ταλαντώσεις

1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης.

Μικρές ασκήσεις που αναφέρονται στους ορισμούς της περιόδου, της συχνότητας, του πλάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης, ανήκουν σε αυτή τη κατηγορία. Πρέπει να γνωρίζουμε τους ορισμούς αυτών των χαρακτηριστικών.Περίοδος είναι ο χρόνος για μια πλήρη ταλάντωση.Συχνότητα είναι ο αριθμός των ταλαντώσεων στη μονάδα του χρόνου δηλ. σε 1 sec.Πλάτος είναι η μεγαλύτερη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας.Ενέργεια της ταλάντωσης είναι η απαιτούμενη ενέργεια για να τεθεί σε ταλάντωση ένα σώμα.

1

f

21D A

2

Παράδειγμα: Ένα σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ=4sec και πλάτος Α=0.1m. Ποια ή ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

α. Η απόσταση ανάμεσα στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης είναι 0.2m. (Διπλάσια του πλάτους)

β. Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς της ταχύτητας είναι 4sec. (Το μισό της περιόδου)

γ. Το σημειακό αντικείμενο εκτελεί δύο ταλαντώσεις κάθε 8sec. (Συχνότητα)

δ. Στη διάρκεια μιας περιόδου το αντικείμενο έχει διανύσει διάστημα 0.4m. (Τετραπλάσιο του πλάτους)

1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης.

2. Πληροφορίες από τις εξισώσεις κίνησης.

Θα μας δίνεται μία από τις εξισώσεις κίνησης και εμείς θα βρίσκουμε διάφορα χαρακτηριστικά της ενώ θα κατασκευάζουμε γραφικές παραστάσεις.Έστω ότι μας δίνεται η εξίσωση της μεταβολής με το χρόνο ενός μεγέθους της ταλάντωσης (πχ. της απομάκρυνσης).Συγκρίνουμε την εξίσωση που μας δίνουν με τη γενική μορφή της αντίστοιχης εξίσωσης που ξέρουμε από τη θεωρία.

5 3142

x t

0x A t

max

2 4 2max 2

500sec

5 10sec

mu A

mA

4 2

500 3142

5 10 3142

u t

t

Συγκεκριμένα γνωρίζουμε την εξίσωση της απομάκρυνσης με το χρόνο:

Θα την συγκρίνουμε με την γενική μορφή:Αποτέλεσμα της σύγκρισης είναι:Α=5 mω=314 rad/sec=100π rad/secφ0=π/2 rad

Τώρα μπορούμε άνετα να προσδιορίσουμε και άλλα χαρακτηριστικά της κίνησης όπως:

και να γράψουμε τις αντίστοιχες εξισώσεις τους:


Προσοχή: Μπορεί να μας δίνουν με έμμεσο τρόπο κάποια χαρακτηριστικά της κίνησης.

•Η απόσταση ανάμεσα στις ακραίες θέσεις, είναι διπλάσια του πλάτους.

•Η ταχύτητα όταν διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, είναι η μέγιστη κατά μέτρο.

•Η επιτάχυνση στο άκρο της κίνησης, είναι η μέγιστη.•Η δύναμη για να φέρουμε το σώμα στην ακραία θέση και

μετά να το αφήσουμε ελεύθερο είναι η μέγιστη.•Όταν η ταχύτητα είναι μηδέν το σώμα είναι στην ακραία

θέση.•Όταν μας δίνουν τις σχέσεις:

2,F D x x πρέπει να αντιστοιχούμε τα διάφορα μεγέθη με το πρόσημό τους

(πχ εάν χ=-0.02m και D=100N/m τότε F=+2 N).


3. Πληροφορίες από τις γραφικές παραστάσεις.

Θα μας δίνεται μία γραφική παράσταση και εμείς θα βρίσκουμε διάφορα χαρακτηριστικά της κίνησης και θα κατασκευάζουμε άλλες γραφικές παραστάσεις και εξισώσεις.Στο σχήμα έχουμε τη μεταβολή της απομάκρυνσης με το χρόνο. Παρατηρούμε ότι:

MAX

2 2 2

o

0.04m

T 2sec f 0.5Hz rad / sec

u A 0.04 m / sec

0.04 m / sec

t 0 x 0,u 0 rad

Τώρα μπορούμε να γράψουμε όλες τις εξισώσεις με το χρόνο.

2

x 0.04 t

u 0.04 t

0.04 t

4. Προσδιορισμός της αρχικής φάσης.

Η αρχική φάση προσδιορίζεται από τις αρχικές (για t=0) συνθήκες της απομάκρυνσης και της ταχύτητας ενός κινητού που εκτελεί α.α.τ.Οι συνθήκες αυτές θα δίνονται στην εκφώνηση της άσκησης.Πότε δεν θα έχουμε αρχική φάση; Όταν για t=0, το κινητό περνά από τη θέση ισορροπίας (x=o) με θετική ταχύτητα(u>0).Πότε θα έχουμε αρχική φάση; Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις.Η τιμή της αρχικής φάσης βρίσκεται λύνοντας μια τριγωνομετρική εξίσωση. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

0 0, 0t x u

0 00

00

0

0

0 0

0

0

0

2 , 2 1 }

t x

A

x A t

A

Για

Από τη γενική εξίσωση της απομάκρυνσης έχουμε

00 2

0 0,

00 0

tu t u

όμως

Άρα

Ποια από της δύο θα είναι αποδεκτή θα μας το πει η ταχύτητα. Πράγματι για t=0 έχουμε:

Εάν θέσουμε φ0=0 παίρνουμε u>0 ενώ με φ0=π παίρνουμε

u<0.Δεκτή είναι προφανώς η φ0=0.

Η εξίσωση τελικά γίνεται : x=Α ημωt

4. Προσδιορισμός της αρχικής φάσης.

5. Προσδιορισμός του χρόνου.

Μας ζητούν να προσδιορίσουμε σε ποια χρονική στιγμή το κινητό διέρχεται από μια ορισμένη θέση. Αφού έχουμε βρει την αρχική φάση, αντικαθιστούμε την τιμή της θέσης στην εξίσωση της απομάκρυνσης με το χρόνο και λύνουμε την τριγωνομετρική εξίσωση που προκύπτει.

Ας δούμε ένα παράδειγμα.Για ένα κινητό που εκτελεί α.α.τ , η εξίσωση της απομάκρυνσης με το χρόνο δίνεται από τη σχέση:

6x A t

Να βρείτε τη χρονική στιγμή στην οποία το κινητό περνά από τη θέση χ=Α/2 με κατεύθυνση προς τη θέση ισορροπίας για πρώτη φορά.

Στην εξίσωση της απομάκρυνσης θέτουμε χ = Α/2 και υπολογίζουμε το χρόνο.

5. Προσδιορισμός του χρόνου.

1

2 6 2 6 6 6

26 6

AA t t t

t k

26 6t k

1 1sect 2 5sect

Επειδή για πρώτη φορά θα περάσει από αυτή τη θέση πρέπει να βρούμε το μικρότερο χρόνο. Γι’αυτό διαλέγουμε κ = 0 . Μετά από πράξεις στις δύο παραπάνω εξισώσεις παίρνουμε:

και

Πάλι όμως πρέπει να επιλέξουμε μεταξύ των δύο. Επειδή μας ζητά η ταχύτητα να βλέπει προς τη θέση ισορροπίας θα έχουμε u<0.Πηγαίνουμε στην εξίσωση της ταχύτητας και θέτουμε όπου t τις αντίστοιχες τιμές 1sec και 5sec.Τότε θα έχουμε:

max1sec 1 06

u t u

max5sec 5 0

6u t u

Προφανώς δεκτή είναι η τιμή t=5sec.

ή

6. Συνθήκη για απλή αρμονική ταλάντωση.

F D x

2m

TD

Σ’ αυτή τη κατηγορία ασκήσεων μας ζητούν να αποδείξουμε ότι ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Αυτό θα συμβαίνει εάν αποδείξουμε ότι η συνιστάμενη δύναμη είναι ανάλογη της απομάκρυνσης και αντίθετη από αυτήν.

Για την απόδειξη ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα :1.Τοποθετούμε τις δυνάμεις πάνω στο σώμα στη θέση ισορροπίας.2.Εφαρμόζουμε τη συνθήκη ισορροπίας ΣF=0 στον άξονα της κίνησης και σημειώνουμε τη σχέση που προκύπτει.3.Σε μία τυχαία θέση , αφού τοποθετήσουμε τις δυνάμεις στον άξονα της κίνησης , υπολογίζουμε τη συνιστάμενη δύναμη μέχρι να καταλήξουμε στη μορφή:

και υπολογίζουμε τη περίοδο της ταλάντωσης.

4. Αντικαθιστούμε τη σταθερά D στη σχέση:

F D x

6. Συνθήκη για απλή αρμονική ταλάντωση.

Παράδειγμα: Στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς K,του οποίου το κάτω άκρο είναι ακλόνητα δεμένο σε οριζόντιο δάπεδο, δένουμε σώμα μάζας m. Αφού το σώμα ισορροπήσει , συμπιέζουμε το ελατήριο κατά d επιπλέον και το αφήνουμε ελεύθερο.Να δείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει α.α.τ. και να βρείτε την περίοδο του.

ί

o

F W

K L m g 1

΄

o

o

F W F

m g K L

m g K L x

m g K L K x

K x

D x

2 2

m mT

D

Λύση:1.Τοποθετούμε τις δυνάμεις πάνω στο σώμα στη θέση ισορροπίας.2.Εφαρμόζουμε τη συνθήκη ισορροπίας ΣF=0 στον άξονα της κίνησης και σημειώνουμε τη σχέση που προκύπτει.

3. Σε μία τυχαία θέση , αφού τοποθετήσουμε τις δυνάμεις στον άξονα της κίνησης , υπολογίζουμε τη συνιστάμενη δύναμη μέχρι να καταλήξουμε στη μορφή:

.

4. Αντικαθιστούμε τη σταθερά D στη σχέση: και υπολογίζουμε τη περίοδο της ταλάντωσης.

F D x

7. Εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ενέργειας.

Ένα βασικό εργαλείο για τη λύση των ασκήσεων είναι και η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας στην απλή αρμονική ταλάντωση. Συνήθως εφαρμόζεται όταν η άσκηση μας δίνει ζευγάρια (x,u) ή (q,i) ενώ απουσιάζει ο χρόνος.Προσοχή!!! Στην ακραία θέση τα ζευγάρια είναι (x=A,u=0) (q=Qmax,I=0) ενώ στη θέση ισορροπίας (x=0,u=umax) (q=0,i=Imax).Τότε ανάμεσα στα ζευγάρια γράφουμε:

2 21 1 2 2 max

1 1, ,

2 2 x u x u D A m u

ή στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις

2

2 max1 1 2 2 max

1 1, ,

2 2

Qq i q i L I

C

Διαλέγουμε την ισότητα που περιέχει τον άγνωστό μας και λύνουμε.

7. Εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ενέργειας.

Παράδειγμα: Σώμα εκτελεί α.α.τ. σε οριζόντιο δρόμο χωρίς τριβές με πλάτος 0.1m.Σε ένα σημείο που απέχει από τη θέση ισορροπίας 0.06m η ταχύτητα του σώματος είναι 0.32m/sec.1)Πόση είναι η περίοδος του;2)Σε ποια θέση η ταχύτητα του σώματος είναι 0.12m/sec;

Λύση: Θεωρούμε ότι A=0.1m,x1=0.06m,u1=0.32m/sec,u2=0.12m/sec,x2=;

Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουμε:

2 21 1 2 2 max

21 1 2 2

2 2 2 2 21 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2

22 2 2 2 2 11 1

1 1, ,

2 21

21 1 1 1 1

2 2 2 2 21 1 1 1 1

2 2 2 2 2

x u x u D A m u

U K U D A

m u D x m u D x D A

m u m x m u m x m A

u x u x A

uu x A

A

2 2

1

2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2

x

A uu x A x

8. Κρούση και ταλάντωση.

Διακρίνουμε τρία στάδια στη λύση της άσκησης:Πριν τη κρούση: Συνήθως εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε ή το Θ.Μ.Κ.Ε ή τις εξισώσεις κίνησης της Α’ Λυκείου με σκοπό να βρούμε τις ταχύτητες των σωμάτων λίγο πριν την επαφή τους .Κατά τη κρούση: Εφαρμόζουμε την Α.Δ.Ο ανάμεσα στις καταστάσεις λίγο πριν και λίγο μετά τη κρούση με σκοπό να βρούμε τις τελικές ταχύτητες των σωμάτων.Μετά τη κρούση: Όμοια εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε ή Θ.Μ.Κ.Ε ή τις εξισώσεις κίνησης με σκοπό να βρούμε ένα νέο πλάτος ή μια νέα ταχύτητα ή ένα νέο ύψος.

Οι κρούσεις που θα συναντήσουμε μπορεί να είναι :ελαστικέςπλαστικές (τα σώματα μετά τη κρούση συμπεριφέρονται σαν ένα συσσωμάτωμα και έχουν αποκτήσει την ίδια (κοινή) ταχύτητα .

Σύμφωνα με την Α.Δ.Ο ισχύει:

' '

1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

P P

P P P P

m u m u m v m v

Για τη περίπτωση της πλαστικής κρούσης δύο σωμάτων έχουμε:


1 1 2 1 2

1 1 1 2

1 1

1 2

0 k

k

k

m u m m m u

m u m m u

m uu

m m

Κατά τη κρούση πρέπει να ελέγχουμε εάν αλλάζει η θέση ισορροπίας και το πλάτος της ταλάντωσης .Η θέση ισορροπίας αλλάζει εάν μετά τη κρούση έχουμε αλλαγή του βάρους του σώματος που κρέμεται σε κατακόρυφο ελατήριο. Το πλάτος

της ταλάντωσης αλλάζει


Aν το ταλαντούμενο σύστημα μετά τη κρούση μεταβάλλει την ενέργειά του. Στο διπλανό σχήμα έχουμε μεταβολή του πλάτους της ταλάντωσης όχι όμως και αλλαγή της θέσης ισορροπίας γιατί το ελατήριο είναι οριζόντιο. Σύμφωνα με την Α.Δ.Μ.Ε μετά τη κρούση θα έχουμε:

2 2 '2 '1 2

1 1 1...

2 2 2Km m u D x D A A

Στο πιο πάνω σχήμα αλλάζει η θέση ισορροπίας και για να βρούμε το πλάτος ταλάντωσης μετά τη κρούση χρειάζεται ο προσδιορισμός της . Αυτό γίνεται εάν εφαρμόσουμε τη συνθήκη ισορροπίας για το συσσωμάτωμα .

1 20 ( )F k l m m g

όπου: Δl+x2=Δl0+x1Η παλιά θέση ισορροπίας (πριν τη κρούση) είναι τώρα τυχαία θέση (μετά τη κρούση). Σύμφωνα με την Α.Δ.Ε θα έχουμε:

2 2 21 2 2

1 1 1...

2 2 2Km m u D x D A A

2m

TD

1 22m m

TD

Προσοχή!!! Η περίοδος της ταλάντωσης

αλλάζει μόνο στην πλαστική κρούση αφού η μάζα αυξάνεται και γίνεται:


9. Ο απλός αρμονικός ταλαντωτής.

.

o

o

F W

K L m g

m gL

K

. x

o

o

F W

K L m g

m gL

K

Η κατηγορία αυτή αφορά το σύστημα ελατήριο-μάζα (K,m).Διακρίνουμε τις καταστάσεις :Το ελατήριο οριζόντιο: Όταν το ελατήριο είναι οριζόντιο η θέση ισορροπίας και η θέση του φυσικού μήκους του ελατηρίου ταυτίζονται. Δηλαδή παραμόρφωση ελατηρίου και απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι το ίδιο.

Το ελατήριο κατακόρυφο ή πλάγιο: Όταν το ελατήριο είναι πλάγιο ή κατακόρυφο οι θέσεις αυτές δεν ταυτίζονται. Στις περιπτώσεις αυτές εφαρμόζουμε τη συνθήκη ισορροπίας ΣF=0 για να βρούμε την αρχική παραμόρφωση του ελατηρίου ή τη σταθερά Κ του ελατηρίου.

10. Χάσιμο επαφής. Κατά το χάσιμο της επαφής δύο σωμάτων η μεταξύ τους δύναμη μηδενίζεται. Τα δύο σώματα μετά το χάσιμο της επαφής έχουν την ίδια ταχύτητα και επιτάχυνση που είχε το συσσωμάτωμα λίγο πριν το χάσιμο της επαφής. Για την επίλυση της άσκησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα.

Τοποθετούμε τις δυνάμεις σε κάθε σώμα ξεχωριστά. Οι δυνάμεις που εμφανίζονται είναι εσωτερικές (F1,F2) και εξωτερικές (W,W1,W2,Fελατηρ). Οι εσωτερικές είναι οι δυνάμεις επαφής μεταξύ των σωμάτων και είναι ζεύγος δράσης-αντίδρασης. Το συσσωμάτωμα και το κάθε σώμα ξεχωριστά εκτελούν ταλάντωση της ίδιας περιόδου και του ιδίου πλάτους αλλά διαφορετικής σταθεράς επαναφοράς. Από την εξίσωση των περιόδων έχουμε:

1 2 1 2

1 2

m m m m

D D D

Υπολογίζουμε τη σταθερά επαναφοράς εκείνου του σώματος που δέχεται τις λιγότερες δυνάμεις.

11

1 2

22

1 2

mD D

m m

mD D

m m

Έστω x η τυχαία θέση στην οποία υποθέτουμε ότι τα σώματα χάνουν την επαφή. Σ’αυτή τη θέση εφαρμόζουμε τη συνθήκη για απλή αρμονική ταλάντωση στο σώμα με τις λιγότερες δυνάμεις.

10. Χάσιμο επαφής.

2

2 2 2

F D x

F W D x

2 2

22

1 2

1 2

W D x

mm g D x

m m

m m gx

D

Μηδενίζουμε τη δύναμη επαφής και λύνουμε ως προς x.

.

10. Χάσιμο επαφής.

[Γ]. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης για να υπολογίσουμε τη ταχύτητα του συσσωματώματος στη θέση x.Αμέσως μετά το χάσιμο της επαφής τα δύο σώματα θα έχουν τη ταχύτητα και την επιτάχυνση που βρήκαμε.

2 x

Αν x<A θα έχουμε χάσιμο επαφής.Βρίσκουμε την επιτάχυνση του συσσωματώματος στη θέση x από την εξίσωση

11. Σύνθεση ταλαντώσεων.

1 1

2 2

( )

( )

x A t

x A t

1 2 1 2( ) ( )x x x A t A t

Σε όλες όμως τις περιπτώσεις θεωρούμε ότι οι δύο επιμέρους κινήσεις συμβαίνουν στην ίδια ευθεία γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας.

Σύνθεση δύο ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας: Έστω δύο ταλαντώσεις της μορφής :

έχουν δηλαδή ίδια συχνότητα , γενικά διαφορετικό πλάτος και διαφορά φάσης φ. Με την βοήθεια της αρχής της επαλληλίας η σύνθετη κίνηση θα είναι της μορφής :


1 1

2 2

( )

( )

x A t

x A t

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x x A t A t x A A t

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:(Α1) Εάν φ=0:

Τότε δηλαδή το αποτέλεσμα της σύνθεσης είναι μία νέα ταλάντωση της ίδιας συχνότητας και φάσης με τις αρχικές και

με πλάτος το άθροισμα των πλατών.

1 1

2 2

( )

( )

x A t

x A t

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x x A t A t x A A t

(Α2) Εάν φ=1800 τότε:

Η σύνθεση δύο τέτοιων ταλαντώσεων είναι γενικά μία νέα ταλάντωση με πλάτος την διαφορά των πλατών και φάση ίδια με εκείνη που έχει τη

μεγαλύτερη. Στην περίπτωση που τα δύο πλάτη είναι ίσα τότε το αποτέλεσμα είναι μηδενικό.



1 1

2 2

( )

( )2

x A t

x A t

1 2 1 2( ) ( )2

x x x A t A t

( )x A t

2 21 2A A A

2

1

A

A

(Α3) Εάν φ=900 οι επιμέρους ταλαντώσεις θα είναι της μορφής :

Οπότε με την αρχή της επαλληλίας η σύνθετη κίνηση θα είναι :

Η γενική μορφή της σύνθετης κίνησης θα είναι :

όπου

και θ:


1 1

2 2

( )

( )

x A t

x A t

2 21 2 1 22 A A A A A

2

1 2

A

A A

( ) x A t

(Α4) Γενικεύοντας την τελευταία περίπτωση για τυχαία διαφορά φάσης, τα διανυσματικά διαγράμματα μας δίνουν:

όπου:

και θ:

12. Διακρότημα.

1 1

2 2

x A t

x A t

1 2 1 2 1 2

A'

x 2 A t t A ' t2 2 2

Είναι αποτέλεσμα της σύνθεσης δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που συμβαίνουν στην ίδια διεύθυνση γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με το ίδιο πλάτος και με συχνότητες που διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους. Στη περίπτωση της ίδιας μηδενικής αρχικής φάσης οι εξισώσεις των δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων είναι της μορφής:

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας η εξίσωση της συνιστάμενης κίνησης είναι:

Η συνιστάμενη κίνηση είναι περιοδική όχι όμως αρμονική. Ο παράγοντας Α’ με το συνημίτονο μεταβάλλεται πολύ πιο αργά από ότι ο παράγοντας με το ημίτονο. Επειδή το πλάτος Α΄ αυξομειώνεται λέμε ότι η κίνηση παρουσιάζει διακροτήματα. Σε μια τέτοια κίνηση εμφανίζονται τρεις συχνότητες και τρεις περίοδοι, της συνιστάμενης κίνησης, του πλάτους Α΄ και του διακροτήματος. Πρέπει να μάθουμε να τις ξεχωρίζουμε.

1 21 2

1 2

1 2

2 f f

2 2f f

f2 21 2

Tf f f

1 21 2

1 2

1 2

2 f f

2 2f f

f2 21 2

Tf f f

Περίοδος και συχνότητα της συνιστάμενης κίνησης. Είναι η περίοδος και η συχνότητα του παράγοντα ημίτονο.

Περίοδος και συχνότητα του πλάτους. Είναι η περίοδος και η συχνότητα του παράγοντα συνημίτονο.



1 2

1 2

f f f21 1

Tf f f

TN

Περίοδος και συχνότητα του διακροτήματος. Είναι η περίοδος και η συχνότητα της εμφάνισης των μεγίστων του

πλάτους.

Αριθμός ταλαντώσεων της συνιστάμενης κίνησης σε χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών ή μεγίστων του πλάτους βρίσκεται από το λόγο

ταλαντώσεις

Science

Transcript of ταλαντώσεις