ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

~ 1 ~ www.georgefrang-math-trip.blogspot.com

ΔΥΝΑΜΕΙΣ-ΡΙΖΕΣ

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν

≥ 2 συμβολίζεται με αν και είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό

α. Δηλαδή

Ορίζουμε ακόμη:

Για τις δυνάμεις με εκθέτες ακέραιους αριθμούς και εφόσον αυτές ορίζονται,

ισχύουν οι ιδιότητες:

H προτεραιότητα των πράξεων

Πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις.

Στη συνέχεια κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις.

Τέλος, κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.

Όταν η παράσταση περιέχει και παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις

μέσα στις παρενθέσεις με τη σειρά που αναφέραμε παραπάνω.



Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού x συμβολίζεται με √x και είναι ο

θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό x.

Π.χ√25 =5, αφού 52=25

Ορίζουμε ακόμη √0 =0

Όμως και (-5)2=25,οπότε έχουμε √(-5)2= √25= 5=|-5| Άρα, για κάθε

πραγματικό αριθμό x ισχύει:

Δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού, γιατί δεν υπάρχει αριθμός

που το τετράγωνο του να είναι αρνητικός αριθμός.

Παρατηρούμε ακόμη ότι: ( √9 )2=32=9 δηλαδή ( √9 )2 =9 Γενικά

Ιδιότητες των ριζών

Για δύο μη αρνητικούς αριθμούς α, β μπορούμε να αποδείξουμε ότι:

Το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα

του γινομένου τους. βαβα

το πηλίκο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του

πηλίκου τους. β

α

β

α με β>0

Προσοχή γενικά Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί, τότε βαβα



Θέματα για λύση

1. Να γίνουν οι πράξεις :

α) 9-[-(-4)]+(-5)[-(-6)]-(-8)(-12+7), β) 7-[-(-5)]+(-4)[-(-8)]-(-9)(-16+13)

γ) -3[-4-(-7)]-2(-5) δ) (-2)(-3)(-4)(-5)+(-2)(-3)(-4)(+5)

ε) 5 7 5 3 4

2 : 24 6 12 4 3

στ) 2 5 4 3 1 3

: ( 6) :3 2 7 7 2 4

2. Αν α=4 και β=-2, να βρεθεί η τιμή της παράστασης ( 3 )

( )( 3 )

aA

.

3. Αν είναι α=(-1)8+(-2)3+32, β=(-1)7.(+2)3.(+1)20, γ=3α+β, να βρεθούν οι

τιμές των παραστάσεων : Α = 4α-3β+2γ και Β = α3-β2+γ4.

4. Να γραφούν οι παραστάσεις με μορφή μιας δύναμης:

Α=(315.36.3):318 Β=(-2)17:[(-2).(-2)8.(-2)5]

Γ=[(1,3)7.(-1,3)6]:[(-1,3)4.(-1,3)6]

5. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων :

Α=-24-[-3-8-(-3)3]+2(-5)2-48 Β=4[6-(-7)]-[12:(-8)].(-3)3

Γ4 5 7 4 3

2 3 4 3

( 1) ( 1) ( 1) ( 2) 2

3 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)

6. Αν x=1 , να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων :

Α4 3 2

11 1 1( 1) ( 1)

3 4 2

x x x

x x



Β3 2 1

1 1 1( 1)

4 2 3

x x x

x

.

7. Να βρείτε τους αριθμούς α,β,γ αν είναι γνωστό ότι :

3 1 5

1 : 210 5 2

a

, α+β=0 και β.γ=1.

8. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις :

Α. 1212 9 94 : 2 2,5 : 5

Β.

3 34 25 25

.

9. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί :

2 3

1

1 1

3 2

21

3

A

και

2 2

2

1 2

2 3

12 1

2

B

είναι αντίστροφοι.

10. Αν είναι α+β = 2 και β-γ = -3, να υπολογίσετε τις παραστάσεις :

2005 2006 2007

2 5 4,

3 2 2 5 3

2 2 3 3 5 2

11. Να αποδείξετε ότι :

α. 14 2 22 0 22 5 1821 10 : 2 4 4 2005

.

β. 5 235 2 2 1 9.

γ. 2 0

2 12 : 3 3 7 .



δ. 3 2

1 18 9 5 5

2 3

.

ε. 2 232 3 1 3 7 .

12. Υπολογίστε τις παρακάτω παραστάσεις :

α) 3 5 9 49A β) 6 9 8 4B

γ) 4 7 4 3 9 16

13. Υπολογίστε τις παρακάτω παραστάσεις :

α) 25 4 11 25A β) 2 8 4B

γ) 3 2 3 2

14. Να τρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή:

α) 1

5A β)

8

3 2B

γ) 1

a

δ) 2

3, , 0

aa

a

15. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα:

α) A a a β) B a a

γ) , , 0a a a

16. Να τρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή:

α) 1

1 2A

β)

2

3 1B

γ)

3

2 5



17. Δίνονται: 2 2 3 , 2 2 3 , 2 3A B .

Να υπολογίσετε το γινόμενο Α.Β και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι:

Α.Β.Γ = 1 .

18. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

α) 8232122273 β) 4522372203

γ) 27210850 δ) 15652 , aa

147

19. Βρείτε το εξαγόμενο:

2

3

23

2

32


x

y

y

y

x

x 12:

32 3

, 23

32122009



ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

Αλγεβρική παράσταση :λέγεται μια έκφραση, που δηλώνει μια σειρά πράξεων

μεταξύ αριθμών, ορισμένοι από τους οποίους παριστάνονται με γράμματα

(μεταβλητές).

Αριθμητική τιμή :της αλγεβρικής παράστασης, λέγεται ο αριθμός που

προκύπτει, αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με συγκεκριμένους αριθμούς

και μετά εκτελέσουμε τις πράξεις. (Η εκτέλεση των πράξεων γίνεται

σύμφωνα με τη γνωστή προτεραιότητα των πράξεων.

Μια αλγεβρική παράσταση θα λέγεται:

Άρρητη, όταν περιέχει μεταβλητή κάτω από σύμβολο τετραγωνικής ρίζας

Κλασματική, όταν περιέχει γράμμα σε παρονομαστή

Ακέραια, όταν δεν είναι ούτε άρρητη ούτε κλασματική.

Μονώνυμο :ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση, που περιέχει μόνο

πολλαπλασιασμό μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.

Σε κάθε μονώνυμο λοιπόν υπάρχει μόνο ένας αριθμητικός παράγοντας. Ο

παράγοντας αυτός γράφεται πρώτος και λέγεται συντελεστής του μονωνύμου.

Όλοι οι άλλοι παράγοντες (μεταβλητές), αποτελούν το κύριο μέρος του

μονωνύμου.

Π.χ. στο -5χ3ψ , το .... είναι συντελεστής και το ...... είναι το κύριο μέρος

Βαθμός :μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή, είναι ο εκθέτης της μεταβλητής

αυτής.

Βαθμός μονωνύμου (ως προς όλες τις μεταβλητές που περιέχει), είναι το

άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών που περιέχει,

π.χ. το μονώνυμο χ3ψ5z, είναι τρίτου βαθμού ως προς x, πέμπτου βαθμού ως

προς y, πρώτου βαθμού ως προς z, μηδενικού βαθμού ως προς ω και 9ου

βαθμού ως προς όλες τις μεταβλητές του (διότι 3+5+1=9).



Μηδενικό μονώνυμο, είναι κάθε μονώνυμο με συντελεστή μηδέν, Π.χ.

0χψ2ω

Όμοια μονώνυμα :λέγονται αυτά που έχουν το ίδιο κύριο μέρος.

Π.χ τα 3χ4ψω και -7ωχ4ψ είναι όμοια , ενώ τα 3χ2ψ , 3χψ2 δεν είναι

Αντίθετα μονώνυμα, :λέγονται αυτά που είναι όμοια και έχουν αντίθετους

συντελεστές.

Π.χ. τα 3χ3ψ2ω και -3χ3ψ2ω είναι αντίθετα

Πράξεις Μονωνύμων

Άθροισμα όμοιων μονωνύμων, είναι ένα όμοιο προς αυτά μονώνυμο που έχει

συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους.

Π.χ. 3χψ+2χψ = .5χψ..,2χ3ω -7χ3ω = ...-5χ3ω.... , ενώ η πρόσθεση

2χ2ψ+3χψ2 δεν γίνεται .

Το άθροισμα δυο αντίθετων μονωνύμων, είναι το μηδενικό μονώνυμο.

Το άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια, δεν είναι μονώνυμο, αλλά

είναι μια αλγεβρική παράσταση που την ονομάζουμε πολυώνυμο.

Γινόμενο μονωνύμων, είναι ένα μονώνυμο που έχει ως συντελεστή το

γινόμενο των συντελεστών τους και ως κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με

εκθέτη σε καθεμιά το άθροισμα των εκθετών της.

Το πηλίκο μονωνύμων, όπως και στους αριθμούς βρίσκεται, με

πολλαπλασιασμό επί τον αντίστροφο του διαιρέτη. (Δεν είναι πάντοτε

μονώνυμο).

Πολυώνυμο, ονομάζουμε ένα άθροισμα που οι όροι του είναι ανόμοια

μονώνυμα.

Όρους του πολυωνύμου, ονομάζουμε τα μονώνυμα και συντελεστές του

πολυωνύμου, ονομάζουμε τους συντελεστές των μονωνύμων



Βαθμός πολυωνύμου ως προς μία μεταβλητή (ή ως προς περισσότερες

μεταβλητές του) λέγεται ο πιο μεγάλος βαθμός όλων των όρων του ως προς

την μεταβλητή αυτή (ή ως προς τις μεταβλητές αυτές).

Πράξεις Πολυωνύμων

Αν σε ένα πολυώνυμο αντικαταστήσουμε τα όμοια μονώνυμα (αν υπάρχουν) με

το άθροισμά τους, τότε λέμε ότι κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

Προσθεση – Αφαίρεση

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ή περισσότερα

πολυώνυμα,κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων

Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο επί πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το

μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που

προκύπτουν.

Για να πολλαπλασιάσουμε δυο πολυώνυμα, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του

ενός με κάθε όρο του άλλου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν.



Θέματα για Λύση

1. Ποιες απο τις παρακάτω ποσότητες είναι μονώνυμα;(Αν όχι , τότε γιατί ;)

3χ+ψ , 3χψ7 , χψ2ω-1 ,

, χ(χ+1) , 4

2. Να βρείτε τον συντελεστή , το κύριο μέρος και το βαθμό σε καθένα από τα

παρακάτω μονώνυμα .

3χψ . –2χψ2 , ψ3ω2 , χψω

3. Να χωρίσετε τα παρακάτω μονώνυμα σε 4 ζεύγη ομοίων μονωνύμων

3χ4ψ , 4χω2 , -4χ3ψ4 , 5χ3ψ4κ , 6ω2χ , -4ψχ4 , ψ4χ3 , -κψ4χ3

4. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις , όπου αυτό είναι δυνατόν

α) 2χ3+5ψ3 β) 2χ3+6χ3 γ) 4χ5ω-7ωχ5 δ) 3χ5+4χ2 ε) χ4+3χ4

ζ) 2χ2-2χ2 η) χ2+χ2 θ) χ2+χ ι) χ+χ3 κ) χ2-χ

λ) 3χ4-4χ4 μ) 3χ-3χ3

5. Να εκτελέσετε τις αναγωγές ομοίων όρων .

α) 3χ4-2χ3+5χ2-4χ+3χ2+χ4 β) 2χ2ψ+3χψ2+5ψχ-

3χ2ψ2+2ψ2χ+5χ2ψ-4χ2ψ2-χψ

6. Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς

α) (2χ2ψ)(-5χψ2) β) (3χψω5)(4χ4ψ2) γ) (-2χψ)(-4χψ) δ) (-

χψ3)(χ2ψ)

7. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ , ως προς ψ και ως

προς χ και ψ μαζί

α) 2χ3-4χ+ψ β) χψ2-4χ5ψ+χ2ψ6-4χ+ψ-3 γ) 2χ3ψ+3χψ3 –

4χ2ψ2+χ-ψ+1

8. Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς

α) χ(χ+3) β) 3χ(χ-2) γ) 4χ(2χ-4) δ) 2χ3(χ2-3) ε)

4χ(χ3-3χ2+4χ-2)

9. Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς , να κάνετε τις αναγωγές ομοίων

όρων και να τακτοποιήσετε τα πολυώνυμα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις .

α) (χ-3)(χ+2) β) (2χ+3)(3χ+4) γ) (χ2-1)(χ2+1) δ) (χ+3)(χ+3)

ε) (χ2+1)(χ-2) ζ) (χ2-3)(χ+2) η) (χ2+1)(χ3-2) θ) (χ2+χ-3)(χ+2)

ι) (χ3-3)(χ2+2χ-4)



κ) (χ2+5χ+1)(χ-2) λ) (3χ2+1)(4χ-2) μ) (χ2+4χ-1)(3χ2-6χ-2)

ν) (χ-3)(χ+2)(χ-5) ξ) (2χ-1)(4χ+2)(χ-1) ο) 2χ(χ+3)(χ-4)

10. Δίνονται τα πολυώνυμα 3 24 3 1x x x x και 4 22 3Q x x x

Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

α) P x Q x β) P x Q x γ) P x

δ) P x P x ε) 2Q x στ) 2 3P x Q x

ζ) P x Q x η) 1 1P Q

11. Δίνεται το πολυώνυμο 3 21 2 3 4P x a x x ax

α) Για ποια τιμή του a το P x είναι τρίτου βαθμού

β) Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου όταν 1a

γ) Για 1a , να υπολογίσετε την παράσταση 2 2P P



Ταυτότητες

Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για

όλες τις τιμές των μεταβλητών της.

1. (α+β)2 = α2 + 2αβ + β2

2. (α-β)2 = α2 - 2αβ + β2

3. (α+β)(α-β) = α2 - β2

4. (α+β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

5. (α-β)3 = α3 - 3α2β + 3αβ2 - β3

6. α3+β3 = (α + β)(α2 - αβ + β2)

7. α3-β3 = (α -β)(α2 + αβ + β2)

8. (α+β+γ)2 = α2+β2+γ2+2αβ+2βγ+2αγ

Η εφαρμογή κάποιας από αυτές γίνεται με απλή αντικατάσταση των

ποσοτήτων που έχουμε , στη θέση των α και β . Στην περίπτωση που η

ποσότητα που έχουμε είναι πολύπλοκη , είναι αναγκαία η χρήση

παρενθέσεων .




1.Να βρείτε τα αναπτύγματα:

i) 21x ii) 2

12 x iii) 232 yx iv)

21

xx v)

2

3

2

yx

vi) 2

32

2

1

yx vii) 2

1x viii) 242 yx ix)

2

25

2

yx

x) 2

2

3

2

x xi)

2

32

2

1

3

2

yx xii) 2

3 x xiii) 2

2

1

yx

xiv) 22 xyx xv) 222 yxxy xvi) 2

2

1

yxy

2.Να γίνουν οι πράξεις

α. (α+8)2 β. (χ-2)2 γ. (ψ+κ)2 δ. (χ+4ψ)2 ε.(3κ-

5λ)2 ζ. (5/κ - 4/λ)2 η. (2/3-χ/4)2 θ.(χ - 3/χ)2 ι. (χ/3+3ψ/4)2 κ.

(3χ+χ/2)2

3.Να κάνετε τους πολλαπλασιασμούς:

i) 11 xx ii) 44 xx iii) 1212 xx

iv)

yxyx

2

1

2

1 22 v)

yxyx

2

32

2

32 vi) yxyx 22

vii)

yxyx

2

12

2

12 viii) yxyx 22 22


α. (χ+8)(χ-8) β. (4χ-1)(4χ+1) γ. (χ-3ψ)( χ+3ψ) δ. (χ+2/α)(χ-2/α)

ε. (α/2-κ/3)(α/2+κ/3) ζ. (χ/3-β/3)(χ/3+β/3)

5.Να βρείτε τα αναπτύγματα:

i) 32x ii) 312 x iii) 3

22

1

x iv) 322 2yx



v) 31x vi) 332 x vii) 3

22 33

2

yx viii) 31 x

6.Να κάνετε τις πράξεις:

i) xxxxx 323212122

ii) 233 22

iii) 2212211 xxxx

iv) 2211212 xxx


α. (α+β)2 + (α-β)2 + (α+β)(α-β) β. (χ-1)(χ+2)(χ-3) + (χ-1)2 - 3χ(χ+2)2

γ. (χ-2)3 + (3χ-2)(3χ+2) - (χ+1)3 δ. (4χ-3ψ)2 + (3χ-4ψ)2 - (5χ-2ψ)(5χ+2ψ)

ε. (2χ+3ψ)2+(3χ-2ψ)2 –2(2χ+3ψ)(3χ-2ψ) ζ. χ(χ-1)-χ(3-ψ)-(χ-3)(χ+4)-(χ-ψ)2

η. [3-(χ-2)2]2 +[(χ-1)2+(χ+2)2]2

8.Να αποδείξετε ότι:

i) 2222222 2

ii) 222222

9.Αν 5 και 4 , να βρείτε το 22

10.Να συμπληρωθούν οι ισότητες

α. (χ+ )2 = χ2 +......... +9 β. ( ....- 5)2 = .......... -6χ + 25

γ. ( ..... +...... )2 = 9χ2 + ......... +16ψ2 δ.(2χ - .....)2 = ....... -12χψ + .......

ε. (3χ - .....)(3χ +......) = ........-16ψ2

11.Να συμπληρωθούν οι ισότητες

α. (3χ - .....)(3χ +......) = ........-16ψ2

β. (2χ +.....)( .....- 3) = .......... – 9



Παραγοντοποίηση

Ονομάζουμε την διαδικασία με την οποία μετατρέπουμε μια παράσταση σε

γινόμενο παραγόντων

Προσοχή: Οι όροι μιας παράστασης χωρίζονται μεταξύ τους με συν (+) ή

πλην (-) ενώ οι παράγοντες με επί ( ) .Έτσι η παράσταση αχ2+3χ έχει δύο

(2) όρους τον αχ2 και τον 3χ. Ο όρος αχ2 έχει παράγοντα το α, το χ και το

χ2.Η παράσταση (α+β)χ3+αχ έχει δυο (2) όρους τους (α+β)χ3 και αχ .Στον

(α+β)χ3 υπάρχουν οι παράγοντες (α+β) , χ,χ2,χ3 και στον αχ οι παράγοντες α

και χ.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

1. Κοινός παράγοντας : Σημαίνει ότι όλοι οι όροι της παράστασης έχουν ή

περιέχουν ως παράγοντα τον ίδιο αριθμό ή γράμμα ή παρένθεση ,οπότε

σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα ( αβ αγ=α(β+γ) ) τους βγάζουμε

ως κοινό παράγοντα και μέσα στην παρένθεση μένουν τα αποτελέσματα της

διαίρεσης του κάθε όρου δια του κοινού παράγοντα .

π.χ.1) αχ2+βχ=χ(αχ+β) Κοινός παράγοντας το χ και μέσα στην παρένθεση

έμειναν τα αχ2:χ=αχ και βχ:χ=β.

π.χ. 2) 2α(χ-ψ)-β(χ-ψ) =(χ-ψ)(2α-β)

Προσοχή : στον κρυφό κοινό παράγοντα

π.χ. 3) 2χ2(α-β) +χ(β-α)=επειδή το α-β είναι αντίθετο του β-α αλλάζουμε

το πρόσημο =2χ2(α-β)-χ(α-β)=χ(α-β)(2χ-1)

π.χ. 4) 2(χ-ψ)-χ2-ψ2=2(χ-ψ)-(χ-ψ)(χ+ψ)=(χ-ψ)[2-(χ+ψ)]=(χ-ψ)(2-χ-ψ)

2. Ταυτότητες: Δηλ η παράσταση είναι των παρακάτω μορφών ταυτοτήτων

α) α2 2αβ+β2=(α β)2

π.χ. 5) χ4-2χ2ψ2+ψ4=(χ2)2-2χ2ψ2+(ψ2)2=(χ2-ψ2)2



π.χ. 6) 8χ2+8χ+2=2(4χ2+4χ+1)=2[(2χ)2 + 2 2 1x +12]=2(2χ+1)2.

β) α2-β2=(α-β)(α+β)

π.χ.7) 25χ2-4ψ2 =(5χ)2-(2ψ)2=(5χ-2ψ)(5χ+2ψ)

π.χ. 8) χ4-1=(χ2)2-12=(χ2-1)(χ2+1)=(χ-1)(χ+1)(χ2+)

π.χ. 9) (χ-ψ)2-(χ+ψ)2=(χ-ψ-χ-ψ)(χ-ψ+χ+ψ)=-2ψ x2 =-4χψ

γ) α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)

δ) α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)

π.χ. 10) 8χ3-1=(2χ)3-13=(2χ-1)[(2χ)2+2χ.1+12]= =(2χ-1)(4χ2+2χ+1)

ε) α3 3α2β+3αβ2

β3=(α β)3

π.χ. 11) 8χ3-36χ2+54χ-27=(2χ)3- 3)2(3 2 x + 2323 x -33=(2χ-3)3.

3. Ομαδοποίηση : Χωρίζουμε τους όρους κατά ομάδες ως εξής :

α) ( 2 με 2 ) ή ( 2 με 2 με 2 ) ή ( 3 με 3 ) ώστε να βγαίνει κοινός

παράγοντας στις ομάδες και μετά να ξαναβγαίνει κοινός παράγοντας .

Προσοχή :Δεν είναι εύκολο να βρούμε τις σωστές ομάδες ,γι’αυτό ίσως

χρειαστεί να δοκιμάσουμε όλους τους συνδυασμούς .

π.χ. 12) αχ+βψ+αψ+βχ=(αχ+βψ)+(αψ+βχ) αυτή η ομαδοποίηση δεν μου

επιτρέπει να βγάλω κοινό παράγοντα άρα δεν είναι σωστή

αχ+βψ+αψ+βχ=(αχ+αψ)+(βψ+βχ)=α(χ+ψ)+β(χ+ψ)=(χ+ψ)(α+β)

π.χ. 13) αχ-βχ+αψ-βψ=(αχ-βχ)+(αψ-βψ)=χ(α-β)+ψ(α-β)=(α-β)(χ+ψ)

π.χ. 14) α2χψ+β2χψ+αβχ2+αβψ2=

(α2χψ+β2χψ)+(αβχ2+αβψ)2=χψ(α2+β2)+αβ(χ2+ψ2) που δεν ξαναβγαίνει

κοινός παράγοντας άρα κάναμε λάθος ομαδοποίηση

α2χψ+β2χψ+αβχ2+αβψ2= (α2χψ+ αβχ2)+ (β2χψ

+αβψ2)=αχ(αψ+βχ)+βψ(βχ+αψ)=

(αψ+βχ)(αχ+βψ)



π.χ. 15) χψ2+χ-1-ψ2=(χψ2-ψ2)+(χ-1)=ψ2(χ-1)+(χ-1)=(χ-1)(ψ2 +1).

π.χ. 16) α2-β2-α+β-α2β+αβ2= (α2-β2)-(α-β)+(-α2β+αβ2)=(α-β)(α+β)-(α-β)-

αβ(α-β)= (α-β)(α+β-1-αβ)

β) (3 με 3) ή( 3 με 1) :όπου οι τρεις σχηματίζουν τέλειο τετράγωνο και

οι άλλοι 3 ή ο άλλος ένας είναι τέλειο τετράγωνο και μεταξύ τους υπάρχει

το πρόσημο πλην

(-) ,οπότε είναι διαφορά τετραγώνων

π.χ. 17) α2-2α+1-β2=( α2-2α+1)-β2=(α-1)2-β2=(α-1-β)(α-1+β)

π.χ. 18)4χ2+4χ+1-4ψ2+4ψ-1=(4χ2+4χ+1)-(4ψ2-4ψ+1)=(2χ+1)2-(2ψ-1)2=

(2χ+1-2ψ+1)(2χ+1+2ψ-1)=(2χ-2ψ+2)(2χ+2ψ)=2(χ-ψ+1)2(χ+ψ)=4(χ-

ψ+1)(χ+ψ)

γ) Προσθαφαίρεση : δηλ αν μας λείπει κάποιος όρος τον προσθαφαιρούμε

,αρκεί να σχηματίζονται οι άλλες μέθοδοι .

π.χ. 19) α4+α2β2+β4=(α2)2+2α 2β2+(β2)2-α2β2=(α2+β2)-(αβ)2=(α2+β2-

αβ)(α2+β2+αβ)

π.χ. 20) χ2-2χ-3=(χ2-2χ+1)-4=(χ-1)2-22=(χ-1-2)(χ-1+2)=(χ-3)(χ+1)

δ) Διάσπαση: δηλ διασπούμε κάποιον όρο σε άλλους

π.χ.21) α4+β4-6α2β2=(α2)2-2α2β2+(β2)2-4α2β2=(α2-β2)2-(2αβ)2 =

(α2-β2-2αβ) (α2-β2+2αβ)

π.χ. 22) χ3-3χ+2=χ3-χ-2χ+2=χ(χ2-1)-2(χ-1)=χ(χ-1)(χ+1)-2(χ-1)=(χ-

1)[χ(χ+1)-2]=

(χ-1)(χ2+χ-2)=(χ-1)(χ2+χ-1-1)=(χ-1)[(χ2-1)+(χ-1)]=(χ-1)[(χ-1)(χ+1)+(χ-1)]=

(χ-1)(χ-1)(χ+1+1)=(χ-1)2(χ+2)



Τριώνυμο : δηλ η παράσταση είναι της μορφής αχ2+βχ+γ με α 0

Βρίσκουμε πρώτα την Διακρίνουσα Δ=β2-4αγ οπότε

Αν Δ>0 Τότε βρίσκουμε τους αριθμούς χ1,χ2 = 2α

Δβ οπότε

αχ2+βχ+γ=α(χ-χ1)(χ-χ2)

Αν Δ=0 Τότε χ1=χ2=α2

β οπότε αχ2+βχ+γ=α(χ-χ1)

2.

Αν Δ<0 Τότε το τριώνυμο ΔΕΝ παραγοντοποιείται

Παρατήρηση: Οι παραπάνω αριθμοί χ1,χ2 (που ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΜΟΝΟ ΑΝ Δ

0) λέγονται ρίζες του τριωνύμου δηλ. είναι οι αριθμοί τους οποίους αν

αντικαταστήσουμε στην θέση του χ και κάνουμε τις πράξεις θα πάρουμε ως

αποτέλεσμα μηδέν (0).

π.χ.23) χ2-3χ+2

είναι α=1 ο συντελεστής του χ2

είναι β=-3 ο συντελεστής του χ

είναι γ=2 ο καθαρός αριθμός (σταθερός όρος)

Είναι Δ=β2-4αγ=(-3)2- 214 =9-8=1>0 Άρα

χ1,χ2 =

22

13

2x

12

13

1x

2

13

12

1)3(

2α

Δβ οπότε χ2-

3χ+2=(χ-1)(χ-2)

π.χ. 24) 2χ2-7χ+3


είναι β=-7 ο συντελεστής του χ


Είναι Δ=β2-4αγ=(-7)2- 324 =49-24=25>0 Άρα



χ1,χ2 =

34

12

4

57

2x

2

1

4

2

4

57

1x

4

57

22

25)7(

2α

Δβ οπότε

2χ2-7χ+3=2(χ-2

1)(χ-3)

π.χ. 25) χ2+3χ-10


είναι β=3 ο συντελεστής του χ

είναι γ==10 ο καθαρός αριθμός (σταθερός όρος)

Είναι Δ=β2-4αγ=32- )10(14 =49>0 Άρα

χ1,χ2 =

22

73

2x

52

73

1x

2

73

12

493

2α

Δβ οπότε

χ2+3χ-10=(χ+5)(χ-2)

π.χ. 26) 4χ2+4χ+1


είναι β=4 ο συντελεστής του χ


Είναι Δ=β2-4αγ=42- 144 =16-16=0 Άρα

χ1=χ2 = 2

1

8

4

42

4

2α

0β οπότε 4χ2+4χ+1=4(χ+

2

1)2=4(

2

1x2 )2=

44

)1x2( 2=(2χ+1)2.

Βέβαια μπορούμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο των ταυτοτήτων

4χ2+4χ+1=(2χ)2+ 1x22 +12=(2χ+1)2.




1. Να γίνουν γινόμενα οι παρακάτω παραστάσεις

I.2αβ-2αδ II.6χ3+3χ

III.12χ2α+6χα2-3χα IV.α(χ+ψ)-β(χ+ψ)

V.χ(2α-β)+ψ(β-2α) VI.α(χ-1)-χ+1

VII.α(χ-ψ)-(ψ-χ) VIII.(α+β)(χ-2ψ)-2α(χ-2ψ)

IX.α2(χ-1)(ψ+β)+α2(1-χ) X.(χ-2)3-(χ-2)2

XI.(α+1)-χ(α+1)-(α+1)2 XII.2χ2-8χ

2. Να γίνουν γινόμενα οι παρακάτω παραστάσεις

I.αχ+3χ+αψ+3ψ II.χ3-χ2ψ-χψ2+ψ3

III.χ2+χψ-χ-ψ IV.6χ2+χψ+18χω+3ψω

V.χ3+χ2+χ+1 VI.2χ4-2χ3+3χ-3

VII.2χ4-2χ3+3χ-3 VIII.3χ3-6χ2+5χ-10

3. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν ταυτότητες

α) x2+........16y2=(.....+......)2 β) .......+6αβ+β2=(....+.....)2

γ) .........-12xy+9y2=(....-......)2 δ) α2x4+..........+.......=(.......+1

2βy)2

4. Να μετατραπούν σε γινόμενα παραγόντων οι παραστάσεις

α) 2αβ-2αδ β) 8x2-4x γ) 12x2y+6xy2-3xy

δ) 15α3β3γ2-5α2β3γ+20α2β3γδ ε) 4κλ2-10κ2λ+13κλ στ) 3αν+2-12αν


α) β(x+2y)+γ(x+2y) β) 2α2β(x+y)-4αβ2(x+y)

γ) 3α(κ-3λ)+6αβ(κ-3λ)+12α2β(κ-3λ) δ) (x+y)3-(x+y)2


α) α(x-y)+γ(y-x) β) 2α(γ-2δ)+2αβ(2δ-γ)-4α2(γ-2δ)


i) α(x+y)+β(x+y)-(α-β)(x+y) ii) (x-2)(x-1)2-4(2-x)


i) 2α(α-2β)+α-2β ii) 3x2(x-3y)-x+3y iii) 2x2y3(α-5β)-4xy2(5β-α)




i) 2x+2y+αy+βx ii) α2-4α+αγ-4γ iii) α2γ2-αγδ+αβγ-βδ


i) 5αx-4βy+5αy-4βy ii) 4αy-2βy+2αω-βω iii) x3-5x2+2x-10


i) x3+7x2+3x+21 ii) 7αβ+7αγ-9βδ-9γδ iii) αβx-αβy-αγx+αγy


i) 5x3+x2-20x-4 ii) x3+3x2-16x-48 iii) x3+x2-4x-4


i) βx-αβ+x2-αx ii) α5-α4+α3-α2+α-1 iii) αx-2αy-βx+2βy+γx-2γy

14. Να μετατραπεί σε γινόμενο παραγόντων η παράσταση

αβ(x2+y2)+xy(α2+β2)

15. Να γίνει γινόμενο η παράσταση: 1+x+x2+x3+x4+x5

16. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις:

i) α2-16 ii) x2-9 iii) 25-x2 iv) 36x4-121y2 v) α4-β4 vi)

α8-β8


i) αβ2-αγ2 ii) x4-64x2y2 iii) x3-x(y-z)2 iv) x3y-xy3


i) x3-9x ii) 2x3-18xy2 iii)5α3-5αx2 vi) 81x4-16y4 vii) 3xν+2-12xv


i) x2-4y2-x-2y ii) αx2+βy2-αy2-βy2 iii) x3-x2y-xy2+y3

20. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις:i) αx2-βx2-α-β ii) α2-β2-α-β iii)

3x3+6x2-9x

21. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) x2ν+1-xy2 ii) 9x2ν+2-

4y2ν+2




i)x2-y2+ω2+2xω ii) x2-y2-2αy-α2 iii) x2-7x-30


i) 4α2-4αβ+β2-9α2β2 ii) 1-x2+2xy-y2 iii) (α2+β2+γ2)2-4α2β2


i) (3x-1)(x+1)2-9(3x-1) ii) x4-7x2+10 iii) α2+x2-β2-y2-2αx+2βy


i) (x2+3)2-16x2 ii) (α2+β2)2-4α2β2 iii) (x2-4)2-(3x-2)(x+2)2


i) (2x-3)(3x-5)+9x2-25-(5-3x)(3x+2) ii) (α2+β2+γ2)2-9α2β2

27. Να γίνει γινόμενο η παράσταση: x3-1+x2-1-(x-1)2


i) 4x4-4x3+x2 ii) (x+1)3-x2-1 iii) x2+y2-2xy+2x-2y+1

29. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις

i) (3x-1)(x+1)2-9(3x-1) ii) x4-7x2+10 iii) α2+x2-β2-y2-2αx+2βy iv)

(x2+3)2-16x2 v) (α2+β2)2-4α2β2 vi) (x2-4)2-(3x-2)(x+2)2 vii)

4x4-4x3+x2 viii) (x+1)3-x2-1 ix) x2+y2-2xy+2x-2y+1

30. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) x2+6x-7 ii) x2+5x-4 iii)

2x2-5x+3


i) (x2-4)2-(x+2)2 ii) 4x3-xy2 iii) (x2-3x+1)2-1

32. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις:

i)x2+5x-4 ii) 2x2-5x+3 iii) (x2-4)2-(x+2)2 iv) x3+x2-4x-4


i) (x2-25)(x+5)-25(x-5) ii) x3-6x2y+9xy2


i) (α+β)2+2(α+β)(α-β)+(α-β)2 ii) x3+3x2+3x+1



35. Να γίνει γινόμενο η παράσταση: y3-2y2-5y+6

Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών

παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με

εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του.

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών

παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το

μικρότερο από τους εκθέτες του.

Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Κλασματική αλγεβρική (ΚΑΠ) ή ρητή λέγεται μια παράσταση όταν περιέχει

τουλάχιστον ένα κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής περιέχει μεταβλητή .

Πότε ορίζεται μια ΚΑΠ ;

Οταν ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν .

Το ορίζεται αν : ..χ≠3..ενώ το ορίζεται αν :.... χ≠3 και

χ≠-5.

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση Κλασματικών Παραστάσεων

Οπως και ο πολ/σμός και η διαίρεση των κλασμάτων . Πολλαπλασιάζουμε

αριθμητή επί αριθμητή και το γινόμενο το βάζουμε αριθμητή της νέας

παράστασης και παρονομαστή επί παρονομαστή και το γινόμενο αυτό το

βάζουμε παρονομαστή της νέας παράστασης.

χ+1 χ+5 (χ+1)(χ+5). =

χ-3 χ+2 (χ-3)(χ+2)

Για την διαίρεση δυο κλασματικών παραστάσεων εφαρμόζουμε το εξής:

πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.

3

1

)5)(3(

4



χ+1 χ+5 χ+1 χ+2 (χ+1)(χ+2): =

χ-3 χ+2 χ-3 χ+5 (χ-3)(χ+5)

Απλοποίηση Κλασματικών Παραστάσεων

Μπορούμε να απλοποιούμε μια ποσότητα που είναι κοινός παράγοντας

(Προσοχή : όχι κοινός όρος ) των δύο όρων του κλάσματος . Αν η ΚΑΠ δεν

είναι παραγοντοποιημένη, την παραγοντοποιούμε εμείς με τον κατάλληλο

τρόπο .

2χ -4χ x(x-4) x= =

2 (x-4)(x+4) x+4χ -16

Πρόσθεση-Αφαίρεση Κλασματικών Παραστάσεων

ΜΕΘΟΔΟΣ

Να κάνετε τις πράξεις : 44

3

42

2

42

12

1. Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές

( α. κοινός παράγοντας β. ταυτότητες γ. ομαδοποίηση δ. τριώνυμο )

2)2(

3

)2(2

2

)2(2

1

2. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών ( Είναι το ΓΙΝΟΜΕΝΟ

όλων των ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ γράφοντας τους ΜΙΑ φορά και υψώνοντας

τους στην μεγαλύτερη δύναμη που υπάρχει στους παράγοντες )

ΕΚΠ παρονομαστών = 2(χ-2)2(χ+2)

3. Βρίσκουμε τα καπελάκια (ΕΚΠ δια (:) παλιοί παρονομαστές ) )2(2

2

)2()2)(2(

)2(

3

)2(2

2

2)2(χ

1

2

4. Γράφουμε ΕΝΑ ΚΛΑΣΜΑ με παρονομαστή το ΕΚΠ και αριθμητή το

άθροισμα του ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ των παλιών αριθμητών επί τα



καπελάκια

)2()2(2

)2(6)2(2)2)(2(2

2

5. Κάνουμε τις πράξεις ΜΟΝΟ στον αριθμητή (με σκοπό την

παραγοντοποίηση )

)2()2(2

14

)2()2(2

12688242

2

2

22

6. Παραγοντοποιούμε και τον αριθμητή

)2()2(2

)14(

)2()2(2

1422

2

7. Βάζουμε περιορισμούς δηλαδή κάθε παράγοντα του ΕΚΠ τον

θέτουμε διάφορο ( ) του μηδέν και λύνουμε ως προς τον

άγνωστο

(χ-2) 0 άρα χ 2 και (χ+2) 0 άρα χ -2

8. Κάνουμε τις απλοποιήσεις (αν έχει) δηλ σβήνουμε από τον

αριθμητή και τον παρονομαστή τους ΙΔΙΟΥΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ

Στο παράδειγμα δεν έχει απλοποιήσεις




1. Για ποιες τιμές του x ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις:

α) 2

2 16

x

x β)

2

2

2

x

x x

γ)

2

2 3

5 6

x

x x

δ)

2

3 2

1

4 3

x

x x x

2. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:

α) 2

4

4

16

x

x

β)

2

2

5 6

2

x x

x x

γ)

3 2

2

4 3

6

x x x

x x

δ)

3

2

1

1

x

x x

3. Να γίνουν οι πράξεις:

α) 2 2 2

1 3 1

3 2 2 4x x x x x

β)

2 2

4x y x y xy

y x x y


α) 2 2 2

2 2

3 2 4

4 4 2 1

x x x x x

x x x x

β)

2 2

2 2 2

5 6 2

4 1 9

x x x x x

x x x


α) 2 2

3 2

10 25 25:

1

x x x

x x x

β)

2 2

2 2

9 6 9:

4 2

x x x

x x x


α) 2 2 2

3 2

4 6 9 6:

3 8

x x x x x

x x x x

β)

2 2

2 2 2

12 5 6 x+3:

30 2 3 x 7 6

x x x x

x x x x x


α) 3 3

2 2

1 1 1: x y

x y xy

β)

2 2 2 2

3 3

1 1:

x y x yx

y x y y x


α)

2 32 2

1 1 1 1 1 1

x y x yx y x y

β)

4 3

2 3 4

1 1 11

1

x x

x x x x

9. Να απλοποιηθούν οι σύνθετες κλασματικές παραστάσεις:

α)

2 2

2

1 1

x y

xy

x y

β) 3

1 1

11

x xy

yy

γ) 1

11

2y

y



10. Να γίνουν οι πράξεις: 2 2

2 2

21 : 1 1 : 1

x x y y y

y y x x x


2 2

2 2 2 21

2

xy x x y xy x xy

x y y x y x y y x y


12 2

1

1 11 :

2 1

x y x y

xy x y


α)

2

1 11 1

:1 1

1

x xx

x x

β)

1 1 1 1

:1 1

x y x y

y x

x y x y


32

62

2

xx

xx,

222

5353

baba

bybxayax

, 422222

222222

yxyx

yxyx

,

22

22

zyx

zyx

,

22

22

zyx

zyx

,

yxxy

yxyxxy33

2233

66

633

,

2

2

312

4

yxy

xyx

,

32

3

221

1

xxx

x

,

23

1222

23

xx

xxx,

234

234

2

693

xxx

xxx

,

24

24

2

22

15

12

32

84

2

65

ya

yxa

xx

xx

yxy

xx

15. Να κάνετε τις πράξεις:

22

2

x

x

x , 2

4322

abba,

2222

1

2

1

yxyxyx

,

432 ,

4

1

42

1

42

122323

xxx

x

xx

x,

13

110

16

1

12

72

xx

x

xx,

24

22

22

24

222

24

1

11

11

1

1

1

xx

xx

xx

xx

xx

xx

16. Να κάνετε τις πράξεις:

64

10222:

32

1013 2

2

2

x

xx

xx

xx,

22

111111

yxxyxyyx,

x

x

x

x

x

x

x

x 1

1:

1

1,

1

22

2

1

1

1

1

2

1

1

1

xxxaax

a



17. Να απλοποιήστε τις παραστάσεις:

xx

xxx

9

32132

, 1

1

65

2

2

x

xx,

vv

vv

681

65

2

,

xx

x

xx

x1

1

1

1

1

1

,

x

y

y

x

x

y

yx

x

y

y

x

y

x

x

y

y

x

22

3

3

2

2

1

:

1

1

1

,

1

42

:1

2

1

2

1

2

1

x

xx

x

xx

x

18. Να γίνουν οι πράξεις

19.Να γίνουν οι απλοποιήσεις όπου είναι δυνατόν

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2 2 3 2

3 6 2α)

3 9 3

3

2 2 3 2

2 3 2β)

2 4 2

2 2 3 2 3 2

3 9 2 2 2 1α) β) γ) δ) ε) ζ)

23 9 2 4



Μέθοδοι Επίλυσης Εξισώσεων

1. Αν η εξίσωση είναι πρωτοβάθμια τότε :

α) Αν υπάρχουν κλάσματα τα κάνω ομώνυμα , πολ/ζοντας τα πάντα επί

ΕΚΠ .

β) Εκτελώ όλους τους πολ/σμούς

γ) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους και κάνω αναγωγές

δ) Διαιρώ με τον συντελεστή του αγνώστου .

Σχόλιο : Αν η εξίσωση έχει τη μορφή 0χ=0 , τότε έχει άπειρες λύσεις , ενώ

όταν έχει τη μορφή 0χ=5 , είναι αδύνατη .

2. Αν η εξίσωση είναι πολυωνυμική , τότε :

α) Είτε την παραγοντοποιώ και τη φέρνω στη μορφή ( ... )( ... )=0 , οπότε :

( ... )=0 ή ( ... )=0

Π.χ. χ2-4χ=0χ(χ-4)=0χ=0 ή χ-4=0χ=0 ή χ=4

β) Είτε την φέρνω στη μορφή χ2=α2 , οπότε χ=

Π.χ. χ2=4 χ=± 4 χ= ± 2

γ) Είτε τη φέρνω στη μορφή αχ2+βχ+γ=0 και τη λύνω με τους τύπους :



2

1,2

-β± ΔΔ=β -4αγ , οποτε : α) αν Δ>0 , τοτε χ = ,

2α

-β β) αν Δ=0 , τοτε χ = , γ) αν Δ<0 ειναι αδυνατη

2α

Π.χ. χ2-4χ+3=0

‘Εχουμε α=1, β=-4, γ=3 οπότε Δ=β2-4αγ=(-4)2-4 1 3=16-12=4>0

έτσι έχουμε 1,2

-β± Δ 4±2χ = =

2α 2 άρα χ1=3 ή χ2=1

3. Αν υπάρχουν κλάσματα ,τότε :

Κάνω απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας με το ΕΚΠ (αφού βέβαια

παραγοντοποιήσω τους παρονομαστές και βάλω περιορισμό : ΕΚΠ0 ) .

Κατόπιν εκτελώ τους πολ/σμούς , φέρνω όλους τους όρους στο πρώτο μέλος

, κάνω αναγωγές ομοίων όρων και λύνω την εξίσωση που προκύπτει με ένα

από τους προηγούμενους τρόπους .

Να λυθεί η εξίσωση 2

χ χ+10 2- =

χ+2 χ -4 χ-2

ΛΥΣΗ χ χ-10 2 χ χ-10 2

- = - = Περιορισμοι: χ+2 0 και χ-2 02χ+2 χ-2 χ+2 (χ-2)(χ+2) χ-2χ -4

χ χ-10 2(χ-2)(χ+2) -(χ-2)(χ+2) =(χ-2)(χ+2)

χ+2 (χ-2)(χ+2) χ-2

2(χ-2)χ-(χ-10)=2(χ+2) χ -2χ-χ+10=2χ+4

2χ -5χ+6= 20 άρα Δ=(-5) 4 1 6 1

5± 1 5±1χ = = = 3 ή 21,2 2 2

Η λύση χ=2 όμως απορρίπτεται λόγω των περιορισμών.




1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 29 16 0x β) 2 0x x γ) 23 1 0x δ) 1 2 0x y

ε)χ2 - 3χ = 0 ζ)χ3 - 4χ = 0 η)χ2 - 16 = 0 θ)χ2 +9 = 0


α) 2 5 6 0x x β) 23 5 2 0x x

γ) 2 6 9 0x x δ) 23 12 12 0x x

ε) 2 5 7 0x x ζ) 22 3 5 0x x


α)χ2 - 6χ + 5 = 0 β)χ2 - 7χ + 6 = 0 γ)χ2 - 5χ + 6 = 0

δ)χ2 - 5χ + 4 = 0 ε)χ2 - 3χ + 2 = 0 ζ)χ2 - χ - 2 = 0

η)2χ2- 3χ - 2= 0 θ)χ2 - 6χ + 9 = 0 ι)χ2 - 6χ + 10 = 0

4.Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 5 0x x β) 3 22 4 5 10 0x x x

γ) 3 24 12 3 0x x x δ) 21 4 3 2 1x x x x


α) 12 35 0x x β) 213 4 2 4x x

γ) 2 22 7 1 9 0x x x δ) 23 5 81 3 0x x x


α) 1 4 2 3 3x x x x x x

β) 1 2 3 2 2x x x x x x


α) 2 2

2 1 2x x β) 2 25 2 1 4 1x x x

γ) 2 2

2 23 2 9 2 9x x x x δ) 2 2

2 22 2 3 1x x x x


α) 2 2

1 2 1 1 0x x x x β) 2 2

3 2 1 9 3 0x x x x




α) 22 3 2 1 3 1 0x x β) 2 2 1 3 3 2 3 0x x


α) 3 2 1 0x x x β) 3 24 4 2 2 0x x x

γ) 2 22 3 1 1 1x x x x δ) 2 22 4 2 5 4 0x x x


α) 2

2 24 2 4 8 0x x x x

β) 2

2 22 19 3 2 19 4 0x x x x

ΔΙΑΤΑΞΗ



Ορισμός: Ο αριθμός α είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό β,συμβολικά α>β

,όταν η διαφορά α-β είναι θετικός αριθμός.Δηλαδή:

α>β α-β>0

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

1. Αν α>β και β>γ τότε και α>γ Μεταβατική ιδιότητα

2. Αν α>β τότε α γ>β γ

Δηλαδή: Μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε και στα δύο

μέλη της ανίσωσης τον ίδιο αριθμό και η φορά της να μην αλλάξει.

3. Αν α>β και γ>ο τότε

aγ>βγ

α β>

γ γ

ενώ αν γ<ο

aγ<βγ

α β<

γ γ

Δηλαδή: Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα μέλη μιάς ανίσωσης

με θετικό αριθμό η φορά της ανίσωσης δεν αλλάζει,ενω με αρνητικό

αριθμό αλλάζει.

4. Αν α>β και γ>δ τότε α+γ>β+δ

Δηλαδή: Δύο ανισώσεις ομόστροφες (της ίδιας φοράς) μπορούμε να

τις προσθέσουμε και η φορά να παραμείνει ίδια.

5. Αν α>β και γ>δ και α,β,γ,δ>ο τότε αγ>βδ

Δηλαδή: Δύο ανισώσεις μπορούμε να τις πολλαπλασιάσουμε κατά

μελη αν είναι ομόστροφες και αν εχουν θετικά μελη.

6. ν να > β α > β αν α,β>ο




1. ι)Αν 2 και 1 να αποδείξετε οτι 2 2 ιι)Αν 3 και

2 να αποδείξετε οτι 6 2 3

2. ι) Αν ισχύει 3 να δειχθεί οτι 9 3( )

ιι) Αν 2 να δειχθεί οτι 2 2 ( 2)

ιιι) Αν 4 να δειχθεί οτι 24 (4 )

3.Να αποδείξετε οτι:

ι) ( 4 ) (2 ) ιι) ( ) ( 2 )

ιιι) ( )( ) (4 5 ) ιν) 24 ( 2 ) ( )

4.Ομοίως: ι) 22( 1) ( 1) 8 ιι) 2 225 2( 3) 8 (2 1)

ιιι)2( 2) 1

6 3 2

ιν)

2( 5)2

2 8

5.Ομοίως: ι) 2 4 5 0 ιι) 22 10 25 0 ιιι) 2 1 0

ιν) 4 27 16 0

6.Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: ι)3( 2) 5( 1) 3 2( 3)

ιι)4 3 2

23 6 4

ιιι)

3 53 2

2 2

ιν)3 5 10

14 2 4

7.Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισοτήτων και να γράψετε τα

διαστήματα στα οποία ανήκουν:

ι)3( 1) 2 1 και 2( 3) 2

ιι)1

12

και

4 41

4 8

ιιι)1 2 1

32 2

και

20 3 306

7 7

ιν)4 3 6

5 15

και

5

4 2 4

8.Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:



ι)3 5 1 7 5 ιι) 2( 1) 3 3( 1)

ιιι) 5 4( 2) 2( 3) 5(2 ) 4

ιν)4 2 3 2

2( 1)3 2

ν)5 5( 3)

13 6

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ



Γραμμική Εξίσωση Δύο Αγνώστων

Ορισμός: Κάθε εξίσωση που έχει (ή μπορεί να πάρει) την μορφή:

αχ+βy=γ, με α,β,γε και χ,yε

λέγεται γραμμικη εξίσωση με δύο αγνώστους.

Τα χ και y είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης.

Τα α και β λέγονται συντελεστές των αγνώστων.

Το γ λέγεται σταθερός όρος.

Προσοχή: Για να είναι μία εξίσωση γραμμική,πρέπει οι άγνωστοι να έχουν

εκθέτη τη μονάδα,να μην βρίσκονται σε παρονομαστή ή σε υπορριζη ποσότητα

και να μην πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους.

Τι παριστάνει το σύνολο των λύσεων της αχ+βy=γ;

Το σύνολο των λύσεων της αχ+βy=γ με α 0 ή β 0 παριστάνει μία ευθεία

του επιπέδου,και μάλιστα αν:

α 0 και β 0 η ευθεια είναι της μορφής a γ

y=- χ+β β

, με συντελεστή

διεύθυνσης λ= a

-β

α=0 και β 0 η ευθεία είναι της μορφής γ

y=β

,παράλληλη στον χχ’ με

συντελεστή διεύθυνσης λ=0.



Αν α 0 και β=0 η ευθεία είναι της μορφής α

γχ= ,κάθετη στον χχ’ για

την οποία δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης.

Γραμμικό Σύστημα Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους

Ορισμός: Δύο γραμμικές εξίσώσεις με δύο αγνώστους χ και y:

αχ+βy=γ

α'χ+β'y=γ'

ονομάζεται γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Λύση του γραμμικού συσστήματος ονομάζεται κάθε ζεύγος (χ,y) που

επαληθεύει ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις του συστήματος.

Τι εκφράζει γεωμετρικά η επίλυση ενός γραμμικου συστήματος

2χ2;



Η λύση ενός γραμμικού 2χ2 συστήματος μας δίνει τα κοινά σημεία των δύο

ευθειών και μάλιστα αν:

το σύστημα έχει μοναδική λύση, οι ευθειές τέμνονται και το σημείο

τομής τους είναι η λύση του συστήματος.

το σύστημα είναι αδύνατο,οι ευθείες είναι παράλληλες.

το σύστημα ειναι αόριστο(άπειρες λύσεις),οι ευθείες έχουν άπειρα

κοινά σημεία άρα συμπίπτουν(ταυτίζονται).

Aλγεβρική Επίλυση Συστήματος

1. Με αντικατάσταση:

Λύνουμε μία από τις δύο εξισώσεις ως προς τον ένα άγνωστο.

Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση τον άγνωστο αυτό μετ ην

παράσταση που είναι ίσος.

Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει και βρίσκουμε την τιιμή

του ενός αγνώστου.

Αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στην πρώτη εξίσωση και

βρίσκουμε την τιμή και του άλλου.

π.χ: Να λυθεί το σύστημα 2x+y=-4

x+3y=3

Λύση

2x+y=-4 2x+y=-4 2(3-3y)+y=-4 -6y+6+y=-4 -5y=-10

x+3y=3 x=3-3y x=3-3y x=3-3y x=3-3y

y=2 y=2 y=2

x=3-3y x=3-3 2 x=-3

‘Αρα η λύση του συστήματος είναι (χ,y)=(-3,2).

2. Με αντίθετους συντελεστές:



Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους

αριθμούς,ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις

εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι.

Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις.

Προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο,την οποία και λύνουμε.

Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μία από

τις αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε την τιμή του άλλου

αγνώστου.

π.χ Να λυθεί το σύστημα 2x-3y=16

3x+4y=-10

Λύση

2x-3y=16 3 6x-9y=48

3x+4y=-10 ( 2) -6x-8y=20

Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις,οπότε προκύπτει:

-17y=68 y=-4.

Aντικαθιστούμε την τιμή y=-4 στην εξίσωση 2χ-3y=16 έχουμε χ=2.

Αρα η λύση του συστήματος είναι (χ,y)=(2,-4).

Γενικά,για να λύσουμε ένα σύστημα:

Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών,αν υπάρχουν,

Κάνουμε τις πράξεις και χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.

Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων,

Βάζουμε τα χ κάτω από τα χ και τα y κάτω από τα y,

Εφαρμόζουμε μία από τις μεθόδους επίλυσης που αναφέραμε.




1.Να λυθούν γραφικά τα παρακάτω συστήματα:

ι) 2y 6

y 3

ιι)

y 2

2 2y 9

ιιι)

2y 4

2 4y 8

ιν)

y 2x 4

y x 2

2.Να λυθούν αλγεβρικά τα παρακάτω συστήματα:

ι) 7 2y 24

4x y 15

ιι)

5 4 9

10 7 18

ιιι)

4 9 9

3 6

ιν) 7 19

2 3 19

ν) 3y 4

2x y 8

νι)7 14

4 14 28

3.Ομοίως:

ι) 2 3 1 0

5 2 4

ιι)

3 2 1 21

5 0

ιιι)

2 3 2 1

3 7 4

ιν)

43 2

56

x y

xy

ν)

11

3

31 2

4

xy

xy

ιν)

5 62

2 4

1 5 23

4 6

x y

x y

4. Να λυθούν τα συστήματα:

ι)

3 45

2 61

x y

x y

ιι)

1 31

2 91

x y

x y

ιιι) 2 2 2 2( 1) ( 2) 1

6 2

x y x y

x y

ιν) ( 2 )( ) 0

( 6)(2 ) 0

y x x y

x y x y

ν)

(2 6)( 2 3) 0

2 2

x y x y

x y



Η συνάρτηση f(x)=ax2

Πεδίο Ορισμού: Α=

Συμμετρίες: Είναι άρτια ,δηλαδή η γραφική της παράσταση είναι

συμμετρική ως προς τον yy’.

Ακρότατα: Παρουσιάζει στη θέση χ=0 ελάχιστο το f(0)=0.

Γραφική Παράσταση: Η γραφική παράσταση της f(x)=ax2,ονομάζεται

παραβολή και το σημείο Ο(0.0) ονομάζεται κορυφή της παραβολής.

Η συνάρτηση f(x)=-ax2


Συμμετρίες: Είναι άρτια ,δηλαδή η γραφική της παράσταση είναι

συμμετρική ως προς τον yy’.

Ακρότατα: Παρουσιάζει στη θέση χ=0 μέγιστο το f(0)=0.

Γραφική Παράσταση: Η γραφική παράσταση της f(x)=ax2,ονομάζεται

παραβολή και το σημείο Ο(0.0) ονομάζεται κορυφή της παραβολής.

Παρατηρήσεις:

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=ax2 και g(x)=-ax2 με

α 0 είναι δύο παραβολές συμμετρικές ως προς τον χχ’.



Καθώς μεγαλώνει το |α| η παραβολή πλησιάζει τον άξονα yy’ (δηλαδή

γίνεται πιο κλειστή)

Η Συνάρτηση f(x)=ax2+βx+γ με α>0

Πεδίο Ορισμου: Α=

Συμμετρίες: ‘Εχει άξονα συμμετρίας την ευθεία χ=-β2α

.

Ακρότατα: Στη θέση χο=-β2α

έχει ελάχιστο το f(-β2α

)=Δ

-4α

.

To σημείο K(-β2α

,Δ

-4α

) ονομάζεται κορυφή της παραβολής.

Σημεία τομής με τους άξονες-Γραφική Παράσταση:

Μετον χχ’: Αναλογα με το πρόσημο της διακρίνουσας Δ,η

γραφική παράσταση της f(x)=ax2+βx+γ με α>0 έχει την μορφή

των επόμενων σχημάτων:

Με τον yy’: Το σημείο (0,γ)

π.χ Να μελετήσετε την συνάρτηση f(x)=x2-4x+3.

Λύση



=-4

- =221

Ακρότατα: Στη θέση χο=2 έχει ελάχιστο το f(2)=-1

To σημείο K(2,-1) ονομάζεται κορυφή της παραβολής



Σημεία τομής με τους άξονες:

Με τον χχ’: Θέτουμε όπου y=0 και λύνουμε την εξίσωση f(x)=0

x2-4x+3=0 x=1 ή χ=3

‘Αρα τα σημεία είναι Α(1,0) και Β(3,0).

Με τον yy’: Θέτουμε όπου χ=0 και έχουμε f(0)=3.Το σημείο

τομής είναι το Γ(0,3).

Γραφική Παράσταση:

Η Συνάρτηση f(x)=ax2+βx+γ με α<0



.


έχει μέγιστο το f(-β2α

)=Δ

-4α

.

To σημείο K(-β2α

,Δ

-4α

) ονομάζεται κορυφή της παραβολής.

Σημεία τομής με τους άξονες-Γραφική Παράσταση:

Μετον χχ’: Αναλογα με το πρόσημο της διακρίνουσας Δ,η

γραφική παράσταση της f(x)=ax2+βx+γ με α>0 έχει την μορφή

των επόμενων σχημάτων:



π.χ Να μελετηθεί η συνάρτηση f(x)=-x2-2x+3

Λύση



=-1

Μονοτονία: Είναι γνησίως αύξουσα στο (- ,-1] και

γνησίως φθίνουσα στο [-1,+ ).


έχει μέγιστο το f(-1)=4.

To σημείο K(-1,4) ονομάζεται κορυφή της παραβολής.

Σημεία τομής με τους άξονες:

Με τον χχ’: Θέτουμε όπου y=0 και λύνουμε την εξίσωση

f(x)=0 -x2-2x+3=0 x=1 ή χ=-3

‘Αρα τα σημεία είναι Α(1,0) και Β(-3,0).

Με τον yy’: Θέτουμε όπου χ=0 και έχουμε f(0)=3.Το σημείο

τομής είναι το Γ(0,3).

Γραφική Παράσταση:




1.Na βρείτε για ποιές τιμές του λ,η συνάρτηση :

α)f(x)=(8-2λ)χ2 παρουσιάζει ελάχιστο.

β)f(x)=(λ-3)χ2 παρουσιάσει μέγιστο.

2. Στο ίδιο συστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήεις:

a)f(x)=x2 g(x)=-x2+1

β)f(x)=-3x2 g(x)=3x2

3.Να βρείτε τα σημεία της παραβολής y=3x2 με τεταγμένη 48.

4.Να βρείτες την τιμή του λ ωστε η παραβολή y=(λ+2)χ2 να διέρχεται από το

σημείο (16,4)

5.Να βρείτε για ποιές τιμές του πραγματικού αριθμού λ,η παραβολή

y=(2λ+6)x2 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χχ’.

6.Δίνονται η παραβολή y=-x2 και η ευθεία y=2x-3.Na βρείτε,αν υπάρχουν, τα

σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων.

7. Να βρείτε τον άξονα συμμετρίας και την κορυφή των παραβολών:

α)f(x)=x2+4x-2

β) f(x)=-x2+6x-4

γ) f(x)=-4x2+4x-1

8. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2-6x+5.

a)Na βρείτε την κορυφή της και τον άξονα συμμετρίας της.

β)Να βρείτε τα ακρότατα.

γ)Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες.

δ)Να κανετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης



9. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=-2x2+8x-6.

a)Na βρείτε την κορυφή της και τον άξονα συμμετρίας της.

β)Να βρείτε τα ακρότατα.

γ)Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες.

δ)Να κανετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης.

10. Η παραβολή f(x)=x2+βχ+γ έχει κορυφή το σημείο Κ(3,-5).Να βρείτε τους

αριθμούςβ και γ.

11. Η παραβολή f(x)=λχ2+(λ+2)χ-2(2λ-1) έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία

χ=-1.

α)Να βρείτε τον αριθμό λ,

β)την κορυφή της παραβολής.

12. Να βρείτε για ποιές τιμές του λ,η κορυφή υης παραβολής:

f(x)=x2+(λ-2)x-λ+1

είναι σημείο του άξονα:

α)χχ’

β)yy’.

13. Η παραβολή f(x)=-χ2+(λ+2)χ-2λ εφάπτεται στον άξονα χχ’.Να βρείτε:

α)τον αριθμό λ,

β) τα ακρότατα.

‘



ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ:

πλευρές γωνίες

ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Με κριτήριο τις πλευρές

ΣΚΑΛΗΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

‘Εχει όλες τις πλευρές του ‘Εχει δύο ίσες πλευρές. ‘Εχει όλες τις

πλευρές

άνισες. του ίσες.

Με κριτήριο τις γωνίες

ΟΞΥΓΩΝΙΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΑΜΒΛΥΓΩΝΙΟ

‘Εχει όλες τις γωνίες ‘Εχει μία ορθη και ‘Εχει μία αμβλεία και

οξείες. δύο οξείες γωνίες. δύο οξείες γωνίες.



ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΥΨΟΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ

Είναι το ευθυγραμμο Είναι το κάθετο ευθύ- μίας γωνίας τριγώνου

τμήμα που ενώνει μία γραμμο τμήμα που φέρεται λέγεται το ευθύγραμμο

κορυφή με το μέσο της από μία κορυφή προς την τμήμα της γωνίας,από

απέναντι πλευράς. απέναντι πλευρά. την κορυφή της μέχρι

την απέναντι πλευρά.

Συμβολισμοι

Οι πλευρές ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ μπορούν να συμβολιστούν

αντίστοιχα και με ένα μικρό γράμμα γ,β,α από τις απέναντι κορυφές.

Η διάμεσος ΑΜ μπορει να συμβολιστεί και με μα.Ομοίως οι άλλες δύο

είναι μβ,μγ.

Το ύψος ΑΕ μπορεί να συμβολιστεί και υα.Ομοίως τα άλλα δύο ύψη είναι

υβ,υγ.

Η διχοτόμος ΑΔ μπορεί να συμβολιστεί και δαΟμοίως οι άλλες δύο

διχοτόμοι είναι δβ,δγ.

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

1ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ (Π-Γ-Π)

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε

αυτές γωνίες ίσες ,τότε είναι ίσα.

Προσοχή: ‘Οταν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες,δεν αρκεί να βρούμε ένα

οποιαδήποτε ζεύγος γωνιών ίσο ,για να τα βγάλουμε ίσα,οι ίσες γωνίες πρέπει

να είναι οι περιεχόμενες στις ίσες πλευρές.



2ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ (Γ-Π-Γ)

Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μί

προς μία,τότε είναι ίσα.

Προσοχή: ‘Οταν δύο τρίγωνα εχουν μία πλευρά ίση,όπως και παραπάνω δεν

αρκούν δύο οποιεσδήποτε γωνίες ίσες,πρέπει να είναι οι προσκείμενες στις

ίσες πλευρές.

3ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ (Π-Π-Π)

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία,τότε είναι ίσα.

Παρατήρηση: Σε ίσα τρίγωνα,απέναντι από τις ίσες πλευρές βρίσκονται οι ίσες

γωνίες και αντίστροφα απέναντι από τις ίσες γωνίες βρίσκονται οι ίσες

πλευρές. Αύτη η παρατήρηση μας βοηθάει να βρίσκουμε όλα τα

ίσα στοιχεία δύο ίσων τριγώνων.

Προσοχή: Δύο τρίγωνα που έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία δεν

είναι ίσα αλλά όμοια.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Οι προσκείμες στη βάση γωνίες είναι ίσες(βάση στο ισοσκελές

ονομάζεται η πλευρά που δεν είναι ίδια με τις δύο ίσες).

Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι ύψος και διάμεσοςς.

Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην βάση είναι ύψος και διχοτόμος.

Το ύψος που αντιστοιχεί στην βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος.

‘Οταν μας ζητείται να αποδείξουμε ένα τρίγωνο ισόσκελές:

Αποδυκνείουμε ή ότι έχει δύο πλευρές ίσες ή καάποια από τις παραπάνω

ιδιότητες.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

‘Ολες οι γωνίες του είναι ίσες.

‘Ολες οι διχοτόμοι είναι ύψη και διάμεσοι.



‘Ολες οι διάμεσοι είναι ύψη και διχοτόμοι.

‘Ολα τα ύψη είναι διάμεσοι και διχοτόμοι.

Μεσοκάθετος Ευθυγράμμου Τμήματος

Ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος(ένα σύνολο σημείων με κοινή ιδιότητα)των

σημείων του επίπέδου,που ισαπέχουν από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος.

Ιδιότητα των Σημείων της Μεσοκαθέτου

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άρα

του ευθυγράμμου τμήματος και αντίστροφα κάθε σημείο που ισαπέχει από τα

άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος ανήκει στην μεσοκάθετό του

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα ,όταν έχουν δύο ομόλογες πλευρές

ίσες μία προς μία.

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα ,όταν έχουν μία πλευρά και μία οξεία

γωνία ίσες

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ

Είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου,που ισαπέχουν

από τις πλευρές της γωνίας.

Ιδιότητα των Σημείων της Διχοτόμου μιας Γωνίας:

Κάθε σημείο που ανήκει στην διχοτόμο μίας γωνίας,ισαπέχει από της

πλευρές της γωνίας και αντίστροφα αν ένα σημείο ισαπέχει απο τις

πλευρές μίας γωνίας τότε βρίσκεται στην διχοτόμο της.




1. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α 64 και 78Β .Να βρείτε την γωνία

Γ.

2.Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ ισχύει ότι Α 72 .Να βρείτε

τις άλλες δύο γωνίες.

3.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος του.Αν Κ

το μέσο της ΑΔ,να αποδείξετε ότι:

α)τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΓΚ είναι ίσα

β)το τρίγωνο ΒΓΚ είναι ισοσκελές.

4.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ.Αν Κ,Λ,Μ είναι τα μέσα των

πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ αντίστοιχα,να αποδείξετε ότι ΛΚ=ΛΜ.

5.΄Εστω τρίγωνο ΑΒΓ,έτσι ώστε ΑΒ<ΑΓ και ΑΕ διχοτόμος του.Στην πλευρά

ΑΓ παίρνουμε σημείο Δ,ώστε ΑΔ=ΑΒ.

Να αποδείξετε ότι:

α)τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΔΕ είναι ίσα

β)Το τρίγωνο ΒΕΔ είναι ισοσκελές.

κ ι

Α

ΓΒ Δ

Α

Β ΓΕ

Δ



6.Σε ένα ισοσκλές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ φέρνουμε τις διχοτόμους ΒΜ και

ΓΝ.

Να αποδείξετε ότι ΒΜ=ΓΝ.

7.Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με περίμετρο 24 cm.Στις πλευρές του

ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Κ,Λ,Μ τέτοια ώστε:

ΑΚ=ΒΛ=ΓΜ=3cm.

α)Να βρείτε τα μήκη των τμημάτων ΑΜ,ΒΚ και ΓΛ.

β)Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΚΜ και ΒΚΛ είναι ίσα.

γ)Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο.

8.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ.Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ

παίρνουμε αντίστοιχα σημεία Δ και Ε,ώστε ΒΔ=ΓΕ.Αν τα τμήματα ΔΚ και ΕΛ

είναι κάθετα στη ΒΓ,να δείξετε ότι ΔΚ=ΕΛ.

9.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο της βάσης ΒΓ.Να

αποδείξετε ότι το σημείο Μ ισαπέχει από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ.

10.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ.Να αποδείξετε ότι τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ

είναι ίσα.

11.Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε την βάση ΒΓ κατά τμήματα

ΒΔ=ΓΕ,όπως φαίνεται στο σχήμα.

Β

Α

Γ

ΜΝ

Δ

Γ

Α

Ε



Αν ΔΚ είναι η απόσταση του Δ από την ευθεία ΑΒ και ΕΛ η απόσταση του Ε

από την ευθεία ΑΓ,να αποδείξετε ότι ΔΚ=ΕΛ.

12.Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε το ύψος ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ.

Να αποδείξετε ότι:

α)τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΔΓΕ είναι ίσα,

β)ΑΒ=ΒΕ,

γ)τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΕΓ είναι ίσα.

Α

Β ΓΔ Ε

Κ Λ

Α

ΒΓ

Ε

Δ



ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα

ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει.

Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία

παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το μέσο

της τρίτης πλευράς του.

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Όμοια πολύγωνα Αν δύο πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες

γωνίες τους ίσες, τότε είναι όμοια.

Παρατηρήσεις

Δύο οποιεσδήποτε αντίστοιχες πλευρές ομοίων πολύγώνων έχουν τον

ίδιο λόγο, γι΄ αυτό λέγονται ομόλογες και ο λόγος τους λέγεται λόγος

ομοιότητας

Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε έχουν τις ομόλογες πλευρές τους

ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

.



Όμοια τρίγωνα Δύο τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ, όπως και δύο πολύγωνα, είναι όμοια, αν έχουν τις

πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

Δηλαδή αν

έχουν

Κριτήριο ομοιότητας τριγώνων Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια.

οπότε θα έχουν και την τρίτη γωνία τους ίση και τις ομόλογες πλευρές τους

ανάλογες.

Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων

Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε:

- Ο λόγος των περιμέτρων τους είναι ίσος με το λόγο ομοιότητάς τους.

- Ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου

ομοιότητάς τους.

Α

Β Γ

Δ

Ε Ζ




1.Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τον αριθμό χ,αν ισχύει ε1//ε2//ε3.

2.Δίνεται το τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ.

Αν Κ το μέσο της πλευράς ΑΔ και ισχύει ΚΛ//ΑΒ,να βρείτε το χ.

3.Στο παρακάτω σχήμα το Μ είναι μέσο της πλευράς ΑΒ και ΜΝ//ΒΓ.

α)Να βρείτε τα τμήματα ΝΓ και ΜΝ.

β)Να αποδείξετε ότι τα ΑΝ,ΑΓ είναι ανάλογα των ΜΝ ,ΒΓ.

Μ

εε

ε2

ε1

χ+2

3χ-4

4

4

Λ

Κ

Γ

Β

Α

Α

Δ χ+4

3χ

Β

Γ

Κ Λ

Β

Α

Γ

Μ

16 cm

6 cm

Ν



4.Στο επόμενο τρίγωνο ΑΒΓ,τα Μ και Ν είναι μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ

αντίστοιχα.Να βρείτε το χ.

5.Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με Α=90ο ,είναι ΑΒ=6cm και ΑΓ=8cm.Να

βρεθεί το μήκος της διαμέσου ΑΜ.

6.Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο της ΒΓ.Φέρουμε τα ύψη ΒΔ

και ΓΕ.Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές.

7.Στο παρακάτω σχήμα ισχύει ΔΕ//ΒΓ.

α)Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια.

β)Να βρείτε τα χ,y.

8.Στο σχήμα που ακολουθεί ισχύει ΔΕ//ΒΓ.

Β

Α

Γ

Μ

3x-1

x+1

Ν

B

y

χ

4

6

32

Α

Γ

Δ Ε

12

χ

4

6

6

Α

Δ

Β

Ε

Γ



9.Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ.

α)Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι όμοια.

β)Να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα.

10.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ.Από τυχαίο σημείο Δ της ΒΓ

φέρνουμε ΔΚ ΑΒ και ΔΛ ΑΓ.

11.Με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος :

α)Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ είναι όμοια.

β)Να βρείτε το χ

Κ

Λ

Α

Β Γ

Δ

7

χ

χ+22

Γ

Α Β

Δ

Ε



ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας με 0º ≤ω ≤ 180º

Νέος Ορισμός με την βοήθεια ορθοκανονικού συστήματος αξόνων

Προϋποθέσεις

1. Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων

2. Η Αρχή των αξόνων είναι η κορυφή της γωνίας

3. Η αρχική πλευρά της γωνίας είναι ο ημιάξονας Οχ δεξιά του Ο

4. Η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται αν περιστραφεί ο Οχ κατά την

θετική φορά (ανάποδα από ότι οι δείκτες του ρολογιού ) και με μέτρο –

άνοιγμα το μέτρο της γωνίας

5. Παίρνουμε πάνω στην τελική πλευρά τυχαίο σημείο Μ

6. Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ(xM,yΜ)

7. Βρίσκουμε την απόσταση του Μ από την αρχή Ο : (ΟΜ) = ρ = 2M

2M yx

ΤΟΤΕ



Παρατηρούμε ότι:

Αν η γωνία ω είναι οξεία, τότε είναι x>0, y>0, ρ>0, οπότε: ημω>0,

συνω>0, εφω>0. Αν η γωνία ω είναι αμβλεία, τότε είναι x<0, y>0, ρ>0, οπότε: ημω>0,

συνω<0, εφω<0.

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γνωστών Γωνιών

Γωνία ω 0ο 30ο 45ο 60ο 90ο 180ο

ημω 0 12

2

2

3

2

1 0

συνω 1 3

2

2

2

12

0 -1

εφω 0 3

3

1 3 - 0




1.Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ το οποίο έχει βάση ΒΓ=48 cm και

περίμετρο 100 cm.Να βρείτε:

α)τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ,

β)το ύψος ΑΔ,

γ)τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β.

2.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

α)Α=2συν300εφ600

β)Β=ημ600συν300+ημ300συν60ο

γ)Γ=εφ30οεφ600-ημ450συν450-συν600

3.Δίνεται ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οχy .Να βρείτε τους

τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας χΟΜ,όταν:

α)Μ(4,3) β)Μ(-6,8) γ)Μ(-5,12)

4.Δίνεται η ευθεία με εξίσωση 4

y=- x3

και το σημείο της Μ με τετμημένη -6.

α)Να σχεδιάσετε την ευθεία σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οχy

και να βρείτε την τετμημένη του σημείου Μ.

β)Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας χΟΜ

5.Να βρείτε τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών:

α)συν500 β)συν1450 γ)ημ1720 δ)εφ890 ε)εφ1750

6.Να βρείτε τα πρόσημα των παραστάσεων:

α)Α=ημ700ημ1000συν1500

β)Β=συν320συν1100εφ1240



Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Οι παραπληρωματικές γωνίες ω, φ = 180º - ω έχουν το ίδιο ημίτονο και

αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Δηλαδή ισχύουν:

ημ(180-ω)=ημω

συν(180-ω)=-συνω

εφ(180-ω)=-εφω

Παρατήρηση

Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και είναι από 0º μέχρι και 180º, τότε

είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Για παράδειγμα, αν ημχ = ημ350 και 0 ≤ x ≤ 180º, τότε είναι x = 35º ή

x = 180º - 35º, δηλαδή χ = 35º ή χ = 145º.


1.Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα στοιχεία της στήλης Β:

Στήλη Α Στήλη Β

α) ημ120ο 1.συν30ο

β) συν144ο 2.εφ108ο

γ) ημ60ο 3.-συν36ο

δ) εφ72ο 4.ημ60ο

ε) συν108ο 5.συν36ο

6.-εφ108ο

7.-ημ60ο

8.συν72ο



2.Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

α)Α=ημ300 ημ1500-συν300συν1500

β)Β=συν450ημ1350+συν1200

γ)Γ=εφ1200εφ1500εφ1350

3. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

α)Α=ημ(1100+ω)-ημ(700-ω)

β)Β=συν(520-φ)+συν(1280+φ)

γ)Γ=ημ(350+ω)+συν(1050+ω)-ημ(1450-φ)+συν(750-φ)

4.Να βρείτε την γωνία χ (με 00≤χ≤1800) αν:

α)ημχ= 3

2 β)συνχ=

2

2 γ)εφχ= 3 δ)συνχ=

1

2 δ)ημχ=

1

2 ε)εφχ=1

στ)ημχ=-1

2

ζ)συνχ=-3

2 η)εφχ=-

3

3

5. Να βρείτε την γωνία χ (με 00≤χ≤1800) αν:

α)ημ2χ=-1

4 β)συν2χ=

3

4 γ)εφ2χ=1

6.Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει συνΓ=3

5 και ημΒ=

1

3.Να βρείτε:

α)το συν(Α+Β) β)το ημ(Α+Γ)



Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας

2 2ημ ω+συν ω=1

Από αυτήν προκύπτουν οι τύποι : 2 2ημ ω=1-συν ω

2 2συν ω=1-ημ ω

ημω

εφω=συνω

, με συνω 0

Παρατηρήσεις

Αν έχουμε έναν τριγωνομετρικό αριθμό μίας γωνίας και ζητάμε

τους άλλους:

1. Αν μας δίνουν το ημίτονο ή το συνημίτονο χρησιμοποιούμε τη σχέση

ημ2χ + συν2x = 1. Αντικαθιστούμε τον τριγωνομετρικό αριθμό που μας

δίνεται και λύνουμε τη σχέση ως προς τον άλλο. Όταν

αποτετραγωνίζουμε λαμβάνουμε υπόψιν το τεταρτημόριο στο οποίο

ανήκει το x ώστε να βρούμε το σωστό πρόσημο.

π.χ Αν 2

1x και

x

2 να βρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της x

Λύση:

ημ2χ + συν2x = 1 2

3x

4

3x

4

11x1x

2

1x

2222

22

1x

3

3

2

3

2

1

x

xx

2. Αν μας δίνουν την εφαπτομένη ή την συνεφαπτομένη , χρησιμοποιούμε

πρώτα τη σχέση x

xx

ώστε να εκφράσουμε το ημx συναρτήσει

του συνx ή το συνx συναρτήσει του ημx. Έπειτα αντικαθιστούμε στη

σχέση ημ2χ + συν2x = 1 και συνεχίζουμε όπως και παραπάνω.



πχ Αν 3x και 2

x0

να βρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της x

Λύση:

x3x3x

x3x

ημ2χ + συν2x = 1

1xx31x)x3( 2222x3x

2

1x

4

1x1x4

2x0

22

(1)

2

3

2

13x3x

)1(

Ασκήσεις όπου ζητείται να αποδειχθεί μία σχέση με τριγωνομετρικούς

αριθμούς:

Σ’αυτές τις ασκήσεις κάνουμε τις πράξεις που σημειώνονται (π.χ

επιμεριστικές,ομώνυμα,ταυτότητες κ.τ.λ) και χρησιμοποιούμε τις

γνωστές τριγωνομετρικές ταυτότητες:

2 2

ημ ω+συν ω=1

ημω

εφω=συνω

π.χ. Να αποδείξετε ότι

21

1

Λύση:

2

)1(

)1(

)1(

21

1

22

1

2

)1(

222

)1(

2112

)1(

21 22

222

)1(

)1(2 ισχύει.



Θέματα για Λύση 1.Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:

α)Α=ημ265ο+συν265ο β)Β=ημ240ο+συν2140ο

γ)Γ=εφ45οημ2χ-εφ1350συν2χ

2. Αν ισχύει 3

συνω=5

καιπ

0<ω<2

να βρείτε τους υπόλοιπους

τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

3. Αν ισχύει5

ημω= 3

και π

<ω<π2



4. Αν ισχύει7

εφω= 3

και π

<ω<π 2



5.Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες :

α)3ημ2χ+3συν2χ=3 β)εφχσυνχ=ημχ γ)(1-συνχ)(1+συνχ)=ημ2χ

δ)4-ημ2χ-συν2χ=3

6. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες :

α)1+συν2θ=2συν2θ+ημ2θ β)(ημφ+συνφ)2-2ημφσυνφ=1

γ)(2ημχ+συνχ)2+(ημχ-2συνχ)2=5

7. ι)εφ2χσυν2χ+συν2χ=1 ιι)εφχ-εφχημ2χ=ημχσυνχ

ιιι) 21-εφ χ 2

=1-2ημ χ21+εφ χ



Νόμος Ημιτόνων

Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες προς τα ημίτονα των απένατι

γωνιών.

Δηλαδή σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:

a β γ= =

ημΑ ημΒ ημΓ

Παρατήρηση: Στις ασκήσεις χρησιμοποιούμε το νόμο ημιτόνων για την

επίλυση ενός τριγώνου,όταν:

α)γνωρίζουμε δύο γωνίες και μία πλευρά του

β)γνωρίζουμε δύο πλευρές και μία γωνία του.

Νόμος Συνημιτόνων

Ο νόμος των συνημιτόνων λέει ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:

α2=β2+γ2-2βγσυνΑ

β2=α2+γ2-2αγσυνΒ

γ2=β2+α2-2βασυνΓ

Παρατήρηση: Στις ασκήσεις χρησιμοποιούμε το νόμο συνημιτόνων για την

επίλυση ενός τριγώνου,όταν:

α)γνωρίζουμε δύο πλευρές του και την περιεχόμενη γωνία σε αυτές.

β)γνωρίζουμε και τις τρείς πλευρές του.




1.Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α=105ο , Γ=30ο και β=6cm βρείτε την πλευρά

γ.

2. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α= 3 2 cm ,γ=3 cm και Α=135ο .Να βρείτε την

γωνία Γ.

3.Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α=2 cm, γ=6 2 cm και Β=135ο .Να βρείτε:

α)την πλευρά β β)το ημΓ

4. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α= 73 cm ,β=6 cm και γ=3 cm.Να βρείτε:

α)τη γωνία Α β)το ημΒ

5.Σε ένα παραλληλόγραμμοΑΒΓΔ είναι ΑΒ=30 cm,ΒΓ=20 cm,Β=60ο .Να

υπολογίσετε τις διαγωνίους του ΑΓ και ΒΔ.

ΦΥΛΛΑΔΙΟ

Documents

Transcript of ΦΥΛΛΑΔΙΟ