4.Stato Critico e Cam Clay

1

Stato CriticoStato Critico

Comportamento del terrenoIl comportamento di un elemento di terreno è una successione di STATI FISICI

Il comportamento del terreno derivato da prove di laboratorio può essere descritto come funzione degli invarianti di tensione e del suo volume specifico:

q = (σ’a - σ’r)p’= (σ’a + 2σ’r)/3

v = 1 + eQuesti tre parametri indicano lo stato corrente del campionestato corrente del campione durante la prova

Volume Specifico:

Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011

eV

VVVVv

s

vs

s+=

+== 1


Prova TX Standard: COMPRESSIONE DRENATA- Campione consolidato isotropicamente a: p’=a ; u=0- Rottura (σr=cost; σa aumenta): ∆σr=0 ; ∆σa>0 ; ∆u=0

∆p’= ∆p= (∆σa + 2 ∆σr)/3= ∆σa/3∆q’= ∆q= (∆σa - ∆σr)= ∆σa

∆q/∆p=3


Percorso efficace e totale coincidono perché in una prova drenata non si generano ∆u

q', q

p',p

31

A

B

a

v

p',p

A'B1'

B2'

Percorso tensionale completamente prefissato;

quale è il punto di rottura?

Il comportamento può essere dilatante (A’-B’1)

oppure contraente (A’-B’2)

2


Prova TXTX--CIDCID: risultati tipici per campione NCcampione NC


q

200

100

50 10 15 20 25

Failure

Axial Strain a (%)

q'(k

N/m

)2

Axial Strain (%)252015100 5

5

10

0

v (%

) Failure

2q'

(kN

/m )

0

100

200

qFailure

100 200 3001 2

p' (kN/m )2

0

v (/

)

2p' (kN/m )300200100

1.5

1.6

1.7

1'

2'Failure

Normal Consolidation Line


Prova TXTX--CIDCID: risultati tipici per campione NC campione NC nello spazio q; pnello spazio q; p’’; v; v

- Il punto iniziale 1 si trova sul piano q=0; poiché si esegue una consolidazione in condizioni isotrope, il percorso tensionale rimane su q=0 fino al punto 2

- Terminata la consolidazione, da 2 aumenta la tensione assiale, quindi sforzo deviatorico q≠0; il punto che rappresenta lo stato tensionale si muove nello spazio p’;q;v

- Da 2 viene abbandonata la linea di normal consolidazione NCL, come si vede dalla proiezione nel piano p’;v

- Il punto rappresentativo dello stato tensionale si muove verso il basso nel piano p’;v; il volume del provino diminuisce manifestando un comportamento contraente che corrisponde a εv > 0 (riduzione dell’indice dei vuoti)

- Per l’intero percorso le deformazioni assiali e volumetriche aumentano fino ad un asintoto orizzontale, corrispondente alla condizione di rottura


3


Prova TXTX--CIDCID:risultati tipici per campione NCcampione NC


q'

0 A1 A2 A3

B1

B2

p'v

p'0

B3

A1

A2

A3

B1

B2

B3

NCL

CSL

v1

v3

v2

I percorsi tensionali A1-B1; A2-B2; A3-B3

rappresentano tre percorsi drenati

Nel piano p’;q’ i percorsi tensionali riportati sono proiezioni di quelli reali in quanto v ≠ 0

NCL: normal consolidation line, linea di normal-consolidazione

CSL: critical state line, linea di stato critico (rappresenta l’inviluppo dei punti di rottura)

Nel piano v;p’ i percorsi tensionali rappresentati sono delle proiezioni in quanto q’≠0

v3<v2<v1 all’aumentare della pressione di concolidazione si riduce il v iniziale


Prova TXTX--CIDCID: 3 provini NC consolidati isotropicamente a tre tensioni crescenti


2q'

(kN

/m )

Axial Strain a (%)0

q

p'0=3a

p'0=2a

p'0=a

3a

2a

a

10 20 30 3020100Axial Strain a (%)

q'/p

'0 (/

)

0.5

1.0

1.5

Si ottengono tre curve analoghe: comportamento incrudente. La resistenza aumenta all’aumentare della tensione di confinamento

Le curve possono essere pensate sovrapponibili e coincidenti quando si normalizza q’ rispetto a p’0 pressione iniziale di confinamento

4

Stato CriticoStato CriticoProva TX Standard: COMPRESSIONE NON DRENATA- Campione consolidato isotropicamente a: p’=a ; u=0- Rottura (σr=cost; σa aumenta): ∆σr=0 ; ∆σa>0 ; ∆u>0


B

A1

3

p

q

TSP TSP

q'

p'

31

A'

XB'

ESP

u

v

A''

p'

B''v0

Percorso totale predefinito con pendenza 3:1 è controllato dalla press. in cella e assiale imposte

Percorso efficace incognito; ESP si muove a sinistra di TSP perchési generano ∆u>0 che riducono le tens. efficaci

La prova è non drenata e il volume rimane costante.

TSP: percorso tensionale totale

ESP: percorso tensionale efficace

Stato CriticoStato CriticoProva TXTX--CIUCIU: risultati tipici per campione NCcampione NC

Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. A.A. 20102010--20112011

Failure A''

Failure

200

2q;

q'(k

N/m

)

100

100 200 3000

q;q'

3

1

A'

uf

2u(

kN/m

)

Axial Strain a (%)

Failure

252015100 5

50

100

u

q

100

50

50 10 15 20 25

Failure

Axial Strain a (%)

q'(k

N/m

)2

p;p' (kN/m )2

0

v (/

)

2p' (kN/m )300200100

1.5

1.6

1.7


p;p'

v0

5


Prova TXTX--CIUCIU: risultati tipici per campione NC campione NC nello spazio q; pnello spazio q; p’’; v; v

- Il punto iniziale si trova sul piano q=0; poiché si esegue una consolidazione in condizioni isotrope, il percorso tensionale rimane su q=0 fino al punto A’

- Terminata la consolidazione, da A’ aumenta la tensione assiale, quindi sforzo deviatorico q≠0; il punto che rappresenta lo stato tensionale totale si muove secondo una linea di pendenza 3:1. A causa dello sviluppo di sovrapressioni interstiziali il TSP≠EPT. Il percorso efficace risulta incognito e si trova a sinistra di quello totale a causa delle ∆u>0. Il provino arriva a rottura seguendo il percorso ESP

- Da A’’ viene abbandonata la linea di normal consolidazione NCL, come si vede dalla proiezione nel piano p’;v; il percorso è a volume costante (v0) perché la prova è non drenata

- ESP si muove su un piano p’;q’ a volume costante (v0 iniziale)

- Per l’intero percorso le deformazioni assiali aumentano fino ad un asintoto orizzontale, corrispondente alla situazione di rottura



SOVRAPRESSIONE INTERSTIZIALEPrincipio sforzi efficaci: u = p - p’Forma incrementale: δu= δp – δp’

Terreno sottoposto a taglio cambia volume (comportamento contraente/dilatante)Se è imposto ∆v=0 (es. prova NON drenata), un terreno NC all’aumentare di q sviluppa ∆u positive per contrastare la tendenza alla contrazione, con conseguente riduzione di p’

δp’= -a.δq δu= δp + a.δq

Con: a = parametro di pressione = f(terreno, OCR, natura del carico)In generale:

δu= b(δp + a.δq)

a;b = parametri di SKEMPTONb=f(S): parametro volumetrico che dipende dalla saturazione (per S=1, b=1)


A'p'

q'ESP TSP

- p'

q

p

1a

6


Prova TXTX--CIUCIU:risultati tipici per campione NCcampione NC


I percorsi tensionali A1-B’1; A2-B’2; A3-B’3rappresentano tre percorsi ESP da prova non drenata

Nel piano p’;q’ i percorsi tensionali riportati sono proiezioni dei percorsi reali. Ciascun ESP ha la medesima forma del reale percorso a vi=cost

NCL: linea di normal-consolidazione

CSL: linea di stato critico (rappresenta l’inviluppo dei punti di rottura)

Nel piano v;p’ i percorsi tensionali rappresentati sono delle proiezioni in quanto q’≠0 e variabile

v3<v2<v1 all’aumentare della pressione di concolidazione si riduce il v iniziale

2a

a v3v2

v1

CSL

q'

p'0

B'1

B'2

B'3

v

p'0

NCL

v1

v3

v2

B'1

B'2

B'3

A1 A2 A3

A1

A2

A3


Prova TXTX--CIUCIU: 3 provini NC consolidati isotropicamente a tre ≠ tensioni crescenti


0Axial Strain a (%)

q'(k

N/m

)2

105

p'e=a

p'e=2a

p'e=3a

a

2aq'

Axial Strain a (%)0

q'/p

'e (/

)

0.5

105

Si ottengono tre curve analoghe: comportamento incrudente. La resistenza aumenta all’aumentare della tensione di confinamento.

Le curve q’-εa sono sovrapponibili e coincidenti quando si normalizza q’ rispetto a p’0 pressione di fine consolidazione.

7

Stato CriticoStato CriticoProva TXTX--CICI nello spazio q; pnello spazio q; p’’; v; v::3 provini NC consolidati isotropicamente a tre tensioni crescentiSe i tre campioni vengono sottoposti ad una prova TX-CID, drenata, la rottura avviene seguendo i percorsi di tensioni efficaci (che in questo caso coincidono con quelli delle pressioni totali) secondo un percorso inclinato 3:1. I percorsi A1-B1; A2-B2, A3-B3 sono proiezioni nel piano p’-q’ in quanto la variazione di stato tensionale avviene con cambiamento di volumeSe i tre campioni vengono sottoposti ad una provaTX-CIU, non drenata, la rottura avviene seguendo i percorsi di tensioni efficaci (che non coincidono con quelli delle pressioni totali). I percorsi A1-B’1; A2-B’2, A3-B’3 sono percorsi reali nel piano parallelo a p’;q’ in corrispondenza del volume vi pertinente al provino i-esimoTutti i provini di uno stesso tipo di terreno Tutti i provini di uno stesso tipo di terreno arrivano a rottura sulla CSL indipendentemente arrivano a rottura sulla CSL indipendentemente dal tipo di prova TX eseguitadal tipo di prova TX eseguita


CSL

NCL

B2

B2

B1 A3

A2

A1

A3A2A1

B'3

B'2

B'1

v2

v3

v1

0 p'

v

B3

B2

B'3

B1B'2

B'1

0 p'

q'


v

q'

p'

Proiezione CSL

CSL

Proiezione CSL

NCL

A2

A

B2

B

C2

C

C1

B1

A1


Rappresentazione tridimensionale:

-Percorsi tensionali-NCL: linea di normal-consolidazione-CSL: linea di stato critico-Proiezione di CSL sul piano q’;p’-Proiezione di CSL sul piano p’;v

8

Stato CriticoStato CriticoCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011

Linea di Stato Critico

Proiezione della linea di stato critico nel piano q’;p’

Proiezione della linea di stato critico nel piano v;p’


Linea di Stato Critico

Proiezione della linea di stato critico e di normal-consolidazione nel piano v;lnp’v’

lnp’ (kN/m2)

Oltre la linea NCL non possono esistere stati tensionali compatibili con un dato volume specifico

9


Equazioni delle linee che descrivono lo stato tensionale del provino e loro proiezioni sui piani principaliCSL: - proiezione nel piano v-lnp’

= costante del materiale (valore di v per p’=1 kPa)

- proiezione nel piano q’-p’

NCL: giace sul piano v-lnp’N = valore del volume specifico in corrispondenza di una tensione media efficace p’=1kPa

SL: swelling line (linea di rigonfiamento) giace sul piano v-lnp’

Γ=+ 'ln pv λΓ

'' Mpq =

( ) φφ

σσσσ

sensen

pqM

−=

+−

==3

6

32 31

31

''''

''

φστ tan'= ( ) ( ) φσσσσ sen3131 21

21 '''' +=−

Npv =+ 'lnλ

M : estensione

kvpkv =+ 'ln

SL

CSL

NCL

p'=1 kPa

vK

N1

lnp'0

v

k 1

φφ

sensen

pqM

+−

==3

6''

M : compressione ;


Rappresentazione tridimensionale dei percorsi efficaci ESPnel caso di prova TX-CIU, cioè NON drenata, su campioniNC

Se su tre provini consolidati a diverse pressioni si esegue una prova TX-CIU: i percorsi tensionali efficaci sono ANC-A;BNC-B; CNC-C

Poiché la prova avviene in condizioni non drenate il volume dei provini non cambia, quindi i percorsi ESP si muovono su piani a volumecostante (paralelli a q; p’)

vC

vB

vA

NCL

Proiezione CSL

CSL

Proiezione CSL

p'

q'

v

A1

B1

C1

C

CNC

BNC

A

ANC

B

10


Rappresentazione tridimensionale dei percorsi efficaci ESPnel caso di prova TX-CID, cioè drenata, su campioni NC

Se su un provino consolidato isotropicamentesi esegue una prova TX-CID, il percorso tensionale efficacesi muove su un piano inclinato 3:1 Poiché la prova avviene in cond. drenate il volume del provino si riduce: per ridurre il volume durante la prova, il percorso ESP deve attraversare diversi piani a v=cost

3

1

C

v

q'

p'

Proiezione CSL

CSL

Proiezione CSL

NCL

C'NC

C1


Rappresentazione tridimensionaledella superficie di ROSCOE

-NCL: linea di normal-consolidazione-CSL: linea di stato critico-Proiezione di CSL sul piano q’;p’-Proiezione di CSL sul piano p’;v

q'

Superficie di ROSCOE

NCL

Proiezione CSL

CSL

Proiezione CSL

p'

v

C

B

B2

A2

A

C2 A1

B1

C1

11


PRESSIONE EQUIVALENTEPRESSIONE EQUIVALENTE

p’e : pressione equivalente per un dato v

p’e è la pressione equivalente sulla linea di normal-consolidazione, NCL.

Punto A: (vA;p’A)

( )[ ]λ/exp' vNp e −=

( ) ( )[ ]λ/exp' AAe vNp −= (p'e)A

(p'e)C

C

v

q'

p'

Proiezione CSL

CSL

Proiezione CSL

NCL

vA

vB

vC

B(p'e)B

C1

B1

A1

ANC

BNC

CNC

A

CSL

NCL

p'e

vAA

v

0 p'p'A

SL

CSL

NCL

p'=1 kPa

vK

N1

lnp'0

v

1k


PIANO NON DRENTO PIANO NON DRENTO –– CAMPIONE NCCAMPIONE NC

In una prova TXIn una prova TX--CIU non si CIU non si verifica cambiamento di volume:verifica cambiamento di volume:

v=vv=v00=v=vff

Coordinate del punto B=BCoordinate del punto B=B11 di rottura:di rottura:A1

E

D

C

A

B

B1

v

q'

p'

Proiezione CSL

CSL

Proiezione CSL

NCL

λλ0vvp f

f−Γ

=−Γ

='ln ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −Γ

= λ0v

f ep'

ff Mpq '= ( )[ ]λ/0vf Meq −Γ=

12


PIANO DRENTO PIANO DRENTO –– CAMPIONE NCCAMPIONE NC

In una TXIn una TX--CID si verifica CID si verifica cambiamento di volumecambiamento di volume

Coordinate del punto B=BCoordinate del punto B=B11 di rottura:di rottura:

Mpp f −

=33 0''

)''(' 03 ppq ff −=

A1

A

C

NCL

Proiezione CSL

CSL

Proiezione CSL

p'

q'

v

B1

B

1

3

ff Mpq '= 033 0 =+− ''' ppMp ff

MMpq f −

=33 0''

'ln pv λ−Γ=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−Γ= M)(33p'lnv 0

f λ

ff pv 'lnλ−Γ=


Rappresentazione di percorsi drenatiRappresentazione di percorsi drenatie non drenati per campioni NCe non drenati per campioni NC

Percorsi non drenati

Percorsi drenati

v

p'

Proiezione CSL

CSL

Proiezione CSL

NCL

q'

CSL

B

DA

C

E

0 p'

q'

Rappresentazione tridimensionale

Rappresentazione bidimensionale

13


Curva di snervamento normalizzata rispetto alla pressione pCurva di snervamento normalizzata rispetto alla pressione p’’eeequivalenteequivalente

Tutta la superficie di Roscoe può essere rappresentata da una sola curva, ottenuta normalizzando q’ e p’rispetto a p’e (pressione che quel volume specifico avrebbe su NCL)

Il percorso A1-B3 è un’unica curva che rappresenta tutti i percorsi drenati e non drenati

Distribuzione sperimentale dei punti ottenuti da prove TX drenate, non drenate e a p’ cost

Il punto A1 è la normalizzazione della NCL

Il punto B3 è la normalizzazione della CSL.


Prova TXTX--CIDCID: risultati tipici per campione OCcampione OC



1.8

1.7

1.6

p' (kN/m )2

v (/

)

0

2p' (kN/m )1208040

Failureq

0

q'(k

N/m

)2

v (%

)

-2

2

0

50 10 15 20 25Axial Strain (%)

2q'

(kN

/m )

Axial Strain a (%)

Failure

252015100 5

100q

50

( a)F

OCR=24

-4

20

40

60

End of test

End of test

Failure

1208040

14

Stato CriticoStato CriticoProva TXTX--CIUCIU: risultati tipici per campione OCcampione OC


2q;

q'(k

N/m

)

0

q;q'2

u(kN

/m )

Axial Strain a (%)252015100 5

u

q

100

50

50 10 15 20 25

Failure

Axial Strain a (%)

q'(k

N/m

)2

p;p' (kN/m )2

2p' (kN/m )

p;p'

-50

-25

0

25

Failure

OCR=24

100

50

75

25

Failure

1

3

A'40 80 120

TSP-uf

u<0

u>0

1.55

1.65

1.75

v (/

)

v0

FailureA''

40 80 1200


ESP

Stato CriticoStato CriticoProva TXTX--CIUCIU: risultati tipici per campione OCcampione OC


A

B

0 p'

q

B'

ESP TSP ESP TSP

TSP ESP

q

p'0

B

A

B' u u

A

B

0 p'

q

B'

OCR=1 OCR=4 OCR=8

15

Stato CriticoStato CriticoSezione a volume costanteSezione a volume costanteProve TXProve TX--CIU: percorsi ESP di provini OCCIU: percorsi ESP di provini OC


q

0 p

q/p=3p'4

B4

A4

B3

A3

p'3 p'2

A2

B2,B1

A1

p'1

OCR=1

Argilla NC

Stato Critico (CSL)v=v1

Stato CriticoStato CriticoSezione a volume costanteSezione a volume costanteProve TXProve TX--CID a pCID a p’’ costante: percorsi ESP di provini OCcostante: percorsi ESP di provini OC


OCR

=1.5

OCR

=20

OCR

=8

OCR

=4

Riduzione di volume

Aumento di volume

NCL

Superficie di HVORSLEV

p/p'e

q/p'e

0

q/p=3OCR=1


CSL

16

Stato CriticoStato CriticoSUPERFICIE DI HVORSLEV (SH)SUPERFICIE DI HVORSLEV (SH)Retta nel piano q’;p’:Con: α; β= costantiMa la NCL:

Sostituendo

La SH interseca la CSL, a rottura

L’equazione della SH diventa:

Lo sforzo q’f è composto da un termine proporzionale a p’ e da un termine che dipende da v e da altre costanti del terreno.


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

ee pp

pq

''

' βα ''' ppq e βα +=

( )[ ]λ/exp' vNp e −=

( )[ ] '/exp' pvNq βλα +−=

ff Mpq '' =

ff pv 'lnλ−Γ=

( )[ ]λαβ /exp'' vNpq −=− ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

Γ−=− ff pNpM 'lnexp'

λαβ

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −Γ

−=λ

βα NM exp

( ) ( ) 'exp' pvMq βλ

β +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −Γ

−=

Stato CriticoStato CriticoSezione a volume costanteSezione a volume costanteSuperficie di Superficie di RoscoeRoscoe e di e di HvorslevHvorslev

Superficie di Superficie di RoscoeRoscoe::Superficie per terreni normalconsolidati e leggermente sovraconsolidati (WET)

Superficie di Superficie di HvorslevHvorslev::Superficie per terreni molto sovraconsolidati (DRY)

ZONA WET:ZONA WET: punti a destra di CSL (terreni NC o poco OCR): i percorsi tensionali toccano la superficie di snervamento di Roscoe e poi la seguono fino a CSL Si generano ∆u positive (comportamentocontraente)

ZONA DRY:ZONA DRY: punti a sinistradi CSL (terreni molto OCR) : i percorsi tensionalitoccano la superficie di Hvorslev e poila seguono fino a CSLSi generano ∆u negative con dilatanza


h

Superficie di HVORSLEV

p'

q

0


CSL

b

Materiale fortemente sovraconsolidato

Materiale leggermente sovraconsolidato

Curva di consolidazione normale

p'

v

0

A

BH

G

b h

Curva di consolidazione normale

Linea dello stato critico

DRY OF CRITICAL

WET OF CRITICAL

Trazione nulla

17

Stato CriticoStato CriticoSuperfici di Superfici di RoscoeRoscoe e di e di HvorslevHvorslev nello spazio tensionalenello spazio tensionale


σ’b

Stato CriticoStato CriticoSezione della superficie di Sezione della superficie di RoscoeRoscoe e di e di HvorslevHvorslev


18

Stato CriticoStato CriticoEquazioni delle superfici di snervamentoEquazioni delle superfici di snervamento

NCL: (giace sul piano v;p’)

SH:

SR:

(Cam-Clay originale)

CSL: (proiez. piano q;lnp’)

(proiez. piano v;lnp’)


'ln pNv λ−=

( ) ( ) 'exp' pvMq βλ

β +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −Γ

−=

1=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−Γ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

kvp

kMpq

λλλ 'ln

''

'Mpq =

'ln pv λ−Γ=

CamCam--ClayClayMODELLI DI COMPORTAMENTO MECCANICOMODELLI DI COMPORTAMENTO MECCANICO

Le tre superfici precedentemente definite (a trazione nulla, Hvorslev e Roscoe) sono superfici di snervamento (o di potenziale plastico) che delimitano gli stati possibili di un terreno = SUPERFICI DI STATO

Le equazioni di queste superfici possono essere ottenute interpolando, con una funzione di forma nota, dati sperimentali ottenuti da prove di laboratorio oppure sulla base di considerazioni teoriche sul comportamento dei terreni

Una espressione della superficie di stato molto chiara e relativamente semplice èstata ottenuta dai ricercatori dell’Università di Cambridge durante gli anni ’60 ed è nota con il nome di CAM-CLAY

Negli anni si è cercato di migliorare la corrispondenza fra la formulazione e il reale comportamento costitutivo dei terreni perdendo però la semplicità e l’eleganza della formulazione iniziale


19

CamCam--ClayClay

Caratteristiche essenziali dei modelli della famiglia di CAMCaratteristiche essenziali dei modelli della famiglia di CAM--CLAYCLAY

Cam-Clay iniziale: archi spirale logaritmica Schofield e Wroth (1968)Cam-Clay modificato: curve ellittiche Roscoe e Burland (1968)

I due modelli sono simili fra loro:- Resistenza del terreno di tipo attritivo- Compressibilità espressa da equazione logaritmica- Superficie di stato è superficie di snervamento- Incrudimento legato alle def. volumetriche plastiche

I modelli si distinguono solo per le diverse equazioni delle curve di snervamento

Il Cam-Clay è un MODELLO TEORICO, ossia un insieme di equazioni adatte a descrivere il comportamento elastoplastico di un materiale argilloso


CamCam--ClayClayCAMCAM--CLAY ORIGINALECLAY ORIGINALE

Legge di flusso:

Curva di snervamento:

Approssimo con una sola superficie le tre precedenti (sup. di resistenza a trazione nulla, Hvorslev, Roscoe)

Punto x: v=vx, p’=p’x

(giace sulla CSL)

oppure


''

pqM

dd

plq

plp −=

εε

1=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

xpp

Mpq

''ln

''

p'

x

CSL

0

q

p'x

q'/p'=M

q'/p'=MM

M q'/p'=0

xxk pkvpkvv 'ln'ln +=+=

xx pv 'lnλ−Γ= xx Mpq '=

( )'ln'' pvkk

Mpq λλλ

−−−+Γ−

=

1=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−Γ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

kvp

kMpq

λλλ 'ln

''

20

CamCam--ClayClayCAMCAM--CLAY MODIFICATOCLAY MODIFICATOSuperficie di snervamento: con:

La superficie di snervamento rappresentata nel modello Cam-Clay assume una forma semplificata ELLISSOIDALE

p’0 = pressione media isotropa che compete a quella superficie di snervamento (valore che si ha sulla NCL)

Ip: condizione di normalità def.pl. componente volumetrica

def.pl. componente deviatorica

Con la cond. di normalità assumo che la superficie semplificata del Cam-Clay coincida con quella del potenziale plastico, nell’ipotesi di flusso associato.


22

2

0 η+=

MM

pp'' '/ pq=η

( )[ ] 0022 =−−= ''' pppMqf

fg ≡

ηη

δεδε

2

22 −=

∂∂

∂∂

=M

qg

pg

plq

plp '

'pg∂

∂

qg∂

∂

CamCam--ClayClayCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011

La sup. Cam-Clay coincide con il potenziale plastico, in cond. di flusso associatoIp: la superficie di snervamento si espande mantenendo la stessa forma; la dimensione, controllata da p’0, è legata alla NCL

21

CamCam--ClayClayCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011

M: parametro dipendente dal materiale, funzione di φ’

η: variabile dipendente dallo stato tensionale, cioè da dove ci si trova rispetto alla superficie

η=0 asse ascisse q=0 (solo componente volumetrica)η=M stato critico (solo sforzo di taglio) η=M=1η= asse ordinate p’=0

λ: parametro dipendente dal materiale: misura l’espansione della superficie di snervamento. Esprime la compressibilità del terreno(λ minore terreno meno deformabile vol. spec. minore Sup. Snervamento maggiore)

k: parametro dipendente dal materiale(k elevati per argille e terreni con minerali argillosi)

Zona WET:

Zona DRY:

∞

00 ''

2' ppp

<<

2''0 0pp << (1)

(2)

pl

plM=1

p'0/2

q

0

CSL

p'p'0

45°

[ ])(1plε

[ ])(2plε

CamCam--ClayClayCAMCAM--CLAYCLAY

NCL

Def. plastiche:

Al limite

Legge di incrudimento &

La legge dipende solo da δεppl e non da δεqpl


'ln pNv λ−=

vv plplp

δδε −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

01

02

01

02

''ln

''ln

ppk

ppv pl λδ

k

p'02p'01

B

A

vpl

elv

v NCLSL

p'0

v

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

01

02

''ln)(

ppkv pl λδ

0

0

'')(

ppkv pl δ

λδ −−=0

0

'')(

pp

vkpl

pδλδε −

=

kvpp

plp −

=∂∂

λε00 '' 00 =

∂∂

plq

pε'

22

CamCam--ClayClayCAMCAM--CLAYCLAY: MODELLO COMPLETOMODELLO COMPLETO


Linea di ricompressione e rigonfiamento isotropi

Sezione della superficie di stato lungo una curva di rigonfiamento: dominio elastico

Curva di snervamento

CamCam--ClayClayELASTICITAELASTICITA’’Legge costitutiva

Condizione di assial-simmetria

Per separare gli effetti delle variazioni di volume e di forma:

In assenza di accoppiamento tra effetti volumetrici e distorsionali:


{ } [ ]{ }'δσδε C=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

r

a

r

a

E ''

'''

δσ

δσ

νν

ν

δε

δε

1211

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

qp

GJJK

q

p

δ

δδε

δε ''/

'/31

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

qp

GK

q

p

δ

δδε

δε ''/

'/31001

)'(''ν213 −

=EK

)'(''ν+

=12EG

23

CamCam--ClayClay

Poiché:

Dalle def. plastiche:


'ln pkvv k −= )'/'( ppkv δδ −=

'p)'vp/k(vvp δδδε =−=

kvpK ''= k/)'21('vp3E ν−=

CamCam--ClayClayCAMCAM--CLAY MODIFICATOCLAY MODIFICATOMODELLO COMPLETOMODELLO COMPLETO

matrice simmetrica per ipotesi di flusso associato


⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

qp

Gvpk

elq

elp

δ

δ

δε

δε ''/

'/3100

( ) ( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

+−

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

qp

M

M

Mvpk

plq

plp

δ

δ

ηηη

ηη

ηλ

δε

δε '' 22

2

22

22 422

4.Stato Critico e Cam Clay

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