ΣΥΝΟΛΑ

www.tapapakiasthseira.blogspot.gr

1

Σύνολα

Εισαγωγή

Κατ’ αρχάς, πριν μιλήσουμε για την έννοια του συνόλου, πρέπει να καταστεί

σαφές ότι το σύνολο είναι έννοια πρωταρχική, δηλαδή δεν ορίζεται από

απλούστερες . Στις πρωταρχικές έννοιες ανήκει ο χώρος ,ο χρόνος δηλαδή έννοιες τις

οποίες αντιλαμβανόμαστε, μπορούμε να μιλήσουμε γι’ αυτές ,αλλά δεν μπορούμε τις

ορίσουμε, δηλαδή να απαντήσουμε στο ερώτημα «τι είναι;».

Σύνολα υπάρχουν παντού γύρω μας. Οι άνθρωποι που μένουν στην Αθήνα

αποτελούν ένα σύνολο, τα θηλαστικά, μια συλλογή από πίνακες ζωγραφικής, τα

γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου, οι πραγματικοί αριθμοί ,οι φυσικοί αριθμοί…

Όλα τα παραπάνω αποτελούν σύνολα. Τα κομμάτια από τα οποία αποτελείται ένα

σύνολο, δηλαδή τα μέλη ή στοιχεία, του συνόλου πρέπει να έχουν κάποιο κοινό

χαρακτηριστικό. Για παράδειγμα, οι κάτοικοι της Αθήνας έχουν ένα κοινό

χαρακτηριστικό: μένουν στην Αθήνα ,έτσι μπορούμε να μιλάμε για το σύνολο των

κατοίκων της Αθήνας. Τα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου έχουν ένα κοινό

χαρακτηριστικό : χρησιμοποιούνται στην ελληνική γλώσσα.


2

Ορισμοί:

Ορισμός 1

Σύνολο είναι μια συλλογή, μια ομάδα από αντικείμενα διαφορετικά

(διακεκριμένα) μεταξύ τους που τα θεωρούμε σαν μια ολότητα

Ορισμός 2

Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου Α ονομάζετε πληθικός αριθμός

ή πληθάριθμος του συνόλου Α και συμβολίζεται με Ν(Α)

Α. Συμβολισμοί

Για να συμβολίσουμε ένα σύνολο στα Μαθηματικά συνηθίζεται να

χρησιμοποιούμε ένα κεφαλαίο γράμμα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου,

ενώ για να συμβολίσουμε τα στοιχεία του (δηλαδή τα κομμάτια, τα μέλη που το

αποτελούν) χρησιμοποιούμε μικρά γράμματα.

Προκειμένου να δηλώσουμε ότι ένα στοιχείο ανήκει σε ένα σύνολο

χρησιμοποιούμε το σύμβολο (ανήκει).

Για παράδειγμα, αν συμβολίσουμε με Θ το σύνολο των θηλαστικών και με γ την γάτα

μπορούμε να πούμε (δεδομένου ότι η γάτα είναι θηλαστικό):

Γενικά:

Προκειμένου να δηλώσουμε ότι ένα στοιχείο δεν ανήκει σε ένα σύνολο

χρησιμοποιούμε το σύμβολο .

Αν συμβολίσουμε Θ το σύνολο των θηλαστικών και με σ ένα σολομό μπορούμε να

πούμε (δεδομένου ότι οι σολομοί δεν είναι θηλαστικά):

Γενικά:

Για να δηλώσουμε ότι το x είναι

στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε :

x A

και διαβάζουμε: «το x ανήκει στο Α»

Για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι

στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε :

x A

και διαβάζουμε: «το x δεν ανήκει στο Α»


3

Τα βασικά σύνολα που έχουμε στα Μαθηματικά είναι

το : το σύνολο των φυσικών αριθμών

το : το σύνολο των ακεραίων αριθμών

το : το σύνολο των ρητών αριθμών

το : το σύνολο των πραγματικών αριθμών

Έτσι για παράδειγμα ,με την βοήθεια των παραπάνω συμβολισμών μπορούμε να

πούμε:

2 , 2

5 , 3 , 7 , 5

Β. Παράσταση συνόλου

α) Με αναγραφή

Έστω ότι έχουμε τον αριθμό 7.345.643.598 Τα ψηφία που αποτελούν αυτόν

τον αριθμό είναι το 7,το 3,το 4,το 5,το 8,το 9 και το 6. Άρα αν ονομάσουμε Α το

σύνολο των ψηφίων του αριθμού 7.345.643.598 θα έχουμε 3,4,5,6,7,8,9

Παρόμοιο συμβολισμό χρησιμοποιούμε, αν έχουμε σύνολα, το οποία

αποτελούνται από πολλά ή άπειρα στοιχεία. Σ’ αυτή την περίπτωση γράφουμε μερικά

απ’ αυτά και αποσπούμε τα περισσότερα (τα συμβολίζουμε συνήθως με

αποσιωπητικά), αρκεί να είναι σαφές το ποια στοιχεία παραλείπουμε.

Άρα το σύνολο Α του προηγούμενου παραδείγματος θα μπορούσαμε να το γράψουμε

3,4...8,9

Η ανάγκη ύπαρξης αυτού του συμβολισμού φαίνεται όταν το πλήθος των

στοιχείων είναι πραγματικά μεγάλο! Αν θέλαμε να συμβολίσουμε το σύνολο(Β) των

θετικών ακεραίων αριθμών από το 1 έως το 30 θα γράφαμε

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30

Αντί αυτού γράφουμε 1,2,3...30

Με τη χρήση του δεύτερου συμβολισμού μπορούμε να καταγράψουμε σύνολα με

πολύ μεγάλο πλήθος στοιχείων, όπως για παράδειγμα το σύνολο(Γ) των κλασμάτων

της μορφής 1

v, όπου ν θετικός άρτιος αριθμός:

1 1 1, , ,...

2 4 6

Αυτός ο τρόπος παράστασης ενός συνόλου(για τον οποίο χρησιμοποιούνται δυο

συμβολισμοί) λέγεται «παράσταση με αναγραφή των στοιχείων του»


4

β) Με περιγραφή

Αν από το σύνολο των πραγματικών αριθμών επιλέξουμε τους αριθμούς εκείνους(x)

που έχουν την ιδιότητα να είναι θετικοί θα πούμε: «το x είναι πραγματικός ,αλλά

είναι θετικός» ή «το x ανήκει στο όπου x θετικός» και θα το συμβολίσουμε:

/ 0x x

και διαβάζουμε «το σύνολο των x , όπου 0x ».

Με τον ίδιο τρόπο συμβολίζουμε το σύνολο (Α) των άρτιων ακεραίων

{ /A x x άρτιος}

Αυτός ο τρόπος παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση με περιγραφή

των στοιχείων του».

Σημείωση: Αν θέλουμε να πούμε πως ένα στοιχείο x ανήκει σε ένα από τα

σύνολα , , , αλλά είναι διάφορο του μηδενός τότε γράφουμε το σύμβολο του

συνόλου και προσθέτουμε πάνω δεξιά έναν αστερίσκο (*).

Για παράδειγμα του σύνολο / 0x x γράφεται *

Γ. Ίσα σύνολα

Ας πάρουμε δυο σύνολα:

το 2,3,4,5,6,7A και το / 2 7B x x

Οι πληροφορίες που μας δίνονται για το σύνολο Β είναι ότι το x είναι φυσικός

αριθμός, αλλά ταυτόχρονα βρίσκεται μεταξύ του 2 και του 7. Άρα στο σύνολο Β

ανήκουν οι αριθμοί 2,3,4,5,6,7. επομένως το σύνολο Β έχει ακριβώς τα ίδια

στοιχεία με το σύνολο Α. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι τα σύνολα Α και Β είναι

ίσα.

Γενικά Δυο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα όταν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία

ή αλλιώς

Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα κάθε στοιχείο του Α είναι στοιχείο του Β και

αντιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είναι στοιχείο του Α.»

Σε αυτή την περίπτωση γράφουμε Α=Β

Γενικά, αν από ένα οποιοδήποτε σύνολο Ω

επιλέξουμε τα στοιχεία που έχουν μια ορισμένη ιδιότητα Ι ,

τότε το νέο σύνολο που προκύπτει συμβολίζεται:

/x x έχει την ιδιότητα Ι}


5

Δ. Υποσύνολα συνόλου

Θεωρούμε τα σύνολα Α={1,2,3,…,15} και Β={1,2,3,…,100}

Παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β(οι

ακέραιοι αριθμοί από το 1 μέχρι το 15) , αλλά το σύνολο Β έχει παραπάνω στοιχεία,

τα οποία δεν ανήκουν στο Α( οι ακέραιοι αριθμοί από το 16 μέχρι το 100).

Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι το Α είναι υποσύνολο του Β.

Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι ακόλουθες:

i) A A , για κάθε σύνολο Α

ii) Αν και , τότε

iii) Αν και , τότε Α=Β

Σύμφωνα με τα παραπάνω προκύπτει ότι

Το περιέχει τους μη αρνητικούς ακεραίους άρα θεωρείται υποσύνολο του ,

αφού στο περιέχονται και οι αρνητικοί ακέραιοι. Δηλαδή κάθε στοιχείο του

περιέχεται στο , αλλά το έχει παραπάνω στοιχεία από το

Το περιέχει όλους τους ακέραιους αριθμούς, άρα θεωρείται υποσύνολο του ,

αφού κάθε ακέραιος αριθμός α μπορεί να γραφτεί ως ρητός δηλαδή στη μορφή 1

.

Θυμίζουμε ότι / , , 0

, δηλαδή στο ανήκουν οι αριθμοί που

μπορούν να γραφτούν σε μορφή κλάσματος.

Τέλος, το θεωρείται υποσύνολο του αφού κάθε στοιχείο του είναι

πραγματικός αριθμός( ανήκει στο ),αλλά το περιέχει στοιχεία τα οποία δεν

ανήκουν στο ,όπως για παράδειγμα το 2 ή αριθμός π.

Ε. Κενό σύνολο

Ας αναζητήσουμε τα στοιχεία του συνόλου 2/ 1x x

Γενικά ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο

ενός συνόλου Β όταν κάθε στοιχείο του Α

είναι και στοιχείο του Β και γράφουμε

A B


6

Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, δεν υπάρχει αριθμός x ,οποίος αν υψωθεί στο

τετράγωνο ισούται με -1, άρα το σύνολο Α δεν έχει κανένα στοιχείο. Επομένως το Α

είναι κενό σύνολο.

Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου και είναι μοναδικό.

Ας πάρουμε για παράδειγμα το σύνολο / 5 0x x και 3 0x

5 0 5x x και 3 0 3x x

Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους συναληθεύουν

οι ανισώσεις 5 0x και 3 0x . Άρα

ΣΤ. Διαγράμματα Venn

Εν γένει τα σύνολα μπορούμε να τα φανταστούμε σαν «κουτιά» που περιέχουν

αντικείμενα, γράμματα, αριθμούς κλπ.

Όταν μιλάμε για σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται υποσύνολα ενός συνόλου που

λέγεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω. Π.χ τα σύνολα , , είναι

υποσύνολα του βασικού συνόλου .

Το διάγραμμα Venn είναι μια εποπτική παρουσίαση των

συνόλων, σύμφωνα με την οποία το βασικό σύνολο

παριστάνεται με το εσωτερικό ενός ορθογωνίου

παραλληλογράμμου και κάθε υποσύνολο Α με μια κλειστή

καμπύλη γραμμή

Αν , τότε το Α παριστάνεται με το εσωτερικό

μιας καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό της

καμπύλης που παριστάνει το σύνολο Β

Γενικά ένα σύνολο λέγεται κενό όταν δεν

έχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται


7

Έτσι, αν θεωρήσουμε βασικό το σύνολο(Ω) των ελληνικών γραμμάτων και Ν το

σύνολο των γραμμάτων της λέξης νόμισμα και θα έχουμε : , , , , , (το «μ»

δεν πρέπει να το βάλουμε δυο φορές)

ή σε διάγραμμα

Venn

Ενώ το σύνολο Π των γραμμάτων της λέξης «πείσμα» είναι το : , , , , , θα

παρασταθεί ως εξής:

ή σε διάγραμμα

Venn

Ζ. Πράξεις μεταξύ συνόλων

Ας πάρουμε για παράδειγμα ως βασικό σύνολο το αλφάβητο.

Ω: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

που θα μπορούσαμε να το παραστήσουμε ως εξής:

Ας πάρουμε τώρα δυο λέξεις: την λέξη «νόμισμα» και την λέξη «πείσμα».

Το σύνολο των γραμμάτων της λέξης «νόμισμα» είναι το Ν ,ενώ το σύνολο των

γραμμάτων της λέξης πείσμα είναι το Π

Τα σύνολα Ν και Π μπορούν να παρασταθούν ως εξής:

και

Αν θέλαμε να παραστήσουμε το σύνολο Ν ως μέλος του συνόλου(Ω) των γραμμάτων

της ελληνικής αλφαβήτου θα είχαμε

ή αλλιώς


8

και θα λέγαμε πως το σύνολο Ν είναι υποσύνολο του Ω

Με τη λέξη πείσμα θα είχαμε αντίστοιχα:

Αν θέλαμε να παραστήσουμε ταυτόχρονα

το σύνολο Π και το σύνολο Ν μέσα στο Ω

θα είχαμε:

Αν θέλαμε να παραστήσουμε τα σύνολα Ν και Π ενωμένα θα είχαμε:

Ονομάζουμε Ε το σύνολο που προκύπτει από την ένωση των συνόλων Ν και Π. Το Ε

περιέχει τα κοινά(μ,ι,σ,α ) και τα μη κοινά(ν,ο,π,ε) στοιχεία του Ν και του Π.

Για να ανήκει ένα γράμμα στο σύνολο Ε θα πρέπει να ανήκει ή στο Ν ή στο Π. Για

παράδειγμα το γράμμα ν ανήκει στο Ν αλλά δεν ανήκει στο Π. Παρ’ολ’ αυτά το ν

ανήκει στο Ε.

Παρατηρούμε πως τα γράμματα μ,ι,σ,α είναι κοινά στο σύνολο Ν και στο σύνολο Π .

Επομένως:

Αν ονομάσουμε Κ το σύνολο των κοινών στοιχείων του Ν και του Π, τότε το Κ θα

βρίσκεται εκεί που τα σύνολα Ν και Π τέμνονται, άρα το Κ είναι η τομή των

συνόλων Ν και Π.

Για να ανήκει ένα γράμμα στο Κ θα πρέπει να ανήκει ταυτόχρονα και στο Ν και

στο Π.


9

Ένωση

Θεωρούμε δυο μη κενά σύνολα Α και Β, και

Ένωση των συνόλων Α και Β λέγεται το σύνολο εκείνο

που περιέχει τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των

συνόλων Α και Β και συμβολίζεται

Δηλαδή: /x x A ή x B

Τομή

Θεωρούμε δυο μη κενά σύνολα Α και Β, και

Τομή των συνόλων Α και Β λέγεται το σύνολο εκείνο που

περιέχει μόνο τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β

και συμβολίζεται

Δηλαδή x και x

Συμπλήρωμα

Έστω ένα βασικό σύνολο Ω και ένα σύνολο

Συμπλήρωμα ενός συνόλου Α ή συμπληρωματικό

σύνολο του Α ονομάζουμε το «μη Α», εννοώντας

το σύνολο εκείνο που περιέχει τα στοιχεία που

περιέχονται στο Ω και δεν περιέχονται στο Α και το

συμβολίζουμε με Α΄.

Δηλαδή ' /x x

Πχ Θεωρούμε βασικό σύνολο το και / 5x x . Τότε ' 0,1,2,3,4

Δηλαδή αν στο Α ανήκουν οι φυσικοί αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 5,

τότε στο συμπληρωματικό του (Α΄) θα ανήκουν οι φυσικοί αριθμοί που είναι

μικρότεροι του 5


10

Διαφορά

Διαφορά δυο μη κενών συνόλων Α,Β ονομάζουμε

το σύνολο που έχει τα στοιχεία του συνόλου Α

που δεν ανήκουν στο Β και συμβολίζουμε με Α-Β

Δηλαδή /x x A και x

Πχ Αν Α={α,β,γ,δ,ρ,τ} και Β={ρ,δ,ω,σ,η}

Τότε Α-Β={α,β,γ,τ}

Εφαρμογές

Εφαρμογή 1

Έστω το βασικό σύνολο: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 και

1,2,5,6 , 2,5,7 , 1,3,5,7,9

Να βρείτε τα σύνολα:

i. iii. v. ( ) vii. ( ) '

ii. iv. ' vi. ' viii. Α-Β

Λύση

i. Αναζητούμε τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β

2,5

ii. Αναζητούμε τα στοιχεία περιέχονται στο Ω και ανήκουν στο Α ή στο Β

1,2,5,6,7

iii. Αναζητούμε τα στοιχεία περιέχονται στο Ω και ανήκουν στο Α ή στο Γ

1,2,3,5,6,7,9

iv. Αναζητούμε τα στοιχεία που περιέχονται στο Ω και δεν ανήκουν στο Α

' 3,4,7,8,9

v. Αναζητούμε τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των συνόλων Α και

Κατ’ αρχάς πρέπει να βρούμε το

5,7

Επομένως

( ) 1,2,5,6,7

vi.Έχουμε ' 3,4,7,8,9

' 7


11

7 2 1 4

7 1 2 4 1

8 3

2 2

34

2

x

x

x

x

vii. Έχουμε 1,2,5,6,7 . Άρα αναζητούμε τα στοιχεία που ανήκουν στο Ω

και δεν ανήκουν στο

( ) ' 3,4,8,9

viii. Αναζητούμε τα στοιχεία που ανήκουν στο Α, οποία δεν ανήκουν στο Β

Α-Β={1,6}

Εφαρμογή 2

Να γράψετε με αναγραφή το σύνολα 2/ 9x x και

/ 7 2 1 5x x

Α: το x είναι ακέραιος και ταυτόχρονα λύση της εξίσωσης 2 9x

23

9 93

x x x

Α={-3,3}

Β:

Αναζητούμε τους ακέραιους αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του -4 και του 3

2

Άρα 3, 2, 1,0,1

Εφαρμογή 3

Να βρείτε τα σύνολα 2/ ( 1) 0x x ,Α΄, / | | 1x x και Β΄.

Α: Έχουμε ότι 2( 1) 0x . Για να ισχύει 2( 1) 0x θα πρέπει 1 0 1x x

Δηλαδή ,1x ή 1,x

1 ή ,1 1,

Α΄={1}

Β: | | 1 1x x ή 1x δηλαδή , 1x ή 1,x

Άρα , 1 1,

Β΄ 1,1


12

Εφαρμογή 4

Να βρείτε τα α,β αν τα σύνολα 0, ,1 και 0, ,2 να είναι ίσα

Θα πρέπει τα σύνολα Α και Β να έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία.

Άρα α=2 και β=1 , διότι αν α=β θα είχαμε 2=1 που δεν ισχύει

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Άσκηση 1

Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τη σχέση μεταξύ των συνόλων , , ,

Άσκηση 2

Αν 3, 1,0,1,2,5 , 3,0,2 και 1,0,2

Να βρείτε τα σύνολα

i. iii.A΄ v.

ii. iv. ' vi.

Άσκηση 3

Να παραστήσετε τα παρακάτω σύνολα με αναγραφή.

/ | | 5x x

/ | 1| 2x x

0, / 2 1,x x

/ 2 4x x

2

2/ 1 0x x

Άσκηση 4


13

Να βρείτε το σύνολο των λύσεων:

i. της εξίσωσης 2004 1 0x

ii. της ανίσωσης 2 4 0x

iii. της εξίσωσης 3 5 2 5x x x

iv. της εξίσωσης 2 1x x για τις διάφορες τιμές του κ

Άσκηση 5

Να παραστήσετε με περιγραφή τα παρακάτω σύνολα

3, 2, 1,0,1,2,3

4,5,6,7...

Άσκηση 6

α)Για ποιες τιμές του α,β ισχύει Α=Β αν 2, ,7 και 2,6,

β)Για ποιες τιμές του α,β, ισχύει Α=Β αν 2,( 1),3 και 2,( 8),4

Άσκηση 7

Να παραστήσετε σε μορφή συνόλου το πεδίο ορισμού των παρακάτω παραστάσεων

i.2

4 2

1

x

x

iii.

2

2

9

4 20 24

x

x x

ii.2

1

1

x

x

iv.

2

2

4 8 2 2

4

x x

x

Σχόλιο: Παρ’όλο που δεν μπορούμε να δώσουμε έναν ακριβή ορισμό για τα σύνολα,

για να χαρακτηριστεί κάτι σύνολο θα πρέπει να μπορούμε να απαντήσουμε αν ένα

στοιχείο ανήκει ή όχι στο σύνολο.

Οι ασκήσεις δεν μου ανήκουν. Κάποιες τις βρήκα στο internet,κάποιες βρίσκονται στο

βιβλίο του οργανισμού και κάποιες προέρχονται από το βοήθημα του Μπάρλα για την Α

λυκείου Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική

Για οποιαδήποτε διευκρίνιση, απορία , διόρθωση

[email protected]

ΣΥΝΟΛΑ

Documents

Transcript of ΣΥΝΟΛΑ