7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

16
7 SchoolDD.com www.schoolDD.com

Transcript of 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

Page 1: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

����� 7

SchoolDD.com ���������������� ���������������

www.schoolDD.com

Page 2: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 1

F vcm F

F

����� 7

���� �������������

- ������ ��,��-��./�0.�1����2�3��45�467���1��1���.�8���9��:��;�<��.�< �467��.��0�:��45��� ���� ����.���0� 4<. <:����� ��/0�.�������1<2��<����63�1�����������������.��<�0�7 <:�50< ��=�6�� 7.1 ��������� � ��������� ���!����� �������������

1. ���"#!$%����� & ���� ' �.��7�� .�.�����������051���.�� �./�0�467���</�0������=����<. ��=���,.�? ����60�; .��,�64-�@���45�2��5����.�� .��������=�������(rad) 2. ����)�%����� & ����� ' �.��7�� �����294��,�.�.������������������������<� ��=���,.�?����60�;.��,������4��45�,������294��,�.�. .��������=�������/�,���� (rad/s) 3. ������%����� & ���� ' �.��7�� ���.��G���,�.�.�����<��������������������<� ��=���,.�?����60�; .��,������4��45�,����.��G���,�.�.�����<������ .��������=�������/�,���� 2 (rad/s2)

cm.

ω

ω

ω

+ cm.

s r θ

θ = ��

���� = ���� �

�./�0 θ = � �� = 2� 1<2 t = T

92�� ω = � �

���� = ��������

��� ω��� ��� θ��

ω

θ

��������

�����

cm.

Page 3: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 2

u

ω

������,������294��,�.�. �����./0����3��051���.�� �,-��4-�M�� (��- �<�� ��� ��0� ) 1���,��0�����.�� �,��,-��4�1.�./0�����-��6�.1�� 92��=��,��0������294��,�.�.

- ������3���?�./�0�,�@ �2��� 0�9���046����G���,�.�. N ω O 1�����.��G�.�.�� ω = ��

������.������,�.�.�G�������������4� α = ����

¬ �./�0�467��.�� ��G���-�, ���<� ��/0����� ��� α 92��=�0������ 7.2 ����,!�-!�./��� ����)�%��, � (v), ����)�%����� (ω), ������%��, �(at) ��"������%����� (α)

1. ���.��G���,��M�� (v) �45���.��G���,�.�. (ω)

2. ���.������,��M�� (at) �45���.������,�.�. (α )

�./�0 u = ���.��G���,��M��6�� .��,�6�.1���M��M4.84M v = ���.��G���,��M���<�� .��,�6�.1���M��M4.84M ω0 = ���.��G���,�.�.6�� .��,�64-�@���45�2��5����.�� ω = ���.��G���,�.�.�<�� .��,�64-�@���45�2��5����.�� t = ��<��������������</�0���� 9��9���,�.6�� ���4�9��<��

9�� α = ���� = � � ��

= �/� – �/��

= � � – �� � 1

r

= at/r ! at = α r at = ���.������,��M�� .��,�6�.1���M��M4.84M���<.�0�����.��

v

� ����������

ωr

ω

v = ω r 9�� v = � �� 1<2 ω = �

92�� v = ω r

v

ω0

θat = α r r

Page 4: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 3

+ v, at

α ω

t

�.����6� ����<,-����.��7<�0��467��:����<. ����<�0�7 ���.��G�1<2���.������,��M������M��M4.84M 92��=����.��G� 1<2���.�����0�9��:��;�<�����<.��� (� ��29��:��;�<��92��</�0�������2�2��� 6�.1���245�����45���.���6�.�M���05������.����) 6���������5����564�1�����255��,��M�� �45�255��,�.�.

��,��M�� ��,�.�. �����294 s (m) �����294��,�.�. θ (rad) ���.��G�6�� u (m/s) ���.��G���,�.�.6�� ω0 (rad/s) ���.��G��<�� v (m/s) ���.��G���,�.�.�<�� ω (rad/s) ���.���� a (m/s2) ���.������,�.�. α (rad/s2)

92��M:6������5����5�4�4���- M:6���,��M�� (��</�0����155�</�0����) M:6���,�.�. (��</�0����155�.��)

1. v = u + at 1. ω = ω0 + αt 2. s = �� " �

�� t 2. θ = ��� " �

�� t

3. s = ut + ½ at2 3. θ = ω0t + ½ αt2

4. v2 = u2 + 2as 4. ω 2 = ω0

2 + 2αθ 5. s = v t (�./�0 v �����) 5. θ = ω t (�./�0 ω �����)

��������� 1

��WM�,6X; 4<.6,� �� 4<.��,�.�.�� �./�0��<�8����� 5 �,���� 4<.�.��������.��G� 4/ � �05/�,���� 9���

�. ���.��G���,�.�.�./�0��<� 5 �,���� �. ���.������,�.�.�0� 4<. �. �����294��,�.�.�0�����.�� �. 93�����05�0� 4<.�<4�9����WM�,6X; 5 �,����

a t v u

s ω0

θ

ω

Page 5: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 4

�. ω = ? �./�0 f = 4/ � 9�� ω = �'

� = 2�f

= 2�(4/ �) ! ω = 8 rad/s Ans �. α = ? 9�� ω = ω0 + αt 8 = 0 + α(5) ! α = 1.6 rad/s2 Ans �. θ = ? 9�� θ = ��� " �

�� t

= �( " )�

� 5 ! θ = 20 rad Ans �. 93�����05 = ? 9����0 �. θ = 20 rad ��/�0�9�� ����.�� 1 �05 �� θ = 2� rad �./�0 θ = 20 rad 92�.���������45 20/2� = 3.18 �05 Ans ��������� 2

��]�94����� 9������,�����2�2���6�.1���245 44 m ����<� 10 �,���� 7��<�094�����.��4�.� 70 cm 0������5���

�. ���.��G���,�.�. 1<2���.��G���,��M�� �./�0M,-��,������� 10 �. ���.������,�.�. 1<2���.������,��M��

,9��?����<�094�����

v = ?, a = ?

ω0 = 0

t = 10 44

u = 0

ω ω0 = 0

f = 4/�

r= 0.70

ω = ?, α = ?

Page 6: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 5

�. ω = ?, v = ? �./�0 t = 10 9�� θ = ��� " �

�� t ----1

�� θ �� ,9��?������</�0������1���245�0�<�0���2�2��� 44 m 92�����<�0�.��������05 <�0�.�� 1 �05 ���2�2�����45���.����M���05�� = 2�r = 2(22/7)(0.70) = 4.4 m. ! 93�����05�0�����.��<�0��=� 44/4.4 = 10 �05 16�<�0�.�� 1 �05 �� θ = 2� rad ! θ �4-��. = 10 x θ = 10(2�) = 20� rad 1����� θ = 20�, ω0 = 0, t = 10 �� 1, 20� = �( " �

�� 10

! ω = 4� rad/s Ans 9�� v = ωr = 4�(0.7) ! v = 2.8 � m/s Ans �. α = ?, a = ? 9�� ω = ω0 + αt 4� = 0 + α(10) ! α = 0.4� rad/s2 Ans 9�� a = α r = 0.4�(0.7) ! a = 0.28 � m/s2 Ans 7.3 ��/��!����� �������������

��/� & * ' �.��7�� �.�.�6;�0�1���059��.�� ��=���,.�?����60�; .��,����64-�@���4��2��5����.�� 1<2�,������45���.������,�.�. .��������=� �,�64��.6� (N m)

m F

����

+�

r * = F r

9�� F = mat 1<2 at = αr 92�� + = mαr (r) = mr2 α

* = I α

�./�0 I = mr2 = �.�.�6;���.�@/�0�

Page 7: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 6

r3

<����/����= ��� & I ' ��=�M.546,�0��467� �����6��������<����Mb� ����.�� ��=���,.�?M��<��; .��������=� �,�<��4. �.6�2 (kg m2)

¬ ��� I �0��467�16�<2�,-�.����������M.0�.����92�.�� �051��� �3��<�����-7:���/08,� ��2��6��

��������� 3

00�1�� 20 N 8<4���<�0.�< 2 kg �4�.� 0.5 m ��1���M��M4.84M���<. ����.���051��0�:��45��� ��=���<� 4 �,���� 7�� I��<�0 = ½ mr

2 �. �0�;� �. ���.������,�.�. 1<2���.������,��M�� �. ���.��G���,�.�. 1<2���.��G���,��M�� �./�0M,-�M��,������� 4 �. ��<�0�.��������05

�. + = ? 9�� + = Fr = 20(0.5) ! + = 10 N m Ans �. α = ?, at = ? 9�� + = I α

L

A

A

m2

m3

m1

r3

r1 r2

IA = ∑-�.

IB = IA + �∑-� L2

�./�0 L = �2�2�</�0����0�1���.�� ��1���������451��M..�6�

B

B

= m1r12 + m2r2

2 + m3r32

= IA + (m1+ m2+ m3) L2

ω

F = 20

+ r = 0.5

Page 8: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 7

= (½ mr2) α 10 = (½ x 2 x 0.52) α ! α = 40 rad/s2 Ans 9�� at = α r = 40(0.5) ! at = 20 m/s2 Ans �. ω = ?, v = ? �./�0 t = 4 s 9�� ω = ω0 + αt = 0 + 40(4) ! ω = 160 rad/s Ans 9�� v = ωr = 160(0.5) ! v = 80 m/s Ans �. 93�����05 = ? ��.�.���������� �./�0 t = 4 s, θ = ��� " �

�� t

= �( " /0(�

� 4 = 320 rad ��/�0�9�� ����.�� 1 �05 �� θ = 2� rad �./�0 θ = 320 rad 92�.���������45 320/2� = 50.8 �05 Ans

��������� 4

1����467� .�< 1 kg 1<2 2 kg ����45��<�064�.�< 4 kg �4�.� 0.5 m ��0�9��� ��4��:� 9����0�;� ���.������,�.�. 1<2��,��M���0���<�0 ( I��<�0 = ½ mr

2) 9���:� �0�;������2�3��45��<�0 ��,9��1��<4 g;�0�1��6����/0� T1 1<2 T2

m1

T2 T1

a a

m2

+ r = 0.5

1 kg 2 kg

+ r = 0.5

1 kg 2 kg

m1g m2g

������� ��� ������������ � ������������������

��� �� !"#� T1 ��� T2 '�� �����( )���� �*#����� ��� I ���,��� �� a .# m1 ��� m2 �����(�

m = 4

Page 9: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 8

9�� + = F<4 g; r 92�� + = (T2- T1) r 1<29�� + = I α 92�� I α = (T2- T1) r ----1

,9��?�.�< m1 1<2 m2 9�� ∑F = ma 92�� T1 m1g = m1a --> T1 = m1a + m1g 1<2 m2g T2 = m2a --> T2 = m2g m2a 4��4-� T2 - T1 = (m2 - m1) g (m1 + m2) a 1�����92�� T2 - T1 = (2 - 1) 10 (1 + 2) a T2 - T1 = 10 3 a 16� a = α r 4��4-� T2 - T1 = 10 - 3α r = 10 - 3α (0.5) T2 - T1 = 10 1.5 α ----2 1����� T2 - T1 1<2 I = ½ mr

2 �� 1 92�� ½ mr2 α = (10 1.5 α) r ½ (4)(0.52) α = (10 1.5 α) (0.5) ! α = 4 rad/s2 Ans

9�� a = α r = 4(0.5)

! a = 2 m/s2 Ans 1����� α �� 2, T2 - T1 = 10 1.5 (4) T2 - T1 = 4 N 9�� + = (T2- T1) r = 4 (0.5) ! + = 2 N m Ans ��������� 5

��0��.��:������250�64�.� I = ½ mr2 �4�.� r �����/0��5� 4��05 �./�0�<�0���0��.�����.��1<2��</�0����<�.���1��,�� 92.��0�;���2�3��45��0��.�������

a

T

+ r

������� ��� ������������ � ������������������

Page 10: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 9

f

9���:� �0�;������2�3��45��0��.� ��,9��1��6����/0� T

+ = Tr 1<29�� + = I α 92�� T = I α/ r

,9��?������</�0�����0���0��.���1��,�� 9�� ∑F = ma 92�� mg T = ma

1����� T = I α/ r 1<2 a = αr 92�� mg I α/ r = m αr mg ½ mr2 α/ r = m αr

α = �23�

1<29�� + = I α

92�� + = ½ mr2 �23�

! + = /3 mgr N m Ans

��������� 6

����<. <�M6,� .�< m �4�.� r �3���������5� /-��0��� 1<���<�0�����<,-�<�.�4��:� 9������ M�M. ���.�M��

�����0����M� ����3��������<.�<,-�<�.����.��7< ( I = �4 mr2)

����<.�<,-�<�.����.��7< 1M����.��0�;���/�0�9��1���M����� �3��������<.�.�� + = f r 1<29�� + = I α 92�� f = I α/ r ----1

,9��?������</�0�����0�����<. 6�.1�� /-��0��� 9�� ∑F = ma 92�� mg sin37 f = ma

1����� f = I α/ r 1<2 a = αr

mg

37° 37°

a

mg cos37

mg sin37

mg

N ������� ��� ������������ � ������������������

Page 11: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 10

92�� mg sin37 I α/ r = m αr

mg sin37 �4 mr2 α/ r = m αr

α = 42 567388�

1����� I 1<2 α �� 1, f = �4 mr2(42 56738

8��/ r

f = �8 mg sin37

16� f = µN = µ mg cos37

4��4-� µ mg cos37 = �8 mg sin37

µ = �8 x 3

4 x 4

9

= 3/9

! µ = 0.21 Ans

7.4 -�!����#���/��������� & Ek'

1. �.��0�:��45���

2. �.��1<2��</�0��������� (�<,-�)

��������� 7

�<,-�74������250��<�� .�< 20 kg �4�.� 1 m ��5� /-���5������.��G� 5/π �05/�,���� 9��� <4����9<�;�0�74� (I = mr2) ��/�0�9��74���</�0����155�<,-�

v

ω

I + +

EK = ½ I ω2

ω

I + +

EK = ½ mv2 + ½ I ω2

v

ω

I

Page 12: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 11

<4����9<�; Ek = ½ mv2 + ½ Iω2 ----1

9���9��; f = 5/π 4��4-� ω = 2π f = 2π (5/π ) = 10 rad/s 1<2 v = ωr = 10(1) 10 m/s I = mr2 = 20(12) = 20 kg m2 1������� 1, Ek = ½ 20(10

2) + ½ 20(102)

! Ek = 2x103 J Ans ��������� 8

9������.��G�(v) �0�����<64� .�< m �4�.� r ����<�� /-��0�������,�.�<�0�������.M:� h 9��1���245 (I = �

4 mr2)

�. �7<<� v = ? (�7<<��.��<,-� 1M���� f = 0)

9���o���0���4��; <4���� ∑E/ = ∑E� mgh = ½ mv2

! v = ;2gh Ans

�. �<,-�<� v = ? 9���o���0���4��; <4���� ∑E/ = ∑E� mgh = ½ mv2 + ½ Iω2 mgh = ½ mv2 + ½ �4 mr

2(���2

gh = �>� +

�>4

! v = ?/(2@8 Ans

92��G�����467��7<<� 92.����.��G�.�������<,-�<�

u = 0

v

h

�. ����<.��<<����.��<,-� �. ����<.�<,-�<����.���<

Page 13: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 12

7.5 ������������ &W'

��� NPO ��=��3�<4��0�����.�� .��������=��466; (w) ��������� 9

�45�7��6; 9��90����,�� 9�.����.��G� 72 km/hr 7��<�0�7��6;.��4�.� 0.5 m 1<2�.�.�6;���.�@/�0� 1x 10 4 kg - m 2 9���������<�0�716�<2<�0�3��� ���.��G��7��6; �����45���.��G����9��:��;�<����<�0 v = 72 km/hr = 20 m/s 4��4-� ω = � � =

�( (.4 = 40 rad/s

9�� ω2 = ω02 + 2αθ

402 = 0 + 2αθ

αθ = 800 9�� W = + θ = Iαθ = 1x104(800) ! W = 8x106 J Ans

m F

�����

r W = * θθθθ

9�� W = Fs 1<2 + = Fr 92�� W = � A� � s 16�

5� = θ

4��4-� W = + θ

θ s

P = * ω

9�� P = B� 1<2 W = + θ 92�� P = A�� 16� �� = ω 4��4-� P = + ω

u = 0 ω0 = 0

v = 20

ω

r = 0.5, I = 1x104 ������� ���������� � ������������������

Page 14: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 13

��������� 10

.:��<�64������ .��0�;���� 1000 N m ��2�3�����.���051�� ��046�� 120/π �05/���� 9����3�<4��0�.:��<� 9�� P = + ω = 1000(4) ! P = 4000 W Ans 7.6 <����!�%����� & L ' ��"�!����������<����!�%�����

9�� + = I α = I �� � ���� �

= D� � D���� + = �E��

�K �����!�L/<����!�%�����

∑F��0� = ∑F�<4�

ω

+ = 1000 9�� ω = 2π f = 2π (120/(60 π )) ω = 4 rad/s

I

ωL = Iω

�.�.�64.��,�.�. ��=���,.�?����60�; .��,���������4��45 �,����.��G���,�.�. .��������=� kg m2/s

* = �F�� �0�;� = 046�������<�����.�.�64.��,�.�.

Page 15: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 14

I1ω1 = I2ω2

��������� 11

�4��M�G6�-3�1�G� �?2���1���.��64�������.��G� 4 rad/s 9������.��G���,�.�. �./�0�����51�� (�3��� I���1�� = 2.5 kg m 2 , I��51�� = 2.0 kg m 2 )

9���r ���0���4��;�.�.�64.��,�.�.

I1ω1 = I2ω2

2.5(4) = 2.0 ω2 ! ω2 = 5 rad/s Ans � I ��� 0��( �1�.�2(�

���������������%��, � �!������%�����

� /�0������������93�M:6� ����4������M�.��793�M:6��0���,.�?��,��M���� �������,g������5����5�4��4-�M0���,.�? � /�093�M:6���,�.�.

�����294��,��M�� ( s ) ⇔ �����294��,�.�. (θ)

���.��G���,��M�� (v) ⇔ ���.��G���,�.�. (ω)

���.������,��M�� (a) ⇔ ���.������,�.�. (α)

.�< (m) ⇔ �.�.�6;���.�@/�0� ( I )

1�� ( F) ⇔ �0�;� (+ )

�.�.�64. (p) ⇔ �.�.�64.��,�.�. ( L)

M:6���,��M�� M:6���,�.�. 1�� F = ma �0�;� + = I α �.�.�64. p = mv �.�.�64. L = I ω 1�� F = �G

�� �0�;� + = �E

��

��� W = Fs ��� W = + θ �3�<4� P = Fv �3�<4� P = +ω

<4����9<�; Ek = ½ mv2 <4����9<�; Ek = ½ I ω

2

I1 = 2.5

ω1 = 4 ω2 = ?

I2 = 2.0

Page 16: 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

���������� ��� �������������� ������������������� www.schoolDD.com 15