4. Propagación en medios homogéneos e isótropos...4. Propagación en medios homogéneos e...

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4. Propagación en medios homogéneos e isótropos Se trata de caracterizar la propagación de la luz en un medio homogéneo (e gen no depende de la posición) e isótropo (e gen es un escalar). Se buscan soluciones de las ecuaciones de Maxwell macroscópicas de la forma: ωt) r k i( ωt) r k i( c c e H ,t r H e E ,t r E 0 0 E 0 , H 0 , k c y w son constantes. Hay que obtener la relación existente entre los parámetros que caracterizan al medio (e gen y m) y los de la onda.

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4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

Se trata de caracterizar la propagación de la luz en un medio homogéneo

(egen no depende de la posición) e isótropo (egen es un escalar).

Se buscan soluciones de las ecuaciones de Maxwell macroscópicas de la

forma:

ωt)rki(

ωt)rki(

c

c

eH,trH

eE,trE

0

0

E0, H0, kc y w son constantes.

Hay que obtener la relación existente entre los parámetros que caracterizan

al medio (egen y m) y los de la onda.

0)()(

0)()(

0))((

0))((

rEirH

rHirE

rH

rE

gen

gen

we

wm

m

e

0gene

00

00

0

0

1

1

0

0

Hk-

E

EkH

Hk

Ek

cgen

c

c

c

we

wm

Combinando las dos últimas ecuaciones:

202

002020

1

)()(1

)(1

c

gen

cccc

gen

cc

gen

kE

kkEEkk-

EkkE

mwe

mwemwe

2

2

222

cgenc nc

kw

mew

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

00

22

em

meme

gen

genc cn

Definimos el índice de refracción complejo del medio como:

kc es complejo:

inn

aikk

c

c

con k (vector de ondas), a (vector de atenuación), n ( índice de refracción)

y (índice de absorción) reales,

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

)(0, trkira eeEtrE w

w

w

nc

ak

nc

ak

2

2

22

2

222 )(

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

1. En general los vectores k y a no serán paralelos y por tanto E no será

una función de k·r. A estas ondas las llamaremos ondas “planas

inhomogéneas”:

“Los planos de amplitud constante no coinciden con los planos de

fase constante”

2. Los vectores E0, H0 y kc no forman un triedro ortogonal: intervienen

vectores complejos.

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

Medios transparentes

Para estos medios el índice de absorción es nulo: =0.

0

2

2

222

ak

nc

ak

w

a) a=0. En este caso la onda es plana y los vectores E, H y k

forman un triedro ortogonal.

medio

nnc

k

w 22

0

Ahora la en el medio es medio= 0/n.

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

¿Cuál es ahora la velocidad de fase de la onda?

n

c

kv

ctetzk

fase

w

w

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

b) a0

a y k son perpendiculares. Por ejemplo:

)(0

tkxiazeeEE w

Onda armónica pero no es plana

2

2

22 n

ca

kv fase

w

ww

No podemos decir qué ángulo forma E con k o a.

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

Frente de ondas

Planos de amplitud constante

a

k

z

x

vfase

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

velocidad de grupo - paquete de ondas casi-monocromático

ww

ww

wwww0

0

))((0 )(),( tzkieEdtzE

0ww

0

0 0( ) ( ) ( ) ( )dk

k n kc d w

ww w w w w

w

))(( 00),(~

),(tzki

etzEtzEww

tzd

dkEeEdtzE

tzd

dki

0

0

0

0

0 ~)(),(

~)(

0w

ww

ww

www

www

w

Vg

la envolvente (grupo) se propaga sin deformarse a la velocidad de grupo

envolvente del grupo

ww

ww

d

dnn

c

d

dnn

c

d

dkvg

0

1

Medios absorbentes

Para estos medios el índice de absorción no es nulo: 0 (egen complejo).

El vector de ondas es complejo.

a) Si

02

2

w

nc

ak

n y tienen el mismo signo

Si tomamos k0 (| k0 |=w/c) para designar la dirección de k y a:

0

0

ka

knk

00)( knkink cc

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

w

w

nc

ak

nc

ak

2

2

22

2

222 )(

ak

)(0

)(0

000 trknitrknirk ceEeeE,trEww

- Es una onda amortiguada armónica.

- Es una onda homogénea.

- Los vectores E0 y H0 son perpendiculares a k0, pero la parte real de E0

no es perpendicular a la de H0 cuando la polarización es elíptica.

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

)(

0

tzkizaeeEE

w

Para el caso de k | | a :

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

Atenuación en dB por kilómetro: 10

(0)10log

( )

SA

z z S z

ejemplos:

metal 4 1011 dB/km

vidrio vulgar (ventanas, lentes) 4 105 dB/km

vidrio de fibras ópticas 0.1 dB/km

vacío

4

( ) (0)z

S z S e

b) El caso general: >0 :

k y a forman un ángulo distinto de cero o de 90º

02

2

w

nc

ak

n y tienen siempre el mismo signo.

Superficies de amplitud constante y fase constante no coinciden.

Ejemplo de medio absorbente: los metales (~3). Para un amplio

rango de frecuencias.

Ejemplo de medio transparente: el vidrio (opaco para el UV).

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

w

w

nc

ak

nc

ak

2

2

22

2

222 )(

2/12

2/12

112

112

we

mew

we

mew

a

k

)(

0

tzkizaeeEE

w

2

11

0

o

kal npenetració

2/1

2 1)(1

21

weme

w

kf v

w

f

k

v22

Medio absorbente

Si suponemos

e y reales

Para el caso de k | | a :

Longitud de penetración :

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

Velocidad de fase

y longitud de onda:

Distinta atenuación

Distinta fase

Atenuación de la onda

)(

0

tzkizaeeEE

w

2/12

2/12

112

112

we

mew

we

mew

a

k

Pulso

Tras atravesar el medio el pulso

se ha ensanchado y atenuado.

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

Conductancia muy grande

1/ we we /igen

2/12

2/12

112

112

we

mew

we

mew

a

k

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos

2

mw ak

0

22

2

0

we

n

n

02we

n

we

we

22

1

)1(2

000

0

al

iinn

npenetració

c

Metal n κ

4. Propagación en medios homogéneos e isótropos