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    6 Propiedades mtricasACTIVIDADES INICIALES

    6.I Dados los puntos P(1, 3) y Q(2, 5), y la recta r : 2x y = 2, calcula:

    a) d(P, Q) b) d(P, r) c) d(Q, r)

    6.II Se tienen las rectas r : x y = 10, s :41

    3 yx=

    + y t : 3x 3y = 1. Halla:

    a) d(r, s) b) d(r, t) c) ( ,r s ) d) (,s t )

    EJERCICIOS PROPUESTOS

    6.1 Calcula el ngulo que forman entre s las siguientes rectas, a partir de sus vectores directores.

    r : 1

    x = 2

    1+y = 4

    3z s : 3

    2x = 1y =

    25

    +z

    6.2 Halla el ngulo que forman entre s las rectas:

    r :

    =++=

    1302

    zyxzyx

    s :

    ==

    21

    zx

    6.3 Calcula el ngulo que forman las siguientes parejas de planos.

    a) : x + y + z = 0 ' : 3x z = 2

    b) : x + 4y + 2z = 3 ' : y = 5

    6.4 Determina el valor de k para que el plano que pasa por los puntos A(1, 2, 3), B(0, 0, 0) y C(k, 1, k) sea perpendicular al plano : 2x + y = 3.

    62

  • Solucionario

    6.5 Halla el ngulo formado por los siguientes planos y rectas.

    a) : x + y 2z = 1, r :1

    112

    21 +

    =+

    = zyx b) : 3x + 2y + z = 3, r :

    =+=

    123

    zxy

    6.6 Halla los valores de m para que la recta r : 2 0

    5 0x y z

    y z+ + =

    + + = y el plano : 2x + y mz = 1.

    a) Formen un ngulo de 30. b) Sean perpendiculares. c) Sean paralelos.

    6.7 El tringulo de vrtices A(2, 0, 3), B(1, 1, 1) y C(0, 1, 2) se proyecta ortogonalmente sobre el plano de ecuacin : x + 2y z 2 = 0. Halla los vrtices del tringulo proyectado.

    6.8 Halla la proyeccin ortogonal de la recta r sobre el plano : x + y + z = 0, donde r : 2

    4x =2

    1y =2z .

    6.9 Determina la proyeccin ortogonal de la recta r de ecuacin r: 1

    3 2 0x yx y z+ =

    + = sobre el plano de

    ecuacin : 4x 3y + z + 3 = 0. Calcula, si existe, el punto de interseccin entre la recta r y su proyectada.

    6.10 Sean A, B y C tres puntos del espacio dados por sus coordenadas A(1, 2, 4), B(1, 3, 1) y C(4, 5, 2). Comprueba la desigualdad triangular.

    6.11 Halla la ecuacin del plano mediador del segmento de extremos A(1, 3, 1) y B(4, 6, 0).

    63

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    Solucionario

    6.12 Halla la distancia entre el plano que pasa por el origen de coordenadas y los puntos A(1, 2, 0) y B(1, 1, 3) y el plano paralelo a que pasa por el punto (1, 1, 1).

    6.13 Determina el punto del plano de ecuacin : x z = 3 que est ms cerca del punto P(3, 1, 4), as como la distancia entre el punto P y el plano .

    6.14 Calcula la distancia del punto P(3, 4, 5) a la recta r : 1

    1+x =2

    2+y = 15

    +z .

    6.15 Halla la distancia del punto P(1, 3, 1) y la recta r :

    =+=

    00zyx

    yx

    6.16 Determina la posicin relativa y la distancia entre las siguientes rectas.

    r :

    ==+

    1223

    zyzyx

    s :

    +=+=

    =

    tztytx

    241

    53

    6.17 Halla la posicin relativa y la distancia entre las rectas:

    r : 3

    12

    31

    =

    +=

    zyx s :

    =+=+013

    0232yxyx

    64

  • Solucionario

    6.18 Determina la posicin relativa y la distancia entre las rectas:

    r :

    ==

    +=

    7521

    1

    zyx

    s : 125

    34

    +=

    =+ zyx

    6.19 (PAU) Halla la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones:

    r :

    ==+

    112

    yxzyx

    s : 1

    1x =2y =

    31

    +z

    6.20 (PAU) Obtn la ecuacin de la recta perpendicular comn a las rectas r y s, siendo las ecuaciones de r

    y s las siguientes: r :

    ==

    00

    zx

    s :

    ==

    30

    yx

    6.21 Calcula el rea de la figura.

    6.22 Determina la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(0, 2, 0) y B(0, 0, 2) y corta al eje X en un punto C tal que el rea del tringulo ABC es igual a 4.

    Y

    X

    O

    Z

    (6, 1, 2)

    (6, 8, 2)

    (4, 6, 2)(4, 2, 2)

    65

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    Solucionario

    6.23 Calcula el volumen del paraleleppedo de la figura:

    6.24 Suponiendo que los vrtices de un tetraedro son los puntos A(1, 1, 2), B(0, 2, 1), C(3, 2, 2) y D(3, 0, 6), calcula el volumen de dicha figura e interpreta el resultado obtenido.

    6.25 Halla la ecuacin del plano que pasa por el punto P(1, 2, 3) sabiendo que el tringulo formado por las rectas en que corta a los planos cartesianos es equiltero. Calcula el volumen determinado por dicho plano y los planos coordenados.

    EJERCICIOS

    ngulo entre dos rectas

    6.26 (PAU) Estudia la posicin relativa de las rectas r y s y obtn, si es posible, el ngulo que forman, siendo:

    r : 1 202 2

    xyz

    = + = = +

    s :

    +==

    21yz

    x

    6.27 (PAU) Considera las rectas r :

    ==+++

    0103

    zyxzyx

    , s :2

    1+x = y + 1 =2

    + dz . Halla el valor de d para que las

    rectas sean secantes. Para ese valor de d, determina el ngulo que forman r y s.

    YX

    O

    Z

    (0, 1, 1)

    (3, 4, 1)

    (4, 5, 2)

    66

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    6.28 (PAU) Estudia la posicin relativa de las siguientes rectas. Razona la respuesta.

    r1 :

    =+=++

    012012

    zyxzyx

    r2 :

    =+=+

    012012

    zyxzyx

    Calcula el coseno del ngulo que determinan las direcciones de las dos rectas.

    6.29 (PAU) Estudia la posicin relativa de las rectas r y s, y calcula el ngulo que forman:

    r: 2

    1x =3y =

    4z s:

    +=+=

    +=

    3423

    3

    zyx

    ngulos entre dos planos

    6.30 (PAU) Calcula el ngulo que forman los planos : x + y + z = 1 y ' : x 2y + z = 2.

    6.31 (PAU) Halla el ngulo que forman los planos 1 y 2, donde 1 es el plano determinado por los puntos

    (0, 0, 8), (5, 1, 2) y (0, 2, 0) y 2 es el plano perpendicular a la recta: x 1 = y 2 = 6z que pasa por el

    punto (0, 0, 1).

    67

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    Solucionario

    6.32 (PAU) Halla el ngulo que forman el plano determinado por las rectas r : x = 3y =

    23 z y s :

    ==

    +=

    31

    1

    zyx

    con el plano de ecuacin 2x y + z = 1.

    ngulo de recta y plano

    6.33 (PAU) Calcula el ngulo que forma la recta 2

    1x =1

    3y =1z con el plano x + z = 17.

    6.34 (PAU) Dados los puntos A(3, 0, 0), B(0, 0, 0), C(0, 2, 0) y D(1, 1, 2), determina el ngulo formado por el plano que pasa por los puntos A, B y C y la recta que pasa por C y D.

    6.35 (PAU) Para qu valores de son el plano : x + y z + 1 = 0 y la recta r :

    =++=+

    0122012

    zyxyx

    a) Paralelos b) Perpendiculares

    Calcula, en funcin del parmetro , el ngulo que forman la recta r y el plano .

    6.36 (PAU) Halla el ngulo que forman la recta r de ecuacin r :

    ==0y

    zx con el plano que contiene a la recta

    s : x = y 2 = 1 z, y al punto A(3, 1, 6).

    68

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    Proyeccin ortogonal

    6.37 (PAU) Calcula la proyeccin ortogonal del punto P(0, 0, 0) sobre el plano : x + y + z = 1.

    6.38 (PAU) Dados la recta r :2

    1x =1

    1+y =1z y el plano : x + y + z 4 = 0, halla la ecuacin de la recta s,

    proyeccin ortogonal de r sobre .

    6.39 (PAU) Halla la ecuacin continua de la proyeccin ortogonal de la recta (x, y, z) = (2, 1, 1) + t (1, 0, 2) sobre el plano 2x + y z = 0.

    6.40 (PAU) Halla la ecuacin de la proyeccin ortogonal r' de la recta r : 2

    1x =1

    1y =2

    2z sobre el plano

    : x 3y + 2z + 12 = 0.

    69

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    Solucionario

    Distancia entre dos puntos

    6.41 (PAU) Halla el punto del plano : x + y + z = 1, que equidista de los puntos A(1, 1, 2), B(3, 1, 2) y C(1, 1, 0).

    6.42 (PAU) Calcula razonadamente la ecuacin que han de cumplir los puntos del espacio que equidistan de A(6, 10, 6) y B(4, 8, 6).

    6.43 (PAU) Calcula los puntos de la recta r que pasa por los puntos P y Q de coordenadas P(1, 2, 3) y Q(3, 5, 0) cuya distancia al punto C(1, 0, 1) es de 12 unidades.

    6.44 (PAU) La distancia del punto P(1, 2, 3) a otro A del eje de abscisas es 7. Halla las coordenadas del punto A.

    Distancia de un punto a un plano

    6.45 Determina la distancia que hay desde el origen de coordenadas al plano que contiene a las rectas:

    r : 2

    1x = 2 y =4

    62 z s :

    ==

    2223

    yzyx

    70

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    6.46 (PAU) Calcula los puntos de la recta r :

    =+=

    21

    yxzx

    que equidistan de los planos:

    : 2x + y 2z = 0 : x 2y + 2z 1 = 0

    6.47 (PAU) Determina la distancia entre el plano de ecuacin : 9 = 2x + y + 2z y el plano que contiene a los puntos A(1, 0, 1), B(2, 2, 1) y al origen de coordenadas O.

    6.48 (PAU) Estudia la posicin relativa de los siguientes planos :

    ==

    ++=

    stzty

    stx2

    31 y : x + 2y + z + 3 = 0.

    Calcula la distancia entre ambos planos.

    6.49 (PAU) Encuentra la distancia del origen al plano determinado por las rectas

    r :

    +=+=

    =

    tzty

    x

    121

    y s :

    ==+

    001

    zxyx

    71

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    Solucionario

    Distancia de un punto a una recta

    6.50 (PAU) Dada la recta r:

    =++=++

    01253032

    zyxzyx

    , calcula la distancia entre el punto P(0, 1, 6) y la recta anterior.

    Calcula la ecuacin del plano perpendicular a la recta y que contiene al punto P.

    6.51 (PAU) Encuentra la distancia del origen a la recta determinada por los planos 1 y