5 Tablas de Amortizacion (Interes Compuesto y Anualidades)

27
Construcción de tablas de Construcción de tablas de amortización amortización 127 127 Introducción : Interés compuesto Introducción : Interés compuesto Aplicaciones relativas al crecimiento de un Aplicaciones relativas al crecimiento de un capital impuesto a una cierta tasa de interés capital impuesto a una cierta tasa de interés en función del tiempo. en función del tiempo. "Modelo de Crecimiento Geométrico" "Modelo de Crecimiento Geométrico" Monto Monto monetario en monetario en el tiempo t el tiempo t ( A(t) ) ( A(t) ) Proceso de Proceso de crecimiento crecimiento (Interés) (Interés) Monto monetario Monto monetario en el tiempo t en el tiempo t + + Δt Δt ( M(t) ) ( M(t) )

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Construcción de tablas de amortizaciónConstrucción de tablas de amortización

121277

Introducción : Interés compuestoIntroducción : Interés compuesto

Aplicaciones relativas al crecimiento de un capital Aplicaciones relativas al crecimiento de un capital impuesto a una cierta tasa de interés en función del impuesto a una cierta tasa de interés en función del tiempo.tiempo.

"Modelo de Crecimiento Geométrico""Modelo de Crecimiento Geométrico"

Monto Monto monetario en el monetario en el

tiempo t tiempo t ( A(t) )( A(t) )

Proceso de Proceso de crecimiento crecimiento

(Interés)(Interés)

Monto monetario en Monto monetario en el tiempo t el tiempo t + + ΔtΔt

( M(t) )( M(t) )

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121288

Podemos expresar a M(t) como :Podemos expresar a M(t) como :

( ) ( ) ( )M t A t i A t

% de % de A(t)A(t)

o de manera o de manera equivalente :equivalente :

( ) ( ) 1M t A t i

GrGráficamente esto equivale áficamente esto equivale a :a :

t t

A(t) A(t) M(t)M(t)=A(t)(1+i)=A(t)(1+i)

t +t +ΔΔtt

Introducción : Interés compuestoIntroducción : Interés compuesto

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Lo anterior al aplicarse para otro períodoLo anterior al aplicarse para otro período nos deja : nos deja :

t t

A(t) A(t) M(t)M(t)=A(t)(1+i)=A(t)(1+i)

t +t +ΔΔtt t +2(t +2(ΔΔt)t)

MM22(t)(t)=M(t)=M(t)(1+i)(1+i)

AsíAsí : : 2 ( ) ( ) (1 )M t M t i ( ) 1 (1 )A t i i

2( ) (1 )A t i

De manera generalDe manera general : : ( ) ( ) (1 )nnM t A t i Modelo de interés Modelo de interés compuestocompuesto

Introducción : Interés compuestoIntroducción : Interés compuesto

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131300

Por ejemplo, consideremos :Por ejemplo, consideremos :

Monto invertido el Monto invertido el 1/01/20051/01/2005$ 1,000 $ 1,000 ( t = 0 )( t = 0 )

Monto obtenido el Monto obtenido el 1/06/20051/06/2005

$ 1,300$ 1,300( t = 6)( t = 6)

¿Cuál es la tasa de interés compuesto ¿Cuál es la tasa de interés compuesto mensual aplicable a este problema?mensual aplicable a este problema?

Introducción : Interés compuestoIntroducción : Interés compuesto

=(1.3^(1/6))-1=(1.3^(1/6))-1

= 4.5%= 4.5%

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A la tasa i obtenida hasta el momento bajo el A la tasa i obtenida hasta el momento bajo el concepto de reinversión de los intereses generados concepto de reinversión de los intereses generados en cada período se le conoce como "en cada período se le conoce como "Tasa Efectiva de Tasa Efectiva de InterésInterés""

Introducción : Interés compuestoIntroducción : Interés compuesto

Cuando deseamos expresar el interés total que es Cuando deseamos expresar el interés total que es pagado en un año sobre una unidad invertida al pagado en un año sobre una unidad invertida al principio del mismo, pe-ro donde no existe la re-principio del mismo, pe-ro donde no existe la re-inversión , tenemos entonces lo que se conoce como inversión , tenemos entonces lo que se conoce como ""Tasa nominal de interésTasa nominal de interés""¿ A cuánto equivale una tasa efectiva del 4.88% ¿ A cuánto equivale una tasa efectiva del 4.88% semestral en términos de lo siguiente?semestral en términos de lo siguiente?

1) Una tasa nominal de interés por 1) Una tasa nominal de interés por un añoun año2) Una tasa efectiva de interés por un 2) Una tasa efectiva de interés por un añoaño

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Para encontrar las respuestas a las preguntas Para encontrar las respuestas a las preguntas anteriores planteamos :anteriores planteamos :

Introducción : Interés compuestoIntroducción : Interés compuesto

Inciso a)Inciso a)

$ 1 $ 1

HoyHoy 6 6 meses meses despuédespué

ss

1 año 1 año despuédespué

ss

$ $ 1.0488 1.0488

$ $ 1.0000 1.0000

$ $ 1.0488 1.0488

ReinversiReinversión de $1ón de $1

Total de interés Total de interés ganado : ganado :

0.0488 + 0.0488 + 0.04880.0488

Tasa nominal de Tasa nominal de interés anual :interés anual : 9.76%9.76%

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Para el inciso b) el escenario es distinto :Para el inciso b) el escenario es distinto :

Introducción : Interés compuestoIntroducción : Interés compuesto

$ 1 $ 1

HoyHoy 6 6 meses meses despuédespué

ss

1 año 1 año despuédespué

ss

$ $ 1.0488 1.0488

$ $ 1.0488 1.0488

$ $ 1.09998 1.09998

ReinversiReinversión de ón de

$1.0488$1.0488

Total de interés Total de interés ganado : ganado :

0.0488 0.0488 + 0.05118+ 0.05118

Tasa efectiva de Tasa efectiva de interés anual :interés anual : 9.9989.998

%%

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¿Qué relación existe entre las tasas nominal y ¿Qué relación existe entre las tasas nominal y efectiva recién obtenidas?efectiva recién obtenidas?

Introducción : Interés compuestoIntroducción : Interés compuesto

21.09998 1.0488

2

0.09761 0.09998 1

2

De manera De manera equivalente :equivalente :

22

1 12

ii

i

2i

Tasa efectiva de Tasa efectiva de interés anualinterés anual

Tasa nominal de Tasa nominal de interés anual interés anual (convertible (convertible

semestralmente)semestralmente)

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Problemas Problemas ::

Introducción : Interés compuestoIntroducción : Interés compuesto

1. Un padre al nacimiento de su hijo invierte $2,000.00 1. Un padre al nacimiento de su hijo invierte $2,000.00 a una a una tasa del 5% convertible trimestralmente. ¿Cuál será tasa del 5% convertible trimestralmente. ¿Cuál será el monto el monto del capital al cumplir su hijo 21 años?del capital al cumplir su hijo 21 años?2. Cierta inversión acumula un monto final de $10,000 2. Cierta inversión acumula un monto final de $10,000 despuésdespués de 5 años de acumular intereses a una tasa del 2.5% de 5 años de acumular intereses a una tasa del 2.5% men- men- sual. ¿Cuál debió ser la cantidad inicial invertida?sual. ¿Cuál debió ser la cantidad inicial invertida?3. ¿Qué tasa da mejor rendimiento : 5.5% convertible 3. ¿Qué tasa da mejor rendimiento : 5.5% convertible semes- semes- tralmente o 5% convertible mensualmente?tralmente o 5% convertible mensualmente?4. Si una cantidad de dinero se duplica en 9 años 4. Si una cantidad de dinero se duplica en 9 años colocada una colocada una cierta tasa de interés anual, ¿cuánto tiempo tardará cierta tasa de interés anual, ¿cuánto tiempo tardará en tripli- en tripli- carse a la misma tasa de interés?carse a la misma tasa de interés?

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AnualidadeAnualidadess

En este apartado estudiaremos el manejo de pagos En este apartado estudiaremos el manejo de pagos periódi-cos de dinero, los cuales reciben el nombre periódi-cos de dinero, los cuales reciben el nombre de "Anualidades"de "Anualidades"Existen básicamente dos tipos de Existen básicamente dos tipos de anualidades :anualidades :

a) Anualidades ciertasa) Anualidades ciertas

b) Anualidades b) Anualidades contingentescontingentes

Matemáticas Matemáticas FinancierasFinancieras

Matemáticas Matemáticas ActuarialesActuariales

EjemploEjemplo : Los pagos periódicos que se : Los pagos periódicos que se efectúan para liquidar una hipoteca de una efectúan para liquidar una hipoteca de una casa hasta la extinción de la deudacasa hasta la extinción de la deuda

EjemploEjemplo : La serie de pagos que recibe un : La serie de pagos que recibe un pensionado hasta su fallecimiento, momento en pensionado hasta su fallecimiento, momento en el cual cesa dicho beneficio.el cual cesa dicho beneficio.

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AnualidadeAnualidadess

Valor presente de anualidades ordinariasValor presente de anualidades ordinarias

Una anualidad ordinaria consiste en una serie de Una anualidad ordinaria consiste en una serie de pagos uni- tarios efectuados un período después de pagos uni- tarios efectuados un período después de su contratación y pagaderos durante n años.su contratación y pagaderos durante n años.

00 11 22 n-1n-1 nn

$ 1$ 1 $ 1$ 1

......

$ 1$ 1 $ 1$ 1

Bajo el primer enfoque, efectuamos la valuaciBajo el primer enfoque, efectuamos la valuación de ón de dicha serie de pagos en el punto 0 (Valor Presente)dicha serie de pagos en el punto 0 (Valor Presente)

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AnualidadeAnualidadess

00 11 22 n-1n-1 nn

$ 1$ 1 $ 1$ 1

......

$ 1$ 1 $ 1$ 1

Consideremos para empezar, por ejemplo, el valor Consideremos para empezar, por ejemplo, el valor actual que tendría $1 a pagar en el período actual a actual que tendría $1 a pagar en el período actual a una tasa i por perío-do :una tasa i por perío-do :

1

1 i

2

1

1 i......

1

1ni

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AnualidadeAnualidadessPor simplicidad podemos definir :Por simplicidad podemos definir :

111

1v i

i

Entonces, denotaremos al valor presente de la Entonces, denotaremos al valor presente de la anualidad me- diante :anualidad me- diante :

2 1... n n

na v v v v

Lo anterior represente una progresión geométrica con Lo anterior represente una progresión geométrica con n términos a razón de v n términos a razón de v = (1+i)= (1+i)

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141400

AnualidadeAnualidadessPodemos encontrar una expresiPodemos encontrar una expresión final para el valor ón final para el valor presente de esta anualidad de la siguiente formapresente de esta anualidad de la siguiente forma : :

2 1... n n

na v v v v

2 1(1 ) 1 ... n

ni a v v v

De donde si efectuamos - : De donde si efectuamos - :

(1 )n n n

i a a ia 1 nv

1 n

n

va

i

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141411

AnualidadeAnualidadessEjemploEjemplo : :

Calcular el valor presente de cuatro pagos anuales de Calcular el valor presente de cuatro pagos anuales de $500, donde el primero de ellos se efectúa un año $500, donde el primero de ellos se efectúa un año después de este momento y la tasa de interés es del después de este momento y la tasa de interés es del 8% anual efectiva8% anual efectiva

Valor Valor Presente Presente

00 11 22 33 44

$ 500$ 500 $ 500$ 500 $ 500$ 500 $ 500$ 500

2 3 4500 500 500 500v v v v

2 3 4500 v v v v 4 0.08500

ia

41 1 .08

500 $1,656.060.08

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AnualidadeAnualidadess

141422

En Excel podríamos obtener dicho valor mediante :En Excel podríamos obtener dicho valor mediante :

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Construcción de tablas de amortizaciónConstrucción de tablas de amortización

141433

AnualidadeAnualidadess

Montos de anualidades ordinariasMontos de anualidades ordinarias

En este caso cambiamos el punto de valuaciEn este caso cambiamos el punto de valuación de ón de una anuali- dad ordinaria al punto n.una anuali- dad ordinaria al punto n.

00 11 22 n-1n-1 nn

$ 1$ 1 $ 1$ 1

......

$ 1$ 1 $ 1$ 1

1

1 i......

11

ni

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AnualidadeAnualidadessSe observa que ahora se tiene una suma de montos y Se observa que ahora se tiene una suma de montos y a esta suma se le llama "Monto de una Anualidad", la a esta suma se le llama "Monto de una Anualidad", la cual expresa- remos mediante :cual expresa- remos mediante :

2 11 (1 ) (1 ) ... (1 )nnS i i i

(1 )nna i Cálculo a partir de la Cálculo a partir de la

fórmula de valor fórmula de valor presentepresente

1(1 )

nnvi

i

1 1ni

i

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AnualidadeAnualidadessEjemploEjemplo : :

Calcular el monto de cuatro pagos anuales de $500, Calcular el monto de cuatro pagos anuales de $500, donde el primero de ellos se efectúa un año después donde el primero de ellos se efectúa un año después de ahora y la ta-sa de interés es del 8% anual de ahora y la ta-sa de interés es del 8% anual efectivaefectiva

MontMonto o

00 11 22 33 44

$ 500$ 500 $ 500$ 500 $ 500$ 500 $ 500$ 500

2 3500 500(1.08) 500(1.08) 500(1.08)

4 0.08500

iS

41 .08 1

500 $2,253.060.08

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AnualidadeAnualidadessEn Excel podríamos obtener dicho valor mediante :En Excel podríamos obtener dicho valor mediante :

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Construcción de tablas de amortizaciónConstrucción de tablas de amortización

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AnualidadeAnualidadessProblemasProblemas ::

1. Un refrigerador se compra pagando $1,000 de 1. Un refrigerador se compra pagando $1,000 de conta- conta- do y $300 mensuales durante 2 años. ¿Cuál es do y $300 mensuales durante 2 años. ¿Cuál es el pre- el pre- cio equivalente en efectivo, si el interés es del cio equivalente en efectivo, si el interés es del 12% 12% convertible mensualmente?convertible mensualmente?2. El beneficiario de un seguro recibe de parte de 2. El beneficiario de un seguro recibe de parte de la com-la com- pañía, dos ofertas :pañía, dos ofertas :

a) $100,000 de contadoa) $100,000 de contado b) Una anualidad de $11,000 por año durante b) Una anualidad de $11,000 por año durante 12 12 añosaños

Diga cuál es la mejor oferta y encuentre la Diga cuál es la mejor oferta y encuentre la diferencia si diferencia si el interés al cual se puede invertir el dinero es el interés al cual se puede invertir el dinero es del 8% del 8% anualanual

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AnualidadeAnualidadessProblemasProblemas : (Continuación) : (Continuación)

3. Una persona deposita $ 2,500 al fin de cada 3. Una persona deposita $ 2,500 al fin de cada año du- año du- rante 10 años, en un banco que le abona rante 10 años, en un banco que le abona interés delinterés del 8% anual; el monto resultante se deja 8% anual; el monto resultante se deja depositado a- depositado a- cumulándose a la misma tasa por los cumulándose a la misma tasa por los siguientes 5 siguientes 5 años. ¿De cuánto se dispondrá al fin de 15 años. ¿De cuánto se dispondrá al fin de 15 años?años?

4. ¿Cuántos pagos anuales completos de $1,500 y 4. ¿Cuántos pagos anuales completos de $1,500 y qué qué pago incompleto un año después, deben pago incompleto un año después, deben hacerse conhacerse con el objeto de acumular al 6% anual, $25,000?el objeto de acumular al 6% anual, $25,000?5. Si por una deuda de $100,000 se hacen pagos 5. Si por una deuda de $100,000 se hacen pagos men- men- suales de $800 durante 15 años, encontrar la suales de $800 durante 15 años, encontrar la tasa detasa de interés mensual.interés mensual.

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Construcción de tablas de amortizaciónConstrucción de tablas de amortización

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En esta secciEn esta sección analizaremos el procedimiento que ón analizaremos el procedimiento que recibe el nombre de "Amortización".recibe el nombre de "Amortización".

Tal método, como su nombre lo indica (proviene Tal método, como su nombre lo indica (proviene del latín "Mors", "Mortis" del latín "Mors", "Mortis" = Muerte), significa = Muerte), significa exitinguir una deuda mediante pagos periexitinguir una deuda mediante pagos periódicos ódicos generalmente iguales en los que se incluye tanto generalmente iguales en los que se incluye tanto intereses como capital.intereses como capital.Los pagos en referencia forman una anualidad, y Los pagos en referencia forman una anualidad, y consecuen- temente los problemas involucrados en la consecuen- temente los problemas involucrados en la amortización de un adeudo son análogos a los amortización de un adeudo son análogos a los tratados de manera previa. tratados de manera previa.

2 1... n n

na v v v v

Deuda a cubrirDeuda a cubrir

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Construcción de tablas de amortizaciónConstrucción de tablas de amortización

151500

La tabla tiene de manera general el siguiente formato La tabla tiene de manera general el siguiente formato (en 3 períodos) para un esquema de pagos unitarios :(en 3 períodos) para un esquema de pagos unitarios :

PeríodPeríodoo

00 11 22 n-1n-1 nn

$ 1$ 1 $ 1$ 1

......

$ 1$ 1 $ 1$ 1

Período Período

11

Período Período

22

Período Período

nn

Capital Capital insoluto al insoluto al

principio del principio del períodoperíodo

PagoPago Intereses Intereses en el en el pagopago

Capital en Capital en el pagoel pago

1 na 1 1 n

nia v nv

21

n

n na v a

1 1

11 n

nia v

1nv

31

1 2

n

n na v a

1

2

21 n

nia v

2nv

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Construcción de tablas de amortizaciónConstrucción de tablas de amortización

151511

EjemploEjemplo : :

Una deuda de $ 10,000 va a ser amortizada mediante Una deuda de $ 10,000 va a ser amortizada mediante 7 pa- gos anuales iguales conteniendo interés y 7 pa- gos anuales iguales conteniendo interés y capital. Si la tasa de interés es del 5% anual, capital. Si la tasa de interés es del 5% anual, encontrar el pago anual y cons- truir la tabla de encontrar el pago anual y cons- truir la tabla de amortización correspodiente.amortización correspodiente.

00 11 22 33 44

RR RR RR RR

55

RR

66

RR

77

RR

Inicialmente Inicialmente planteamos :planteamos :

7 0.0510000

iRa

7 0.05

100001728.20

i

Ra

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Construcción de tablas de amortizaciónConstrucción de tablas de amortización

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La tabla de amortización correspodiente queda como La tabla de amortización correspodiente queda como sigue :sigue :

Al final quedan igualesAl final quedan iguales

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ProblemasProblemas ::

1. Elaborar una tabla de amortización de una 1. Elaborar una tabla de amortización de una deuda de deuda de $1,000 pagadera en 3 años con pagos $1,000 pagadera en 3 años con pagos semestrales y semestrales y con una tasa de interés del 10% convertible con una tasa de interés del 10% convertible semes- semes- tralmentetralmente2. Por una deuda de $ 50,000 se hacen pagos 2. Por una deuda de $ 50,000 se hacen pagos anuales anuales para su amortización en 15 años, a una tasa del para su amortización en 15 años, a una tasa del 5%.5%. Sin elaborar la tablaSin elaborar la tabla, calcular :, calcular :a) El capital contenido en el décimo a) El capital contenido en el décimo

pagopagob) Interés contenido en el 12o. pagob) Interés contenido en el 12o. pago

c) Capital total pagado después de que se c) Capital total pagado después de que se han han hecho 13 pagoshecho 13 pagos