Σχολή  Εφαρμοσμένων  Μαθηματικών  και  Φυσικών  Επιστημών  Εθνικό  Μετσόβιο  Πολυτεχνείο  

Διηλεκτρικές,  Οπτικές,  Μαγνητικές  Ιδιότητες  Υλικών  

Λιαροκάπης  Ευθύμιος  

Κεφάλαιο  7:  Μαγνητικά  Υλικά  και  Ιδιότητες  Ι  

Το  παρόν  εκπαιδευτικό  υλικό  υπόκειται  σε  άδειες  χρήσης  Crea%ve  Commons.      Για  εκπαιδευτικό  υλικό,  όπως  εικόνες,  που  υπόκειται  σε  άδεια  χρήσης  άλλου  τύπου,  αυτή  πρέπει  να  αναγράφεται  ρητώς.  

Άδεια  Χρήσης  

VII-1

ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

Σιδηρομαγνητισμός-αντισιδηρομαγνητισμός-σιδηριμαγνητισμός Στα διαμαγνητικά και παραμαγνητικά υλικά που μελετήσαμε, οι μαγνητικές διπολικές ροπές των ατόμων ή ιόντων επηρεάζονται από το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο και είτε μεταπίπτουν γύρω από αυτό είτε τείνουν να προσανατολιστούν με αυτό. Υπάρχουν όμως υλικά όπου οι μαγνητικές διπολικές ροπές αλληλεπιδρούν μεταξύ τους ακόμη και χωρίς την ύπαρξη εξωτερικού πεδίου (και κάτω από κάποια θερμοκρασία) διατάσσονται σε κανονικές μορφές. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει να υπάρχει μια αυθόρμητη μαγνήτιση. Αυτή συμβαίνει σε ορισμένα υλικά με άτομα που έχουν ασυμπλήρωτες στιβάδες. Η βασική αιτία της αυθόρμητης είναι το ισχυρό τοπικό μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται, που ονομάζεται ενεργό πεδίο του Weiss, όπως θα δούμε αναλυτικά παρακάτω.

Κατ’ αρχήν, λόγω της αλληλεπίδρασης των μαγνητικών διπολικών ροπών αυτές μπορούν να διαταχθούν είτε παράλληλα μεταξύ τους είτε αντιπαράλληλα. Στην περίπτωση της παράλληλης διάταξης έχουμε τον σιδηρομαγνητισμό και χαρακτηριστικά υλικά που τον παρουσιάζουν είναι Fe, Co, Ni, Gd, Dy καθώς και ενώσεις όπως EuO, EuS, κλπ. H αντιπαράλληλη διάταξη μπορεί να αναφέρεται σε ίσου μεγέθους διπολικές ροπές οπότε έχουμε τον αντισιδηρομαγνητική (Cr, α-Mn (bcc), Ce, Nd, MnO, MnF2, κλπ) είτε διαφορετικού μεγέθους οπότε έχουμε τον σιδηριμαγνητισμό (φερρίτες) με χαρακτηριστικές ενώσεις τις Me2+Fe3+O4 όπου Me2+ δισθενή ιόντα μετάλλων (Mn, Co, Ni, Cu, Mg, Zn, Cd).

Η διάταξη των σπιν στους αντισιδηρομαγνήτες ή τους σιδηριμαγνήτες δημιουργεί δύο κρυσταλλικά υποπλέγματα που είναι ένα μικρό ακέραιο πολλαπλάσιο της μοναδιαίας κυψελίδας. Όταν οι μαγνητικές διπολικές ροπές των δύο υποπλεγμάτων είναι ίσες (και αντίθετες), τότε η συνολική μαγνήτιση είναι μηδέν (αντισιδηρομαγνητισμός). Αν διαφέρει, υπάρχει μια παραμένουσα μαγνήτιση (σιδηριμαγνητισμός).

Στην παρακάτω σχηματική παράσταση παρουσιάζεται η διάταξη των μαγνητικών διπολικών ροπών στις τρεις κατηγορίες υλικών.

Σιδηρομαγνητισμός Αντισιδηρομαγνητισμός Σιδηριμαγνητισμός

VII-2

Η διάταξη των διπολικών ροπών μπορεί να ανιχνευθεί μέσω της αλληλεπίδρασής τους με την διπολική ροπή των νετρονίων (περίθλαση νετρονίων) ή την μέθοδο του πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού (NMR).

Α) Σιδηρομαγνητισμός

Ο σιδηρομαγνητισμός ως ιδιότητα παρατηρήθηκε από τα αρχαία χρόνια. Χαρακτηρίζεται από διάφορες ιδιότητες: - Μετά από την απομάκρυνση του πεδίου τα υλικά διατηρούν την μαγνήτιση τους. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να ξεχωρίσουμε τους σιδηρομαγνήτες από τους παραμαγνήτες που δεν διατηρούν την μαγνήτισή τους με την απομάκρυνση του μαγνητικού πεδίου. - Όπως γνωρίζουμε, η τιμή της μαγνητικής επαγωγής Β είναι )( MHB o

rrr+= μ , όπου

HMrr

χ= και HHB oo

rrrμμμχ =+= )1( . Όμως, ενώ η τιμή του χ στους παραμαγνήτες

είναι της τάξης του 10-5-10-6, στους σιδηρομαγνήτες είναι της τάξης του 10-105. Εξ αιτίας της μεγάλης τιμής του χ (και του μ) οι σιδηρομαγνήτες ουσιαστικά συγκεντρώνουν την μαγνητική ροή. - Παρατηρείται μια υστέρηση στις χαρακτηριστικές Β(Η) (ή ισοδύναμα στην Μ(Η)). Μετά την απομάκρυνση του μαγνητικού πεδίου παραμένει κάποια μαγνήτιση. Για να μηδενιστεί αυτή η παραμένουσα μαγνήτιση χρειάζεται να εφαρμοστεί κάποιο αντίθετο μαγνητικό πεδίο cH (συνεκτικό πεδίο).

Η υστέρηση έχει ουσιαστικό ρόλο για τις εφαρμογές των σιδηρομαγνητών. Π.χ. για μετασχηματιστές τα υλικά θα πρέπει να έχουν υψηλή τιμή του μ και μικρή επιφάνεια υστέρησης, γιατί οι απώλειες είναι συνάρτηση αυτής της επιφάνειας. Τα υλικά για ηλεκτρομαγνήτες θα πρέπει να έχουν μικρή τιμή της παραμένουσας μαγνήτισης και μικρό απαιτούμενο συνεκτικό πεδίο cH για τον μηδενισμό της παραμένουσας μαγνήτισης, ώστε να μπορεί να μηδενιστεί εύκολα. Οι μόνιμοι μαγνήτες αντίθετα,

χρειάζονται μεγάλη παραμένουσα μαγνήτιση και υψηλό συνεκτικό πεδίο. Μαγνήτιση κορεσμού

Αν το μαγνητικό πεδίο αυξηθεί απεριόριστα, υπάρχει μια οριακή τιμή της μαγνήτισης Μο, που αντιστοιχεί στον πλήρη προσανατολισμό των μαγνητικών διπόλων με το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Επομένως

mNM orr

=

VII-3

όπου mr είναι η μαγνητική διπολική ροπή του κάθε ατόμου και Ν είναι ο αριθμός των ατόμων ανά μονάδα όγκου π. χ. για τον σίδηρο 61071,1 ×=oM A/m για το κοβάλτιο 61042,1 ×=oM A/m για το νικέλιο 61048,0 ×=oM A/m

Όταν το μαγνητικό πεδίο μηδενιστεί, θα παραμείνει μια μαγνήτιση RM (και επομένως RoR MB μ= ). Ανάλογα αν έχουμε επιτύχει την οριακή μαγνήτιση κορεσμού ή όχι, η παραμένουσα μαγνήτιση θα επιτύχει την μέγιστη τιμή της ή όχι,. Η μαγνητική επαγωγή RB μπορεί να μηδενιστεί με την εφαρμογή ενός πεδίου αντίθετης φοράς cH (συνεκτικό πεδίο). Το πεδίο αυτό εξαρτάται ισχυρά από τον τρόπο επεξεργασίας του δείγματος, όπως θα δούμε παρακάτω.

Εξ αιτίας της καμπύλης υστέρησης είναι αδύνατο να οριστεί μια μαγνητική επιδεκτικότητα μ από την σχέση HB / , π.χ. στην παραμένουσα μαγνητική επαγωγή

RB το ∞→μ αφού Η = 0.

Συνήθως ορίζουμε την διαφορική μαγνητική επιδεκτικότητα dHdB

=μ

Αν ένας σιδηρομαγνήτης θερμανθεί πάνω από κάποια θερμοκρασία cT (Curie) θα γίνει ένα παραμαγνητικό υλικό. Η θερμοκρασία αυτή για τον σίδηρο είναι

CTc°= 770 , για το νικέλιο CTc

°= 358 , για το κοβάλτιο CTc°= 1130 και για το

γαδολίνιο CTc°= 20 .

Σκληροί και μαλακοί σιδηρομαγνήτες

Επειδή το απαραίτητο πεδίο για τον μηδενισμό της παραμένουσας μαγνήτισης (συνεκτικό πεδίο) εξαρτάται από τον τρόπο επεξεργασίας των υλικών και υλικά που έχουν υποστεί σκλήρυνση παρουσιάζουν μεγάλη τιμή απαραίτητου μαγνητικού πεδίου, για τον λόγο αυτό χαρακτηρίζονται σκληρά μαγνητικά υλικά, Με τον τρόπο αυτό, σκληρά μαγνητικά υλικά είναι εκείνα όπου το απαιτούμενο συνεκτικό πεδίο είναι πάνω από 10 kA/m (1250 Oe) ενώ μαλακά για όσα είναι μικρότερο από 125 Oe. Π.χ. για τον σίδηρο 1≈cH Oe και για το νικέλιο 6≈cH Oe.

Ηλεκτρομαγνήτες

Στους ηλεκτρομαγνήτες (όπως και στους κινητήρες, μετασχηματιστές και ρελέ) χρησιμοποιούνται μαλακοί μαγνήτες. Το κριτήριο επιλογών είναι η υψηλή τιμή του μ ώστε να επιτευχθεί υψηλή τιμή του Β, που σε συνδυασμό με την χαμηλή τιμή του cH επιτρέπει την εύκολη απομάκρυνση του πεδίον. Π.χ. ο σίδηρος με 1≈cH Oe και υψηλή επίσης μαγνήτιση κορεσμού 61071,1 ×=oM A/m είναι ιδανικός για τέτοιες εφαρμογές. Ένας τυπικός ηλεκτρομαγνήτης μπορεί να αναπτύξει πεδίο μέχρι, 2-2,5 Τ. Για πεδία πάνω από 3 Τ χρησιμοποιούνται υπεραγώγιμοι μαγνήτες.

Μετασχηματιστές Μολονότι οι βασικές απαιτήσεις για μαγνητικά υλικά στους μετασχηματιστές

είναι παρόμοιες με εκείνες των ηλεκτρομαγνητών, η απαίτηση για μικρές απώλειες στην λειτουργία απαιτεί μικρή αγωγιμότητα. Για τον λόγο αυτό συνήθως υπάρχουν προσμίξεις στον σίδηρο από πυρίτιο (4 %) ή ακόμη δημιουργούνται άμορφα μέταλλα.

VII-4

Ηλεκτρομαγνητικά ρελέ

Οι βασικές απαιτήσεις είναι εκείνες των ηλεκτρομαγνητών, δηλαδή χαμηλή παραμένουσα μαγνήτιση, μικρό απαιτούμενο συνεκτικό πεδίο, και υψηλή τιμή του μ. Συνήθως χρησιμοποιούνται κράματα Fe-Si (για μικρές απώλειες στον πυρήνα) ή Fe-Ni. Η πρόσμειξη Si στον Fe μειώνει το cH από 100 A/m σε λίγα A/m. Το ίδιο και η πρόσμειξη Ni στον Fe μειώνει το cH σε 1≈ A/m. Μαγνητικά υλικά καταγραφής

Τα υλικά που χρησιμοποιούνται για καταγραφή έχουν κοινά χαρακτηριστικά με τους μόνιμους μαγνήτες. Θα πρέπει να παρουσιάζουν υψηλή παραμένουσα μαγνήτιση και σχετικά υψηλή τιμή του cH , ώστε να μη κινδυνεύουν από τυχαία καταστροφή της μαγνήτισης. Το πιο συνηθισμένο υλικό για μαγνητική καταγραφή είναι το 32OFe−γ , που πολλές φορές ντοπάρεται με κοβάλτιο. Άλλο υλικό είναι το

2CrO . Συνήθως το υλικό εναποτίθεται υπό μορφή μικρών σωματιδίων σε σχήμα βελόνας σε κάποιο εύκαμπτο υλικό. Χαρακτηριστική τιμή για το cH στο 32OFe−γ είναι 20-24 kA/m και τα σωματίδια έχουν διάσταση μικρότερη του 1 μm (0,7-0,1 μm) με πλάτος 0,05 – 0,3 μm. Για τις ταινίες από 2CrO το 4136 −≈cH A/m, με διαστάσεις σωματιδίων 0,5×0,03 μm2 μέχρι 0,2×0,02 μm2, δηλαδή αρκετά μικρότερες από εκείνες του 32OFe−γ . Τα σωματίδια τοποθετούνται παράλληλα με το υπόστρωμα. Η καμπύλη υστέρησης έχει την μορφή (από D. Jiles Magnetism and Magnetic Materials).

Στις μαγνητικές κεφαλές εγγραφής χρησιμοποιούνται πολύ μικροί ηλεκτρομαγνήτες με ένα λεπτό διάκενο ~0,3μm. Παρασκευάζονται από μαλακά μαγνητικά υλικά (π.χ. Al-Fe, Al-Fe-Si, άμορφο Co-Zr, permaloy-Ni-Fe, κλπ). Με την κίνηση της κεφαλής κατά μήκος της ταινίας μεταβάλλεται το πεδίο (μαγνητική ροή) που περνά από τον μαγνήτη και επάγει κάποιο μικρό ρεύμα και μια τάση. Αυτή ενισχύεται και αποκρυπτογραφείται.

Θερμοκρασία Curie

Ο σιδηρομαγνητισμός εξαφανίζεται για θερμοκρασία χαμηλότερη μιας χαρακτηριστικής, που ονομάζεται θερμοκρασία Curie (Τc). Για θερμοκρασίες μεγαλύτερες αυτής, η αυθόρμητη μαγνήτιση εξαφανίζεται και το υλικό συμπεριφέρεται ως παραμαγνητικό. Στις θερμοκρασίες αυτές (Τ > Τc) η μαγνητική επιδεκτικότητα ακολουθεί τον νόμο των Curie-Weiss

θχ

−=

TC

VII-5

Όπου C είναι μια σταθερά και θ είναι η παραμαγνητική θερμοκρασία Curie, που συνήθως είναι μεγαλύτερη της Τc κατά μερικούς βαθμούς.

Για θερμοκρασία Τ < Τc το σιδηρομαγνητικό υλικό μπορεί να μην παρουσιάζει κατά μέσο όρο κάποια μαγνήτιση. Αν όμως επιβάλλουμε ένα ασθενές μαγνητικό πεδίο, μπορεί να δημιουργηθεί μια πολύ μεγαλύτερη μαγνήτιση που παραμένει μετά την απομάκρυνση του πεδίου.

Κλασική θεωρία σιδηρομαγνητισμού. Θεωρία μοριακού πεδίου του Weiss Ο Weiss παραδέχθηκε ότι το σιδηρομαγνητικό υλικό διαιρείται σε μικρές περιοχές που είναι αυθόρμητα μαγνητισμένες για θερμοκρασία Τ < Τc. Η μέση μαγνήτιση είναι η μέση τιμή αυτών των επί μέρους μαγνητίσεων. Οι μικρές αυτές περιοχές ονομάζονται περιοχές Weiss. Επίσης ότι η αυθόρμητη μαγνήτιση σε κάθε περιοχή οφείλεται στην αλληλεπίδραση σε μοριακό επίπεδο των επί μέρους μαγνητικών διπόλων. Επομένως, το τοπικό μαγνητικό πεδίο θα έχει την μορφή

MHHHH Wloc λ+=+=

Όπου Η είναι το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, ΗW το μοριακό πεδίο του Weiss, ενώ η σταθερά λ του Weiss λαμβάνει πολύ μεγάλες τιμές (103 – 104), που σημαίνει ότι το πεδίο του Weiss είναι πολύ ισχυρό.

Αν υπολογίσουμε την μαγνητική διπολική ροπή, θα έχουμε για ένα σύστημα Ν ατόμων ανά μονάδα όγκου

)(aJBNgM JBμ=

Όπου ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=J

aJ

aJ

JJ

JaBJ 2coth

21

212coth

212)( είναι η συνάρτηση Brillouin και

TkBJg

aB

Bμ=

Επειδή ( )MHBB oloc λμ +==

Προκύπτει ότι

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= MH

TkJg

JBNgMB

oBJB λ

μμμ

Αυτή η εξίσωση παρουσιάζει λύση ακόμη και για την περίπτωση που Η = 0. Πραγματικά τότε

)(aJBNgM JBμ= , όπου Tk

MJgTk

MHJgaB

B

B

B λμλμ=

+=

)(

οπότε Jg

TakMoB

B

λμμ=

VII-6

Όταν Τ > Τc δεν υπάρχει λύση άλλη από την α = 0 (Η = 0).

Όταν Τ < Τc υπάρχουν δύο λύσεις, μία για α = 0, και κάποια άλλη με α ≠ 0 (και Μ ≠ 0), που υποδηλώνει κάποια αυθόρμητη μαγνήτιση.

Όταν Τ = Τc η δύο λύσεις ταυτίζονται, που υποδηλώνεται με την εφαπτομένη στην αρχή της καμπύλης.

Η συνάρτηση του Brillouin για α << 1 μπορεί να προσεγγιστεί ως aJ

JaBJ 31)( +

≅ ,

οπότε aJ

JJNgaJ

JJNgM BB ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=3

)1(3

1 μμ

Επομένως η κλίση της συνάρτησης στην αρχή των αξόνων θα είναι ίση προς

JJJNg B 3

)1( +μ , που θα ισούται με την κλίση της ευθείας Μ(α) στην περίπτωση Τ=Τc.

Δηλαδή B

Boc

oB

cBB k

JJNgT

JgTk

JJJNg

3)1(

3)1( 22 +

=⇒=+ μλμ

λμμμ

Θέτοντας )1( +== JJg Beff μμμ προκύπτει ότι

⇒===B

W

B

o

B

oc k

Bk

MkN

T333

2 μμλμμλμ cBW TkB 3=μ

Όπου WooW HMB μλμ == )(

Για τον σίδηρο 1000≅cT Κ, g = 2, J = 1, BW= 107 Gauss = 1000 Tesla τεράστιο πεδίο.

Όταν 0→T τότε ∞→a και )0(max MMJNgM B ==→ μ

Οπότε )()0()( aBMTM J=

Και )0()(

13

)0()()(

MTM

TT

JJ

MTMJNg

TkJg

TMTk

JgTkBJga c

BB

Bo

B

Bo

B

B ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==== μ

μμλ

μμμ

Μ

α

NgμΒJ

T<Tc T=Tc T>Tc

M=kBTa/gμΒμολJ

VII-7

Όταν cTT → αλλά cTT ≤ μπορούμε να βρούμε κάποια σχέση για την μαγνήτιση από το ανάπτυγμα της συνάρτησης Brillouin σε διαδοχικούς όρους προσέγγισης, ήτοι

45)2(1)12(

31)(

)0()( 3

4

4 aJ

JaJ

JaBM

TMJ

−+−

+≅= (για α < π)

Από τον συνδυασμό των δύο προηγούμενων σχέσεων προκύπτει ότι 233

4

4

)0()(

451

13

)2(1)12(1 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

MTM

TT

JJ

JJ

TT cc

Και η λύση της οδηγεί για cTT ≤ στην σχέση

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

cc TT

TT

JJJ

MTM 1

)1()1(

310

)0()(

2

22

22

Η οποία δίνει, ως όφειλε, ότι 0)( =cTM , αλλά διαφέρει από τα πειραματικά δεδομένα για χαμηλές θερμοκρασίες μακριά από την θερμοκρασία Curie.

Από σύγκριση της εξάρτησης της θεωρίας για θερμοκρασίες κοντά σε εκείνη του Curie με τα πειραματικά δεδομένα του σιδήρου, προκύπτει ότι θα πρέπει 2

1=J .

Δηλαδή στην περίπτωση αυτή δεν παίζει ρόλο η τροχιακή στροφορμή παρά μόνο το σπιν.

Για θερμοκρασίες πάνω από cT το σιδηρομαγνητικό υλικό θα συμπεριφέρεται σαν παραμαγνητικό. Επειδή η θερμοκρασία είναι υψηλή, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι α << 1 και να αρκεστούμε στον πρώτο όρο προσέγγισης της συνάρτησης Brillouin.

Δηλαδή )(3

13

1)( MHTkJg

JJJNga

JJJNgaJBNgM o

B

BBBJB λμ

μμμμ +

+=

+==

Λύνοντας ως προς την μαγνήτιση προκύπτει ότι

HkNT

kNM

Bo

Bo

3/3/2

2

μμλμμ

−=

Όπου )1( += JJg Bμμ

Επομένως,

θμμλμμ

χ−

=−

==T

CkNT

kNHM

Bo

Bo

3/3/2

2

(νόμος Curie)

Όπου θέσαμε

B

o

kN

C3

2μμ= , c

B

o Tk

NC ===

3

2μλμλθ στην θεωρία του Weiss

Πειραματικά όμως προκύπτει ότι το θ είναι μεγαλύτερο του cT κατά ορισμένους βαθμούς. Χαρακτηριστικές τιμές για διάφορα υλικά παρουσιάζονται παρακάτω, μαζί με την καμπύλη εξάρτησης του 1/χ από την θερμοκρασία για το νικέλιο (Σημειώσεις Σ. Παπαδόπουλου).

VII-8

Ms (106 A/m) υλικό Tc (K) θ (Κ)

Τ = 300Κ Τ = 0Κ

Σίδηρος 1043 1093 1,71 1,74

Κοβάλτιο 1395 1428 1,40 1,45

Νικέλιο 631 650 0,49 0,51

Γαδολίνιο 289 302,5 - 2,11

Δυσπρόσιο 85 - - 2,92

Σιδηρομαγνητικές περιοχές Για την ερμηνεία του φαινόμενου του σιδηρομαγνητισμού, το 1906-7 ο Weiss πρότεινε την ύπαρξη μαγνητικών περιοχών, όπου οι ατομικές μαγνητικές διπολικές ροπές είναι μεταξύ τους προσανατολισμένες, αλλά ο προσανατολισμός των διαφορετικών περιοχών είναι τυχαίος, ούτως ώστε η συνολική μαγνήτιση να είναι μηδέν. Στηριζόμενος στην κλασική στατιστική φυσική του Boltzmann απέδειξε ότι το μέσο πεδίο σε κάθε περιοχή είναι ανάλογο της μαγνήτισης sM στην περιοχή, δηλαδή

sW MH λ=

Όπου λ είναι η σταθερά του μέσου πεδίου.

VII-9

Αυτό το πεδίο αλληλεπίδρασης έχει ως αποτέλεσμα τον προσανατολισμό των μαγνητικών ροπών έτσι ώστε αν λ > 0 τότε να υπάρχει παραλληλία με αποτέλεσμα τον σιδηρομαγνητισμό, ενώ όταν λ < 0 να δημιουργείται αντισιδηρομαγνητισμός με αντιπαράλληλες διπολικές ροπές.

Αν υποθέσουμε ότι το πεδίο που «νοιώθει» μια μαγνητική διπολική ροπή imr από την αλληλεπίδρασή της από κάποια άλλη jmr , είναι jij m

rλ , τότε η αλληλεπίδραση

με όλες τις μαγνητικές ροπές δημιουργεί ένα τοπικό πεδίο ∑=j

jiji mH rrλ , και η

δυναμική ενέργεια

∑⋅−=j

jijioi mmU rr λμ

Αν δεχθούμε ότι όλες οι αλληλεπιδράσεις είναι ίδιες τότε == λλij σταθερό, οπότε το

τοπικό πεδίο θα είναι ίσο προς sj

jj

jiji MmmHrrrr

λλλ === ∑∑

Αν παραδεχθούμε ότι το sMr

αντιστοιχεί στην μαγνήτιση κορεσμού και ότι λ = 400 (για τον σίδηρο), τότε 8108,6 ×=iH A/m που αντιστοιχεί σε 855 Τ, ενώ η απλή διπολική αλληλεπίδραση σε ένα στερεό είναι της τάξης του 4108× A/m ή 0,1 Τ.

Επομένως, το φαινόμενο του σιδηρομαγνητισμού δεν μπορεί να ερμηνευθεί κλασικά απλά με την επίδραση των διπλανών μαγνητικών διπολικών ροπών. Είτε θα πρέπει να θεωρηθεί ένα ισοδύναμο μαγνητικό πεδίο από την επίδραση όλων των διπολικών ροπών, όπως στην θεωρία μέσου πεδίου του Weiss, ή να ανατρέξουμε στην κβαντική θεώρηση αλληλεπίδρασης των σπιν μέσω της απαγορευτικής αρχής του Pauli, που θα περιγραφεί στο επόμενο κεφάλαιο.

Η συνολική ενέργεια εξ αιτίας της αλληλεπίδρασης θα είναι

∑∑∑ ⋅−==j

ji

ioi

i mmUU rrλμ

Όταν λ > 0 τότε U < 0 και είναι προτιμητέες οι παράλληλες διπολικές ροπές, ενώ για λ < 0 είναι συμφερότερη η αντιπαράλληλη διάταξη.

Π.χ. για 6 ίδιες διπολικές ροπές που είναι παράλληλες

( ) ( ) 23056 mmmU oo λμλμ −=⋅−=rr

Αν οι 5 είναι παράλληλες και μία αντιπαράλληλη, τότε

( ) 210535 mmmmmU oo λμλμ −=⋅−⋅−=rrrr

Δηλαδή η ενέργεια αυξήθηκε σημαντικά με την αντιστροφή μιας διπολικής ροπής.

Παρατήρηση μαγνητικών περιοχών

Barkhauser effect: παρατήρηση διακριτών αλλαγών στην μαγνητική επαγωγή εξ αιτίας των επαναπροσανατολισμών των περιοχών με την αύξηση του μαγνητικού πεδίου.

VII-10

Μέθοδος Bitter: απόθεση σκόνης από μαγνητικό υλικό στην επιφάνεια του σιδηρομαγνητικού υλικού και καταγραφή της κατανομής του με βάση τα όρια των μαγνητικών περιοχών.

Trnsmission electron microscopy: συνήθως σε λεπτά υμένια από την σκέδαση ηελκτρονίων.

X-ray τοπογραφία: καταγραφή πλεγματικών μεταβολών. Εξ αιτίας της αυθόρμητης μαγνήτισης η σταθερά του πλέγματος θα εξαρτάται από την μαγνήτιση σε κάθε περιοχή.

Από μέτρηση της περιστροφής της πόλωσης του φωτός (φαινόμενο Kerr) με την ανάκλαση στην επιφάνεια του μαγνητικού υλικού.

Διαδικασία απομαγνήτισης σιδηρομαγνήτη Έχει βρεθεί ότι ένας σιδηρομαγνήτης με την πάροδο του χρόνου χάνει σταδιακά την μαγνήτισή του. Ο λόγος είναι ότι σταδιακά, η ενιαία περιοχή προσανατολισμένων μαγνητικών ροπών περιοχή χωρίζεται σε μικρότερες περιοχές με μια διαδικασία που σχηματικά παρουσιάζεται στα παρακάτω σχήματα (D. Jiles, Magnetism and Magnetic Materials). Εξ αιτίας αυτής της διαδικασίας ελαττώνεται σημαντικά το μαγνητικό πεδίο έξω από το υλικό.

Οι Landau και Lifshitz το 1935 απέδειξαν ότι το σιδηρομαγνητικό υλικό, με

τον τρόπο αυτό ελαχιστοποιεί την συνολική του ενέργεια. Συνήθως η δημιουργία των περιοχών ξεκινά στις ατέλειες των υλικών. Επί πλέον, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, το κλείσιμο με τριγωνικές περιοχές ελαττώνει ακόμη περισσότερο το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, ελαχιστοποιώντας την ενέργεια. Η γωνία ανάμεσα σε μια περιοχή κλεισίματος και μιας εσωτερικής περιοχής είναι 45ο ούτως ώστε η συνιστώσα της μαγνήτισης κάθετα στη συνοριακή επιφάνεια να είναι συνεχής.

Όταν επιβάλλουμε ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, τότε οι περιοχές είτε αλλάζουν μέγεθος (για μικρά μαγνητικά πεδία) είτε περιστρέφονται αρχικά προς τους κρυσταλλογραφικούς άξονες που είναι πιο κοντά προς την διεύθυνση του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου. Με περαιτέρω αύξηση του μαγνητικού πεδίου προσανατολίζονται προς αυτό.

Στην θερμοκρασία του απόλυτου μηδενός, όλες οι μαγνητικές διπολικές ροπές σε κάθε περιοχή είναι προσανατολισμένες και έχει επιτευχθεί η μέγιστη συνολική μαγνήτιση κορεσμού. Όσο αυξάνουμε την θερμοκρασία, υπάρχει κάποιος αποπροσανατολισμός των διπολικών ροπών που στην θερμοκρασία Curie είναι

VII-11

πλήρης. Επομένως, με την επιβολή εξωτερικού μαγνητικού πεδίου για Τ > 0 η μαγνήτιση σε κάθε περιοχή θα αυξάνει έως ότου φθάσει στον μέγιστο προσανατολισμό των μαγνητικών διπολικών ροπών.

Ο λόγος που δεν ελαχιστοποιούνται οι διαστάσεις των περιοχών μαγνήτισης είναι ότι στα σύνορα των περιοχών αλλάζει η κατεύθυνση των σπιν και αυτό συνεπάγεται αύξηση της ενέργειας. Επομένως όσο περισσότερες είναι οι περιοχές, τόσο μεγαλύτερη η ενέργεια εξ αιτίας των συνόρων ανάμεσα στις περιοχές. Αυτό περιορίζει τον αριθμό των μαγνητικών περιοχών.

Επί πλέον αποδεικνύεται ότι μια σταδιακή αντί για απότομη μεταβολή του σπιν από τη μια περιοχή στην διπλανή της ελαττώνει την ενέργεια, για το λόγο αυτό δημιουργείται ένα τοίχωμα Bloch στις ενδοεπιφάνειες των τοιχωμάτων. Γιατί όμως δεν αυξάνει απεριόριστα το πάχος των τοιχωμάτων Bloch; Αποδεικνύεται ότι όσο αυξάνει το πάχος, τόσο περισσότερα σπιν είναι προσανατολισμένα σε διευθύνσεις που αποκλίνουν από τις εύκολες των κρυσταλλογραφικών διευθύνσεων, με αποτέλεσμα να αυξάνει πάλι η ενέργεια του συστήματος.

Όλα αυτά θα πρέπει να διατυπωθούν πιο ποσοτικά με την εισαγωγή των αλληλεπιδράσεων ανάμεσα στις μαγνητικές διπολικές ροπές που οφείλονται στην απαγορευτική αρχή του Pauli για τα σωματίδια με ημιακέραιο σπιν.

Ενέργεια των συνόρων των μαγνητικών περιοχών Η δυναμική ενέργεια ανάμεσα στις μαγνητικές διπολικές ροπές δίνεται από την σχέση

Wo HmUrr

⋅−= μ

Όπου sW MHrr

λ= και για cTT << , os MMrr

≅ = μαγνήτιση κορεσμού, και λ είναι η παράμετρος του μέσου πεδίου.

Αν όλες οι μαγνητικές διπολικές ροπές είναι ίδιες, τότε θα έχουμε mNM srr

= , όπου Ν είναι η πυκνότητα ατόμων ανά μονάδα όγκου. Οι μαγνητικές διπολικές ροπές των συνόρων των μαγνητικών περιοχών θα αλλάζουν από σημείο σε κάποιο διπλανό, και επομένως η προσέγγιση του μέσου πεδίου δεν θα είναι ακριβής. Θα πρέπει να εισάγουμε την αλληλεπίδραση ανάμεσα σε γειτονικές διπολικές ροπές ώστε να υπολογίσουμε την ενέργεια στα σύνορα (διαχωριστική επιφάνεια) των περιοχών.

Έστω J η αλληλεπίδραση ανάμεσα στις γειτονικές διπολικές ροπές, τότε η δυναμική ενέργεια θα είναι

jioij mmzJU rr⋅−= μ

όπου ορίσαμε με z τον αριθμό των γειτονικών ροπών. Στην περίπτωση αυτή, η ενέργεια εξαρτάται από την γωνία φ ανάμεσα στις ροπές

φμ cos2zJmU oij −=

Όπου παραδεχθήκαμε ότι όλες οι διπολικές ροπές είναι ίσες.

Για μικρές γωνίες φ έχουμε ότι 21cos2φφ −≅ , οπότε ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 21

22 φμ zJmU oij .

VII-12

Για γραμμική διάταξη (κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια) των διπολικών ροπών z = 2, οπότε ( )222 −= φμ JmU oij . Επομένως, η επί πλέον ενέργεια λόγω των γειτονικών ροπών θα είναι

nJmU o22φμ=

Όπου n είναι ο αριθμός των διπολικών ροπών στη διαχωριστική επιφάνεια, όπως παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα (D. Jiles, Magnetism and Magnetic Materials).

Παραδεχόμενοι ότι η περιστροφή κατά 180ο είναι σταδιακή με ίδια γωνία nπφ = ,

οπότε η δυναμική ενέργεια έχει την μορφή

nJm

U o22πμ

=

Και ανηγμένη στην μονάδα επιφάνειας (αν α είναι η απόσταση ανάμεσα στις γειτονικές διπολικές ροπές)

2

22

naJm

u o πμ=

Είναι φανερό ότι η ενέργεια από τις διαχωριστικές επιφάνειες ελαχιστοποιείται όταν 0→φ , που σημαίνει ότι το ∞→n , δηλαδή σε όσον το δυνατόν παχύτερες διαχωριστικές επιφάνειες.

Ενέργεια ανισοτροπίας

Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μια επί πλέον ενέργεια εξ αιτίας της τάσης των μαγνητικών περιοχών να προσανατολιστούν προς τις κρυσταλλογραφικές διευθύνσεις. Π.χ. για κυβικής συμμετρίας υλικά η ενέργεια αυτή έχει την μορφή

( )12

32

32

22

22

12

1 coscoscoscoscoscos θθθθθθ ++= kU a

Όπου θ1, θ2, θ3 είναι οι γωνίες της μαγνήτισης με τους κρυσταλλογραφικούς άξονες. Έτσι, στην περίπτωση ανισοτροπίας στο επίπεδο (001), θ3 = π/2, cosθ3 = 0 και

121

22

12

1)001( 2sin4

coscos θθθkkU ==

Αφού θ2 = 90ο – θ1.

Όταν k1 > 0 (σίδηρος) τότε η μαγνήτιση είναι κατά τον άξονα 100 ή τον 010 .

Αν k1 < 0 (νικέλιο) τότε η μαγνήτιση είναι κατά τον άξονα 110 .

Επομένως, για την p κατά σειρά διπολική ροπή

)2(sin4

21)001( φp

kU =

Και η συνολική δυναμική ενέργεια εξ αιτίας της ανισοτροπίας θα είναι ίση με

VII-13

dlknakU 11 ==

Όπου ορίσαμε το πάχος της διαχωριστικής επιφάνειας = nald =

Η συνολική δυναμική ενέργεια λόγω ανισοτροπίας και αλληλεπίδρασης θα είναι

d

odt al

JmlkU

22

1πμ

+=

Η ελάχιστη ενέργεια προφανώς θα συμβαίνει για πάχος που ικανοποιεί την

akJm

lalJm

kdldU o

dd

o

d

t

1

22

2

22

10πμπμ

=⇒−==

Για τον σίδηρο προκύπτει ότι 41 108,4 ×=k J/m3, α = 2,5 Å, m = 2,14 μαγνητόνες του

Bohr, J = 2810386× , και ld = 395 Å = 160 θεμελιώδεις κυψελίδες.

Επίπεδη μετακίνηση απαραμόρφωτων μαγνητικών τοιχωμάτων

Όταν η επιφανειακή ενέργεια των τοιχωμάτων των μαγνητικών περιοχών είναι μεγάλη, τα τοιχώματα παραμένουν επίπεδα. Υπό την επίδραση ενός μαγνητικού πεδίου Η, τα τοιχώματα θα μετακινηθούν, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα.

Η ενέργεια (ανά μονάδα επιφάνειας) που δίνεται στο υλικό από το μαγνητικό πεδίο θα είναι

∫ ⋅−=Δ MdHU o

rrμ

Για μετακίνηση του τοιχώματος μιας περιοχής μοναδιαίας επιφάνειας κατά διάστημα dx θα έχουμε dxMMd s

rr2= , οπότε

xMHUdxMHU soso

rrrr⋅−=⇒⋅−=Δ ∫ μμ 22

Θα είναι η ενέργεια ανά μονάδα επιφάνειας.

Αν επί πλέον υπάρχει μια δυναμική ενέργεια (ανά επιφάνεια) pU που «νοιώθουν» οι μαγνητικές περιοχές μέσα στο υλικό εξ αιτίας των ατελειών, τάσεων, κλπ, τότε

xMHUU soptot

rr⋅−= μ2

Η μετακίνηση των τοιχωμάτων θα προκύψει από την εξίσωση 0=dx

dU tot , που δίνει

sop MH

dxdU rr

⋅= μ2

Αν θέσουμε σε πρώτη προσέγγιση

2

21 bxU p =

VII-14

Προκύπτει ότι b

MHx so

rr⋅

=μ2

Είναι φανερό ότι στην προσέγγιση αυτή, όταν απομακρυνθεί το μαγνητικό πεδίο, τότε x = 0. Δηλαδή επανέρχεται το υλικό στην αρχική του κατάσταση. Επίσης, όσο αυξάνει το b τόσο μειούται το x και αντίστροφα.

Στην περίπτωση των άκαμπτων τοιχωμάτων μπορεί να υπολογιστεί η μαγνήτιση ως

xAMM s θcos2rr

=

Όπου Α είναι η επιφάνεια των τοιχωμάτων και θ η γωνία ανάμεσα στην μαγνήτιση

και την μετακίνηση x. Όμως b

MHx so

rr⋅

=μ2

, οπότε

bAM

dHdM

bAHM

M soso θμχ

θμ 2222 cos4cos4==⇒=

Για κυβικό υλικό 31cos2 =θ οπότε

AbM socubic

34 2μ

χ =

Επειδή η επιφανειακή ενέργεια μπορεί να είναι αρκετά μικρή (ή για μεγάλα μαγνητικά πεδία) , τα τοιχώματα των μαγνητικών περιοχών μπορεί να καμπυλωθούν σε κυλινδρικές επιφάνειες. Δηλαδή, ας δεχθούμε ότι τα τοιχώματα είναι καρφωμένα στις εξωτερικές επιφάνειες του υλικού και παραμορφώνονται όπως μια ελαστική μεμβράνη. Αποδεικνύεται τότε ότι η δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας είναι ίση προς γ/r, όπου γ είναι μια ισοδύναμη τάση της μεμβράνης και r η ακτίνα καμπυλότητας. Στην περίπτωση αυτή, η μαγνητική επιδεκτικότητα λαμβάνει την μορφή

γμ

χ3

32 hlM so=

Όπου l είναι το πλάτος του υλικού και h το πάχος του (βλέπε σχήμα).

Παρατηρούμε δηλαδή ότι συμβαίνουν δύο είδη παραμορφώσεων των τοιχωμάτων: μετακίνηση και κάμψη. Η ένταση της δύναμης «καρφώματος» των μαγνητικών περιοχών και η επιφανειακή δυναμική ενέργεια καθορίζουν το μέγεθος της κάθε μιας συνιστώσας.

Υστέρηση Στους σιδηρομαγνήτες τα υλικά επιστρέφουν στην αρχική τους κατάσταση μετά την απομάκρυνση του πεδίου, μόνο για μικρά μαγνητικά πεδία. Συνήθως όμως η

VII-15

μαγνήτιση του υλικού δεν καταλήγει στην αρχική της τιμή μετά την απομάκρυνση του πεδίου. Από τους δύο μηχανισμούς που αναφέρθηκαν, η κάμψη των τοιχωμάτων των μαγνητικών περιοχών ξαναγυρνά στην αρχική της κατάσταση για μικρά μαγνητικά πεδία. Αν όμως το τοίχωμα με την κάμψη συναντήσει κάποια κέντρα καρφώματος, τότε θα προτιμήσει μια νέα κατάσταση αντί της αρχικής.

Συνήθως η μετατόπιση των μαγνητικών τοιχωμάτων είναι μη-αντιστρεπτές μεταβολές εκτός από υλικά που είναι ιδιαίτερα καθαρά (χωρίς ατέλειες). Η μετακίνηση των τοιχωμάτων μπορεί να περιγραφεί με ένα μοντέλο τοπικών διαταραχών εξ αιτίας των ελαστικών τάσεων ή πρόσθετων υλικών που έχουν προστεθεί (π.χ. καρβίδια στον σίδηρο).

Μετά από συστηματικές μελέτες βρέθηκε ότι οι κρυσταλλικές ατέλειες δρουν ως θέσεις καρφώματος για τα τα μαγνητικά τοιχώματα, μέσω των ανομοιογενών τάσεων που δημιουργούνται. >Αυτό εξηγεί γιατί τα υλικά που έχουν υποστεί κατεργασία με απότομη ψύξη, έχουν μεγαλύτερη παραμένουσα μαγνήτιση και μικρότερη αρχική μαγνητική επιδεκτικότητα, από εκείνα που έχουν υποστεί ανόπτηση. Άλλη πηγή καρφώματος στα υλικά είναι σωματίδια με διαφορετικές μαγνητικές ιδιότητες όπως π.χ. οξείδια, καρβίδια, ή ακόμη πόροι, κενά, κλπ.

Σιδηριμαγνητισμός Στην περίπτωση του σιδηριμαγνητισμού οι γειτονικές διπολικές ροπές διατάσσονται αντίθετα και έχουν διαφορετικό μέγεθος. Συμπεριφέρονται όπως οι σιδηρομαγνήτες και παρουσιάζουν αυθόρμητη μαγνήτιση κάτω από μια θερμοκρασία, μαγνητικές περιοχές, καθώς και υστέρηση. Όμως η θερμοκρασιακή τους εξάρτηση διαφέρει από εκείνη των σιδηρομαγνητικών υλικών. Χαρακτηριστικά παραδείγματα σιδηριμαγνητικών υλικών είναι οι φερρίτες, που έχουν την χημική μορφή

432

2 OFeMe ++ , όπου +2Me είναι ένα δισθενές μέταλλο όπως τα Fe, Mn, Co, Ni, Cu, Mg, Zn ή Cd. Οι κυβικοί φερρότες έχουν δομή spinel με 8 τετραεδρικές θέσεις Α και 16 οκταεδρικές θέσεις Β. Ο μαγνητίτης (το μαγνητικό υλικό των αρχαίων ναυτικών) είναι το 4

32

2 OFeFe ++ (δηλαδή το 43OFe ).

Ο +3Fe με ηλεκτρονική δομή στην εξωτερική στιβάδα 53d βρίσκεται στην κατάσταση

25

6 S , ενώ το +2Fe με 6 ηλεκτρόνια ( )63d βρίσκεται στην κατάσταση

45 D , σύμφωνα με τους κανόνες του Hund. Επομένως, αν το οι μαγνητικές διπολικές ροπές διατάσσονταν παράλληλα θα έπρεπε να έχουν μια συνολική διπολική ροπή

BFeBFeB JgJg μμμ 142 23 =+ . Όμως το πείραμα δείχνει ότι έχει διπολική ροπή ίση προς Bμ4 .

Ο Neel το 1948 απέδειξε ότι η μαγνήτιση οφείλεται μόνο στο +2Fe )4( Bμ , γιατί τα δύο ιόντα +3Fe βρίσκονται σε μη-ισοδύναμες κρυσταλλογραφικές θέσεις με αντίθετες μεταξύ τους μαγνητικές διπολικές ροπές, και επομένως αλληλοαναιρούνται. Αυτό συμβαίνει κάτω από την θερμοκρασία Curie, ενώ πάνω από αυτή το υλικό συμπεριφέρεται ως παραμαγνητικό.

Ας θεωρήσουμε στην γενική περίπτωση ένα σύστημα με δυο μαγνητικές ροπές Α, Β και ότι όλες οι αλληλεπιδράσεις ανταλλαγής ευνοούν αντιπαράλληλη διάταξη, αλλά η αλληλεπίδραση ΑΒ είναι πολύ πιο ισχυρή από τις ΑΑ και ΒΒ. Το τοπικό πεδίο σε κάθε μια θέση Α και Β θα δίνεται από σχέσεις της μορφής

VII-16

BAB

BAA

MMHH

MMHHrrrr

rrrr

νμ

μλ

−−=

−−=

Όπου θεωρούμε ότι λ, μ, ν > 0, που οφείλεται στη αντισιδηρομαγνητική σύζευξη. Η μαγνήτιση στις δύο θέσεις θα είναι

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

BAoB

BBBJBBBBB

BAoB

ABAJABAAA

MMHTkJgBJgNM

MMHTkJg

BJgNM

B

A

rrrr

rrrr

νμμμ

μ

μλμμ

μ

Όπου ΝΑ, ΝΒ είναι τα ιόντα Α, Β ανά μονάδα όγκου.

Για Τ > Τc και υποθέτοντας ότι το όρισμα της συνάρτησης Brillouin α << 1, τότε

έχουμε την προσεγγιστική μορφή aJ

JaBJ 31)( +

≅ , οπότε

( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

BAoB

BBB

B

BBBBBB

BAoB

ABA

A

AABAAA

MMHTkJg

JJJgNM

MMHTkJg

JJ

JgNM

rrrr

rrrr

νμμμ

μ

μλμμ

μ

31

31

Απ’ όπου προκύπτουν οι εξισώσεις

( )

( )BAB

B

BAA

A

MMHT

CM

MMHT

CM

νμ

μλ

−−=

−−=

Όπου B

oBABABBABABA k

JJgNC

3)1( ,,

22,,

,

μμ +=

Η επεξεργασία των δύο εξισώσεων δίνει ότι

BB

ABAA

MCTMHMM

CT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++==+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ νμμλ

Και η λύση τους ότι

( ) ( )( )( ) BABA

BABABA

CCCTCTCCTCC

HMM

2

2μνλμλν

χ−++−+++

=+

=

Όταν cTT → και 0→H

0

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

BB

cA

BAA

c

MCT

M

MMCT

νμ

μλ

VII-17

Και για να υπάρχει λύση θα πρέπει 02 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ μνλ

B

c

A

c

CT

CT

ή

( ) ( ) 022 =−+++ BAcBAc CCTCCT μλννλ

Αν αγνοήσουμε τις αλληλεπιδράσεις ΑΑ και ΒΒ (δηλαδή αν θέσουμε λ = ν = 0) τότε θα έχουμε τις σχέσεις

BAc CCT μ= και

( )22

2

c

BABA

TTCCTCC

−−+

=μ

χ

ή

( ) BABA

c

CCTCCTT

μχ 21 22

−+−

=

Που παριστάνεται στο παραπάνω σχήμα (από τις Σημειώσεις Σ. Παπαδόπουλου).

Αντισιδηρομαγνητισμός Αποτελεί μια υποπερίπτωση του σιδηριμαγνητισμού όπου οι διπολικές ροπές των δύο υποπλεγμάτων είναι ίσες. Χαρακτηριστικό υλικό το MnO.

Αν θέσουμε λ = ν = ε και CCC BA == θα προκύψουν οι εξισώσεις

0

0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

εμ

με

CT

CT

N

N

Που οδηγούν στην CTN )( εμ −=

Η δε μαγνητική επιδεκτικότητα θα είναι

θεμμεμεχ

+=

++=

−+−+

=T

CCT

CCCTCCT 2

)(2

)()(22

222

2

Όπου C)( εμθ +=

Για θερμοκρασίες Τ < ΤΝ η μαγνητική επιδεκτικότητα εξαρτάται από την κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου σχετικά με την φορά του σπιν. Όταν το πεδίο είναι κάθετο στα σπιν

αποδεικνύεται ότι ==⊥ μχ 1 σταθερό.

Αυτό ισχύει κατά προσέγγιση, αφού υπάρχει μια μικρή εξάρτηση από την

VII-18

θερμοκρασία.

Όταν το μαγνητικό πεδίο είναι παράλληλο στα σπιν, τότε η επιδεκτικότητα εξαρτάται από την θερμοκρασία, (όπως δείχνει το παραπάνω σχήμα, από Σημειώσεις Σ. Παπαδόπουλου) και ισχύει ότι 0)0(// =Kχ και )()(// NN TT ⊥= χχ .

Ένας απλός τρόπος να κατανοήσουμε την μη-εξάρτηση του κάθετου πεδίου, βασίζεται στην κλασική ανάλυση της κίνησης των μαγνητίσεων υπό την επίδραση του μαγνητικού πεδίου. Τα τοπικά πεδία στις θέσεις Α και Β θα ασκούν μηχανικές ροπές AA HM

rr× και AA HM

rr× στα διανύσματα των μαγνητίσεων AM

r και BM

r που

θα περιστραφούν κατά γωνία φ σχηματίζοντας μεταξύ τους γωνία 2φ, ώστε να μηδενίσουν την ροπή. Δηλαδή θα πρέπει

( ) BAABAAAA MMHMMMHMHMrrrrrrrrrr

×−×=−−×=×= μμλ0 και

( ) ABBBABBB MMHMMMHMHMrrrrrrrrrr

×−×=−−×=×= μνμ0

Επομένως,

HMMMHM BBAA

rrrrrr×=×=× μ

Οπότε

ϕμϕπ 2sin2

sin BAA MMHM =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Και M

Hμ

ϕ2

sin = (αφού ΜΑ=ΜΒ=Μ)

Τελικά μ

χμ

ϕ 1sin2 =+

=⇒==+ ⊥ H

MMHMMMBA

BA

rrrr

που είναι

ανεξάρτητο της θερμοκρασίας.

Στην άλλη περίπτωση του παράλληλου πεδίου ο υπολογισμός είναι πιο σύνθετος.

Β

ΜΑ ΜΒ φ φ

Χρηματοδότηση  •  Το  παρόν  εκπαιδευτικό  υλικό  έχει  αναπτυχθεί  

στα  πλαίσια  του  εκπαιδευτικόυ  έργου  του  διδάσκοντα  

•  Το  έργο  «Ανοικτά  Ακαδημαϊκά  Μαθήματα  Ε.Μ.Π.»  έχει  χρηματοδοτήσει  μόνο  την  αναδιαμόρφωση  του  εκπαιδευτικού  υλικού.  

•  Το  έργο  υλοποιείται  στο  πλαίσιο  του  Επιχειρησιακού  Προγράμματος  «Εκπαίδευση  και  Δια  Βίου  Μάθηση»  και  συγχρηματοδοτείται  από  την  Ευρωπαϊκή  Ένωση  (Ευρωπαϊκό  Κοινωνικό  Ταμείο)  και  από  εθνικού  πόρους.