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6 Prodotti scalari e prodotti Her- mitiani 6.1 Prodotti scalari Si fissi K = R. Definizione 6.1 Sia V un R-spazio vettoriale. Un prodotto scalare su V ` e un’applicazione , : V × V R (v, z) v , z che gode delle seguenti propriet` a: i) (linearit` a rispetto al secondo termine) a) v , w + z = v , w + v , z , b) v w = α v , w v, w, z V, α R; ii) (simmetria) x , y = y , x x, y V Osservazione 6.2 Combinando le propriet` a i) e ii) della Definizione 6.1 otteniamo la linearit` a rispetto al primo termine: a) w + z , v = w , v + z , v; b) αw , v = α w , v v, w, z V, α R. Un prodotto scalare ` e dunque bilineare. Osservazione 6.3 Per ogni v V v , 0 = 0 , v =0 per la bilinearit` a, in quanto 0 =0w per un qualsiasi w V . Esempio 6.4 Sia V = R n e A M n×n (R) simmetrica, cio` e A = t A. Definiamo il prodotto scalare associato ad A l’applicazione , A : R n × R n R tale che: x , y A = t xAy =(x 1 ,...,x n ) a 11 ··· a 1n . . . . . . . . . a n1 ··· a nn y 1 . . . y n = n i=1 n j =1 x i a ij y j 65

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6 Prodotti scalari e prodotti Her-mitiani

6.1 Prodotti scalariSi fissi K = R.

Definizione 6.1 Sia V un R-spazio vettoriale. Un prodotto scalare su V e un’applicazione

〈 , 〉 : V × V → R(v,z) 7→ 〈v ,z〉

che gode delle seguenti proprieta:

i) (linearita rispetto al secondo termine)

a) 〈v ,w + z〉 = 〈v ,w〉+ 〈v ,z〉 , b) 〈v , αw〉 = α 〈v ,w〉 ∀v,w,z ∈ V, ∀α ∈ R;

ii) (simmetria) 〈x ,y〉 = 〈y ,x〉 ∀x,y ∈ V

Osservazione 6.2 Combinando le proprieta i) e ii) della Definizione 6.1 otteniamo la linearitarispetto al primo termine:

a) 〈w + z ,v〉 = 〈w ,v〉+ 〈z ,v〉;

b) 〈αw ,v〉 = α 〈w ,v〉 ∀v,w,z ∈ V, ∀α ∈ R.

Un prodotto scalare e dunque bilineare.

Osservazione 6.3 Per ogni v ∈ V

〈v ,0〉 = 〈0 ,v〉 = 0

per la bilinearita, in quanto 0 = 0w per un qualsiasi w ∈ V .

Esempio 6.4 Sia V = Rn e A ∈ Mn×n(R) simmetrica, cioe A = tA. Definiamo il prodotto

scalare associato ad A l’applicazione 〈 , 〉A : Rn × Rn → R tale che:

〈x ,y〉A = txAy = (x1, . . . , xn)

a11 · · · a1n...

......

an1 · · · ann

y1

...yn

=n∑

i=1

n∑j=1

xiaijyj

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6. Prodotti scalari e prodotti Hermitiani

Si puo facilmente verificare che il prodotto cosı definito gode delle proprieta di linearita rispettoal secondo termine, come conseguenza della linearita del prodotto matriciale:

〈x , αy + βz〉A = txA(αy + βz) = tx(αAy) + tx(βAz) =

= αtxAy + βtxAz = α 〈x ,y〉A + β 〈x ,z〉A

e di simmetria, come conseguenza del fatto che A e simmetrica:

〈x ,y〉A = txAy = t(txAy) = ty tA t(tx) = tyAx = 〈y ,x〉A

Esempio 6.5 In particolare, il prodotto scalare 〈 , 〉I su Rn associato alla matrice identica I :=In e detto prodotto scalare standard

〈x ,y〉I = txIy = txy =n∑

i=1

xiyi

6.2 Forme quadratiche

Definizione 6.6 Sia V un R-spazio vettoriale e 〈 , 〉 un prodotto scalare su V . Si chiama forma

quadratica associata a 〈 , 〉 l’applicazione:

q〈 ,〉 : V → R, v 7→ 〈v ,v〉

Osservazione 6.7 Si osservi che q〈 ,〉 non e lineare in generale. Infatti, q〈 ,〉(αv) = α2q〈 ,〉(v) eche da q〈 ,〉 si puo ricostruire 〈 , 〉:

〈v ,w〉 =12(q〈 ,〉(v + w)− q〈 ,〉(v)− q〈 ,〉(w))

Definizione 6.8 Data A ∈ Mn×n(R) simmetrica la forma quadratica associata 〈 , 〉A e dettaforma quadratica qA associata ad A ed e un polinomio di grado 2 a coefficienti in R nelleindeterminate x1, . . . , xn

qA(x1, . . . , xn) = txAx =n∑

i=1

n∑j=1

aijxixj . (6.1)

Possiamo anche scrivere qA nella forma

qA =∑

i

aii x2i +

∑1≤i<j≤n

2aij xixj . (6.2)

Segue da quest’ultima formula che e possibile risalire alla matrice A dai coefficienti di qA.

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6.3 Prodotti scalari e matrici

6.3 Prodotti scalari e matrici

Definizione 6.9 Sia V un R-spazio vettoriale con base B = {v1, . . . vn} e sia 〈 , 〉 un prodottoscalare. Chiamiamo matrice associata a 〈 , 〉 rispetto alla base B la matrice

MB(〈 , 〉) = G = (gij) ∈ Mn×n(K) con gij = 〈vi ,vj〉 .

Osservazione 6.10 Poiche 〈vi ,vj〉 = 〈vj ,vi〉 la matrice MB(〈 , 〉) e una matrice simmetrica.

Osservazione 6.11 Dati v =∑

i aivi e w =∑

j bjvj cioe a = FB(v) e b = FB(w), vale:

〈v ,w〉 =

⟨∑i

ai vi ,∑

j

bj vj

⟩=∑

i

∑j

ai bj 〈vi ,vj〉 =∑

i

∑j

ai bj gij = ta G b = 〈a , b〉G

Definizione 6.12 Le matrici A,A′ ∈ Mn×n(K) sono dette congruenti se esiste B ∈ Mn×n(K),B invertibile, tale che

A′ = tBAB.

Lemma 6.13 (Cambio di base) Sia V un K−spazio vettoriale di dimensione n e 〈 , 〉 unprodotto scalare. Dette B = {vi} e B′ = {v′i} due basi di V , chiamiamo G = (gij = 〈vi ,vj〉) e

G′ = (g′ij =⟨v′i ,v

′j

⟩) le matrici di prodotto scalare. Se chiamiamo la matrice di cambio di base

B = BMB′(Id) la matrice di cambio di base risulta:

G′ = tB G B .

Da questo lemma discende che le matrici associate ai prodotti scalari si trasformano al cambiodella base per congruenza e non per similitudine come le applicazioni lineari.

Dim. Poiche ogni vettore v′ie v′j si puo scrivere come combinazione della base B come v′i =∑k bkivk e v′j =

∑l bljvl abbiamo che:

g′ij =⟨v′i ,v

′j

⟩=

⟨∑k

bki vk ,∑

l

blj vl

⟩=∑

k

∑l

bki blj 〈vk ,vl〉 =∑

k

∑l

bki blj gkl =

∑k

∑l

(tB)ik gkl blj = (tBG B)ij

da cui la tesi. �

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6. Prodotti scalari e prodotti Hermitiani

6.4 Spazi Euclidei

Definizione 6.14 Sia V un R-spazio vettoriale e 〈 , 〉 un prodotto scalare. Diciamo che 〈 , 〉 edefinito positivo se 〈v ,v〉 ≥ 0 ∀v ∈ V e 〈v ,v〉 = 0 se e solo se v = 0 .

Definizione 6.15 Uno spazio euclideo e una coppia (V, 〈 , 〉), con V un R-spazio vettoriale didimensione finita e 〈 , 〉 : V × V → R un prodotto scalare definito positivo.

Esempio 6.16 (Rn e spazio euclideo) Rn dotato del prodotto scalare standard 〈 , 〉Ine uno

spazio euclideo. Infatti, se x = t(x1, . . . , xn) ∈ Rn risulta:

〈x ,x〉In=

n∑i=1

xixi ≥ 0 en∑

i=1

xixi = 0 se e solo se xi = 0 ∀i = 1, . . . , n

se e solo se x = 0, ovvero il prodotto scalare standard e definito positivo.

Osservazione 6.17 Se si parla di Rn come spazio euclideo senza specificare il prodotto scalaresi sottointende Rn con il prodotto scalare standard.

Esempio 6.18 (Lo spazio di Minkowski) Su R4 il prodotto scalare 〈 , 〉M con M la matricediagonale M := diag (1, 1, 1,−1), che rappresenta lo spazio-tempo di Minkowski della teoria dellarelativita ristretta, non e definito positivo, infatti ad esempio

〈e4 , e4〉M = −1, 〈e1 + e4 , e1 + e4〉M = 0.

Proposizione 6.19 (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo.Allora per ogni v,w ∈ V vale la seguente disuguaglianza:

〈v ,w〉2 ≤ 〈v ,v〉 · 〈w ,w〉

Inoltre vale l’uguaglianza:〈v ,w〉2 = 〈v ,v〉 · 〈w ,w〉

se e solo se v e w sono linearmente dipendenti.

Dim. Sia u = av + bw con a, b ∈ R e v,w ∈ V . Allora possiamo scrivere:

0 ≤ 〈av + bw , av + bw〉 = a2 〈v ,v〉+ 2ab 〈v ,w〉+ b2 〈w ,w〉 .

Se ora poniamo a = 〈w ,w〉 e b = −〈v ,w〉 otteniamo:

0 ≤ 〈w ,w〉2 〈v ,v〉 − 2 〈w ,w〉 〈v ,w〉2 + 〈v ,w〉2 〈w ,w〉 .

Se w = 0 (o se piu in generale v,w sono linearmente dipendenti) la disugualianza da verificaree ovviamente un’uguaglianza. Se w 6= 0 allora 〈w ,w〉 > 0 e quindi si puo semplificarlo nelladisuguaglianza appena trovata ottenendo

〈v ,w〉2 ≤ 〈w ,w〉 〈v ,v〉 .

Se poi in particolare vale l’uguaglianza allora u = (〈w ,w〉)v− (〈v ,w〉)w = 0, quindi v,w sonolinearmente dipendenti. �

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6.4 Spazi Euclidei

Definizione 6.20 Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo. Allora definiamo:

• la norma di v come ‖v‖ =√〈v ,v〉 (∀v ∈ V );

• la distanza fra v e w come d(v,w) = ‖v −w‖ (∀v,w ∈ V ).

Lemma 6.21 (Proprieta della norma) Dato (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo, l’applicazione :

‖.‖ : V → R, v 7→ ‖v‖ :=√〈v ,v〉

soddisfa le seguenti proprieta:

i) ‖v‖ ≥ 0 e ‖v‖ = 0 ⇐⇒ v = 0, ∀v ∈ V ;

ii) (positiva omogeneita) ‖λv‖ = |λ| ‖v‖ ∀λ ∈ R,∀v ∈ V ;

iii) (disuguaglianza triangolare) ‖v+w‖ ≤ ‖v‖+‖w‖ ∀v,w ∈ V , (un’applicazione che soddisfatali proprieta e chiamata norma e un R spazio vettoriale dotato di un’applicazione normae detto spazio normato).

Dim. La proprieta i) segue direttamente da 6.14, e la proprieta ii) dalla bilinearita del prodottoscalare. Dimostriamo la disuguaglianza triangolare. Per ogni v,w ∈ V , segue dalla disugualianzadi Cauchy-Schwarz, la disugualianza:

‖v + w‖2 = 〈v + w ,v + w〉 = ‖v‖2 + 2 〈v ,w〉+ ‖w‖2 ≤≤ ‖v‖2 + 2‖v‖‖w‖+ ‖w‖2 = (‖v‖+ ‖w‖)2

Facendo la radice, si ottiene la tesi. �

Lemma 6.22 (Proprieta della distanza) Dato (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo, l’applicazione:

d : V × V → R, d(v,w) := ‖v −w‖ =√〈v −w ,v −w〉

soddisfa le seguenti proprieta ∀v,w,u ∈ V :

i) d(v,w) ≥ 0 e d(v,w) = 0 ⇐⇒ v = w;

ii) (simmetria) d(v,w) = d(w,v) ;

iii) (disuguaglianza triangolare) d(v,u) ≤ d(v,w) + d(w,u).

Un’applicazione che soddisfa tali proprieta e chiamata distanza e un insieme dotato di un’ap-plicazione distanza e detto spazio metrico∗.

Dim. La verifica e immediata usando le proprieta della norma. �

Definizione 6.23 Sia V, 〈 , 〉 uno spazio euclideo. Si dice che v,w ∈ V sono ortogonali se〈v ,w〉 = 0 ed in tal caso si indica v ⊥ w.

∗Per una trattazione approfondita degli spazi metrici rimandiamo ai corsi di Analisi Matematica.

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6. Prodotti scalari e prodotti Hermitiani

Definizione 6.24 Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo e siano v,z ∈ V non nulli. Definiamol’angolo tra v e z l’unico θ(v,z) ∈ [0, π] tale che

cos(θ(v,z)) =〈v ,z〉‖v‖‖z‖

Osservazione 6.25 Si ha θ(v,z) ∈ {0, π} se e solo se v e z sono linearmente dipendenti. Siha invece θ(v,z) =

π

2se e solo se v ∈ {z}⊥.

Definizione 6.26 Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo e sia v ∈ V, v 6= 0. Definiamo il coeffi-

ciente di Fourier di v rispetto a w:

〈v ,w〉〈w ,w〉

∈ R .

Osservazione 6.27 (Proprieta del coefficiente di Fourier) Definito come sopra il coeffi-ciente di Fourier di v rispetto a w risulta che:(

v − 〈v ,w〉〈w ,w〉

w

)⊥ w

infatti ⟨v − 〈v ,w〉

〈w ,w〉w ,w

⟩= 〈v ,w〉 − 〈v ,w〉

〈w ,w〉〈w ,w〉 = 0 .

Proposizione 6.28 Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo e siano v1, . . . ,vm ∈ V non nulli e orto-gonali tra loro. Allora ogni vettore v ∈ L (v1, . . . ,vm) si scrive in modo unico come

v =∑

i

ai vi con ai =〈v ,vi〉〈vi ,vi〉

.

Inoltre v1, . . . ,vm sono linearmente indipendenti.

Dim. La dimostrazione consiste nel calcolare 〈v ,vj〉:

〈v ,vj〉 =

⟨∑i

ai vi ,vj

⟩=

n∑i=1

ai 〈vi ,vj〉 = aj 〈vj ,vj〉

da cui si ottiene l’ugualianza di aj con il coefficiente di Fourier di v rispetto a vj :

aj =〈v ,vj〉〈vj ,vj〉

.

In particolare se v = 0 allora aj = 0 quindi i vettori sono linearmente indipendenti. �

Definizione 6.29 Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo. Una base B = {v1, . . . ,vn} di V e detta:

• ortogonale se 〈vi ,vj〉 = 0 ∀i 6= j ;

• ortonormale se e ortogonale e ‖vi‖ = 1 ∀i.

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6.4 Spazi Euclidei

Se indichiamo con δij la funzione che e detta delta di Kronecker:

δij =

{0 se i 6= j

1 se i = j(6.3)

si ha〈vi ,vj〉 = δij ∀i, j

Data una base ortogonale B = {v1, . . . ,vn} di V , allora {v1/‖v1‖, . . . ,vn/‖vn‖} e una baseortonormale di V .

Osservazione 6.30 Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo e sia B = {v1, . . . ,vn} una base. Seguedalla Proposizione 6.28 che se la base B e ortogonale ogni vettore v ∈ V si scrive in modo unicocome:

v =∑

i

〈v ,vi〉〈vi ,vi〉

vi,

ovvero l’n-pla dei coefficienti di un vettore rispetto a una base ortogonale e uguale all’n-pla deicoefficienti di Fourier. Se la base B e ortonormale ogni vettore v ∈ V si scrive in modo unicocome

v =∑

i

〈v ,vi〉vi.

Osservazione 6.31 Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo. Allora segue dalle definizioni che:

i) B e una base ortogonale di V se e solo se la matrice rappresentativa del prodotto scalareG := MB(〈 , 〉) e diagonale;

ii) B e una base ortonormale di V se e solo se G := MB(〈 , 〉) = In.

Esempio 6.32 (Ortonormalita della base canonica di Rn) Verifichiamo che la base ca-nonica di Rn e una base ortonormale per il prodotto scalare standard:

〈ei , ej〉In= tei · ej = δij

Osservazione 6.33 Se B e una base ortonormale di (V, 〈 , 〉) spazio euclideo allora:

〈v ,w〉 = tFB(v) FB(w) = 〈FB(v) , FB(w)〉In,

ovvero il prodotto scalare 〈v ,w〉 coincide con il prodotto scalare standard delle coordinate di v

e w in Rn.

Teorema 6.34 (Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo esia B = {v1, . . . ,vn} una base di V . Allora esiste una base ortogonale A = {z1, . . . ,zn} di V

tale che ∀i = 1, . . . , n {z1, . . . ,zi} e una base ortogonale di L (v1, . . . ,vi).

Dim. Costruiamo la base per induzione. Poniamo z1 = v1. Supponiamo di aver costruitoz1, . . . ,zh ∈ V non nulli ortogonali tali che {z1, . . . ,zh} e una base ortogonale di L (v1, . . . ,vh).Poniamo

zh+1 = vh+1 −h∑

i=1

〈vh+1 ,zi〉〈zi ,zi〉

zi .

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6. Prodotti scalari e prodotti Hermitiani

Per ogni j tale che 1 ≤ j ≤ h abbiamo che

〈zj ,zh+1〉 = 〈zj ,vh+1〉 −h∑

i=1

〈vh+1 ,zi〉〈zi ,zi〉

〈zj ,zi〉 = 〈zj ,vh+1〉 − 〈zj ,vh+1〉 = 0 .

Inoltre zh+1 6= 0 perche per ipotesi vh+1 e linearmente indipendente da v1, . . . ,vh quindi nonappartiene a L (v1, . . . ,vh) = L (z1, . . . ,zh). Quindi z1, . . . ,zh+1 ∈ V sono h + 1 vettori nonnulli ortogonali in L (z1, . . . ,zh,vh+1) = L (v1, . . . ,vh,vh+1), percio ne costituiscono una baseortogonale per Prop.6.28 �

Corollario 6.35 Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo e sia B = {v1, . . . ,vn} una base di V . Alloraesiste una base ortonormale {u1, . . . ,un} di V tale che

L (v1, . . . ,vi) = L (u1, . . . ,ui) ∀i = 1, . . . , n

Dim. Per Il teorema di Gram Schmidt esiste una base ortogonale {z1, . . . ,zn} di V taleche ∀i = 1, . . . , n {z1, . . . ,zi} e una base ortogonale di L (v1, . . . ,vi): basta quindi definire

ui :=1

‖zi‖zi. �

Definizione 6.36 Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo. Sia S un sottoinsieme di V . Definiamocomplemento ortogonale di S l’insieme:

S⊥ = {v ∈ V : 〈v ,w〉 = 0 ∀w ∈ S}.

Proposizione 6.37 Sia V, 〈 , 〉 uno spazio euclideo e S ⊆ V un suo sottoinsieme. Allora S⊥ esottospazio vettoriale.

Dim.

• 0 ∈ S⊥ quindi S⊥ 6= ∅

• v,w ∈ S⊥ =⇒ v + w ∈ S⊥. Infatti ∀s ∈ S, 〈v + w , s〉 = 〈v , s〉+ 〈w , s〉 = 0.

• α ∈ K,v ∈ S⊥ =⇒ αv ∈ S⊥. Infatti ∀s ∈ S, 〈αv , s〉 = α 〈v , s〉 = 0.

Osservazione 6.38 Sia V, 〈 , 〉 uno spazio euclideo e S ⊆ V un suo sottoinsieme. Allora

S⊥ = (L (S))⊥

Dim. Poiche S ⊂ L (S), segue dalla definizione di complemento ortogonale che L (S)⊥ ⊂ S⊥.Dimostriamo l’altra inclusione mostrando che se v ∈ S⊥ allora v ∈ L (S)⊥. Sia w ∈ L (S),quindi w =

∑i aisi con si ∈ S. Allora

〈v ,w〉 =∑

i

ai 〈v , si〉 = 0.

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6.4 Spazi Euclidei

Proposizione 6.39 Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo e W ⊆ V un suo sottospazio vettoriale.Allora V = W ⊕W⊥.

Dim. Mostriamo innanzitutto che W ∩W⊥ = {0}. Infatti se w ∈ W ∩W⊥ allora w ∈ W e〈u ,w〉 = 0 per ogni u ∈ W⊥. Quindi in particolare 〈w ,w〉 = 0, ma allora w = 0 perche 〈 , 〉 edefinito positivo. Mostriamo ora che V = W + W⊥. Fissata una base ortogonale {w1, · · · ,wk}di W , per ogni v ∈ V si consideri

w :=k∑

i=1

〈v ,wi〉〈wi ,wi〉

wi.

Per concludere basta mostrare che z := (v −w) ∈ W⊥ = {w1, · · · ,wk}⊥. Per ogni j tale che1 ≤ j ≤ k, vale la seguente relazione:

〈z ,wj〉 = 〈v ,wj〉 −k∑

i=1

〈v ,wi〉〈wi ,wi〉

〈wi ,wj〉 = 〈v ,wj〉 − 〈v ,wj〉 = 0 .

Corollario 6.40 Sia V un K−spazio vettoriale e W ⊆ V un suo sottospazio vettoriale. Alloradim W + dim W⊥ = dim V .

Esempio 6.41 (Complementi ortogonali di sottospazi in Rn e sistemi lineari) Sia Rn

con 〈 , 〉Inprodotto scalare standard. Data A ∈ Mm×n(R)

Sol (A|0) = {α : Ai α =⟨tAi ,α

⟩In

= 0} = L(

tA1, . . . ,tAm

)⊥ovvero lo spazio delle soluzioni del sistema e il complemento ortogonale alle righe della matrice.

Viceversa dati m vettori in Rn, il loro complemento ortogonale e lo spazio delle soluzioni diun sistema omogeneo la cui matrice dei coefficienti ha come righe tali vettori.

Definizione 6.42 (Proiezione ortogonale) Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio euclideo e sia W ⊆ V

un sottospazio vettoriale di V . La proiezione di V con schermo W e direzione W⊥ e dettaproiezione ortogonale su W e indicata con π⊥W .

Osservazione 6.43 Fissata una base ortogonale {w1, · · · ,wk} di W , per ogni v ∈ V si ha:

π⊥W (v) =k∑

i=1

〈v ,wi〉〈wi ,wi〉

wi

Dim. Il vettore differenza

v − (k∑

i=1

〈v ,wi〉〈wi ,wi〉

wi) ∈ W⊥

come verificato nella dimostrazione della Proposizione 6.39. Quindi vale la tesi per definizionestessa di proiezione. �

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6. Prodotti scalari e prodotti Hermitiani

6.5 Prodotti hermitiani

Definizione 6.44 Sia V un C-spazio vettoriale. Un prodotto hermitiano su V e un’appli-cazione

〈 , 〉 : V × V → C(v,z) 7→ 〈v ,z〉

e gode delle seguenti proprieta

i) (linearita rispetto al secondo termine)

a) 〈v ,w + z〉 = 〈v ,w〉+ 〈v ,z〉 , b) 〈v , αw〉 = α 〈v ,w〉 ∀v,w,z ∈ V, ∀α ∈ C;

ii) (simmetria a meno di coniugio) 〈x ,y〉 = 〈y ,x〉 ∀x,y ∈ V ;

Osservazione 6.45 Combinando le proprieta i) e ii) della Definizione 6.1 otteniamoiii) (antilinearita rispetto al primo termine)

〈w + z ,v〉 = 〈w ,v〉+ 〈z ,v〉 ∀v,w,z ∈ V

〈αw ,v〉 = 〈v , αw〉 = α〈v ,w〉 = α 〈w ,v〉 ∀v,w ∈ V, ∀α ∈ C

Osservazione 6.46 Se 〈 , 〉 : V × V → C un prodotto hermitiano, allora ∀v ∈ V si ha

〈v ,v〉 = 〈v ,v〉

ossia 〈v ,v〉 ∈ R.

Definizione 6.47 Data la matrice A ∈ Mm×n(C) si definisce aggiunta di A la matricetrasposta della complessa coniugata di A:

+A := tA ∈ Mn×m(C) cioe +Aij = aji ∀i, j

Osservazione 6.48 (Proprieta dell’aggiunta) Segue dalla definizione di aggiunta che,

i) +(AB) = +B+A ∀A ∈ Mm×n(C),∀B ∈ Mn×k(C);

ii) +(+A) = A ∀A ∈ Mm×n(C);

iii) A ∈ Mm×n(C) e a coefficienti reali (cioe A ∈ Mm×n(R)) ⇔ +A = tA;

Definizione 6.49 La matrice A ∈ Mn×n(C) e detta hermitiana se

A = +A := tA ∈ Mm×n(C)

ovvero se aij = aji ∀i, j.

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6.6 Prodotti hermitiani e matrici

Esempio 6.50 Sia V = Cn e A ∈ Mn×n(C) hermitiana.Definiamo il prodotto hermitiano associato a A l’applicazione 〈 , 〉A : Cn ×Cn → C tale

che:

〈x ,y〉A = +xAy = (x1, . . . , xn)

a11 · · · a1n...

......

an1 · · · ann

y1

...yn

=n∑

i=1

n∑j=1

xi aij yj

Si puo facilmente verificare che il prodotto cosı definito gode delle proprieta di linearita rispettoal secondo termine, come conseguenza della linearita del prodotto matriciale, e di simmetria ameno di coniugio, come conseguenza del fatto che A e hermitiana:

〈x ,y〉A = +xAy = +(+xAy) =+ y+A+(+x) = +yAx = 〈y ,x〉A

Esempio 6.51 In particolare, il prodotto hermitiano 〈 , 〉I su Cn associato alla matrice identicaI := In e detto prodotto hermitiano standard

〈x ,y〉I = +xIy = tx y =n∑

i=1

xi yi

6.6 Prodotti hermitiani e matrici

Definizione 6.52 Sia V un C-spazio vettoriale con base B = {v1, . . . ,vn} e sia 〈 , 〉 un prodottohermitiano. Chiamiamo matrice associata a 〈 , 〉 rispetto alla base B la matrice

MB(〈 , 〉) = G = (gij) ∈ Mn×n(C) con gij = 〈vi ,vj〉 .

Osservazione 6.53 Poiche 〈vi ,vj〉 = 〈vj ,vi〉 la matrice MB(〈 , 〉) e una matrice hermitiana.

Osservazione 6.54 Dati v =∑

i aivi e w =∑

j bjvj, cioe a = FB(v) e b = FB(w), vale:

〈v ,w〉 =

⟨∑i

ai vi ,∑

j

bj vj

⟩=∑

i

∑j

ai bj 〈vi ,vj〉 =∑

i

∑j

ai bj gij = +a G b = 〈a , b〉G

6.7 Spazi di Hilbert

Definizione 6.55 Sia V un C-spazio vettoriale e 〈 , 〉 un prodotto hermitiano. Diciamo che 〈 , 〉e definito positivo se 〈v ,v〉 ≥ 0 ∀v ∈ V e 〈v ,v〉 = 0 se e solo se v = 0 .

Definizione 6.56 Uno spazio di Hilbert e una coppia (V, 〈 , 〉), con V C-spazio vettoriale e〈 , 〉 : V × V → C prodotto hermitiano definito positivo.

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6. Prodotti scalari e prodotti Hermitiani

Esempio 6.57 (Cn e uno spazio di Hilbert) Cn con il prodotto hermitiano standard 〈 , 〉I euno spazio di Hilbert. Infatti, se z = t(z1, . . . , zn) ∈ Cn risulta

〈z ,z〉I =n∑

i=1

zizi ≥ 0 en∑

i=1

zizi = 0 ⇔ zi = 0 ∀i = 1, . . . , n ⇔ z = 0,

ovvero il prodotto hermitiano standard e definito positivo.

Definizione 6.58 Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio di Hilbert. Allora definiamo:

• la norma di v come ‖v‖ =√〈v ,v〉 (∀v ∈ V );

• la distanza fra v e w come d(v,w) = ‖v −w‖ (∀v,w ∈ V ).

Valgono i seguenti risultati analoghi al caso reale.

Proposizione 6.59 Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio di Hilbert. Allora ∀v,w ∈ V valgono:

• (disuguaglianza di Schwarz) | 〈v ,w〉 | ≤ ‖v‖ · ‖w‖;

• (disuguaglianza triangolare) ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖.

Teorema 6.60 (di Gram-Schmidt) Sia (V, 〈 , 〉) uno spazio di Hilbert e sia B = {v1, ...,vn}una base di V . Allora esiste una base ortogonale A = {z1, ...,zn} di V tale che ∀i = 1, . . . , n

vale L (v1, . . . ,vi) = L (z1, . . . ,zi).

Osservazione 6.61 La base B di V e ortogonale (risp. ortonormale) se e solo se MB(〈 , 〉) euna matrice diagonale (risp. la matrice identica In).

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