73589961 Sumario de Curiosidades Matematicas

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Sumario de t ´ opicos matem ´ aticos Edward Parra Salazar e π

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Sumario de topicos matematicos

Edward Parra Salazar

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A mis musas: mi madre, mi abuela y mi tıa (que esta ausente fısicamente).

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Prologo

Esta recopilacion es producto de extensos y divertidos perıodos de investigacionsobre historia de la matematica y de la ciencia en general. Han surgido de ahı, unaserie de topicos que a la postre han servido como trabajos finales de algunos cursos,otros solo han sido continuacion o inquietudes planteadas sobre esos temas, que hedesarrollado de manera vaga y nada sistematica.

Son variados los temas tratados en este pequeno compendio. Desde una biografıade Arquımedes, fracciones continuadas, problemas matematicos, teorıa del caos yfractales, hasta curiosidades matematicas. He intentado exponer estos topicos de unamanera sencilla, precisa y sin caer en detalles irrelevantes. El proposito final es queestas notas sean una pequena herramienta de divulgacion matematica, es presentarestos temas de manera contextualiza y que sirvan de referente para que el lectorcontinue su investigacion sobre el tema que se sienta parcializado.

La lista de personas que me han apoyado durante este breve proyecto tiende ainfinito. A todos ellos, mis amigos anonimos, les agradezco por cada comentariosobre el tema y por cada voz de animo que me han dado: ¡Gracias companeros yamigos!.

Este no es un proyecto acabado, razon por la cual todas las sugerencias que uste-des consideren convenientes seran bienvenidas.

Edward Parra Salazar,28 de julio de 2010.

Digitado en pdfLATEX, eps – eπ.

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Indice

1. Arquımedes: su vida, obras y aportes a la matematica moderna 61.1. Ubicacion Historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. La matematica del siglo III aec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Arquımedes de Siracusa (circa 287− 212 aec) . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Anecdotas sobre Arquımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Aportes de Arquımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1. Caracterısticas de sus tratados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2. Principales trabajos de Arquımedes . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3. Trabajos perdidos de Arquımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.4. Arquımedes y sus principales influencias . . . . . . . . . . . . . 26

1.4. Estudio de una obra de Arquımedes: El Metodo . . . . . . . . . . . . . . 291.4.1. El Metodo de Arquımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2. Fracciones Continuadas: un recorrido historico 342.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2. La teorıa de las fracciones continuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1. Fracciones continuadas finitas e infinitas . . . . . . . . . . . . . 352.2.2. Algoritmo para el calculo de fracciones continuadas . . . . . . . 372.2.3. Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3. Historia de las fracciones continuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.1. Breve Resena historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.2. Sobre la notacion de las fracciones continuadas . . . . . . . . . . 41

2.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.1. Calculo de fracciones continuadas de raıces cuadradas . . . . . 422.4.2. Resolucion de ecuaciones diofanticas lineales . . . . . . . . . . . 432.4.3. Algunas fracciones continuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.4. Fracciones continuadas y geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4.5. Fracciones continuadas ascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4.6. El problema del calendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

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INDICE 5

3. Problemas Matematicos 553.1. Los 23 problemas de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2. Los 7 problemas del Milenio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. Caos: una breve resena 594.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2. Teorıa del Caos: una aproximacion historica . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.1. Efecto Mariposa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.2. Los primeros anos del caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3. Imagenes del caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.1. Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4. A modo de cierre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5. Curiosidades Matematicas 715.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2. Signos matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3. Curiosidades Matematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4. Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

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Capıtulo 1Arquımedes: su vida, obras y aportes ala matematica moderna

There was more imagination in the head of Archimedes then in that of Homer.Voltaire

El proposito de este trabajo es realizar un recorrido por las principales obras deArquımedes de Siracusa, algunas de las anecdotas que rodean su figura, ası como re-alizar un estudio de sus principales aportes a la matematica moderna y su didactica.

Tambien revisaremos algunos aspectos importantes de su obra El Metodo.

1.1. Ubicacion Historica

1.1.1. La matematica del siglo III aec

En el siglo III aec, Roma era la potencia mediterranea por excelencia. Roma, ensu afan de conquista, se apodera de los estados helenicos y de la poderosa Cartago.La unica ciudad que resiste a los embates de los romanos es Siracusa, pero ya en el212 aec cae en manos de Roma.

Durante III aec, el poder polıtico y militar estaba en manos de los romanos, pero elpoder cientıfico, continuaba en manos de los griegos. No era la gran cultura helenicadel siglo V aec, en el que habıan florecido tantos filosofos, artistas y cientıficos,tales como Herodoto, Hipocrates, Heraclito, Parmenides, Zenon, Esquilo, Sofocles,Aristofanes y Democrito.

La cultura cientıfica helenica se ve obligada a emigrar a las colonias griegas deAsia Menor, Egipto, Italia y demas, debido a la invasion que sufrıan por parte de losromanos.

Es ası como en Alejandrıa - Egipto nace el centro cientıfico mas importante delmundo griego y tambien el mas duradero, sitio de comunicacion de los mas grandesinvestigadores de la epoca, tanto de griegos como de romanos. (Vease [3]).

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Arquımedes: su vida, obras y aportes a la matematica moderna 7

En Alejandrıa se construye la Biblioteca y el Museo, donde centenares de sabiosy estudiosos se ensenan, trabajan e investigan. La Biblioteca fue dirigida, especial-mente en la epoca de mayor brillo, por grandes sabios, como por ejemplo Eratostenes.Es a este ambiente cientıfico de Alejandrıa al que se vinculan directa e indirecta-mente las tres figuras mas importantes de la matematica de la antiguedad: Euclides,Arquımedes y Apolonio. Estos fueron los miembros mas representativos del perıodode oro de la matematica griega.

En el siglo III aec nace uno de los mas grandes matematicos de todos los tiempos:Arquımedes de Siracusa.

Figura 1.1: Grecia Antigua

1.2. Arquımedes de Siracusa (circa 287− 212 aec)

Segun [3], Arquımedes fue una figura celebre y famosa en Siracusa, ya fuerapor sus meritos cientıficos o por sus excentricidades y grandes inventos que se leatribuyeron, o por su vinculacion con la familia real. Para [7], “el mas grande mate-matico de la antiguedad, tuvo la fortaleza de innovacion de Platon y el procedimien-to correcto de Euclides”.

Las fuentes primarias sobre la vida de Arquımedes se perdieron, en especialel trabajo de Heracleides Vida de Arquımedes y la reconstruccion biografica de Ar-quımedes es producto de varios fragmentos de diversos autores, especialmente his-toriadores de las guerras punicas.

Con base en estas observaciones se sabe que Arquımedes nacio en 287 aec, vivio 75anos y murio a causa del saqueo que siguio a la caıda de Siracusa en manos de Marce-lo en el 212 aec.

Su padre fue Pheidias el astronomo.En virtud del rigor, la originalidad y la trascendencia de sus resultados se le con-

sidera el primer matematico moderno. Arquımedes en algun momento de su forma-cion visito Alejandrıa y estuvo en contacto con los sucesores de Euclides. Particular-mente mantuvo una relacion estrecha con Conon de Samos (280− 220 aec), Dositeode Pelusa y Eratostenes de Cirene (276 − 194 aec) (estos tres fueron sus maestrosen Alejandrıa). El primero fue el descubridor de la espiral que hoy conocemos conel nombre de espiral de Arquımedes y estudio los puntos de interseccion entre dos

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secciones conicas. El tercero fue director de la biblioteca de Alejandrıa a partir de235 aec y autor del conocido metodo de la Criba para la determinacion de numerosprimos.

Cuando Arquımedes regreso a Siracusa, dedico toda su vida a la investigacioncientıfica.

Mientras a Euclides se le consideraba el maestro por excelencia, creador de, lo queen el lenguaje moderno podrıa decirse, un libro de texto. Apolonio, era un profesorque ensenaba e investigaba. Arquımedes era un investigador innato, sus escritos sonverdaderas memorias cientıficas.(Vease [3] y [29]).

La obra de Arquımedes fue desarrol-lada fundamentalmente a traves de car-tas escritas en el mas absoluto rigor eu-clidiano y con un marcado enfasis en laaplicacion de los metodos matematicos ala Mecanica y la Fısica. Ası por ejemploen Sobre el equilibrio de las figuras planasexpone la ley de las palancas, Sobre loscuerpos que flotan estudia los principiosbasicos de la hidrostatica, etc.

Tambien a el pertenecen toda una serie de inventos practicos y artefactos belicoscomo: el tornillo sinfın, la rueda dentada, los sistemas de palancas, la polea movil, elplanetario, las catapultas, etc.

Durante su estancia en el valle del Ni-lo, se cuenta que Arquımedes invento elllamado Tornillo de Arquımedes, un dis-positivo para elevar agua desde un nivelbajo hasta otro mas alto. Lo cierto es queeste invento se usa en la actualidad. Sucreacion da evidencia del doble caracterde Arquımedes, podıa preocuparse dematerias practicas o podıa investigar entopicos mas abstracto.

En lo fundamental su obra matematica estuvo vinculada a la solucion de proble-mas sobre cuadraturas, curvaturas y calculo de tangentes por lo que se le consideraun precursor del Calculo Diferencial e Integral. En el terreno metodologico llevo elMetodo de Exhaucion a alcanzar sus maximas conquistas demostrativas. Muchas deestas fueron previamente divisadas por un grupo importante de metodos; que eneste momento tenıan un valor fundamentalmente heurıstico, pero cuya maduracionposterior constituirıa los principios del Calculo Infinitesimal y el Metodo Experimen-tal en ciencias naturales. Entre ellos son de interes: el metodo Mecanico-Geometrico,el metodo de Sumas Integrales y el metodo de Tangencia.

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Tal fue la fascinacion de Arquımedes por la Mecanica que no solo se ocupo debuscar basamento geometrico para sus principios sino que tambien logro que estapenetrara en sus metodos matematicos. Ası en su Carta a Eratostenes tambien cono-cida como Tratado del Metodo redescubierta en 1906, afirma: Estoy...convencido de queel metodo no es menos util para la demostracion de los teoremas. Pues algunas de las cosasque se me hicieron claras por vıa mecanica, se demostraron mas tarde de forma geometri-ca, porque el modo de observacion de este tipo carece de fuerza probatoria. Pues es mas facilrealizar la demostracion cuando previamente se ha obtenido una idea de la cuestion por vıaMecanica, que cuando no se cuenta con este conocimiento previo

Arquımedes llevo el Metodo de Exhaucion y su aspecto aritmetico a producirsorprendentes resultados como la estimacion 3,14085 ≤ π ≤ 3,14286 en Medida delCırculo haciendo inscripciones y circunscripciones de polıgonos de hasta 96 lados.Al decir del historiador norteamericano E.T. Bell, citado por [47]: Aplicando el Metodode Exhaucion, Arquımedes se revelo como un maestro consumado del rigor matematico y unartista perfecto.

En Sobre Conoides y Esferoides determina el volumen de paraboloides e hiper-boloides de revolucion (Conoides), ası como de Elipsoides de revolucion (esferoides)estratificando en cada paso con cilindros de igual altura. En Sobre espirales repite elmetodo para calcular el area de la primera espiral de la hoy conocida como espiral deArquımedes, estratificando con sectores circulares de igual amplitud en cada caso.

A diferencia de sus predecesores griegos, Arquımedes, tambien desarrollo unamaestrıa de computo original. Esto se manifiesta en: el Problema de los bueyes (resuelvela ecuacion), el metodo de calculo de raıces (aun no bien aclarado), y en Arenario (oEl contador de arena).

En El Arenario haciendo uso magistral y reiterativo del conocido hoy como A-xioma de Arquımedes (Las magnitudes tienen una razon entre si, cuando multiplicadasson capaces de superarse la una a la otra, segun la definicion 4 de los Elementos y queantes fue ampliamente utilizado por Eudoxio en la fundamentacion de su teorıa deproporciones) se propone estimar la cantidad de granos de arena que existen en elmundo usando un embrion de lo que hoy llamamos notacion cientıfica o exponencialpara denotar numeros muy grandes. Este trabajo es ademas importante por conteneruna de las pocas referencias conocidas a los trabajos del matematico y astronomoAristarco de Samos (310− 230 a.C.), exponente de la teorıa heliocentrica del universo(el sol como centro) y pionero en la determinacion del tamano y la distancia entre laluna y el sol.

La obra matematica de Arquımedes fue una fuente de inspiracion importantepara los precursores del Calculo Infinitesimal a partir del siglo XVI. Al decir de W.Leibniz (1646− 1716), citado por [19], estudiando a Arquımedes, dejas de asombrarte porlos exitos de los matematicos actuales.

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1.2.1. Anecdotas sobre Arquımedes

La corona de oro de Hieron

La anecdota mas conocida de Arquımedes es la de la corona de oro de Hieron, quese conoce a traves de Vitruvio (vease [3]). Textualmente es la siguiente:

Entre el gran numero admirables descubrimientos realizados por Arquımedes,hay que senalar el que voy a citar y en el que puso de manifiesto una su-tileza casi increıble. Cuando Hieron reinaba en Siracusa, este prıncipe,por los exitos logrados en sus empresas, se propuso ofrecer en un ciertotemplo una corona de oro a los dioses inmortales. Convino la confeccionde la obra con un artesano mediante una buena suma de dinero y la en-trega de la cantidad de oro en peso. El artesano entrego la corona en lafecha convenida con el rey, quien la encontro perfectamente ejecutada,pareciendo que contuviera todo el oro que le habıa entregado. Pero ha-biendo obtenido indicios de que el artesano habıa retenido una parte deoro, el rey, indignado ante ese engano y no teniendo a mano los mediospara demostrar al artesano su fraude, encargo a Arquımedes que se ocu-pase del asunto y que con su inteligencia encontrase esos medios. Un dıaque Arquımedes, preocupado por este asunto, entro por casualidad enuna casa de banos, advirtio que a medida que se introducıa a la banera,es agua se desbordaba de la misma. Esta observacion le hizo descubrir larazon que buscaba, y sin aguardar mas por la alegrıa que este hecho leproducıa, salio del bano aun desnudo y corriendo hacia su casa gritaba¡Eureka! ¡Eureka!, es decir, ¡lo he encontrado!, ¡lo he encontrado!.

A raız de este descubrimiento en-cargo entonces dos masas de igualpeso que el de la corona, una de oroy otra de plata. Sumergio luego lamasa de plata en un vaso , lo que hi-zo salir una cantidad de agua igualal volumen de esa masa y volvio allenar el vaso con una igual can-tidad de agua que habıa salido yque se preocupo de medir, de ma-nera que pudo conocer la cantidadde agua que correspondıa a la masade plata que habıa introducido en elvaso.

Despues de esa experiencia sumergio igualmente la masa de oro en elvaso lleno de agua, y despues de haberla retirado midio nuevamente elagua desalojada, encontrando que la masa de oro no habıa desalojadotanta agua como la de plata y que la diferencia en menos era igual a la

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diferencia entre los volumenes de la masa de oro y de la masa de pla-ta de igual peso. Finalmente volvio a llenar el vaso sumergiendole estavez la corona, que desalojo mas agua de la que habıa desalojado la masade oro de igual peso, pero menos de la respectiva de la masa de plata.Calculando entonces, de acuerdo con esas experiencias, en cuanto la can-tidad de agua que la corona habıa desalojado era mayor de aquella quehabıa desalojado la masa de oro, conocio cuanta era la plata que se habıamezclado al oro, mostrando claramente el fraude del artesano.

Dadme un punto de apoyo. . .

Otra anecdota conocida de Arquımedes, segun la cual este habrıa pronunciadola celebre frase, tan retorica como absurda (vease[3]): Dadme un punto de apoyo y le-vantare el mundo, esta narrada por Pappus1 y Plutarco, en conexion con el problema:mover un peso dado, mediante una fuerza dada.

Arquımedes, pariente y amigo de Hieron, le escribio que con una po-tencia dada se puede mover un peso igualmente dado, y jugando, comosuele decirse, con la fuerza de la demostracion le aseguro que si le dier-an otra tierra moverıa esta despues de trasladarse a aquella. Maravilla-do Hieron y pidiendole que verificara con obras este problema e hicieseostensible como se movıa alguna gran mole con una potencia pequena,utilizo un gran transporte de tres velas del arsenal del rey, que fue saca-do a tierra con mucho trabajo y a fuerza de un gran numero de brazos;cargandole de gente y del peso que solıa echarsele, y sentado lejos de el,sin esfuerzo alguno y con solo mover la mano al cabo de una maquina deuna fuerza atractiva, lo llevo ası derecho y sin detenerse como si corriesepor el agua. Pasmose el rey, y convencido del poder de arte encargo aArquımedes que le construyese toda especie de maquinas de sitio, bienfuese para defenderse, o mas bien para atacar; de las cuales el no hizouso, habiendo pasado la mayor parte de su vida exenta de guerra y enla mayor comodidad; aunque luego tuvieron los siracusanos menester deaquellas maquinas y de su artıfice.

La muerte de Arquımedes

Plutarco se refiere a la muerte de Arquımedes (vease [3]), despues que el ejercitoromano hubo conquistado las partes mas importantes de Siracusa:

Tomadas tambien estas, al mismo amanecer marcho Marcelo por los He-xapilos, dandole el parabien todos los jefes que estaban a sus ordenes;mas de el mismo se dice que al ver y registrar desde lo alto la grandeza yla hermosura de semejante ciudad, derramo muchas lagrimas, compade-ciendose de lo que iba a suceder, por ofrecer a su imaginacion que cambio

1Pappus de Alejandrıa, siglo III de nuestra era.

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iba a tener de ahı a poco en su forma y aspecto, saqueada por el ejercito.En efecto, ninguno de los jefes se atrevıa a oponerse a los soldados, quehabıan pedido se les concediese el saqueo, y aun muchos clamaban porque se le diese fuego y se le asolase. En nada de esto convino Marcelo,y solo por fuerza y repugnancia condescendio en que se aprovecharande los bienes y de los esclavos, sin que ni siquiera tocaran a las personaslibres, mandando expresamente que no se diese muerte, ni se hiciese vio-lencia, ni se esclavizase a ninguno de los siracusanos. . . Mas lo que princi-palmente afligio a Marcelo fue lo que ocurrio con Arquımedes: hallabaseeste casualmente entregado al examen de cierta figura matematica y fijosen ella su animo y su vista, no sintio la invasion de los romanos ni la tomade la ciudad. Presentosele repentinamente un soldado, dandole orden deque lo siguiese a casa de Marcelo; pero el no quiso antes de resolver elproblema y llevarlo hasta la demostracion; con lo que irritado el soldado,desenvaino la espada y le dio muerte.

Sobre la tumba de Arquımedes

El deseo expresado por Arquımedes era que en su tumba se grabara una figurageometrica que recordara uno de sus mas grandes descubrimientos geometricos, elcual se cumplio. Un siglo y medio despues Ciceron lo encontro ya cuando los mis-mos siracusanos se habıan olvidado de su figura y fama. Segun Ciceron (vease [3].):

. . . Arquımedes, cuyo sepulcro ignorado por los siracusanos, rodeado dezarzas y espesos matorrales hasta el punto de haberse perdido todo ras-tro de el, yo descubrı siento cuestor de Siracusa. Yo conocıa ciertos versossenarios, copias de otros que habıan sido inscriptos en su monumento,las cuales declaraban que habıan en su sepulcro una esfera con un cilin-dro. Despues de haber recorrido todos los innumerables sepulcros quehay cerca de la puerta de Agrigentum, vi una pequena columna que nose levantaba mucho de los matorrales, en la cual estaba la figura de unaesfera y de un cilindro. Dije entonces a los principales siracuanos que es-taban conmigo que creıa haber encontrado lo que tanto buscaba. Comen-zaron muchos a hacer abrir el camino hasta descubrir el sepulcro. De estemodo pudimos penetrar hasta el otro lado de la base. Aparecio un epigra-ma, medio borradas las ultimas palabras de los versos. De esta manera,una ciudad de las mas ilustres de Grecia, en otros tiempos la mas doc-ta, hubiera ignorado el monumento sepulcral de un ciudadano suyo tanilustre, si no lo hubiese aprendido de un hombre de la pequena ciudad deArpinum.

Hoy dıa la tumba no existe, pero en las proximidades de Siracusa existe un lugardenominado la tumba de Arquımedes.

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Figura 1.2: Figura inscrita sobre la tumba de Arquımedes

1.3. Aportes de Arquımedes

1.3.1. Caracterısticas de sus tratados

Los tratados son, sin excepcion alguna, monumentos de la exposicion matematica,como lo menciona [31], la revelacion gradual del plan de ataque, la maestrıa en el or-den de las proposiciones, la severa eliminacion de las cosas que eran irrelevantespara sus propositos, y todo el compendio de su obra, son impresionantes en su per-feccion como creador de magnificas obras para sus lectores.

Las demostraciones geometricas de Arquımedes presentan los siguientes rasgosprincipales:

Descansan en la tradicion de la teorıa de las proporciones.

Parten de algunas asunciones basicas y especialmente significativas para losteoremas considerados.

Los resultados conocidos o teoremas ya aprobados, aducidos en el curso de lademostracion, se usan sin cita o referencia expresa, como objetos de dominiopublico.

Utilizan metodos resolutivos de comprension y aproximacion que incluyensustancialmente la reduccion al absurdo.

Ocasionalmente tambien recurren a otras tecnicas de construccion.

Las demostraciones de Arquımedes suelen contraerse a la consideracion deunos pocos problemas y constituyen deducciones rigurosas, pero informales,al servicio de un desarrollo sustancial del conocimiento matematico.

1.3.2. Principales trabajos de Arquımedes

A lo largo de la historia cuando se hace referencia a que un descubrimiento fue re-alizado por un determinado personaje es difıcil demostrar que es ası. En este aparta-do se estudiaran algunas de las muchas obras o trabajos que se le atribuyen a Ar-quımedes de Siracusa, segun la bibliografıa consultada. El objetivo de este apartado

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no es hacer un estudio exhaustivo de cada libro; si no una revision de algunos temaspara que el lector obtenga un conocimiento general de los trabajos que realizo Ar-quımedes.

La recuperacion de las matematicas de Arquımedes desde sus fuentes griegas hasido un proceso difıcil y no se tiene certeza de la originalidad de sus aportes. Se diceque este matematico inicio sus estudios al intentar resolver tres problemas conocidosen esta epoca: La cuadratura del cırculo, la duplicacion del cubo y la triseccion delangulo. Estos problemas debıan resolverse utilizando solamente regla (sin marcas)y compas, instrumentos que, al parecer son los que utiliza Euclides en su obra. Sonproblemas sin solucion exacta usando regla y compas, cosa que se ha probado muchodespues, aunque tienen solucion por otros metodos.

Las obras que hoy conocemos suelen encuadrarse dentro de tres grupos mas omenos caracterısticos:

1. Escritos matematicos dirigidos a la demostracion de proporciones sobre areasy volumenes de figuras limitadas por lıneas o superficies curvas.

2. Obras que proceden a analisis geometricos de problemas estaticos e hidrosta-ticos, o se sirven de consideraciones mecanicos en el tratamiento de cuestionesgeometricas.

3. Trabajos con un aire de miscelanea matematica.

Las obras de Arquımedes que desde la Edad Media se conocen por medio del codicede Heiberg y el de Valla, que se encontraron en Constantinopla, son las siguientes:

Sobre la esfera y el cilindro.

Sobre la medida del cırculo.

Sobre conoides y esferoides.

Sobre las espirales.

El arenario.

Cuadratura de la parabola.

El Metodo.

Sobre los cuerpos flotantes.

Stomachion.

El libro de los lemas.

El problema de los bueyes.

Trabajos sobre mecanica y optica.

Cuerpos flotante.

Equilibrio de los plano.

Sobre las espirales.

Medida del cırculo.

A continuacion realizaremos una breve resena de sus principales:

El Metodo.

El estudio de este trabajo de Arquımedes se profundizara en una seccion poste-rior.

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Cuerpos flotantes.

Se enuncian algunos resultados sobre la posicion de equilibrio de un segmentode paraboloide de revolucion parcialmente sumergido en un fluido. En este tratado,elaborado tambien a la manera euclıdea, aparece el famoso Principio de Arquımedes dela Hidrostatica. Para ejemplificar el contenido del libro, se presentaran algunos pos-tulados y proposiciones de los dos libros que Arquımedes escribe sobre los cuerposflotantes.

Postulados

1. Supongamos que un fluido es de tal caracter, que sus partes reposan de igualforma y siendo continuas, la parte que esta menos empujada es conducida porla que esta mas empujada, y que cada una de sus partes es empujada por el fluı-do que esta encima de ella en una direccion vertical, si el fluido esta sumergidoen cualquier sustancia y comprimida por algo mas.

2. Los cuerpos que son impulsados hacia arriba en un fluido, son impulsadoshacia arriba a lo largo de la perpendicular (de la superficie) que pasa a travesde su centro de gravedad.

Proposiciones

1. Si una superficie es cortada por un plano que pasa a traves de cierto punto y sila seccion es siempre una circunferencia (de un cırculo) y el centro es el puntomencionado, la superficie es de una esfera.

2. La superficie de cualquier fluido esta en reposo, si es la superficie de una esferacuyo centro es el mismo que el de la tierra.

3. Los solidos aquellos que, tamano a tamano, son de igual peso con el fluido, silos deja caer en el fluido, se sumergen de tal forma que no se proyectan sobrela superficie pero no se hunden mas abajo.

4. Un solido mas ligero que un fluido, si es colocado en este, no estarıa completa-mente sumergido, pero parte de este se proyectarıa sobre la superficie.

5. Cualquier solido mas ligero que un fluido, si se sumerge parte de el, el peso delsolido serıa igual al peso del fluido desplazado.

6. Si un solido es mas ligero que un fluido y se sumerge fuertemente en el, elsolido serıa llevado hacia arriba por una fuerza igual a la diferencia entre supeso y el peso del fluido desplazado.

7. Cualquier solido mas pesado que un fluido y situado en el, se sumergirıa hastael fondo del fluido, y si se pesa dicho solido dentro del fluido resultarıa masligero que su verdadero peso, por el peso del fluido desplazado.

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16 Sumario de topicos matematicos – eπ

8. Si un solido con la forma de un segmento de una esfera, y de una sustanciamas ligera que el fluido, es colocado en este, de tal manera que su base no tocael fluido; el solido reposarıa en la posicion en que su eje es perpendicular a lasuperficie del fluido; y si el solido es forzado en una posicion semejante que subase toca el fluido sobre un lado y luego se libera, este no permanecerıa en estaposicion, pero retornarıa a una posicion simetrica.

9. Si un solido con la forma de un segmento de esfera, y de una sustancia mas lig-era que un fluido, es colocado en este, de tal manera que su base esta comple-tamente bajo la superficie del fluido; el solido estarıa en reposo en la posicionque su eje es perpendicular a la superficie del fluido.

10. Si un solido mas ligero que un fluido esta en reposo dentro de este, el peso delsolido es al peso del mismo volumen en fluido, como la porcion sumergida delsolido es a todo el solido.

11. Si un segmento de un paraboloide recto en revolucion, cuyo eje no es masgrande que 3

4 p, y con una gravedad especıfica menor que la del fluido, es colo-cado en el fluido con su eje inclinado a la vertical en algun angulo, asimismo labase del segmento no toca la superficie del fluido, el segmento del paraboloideno permanecerıa en esta posicion, sino que retornarıa a la posicion en la que sueje es vertical.

12. Si un segmento de un paraboloide en revolucion, cuyo eje no es mas grande que34 p y cuya gravedad especıfica es menor que la del fluido, con su eje inclinadoen algun angulo a la vertical, asimismo su base esta completamente sumergida,el solido no permanecerıa en esta posicion, y regresarıa a la posicion en la quesu eje es vertical.

En estas proposiciones se observa que Arquımedes utiliza por primera vez al para-boloide como cuerpo de flotacion y lo estudia desde un corte transversal: la parabola.

Equilibro de los planos.

Se estudian los resultados sobre el centro de gravedad de figuras poligonales, delsegmento de parabola y del trapecio parabolico. Aunque es un tratado de Estatica,formalmente sigue la lınea euclıdea con definiciones, postulados y demostracionesen los que ademas de conceptos geometricos se utilizan el peso y el centro de grave-dad de figuras. En este escrito Arquımedes formula la famosa Ley de la palanca.

Algunos postulados que se utilizan en el libro dicen lo siguiente:

El centro de gravedad de un paralelogramo esta en la recta que une los puntosmedios de los lados opuestos.

Si AB es una magnitud cuyo centro de gravedad es C, y AD es una parte dela misma, cuyo entro de gravedad es F, entonces el centro de gravedad de ladiferencia estara en el punto G de FC tal que : GC : CF = AD : DE

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Arquımedes: su vida, obras y aportes a la matematica moderna 17

Medida del cırculo.

Se estudian los resultados sobre la equivalencia entre el cırculo y el triangulo debase la circunferencia del cırculo y altura el radio (es decir, reduccion de la cuadratu-ra del cırculo a la rectificacion de la circunferencia), y calculo aproximado de la razonentre la circunferencia y el diametro (valor aproximado del numero π).

Algunos resultados son:

1. El area de cualquier cırculo es igual a la de un triangulo rectangulo en el cualuno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del cırculo. Lodemuestra comprobando que el area del cırculo no es mayor, y tampoco menor,que area del triangulo, por lo tanto solo puede ser igual.

Figura 1.3: area del Cırculo - area del triangulo

2. El area del cırculo es al cuadrado de su diametro 11 a 14 (el cırculo es los 11/14del cuadrado circunscrito si la longitud de la circunferencia es 31

7 veces el valordel diametro).

3. El perımetro de todo cırculo es igual al triple del diametro aumentando en unsegmento comprendido entre 10

71 y 17 de dicho diametro (lo que equivale a decir

que el perımetro del cırculo es menor que los 317 del diametro puesto que es

superior a los 31071 de este diametro).

4. Arquımedes encontro la siguiente acotacion para√

3:

265153

<√

3 <1351780

Sobre la esfera y el cilindro

Muestra los resultados sobre la esfera, el cono y el cilindro, en particular la pro-piedad de la razon de 2 a 3 entre la esfera y el cilindro circunscrito, tanto en superficietotal como en volumen. Consta de dos libros en los que Arquımedes determina las

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18 Sumario de topicos matematicos – eπ

areas y volumenes de esferas y cuerpos relacionados con ellas. Euclides habıa de-mostrado en sus Elementos que el volumen de dos esferas es entre sı como los cubosde sus diametros, o el volumen de una esfera es proporcional al cubo de su diametro.Ademas de determinar el area y el volumen de la esfera, tambien encuentra el arealateral del cilindro. Arquımedes comienza con definiciones e hipotesis. La primerahipotesis o axioma es que entre todas las lıneas que tienen los mismos extremos, larecta es la mas corta. Otros axiomas se refieren a las longitudes de las curvas como elsegundo axioma, que dice: de dos lıneas planas convexas que unen dos puntos situ-ados en el mismo lado de la recta que los une, y donde una de las cuales envuelve aotra, la envolvente es la de mayor longitud. Despues de una serie de proposicionespreliminares, en el libro I, llega a las proposiciones de gran interes que son:

La superficie de cualquier esfera es cuatro veces la de su cırculo maximo, i.e.,4πr2.

Cualquier esfera es igual a cuatro veces el cono que tiene su base igual al cırculomaximo de la esfera, y su altura igual al radio de la esfera.

Cortar una esfera con un plano de manera que los volumenes de los segmentosobtenidos esten en una razon dada.

Sobre el Arenario

Aunque la mayorıa de la obra de Arquımedes radica en la geometrıa y en aplica-ciones fısicas en esta obra se puede apreciar su creatividad. En esta obra Arquımedesintenta probar que el numero de gramos de arena no es infinito sino que existen unosnumeros cuyo orden de magnitud es como el numero de granos de arena que hay enel universo. Arquımedes lo expresa ası:

Hay algunos que creen que el numero de granos de arena es infinito encantidad y por arena entiendo no solo la que existen en Siracusa y el restode Sicilia, sino tambien la que se encuentra en cualquier region habitadao sin habitar. Hay tambien algunos que, sin considerarlo infinito, creenque no existe una cifra lo bastante grande para exceder a su magnitud. Yesta claro que quienes mantienen esta opinion, si imaginasen una masahecha de arena en otros aspectos tan grande como la masa de la Tierra,incluyendo en ella todos los mares y las cavidades de la Tierra llenadashasta una altura igual a la de las montanas mas altas estarıan muchas ve-ces lejos de reconocer que se pueda expresar ningun numero para exce-da a la magnitud de la arena ası conseguida. Pero intentare demostrarospor medio de puntos geometricos que sereis capaces de seguir, que losnumeros nombrados por mı. . . algunos exceden no solo al numero de lamasa de arena igual en magnitud a la de la Tierra llena de la forma des-crita, sino al de la masa igual en magnitud al Universo.

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Arquımedes: su vida, obras y aportes a la matematica moderna 19

El sistema de numeracion de Arquımedes consistıa en lo siguiente, utilizaba al prin-cipio una mirıada o 10,000, como unidad de primer orden y obtenıa por exten-sion el numero 100,000,000 = (10,000)2. Despues partiendo de la mirıada comomagnitud de primer orden llegaba por extension hasta 100,000,0002 que se con-vierte en la unidad de tercer orden que extendiendo llega hasta 100,000,0003, pode-mos continuar hasta llegar al termino 1,000,000,000-esimo que termina en el numero100,000,000100,000,000 al que llamaremos N. Arquımedes utilizaba este numero N co-mo el ultimo termino del primer perıodo. Utilizaba este N como unidad del segundoperıodo el cual se extendıa hasta 100,000,000 N para el primer orden, el segundo or-den de este periodo termina con el numero 100,000,0002 y el 100,000,000-esimo ordendel segundo periodo termina con 100,000,000100,000,000 N o lo que es lo mismo N2.Ası de esta manera se puede llegar hasta el 100,000,000-esimo perıodo o lo que es lomismo N elevado a 108. Se puede comprobar que la magnitud de este sistema de nu-meracion es enorme, el ultimo numero del primer perıodo se representarıa como un1 seguido de 800,000,000 ceros. Una establecido este sistema y con una evaluacionque hizo Arquımedes sobre el universo y la de un gramo de arena, afirmo que elnumero de granos de arena que habıa en el universo era menor que 1051.

Arquımedes, tambien prueba que el diametro del sol es mas grande que el lado deun kilogono2, o figura con mil lados iguales, inscrito en un gran cırculo del universo.

Figura 1.4: El diametro del sol es mas grande que el lado de un kilogono

De los conoides y esferoides

Conoides: son solidos producto de revolucionar una parabola o hiperbola sobresus ejes.

Esferoides: son producto de revolucionar una elipse y son gruesos o delgados,de acuerdo a si se revolucionan sobre el eje mayor o menor.

Se considera una continuacion del trabajo sobre la esfera y el cilindro, Arquımedesestudia las propiedades y comparaciones de otros solidos que trascienden la ge-ometrıa elemental, son los obtenidos por la rotacion alrededor de uno de sus ejes, delas tres conicas, el elipsoide de revolucion, paraboloide de revolucion e hiperboloide(de dos hojas)de revolucion.

2Kilogono proviene del ingles chiliagon, y este del griego χιλαγωνoν, es decir, un polıgono de1000 lados.

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20 Sumario de topicos matematicos – eπ

De las espirales

Es un estudio monografico de una curva plana, hoy llamada espiral de Arquı-medes, que se genera por una simple combinacion de movimientos de rotacion ytraslacion. Aunque se trata de una lınea, este escrito tiene las mismas caracterısticasy dificultades de los anteriores.

Cuadratura de la parabola

Ofrece el primer ejemplo de cuadratura, es decir, de determinacion de un polıgonoequivalente, de una figura mixtilınea: el segmento de parabola, en este escrito apare-cen consideraciones no estrictamente matematicas (en el sentido actual) pues ademasde una demostracion geometrica del resultado principal, este se obtiene por un pro-cedimiento mecanico, utilizando la teorıa de la palanca y de los centros de gravedad,que Arquımedes habıa estudiado en otros escritos.

Stomachion

Es un juego geometrico, una especie de puzzle, formado por una serie de piezaspoligonales que completan un rectagulo, se le denomino loculus Archimedium poralgunos gramaticos latinos.

Figura 1.5: Stomachion

El Libro de Lemas

Es una reunion de proposiciones de geometrıa plana, sin conexion entre si, quesolo se conoce a traves de una version en arabe, y se le atribuye a Arquımedes. Esprobable que solo algunas de sus proposiciones sean realmente de Arquımedes.

Entre las proposiciones que forman este escrito, se encuentran las siguientes:Proposicion 1: Si dos circunferencias se intersecan en un punto A, y sea BD, EF los

diametros de estas, ademas estos son paralelos, entonces ADF es una recta.Proposicion 2: Sea AB el diametro de una semicırculo y considere las dos rectas tan-

gentes tal que una pase por B y la otra por D, sea T el punto de interseccion de estas. Si setraza DE perpendicular a AB, ademas AT, DE se intersecan en F, entonces DF = FE

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Arquımedes: su vida, obras y aportes a la matematica moderna 21

Proposicion 3: Sea P un punto cualquiera de un segmento de cırculo de base AB, PN esperpendicular a AB. Se elige un punto D que pertenezca a AB tal que AN = ND. Ahora siel arco PQ es congruente con el arco PA, y si se traza BQ, entonces BQ y BD seran iguales.

Figura 1.6: Proposicion 3

Proposicion 4: Si AB es el diametro de un semicırculo y N un punto cualquiera enAB, si se trazan dos semicırculos en el interior del primero, cuyos diametros son AN y BNrespectivamente, entonces el area de la figura comprendida por los tres semicırculos (a lo queArquımedes llamo: αρβηλoς, cuchillo o navaja de zapatero) es igual al area del cırculo dediametro PN, donde PN es perpendicular a AB y corta al semicırculo original en P

Figura 1.7: Proposicion 4: Cuchillo de zapatero

Proposicion 5: Sea AB el diametro de un semicırculo, C un punto cualquiera en AB,y sea CD un segmento perpendicular a este. Si se trazan dos semicırculos en el interior delprimero cuyos diametros son AC, CB. Entonces si se dibujan dos cırculos que intersequen aCD en lados opuestos, y a la vez cada uno de estos intersequen a dos de los semicırculos, seobtiene que los cırculos dibujados son iguales

Figura 1.8: Proposicion 5

Proposicion 6: Sea AB el diametro de un semicırculo, C es un punto en este, tal queAC = 3

2CB (o cualquier otra proporcion), si se traza dos semicırculos en el interior del

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22 Sumario de topicos matematicos – eπ

primero, cuyos diametros son AC y CB, suponga que se dibuja un cırculo que interseca a lostres semicırculos. Si GH es el diametro de este cırculo, entonces se encuentra alguna relacionentre GH y AB.

Proposicion 7: Si se circunscribe e inscribe cırculos en un cuadrado, el cırculo circun-scrito es el doble del cırculo inscrito.

Proposicion 8: Si AB es una cuerda cualquiera de un cırculo de centro O, y si AB se pro-longa hasta C tal que BC es igual al radio, y CO interseca al cırculo en D y su prolongacioncorta al cırculo en E, el arco AE es igual a tres veces el arco BD.

Figura 1.9: Proposicion 8

Proposicion 9: Si AB y CD son dos cuerdas de un cırculo, tal que no pasen por el centrode este y se interseque perpendicularmente, entonces (arc AD)+(arc CD)=(arc AC)+(arcEF).

Figura 1.10: Proposicion 9

Proposicion 10: Suponga que TA y TB son dos tangentes a un cırculo, y TC una se-cante. Sea BD una cuerda paralela a TC, ademas AD interseca a TC en E . Entonces si setraza EH perpendicular a BD, este lo biseca en H.

Figura 1.11: Proposicion 10

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Arquımedes: su vida, obras y aportes a la matematica moderna 23

Proposicion 11: Si dos cuerdas de un cırculo AB y CD, se intersecan formando angulosrectos, en un punto O, que no sea el centro del cırculo, entonces AO2 + BO2 + CO2 +DO2 = (diametro)2.

Proposicion 12: Si AB es el diametro de un semicırculo, y TP, TQ son tangentes a estedesde cualquier punto T, y si AQ, BP se intersecan en R, entonces RT es perpendicular aAB.

Figura 1.12: Proposicion 12

Proposicion 13: Si en un cırculo el diametro AB se interseca con una cuerda cualquieraCD, que sea un diametro, en el punto E, y si AM, BN son perpendiculares a CD, entoncesCN = DM.

Figura 1.13: Proposicion 13

Proposicion 14: Sea ACB un semicırculo de diametro AB, ademas AD y BE medidasconmensurable iguales, a lo largo de AB desde A hasta B respectivamente. Si hacia el ladode C se trazan los semicırculos de diametros AD y BE, al lado opuesto de este se traza elsemicırculo de diametro DE. Considere la perpendicular a AB que pasa por O, que es elcentro del primer semicırculo, ademas interseca al semicırculo opuesto a C, en F.

Entonces el area de la figura formada por los todos semicırculos (a la que Arquımedesllamo Salinon) es igual al area del cırculo de diametro CF.

Proposicion 15: Sea AB el diametro de un cırculo, AC el lado de un pentagono regularinscrito en este, D el punto medio del arco AC. La interseccion de las prolongaciones de BAy CD es el punto E, ademas DB, AC se intersecan en F y se traza FM perpendicular a AB,entonces EM =(radio del cırculo).

El problema de los bueyes

Este es un problema difıcil en Analisis de indeterminadas. Este requiere encon-trar el numero de toros y vacas de cada uno de cuatro colores, o encontrar ocho

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24 Sumario de topicos matematicos – eπ

cantidades desconocidas. La primera parte del problema esta conectada con varia-bles de siete ecuaciones simples; y la segunda parte se le suman dos condiciones masa las cuales las variables pueden ser sujetas. Si W, w son el numero de toros y vacasblancas respectivamente y (X, x), (Y, y), (Z, z) representan el numero de los otrostres colores, tenemos las primeras ecuaciones (vease [31], o [29]):

W =

(12+

13

)X + Y, (1.1)

X =

(14+

15

)Z + Y, (1.2)

Z =

(16+

17

)W + Y, (1.3)

w =

(13+

14

)(X + x), (1.4)

x =

(14+

15

)(Z + z), (1.5)

z =

(15+

16

)(Y + y), (1.6)

y =

(16+

17

)(W + w) (1.7)

Luego, como segunda condicion, es requerido que

W + X = un numero cuadrado (1.8)

Y + Z = un numero triangular (1.9)

La solucion general de las primeras siete ecuaciones es

W = 10366482n,

X = 7460514n,

Y = 4149387n,

Z = 7358060n,

w = 7206360n,

x = 4893246n,

y = 5439213n,

z = 3515820n.

La segunda parte del problema, para encontrar un valor de n tal que W + X = αsea un numero cuadrado, si consideramos n = 4456749ξ2, donde ξ es un entero,

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Arquımedes: su vida, obras y aportes a la matematica moderna 25

se satisface la hipotesis. Para encontrar un numero triangular Y + Z, es decir, unnumero de la forma 1

2 q(q + 1), hay la siguiente ecuacion de Pell:

t2 − 4729494u2 = 1

la cual, solo una de las ocho variables tiene mas de 206500 dıgitos.Este problema de Arquımedes, al que se le conoce como el problema de los bueyes

del sol, esta relacionado con los numeros triangulares y cuadrados.3

Desde muy pronto los matematicos reconocieron que la manada mas pequenaque cumple las siete primeras condiciones contiene 50389082 animales. Las dos ulti-mas condiciones hacen el problema mucho mas difıcil. En 1965, un grupo canadienseencontro la primera solucion completa con ayuda de un ordenador.

Este problema ha servido para poner a prueba superordenadores, como el CRAY-1 de un laboratorio de California. La ventaja de este tipo de problemas es que lassoluciones pueden comprobarse facilmente sustituyendo directamente en las ecua-ciones.

1.3.3. Trabajos perdidos de Arquımedes

Segun Heath, estos son algunos de los trabajos perdidos de Arquımedes:

1. Una investigacion relativa a poliedros.

2. Un libro de contenidos aritmeticos llamado Principles (αρχαι).

3. Sobre balanzas→ περι ζυγων.

4. Sobre centros de Gravedad→ κεντρoβαρικα.

3Vease [3], el problema dice lo siguiente:

Calcula, oh amigo, los bueyes del sol, dandole a tu mente entretenimiento, si tienes partede la sabidurıa. Calcula el numero que alguna vez pasto en la isla siciliana de Trinacria yestaban divididos de acuerdo a su color en cuatro manadas, una blanca, una negra, unaamarilla y otra moteada. Los toros eran mayorıa en cada una de ellas.Ademas:Toros blancos = toros amarillos +(1/2 + 1/3) toros negros, toros negros = toros amar-illos +(1/4 + 1/5) toros moteados, toros moteados = toros amarillos +(1/6 + 1/7)toros blancos, vacas blancas = (1/3 + 1/4) manada negra, vacas negras = (1/4 + 1/5)manada moteada, vacas moteadas = (1/5 + 1/6) manada amarilla, vacas amarillas= (1/6 + 1/7) manada blanca.Si tu, oh amigo, puedes dar el numero de toros y vacas en cada manada, tu eres ni sabioni torpe con los numeros, pero aun no puede contarsete entre los sabios. Considera sinembargo las siguientes relaciones entre los toros del sol:Toros blancos + toros negros = numero cuadrado, toros moteados + toros amarillos =numero triangular.Cuando hayas entonces calculado los totales de la manada, oh amigo, ve como conquis-tador, y descansa seguro, que te has probado habil en la ciencia de los numeros.

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26 Sumario de topicos matematicos – eπ

5. Sobre optica→ κατoπτρικα

6. Sobre hacer esferas→ περι σφαιρoπoιας.

7. Calendario.

1.3.4. Arquımedes y sus principales influencias en la matematicamoderna

Triseccion de un angulo

A Arquımedes se le atribuye la triseccion de un angulo (vease [14]) mediante lasiguiente construccion:

Figura 1.14: Triseccion de un angulo de Arquımedes

Calculo de π

Arquımedes fue el primero en dar un metodo para calcular π con el grado deaproximacion deseado.

Esto es basado en el hecho de que el perımetro de un polıgono regular de n ladosinscrito en una circunferencia es mas pequeno que la circunferencia de un cırculo.De igual manera, el perımetro de un polıgono similar circunscrito al cırculo es mayorque la circunferencia.

Haciendo n suficientemente grande, los dos perımetros se aproximaran a la cir-cunferencia arbitrariamente cercana, una por debajo y otra por encima.

Arquımedes inicio con un hexagono y progresivamente doblando el numero delados, llego a un polıgono de 96 lados donde obtuvo,

31071

< π < 317

Reductio ad absurdum

Arquımedes uso . . . una estrategia logica elaborada llamada doble reductio ad absurdum(vease [19]).

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Arquımedes: su vida, obras y aportes a la matematica moderna 27

Cuando Arquımedes se acerca a un tema mucho mas complicado del area delcırculo, utiliza un ataque indirecto. Sabe que para cualquier cantidad A o B, soloes cierto uno de los siguientes casos: A > B, A = B, A < B. Como quieremostrar que A = B, Arquımedes, supone primero que A > B y a partir deallı deriva una contradiccion logica, con lo que elimina esa posibilidad. Seguida-mente, supone que A < B, lo cual lo lleva de nuevo a una contradiccion. Una vezeliminado estas posibilidades, solo queda una posibilidad, que A y B son iguales(Vease [19], pp. 129).

El Postulado de Arquımedes

En [47], se enuncia el postulado o axioma de Arquımedes de la siguiente manera

Cualquier cantidad, por mas pequena que sea, puede hacerse tan grandecomo se quiera multiplicandose por un numero suficientemente grande.

Esto se puede reformular de la siguiente manera:Dadas dos magnitudes diferentes α y β (con β < α) existe entonces:

un numero n tal que nβ > α. (Este definicion se encuentra en el LibroV de los Elementos de Euclides).

un numero n tal que n(α − β) > γ, donde γ es cualquier magni-tud de la misma clase. (Este es el llamado axioma de Arquımedes y seencuentra en su trabajo Sobre la esfera y el cilindro, Libro I).

Este postulado se le atribuye a Euclides y a Eudoxio.

Algunos problemas arquimedianos

Encontrar el area de una zona esferica de altura h y radio r.

Encontrar el centroide de un segmento esferico.

Encontrar el volumen de una cuna cilındrica, fuera de un cilindro circular rectopor un plano que pasa entre el diametro de la base del cilindro.

Encontrar el volumen comun de dos cilindros circulares rectos de igual radio yteniendo sus ejes intersecando perpendicularmente.

Formula para calcular el area de un triangulo

Segun [20], un escritor arabe le atribuye a Arquımedes el descubrimiento de lacelebre formula:

K =√

s(s− a)(s− b)(s− c)

para el area de un triangulo en termino de sus lados, formula que tambien se leatribuye a Heron de Alejandrıa.

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28 Sumario de topicos matematicos – eπ

Otro problema tambien atribuido a Arquımedes es la de encontrar las perpen-diculares de un triangulo cuando la medida de los lados son dados. Vease tambien[31].

Volumen de la Esfera

Vamos a calcular el volumen de la esfera usando varios metodos, el primero deellos se basa en un metodo usado por Arquımedes usando infinitesimales (vease[39]), luego, calcularemos dicho volumen utilizando integracion doble y triple, concoordenadas polares y coordenadas esfericas respectivamente, los cual nos refleja, laimportancia que han tenido los trabajos de Arquımedes en la matematica moderna.

Infinitesimales

Considere una esfera de radio R, sea V un hemisferio, o bien, la mitad de la esfera.Dividimos el hemisferio, mediante planos paralelos a la tapa de la semiesfera, en nporciones cada una de grosor R

n . Cada una de estas capas seran aproximadas comocilindros.

Sea rk el radio del cilindro en la k−esima capa, entonces su volumen se aproxima

Vk ∼ π(rk)2 · R

n

Por Pitagoras

rk = R2 −+k2R2

n2

⇒ Vk ∼ π

(R2 − k2R2

n2

)· R

n

Entonces el volumen de hemisferio se aproxima

V∗ = ∑ Vk ∼ πR3

(n

∑k=1

1n− 1

n3

n

∑k=1

k2

)

∼ πR3(

1− 1n3

n(n + 1)(2n + 1)6

)∼ πR3

6

(6−

(1 +

1n

)(2 +

1n

))Si n→ ∞, V∗ ∼ πR3

6 (6− 4) = 2πR3

3 , entonces, el volumen de la esfera es4πR3

3

Coordenadas Polares

Considere la esfera x2 + y2 + z2 = a2

x = r cos θ

y = r sin θ

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Arquımedes: su vida, obras y aportes a la matematica moderna 29

⇒ z =√

a2 − r2

El volumen de la esfera es∫ 2π

0

∫ a

0

∫ √a2−r2

−√

a2−r2dzrdrdθ = 2

∫ 2π

0

∫ a

0rdrdθ

= −∫ 2π

0

∫ 0

a2

√ududθ = −

∫ 2π

0

u32

32|0a2 dθ =

∫ 2π

0

2a3

3dθ

=2a3 · 2π

3=

4πa3

3

Coordenadas esfericas

El volumen de la misma esfera se representa como

∫ 2π

0

∫ a

0

∫ π2

−π2

1 · r2 cos θdθdrdφ

=∫ 2π

0

∫ a

0r2 sin θ |

π2−π

2=∫ 2π

0

∫ a

0r2(1−−1)drdφ

= 2∫ 2π

0

∫ a

0r2drdφ =

23

∫ 2π

0r3 |a0 dφ =

23

∫ 2π

0a3dφ

=2a3 · 2π

3=

4a3π

3

1.4. Estudio de una obra de Arquımedes: El Metodo

Para la elaboracion de este seccion se toma como referencia a [29], que realiza unade las fidedignas traducciones de los trabajos de Arquımedes.

Esta es la obra mas estudiada de Arquımedes puesto que nos ha llegado conmayor exactitud. El texto fue descubierto en 1906 por Heiberg. Tuvo noticias delhallazgo en el convento del Santo Sepulcro de Constantinopla de un palimpsesto decontenido matematico.

Examinando el texto con tecnicas fotograficas, Heiberg descubrio que en el per-gamino habıa escritas obras de Arquımedes que habıan sido copiadas alrededor delsiglo X. En sus 185 paginas estaban Sobre la esfera y el cilindro, Sobre las espirales,La medida del cırculo, Sobre el equilibrio de los planos y Sobre los cuerpos flotantesademas de la unica copia de El metodo.

Arquımedes se propone a dar a conocer una vıa de investigacion que no solo lepermite hacerse una idea previa de la solucion de ciertos problemas matematicos,sino que ademas, sugiere un planteamiento plausible y facilita el acceso de la de-mostracion.

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30 Sumario de topicos matematicos – eπ

En este libro, Arquımedes nos dice como descubrio sus teoremas de cuadraturay cubatura, a saber por el uso de la mecanica. Al mismo tiempo, es muy cuidadosaen insistir en la diferencia entre lo que puede sugerir la veracidad de un teorema yla rigurosa demostracion de los mismos usando metodos geometricos ortodoxos.

1.4.1. El Metodo de Arquımedes tratando de problemas mecanicosa Eratostenes

Se dedica a la descripcion y aplicacion de un metodo geometrico-mecanico. Esuna larga carta dirigida a Eratostenes. En El Metodo, Arquımedes revela aspectos opartes de los procesos mentales consistentes en un metodo mecanico, que el utilizo ensus descubrimientos y que no aparecıa en sus escritos cientıficos (vease [3]).

En la busqueda de las areas de los segmentos parabolicos, el volumen de segmen-tos esfericos y otros solidos de revolucion, Arquımedes uso un proceso mecanico, enel cual consideraba el peso de los elementos infinitesimales, el cual el llamaba lıneasrectas o area de planos, pero los cuales son realmente barras infinitamente delgadaso laminas.

Pareciera que, en sus grandes investigaciones, el modo de proceder de Arquı-medes fue, iniciar con mecanica (centro de masa de superficies y solidos) y por sumetodo mecanico infinitesimal descubrir nuevos resultados, los cuales luego el de-dujo y publico con pruebas muy rigurosas.

Segun [3], Arquımedes en El Metodo cuando se referıa al contenido de este, afir-ma que:

. . . , como ya he dicho, un estudioso y excelente maestro de filosofıa yque sabes apreciar, llegado el caso, las investigaciones matematicas quese te presentan, he pensado en exponerte e ilustrar en este mismo li-bro la naturaleza particular de un metodo que te permitira eventual-mente adquirir, con cierta facilidad, proposiciones matematicas medianteconsideraciones mecanicas. Por lo demas estoy convencido de que estemetodo mostrara tambien su utilidad en la demostracion misma de lasproposiciones, pues algunas de ellas que se tornaron para mı evidentesprimero mediante este metodo mecanico, las demostre de inmediato porla geometrıa, pues la investigacion mediante este metodo no compor-ta una verdadera demostracion. Pues sin duda es mas facil encontrarla demostracion despues de haber adquirido con este metodo un ciertoconocimiento del asunto, que buscarla sin tener conocimiento previo al-guno . . .

Todas las proposiciones de el Metodo corresponden a propiedades metricas: areas,volumenes, centros de gravedad, cuya demostracion exige la doble reduccion al ab-surdo, involucra el metodo de exhaucion, en conexion con el postulado de Arquımedes.

El metodo mecanico de Arquımedes es una combinacion tan audaz como ge-nial, de consideraciones geometricas y mecanicas, que en su esencia encierra pro-

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Arquımedes: su vida, obras y aportes a la matematica moderna 31

cedimientos de analisis infinitesimal, lo que muestra que mediante ese metodo Ar-quımedes logre resultados, que hoy se obtienen con el calculo integral.

Segun [9], Arquımedes conocıa∫

x3dx.

Metodo del equilibrium de Arquımedes

Siguiendo la crıtica de [20], se considera que el metodo de exhauscion es riguroso,pero es un metodo esteril. Es decir, una vez que conocemos la formula, el metodo deexhauscion se vuelve una herramienta elegante para establecer un resultado, peroel metodo no nos da una idea de como llegar a el. El metodo de exhauscion, es eneste sentido como la induccion matematica. El modo como Arquımedes llego a susprincipales resultados es expuesto en “El Metodo”, este es el llamado metodo delequilibrium, vease [20] paginas 324 en adelante.

La idea fundamental de este metodoes el siguiente: para encontrar el area ovolumen de un solido requerido, se debetrazar una serie de planos paralelos quecorten el solido en capas muy delgadas,estas se separan y (mentalmente) se su-jetan en el extremo final de una palan-ca, tal que la figura contenida se ubiqueen equilibrio sobre este, y ası localizar sucentro de masa.

En la ilustracion, se muestra la uti-lizacion del metodo para determinarlaformula para el volumen de una esfera.

Sea r el radio de una esfera. Puesta la esfera con su diametro polar a lo largo deleje horizontal x con el polo norte N en origen. Construya el cilindro y el cono de rev-olucion obtenidas por rotacion del rectangulo NABS y el triangulo NCS sobre el ejex. Ahora se le corta a los tres solidos capas delgadas de manera vertical (asumiendoque es un cilindro delgado) a la distancia x de N y de grosor ∆x. El volumen de estascapas es aproximadamente,

esfera = πx(2r− x)∆x

cilindro = πr2∆x

cono = πx2∆x

Sujetemos a T las capas de la esfera y el cono, donde TN = 2r. Su momento combi-nado4 sobre N es [

πx(2r− x)∆x + πx2∆x]

2r = 4πr2∆x

4Por momento de un volumen sobre un punto entendemos el producto del volumen y la distanciaperpendicular desde el punto a la lınea vertical pasando por el centroide del volumen.

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32 Sumario de topicos matematicos – eπ

Esto es cuatro veces el momento de la capa cortada del cilindro cuando esta capa esretirada. Sumando un gran numero de estas capas juntas, encontramos

2r [volumen de la esfera + volumen del cono] = 4r [volumen del cilindro]

o

2r[volumen de la esfera +8πr3

3= 8πr4]

o

volumen de la esfera =4πr3

3Este fue el metodo como Arquımedes descubrio la formula para el volumen de

la esfera. Su conciencia matematica no le permitıa aceptar su construccion como unaprueba y el siempre aplicaba sus rigurosas pruebas para resultados como este.

La figura representa un segmentoparabolico que tiene AC como cuerda.CF es tangente a la parabola en C y AFes paralelo al eje de la parabola. OPMes tambien paralelo al eje de la parabo-la. K es el punto medio de FA y HK =KC. Tome K como un fulcrum, puestoOP con su centro en H y se retira la ca-

pa OM. Usando el hecho queOMPO

=ACAO

muestra por el metodo del equilibrio deArquımedes, que el area del segmentoparabolico es una tercera parte del areadel triangulo AFC.

La idea expuesta anteriormente revela varias cosas: primero, Arquımedes ya co-nocıa sobre los centro de gravedad, lo cual nos indica que Arquımedes se le ade-lanto a Pappus y sus teoremas sobre centroides. Segundo, los metodos empleadospor Arquımedes de alguna manera nos muestran que este se adelanto a las ideasbasicas del calculo integral, dado que la aplicacion sucesiva de la idea empleadapara encontrar el area del segmento parabolico nos da como resultado el valor de laintegral.

Importancia de la didactica de Arquımedes

En el estudio de la evolucion del conocimiento matematico a lo largo de la his-toria, se debe considerar la obra de Arquımedes como prototıpica, dadas sus carac-terısticas entre las que podemos destacar:

Arquımedes desarrolla tecnicas de demostracion orientadas a la consecuciondel rigor, concepto este de vital importancia en el desarrollo historico de la

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Arquımedes: su vida, obras y aportes a la matematica moderna 33

Matematica. En este sentido se puede destacar la maestrıa de Arquımedes enla aplicacion del Metodo de Exhauscion, cuyo objetivo es evitar el uso del in-finito en las demostraciones, siguiendo la tradicion filosofica griega que excluıael uso de este concepto para la adquisicion del conocimiento racional, es decir,del conocimiento verdadero, debido a la multitud de contradicciones en las quenos hace caer.

La aplicacion del Metodo de Exhauscion presenta un problema: se debe cono-cer a priori el resultado que se quiere demostrar. En consecuencia es nece-sario disponer de otros metodos para obtener estos resultados que luego serandemostrados rigurosamente, es decir, sin hacer intervenir el infinito. Estos meto-dos suelen ser bastante intuitivos y basados en el conocimiento empırico. Ar-quımedes descompone areas en infinitos segmentos que luego pesa con su ba-lanza; halla centros de gravedad, donde supone concentrado todo el peso deuna figura, llegando ası a resultados que luego demuestra por el Metodo deExhauscion.

La obra de Arquımedes es un conjunto cerrado respecto a la construccion delconocimiento matematico: dispone de metodos exploratorios para obtener nue-vos resultados y de metodos demostrativos para confirmar la verdad matematicade dichos resultados. Esta caracterıstica convierte la obra de Arquımedes enuna herramienta didactica unica, que deberıa ser considerada obligatoria enla formacion de los estudiantes, en particular, en la formacion de los futurosmatematicos.

En el metodo existe un dualismo entre la vıa del descubrimiento y la vıa de lademostracion. Donde el primero incluye sugerencias heurısticas y razonamien-tos que hacen verosımil la solucion imaginada o propuesta.

1.5. Conclusiones

Se puede ver que en las obras de Arquımedes a una figura entregada a la inves-tigacion, que se dedico a no solo a la geometrıa, sino tambien a diversas areas de lamatematica: ası por ejemplo, teorıa de numeros,

Es importante resaltar la parte polifacetica de Arquımedes, esto refleja en que estepudo dedicarse a cuestiones tantas teoricas como practicas.

Dejamos como temas abiertos para investigaciones de caracter historico lo rela-cionado con el problema del heptagono, ademas de los denominados solidos de Ar-quımedes y demas, ya que estos trabajos estan incompletos y del cual no se puedeverificar la veracidad de la atribucion a Arquımedes, vease [29].

Page 34: 73589961 Sumario de Curiosidades Matematicas

Capıtulo 2Fracciones Continuadas: un recorridohistorico

2.1. Introduccion

Las fracciones continuadas son un topico matematico relativamente sencillo. Sucomplejidad de comprension, inicialmente, no excede a conocimientos mas alla de laaritmetica elemental.

Mas aun, es un tema que juega un papel predominate en la teorıa de numeros.Permite aproximar de manera eficiente a los numeros irracionales, ademas es unmetodo con el cual se pueden resolver ecuaciones diofanticas, entre otras de susaplicaciones.

El proposito de este artıculo realizar un breve recoorrido sobre las fracciones con-tinuadas, su notacion, algunas aplicaciones a la geometrıa. Ademas, se ejemplifica eluso de las fracciones continuadas en la resolucion de ecuaciones lineales diofanticas,ası como tambien se calculan algunas fracciones continuadas de raıces cuadradas.

Se enuncian algunos teoremas importantes sobre fracciones continuadas, ademasde la nocion de convergentes; su definicion y uso en el calculo de aproximacionesnumericas.

Como parte del recorrido historico, se muestran algunas de las fracciones contin-uadas mas famosas y quienes las descubrieron. Ası como tambien algunas curiosi-dades que involucran a dichas fracciones.

Page 35: 73589961 Sumario de Curiosidades Matematicas

Fracciones Continuadas: un recorrido historico 35

2.2. La teorıa de las fracciones continuadas

2.2.1. Fracciones continuadas finitas e infinitas

Una expresion de la forma

2 +1

3 +5

4 +7

1 +12

es un ejemplo de una fraccion continuada. Esta fraccion puede ser evaluada calcu-lando y simplificando las siguientes expresiones en el orden considerado:

1 +12=

32

4 +7

1 +12

= 4 +732

=263

,

3 +5

4 +7

1 +12

= 3 +5263

=9326

2 +1

3 +5

4 +7

1 +12

= 2 +19326

=21293

;

esto es,21293

= 2 +1

3 +5

4 +7

1 +12

Una fraccion continuada es una expresion de la forma

a1 +b1

a2 +b2

a3 + · · ·· · ·+

bn−2

an−1 +bn−1

an

(2.1)

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36 Sumario de topicos matematicos – eπ

En general, los ai y bi, pueden ser numeros reales o complejos. Sin embargo, si cadabi es igual a 1 y cada ai es un entero mayor que cero, para i > 1, entonces la fraccioncontinuada se dice fraccion continuada simple.

Los ai en (2.1) se llaman los terminos de la fraccion continuada. Si el numero determinos de una fraccion continuada simple es finito, se dice que es una fraccioncontinuada simple finita. Si el numero de terminos es infinito, se dice que es unafraccion continuada simple infinita.

A continuacion se enunciaran algunos teoremas importantes1 que fueron de-mostrados por L. Euler en el siglo XVIII, con los cuales se puede asociar a todonumero real una fraccion continuada.

Teorema 2.2.1 Todo numero racional puede ser expresado como una fraccion continuadasimple finita.

La representacion de un numero racional como una fraccion continuada simple fini-ta no es unica, este puede ser representado en exactamente dos formas; una repre-sentacion tiene un numero impar de terminos y la otra representacion, un numeropar de terminos. Ası, se tiene:

Teorema 2.2.2 Toda fraccion continuada simple finita representa un numero racional.

Otro teorema tambien importante es el analogo a fracciones continuadas infinitas.

Teorema 2.2.3 Todo numero irracional puede expresarse como una unica fraccion continua-da infinita.

Teorema 2.2.4 Toda fraccion continuada simple infinita representa un numero irracional.

De aquı, se puede entonces concluir,

Teorema 2.2.5 Todo numero real puede ser expresado por una fraccion continuada.

Ejemplo 2.2.1 Expresar√

8 como una fraccion continuada simple

Como 2 <√

8 < 3, entonces 2 es el mayor entero menor que√

8. Ası,

√8 = 2 + (

√8− 2) = 2 +

11

√8− 2

= 2 +1

√8 + 24

2 +1

1 +

√8− 24

= 2 +1

1 +1

√8 + 2

= 2 +1

1 +1

4 + (√

8− 2)

1Las demostraciones de estos teoremas pueden ser consultados en [42] de la pagina 150 en ade-lante.

Page 37: 73589961 Sumario de Curiosidades Matematicas

Fracciones Continuadas: un recorrido historico 37

Observe que la expresion√

8− 2 aparece otra vez. El desarrollo de (√

8− 2) comofraccion continuada es otra vez:

1

1 +1

4 + (√

8− 2)

por lo tanto,√

8 = [2; 1, 4, 1, 4, . . .] = 2 +1

1 +1

4 +1

1 + . . .

Esta representacion en fraccion continuada de√

8 es un ejemplo de una fraccioncontinuada simple infinita que es periodica.

2.2.2. Algoritmo para el calculo de fracciones continuadas

Considere p0 y p1, dos numeros enteros tales que p0 > p1. Por el algoritmo de ladivision euclıdea (vease [8]), tenemos que

pk = pk+1qk + pk+2 con 0 ≤ pk+1 < pk; k = {0, 1, . . .}, qk ∈N

Luego,pk

pk+1= qk +

1pk+1

pk+2

,

si se continua con esta recursion, tenemos que:

q0 +1

q1 +1

q2 + · · ·

Ejemplo 2.2.2 Calcular la fraccion continuada de1046343200

.

Utilizando el algoritmo de la division euclıdea, tenemos

43200 = 4 · 10463 + 134810463 = 7 · 1348 + 10271348 = 1 · 1027 + 3211027 = 3 · 321 + 64321 = 5 · 64 + 164 = 64 · 1

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38 Sumario de topicos matematicos – eπ

De aquı se concluye entonces,

1046343200

=1

4 +1

7 +1

1 +1

3 +1

5 +1

64

2.2.3. Convergentes

Una de las razones por las cuales las fracciones continuadas son importantes esque ellas pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones numericas de numerosirracionales (vease [38]).

Las fracciones continuadas simples finitas

c1 = [a1] = a1,

c2 = [a1; a2] = a1 +1a2

c3 = [a1; a2, a3] = a1 +1

a2 +1a3

...

cn = [a1; a2, a3, . . . , ak] = a1 +1

a2 +1

a3 + · · ·. . . +

1ak

Los ck se dicen los convergentes2 o reducidos de la fraccion continuada [a1; a2, . . .].

Ejemplo 2.2.3 Determinar los convergentes de la fraccion continuada simple finita dada por[1; 3, 4, 2, 3].

2El primer matematico que investigo el metodo para calcular los convergentes fue Daniel Schwen-ter (1585-1636).

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Fracciones Continuadas: un recorrido historico 39

c1 = [1] = 1,

c2 = [1; 3] = 1 +13=

43

c3 = [1; 3, 4] = 1 +1

3 +14

=1713

c4 = [1; 3, 4, 2] = 1 +1

3 +1

4 +12

=3829

c5 = [1; 3, 4, 2, 3] = 1 +1

3 +1

4 +1

2 +13

=131100

Notese que el valor del convergente c5 es igual al valor de la fraccion continuadasimple, que representa en general, el ultimo convergente de la fraccion continuadasimple finita es siempre igual al valor del racional representado por esa fraccioncontinuada.

Ahora se mostrara una formula para evaluar mas rapidamente los convergentesde una fraccion continuada.Sea cn el n−esimo convergente. Sea rn y sn el numerador y denominador, respectiva-mente de Cn.

c1 = a1; aquı, r1 = a1 y s1 = 1

c2 = a1 +1a2

=a1a2 + 1

a2donde r2 = a1a2 + 1 y s2 = a2

c3 =a3(a1a2 + 1) + a1

a3a2 + 1

Note que: a1a2 + 1 + a1 = r2 a1 = r1 a2 = s2 1 = s1

Sustituyendo, se tiene que

c3 =a3r2 + r1

a3s2 + s1dado que r3 = a3r2 + r1

s3 = a3s2 + s1

De este modo, se puede ver que

cn =rn

sn=

anrn−1 + rn−2

ansn−1 + sn−2

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40 Sumario de topicos matematicos – eπ

Para que la formula anterior sea valida n = 1, 2, . . ., considere aquı, las siguientesdefiniciones:

r−1 = 0, s−1 = 1, r0 = 1 y s0 = 0

Ası, por ejemplo, los convergentes de384157

384157

= 2 +1

2 +1

4 +1

8 +12

.

Los primeros 5 convergentes de384157

son

n −1 0 1 2 3 4 5an 2 2 4 8 2rn 0 1 2 5 22 181 384sn 1 0 1 2 9 74 157Cn 0 − 2

152

229

18174

384157

2.3. Historia de las fracciones continuadas

2.3.1. Breve Resena historica

Euclides (c. 300 a.C.) en su libro Elementos en el algoritmo para sacar el maxi-mo comun divisor genera fracciones continuadas.

En 1579, Rafael Bombelli (1526-1572), en su libro L ‘Algebra Opera, asocia lasfracciones continuadas con su metodo de extraccion de raıces cuadradas.

En 1613 Pietro Cataldi (1548-1626), en su libro “Trattato del modo brevissimo ditrovare la radica quadra delli numeri, et regole da approssimarsi di continuo al veronelle radice de numeri non quadrati, con le cause et inuentioni loro, et anco il modo dipigliarne la radica cuba, applicando il tutto alle operationi militari et altro” utiliza laprimera notacion para las fracciones continuadas.

En 1695, John Wallis (1616-1703), en Opera Mathematica, introduce el termino defraccion continuada.

En 1780, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) da la solucion a la ecuacion de Pell3

(vease [34]) usando fracciones continuadas, similar a las usadas por Bombelli.

3En honor a John Pell (1611-1685)

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Fracciones Continuadas: un recorrido historico 41

En 1748, Leonhard Euler (1707-1783), en Introductio in analysin infinitorium, vo-lumen I, capıtulo 18, prueba la equivalencia entre las fracciones continuadas ylas series infinitas generalizadas.

Fue Leonhard Euler, en el siglo XVIII que uso el nombre de fractio continuapara las fracciones continuas. En aleman las fracciones continuas se denominankettenbruche (fracciones cadena).

En 1813, Karl Friedrich Gauss (1777-1855), en su libro Werke, calcula una frac-cion continuada con valor complejo vıa series hipergeometricas.

2.3.2. Sobre la notacion de las fracciones continuadas

A continuacion una pequena resena de la historia de la notacion de las fraccionescontinuadas (vease [8]).

La notacion para fracciones continuadas usada en la actualidad, fue introducidapor Alfred Pringsheim (1850-1941) en 1898, esto es,

b0 +a1

b1 +a2

b2 +. . .

pero previamente se usaron otras.El matematico italiano Pietro Antonio Cataldi, en 1613 usaba la notacion

4 ·& 28.

&28.

,

donde los puntos significa que la siguiente fraccion es una fraccion del denominador.Esto es, segun la notacion actual

4 ·& 28.

&28.

. . . = 4 +2

8 +2

8 + . . .

Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones arithmeticæ publicado en 1801 usa-ba la notacion

A0 = [b0] = b0,A1 = [b0; b1] = b1A0 + 1A2 = [b;b1, b2] = b2A1 + A0

Konrad Knopp, en el libro Theory and Application of Infinite Series de 1944,utiliza la siguiente notacion para la representacion de las fracciones continuadas in-finitas (vease [36], pag. 105.)

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42 Sumario de topicos matematicos – eπ

b0 +

Kn=1

an

bn

Maritz Abraham Stern(1807-1894), designo las fracciones continuadas finitas por

b0 +a1||b1

+a2||b2

+ · · ·

En lo que sigue de este trabajo vamos a utilizar como notacion de las fraccionescontinuadas, tanto la de Prisgsteim como la de Stern.

2.4. Aplicaciones

2.4.1. Calculo de fracciones continuadas de raıces cuadradas

Rafael Bombelli, un ingeniero y arquitecto, que nacio en Bologna, Italia en 1526, ymurio en 1572, fundador de los numeros imaginarios, da un algoritmo para calcularlas raıces cuadradas, este es:

Considere √A =

√a2 + r = a + x

o,a2 + r = a2 + 2ax + x2

or = 2ax + x2

Si al realizar la primera aproximacion no se obtiene x2, entonces considere

r = 2ax

y √A = a +

r2a

Pero x =r

2ao x2 =

rx2a

. Ası,

r = 2ax +rx2a

=(

2a +r

2a

)x

Usando esta nueva aproximacion de x, se obtiene

√A = a +

r||2a

+r||2a

.

Este proceso se puede hacer indefinidamente, obteniendo la fraccion continuada in-finita √

A = a +r||2a

+r||2a

+ · · ·

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Fracciones Continuadas: un recorrido historico 43

Otro modo de explicar como Bombelli podrıa haber obtenido ese metodo es es-cribiendo

A− a2 = (√

A + a)(√

A− a) = r

Ası, √A = a +

ra +√

A

Reemplazando√

A por su expresion repetidamente en el denominador se llega a lafraccion continuada.

Ejemplo 2.4.1 Calcule una fraccion continuada para√

2

Considere

(√

2− 1)(√

2 + 1) = 1⇐⇒√

2− 1 =1

√2 + 1

⇐⇒√

2 = 1 +1

√2 + 1

√2 = 1 +

1

1 + 1 +1

√2 + 1

Luego,√

2 = 1 +1

2 +1

√2 + 1

2.4.2. Resolucion de ecuaciones diofanticas lineales mediante frac-ciones continuadas

Las fracciones continuadas simples permiten encontrar las soluciones particu-lares de una ecuacion diofantica lineal.

Ejemplo 2.4.2 Resolver la siguiente ecuacion 124x− 72y = 16.

Divida primero por el mcd(124, 72) = 4 ambos lados de la ecuacion, notando que 4divide a 16 y por lo tanto, la ecuacion diofantica tiene soluciones enteras. Ahora, hayque resolver

31x− 18y = 4

Separe la parte entera de la fraccion3118

3118

= 1 +1318

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44 Sumario de topicos matematicos – eπ

luego, cambıe1318

, por otra equivalente 1 +11813

, obteniendo entonces:

3118

= 1 +11813

Realizando nuevamente el mismo proceso con la fraccion1813

:

1813

= 1 +5

13= 1 +

1135

Ahora, la fraccion inicial tiene la forma

3118

= 1 +1

1 +1135

Realizando el mismo proceso con la fraccion135

:

135

= 2 +35= 2 +

153

se tiene entonces que:3118

= 1 +1

1 +1

2 +1

1 +132

Al continuar con el proceso, se llega a que

3118

= 1 +1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +12

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Fracciones Continuadas: un recorrido historico 45

Suprimiendo el ultimo termino de esta fraccion continuada, es decir,12

, transfor-mamos la fraccion continuada en una fraccion ordinaria y restando la fraccion origi-

nal3118

:

3118

= 1 +1

1 +1

2 +1

1 +11

= 1 +1

1 +1

2 +12

= 1 +1

1 +15

= 1 +57=

127

3118− 12

7=

31 · 7− 18 · 1218 · 7 =

118 · 7

Reduciendo la expresion obtenida a un denominador comun y suprimiendo estedenominador, se obtiene:

31 · 7− 18 · 12 = 1

Multiplicando por 4 a ambos lados de la igualdad, tenemos:

31 · 28− 18 · 48 = 4

Finalmente31x− 18y = 4

donde x = 28 y y = 48. Por lo tanto, todas las soluciones de la ecuacion diofanticaestaran dadas por

x = 28− 18n, y = 48− 31n, n ∈ Z

2.4.3. Algunas fracciones continuadas

Se realizara un viaje a traves de la historia, mostrando las fracciones continuadasmas famosas y quienes las descubrieron (vease [38]). Ası por ejemplo:

1. Bombelli, en 1572, con la notacion moderna, descubrio que esencialmente

√13 = 3 +

4

6 +4

6 + . . .

2. Cataldi, en 1613, expreso la fraccion continuada de√

18 como:

√18 = 4 ·& 2

8.&

28.

&28.

. . . = 4 +2

8 +2

8 +2

8 + . . .

Page 46: 73589961 Sumario de Curiosidades Matematicas

46 Sumario de topicos matematicos – eπ

3. Lord Brouncker, alrededor de 1658,

= 1 +1

2 +9

2 +25

2 +49

2 +81

2 + . . .Esta expansion esta ligada historicamente con el producto infinito

π

2=

2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · 8 · 81 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 9 · · ·

dada por Wallis en 1655; ambos descubrieron importantes pasos en la historiade π

4. Leonhard Euler, en 1737 encontro la siguiente expresion, que lleva

e = 2,7182818284590 . . . = lımn→∞

(1 +

1n

)n

la base de los logaritmos naturales

e− 1 = 1 +1

1 +1

2 +1

1 +1

1 +1

4 + . . .= [1; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8 . . .]

Ası por ejemplo,

e− 1 = 1, 71828;1

1 +1

1 +12

= 1, 66667

lo cual brinda una buena aproximacion a pesar de trabajar con una fraccioncontinuada pequena.

Luego,e− 1e + 1

=1

2 +1

6 +1

10 +1

14 + . . .

Page 47: 73589961 Sumario de Curiosidades Matematicas

Fracciones Continuadas: un recorrido historico 47

e− 12

=1

1 +1

6 +1

10 +1

14 + . . .Esta ultima expansion permite rapidamente aproximar a e. Por ejemplo, elsetimo convergente es aproximadamente:

e =1084483398959

= 2,71828182458 . . . ,

el cual difiere del valor de e en el doceavo decimal.

5. Lambert, en 1766, mostro que

ex − 1ex + 1

=1

2x+

16x+

110x+

114x+

. . .

y ademas que

tan(x) =1

1x−

13x−

15x−

17x− . . .

Lambert uso estas expresiones para concluir que

a. Si x ∈ Q, x 6= 0, entonces e no es racional.

b. Si x ∈ Q, x 6= 0, entonces tan(x) no es racional.

6. Tambien Johann Heinrich Lambert (1728-1777), en 1770, mostro que

π = 3 +1

7 +1

15 +1

1 +1

292 + . . .

= [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 84, 2, . . .]

Page 48: 73589961 Sumario de Curiosidades Matematicas

48 Sumario de topicos matematicos – eπ

Si se calcula aquı el tercer convergente, se tiene

3 +11

7 +115

= 3, 14151

lo cual da 4 cifras de exactitud.

7. √a2 + b = a +

b

2a +b

2a +b

2a + . . .

, a2 + b > 0

8.√

2 = 1 +1

2 +1

2 +1

2 + . . .

9.1 +√

52

= 1 +1

1 +1

1 +1

1 + . . .Los convergentes son

11

,21

,32

,53

,85· · · ,

ambos, numerador y denominador empiezan formando la sucesion de Fibonac-ci(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .).

10. Stern, en 1833, expreso como fracciones continuadas a π2

π

2= 1−

1

3−2 · 3

1−1 · 2

3−4 · 5

1−3 · 4

3−6 · 7

1−5 · 6

3− . . .

Page 49: 73589961 Sumario de Curiosidades Matematicas

Fracciones Continuadas: un recorrido historico 49

11.

sen(x) =x

1 +x2

(2 · 3− x2) +2 · 3x2

(4 · 5− x2) +4 · 5x2

(6 · 7− x2) +. . .

Calculando los primeros 2 terminos de la serie de potencias de la funcion sen x.Esto es:

sen x = x− x3

6+ · · ·

Luego, el convergente de orden 2 de la funcion sen x es

x

1 +x2

6− x2

= x− x3

6

12. Lambert, en 1770

tan(x) =x

1−x2

3−x2

5−x2

7− . . .

13. Gauss, en 1812

tanh(x) =x

1 +x2

3 +x2

5 + . . .

14. Lambert en 1770 y Lagrange en 1776

arctan(x) =x

1 +x2

3 +4x2

5 +9x2

7 +16x2

9 + . . .

, |x| < 1

Page 50: 73589961 Sumario de Curiosidades Matematicas

50 Sumario de topicos matematicos – eπ

15. Lambert en 1770 y Lagrange en 1776

log(1 + x) =x

1 +12x

2 +12x

3 +22x

4 +22x

5 +32x

6 +32x

7 + . . .

, |x| < 1

16. Lagrange en 1813

log(

1 + x1− x

)=

2x

1−x2

3−4x2

5−9x2

7−16x2

9− . . .

, |x| < 1

17. Lagrange en 1776

(1 + x)k =1

1−kx

1 +

1 · (1 + k)1 · 2 x

1 +

1 · (1− k)2 · 3 x

1 +

2(2 + k)3 · 4 x

1 +

2(2− k)4 · 5 x

1 +

3(3 + k)5 · 6 x

1 + . . .

, |x| < 1

18. Laplace, en 1805 y Legendre en 1826, descubrieron la fraccion continuada dela integral de probabilidad, usada en la Teorıa de Probabilidad y Estadıstica.

Page 51: 73589961 Sumario de Curiosidades Matematicas

Fracciones Continuadas: un recorrido historico 51

Esto es,

∫ x

0e−u2

du =

√π

2−

12e−x2

x +1

2x +2

x +3

2x +4

x +. . .

, x > 0.

Si se calcula mediante algun paquete computacional, se puede ver que∫ 1

0e−x2

dx = 0, 746824

Ahora, usando la expansion en fracciones continuada de∫ x

0e−u2

du, con u va-

riando entre 0 y 1. De aquı, se tiene

∫ 1

0e−x2

dx =

√π

2−

12e−12

1 +1

2 · 1 +2

1 +3

2 · 1

= 0, 615158

lo cual es una aproximacion valida tomando en consideracion que los paque-tes computacionales aplican algoritmos muy complejos para el calculo de estaintegral y solo hemos calculado 3 convergentes.

2.4.4. Fracciones continuadas y geometrıa

Se presentara ahora la relacion existente entre las fracciones continuadas y la ge-ometrıa. Esto es, se mostrara que

√2 es irracional usando las fracciones continuadas

(vease [40]).

Dado un cuadrado con lado igual a 1y un cırculo indicado como en la figura.Se tiene

AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 12 = 2

luego, AC =√

2. Observe que:

ACBC

=

√2

1⇒√

2 =ACBC

=CD + AD

BC=

= 1 +ADBC

= 1 +1

BCAD

= 1 +1

2 +ADAB

D

C

E

BA

1

Page 52: 73589961 Sumario de Curiosidades Matematicas

52 Sumario de topicos matematicos – eπ

Aquı se tiene que AD y AE son segmentos de una secante que pasa por el cırculocon centro C. AB es tangente al arco con centro C. Luego, de las nociones de ge-ometrıa plana, se sigue:

AB2 = AE · AD, oABAD

=AEAB

;

AE = AD + DE = AD + 2BC, y BC = AB

BCAD

=ABAD

=AEAB

=AD + 2BC

AB=

AD + 2ABAB

= 2 +ADAB

Ahora bien, se tiene entonces

1 +1

2 +ADAB

= 1 +1

2 +1

ABAD

= 1 +1

2 +ADAB

= 1 +1

2 +1

2 +ABAD

Observe que esta sera una fraccion continuada infinita, luego representara a un numeroirracional.Por lo tanto, se concluye que

√2 es un numero irracional.

2.4.5. Fracciones continuadas ascendentes

Otra curiosidad que brinda la teorıa de las fracciones continuadas es la de lasfracciones continuadas ascendentes.

Consideremos ahora, una variacion de las fracciones continuadas, las fraccionescontinuadas ascendentes4 que datan de Leonardo de Pisa5.

Siguiendo a Fibonacci, se tiene:

e c af d b

=ab

=ad f + c f + e

bd f=

ab+

cd

1b+

ef

1b

1d

4De ascending continued fractions. Para mas informacion consultese [8].5Conocido como Fibonacci (c. 1170- c.1250 ). Fue un mercantil italiano que viajo principalmente a

Egipto, Siria, Grecia y Silicia. En 1202 escribio Liber Abaci. Ahı, el introduce las fracciones continuadasascendentes.

Page 53: 73589961 Sumario de Curiosidades Matematicas

Fracciones Continuadas: un recorrido historico 53

Luego,

e c af d b

=ab=

a +c +

ef

db

Ası por ejemplo, una fraccion continuada ascendente para π es

π = 3 +1 +

4 +1 +

1 +5 + · · ·

1010

1010

10

2.4.6. El problema del calendario

Se sabe que un ano, segun el calendario Gregoriano, tiene

1 ano= 365 dıas 5 horas 48 minutos 46 segundos.

Se tratara de expresar esa relacion como una fraccion continuada (vease [5], pag. 93.).Para esto, considere la siguiente proporcion:

5 horas 48 minutos 46 segundos1 dıa

=20926 segundos86400 segundos

=1046343200

Luego, utilizando el algoritmo de la division euclıdea, se tiene

43200 = 4 · 10463 + 134810463 = 7 · 1348 + 10271348 = 1 · 1027 + 3211027 = 3 · 321 + 64

321 = 5 · 64 + 164 = 64 · 1

De aquı, se puede concluir entonces que la fraccion continuada que expresa 1 ano,esta dada por:

1 ano = [365; 4, 7, 1, 3, 5, 64];esto es,

1 ano = 365 +1

4 +1

7 +1

1 +1

3 +1

5 +164

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54 Sumario de topicos matematicos – eπ

2.5. Observaciones

Al realizar el estudio sobre las fracciones continuadas, se puede ver que en lamatematica a traves de los tiempos, conceptos esencialmente elementales, muestranun interes entre la comunidad matematica. Ası, se observa que en el desarrollo dela teorıa de las fracciones continuadas, los mas grandes matematicos de la historiase han visto envueltos. Matematicos como Cataldi, Bombelli, Brounker, Euler, La-grange, Lambert, Gauss, han sido partıcipes en el desarrollo de esta teorıa: la teorıade las fracciones continuadas.

Podemos ver, que la idea de la matematica acabada es erronea. Ya Euclides en 300a.C. hacia uso de una manera implıcita de las fracciones continuadas. Pasaron masde 1800 anos y volvieron a resurgir con todo su potencial las fracciones continuadas.Aquı, Cataldi, Bombelli, entre otros, siguieron desarrollandolas. Mas adelante, Euler,Lagrange, Lambert, Gauss continuaron con este topico.

Ademas, las fracciones continuadas jugaron un papel muy importante en la de-mostracion de la trascendencia de π.

Actualmente, la teorıa de las fracciones continuadas se usa por ejemplo en expan-siones de Engel6

Otros trabajos importantes sobre fracciones continuadas son: Music and TernaryContinued Fractions de J. M. Barbour en The American Mathematical Monthly, Vol. 55,No. 9. (Nov., 1948), pp. 545-555. Corrections to Continued Fractions for the Incom-plete Beta Function de Leo A. Aroian en The Annals of Mathematical Statistics, Vol.30, No. 4. (Dec., 1959), p. 1265. On Some Recent Developments in the Theory andApplication of Continued Fractions de P. Wynn en Journal of the Society for Industrialand Applied Mathematics: Series B, Numerical Analysis, Vol. 1. (1964), pp. 177-197. y eltrabajo de Irvin, en [33].

Esto lo que refleja, es que las fracciones continuadas no es un tema muerto, es untema de gran aplicabilidad a la matematica y sus aplicaciones.

Sin lugar a dudas, la parte mas importante de las fracciones continuadas es que,aun al ser muy sencillo, el gran potencial que posee a la hora de realizar aproxima-ciones.

6Kraaikamp y Wu en el 2004 observaron que toda expansion de Engel puede expresarse como unafraccion continuada ascendente.

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Capıtulo 3Problemas Matematicos

ResumenSe realiza una breve descripcion de los 23 problemas que David Hilbert propuso en1900, ademas de los 7 problemas propuestos por el Instituto de Matematicas Clay

en el 2000.

3.1. Los 23 problemas de Hilbert

El 8 de agosto de 1900, David Hilbert pronuncio una conferencia en el CongresoInternacional de Matematica en Parıs, en la que formulaba y razonaba 23 problemasmatematicos. Los problemas son los siguientes (Vease [53] y [57]):

1. La hipotesis del continuo (i.e., no existe conjunto cuyo tamano este estricta-mente entre el de los numeros enteros y el de los numeros reales).

2. Probar que los axiomas de la aritmetica son consistentes.

3. ¿Se puede probar que dos tetraedros tiene igual volumen (bajo ciertas asun-ciones)?

4. Construir todas las metricas cuyas rectas sean geodesicas.

5. ¿Son los grupos continuos grupos diferenciables de forma automatica?

6. Axiomatizar la fısica.

7. ¿Es ab trascendental, siendo a 6= 0, a 6= 1, a algebraico y b irracional algebraico?

8. La hipotesis de Riemann y la Conjetura de Goldbach.

9. Encontrar la ley mas general del teorema de reciprocidad en cualquier camponumerico algebraico.

10. Encontrar un algoritmo que determine si una ecuacion diofantica polinomicadada con coeficientes enteros tiene solucion entera.

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56 Sumario de topicos matematicos – eπ

11. Resolver las formas cuadraticas con coeficientes numericos algebraicos.

12. Extender el teorema de Kronecker sobre extensiones abelianas de los numerosracionales a cualquier campo numerico base.

13. Resolver todas las ecuaciones de setimo grado usando funciones de dos para-metros.

14. Probar la finitud de ciertos sistemas completos de funciones.

15. Fundamento riguroso del calculo enumerativo de Schubert.

16. Topologıa de las curvas y superficies algebraicas.

17. Expresion de una funcion definida racional como cociente de la suma de cuadra-dos.

18. ¿Existe un poliedro regular y que construya otros poliedros? ¿Cual es el apila-miento compacto mas denso?

19. ¿Son siempre analıticas las soluciones de los Lagrangianos?

20. ¿Tienen solucion todos los problemas variacionales con ciertas condiciones decontorno?

21. Probar la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tengan un grupomonodromico preescrito.

22. Uniformizacion de las relaciones analıticas por medio de funciones automorfi-cas.

23. Extension de los metodos del calculo de variaciones.

¿Y cuantos de los problemas de Hilbert han sido resueltos?Dieciseis de los problemas han sido resueltos. Estos problemas son: 1, 2, 3, 4, 5, 7,

9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 21 y 22. Cuatro problemas –12, 19, 20 y 23– sus enunciadosson muy vagos o el problema en sı no es claro. Y tres de esos problemas –6, 8 y 16–no han sido resueltos.

A continuacion la lista de matematicos que han trabajado arduamente hasta con-seguir la resolucion de uno de estos problemas, matematicos que Benjamin Yandelllos ha denominado la clase de honor de Hilbert:

Kurt Godel

Paul Cohen

Yuri Matiyasevich

Julia Robinson

Martin Davis

Max Dehn

Herbert Busemann

Aleksei V. Pogorelov

Andrew Gleason

Dean Montgomery

Leo Zippin

Alexander Gelfond

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Problemas Matematicos 57

Theodor Schneider

Carl Siegel

Teiji Takagi

Emil Artin

Helmut Hasse

Masayoshi Nagata

Ludwing Bieberbach

Paul Kobe

J. Henri Poincare

Josip Plemelj

Andrei Bolibruch

3.2. Los 7 problemas del Milenio

El 24 de mayo de 2000, en Parıs, el Instituto de Matematicas Clay de Cambridge,Massachusetts anuncio que siete premios de un millon de dolares cada uno eranofrecidos para quien resolviera alguno de los siete problemas que pronto enuncia-remos. Para la eleccion de estos problemas se conto con un Comite Internacional deMatematicos que los escogieron como los mas difıciles e importantes en el campo dela matematica actual. Sir Michael Atiyah y John Tate, dos influyentes matematicos,los anunciaron. Estos problemas son los siguientes (vease por ejemplo [18]):

1. La hipotesis de Riemann: Formulada por Bernhard Riemann en 1859.La hipotesis dice: Los ceros de la funcion zeta de Riemann tiene parte real igual a unmedio.

Es valida para los primeros mil quinientos millones de ceros. La demostraciondarıa informacion definitiva a varias cuestiones sobre la frecuencia de los nu-meros primos.

2. P versus NP: Formulada por Stephen Cook en 1971.¿Es cierto que P es igual a NP?.

La pregunta equivale a determinar si todo lenguaje aceptado por un algorit-mo no determinıstico en un tiempo polinomial es tambien aceptado por algunalgoritmo determinıstico en tiempo polinomial.

Una respuesta afirmativa permitirıa disponer de algoritmos utiles para muchosproblemas computacionales, pero al mismo tiempo destruirıa la seguridad detransacciones financieras hechas a traves del Internet.

Este problema tiene relacion con la criptografıa.

3. La conjetura de Hodge: Formulada por William Hodge en 1950.En una variedad algebraica proyectiva no singular sobre los complejos toda clase deHodge es una combinacion lineal racional de clases de ciclos algebraicos.

Si la conjetura es cierto, los ciclos de Hodge admitirıan una interpretacion ge-ometrica y eso permitirıa conocer como las piezas se adjuntan a determinadosespacios para construir otros.

4. La conjetura de Poincare1: Formulada por Henri Poincare en 1904.

1Resuelta por Grigori “Grisha” Perelman en 2003

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58 Sumario de topicos matematicos – eπ

Toda 3−variedad cerrada simplemente conexa es homeomorfa a la 3−esfera

5. La Teorıa de Yang-Mills: Formulada por Chen-Ning Yang y Robert Mills en1950.

Demostrar que para todo grupo gaunge simple compacto, la teorıa cuantica de Yang-Mills en el espacio de dimension 4 existe y tiene defecto de masa positivo.

6. Las ecuaciones de Navier-Stokes: En honor a los matematicos Claude LouisHenri Navier y George Gabriel Stokes.

¿Existen soluciones diferenciables, fısicamente razonables para las ecuaciones de Navier-Stokes en 3 dimensiones?

La importancia de las ecuaciones de Navier-Stokes radica en que describen elmovimiento de un fluido en el espacio.

7. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer: Propuesta por Brian Birch y PeterSwinnerton-Dyer en 1965. Mas o menos dice:

Las soluciones racionales de determinadas ecuaciones algebraicas estan ıntimamenteligadas con una cierta funcion zeta como la de Riemann, de manera que si la funcion seanula en el punto 1, entonces hay una infinidad de puntos racionales y si no se anula,solo hay un numero finito.

Estos problemas no pretenden marcar la direccion de las Matematicas duranteel siglo XXI, solo quiere centrar la atencion en un pequeno conjunto de cuestionesmatematicas pendientes desde hace tiempo.

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Capıtulo 4Caos: una breve resena

A lo largo de un perıodo de varios miles de anos, la humanidad fue comprendiendo lenta-mente que la naturaleza posee muchas regularidades, que pueden ser registradas, anali-zadas, predichas y explotadas. En el siglo XVIII, la ciencia habıa tenido tal exito en eldescubrimiento de las leyes de la naturaleza que muchos pensaron que quedaba poco pordevelar. Leyes inmutables determinaban el movimiento de cada partıcula del universo,de forma exacta y para siempre: la tarea del cientıfico consistıa en dilucidar las implica-ciones de dichas leyes para cualquier fenomeno de interes. El caos habıa sido sustituidopor un mundo hecho de engranajes mecanicos.

Ian Stewart, ¿Juega Dios a los dados?. La Matematica del caos.

ResumenEste es un recorrido atraves de la historia de uno de las mas grandes revoluciones

tanto en la ciencia como en la matematica: el caos.Se realiza un viaje a traves de sus inventores y sus principales pioneros, ası como

sus principales influencias en la contemporaneidad.

4.1. Introduccion

La batalla eterna entre el orden y el desorden, armonıa y caos, debe interpretaruna percepcion humana muy profunda del universo, pues forma parte del imagi-nario de muchas culturas. En la cosmologıa de la antigua Grecia, el caos era el vacıoprimitivo del universo y el submundo donde habitaba la muerte. En una historia ba-bilonica, el universo surge del caos que sobrevino cuando una ingobernable familiade los dioses de los abismos fue destruıda por su propio padre.

El orden es considerado equivalente al bien y el desorden al mal. El orden y elcaos considerados como polos opuestos, sobre los que gira nuestra interpretacion demundo.

Parece que el ser humano trae consigo impulsos que pretenden comprender re-gularidades de la naturaleza, pretende encontrar leyes ocultas tras las inexplicablescomplejidades del universo, pretende extraer orden del caos.

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60 Sumario de topicos matematicos – eπ

La matematica surge como apasiguador de estos impulsos innatos del ser hu-mano. La matematica surge a partir de cuestiones sobre un mundo fısico y justificasu existencia al darnos algunas respuestas. Quiza la matematica es efectiva porquerepresenta un lenguaje creado por el ser humano, quiza las unicas pautas que so-mos capaces de percibir son la matematica, porque la matematica es el instrumentode nuestra percepcion. Quiza, el exito de la matematica sea una ilusion cosmica,quiza no existen verdaderas pautas, sino que son las construcciones creadas las quedeterminan nuestro devenir.

Todas estas cuestiones nos invaden, pero la realidad practica es que la matematicaconstituye el metodo mas efectivo para poder comprender nuestros alrededor.

La revolucion del pensamiento cientıfico que culmino con Isaac Newton, nosheredo un vision de mundo como un engranaje gigantesco, que funcionaba de ma-nera mecanica, determinıstica, de precision absoluta. El mensaje que nos dejo estaepoca fue que la naturaleza poseıa unas leyes y que el ser humano era capaz deencontrarlas. Y este mensaje definio la estela a seguir de la ciencia que recien nacıa.

Esta idea de un mundo predeterminado, era la idea de muchos de los mas grandespensadores del siglo XVIII, es ası como Pierre Simon Laplace, es su Ensayo filosoficosobre las probabilidades lo expresa (citado por Ian Stewart en su libro ¿ Juega Dios a losdados?):

Un ser inteligente que en un instante dado conociera todas las fuerzas que an-iman la Naturaleza y las posiciones de los seres que la forman, y que fuera losufientemente inmenso para poder analizar dichos datos, podrıa condensar enuna unica formula el movimiento de los objetos mas grandes del universo y el delos atomos mas ligeros: nada serıa incierto para dicho ser; y tanto el futuro comoel pasado estarıan presentes ante sus ojos.

Esto nos refleja el idealismo deterministico de toda una epoca, de todo un paradig-ma. El paradigma del determinismo clasico habıa nacido: si las ecuaciones describenla evolucion del sistema unıvocamente, en ausencia de perturbaciones externas alea-torias, su comportamiento esta entonces unıvocamente especificado en todo instante.Funcionaba.

Aunque nos parezca un poco absurdo hoy dıa, ese era la consigna de los precur-sos de la ciencia moderna. La ciencia poco a poco ha ido sustituyendo el esquema, haido cambiando de una posicion completamente cuantitativa y determinıstica, haciauna ciencia un poco mas cualitativa y probabilıstica.

Aunque muchos no lo consideren ası, la ciencia moderna se encuentra reem-plazando el orden por el caos, ya que este supuesto orden, genera mas caos.

Pero, ¿Que es el caos?. Para Ian Stewart en su libro ¿Juega Dios a los dados?,Caos es el comportamiento estocastico que ocurre en un sistema deterministico, esel comportamiento sin ley, gobernado completamente por la ley.

Page 61: 73589961 Sumario de Curiosidades Matematicas

Caos: una breve resena 61

4.2. Teorıa del Caos: una aproximacion historica

La ciencia clasica acaba donde el caos empieza. La porcion irregular de la na-turaleza, su parte discontinua y variable, ha sido un rompecabezas a los ojos de laciencia, o peor algun, una monstruosidad.

En 1970, muchos cientıficos estadounidenses y europeos iniciaron el camino en eldesorden (el caos). Eran matematicos, fısicos, biologos. Una de las pocas veces en quela interdisciplinaridad colmo las ciencias. Todos buscan nexos entre las diferentesclases de irregularidades. Ası pues, los fisiologos encontraron caos en el corazon, losecologistas exploraron el aumento y decrecimiento de la poblacion de mariposas, loseconomistas empezaron a realizar analisis de datos considerando el caos.

La nueva ciencia, el caos, ha inventado un nuevo lexico caracterıstico, una jergadistinguida de fractales, bifurcaciones, intermitencias, periodicidades, difeomorfis-mos de toalla doblada y diagramas de fideos blandos.

El caos aparece por doquier. Una columna de humo ascendente, la bandera on-deada por la brisa, el tiempo atmosferico.

Los mas fervorosos defensores del caos, declaraban que el siglo XX se recordarıasolo por tres cosas: la relatividad, la mecanica cuantica y el caos. Quiza tuvieronrazon.

Segun algunos fısicos1, la relatividad acabo con la ilusion del espacio y tiem-po absoluto de Newton (Sir Isaac Newton (1643-1727)); la teorıa cuantica arruino elsueno del mismo sabio de un proceso de medicion controlable; y el caos acabo conla fantasıa de Laplace (Pierre-Simon Laplace (1749-1827)) de la predecibilidad deter-minista.

4.2.1. Efecto Mariposa

Edward Lorenz2 creo en 1960, un tiempo de juguete que fascino a sus colegas.Con su maquina, una Royal Mc Bee, se senalaba cada minuto el paso de un dıa,imprimiendo una hilera de numeros en papel. Quien sabıa leer estos datos, podıapercatarse de vientos, ciclones digitalizados y demas.

Lorenz despues de una cantidad de tanteos y equivocaciones, escogio 12 ecua-ciones diferenciales que expresan nexos entre temperatura, presion, velocidad delviento, entre otras, para ası poder moldear el tiempo atmosferico.

En un principio, Lorenz habıa encontrado cierta regularidad en sus prediccionesy formas de ver y analizar el tiempo.

1Joseph Ford, en What is Chaos, that we should be mindful of it?. Georgia Institute of Technology.2Edward Norton Lorenz es un matematico y meteorologo estadounidense, contribuyo en la teorıa

del caos e inventor de lo que se conoce como atractores extranas. Acuno el termino efecto mariposa.Lorenz construyo un modelo matematico muy simplificado, que intentaba capturar el comportamien-to de la conveccion en la atmesfera. Lorenz estudio las soluciones de su modelo y se dio cuenta quealteraciones mınimas en los valores de las variables iniciales resultaban en soluciones ampliamentedivergentes. Esta sensible dependencia de las condiciones iniciales fue conocida despues como elefecto mariposa. Su investigacion dio origen a un renovado interes en la teorıa del caos.

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62 Sumario de topicos matematicos – eπ

En un dıa del invierno de 1961, Edward Lorenz tomo un atajo en sus algorit-mos para la prediccion del tiempo. Para no comenzar por el principio, empezo amedio camino (inicio su analisis de las ecuaciones en su Royal Mc Bee a mediocamino), copio los numeros directamente de la impresion anterior, pensando en quesu maquina funcionase segun las condiciones iniciales, se fue a tomar un cafe, ycuando regreso, una hora despues, se encontro con lo inesperado, algo que eran loscimientos de una nueva ciencia (desconocida hasta entonces).

Lorenz vio en la nueva impresion de numeros, que su tiempo divergıa muyrapido. Todas las similitudes con los datos anteriores se habıan borrado. Primeropenso que su Royal Mc Bee habıa fallado, luego Lorenz comprendio que no habıadesperfecto. El habıa entrado una expresion mas corta, redondeada, convencido deque la diferencia no tenıa importancia. Su input fue 0, 506, en vez del original 0, 506127.Ver figura 4.1.

Figura 4.1: Experimento de Lorenz

Se trataba de una suposicion razonable, pero el pequeno error numerico, que eracomo el soplo de aire, provoco que los errores ınfimos fueran catastroficos.

Las computadoras empezaron a jugar un papel muy importante en la meteo-rologıa, su predicciones de tiempos atmosfericos eran buenas en los primeros dosdıas, mas o menos al tercer dıa se volvıan especulativos y a partir del sexto o setimodıa, se volvıan despreciables.

La razon de todo ello, el efecto mariposa.

Figura 4.2: Dependencia sensitiva a valores iniciales.

El descubrimiento de Lorenz fue accidente, al igual que el de Arquımedes deSiracusa (287 aec.-212 aec.) y su bano. Sin embargo, Lorenz se propuso descubrir lasconsecuencias de su hallazgo y averiguar que significaba lo descubierto, por ejemplo,para los fluidos.

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Caos: una breve resena 63

El efecto mariposa no era accidental, sino necesario. Luego, fue adquiriendo di-ferentes connotaciones, por ejemplo, dependencia sensitiva de los valores iniciales.

Existe una frase anglosajona que representa muy bien al efecto mariposa:

Por un clavo, se perdio la herradura;por una herradura, se perdio el caballo;

por un caballo, se perdio el jinete;por un jinete, se perdio la batalla;por una batalla, se perdio el reino.

Un sistema determinista puede producir mucho mas que un comportamientoperiodico.

Lorenz, abandono el tiempo y busco formas mas sencillas de producir compor-tamientos complejos. Encontro en un sistema de ecuaciones diferenciales no linealestal comportamiento. La clave del caos, sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales.Lorenz, encontro el siguiente:

dxdt = σ(y− x)dydt = σx− y− xzdzdt = xy− βz

el cual genera al Atractor de Lorenz.

Figura 4.3: Atractor de Lorenz

En la dinamica de fluidos casi todo depende de la ecuacion de Navier-Stokes,muy breve, que hace referencia a la velocidad, presion, densidad y viscosidad, peroes no es lineal.

ρDui

Dt= ρFi −

∂P∂xi

+

(∂2ui

∂xi∂xj+

13

∂∆∂xi

)

Antes del caos, segun Richard Feynmann:Los fısicos se complacen en pensar que basta decir: estas son las condiciones iniciales. Pero,¿Que sucede a continuacion?

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64 Sumario de topicos matematicos – eπ

4.2.2. Los primeros anos del caos

Quienes reconocieron el caos desde el principio se debatieron en como dar formapublicable a sus pensamientos y hallazgos. Era una tarea muy complicada: dema-siada abstracta para los fısicos y muy experimental para los matematicos. El caos seconsideraba disparatado y acientıfico. Ciertas revistas establecieron reglas no escritascontra el caos, otras en cambio, vieron el dıa exclusivo para tratar con el.

Los caotistas o caologos, comparecieron con frecuencia en las listas de plazas pen-sionadas y premios importantes. Se fundaron centros e institutos para especializarseen dinamicas no lineales y sistemas complejos.

El caos se convirtio en una ciencia experimental para investigadores y matema-ticos, en la que el computador sustituyo los laboratorios llenos de tubos de ensayoy microscopios. En esta ciencia, la rata de laboratorio fue el pendulo de la mecanicaclasica.

Al igual que Arquemedes y su bano, Newton y su manzana, Galileo Galilei (1564-1630) observaba una lampara de la iglesia que oscilaba de aquı para alla, una y otravez. Galileo al contemplar un pendulo, observaba una regularidad que se podıamedir. El percibıa esta regularidad, porque habıa formulado una teorıa que ası lopredecıa. Tan seguro estaba, que vio regularidad donde no existıa.

Durante el siglo XX, ningun fısico se molestaba en estudiar el pendulo.Al haber un nuevo paradigma los fısicos empezaron a replantearse detalles co-

mo el movimiento de un pendulo, aprendieron a considerar sistemas de ecuacionesdiferenciales no lineales. Ası por ejemplo, para poder comprender la turbulencia senecesitaba comprender a fondo los pendulos. Las reacciones quımicas tenıan com-portamiento pendular, el latido del corazon tambien.

Steven Smale, un matematico de la Universidad de California, ganador de laMedalla Field3 por haber resuelto una de las conjetura de Poincare sobre espaciosde cinco o mas dimensiones en Topologıa, intento comprender como diferıa la con-ducta global de lo local.

Durante una conversacion, un joven fısico le pregunto a Smale, que ¿a que sededicaba?, la respuesta lo dejo atonico: en osciladores. Era absurdo, como un granmatematico iba a estudiar fısica muy elemental. Luego el fısico se dio cuenta queSmale, trabajaba en osciladores no lineales, es decir, en osciladores caoticos y queveıa en ellos cosas que los fısicos no habıan aprendido a ver.

En la decada de 1960, Smale abandono la Topologıa y se dedico a estudiar sis-temas dinamicos. Tanto la topologıa como los sistemas dinamicos habıan nacidosmuy cercanos a la fısica, pero los matematicos se olvidaron de ello y empezaron suestudio en abstracto.

En un principio Smale, consideraba que el caos era equivalente a la inestabilidad4,luego se dio cuenta de que eran definiciones distintas y no conectadas.

3La medalla Field es el equivalente al Premio Nobel en Fısica, es otorgado a matematicos querealizan aportes sobresalientes al area y que sean menores de 40 anos.

4Aquı se hace alusion a sistemas dinamicos o sistemas de ecuaciones diferenciales estables o in-estables.

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Caos: una breve resena 65

Para muchos fısicos, Smale devolvio toda una rama matematica, los sistemasdinamicos, al mundo real, ya que como mencionamos, los matematicos estaban si-guiendo por el camino de la abstraccion sin asociar sus teorıas a la naturaleza.

Pronto, el caos se extendio por todo el mundo, en la antigua Union Sovietica yJapon, trabajaron cosas importantes referentes al caos.

4.3. Imagenes del caos

Benoit Mandelbrot, un matematico que trabajaba con la International BusinessMachine (IBM), presentado en una conferencia como “. . . enseno economıa en Harvard,ingenierıa en Yale, fisiologıa en Einstein School of Medicine. . . ”, comento: al oır la listade mis pasadas ocupaciones, llego a dudar de mi existencia. La interseccion de talesconjuntos esta indudablemente vacıa. Mandelbrot se dedico a estudiar el fenomenode medicion por escalas. Mandelbrot era un refugiado de los Bourbaki5. Este estu-dio la longitud de las costas de Inglaterra, observando que cuando consideraba unaescala mucho mas pequena lograba encontrar grandes discrepancias en sus longi-tudes. Benoit, en cierto sentido, afirmo que los litorales eran infinitos, considerandoescalas diferentes escalas las grandes discrepancias estan presentes.

Ya Henri Poincare, en 1912, habıa definido las dimensiones enteras. Una nuevadimension fue inventada por Felix Hausdorff en 1919 y desarrollada ampliamentepor A.S. Besicovitch. en 1930. Se trata las dimensiones entre 0 y 1 (o dimensionesfraccionarias). Estas dimensiones llamadas dimension de Hausdorff-Besicovitch,actualmente se llaman dimensiones fractales.

Figura 4.4: Dimension Fractal

Es ası como Benoit Mandelbrot, que trabajaba con estas dimensiones le dio elnombre de fractales6.

5Bourbaki nacio como un club, fundado durante durante la inquieta estela de la Primera GuerraMundial por Szolen Mandelbrojt, tıo de Benoit Mandelbrot, y un grupito de jovenes que buscaban elmodo de rectificar las matematicas francesas. Este grupo surgio, en parte, como reaccion en contra deHenri Poincare, el gran hombre de la segunda mitad del siglo XIX, pensador de formidable produc-cion y escritor, al que el rigor preocupaba menos que a otros hombres de ciencia. Bourbaki, opinabaque Poincare habıa legado una base insegura a la matematica, y escribıan un tratado enorme parallevar a la matematica al sendero formal.

6Del verbo latın frangere; romper, y jugando con vocablos afines ingleses, fraction; fraccion.

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66 Sumario de topicos matematicos – eπ

4.3.1. Fractales

¿Que es un fractal?

Definicion de Benoit Mandelbrot: un fractal es un conjunto en el que su dimen-sion Hausdorff Besicovich excede extrictamente la dimension topologica.

¿Todavıa en tinieblas? No te preocupes. Esta definicion solo es importante si eresun matematico.

Un fractal es, simplemente, una figura que es construida a partir de piezas cadauna de las cuales es aproximadamente una copia reducida del fractal completo.

Este proceso se repite hasta completar el fractal. Hay muchos hechos sorpren-dentes sobre los fractales:

son independientes de la escala,

son autosimilares,

y recuerdan objetos encontrados en la naturaleza como nubes, montanas, ocostas.

Segun Edison De Farıa en su artıculo Fractales, otra definicion informal de fractalpodrıa ser: “la dimension fractal de un objeto es una medida de su grado de irregularidad,considerada en todas sus escalas, y puede ser mayor que la dimension clasica del objeto...Unfractal es algo irregular, pero lo mas importante es que si lo ampliamos arbitrariamente, elaun sigue siendo irregular”.

Hay muchas estructuras matematicas que son fractales.Muchos fractales son creados por un proceso iterativo por ejemplo: el fractal

conocido como la curva de von Koch es creada dividiendo una lınea hasta obte-ner 4 lıneas. Esta es la primera iteracion del proceso. Luego repetimos este cambio ydespues de una cantidad infinita de iteraciones, obtenemos un fractal. Su forma separece a la tercera parte de un copo de nieve.

Muchas otras figuras pueden ser construıdas por metodos similares. Por ejemplo,cambiando una lınea de manera distinta obtenemos un arbol.

Las iteraciones pueden ser introducir posiblemente algo de ruido aletario en unfractal dividiendo una lınea en dos lıneas y agregando un poco de error puedesobtener fractales que se parezcan a una costa de playa.

Un proceso similar podrıa crear nubes, montanas, y muchas otras formas de lanaturaleza.

Un fractal es una manera de ver lo infinito con el ojo de la mente. Ian Stewart, enel apendice del libro What is the Mathematics?, de Richard Courant, define fractalcomo objetos geometricos con estructuras en todas las escalas.

La matematica detras de los fractales

Los fractales son un campo muy nuevo de las matematicas, ası que aun existenmuchas preguntas sin resolver. Incluso las definiciones no estan claras. Usualmentellamamos a algo fractal, si muestra alguna auto-similitud.

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Caos: una breve resena 67

Una de las posibles definiciones es la de Benoit Mandelbrot: un fractal es un con-junto en el que su dimension Hausdorff-Besicovich excede extrictamente la dimen-sion topologica. ¿Que significa esto? Para explicarlo, primero necesitamos entenderque son las dimensiones topologicas y de Hausdorff Besicovich.

La dimension topologica es la dimension normal. Un punto tiene 0 dimensiones.Una lınea tiene una dimension. Una superfıcie tiene dos, etc . . .

La definicion de la dimension Hausdorff Besicovich proviene de este simple he-cho: El lado de una lınea ampliada dos veces (zoom) crece tambien a lo mas dosveces. Por otro lado, el tamano de un cuadrado crece cuatro veces como mucho. Re-glas similares funcionan para mayores dimensiones tambien.

Para calcular las dimensiones para este hecho, debes usar la siguiente ecuacion:

dimension =log slog z

donde z es el cambio de zoom y s es el cambio del tamano para una lınea con zoom2, el tamano del cambio tambien es 2: log 2/ log 2 = 1, para un cuadrado con zoom2, el tamano del cambio es 4: log 4/ log 2 = 2. Ası, esta definicion da los mismosresultados para formas normales.

Las cosas se tornan mas interesantes con los fractales: Considere una curva de uncopo de nieve que se crea cambiando repetidamente una lınea por cuatro lıneas. Lasnuevas lıneas son 1

3 del tamano de la lınea original Despues de acercar (zoom) 3 ve-ces, estas lıneas seran exactamente del mismo tamano que las lıneas originales. Estoocurre por la auto-similitud creada por la repeticion infinita de esta metamorfosis,cada una de estas partes se convierte en una copia exacta del fractal original.

El tamano del fractal crece 4 veces porque hay cuatro copias del mismo. Despuesde colocar estos valores en las ecuaciones:

log 4log 3

= 1,261

Obtenemos un valor mayor que uno! (La dimension topologica de la curva).La dimension Hausdorff Besicovich (1,261) es mayor que la dimension topologi-

ca. De acuerdo con esta definicion, se concluye que nuestro copo de nieve es unfractal.

Esta definicion, sin embargo, no es perfecta ya que excluye muchas figuras queson fractales. Pero demuestra una de las propiedades interesantes de los fractales, yque es muy popular. La dimension Hausdorff Besicovich tambien se conoce como ladimension fractal.

Generar fractales

El metodo para generar los fractales basado en el uso de la iteracion. Se toma elplano complejo El eje real es colocado horizontalmente y el eje imaginario es colo-cado verticalmente. Cada punto tiene su propia orbita. La trayectoria sobre la quese calcula utilizando la funcion iterativa, f (z, c) donde z es la posicion previa y c es

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68 Sumario de topicos matematicos – eπ

la nueva posicion en el plano. Por ejemplo, en el conjunto Mandelbrot, la funcioniterativa es z = z2 + c. En caso de que queramos examinar el punto 0− 0, 6i, asig-namos este parametro a c la iteracion de la orbita comienza en z = 0 + 0i. Luego,repetidamente calculamos la funcion iterativa, y repetidamente obtenemos un nue-vo valor para z para la siguiente iteracion. Revisamos si el punto que pertenece alconjunto, es decir, si la orbita permanece finita. En este caso, sı lo esta. Ası que elpunto esta dentro del conjunto. En otros casos, ira rapidamente hacia el infinito (porejemplo, el valor 10 + 0i cuya primera iteracion es 110, la segunda es 12110, etc. . . . )

Ası que estos puntos estan fuera del conjunto.Aun estamos hablando de numeros infinitos y de iteraciones de numeros infinitos

pero los computadores son finitos, ası que no pueden calcular fractales de formaexacta.

Se puede probar que, en caso de que la distancia de la orbita desde cero es mayorque 2, siempre se ira al infinito. Entonces podemos interrumpir los calculos paraorbitas que fallan este test. Esto se conoce como el test de borde. En los casos de estarcalculando puntos que estan fuera del conjunto, necesitamos solo un cantidad finitade iteraciones.

Ejemplos de Fractales

Conjunto de Mandelbrot:Sin lugar a dudas el fractal mas famoso es El conjunto Mandelbrot. Es generadopor una formula muy simple. El conjunto de Mandelbrot, consiste de todoslos numeros complejos representados en el plano que cumplen: c, c2 + c, (c2 +c)2, . . ., pero es uno de los fractales mas hermosos. Ver figura 4.5.

Figura 4.5: Conjunto de Mandelbrot

Puesto que el conjunto Mandelbrot es un fractal, sus lımites contienen pequenascopias del conjunto completo. El conjunto Mandelbrot no es completamenteautosimilar, luego cada copia pequena es diferente. Otras copias en las distin-tas partes del conjunto difieren mas.

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Caos: una breve resena 69

Los lımites no solo contienen copias del conjunto, sino una verdadera var-iedad de figuras diferentes. Algunas de ellas son sorprendentemente similaresa aquellas encontradas en la naturaleza: puedes ver arboles, rios con lagos,galaxias, y cascadas. El conjunto Mandelbrot tambien contiene figuras comple-tamente nuevas.

Curva de Koch:En honor a Helge von Koch, quien lo descubrio originalmente en 1904. Estetiene dimension 1, 2618. Ver figura 4.6.

Figura 4.6: Curva de Koch

Conjunto de Julia:En honor al matematico frances Gaston Julia. Ver figura 4.7. El conjunto Man-delbrot no es el unico fractal generado por la formula z = z2 + c. El otro es elconjunto Julia.

Figura 4.7: Conjunto de Julia. f (z) = z2 − 1.

No hay un unico conjunto Julia, sino una variedad infinita de ellos. Cada unoes construido a partir de una “semilla”, que es un punto elegido del conjuntoMandelbrot. El conjunto Mandelbrot puede considerarse como un mapa devarios conjuntos Julia. Puntos dentro del conjunto Mandelbrot correspondena Julias con grandes areas negras conexas, mientras que los puntos fuera delconjunto Mandelbrot corresponden a Julias inconexos.

Los Julias mas interesantes tienen su semilla en los lımites del conjunto Man-delbrot.

El tema de un conjunto Julia tambien depende fuertemente de la semilla queescojas. Cuando te aproximas al conjunto Mandelbrot, obtendras un fractal

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70 Sumario de topicos matematicos – eπ

tematicamente muy similar cuando cambias a su correspondiente Julia. Alejatede nuevo, y descubres que estas en un fractal completamente diferente.

Los conjuntos Julia pueden parecer aburridos puesto que no cambian de temay permanecen fieles a la semilla elegida del conjunto Mandelbrot. Pero si eligescuidadosamente la semilla puedes generar preciosas imagenes.

4.4. A modo de cierre

Estas formas de observar las cosas con sus dimensiones fractales, dejo ver quesuperficies que parecıan lisas, presentaban abultamientos caprichosos, es decir, erancaoticos. Con el uso de las dimensiones fractales, muchos fenomenos que parecıanlisos o lineales, podıan estudiarse mas a fondo como sistemas caoticos. Ası por ejem-plo, las ramificaciones de los bronquios eran fractales.

A la comunidad matematica en general no le gustaba hablar de Mandelbrot, puesconsideraban su trabajo con poco rigor, con conceptos oscuros, no era matematicosu trabajo, mas bien computacional. Para referirse a los fractales, se referıan a lofraccional como dimension Hausdorff-Besicovitch.

El termino fractal denoto un procedimiento de descripcion, calculo y pensamien-to de las figuras irregulares y fragmentadas, dentadas y descoyuntadas, figuras queiban desde las lıneas cristalinas de los copos de nieve hasta el polvo discontinuo delas galaxias.

Ası pues, Robert May y James Yorke, mostraron que eran fractales todas las es-tructuras que proporcionaron la clave de la dinamica no lineal.

Muchos estaban convencidos que la geometrıa de Mandelbrot, era la propia ge-ometrıa de la naturaleza.

Podemos ver que el estudio del caos mantuvo ocupado a los mas grandes mate-maticos, fısicos y cientıficos en general de la segunda mitad del siglo XX. Algunosde ellos como A.N. Kolmogorov, V.I. Arnold, Henri Poincare, Birkhoff, Levinson,Smale, Guckenheimer, Ruelle, Ulam, Metropolis, Stein, Rossler, Yorke, May, Mandel-brot, Feigenbaum, Barnsley, Devaney, Julia, Fatou, entre otros, nos muestran la granmultidisciplinariedad existente entre las ramas de las ciencias. El caos, hoy dıa seaplica al comportamiento social, a la economıa.

Si desea profundizar en el tema, puede consultar An Introduction to ChaoticDynamical System de Robert Devaney. Tambien del mismo autor, puede consultarseChaos and Fractals: the mathematics behind the computer graphics.

El descubrimiento del caos requirio muchas cosas y mucha gente. Hicieron fal-ta matematicos puros para el desarrollo de una aproximacimacion topologica a ladinamica cualitativa y para preguntarse cuestiones suficientemente generales. Senecesitaron fısicos para enlazar las respuestas con el mundo real. Se necesitaron ex-perimentadores para comprobar que las teorıas tenıan sentido.

Preguntarse ¿cual contribucion fue la mas importante?, es equivalente a pregun-tarse ¿que es mas importante, el corazon, los pulmones o el cerebro?. Lo importantees la combinacion de ellos.

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Capıtulo 5Curiosidades Matematicas

ResumenEl presente trabajo intenta mostrar algunas curiosidades matematicas que puedenser utiles en la ensenanza y aprendizaje de la matematica. Incluye un breve esbozo

historico de la notacion matematica, curiosidades numericas, anecdotas, entre otros.

5.1. Introduccion

En los procesos de ensenanza y aprendizaje de la matematica, un rasgo conflicti-vo que se presenta es el abordaje de la matematica como una asignatura misteriosa,casi magica. Ası, la unica forma de hacerla accesible a los estudiantes es mediante lautilizacion de formulas y algoritmos. La matematica se presenta a los estudiantes co-mo una materia de completa aplicacion, dejando de lado la parte creativa y creadoraque ella nos presenta.

Esto no quita merito a la necesidad de los algoritmos y formulas para algunasaplicaciones cotidianas, pero si limita la capacidad creadora.

Ahora bien, ¿como podemos hacer la clase de matematica mas amena?. Existemuchas modelaciones teoricas que nos dan una aproximacion.

En mi practica matematica, una de las cosas que intento es sorprender a misestudiantes con alguna curiosidad que se logre asociar con la naturaleza plausible yporque no, a la naturaleza propia de la matematica.

A continuacion, presento una recopilacion de algunas curiosidades que puedensembrar una espina de asombro al lector hacia la matematica.

Vale mencionar ademas, que este trabajo surge como una inquietud obtenida enel I Campamento de Ensenanza de Matematica Jonathan Castillo Solano, UCR-UNA, elcual trato sobre juegos en la Ensenanza Matematica.

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5.2. Signos matematicos

Estamos habituados desde nuestros primeros anos escolares a reconocer, juntocon las cifras, una serie de sımbolos aritmeticos tales como el de la suma + y lamultiplicacion ×, etc. Muchos pensaran que estos sımbolos son tan antiguos comolas letras o tal vez como los propios numeros, sin embargo, no es ası. A medidaque el algebra fue progresando, los matematicos, para facilitar la escritura de lasformulas, fueron introduciendo, con mas o menos exito, nuevos sımbolos operativos.Al principio las formulas matematicas eran una especie de imitacion del lenguajehablado, algo ası como si en vez de 40 + 50− 3 = 87 escribiesemos 40 mas 50 menos3 igual a 87. Tal manera de proceder se ha llamado calculo literal o algebra retorica.

1. Girolamo Cardano (1501-1576), en Italia, escribe su Ars Magna, primer tratadode algebra merecedor de este nombre, segun Rey Pastor, en el que da un saltonotable del algebra retorica a la simbolica.

2. Michael Stifel (1485-1567), aleman, en su obra Arithmetica Integra, popularizo lossımbolos + y− desplazando a los signos p (plus) y m (minus), segun Arguelles.Rey Pastor dice que los signos + y − aparecen utilizados por primera vez porel aleman Widmann (1489), y no se sabe si proceden de la deformacion de lasiniciales de plus y minus. Stifel utilizaba expresiones como xxxx, o xx, para laspotencias cuarta o segunda de x.

3. Christoph Rudolff (1500-1545), aleman, publica en 1525, el primer tratado dealgebra en aleman vulgar titulado Coss. La cosa era el nombre que se daba ala incognita, que hoy representarıamos por x y el arte coisico era el algebra. Enesta obra aparece, por primera vez, el sımbolo O, corrupcion de la inicial de lapalabra radix, para indicar la raız cuadrada. La raız cuadrada de un numero sedesignaba antes del siglo XVI poniendo un punto delante del numero.

4. Robert Recorde, ingles, publica en 1557 su obra The Whetstone of Witte, primertratado ingles de algebra, en que introduce el signo = por no haber nada masigual que estos dos trazos paralelos; sin embargo pasaran mas de cien anos antesde que este signo triunfe sobre otras notaciones rivales.

5. Adriano Van Roomen, holandes, hacia 1598, en un comentario al algebra deAlhwarazmi, escribıa A(3), B(2), etc. para expresar el cubo de A o el cuadra-do de B; Herigone en su Cursus mathematicus, (Paris, 1634), escribıa a3, b2, etc.;Descartes en su Geometrıa escribio como lo hacemos ahora: a3, b2, etc. y popu-larizo el signo = de Recorde. A partir de Descartes la notacion algebraica es yapoco mas o menos la que empleamos hoy.

6. Tomas Harriot (1560 - 1621) perfecciono los sımbolos de Viete y a el se debe laintroduccion y uso por primera vez de los signos actuales de mayor que y menorque < , >. En alguna ocasion utilizo el punto como sımbolo de multiplicacion,mas tarde difundido por Leibniz.

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Curiosidades Matematicas 73

7. William Oughtred (1574-1660), clerigo ingles, propuso, entre propios y ajenos,unos 150 signos matematicos. De ellos se han conservado el de la multipli-cacion ×, los signos : y :: para la razon y proporcion, aunque ya en desuso, y laabreviatura log para logaritmo.

8. Albert Girard (1590-1633) introdujo el uso de los parentesis ( ), creo las primerasabreviaciones trigonometricas, e introdujo en los calculos el sımbolo ∞ para elinfinito.

9. John Wallis (1616-1703) tambien utilizo el sımbolo ∞ para designar infinito,aunque desde Viete hasta el siglo XVIII se utilizaba como sımbolo de igualdad(deformacion de la inicial de æquale).

10. Pierre Bouguer (1698-1758) introdujo los signos de mayor o igual que y menor oigual que: ≥ y ≤.

11. Leonhard Euler (1707-1783) introdujo el sımbolo i primera letra de imagina-rius para denotar

√−1, la raız cuadrada de menos uno; diversas notaciones

trigonometricas; la letra e para la base de los logaritmos neperianos y la letragriega Σ como sımbolo sumatorio.

12. Kramp (1808) introduce el sımbolo ! , para designar los factoriales.

5.3. Curiosidades Matematicas

1. Curiosidades sobre π (PI):

a) La notacion con la letra griega π proviene de la inicial de las palabrasde origen griego περιϕερεια (perıferia) y περιµετρoν (perımetro) de uncırculo.

b) Esta notacion fue usada por primera vez en 1706 por el matematico galesWilliam Jones y popularizada por el matematico Leonhard Euler

c) El 14 de marzo (3/14) se ha convertido en una celebracion no oficial parael “Dıa Pi”, derivandose de la aproximacion de tres dıgitos de pi: 3,14.Normalmente la celebracion se concentra a la 1:59 PM (en reconocimien-to de la aproximacion de seis dıgitos: 3.14159), aunque algunas personasafirman que en realidad son las 13:59, por lo que lo correcto serıa celebrara la 1:59 AM.

d) Johann Heinrich Lambert (1749-1777), en 1770, mostro que

π = 3 +1

7 +1

15 +1

1 +1

292 + . . .

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74 Sumario de topicos matematicos – eπ

e) arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = π.

f ) 3√

31 = 3, 1413806 . . ., o lo que es lo mismo, es casi π.

g) Una forma de aprender los 20 primeros dıgitos es con este poema, solohay que contar las letras de cada palabra:

Soy y sere a todos definiblemi nombre tengo que daros

cociente diametral siempre inmediblesoy de los redondos aros.

h) El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y me-dia, el japones Akira Haraguchi rompio el record recitando 100.000 dıgitosdel numero π, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos paratomar aire.

2. El matematico arabe IBN ALBANNA (siglo XII) publico las siguientes curiosi-dades:

9× 9 + 7 = 88

98× 9 + 6 = 888

987× 9 + 5 = 8888

9876× 9 + 4 = 88888

98765× 9 + 3 = 888888

987654× 9 + 2 = 8888888

9876543× 9 + 1 = 88888888

98765432× 9 + 0 = 888888888

1× 8 + 1 = 9

12× 8 + 2 = 98

123× 8 + 3 = 987

1234× 8 + 4 = 9876

12345× 8 + 5 = 98765

123456× 8 + 6 = 987654

1234567× 8 + 7 = 9876543

11× 11 = 121111× 111 = 12321

1× 9 + 2 = 11

12× 9 + 3 = 111

123× 9 + 4 = 1111

1234× 9 + 5 = 11111

12345× 9 + 6 = 111111

123456× 9 + 7 = 1111111

1234567× 9 + 8 = 11111111

12345678× 9 + 9 = 111111111

123456789× 9 + 10 = 1111111111

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Curiosidades Matematicas 75

3. Reconstruir la suma:

1 ∗ 5 ∗ +4 1 ∗ 76 ∗ 8 6

R: 1959 + 4127

4. Reconstruir las multiplicaciones:

4 6× ∗ ∗∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗1 ∗ 7 8

5 ∗ ∗× 5 ∗ ∗

5 ∗ ∗∗ ∗ 5 ∗

∗ ∗ ∗ 5∗ ∗ ∗ 5 ∗ ∗

R: 46× 48 y 517× 521

5. Los ejemplos anteriores reciben el nombre de criptogramas, aun cuando esenombre engloba tambien a otros presentes en todos los idiomas de los tipossiguientes:

S E N D +M O R E

M O N E YR:

9 5 6 7 +1 0 8 5

1 0 6 5 2

M U N C A +C I N S T E

S A R A C I ER:

8 3 7 9 0 +9 5 7 1 6 2

1 0 4 0 9 5 2

Este ultimo esta escrito en rumano y se traduce como:

TRABAJO + HONESTIDAD = POBREZA

o del tipo:

a)

A B C (x)N

C B A R: Imposible

b)

A B C D (x)N

D C B A R: 2178X4

c)A B C D E (x)

NE D C B A

R: 21978X4

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76 Sumario de topicos matematicos – eπ

o del tipo:

a) 7 · (FRYHAM) = 6 · (HAMFRY)

b) ab× ac = acb

Criptogramas con divisiones

c)

* * * * * * * * * * ** * * * * 8 * *

* * * ** * *

* * * ** * * *

R:1 0 0 2 0 3 1 6 1 2 4

9 9 2 8 0 8 0 91 0 0 3

9 9 21 1 1 61 1 1 6

d)AHHAAH

JOKE= HA

3773375169

= 73

Lo cierto es que desde hace siglos son muy populares en los libros de juegosmatematicos y matematica recreativa.

Cada uno de los juegos anteriores trae implıcito un mensaje que se debe desci-frar.

La criptografıa es la ciencia que se ocupa de cifrar informacion usando tecnicasmatematicas que hagan posible el intercambio de mensajes de manera que solopueden ser leıdos por las personas a quienes van dirigidos.

6. La teorıa de los cuadrados magicos fue desarrollada desde epocas remotas porlos chinos y parece haber tenido un origen mastico.

Los antiguos magos de Persia pretendıan curar las enfermedades, aplicandoa la parte enferma un cuadrado magico siguiendo el conocido principio demedicina: “Primum non nocire”.

Es bien conocido el hecho de que no existe un cuadrado magico de orden 2.El siguiente cuadrado magico se llama Lho Shu, data de la antiguedad y sim-bolizo para los chinos la armonıa y el equilibrio: el yin-yang.

4 9 23 8 78 1 6

Otro cuadrado magico de orden 4 es:

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Curiosidades Matematicas 77

1 15 14 412 6 7 98 10 11 5

13 3 2 10

Los cuadrados magicos dieron origen a los polıgonos y a los poliedros magicos.

7. La seccion Aurea y otros numeros. Cuando hablamos de seccion aurea nosestamos refiriendo a un segmento de recta que representa a un numero realdenotado por la letra φ (phi) cuyo valor es:

φ =1 +√

52

Aunque la letra φ fue una notacion en honor al escultor griego Fidias.

Existen muchos terminos equivalentes para φ, ademas de seccion aurea ten-emos: numero de oro, numero dorado, numero aureo, proporcion aurea, pro-porcion divina y muchos otros.

ABAC

=ACCB

; (Division en media y extrema razon)

En el caso CB = 1 obtenemos:

AC + 1AC

=AC1

lo cual nos da AC = φ ' 1, 618033988 . . ..

La construccion anterior fue recopilada por Euclides en sus Elementos.

He aquı algunas representaciones de φ:

φ2 = φ + 1

φ = 1 +1

1 +1

1 +1

1 + · · ·

φ =

√1 +

√1 +

√1 +√

1 + · · ·

φ = 1 + 2 sin 18

φ =138

+∞

∑n=0

(−1)n+1(2n + 1)!(n + 2)!n!42n+3

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78 Sumario de topicos matematicos – eπ

8. En la tumba de Diofanto de Alejandrıa, aparecio el siguiente parrafo:

“Su juventud ocupo la sexta parte, despues durante la doceava parte su carase cubrio de barba. Paso una setima parte de su vida antes de casarse y cincoanos despues tuvo un hijo que una vez alcanzada la mitad de la edad de supadre murio. Su padre le sobrevivio aun cuatro anos”.

En el parrafo anterior se encuentra la informacion sobre la edad de Diofanto.Descubrala.

9. Los primeros en utilizar un sımbolo que representara el cero fueron los babilo-nios. Las tabletas de arcilla que se encontraron, que se remontan al ano 200A.C., dan cuenta del empleo de este sımbolo. En Europa, el cero fue introduci-do recien en los siglos IX o X de nuestra era.

10. Srinivasa Ramanujan (1897-1920) fue uno de los mas grandes genios de lasmatematicas, el conjeturo que el numero:

θ = eπ√

163

era un numero entero. En 1974 con la ayuda de las modernas computadoras dela epoca se concluyo que el numero anterior era el entero:

N = 262537412640768744

Hoy dıa, con la ayuda de casi cualquier computadora se prueba que:

0 < N − θ < 10−29

11. Multiplicacion Fulmınea: Es interesante el proceso de multiplicacion de losnumeros de varias cifras utilizando por eminentes matematicos como: Fourier(1831), Cauchy (1840) y otros.

Supongase que se desea multiplicar 5817× 423 colocamos ası:

5 8 1 7

3 2 4 . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

3 2 4 . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

3 2 4 . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

3 2 4 . . . . . . . . . . . . . . . 5 4

3 2 4 . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

3 2 4 . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

5817× 423 = 2460591

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Curiosidades Matematicas 79

12. Cuando se le pregunto a Pitagoras que era para el un amigo el maestro respon-dio: “un segundo yo” y puso como ejemplo a los numeros 284 y 220.

Escribamos en dos columnas los divisores propios de cada uno de ellos.

Divisores de 284 Divisores de 2201 14 2

71 4142 5

101120224455

110

Si se suman los divisores de 284 obtenemos 220 y si sumamos los divisores de220 obtenemos 284.

Los numeros amigos eran conocidos por los indios muchos tiempo antes dePitagoras.

Los numeros amigos han sido parte de la historia del hombre mas de 3000 anosy sus grandes misterios aun no se han descubierto.

Pasaron muchos siglos desde la antiguedad hasta que Fermat descubriera otropar de numeros amigos en 1636: 17296 y 18416. Descartes descubrio otro parde numeros amigos 9363584 y 9437056.

En en siglo XVIII Euler escribio una lista con 63 pares de tales numeros.

Nicolo Paganini en 1967 asombro al mundo matematico al descubrir que losnumeros amigos 1184 y 1210 no habıan sido citados hasta ahora.

Todos los numeros amigos encontrados hasta ahora tienen la misma paridad,se desconocen si existen con distinta paridad, lo mismo que no tienen formulaspara generarlos, tampoco se sabe si su numero es finito o infinito.

Algunos numeros amigos son los pares de numeros siguientes:

220 y 2841184 y 12102620 y 29245020 y 55646232 y 636810744 y 1085612285 y 1459517296 y 1841663020 y 76084

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80 Sumario de topicos matematicos – eπ

13. Tablas misteriosas: Con las siguientes 5 tablas de numeros, podemos adivinarel numero que habra pensado una persona, desde 1 al 31, sabiendo unicamenteen cuales de las tablas se encuentra.

1 3 5 79 11 13 15

17 19 21 2325 27 29 31

2 3 6 710 11 14 1518 19 22 2326 27 30 31

4 5 6 712 13 14 1520 21 22 2328 29 30 31

8 9 10 1112 13 14 1524 25 26 2728 28 30 31

16 17 18 1920 21 22 2324 25 26 2728 29 30 31

El numero pensado es la suma de los primeros numeros de las tablas donde seencuentra. Ası, por ejemplo, si nos dice que el numero pensado se encuentraen las tablas 1, 3 y 4, sera: 1 + 4 + 8 = 13; si esta en la 3 y 5, sera: 4 + 16 = 20.

14. Multiplicacion Rusa: Algunos pueblos de Rusia multiplican si emplear tablascomunmente usadas. Para ello se escriben los dos factores uno al otro lado y seforma con ellos dos columnas: debajo del factor que esta a la izquierda se tomala mitad en numeros enteros y de esta mitad se toma la mitad y ası sucesiva-mente hasta llegar a 1; debajo del factor que esta a la derecha, y paralelamente,se escribe el duplo, y ası sucesivamente hasta emparejar con el ultimo numerode la columna izquierda. Por ejemplo:

22 × 611 12 �5 24 �2 481 96 �

132

Hecho esto, considero todos los numeros de la columna de la derecha colocadosenfrente de los numeros impares de la otra columna y se suman dichos losnumeros, es decir, se suman los numeros senalados; esta suma sera el resultadode la multiplicacion: 22× 6 = 12 + 24 + 96 = 132

15. El problema de los cuatro cuatros: El objetivo del juego es obtener todos losnumeros naturales del 0 al 100 usando unicamente cuatro cuatros. Las opera-ciones permitidas son las siguientes: suma, resta, multiplicacion, division, con-catenacion (usar el 44 es valido y en ese caso habrıamos utilizado ya dos cua-tros), el punto decimal (es lıcito escribir 0,4 si queremos poner cero coma cua-tro), potencias (44 esta permitido gastando ası dos cuatros), raıces cuadradas (si

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Curiosidades Matematicas 81

queremos poner raız cuadrada de 4 escribiremos√

4 para entendernos), facto-riales y numeros periodicos (para entendernos pondremos 0, 4 . . . si queremosponer cero coma cuatro periodico). Tambien podemos usar parentesis comocreamos conveniente. Solo para ilustrar, se presentan los numeros del 0 al 30.

0 = 4− 4 + 4− 4

1 =44+ 4− 4

2 =44+

44

3 =(4 · 4)− 4

44 = 4 · (4− 4) + 4

5 =√

4 +√

4 +44

6 =√

4 · (4− 44)

7 = 4 + 4− 44

8 = 4 ·√

4 + 4− 4

9 = (4− 44)√

4

10 = 4 ·√

4 +4√4

11 =44

(√

4 ·√

4)

12 = (√

4+√

4+√

4) ·√

4

13 =444

+√

4

14 = 4 · 4− 4√4

15 =444

+ 4

16 =√

4 ·√

4 ·√

4 ·√

4

17 = 4√

4 +44= 4 · 4 + 4

4

18 = 44√4 +√

4 =44√

4− 4

19 = 4!− 4− 44

20 = (44+ 4) · 4

21 = 4!− 44−√

4

22 =44

(√

4 ·√

4)

23 = 4!−√

4 ·√

44

24 = 4! + 4−√

4−√

4

25 = 4! +

√4 ·√

44

26 = 4! +√

4 ·√

4√4

27 = 4! +44+√

4

28 = 4! + 4 · 44

29 = 4! + 4 +44

30 =(4 + 4

4)!4

16. El numero 1888081808881 es un numero muy especial.Viendo cada uno de los 1 como una lınea vertical | cumple lo siguiente:

Es un numero primo.

Es capicua, por lo que si lo leemos de derecha a izquierda tambien es unnumero primo (el mismo).

Si lo giramos 180◦ tambien es un numero primo (el mismo).

Si lo vemos reflejado en un espejo tambien es un numero primo (el mis-mo).

Realmente curiosa la simetrıa de este numero.

17. El numero 40337956 tiene la siguiente propiedad:

40 − 33 + 79 − 56 = 40337956

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82 Sumario de topicos matematicos – eπ

18. 12 + 22 + 32 + . . . + 242 = 702.Y ademas es la unica secuencia (o sucesion) de este tipo (sumas de cuadradosde los primeros n numeros enteros positivos) cuyo resultado es otro cuadrado.Lo demostro G. N. Watson en 1918.

19. El numero 666 tiene curiosas propiedades.Aparte del significado negativo que todos conocemos (es el numero de la bes-tia), cumple las siguientes propiedades:

Podemos obtenerlo a partir de operaciones elementales con las potenciassextas de los tres primeros enteros positivos:

666 = 16 − 26 + 36

Podemos obtenerlo sumando sus dıgitos y los cubos de los mismos:

666 = 6 + 6 + 6 + 63 + 63 + 63

Por cierto, al parecer hay pocos numeros que cumplen esta propiedad.

Podemos obtenerlo sumando los cuadrados de los primeros siete numerosprimos:

666 = 22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172

La funcion φ(n), cuyo valor es la cantidad de enteros positivos menores oiguales que n que son primos relativos con n, y el numero 666 cumplen losiguiente:

φ(666) = 6 · 6 · 6

20. Como promedio, el numero de representaciones de un numero entero positivos como suma de dos cuadrados de numeros enteros (es decir, s = n2 + m2 conn, m ∈ Z) es π.

¿Que es eso del promedio?Muy sencillo:

a) 0 : Representaciones: 1 : 0 = 02 + 02

b) 1 : Representaciones: 4 : 1 = 12 + 02, 1 = (−1)2 + 02, 1 = 02 + 12, 1 =02 + (−1)2

c) 2 : Representaciones: 4 : 2 = 12 + 12, 2 = (−1)2 + 12, 2 = 12 + (−1)2, 2 =(−1)2 + (−1)2

d) 3 : Representaciones: 0

y ası, respectivamente, el 4 tiene 4; el 5 tiene 8; el 6 tiene 0, el 7 tiene 0, el 8 tiene4, el 9 tiene 4, el 10 tiene 8.

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Curiosidades Matematicas 83

El promedio para cada n se hace ası: se suman las representaciones de ca-da numero entre 0 y n y se divide el resultado entre n. Por ejemplo, para losnumeros del 0 al 10 harıamos el siguiente calculo:

1 + 4 + 4 + 0 + 4 + 8 + 0 + 0 + 4 + 4 + 810

= 3, 7

Bueno, pues al parecer si hacemos crecer n ese promedio tiende a π.

21. El numero 1033 (mil quintillones) es la potencia de 10 mas grande conocida quepuede representarse como producto de dos numeros que no contienen ninguncero. En efecto:

1000000000000000000000000000000000 = 233 · 533

= 8589934592 · 116415321826934814453125

Es claro que cualquier numero de este tipo debe ser de la forma 2x · 5x, ya quesi no fuera ası alguno de los factores contendrıa al menos un 2 y un 5 y portanto serıa multiplo de 10, conteniendo entonces al menos un cero.Parece ser que lo complicado es encontrar una potencia de 5 que no contengaceros. Se sabe que 558 no contiene ningun cero, pero al calcular 258 vemos quecontiene al menos un cero. Por tanto no nos vale.

22. El numero equivalente a la palabra GOOGLE si la giramos π radianes (180◦),es decir, el 379009, es un numero primo

23. Se puede construir un polıgono regular de 65537 lados con regla y compas perono se puede construir un polıgono regular de 7 lados de esa forma.Esto es debido a la relacion entre la construccion de polıgonos regulares conregla y compas y los numeros de Fermat 1.

24. El numero 2646798 es el unico numero natural de 7 cifras que cumple la si-guiente propiedad:

21 + 62 + 43 + 64 + 75 + 96 + 87 = 2646798

1Los numeros de Fermat son numeros de la forma Fn = 22n + 1, desde n = 0 en adelante.Los primeros son:

F0 = 220 + 1 = 3

F1 = 221 + 1 = 5

F2 = 222 + 1 = 17

F3 = 223 + 1 = 257

F4 = 224 + 1 = 65537

Es sencillo comprobar que todos estos numeros son primos.

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84 Sumario de topicos matematicos – eπ

25. Las siguientes curiosas igualdades son ciertas:

13 + 33 + 63 = 244

23 + 43 + 43 = 136

Ademas:84 + 24 + 04 + 84 = 8208

26. El numero 1741725 tiene una curiosısima propiedad:

17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57 = 1741725

Al parecer es el unico numero con el que se sabe que ocurre.

27. El numero 26 esta situado entre un cuadrado y un cubo:

52 < 26 < 33

Esto es, el numero natural que hay justo antes es un cuadrado y el que hay justodespues es un cubo.Este hecho no despertarıa la curiosidad de nadie si no fuera porque el 26 es elunico numero natural que tiene esa propiedad. La demostracion de este hechose debe a Pierre de Fermat.

28. Augustin Louis Cauchy (matematico frances, 1789-1857) recibio una vez unartıculo que pretendıa demostrar que

x3 + y3 + z3 = t3

no tenıa soluciones enteras (algo del estilo al ultimo teorema de Fermat).En principio esto no tendrıa nada de extrano, se envıa a un gran matematicoun artıculo para que lo revise. Lo curioso fue la respuesta: Cauchy devolvio elmanuscrito con una simple nota en la que se podıa leer: 33 + 43 + 53 = 63

29. 1 = 13 (el primer impar vale 1 al cubo)3 + 5 = 23 (la suma de los dos siguientes impares vale 2 al cubo)7 + 9 + 11 = 33 (la suma de los tres siguientes impares vale 3 al cubo)13+ 15+ 17+ 19 = 43 (la suma de los cuatro siguientes impares vale 4 al cubo)y ası sucesivamente.

30. Un motivo de la extincion de los numeros romanos, en favor de los numerosarabes o indios, fue el problema de realizar operaciones aritmeticas como elproducto o la division.

31. El numero 153 tiene propiedades muy curiosas. Veamoslo:

Es el numero mas pequeno que puede ser expresado como la suma de loscubos de sus dıgitos:

153 = 13 + 53 + 33

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Curiosidades Matematicas 85

Es igual a la suma de los factoriales de los numeros del 1 al 5:

153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5!

La suma de sus dıgitos es un cuadrado perfecto:

1 + 5 + 3 = 9 = 32

La suma de sus divisores (excluyendo al propio numero) tambien es uncuadrado perfecto:

1 + 3 + 9 + 17 + 51 = 81 = 92

Ademas, como se puede ver, es el cuadrado de la suma de sus dıgitos.

Puede ser expresado como la suma de todos los numeros enteros del 1 al17:

153 = 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ 15 + 16 + 17

Esto significa que 153 es el decimoseptimo numero triangular. Como suinverso, 351, tambien es un numero triangular (suma del 1 hasta el 26)podemos decir que 153 es un numero triangular invertible.

Es un numero de Harshad (o numero de Niven), es decir, es divisible porla suma de sus dıgitos:

1531 + 5 + 3

= 17

Como 351 tambien es un numero de Harshad podemos decir que 153 esun numero de Harshad invertible .Los numeros de Harshad fueron definidos por el matematico indio D. R.Kaprekar.

Puede ser expresado como el producto de dos numeros formados por susdıgitos:

153 = 3 · 51

La sumas de las potencias 0, 1 y 2 de sus dıgitos es igual al producto deellos:

10 + 51 + 32 = 1 · 5 · 3

Realmente curioso el numero, ¿verdad?.

32. 0, 999 . . . = 1. Veamoslo:x = 0, 999 . . . (1)

10x = 9, 999 . . . (2)

Restamos (2) - (1):9x = 9

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86 Sumario de topicos matematicos – eπ

Despejando x:x = 1 (3)

Por (1) y (3):0, 999 . . . = 1

Curioso, ¿verdad?

33. 199 es primo. Y que si lo giramos 180◦ obtenemos el 661, que tambien es primo.Y que si permutamos sus cifras obtenemos los numeros 919 y 991 que tambienresultan ser primos.

34. El numero primo mas grande que se conoce en la actualidad es el 230402457 − 1y tiene 9152052 cifras (sı, sı, mas de 9 millones de cifras).

35. El menor numero primo palindromico (se lee igual de izquierda a derecha quede derecha a izquierda) y pandigital (contiene todos los numeros del 1 al 9) es:

1023456987896543201

36. Dirichlet odiaba tanto escribir cartas que para avisar a sus suegros de que sumujer y el habıan tenido un hijo les mando un telegrama que decıa: 1 + 1 = 3.

5.4. Reflexiones

La utilizacion de juegos matematicos nos proporcionan una manera efectiva deque la clase de Matematica sea mas amena. La utilizacion de dichos juegos nos pro-porcionan una manera en la cual se puede aprender de manera divertida los concep-tos matematicos tratar.

Ademas, los juegos matematicos permiten desarrollar algunas destrezas cogniti-vas, por ejemplo, ubicacion, asociacion, delimitacion, entre otros.

Ahora bien, hay que ser cuidadosos con otras implicaciones directas de la apli-cacion y utilizacion de juegos matematicos, ası por ejemplo, algunas veces estos es-pacios son tomados como sustitucion de los contenidos tematicos, es decir, se prestapara sustituir conceptos propios matematicos por una vision entretenida y aisladadel concepto a estudiar.

En este sentido, hay que tener un equilibrio entre la parte teorica y practica, entrela parte concreta y la abstracta de la tematica por abordar.

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Bibliografıa

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