848
95 1,129
(Relazione approssimata di Leonards)
Um
Tv Tv Um (%)
0,004 7,35
0,020 15,98
0,10 35,62
0,20 50,41
0,30 61,32
0,50 76,40
0,70 85,59
0,90 91,19
1,00 93,13
GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO
Um =2
TvTv = 4 Um Um 60%Tv =1.781 0.933log(100Um%) Um > 60%
$
%&
'&
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
Valori del GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO per 3 diverse isocrone iniziali
Um (%)
In teoria il processo di consolidazione si smorza per t. Tuttavia, come pu dedursi dal la f igura, pu considerarsi ultimato quando Tv2, risultato che consente di evidenziare linfluenza dei fattori in gioco: Se si dimezza K, i tempi della consolidazione raddoppiano; Se s i d imezza l a l u nghezza c a r a t t e r i s t i c a , i t e m p i d i consolidazione diventano 4 volte inferiori. La possibilit di ridurre i tempi di consolidazione principalmente legata alla possibilit di ridurre i percorsi di drenaggio.
Tv
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
-
CEDIMENTI GEOTECNICA A.A. 2012-2013
Abbiamo analizzato levoluzione delle pressioni interstiziali dovuta allapplicazione del carico ed al conseguente processo di consolidazione. Lapplicazione di un carico genera assestamenti verticali, detti CEDIMENTI. Il cedimento associato al graduale trasferimento degli sforzi totali dalla fase fluida a quella solida, ed dovuto al riarrangiamento spaziale delle particelle che trovano nuove configurazioni dequilibrio negli spazi lasciati liberi dallacqua soggetta al moto di filtrazione.
TERRENO SECCO o C. DRENATE gli sforzi totali si
trasferiscono integralmente e contemporaneamente allo
scheletro solido, incrementando le
(ES. Cedimenti fondazioni in TERRENI SABBIOSI)
CEDIMENTO ISTANTANEO s0
-
CEDIMENTI GEOTECNICA A.A. 2012-2013
TERRENI ARGILLOSI CEDIMENTO ISTANTANEO s0 associato a C. NON DRENATE, quindi non legato a variazioni
delle (generalmente modesto).
CEDIMENTO DI CONSOLIDAZIONE
Legato alla variazione delle ; evolve nel tempo seguendo il processo di consolidazione.
Al tempo t, il cedimento st sar unaliquota del cedimento finale
di consolidazione s
+ z
t t0
t100
t0
s
s0 st s
t t100
-
CEDIMENTO FINALE E DECORSO DEL CEDIMENTO NEL TEMPO
CEDIMENTI GEOTECNICA A.A. 2012-2013
Lapplicazione della TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE permette di valutare: Il cedimento finale s La sua evoluzione nel tempo st Per uno strato di spessore generico D il CEDIMENTO FINALE :
s = z z, t( )0
D
dz
Dalle ipotesi alla base della teoria della consolidazione e considerando che a fine consolidazione (t) in tutto lo strato le tensioni efficaci sono aumentate della stessa quantit, vale:
t z ' = z s =mv 'z D =mv z D
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
La stima del decorso del cedimento nel tempo si pu condurre tramite il GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO, gi definito come:
Um =sts
livello medio di consolidazione raggiunto allinterno di uno strato
ad un certo tempo t U m=1
1D u(z, t)dz0
D
1D u0 (z, t0 )dz0
D
sovrappressione media nello strato D al tempo t
sovrappressione media nello strato D al tempo iniziale t0
CEDIMENTO FINALE E DECORSO DEL CEDIMENTO NEL TEMPO
Si pu infatti dimostrare:
CEDIMENTI
st =Um s Il cedimento st aliquota del cedimento finale di consolidazione s
-
GEOTECNICA A.A. 2012-2013
Consideriamo le relazioni gi introdotte: le tensioni totali non variano nel tempo
legame costitutivo elastico lineare mv = dzdu
Dimostrazione
mv =dzd 'z
'zt =
ut
Essendo =cost e =cost: mv u0
Poich: e
z, t0( ) z, t( )u0 u z, t( )
= z, t0( ) z, t( )u0 u z, t( )
z, t0( ) = 0 u z, t( ) = 0 z, t( ) z, t( )
=1 u z, t( )u0
Integrando sullaltezza dello strato D si ottengono cedimenti e Um:
CEDIMENTI
z, t( )dz0
D
z, t( )dz0
D
=sts=Um cvd