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  • CONSOLIDAZIONE GEOTECNICA A.A. 2012-2013 Il carico q applicato al di sopra di un terreno saturo*, si trasferisce inizialmente alla fase pi rigida, lacqua; si ha dunque un incremento di sovrappressioni interstiziali u, in seguito al quale si innesca un moto di filtrazione che evolve, nel tempo, con la dissipazione delle u (finale ripristino delle condizioni di regime idrostatico) ed il trasferimento del carico allo scheletro solido.

    q

    u0 (lontano dal carico)

    u0+u u0 tempo

    bulbo tensionale

    MOTO DI FILTRAZIONE (dal bulbo tensionale verso le zone circostanti in equilibrio)

    u

    *La consolidazione pu verificarsi anche se non interviene unapplicazione di carichi, ma solo per variazione delle condizioni idrauliche (es. abbassamento della falda)

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    valvola pistone

    molla

    rigidezza molla = rigidezza scheletro solido

    v

    F F

    F

    t t1

    1 2 3

    t2 t3

    = '+u

    t = 0 : 'v = 0, v = ut > 0 : v = 'v+ut : v = 'v,u = 0

    carico assorbito dallacqua

    carico trasferito alla molla/particelle solide

    MODELLO REOLOGICO

    v 'vu

    CONSOLIDAZIONE

  • CONSOLIDAZIONE GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    La principale conseguenza della trasmissione di carico dalla fase liquida allo scheletro solido una RIDUZIONE DI VOLUME V (per fuoriuscita di acqua), che si pu interpretare come: Variazione delle deformazioni volumetriche v Variazione dellindice dei vuoti e Cedimento di consolidazione s

    v

    e

    ,

    e

    v = u u diminuiscono

    aumentano

    Durante la fase di deposizione ad un aumento di v corrisponde un

    incremento di v (e una riduzione di e).

    Nella condizione iniziale, non c e e lequilibrio garantito solo

    dalla fase liquida: v = u. Solo nel tempo sar garantito

    dallo scheletro solido.

    v = v

  • CONSOLIDAZIONE

    CONSOLIDAZIONE GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    Trasmissione di un carico dalla fase liquida allo scheletro solido con conseguente riduzione di volume per effetto della fuoriuscita dellacqua.

    PROCESSO FISICO CHE AVVIENE NEL TEMPO

    DURATA = f (Permeabilit, compressibilit)

    La CONSOLIDAZIONE si manifesta in qualsiasi tipo di terreno, essendo un fenomeno legato alla natura multifase e particellare dello stesso.

    Poich la durata dipende dalla permeabilit dei terreni, quindi dalla loro velocit di drenaggio, in genere studiato per i TERRENI A GRANA

    FINE, suscettibili, sotto carico, di iniziali condizioni non drenate. Ai TERRENI A GRANA GROSSA, data la loro elevata permeabilit, si

    associano generalmente condizioni drenate (NB esistono casi di velocit di applicazione del carico superiore alla velocit di drenaggio, per i quali anche sabbie e ghiaie sono soggette a iniziali condizioni non drenate).

  • TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    FORMULAZIONE MATEMATICA DEL PROCESSO DI CONSOLIDAZIONE

    Poich il PROCESSO DI CONSOLIDAZIONE in un terreno saturo legato a: moto del fluido interstiziale, variazioni di tensioni efficaci, variazioni di deformazioni di volume, disporre di una teoria che ne descriva caratteristiche e conseguenze permette di disporre di uno strumento che accoppia un PROBLEMA IDRAULICO (il moto dellacqua nel terreno) ad un PROBLEMA MECCANICO (la mutua variazione di tensioni e deformazioni). Devono essere presi in conto: continuit del flusso dellacqua, condizioni di equilibrio dellacqua e del mezzo poroso, congruenza delle deformazioni del mezzo poroso e, infine, il legame dinterazione tra acqua e scheletro solido.

  • EQUAZIONE DELLA CONSOLIDAZIONE GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    Le EQUAZIONI DI CAMPO gi introdotte, da integrare nel rispetto delle condizioni iniziali e al contorno, descrivono la contemporanea evoluzione del regime delle sovrappressioni interstiziali e delle deformazioni dello scheletro solido e, per questo motivo, costituiscono un MODELLO ACCOPPIATO.

    HP:TERRENO SATURO CON ACQUA IN MOTO, REGIME TRANSITORIO

    'ijx j

    +whxi

    + 'iz = 0

    hk = 12

    Uhxk

    +Ukxh

    #

    $%%

    &

    '((

    hkt

    =Chkij 'ijt

    k 2h

    xi2=vt

    Dallultima equazione possibile ricavare lEQUAZIONE DELLA CONSOLIDAZIONE

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    k 2h

    xi2=vt

    =hkt

    hk =Chkij 'ijt

    hk =Chkij ijt

    utij

    #

    $%%

    &

    '((hk

    h = z+ uw

    kw

    2hxi2=Chkij

    ijt

    utij

    #

    $%%

    &

    '((hk

    HP: carico esterno costante ij = cost

    kw

    2uxi2=Chkijijhk

    ut

    kmw

    2uxi2=ut

    C 2u

    xi2=ut

    C : coefficiente di consolidazione

    Equazione della CONSOLIDAZIONE

    EQUAZIONE DELLA CONSOLIDAZIONE

    m : compressibilit volumetrica

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    IPOTESI 1. Deformazioni e flusso monodimensionali (direzione z) 2. Terreno omogeneo e saturo 3. Incompressibilit dellacqua e dei grani solidi 4. Analogia di comportamento tra un elemento infinitesimo ed un volume

    finito di terreno 5. Validit della legge di Darcy 6. Legame costitutivo lineare 7. K costante (carichi piccoli e strato piccolo)

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    Si avuto modo di osservare come in molte circostanze sia possibile assimilare il processo deformativo ad un CASO MONODIMENSIONALE.

    Pertanto, nel seguito, si analizzer il fenomeno della consolidazione sotto lipotesi principale di condizioni monodimensionali, a partire dalla quale s t a t a f o r m u l a t a l a T E O R I A D E L L A C O N S O L I D A Z I O N E MONODIMENSIONALE (Terzaghi, 1923).

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013 CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    HP.1: Condizioni di carico, drenaggio e deformazione monodimensionali:

    dv =dVV0

    =dHH0

    = dz dz = V0 V1V0

    dz = e0 e11+ e0

    = de1+ e0

    V0 = VS +VV( )0 =VS (1+ e0 ) V1 = VS +VV( )1 =VS (1+ e1)

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013 CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    HP.2 e 3 Terreno omogeneo e saturo e Incompressibilit dellacqua e dei grani solidi

    usualmente adottate nelle analisi

    HP.4 Analogia di comportamento tra un elemento infinitesimo ed un volume finito di terreno:

    permette di trattare il problema a livello di elemento infinitesimo e di

    estendere la sua soluzione al volume di terreno in esame

    HP.5: Validit della legge di Darcy:

    ovviamente accettabile

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    Consente di definire il COEFFICIENTE DI COMPRESSIBILITA VOLUMETRICA

    mv =dvd 'z

    =1Eed

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    HP.6: Legame lineare tra tensioni e deformazioni nellintervallo tensionale considerato:

    Si definisce inoltre lINDICE DI COMPRESSIBILITA VOLUMETRICA

    av = ded 'z

    = 1+ e( ) mv

    Rispettivamente pendenze delle c u r v e t e n s i o n e e f f i c a c e -deformazione verticale e tensione efficace-indice dei vuoti

  • kx2hx2

    + ky2hy2

    + kz2hz2

    =11+e

    eSt

    + S et

    "

    #$

    %

    &'

    Con riferimento al secondo termine, esistono 4 tipi di flusso: e, S costanti flusso stazionario

    e variabile, S costante (S=1) consolidazione

    e costante, S variabile drenaggio a volume costante

    e, S variabili compressione ed espansione

    EQUAZIONE DI BASE PER IL FLUSSO LAMINARE* NEI TERRENI

    GEOTECNICA A.A. 2012-2013 EQUAZIONE DI CONTINUITA

    N.B. vediamo come si particolarizza lequazione sotto le HP considerate di CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    Abbiamo introdotto:

  • CONDIZIONI MONODIMENSIONALI

    GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    k 2h

    z2 =1

    1+ e0et

    Lequazione si trasforma nella forma:

    h = z+ uw

    !

    "#

    $

    %&

    kw

    2uz2 =

    11+ e0

    "

    #$

    %

    &'et

    durante il processo di consolidazione la tensione verticale totale non varia nel tempo:

    d v = 0 d 'v+ du = 0 'vt =

    ut

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    kx2hx2

    + ky2hy2

    + kz2hz2

    =11+e

    eSt

    + S et

    "

    #$

    %

    &'

    essendo:

    dz = de1+ e0

    essendo: e kw

    2uz2 =

    zt = mv

    'ztmv =

    dvd 'z

    kmvw

    2uz2 =

    ut

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    Lequazione della consolidazione monodimensionale :

    cv2uz2 =

    ut

    cv =k

    w mv

    Tale equazione governa un fenomeno di filtrazione in regime transitorio e la sua soluzione fornisce la VARIAZIONE NELLO SPAZIO E NEL TEMPO DELLE SOVRAPPRESSIONI INTERSTIZIALI (e, conseguentemente, delle tensioni efficaci). Il coefficiente di consolidazione dipende dalla permeabilit e dalle caratteristiche meccaniche del terreno. Poich entrambe variano al variare dellindice dei vuoti, non una propriet del terreno. Viene valutato sperimentalmente, in relazione allintervallo tensionale in esame.

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    con COEFFICIENTE DI CONSOLIDAZIONE

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    La soluzione dipende da:

    condizione iniziale, ovvero distribuzione iniziale delle u, detta ISOCRONA* INIZIALE

    condizioni al contorno: condizioni di drenaggio e delle pressioni interstiziali agenti agli estremi dello strato di terreno in consolidazione.

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    SOLUZIONE DELLEQUAZIONE DELLA CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    sabbia

    argilla

    sabbia

    2H

    sabbia

    argilla H

    * ISOCRONA: curva che descrive la distribuzione spaziale delle u ad un prefissato t

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    SOLUZIONE DELLEQUAZIONE

    sabbia

    argilla

    sabbia

    2H

    Pressione idrostatica

    Sovrappressione iniziale

    Sovrappressione al tempo t

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    cv2uz2 =

    ut

    u = u z, t( )

    Condizione iniziale e condizione al contorno: Isocrona iniziale costante con la profondit, quindi: Drenaggio sia dalla base che dalla superficie dello strato soggetto a

    consolidazione H = max percorso di drenaggio Sezione di mezzeria impermeabile perch v=0

    u = u = z = u0

    t0

    u0

    t

    u(z, t)

    t

    Sovrappressione al tempo t

    u = 0

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    SOLUZIONE DELLEQUAZIONE

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    cv2uz2 =

    ut

    u = u z, t( )

    sabbia

    argilla

    sabbia

    2H t0 t t u t0 t t

    w2H 2H z z

    NB Essendo le tensioni totali costanti, la variazione temporale e spaziale delle u comporta una complementare variazione delle

    u = z = u0u = 0

    u = 0u

    z = 0

    u 0

    z

    t = t0 = 00 = t0 t t0 = t0 t t

    t = t

    si trasferisce, nel tempo, dallacqua

    allo scheletro solido

    u diminuisce aumenta

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    SOLUZIONE DI TAYLOR (1948) Introdotti: Fattore adimensionale PROFONDIT

    Fattore adimensionale TEMPO

    conveniente scrivere lequazione nella forma: La cui soluzione, proposta da Taylor (1948), :

    Z = z HTv =

    cv t( )H 2

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    u(z, t) = 2u0M sin MZ( )exp M2Tv"# $%n=0

    M = (2n+1) / 2

    2uZ 2 =

    uTcv

    2uz2 =

    ut

    sabbia

    argilla H

    u

    z

    t0 t t

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    SOLUZIONE DI TAYLOR (1948)

    Introducendo un ulteriore parametro adimensionale, il GRADO DI CONSOLIDAZIONE:

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    U z=u0 u(z, t)

    u0=1 u(z, t)u0

    La SOLUZIONE diventa: Uz =12M sin M Z( )

    #$ %&m=0

    eM2Tv

    Il grado di consolidazione indica lo sviluppo della consolidazione nel tempo.

    t = t0 = 0 Tv = 0Tv =

    cvt100H 2

    t = t100 = t

    Rapporto tra la sovrappressione dissipata e il suo valore iniziale

    u = u0u = 0

    Uz = 0Uz =1

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

    ISOCRONE

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    U z=1u(z, t)u0

    =1 2M sin M Z( )#$ %&

    m=0

    eM2Tv

    distribuzione spaziale delle u ad un prefissato t

    Forma generale

    riferita alla presenza di due contorni

    drenanti Zmax = z/H = 2H/H = 2

    Utilizzata anche nel caso

    di singolo contorno drenante

    Zmax = z/H = H/H = 1

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    t=t0=0 t=t0: la consolidazione non si sviluppa per alcuna profondit

    t 1 - Nei contorni le u si dissipano subito: Uz=1

    2 - Allaumentare della distanza dai contorni drenanti

    necessario pi tempo affinch si dissipano le u * t

    t: dissipazione totale delle sovrappressioni

    piano impermeabile

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE sabbia

    argilla

    sabbia

    2H

    t0

    u0

    t

    u(z, t)

    t

    u = 0

    Uz=0

    u = u0 Uz = 0

    U z=u0 u(z, t)

    u0=1 u(z, t)u0

    u = 0Uz =1Uz=1

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    SOLUZIONE GRAFICA dellEQUAZIONE DI CONSOLIDAZIONE

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    La conoscenza, per un prefissato tempo adimensionale Tv, del corrispondente valore di Uz, permette di valutare ad ogni profondit le sovrappressioni, noto il valore iniziale (che pari al valore della pressione totale applicata). necessario pertanto determinare unicamente il Cv : Tv =

    cv t( )H 2

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    Si pu introdurre il GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO:

    livello medio di consolidazione raggiunto allinterno di uno strato

    ad un certo tempo t (valore medio di Uz)

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

    Definita sovrappressione iniziale media nello strato di spessore generico D

    (D=H ovvero D=2H):

    1D u0 z, t0( )dz0

    D

    analogamente, al tempo t sovrappressione media nello strato di spessore generico D:

    1D u z, t( )dz0

    D

    Um =11D u z, t( )dz0

    D

    1D u0 z, t0( )dz0

    D

    Dalla definizione: Uz =u0 u(z, t)

    u0=1 u(z, t)u0

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    NellHP. di isocrona iniziale rettangolare

    u(z, t) = 2 u0M sin M Z( )"# $%

    m=1

    eM2Tv Um =1

    2Mm=1

    eM2Tv

    GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO

    u0 =COST

    Esistono varie relazioni approssimate per la stima di Um (nel caso ipotizzato)

    Um =Tv3

    Tv3 + 0.56 Tv = 0.5 Um

    6

    1Um63

    Um =2

    TvTv = 4 Um Um 60%Tv =1.781 0.933log(100Um%) Um > 60%

    $

    %&

    '&

    Um =4 Tv ( )

    0.5

    1+ 4 Tv

    "

    #$

    %

    &'2.8(

    )**

    +

    ,--

    0.179 Tv = 4( )Um2

    1Um5.6() +,0.357Brinch-Hansen

    Leonards

    Terzaghi

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2Um (%) Tv 0 0

    10 0,008

    20 0,031

    30 0,071

    40 0,126

    50 0,196

    70 0,403

    90 0,848

    95 1,129

    (Relazione approssimata di Leonards)

    Um

    Tv Tv Um (%)

    0,004 7,35

    0,020 15,98

    0,10 35,62

    0,20 50,41

    0,30 61,32

    0,50 76,40

    0,70 85,59

    0,90 91,19

    1,00 93,13

    GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO

    Um =2

    TvTv = 4 Um Um 60%Tv =1.781 0.933log(100Um%) Um > 60%

    $

    %&

    '&

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    Valori del GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO per 3 diverse isocrone iniziali

    Um (%)

    In teoria il processo di consolidazione si smorza per t. Tuttavia, come pu dedursi dal la f igura, pu considerarsi ultimato quando Tv2, risultato che consente di evidenziare linfluenza dei fattori in gioco: Se si dimezza K, i tempi della consolidazione raddoppiano; Se s i d imezza l a l u nghezza c a r a t t e r i s t i c a , i t e m p i d i consolidazione diventano 4 volte inferiori. La possibilit di ridurre i tempi di consolidazione principalmente legata alla possibilit di ridurre i percorsi di drenaggio.

    Tv

    CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE

  • CEDIMENTI GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    Abbiamo analizzato levoluzione delle pressioni interstiziali dovuta allapplicazione del carico ed al conseguente processo di consolidazione. Lapplicazione di un carico genera assestamenti verticali, detti CEDIMENTI. Il cedimento associato al graduale trasferimento degli sforzi totali dalla fase fluida a quella solida, ed dovuto al riarrangiamento spaziale delle particelle che trovano nuove configurazioni dequilibrio negli spazi lasciati liberi dallacqua soggetta al moto di filtrazione.

    TERRENO SECCO o C. DRENATE gli sforzi totali si

    trasferiscono integralmente e contemporaneamente allo

    scheletro solido, incrementando le

    (ES. Cedimenti fondazioni in TERRENI SABBIOSI)

    CEDIMENTO ISTANTANEO s0

  • CEDIMENTI GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    TERRENI ARGILLOSI CEDIMENTO ISTANTANEO s0 associato a C. NON DRENATE, quindi non legato a variazioni

    delle (generalmente modesto).

    CEDIMENTO DI CONSOLIDAZIONE

    Legato alla variazione delle ; evolve nel tempo seguendo il processo di consolidazione.

    Al tempo t, il cedimento st sar unaliquota del cedimento finale

    di consolidazione s

    + z

    t t0

    t100

    t0

    s

    s0 st s

    t t100

  • CEDIMENTO FINALE E DECORSO DEL CEDIMENTO NEL TEMPO

    CEDIMENTI GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    Lapplicazione della TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE permette di valutare: Il cedimento finale s La sua evoluzione nel tempo st Per uno strato di spessore generico D il CEDIMENTO FINALE :

    s = z z, t( )0

    D

    dz

    Dalle ipotesi alla base della teoria della consolidazione e considerando che a fine consolidazione (t) in tutto lo strato le tensioni efficaci sono aumentate della stessa quantit, vale:

    t z ' = z s =mv 'z D =mv z D

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    La stima del decorso del cedimento nel tempo si pu condurre tramite il GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO, gi definito come:

    Um =sts

    livello medio di consolidazione raggiunto allinterno di uno strato

    ad un certo tempo t U m=1

    1D u(z, t)dz0

    D

    1D u0 (z, t0 )dz0

    D

    sovrappressione media nello strato D al tempo t

    sovrappressione media nello strato D al tempo iniziale t0

    CEDIMENTO FINALE E DECORSO DEL CEDIMENTO NEL TEMPO

    Si pu infatti dimostrare:

    CEDIMENTI

    st =Um s Il cedimento st aliquota del cedimento finale di consolidazione s

  • GEOTECNICA A.A. 2012-2013

    Consideriamo le relazioni gi introdotte: le tensioni totali non variano nel tempo

    legame costitutivo elastico lineare mv = dzdu

    Dimostrazione

    mv =dzd 'z

    'zt =

    ut

    Essendo =cost e =cost: mv u0

    Poich: e

    z, t0( ) z, t( )u0 u z, t( )

    = z, t0( ) z, t( )u0 u z, t( )

    z, t0( ) = 0 u z, t( ) = 0 z, t( ) z, t( )

    =1 u z, t( )u0

    Integrando sullaltezza dello strato D si ottengono cedimenti e Um:

    CEDIMENTI

    z, t( )dz0

    D

    z, t( )dz0

    D

    =sts=Um cvd