Cap.4 MCC struttura (2001) 31/03/01 11.47

4 MACCHINA IN CORRENTE CONTINUA

4.1 Struttura e schema elementare

Per comprendere il principio di funzionamento della macchina in corrente continua (m.c.c.)facciamo riferimento alla struttura elementare indicata in Fig. 4.1.

1

2

a

dθr

A

B

d

φe

Fig. 4.1 - Struttura elementare del motore in correntecontinua

Fig. 4.2 - Percorso del flusso di eccitazione

Lo statore è del tipo a poli salienti. Sui poli sono avvolte le bobine che compongonol’avvolgimento di campo o di eccitazione. Tale avvolgimento è percorso da corrente continua egenera il flusso di eccitazione (o di campo) del motore, indicato con φe. Questo flusso è di tipostazionario, cioè la sua configurazione spaziale (mappa) resta fissa nel tempo. Indichiamo con dl’asse magnetico (fisso) del flusso di eccitazione.

Sul rotore, cilindrico, immaginiamo disposta una sola spira (avvolgimento elementare) le cuiestremità 1 e 2 fanno capo a due lamelle, tra loro isolate e solidali al rotore (cioè ruotano assiemealla spira). Le lamelle sono in contatto elettrico con due spazzole (indicate con A e B), che sonoinvece solidali con lo statore e tenute in pressione sulle lamelle mediante molle.

Le spazzole permettono di accedere elettricamente, dal riferimento fisso di statore,all’avvolgimento disposto sul rotore (qui composta dall’unica spira) detto avvolgimento diarmatura.

Indichiamo con a l’asse magnetico dell’avvolgimento di armatura, coincidente con l’assedella spira 1-2 e fissiamo di misurare l’angolo di rotazione θr tra l’asse d e la direzione negativadell’asse a.

Lo schema della macchina in corrente continua è indicato nella seguente Fig. 4.3.Visto in termini di sistema di conversione elettromeccanico la macchina in corrente continua

possiede due porte elettriche (gli avvolgimenti di eccitazione e di armatura) attraverso le qualitransita potenza elettrica (in termini di prodotto tensione–corrente ai morsetti) ed una porta

50 Cap. 4 Macchina in corrente continua

meccanica (l’asse di rotazione) attraverso la quale transita potenza meccanica in termini diprodotto velocità di rotazione–coppia.

In base ai versi di tali flussi di potenza si può avere il funzionamento da generatore oppure damotore come illustrato nel seguito. Concordemente alle convenzioni utilizzate nella scritturadell’equazione dell’equilibrio dinamico e nella definizione del piano coppia–velocitàconsidereremo positive le potenze nel funzionamento da motore, cioè potenza elettrica entrante epotenza meccanica uscente (coppia e velocità concordi).

eccitazionearmatura

asse di rotazione

Fig. 4.3 - Schema elementare della macchina in corrente continua

4.2 Principio di funzionamento

4.2.1 Funzionamento da generatore

In questo tipo di funzionamento viene fornita potenza elettrica (Pe) all’avvolgimento dieccitazione e potenza meccanica (Pm) all’asse di rotazione, e si raccoglie potenza elettrica (Pa)sull’avvolgimento di armatura. La macchina in corrente continua si comporta da generatore (odinamo) e può essere utilizzato per alimentare un carico (indicato in figura dalla resistenza Rc).

Per fissare le idee, consideriamo la struttura elementare del m.c.c. nella quale un motoreprimo metta (dall’esterno) in rotazione il rotore (ad es. nel verso crescente di ϑr) mentre sialimenta l’eccitazione con un generatore in continua.

4.2.1.1 Funzionamento da generatore a vuoto

Analizziamo dapprima il caso in cui l’avvolgimento di armatura sia aperto (ia = 0) cioè ilfunzionamento da generatore a vuoto1, Fig. 4.4.

La spira di rotore concatena una parte del flusso generato dall’eccitazione. A seguito dellarotazione il flusso concatenato con la spira varia e si genera una tensione indotta che in base allaLegge di Faraday scritta con la convenzione dell’utilizzatore (C.d.U) fornisce:

1 Rispetto la figura, se si trascurano le perdite per attrito e ventilazione, nel funzionamento da generatore a vuoto si avrà, a regime,C = Pm = 0.

Principio di funzionamento 51

ve

ie

+ Pe

Pm C,ω

Pa = 0ea

ia = 0

Rc

Fig. 4.4 - Funzionamento da generatore a vuoto

θr

ea ≡ eAB

e12φ

Ea

π 2πφ̂

Fig. 4.5 - Tensione indotta nella spira elementare

te

d

dφ12 = (4.1)

Il flusso concatenato sarà massimo negativo per θr = 0, nullo per θr = π/2. Ipotizzando unandamento sinusoidale si può scrivere:

rθφφ cosˆ−= (4.2)

da cui:

( ) rrr

r sinsint

e θωφθθφθ12ˆˆ ==

dd

(4.3)

ve

ie

+ Pe

Pm C,ω

Pava

ia

Rc

52 Cap. 4 Macchina in corrente continua

Fig. 4.6 - Funzionamento da generatore a carico

Se chiamiamo eAB la tensione raccolta sulle spazzole, in base alla rotazione del rotore sihanno le seguenti situazioni di contatto2:

- in θr ∈(0,π) si hanno i contatti: A≡1, B≡2, da cui: eAB = e12

- in θr ∈(π,2π) i contatti si invertono: A≡2, B≡1, da cui: eAB = e21 = −e12.

La tensione raccolta tra le spazzole rappresenta la tensione indotta nell’avvolgimento diarmatura (ea ≡ eAB), il cui andamento, riportato nella figura precedente, è quindi di tipo continuo,nel senso di unipolare a valor medio (Ea) non nullo, Fig. 4.5.

Si osserva pertanto come, con il sistema collettore a lamelle + spazzole si realizza uncommutatore in grado di trasformare una alternata in una continua.

Intuitivamente, estendendo il numero di spire è possibile ottenere tensioni più continue,praticamente costanti, come accade nei motori reali.

4.2.1.2 Funzionamento da generatore a carico

Vediamo ora cosa succede nel funzionamento a carico (Fig. 4.6), quando cioè viene chiusol’interruttore e quindi fluisce una corrente ia nell’avvolgimento di armatura.

Rc Rc

1(+)

2(-)

a

dθr ∈(0,π)

φa

φe

A

B

va

ia2(+)

1(-)

ad

A

B

va

ia

C C

ω

θr ∈( π,2π)

ω

φaφe

Fig. 4.7 - Generazione del flusso di armatura nel funzionamento da generatore

Con riferimento alla Fig. 4.7, in base al segno della tensione indotta si ha che per θr ∈(0,π)l’estremo 1 ha potenziale maggiore dell’estremo 2, pertanto nel circuito esterno di carico lacorrente fluisce da 1 (punta della freccia) verso 2 (coda della freccia)3. Per effetto di questacorrente si genera un flusso di armatura diretto in verso opposto all’asse di magnetizzazione (a).Per θr ∈(π,2π) la situazione si inverte, cioè 2 ha potenziale maggiore di 1, ma il verso dellecorrenti è lo stesso e quindi anche la direzione del flusso di armatura.

2 Si trascurano le posizioni limite 0,π e 2π.3 Concordemente alla convenzione del generatore (C.d.G.) nell’avvolgimento di armatura la corrente fluisce dal morsetto apotenziale minore verso quello a potenziale maggiore.

Principio di funzionamento 53

d

φa

φe

ω

Fig. 4.8 - Flussi di eccitazione e di armatura con una sola spira di armatura

In sostanza, il flusso di armatura è diretto sempre nel semipiano di destra della figura, èallineato e concorde con il flusso di eccitazione per θr = 0 e θr = 2π, allineato e discorde per θr = πe non allineato nelle rimanenti posizioni. La successiva Fig. 4.8 illustra questo aspetto, mettendoin luce come, al ruotare della spira, il verso della corrente sia sempre uscente per il conduttoresituato nel semipiano superiore, entrante per il conduttore situato nel semipiano inferiore.

Il risultato è una coppia elettromagnetica (C) che tende a far ruotare la spira in modo daallineare (nel verso concorde) il flusso di armatura con il flusso di eccitazione. Tale coppia saràdiretta in modo da opporsi al moto del rotore4, ed avrà l’andamento qualitativo indicato in Fig.4.9 analogo alla tensione indotta (valore massimo quando i due flussi sono perpendicolari traloro).

Pertanto, per effetto del commutatore a spazzole e lamelle, è possibile sviluppare una coppiacontinua, nel senso del valor medio (Cm) non nullo. Estendendo il numero di spire si ottiene unacoppia sempre più costante. Ad esempio, nelle Fig. 4.10, Fig. 4.11 e Fig. 4.12 è illustrato il caso(sempre elementare) di una macchina con due spire5.

C

Cm

0θrπ 2π

Fig. 4.9 - Coppia prodotta con una sola spira di armatura

4 Concordemente alle convezioni adottate coppia e velocità sono discordi nel funzionamento da generatore.5 Questo caso può essere compreso osservando che la seconda spira è sfasata di π/2 rispetto la prima, e le lamelle si estendonoanche per π/2.

54 Cap. 4 Macchina in corrente continua

1 2

3

4π/4

Fig. 4.10 - Struttura elementare con due spire di armatura

1-2Ea

π/2 3π/2

1-23-43-4ea

π/4

π/2

0 θrπ 2π

Fig. 4.11 - Tensione indotta nel m.c.c con due spire di armatura

θr

1-2Cm

π 2ππ/2 3π/2

1-23-43-4C

0

Fig. 4.12 - Coppia prodotta nel m.c.c con due spire di armatura

d

φa

φe

ω

π/2

Fig. 4.13 - Flussi di eccitazione e di armatura con due spire di armatura (generatore)

Principio di funzionamento 55

4.2.2 Funzionamento da motore

+ve

ie

+ Pe

Pm C,ω

Pava

ia

Fig. 4.14 - Funzionamento da motore

Nel funzionamento da motore (Fig. 4.14) si alimentano gli avvolgimenti di eccitazione e diarmatura (ingressi) e si ricava in uscita potenza meccanica all’asse del motore sotto forma dicoppia e velocità di rotazione. In particolare, rispetto al caso del funzionamento da generatore,il verso della corrente di armatura (ia) è opposto6.

Ciò vuol dire che il flusso di armatura è diretto anch’esso in modo opposto, rispetto al casodel funzionamento da generatore7.

d

φa

φe

ω

Fig. 4.15 - Flussi di eccitazione e di armatura con due spire di armatura (motore)

Di conseguenza, anche la coppia elettromagnetica che tende a far ruotare la spira di rotoreper allineare i flussi di armatura ed eccitazione ha verso opposto rispetto al caso delfunzionamento da dinamo, e causa un movimento di rotazione nella sua stessa direzione(l’andamento in funzione dell’angolo θr è lo stesso del caso di funzionamento da dinamo).

6 Concordemente alla convenzione dell’utilizzatore (C.d.U.) nell’avvolgimento di armatura la corrente fluisce dal morsetto apotenziale maggiore verso quello a potenziale minor7 In particolare il flusso di armatura è diretto sempre nel semipiano di sinistra della figura.

56 Cap. 4 Macchina in corrente continua

+ +1(+)

2(-)

a

d θr ∈(0,π)

φa

φe

A

B

va

ia2(+)

1(-)

ad

θr ∈(π,2π)

φa

φe

A

B

va

ia

C C

ωω

Fig. 4.16 - Generazione del flusso di armatura nel funzionamento da motore

Estrapolando graficamente ad una macchina con un numero elevato di spire, il flusso diarmatura sarà fisso a π/2 gradi rispetto il flusso di eccitazione, le correnti nei conduttori dirotore avranno verso concorde con tale flusso (considerando il funzionamento da motore odinamo) e le spazzole saranno disposte in quadratura (direzione q chiamata asse neutro) rispettoal flusso di eccitazione, a significare il collegamento a conduttori che transitano in questaposizione8.

La rappresentazione schematica della macchina in corrente continua nel funzionamento damotore è illustrata in Fig. 4.17.

a

d

θr = π/2

qve

va

ie

ia

Fig. 4.17 - Rappresentazione di una m.c.c. funzionante da motore

8 Con tale disposizione, nella macchina reale le spazzole raccolgono la massima tensione indotta nell’avvolgimento di armatura.Inoltre, durante la commutazione tra due lamelle successive, le spazzole vengono a corto-circuitare conduttori nei quali latensione indotta dal flusso di eccitazione è circa nulla, limitando la corrente di corto.

Determinazione del modello dal punto vista dei circuiti accoppiati 57

4.3 Determinazione del modello dal punto vista dei circuiti accoppiati

Abbiamo visto che il funzionamento del collettore a spazzole e lamelle fa sì chel’avvolgimento di armatura, benché composto da conduttori rotanti e quindi soggetti a tensioneindotta dal flusso di eccitazione, generi a sua volta un flusso di armatura costantemente direttosecondo l’asse q. Questo funzionamento deve essere tenuto in debita considerazione quando sivoglia determinare il modello analitico della macchina in corrente continua a partire dal metodogenerale dei circuiti magneticamente accoppiati.

A tale scopo, con riferimento alla rappresentazione in Fig. 4.17, immagineremo checontrariamente a quanto accade nella macchina reale le spazzole ruotino solidalmente al rotore.Di conseguenza, l’asse magnetico q dell’avvolgimento di armatura ruoterà con l’angolo θr.Scriveremo quindi le equazioni per gli avvolgimenti di eccitazione ed armatura esuccessivamente terremo conto del fatto che, nella macchina reale, la posizione dell’asse q èfissata in θr = π/29.

4.3.1 Equazioni elettriche

Le equazioni elettriche degli avvolgimenti sono:

tiRv aaa d

d aψ+= aaeaa iMiL +=aψ avvolgimento di armatura

tiRv eee d

d eψ+= eaeee iMiL +=eψ avvolgimento di eccitazione

In esse, i coefficienti di auto e mutua induzione presenti nelle espressioni dei flussi avranno iseguenti andamenti qualitativi in funzione di θr 10:

• Induttanza propria dell’avvolgimento di eccitazione:

costante== ere LL )(θ

• Induttanza propria dell’avvolgimento di armatura:

La(θr)

Laq

Lad

θr0 π 2ππ/2 3π/2

Fig. 4.18 – Andamento qualitativo dell’induttanza propria dell’avvolgimento di armatura

9 Con questo procedimento è possibile utilizzare il metodo generale per la scrittura delle equazioni in una strutturaelettromagnetica avente circuiti sul rotore e sullo statore, tenendo conto poi qualitativamente del funzionamento del collettore.10 Supporremo per semplicità di tipo sinusoidale gli andamenti periodici delle induttanze.

58 Cap. 4 Macchina in corrente continua

• Induttanza mutua tra gli avvolgimenti di armatura ed eccitazione:

raerae GM θθ sin)( −=

Mae(θr)

-Gae

Gae

0θrπ 2ππ/2 3π/2

Fig. 4.19 – Andamento qualitativo dell’induttanza mutua armatura–eccitazione

Da tali andamento si deduce quanto segue:- la derivata dell’induttanza propria dell’avvolgimento di eccitazione rispetto la posizione

θr è sempre identicamente nulla;- la derivata dell’induttanza propria dell’avvolgimento di armatura rispetto la posizione

θr è nulla in corrispondenza di θr = π/2 dove l’induttanza ha un minimo;- la derivata dell’induttanza mutua rispetto la posizione θr è del tipo (Fig. 4.20):

raer

ae GM θθ

cos=d

d

r

ae

ddMθ

-Gae

Gae

0θrπ 2ππ/2 3π/2

Fig. 4.20 – Andamento qualitativo della derivata dell’induttanza mutua armatura–eccitazione

e il suo valore calcolato in θr = π/2 vale:

aer

GMae =

2πθd

d

Sostituendo le espressioni dei flussi concatenati nelle equazioni delle tensioni degliavvolgimenti si ottiene:

Determinazione del modello dal punto vista dei circuiti accoppiati 59

2π

θθ

θθ

+++=++=

tMi

tiM

tLi

tiLiMiL

tiRv r

r

aee

eae

r

r

aaaeaeaaaaa d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

dd

a)(

2π

θθ

θθ

+++=++=

tMi

tiM

tLi

tiLiMiL

tiRv r

r

aea

aae

r

r

ee

eeaaeeeeee d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

dd

)(

e sostituendo le espressioni dei coefficienti induttivi e delle loro derivate calcolate in θr = π/2 siha:

tGi

tiLiRv aeeaqaaa d

ddd ra θ′

++=

tGi

tiLiRv aeaeeee d

ddd re θ ′′

++=

I termini del tipo “variazione della posizione nel tempo” sono stati distinti nelle equazioni diarmatura ed eccitazione in quanto:

- tr ddθ′ nell’equazione di armatura, rappresenta la velocità relativa tra il flusso di eccitazione ele bobine di armatura; effettivamente, essa coincide con la velocità di rotazione del rotore ωr;

- tr ddθ ′′ nell’equazione di eccitazione, rappresenta la velocità relativa tra il flusso di armatura ele bobine di campo; tale velocità è nulla, in quanto le bobine di campo sono ferme rispetto alflusso di armatura.

Pertanto, dalle precedenti considerazioni, ponendo per comodità La = Laq, si ottengono leseguenti equazioni elettriche della macchina in corrente continua:

reaeaaaa iGtiLiRv ω++=dd a tensione di armatura (4.4)

tiLiRv eeee d

d e+= tensione di eccitazione (4.5)

Considerando anche le equazioni dei flussi, si è soliti definire:

aaa iL=φ flusso di armatura11 (4.6)

eee iL=φ flusso di eccitazione (4.7)

da cui si trova anche:

reaeaaa iGt

iRv ωφ

++=d

d a tensione di armatura (4.8)

11 Tale flusso coincide con il flusso proprio di armatura.

60 Cap. 4 Macchina in corrente continua

tiRv eeee d

dφ+= tensione di eccitazione (4.9)

Nell’equazione della tensione di armatura, il termine proporzionale alla velocità di rotazionerappresenta la tensione indotta, che considerando il legame (4.7) tra flusso e corrente dieccitazione si può scrivere:

reereae kiGe ωφω == tensione indotta (4.10)

avendo definito il coefficiente12:

( ) eaeeeaee LGiGk =⋅= φ (4.11)

4.3.2 Espressione della coppia

Per quanto riguarda la coppia elettromagnetica, nel caso di una struttura elettromagneticacon un avvolgimento sullo statore (1) ed uno sul rotore (2) si aveva l’espressione generale:

r

r

r

r

r

r Li

Mii

LiC

θθ

21

θθ

θθ

21 22

22112

1 d

d

d

d

d

d )()()(++=

Procedendo come al paragrafo precedente, si può specializzare tale espressione per lamacchina in corrente continua considerando il valore delle derivate dei coefficienti induttivi inθr = π/2. Sostituendo e → 1 ed a → 2 si ha:

2π

22

θθ

21

θθ

θθ

21

++=

r

ree

r

raeea

r

raa

LiMiiLiCd

dd

dd

d )()()(

dalla quale si ricava immediatamente:

eaae iiGC = (4.12)

In base alle (4.7) e (4.11), la coppia elettromagnetica si può anche scrivere in funzione delflusso di eccitazione e della corrente di armatura:

aee ikC φ= (4.13)

4.3.3 Rappresentazione circuitale

Le equazioni elettriche e l’espressione della coppia, insieme all’equazione di equilibriomeccanico, definiscono il modello elettromagnetico della macchina in corrente continua. Larappresentazione circuitale associata è illustrata in Fig. 4.21.

12 Il coefficiente ke risulta costante in ipotesi di linearità del circuito magnetico.

Test di apprendimento 61

Ra

Le+

_

+

_

La

Re+

_

va(t)

ia(t)

c(t)

ωr(t)

cr(t)

ie(t) ve(t)

e(t)

Fig. 4.21 – Rappresentazione circuitale della macchina in corrente continua

Test di apprendimento

1) Descrivere la struttura di base di una macchina in corrente continua.2) Descrivere il collettore a lamelle e spazzole.3) Disegnare lo schema elementare di una macchina in c.c. individuando le “porte” di

potenza elettrica e meccanica.4) Descrivere il funzionamento della macchina in c.c. da dinamo e da motore. Disegnare i

flussi di potenza negli avvolgimenti di eccitazione ed armatura per i due tipi difunzionamento.

5) Cosa si intende per tensione nell’avvolgimento di armatura? Ricavarne l’andamento nelfunzionamento da dinamo a vuoto per la macchina con una sola spira di armatura.

6) Descrivere la generazione del flusso di armatura nel funzionamento da motore dellamacchina con una sola spira di armatura.

7) Descrivere il principio di generazione della coppia nel funzionamento da motore.Ricavarne l’andamento qualitativo per la macchina con una sola spira di armatura.

8) Disegnare la struttura di una macchina con più spire di armatura nel funzionamento damotore e generatore, precisando il verso della corrente nei conduttori.

9) Ricavare il modello elettrico del motore in c.c. a partire dall’analisi dei circuitimagneticamente accoppiati.

10) Ricavare l’espressione della coppia elettromagnetica a partire dall’espressione generaleper circuiti magneticamente accoppiati.

11) Esprimere il modello elettrico e la coppia in termini di flusso oppure di corrente dieccitazione.

12) Esprimere la tensione indotta in termini di flusso oppure di corrente di eccitazione.13) Disegnare lo schema circuitale di una macchina in corrente continua.

62 Cap. 4 Macchina in corrente continua

Indice delle figureFig. 4.1 - Struttura elementare del motore in corrente continua.................................................................................. 49Fig. 4.2 - Percorso del flusso di eccitazione .................................................................................................................. 49Fig. 4.3 - Schema elementare della macchina in corrente continua............................................................................. 50Fig. 4.4 - Funzionamento da generatore a vuoto ......................................................................................................... 51Fig. 4.5 - Tensione indotta nella spira elementare ....................................................................................................... 51Fig. 4.6 - Funzionamento da generatore a carico......................................................................................................... 52Fig. 4.7 - Generazione del flusso di armatura nel funzionamento da generatore......................................................... 52Fig. 4.8 - Flussi di eccitazione e di armatura con una sola spira di armatura............................................................... 53Fig. 4.9 - Coppia prodotta con una sola spira di armatura .......................................................................................... 53Fig. 4.10 - Struttura elementare con due spire di armatura ......................................................................................... 54Fig. 4.11 - Tensione indotta nel m.c.c con due spire di armatura................................................................................ 54Fig. 4.12 - Coppia prodotta nel m.c.c con due spire di armatura ................................................................................ 54Fig. 4.13 - Flussi di eccitazione e di armatura con due spire di armatura (generatore) ................................................ 54Fig. 4.14 - Funzionamento da motore.......................................................................................................................... 55Fig. 4.15 - Flussi di eccitazione e di armatura con due spire di armatura (motore)...................................................... 55Fig. 4.16 - Generazione del flusso di armatura nel funzionamento da motore ............................................................ 56Fig. 4.17 - Rappresentazione di una m.c.c. funzionante da motore............................................................................. 56Fig. 4.18 – Andamento qualitativo dell’induttanza propria dell’avvolgimento di armatura ........................................ 57Fig. 4.19 – Andamento qualitativo dell’induttanza mutua armatura–eccitazione ....................................................... 58Fig. 4.20 – Andamento qualitativo della derivata dell’induttanza mutua armatura–eccitazione ................................. 58Fig. 4.21 – Rappresentazione circuitale della macchina in corrente continua............................................................. 61

INDICE

4 Macchina in corrente continua ..............................................................................49

4.1 Struttura e schema elementare .................................................................................49

4.2 Principio di funzionamento .........................................................................................504.2.1 Funzionamento da generatore ............................................................................................ 50

4.2.1.1 Funzionamento da generatore a vuoto.................................................................................................50

4.2.1.2 Funzionamento da generatore a carico ................................................................................................52

4.2.2 Funzionamento da motore ................................................................................................. 55

4.3 Determinazione del modello dal punto vista dei circuiti accoppiati .......................574.3.1 Equazioni elettriche ............................................................................................................ 57

4.3.2 Espressione della coppia ..................................................................................................... 60

4.3.3 Rappresentazione circuitale................................................................................................ 60

Test di apprendimento ..............................................................................................................61

Indice delle figure .......................................................................................................................62

INDICE........................................................................................................................................62