5 Stability

7/21/2019 5 Stability

http://slidepdf.com/reader/full/5-stability 1/13

Introduction to Control Systems

V. Ευστάθεια

(Stability)



Ευστάθεια [Stability]

Ασυμπτωτικά

Ευσταθές

Πόλος στο ΑΗΠ

Οριακά

Ευσταθές

Πόλος στο

φανταστικό άξονα

Ασταθές

Πόλος στο ΔΗΠ



Ευστάθεια Φραγμένης Εισόδου Φραγμένης Εξόδου (ΦΕΦΕ-BIBO)

u y

( ) H s

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

y t h u t d u M

y t h u t d

h u t d

M h d

τ τ τ

τ τ τ

τ τ τ

τ τ

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

= − ≤

= −

≤ −

≤

∫

∫

∫

∫

Το y(t) είναι φραγμένο αν το είναι φραγμένο.( )h d τ τ ∞

−∞∫



Ορισμός: Ένα σύστημα με κρουστική απόκριση h(t) είναι ευσταθές

υπό την έννοια ΦΕΦΕ αν και μόνο αν

( )h d τ τ

∞

−∞ < ∞∫

Για να είναι ένα Γραμμικό Χρονικά Αμετάβλητο σύστημα (ΓΧΑ-LTI system),

ευσταθές ΦΕΦΕ, πρέπει όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του να

βρίσκονται στο ανοικτό αριστερό ημιεπίπεδο.

Re(s)

Im(s)

( )

( )

( ) sin

i p t

i i

t

d d

ό p y t K e

ό j y t Ke t σ

λος στο

λος στο σ ω ω θ

Π ⇒ =

Π ± ⇒ = +



Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz [Routh-Hurwitz Stability Criterion]

1

1 1 0

1

1 1 0

( )

( ) ( )

( ) ... 0

( ) ... 0

n n

n n

n n

n n

n s

H s d s

d s a s a s a s a

d s a s a s a s a

−−

−−

=

= + + + + =

= + + + + =

Xωρίς επηρεασμό της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι οπρώτος συντελεστής του πολυωνύμου είναι 1 (monic polynomial).

Αναγκαίες συνθήκες ευστάθειας: όλοι οι συντελεστές α0, α1, …, αn-1

είναι θετικοί.

( )( ) ( )( ) ( )1

2 2 2 2 2 2

1 2 1 1( ) ... 2 ... 2 M N d M M d

έ ί έ ί

d s s p s p s p s s s s

ραγµατικ ς ρ ζες ιγαδικ ς ρ ζες

σ σ ω σ σ ω

Π Μ

= + + + + + + + + +



Αναγκαίες και ικανές συνθήκες για ευστάθεια με πίνακα Routh:

Όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα Routh είναι θετικά.

-1

-1 1 0

2 4

11 3 5

21 3 5

01

Πίνακας Routh για

( ) ...

1

* *

n n

n

nn n

nn n n

nn n n

n

d s s a s a s a

a as

a a as

b b bs

hs

− −

−− − −

−− − −

−

= + + + +

1 3 5 1

21 2 31

1 31 1

1 4 53

1

1 6 75

1

1 3 1 31

1

Τρόπος υπολογισμού , , , ,...

11 1

1

1

n n n n

nn n nn

n nn n

n n nn

n

n n nn

n

n n n nn

n

b b b c

aa a ab

a aa a

a a ab

a

a a ab

a

b a a bcb

− − − −

−− − −−

− −− −

− − −−

−

− − −−

−

− − − −−

−

⋅ − ⋅= = −

⋅ − ⋅=

⋅ − ⋅=

⋅ − ⋅=



( )

( )

6 5 4 3 2

6

5

4

3

2

1

0

( ) 4 3 2 4 4

1 3 1 4

4 2 4

5 4 3 1 2 4 1 1 4 4 4 1 00 42 4 4 4

5 2 2 4 0 12 5 2 4 4 42

5 2 5 5 2

2 0 5 2 12 5 2 4 5 2 03 4

2 23 12 5 2 476

15 3

76 15 4 3 04

76 15

d s s s s s s s

s

s

s

s

s

s

s

= + + + + + +

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= = =

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= − =

⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅= =

⋅ − − ⋅− =

− ⋅ − ⋅=

−

Παράδειγμα

Ο αριθμός των εναλλαγών των προσήμων στην πρώτη στήλη ισούται με τον

αριθμό των ριζών που βρίσκονται στο ΔΗΠ.

Στο πιο πάνω παράδειγμα: 2 ρίζες στο Δεξί ημιεπίπεδο



r y+

-K

( )( )

1( )

1 6

sG s

s s s

+=

− +

Παράδειγμα ( )G s

Να βρεθούν οι τιμές του Κ για τις οποίες το σύστημα είναι

ασυμπτωτικά ευσταθές.

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

3 2

3

2

1

0

1( ) ( )

( ) 1 ( ) 1 6 1

Χαρακτηριστική εξίσωση: s 5 6 0

Φαίνεται αμέσως ότι το Κ πρέπει να ικανοποιεί Κ>6 και Κ>0.

Πίνακας Routh

1 6

5

5 6 5

K sY s KG s

R s KG s s s s K s

s K s K

K s

K s

s K K

s K

+

= =+ − + + +

+ + − + =

−

− −

( )5 6Για ευστάθεια: Κ>0 και 0

5

K K − −>

7.5⇒ Κ >



Κριτήριο ευστάθειας Routh-Hurwitz: Ειδικές περιπτώσεις

Ειδική περίπτωση Ι: μηδενικό στοιχείο στην 1η στήλη

Λύση: Αντικατάσταση του 0 με μια μικρή θετική τιμή ε.Μετά τη συμπλήρωση του πίνακα βλέπουμε τι γίνεται για ε→0.

Παράδειγμα:

( )

5 4 3 2

5

4

3

2

1 2

0

d(s)=s +3s +2s 6 6 9


1 2 6

3 6 9

0 3

6 99

3 2 3

2 3

9

s s

s

s

s

s

s

s

ε

ε

ε

ε ε

ε

+ + +

⇒

−

− − +

−

6 93 9

6 9

ε ε

ε ε

ε

−−

−

Καθώς ε 0 τα πρόσημα: + + + - + +→

Δύο εναλλαγές προσήμου, άρα

Δύο πόλοι στο ΔΗΠ.

Ρίζες d(s):

-2.9

0.66 1.29

0.70 0.99

j

j

±

− ±



Ειδική περίπτωση ΙΙ: ολόκληρη γραμμή από μηδενικά.

Λύση: Έστω ότι η γραμμή i είναι η μηδενική. Σχηματίζουμε τη

βοηθητική εξίσωση από την προηγούμενη μη μηδενική γραμμή:

{ }

1 1 31 1 2 3( ) ...

συντελεστές της γραμμής i+1

i i i

i

d s s s s β β β

β

+ − −= + + +

Μετά συμπληρώνουμε τη γραμμή i με τους συντελεστές της παραγώγου της

d1(s) και τελικά συμπληρώνουμε τον πίνακα. Οι ρίζες του βοηθητικού

πολυωνύμου είναι και ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.

Σημείωση:

Αυτή η περίπτωση αντιστοιχεί στην περίπτωση που το χαρακτηριστικό

πολυώνυμο έχει ρίζες που είναι συμμετρικές ως προς το φανταστικό άξονα.

Re(s)

Im(s)



Παράδειγμα 5 4 3 2

5

4

3

2

1

1

0

( ) 5 11 23 28 12

Πίνακας Routh1 11 28

5 23 12

32 5 128 5

3 12

0

6

12

d s s s s s s

s

s

s

s

s

s

s

= + + + + +

έο Ν

21

1

( ) 3 12

( ) 6

d s s

d s s= +

′ =

Καμία εναλλαγή προσήμου στην πρώτη στήλη.

Όλες οι ρίζες έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος εκτός από ένα ζεύγος

στο φανταστικό άξονα (οριακά ευσταθές σύστημα).

2

1( ) 3 12 0 2

Ρίζες d( ) : 3, 2, 1, 1

d s s s j

s j

= + = ⇒ = ±

− ± − −



Παράδειγμα

r y-

( )C s

( ) ( )

1

1 2s s+ +

( )G s

I

p

K

K s+

PI

Να βρεθεί η περιοχή τιμών των Kp, KI έτσι ώστε το σύστημα

να είναι ασυμπτωτικά ευσταθές.

[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) 1 2

p I

p I

Y s G s C s R s Y s

K s K Y s G s C s

R s G s C s s s s K s K

= −

+= =

+ + + + +



( )3 2

3

2

1

0

( ) 3 2


1 2

3

(6 3 ) 3

p I

p

I

p I

I

d s s s K s K

K s

K s

K K s

K s

= + + + +

+

+ −

Για ασυμπτωτική ευστάθεια: 0 6 3 0

6 3

I p I

I p

K K K

K K

και > + − >

< +

I K

pK

5 Stability

Documents

Transcript of 5 Stability