5 Stability
-
Upload
nehakarunya -
Category
Documents
-
view
217 -
download
0
description
Transcript of 5 Stability
7/21/2019 5 Stability
http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 1/13
Introduction to Control Systems
V. Ευστάθεια
(Stability)
7/21/2019 5 Stability
http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 2/13
Ευστάθεια [Stability]
Ασυμπτωτικά
Ευσταθές
Πόλος στο ΑΗΠ
Οριακά
Ευσταθές
Πόλος στο
φανταστικό άξονα
Ασταθές
Πόλος στο ΔΗΠ
7/21/2019 5 Stability
http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 3/13
Ευστάθεια Φραγμένης Εισόδου Φραγμένης Εξόδου (ΦΕΦΕ-BIBO)
u y
( ) H s
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
y t h u t d u M
y t h u t d
h u t d
M h d
τ τ τ
τ τ τ
τ τ τ
τ τ
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
= − ≤
= −
≤ −
≤
∫
∫
∫
∫
Το y(t) είναι φραγμένο αν το είναι φραγμένο.( )h d τ τ ∞
−∞∫
7/21/2019 5 Stability
http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 4/13
Ορισμός: Ένα σύστημα με κρουστική απόκριση h(t) είναι ευσταθές
υπό την έννοια ΦΕΦΕ αν και μόνο αν
( )h d τ τ
∞
−∞ < ∞∫
Για να είναι ένα Γραμμικό Χρονικά Αμετάβλητο σύστημα (ΓΧΑ-LTI system),
ευσταθές ΦΕΦΕ, πρέπει όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του να
βρίσκονται στο ανοικτό αριστερό ημιεπίπεδο.
Re(s)
Im(s)
( )
( )
( ) sin
i p t
i i
t
d d
ό p y t K e
ό j y t Ke t σ
λος στο
λος στο σ ω ω θ
Π ⇒ =
Π ± ⇒ = +
7/21/2019 5 Stability
http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 5/13
Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz [Routh-Hurwitz Stability Criterion]
1
1 1 0
1
1 1 0
( )
( ) ( )
( ) ... 0
( ) ... 0
n n
n n
n n
n n
n s
H s d s
d s a s a s a s a
d s a s a s a s a
−−
−−
=
= + + + + =
= + + + + =
Xωρίς επηρεασμό της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι οπρώτος συντελεστής του πολυωνύμου είναι 1 (monic polynomial).
Αναγκαίες συνθήκες ευστάθειας: όλοι οι συντελεστές α0, α1, …, αn-1
είναι θετικοί.
( )( ) ( )( ) ( )1
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1( ) ... 2 ... 2 M N d M M d
έ ί έ ί
d s s p s p s p s s s s
ραγµατικ ς ρ ζες ιγαδικ ς ρ ζες
σ σ ω σ σ ω
Π Μ
= + + + + + + + + +
7/21/2019 5 Stability
http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 6/13
Αναγκαίες και ικανές συνθήκες για ευστάθεια με πίνακα Routh:
Όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα Routh είναι θετικά.
-1
-1 1 0
2 4
11 3 5
21 3 5
01
Πίνακας Routh για
( ) ...
1
* *
n n
n
nn n
nn n n
nn n n
n
d s s a s a s a
a as
a a as
b b bs
hs
− −
−− − −
−− − −
−
= + + + +
1 3 5 1
21 2 31
1 31 1
1 4 53
1
1 6 75
1
1 3 1 31
1
Τρόπος υπολογισμού , , , ,...
11 1
1
1
n n n n
nn n nn
n nn n
n n nn
n
n n nn
n
n n n nn
n
b b b c
aa a ab
a aa a
a a ab
a
a a ab
a
b a a bcb
− − − −
−− − −−
− −− −
− − −−
−
− − −−
−
− − − −−
−
⋅ − ⋅= = −
⋅ − ⋅=
⋅ − ⋅=
⋅ − ⋅=
7/21/2019 5 Stability
http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 7/13
( )
( )
6 5 4 3 2
6
5
4
3
2
1
0
( ) 4 3 2 4 4
1 3 1 4
4 2 4
5 4 3 1 2 4 1 1 4 4 4 1 00 42 4 4 4
5 2 2 4 0 12 5 2 4 4 42
5 2 5 5 2
2 0 5 2 12 5 2 4 5 2 03 4
2 23 12 5 2 476
15 3
76 15 4 3 04
76 15
d s s s s s s s
s
s
s
s
s
s
s
= + + + + + +
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= = =
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= − =
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅= =
⋅ − − ⋅− =
− ⋅ − ⋅=
−
Παράδειγμα
Ο αριθμός των εναλλαγών των προσήμων στην πρώτη στήλη ισούται με τον
αριθμό των ριζών που βρίσκονται στο ΔΗΠ.
Στο πιο πάνω παράδειγμα: 2 ρίζες στο Δεξί ημιεπίπεδο
7/21/2019 5 Stability
http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 8/13
r y+
-K
( )( )
1( )
1 6
sG s
s s s
+=
− +
Παράδειγμα ( )G s
Να βρεθούν οι τιμές του Κ για τις οποίες το σύστημα είναι
ασυμπτωτικά ευσταθές.
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2
3
2
1
0
1( ) ( )
( ) 1 ( ) 1 6 1
Χαρακτηριστική εξίσωση: s 5 6 0
Φαίνεται αμέσως ότι το Κ πρέπει να ικανοποιεί Κ>6 και Κ>0.
Πίνακας Routh
1 6
5
5 6 5
K sY s KG s
R s KG s s s s K s
s K s K
K s
K s
s K K
s K
+
= =+ − + + +
+ + − + =
−
− −
( )5 6Για ευστάθεια: Κ>0 και 0
5
K K − −>
7.5⇒ Κ >
7/21/2019 5 Stability
http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 9/13
Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz: Ειδικές περιπτώσεις
Ειδική περίπτωση Ι: μηδενικό στοιχείο στην 1η στήλη
Λύση: Αντικατάσταση του 0 με μια μικρή θετική τιμή ε.Μετά τη συμπλήρωση του πίνακα βλέπουμε τι γίνεται για ε→0.
Παράδειγμα:
( )
5 4 3 2
5
4
3
2
1 2
0
d(s)=s +3s +2s 6 6 9
Πίνακας Routh
1 2 6
3 6 9
0 3
6 99
3 2 3
2 3
9
s s
s
s
s
s
s
s
ε
ε
ε
ε ε
ε
+ + +
⇒
−
− − +
−
6 93 9
6 9
ε ε
ε ε
ε
−−
−
Καθώς ε 0 τα πρόσημα: + + + - + +→
Δύο εναλλαγές προσήμου, άρα
Δύο πόλοι στο ΔΗΠ.
Ρίζες d(s):
-2.9
0.66 1.29
0.70 0.99
j
j
±
− ±
7/21/2019 5 Stability
http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 10/13
Ειδική περίπτωση ΙΙ: ολόκληρη γραμμή από μηδενικά.
Λύση: Έστω ότι η γραμμή i είναι η μηδενική. Σχηματίζουμε τη
βοηθητική εξίσωση από την προηγούμενη μη μηδενική γραμμή:
{ }
1 1 31 1 2 3( ) ...
συντελεστές της γραμμής i+1
i i i
i
d s s s s β β β
β
+ − −= + + +
Μετά συμπληρώνουμε τη γραμμή i με τους συντελεστές της παραγώγου της
d1(s) και τελικά συμπληρώνουμε τον πίνακα. Οι ρίζες του βοηθητικού
πολυωνύμου είναι και ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.
Σημείωση:
Αυτή η περίπτωση αντιστοιχεί στην περίπτωση που το χαρακτηριστικό
πολυώνυμο έχει ρίζες που είναι συμμετρικές ως προς το φανταστικό άξονα.
Re(s)
Im(s)
7/21/2019 5 Stability
http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 11/13
Παράδειγμα 5 4 3 2
5
4
3
2
1
1
0
( ) 5 11 23 28 12
Πίνακας Routh1 11 28
5 23 12
32 5 128 5
3 12
0
6
12
d s s s s s s
s
s
s
s
s
s
s
= + + + + +
έο Ν
21
1
( ) 3 12
( ) 6
d s s
d s s= +
′ =
Καμία εναλλαγή προσήμου στην πρώτη στήλη.
Όλες οι ρίζες έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος εκτός από ένα ζεύγος
στο φανταστικό άξονα (οριακά ευσταθές σύστημα).
2
1( ) 3 12 0 2
Ρίζες d( ) : 3, 2, 1, 1
d s s s j
s j
= + = ⇒ = ±
− ± − −
7/21/2019 5 Stability
http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 12/13
Παράδειγμα
r y-
( )C s
( ) ( )
1
1 2s s+ +
( )G s
I
p
K
K s+
PI
Να βρεθεί η περιοχή τιμών των Kp, KI έτσι ώστε το σύστημα
να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές.
[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) 1 2
p I
p I
Y s G s C s R s Y s
K s K Y s G s C s
R s G s C s s s s K s K
= −
+= =
+ + + + +
7/21/2019 5 Stability
http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 13/13
( )3 2
3
2
1
0
( ) 3 2
Πίνακας Routh
1 2
3
(6 3 ) 3
p I
p
I
p I
I
d s s s K s K
K s
K s
K K s
K s
= + + + +
+
+ −
Για ασυμπτωτική ευστάθεια: 0 6 3 0
6 3
I p I
I p
K K K
K K
και > + − >
< +
I K
pK