7. A teoria quântica do átomo de Hidrogênio

Sumário

● A equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio

● Autovalores de energia● Números quânticos● Momento de dipolo magnético● Autofunções de energia● Orbitais atômicos

A equação de Schrödinger em uma dimensão

● ψ(x): autofunção de energia

● V(x): energia potencial● E: energia total● V=0: partícula livre:

energia tem qualquer valor● V(x) + condições de

contorno: energia é quantizada (autovalores de energia são discretos)

A equação de Schrödinger em três dimensões

● autofunção de energia ψ(r) = ψ(x,y,z)

● Laplaciano em coordenadas cartesianas (x,y,z)

● energia potencial V(x,y,z)

● V = 0: partícula livre

Energia potencial eletrostática

● entre o elétron (carga = -e) e o núcleo (carga = +e) separados por uma distância radial r

● potencial criado pelo núcleo Φ(r) = K e / r

● K = 9 x 109 N.m2/C2

● energia potencial do elétron: V(r) = (-e) Φ(r)

● V(r) = - K e2 / r

Coordenadas esféricas

● 0 < r < ∞: coordenada radial

● 0 < θ < π: ângulo polar● 0 < φ < 2π: ângulo

azimutal● x = r sen θ cos φ● y = r sen θ sen φ● z = r cos θ

Equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio

Laplaciano em coordenadas esféricas

Autovalores de energia

● níveis quantizados de energia

● En = -me4/8ε02h2n2

● n: número quântico total

● n=1: E1 = - 13,6 eV: estado fundamental do átomo

● En = E1/n2 (n=2,3,4,...)

● n=∞: E = 0: elétron deixa de estar ligado ao núcleo: ionização do átomo

Números quânticos● Parte azimutal das autofunções: eim

lφ

● ml: número quântico magnético

● unicidade (quando φ aumenta de 2π radianos): ml deve ser um inteiro positivo ou negativo

● A equação de Schrödinger só tem solução se os valores de ml forem menores ou iguais a um inteiro l (número quântico orbital) ml=-l,-l+1,...,-1,0,+1,...l-1,+l, e se l = 0, 1, 2, ...(n-1)

● n=1,2,3.... (número quântico total)● l = 0, 1, 2, ... (n-1) (número quântico orbital)

● ml = -l,-l+1,...,-1,0,+1,...l-1,+l (número quântico magnético)

Momento angular do elétron

● L = r x p = r x m v● Modelo de Bohr: as órbitas do

elétron são circulares: L = r p● órbitas correspondem a ondas de

matéria que satisfazem

2πr = nλ (n = 1, 2, 3, ...)● De Broglie: 2πr = nh/p● L = p r = nh/2π● o momentum angular é

quantizado (postulado)

Existe uma trajetória do elétron?

● Devido ao princípio de incerteza, não podemos precisar a trajetória do elétron

● se isso fosse possível, a incerteza na posição seria nula

● pelo princípio de incerteza, a incerteza no momento seria infinita!

Momento angular na mecânica quântica

● Da equação de Schrödinger o momento angular é quantizado

● L = √l(l+1) (h/2π)● l = 0, 1, 2, ...(n-1): número

quântico orbital● l=0: estado s● l=1: estado p● l=2: estado d● l=3: estado f

SUBNÍVEIS DEENERGIA

Problema proposto

● Se um sistema tem um momento angular caracterizado pelo número quântico ℓ = 2, quais são os valores possíveis de Lz, qual é o módulo de L e qual é o menor ângulo possível entre L e o eixo z.

Dipolo magnético

● imã: dois polos (Norte e Sul)

● Norte: de onde parecem sair as linhas de força

● Sul: de onde elas parecem entrar

● as linhas de força são fechadas, na verdade!

● não existem monopolos magnéticos

Espira de corrente

● equivale a um dipolo magnético

● face Norte da espira: linhas que saem

● face Sul da espira: linhas que entram

Momento de dipolo magnético

● momento de dipolo magnético de uma espira de corrente: vetor

● módulo: μ = I S● I: intensidade de corrente● S: área da espira● direção: perpendicular ao

plano da espira● sentido: regra da mão direita

Dipolo num campo magnético externo

● B: campo magnético externo● binário de forças magnéticas● torque do binário (μ x B)

N = μ B sen θ ● energia potencial (μ • B)

Vm = - μ B cos θ

● quando μ e B são paralelos (θ=0), Vm = - μ B (mínimo)

● um dipolo tende a alinhar-se com um campo externo

Momento magnético do elétron● órbita do elétron é uma micro-

espira de corrente (área: S=πr2)● ν: número de revoluções por

segundo (frequência)● corrente elétrica: I = (-e) ν● momento magnético: μ = -eνπr2

● velocidade: v = (2πr)ν● momento angular: L = mvr =

2πmrν● μ = - (e/2m) L -e/2m: razão giromagnética

Átomo num campo magnético externo● energia potencial:

Vm=-μB cosθ =(e/2m) LB cos θ

● momento angular é quantizado: L = √l(l+1) (h/2π)

● a direção de L também é quantizada em relação a um campo externo. Se B = B ez

Lz = ml (h/2π)

● como ml = -l, -l+1, ..., l-1, l, há 2l+1 possíveis orientações de L em relação ao campo B

Magneton de Bohr

● Da figura, temos

cos θ = ml/√l(l+1)

● Como L = √l(l+1) (h/2π) então Vm= ml (eh/4πm) B

● a quantidade eh/4πm é chamada magneton de Bohr, seu valor é 9,27 x 10-24 J.m2/Wb

● a energia de um átomo num campo magnético depende tanto de n como de ml.

Autofunções de energia● ψ(r,θ,φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ)● densidade de probabilidade ψ2 = R2 Θ2 Φ2

Densidade de probabilidade radial

● dP = P(r) dr = probabilidade de achar o elétron numa camada esférica de raios entre r e r + dr

● volume da camada esférica: dV = 4πr2 dr

● R(r) parte radial da autofunção

● dP=|R(r)|2 dV=|R(r)|2 4πr2 dr

Estado 1s (n=1, l=0, ml=0)

● densidade de probabilidade radial

posição radial mais provável para o elétron: máximo de dP

Problema resolvido

● Num átomo de hidrogênio no estado fundamental, achar a probabilidade de se encontrar o elétron no intervalo ∆r = 0,02 a0, onde a0 é o raio de Bohr, em r = a0

● Problema proposto: idem para r = 2 a0

Estado 2s (n=2, l=0, ml=0)

● dois valores mais prováveis para a posição radial do elétron

● Problema proposto: determinar as duas posições mais prováveis a partir da autofunção

● Orbital: região onde é mais provável encontrar o elétron

● Tipo s: esférico

Estado 2p (n=2,l=1,ml=-1,0,1)

● Uma posição radial mais provável

● Orbitais do tipo p: formato de halteres (dois lóbulos)

● orientação dos orbitais depende do valor de ml

● a origem tem probabilidade zero de encontrar o elétron

Estados com n=3, l=0 (3s) e l=1 (3p)

Estado 3d (n=3, l=2, ml=-2,-1,0,1,2)

● Orbitais do tipo d têm diversos formatos

Orbitais do átomo de hidrogênio

FIM