6. Δυναμική Ανάλυση Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ ·...

6. Δυναμική Ανάλυση

Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ)

Χειμερινό εξάμηνο 2019

Πέτρος Κωμοδρόμος

[email protected]

http://www.eng.ucy.ac.cy/petros

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ

1

mailto:[email protected]

http://www.eng.ucy.ac.cy/petros

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 2

• Εισαγωγή στη δυναμική ανάλυση των κατασκευών

• Δυναμικές αποκρίσεις και δυναμική ανάλυση κατασκευών

• Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ

• Απόκριση υπό αρμονικές διεγέρσεις ΜΒΣ

• Αριθμητικός υπολογισμός δυναμικής απόκρισης ΜΒΣ

• Σεισμικές διεγέρσεις και αποκρίσεις ΜΒΣ

• Φάσματα απόκρισης και φάσματα σχεδιασμού

Θέματα


Εισαγωγή

• Με τη στατική ανάλυση, μπορούμε να υπολογίσουμε την απόκριση μιας κατασκευής υπό στατικές φορτίσεις ή

δράσεις, προσδιορίζοντας τα εντατικά μεγέθη και τις αντίστοιχες μετακινήσεις και παραμορφώσεις.

• Όταν το μέγεθος και ο ρυθμός επιβολής μιας δράσης προκαλεί σημαντικά αδρανειακά φορτία τότε απαιτείται

δυναμική ανάλυση της κατασκευής, στην οποία θα πρέπει να συμπεριληφθούν και οι αδρανειακές δυνάμεις.

Στη δυναμική ανάλυση, αντί των αλγεβρικών εξισώσεων στατικής ισορροπίας, διαφορικές εξισώσεις (ΔΕ)

περιγράφουν την κίνηση (και απόκριση) μιας κατασκευής υπό δυναμική φόρτιση.

• Στον ελληνικό χώρο, η πιο σημαντική δυναμική δράση για τις πλείστες κατασκευές πολιτικού μηχανικού είναι

οι σεισμικές διεγέρσεις του εδάφους θεμελίωσης, οι οποίες συνήθως είναι πιο κρίσιμες από τα στατικά

επιβαλλόμενα φορτία, όπως το ιδιοβάρος και τα κινητά φορτία.

• Με τη δυναμική ανάλυση, που είναι ιδιαίτερα σημαντική για το σχεδιασμό και τη διαστασιολόγηση μιας

κατασκευής, υπολογίζονται οι μετακινήσεις, τα εντατικά μεγέθη, οι επιταχύνσεις και άλλες ποσότητες και

μεγέθη συναρτήσει του χρόνου.

• Σε κάποιες περιπτώσεις στην πράξη χρησιμοποιείται και η φασματική ανάλυση, με την οποία μπορεί να

εκτιμηθεί η μέγιστη απόκριση της κατασκευής, βάσει των δυναμικών χαρακτηριστικών της κατασκευής, της

μέγιστης αναμενομένης σεισμικής έντασης και κάποιων φασμάτων απόκρισης ή σχεδιασμού, τα οποία θα

δούμε, στη συνέχεια, πως κατασκευάζονται. Έτσι, με τη φασματική ανάλυση μπορεί να αποφευχθεί η

διενέργεια της υπολογιστικά πολύ πιο απαιτητικής δυναμικής ανάλυσης, που απαιτείται για τον ακριβή

υπολογισμό της χρονοϊστορίας απόκρισης.

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ4

Βάσει βαθμών ελευθερίας

Μονοβάθμια Συστήματα (single degree of freedom)

Πολυβάθμια Συστήματα (Multi degree of freedom)

Διακριτά: πεπερασμένος αριθμός ΒΕ

Κατανεμημένα: άπειροι ΒΕ

Βάσει γραμμικότητας

εξισώσεων

Γραμμικά (linear) Μη γραμμικά (nonlinear)

Ελαστικά (elastic)

Ανελαστικά (inelastic)

Κατηγοριοποίηση προβλημάτων δυναμικής ανάλυσης


Βάσει δυνατότητας απόσβεσης ενεργείας

Xωρίςαπόσβεση

(undamped)Με απόσβεση

(damped)

Iξώδης(viscousdamping)

Yστερητική (hysteretic damping)

Απόσβεση λόγω τριβής (friction

damping - Coulomb).


Βάσει τύπου διέγερσης

Ελεύθερη ταλάντωση Εξαναγκασμένη ταλάντωση

Εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία

(imposed loads)

Περιοδικά (periodic) Αρμονικά

(harmonic)

Μη αρμονικά (non-harmonic)

Μεταβατικά (transient)

Τυχαία (random)

Καθοριζόμενα (deterministic)

Σεισμικές διεγέρσεις (seismic

excitations)


Στατικοί και δυναμικοί βαθμοί ελευθερίας

• Λόγω της πολυπλοκότητας μιας κατασκευής, είναι πρακτικά απαραίτητη η υιοθέτηση και

χρήση ενός σημαντικά απλοποιημένου προσομοιώματος, με το οποίο θα μπορούν να

υπολογιστούν με επαρκή ακρίβεια τα μεγέθη στα οποία βασίζεται ο σχεδιασμός ή η

αποτίμηση της δομικής επάρκειας μιας κατασκευής.

• Επιπλέον, κατά τη διενέργεια δυναμικών αναλύσεων, η μάζα, η οποία είναι σχεδόν πάντα

κατανεμημένη στα φέροντα και μη φέροντα στοιχεία μιας κατασκευής, συνήθως

θεωρείται συγκεντρωμένη σε συγκεκριμένα σημεία της κατασκευής και συνδέεται με

συγκεκριμένους βαθμούς ελευθερίας μετακινήσεων, για να περιοριστούν οι

υπολογιστικές απαιτήσεις της ανάλυσης.


• Εξετάζοντας ένα επίπεδο πλαίσιο, ο κάθε κόμβος στο επίπεδο έχει 3 ΒΕ, συγκεκριμένα 2

ΒΕ μετάθεσης και 1 ΒΕ στροφής.

• Θεωρώντας αμελητέες τις αξονικές παραμορφώσεις των υποστυλωμάτων μπορούμε να

παραλείψουμε τις κατακόρυφες μεταθέσεις των κόμβων.

• Λαμβάνοντας υπόψη και την ακαμψία των πλακών και των οριζόντιων μελών, καθώς και

τις μικρές σχετικά τιμές των στροφικών ροπών αδρανείας, μπορούμε έτσι να

παραλείψουμε και τις στροφές καταλήγοντας σε 3 ΒΕ.


Συμπεριφορά διατμητικού προβόλου

• Αυτό το μοντέλο, το οποίο έχει τη

συμπεριφορά διατμητικού προβόλου,

έχει ένα βαθμό ελευθερίας σε

οριζόντια μετακίνηση ανά όροφο και

χρησιμοποιείται συχνά για την

ανάλυση συμμετρικών σε κάτοψη

κτιρίων χωρίς εκκεντρότητες.


Μονοβάθμια Συστήματα (ΜΒΣ)

• Επιπλέον, σε κάποιες περιπτώσεις είναι ικανοποιητική η προσέγγιση ακόμη

και με τη χρήση ενός μόνο ΒΕ για να πάρουμε μια πρώτη εκτίμηση των

ισοδύναμων σεισμικών δυνάμεων.

• Έτσι, απαιτείται ο υπολογισμός της οριζόντιας δυσκαμψίας του ΜΒΣ,

δηλαδή η δύναμη που πρέπει να επιβληθεί σε αυτό ώστε να έχουμε

μοναδιαία οριζόντια μετακίνηση της μάζας του.


• Οι στατικοί ΒΕ είναι, γενικά, περισσότεροι από τους δυναμικούς ΒΕ.

• Όπου υπάρχει δυνατότητα μετακινήσεων των κόμβων ενός φορέα, υπάρχουν

αντίστοιχοι στατικοί ΒΕ.

• Αντιθέτως, για ένα δυναμικό ΒΕ, πέρα από τη δυνατότητα αξιόλογης μετακίνησης,

πρέπει να υπάρχει και αντίστοιχη μάζα ή στροφική ροπή αδρανείας που να κινείται ή να

στρέφεται σε αυτή τη μετακίνηση προκαλώντας τις αντίστοιχες αδρανειακές δυνάμεις,

ώστε να πρέπει να συμπεριληφθεί στη δυναμική ανάλυση.

Στατικοί και δυναμικοί βαθμοί ελευθερίας


• Κατά την ανάλυση συνήθων κτιριακών κατασκευών με κάποια προγράμματα ανάλυσης μπορεί να είναι

προτιμότερο να μη δίδονται τιμές μάζας ανά όγκο στα δομικά στοιχεία κατά την προσομοίωση, αλλά να

ορίζονται απευθείας συγκεντρωμένες μάζες στα κέντρα μάζας των οροφών, λαμβάνοντας υπόψη τη

διαφραγματική λειτουργία των πλακών των ορόφων.

• Με αυτή την παραδοχή, μειώνονται σημαντικά οι δυναμικοί ΒΕ που πρέπει να χρησιμοποιηθούν κατά τη

δυναμική ανάλυση.

• Έτσι, για μια χωρική δυναμική ανάλυση μιας τρισδιάστατης κατασκευής υπό οριζόντιες σεισμικές

διεγέρσεις, μπορούμε να περιορίσουμε τον αριθμό των δυναμικών βαθμών ελευθερίας στις τρεις φορές

τον αριθμό των ορόφων, δηλαδή δύο οριζόντιοι μεταθετικοί ΒΕ και ένας στροφικός ΒΕ γύρω από τον

κατακόρυφο άξονα, ανά όροφο.


Μονοβάθμια συστήματα (ΜΒΣ)

Κατά τη δυναμική

ανάλυση, κάποιες

κατασκευές μπορούν

να εξιδανικευτούν

σαν ΜΒΣ όταν τους

επιβληθούν δυναμικά

φορτία, ή

υποβληθούν σε

σεισμικές διεγέρσεις

της βάσης τους.


Μονοβάθμια συστήματα (ΜΒΣ)

• Ένα τέτοιο ΜΒΣ έχει συγκεντρωμένη μάζα, m, στηριζόμενη σε μια αβαρή κατασκευή δυσκαμψίας, k, στην οριζόντια συνήθως διεύθυνση, και ενδεχομένως, κάποιο συντελεστή απόσβεσης, c, ο οποίος αντιπροσωπεύει τους διάφορους μηχανισμούς απόσβεσης ενέργειας


Αδρανειακές δυνάμεις


Ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης


Ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης – απείρως άκαμπτη δοκός

Μελετώντας ένα απλό πλαίσιο, με δύο

υποστυλώματα, στην ακραία περίπτωση, η

δοκός μπορεί να θεωρηθεί απόλυτα μη

παραμορφώσιμη οριζόντια και τα

υποστυλώματα αξονικά μη παραμορφώσιμα.


Ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης – απείρως εύκαμπτη δοκός

Στην αντίθετη ακραία περίπτωση όπου

η δοκός θεωρείται πλήρως εύκαμπτη,

τα υποστυλώματα παραμορφώνονται

σαν πρόβολοι, και η συνολική

οριζόντια δυσκαμψία για το πλαίσιο

ισούται με:


Ελαστικές δυνάμεις παραμόρφωσης – πραγματικού πλαισίου


Μηχανισμοί και δυνάμεις απόσβεσης

( )DF c u t=


Συντελεστής ιξώδους απόσβεσης, c

• Ο συντελεστής ιξώδους απόσβεσης c, ο οποίος έχει μονάδες

δεν μπορεί να υπολογιστεί από τα μηχανικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά

ενός κτιρίου, γι’ αυτό και η τιμή του εκτιμάται εμμέσως με πειραματικές

μεθόδους, μέσω της εκτίμησης του λόγου (ή ποσοστού) απόσβεσης ξ.

( )DF c u t=

N s/ m


Από το βιβλίο:

“Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering”

- Anil K. Chopra




- Anil K. Chopra


Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ


Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ χωρίς απόσβεση

30

( ) ( ) ( )( )

( )n nn

u 0u t u 0 cos ω t sin ω t

ω= + nω k m= n

n

2πT

ω=


nn

n

ω1f

T 2π= =

nω k m=

nn

2πT

ω=

( ) ( ) ( )( )

( )n nn


ω= +


( ) ( ) ( )( )

( )n nn


ω= +




- Anil K. Chopra


Ελεύθερη ταλάντωση ΜΒΣ με ιξώδη απόσβεση


( ) ( ) ( )m u t c u t k u t 0 + + =

( ) ( ) ( )2n nu t 2 ζ ω u t ω u t 0 + + =




- Anil K. Chopra


( ) ( ) ( )m u t c u t k u t 0 + + =

( ) ( ) ( )2n nu t 2 ζ ω u t ω u t 0+ + =nω k m=

( )cr nζ c C c 2 m ω= =

( ) ( )v 0 u 0=

( )u 0

40



- Anil K. Chopra


( ) ( ) ( )m u t c u t k u t 0 + + =

( ) ( ) ( )2n nu t 2 ζ ω u t ω u t 0+ + =

nω k m=

( )cr nζ c C c 2 m ω= =

( ) ( )v 0 u 0=( )u 0


( ) ( ) ( )m u t c u t k u t 0 + + =

( ) ( ) ( )2n nu t 2 ζ ω u t ω u t 0+ + =

nω k m=

( )cr nζ c C c 2 m ω= =

( ) ( )v 0 u 0=( )u 0

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) nn ω ζ td d

d

u 0 ω ζ u 0u t u 0 cos ω t sin ω t e

ω

− + = +

2d nω ω 1 ζ= −




- Anil K. Chopra

46



- Anil K. Chopra




- Anil K. Chopra

49

( )cr nζ c C c 2 m ω= =


i

2i 1

u 2 π ζδ ln 2 π ζ

u 1 ζ+

= =

−

52



- Anil K. Chopra


Παράδειγμα


2.5MNk 50MN / m

0.05m= =

n3.24sec

T 0.141sec23

= =

55ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ

56

Αρμονική ταλάντωση ΜΒΣ χωρίς απόσβεση

( ) ( ) ( )maxm u t k u t P sin ω t + =

ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ



( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

( )

maxn

maxn n2 2

n n n

Pω ωu 0 sin ω tPku t u 0 cos ω t sin ω t

ω k1 ω ω 1 ω ω

= + − + − −



( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

( )

maxn

maxn n2 2

n n n


ω k1 ω ω 1 ω ω

= + − + − −


( ) ( ) ( )( )

( )( )

maxnt

n ntransient 2n n

Pω ωu 0 ku u 0 cos ω t sin ω t

ω 1 ω ω

= + − −

( ) ( )

( )

t maxSteadyState 2

n

sin ω tPu

k 1 ω ω

=

−

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

( )

maxn

maxn n2 2

n n n


ω k1 ω ω 1 ω ω

= + − + − −


( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

( )

maxn

maxn n2 2

n n n


ω k1 ω ω 1 ω ω

= + − + − −




- Anil K. Chopra

62

( ) ( ) ( )( )

( )

tstSteadyState max 2

n

sin ω tu t u u

1 ω ω

= =

−


( ) ( ) ( )( )

( )


n

sin ω tu t u u

1 ω ω

= =

−

66



- Anil K. Chopra


( ) ( ) ( )( )

( )


n

sin ω tu t u u

1 ω ω

= =

−

68



- Anil K. Chopra


( ) ( ) ( )( )

( )


n

sin ω tu t u u

1 ω ω

= =

−


Αρμονική ταλάντωση ΜΒΣ με απόσβεση

( )

( )( ) ( )

2nmax

22 2

n n

1 ω ωPD

k1 ω ω 2 ζ ω ω

−=

− + ( )( ) ( )

max n

22 2

n n

P ζ ω ωE

k1 ω ω 2 ζ ω ω

− =

− +


( ) ( ) ( ) ( )maxm u t c u t k u t P sin ω t + + =

( )

( )( ) ( )

2nmax

22 2

n n

1 ω ωPD

k1 ω ω 2 ζ ω ω

−=

− + ( )( ) ( )

max n

22 2

n n

P ζ ω ωE

k1 ω ω 2 ζ ω ω

− =

− +

( ) ( ) ( )c pu t u t u t= +( ) ( ) ( )( ) nζ ω t

c D Du t A cos ω t B sin ω t e−

= +

( ) ( ) ( )pu t D sin ω t E cos ω t= +




- Anil K. Chopra


( ) ( ) ( )c pu t u t u t= +( ) ( ) ( )( ) nζ ω t


= +



( ) ( ) ( )c pu t u t u t= +( ) ( ) ( )( ) nζ ω t


= +


( )

( )( ) ( )

2nmax

22 2

n n

1 ω ωPD

k1 ω ω 2 ζ ω ω

−=

− + ( )( ) ( )

max n

22 2

n n

P ζ ω ωE

k1 ω ω 2 ζ ω ω

− =

− +

78



- Anil K. Chopra

79



- Anil K. Chopra



( )

( )( ) ( )

2nmax

22 2

n n

1 ω ωPD

k1 ω ω 2 ζ ω ω

−=

− + ( )( ) ( )

max n

22 2

n n

P ζ ω ωE

k1 ω ω 2 ζ ω ω

− =

− +

82

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

ststeady max maxmax

2 22 2 2 2

n n n n

uP ku

1 ω ω 2 ζ ω ω 1 ω ω 2 ζ ω ω

= =

− + − +

( )( )( ) ( )

steadymax

2st 2 2maxn n

u 1

u1 ω ω 2 ζ ω ω

=

− +

84



- Anil K. Chopra

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

steady maxmax

22 2

n n

st max

22 2

n n

P ku

1 ω ω 2 ζ ω ω

u

1 ω ω 2 ζ ω ω

=

− +

=

− +

( )( )( ) ( )

steadymax

2st 2 2maxn n

u 1

u1 ω ω 2 ζ ω ω

=

− +

86



- Anil K. Chopra

87



- Anil K. Chopra


β α

n

ω ωζ

2 ω

−=




- Anil K. Chopra

95



- Anil K. Chopra




- Anil K. Chopra


Αριθμητικός υπολογισμός δυναμικής απόκρισης ΜΒΣ


( ) ( ) ( ) ( )m u t c u t k u t P t + + =

( ) ( )gP t m u t= −


Μέθοδος Κεντρικής Διαφοράς για ΜΒΣ

Η ΜΚΔ βασίζεται στις πιο κάτω σχέσεις πεπερασμένων διαφορών για την ταχύτητα και επιτάχυνση:

Αντικαθιστώντας αυτές τις σχέσεις στην εξίσωση κίνησης

προκύπτει μια σχέση με μόνο άγνωστο τη μετακίνηση :

όπου:

( )( ) ( )u t Δt u t Δt

u t2 Δt

+ − −=

( )

( ) ( ) ( )

( )2

u t Δt 2 u t u t Δtu t

Δt

+ − + −=

( ) ( ) ( ) ( )m u t c u t k u t P t + + =

( )u t Δt+

( )ˆ ˆK u(t Δt) P t + =2

m cK̂

2 ΔtΔt= +

( ) ( ) ( )2 2

m c 2 mP̂ t P t u(t Δt) k u t

2 ΔtΔt Δt

= − − − − −


( )ˆ ˆK u(t Δt) P t + =

2

m cK̂

2 ΔtΔt= +

( ) ( ) ( )2 2

m c 2 mP̂ t P t u(t Δt) k u t

2 ΔtΔt Δt

= − − − − −


Μέθοδος Newmark για ΜΒΣ


( ) ( )( ) ( )( )u t Δt u t

u t Δt u t Δt2

+ ++ = + ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2u t Δt u tu t Δt u t u t Δt Δt

2

+ ++ = + +


Προγραμματισμός Μεθόδου Κεντρικής Διαφοράς και Newmark για αριθμητική δυναμική ανάλυση ΜΒΣ


Σεισμικές διεγέρσεις και αποκρίσεις ΜΒΣ

132



- Anil K. Chopra




- Anil K. Chopra


Απόκριση ΜΒΣ υπό σεισμική διέγερση


( ) ( ) ( ) ( ) ( )g effm u t c u t k u t m u t P t + + = − =

( ) ( ) ( ) ( )2n n n gu t 2 ζ ω u t ω u t u t+ + = −




- Anil K. Chopra


146



- Anil K. Chopra


Απόκριση ΜΒΣ λόγω σεισμικής διέγερσης του σεισμού Αθηνών (Σεπόλια, 1999 )


Φάσματα απόκρισης




- Anil K. Chopra

154



- Anil K. Chopra



- Anil K. Chopra


Το φάσμα ψευδοταχύτητας δεν ταυτίζεται με το φάσμα σχετικής

ταχύτητας, αλλά διαφέρει από αυτό, υπερεκτιμώντας για μικρές

ιδιοπεριόδους και υποεκτιμώντας σε μεγάλες ιδιοπεριόδους τις

μέγιστες σχετικές ταχύτητες.

Αντίστοιχα, το φάσμα ψευδοεπιτάχυνσης υποεκτιμά τις αντίστοιχες

μέγιστες σχετικές επιταχύνσεις όσον αυξάνει η ιδιοπερίοδος.

Όταν η απόσβεση είναι μηδενική η φασματική επιτάχυνση ισούται

με την πραγματική μέγιστη απόλυτη επιτάχυνση.




- Anil K. Chopra


Προγραμματισμός Κατασκευής Φασμάτων Αποκρίσεως


Φάσματα σχεδιασμού




- Anil K. Chopra

6. Δυναμική Ανάλυση Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ ·...

Documents

Transcript of 6. Δυναμική Ανάλυση Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ ·...