4. VAJA IZ TRDNOSTI

(linearizirana elasticnost, plasticno tecenje)

NALOGA 1: Eden izmed preizkusov za dolocanje mehanskih lastnosti materialov je striznipreizkus, s katerim dolocimo strizni modul G. Vzorec v obliki kocke podpremo in obremenimotako, da je od nic razlicna le ena od striznih deformacij (na primer εxy). Drugi dve strizni defor-maciji in vse normalne komponente tenzorja deformacij v koordinatnem sistemu x,y,z so enakenic. Shemo preizkusa prikazujemo na sliki. Pri striznem preizkusu obicajno obtezimo samo vodor-avni ploskvi, navpicnih pa ne. Pri taki obtezbi pride do neenakomerne porazdelitve napetosti popreizkusancu, zato v tem racunskem primeru predpostavimo se obtezbo v dveh navpicnih ploskvah.Spodnja ploskev kocke je nepomicno podprta s togo podlago. Zgornjo ploskev in dve stranskiploskvi kocke obremenimo z enakomerno porazdeljeno obtezbo p. Merimo velikost pomika uAna vrhu kvadra. Preizkusi kazejo, da deformirana oblika kvadra priblizno ustreza paralelepipedu,prikazanem na sliki.

Doloci strizni modul G v primerih.

• Opravimo eno meritev in dobimoh = 0.1m, uA = 0.0006m, p = 500MPa.

• Opravimo vec meritev in dobimoh1 = 0.10m, uA1 = 0.00060m, p1 = 500MPa,h2 = 0.10m, uA2 = 0.00050m, p2 = 400MPa,h3 = 0.15m, uA3 = 0.00085m, p3 = 500MPa,h4 = 0.15m, uA4 = 0.00080m, p4 = 450MPa.

Resitev:

a) G = 83333MPa.

b) G = G = 14 ∑

4i=1 Gi = 83986MPa.

Resitev, dobljena po metodi najmanjsih kvadratov, se ujema s povprecno vrednostjo.

NALOGA 2: S triosnim preizkusom lahko hkrati dolocimo vrednosti elasticnega modula inPoissonovega kolicnika materiala. Pri triosnem preizkusu vzpostavimo tako napetostno stanje, kjersta v dveh smereh normalni napetosti enaki, normalna napetost v tretji smeri pa je razlicna. Pri

izbranem napetostnem stanju lahko merimo spremembo dolzine v smeri z in spremembo prostor-nine ∆V . Vzorec ima precni prerez s ploscino A in visino h. Napetostno stanje dolocata obtezbipz in po (slika). Predpostavimo, da je napetostno stanje priblizno konstantno po celotni prostorninivzorca.

σxx = σyy = po, σzz = pz, σxy = σxz = σyz = 0.

Ob predpostavki, da so strizne napetosti enake nic, smo privzeli, da je trenje med vzorcem inpodlago ter vzorcem in batom zanemarljivo majhno. Pri preizkusih je pogosto tezko zagotovitimajhno trenje, v teh primerih se moramo zavedati, da so gornje enacbe le priblizek dejanskegastanja.

Doloci elasticni modul E in Poissonov kolicnik ν v sledecih primerih.

• Opravimo eno meritev in dobimopz =−20kN/cm2, po =−10kN/cm2, εzz =−0.00073, εV =−0.00092.

• Opravimo vec meritev in dobimopz1 =−5kN/cm2, po1 =−2.5kN/cm2, εzz,1 =−0.000170, εV 1 =−0.00028,pz2 =−10kN/cm2, po2 =−5.0kN/cm2, εzz,2 =−0.000375, εV 2 =−0.00060,pz3 =−15kN/cm2, po3 =−7.5kN/cm2, εzz,3 =−0.000600, εV 3 =−0.00080,pz4 =−20kN/cm2, po4 =−10.0kN/cm2, εzz,4 =−0.000730, εV 4 =−0.00092.

Resitev:

a) E = 200000MPa, ν = 0.27.

b) E = 197910MPa, ν = 0.251 (resitev, dobljena po metodi najmanjsih kvadratov).E = 214930MPa, ν = 0.209 (povprecni vrednosti).Bolj natancna je prva resitev, dobljena po metodi najmanjsih kvadratov.

NALOGA 3: S hidrostaticnim preizkusom lahko dolocimo vrednost kompresijskega modula K.Telo v obliki kocke obtezimo s hidrostaticnim pritiskom (slika). Napetostno stanje v delcu telesa jehidrostaticni pritisk, ce so normalne komponente napetostnega tenzorja medsebojno enake, striznekomponente pa so enake nic:

Doloci kompresijski modul K in v sledecih primerih.

• Opravimo eno meritev in dobimop =−20MPa, εV =−0.00092.

• Opravimo vec meritev in dobimop =−5MPa, εV =−0.00023,p =−10MPa, εV =−0.00048,p =−15MPa, εV =−0.00070,p =−20MPa, εV =−0.00092,

Resitev:

• K = pεV

= 21739MPa,

• K = K = 21435MPa (povprecna vrednost).

NALOGA 4: Mejna ploskev Sµ (BCE) prikazanega elementa telesa je neobtezena, na mejnoploskev Sξ (ABE) pa deluje enakomerna zvezna obtezba pξ . V ploskvi ADE ni normalnih napetosti.Doloci spremembo prvega kota β

Resitev: ∆β ≈=−1.23 ·10−4.

NALOGA 5: V sredini ravnega kovinskega traku z dolzino l = 100cm, sirino b = 10cm indebelino d = 1mm narisemo krog s polmerom r = 2cm. Ozja konca traku enakomerno obtezimo ssilo P = 42kN. Pri tem se dolzina traku poveca za 2mm, sirina pa se zmanjsa za 0.06mm. Narisanikrog se spremeni v pravilno elipso. Doloci:

a) elasticni modul E in koeficient precne kontrakcije ν uporabljene kovine ter spremembo de-beline traku,

b) velikosti polosi dobljene elipse,

c) spremembo pravega kota β .

c) novo dolzino polmera TA.

Resitev:

a) elasticni modul E = 21000 kNcm2 , koeficient precne kontrakcije ν = 0.3, sprememba debeline

traku ∆d =−6 ·10−5 cm.

b) velikosti polosi dobljene elipse sta a′ = 2.0040cm in b′ = 1.9988cm.

c) sprememba pravega kota ∆β = 0.13◦.

c) nova dolzina polmera TA′ = 2.0001cm.

NALOGA 6: V absolutno togi podlagi je narejena pravokotna prizmaticna luknja dimenzij20.01cm× 9.988cm× 15.01cm. V luknjo ze1imo vstaviti aluminijast kvader dimenzij 20cm×10cm×15cm.

a) Za koliko moramo spremeniti temperaturo kvadra, da ga lahko vstavimo v odprtino? Ko-liksne so tedaj dimenzije kvadra?

b) Doloci napetosti v kvadru in njegove dimenzije, ko se njegova temperatura spet izenaci stemperaturo okolice!

c) Za koliko moramo sedaj spremeniti temperaturo kvadra, da v tlorisnem pogledu popolnomazapolni odprtino? Ko1iksne so tedaj napetosti v kvadru in njegova visina?

Resitev:

a) Temperaturo kvadra moramo spremeniti za ∆T a =−50K.Nove dimenzije kvadra so la

x = 19.976cm, laz = 14.982cm.

b) Napetosti v kvadru so σbxx = σb

zz = 0, σbyy =−8.64 kN

cm2 .Njegove dimenzije so lb

x = 20.008cm, lbz = 15.006cm.

c) Sedaj moramo spremeniti temperaturo kvadra za ∆T c = 2.9K.Napetosti v kvadru so σ c

xx = σ czz = 0, σ c

yy =−9.14 kNcm2 .

Njegova visina znasa lcz = 15.007cm.

NALOGA 7: Na enakostranicni ∆-rozeti, sestavljeni iz treh enakih merilnih listicev (straingauge), so bile v tocki T na povrsini tanke stojine jeklenega polnostenskega nosilca izmerjenespecificne spremembe dolzin v treh smereh kot kaze slika. V smeri pravokotno na svojo ravninostojina ni obtezena ali podprta in ostane ravna tudi pa deformaciji.

a) Doloci komponente tenzorja majhnih deformacij v tocki T glede na koordinatni sistem (x,y,z).Za koliko se spremeni zacetna debelina stojine δ = 8mm v tocki T ?

b) Doloci ravnine in velikosti glavnih normalnih in glavnih striznih napetosti.

Resitev:

a) Tenzor majhnih deformacij v tocki T glede na koordinatni sistem (x,y,z) je enak

[εi j] = 10−4 ·

2 −0.2887 0−0.2887 1 0

0 0 −1.2857

.

Zacetna debelina stojine se spremeni za ∆δ =−1.0286 ·10−4 cm.Tenzor napetosti v tocki T je enak

[σi j] =

5.308 −0.466 0−0.466 3.692 0

0 0 0

.

b) Glavne normalne napetosti so σ11 = 5.432 kNcm2 , σ22 = 3.567 kN

cm2 , σ33 = σzz = 0.Smeri glavnih normalnih napetosti so:e1 = 0.966ex−0.259ey, e2 = 0.259ex +0.966ey, e3 = ez.Ekstremna strizna napetost znasa τext = 2.716 kN

cm2 . Normale ravnin ekstremnih striznih napetosti

so√

22 (±e1±e3).

NALOGA 8: Na robove tanke stene, v kateri vlada homogeno ravninsko napetostno stanje(σxz = σyz = σzz = 0), deluje le enakomerna tangencialna zvezna obtezba kot kaze slika.

a) Dokazi, da v simetrijskih ravninah x = 0 in y = 0 ni striznih napetosti.

b) Doloci komponente tenzorja napetosti in tenzorja majhnih deformacij v bazi ex, ey, ez.

c) Doloci specificno spremembo dolzine robu AB.

Resitev:

a) Pokazemo, da je σxy = 0.

b) Tenzor napetosti je

[σi j] =

−150 0 0

0 50 00 0 0

[MPa].

Tenzor majhnih deformacij

[εi j] = 10−5 ·

−78.57 0 0

0 45.24 00 0 14.29

.

c) Specificna sprememba dolzine robu AB je −47.62 ·10−5.

NALOGA 9: Med dva toga odlitka, ki sta spojena z dvema jeklenima vijakoma premen 10mmin dolzine 200mm, moramo vstaviti bakreno palico s precnim prerezom A = 600mm2 in dolzino200.2mm.

a) Za koliko moramo ohladiti bakreno palico, da jo je mogoce vstaviti med odlitka? (Tempe-ratura jeklenih vijakov se pri tem ne spremeni.)

b) Doloci razdaljo med odlitkoma ter napetosti v jeklenih vijakih in bakrenem vlozku, ko setemperatura bakrene palice spet izenaci s temperaturo okolja in jeklenih vijakov!

Resitev:

a) Bakreno palico moramo ohladiti za ∆Tb =−58.8K.

b) Razdalja med odlitkoma znasa 200.129mm.Napetosti v jeklenih vijakih sta σ j = 135.37MPa.Napetost v bakrenem vlozku znasa σb =−35.46MPa.

NALOGA 10:

Resitev: Glej pisni izpit 2. 10. 1997 (2 naloga).

NALOGA 11:

Resitev: Glej pisni izpit 24. 3. 2003 (2 naloga).

NALOGA 12: Podvodni cevovod je sestavljen iz jeklene notranje in varovalne bakrene zu-nanje cevi, ki se tesno, vendar brez napetosti prilegata med seboj (skica). Konstrukcijska izvedbacevovoda je taksna, da so vzdolzne normalne napetosti v pravokotnem precnem prerezu cevi zane-marljivo majhne.

Doloci normalne napetosti v tangencialni smeri v obeh ceveh v naslednjih primerih:

a) pri tlacnem preizkusu cevovoda na kopnem z notranjim hidrostaticnim tlakom velikosti 5.5MPa,

b) pri praznem cevovodu v globini 50m pod vodo,

c) med obratovanjem cevovoda z notranjim tlakom 1.4MPa v globini 50m pod vodo!

Resitev: Namig: Prerezi konstrukcijo na dva dela in vpliv odstranjenega dela nadomesti z obtezboq na sliki.

a) q = 2.304MPa, σj

ss = 157.518MPa, σbss = 78.321MPa,

b) q = 0.293MPa, σj

ss =−14.952MPa, σbss =−7.532MPa,

c) q = 0.880MPa, σj

ss = 25.143MPa, σbss = 12.405MPa.

NALOGA 13: Pojasni zakaj hrenovka vedno poci podolgem. (Obravnavaj poenostavljen primervaljaste tankostenske posode z enakomernim notranjim pritiskom.)

Resitev:σxx =

pDn

4δ, σss =

pDn

2δ(kotelna formula).

Ker je σss = 2σxx, hrenovka poci podolgem.

NALOGA 14: Doloci napetosti in deformacije v tankostenski krozno valjasti posodi z rotaci-jskima kalotama pri hidrostaticnem notranjem tlaku p (glej sliko). Lastno tezo posode in vsebinelahko zanemarimo.

Resitev: Najprej velja εxy = εxz = εyz = 0. Od tu sledi σxy = σxz = σyz = 0.Krajsi racun da σxx = p r2

δ (2r+δ ) ≈ p r2δ

. Z uporabo kotelne formule dobimo σss = p rδ

.Z uporabo konstitucijskih enacb dobimo:εxx =

pE

( r2δ

+ν(1− r

δ

))≈ p r (1−2ν)

2δ E ,

εss =pE

( rδ+ν

(1− r

2δ

))≈ p r (2−ν)

2δ E ,εrr =− p

E

(1+ 3r ν

2δ

)≈−p 3r ν

2δ E .

NALOGA 15: Dolgo valjasto aluminijasto jedro je tesno vendar brez napetosti obdano s tankojekleno cevjo, ki je na konceh zaprta z absolutno togima ploscama. Opisani sestav enakomernosegrejemo za ∆T . Obravnavaj dva primera:

a) razdalja med sticnima ploscama se med segrevanjem ne spremeni (slika a).

b) desna plosca se lahko prosto premika skupaj z valjem in cevjo (slika b).

V obeh primerih doloci vzdolzne in precne normalne napetosti v aluminijastem valju ter normalnevzdolzne in normalne tangencialne napetosti v cevi! Pri tem upostevaj ugotovitve iz prejsnjenaloge! Lastno tezo valja in cevi, trenje med valjem in cevjo ter motnje na prikljucnih cevi nacelni plosci zanemarimo!

Resitev:

a) Jeklena cev:σ

jxx =−13.975 kN

cm2 , σj

ss = 11.778 kNcm2 , σ

jrr =−0.393 kN

cm2 .Aluminijasti valj:σa

xx =−6.321 kNcm2 , σa

ss =−0.393 kNcm2 , σa

zz =−0.393 kNcm2 .

b) Jeklena cev:σ

jxx = 12.4435 kN

cm2 , σj

ss = 13.6967 kNcm2 , σ

jrr =−0.4566 kN

cm2 .

Aluminijasti valj:σa

xx =−0.8434 kNcm2 , σa

ss =−0.4566 kNcm2 , σa

zz =−0.4566 kNcm2 .

NALOGA 16: Izracunaj napetosti v sestavljeni palici v tockah A in B po deformiranju s silo P.Podatki: a = 50cm, δ = 0.05mm, P = 200kN, A1 = 150cm2, E1 = 10000 kN

cm2 (baker), A2 =

50cm2, E2 = 20000 kNcm2 (jeklo)

Resitev: σA =−0.77 kNcm2 , σB = 1.08 kN

cm2

5. VAJA IZ TRDNOSTI

(metoda sil - kinematicne enacbe)

NALOGA 1. Izracunaj reakcije in notranje sile Nx,Nz in My za prikazani nosilec. Nalogo resi z: (i) ena-cbo upogibnice, (ii) metodo razreza (glej mehanikotrdnih teles) in (iii) s principom o dopolnilnem virtu-alnem delu. Primerjaj metode!

Podatki: a, q, EIyy

Resitev. Ax = 0, Az = − 58 qa, M

Ay = 1

8 qa2, Bz =

− 38 qa, w(

a2 ) =

qa4

192EIyy

NALOGA 2. Bakrena palica elasticnega modula E1,dolzine a in premera d je brez trenja vlozena v alu-minijsko cev iste dolzine a, elasticnega modula E2 inzunanjega premeraD. Tako sestavljena palica je tesnovstavljena v tog primez, kot kaze slika. Izracunajnapetosti in deformacije v palici in cevi, ce rocicoprimeza dolzine b zavrtimo s silo F . Dolzina navojevje e. Za koliko smo ravrteli rocico?

Podatki: d = 15mm, D = 25mm, a = 300mm, E1 =10 300 kN/cm

2(baker), E2 = 7000 kN/cm

2(aluminij),

F = 150N, e = 2.5mm, b = 20 cm

Resitev. σ1 = −14.49 kN/cm2, σ2 = −9.85 kN/cm

2,

n = 0.169

NALOGA 3. Izracunaj napetosti v sestavljeni paliciv tockah A in B po deformiranju s silo P .

Podatki: a = 50 cm, δ = 0.05mm, P = 200 kN, A1 =150 cm2, E1 = 10 000 kN/cm

2(baker), A2 = 50 cm2,

E2 = 20 000 kN/cm2(jeklo)

Resitev. σA = −0.77 kN/cm2, σB = 1.08 kN/cm

2

NALOGA 4. Litozelezno palico elasticnega modu-la E1 in premera d1 brez trenja vstavimo v jekle-no cev elasticnega modula E2 in zunanjega premerad2, obe pa brez trenja vstavimo se v aluminijastocev elasticnega modula E3 in zunanjega premera d3(glej sliko). Izracunaj napetosti v posameznih palicahzaradi sile P .

Podatki: d1 = 5 cm, d2 = 11 cm, d3 = 17 cm, E1 =12 000 kN/cm

2(lito zelezo), E2 = 20 000 kN/cm

2

(jeklo), E3 = 7000 kN/cm2(aluminij), P = 400 kN

Resitev. σ1 = −1.80 kN/cm2, σ2 = −3.00 kN/cm

2,

σ3 = −1.05 kN/cm2

NALOGA 17: Bakrena palica elasticnega modula E1, dolzine a in premera d je vlozena v alu-minijsko cev iste dolzine a, elasticnega modula E2 in zunanjega premera D. Tako sestavljena palicaje tesno vstavljena v tog primez, kot kaze slika. Izracunaj napetosti in deformacije v palici in cevi,ce rocico primeza dolzine b zavrtimo z n obratov. Dolzina navojev je e.Podatki: d = 15mm, D = 25.06mm, t = 0.1mm, a = 300mm, n = 0.169, E1 = 10300 kN

cm2 (baker),E2 = 7000 kN

cm2 (aluminij), e = 2.5mm, b = 15cm

Resitev: σ1 =−14.49 kNcm2 , σ2 =−9.85 kN

cm2 ,

NALOGA 18: Aluminijska cev dolzine a, elasticnega modula E2, zunanjega premera d2 in no-tranjega premera d1 ima na obeh straneh vrezane navoje sirine e. Na enem koncu cev zapremoz vijakom, v cev pa vlozimo bakreno palico premera d0 in elasticnega modula E1, ki je nekolikodaljsa od cevi. Cev zapremo se z drugim vijakom. Ko vijak privijemo do cevi, ga zavrtimo se za nobratov. Doloci notranji sili in raztezka v palicah.Podatki: a = 25cm, d0 = 25mm, d1 = 28mm, d2 = 36mm, e = 1.5mm, E1 = 10500 kN

cm2 (baker),E2 = 7000 kN

cm2 (aluminij), n = 14

7. VAJA IZ TRDNOSTI

(metoda sil - posebni primeri)

NALOGA 1. Aluminijska cev dolzine a, elasticnegamodula E2, zunanjega premera d2 in notranjega pre-mera d1 ima na obeh straneh vrezane navoje sirine e.Na enem koncu cev zapremo z vijakom, v cev pa vlozi-mo bakreno palico premera d0 in elasticneg modulaE1, ki je nekoliko daljsa od cevi. Cev zapremo se zdrugim vijakom. Ko vijak privijemo do cevi, ga zavrti-mo se za n obrata. Doloci notranji sili in raztezka vpalicah.

Podatki: a = 25 cm, d0 = 25mm, d1 = 28mm, d2 =36mm, e = 1.5mm, E1 = 10 5000 kN/cm

2(baker),

E2 = 7000 kN/cm2(aluminij), n = 1

4

Resitev. σ1 = −5.56 kN/cm2, σ2 = 6.79 kN/cm

2

NALOGA 2. Zaradi posedanja temeljnih tal se pod-pora B premakne v navpicni smeri za δ. Izracunaj re-akcije in narisi diagrame notranjih sil. Upostevaj tudivpliv osnih sil na deformiranje.

Podatki: a, q, δ, E, a2Ap = αIyy

Resitev. MYC = − 3

2qa2+2δEAp

3+α

NALOGA 3. Naj bo �ABD enakostranicen triko-tnik in stranica AC = BC = CD. Pri montazi sougotovili, da je palica CD za δ prekratka od prvotnedolzine a. Palicje so vseeno sestavili tako, da so pali-co CD elasticno raztegnili. Izracunaj osne sile pomontazi.

Podatki: a, δ, EAp

Resitev. N3 =√3

2+3√3

δEAp

a

NALOGA 4. Zaradi pomanjkanja materiala so primontazi prikazanega palicja diagonalo (palica 6) sesta-vili iz dveh kosov, ki so jih tesno privijacili z nateznovezno spono. Dolzina navoja v sponi je e. Izracunajosne sile v palicah, ce spono privijemo za n obratov.

Podatki: a, EAp, e, n

Resitev. N6 = 25en432aEAp

NALOGA 5. Doloci sili P1 in P2 tako, da bostaw(0) = w1 in w(a) = w2 pri togosti vzmeti k. Koliksnista sili v limiti k → 0. Pokazi, da je upogibni momentv tocki B neodvisen od togosti vzmeti.

Podatki: a, a3k = αEIyy, w1 = −w2 = δ

Resitev. P1 = kδ 2α+92α , P2 = −kδ α+9

α

Resitev: σ1 = 5.56 kNcm2 , σ2 = 6.79 kN

cm2

NALOGA 19: Jekleni vijak premera d0, ki ima n navojev na 1cm dolzine, vstavimo z jeklenopodlozko debeline t v aluminijevo cev notranjega premera d1 in zunanjega premera d2, kot kazeslika. Pri temperaturi T0 vijak z momentnim kljucem tesno privijemo do cevi, nato pa ga zateg-nemo se za k obratov. Doloci napetosti in pripadajoce deformacije v jeklenem vijaku in podlozkiter v aluminijevi cevi, ce temperaturo dvignemo na T1.Podatki: a = 100mm, t = 2mm, d0 = 13mm, n = 16, k = 14 , d1 = 14mm, E j = 20000 kN

cm2 , α j =

12 ·10−6(1/◦C) (jeklo), d2 = 17mm, Ea = 7500 kNcm2 , αa = 23 ·10−6(1/◦C) (aluminij), T0 = 25◦C,

T1 = 65◦C.

NALOGA 6. Za prikazani ravninski okvir izracunajreakcije in narisi diagrame notranjih sil ter pomik namestu in v smeri sile P . Vzmeti nadomesti z eno samovzmetjo ustrezne togosti.

Podatki: a, P , EIyy, k1 = 57.6EIyy

a3 , k2 = 2k1

Resitev. BZ = 571437P , uP = 842

1311a3PEIyy

NALOGA 7. Improvizirano talno stikalo je narejenoiz dveh vzporednih togih kvadratnih desk s stranico4a in stirih razlicnih vzmeti, kot kaze slika. Zgornjaplosca se lahko giblje le v smeri osi Z. Stikalo se sprozipri dotiku obeh plosc. Doloci silo P pri sprozitvi.

Podatki: h = 3 cm, k1 = 10N/cm, k2 = 300N/cm,k3 = 700N/cm, k4 = 150N/cm

Resitev. P = 1123.2N

NALOGA 8. Koliksno mora biti temperaturno polje∆T (z) = A+Bz vzdolz precnega prereza, da bo pomiktocke A enak uA?

Podatki: a, αT , uA = (uA, wA)

Resitev. A = uA

aαT, B = − 2wA

3a2αT

NALOGA 9. Jekleni vijak premera d0, ki ima nnavojev na 1 cm dolzine, vstavimo z jekleno podlozkodebeline t v aluminijevo cev notranjega premera d1in zunanjega premera d2, kot kaze slika. Pri tempe-raturi T0 vijak z momentnim kljucem tesno privijemodo cevi, nato pa ga zategnemo se za k obratov. Dolocinapetosti in pripadajoce deformacije v jeklenem vija-ku in podlozki ter v aluminijevi cevi, ce temperaturodvignemo na T1.

Podatki: a = 100mm, t = 2mm, d0 = 13mm, n =16, k = 1

4 , d1 = 14mm, Ej = 20 000 kN/cm2, αj =

12 ·10−6 /◦C (jeklo), d2 = 17mm, Ea = 7500 kN/cm2,

αa = 23 · 10−6 /◦C (aluminij), T0 = 25 ◦C, T1 = 65 ◦C

Resitev. σj = 15.05 kN/cm2, σa = −27.34 kN/cm

2

NALOGA 10. Za prikazani ravninski okvir izracunajreakcije in narisi diagrame notranjih sil, ce ga enako-merno segrejemo za ∆T . Koliksen je pomik v tocki A?Upostevaj tudi vpliv osnih sil na deformiranje in sime-trijo konstrukcije.

Podatki: a, αT , ∆T , E, a2Ax = βIyy

Resitev. uA = 0, wA = −aαT∆T 4β(1+√2)

3√2+2β(1+

√2)

NALOGA 11. Izracunaj vplivnice za reakcijo in za-suk v tocki A ter precno silo in upogibni moment vtocki B. Rezultate razlozi tudi z Bettijevim izrekom.

Podatki: a, EIyy

Resitev.

ηAZ(ξ) = − 1

2

(1− ξ

a

)2(2 + ξ

a

),

ηϕ(ξ) = − a2

4EIyy

ξa

(1− ξ

a

)2,

(0 ≤ ξ ≤ a)

Resitev: σ j = 15.05 kNcm2 , σa = 27.34 kN

cm2 .

NALOGA 20: Zapisi Misesov pogoj za zacetek plasticnega tecenja za prikazani primer napetostegastanja

[σi j] =

σxx 0 σxz0 0 0

σxz 0 0

.

Resitev: Misesov pogoj plasticnega tecenja zapisemo z enacbo

σ2xx +3σ

2xz = σ

2Y .

NALOGA 21: Napetostno stanje delca D je opisano s komponentami tenzorja napetosti glede nakoordinatni sistem (x,y,z).

a) Dokazi, da je ravnina Πζ , katere normala eζ oklepa enake kote z osmi, ena od glavnih ravninpodanega napetostnega stanja! Doloci preostali dve glavni ravnini in vse glavne normalnenapetosti.

b) Obravnavano telo je narejeno iz bilinearnega elasticnoplasticnega materiala. Pri enoosnemnapetostnem stanju je prehod iz elasticnega v plasticno stanje dolocen z mejo plasticnegatecenja σY . Upostevajoc Misesov pogoj tecenja doloci napetost qY , pri kateri pri podanem

prostorskem napetostnem stanju delca D nastopijo prve plasticne deformacije. Napetost qYizrazi v odvisnosti od vrednosti σY !

[σi j] =

q 2q 2q2q q 2q2q 2q q

.

Resitev:

a) Ker je σζ ξ = σζ η = 0, je dokaz koncan. Izracunamo σζ ζ = 5q. Preostali dve glavni nor-malni napetosti sta σ11 = σ22 = −q. Glavni smeri e1 in e2 sta torej poljubna medsebojnopravokotna vektorja v ravnini Πζ .

b) Napetost, pri kateri pri podanem prostorskem napetostnem stanju delca D nastopijo prveplasticne deformacije qY = σY

6 .

NALOGA 22: Telo iz idealno elasticno–plasticnega, izotropnega, materiala je brez trenja vlozenomed dve povsem togi plosci. Ob predpostavki, da v telesu vlada homogeno napetostno in defor-macijsko stanje doloci obtezbo p, pri kateri po Misesovemu kriteriju plasticnega tecenja nastopizacetek plastifikacije. Upostevaj εzz = 0, σyy = 0. Izracunaj tudi pripadajaco volumsko deforma-cijo εV za ta primer.Podatki: E, ν , σY .

Resitev: Zacetek plastifikacije nastopi pri obtezbi p =σY√

1−ν +ν2.

Volumska deformacija telesa znasa εV =

(−1+ν +2ν2) p

E.

NALOGA 23: Tanka cev je izpostavljena torzijski in natezni obremenitvi. Osne napetosti vz-dolz cevi σxx =

σY2 , kjer σY oznacuje napetost na meji tecenja (glej sliko) so vseskozi konstantne.

Strizne napetosti zaradi torzije τ pa postopoma povecujemo od 0 naprej. Pri kateri vrednosti striznihnapetosti τ nastopi plasticno tecenje po Misesovem kriteriju.

Resitev: τ = σY2 .

NALOGA 24: Izracunajmo pomik na koncu prostolezecega nosilca, obtezenega le z vodoravnosilo F , ki najprej naraste do vrednosti F = 10kN, nato pa pade na ter narasca v nasprotno smer doF = −10kN (slika)! Ploscina precnega prereza je Ax = 0.4cm2, meja elasticnosti je σe = 20 kN

cm2 ,elasticni modul je E = 20000 kN

cm2 , modul plasticnega utrjevanja pa je Ep = 200 kNcm2 . Uporabimo

obe vrsti utrjevanja: kinematicno in izotropno. Dolzina nosilca je L = 0.1m.

Resitev:V primeru kinematicnega utrjevanja znasa pomik na prostem koncu nosilca ux =−0.0026m.V primeru izotropnega utrjevanja znasa pomik na prostem koncu nosilca ux = 0.0024m.

NALOGA 25: Palico kvadratnega prereza 5cm× 5cm, katere teziscna os poteka od tockeA(0,0,0) do tocke B(3m,4m,5m), obremenimo na obeh krajiscih z natezno osno silo F = 100kNin z zunajim tlakom p = 1 kN

cm2 , ki deluje na vse ploskve palice. Po obremenitvi se palica podaljsaza 1.8mm, precni prerez pa ostane kvadraten, dimenzij 4.9995mm×4.9995mm. Ob predpostavki,da v telesu vlada homogeno napetostno in defomacijsko stanje, izracunaj elasticni modul E in Pois-sonov kolicnik ν . Izracunaj tudi komponenete napetostnega tenzorja v kartezijskem koordinatnemsistemu v poljubni tocki palice.

NALOGA 26: V togi podlagi je luknja dimenzij 2a×a×h. Vanjo brez trenja vstavimo alumini-jasto in bakreno kocko dimenzij a×a×a.

• Za koliko kelvinov moramo segreti aluminijasto kocko, da ta v vertikalni smeri zapolniluknjo. Izracunaj napetosti v obeh kockah.

• Aluminijasto kocko segrejemo za 1K, bakreno kocko pa ohladimo za 1K. Izracunaj napetostiv obeh kockah.

Pri racunu v vsaki kocki predpostavi homogeno napetostno stanje. Stik med kockama in stenepodlage so toplotno izolirane (med kockama ni prevajanja toplote). Trenje med kockama in luknjoin trenje med kockama zanemari.Podatki: a = 1cm, h = a+ 10−4 cm, EAl = 72000MPa, ECu = 115000MPa, νAl = 0.34, νCu =0.34, αTAl = 2.29 ·10−5 1

K , αTCu = 1.67 ·10−5 1K .

Resitev:

NALOGA 27: Kvader na sliki (slika prikazuje naris) je obremenjen z enakomernimi zunanjimiobtezbami p = 10 kN

cm2 , t in q. Napetostno stanje je ravninsko, homogeno. Kvader je iz linearnoelasticnega izotropnega, homogenega materiala. Doloci manjkajoci obtezbi t in q, pri katerih hkratinastopi plasticno tecenje po Missesovem kriteriju in po Trescovem kriteriju. Doloci tudi velikostiin smeri glavnih normalnih deformacij tik pred zacetkom plastifikacije.Podatki: E = 2 ·104 kN

cm2 , ν = 0.3, σY = 24 kNcm2 .

NALOGA 28: V togi podlagi je luknja dimenzij 2a×a×h. Vanjo brez trenja vstavimo alumini-jasto in bakreno kocko dimenzij a×a×a.Obe kocki segrejemo na enako temperaturo. Za koliko kelvinov moramo segreti kocki, da po Mis-esovem kriteriju nastopi plasticno tecenje?

Pri racunu v vsaki kocki predpostavi homogeno napetostno stanje. Trenje med kockama in luknjoin trenje med kockama zanemari.Podatki: a = 1cm, h = a+ 10−4 cm, EAl = 72000MPa, ECu = 115000MPa, νAl = 0.34, νCu =0.34, αTAl = 2.29 ·10−5 1

K , αTCu = 1.67 ·10−5 1K , σYAl = 50MPa, σYCu = 120MPa.

Resitev:

NALOGA 29: Podvodni cevovod je sestavljen iz jeklene notranje in varovalne bakrene zu-nanje cevi, ki se tesno, vendar brez napetosti prilegata med seboj (skica). Konstrukcijska izvedbacevovoda je taksna, da so vzdolzne normalne napetosti v pravokotnem precnem prerezu cevi zane-marljivo majhne.

Doloci velikost tlacne obremenitve p, pri kateri po Misesovem kriteriju nastopi plasticno tecenje

a) pri tlacnem preizkusu cevovoda na kopnem z notranjim hidrostaticnim tlakom velikosti p,

b) med obratovanjem cevovoda z notranjim tlakom p v globini 200m pod vodo!

Meji tecenja znasata σj

Y = 240MPa, σbY = 120MPa. Kje najprej nastopi tecenje?