6.30 Finding Angles Using the Cosine Law.notebook

1

May 30, 2020

Solutions

cos(A) = 2bc

b2 + c2 ­ a2

cos(A) = 2(9)(10)

92 + 102 ­ 82

cos(A) = 180117

cos(A) = 0.65 

A = cos­1(0.65)A = 49.458...

A = 49Ο

6.30 Finding Angles Using the Cosine Law.notebook

2

May 30, 2020

cos(B) = 2ac

a2 + c2 ­ b2

cos(B) = 2(13)(10)

132 + 102 ­ 122

cos(B) = 260125

cos(B) = 0.4807... 

B = cos­1(0.4807...)B = 61.264...

B = 61Ο

cos(C) = 2ab

a2 + b2 ­ c2

cos(C) = 2(16)(17)

162 + 172 ­ 142

cos(C) = 544349

cos(C) = 0.6415... 

C = cos­1(0.6415...)C = 50.092...

C = 50Ο

6.30 Finding Angles Using the Cosine Law.notebook

3

May 30, 2020

cos(K) = 2mn

m2 + n2 ­ k2

cos(K) = 2(14)(16)

142 + 162 ­ 132

cos(K) = 448283

cos(K) = 0.6316... 

K = cos­1(0.6316...)K = 50.824...

K = 51Ο

cos(U) = 2tv

t2 + v2 ­ u2

cos(U) = 2(1.8)(2.5)

1.82 + 2.52 ­ 2.42

cos(U) = 9

3.73

cos(U) = 0.4144... 

U = cos­1(0.4144...)U = 65.515...

U = 66Ο

6.30 Finding Angles Using the Cosine Law.notebook

4

May 30, 2020

cos(G) = 2fh

f2 + h2 ­ g2

cos(G) = 2(5.1)(6.2)

5.12 + 6.22 ­ 4.82

cos(G) = 63.2441.41

cos(G) = 0.6548... 

G = cos­1(0.6548...)G = 49.094...

G = 49Ο

A

RD

H

WN

190 mm

170 mm

210 mm

1.4 km

1.7 km 1.2 km

cos(D) = 2ar

a2 + r2 ­ d2

cos(D) = 2(170)(190)

1702 + 1902 ­ 2102

cos(D) = 6460020900

cos(D) = 0.3235... 

D = cos­1(0.3235...)D = 71.123... D = 71Ο

cos(W) =  2hnh2 + n2 ­ w2

cos(W) = 2(1.4)(1.2)

1.42 + 1.22 ­ 1.72

cos(W) =  3.360.51

cos(W) = 0.1517... 

W = cos­1(0.1517...)W = 81.269... W = 81Ο

6.30 Finding Angles Using the Cosine Law.notebook

5

May 30, 2020

cos(J) = 2mv

m2 + v2 ­ j2

cos(J) = 2(8.3)(12.0)

8.32 + 12.02 ­ 10.02

cos(J) = 199.2112.89

cos(J) = 0.5667... 

J = cos­1(0.5667...)J = 55.478...

J = 55.5Ο

cos(V) = 2jm

j2 + m2 ­ v2

cos(V) = 2(10.0)(8.3)

10.02 + 8.32 ­ 12.02

cos(V) = 16624.89

cos(V) = 0.1499... 

V = cos­1(0.1499...)V = 81.376...

cos(M) = 2jv

j2 + v2 ­ m2

cos(M) = 2(10.0)(12.0)

10.02 + 12.02 ­ 8.32

cos(M) = 240175.11

cos(M) = 0.7296... 

M = cos­1(0.7296...)M = 43.145...

V = 81.4Ο M = 43.1Ο

cos(J) = 2mv

m2 + v2 ­ j2

cos(J) = 2(8.3)(12.0)

8.32 + 12.02 ­ 10.02

cos(J) = 199.2112.89

cos(J) = 0.5667... 

J = cos­1(0.5667...)J = 55.478...

J = 55.5Ο

b) sin(V)    v =

sin(J)j

 sin(V)   12.0 =

sin(55.5)10.0

sin(V) =  12.0sin(55.5)10.0sin(V) = 0.9889...

V = sin­1(0.9889...)

V = 81.475...

V = 81.5Ο<M = 180 ­ 55.5 ­ 81.5

 M = 43.0Ο

c) The answers are virtually identical (differences are due to rounding). The second method is preferred because it less calculating.

6.30 Finding Angles Using the Cosine Law.notebook

6

May 30, 2020

cos(T) = 2uv

u2 + v2 ­ t2

cos(T) = 2(5)(7)

52 + 72 ­ 62

cos(T) = 7038

cos(T) = 0.5428... 

T = cos­1(0.5428...)T = 57.121...

T = 57.1Ο

sin(V)    v =

sin(T)t

 sin(V)    7  =

sin(57.1)6

sin(V) = 7sin(57.1)

6sin(V) = 0.9795...

V = sin­1(0.9795...)

V = 78.394...

V = 78.4Ο<U = 180 ­ 57.1 ­ 78.4

 U = 44.5Ο

cos(P) = 2my

m2 + y2 ­ p2

cos(P) = 2(5.4)(4.4)

5.42 + 4.42 ­ 4.92

cos(P) = 47.5224.51

cos(P) = 0.5157... 

P = cos­1(0.5157...)P = 58.950...

P = 59.0Ο

sin(Y)    y =

sin(P)p

 sin(Y)   4.4 =

sin(59.0)4.9

sin(Y) =  4.4sin(59.0)4.9

sin(Y) = 0.7697...

Y = sin­1(0.7697...)

Y = 50.327...

Y = 50.3Ο<M = 180 ­ 59.0 ­ 50.3

 M = 70.7Ο

6.30 Finding Angles Using the Cosine Law.notebook

7

May 30, 2020

cos(B) = 2gn

g2 + n2 ­ b2

cos(B) = 2(12)(15)

122 + 152 ­ 142

cos(B) = 360173

cos(B) = 0.4805... 

B = cos­1(0.4805...)B = 61.278...

B = 61.3Ο

sin(G)    g =

sin(B)b

 sin(G)   12 =

sin(61.3)14

sin(G) =  12sin(61.3)14

sin(G) = 0.7518...

G = sin­1(0.7518...)

G = 48.749...

G = 48.7Ο<N = 180 ­ 61.3 ­ 48.7

 N = 70.0Ο

N B

G

15 m14 m

12 m

cos(D) = 2rt

r2 + t2 ­ d2

cos(D) = 2(3.8)(4.6)

3.82 + 4.62 ­ 5.02

cos(D) = 34.9610.6

cos(D) = 0.3032... 

D = cos­1(0.3032...)D = 72.349...

D = 72.3Ο

sin(R)    r =

sin(D)d

 sin(R)   3.8 =

sin(72.3)5.0

sin(R) =  3.8sin(72.3)5.0

sin(R) = 0.7240...

R = sin­1(0.7240...)

R = 46.387...

R = 46.4Ο<T = 180 ­ 72.3 ­ 46.4

 T = 61.3Ο

D T

R

5.0 km4.6 km

3.8 km

6.30 Finding Angles Using the Cosine Law.notebook

8

May 30, 2020

cos(A) = 2bc

b2 + c2 ­ a2

cos(A) = 2(3.8)(3.8)

3.82 + 3.82 ­ 4.82

cos(A) = 28.885.84

cos(A) = 0.2022... 

A = cos­1(0.2022...)A = 78.333...

A = 78Ο

B = 51Ο C = 51Ο

AB

C

The triangle is isosceles where <A is the non­equal angle.

<B = <C = (180 ­ 78) ÷ 2

= 51Ο

a)

b) 3.8 m

A

h

sin(A) = opphyp

sin(78) =  h3.8

3.8sin(78) = h

3.7169... = h

Area = base x height ÷ 2

Area = 3.8 x 3.7169... ÷ 2

Area = 7.06...

Total area = 2(7.06...)

  = 14 metres2

cos(W) = 2es

e2 + s2 ­ w2

cos(W) = 2(17)(24)

172 + 242 ­ 212

cos(W) = 816424

cos(W) = 0.5196... 

W = cos­1(0.5196...)

W = 58.694...

W = 59Ο<? = 90 ­ 59

 ? = 31Ο

W E

S

21 km17 km

24 km

?

The ship should head at an angle of 31Ο to the western shore to 

dock at the western port.

6.30 Finding Angles Using the Cosine Law.notebook

9

May 30, 2020

cos(B) = 2ac

a2 + c2 ­ b2

cos(B) = 2(5.0)(4.1)

5.02 + 4.12 ­ 6.02

cos(B) = 41.05.81

cos(B) = 0.1417... 

B = cos­1(0.1417...)B = 81.853...

B = 82Ο

sin(C)    c =

sin(B)b

 sin(C)   4.1 =

sin(82)6.0

sin(C) =  4.1sin(82)6.0

sin(C) = 0.6766...

C = sin­1(0.6766...)

C = 42.584...

C = 43Ο<A = 180 ­ 82 ­ 43

 A = 55Ο

C B

A

6.0 m

5.0 m

4.1 m

c)

a) b)