Il trasformatore

FUNZIONAMENTO TRANSITORIO DEL TRASFORMATORE

TRANSITORIO DI INSERZIONE A VUOTO

t = 0

1

Z1 Z2

Z0

CIRCUITO EQUIVALENTE DI UNA FASE

Il trasformatore

FUNZIONAMENTO TRANSITORIO DEL TRASFORMATORE A VUOTO

Per lo studio del transitorio si introduce la NON LINEARITÀ nel legame flussi-correnti.

Le equazioni di funzionamento sono:

ove Ψ = Ψ(i) è una funzione NON LINEARE.

La risoluzione di questo sistema di equazioni differenziali non lineari può essere condotta su calcolatore numerico o su calcolatore analogico.

Una soluzione approssimata e quindi una interpretazione approssimata del problema è ottenibile nel seguente modo:

• si introduce l’ipotesi di LINEARITÀ;

• si trascura l’induttanza di dispersione primaria: ;

• la corrente secondaria è nulla.

[ ] [ ][ ] dv = R i +dtΨ

1 1L = L m 1L+

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Il trasformatore

FUNZIONAMENTO TRANSITORIO DEL TRASFORMATORE A VUOTO

Il sistema di equazioni si riduce alla sola equazione primaria:

11 1 1 m 1

d iv =R i +Ldt 1 Mv =V s i n tω

( ) t T1 R E G IM E O M O G E N E A Mi = i i I sin t A e −+ = ω − ϕ +

I valori delle correnti del transitorio sono sensibilmente influenzati dal valore della tensione v1 all’istante di chiusura dell’interruttore:

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Il trasformatore

FUNZIONAMENTO TRANSITORIO DEL TRASFORMATORE A VUOTO

Istante iniziale: ωt = 0 i1 = 0

( )MA I sin= − −ϕ

( ) t T1 M Mi I sin t I sin e −= ω − ϕ + ϕ

Istante iniziale: ωt = π/2 i1 = 0

MA I sin2π = − − ϕ

( ) t T1 M Mi I sin t I sin e

2−π = ω − ϕ − − ϕ

Si noti che, per ϕ = π/2, cioè R1 ≈ 0, la corrente di regime si stabilisce istantaneamente partendo da valore nullo.

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Il trasformatore

FUNZIONAMENTO TRANSITORIO DEL TRASFORMATORE A VUOTO

In presenza di transitorio, la corrente i1 istantanea, dopo circa mezzo periodo, raggiunge un valore doppio di quello di regime.

Caso di ϕ = π/2

(ωt)iniziale = 0

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Il trasformatoreFUNZIONAMENTO TRANSITORIO DEL TRASFORMATORE A VUOTO

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INTERPRETAZIONE DEL FENOMENO INTRODUCENDO LA SATURAZIONE

Se si tiene conto del fenomeno di saturazione dei materiali magnetici, all’aumentare della corrente diminuisce il valore dell’induttanza magnetizzanteLm1 e si innesca un fenomeno caratterizzato da un forte aumento di corrente e da un accorciamento del transitorio (T = Lm1/R1).

L’aumento della corrente è ancora più sensibile se si tiene conto dei fenomeni di isteresi e in particolare della presenza di un flusso residuo nel nucleo all’istante iniziale. In questo caso, l’induttanza magnetizzante Lm1 raggiunge valori molto bassi e la corrente di inserzione può raggiungere valori pari a 10-20 volte la corrente nominale del trasformatore (e quindi valori pari anche a 1000 volte la corrente a vuoto con tensione nominale I0n).

Si noti che il flusso RESIDUO esiste in modo rilevante quando l’apertura del collegamento tra trasformatore e linea (antecedente alla successiva inserzione) avviene con flusso prossimo al valore di saturazione.

Il trasformatoreFUNZIONAMENTO TRANSITORIO DEL TRASFORMATORE A VUOTO

N.B.: Il fenomeno del transitorio di inserzione si smorza per effetto dei fenomeni dissipativi ed evolve verso il funzionamento di regime a vuoto che è stato già oggetto di studio.

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Il trasformatoreFUNZIONAMENTO TRANSITORIO DEL TRASFORMATORE

TRANSITORIO DI CORTO CIRCUITO

t = 0

v

Zcc

i

CIRCUITO EQUIVALENTE IN CORTO CIRCUITO A REGIME

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Il trasformatoreFUNZIONAMENTO TRANSITORIO DEL TRASFORMATORE in corto circuito

A partire da una qualsiasi condizione di funzionamento (a vuoto o a carico), si suppone di chiudere il trasformatore su un carico a impedenza nulla.

Il transitorio di corrente è di tipo R-L e il valore di regime è imposto dal valore di Zcc e dalla tensione applicata.

I fenomeni che interessano sono principalmente due:

• la CORRENTE DI CORTO CIRCUITO PERMANENTE ha importanza ai fini del riscaldamento. Se ne considera perciò il valore efficace che, a tensione nominale, è espresso da:

• la CORRENTE DI CORTO CIRCUITO TRANSITORIA (ed in particolare il suo valore nel primo mezzo periodo) ha importanza per gli sforzi meccanici.

ncc

cc

VI =Z

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Il trasformatoreFUNZIONAMENTO TRANSITORIO DEL TRASFORMATORE in corto circuito

Nella peggiore condizione possibile (inizio del corto circuito quando la tensione è nulla) e prescindendo dallo smorzamento della componente transitoria unidirezionale, si può raggiungere un valore che è circa il doppio della componente di regime dopo un semiperiodo (2√2Icc).

Tenendo conto dello smorzamento, si può arrivare a valori pari a 2,5 Icc.

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Il trasformatoreFUNZIONAMENTO TRANSITORIO DEL TRASFORMATORE in corto circuito

Gli SFORZI ELETTRODINAMICI sono proporzionali al quadrato della corrente e, poiché la corrente negli avvolgimenti sono CONTROVERSE, sono sforzi di repulsione.

Se gli avvolgimenti sono centrati, lo sforzo è radiale.

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Il trasformatoreFUNZIONAMENTO TRANSITORIO DEL TRASFORMATORE in corto circuito

+ +. .

Esempio di calcolo dello sforzo

Lo sforzo può essere espresso come derivata, rispetto alla distanza radiale dei due avvolgimenti (y), dell’energia accumulata nel campo magnetico di dispersione:

(ove si può ritenere: L = k y )2 2dE d 1 1 dLF Li i

dy dy 2 2 dy = = =

( )2 2M A X ccF 2, 5 I=

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Per ⇒M A X cci 2, 5 I=

Il trasformatoreFUNZIONAMENTO TRANSITORIO DEL TRASFORMATORE in corto circuito

Si noti che si può dimostrare che, per un trasformatore, vale:

[ ] [ ]nF N A V A=

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