Distribusi Peluang

Kuliah 6

Distribusi PeluangDistribusi Peluang

1. Diskrit1. Bernoulli 2. Binomial3 Poisson Distribution3. Poisson Distribution

2. Kontinu1. Normal (Gaussian)2. t 3 F3. F 4. Chi Kuadrat

1.1. Distribusi Bernoulli1.1. Distribusi BernoulliDistribusi Bernoulli berdasarkan oleh suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Percobaan Bernoulli harusmemenuhi syarat:

Hasil percobaan yang mungkin hanya salahsatu dari “Berhasil” atau “Gagal”Jika probabilitas berhasil p maka Jika probabilitas berhasil p, maka probabilitas gagal q = 1 – p Lahir 1700

Statistik Deskriptif Distribusi Bernoullip

μ = =( )x E X pRata-rata

σ = − =2 (1 )x p p pqRagam

Contoh:

Sekelompok ayam diberi 2 jenis pakan yang berbeda. Pakan A dalam bentukpelet dan pakan B dalam bentuk Mash Ayam memakan 30% Mashpelet dan pakan B dalam bentuk Mash. Ayam memakan 30% Mash.

Jika p = pakan mash dan q = pakan pelet, makan Mean untuk pakan mesh = 0 30 d P l t = 0 700,30 dan Pelet = 0,70

Ragam = 0,7 x 0,3 = 0,21

1.2. Distribusi Binomial1.2. Distribusi Binomial

Di t ib i bi i l b l d i b bi i l itDistribusi binomial berasal dari percobaan binomial, yaitusuatu percobaan Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dantidak saling terikat:

percobaan tersebut dilakukan berulang ulang sebanyak n percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kaliHasil dari setiap percobaan adalah berhasil dan gagal

b b l d l h li b bpercobaan yang berulang adalah saling bebas

Peluang0

qp + fsqpf

nxp ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

!!!)(

3223

22

332

qpqqppqpqqp+++

++fs ⎟⎠

⎜⎝ !!

432234 464 qpqqpqpp ++++Contoh:Berapa peluang mendapatkan 3 anak laki-laki dari 4 kelahiran ?p p g p

Peluang anak laki-laki (p) dan perempuan (q) = 0,5

25,0)5,0()5,0(4 13 ==p 25,0)5,0()5,0(!1!3

!4)( 13 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xxp

!1!3 ⎠⎝ x

Statistik Deskriftif Distribusi Binomial

Rata-rata

Ragam

pn.=μqpn2 =σ

npq=σ

Ragam

Standard Deviasi

qpn ..=σ

Contoh:Peluang kelahiran jantan (p) pada sapi = betina (q)= 0,50. Dari 100 ekor kelahiran:

5050,0100: ===− xnxprataRata μ

2550501002R 255,05,01002 ==== xxnxpxqRagam σ

525 ===σStDev 525σStDev

1.3. Distribusi Poisson1.3. Distribusi PoissonDikembangkan oleh Simeon Denis Poisson (1781-1840). M k di ib i bi i l b jikMerupakan distribusi binomial yang terbatas, jikajumlah kejadian banyak tapi p sangat sedikit

np== λμ2

Rata-rata

np== λσ 2

np== λσ

Ragam

Standard Deviasi p

ContohRata-rata truk ayam lewat perlintasan Cileunyi adalah 4 buah truk per jam. Berapa peluang munculnya 6 truk per jamBerapa peluang munculnya 6 truk per jam

Jawab:

x = 6

42 === λσμ

104204)6(46

===−− eeP

x λλ 1042,0!6!

)6( ===x

P

2.1. Distribusi Normal (Gaussian)

• Dikembangkan oleh Gauss tahun 1777 – 1855 di Jerman• Distribusi yang paling banyak digunakan• Analisis statistika parametrik hampir selalu diasumsikan• Analisis statistika parametrik hampir selalu diasumsikan

bahwa sifat yang dianalisis menyebar normal• Berbentuk seperti lonceng dengan rata-rata 0

2)(11 μ−x

Karl Friedrich Gauss 1777-1855

2)(2

21)( σ

μ

πσ

−⋅= exf

Rumus sebaran normal

211 ⎟⎞

⎜⎛ −μx

2

21)(

⎟⎠

⎜⎝

−= σ

μ

πexf

3 14159Dimana: π = 3.14159e = 2.71828

z(x− μ )

Score z mengukur jumlah standard deviasi dari rata-rata μ.

z =σ

Contoh 1:Contoh 1:

Tentukan wilayah antara:Z 0 d 1 2

aa. Z = 0 dan z = 1,2b. Z = -0,68 dan z = 0c. Z = 0,81 dan z = 1,94

bc

Contoh 2: Tentukan Luas Wilayah

a. z = 0 ke kanan sampai z = 2,15

Luas keseluruhan = 1L ½ k 0 50Luas ½ kurva = 0,50

2,15

Luas: 0 4842Luas: 0,4842

Contoh 3: Tentukan Luas Wilayah

b. Z = 0 ke kiri sampai Z = -1,86

Luas keseluruhan = 1Luas ½ kurva = 0,50

-1,86

Luas: 0,4686

Contoh 4: Tentukan Luas Wilayah

c. z = -1,5 sampai dan z = 1,82Luas keseluruhan = 1Luas ½ kurva = 0,50

-1,5 1,82

Luas: 0,4332 + 0,4656 = 0,8988

Contoh 5: Tentukan Luas Wilayah

d. z = 1,4 sampai z = 2,65

Luas keseluruhan = 1Luas keseluruhan = 1Luas ½ kurva = 0,50

1,4

2 652,65

Luas: 0,4960-0,4192=0.0768

ContohContoh

Bobot badan rata-rata 100 ekor sapi adalah 151 kg dan standard deviasi 15 kg. Diasumsikan bobot badan menyebar normal.

a. Berapa % sapi yang mempunyai bobot lebih dari 185 kga. Berapa % sapi yang mempunyai bobot lebih dari 185 kgb. Berapa % sapi yang mempunyai bobot lebih kecil dari 120 kgc. Berapa % sapi yang mempunyai berat 120 sampai 185 kgd. Berapa % sapi yang beratnya tepat 155 kg

a. Berapa % sapi yang mempunyai bobot lebih dari 185 kg

Aplikasi distribusi diskrit ke kontinu dengan faktor koreksu ± 0,50Sapi lebih berat dari 185 kg ------------- 185 kg tidak masuk

ttd i302)1515,185()(>

−−x μ

Notasi matematik x > 185 kg

rata-ratadari30,215

),( ,)(=>=== zz

σμ

Luas wilayah sapi di atas 185 kg

2,30

Luas wilayah sapi di atas 185 kg

Luas wilayah = 0,50 – 0,4893 = 0,0107Luas wilayah 0,50 0,4893 0,0107% Sapi = 0,0107 x 100 = 1,07%

b. Berapa % sapi yang mempunyai bobot lebih kecil dari 120 kg

Aplikasi distribusi diskrit ke kontinu ± 0,50Sapi lebih kecil dari 120 kg------------- 120 kg tidak masuk

rata-ratadari10,2)1515,119( ,)(=>−=

−=

−= zxz μ

Notasi matematik x < 120 kg

,15

,σ

Luas wilayah sapi di bawah 120 kg

-2,10

bawah 120 kgLuas wilayah = 0,50 – 0,4821= 0.0179

% Sapi = 0,0179 x 100 = 1,79%

C. Berapa % sapi yang mempunyai berat 120 sampai 185 kg

Aplikasi distribusi diskrit ke kontinu ± 0,50120 kg dan 155 kg masuk

120 ≤ x ≤ 185

102)1515,119(=

−=z 302)1515,185(

=−

=z10,215

−==z 30,215

==z

2,30Luas wilayah = 0,4893+0,4821 = 0.9714

% Sapi = 0.9714 0.9714 x 100 = 97,14%-2,10

d. Berapa % sapi yang beratnya tepat 155 kg

Aplikasi distribusi diskrit ke kontinu ± 0,50

155 ± 0,5

300)1515,155(=

−=z 23,0)1515,154(

=−

=z

0,30 Luas wilayah = z 0,30 – z 0,23

30,015

==z

0,23

,15

Luas wilayah z 0,30 z 0,230,23

Luas wilayah = 0,1179 - 0,0910 = 0.0269

% Sapi = 0,0269x 100 = 2,69%

2.2. Distribusi tDitemukan oleh William Sealey Gosset (1876-1937)( )Bentuk mirip dengan distribusi NormalDigunakan jika sample ≤ 30, jika lebih besar dari 30 mendekati distribusi normal

k( ) n

nt

ktF2

12

11)(

−+=

k = konstanta1 d b bn-1 = derajat bebas

2.3. Distribusi F2.3. Distribusi F

Dipakai untuk uji banding

Sir Ronald Aylmer Fisher

2.4. Distribusi Chi Quadrat

Dipakai untuk uji kecocokan

⎧