1

4 Κεφάλαιο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΥΛΕΣ amp ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Σύνοψη Τα κυκλώματα που διαθέτουν διακόπτες ροής ηλεκτρικού φορτίου χρησιμοποιούνται σε διατάξεις που αναπαράγουν λογικές διαδικασίες για τη λήψη αποφάσεων Στην ενότητα αυτή εξετάζονται διακόπτες αυτού του είδους οι οποίοι καλούνται λογικοί διακόπτες Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν οι μεθοδολογίες εκείνες που επιτρέπουν την κατασκευή πολύπλοκων λογικών διακοπτών με χρήση των στοιχειωδών εξ αυτών

Προαπαιτούμενη Γνώση Αλγεβρα Πινάκων

41 Εισαγωγή στη Μαθηματική Λογική Μια φορά και έναν καιρό ζούσε σε ένα απομονωμένο χωριό ένας κουρέας Μερικοί λένε ότι έζησε στη Σεβίλλη αλλά αυτό δεν έχει ιδιαίτερη σημασία Στο μέρος εκείνο υπήρχε ένας απαράβατος κανόνας οι άνδρες είτε ξυρίζονταν μόνοι τους ή τους ξύριζε ο κουρέας Επιπλέον συνθήκη στον κανόνα αυτόν ήταν ότι ο κουρέας ξύριζε μόνο τους άντρες που δεν γνώριζαν την τεχνική του ξυρίσματος δηλαδή εκείνους που δεν ξύριζαν τον εαυτό τους

Προκύπτει λοιπόν το ερώτημα Πώς ξυριζόταν ο κουρέας Ας δεχθούμε ως απάντηση ότι ξυριζόταν μόνος του και ας υποθέσουμε ότι η απάντηση είναι

καταφατική Προκύπτει όμως ότι η απάντηση αυτή αντίκειται στον περιορισμό ότι ξύριζε μόνο όσους δεν ξυριζόταν μόνοι τους

Καταλήγουμε λοιπόν στην εναλλακτική απάντηση Δεν ξυριζόταν μόνος Και αυτή η θέση αντίκειται στον περιορισμό ότι δηλαδή όλοι οι άνδρες της πόλης εκείνης είτε

ξυρίζονταν μόνοι τους ή τους ξύριζε ο κουρέας Τι σημαίνει λοιπόν αυτή η αντίφαση Γιατί πρόκειται περί αντίφασης εκτός αν ο κουρέας ζούσε

εκτός της πόλης ή αν ήταν γυναίκα ή σπανός Τίποτε από αυτά όμως δεν συμβαίνει γιατί η ιστορία αναιρεί κάθε προσπάθεια τέτοιας ερμηνείας καθώς αναφέρεται στον κουρέα με το αριθμητικό προσδιορισμό laquoέναςraquo και όχι laquoμιαraquo και θέτει ερώτημα για το ξύρισμα του κουρέα που σημαίνει ότι δεν ήταν σπανός

Το παράδειγμα αυτό είναι ένα από τα πολλά γνωστά παραδείγματα που οδηγούν σε αδιέξοδο τη λογική Ονομάζεται το παράδοξο του Russell καθώς αναφέρθηκε πρώτα από τον Bertrand Russell που θεωρείται ως μια εκ των σημαντικότερων μορφών που ασχολήθηκαν με τη μαθηματική Λογική Στη λογική προτάσεις που αντικρούουν η μια την άλλη καλούνται ασυνεπείς προς άλληλες ή αντίνομες Δεν είναι ψευδείς καθώς η αλήθεια της μίας συνεπάγει την άρνηση της άλλης Με το παράδειγμα αυτό ο Russell θέλει να δείξει ότι η έννοια του συνόλου των συνόλων παρουσιάζει μια λογική ασυνέπεια Αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι το σύνολο των συνόλων πρέπει να περιέχει τον εαυτό του Παρουσιάζει λοιπόν ταυτόχρονα τις ιδιότητες του περιέχειν και περιέχεσθαι Αυτό οδηγεί σε μια σειρά από λογικές αντινομίες

Ο Russell αλληλογράφησε με τον Frege σχετικά με τις εμπλοκές αυτές Αργότερα με το θέμα ασχολήθηκε ο Wintgenstein Τελικά απάντηση στα ερωτήματα του Russell έδωσe ο Goumldel όταν δημοσίευσε τα περίφημα θεωρήματα της μη πληρότητας που έδωσαν τέλος στην προσπάθεια των μαθηματικών του 20 αιώνα να στηρίξουν την άποψη του Hilbert περί της μη αποδοχής του ldquoignorabimusrdquoi

Με το παράδειγμα αυτό φαίνονται ορισμένες laquoεμπλοκέςraquo στη νοητική διαδικασία του ανθρώπου που οδηγούν στην ανάγκη υιοθέτησης κανόνων και κωδίκων ικανών να οργανώσουν τη λογική με αναλλοίωτο τρόπο Φυσική συνέπεια αυτής της ανάγκης υπήρξε η ανάπτυξη της μαθηματικής λογικής που οφείλει τη γέννησή της στο έργο του John Booleii

i Ότι δηλαδή δεν υπάρχει μη αποδεικτέα πρόταση (από τη λατινική λέξη ignoramus που σημαίνει άγνοια) ii httpenwikipediaorgwikiGeorge_Boole

2

Η μαθηματική λογική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών και της επιστήμης υπολογιστών με στενή σχέση και με τη φιλοσοφική λογική[1] Το πεδίο περιλαμβάνει τη μαθηματική μελέτη της λογικής και τις εφαρμογές της τυπικής λογικής σε άλλες περιοχές των μαθηματικών Οι βασικότερες ιδέες στη μαθηματική λογική περιλαμβάνουν τη μελέτη της εκφραστικής ισχύος των τυπικών συστημάτων και της συμπερασματικής ισχύος των συστημάτων τυπικών αποδείξεων

Η μαθηματική λογική διαιρείται συχνά στα υποπεδία θεωρία συνόλων θεωρία μοντέλων θεωρία αναδρομής και θεωρία αποδείξεων και κατασκευαστικά μαθηματικά Οι περιοχές αυτές μοιράζονται βασικά αποτελέσματα πάνω στη λογική και ειδικά στη λογική πρώτου βαθμού και την ορισιμότητα

Από τη γέννησή της η μαθηματική λογική έχει συμβάλει αλλά και ωθείται από τη μελέτη των θεμελίων των μαθηματικών Η μελέτη αυτή ξεκίνησε στο τέλος του 19ου αιώνα με την ανάπτυξη των αξιωματικών πλαισίων για τη γεωμετρία την αριθμητική και την ανάλυση Στην αρχή του 20ού αιώνα διαμορφώθηκε από το πρόγραμμα του David Hilbert για την απόδειξη της συνέπειας των θεμελιακών θεωριών Η εργασία πάνω στη θεωρία συνόλων έδειξε ότι σχεδόν όλα τα συνηθισμένα μαθηματικά μπορούν να διατυπωθούν με βάση τα σύνολα αν και υπάρχουν κάποια θεωρήματα που δεν μπορούν να αποδειχθούν στα συνήθη αξιωματικά συστήματα για τη θεωρία συνόλων Η σύγχρονη μελέτη στα θεμέλια των μαθηματικών συχνά εστιάζει στο να θεσπίσει ποια κομμάτια των μαθηματικών μπορούν να διατυπωθούν σε συγκεκριμένα τυπικά συστήματα και όχι στο να αναπτύξει θεωρίες από όπου αναπτύσσονται όλα τα μαθηματικά

Η σύγχρονη μαθηματική λογική διαιρείται περίπου σε τέσσερις περιοχές θεωρία συνόλων θεωρία μοντέλων θεωρία αναδρομής και θεωρία αποδείξεων και κατασκευαστικά μαθηματικά Κάθε μια απο αυτές τις περιοχές έχει ιδιαίτερο αντικείμενο μελέτης αν και πολλές τεχνικές και αποτελέσματα είναι κοινά Τα σύνορα μεταξύ των πεδίων αυτών και ακόμα μεταξύ της μαθηματικής λογικής και άλλων πεδίων των μαθηματικών δεν είναι πάντα καθαρά Για παράδειγμα το θεώρημα μη-πληρότητας του Γκέντελ όχι μόνο αποτελεί σταθμό στη θεωρία αναδρομής και τη θεωρία αποδείξεων αλλά και έχει οδηγήσει στο θεώρημα Λόεμπ το οποίο είναι σημαντικό στην τροπική λογική Το μαθηματικό πεδίο της θεωρίας κατηγοριών χρησιμοποιεί πολλές τυπικές αξιωματικές μεθόδους που θυμίζουν αυτές που χρησιμοποιούνται στη μαθηματική λογική αλλά η θεωρία κατηγοριών δεν θεωρείται συνήθως υποπεδίο της μαθηματικής λογικής

Στον πυρήνα της η μαθηματική λογική χειρίζεται μαθηματικές έννοιες που εκφράζονται χρησιμοποιώντας τυπικά συστήματα λογικής Τα συστήματα αυτά αν και διαφέρουν σε πολλές λεπτομέρειες μοιράζονται την κοινή ιδιότητα του να εξετάζουν μόνο εκφράσεις σε κάποια συγκεκριμένη τυπική γλώσσα Το σύστημα της λογικής πρώτου βαθμού (first-order logic) έχει μελετηθεί περισσότερο λόγω της εφαρμογής του στα θεμέλια των μαθηματικών και λόγω των επιθυμητών του ιδιοτήτων[2] Μελετώνται επίσης εκφραστικότερες κλασικές λογικές όπως η λογική δευτέρου βαθμού (second-order logic) ή η απειρική λογική (infinitary logic) αλλά και μη κλασικές λογικές όπως η διαισθητική λογική (intuitionistic logic) 411 Λογική Πρώτου Βαθμού Η λογική πρώτου βαθμού είναι ένα συγκεκριμένο λογικό σύστημα Η σύνταξή της περιέχει μόνο πεπερασμένες εκφράσεις ως καλά ορισμένες προτάσεις ενώ η σημασιολογία της χαρακτηρίζονται από τον περιορισμό όλων των ποσοδεικτών σε κάποιο συγκεκριμένο πεδίo

Αρχικά αποτελέσματα για την τυπική λογική θέσπισαν περιορισμούς για την πρωτοβάθμια λογική το θεώρημα LoumlwenheimndashSkolem (1919) έδειξε ότι αν ένα σύνολο προτάσεων σε μια αριθμήσιμη πρωτοβάθμια γλώσσα έχει ένα άπειρο μοντέλο τότε έχει τουλάχιστον ένα μοντέλο από κάθε άπειρη πληθικότητα Αυτό δείχνει ότι είναι αδύνατο για ένα σύνολο από πρωτοβάθμια αξιώματα να χαρακτηρίζει τους φυσικούς αριθμούς τους πραγματικούς ή οποιαδήποτε άλλη άπειρη δομή διαφέρει μέχρι ένα ισομορφισμό Δεδομένου ότι ο στόχος των αρχικών θεμελιακών μελετών ήταν να παραχθούν αξιωματικές θεωρίες για όλα τα κομμάτια των μαθηματικών βλέπουμε ότι προέκυπτε ένας ιδιαίτερα άκαμπτος περιορισμός

Το θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ (Goumldel 1929) θέσπισε την ισοδυναμία μεταξύ σημασιολογικών και συντακτικών ορισμών της λογικής συνέπειας στην πρωτοβάθμια λογική Δείχνει ότι αν μια συγκεκριμένη πρόταση είναι αληθής σε κάθε μοντέλο που ικανοποιεί ένα συγκεκριμένο σύνολο αξιωμάτων τότε θα πρέπει να υπάρχει πεπερασμένος συλλογισμός που συμπεραίνει την πρόταση από τα αξιώματα Το θεώρημα συμπαγότητας (compactness theorem) πρώτα εμφανίστηκε ως λήμμα στην απόδειξη του θεωρήματος πληρότητας του Γκέντελ και χρειάστηκαν αρκετά χρόνια μέχρι να κατανοηθεί η σημασία του και να φτάσει να εφαρμόζεται τακτικά Αναφέρει ότι ένα σύνολο προτάσεων έχει μοντέλο αν και μόνο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο έχει μοντέλο ή με άλλα λόγια ότι ένα ασυνεπές σύνολο από προτάσεις θα

3

πρέπει να έχει κάποιο πεπερασμένο ασυνεπές υποσύνολο Τα θεωρήματα πληρότητας και συμπαγότητας επιτρέπουν εξελιγμένη ανάλυση της λογικής συνέπειας στην πρωτοβάθμια λογική και την ανάπτυξη της θεωρίας μοντέλων και αποτελούν βασικό λόγο για τη διάδοση της λογικής πρώτου βαθμού στα μαθηματικά

Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ (Goumldel 1931) θεσπίζουν περαιτέρω όρια στις πρωτοβάθμιες αξιωματικοποιήσεις Το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας αναφέρει ότι κανένα επαρκώς ισχυρό αποτελεσματικό λογικό σύστημα δεν μπορεί να αποδείξει τη συνέπεια του εαυτού του παρά μόνο αν δεν είναι στην πραγματικότητα συνεπές Λέγοντας αποτελεσματικό εννοούμε ότι είναι δυνατό να αποφασιστεί δεδομένης μιας πρότασης στη γλώσσα του συστήματος αν αυτή η πρόταση είναι αξίωμα Όταν εφαρμόζεται στην πρωτοβάθμια λογική το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας συνεπάγεται ότι κάθε πρωτοβάθμια θεωρία που είναι αρκετά ισχυρή συνεπής και αποτελεσματική έχει μοντέλα που δεν είναι στοιχειωδώς ισοδύναμα Αυτό είναι ισχυρότερος περιορισμός από αυτόν που τίθεται λόγω του θεωρήματος LoumlwenheimndashSkolem Το δεύτερο θεώρημα μη-πληρότητας εκφράζει ότι κανένα επαρκώς ισχυρό συνεπές αποτελεσματικό αξιωματικό σύστημα για την αριθμητική δεν μπορεί να αποδείξει τη συνέπεια του εαυτού του πράγμα που σημαίνει ότι το πρόγραμμα του Χίλμπερτ δεν γίνεται να υλοποιηθεί 42 Διακόπτες και Πύλες Έστω ότι ο βομβητής που ειδοποιεί τον οδηγό ενός οχήματος για μια ενέργεια ή μια σειρά ενεργειών που πρέπει να κάνει για να αυξήσει τις συνθήκες ασφάλειας στάθμευσης ή οδήγησης του οχήματος ενεργοποιείται για ένα ή περισσότερους από τiς ακόλουθες καταστάσεις

bull Υ1 Τα φώτα πορείας είναι αναμμένα bull Υ2 Το κλειδί της μηχανής βρίσκεται στη θέση του bull Υ3 Ο κινητήρας είναι σε κατάσταση λειτουργίας bull Υ4 Η πόρτα είναι ανοιχτή bull Υ5 Η ζώνη ασφαλείας του οδηγού είναι δεμένη

Οι καταστάσεις αυτές αποτελούν λογικές προτάσεις και ως τέτοιες υπακούν στην αρχή του δυϊσμού είτε είναι αληθείς είτε είναι ψευδείς Έτσι η εξακρίβωση της ισχύος κάθε μιας από αυτές θα μπορούσε να συνδυαστεί με κατάλληλη τροφοδότηση με ισχύ του βομβητή έτσι ώστε να τον ενεργοποιεί όταν προκύπτει θέμα ασφάλειας Αν λόγου χάρη η Υ1 είναι αληθής και η Υ2 ψευδής τότε ο βομβητής ηχεί επειδή ο οδηγός ξέχασε τα φώτα αναμμένα Αν η Υ2 Υ3 και Υ4 είναι αληθής ο βομβητής πρέπει να ενεργοποιείται

Το παράδειγμα αυτό περιγράφει μια ακόμα γνωστή εφαρμογή των κυκλωμάτων διακοπτών που περιλαμβάνει μια πλειάδα διακοπτών Κάθε διακόπτης μπορεί να ανοίγει χάρη στην παροχή ενός ρεύματος διακόπτη όπως φαίνεται στο Σχήμα 421

Σχήμα 421 Η λειτουργία του διακόπτη όπου διακρίνεται η πηγή που παρέχει ισχύ στον διακόπτη (ρεύμα διακόπτη) Στους ηλεκτρονικούς αυτοματισμούς και τους υπολογιστές χρησιμοποιούνται μεγάλες συλλογές διακοπτών Οι διακόπτες αυτοί συνδέονται με διάφορους τρόπους έτσι ώστε η συνδυασμένη δράση τους να εκτελεί σχετικά σύνθετες λογικές διαδικασίες Τα κυκλώματα αυτά καλούνται κυκλώματα διακοπτών iii Με τη διέλευση ηλεκτρικού ρεύματος κάθε διακόπτης επιτρέπει η απαγορεύει τη διέλευση του ρεύματος στο σημείο του κυκλώματος όπου είναι τοποθετημένος Το ρεύμα που διαρρέει έναν διακόπτη καλείται ρεύμα

iii Switching circuits

4

διακόπτουiv Όταν ένας διακόπτης είναι κλειστός διαρρέεται από ρεύμα έντασης 1 ενώ όταν είναι ανοιχτός το διερχόμενο ρεύμα έχει ένταση 0

Διακρίνονται διάφοροι τρόποι σύνδεσης του βασικού αυτού διακόπτη σε ένα κύκλωμα διακοπτών Οι πλέον βασικοί τρόποι είναι αυτοί οι οποίοι προσομοιώνουν τρεις βασικές λογικές διεργασίες την άρνηση τη σύζευξη και τη διάζευξη Τα αντίστοιχα κυκλώματα καλούνται πύλες που ονομάζονται πύλη ΝΟΤ πύλη OR και AnD

Η πύλη nOT που καλείται και πύλη αντιστροφής παρεμβάλλει στο κύκλωμα έναν διακόπτη που

Σχήμα 422 Λειτουργία της πύλης ΝΟΤ (αντιστροφέας)

τροφοδοτείται από μια πηγή με το ρεύμα διακόπτη Η παροχή ρεύματος διακόπτη διακόπτει την παροχή από την έξοδο της πύλης ενώ αντίθετα η διακοπή του ρεύματος διακόπτη στην είσοδο της πύλης επιτρέπει την παροχή ρεύματος στην έξοδο της πύλης Ορισμός 421 Πίνακας λειτουργίας του κυκλώματος είναι ό πίνακας που περιγράφει τις καταστάσεις της (ή των εισόδων) και της εξόδου μιας λογικής πύλης

Πίνακας 421 Ο πίνακας λειτουργίας της πύλης nOT και η γραφική της παράσταση

α α

0 1 1 0

Στο επόμενο σχήμα φαίνεται ο τρόπος λειτουργία της πύλης nOT Όταν στην είσοδο παρέχεται το συγκεκριμένο σήμα στην έξοδο λαμβάνεται ανεστραμμένο

Σχήμα 423 Η πύλη nOT και παράδειγμα ψηφιακού σήματος στην είσοδο και στην έξοδο αυτής Οι πύλες AnD και OR έχουν δυο εισόδους Η πρώτη από αυτές αποτελείται από δυο διακόπτες συνδεμένους εν σειρά όπως φαίνεται στο Σχήμα 424

iv Switch current

5

Σχήμα 424 Η πύλη AnD και οι διακόπτες τοποθετημένοι εν σειρά Οι είσοδοι φέρουν ρεύμα διακόπτη και ενεργοποιούν τους δυο διακόπτες Η συνδεσμολογία αυτή δεν επιτρέπει να υπάρχει ρεύμα στην έξοδο αν δεν είναι κλειστοί και οι δυο διαόπτες Η πύλη AnD επιτρέπει τη δίοδο ρεύματος όταν υπάρξει ρεύμα διακόπτου και στις δυο εισόδους ενώ αποκλείει την έξοδο όταν τουλάχιστον μια εκ των δύο εισόδων δεν δέχεται ρεύμα διακόπτη Αν οι καταστάσεις εισόδου δηλωθούν με α και β τότε η έξοδος θα είναι αandβ που σημαίνει α και β Ο Πίνακας 422 περιγράφει τη λειτουργία της πύλης AnD Πίνακας 422 Ο πίνακας λειτουργίας της πύλης AnD και η γραφική της παράσταση

α β αΛβ

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Πύλες AnD με περισσότερες εισόδους διαμορφώνονται σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράφηκε Για παράδειγμα η πύλη AnD τριών εισόδων θα έχει την μορφή

Σχήμα 425 Πύλη AnD τριών εισόδων Η πύλη δυο εισόδων OR που συχνά καλείται και πύλη διάζευξης δυο σημείων αποτελείται από δυο διακόπτες συνδεμένους παράλληλα Όπως φαίνεται στο Σχήμα 426 κάθε διακόπτης παραμένει ανοιχτός αν δεν παρέχεται ρεύμα διακόπτη

Σχήμα 426 Πύλη IF δυο εισόδων Αν οι καταστάσεις εισόδου δηλώνονται με α και β τότε η κατάσταση εξόδου είναι αVβ (α ή β) Στον Πίνακα 423 αποτυπώνεται η λειτουργία του διακόπτη

6

Πίνακας 423 Ο πίνακας λειτουργίας της πύλης IF και η γραφική της παράσταση α β αVβ

0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

Μια πύλη OR με περισσότερες από μια εισόδους περιέχει αντίστοιχο με αυτές αριθμό διακοπτών Στο Σχήμα 427 απεικονίζεται μια πύλη τριών εισόδων

Σχήμα 427 Πύλη IF τριών εισόδων Στον Πίνακα 424 αποτυπώνονται οι δυνατές καταστάσεις των πυλών AnD και OR τριών εισόδων Πίνακας 424 Ο πίνακας λειτουργίας της πύλης IF και η γραφική της παράσταση

α β γ αΛβΛ γ αVβVγ

0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1

Η εναλλαγή των στοιχείων στnν n-στη στήλη ενός πίνακα n εισόδων γίνεται με εναλλαγή 2n το πλήθος μηδενικών (0) και μονάδων (1) 43 Κυκλώματα και Προτάσεις Είναι δυνατό να κατασκευαστούν πολλά διαφορετικά κυκλώματα-διακόπτες αν συνδεθούν με διαφορετικό τρόπο οι βασικές πύλες που προηγουμένως περιγράφηκαν Ένας απλός αλγόριθμος για τον σχεδιασμό ενός κυκλώματος με προκαθορισμένη λειτουργία είναι ο Αλγόριθμος 431 Πριν όμως προχωρήσουμε στην παρουσίαση και ανάλυση της λειτουργίας του αλγόριθμου αυτού θα αναφέρουμε μερικούς νέους χρήσιμους όρους και ορισμούς

Ας θεωρήσουμε το άγνωστο κύκλωμα-διακόπτη με n εισόδους α β γ ω και μια έξοδο Φ όπως φαίνεται στο Σχήμα 431

Σχήμα 431 Διάταξη πολλαπλών εισόδων και μιας εξόδου

7

Η λειτουργία του κυκλώματος αυτού περιγράφεται πλήρως με τη βοήθεια ενός πίνακα που δίνει τις τιμές 0 ή 1 σε κάθε δυνατό συνδυασμό των 0 και 1 που αντιστοιχούν στις καταστάσεις εισόδου α β γ ω Ο πίνακας αυτός καλείται πίνακας λειτουργίας Αν οι είσοδοι είναι n πίνακας λειτουργίας που αντιστοιχεί στις εισόδους α1 α2 hellip αn έχει 2n στήλες Την παρατήρηση αυτή μπορείτε να επαληθεύσετε αμέσως αν παρατηρήσετε τους πίνακες 41 42 43 και 44 Το σύνολο πινάκων με n εισόδους είναι 22

n

Σύμφωνα με αυτή την παρατήρηση ο συνολικός αριθμός πινάκων με δύο εισόδους είναι

222 =16 Δύο κυκλώματα λέγονται ισοδύναμα αν περιγράφονται με τον ίδιο πίνακα λειτουργίας Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τις εξόδους κυκλωμάτων που είναι κατασκευασμένα εξ ολοκλήρου με πύλες AnD OR και nOT Οι είσοδοι σε τέτοια κυκλώματα ονομάζονται μεταβλητές Η έξοδος τέτοιου κυκλώματος καλείται πρόταση (ή και φράση) Έτσι λοιπόν η πρόταση στις μεταβλητές α1α2hellipαn είναι κάθε πρόταση που μπορεί να δομηθεί από τις α1α2hellipαn όπου κάθε μεταβλητή μπορεί να χρησιμοποιηθεί όσες φορές θέλουμε δια μέσου πεπερασμένου αριθμού αρνήσεων (χρήση της πύλης nOT) συζεύξεων (χρήση της πύλης AnD) και διαζεύξεων (χρήση της πύλης OR) Το επόμενο είναι ένα παράδειγμα μια φράσης στις α1α2α3 με έξοδο 119891 [[(αrsquo2orα3)and(αrsquo1andα2andα3)]orαrsquo3]rsquo=119891(1) Οι μεταβλητές και οι αρνήσεις του θα καλούνται στο εξής γραμματικά στοιχεία (literals) Όροι θα καλούνται είτε μεμονωμένα γραμματικά στοιχεία είτε οι συζεύξεις (ή διαζεύξεις) πεπερασμένου αριθμού γραμματικών στοιχείων Έτσι στην πρόταση (1) τα γραμματικά στοιχεία είναι α1αrsquo1α2αrsquo2α3αrsquo3 ενώ οι όροι είναι αrsquo2α3αrsquo1andα2andα3 και αrsquo3 Με όσα είπαμε παραπάνω είναι τώρα εύκολο να σχεδιάσουμε μια πρόταση Για τη φράση (1) λόγου χάρη σχεδιάζουμε πρώτα τους όρους

Σχήμα 432 Φάση Α στη συνέχεια συνδέουμε του δύο πρώτους με AnD

8

Σχήμα 433 Φάση Β συνδέουμε το σχήμα αυτό με τον τελευταίο όρο με ένα OR και αντιστρέφουμε την έξοδο με ένα nOT

Σχήμα 434 Φάση Γ Τελικά συνδέουμε τις κοινές εισόδους όπως φαίνεται στην επόμενη εικόνα

Σχήμα 435 Φάση Δ Στη συνέχεια θα δούμε πως δομείται μια πρόταση με τη βοήθεια πληροφοριών που παίρνουμε από ένα πίνακα λειτουργίας Για να πετύχουμε κάτι τέτοιο εισάγουμε έναν τύπο φράσης που θα καλείται διαζευτική μορφή Ορισμός 431 Η διαζευκτική μορφή είναι ένας μοναδικός όρος ή σε άλλες περιπτώσεις διάζευξη όρων όπου κάθε όρος είναι είτε γραμματικό στοιχείο ή σύζευξη γραμματικών στοιχείων

9

Ας υποθέσουμε γα παράδειγμα πως ένα κύκλωμα έχει μια έξοδο f και τέσσερεις εισόδους αrsquo1 α2 α3 και α4 Ο όρος αυτός παίρνει την τιμή 1 εάν και μόνον εάν α1=1 α2=0 α3=0 α4=1 Για κάθε άλλη τιμή των μεταβλητών ο όρος αυτός είναι 0 Αν καταγράψουμε περισσότερους όρους στους οποίους για κατάλληλες καταστάσεις των μεταβλητών η 119891 παίρνει την τιμή 1 τότε η διάζευξη αυτών των όρων θα είναι η απαιτούμενη φράση Αλγόριθμος 431 Για να γράψουμε τη διαζευτική μορφή για κύκλωμα με εισόδους α1α2hellipαn και έξοδο 119891

bull Εάν 119891=0 για όλες τις τιμές τότε γράφουμε τη μορφή α1andαrsquo1 αν 119891=1 για όλες τις τιμές γράφουμε μορφή α1orαrsquo1 Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε συνδυασμό τιμών που δίνουν 119891=1 γράφουμε and andhellipand1 2e e e

1 2a a a n

n όπου ι

ιea είναι

α1 αν α1=1 και ιιea είναι α1 αν α1=0

bull Αν μόνο ένας όρος έχει γραφεί τότε αυτή είναι η τελική μορφή Σε κάθε άλλη περίπτωση η τελική μορφή είναι η διάζευξη όλων των όρων που έχουν γραφεί

Πρόβλημα 431 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα τριών εισόδων που έχει έξοδο 1 αν και μόνον αν τουλάχιστον δύο είσοδοι είναι 1 Λύση Το πρώτο βήμα του Αλγόριθμου 431 δεν εφαρμόζεται για αυτό εφαρμόζουμε το βήμα 2 ως εξής είσοδος που δίνει 119891=1 Πίνακας 431

α1 α2 α3 Όρος που αντιστοιχεί 0 1 1 α1΄andα2andα3 1 0 1 α1andα2΄andα3 1 1 0 α1andα2andα3΄ 1 1 1 α1andα2andα3

Τότε f=(α₁˄andα₂˄andα₃)or(α₁˄andα₂˄andα₃)˅or(α₁˄andα₂˄andα₃)or˅(α₁˄andα₂˄andα₃) To σχέδιο του κυκλώματος είναι στην παρακάτω εικόνα του Σχήματος 436

Σχήμα 436 Η υλοποίηση σε κύκλωμα διακοπτών της πρότασης f=( a₁˄anda₂˄anda₃)or(a₁˄anda₂˄anda₃)˅or( a₁˄anda₂˄anda₃)or˅( a₁˄anda₂˄anda₃)

10

Αν ένα κύκλωμα-διακόπτης με n εισόδους έχει έξοδο 119891=1 για περισσότερους από τους μισούς συνδυασμούς καταστάσεων εισόδων δηλαδή για περισσότερο από το 2n-1 τέτοιων συνδυασμών τότε η ακόλουθη προσαρμογή θα οδηγήσει σε σχεδιασμό κυκλώματος με λιγότερες πύλες

Με χρήση του Αλγόριθμου 431 σχεδιάζουμε κύκλωμα με έξοδο 119891 Αντιστρέφουμε το σήμα εξόδου δια μέσου μιας πύλης αντιστροφής ΝΟΤ για να καταλήξουμε το

σήμα εξόδου 119891 Πρόβλημα 432 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τέσσερις εισόδους που έχει έξοδο 1 αν και μόνο αν δύο ή περισσότερες είσοδοι είναι 1 Λύση Υπάρχουν 24=16 συνδυασμοί καταστάσεων εισόδου Συνολικά μόνο 5 από αυτούς δίνουν έξοδο 119891=0 Έτσι το κανονικό διάγραμμα θα αποτελείται από 11 πύλες AnD 4 πύλες ΝΟΤ και μία πύλη OR Εφόσον 119891=1 για 16-5=11 συνδυασμούς καταστάσεων εισόδου επιλέγουμε τον αναπροσαρμοσμένο αλγόριθμο που μόλις περιγράψαμε Θεωρούμε μόνο εκείνες τις περιπτώσεις συνδυασμών εισόδου για τις οποίες 119891΄=1 που σημαίνει 119891=0 Πίνακας 432 Καταστάσεις για τις οποίες f=0 α1 α2 α3 α4 Όρος που αντιστοιχεί 0 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 0 1 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 1 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 1 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 1 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄

Άρα 119891=[(α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)] Το σχέδιο είναι στο Σχήμα 437 που ακολουθεί

Σχήμα 437 Αυτό το κύκλωμα έχει 5 πύλες AnD 5 πύλες ΝΟΤ και μια πύλη OR 44 Άλγεβρα Boole Δυο προτάσεις x και y είναι ισοδύναμες αν έχουν τον ίδιο πίνακα λειτουργίας Η ισοδυναμία των προτάσεων παριστάνεται με την έκφραση xequivy

11

Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σειρά τιμών που λαμβάνουν οι μεταβλητές x και y οι τιμές αυτές είναι ίδιες Εφαρμογή 441 Να δειχτεί ότι οι προτάσεις x=βandα και y=αand(βandα) είναι ισοδύναμες Πράγματι ο πίνακας λειτουργίας είναι

α β βandα αand(βandα) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 xequivy

Η ύπαρξη ισοδύναμων προτάσεων μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι κάθε πρόταση μπορεί να διατυπωθεί με διαφορετικές μορφές αρκεί για κάθε νέα διατύπωσή της να είναι ισοδύναμη με τις προηγούμενες Η υπόθεση αυτή είναι πραγματοποιήσιμη εφόσον οι αναδιατυπώσεις της αρχικής προκύπτουν μετά από την εφαρμογή ενός ή περισσότερων νόμων της άλγεβρας Boole Μια σημαντική εφαρμογή μιας τέτοιας διαδικασίας είναι η διατύπωση μιας λογικής πρότασης με τον πιο οικονομικό τρόπο δηλαδή μια σύντομη μορφή Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας Αλγόριθμος 441 που μετατρέπει μια λογική πρόταση στη Σύντομη Διαζευκτική Μορφή (ΣΔΜ) Προηγουμένως όμως θα πρέπει να αναφερθεί μια σειρά από ορισμούς και προτάσεις απαραίτητες για την ανάπτυξη του αλγόριθμου για την αναδιατύπωση πρότασης στη ΣΔΜ της

Τα αποτελέσματα της Εφαρμογής 441 γενικεύονται αν στη θέση των μεταβλητών α και β τεθούν οι λογικές προτάσεις x και y όποτε προκύπτει η ισοδυναμία xand(yandx)equivyandx(1) Από την παρατήρηση αυτή προκύπτει η αρχή της αντικατάστασης Θεώρημα 441 Σε μια ισοδυναμία κάθε μεταβλητή μπορεί να αντικατασταθεί από μια πρόταση και κάθε πρόταση μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη πρόταση

Πρόβλημα 441 Να δειχτεί ότι (αorβ)and[(γorδorε)and(αor)]equiv(γorδorε)and(αorβ) Είναι προφανής η ισχύς της πρότασης διότι αυτή έχει προέλθει από την (1) με αντικαταστάσεις του x=(αorβ)και y=γorδorε

Πρόκειται στη συνέχεια να παρουσιάσουμε έναν αριθμό ισοδυναμιών οι οποίες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη διαδικασία επαναδιατύπωσης των προτάσεων Οι ισοδυναμίες αυτές ονομάζονται και νόμοι της Άλγεβρας Boole προς τιμή του George Boole (1815ndash1864) Η χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole επιτρέπει τη μετατροπή μιας πρότασης σε μια ισοδύναμη συντομότερη μορφή Σημειώνουμε με 1 την πρόταση της οποίας η τιμή παραμένει 1 για κάθε συνδυασμό τιμών των λογικών στοιχείων που τη συγκροτούν Σε ένα κύκλωμα διακόπτη 1 σημαίνει μόνιμα ανοικτό Για όλες τις προτάσεις x y και z Πίνακας 441 Οι νόμοι της άλγεβρας Boole για τους οποίους ισχύει η αρχή του δυισμού ως προς τις λογικές πράξεις της σύζευξης και της διάζευξης

Ονοματολογία Ιδιότητες Ταυτοτικοί Νόμοι xorxequivx και xandxequivx Αντιμεταθετικοί νόμοι xoryequivyorx και xandyequivyandx Προσεταιριστικοί νόμοι xor(yandz)equiv(xory)and(xorz) και xand(yorz)equiv(xandy)or(xandz) Επιμεριστικοί νόμοι xor(yorz)equiv(xory)orz και xand(yandz)equiv(xandy)andz Νόμοι της απορρόφησης xor(yandz)equivx και xand(xory)equivx Νόμοι του φραγμένου xand0equiv0 και xor1equiv1 xand1equivx και xor0equiv0 Νόμοι του συμπληρώματος xandxequiv0 και xorxequiv1 Νόμοι της ενέλιξης (x)equivx Νόμοι De Morgan (xandy)equivxory και (xory)equivxandy

5

Σχήμα 424 Η πύλη AnD και οι διακόπτες τοποθετημένοι εν σειρά Οι είσοδοι φέρουν ρεύμα διακόπτη και ενεργοποιούν τους δυο διακόπτες Η συνδεσμολογία αυτή δεν επιτρέπει να υπάρχει ρεύμα στην έξοδο αν δεν είναι κλειστοί και οι δυο διαόπτες Η πύλη AnD επιτρέπει τη δίοδο ρεύματος όταν υπάρξει ρεύμα διακόπτου και στις δυο εισόδους ενώ αποκλείει την έξοδο όταν τουλάχιστον μια εκ των δύο εισόδων δεν δέχεται ρεύμα διακόπτη Αν οι καταστάσεις εισόδου δηλωθούν με α και β τότε η έξοδος θα είναι αandβ που σημαίνει α και β Ο Πίνακας 422 περιγράφει τη λειτουργία της πύλης AnD Πίνακας 422 Ο πίνακας λειτουργίας της πύλης AnD και η γραφική της παράσταση

α β αΛβ

0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Πύλες AnD με περισσότερες εισόδους διαμορφώνονται σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράφηκε Για παράδειγμα η πύλη AnD τριών εισόδων θα έχει την μορφή

Σχήμα 425 Πύλη AnD τριών εισόδων Η πύλη δυο εισόδων OR που συχνά καλείται και πύλη διάζευξης δυο σημείων αποτελείται από δυο διακόπτες συνδεμένους παράλληλα Όπως φαίνεται στο Σχήμα 426 κάθε διακόπτης παραμένει ανοιχτός αν δεν παρέχεται ρεύμα διακόπτη

Σχήμα 426 Πύλη IF δυο εισόδων Αν οι καταστάσεις εισόδου δηλώνονται με α και β τότε η κατάσταση εξόδου είναι αVβ (α ή β) Στον Πίνακα 423 αποτυπώνεται η λειτουργία του διακόπτη

6

Πίνακας 423 Ο πίνακας λειτουργίας της πύλης IF και η γραφική της παράσταση α β αVβ

0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

Μια πύλη OR με περισσότερες από μια εισόδους περιέχει αντίστοιχο με αυτές αριθμό διακοπτών Στο Σχήμα 427 απεικονίζεται μια πύλη τριών εισόδων

Σχήμα 427 Πύλη IF τριών εισόδων Στον Πίνακα 424 αποτυπώνονται οι δυνατές καταστάσεις των πυλών AnD και OR τριών εισόδων Πίνακας 424 Ο πίνακας λειτουργίας της πύλης IF και η γραφική της παράσταση

α β γ αΛβΛ γ αVβVγ

0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1

Η εναλλαγή των στοιχείων στnν n-στη στήλη ενός πίνακα n εισόδων γίνεται με εναλλαγή 2n το πλήθος μηδενικών (0) και μονάδων (1) 43 Κυκλώματα και Προτάσεις Είναι δυνατό να κατασκευαστούν πολλά διαφορετικά κυκλώματα-διακόπτες αν συνδεθούν με διαφορετικό τρόπο οι βασικές πύλες που προηγουμένως περιγράφηκαν Ένας απλός αλγόριθμος για τον σχεδιασμό ενός κυκλώματος με προκαθορισμένη λειτουργία είναι ο Αλγόριθμος 431 Πριν όμως προχωρήσουμε στην παρουσίαση και ανάλυση της λειτουργίας του αλγόριθμου αυτού θα αναφέρουμε μερικούς νέους χρήσιμους όρους και ορισμούς

Ας θεωρήσουμε το άγνωστο κύκλωμα-διακόπτη με n εισόδους α β γ ω και μια έξοδο Φ όπως φαίνεται στο Σχήμα 431

Σχήμα 431 Διάταξη πολλαπλών εισόδων και μιας εξόδου

7

Η λειτουργία του κυκλώματος αυτού περιγράφεται πλήρως με τη βοήθεια ενός πίνακα που δίνει τις τιμές 0 ή 1 σε κάθε δυνατό συνδυασμό των 0 και 1 που αντιστοιχούν στις καταστάσεις εισόδου α β γ ω Ο πίνακας αυτός καλείται πίνακας λειτουργίας Αν οι είσοδοι είναι n πίνακας λειτουργίας που αντιστοιχεί στις εισόδους α1 α2 hellip αn έχει 2n στήλες Την παρατήρηση αυτή μπορείτε να επαληθεύσετε αμέσως αν παρατηρήσετε τους πίνακες 41 42 43 και 44 Το σύνολο πινάκων με n εισόδους είναι 22

n

Σύμφωνα με αυτή την παρατήρηση ο συνολικός αριθμός πινάκων με δύο εισόδους είναι

222 =16 Δύο κυκλώματα λέγονται ισοδύναμα αν περιγράφονται με τον ίδιο πίνακα λειτουργίας Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τις εξόδους κυκλωμάτων που είναι κατασκευασμένα εξ ολοκλήρου με πύλες AnD OR και nOT Οι είσοδοι σε τέτοια κυκλώματα ονομάζονται μεταβλητές Η έξοδος τέτοιου κυκλώματος καλείται πρόταση (ή και φράση) Έτσι λοιπόν η πρόταση στις μεταβλητές α1α2hellipαn είναι κάθε πρόταση που μπορεί να δομηθεί από τις α1α2hellipαn όπου κάθε μεταβλητή μπορεί να χρησιμοποιηθεί όσες φορές θέλουμε δια μέσου πεπερασμένου αριθμού αρνήσεων (χρήση της πύλης nOT) συζεύξεων (χρήση της πύλης AnD) και διαζεύξεων (χρήση της πύλης OR) Το επόμενο είναι ένα παράδειγμα μια φράσης στις α1α2α3 με έξοδο 119891 [[(αrsquo2orα3)and(αrsquo1andα2andα3)]orαrsquo3]rsquo=119891(1) Οι μεταβλητές και οι αρνήσεις του θα καλούνται στο εξής γραμματικά στοιχεία (literals) Όροι θα καλούνται είτε μεμονωμένα γραμματικά στοιχεία είτε οι συζεύξεις (ή διαζεύξεις) πεπερασμένου αριθμού γραμματικών στοιχείων Έτσι στην πρόταση (1) τα γραμματικά στοιχεία είναι α1αrsquo1α2αrsquo2α3αrsquo3 ενώ οι όροι είναι αrsquo2α3αrsquo1andα2andα3 και αrsquo3 Με όσα είπαμε παραπάνω είναι τώρα εύκολο να σχεδιάσουμε μια πρόταση Για τη φράση (1) λόγου χάρη σχεδιάζουμε πρώτα τους όρους

Σχήμα 432 Φάση Α στη συνέχεια συνδέουμε του δύο πρώτους με AnD

8

Σχήμα 433 Φάση Β συνδέουμε το σχήμα αυτό με τον τελευταίο όρο με ένα OR και αντιστρέφουμε την έξοδο με ένα nOT

Σχήμα 434 Φάση Γ Τελικά συνδέουμε τις κοινές εισόδους όπως φαίνεται στην επόμενη εικόνα

Σχήμα 435 Φάση Δ Στη συνέχεια θα δούμε πως δομείται μια πρόταση με τη βοήθεια πληροφοριών που παίρνουμε από ένα πίνακα λειτουργίας Για να πετύχουμε κάτι τέτοιο εισάγουμε έναν τύπο φράσης που θα καλείται διαζευτική μορφή Ορισμός 431 Η διαζευκτική μορφή είναι ένας μοναδικός όρος ή σε άλλες περιπτώσεις διάζευξη όρων όπου κάθε όρος είναι είτε γραμματικό στοιχείο ή σύζευξη γραμματικών στοιχείων

9

Ας υποθέσουμε γα παράδειγμα πως ένα κύκλωμα έχει μια έξοδο f και τέσσερεις εισόδους αrsquo1 α2 α3 και α4 Ο όρος αυτός παίρνει την τιμή 1 εάν και μόνον εάν α1=1 α2=0 α3=0 α4=1 Για κάθε άλλη τιμή των μεταβλητών ο όρος αυτός είναι 0 Αν καταγράψουμε περισσότερους όρους στους οποίους για κατάλληλες καταστάσεις των μεταβλητών η 119891 παίρνει την τιμή 1 τότε η διάζευξη αυτών των όρων θα είναι η απαιτούμενη φράση Αλγόριθμος 431 Για να γράψουμε τη διαζευτική μορφή για κύκλωμα με εισόδους α1α2hellipαn και έξοδο 119891

bull Εάν 119891=0 για όλες τις τιμές τότε γράφουμε τη μορφή α1andαrsquo1 αν 119891=1 για όλες τις τιμές γράφουμε μορφή α1orαrsquo1 Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε συνδυασμό τιμών που δίνουν 119891=1 γράφουμε and andhellipand1 2e e e

1 2a a a n

n όπου ι

ιea είναι

α1 αν α1=1 και ιιea είναι α1 αν α1=0

bull Αν μόνο ένας όρος έχει γραφεί τότε αυτή είναι η τελική μορφή Σε κάθε άλλη περίπτωση η τελική μορφή είναι η διάζευξη όλων των όρων που έχουν γραφεί

Πρόβλημα 431 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα τριών εισόδων που έχει έξοδο 1 αν και μόνον αν τουλάχιστον δύο είσοδοι είναι 1 Λύση Το πρώτο βήμα του Αλγόριθμου 431 δεν εφαρμόζεται για αυτό εφαρμόζουμε το βήμα 2 ως εξής είσοδος που δίνει 119891=1 Πίνακας 431

α1 α2 α3 Όρος που αντιστοιχεί 0 1 1 α1΄andα2andα3 1 0 1 α1andα2΄andα3 1 1 0 α1andα2andα3΄ 1 1 1 α1andα2andα3

Τότε f=(α₁˄andα₂˄andα₃)or(α₁˄andα₂˄andα₃)˅or(α₁˄andα₂˄andα₃)or˅(α₁˄andα₂˄andα₃) To σχέδιο του κυκλώματος είναι στην παρακάτω εικόνα του Σχήματος 436

Σχήμα 436 Η υλοποίηση σε κύκλωμα διακοπτών της πρότασης f=( a₁˄anda₂˄anda₃)or(a₁˄anda₂˄anda₃)˅or( a₁˄anda₂˄anda₃)or˅( a₁˄anda₂˄anda₃)

10

Αν ένα κύκλωμα-διακόπτης με n εισόδους έχει έξοδο 119891=1 για περισσότερους από τους μισούς συνδυασμούς καταστάσεων εισόδων δηλαδή για περισσότερο από το 2n-1 τέτοιων συνδυασμών τότε η ακόλουθη προσαρμογή θα οδηγήσει σε σχεδιασμό κυκλώματος με λιγότερες πύλες

Με χρήση του Αλγόριθμου 431 σχεδιάζουμε κύκλωμα με έξοδο 119891 Αντιστρέφουμε το σήμα εξόδου δια μέσου μιας πύλης αντιστροφής ΝΟΤ για να καταλήξουμε το

σήμα εξόδου 119891 Πρόβλημα 432 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τέσσερις εισόδους που έχει έξοδο 1 αν και μόνο αν δύο ή περισσότερες είσοδοι είναι 1 Λύση Υπάρχουν 24=16 συνδυασμοί καταστάσεων εισόδου Συνολικά μόνο 5 από αυτούς δίνουν έξοδο 119891=0 Έτσι το κανονικό διάγραμμα θα αποτελείται από 11 πύλες AnD 4 πύλες ΝΟΤ και μία πύλη OR Εφόσον 119891=1 για 16-5=11 συνδυασμούς καταστάσεων εισόδου επιλέγουμε τον αναπροσαρμοσμένο αλγόριθμο που μόλις περιγράψαμε Θεωρούμε μόνο εκείνες τις περιπτώσεις συνδυασμών εισόδου για τις οποίες 119891΄=1 που σημαίνει 119891=0 Πίνακας 432 Καταστάσεις για τις οποίες f=0 α1 α2 α3 α4 Όρος που αντιστοιχεί 0 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 0 1 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 1 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 1 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 1 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄

Άρα 119891=[(α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)] Το σχέδιο είναι στο Σχήμα 437 που ακολουθεί

Σχήμα 437 Αυτό το κύκλωμα έχει 5 πύλες AnD 5 πύλες ΝΟΤ και μια πύλη OR 44 Άλγεβρα Boole Δυο προτάσεις x και y είναι ισοδύναμες αν έχουν τον ίδιο πίνακα λειτουργίας Η ισοδυναμία των προτάσεων παριστάνεται με την έκφραση xequivy

11

Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σειρά τιμών που λαμβάνουν οι μεταβλητές x και y οι τιμές αυτές είναι ίδιες Εφαρμογή 441 Να δειχτεί ότι οι προτάσεις x=βandα και y=αand(βandα) είναι ισοδύναμες Πράγματι ο πίνακας λειτουργίας είναι

α β βandα αand(βandα) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 xequivy

Η ύπαρξη ισοδύναμων προτάσεων μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι κάθε πρόταση μπορεί να διατυπωθεί με διαφορετικές μορφές αρκεί για κάθε νέα διατύπωσή της να είναι ισοδύναμη με τις προηγούμενες Η υπόθεση αυτή είναι πραγματοποιήσιμη εφόσον οι αναδιατυπώσεις της αρχικής προκύπτουν μετά από την εφαρμογή ενός ή περισσότερων νόμων της άλγεβρας Boole Μια σημαντική εφαρμογή μιας τέτοιας διαδικασίας είναι η διατύπωση μιας λογικής πρότασης με τον πιο οικονομικό τρόπο δηλαδή μια σύντομη μορφή Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας Αλγόριθμος 441 που μετατρέπει μια λογική πρόταση στη Σύντομη Διαζευκτική Μορφή (ΣΔΜ) Προηγουμένως όμως θα πρέπει να αναφερθεί μια σειρά από ορισμούς και προτάσεις απαραίτητες για την ανάπτυξη του αλγόριθμου για την αναδιατύπωση πρότασης στη ΣΔΜ της

Τα αποτελέσματα της Εφαρμογής 441 γενικεύονται αν στη θέση των μεταβλητών α και β τεθούν οι λογικές προτάσεις x και y όποτε προκύπτει η ισοδυναμία xand(yandx)equivyandx(1) Από την παρατήρηση αυτή προκύπτει η αρχή της αντικατάστασης Θεώρημα 441 Σε μια ισοδυναμία κάθε μεταβλητή μπορεί να αντικατασταθεί από μια πρόταση και κάθε πρόταση μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη πρόταση

Πρόβλημα 441 Να δειχτεί ότι (αorβ)and[(γorδorε)and(αor)]equiv(γorδorε)and(αorβ) Είναι προφανής η ισχύς της πρότασης διότι αυτή έχει προέλθει από την (1) με αντικαταστάσεις του x=(αorβ)και y=γorδorε

Πρόκειται στη συνέχεια να παρουσιάσουμε έναν αριθμό ισοδυναμιών οι οποίες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη διαδικασία επαναδιατύπωσης των προτάσεων Οι ισοδυναμίες αυτές ονομάζονται και νόμοι της Άλγεβρας Boole προς τιμή του George Boole (1815ndash1864) Η χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole επιτρέπει τη μετατροπή μιας πρότασης σε μια ισοδύναμη συντομότερη μορφή Σημειώνουμε με 1 την πρόταση της οποίας η τιμή παραμένει 1 για κάθε συνδυασμό τιμών των λογικών στοιχείων που τη συγκροτούν Σε ένα κύκλωμα διακόπτη 1 σημαίνει μόνιμα ανοικτό Για όλες τις προτάσεις x y και z Πίνακας 441 Οι νόμοι της άλγεβρας Boole για τους οποίους ισχύει η αρχή του δυισμού ως προς τις λογικές πράξεις της σύζευξης και της διάζευξης

Ονοματολογία Ιδιότητες Ταυτοτικοί Νόμοι xorxequivx και xandxequivx Αντιμεταθετικοί νόμοι xoryequivyorx και xandyequivyandx Προσεταιριστικοί νόμοι xor(yandz)equiv(xory)and(xorz) και xand(yorz)equiv(xandy)or(xandz) Επιμεριστικοί νόμοι xor(yorz)equiv(xory)orz και xand(yandz)equiv(xandy)andz Νόμοι της απορρόφησης xor(yandz)equivx και xand(xory)equivx Νόμοι του φραγμένου xand0equiv0 και xor1equiv1 xand1equivx και xor0equiv0 Νόμοι του συμπληρώματος xandxequiv0 και xorxequiv1 Νόμοι της ενέλιξης (x)equivx Νόμοι De Morgan (xandy)equivxory και (xory)equivxandy

6

Πίνακας 423 Ο πίνακας λειτουργίας της πύλης IF και η γραφική της παράσταση α β αVβ

0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

Μια πύλη OR με περισσότερες από μια εισόδους περιέχει αντίστοιχο με αυτές αριθμό διακοπτών Στο Σχήμα 427 απεικονίζεται μια πύλη τριών εισόδων

Σχήμα 427 Πύλη IF τριών εισόδων Στον Πίνακα 424 αποτυπώνονται οι δυνατές καταστάσεις των πυλών AnD και OR τριών εισόδων Πίνακας 424 Ο πίνακας λειτουργίας της πύλης IF και η γραφική της παράσταση

α β γ αΛβΛ γ αVβVγ

0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1

Η εναλλαγή των στοιχείων στnν n-στη στήλη ενός πίνακα n εισόδων γίνεται με εναλλαγή 2n το πλήθος μηδενικών (0) και μονάδων (1) 43 Κυκλώματα και Προτάσεις Είναι δυνατό να κατασκευαστούν πολλά διαφορετικά κυκλώματα-διακόπτες αν συνδεθούν με διαφορετικό τρόπο οι βασικές πύλες που προηγουμένως περιγράφηκαν Ένας απλός αλγόριθμος για τον σχεδιασμό ενός κυκλώματος με προκαθορισμένη λειτουργία είναι ο Αλγόριθμος 431 Πριν όμως προχωρήσουμε στην παρουσίαση και ανάλυση της λειτουργίας του αλγόριθμου αυτού θα αναφέρουμε μερικούς νέους χρήσιμους όρους και ορισμούς

Ας θεωρήσουμε το άγνωστο κύκλωμα-διακόπτη με n εισόδους α β γ ω και μια έξοδο Φ όπως φαίνεται στο Σχήμα 431

Σχήμα 431 Διάταξη πολλαπλών εισόδων και μιας εξόδου

7

Η λειτουργία του κυκλώματος αυτού περιγράφεται πλήρως με τη βοήθεια ενός πίνακα που δίνει τις τιμές 0 ή 1 σε κάθε δυνατό συνδυασμό των 0 και 1 που αντιστοιχούν στις καταστάσεις εισόδου α β γ ω Ο πίνακας αυτός καλείται πίνακας λειτουργίας Αν οι είσοδοι είναι n πίνακας λειτουργίας που αντιστοιχεί στις εισόδους α1 α2 hellip αn έχει 2n στήλες Την παρατήρηση αυτή μπορείτε να επαληθεύσετε αμέσως αν παρατηρήσετε τους πίνακες 41 42 43 και 44 Το σύνολο πινάκων με n εισόδους είναι 22

n

Σύμφωνα με αυτή την παρατήρηση ο συνολικός αριθμός πινάκων με δύο εισόδους είναι

222 =16 Δύο κυκλώματα λέγονται ισοδύναμα αν περιγράφονται με τον ίδιο πίνακα λειτουργίας Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τις εξόδους κυκλωμάτων που είναι κατασκευασμένα εξ ολοκλήρου με πύλες AnD OR και nOT Οι είσοδοι σε τέτοια κυκλώματα ονομάζονται μεταβλητές Η έξοδος τέτοιου κυκλώματος καλείται πρόταση (ή και φράση) Έτσι λοιπόν η πρόταση στις μεταβλητές α1α2hellipαn είναι κάθε πρόταση που μπορεί να δομηθεί από τις α1α2hellipαn όπου κάθε μεταβλητή μπορεί να χρησιμοποιηθεί όσες φορές θέλουμε δια μέσου πεπερασμένου αριθμού αρνήσεων (χρήση της πύλης nOT) συζεύξεων (χρήση της πύλης AnD) και διαζεύξεων (χρήση της πύλης OR) Το επόμενο είναι ένα παράδειγμα μια φράσης στις α1α2α3 με έξοδο 119891 [[(αrsquo2orα3)and(αrsquo1andα2andα3)]orαrsquo3]rsquo=119891(1) Οι μεταβλητές και οι αρνήσεις του θα καλούνται στο εξής γραμματικά στοιχεία (literals) Όροι θα καλούνται είτε μεμονωμένα γραμματικά στοιχεία είτε οι συζεύξεις (ή διαζεύξεις) πεπερασμένου αριθμού γραμματικών στοιχείων Έτσι στην πρόταση (1) τα γραμματικά στοιχεία είναι α1αrsquo1α2αrsquo2α3αrsquo3 ενώ οι όροι είναι αrsquo2α3αrsquo1andα2andα3 και αrsquo3 Με όσα είπαμε παραπάνω είναι τώρα εύκολο να σχεδιάσουμε μια πρόταση Για τη φράση (1) λόγου χάρη σχεδιάζουμε πρώτα τους όρους

Σχήμα 432 Φάση Α στη συνέχεια συνδέουμε του δύο πρώτους με AnD

8

Σχήμα 433 Φάση Β συνδέουμε το σχήμα αυτό με τον τελευταίο όρο με ένα OR και αντιστρέφουμε την έξοδο με ένα nOT

Σχήμα 434 Φάση Γ Τελικά συνδέουμε τις κοινές εισόδους όπως φαίνεται στην επόμενη εικόνα

Σχήμα 435 Φάση Δ Στη συνέχεια θα δούμε πως δομείται μια πρόταση με τη βοήθεια πληροφοριών που παίρνουμε από ένα πίνακα λειτουργίας Για να πετύχουμε κάτι τέτοιο εισάγουμε έναν τύπο φράσης που θα καλείται διαζευτική μορφή Ορισμός 431 Η διαζευκτική μορφή είναι ένας μοναδικός όρος ή σε άλλες περιπτώσεις διάζευξη όρων όπου κάθε όρος είναι είτε γραμματικό στοιχείο ή σύζευξη γραμματικών στοιχείων

9

Ας υποθέσουμε γα παράδειγμα πως ένα κύκλωμα έχει μια έξοδο f και τέσσερεις εισόδους αrsquo1 α2 α3 και α4 Ο όρος αυτός παίρνει την τιμή 1 εάν και μόνον εάν α1=1 α2=0 α3=0 α4=1 Για κάθε άλλη τιμή των μεταβλητών ο όρος αυτός είναι 0 Αν καταγράψουμε περισσότερους όρους στους οποίους για κατάλληλες καταστάσεις των μεταβλητών η 119891 παίρνει την τιμή 1 τότε η διάζευξη αυτών των όρων θα είναι η απαιτούμενη φράση Αλγόριθμος 431 Για να γράψουμε τη διαζευτική μορφή για κύκλωμα με εισόδους α1α2hellipαn και έξοδο 119891

bull Εάν 119891=0 για όλες τις τιμές τότε γράφουμε τη μορφή α1andαrsquo1 αν 119891=1 για όλες τις τιμές γράφουμε μορφή α1orαrsquo1 Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε συνδυασμό τιμών που δίνουν 119891=1 γράφουμε and andhellipand1 2e e e

1 2a a a n

n όπου ι

ιea είναι

α1 αν α1=1 και ιιea είναι α1 αν α1=0

bull Αν μόνο ένας όρος έχει γραφεί τότε αυτή είναι η τελική μορφή Σε κάθε άλλη περίπτωση η τελική μορφή είναι η διάζευξη όλων των όρων που έχουν γραφεί

Πρόβλημα 431 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα τριών εισόδων που έχει έξοδο 1 αν και μόνον αν τουλάχιστον δύο είσοδοι είναι 1 Λύση Το πρώτο βήμα του Αλγόριθμου 431 δεν εφαρμόζεται για αυτό εφαρμόζουμε το βήμα 2 ως εξής είσοδος που δίνει 119891=1 Πίνακας 431

α1 α2 α3 Όρος που αντιστοιχεί 0 1 1 α1΄andα2andα3 1 0 1 α1andα2΄andα3 1 1 0 α1andα2andα3΄ 1 1 1 α1andα2andα3

Τότε f=(α₁˄andα₂˄andα₃)or(α₁˄andα₂˄andα₃)˅or(α₁˄andα₂˄andα₃)or˅(α₁˄andα₂˄andα₃) To σχέδιο του κυκλώματος είναι στην παρακάτω εικόνα του Σχήματος 436

Σχήμα 436 Η υλοποίηση σε κύκλωμα διακοπτών της πρότασης f=( a₁˄anda₂˄anda₃)or(a₁˄anda₂˄anda₃)˅or( a₁˄anda₂˄anda₃)or˅( a₁˄anda₂˄anda₃)

10

Αν ένα κύκλωμα-διακόπτης με n εισόδους έχει έξοδο 119891=1 για περισσότερους από τους μισούς συνδυασμούς καταστάσεων εισόδων δηλαδή για περισσότερο από το 2n-1 τέτοιων συνδυασμών τότε η ακόλουθη προσαρμογή θα οδηγήσει σε σχεδιασμό κυκλώματος με λιγότερες πύλες

Με χρήση του Αλγόριθμου 431 σχεδιάζουμε κύκλωμα με έξοδο 119891 Αντιστρέφουμε το σήμα εξόδου δια μέσου μιας πύλης αντιστροφής ΝΟΤ για να καταλήξουμε το

σήμα εξόδου 119891 Πρόβλημα 432 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τέσσερις εισόδους που έχει έξοδο 1 αν και μόνο αν δύο ή περισσότερες είσοδοι είναι 1 Λύση Υπάρχουν 24=16 συνδυασμοί καταστάσεων εισόδου Συνολικά μόνο 5 από αυτούς δίνουν έξοδο 119891=0 Έτσι το κανονικό διάγραμμα θα αποτελείται από 11 πύλες AnD 4 πύλες ΝΟΤ και μία πύλη OR Εφόσον 119891=1 για 16-5=11 συνδυασμούς καταστάσεων εισόδου επιλέγουμε τον αναπροσαρμοσμένο αλγόριθμο που μόλις περιγράψαμε Θεωρούμε μόνο εκείνες τις περιπτώσεις συνδυασμών εισόδου για τις οποίες 119891΄=1 που σημαίνει 119891=0 Πίνακας 432 Καταστάσεις για τις οποίες f=0 α1 α2 α3 α4 Όρος που αντιστοιχεί 0 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 0 1 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 1 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 1 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 1 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄

Άρα 119891=[(α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)] Το σχέδιο είναι στο Σχήμα 437 που ακολουθεί

Σχήμα 437 Αυτό το κύκλωμα έχει 5 πύλες AnD 5 πύλες ΝΟΤ και μια πύλη OR 44 Άλγεβρα Boole Δυο προτάσεις x και y είναι ισοδύναμες αν έχουν τον ίδιο πίνακα λειτουργίας Η ισοδυναμία των προτάσεων παριστάνεται με την έκφραση xequivy

11

Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σειρά τιμών που λαμβάνουν οι μεταβλητές x και y οι τιμές αυτές είναι ίδιες Εφαρμογή 441 Να δειχτεί ότι οι προτάσεις x=βandα και y=αand(βandα) είναι ισοδύναμες Πράγματι ο πίνακας λειτουργίας είναι

α β βandα αand(βandα) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 xequivy

Η ύπαρξη ισοδύναμων προτάσεων μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι κάθε πρόταση μπορεί να διατυπωθεί με διαφορετικές μορφές αρκεί για κάθε νέα διατύπωσή της να είναι ισοδύναμη με τις προηγούμενες Η υπόθεση αυτή είναι πραγματοποιήσιμη εφόσον οι αναδιατυπώσεις της αρχικής προκύπτουν μετά από την εφαρμογή ενός ή περισσότερων νόμων της άλγεβρας Boole Μια σημαντική εφαρμογή μιας τέτοιας διαδικασίας είναι η διατύπωση μιας λογικής πρότασης με τον πιο οικονομικό τρόπο δηλαδή μια σύντομη μορφή Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας Αλγόριθμος 441 που μετατρέπει μια λογική πρόταση στη Σύντομη Διαζευκτική Μορφή (ΣΔΜ) Προηγουμένως όμως θα πρέπει να αναφερθεί μια σειρά από ορισμούς και προτάσεις απαραίτητες για την ανάπτυξη του αλγόριθμου για την αναδιατύπωση πρότασης στη ΣΔΜ της

Τα αποτελέσματα της Εφαρμογής 441 γενικεύονται αν στη θέση των μεταβλητών α και β τεθούν οι λογικές προτάσεις x και y όποτε προκύπτει η ισοδυναμία xand(yandx)equivyandx(1) Από την παρατήρηση αυτή προκύπτει η αρχή της αντικατάστασης Θεώρημα 441 Σε μια ισοδυναμία κάθε μεταβλητή μπορεί να αντικατασταθεί από μια πρόταση και κάθε πρόταση μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη πρόταση

Πρόβλημα 441 Να δειχτεί ότι (αorβ)and[(γorδorε)and(αor)]equiv(γorδorε)and(αorβ) Είναι προφανής η ισχύς της πρότασης διότι αυτή έχει προέλθει από την (1) με αντικαταστάσεις του x=(αorβ)και y=γorδorε

Πρόκειται στη συνέχεια να παρουσιάσουμε έναν αριθμό ισοδυναμιών οι οποίες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη διαδικασία επαναδιατύπωσης των προτάσεων Οι ισοδυναμίες αυτές ονομάζονται και νόμοι της Άλγεβρας Boole προς τιμή του George Boole (1815ndash1864) Η χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole επιτρέπει τη μετατροπή μιας πρότασης σε μια ισοδύναμη συντομότερη μορφή Σημειώνουμε με 1 την πρόταση της οποίας η τιμή παραμένει 1 για κάθε συνδυασμό τιμών των λογικών στοιχείων που τη συγκροτούν Σε ένα κύκλωμα διακόπτη 1 σημαίνει μόνιμα ανοικτό Για όλες τις προτάσεις x y και z Πίνακας 441 Οι νόμοι της άλγεβρας Boole για τους οποίους ισχύει η αρχή του δυισμού ως προς τις λογικές πράξεις της σύζευξης και της διάζευξης

Ονοματολογία Ιδιότητες Ταυτοτικοί Νόμοι xorxequivx και xandxequivx Αντιμεταθετικοί νόμοι xoryequivyorx και xandyequivyandx Προσεταιριστικοί νόμοι xor(yandz)equiv(xory)and(xorz) και xand(yorz)equiv(xandy)or(xandz) Επιμεριστικοί νόμοι xor(yorz)equiv(xory)orz και xand(yandz)equiv(xandy)andz Νόμοι της απορρόφησης xor(yandz)equivx και xand(xory)equivx Νόμοι του φραγμένου xand0equiv0 και xor1equiv1 xand1equivx και xor0equiv0 Νόμοι του συμπληρώματος xandxequiv0 και xorxequiv1 Νόμοι της ενέλιξης (x)equivx Νόμοι De Morgan (xandy)equivxory και (xory)equivxandy

7

Η λειτουργία του κυκλώματος αυτού περιγράφεται πλήρως με τη βοήθεια ενός πίνακα που δίνει τις τιμές 0 ή 1 σε κάθε δυνατό συνδυασμό των 0 και 1 που αντιστοιχούν στις καταστάσεις εισόδου α β γ ω Ο πίνακας αυτός καλείται πίνακας λειτουργίας Αν οι είσοδοι είναι n πίνακας λειτουργίας που αντιστοιχεί στις εισόδους α1 α2 hellip αn έχει 2n στήλες Την παρατήρηση αυτή μπορείτε να επαληθεύσετε αμέσως αν παρατηρήσετε τους πίνακες 41 42 43 και 44 Το σύνολο πινάκων με n εισόδους είναι 22

n

Σύμφωνα με αυτή την παρατήρηση ο συνολικός αριθμός πινάκων με δύο εισόδους είναι

222 =16 Δύο κυκλώματα λέγονται ισοδύναμα αν περιγράφονται με τον ίδιο πίνακα λειτουργίας Στη συνέχεια θα μελετήσουμε τις εξόδους κυκλωμάτων που είναι κατασκευασμένα εξ ολοκλήρου με πύλες AnD OR και nOT Οι είσοδοι σε τέτοια κυκλώματα ονομάζονται μεταβλητές Η έξοδος τέτοιου κυκλώματος καλείται πρόταση (ή και φράση) Έτσι λοιπόν η πρόταση στις μεταβλητές α1α2hellipαn είναι κάθε πρόταση που μπορεί να δομηθεί από τις α1α2hellipαn όπου κάθε μεταβλητή μπορεί να χρησιμοποιηθεί όσες φορές θέλουμε δια μέσου πεπερασμένου αριθμού αρνήσεων (χρήση της πύλης nOT) συζεύξεων (χρήση της πύλης AnD) και διαζεύξεων (χρήση της πύλης OR) Το επόμενο είναι ένα παράδειγμα μια φράσης στις α1α2α3 με έξοδο 119891 [[(αrsquo2orα3)and(αrsquo1andα2andα3)]orαrsquo3]rsquo=119891(1) Οι μεταβλητές και οι αρνήσεις του θα καλούνται στο εξής γραμματικά στοιχεία (literals) Όροι θα καλούνται είτε μεμονωμένα γραμματικά στοιχεία είτε οι συζεύξεις (ή διαζεύξεις) πεπερασμένου αριθμού γραμματικών στοιχείων Έτσι στην πρόταση (1) τα γραμματικά στοιχεία είναι α1αrsquo1α2αrsquo2α3αrsquo3 ενώ οι όροι είναι αrsquo2α3αrsquo1andα2andα3 και αrsquo3 Με όσα είπαμε παραπάνω είναι τώρα εύκολο να σχεδιάσουμε μια πρόταση Για τη φράση (1) λόγου χάρη σχεδιάζουμε πρώτα τους όρους

Σχήμα 432 Φάση Α στη συνέχεια συνδέουμε του δύο πρώτους με AnD

8

Σχήμα 433 Φάση Β συνδέουμε το σχήμα αυτό με τον τελευταίο όρο με ένα OR και αντιστρέφουμε την έξοδο με ένα nOT

Σχήμα 434 Φάση Γ Τελικά συνδέουμε τις κοινές εισόδους όπως φαίνεται στην επόμενη εικόνα

Σχήμα 435 Φάση Δ Στη συνέχεια θα δούμε πως δομείται μια πρόταση με τη βοήθεια πληροφοριών που παίρνουμε από ένα πίνακα λειτουργίας Για να πετύχουμε κάτι τέτοιο εισάγουμε έναν τύπο φράσης που θα καλείται διαζευτική μορφή Ορισμός 431 Η διαζευκτική μορφή είναι ένας μοναδικός όρος ή σε άλλες περιπτώσεις διάζευξη όρων όπου κάθε όρος είναι είτε γραμματικό στοιχείο ή σύζευξη γραμματικών στοιχείων

9

Ας υποθέσουμε γα παράδειγμα πως ένα κύκλωμα έχει μια έξοδο f και τέσσερεις εισόδους αrsquo1 α2 α3 και α4 Ο όρος αυτός παίρνει την τιμή 1 εάν και μόνον εάν α1=1 α2=0 α3=0 α4=1 Για κάθε άλλη τιμή των μεταβλητών ο όρος αυτός είναι 0 Αν καταγράψουμε περισσότερους όρους στους οποίους για κατάλληλες καταστάσεις των μεταβλητών η 119891 παίρνει την τιμή 1 τότε η διάζευξη αυτών των όρων θα είναι η απαιτούμενη φράση Αλγόριθμος 431 Για να γράψουμε τη διαζευτική μορφή για κύκλωμα με εισόδους α1α2hellipαn και έξοδο 119891

bull Εάν 119891=0 για όλες τις τιμές τότε γράφουμε τη μορφή α1andαrsquo1 αν 119891=1 για όλες τις τιμές γράφουμε μορφή α1orαrsquo1 Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε συνδυασμό τιμών που δίνουν 119891=1 γράφουμε and andhellipand1 2e e e

1 2a a a n

n όπου ι

ιea είναι

α1 αν α1=1 και ιιea είναι α1 αν α1=0

bull Αν μόνο ένας όρος έχει γραφεί τότε αυτή είναι η τελική μορφή Σε κάθε άλλη περίπτωση η τελική μορφή είναι η διάζευξη όλων των όρων που έχουν γραφεί

Πρόβλημα 431 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα τριών εισόδων που έχει έξοδο 1 αν και μόνον αν τουλάχιστον δύο είσοδοι είναι 1 Λύση Το πρώτο βήμα του Αλγόριθμου 431 δεν εφαρμόζεται για αυτό εφαρμόζουμε το βήμα 2 ως εξής είσοδος που δίνει 119891=1 Πίνακας 431

α1 α2 α3 Όρος που αντιστοιχεί 0 1 1 α1΄andα2andα3 1 0 1 α1andα2΄andα3 1 1 0 α1andα2andα3΄ 1 1 1 α1andα2andα3

Τότε f=(α₁˄andα₂˄andα₃)or(α₁˄andα₂˄andα₃)˅or(α₁˄andα₂˄andα₃)or˅(α₁˄andα₂˄andα₃) To σχέδιο του κυκλώματος είναι στην παρακάτω εικόνα του Σχήματος 436

Σχήμα 436 Η υλοποίηση σε κύκλωμα διακοπτών της πρότασης f=( a₁˄anda₂˄anda₃)or(a₁˄anda₂˄anda₃)˅or( a₁˄anda₂˄anda₃)or˅( a₁˄anda₂˄anda₃)

10

Αν ένα κύκλωμα-διακόπτης με n εισόδους έχει έξοδο 119891=1 για περισσότερους από τους μισούς συνδυασμούς καταστάσεων εισόδων δηλαδή για περισσότερο από το 2n-1 τέτοιων συνδυασμών τότε η ακόλουθη προσαρμογή θα οδηγήσει σε σχεδιασμό κυκλώματος με λιγότερες πύλες

Με χρήση του Αλγόριθμου 431 σχεδιάζουμε κύκλωμα με έξοδο 119891 Αντιστρέφουμε το σήμα εξόδου δια μέσου μιας πύλης αντιστροφής ΝΟΤ για να καταλήξουμε το

σήμα εξόδου 119891 Πρόβλημα 432 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τέσσερις εισόδους που έχει έξοδο 1 αν και μόνο αν δύο ή περισσότερες είσοδοι είναι 1 Λύση Υπάρχουν 24=16 συνδυασμοί καταστάσεων εισόδου Συνολικά μόνο 5 από αυτούς δίνουν έξοδο 119891=0 Έτσι το κανονικό διάγραμμα θα αποτελείται από 11 πύλες AnD 4 πύλες ΝΟΤ και μία πύλη OR Εφόσον 119891=1 για 16-5=11 συνδυασμούς καταστάσεων εισόδου επιλέγουμε τον αναπροσαρμοσμένο αλγόριθμο που μόλις περιγράψαμε Θεωρούμε μόνο εκείνες τις περιπτώσεις συνδυασμών εισόδου για τις οποίες 119891΄=1 που σημαίνει 119891=0 Πίνακας 432 Καταστάσεις για τις οποίες f=0 α1 α2 α3 α4 Όρος που αντιστοιχεί 0 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 0 1 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 1 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 1 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 1 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄

Άρα 119891=[(α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)] Το σχέδιο είναι στο Σχήμα 437 που ακολουθεί

Σχήμα 437 Αυτό το κύκλωμα έχει 5 πύλες AnD 5 πύλες ΝΟΤ και μια πύλη OR 44 Άλγεβρα Boole Δυο προτάσεις x και y είναι ισοδύναμες αν έχουν τον ίδιο πίνακα λειτουργίας Η ισοδυναμία των προτάσεων παριστάνεται με την έκφραση xequivy

11

Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σειρά τιμών που λαμβάνουν οι μεταβλητές x και y οι τιμές αυτές είναι ίδιες Εφαρμογή 441 Να δειχτεί ότι οι προτάσεις x=βandα και y=αand(βandα) είναι ισοδύναμες Πράγματι ο πίνακας λειτουργίας είναι

α β βandα αand(βandα) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 xequivy

Η ύπαρξη ισοδύναμων προτάσεων μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι κάθε πρόταση μπορεί να διατυπωθεί με διαφορετικές μορφές αρκεί για κάθε νέα διατύπωσή της να είναι ισοδύναμη με τις προηγούμενες Η υπόθεση αυτή είναι πραγματοποιήσιμη εφόσον οι αναδιατυπώσεις της αρχικής προκύπτουν μετά από την εφαρμογή ενός ή περισσότερων νόμων της άλγεβρας Boole Μια σημαντική εφαρμογή μιας τέτοιας διαδικασίας είναι η διατύπωση μιας λογικής πρότασης με τον πιο οικονομικό τρόπο δηλαδή μια σύντομη μορφή Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας Αλγόριθμος 441 που μετατρέπει μια λογική πρόταση στη Σύντομη Διαζευκτική Μορφή (ΣΔΜ) Προηγουμένως όμως θα πρέπει να αναφερθεί μια σειρά από ορισμούς και προτάσεις απαραίτητες για την ανάπτυξη του αλγόριθμου για την αναδιατύπωση πρότασης στη ΣΔΜ της

Τα αποτελέσματα της Εφαρμογής 441 γενικεύονται αν στη θέση των μεταβλητών α και β τεθούν οι λογικές προτάσεις x και y όποτε προκύπτει η ισοδυναμία xand(yandx)equivyandx(1) Από την παρατήρηση αυτή προκύπτει η αρχή της αντικατάστασης Θεώρημα 441 Σε μια ισοδυναμία κάθε μεταβλητή μπορεί να αντικατασταθεί από μια πρόταση και κάθε πρόταση μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη πρόταση

Πρόβλημα 441 Να δειχτεί ότι (αorβ)and[(γorδorε)and(αor)]equiv(γorδorε)and(αorβ) Είναι προφανής η ισχύς της πρότασης διότι αυτή έχει προέλθει από την (1) με αντικαταστάσεις του x=(αorβ)και y=γorδorε

Πρόκειται στη συνέχεια να παρουσιάσουμε έναν αριθμό ισοδυναμιών οι οποίες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη διαδικασία επαναδιατύπωσης των προτάσεων Οι ισοδυναμίες αυτές ονομάζονται και νόμοι της Άλγεβρας Boole προς τιμή του George Boole (1815ndash1864) Η χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole επιτρέπει τη μετατροπή μιας πρότασης σε μια ισοδύναμη συντομότερη μορφή Σημειώνουμε με 1 την πρόταση της οποίας η τιμή παραμένει 1 για κάθε συνδυασμό τιμών των λογικών στοιχείων που τη συγκροτούν Σε ένα κύκλωμα διακόπτη 1 σημαίνει μόνιμα ανοικτό Για όλες τις προτάσεις x y και z Πίνακας 441 Οι νόμοι της άλγεβρας Boole για τους οποίους ισχύει η αρχή του δυισμού ως προς τις λογικές πράξεις της σύζευξης και της διάζευξης

Ονοματολογία Ιδιότητες Ταυτοτικοί Νόμοι xorxequivx και xandxequivx Αντιμεταθετικοί νόμοι xoryequivyorx και xandyequivyandx Προσεταιριστικοί νόμοι xor(yandz)equiv(xory)and(xorz) και xand(yorz)equiv(xandy)or(xandz) Επιμεριστικοί νόμοι xor(yorz)equiv(xory)orz και xand(yandz)equiv(xandy)andz Νόμοι της απορρόφησης xor(yandz)equivx και xand(xory)equivx Νόμοι του φραγμένου xand0equiv0 και xor1equiv1 xand1equivx και xor0equiv0 Νόμοι του συμπληρώματος xandxequiv0 και xorxequiv1 Νόμοι της ενέλιξης (x)equivx Νόμοι De Morgan (xandy)equivxory και (xory)equivxandy

8

Σχήμα 433 Φάση Β συνδέουμε το σχήμα αυτό με τον τελευταίο όρο με ένα OR και αντιστρέφουμε την έξοδο με ένα nOT

Σχήμα 434 Φάση Γ Τελικά συνδέουμε τις κοινές εισόδους όπως φαίνεται στην επόμενη εικόνα

Σχήμα 435 Φάση Δ Στη συνέχεια θα δούμε πως δομείται μια πρόταση με τη βοήθεια πληροφοριών που παίρνουμε από ένα πίνακα λειτουργίας Για να πετύχουμε κάτι τέτοιο εισάγουμε έναν τύπο φράσης που θα καλείται διαζευτική μορφή Ορισμός 431 Η διαζευκτική μορφή είναι ένας μοναδικός όρος ή σε άλλες περιπτώσεις διάζευξη όρων όπου κάθε όρος είναι είτε γραμματικό στοιχείο ή σύζευξη γραμματικών στοιχείων

9

Ας υποθέσουμε γα παράδειγμα πως ένα κύκλωμα έχει μια έξοδο f και τέσσερεις εισόδους αrsquo1 α2 α3 και α4 Ο όρος αυτός παίρνει την τιμή 1 εάν και μόνον εάν α1=1 α2=0 α3=0 α4=1 Για κάθε άλλη τιμή των μεταβλητών ο όρος αυτός είναι 0 Αν καταγράψουμε περισσότερους όρους στους οποίους για κατάλληλες καταστάσεις των μεταβλητών η 119891 παίρνει την τιμή 1 τότε η διάζευξη αυτών των όρων θα είναι η απαιτούμενη φράση Αλγόριθμος 431 Για να γράψουμε τη διαζευτική μορφή για κύκλωμα με εισόδους α1α2hellipαn και έξοδο 119891

bull Εάν 119891=0 για όλες τις τιμές τότε γράφουμε τη μορφή α1andαrsquo1 αν 119891=1 για όλες τις τιμές γράφουμε μορφή α1orαrsquo1 Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε συνδυασμό τιμών που δίνουν 119891=1 γράφουμε and andhellipand1 2e e e

1 2a a a n

n όπου ι

ιea είναι

α1 αν α1=1 και ιιea είναι α1 αν α1=0

bull Αν μόνο ένας όρος έχει γραφεί τότε αυτή είναι η τελική μορφή Σε κάθε άλλη περίπτωση η τελική μορφή είναι η διάζευξη όλων των όρων που έχουν γραφεί

Πρόβλημα 431 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα τριών εισόδων που έχει έξοδο 1 αν και μόνον αν τουλάχιστον δύο είσοδοι είναι 1 Λύση Το πρώτο βήμα του Αλγόριθμου 431 δεν εφαρμόζεται για αυτό εφαρμόζουμε το βήμα 2 ως εξής είσοδος που δίνει 119891=1 Πίνακας 431

α1 α2 α3 Όρος που αντιστοιχεί 0 1 1 α1΄andα2andα3 1 0 1 α1andα2΄andα3 1 1 0 α1andα2andα3΄ 1 1 1 α1andα2andα3

Τότε f=(α₁˄andα₂˄andα₃)or(α₁˄andα₂˄andα₃)˅or(α₁˄andα₂˄andα₃)or˅(α₁˄andα₂˄andα₃) To σχέδιο του κυκλώματος είναι στην παρακάτω εικόνα του Σχήματος 436

Σχήμα 436 Η υλοποίηση σε κύκλωμα διακοπτών της πρότασης f=( a₁˄anda₂˄anda₃)or(a₁˄anda₂˄anda₃)˅or( a₁˄anda₂˄anda₃)or˅( a₁˄anda₂˄anda₃)

10

Αν ένα κύκλωμα-διακόπτης με n εισόδους έχει έξοδο 119891=1 για περισσότερους από τους μισούς συνδυασμούς καταστάσεων εισόδων δηλαδή για περισσότερο από το 2n-1 τέτοιων συνδυασμών τότε η ακόλουθη προσαρμογή θα οδηγήσει σε σχεδιασμό κυκλώματος με λιγότερες πύλες

Με χρήση του Αλγόριθμου 431 σχεδιάζουμε κύκλωμα με έξοδο 119891 Αντιστρέφουμε το σήμα εξόδου δια μέσου μιας πύλης αντιστροφής ΝΟΤ για να καταλήξουμε το

σήμα εξόδου 119891 Πρόβλημα 432 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τέσσερις εισόδους που έχει έξοδο 1 αν και μόνο αν δύο ή περισσότερες είσοδοι είναι 1 Λύση Υπάρχουν 24=16 συνδυασμοί καταστάσεων εισόδου Συνολικά μόνο 5 από αυτούς δίνουν έξοδο 119891=0 Έτσι το κανονικό διάγραμμα θα αποτελείται από 11 πύλες AnD 4 πύλες ΝΟΤ και μία πύλη OR Εφόσον 119891=1 για 16-5=11 συνδυασμούς καταστάσεων εισόδου επιλέγουμε τον αναπροσαρμοσμένο αλγόριθμο που μόλις περιγράψαμε Θεωρούμε μόνο εκείνες τις περιπτώσεις συνδυασμών εισόδου για τις οποίες 119891΄=1 που σημαίνει 119891=0 Πίνακας 432 Καταστάσεις για τις οποίες f=0 α1 α2 α3 α4 Όρος που αντιστοιχεί 0 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 0 1 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 1 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 1 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 1 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄

Άρα 119891=[(α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)] Το σχέδιο είναι στο Σχήμα 437 που ακολουθεί

Σχήμα 437 Αυτό το κύκλωμα έχει 5 πύλες AnD 5 πύλες ΝΟΤ και μια πύλη OR 44 Άλγεβρα Boole Δυο προτάσεις x και y είναι ισοδύναμες αν έχουν τον ίδιο πίνακα λειτουργίας Η ισοδυναμία των προτάσεων παριστάνεται με την έκφραση xequivy

11

Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σειρά τιμών που λαμβάνουν οι μεταβλητές x και y οι τιμές αυτές είναι ίδιες Εφαρμογή 441 Να δειχτεί ότι οι προτάσεις x=βandα και y=αand(βandα) είναι ισοδύναμες Πράγματι ο πίνακας λειτουργίας είναι

α β βandα αand(βandα) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 xequivy

Η ύπαρξη ισοδύναμων προτάσεων μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι κάθε πρόταση μπορεί να διατυπωθεί με διαφορετικές μορφές αρκεί για κάθε νέα διατύπωσή της να είναι ισοδύναμη με τις προηγούμενες Η υπόθεση αυτή είναι πραγματοποιήσιμη εφόσον οι αναδιατυπώσεις της αρχικής προκύπτουν μετά από την εφαρμογή ενός ή περισσότερων νόμων της άλγεβρας Boole Μια σημαντική εφαρμογή μιας τέτοιας διαδικασίας είναι η διατύπωση μιας λογικής πρότασης με τον πιο οικονομικό τρόπο δηλαδή μια σύντομη μορφή Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας Αλγόριθμος 441 που μετατρέπει μια λογική πρόταση στη Σύντομη Διαζευκτική Μορφή (ΣΔΜ) Προηγουμένως όμως θα πρέπει να αναφερθεί μια σειρά από ορισμούς και προτάσεις απαραίτητες για την ανάπτυξη του αλγόριθμου για την αναδιατύπωση πρότασης στη ΣΔΜ της

Τα αποτελέσματα της Εφαρμογής 441 γενικεύονται αν στη θέση των μεταβλητών α και β τεθούν οι λογικές προτάσεις x και y όποτε προκύπτει η ισοδυναμία xand(yandx)equivyandx(1) Από την παρατήρηση αυτή προκύπτει η αρχή της αντικατάστασης Θεώρημα 441 Σε μια ισοδυναμία κάθε μεταβλητή μπορεί να αντικατασταθεί από μια πρόταση και κάθε πρόταση μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη πρόταση

Πρόβλημα 441 Να δειχτεί ότι (αorβ)and[(γorδorε)and(αor)]equiv(γorδorε)and(αorβ) Είναι προφανής η ισχύς της πρότασης διότι αυτή έχει προέλθει από την (1) με αντικαταστάσεις του x=(αorβ)και y=γorδorε

Πρόκειται στη συνέχεια να παρουσιάσουμε έναν αριθμό ισοδυναμιών οι οποίες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη διαδικασία επαναδιατύπωσης των προτάσεων Οι ισοδυναμίες αυτές ονομάζονται και νόμοι της Άλγεβρας Boole προς τιμή του George Boole (1815ndash1864) Η χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole επιτρέπει τη μετατροπή μιας πρότασης σε μια ισοδύναμη συντομότερη μορφή Σημειώνουμε με 1 την πρόταση της οποίας η τιμή παραμένει 1 για κάθε συνδυασμό τιμών των λογικών στοιχείων που τη συγκροτούν Σε ένα κύκλωμα διακόπτη 1 σημαίνει μόνιμα ανοικτό Για όλες τις προτάσεις x y και z Πίνακας 441 Οι νόμοι της άλγεβρας Boole για τους οποίους ισχύει η αρχή του δυισμού ως προς τις λογικές πράξεις της σύζευξης και της διάζευξης

Ονοματολογία Ιδιότητες Ταυτοτικοί Νόμοι xorxequivx και xandxequivx Αντιμεταθετικοί νόμοι xoryequivyorx και xandyequivyandx Προσεταιριστικοί νόμοι xor(yandz)equiv(xory)and(xorz) και xand(yorz)equiv(xandy)or(xandz) Επιμεριστικοί νόμοι xor(yorz)equiv(xory)orz και xand(yandz)equiv(xandy)andz Νόμοι της απορρόφησης xor(yandz)equivx και xand(xory)equivx Νόμοι του φραγμένου xand0equiv0 και xor1equiv1 xand1equivx και xor0equiv0 Νόμοι του συμπληρώματος xandxequiv0 και xorxequiv1 Νόμοι της ενέλιξης (x)equivx Νόμοι De Morgan (xandy)equivxory και (xory)equivxandy

9

Ας υποθέσουμε γα παράδειγμα πως ένα κύκλωμα έχει μια έξοδο f και τέσσερεις εισόδους αrsquo1 α2 α3 και α4 Ο όρος αυτός παίρνει την τιμή 1 εάν και μόνον εάν α1=1 α2=0 α3=0 α4=1 Για κάθε άλλη τιμή των μεταβλητών ο όρος αυτός είναι 0 Αν καταγράψουμε περισσότερους όρους στους οποίους για κατάλληλες καταστάσεις των μεταβλητών η 119891 παίρνει την τιμή 1 τότε η διάζευξη αυτών των όρων θα είναι η απαιτούμενη φράση Αλγόριθμος 431 Για να γράψουμε τη διαζευτική μορφή για κύκλωμα με εισόδους α1α2hellipαn και έξοδο 119891

bull Εάν 119891=0 για όλες τις τιμές τότε γράφουμε τη μορφή α1andαrsquo1 αν 119891=1 για όλες τις τιμές γράφουμε μορφή α1orαrsquo1 Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε συνδυασμό τιμών που δίνουν 119891=1 γράφουμε and andhellipand1 2e e e

1 2a a a n

n όπου ι

ιea είναι

α1 αν α1=1 και ιιea είναι α1 αν α1=0

bull Αν μόνο ένας όρος έχει γραφεί τότε αυτή είναι η τελική μορφή Σε κάθε άλλη περίπτωση η τελική μορφή είναι η διάζευξη όλων των όρων που έχουν γραφεί

Πρόβλημα 431 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα τριών εισόδων που έχει έξοδο 1 αν και μόνον αν τουλάχιστον δύο είσοδοι είναι 1 Λύση Το πρώτο βήμα του Αλγόριθμου 431 δεν εφαρμόζεται για αυτό εφαρμόζουμε το βήμα 2 ως εξής είσοδος που δίνει 119891=1 Πίνακας 431

α1 α2 α3 Όρος που αντιστοιχεί 0 1 1 α1΄andα2andα3 1 0 1 α1andα2΄andα3 1 1 0 α1andα2andα3΄ 1 1 1 α1andα2andα3

Τότε f=(α₁˄andα₂˄andα₃)or(α₁˄andα₂˄andα₃)˅or(α₁˄andα₂˄andα₃)or˅(α₁˄andα₂˄andα₃) To σχέδιο του κυκλώματος είναι στην παρακάτω εικόνα του Σχήματος 436

Σχήμα 436 Η υλοποίηση σε κύκλωμα διακοπτών της πρότασης f=( a₁˄anda₂˄anda₃)or(a₁˄anda₂˄anda₃)˅or( a₁˄anda₂˄anda₃)or˅( a₁˄anda₂˄anda₃)

10

Αν ένα κύκλωμα-διακόπτης με n εισόδους έχει έξοδο 119891=1 για περισσότερους από τους μισούς συνδυασμούς καταστάσεων εισόδων δηλαδή για περισσότερο από το 2n-1 τέτοιων συνδυασμών τότε η ακόλουθη προσαρμογή θα οδηγήσει σε σχεδιασμό κυκλώματος με λιγότερες πύλες

Με χρήση του Αλγόριθμου 431 σχεδιάζουμε κύκλωμα με έξοδο 119891 Αντιστρέφουμε το σήμα εξόδου δια μέσου μιας πύλης αντιστροφής ΝΟΤ για να καταλήξουμε το

σήμα εξόδου 119891 Πρόβλημα 432 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τέσσερις εισόδους που έχει έξοδο 1 αν και μόνο αν δύο ή περισσότερες είσοδοι είναι 1 Λύση Υπάρχουν 24=16 συνδυασμοί καταστάσεων εισόδου Συνολικά μόνο 5 από αυτούς δίνουν έξοδο 119891=0 Έτσι το κανονικό διάγραμμα θα αποτελείται από 11 πύλες AnD 4 πύλες ΝΟΤ και μία πύλη OR Εφόσον 119891=1 για 16-5=11 συνδυασμούς καταστάσεων εισόδου επιλέγουμε τον αναπροσαρμοσμένο αλγόριθμο που μόλις περιγράψαμε Θεωρούμε μόνο εκείνες τις περιπτώσεις συνδυασμών εισόδου για τις οποίες 119891΄=1 που σημαίνει 119891=0 Πίνακας 432 Καταστάσεις για τις οποίες f=0 α1 α2 α3 α4 Όρος που αντιστοιχεί 0 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 0 1 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 1 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 1 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 1 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄

Άρα 119891=[(α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)] Το σχέδιο είναι στο Σχήμα 437 που ακολουθεί

Σχήμα 437 Αυτό το κύκλωμα έχει 5 πύλες AnD 5 πύλες ΝΟΤ και μια πύλη OR 44 Άλγεβρα Boole Δυο προτάσεις x και y είναι ισοδύναμες αν έχουν τον ίδιο πίνακα λειτουργίας Η ισοδυναμία των προτάσεων παριστάνεται με την έκφραση xequivy

11

Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σειρά τιμών που λαμβάνουν οι μεταβλητές x και y οι τιμές αυτές είναι ίδιες Εφαρμογή 441 Να δειχτεί ότι οι προτάσεις x=βandα και y=αand(βandα) είναι ισοδύναμες Πράγματι ο πίνακας λειτουργίας είναι

α β βandα αand(βandα) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 xequivy

Η ύπαρξη ισοδύναμων προτάσεων μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι κάθε πρόταση μπορεί να διατυπωθεί με διαφορετικές μορφές αρκεί για κάθε νέα διατύπωσή της να είναι ισοδύναμη με τις προηγούμενες Η υπόθεση αυτή είναι πραγματοποιήσιμη εφόσον οι αναδιατυπώσεις της αρχικής προκύπτουν μετά από την εφαρμογή ενός ή περισσότερων νόμων της άλγεβρας Boole Μια σημαντική εφαρμογή μιας τέτοιας διαδικασίας είναι η διατύπωση μιας λογικής πρότασης με τον πιο οικονομικό τρόπο δηλαδή μια σύντομη μορφή Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας Αλγόριθμος 441 που μετατρέπει μια λογική πρόταση στη Σύντομη Διαζευκτική Μορφή (ΣΔΜ) Προηγουμένως όμως θα πρέπει να αναφερθεί μια σειρά από ορισμούς και προτάσεις απαραίτητες για την ανάπτυξη του αλγόριθμου για την αναδιατύπωση πρότασης στη ΣΔΜ της

Τα αποτελέσματα της Εφαρμογής 441 γενικεύονται αν στη θέση των μεταβλητών α και β τεθούν οι λογικές προτάσεις x και y όποτε προκύπτει η ισοδυναμία xand(yandx)equivyandx(1) Από την παρατήρηση αυτή προκύπτει η αρχή της αντικατάστασης Θεώρημα 441 Σε μια ισοδυναμία κάθε μεταβλητή μπορεί να αντικατασταθεί από μια πρόταση και κάθε πρόταση μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη πρόταση

Πρόβλημα 441 Να δειχτεί ότι (αorβ)and[(γorδorε)and(αor)]equiv(γorδorε)and(αorβ) Είναι προφανής η ισχύς της πρότασης διότι αυτή έχει προέλθει από την (1) με αντικαταστάσεις του x=(αorβ)και y=γorδorε

Πρόκειται στη συνέχεια να παρουσιάσουμε έναν αριθμό ισοδυναμιών οι οποίες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη διαδικασία επαναδιατύπωσης των προτάσεων Οι ισοδυναμίες αυτές ονομάζονται και νόμοι της Άλγεβρας Boole προς τιμή του George Boole (1815ndash1864) Η χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole επιτρέπει τη μετατροπή μιας πρότασης σε μια ισοδύναμη συντομότερη μορφή Σημειώνουμε με 1 την πρόταση της οποίας η τιμή παραμένει 1 για κάθε συνδυασμό τιμών των λογικών στοιχείων που τη συγκροτούν Σε ένα κύκλωμα διακόπτη 1 σημαίνει μόνιμα ανοικτό Για όλες τις προτάσεις x y και z Πίνακας 441 Οι νόμοι της άλγεβρας Boole για τους οποίους ισχύει η αρχή του δυισμού ως προς τις λογικές πράξεις της σύζευξης και της διάζευξης

Ονοματολογία Ιδιότητες Ταυτοτικοί Νόμοι xorxequivx και xandxequivx Αντιμεταθετικοί νόμοι xoryequivyorx και xandyequivyandx Προσεταιριστικοί νόμοι xor(yandz)equiv(xory)and(xorz) και xand(yorz)equiv(xandy)or(xandz) Επιμεριστικοί νόμοι xor(yorz)equiv(xory)orz και xand(yandz)equiv(xandy)andz Νόμοι της απορρόφησης xor(yandz)equivx και xand(xory)equivx Νόμοι του φραγμένου xand0equiv0 και xor1equiv1 xand1equivx και xor0equiv0 Νόμοι του συμπληρώματος xandxequiv0 και xorxequiv1 Νόμοι της ενέλιξης (x)equivx Νόμοι De Morgan (xandy)equivxory και (xory)equivxandy

10

Αν ένα κύκλωμα-διακόπτης με n εισόδους έχει έξοδο 119891=1 για περισσότερους από τους μισούς συνδυασμούς καταστάσεων εισόδων δηλαδή για περισσότερο από το 2n-1 τέτοιων συνδυασμών τότε η ακόλουθη προσαρμογή θα οδηγήσει σε σχεδιασμό κυκλώματος με λιγότερες πύλες

Με χρήση του Αλγόριθμου 431 σχεδιάζουμε κύκλωμα με έξοδο 119891 Αντιστρέφουμε το σήμα εξόδου δια μέσου μιας πύλης αντιστροφής ΝΟΤ για να καταλήξουμε το

σήμα εξόδου 119891 Πρόβλημα 432 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τέσσερις εισόδους που έχει έξοδο 1 αν και μόνο αν δύο ή περισσότερες είσοδοι είναι 1 Λύση Υπάρχουν 24=16 συνδυασμοί καταστάσεων εισόδου Συνολικά μόνο 5 από αυτούς δίνουν έξοδο 119891=0 Έτσι το κανονικό διάγραμμα θα αποτελείται από 11 πύλες AnD 4 πύλες ΝΟΤ και μία πύλη OR Εφόσον 119891=1 για 16-5=11 συνδυασμούς καταστάσεων εισόδου επιλέγουμε τον αναπροσαρμοσμένο αλγόριθμο που μόλις περιγράψαμε Θεωρούμε μόνο εκείνες τις περιπτώσεις συνδυασμών εισόδου για τις οποίες 119891΄=1 που σημαίνει 119891=0 Πίνακας 432 Καταστάσεις για τις οποίες f=0 α1 α2 α3 α4 Όρος που αντιστοιχεί 0 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 0 1 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 0 1 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 0 1 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄ 1 0 0 0 α1΄andα2΄andα3΄andα4΄

Άρα 119891=[(α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)or(α1andα2andα3andα4α1andα2andα3andα4)] Το σχέδιο είναι στο Σχήμα 437 που ακολουθεί

Σχήμα 437 Αυτό το κύκλωμα έχει 5 πύλες AnD 5 πύλες ΝΟΤ και μια πύλη OR 44 Άλγεβρα Boole Δυο προτάσεις x και y είναι ισοδύναμες αν έχουν τον ίδιο πίνακα λειτουργίας Η ισοδυναμία των προτάσεων παριστάνεται με την έκφραση xequivy

11

Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σειρά τιμών που λαμβάνουν οι μεταβλητές x και y οι τιμές αυτές είναι ίδιες Εφαρμογή 441 Να δειχτεί ότι οι προτάσεις x=βandα και y=αand(βandα) είναι ισοδύναμες Πράγματι ο πίνακας λειτουργίας είναι

α β βandα αand(βandα) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 xequivy

Η ύπαρξη ισοδύναμων προτάσεων μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι κάθε πρόταση μπορεί να διατυπωθεί με διαφορετικές μορφές αρκεί για κάθε νέα διατύπωσή της να είναι ισοδύναμη με τις προηγούμενες Η υπόθεση αυτή είναι πραγματοποιήσιμη εφόσον οι αναδιατυπώσεις της αρχικής προκύπτουν μετά από την εφαρμογή ενός ή περισσότερων νόμων της άλγεβρας Boole Μια σημαντική εφαρμογή μιας τέτοιας διαδικασίας είναι η διατύπωση μιας λογικής πρότασης με τον πιο οικονομικό τρόπο δηλαδή μια σύντομη μορφή Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας Αλγόριθμος 441 που μετατρέπει μια λογική πρόταση στη Σύντομη Διαζευκτική Μορφή (ΣΔΜ) Προηγουμένως όμως θα πρέπει να αναφερθεί μια σειρά από ορισμούς και προτάσεις απαραίτητες για την ανάπτυξη του αλγόριθμου για την αναδιατύπωση πρότασης στη ΣΔΜ της

Τα αποτελέσματα της Εφαρμογής 441 γενικεύονται αν στη θέση των μεταβλητών α και β τεθούν οι λογικές προτάσεις x και y όποτε προκύπτει η ισοδυναμία xand(yandx)equivyandx(1) Από την παρατήρηση αυτή προκύπτει η αρχή της αντικατάστασης Θεώρημα 441 Σε μια ισοδυναμία κάθε μεταβλητή μπορεί να αντικατασταθεί από μια πρόταση και κάθε πρόταση μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη πρόταση

Πρόβλημα 441 Να δειχτεί ότι (αorβ)and[(γorδorε)and(αor)]equiv(γorδorε)and(αorβ) Είναι προφανής η ισχύς της πρότασης διότι αυτή έχει προέλθει από την (1) με αντικαταστάσεις του x=(αorβ)και y=γorδorε

Πρόκειται στη συνέχεια να παρουσιάσουμε έναν αριθμό ισοδυναμιών οι οποίες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη διαδικασία επαναδιατύπωσης των προτάσεων Οι ισοδυναμίες αυτές ονομάζονται και νόμοι της Άλγεβρας Boole προς τιμή του George Boole (1815ndash1864) Η χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole επιτρέπει τη μετατροπή μιας πρότασης σε μια ισοδύναμη συντομότερη μορφή Σημειώνουμε με 1 την πρόταση της οποίας η τιμή παραμένει 1 για κάθε συνδυασμό τιμών των λογικών στοιχείων που τη συγκροτούν Σε ένα κύκλωμα διακόπτη 1 σημαίνει μόνιμα ανοικτό Για όλες τις προτάσεις x y και z Πίνακας 441 Οι νόμοι της άλγεβρας Boole για τους οποίους ισχύει η αρχή του δυισμού ως προς τις λογικές πράξεις της σύζευξης και της διάζευξης

Ονοματολογία Ιδιότητες Ταυτοτικοί Νόμοι xorxequivx και xandxequivx Αντιμεταθετικοί νόμοι xoryequivyorx και xandyequivyandx Προσεταιριστικοί νόμοι xor(yandz)equiv(xory)and(xorz) και xand(yorz)equiv(xandy)or(xandz) Επιμεριστικοί νόμοι xor(yorz)equiv(xory)orz και xand(yandz)equiv(xandy)andz Νόμοι της απορρόφησης xor(yandz)equivx και xand(xory)equivx Νόμοι του φραγμένου xand0equiv0 και xor1equiv1 xand1equivx και xor0equiv0 Νόμοι του συμπληρώματος xandxequiv0 και xorxequiv1 Νόμοι της ενέλιξης (x)equivx Νόμοι De Morgan (xandy)equivxory και (xory)equivxandy

11

Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σειρά τιμών που λαμβάνουν οι μεταβλητές x και y οι τιμές αυτές είναι ίδιες Εφαρμογή 441 Να δειχτεί ότι οι προτάσεις x=βandα και y=αand(βandα) είναι ισοδύναμες Πράγματι ο πίνακας λειτουργίας είναι

α β βandα αand(βandα) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 xequivy

Η ύπαρξη ισοδύναμων προτάσεων μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι κάθε πρόταση μπορεί να διατυπωθεί με διαφορετικές μορφές αρκεί για κάθε νέα διατύπωσή της να είναι ισοδύναμη με τις προηγούμενες Η υπόθεση αυτή είναι πραγματοποιήσιμη εφόσον οι αναδιατυπώσεις της αρχικής προκύπτουν μετά από την εφαρμογή ενός ή περισσότερων νόμων της άλγεβρας Boole Μια σημαντική εφαρμογή μιας τέτοιας διαδικασίας είναι η διατύπωση μιας λογικής πρότασης με τον πιο οικονομικό τρόπο δηλαδή μια σύντομη μορφή Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας Αλγόριθμος 441 που μετατρέπει μια λογική πρόταση στη Σύντομη Διαζευκτική Μορφή (ΣΔΜ) Προηγουμένως όμως θα πρέπει να αναφερθεί μια σειρά από ορισμούς και προτάσεις απαραίτητες για την ανάπτυξη του αλγόριθμου για την αναδιατύπωση πρότασης στη ΣΔΜ της

Τα αποτελέσματα της Εφαρμογής 441 γενικεύονται αν στη θέση των μεταβλητών α και β τεθούν οι λογικές προτάσεις x και y όποτε προκύπτει η ισοδυναμία xand(yandx)equivyandx(1) Από την παρατήρηση αυτή προκύπτει η αρχή της αντικατάστασης Θεώρημα 441 Σε μια ισοδυναμία κάθε μεταβλητή μπορεί να αντικατασταθεί από μια πρόταση και κάθε πρόταση μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη πρόταση

Πρόβλημα 441 Να δειχτεί ότι (αorβ)and[(γorδorε)and(αor)]equiv(γorδorε)and(αorβ) Είναι προφανής η ισχύς της πρότασης διότι αυτή έχει προέλθει από την (1) με αντικαταστάσεις του x=(αorβ)και y=γorδorε

Πρόκειται στη συνέχεια να παρουσιάσουμε έναν αριθμό ισοδυναμιών οι οποίες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη διαδικασία επαναδιατύπωσης των προτάσεων Οι ισοδυναμίες αυτές ονομάζονται και νόμοι της Άλγεβρας Boole προς τιμή του George Boole (1815ndash1864) Η χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole επιτρέπει τη μετατροπή μιας πρότασης σε μια ισοδύναμη συντομότερη μορφή Σημειώνουμε με 1 την πρόταση της οποίας η τιμή παραμένει 1 για κάθε συνδυασμό τιμών των λογικών στοιχείων που τη συγκροτούν Σε ένα κύκλωμα διακόπτη 1 σημαίνει μόνιμα ανοικτό Για όλες τις προτάσεις x y και z Πίνακας 441 Οι νόμοι της άλγεβρας Boole για τους οποίους ισχύει η αρχή του δυισμού ως προς τις λογικές πράξεις της σύζευξης και της διάζευξης

Ονοματολογία Ιδιότητες Ταυτοτικοί Νόμοι xorxequivx και xandxequivx Αντιμεταθετικοί νόμοι xoryequivyorx και xandyequivyandx Προσεταιριστικοί νόμοι xor(yandz)equiv(xory)and(xorz) και xand(yorz)equiv(xandy)or(xandz) Επιμεριστικοί νόμοι xor(yorz)equiv(xory)orz και xand(yandz)equiv(xandy)andz Νόμοι της απορρόφησης xor(yandz)equivx και xand(xory)equivx Νόμοι του φραγμένου xand0equiv0 και xor1equiv1 xand1equivx και xor0equiv0 Νόμοι του συμπληρώματος xandxequiv0 και xorxequiv1 Νόμοι της ενέλιξης (x)equivx Νόμοι De Morgan (xandy)equivxory και (xory)equivxandy

12

Αρχή του Δυϊσμού Για κάθε ισοδυναμία προτάσεων που είναι εν ισχύ η ισοδυναμία που προκύπτει με εναλλαγή των πράξεων σύζευξης και διάζευξης ή και των τιμών 0 και 1 των λογικών στοιχείων είναι επίσης εν ισχύ Εφαρμογή 442 Η ισχύς της αποδεικνύεται με διαδοχική εφαρμογή του αντιμεταθετικού επιμεριστικού ταυτοτικού και τέλος πάλι του αντιμεταθετικού νόμου xand(yandx)equivxand(yandx)equivxand(yandx)equivxandxequivyandx Σύμφωνα με την αρχή του δυισμού ισχύει και η ισοδυναμία xor(yorx)equivxory Οι νόμοι της άλγεβρας Boole αποδεικνύονται εύκολα με τη βοήθεια πινάκων λειτουργίας και την αρχή του δυισμού Εφαρμογή 443 Απόδειξη του πρώτου νόμου De Morgan

x y xandy (xandy)rsquo xrsquo y xoryrsquo 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0

Έτσι (xandy)x^ory

x y z y˄z x˅(y˄z) x˅y x˅z (x˅y)˄(x˅z) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Συνεπώς x˅(y˄z)equiv(x˅y)˄(x˅z)

Οι νόμοι της άλγεβρας Boole γενικεύονται κα για περισσότερες προτάσεις x₁x₂hellipxn Σύμφωνα με το γενικό προσαιτεριστικό νόμο κάθε τρόπος εισαγωγής παρενθέσεων στην x₁˄x₂˄hellip˄xn δίνει ισοδύναμες προτάσεις Έτσι (x1˄x2 )˄(x3˄x4 )equivx1˄[x2˄(x3˄x4)]equiv[x₁˄(x₂˄x₃)˄x₄] και ούτω καθεξής Για τον λόγο αυτό μπορούμε να x₁˄x₂hellip˄xn χωρίς παρενθέσεις

Σύμφωνα με τον γενικό αντιμεταθετικό νόμο κάθε αναδιάταξη των προτάσεων στη x₁˄x₂hellip˄xn δίνει ισοδύναμη πρόταση Άρα x₁andx₂andx₃equivx₂andx₃andhellipandx₁ και ούτω καθεξής

Σύμφωνα με τους παραπάνω νόμους και το γενικό ταυτοτικό νόμο όλες οι επαναλήψεις των προτάσεων στην x₁˄x₂hellip˄xn μπορούν να παραληφθούν Ότι απομένει είναι μια ισοδύναμη πρόταση ΄Ετσι x₁˄x₂˄x₃˄x₂˄x₃˄x₂˄x₃equivx₁˄x₂˄x₃ Σύμφωνα με τους νόμους του φραγμένου και του συμπληρώματος αν η x₁x₂hellipxn περιέχει 0 ή περιέχει μία πρόταση και την άρνηση της τότε x₁˄x₂hellip˄xnequiv0

Ακόμη αλλά τα 1 στην x₁˄x₂hellip˄xn μπορεί να αγνοηθούν εκτός αν η τιμή της πρότασης είναι 1 Έτσι x1andx2andx3and0equiv0 x1andx2andx3andx3equiv0 1andx1and1andx2andx3and1equivx1andx2andx3

Συμβολίζουμε με x[n] την έκφραση (hellip(xrsquo)rsquohellip)rsquo όπου n ακέραιος n ακέραιος nge2 Σύμφωνα με τον νόμο της ενέλιξης x[n]equivx αν n είναι άρτιος και x[n]equivx αν n είναι περιττός Έτσι ((((x))))equivx και (((x)))equivx Τελικά ο επιμεριστικός νόμος και οι νόμοι De Morgan είναι αντίστοιχα xand(x1orx2orhelliporxnequiv(xandx1)or(xandx2)orhellipor(xandxn) (x1andx2andhellipandxn)equivx1orx2orhelliporxn καθώς και οι δυαδικές εκφράσεις

13

Ο πρώτος νόμος της απορρόφησης χρησιμοποιείται μερικές φορές για να σβήσει όρους από μια διαζευκτική μορφή Θυμίζουμε στο σημείο αυτό ότι όρος σε διαζευκτική μορφή είναι ένα γραμματικό στοιχείο ή η σύζευξη γραμματικών στοιχείων Ένας όρος u περιέχει ένα όρο x αν κάθε γραμματικό στοιχείο στο x είναι και στο u Για παράδειγμα α1andα2andα3 περιέχει τα α1andα2 και το α3

Μπορείτε στο σημείο αυτό να αποδείξετε ότι η σύζευξη n γραμματικών στοιχείων περιέχει 2n-1 διαφορετικούς όρους Υποθέστε ότι u και x είναι όροι μιας διαζευκτικής μορφής 119891=uorxorhellip και ότι u περιέχει το x Θα δείξουμε ότι το u μπορεί να απαλειφθεί Ας σημειώσουμε ότι αν το u δεν είναι ίσο με το x τότε το u έχει περισσότερα γραμματικά στοιχεία από το x Είναι ο μακρύτερος όρος που μπορεί να απαλειφθεί Ο λόγος είναι απλός Σύμφωνα με τον ταυτοτικό νόμο μπορούμε να επαναλαμβάνουμε κάθε γραμματικό στοιχείο στο u ου βρίσκεται και στο x και έτσι προκύπτει ότι uequivuandx Άρα 119891equiv(uandx)orxorhellipequivxorhellip Σύμφωνα με τον πρώτο νόμο της απορρόφησης Εφαρμογή 444 Από την διαζευκτική μορφή (uandvandzandx)or(zanduandx)or(uandx)or(uandz)or(xandwandu) διαγράψτε όσους περισσότερους όρους σας επιτρέπουν οι νόμοι της άλγεβρας Boole

Ο πρώτος όρος περιέχει το δεύτερο ο δεύτερος περιέχει τον τέταρτο και ο πέμπτος περιέχει τον τρίτο Έτσι ο πρώτος δεύτερος και πέμπτος όρος μπορούν να απαλειφθούν και τελικά παραμένει η ισοδύναμη μορφή (uandx)or(uandz)

Ο επόμενος αλγόριθμος αναδιατυπώνει μια πρόταση σε ισοδύναμη ΣΔΜ Αλγόριθμος 441 Για να γράψετε μια έκφραση Boole σε ΣΔΜ Εφαρμόστε τους νόμους De Morgan και τον νόμο της ενέλιξης όσες φορές είναι δυνατό Εφαρμόστε τον δεύτερο επιμεριστικό νόμο όσες φορές είναι δυνατόν Η πρόταση είναι τώρα σε διαζευκτική μορφή (δμ) Εφαρμόστε τον ταυτοτικό νόμο και τους νόμους φραγμένου και συμπληρώματος όσες φορές είναι δυνατόν Εφαρμόστε τον πρώτο νόμο της απορρόφησης όσες φορές είναι δυνατόν Η πρόταση είναι τώρα σε ΣΔΜ

Πρόβλημα 442 Επαναδιατυπώστε την πρόταση (1) στην Παράγραφο 42 σε σ δ μ

([(α2orα3)and(α1andα2andα3)]orα3equiv ([(α2orα3)and(α1andα2andα3)]andα3equiv ([(α2orα3)^or(α1andα2andα3)]andα3)equiv [(α2andα3)or(α1orα2orα3)]andα3equiv [(α2andα3)andα3]or[(α1orα2orα3)andα3equiv (α2andα3andα3)or(α1andα3)or(α2andα3)or(α3andα3)equiv (α1andα3)or(α2andα3)

Το κύκλωμα διακόπτη για αυτή τη σ δ μ που απεικονίζεται στο Σχήμα 441

Σχήμα 441 Υπάρχουν μερικές περιπτώσεις όπου η ΣΔΜ δεν αντιπροσωπεύει την απλούστερη μορφή Για παράδειγμα αναφέρουμε την πρόταση αand(βorγ) που έχει ΣΔΜ την πρόταση (αandβ)or(αandγ) της οποίας ο σχεδιασμός απαιτεί τρεις διακόπτες αντί δύο Το πρόβλημα της εύρεσης ενός κυκλώματος με ελάχιστο αριθμό

14

διακοπτών που είναι ισοδύναμο με ένα δοσμένο κύκλωμα παραμένει ανοικτό (δεν έχει λυθεί) Στην επόμενη παράγραφο θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε την ελάχιστη ΣΔΜ για ένα δοσμένο κύκλωμα Αν και μερικές φορές δεν μπορούμε να βρούμε την τέλεια λύση σε ένα τέτοιο πρόβλημα οι μέθοδοί μας οδηγούν στην καλύτερη δυνατή λύση

Τα κυκλώματα διακόπτες έχουν μια ισοδύναμη διατύπωση με τη βοήθεια της μαθηματικής λογικής στην οποία κάθε μεταβλητή εισόδου εκπροσωπείται με μια πρόταση που μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής Αν η πρόταση που δηλώνεται με την μεταβλητή α είναι αληθής γράφουμε α=1 Αν είναι ψευδής γράφουμε α=0 Η πραγματική τιμή (1 ή 0 κατά περίπτωση) οποιασδήποτε πρότασης μπορεί εύκολα να υπολογιστεί όταν οι αληθείς τιμές των παραγόντων προτάσεων είναι γνωστές Πρόβλημα 443 Να εξετάσετε την ισχύ (αληθής ή ψευδής) της πρότασης Τέσσερα ισούται με πέντε ή τρία είναι το μισό του έξι και δεν ισχύει ότι τέσσερα δεν ισούται με πέντε και επτά είναι το μισό του δεκαπέντε Απάντηση Έστω ότι α είναι η πρόταση ldquo4=5rdquo β η πρόταση ldquo3=(12)6rdquo και γ είναι η πρόταση ldquo7=(12)15rdquo Τότε η πρόταση γράφεται ως (αorβ)and(αorγ) Επειδή α=0 β=1 και γ=0 έπεται ότι αorβ=1 α=1 (αorγ)=1 και (αorβ)and(αorγ)=1 η πρόταση είναι αληθής Οι υπολογισμοί αυτοί μπορούν να γραφούν ως εξής (αorβ)and(αandγ)=0or1)and(0and0)^=1and0=1and1=1 Ένας άλλος τρόπος είναι να γράψουμε την πρόταση σε ΣΔΜ

(αorβ)and(αandγ) equiv(αorβ)and(αorγ) equivαor(βandγ) Τότε αor(βandγ)=0or(1or0)=0or1=1

Ορισμός 441 Ταυτολογία είναι μια πρόταση που έχει αληθή τιμή 1 για όλες τις τιμές των παραγόντων προτάσεων

Ορισμός 442 Αντιλογία είναι μια πρόταση με αληθή τιμή 0 για όλες τις τιμές των παραγόντων προτάσεων

Συνεπώς μια πρόταση 119891είναι ταυτολογία αν 119891=1 ενώ είναι αντιλογία αν 119891=12 ενώ είναι αντιλογία αν 119891=0 Πρόβλημα 444 Αποδείξτε ότι η πρόταση 119891=[(αorβ)and(γorα)]or(γorα) είναι ταυτολογία Απάντηση Ο πίνακας λειτουργίας (καλείται και πίνακας αληθείας) της 119891 είναι Πίνακας 442 Ταυτολογία

α β γ α αorβ γorαrsquo (αorβ)andγorα΄) γorα f 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

Αυτή η μέθοδος απόδειξης ονομάζεται απόδειξη κατά περιπτώσεις Σε αυτή κάθε δυνατός συνδυασμός τιμών α β και γ ελέγχεται Είναι όμως δυνατή και απόδειξη με τη βοήθεια της άλγεβρας Boole

15

[(αorβ)and(γorα)]or(γorα)equiv equivαorαor(βandγ)orγequiv equiv1or(βandγ)orγ equiv1 Πρόβλημα 445 Να δείξετε με τη βοήθεια πίνακα αληθείας και με τους νόμους της άλγεβρας Boole ότι η πρόταση g=(αorβ)and(αandβ) είναι αντιλογία Απάντηση Ο πίνακας λειτουργίας είναι Πίνακας 443 Αντιλογία

α β αorβ α β αandβrsquo g 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0

Με εφαρμογή του δεύτερου νόμου de Morgan στον όρο (αandβ) gequiv(αorβ)and(αandβ)equiv(αorβ)and(αorβ)equiv0 Μια σημαντική λογική σχέση είναι και η γνωστή συνεπαγωγή Για τις προτάσεις x και y ο συμβολισμός xrArry σημαίνει ldquox συνεπάγει το yrdquo ή ldquoαν x τότε yrdquo Η συνεπαγωγή έχει τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας Πίνακας 444 Συνεπαγωγή

x y xrArry 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Η συνεπαγωγή μπορεί να κατασκευαστεί με τη χρήση μιας πύλης ΝΟΤ και μιας πύλης OR όπως φαίνεται από την ισοδυναμία xrArryequivxory (2) Είναι εύλογο να θεωρεί κανείς ότι η πρόταση ldquoαν x τότε x ή yrdquo είναι πάντα ορθή δηλαδή είναι ταυτολογία Εύκολα αποδεικνύεται αυτό και με τη βοήθεια της άλγεβρας Boole και της ισοδυναμίας (2)

xrArr(xory )equivxor(xory) equiv(xorx)ory equiv1ory equiv1

Γενικά αν 119891=x1orx2orx3ororxn τότε x1rArr119891 x2rArr119891 και xnrArr119891 είναι ταυτολογίες Έτσι κάθε όρος σε μια διαζευκτική συνεπάγει τη μορφή Με ανάλογο τρόπο ο αναγνώστης μπορεί να δείξει ότι η xandyrArrx είναι ταυτολογία Υποθέστε ότι η Θ και x είναι όροι μιας διαζευκτικής μορφής Αν επιπλέον ισχύει ότι Θ περιέχει την x τότε Θ=Θandx και αυτό συνεπάγεται ότι ΘrArrx

Η πρόταση (xrArry)and(yrArrx) γράφεται συνήθως ως x⟺y που σημαίνει ldquox αν μόνο αν yrdquo Πρόβλημα 446 Αποδείξτε ότι η πρόταση 119891=[(αorβ)and(γorα)]or(γorα) Είναι ταυτολογία Απάντηση Θέτουμε για χάρη συντομίας 119891=(xandy)or(xory) Ο πίνακας λειτουργίας της πρότασης διαμορφώνεται ως εξής

16

x y xrArry yrArrx xhArry xΛy xVy (xVy)rsquo f 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1

Αν αντί του πίνακα λειτουργίας χρησιμοποιήσουμε τους νόμους της άλγεβρας Boole για να δείξουμε την ισοδυναμία της x⟺y και της 119891 έχουμε

x⟺yequiv(xory)and(yandx) equiv[(xory)andy]or[(xory)andx] equiv[(xandy)or(yandy)]or[(xandx)or(xandy)] equiv(xandy)or(yandx) equiv(xandy)or(xandy) equiv(xandyxandy)or(xory) equiv119891

45 Ελάχιστες Μορφές Η βέλτιστη μορφή στην οποία μια πρόταση μπορεί να γραφτεί εξαρτάται από τους όρους που την συγκροτούν Για χάρη συντομίας θα εστιάσουμε το ενδιαφέρον μας μόνο στις διαζευκτικές μορφές Έτσι στα επόμενα η λέξη όρος θα εκφράζει είτε ένα γραμματικό στοιχείο ή μια σύζευξη γραμματικών στοιχείων Παραδείγματα όρων θα μπορούσαν να είναι τα α β αandβ ή ο αandβandγ

Μια πρόταση στην οποία υπάρχει μια σειρά διαζεύξεων όρων καλείται διαζευκτική μορφή Μια πρόταση 119891 μπορεί να έχει διαφορετικές αλλά ισοδύναμες διαζευκτικές μορφές Ένας αριθμός από αυτές έχουν μικρότερο πλήθος όρων από τις υπόλοιπες Από τις διαζευκτικές μορφές μπορεί να διακρίνουμε μερικές που έχουν τον ελάχιστο αριθμό γραμματικών στοιχείων Αυτές είναι οι laquoβέλτιστεςraquo διαζευκτικές μορφές που στη συνέχεια θα καλούνται laquoελάχιστες μορφές της 119891raquo Ορισμός 451 Ελάχιστη μορφή πρότασης είναι μια διαζευκτική μορφή τέτοια ώστε καμιά ισοδύναμη διαζευκτική μορφή δεν έχει λιγότερους όρους και καμιά ισοδύναμη διαζευκτική μορφή με τον ίδιο αριθμό όρων δεν έχει λιγότερα γραμματικά στοιχεία (επαναλήψεις) αρίθμησης)

Επειδή (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ)equivαor(αandβandγ)or(αandβandγ) συμπεραίνεται ότι (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ)equiv(αandγ)or(βandγ)or(αandγ) Στην τελευταία σχέση η διαζευκτική μορφή στο αριστερό μέρος της ταυτότητας έχει τέσσερις όρους ενώ η διαζευκτική μορφή στο δεξιό μέρος της ταυτότητας έχει τρεις όρους Παρατηρείται επίσης ότι το δεξιό μέλος της πρώτης (ενδιάμεσης) σχέσης περιλαμβάνει επτά γραμματικά στοιχεία ενώ η δεξιά μορφή στην επόμενη σχέση περιλαμβάνει μόνο έξι γραμματικά στοιχεία Αν συνεχίσει κάποιος να εφαρμόζει τους νόμους της άλγεβρας Boole μπορεί να καταλήξει στη διαζευκτική μορφή αor(βandγ) Έτσι η μορφή (3) δεν είναι επίσης ελάχιστη Τελικά μπορεί να αποδειχτεί ότι καμιά διαζευκτική μορφή ισοδύναμη προς τη μορφή (4) δεν έχει μόνο έναν όρο και ότι κάθε διαζευκτική μορφή που είναι ισοδύναμη προς την τελευταία διαζευκτική μορφή των δυο όρων δεν έχει λιγότερους (δηλαδή ένα) όρους Επίσης κάθε διαζευκτική μορφή ισοδύναμη με την τελευταία περιλαμβάνει τουλάχιστον τρία γραμματικά στοιχεία Συμπεραίνεται λοιπόν ότι η τελευταία διαζευκτική μορφή είναι μια ελάχιστη διαζευκτική μορφή Πράγματι χρησιμοποιώντας τους αλγόριθμους που θα παρουσιαστούν σε αυτό το μέρος του βιβλίου μπορεί να αποδειχτεί η ελάχιστη διαζευκτική μορφή που παρουσιάστηκε παραπάνω είναι και η μοναδική ελάχιστη διαζευκτική μορφή των προτάσεων στο παράδειγμα Σε άλλες όμως περιπτώσεις μπορεί να υπάρχουν περισσότερες της μίας ελάχιστες μορφές

Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί ένας αλγόριθμος ο οποίος βρίσκει και παρουσιάζει όλες τις ελάχιστες μορφές μιας οποιασδήποτε πρότασης Αλγόριθμοι που επιτυγχάνουν το ίδιο αποτέλεσμα υπάρχουν και άλλοι αλλά για μικρές προτάσεις που χρησιμοποιούνται σε αυτό το ηλεκτρονικό βιβλίο κρίνεται ότι ο αλγόριθμος

17

που επιλέχθηκε είναι ο καλύτερος χάρη στην απλότητά του Ως μικρές προτάσεις εννοούμε προτάσεις 6 το πολύ μεταβλητών

Για την εύρεση ελάχιστων διαζευκτικών μορφών προτάσεων με μικρό αριθμό γραμματικών στοιχείων συχνά χρησιμοποιούνται διαγραμματικές παραστάσεις γνωστές ως πίνακες Karnaugh Παρά το γεγονός ότι είναι εύκολες στην κατανόηση και τη χρήση είναι δύσκολο να γραφεί κώδικας για τη χρήση τους με υπολογιστικά συστήματα Η πλέον διαδεδομένη μέθοδος για χρήση σε υπολογιστές είναι η μέθοδος QuinendashMcCluskey Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται σε γενικές προτάσεις αλλά δεν είναι εύκολο συχνά να περιγραφεί Πιο εύκολα μπορεί να περιγραφεί η μέθοδος της ομόφωνης επέκτασης και επιλογής (consensus expansion and selection) δεν παρουσιάζει τα προβλήματα των προηγούμενων δυο μεθόδων Αυτή η μέθοδος βρίσκει όλες τις ελάχιστες μορφές μιας πρότασης 119891 και αυτό το επιτυγχάνει σε δυο βήματα Στον Αλγόριθμο 452 βρίσκουμε όλους τους όρους που μπορεί να απαντώνται σε οποιαδήποτε ελάχιστη μορφή της 119891 Στον Αλγόριθμο 452 βρίσκουμε όλα τα υποσύνολα του συνόλου των όρων που βρέθηκαν με τη βοήθεια του Αλγόριθμου 452 Ας σημειωθεί ότι μερικές φορές μερικοί όροι που εντοπίζονται με τον Αλγόριθμο 451 δεν εντοπίζονται από τον Αλγόριθμο 452

Ο Αλγόριθμος 451 κάνει χρήση του ακόλουθου αποτελέσματος της άλγεβρας Boole που είναι γνωστός ως νόμος της ομοφωνίας (consensus law) Νόμος της Ομοφωνίας Έστω τρεις προτάσεις x y και z Για κάθε τριάδα τέτοιων προτάσεων ισχύει (xandz)or(yandz)equiv(xandz)or(yandz)or(xandy) Η απόδειξη με χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole έχει ως εξής

(xandz)or(yandz)or(xandy) (xandz)or(yandz)[xand(zorz)andy] equiv(xandz)or(yandz)or(xandzandy)or(xandzandy) equiv(xandz)or(yandz)

Για να γίνει κατανοητός ο τρόπος που λειτουργεί ο νόμος της ομοφωνίας θα εξηγήσουμε πρώτα τι εννοούμε με την έκφραση laquoοι όροι u και v βρίσκονται σε ομοφωνίαraquo Ορισμός 452 Οι όροι u και v είναι όροι σε ομοφωνία αν υπάρχει ακριβώς ένα γραμματικό στοιχείο στο u του οποίου η άρνηση βρίσκεται στο v

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα Παράδειγμα 451

bull Οι όροι α˄b˄c και α˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο α βρίσκεται στον πρώτο Η άρνηση του αrsquo βρίσκεται στο δεύτερο Κανένα άλλο γραμματικό στοιχείο δεν έχει αυτή την ιδιότητα

bull Οι όροι α˄brsquo και b˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία για τους ίδιους λόγους που όμως σε αυτή την περίπτωση αφορούν το γραμματικό στοιχείο b

bull Οι όροι α˄b και b˄c˄d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία οι αρνήσεις των α και brsquo δεν συναντώνται στο δεύτερο όρο

Αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία θα χρησιμοποιήσουμε τους όρους laquoγραμματικό στοιχείο σε ομοφωνίαraquo και laquoόρος σε ομοφωνίαraquo Ορισμός 453 Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το γραμματικό στοιχείο που είναι και αιτία ύπαρξης της ομοφωνίας

18

Ορισμός 454 Όρος σε ομοφωνία είναι η σύζευξη δύο όρων χωρίς τη συμμετοχή του γραμματικού στοιχείου σε ομοφωνία και της αρνήσεώς του

Ο ταυτοτικός νόμος μάς επιτρέπει να παραλείψουμε επαναλήψεις των γραμματικών στοιχείων στον όρο σε ομοφωνία Ας ξαναδούμε τους όρους του Παραδείγματος 451 Παράδειγμα 452 Οι όροι α˄b˄c και αrsquo˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το α και όρος σε ομοφωνία είναι το (b˄c)(c˄d)equivb˄c˄d

bull Οι όροι α˄brsquo και b˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το brsquo και όρος σε ομοφωνία είναι ο α˄c˄d

bull Οι όροι αrsquo και b˄c˄d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία Ας προσέξουμε και πάλι τον νόμο της ομοφωνίας (5) (x˄z)˅(y˄zrsquo)equiv(x˄z)˅(y˄zrsquo)˅(x˄y) Σημειώστε ότι στην αριστερή πλευρά βρίσκονται δύο όροι σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το z και ο όρος σε ομοφωνία είναι ο x˄yΟ νόμος της ομοφωνίας λέει ότι αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία μπορούμε να παραλείψουμε τον όρο σε ομοφωνία και έτσι να προκύψει μία ισοδύναμη πρόταση Κάτι τέτοιο φαίνεται αρκετά παράξενο αφού το δεξί μέρος της (5) φαίνεται επιμηκέστερο και πιο πολύπλοκο από το αριστερό Δίνεται η εντύπωση ότι η προσάρτηση του όρου σε ομοφωνία δυσκολεύει τα πράγματα Αυτό είναι αλήθεια αλλά μας επιτρέπει να πούμε laquoβραχυπρόθεσμη αλήθειαraquo Αιτία της φαινομενικής αυτής δυσκολίας είναι ο νόμος της απόσβεσης Συνήθως η δεξιά πλευρά της (5) απλοποιείται γιατί ένας laquoμακρύςraquo όρος περιέχει ένα laquoβραχύτεροraquo και έτσι ο laquoμακρύτεροςraquo αποσβήνεται δηλαδή laquoσβήνεταιraquo Στη γενική έκφρασή της (5) καμία απόσβεση δεν συντελείται Σύντομα όμως θα έχουμε την ευκαιρία να δείξουμε τον αλγόριθμο και ένα παράδειγμα όπου θα φανεί πως μια προσωρινή πολυπλοκότητα οδηγεί σε μια ικανοποιητική απλούστευση

Η ιδέα επί της οποίας στηρίζεται ο Αλγόριθμος 451 είναι απλή Αν δυο όροι της 119891 βρίσκονται σε ομοφωνία και έχουν όρο σε ομοφωνία Χ και αν αυτός ο όρος σε ομοφωνία δεν περιλαμβάνει κανέναν όρο που βρίσκεται ήδη στην 119891 τότε ο όρος Χ θα πρέπει να συμπεριληφθεί στην 119891 Αυτό σημαίνει ότι η 119891 αντικαθίσταται από την 119891orX Ο κανόνας αυτός επαναλαμβάνεται μέχρι το σημείο όπου δεν μπορεί να εφαρμοστεί πλέον Στο σημείο αυτό ολοκληρώνεται η διαδικασία εφαρμογής του αλγόριθμου Αλγόριθμος 451 Εύρεση της εν ομοφωνία επέκτασης μιας πρότασης 119891 σε ΣΔΜ

bull Αν υπάρχουν δυο όροι που έχουν έναν όρο σε ομοφωνία (ο οποίος δεν περιέχει έναν όρο που βρίσκεται ήδη στην μορφή) προσαρτήστε στη μορφή αυτόν τον όρο σε ομοφωνία Σε κάθε άλλη περίπτωση ακολουθήστε το βήμα 4

bull Απαλείψτε όλους τους προηγούμενους όρους που περιέχουν τον όρο που μόλις προστέθηκε Πηγαίνετε στο βήμα 1

bull ΤΕΛΟΣ Η εν ομοφωνία επέκταση της 119891 έχει οριστεί Αυτή είναι η διάζευξη όλων των όρων που θα μπορούσαν να περιλαμβάνονται σε μια ελάχιστη μορφή ισοδύναμη της 119891

Παράδειγμα 453 Να βρεθεί η εν ομοφωνία επέκταση της πρότασης

( ) ( ) ( ) ( ) ( )prime prime= and and or and or and and or and or and and andprime prime prime1 2 3 4 5

f a b c a c a b d a c a b c d

Η πρόταση βρίσκεται ήδη σε ΣΔΜ Οι όροι 1 και 2 βρίσκονται σε ομοφωνία με όρο σε ομοφωνία τον α˄b Όταν αναφέρουμε τα βήματα εφαρμογής του αλγόριθμου γράφουμε ldquo1-2rdquo για να δηλώσουμε ότι οι όροι 1 και 2 έχουν συγκριθεί ή γράφουμε ldquo1-2αandbrdquo για να δηλώσουμε και τον όρο σε ομοφωνία Ο όρος αandb δεν

19

περιέχει κανέναν από τους επόμενους όρους ως τον όρο 5 και για αυτό προστίθεται αφού χαρακτηριστεί με

τον επόμενο διαθέσιμο αριθμό που είναι ο 6 and6

a b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

Αν ο νέος όρος περιέχει έναν όρο που ήδη περιέχει μπορούμε να τον προσθέσουμε αλλά εξυπακούεται ότι αμέσως θα απορροφηθεί Τώρα οι όροι 1 και 3 περιέχουν τον όρο 6 τους σβήνουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

( ) ( ) ( ) ( )= and or and orprime and and and or and

2 4 5 6

f a c a c a b c d a b και στη συνέχεια ξαναγυρίζουμε στην εντολή 1 του

αλγόριθμου Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Οι όροι 2 και 4 δεν βρίσκονται σε ομοφωνία και έτσι γράφουμε lsquo2-4rsquo και συνεχίζουμε Καταγράφουμε στη συνέχεια τα πρώτα 8 βήματα

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 5

Όρος σε ομοφωνία ο and and

7

b c d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and and and or and orprime primeand prime andprime

2 4 5 6 7

f a c a c a b c d a b b c d

Απορροφάται ο όρος 5 ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or andprime prime and primeor primeand

2 4 6 7

f a c a c a b b c d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 7

Όρος σε ομοφωνία ο and8

b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and orprime prime and orprimeandprime and

2 4 6 7 8

f a c a c a b b c d b c

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 8 (όχι 4-7) γιατί κάθε φορά που ένας νέος όρος

προστίθεται πηγαίνουμε πίσω στην πρώτη σύγκριση που δεν έχει γίνει ακόμα Όρος σε ομοφωνία ο αΛb ο οποίος περιέχει (στην ουσία είναι ίσος) τον όρο 6 Η πρόταση δεν

εμπλουτίζεται Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο α΄Λb΄Λd΄

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο b΄Λc΄Λd΄ που είναι ίδιος με τον όρο 7 γιrsquo αυτό απορροφάται

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο αΛc΄Λd΄ (περιέχει το 2) και για αυτό απορροφάται

20

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 8 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο α΄ΛcΛd΄ (περιέχει τον όρο 4) STOP Η επέκταση σε ομοφωνία είναι 119891=(αΛc)V(αΛc)V(αΛb)V(bΛcΛd)V(bΛc)V(αΛbΛd) Η χρήση των κεφαλαίων γραμμάτων ερμηνεύεται στη συνέχεια Παρατηρήσατε ότι η επέκταση σε ομοφωνία έχει 6 όρους ενώ η αρχική είχε μόνο 4 Και οι δύο έχουν

14 γραμματικά στοιχεία Όπως και προηγουμένως αναφέρθηκε ότι η πολυπλοκότερη μορφή στην οποία οδηγηθήκαμε δεν αποτελεί παρά ένα απαραίτητο ενδιάμεσο βήμα που θα μας οδηγήσει στην ελάχιστη μορφή Ο Αλγόριθμος 452 που στη συνέχεια θα περιγράψουμε εφαρμόζεται υποχρεωτικά πάνω στην επέκταση εν ομοφωνία

Πριν όμως παρουσιάσουμε τον Αλγόριθμο 452 θα δώσουμε δύο ακόμα απαραίτητους ορισμούς Ορισμός 455 Ένας όρος σε μια διαζευκτική μορφή μιας πρότασης θα καλείται πλήρης όρος αν περιλαμβάνει είτε όλες τις μεταβλητές της πρότασης είτε τις αρνήσεις τους

Έτσι αν μια πρόταση περιλαμβάνει τις μεταβλητές αbc και d τότε οι όροι αandb΄andcandd΄ και αandbanddandc΄ είναι πλήρεις όροι ενώ α΄andcandd΄ c΄andα b΄ δεν είναι Εύκολα μπορεί να αποδειχτεί ότι κάθε όρος είναι ισοδύναμος με τη διάζευξη όλων των όρων που είναι πλήρεις και τον περιέχουν

Αυτή η διάζευξη καλείται επέκταση του πλήρους όρου Παράδειγμα 454 Θεωρήστε για παράδειγμα τον όρο x=α΄andcandd΄ σε μια πρόταση με μεταβλητές αbc και d Οι μοναδικοί πλήρεις όροι που περιέχει το x είναι α΄andb Λ candd΄ και α΄andb΄andcandd΄ και έτσι έχουμε

(αandbandcandd)or(αandbandcandd) equivαand(borb)andcandd equivαand1andcandd equivαandcandd

Το Παράδειγμα 454 υποδεικνύει έναν τρόπο για να βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για οποιονδήποτε όρο y

bull Για κάθε μεταβλητή u στην πρόταση που είναι τέτοια ώστε ούτε η u αλλά ούτε η u δεν βρίσκονται στην y γράψτε τη διάζευξη uoru

bull Σχηματίστε τη σύζευξη της y και όλων των διαζεύξεων που είναι γραμμένες στο βήμα 1 bull Ξαναγράψτε το αποτέλεσμα του βήματος 2 σε διαζευκτική μορφή Αυτή είναι η επέκταση πλήρους

όρου του y Στο τέλος του παραδείγματος 44 βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για τον όρο Α=αandcrsquo Οι μεταβλητές b και d καθώς και οι αρνήσεις τους δεν βρίσκονται στον Α έτσι γράφουμε τις διαζεύξεις borb΄ και dord΄ Σχηματίζουμε τη σύζευξη αand(borb΄)andc΄and(dord΄) και στη συνέχεια την ξαναγράφουμε για να προκύψει η επέκταση πλήρους όρου Α=(αandbandcandd)and(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd) Εύκολα επίσης μπορούμε να εκτιμήσουμε το πλήθος των πλήρων όρων Αν η πρόταση έχει n μεταβλητές τότε υπάρχουν 2n διαφορετικοί πλήρεις όροι

Και πάλι θα πρέπει να σημειωθεί ότι η επέκταση πλήρους όρου περιέχει περισσότερους όρους από την αρχική πρόταση Με τον Αλγόριθμο 452 που εφαρμόζεται στην επέκταση πλήρους όρου επιτυγχάνεται

21

η συντόμευση μιας κατά τα άλλα επίπονης και μακράς διαδικασίας Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σε ομοφωνία για να αναγνωρίσουμε τους πλεονάζοντες όρους Στο παράδειγμά μας η πλήρης επέκταση της πρότασης 119891 έχει έξι όρους και η επέκταση πλήρους όρου έχει 4+4+4+2+4+2=20 όρους Αυτοί οι 20 όροι παριστάνονται με V στον Πίνακα 451 Η ελάχιστη μορφή της f έχει τέσσερεις όρους με 9 γραμματικά στοιχεία Προκειμένου όμως να φτάσουμε σε αυτή τη μορφή χρειάστηκε να μεσολαβήσει μια πρόταση με 6 όρους και 24 γραμματικά στοιχεία

Για να αρχίσουμε χρειαζόμαστε έναν σύντομο τρόπο για την παράσταση όρων σε επεκτάσεις πλήρους όρου Πρώτα βεβαιωθείτε ότι γράψατε τα γραμματικά στοιχεία (ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για τις καταφάσεις ή τις αρνήσεις τους) με την ίδια τάξη σε όλους τους όρους Αν δηλαδή μεταβλητές σας είναι οι αβγδhellip θα γραφούν σε αλφαβητική σειρά ενώ αν έχουν τη μορφή α1α2α3 hellip κατά την ανιούσα τάξη των δεικτών Στη συνέχεια κωδικοποιήστε κάθε πλήρη όρο ως ένα n-ψήφιο δυαδικό αριθμό γράφοντας 1 για κάθε μεταβλητή στον όρο και 0 για κάθε άρνηση της μεταβλητής Για παράδειγμα οι πλήρεις όροι αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγrsquoandδ στην πλήρη επέκταση του Α όπως αυτή καταγράφηκε παραπάνω κωδικοποιούνται αντίστοιχα ως 1000 1001 1100 και 1101 Τελικά για να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη γραφή πλήρων όρων καταφεύγουμε στη βοήθεια του δεκαδικού συστήματος Έτσι οι όροι του Α γίνονται αντίστοιχα 8 9 12 και 14 Οι δυνατοί πλήρεις όροι για μια πρόταση με n μεταβλητές έχουν τελικά κωδικοποιηθεί με τη βοήθεια των αριθμών του δεκαδικού συστήματος 123hellip2n-1 Αντίστροφα κάθε ένας από τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος παράγει τον αντίστοιχό του στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης που με τη σειρά του παράγει έναν πλήρη όρο του όρου που εξετάζεται αρκεί να είναι γνωστός ο αριθμός n των μεταβλητών Για παράδειγμα θεωρείστε τον πλήρη όρο με κωδικό 22 σε μια πρόταση με πέντε μεταβλητέςαβγδ και ε Η πενταψήφια δυαδική έκφραση του 22 είναι 10110 και έτσι ο πλήρης όρος που αντιστοιχεί είναι ο αandβandγandδandε Αν η πρόταση έχει έξι μεταβλητές τότε ο 22 αντιστοιχεί στον 010110 και ο πλήρης όρος είναι αandβandγandδandεandζ

Με αυτόν τον συμβολισμό είναι εύκολο να γράψουμε τους δεκαδικούς κώδικες της επέκτασης πλήρους όρου οπουδήποτε αυτοί βρίσκονται Αυτό φαίνεται καλύτερα αν χρησιμοποιήσουμε για παράδειγμα τον όρο Α=αandγ Κωδικοποιούμε τον Α γράφοντας παύλες για τα γραμματικά στοιχεία που λείπουν 1_0_ Δοκιμάστε τώρα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς και μετατρέψτε όλους τους προκύπτοντες δυαδικούς αριθμούς σε αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης

8=(1000) 9=(1001) 12=(1100) 13=(1101)

Αλγόριθμος 452 Επιλογή όλων των ελάχιστων μορφών από την επέκταση σε ομοφωνία

bull Για κάθε όρο από την επέκταση σε ομοφωνία γράψτε τους δεκαδικούς κώδικες όλων των επεκτάσεων πλήρους όρου

bull Σχηματίστε έναν πίνακα με γραμμές που αντιστοιχούν στους όρους της εν ομοφωνία επέκτασης και στήλες στον δεκαδικό κώδικα που αναφέρεται σε τουλάχιστον μια επέκταση πλήρους όρου Σημειώστε με Χ τις επεκτάσεις πλήρους όρου κάθε όρου χωριστά

bull Σημειώστε με έναν κύκλο κάθε Χ που είναι μοναδικό στη στήλη του Στη συνέχεια σημειώστε με αστερίσκο κάθε όρο στην επέκταση σε ομοφωνία που έχει έναν κύκλο στη γραμμή της Αυτοί είναι οι ουσιώδεις όροι της αρχικής πρότασης Στη συνέχεια τοποθετήστε έναν κύκλο σε κάθε επικεφαλίδα στήλης που έχει ένα Χ σε γραμμή με αστερίσκο Αν δεν υπάρχουν σημειωμένοι όροι σε επικεφαλίδες στηλών τότε η μοναδική ελάχιστη μορφή είναι η διάζευξη των ουσιωδών όρων Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε όρο επικεφαλίδας στήλης που έχει σημειωθεί με κύκλο γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλίδες γραμμών και υπάρχει Χ σημειωμένο σε αυτή τη στήλη Αυτή η πρόταση καλείται πρόταση Petric της αρχικής πρότασης

bull Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Ονομάστε την Π bull Διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους του Π οι οποίοι περιέχουν τον ελάχιστο αριθμό

πλήρων όρων

13

Ο πρώτος νόμος της απορρόφησης χρησιμοποιείται μερικές φορές για να σβήσει όρους από μια διαζευκτική μορφή Θυμίζουμε στο σημείο αυτό ότι όρος σε διαζευκτική μορφή είναι ένα γραμματικό στοιχείο ή η σύζευξη γραμματικών στοιχείων Ένας όρος u περιέχει ένα όρο x αν κάθε γραμματικό στοιχείο στο x είναι και στο u Για παράδειγμα α1andα2andα3 περιέχει τα α1andα2 και το α3

Μπορείτε στο σημείο αυτό να αποδείξετε ότι η σύζευξη n γραμματικών στοιχείων περιέχει 2n-1 διαφορετικούς όρους Υποθέστε ότι u και x είναι όροι μιας διαζευκτικής μορφής 119891=uorxorhellip και ότι u περιέχει το x Θα δείξουμε ότι το u μπορεί να απαλειφθεί Ας σημειώσουμε ότι αν το u δεν είναι ίσο με το x τότε το u έχει περισσότερα γραμματικά στοιχεία από το x Είναι ο μακρύτερος όρος που μπορεί να απαλειφθεί Ο λόγος είναι απλός Σύμφωνα με τον ταυτοτικό νόμο μπορούμε να επαναλαμβάνουμε κάθε γραμματικό στοιχείο στο u ου βρίσκεται και στο x και έτσι προκύπτει ότι uequivuandx Άρα 119891equiv(uandx)orxorhellipequivxorhellip Σύμφωνα με τον πρώτο νόμο της απορρόφησης Εφαρμογή 444 Από την διαζευκτική μορφή (uandvandzandx)or(zanduandx)or(uandx)or(uandz)or(xandwandu) διαγράψτε όσους περισσότερους όρους σας επιτρέπουν οι νόμοι της άλγεβρας Boole

Ο πρώτος όρος περιέχει το δεύτερο ο δεύτερος περιέχει τον τέταρτο και ο πέμπτος περιέχει τον τρίτο Έτσι ο πρώτος δεύτερος και πέμπτος όρος μπορούν να απαλειφθούν και τελικά παραμένει η ισοδύναμη μορφή (uandx)or(uandz)

Ο επόμενος αλγόριθμος αναδιατυπώνει μια πρόταση σε ισοδύναμη ΣΔΜ Αλγόριθμος 441 Για να γράψετε μια έκφραση Boole σε ΣΔΜ Εφαρμόστε τους νόμους De Morgan και τον νόμο της ενέλιξης όσες φορές είναι δυνατό Εφαρμόστε τον δεύτερο επιμεριστικό νόμο όσες φορές είναι δυνατόν Η πρόταση είναι τώρα σε διαζευκτική μορφή (δμ) Εφαρμόστε τον ταυτοτικό νόμο και τους νόμους φραγμένου και συμπληρώματος όσες φορές είναι δυνατόν Εφαρμόστε τον πρώτο νόμο της απορρόφησης όσες φορές είναι δυνατόν Η πρόταση είναι τώρα σε ΣΔΜ

Πρόβλημα 442 Επαναδιατυπώστε την πρόταση (1) στην Παράγραφο 42 σε σ δ μ

([(α2orα3)and(α1andα2andα3)]orα3equiv ([(α2orα3)and(α1andα2andα3)]andα3equiv ([(α2orα3)^or(α1andα2andα3)]andα3)equiv [(α2andα3)or(α1orα2orα3)]andα3equiv [(α2andα3)andα3]or[(α1orα2orα3)andα3equiv (α2andα3andα3)or(α1andα3)or(α2andα3)or(α3andα3)equiv (α1andα3)or(α2andα3)

Το κύκλωμα διακόπτη για αυτή τη σ δ μ που απεικονίζεται στο Σχήμα 441

Σχήμα 441 Υπάρχουν μερικές περιπτώσεις όπου η ΣΔΜ δεν αντιπροσωπεύει την απλούστερη μορφή Για παράδειγμα αναφέρουμε την πρόταση αand(βorγ) που έχει ΣΔΜ την πρόταση (αandβ)or(αandγ) της οποίας ο σχεδιασμός απαιτεί τρεις διακόπτες αντί δύο Το πρόβλημα της εύρεσης ενός κυκλώματος με ελάχιστο αριθμό

14

διακοπτών που είναι ισοδύναμο με ένα δοσμένο κύκλωμα παραμένει ανοικτό (δεν έχει λυθεί) Στην επόμενη παράγραφο θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε την ελάχιστη ΣΔΜ για ένα δοσμένο κύκλωμα Αν και μερικές φορές δεν μπορούμε να βρούμε την τέλεια λύση σε ένα τέτοιο πρόβλημα οι μέθοδοί μας οδηγούν στην καλύτερη δυνατή λύση

Τα κυκλώματα διακόπτες έχουν μια ισοδύναμη διατύπωση με τη βοήθεια της μαθηματικής λογικής στην οποία κάθε μεταβλητή εισόδου εκπροσωπείται με μια πρόταση που μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής Αν η πρόταση που δηλώνεται με την μεταβλητή α είναι αληθής γράφουμε α=1 Αν είναι ψευδής γράφουμε α=0 Η πραγματική τιμή (1 ή 0 κατά περίπτωση) οποιασδήποτε πρότασης μπορεί εύκολα να υπολογιστεί όταν οι αληθείς τιμές των παραγόντων προτάσεων είναι γνωστές Πρόβλημα 443 Να εξετάσετε την ισχύ (αληθής ή ψευδής) της πρότασης Τέσσερα ισούται με πέντε ή τρία είναι το μισό του έξι και δεν ισχύει ότι τέσσερα δεν ισούται με πέντε και επτά είναι το μισό του δεκαπέντε Απάντηση Έστω ότι α είναι η πρόταση ldquo4=5rdquo β η πρόταση ldquo3=(12)6rdquo και γ είναι η πρόταση ldquo7=(12)15rdquo Τότε η πρόταση γράφεται ως (αorβ)and(αorγ) Επειδή α=0 β=1 και γ=0 έπεται ότι αorβ=1 α=1 (αorγ)=1 και (αorβ)and(αorγ)=1 η πρόταση είναι αληθής Οι υπολογισμοί αυτοί μπορούν να γραφούν ως εξής (αorβ)and(αandγ)=0or1)and(0and0)^=1and0=1and1=1 Ένας άλλος τρόπος είναι να γράψουμε την πρόταση σε ΣΔΜ

(αorβ)and(αandγ) equiv(αorβ)and(αorγ) equivαor(βandγ) Τότε αor(βandγ)=0or(1or0)=0or1=1

Ορισμός 441 Ταυτολογία είναι μια πρόταση που έχει αληθή τιμή 1 για όλες τις τιμές των παραγόντων προτάσεων

Ορισμός 442 Αντιλογία είναι μια πρόταση με αληθή τιμή 0 για όλες τις τιμές των παραγόντων προτάσεων

Συνεπώς μια πρόταση 119891είναι ταυτολογία αν 119891=1 ενώ είναι αντιλογία αν 119891=12 ενώ είναι αντιλογία αν 119891=0 Πρόβλημα 444 Αποδείξτε ότι η πρόταση 119891=[(αorβ)and(γorα)]or(γorα) είναι ταυτολογία Απάντηση Ο πίνακας λειτουργίας (καλείται και πίνακας αληθείας) της 119891 είναι Πίνακας 442 Ταυτολογία

α β γ α αorβ γorαrsquo (αorβ)andγorα΄) γorα f 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

Αυτή η μέθοδος απόδειξης ονομάζεται απόδειξη κατά περιπτώσεις Σε αυτή κάθε δυνατός συνδυασμός τιμών α β και γ ελέγχεται Είναι όμως δυνατή και απόδειξη με τη βοήθεια της άλγεβρας Boole

15

[(αorβ)and(γorα)]or(γorα)equiv equivαorαor(βandγ)orγequiv equiv1or(βandγ)orγ equiv1 Πρόβλημα 445 Να δείξετε με τη βοήθεια πίνακα αληθείας και με τους νόμους της άλγεβρας Boole ότι η πρόταση g=(αorβ)and(αandβ) είναι αντιλογία Απάντηση Ο πίνακας λειτουργίας είναι Πίνακας 443 Αντιλογία

α β αorβ α β αandβrsquo g 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0

Με εφαρμογή του δεύτερου νόμου de Morgan στον όρο (αandβ) gequiv(αorβ)and(αandβ)equiv(αorβ)and(αorβ)equiv0 Μια σημαντική λογική σχέση είναι και η γνωστή συνεπαγωγή Για τις προτάσεις x και y ο συμβολισμός xrArry σημαίνει ldquox συνεπάγει το yrdquo ή ldquoαν x τότε yrdquo Η συνεπαγωγή έχει τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας Πίνακας 444 Συνεπαγωγή

x y xrArry 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Η συνεπαγωγή μπορεί να κατασκευαστεί με τη χρήση μιας πύλης ΝΟΤ και μιας πύλης OR όπως φαίνεται από την ισοδυναμία xrArryequivxory (2) Είναι εύλογο να θεωρεί κανείς ότι η πρόταση ldquoαν x τότε x ή yrdquo είναι πάντα ορθή δηλαδή είναι ταυτολογία Εύκολα αποδεικνύεται αυτό και με τη βοήθεια της άλγεβρας Boole και της ισοδυναμίας (2)

xrArr(xory )equivxor(xory) equiv(xorx)ory equiv1ory equiv1

Γενικά αν 119891=x1orx2orx3ororxn τότε x1rArr119891 x2rArr119891 και xnrArr119891 είναι ταυτολογίες Έτσι κάθε όρος σε μια διαζευκτική συνεπάγει τη μορφή Με ανάλογο τρόπο ο αναγνώστης μπορεί να δείξει ότι η xandyrArrx είναι ταυτολογία Υποθέστε ότι η Θ και x είναι όροι μιας διαζευκτικής μορφής Αν επιπλέον ισχύει ότι Θ περιέχει την x τότε Θ=Θandx και αυτό συνεπάγεται ότι ΘrArrx

Η πρόταση (xrArry)and(yrArrx) γράφεται συνήθως ως x⟺y που σημαίνει ldquox αν μόνο αν yrdquo Πρόβλημα 446 Αποδείξτε ότι η πρόταση 119891=[(αorβ)and(γorα)]or(γorα) Είναι ταυτολογία Απάντηση Θέτουμε για χάρη συντομίας 119891=(xandy)or(xory) Ο πίνακας λειτουργίας της πρότασης διαμορφώνεται ως εξής

16

x y xrArry yrArrx xhArry xΛy xVy (xVy)rsquo f 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1

Αν αντί του πίνακα λειτουργίας χρησιμοποιήσουμε τους νόμους της άλγεβρας Boole για να δείξουμε την ισοδυναμία της x⟺y και της 119891 έχουμε

x⟺yequiv(xory)and(yandx) equiv[(xory)andy]or[(xory)andx] equiv[(xandy)or(yandy)]or[(xandx)or(xandy)] equiv(xandy)or(yandx) equiv(xandy)or(xandy) equiv(xandyxandy)or(xory) equiv119891

45 Ελάχιστες Μορφές Η βέλτιστη μορφή στην οποία μια πρόταση μπορεί να γραφτεί εξαρτάται από τους όρους που την συγκροτούν Για χάρη συντομίας θα εστιάσουμε το ενδιαφέρον μας μόνο στις διαζευκτικές μορφές Έτσι στα επόμενα η λέξη όρος θα εκφράζει είτε ένα γραμματικό στοιχείο ή μια σύζευξη γραμματικών στοιχείων Παραδείγματα όρων θα μπορούσαν να είναι τα α β αandβ ή ο αandβandγ

Μια πρόταση στην οποία υπάρχει μια σειρά διαζεύξεων όρων καλείται διαζευκτική μορφή Μια πρόταση 119891 μπορεί να έχει διαφορετικές αλλά ισοδύναμες διαζευκτικές μορφές Ένας αριθμός από αυτές έχουν μικρότερο πλήθος όρων από τις υπόλοιπες Από τις διαζευκτικές μορφές μπορεί να διακρίνουμε μερικές που έχουν τον ελάχιστο αριθμό γραμματικών στοιχείων Αυτές είναι οι laquoβέλτιστεςraquo διαζευκτικές μορφές που στη συνέχεια θα καλούνται laquoελάχιστες μορφές της 119891raquo Ορισμός 451 Ελάχιστη μορφή πρότασης είναι μια διαζευκτική μορφή τέτοια ώστε καμιά ισοδύναμη διαζευκτική μορφή δεν έχει λιγότερους όρους και καμιά ισοδύναμη διαζευκτική μορφή με τον ίδιο αριθμό όρων δεν έχει λιγότερα γραμματικά στοιχεία (επαναλήψεις) αρίθμησης)

Επειδή (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ)equivαor(αandβandγ)or(αandβandγ) συμπεραίνεται ότι (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ)equiv(αandγ)or(βandγ)or(αandγ) Στην τελευταία σχέση η διαζευκτική μορφή στο αριστερό μέρος της ταυτότητας έχει τέσσερις όρους ενώ η διαζευκτική μορφή στο δεξιό μέρος της ταυτότητας έχει τρεις όρους Παρατηρείται επίσης ότι το δεξιό μέλος της πρώτης (ενδιάμεσης) σχέσης περιλαμβάνει επτά γραμματικά στοιχεία ενώ η δεξιά μορφή στην επόμενη σχέση περιλαμβάνει μόνο έξι γραμματικά στοιχεία Αν συνεχίσει κάποιος να εφαρμόζει τους νόμους της άλγεβρας Boole μπορεί να καταλήξει στη διαζευκτική μορφή αor(βandγ) Έτσι η μορφή (3) δεν είναι επίσης ελάχιστη Τελικά μπορεί να αποδειχτεί ότι καμιά διαζευκτική μορφή ισοδύναμη προς τη μορφή (4) δεν έχει μόνο έναν όρο και ότι κάθε διαζευκτική μορφή που είναι ισοδύναμη προς την τελευταία διαζευκτική μορφή των δυο όρων δεν έχει λιγότερους (δηλαδή ένα) όρους Επίσης κάθε διαζευκτική μορφή ισοδύναμη με την τελευταία περιλαμβάνει τουλάχιστον τρία γραμματικά στοιχεία Συμπεραίνεται λοιπόν ότι η τελευταία διαζευκτική μορφή είναι μια ελάχιστη διαζευκτική μορφή Πράγματι χρησιμοποιώντας τους αλγόριθμους που θα παρουσιαστούν σε αυτό το μέρος του βιβλίου μπορεί να αποδειχτεί η ελάχιστη διαζευκτική μορφή που παρουσιάστηκε παραπάνω είναι και η μοναδική ελάχιστη διαζευκτική μορφή των προτάσεων στο παράδειγμα Σε άλλες όμως περιπτώσεις μπορεί να υπάρχουν περισσότερες της μίας ελάχιστες μορφές

Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί ένας αλγόριθμος ο οποίος βρίσκει και παρουσιάζει όλες τις ελάχιστες μορφές μιας οποιασδήποτε πρότασης Αλγόριθμοι που επιτυγχάνουν το ίδιο αποτέλεσμα υπάρχουν και άλλοι αλλά για μικρές προτάσεις που χρησιμοποιούνται σε αυτό το ηλεκτρονικό βιβλίο κρίνεται ότι ο αλγόριθμος

17

που επιλέχθηκε είναι ο καλύτερος χάρη στην απλότητά του Ως μικρές προτάσεις εννοούμε προτάσεις 6 το πολύ μεταβλητών

Για την εύρεση ελάχιστων διαζευκτικών μορφών προτάσεων με μικρό αριθμό γραμματικών στοιχείων συχνά χρησιμοποιούνται διαγραμματικές παραστάσεις γνωστές ως πίνακες Karnaugh Παρά το γεγονός ότι είναι εύκολες στην κατανόηση και τη χρήση είναι δύσκολο να γραφεί κώδικας για τη χρήση τους με υπολογιστικά συστήματα Η πλέον διαδεδομένη μέθοδος για χρήση σε υπολογιστές είναι η μέθοδος QuinendashMcCluskey Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται σε γενικές προτάσεις αλλά δεν είναι εύκολο συχνά να περιγραφεί Πιο εύκολα μπορεί να περιγραφεί η μέθοδος της ομόφωνης επέκτασης και επιλογής (consensus expansion and selection) δεν παρουσιάζει τα προβλήματα των προηγούμενων δυο μεθόδων Αυτή η μέθοδος βρίσκει όλες τις ελάχιστες μορφές μιας πρότασης 119891 και αυτό το επιτυγχάνει σε δυο βήματα Στον Αλγόριθμο 452 βρίσκουμε όλους τους όρους που μπορεί να απαντώνται σε οποιαδήποτε ελάχιστη μορφή της 119891 Στον Αλγόριθμο 452 βρίσκουμε όλα τα υποσύνολα του συνόλου των όρων που βρέθηκαν με τη βοήθεια του Αλγόριθμου 452 Ας σημειωθεί ότι μερικές φορές μερικοί όροι που εντοπίζονται με τον Αλγόριθμο 451 δεν εντοπίζονται από τον Αλγόριθμο 452

Ο Αλγόριθμος 451 κάνει χρήση του ακόλουθου αποτελέσματος της άλγεβρας Boole που είναι γνωστός ως νόμος της ομοφωνίας (consensus law) Νόμος της Ομοφωνίας Έστω τρεις προτάσεις x y και z Για κάθε τριάδα τέτοιων προτάσεων ισχύει (xandz)or(yandz)equiv(xandz)or(yandz)or(xandy) Η απόδειξη με χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole έχει ως εξής

(xandz)or(yandz)or(xandy) (xandz)or(yandz)[xand(zorz)andy] equiv(xandz)or(yandz)or(xandzandy)or(xandzandy) equiv(xandz)or(yandz)

Για να γίνει κατανοητός ο τρόπος που λειτουργεί ο νόμος της ομοφωνίας θα εξηγήσουμε πρώτα τι εννοούμε με την έκφραση laquoοι όροι u και v βρίσκονται σε ομοφωνίαraquo Ορισμός 452 Οι όροι u και v είναι όροι σε ομοφωνία αν υπάρχει ακριβώς ένα γραμματικό στοιχείο στο u του οποίου η άρνηση βρίσκεται στο v

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα Παράδειγμα 451

bull Οι όροι α˄b˄c και α˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο α βρίσκεται στον πρώτο Η άρνηση του αrsquo βρίσκεται στο δεύτερο Κανένα άλλο γραμματικό στοιχείο δεν έχει αυτή την ιδιότητα

bull Οι όροι α˄brsquo και b˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία για τους ίδιους λόγους που όμως σε αυτή την περίπτωση αφορούν το γραμματικό στοιχείο b

bull Οι όροι α˄b και b˄c˄d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία οι αρνήσεις των α και brsquo δεν συναντώνται στο δεύτερο όρο

Αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία θα χρησιμοποιήσουμε τους όρους laquoγραμματικό στοιχείο σε ομοφωνίαraquo και laquoόρος σε ομοφωνίαraquo Ορισμός 453 Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το γραμματικό στοιχείο που είναι και αιτία ύπαρξης της ομοφωνίας

18

Ορισμός 454 Όρος σε ομοφωνία είναι η σύζευξη δύο όρων χωρίς τη συμμετοχή του γραμματικού στοιχείου σε ομοφωνία και της αρνήσεώς του

Ο ταυτοτικός νόμος μάς επιτρέπει να παραλείψουμε επαναλήψεις των γραμματικών στοιχείων στον όρο σε ομοφωνία Ας ξαναδούμε τους όρους του Παραδείγματος 451 Παράδειγμα 452 Οι όροι α˄b˄c και αrsquo˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το α και όρος σε ομοφωνία είναι το (b˄c)(c˄d)equivb˄c˄d

bull Οι όροι α˄brsquo και b˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το brsquo και όρος σε ομοφωνία είναι ο α˄c˄d

bull Οι όροι αrsquo και b˄c˄d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία Ας προσέξουμε και πάλι τον νόμο της ομοφωνίας (5) (x˄z)˅(y˄zrsquo)equiv(x˄z)˅(y˄zrsquo)˅(x˄y) Σημειώστε ότι στην αριστερή πλευρά βρίσκονται δύο όροι σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το z και ο όρος σε ομοφωνία είναι ο x˄yΟ νόμος της ομοφωνίας λέει ότι αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία μπορούμε να παραλείψουμε τον όρο σε ομοφωνία και έτσι να προκύψει μία ισοδύναμη πρόταση Κάτι τέτοιο φαίνεται αρκετά παράξενο αφού το δεξί μέρος της (5) φαίνεται επιμηκέστερο και πιο πολύπλοκο από το αριστερό Δίνεται η εντύπωση ότι η προσάρτηση του όρου σε ομοφωνία δυσκολεύει τα πράγματα Αυτό είναι αλήθεια αλλά μας επιτρέπει να πούμε laquoβραχυπρόθεσμη αλήθειαraquo Αιτία της φαινομενικής αυτής δυσκολίας είναι ο νόμος της απόσβεσης Συνήθως η δεξιά πλευρά της (5) απλοποιείται γιατί ένας laquoμακρύςraquo όρος περιέχει ένα laquoβραχύτεροraquo και έτσι ο laquoμακρύτεροςraquo αποσβήνεται δηλαδή laquoσβήνεταιraquo Στη γενική έκφρασή της (5) καμία απόσβεση δεν συντελείται Σύντομα όμως θα έχουμε την ευκαιρία να δείξουμε τον αλγόριθμο και ένα παράδειγμα όπου θα φανεί πως μια προσωρινή πολυπλοκότητα οδηγεί σε μια ικανοποιητική απλούστευση

Η ιδέα επί της οποίας στηρίζεται ο Αλγόριθμος 451 είναι απλή Αν δυο όροι της 119891 βρίσκονται σε ομοφωνία και έχουν όρο σε ομοφωνία Χ και αν αυτός ο όρος σε ομοφωνία δεν περιλαμβάνει κανέναν όρο που βρίσκεται ήδη στην 119891 τότε ο όρος Χ θα πρέπει να συμπεριληφθεί στην 119891 Αυτό σημαίνει ότι η 119891 αντικαθίσταται από την 119891orX Ο κανόνας αυτός επαναλαμβάνεται μέχρι το σημείο όπου δεν μπορεί να εφαρμοστεί πλέον Στο σημείο αυτό ολοκληρώνεται η διαδικασία εφαρμογής του αλγόριθμου Αλγόριθμος 451 Εύρεση της εν ομοφωνία επέκτασης μιας πρότασης 119891 σε ΣΔΜ

bull Αν υπάρχουν δυο όροι που έχουν έναν όρο σε ομοφωνία (ο οποίος δεν περιέχει έναν όρο που βρίσκεται ήδη στην μορφή) προσαρτήστε στη μορφή αυτόν τον όρο σε ομοφωνία Σε κάθε άλλη περίπτωση ακολουθήστε το βήμα 4

bull Απαλείψτε όλους τους προηγούμενους όρους που περιέχουν τον όρο που μόλις προστέθηκε Πηγαίνετε στο βήμα 1

bull ΤΕΛΟΣ Η εν ομοφωνία επέκταση της 119891 έχει οριστεί Αυτή είναι η διάζευξη όλων των όρων που θα μπορούσαν να περιλαμβάνονται σε μια ελάχιστη μορφή ισοδύναμη της 119891

Παράδειγμα 453 Να βρεθεί η εν ομοφωνία επέκταση της πρότασης

( ) ( ) ( ) ( ) ( )prime prime= and and or and or and and or and or and and andprime prime prime1 2 3 4 5

f a b c a c a b d a c a b c d

Η πρόταση βρίσκεται ήδη σε ΣΔΜ Οι όροι 1 και 2 βρίσκονται σε ομοφωνία με όρο σε ομοφωνία τον α˄b Όταν αναφέρουμε τα βήματα εφαρμογής του αλγόριθμου γράφουμε ldquo1-2rdquo για να δηλώσουμε ότι οι όροι 1 και 2 έχουν συγκριθεί ή γράφουμε ldquo1-2αandbrdquo για να δηλώσουμε και τον όρο σε ομοφωνία Ο όρος αandb δεν

19

περιέχει κανέναν από τους επόμενους όρους ως τον όρο 5 και για αυτό προστίθεται αφού χαρακτηριστεί με

τον επόμενο διαθέσιμο αριθμό που είναι ο 6 and6

a b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

Αν ο νέος όρος περιέχει έναν όρο που ήδη περιέχει μπορούμε να τον προσθέσουμε αλλά εξυπακούεται ότι αμέσως θα απορροφηθεί Τώρα οι όροι 1 και 3 περιέχουν τον όρο 6 τους σβήνουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

( ) ( ) ( ) ( )= and or and orprime and and and or and

2 4 5 6

f a c a c a b c d a b και στη συνέχεια ξαναγυρίζουμε στην εντολή 1 του

αλγόριθμου Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Οι όροι 2 και 4 δεν βρίσκονται σε ομοφωνία και έτσι γράφουμε lsquo2-4rsquo και συνεχίζουμε Καταγράφουμε στη συνέχεια τα πρώτα 8 βήματα

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 5

Όρος σε ομοφωνία ο and and

7

b c d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and and and or and orprime primeand prime andprime

2 4 5 6 7

f a c a c a b c d a b b c d

Απορροφάται ο όρος 5 ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or andprime prime and primeor primeand

2 4 6 7

f a c a c a b b c d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 7

Όρος σε ομοφωνία ο and8

b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and orprime prime and orprimeandprime and

2 4 6 7 8

f a c a c a b b c d b c

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 8 (όχι 4-7) γιατί κάθε φορά που ένας νέος όρος

προστίθεται πηγαίνουμε πίσω στην πρώτη σύγκριση που δεν έχει γίνει ακόμα Όρος σε ομοφωνία ο αΛb ο οποίος περιέχει (στην ουσία είναι ίσος) τον όρο 6 Η πρόταση δεν

εμπλουτίζεται Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο α΄Λb΄Λd΄

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο b΄Λc΄Λd΄ που είναι ίδιος με τον όρο 7 γιrsquo αυτό απορροφάται

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο αΛc΄Λd΄ (περιέχει το 2) και για αυτό απορροφάται

20

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 8 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο α΄ΛcΛd΄ (περιέχει τον όρο 4) STOP Η επέκταση σε ομοφωνία είναι 119891=(αΛc)V(αΛc)V(αΛb)V(bΛcΛd)V(bΛc)V(αΛbΛd) Η χρήση των κεφαλαίων γραμμάτων ερμηνεύεται στη συνέχεια Παρατηρήσατε ότι η επέκταση σε ομοφωνία έχει 6 όρους ενώ η αρχική είχε μόνο 4 Και οι δύο έχουν

14 γραμματικά στοιχεία Όπως και προηγουμένως αναφέρθηκε ότι η πολυπλοκότερη μορφή στην οποία οδηγηθήκαμε δεν αποτελεί παρά ένα απαραίτητο ενδιάμεσο βήμα που θα μας οδηγήσει στην ελάχιστη μορφή Ο Αλγόριθμος 452 που στη συνέχεια θα περιγράψουμε εφαρμόζεται υποχρεωτικά πάνω στην επέκταση εν ομοφωνία

Πριν όμως παρουσιάσουμε τον Αλγόριθμο 452 θα δώσουμε δύο ακόμα απαραίτητους ορισμούς Ορισμός 455 Ένας όρος σε μια διαζευκτική μορφή μιας πρότασης θα καλείται πλήρης όρος αν περιλαμβάνει είτε όλες τις μεταβλητές της πρότασης είτε τις αρνήσεις τους

Έτσι αν μια πρόταση περιλαμβάνει τις μεταβλητές αbc και d τότε οι όροι αandb΄andcandd΄ και αandbanddandc΄ είναι πλήρεις όροι ενώ α΄andcandd΄ c΄andα b΄ δεν είναι Εύκολα μπορεί να αποδειχτεί ότι κάθε όρος είναι ισοδύναμος με τη διάζευξη όλων των όρων που είναι πλήρεις και τον περιέχουν

Αυτή η διάζευξη καλείται επέκταση του πλήρους όρου Παράδειγμα 454 Θεωρήστε για παράδειγμα τον όρο x=α΄andcandd΄ σε μια πρόταση με μεταβλητές αbc και d Οι μοναδικοί πλήρεις όροι που περιέχει το x είναι α΄andb Λ candd΄ και α΄andb΄andcandd΄ και έτσι έχουμε

(αandbandcandd)or(αandbandcandd) equivαand(borb)andcandd equivαand1andcandd equivαandcandd

Το Παράδειγμα 454 υποδεικνύει έναν τρόπο για να βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για οποιονδήποτε όρο y

bull Για κάθε μεταβλητή u στην πρόταση που είναι τέτοια ώστε ούτε η u αλλά ούτε η u δεν βρίσκονται στην y γράψτε τη διάζευξη uoru

bull Σχηματίστε τη σύζευξη της y και όλων των διαζεύξεων που είναι γραμμένες στο βήμα 1 bull Ξαναγράψτε το αποτέλεσμα του βήματος 2 σε διαζευκτική μορφή Αυτή είναι η επέκταση πλήρους

όρου του y Στο τέλος του παραδείγματος 44 βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για τον όρο Α=αandcrsquo Οι μεταβλητές b και d καθώς και οι αρνήσεις τους δεν βρίσκονται στον Α έτσι γράφουμε τις διαζεύξεις borb΄ και dord΄ Σχηματίζουμε τη σύζευξη αand(borb΄)andc΄and(dord΄) και στη συνέχεια την ξαναγράφουμε για να προκύψει η επέκταση πλήρους όρου Α=(αandbandcandd)and(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd) Εύκολα επίσης μπορούμε να εκτιμήσουμε το πλήθος των πλήρων όρων Αν η πρόταση έχει n μεταβλητές τότε υπάρχουν 2n διαφορετικοί πλήρεις όροι

Και πάλι θα πρέπει να σημειωθεί ότι η επέκταση πλήρους όρου περιέχει περισσότερους όρους από την αρχική πρόταση Με τον Αλγόριθμο 452 που εφαρμόζεται στην επέκταση πλήρους όρου επιτυγχάνεται

21

η συντόμευση μιας κατά τα άλλα επίπονης και μακράς διαδικασίας Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σε ομοφωνία για να αναγνωρίσουμε τους πλεονάζοντες όρους Στο παράδειγμά μας η πλήρης επέκταση της πρότασης 119891 έχει έξι όρους και η επέκταση πλήρους όρου έχει 4+4+4+2+4+2=20 όρους Αυτοί οι 20 όροι παριστάνονται με V στον Πίνακα 451 Η ελάχιστη μορφή της f έχει τέσσερεις όρους με 9 γραμματικά στοιχεία Προκειμένου όμως να φτάσουμε σε αυτή τη μορφή χρειάστηκε να μεσολαβήσει μια πρόταση με 6 όρους και 24 γραμματικά στοιχεία

Για να αρχίσουμε χρειαζόμαστε έναν σύντομο τρόπο για την παράσταση όρων σε επεκτάσεις πλήρους όρου Πρώτα βεβαιωθείτε ότι γράψατε τα γραμματικά στοιχεία (ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για τις καταφάσεις ή τις αρνήσεις τους) με την ίδια τάξη σε όλους τους όρους Αν δηλαδή μεταβλητές σας είναι οι αβγδhellip θα γραφούν σε αλφαβητική σειρά ενώ αν έχουν τη μορφή α1α2α3 hellip κατά την ανιούσα τάξη των δεικτών Στη συνέχεια κωδικοποιήστε κάθε πλήρη όρο ως ένα n-ψήφιο δυαδικό αριθμό γράφοντας 1 για κάθε μεταβλητή στον όρο και 0 για κάθε άρνηση της μεταβλητής Για παράδειγμα οι πλήρεις όροι αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγrsquoandδ στην πλήρη επέκταση του Α όπως αυτή καταγράφηκε παραπάνω κωδικοποιούνται αντίστοιχα ως 1000 1001 1100 και 1101 Τελικά για να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη γραφή πλήρων όρων καταφεύγουμε στη βοήθεια του δεκαδικού συστήματος Έτσι οι όροι του Α γίνονται αντίστοιχα 8 9 12 και 14 Οι δυνατοί πλήρεις όροι για μια πρόταση με n μεταβλητές έχουν τελικά κωδικοποιηθεί με τη βοήθεια των αριθμών του δεκαδικού συστήματος 123hellip2n-1 Αντίστροφα κάθε ένας από τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος παράγει τον αντίστοιχό του στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης που με τη σειρά του παράγει έναν πλήρη όρο του όρου που εξετάζεται αρκεί να είναι γνωστός ο αριθμός n των μεταβλητών Για παράδειγμα θεωρείστε τον πλήρη όρο με κωδικό 22 σε μια πρόταση με πέντε μεταβλητέςαβγδ και ε Η πενταψήφια δυαδική έκφραση του 22 είναι 10110 και έτσι ο πλήρης όρος που αντιστοιχεί είναι ο αandβandγandδandε Αν η πρόταση έχει έξι μεταβλητές τότε ο 22 αντιστοιχεί στον 010110 και ο πλήρης όρος είναι αandβandγandδandεandζ

Με αυτόν τον συμβολισμό είναι εύκολο να γράψουμε τους δεκαδικούς κώδικες της επέκτασης πλήρους όρου οπουδήποτε αυτοί βρίσκονται Αυτό φαίνεται καλύτερα αν χρησιμοποιήσουμε για παράδειγμα τον όρο Α=αandγ Κωδικοποιούμε τον Α γράφοντας παύλες για τα γραμματικά στοιχεία που λείπουν 1_0_ Δοκιμάστε τώρα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς και μετατρέψτε όλους τους προκύπτοντες δυαδικούς αριθμούς σε αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης

8=(1000) 9=(1001) 12=(1100) 13=(1101)

Αλγόριθμος 452 Επιλογή όλων των ελάχιστων μορφών από την επέκταση σε ομοφωνία

bull Για κάθε όρο από την επέκταση σε ομοφωνία γράψτε τους δεκαδικούς κώδικες όλων των επεκτάσεων πλήρους όρου

bull Σχηματίστε έναν πίνακα με γραμμές που αντιστοιχούν στους όρους της εν ομοφωνία επέκτασης και στήλες στον δεκαδικό κώδικα που αναφέρεται σε τουλάχιστον μια επέκταση πλήρους όρου Σημειώστε με Χ τις επεκτάσεις πλήρους όρου κάθε όρου χωριστά

bull Σημειώστε με έναν κύκλο κάθε Χ που είναι μοναδικό στη στήλη του Στη συνέχεια σημειώστε με αστερίσκο κάθε όρο στην επέκταση σε ομοφωνία που έχει έναν κύκλο στη γραμμή της Αυτοί είναι οι ουσιώδεις όροι της αρχικής πρότασης Στη συνέχεια τοποθετήστε έναν κύκλο σε κάθε επικεφαλίδα στήλης που έχει ένα Χ σε γραμμή με αστερίσκο Αν δεν υπάρχουν σημειωμένοι όροι σε επικεφαλίδες στηλών τότε η μοναδική ελάχιστη μορφή είναι η διάζευξη των ουσιωδών όρων Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε όρο επικεφαλίδας στήλης που έχει σημειωθεί με κύκλο γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλίδες γραμμών και υπάρχει Χ σημειωμένο σε αυτή τη στήλη Αυτή η πρόταση καλείται πρόταση Petric της αρχικής πρότασης

bull Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Ονομάστε την Π bull Διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους του Π οι οποίοι περιέχουν τον ελάχιστο αριθμό

πλήρων όρων

14

διακοπτών που είναι ισοδύναμο με ένα δοσμένο κύκλωμα παραμένει ανοικτό (δεν έχει λυθεί) Στην επόμενη παράγραφο θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε την ελάχιστη ΣΔΜ για ένα δοσμένο κύκλωμα Αν και μερικές φορές δεν μπορούμε να βρούμε την τέλεια λύση σε ένα τέτοιο πρόβλημα οι μέθοδοί μας οδηγούν στην καλύτερη δυνατή λύση

Τα κυκλώματα διακόπτες έχουν μια ισοδύναμη διατύπωση με τη βοήθεια της μαθηματικής λογικής στην οποία κάθε μεταβλητή εισόδου εκπροσωπείται με μια πρόταση που μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής Αν η πρόταση που δηλώνεται με την μεταβλητή α είναι αληθής γράφουμε α=1 Αν είναι ψευδής γράφουμε α=0 Η πραγματική τιμή (1 ή 0 κατά περίπτωση) οποιασδήποτε πρότασης μπορεί εύκολα να υπολογιστεί όταν οι αληθείς τιμές των παραγόντων προτάσεων είναι γνωστές Πρόβλημα 443 Να εξετάσετε την ισχύ (αληθής ή ψευδής) της πρότασης Τέσσερα ισούται με πέντε ή τρία είναι το μισό του έξι και δεν ισχύει ότι τέσσερα δεν ισούται με πέντε και επτά είναι το μισό του δεκαπέντε Απάντηση Έστω ότι α είναι η πρόταση ldquo4=5rdquo β η πρόταση ldquo3=(12)6rdquo και γ είναι η πρόταση ldquo7=(12)15rdquo Τότε η πρόταση γράφεται ως (αorβ)and(αorγ) Επειδή α=0 β=1 και γ=0 έπεται ότι αorβ=1 α=1 (αorγ)=1 και (αorβ)and(αorγ)=1 η πρόταση είναι αληθής Οι υπολογισμοί αυτοί μπορούν να γραφούν ως εξής (αorβ)and(αandγ)=0or1)and(0and0)^=1and0=1and1=1 Ένας άλλος τρόπος είναι να γράψουμε την πρόταση σε ΣΔΜ

(αorβ)and(αandγ) equiv(αorβ)and(αorγ) equivαor(βandγ) Τότε αor(βandγ)=0or(1or0)=0or1=1

Ορισμός 441 Ταυτολογία είναι μια πρόταση που έχει αληθή τιμή 1 για όλες τις τιμές των παραγόντων προτάσεων

Ορισμός 442 Αντιλογία είναι μια πρόταση με αληθή τιμή 0 για όλες τις τιμές των παραγόντων προτάσεων

Συνεπώς μια πρόταση 119891είναι ταυτολογία αν 119891=1 ενώ είναι αντιλογία αν 119891=12 ενώ είναι αντιλογία αν 119891=0 Πρόβλημα 444 Αποδείξτε ότι η πρόταση 119891=[(αorβ)and(γorα)]or(γorα) είναι ταυτολογία Απάντηση Ο πίνακας λειτουργίας (καλείται και πίνακας αληθείας) της 119891 είναι Πίνακας 442 Ταυτολογία

α β γ α αorβ γorαrsquo (αorβ)andγorα΄) γorα f 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

Αυτή η μέθοδος απόδειξης ονομάζεται απόδειξη κατά περιπτώσεις Σε αυτή κάθε δυνατός συνδυασμός τιμών α β και γ ελέγχεται Είναι όμως δυνατή και απόδειξη με τη βοήθεια της άλγεβρας Boole

15

[(αorβ)and(γorα)]or(γorα)equiv equivαorαor(βandγ)orγequiv equiv1or(βandγ)orγ equiv1 Πρόβλημα 445 Να δείξετε με τη βοήθεια πίνακα αληθείας και με τους νόμους της άλγεβρας Boole ότι η πρόταση g=(αorβ)and(αandβ) είναι αντιλογία Απάντηση Ο πίνακας λειτουργίας είναι Πίνακας 443 Αντιλογία

α β αorβ α β αandβrsquo g 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0

Με εφαρμογή του δεύτερου νόμου de Morgan στον όρο (αandβ) gequiv(αorβ)and(αandβ)equiv(αorβ)and(αorβ)equiv0 Μια σημαντική λογική σχέση είναι και η γνωστή συνεπαγωγή Για τις προτάσεις x και y ο συμβολισμός xrArry σημαίνει ldquox συνεπάγει το yrdquo ή ldquoαν x τότε yrdquo Η συνεπαγωγή έχει τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας Πίνακας 444 Συνεπαγωγή

x y xrArry 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Η συνεπαγωγή μπορεί να κατασκευαστεί με τη χρήση μιας πύλης ΝΟΤ και μιας πύλης OR όπως φαίνεται από την ισοδυναμία xrArryequivxory (2) Είναι εύλογο να θεωρεί κανείς ότι η πρόταση ldquoαν x τότε x ή yrdquo είναι πάντα ορθή δηλαδή είναι ταυτολογία Εύκολα αποδεικνύεται αυτό και με τη βοήθεια της άλγεβρας Boole και της ισοδυναμίας (2)

xrArr(xory )equivxor(xory) equiv(xorx)ory equiv1ory equiv1

Γενικά αν 119891=x1orx2orx3ororxn τότε x1rArr119891 x2rArr119891 και xnrArr119891 είναι ταυτολογίες Έτσι κάθε όρος σε μια διαζευκτική συνεπάγει τη μορφή Με ανάλογο τρόπο ο αναγνώστης μπορεί να δείξει ότι η xandyrArrx είναι ταυτολογία Υποθέστε ότι η Θ και x είναι όροι μιας διαζευκτικής μορφής Αν επιπλέον ισχύει ότι Θ περιέχει την x τότε Θ=Θandx και αυτό συνεπάγεται ότι ΘrArrx

Η πρόταση (xrArry)and(yrArrx) γράφεται συνήθως ως x⟺y που σημαίνει ldquox αν μόνο αν yrdquo Πρόβλημα 446 Αποδείξτε ότι η πρόταση 119891=[(αorβ)and(γorα)]or(γorα) Είναι ταυτολογία Απάντηση Θέτουμε για χάρη συντομίας 119891=(xandy)or(xory) Ο πίνακας λειτουργίας της πρότασης διαμορφώνεται ως εξής

16

x y xrArry yrArrx xhArry xΛy xVy (xVy)rsquo f 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1

Αν αντί του πίνακα λειτουργίας χρησιμοποιήσουμε τους νόμους της άλγεβρας Boole για να δείξουμε την ισοδυναμία της x⟺y και της 119891 έχουμε

x⟺yequiv(xory)and(yandx) equiv[(xory)andy]or[(xory)andx] equiv[(xandy)or(yandy)]or[(xandx)or(xandy)] equiv(xandy)or(yandx) equiv(xandy)or(xandy) equiv(xandyxandy)or(xory) equiv119891

45 Ελάχιστες Μορφές Η βέλτιστη μορφή στην οποία μια πρόταση μπορεί να γραφτεί εξαρτάται από τους όρους που την συγκροτούν Για χάρη συντομίας θα εστιάσουμε το ενδιαφέρον μας μόνο στις διαζευκτικές μορφές Έτσι στα επόμενα η λέξη όρος θα εκφράζει είτε ένα γραμματικό στοιχείο ή μια σύζευξη γραμματικών στοιχείων Παραδείγματα όρων θα μπορούσαν να είναι τα α β αandβ ή ο αandβandγ

Μια πρόταση στην οποία υπάρχει μια σειρά διαζεύξεων όρων καλείται διαζευκτική μορφή Μια πρόταση 119891 μπορεί να έχει διαφορετικές αλλά ισοδύναμες διαζευκτικές μορφές Ένας αριθμός από αυτές έχουν μικρότερο πλήθος όρων από τις υπόλοιπες Από τις διαζευκτικές μορφές μπορεί να διακρίνουμε μερικές που έχουν τον ελάχιστο αριθμό γραμματικών στοιχείων Αυτές είναι οι laquoβέλτιστεςraquo διαζευκτικές μορφές που στη συνέχεια θα καλούνται laquoελάχιστες μορφές της 119891raquo Ορισμός 451 Ελάχιστη μορφή πρότασης είναι μια διαζευκτική μορφή τέτοια ώστε καμιά ισοδύναμη διαζευκτική μορφή δεν έχει λιγότερους όρους και καμιά ισοδύναμη διαζευκτική μορφή με τον ίδιο αριθμό όρων δεν έχει λιγότερα γραμματικά στοιχεία (επαναλήψεις) αρίθμησης)

Επειδή (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ)equivαor(αandβandγ)or(αandβandγ) συμπεραίνεται ότι (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ)equiv(αandγ)or(βandγ)or(αandγ) Στην τελευταία σχέση η διαζευκτική μορφή στο αριστερό μέρος της ταυτότητας έχει τέσσερις όρους ενώ η διαζευκτική μορφή στο δεξιό μέρος της ταυτότητας έχει τρεις όρους Παρατηρείται επίσης ότι το δεξιό μέλος της πρώτης (ενδιάμεσης) σχέσης περιλαμβάνει επτά γραμματικά στοιχεία ενώ η δεξιά μορφή στην επόμενη σχέση περιλαμβάνει μόνο έξι γραμματικά στοιχεία Αν συνεχίσει κάποιος να εφαρμόζει τους νόμους της άλγεβρας Boole μπορεί να καταλήξει στη διαζευκτική μορφή αor(βandγ) Έτσι η μορφή (3) δεν είναι επίσης ελάχιστη Τελικά μπορεί να αποδειχτεί ότι καμιά διαζευκτική μορφή ισοδύναμη προς τη μορφή (4) δεν έχει μόνο έναν όρο και ότι κάθε διαζευκτική μορφή που είναι ισοδύναμη προς την τελευταία διαζευκτική μορφή των δυο όρων δεν έχει λιγότερους (δηλαδή ένα) όρους Επίσης κάθε διαζευκτική μορφή ισοδύναμη με την τελευταία περιλαμβάνει τουλάχιστον τρία γραμματικά στοιχεία Συμπεραίνεται λοιπόν ότι η τελευταία διαζευκτική μορφή είναι μια ελάχιστη διαζευκτική μορφή Πράγματι χρησιμοποιώντας τους αλγόριθμους που θα παρουσιαστούν σε αυτό το μέρος του βιβλίου μπορεί να αποδειχτεί η ελάχιστη διαζευκτική μορφή που παρουσιάστηκε παραπάνω είναι και η μοναδική ελάχιστη διαζευκτική μορφή των προτάσεων στο παράδειγμα Σε άλλες όμως περιπτώσεις μπορεί να υπάρχουν περισσότερες της μίας ελάχιστες μορφές

Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί ένας αλγόριθμος ο οποίος βρίσκει και παρουσιάζει όλες τις ελάχιστες μορφές μιας οποιασδήποτε πρότασης Αλγόριθμοι που επιτυγχάνουν το ίδιο αποτέλεσμα υπάρχουν και άλλοι αλλά για μικρές προτάσεις που χρησιμοποιούνται σε αυτό το ηλεκτρονικό βιβλίο κρίνεται ότι ο αλγόριθμος

17

που επιλέχθηκε είναι ο καλύτερος χάρη στην απλότητά του Ως μικρές προτάσεις εννοούμε προτάσεις 6 το πολύ μεταβλητών

Για την εύρεση ελάχιστων διαζευκτικών μορφών προτάσεων με μικρό αριθμό γραμματικών στοιχείων συχνά χρησιμοποιούνται διαγραμματικές παραστάσεις γνωστές ως πίνακες Karnaugh Παρά το γεγονός ότι είναι εύκολες στην κατανόηση και τη χρήση είναι δύσκολο να γραφεί κώδικας για τη χρήση τους με υπολογιστικά συστήματα Η πλέον διαδεδομένη μέθοδος για χρήση σε υπολογιστές είναι η μέθοδος QuinendashMcCluskey Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται σε γενικές προτάσεις αλλά δεν είναι εύκολο συχνά να περιγραφεί Πιο εύκολα μπορεί να περιγραφεί η μέθοδος της ομόφωνης επέκτασης και επιλογής (consensus expansion and selection) δεν παρουσιάζει τα προβλήματα των προηγούμενων δυο μεθόδων Αυτή η μέθοδος βρίσκει όλες τις ελάχιστες μορφές μιας πρότασης 119891 και αυτό το επιτυγχάνει σε δυο βήματα Στον Αλγόριθμο 452 βρίσκουμε όλους τους όρους που μπορεί να απαντώνται σε οποιαδήποτε ελάχιστη μορφή της 119891 Στον Αλγόριθμο 452 βρίσκουμε όλα τα υποσύνολα του συνόλου των όρων που βρέθηκαν με τη βοήθεια του Αλγόριθμου 452 Ας σημειωθεί ότι μερικές φορές μερικοί όροι που εντοπίζονται με τον Αλγόριθμο 451 δεν εντοπίζονται από τον Αλγόριθμο 452

Ο Αλγόριθμος 451 κάνει χρήση του ακόλουθου αποτελέσματος της άλγεβρας Boole που είναι γνωστός ως νόμος της ομοφωνίας (consensus law) Νόμος της Ομοφωνίας Έστω τρεις προτάσεις x y και z Για κάθε τριάδα τέτοιων προτάσεων ισχύει (xandz)or(yandz)equiv(xandz)or(yandz)or(xandy) Η απόδειξη με χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole έχει ως εξής

(xandz)or(yandz)or(xandy) (xandz)or(yandz)[xand(zorz)andy] equiv(xandz)or(yandz)or(xandzandy)or(xandzandy) equiv(xandz)or(yandz)

Για να γίνει κατανοητός ο τρόπος που λειτουργεί ο νόμος της ομοφωνίας θα εξηγήσουμε πρώτα τι εννοούμε με την έκφραση laquoοι όροι u και v βρίσκονται σε ομοφωνίαraquo Ορισμός 452 Οι όροι u και v είναι όροι σε ομοφωνία αν υπάρχει ακριβώς ένα γραμματικό στοιχείο στο u του οποίου η άρνηση βρίσκεται στο v

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα Παράδειγμα 451

bull Οι όροι α˄b˄c και α˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο α βρίσκεται στον πρώτο Η άρνηση του αrsquo βρίσκεται στο δεύτερο Κανένα άλλο γραμματικό στοιχείο δεν έχει αυτή την ιδιότητα

bull Οι όροι α˄brsquo και b˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία για τους ίδιους λόγους που όμως σε αυτή την περίπτωση αφορούν το γραμματικό στοιχείο b

bull Οι όροι α˄b και b˄c˄d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία οι αρνήσεις των α και brsquo δεν συναντώνται στο δεύτερο όρο

Αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία θα χρησιμοποιήσουμε τους όρους laquoγραμματικό στοιχείο σε ομοφωνίαraquo και laquoόρος σε ομοφωνίαraquo Ορισμός 453 Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το γραμματικό στοιχείο που είναι και αιτία ύπαρξης της ομοφωνίας

18

Ορισμός 454 Όρος σε ομοφωνία είναι η σύζευξη δύο όρων χωρίς τη συμμετοχή του γραμματικού στοιχείου σε ομοφωνία και της αρνήσεώς του

Ο ταυτοτικός νόμος μάς επιτρέπει να παραλείψουμε επαναλήψεις των γραμματικών στοιχείων στον όρο σε ομοφωνία Ας ξαναδούμε τους όρους του Παραδείγματος 451 Παράδειγμα 452 Οι όροι α˄b˄c και αrsquo˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το α και όρος σε ομοφωνία είναι το (b˄c)(c˄d)equivb˄c˄d

bull Οι όροι α˄brsquo και b˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το brsquo και όρος σε ομοφωνία είναι ο α˄c˄d

bull Οι όροι αrsquo και b˄c˄d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία Ας προσέξουμε και πάλι τον νόμο της ομοφωνίας (5) (x˄z)˅(y˄zrsquo)equiv(x˄z)˅(y˄zrsquo)˅(x˄y) Σημειώστε ότι στην αριστερή πλευρά βρίσκονται δύο όροι σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το z και ο όρος σε ομοφωνία είναι ο x˄yΟ νόμος της ομοφωνίας λέει ότι αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία μπορούμε να παραλείψουμε τον όρο σε ομοφωνία και έτσι να προκύψει μία ισοδύναμη πρόταση Κάτι τέτοιο φαίνεται αρκετά παράξενο αφού το δεξί μέρος της (5) φαίνεται επιμηκέστερο και πιο πολύπλοκο από το αριστερό Δίνεται η εντύπωση ότι η προσάρτηση του όρου σε ομοφωνία δυσκολεύει τα πράγματα Αυτό είναι αλήθεια αλλά μας επιτρέπει να πούμε laquoβραχυπρόθεσμη αλήθειαraquo Αιτία της φαινομενικής αυτής δυσκολίας είναι ο νόμος της απόσβεσης Συνήθως η δεξιά πλευρά της (5) απλοποιείται γιατί ένας laquoμακρύςraquo όρος περιέχει ένα laquoβραχύτεροraquo και έτσι ο laquoμακρύτεροςraquo αποσβήνεται δηλαδή laquoσβήνεταιraquo Στη γενική έκφρασή της (5) καμία απόσβεση δεν συντελείται Σύντομα όμως θα έχουμε την ευκαιρία να δείξουμε τον αλγόριθμο και ένα παράδειγμα όπου θα φανεί πως μια προσωρινή πολυπλοκότητα οδηγεί σε μια ικανοποιητική απλούστευση

Η ιδέα επί της οποίας στηρίζεται ο Αλγόριθμος 451 είναι απλή Αν δυο όροι της 119891 βρίσκονται σε ομοφωνία και έχουν όρο σε ομοφωνία Χ και αν αυτός ο όρος σε ομοφωνία δεν περιλαμβάνει κανέναν όρο που βρίσκεται ήδη στην 119891 τότε ο όρος Χ θα πρέπει να συμπεριληφθεί στην 119891 Αυτό σημαίνει ότι η 119891 αντικαθίσταται από την 119891orX Ο κανόνας αυτός επαναλαμβάνεται μέχρι το σημείο όπου δεν μπορεί να εφαρμοστεί πλέον Στο σημείο αυτό ολοκληρώνεται η διαδικασία εφαρμογής του αλγόριθμου Αλγόριθμος 451 Εύρεση της εν ομοφωνία επέκτασης μιας πρότασης 119891 σε ΣΔΜ

bull Αν υπάρχουν δυο όροι που έχουν έναν όρο σε ομοφωνία (ο οποίος δεν περιέχει έναν όρο που βρίσκεται ήδη στην μορφή) προσαρτήστε στη μορφή αυτόν τον όρο σε ομοφωνία Σε κάθε άλλη περίπτωση ακολουθήστε το βήμα 4

bull Απαλείψτε όλους τους προηγούμενους όρους που περιέχουν τον όρο που μόλις προστέθηκε Πηγαίνετε στο βήμα 1

bull ΤΕΛΟΣ Η εν ομοφωνία επέκταση της 119891 έχει οριστεί Αυτή είναι η διάζευξη όλων των όρων που θα μπορούσαν να περιλαμβάνονται σε μια ελάχιστη μορφή ισοδύναμη της 119891

Παράδειγμα 453 Να βρεθεί η εν ομοφωνία επέκταση της πρότασης

( ) ( ) ( ) ( ) ( )prime prime= and and or and or and and or and or and and andprime prime prime1 2 3 4 5

f a b c a c a b d a c a b c d

Η πρόταση βρίσκεται ήδη σε ΣΔΜ Οι όροι 1 και 2 βρίσκονται σε ομοφωνία με όρο σε ομοφωνία τον α˄b Όταν αναφέρουμε τα βήματα εφαρμογής του αλγόριθμου γράφουμε ldquo1-2rdquo για να δηλώσουμε ότι οι όροι 1 και 2 έχουν συγκριθεί ή γράφουμε ldquo1-2αandbrdquo για να δηλώσουμε και τον όρο σε ομοφωνία Ο όρος αandb δεν

19

περιέχει κανέναν από τους επόμενους όρους ως τον όρο 5 και για αυτό προστίθεται αφού χαρακτηριστεί με

τον επόμενο διαθέσιμο αριθμό που είναι ο 6 and6

a b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

Αν ο νέος όρος περιέχει έναν όρο που ήδη περιέχει μπορούμε να τον προσθέσουμε αλλά εξυπακούεται ότι αμέσως θα απορροφηθεί Τώρα οι όροι 1 και 3 περιέχουν τον όρο 6 τους σβήνουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

( ) ( ) ( ) ( )= and or and orprime and and and or and

2 4 5 6

f a c a c a b c d a b και στη συνέχεια ξαναγυρίζουμε στην εντολή 1 του

αλγόριθμου Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Οι όροι 2 και 4 δεν βρίσκονται σε ομοφωνία και έτσι γράφουμε lsquo2-4rsquo και συνεχίζουμε Καταγράφουμε στη συνέχεια τα πρώτα 8 βήματα

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 5

Όρος σε ομοφωνία ο and and

7

b c d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and and and or and orprime primeand prime andprime

2 4 5 6 7

f a c a c a b c d a b b c d

Απορροφάται ο όρος 5 ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or andprime prime and primeor primeand

2 4 6 7

f a c a c a b b c d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 7

Όρος σε ομοφωνία ο and8

b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and orprime prime and orprimeandprime and

2 4 6 7 8

f a c a c a b b c d b c

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 8 (όχι 4-7) γιατί κάθε φορά που ένας νέος όρος

προστίθεται πηγαίνουμε πίσω στην πρώτη σύγκριση που δεν έχει γίνει ακόμα Όρος σε ομοφωνία ο αΛb ο οποίος περιέχει (στην ουσία είναι ίσος) τον όρο 6 Η πρόταση δεν

εμπλουτίζεται Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο α΄Λb΄Λd΄

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο b΄Λc΄Λd΄ που είναι ίδιος με τον όρο 7 γιrsquo αυτό απορροφάται

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο αΛc΄Λd΄ (περιέχει το 2) και για αυτό απορροφάται

20

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 8 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο α΄ΛcΛd΄ (περιέχει τον όρο 4) STOP Η επέκταση σε ομοφωνία είναι 119891=(αΛc)V(αΛc)V(αΛb)V(bΛcΛd)V(bΛc)V(αΛbΛd) Η χρήση των κεφαλαίων γραμμάτων ερμηνεύεται στη συνέχεια Παρατηρήσατε ότι η επέκταση σε ομοφωνία έχει 6 όρους ενώ η αρχική είχε μόνο 4 Και οι δύο έχουν

14 γραμματικά στοιχεία Όπως και προηγουμένως αναφέρθηκε ότι η πολυπλοκότερη μορφή στην οποία οδηγηθήκαμε δεν αποτελεί παρά ένα απαραίτητο ενδιάμεσο βήμα που θα μας οδηγήσει στην ελάχιστη μορφή Ο Αλγόριθμος 452 που στη συνέχεια θα περιγράψουμε εφαρμόζεται υποχρεωτικά πάνω στην επέκταση εν ομοφωνία

Πριν όμως παρουσιάσουμε τον Αλγόριθμο 452 θα δώσουμε δύο ακόμα απαραίτητους ορισμούς Ορισμός 455 Ένας όρος σε μια διαζευκτική μορφή μιας πρότασης θα καλείται πλήρης όρος αν περιλαμβάνει είτε όλες τις μεταβλητές της πρότασης είτε τις αρνήσεις τους

Έτσι αν μια πρόταση περιλαμβάνει τις μεταβλητές αbc και d τότε οι όροι αandb΄andcandd΄ και αandbanddandc΄ είναι πλήρεις όροι ενώ α΄andcandd΄ c΄andα b΄ δεν είναι Εύκολα μπορεί να αποδειχτεί ότι κάθε όρος είναι ισοδύναμος με τη διάζευξη όλων των όρων που είναι πλήρεις και τον περιέχουν

Αυτή η διάζευξη καλείται επέκταση του πλήρους όρου Παράδειγμα 454 Θεωρήστε για παράδειγμα τον όρο x=α΄andcandd΄ σε μια πρόταση με μεταβλητές αbc και d Οι μοναδικοί πλήρεις όροι που περιέχει το x είναι α΄andb Λ candd΄ και α΄andb΄andcandd΄ και έτσι έχουμε

(αandbandcandd)or(αandbandcandd) equivαand(borb)andcandd equivαand1andcandd equivαandcandd

Το Παράδειγμα 454 υποδεικνύει έναν τρόπο για να βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για οποιονδήποτε όρο y

bull Για κάθε μεταβλητή u στην πρόταση που είναι τέτοια ώστε ούτε η u αλλά ούτε η u δεν βρίσκονται στην y γράψτε τη διάζευξη uoru

bull Σχηματίστε τη σύζευξη της y και όλων των διαζεύξεων που είναι γραμμένες στο βήμα 1 bull Ξαναγράψτε το αποτέλεσμα του βήματος 2 σε διαζευκτική μορφή Αυτή είναι η επέκταση πλήρους

όρου του y Στο τέλος του παραδείγματος 44 βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για τον όρο Α=αandcrsquo Οι μεταβλητές b και d καθώς και οι αρνήσεις τους δεν βρίσκονται στον Α έτσι γράφουμε τις διαζεύξεις borb΄ και dord΄ Σχηματίζουμε τη σύζευξη αand(borb΄)andc΄and(dord΄) και στη συνέχεια την ξαναγράφουμε για να προκύψει η επέκταση πλήρους όρου Α=(αandbandcandd)and(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd) Εύκολα επίσης μπορούμε να εκτιμήσουμε το πλήθος των πλήρων όρων Αν η πρόταση έχει n μεταβλητές τότε υπάρχουν 2n διαφορετικοί πλήρεις όροι

Και πάλι θα πρέπει να σημειωθεί ότι η επέκταση πλήρους όρου περιέχει περισσότερους όρους από την αρχική πρόταση Με τον Αλγόριθμο 452 που εφαρμόζεται στην επέκταση πλήρους όρου επιτυγχάνεται

21

η συντόμευση μιας κατά τα άλλα επίπονης και μακράς διαδικασίας Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σε ομοφωνία για να αναγνωρίσουμε τους πλεονάζοντες όρους Στο παράδειγμά μας η πλήρης επέκταση της πρότασης 119891 έχει έξι όρους και η επέκταση πλήρους όρου έχει 4+4+4+2+4+2=20 όρους Αυτοί οι 20 όροι παριστάνονται με V στον Πίνακα 451 Η ελάχιστη μορφή της f έχει τέσσερεις όρους με 9 γραμματικά στοιχεία Προκειμένου όμως να φτάσουμε σε αυτή τη μορφή χρειάστηκε να μεσολαβήσει μια πρόταση με 6 όρους και 24 γραμματικά στοιχεία

Για να αρχίσουμε χρειαζόμαστε έναν σύντομο τρόπο για την παράσταση όρων σε επεκτάσεις πλήρους όρου Πρώτα βεβαιωθείτε ότι γράψατε τα γραμματικά στοιχεία (ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για τις καταφάσεις ή τις αρνήσεις τους) με την ίδια τάξη σε όλους τους όρους Αν δηλαδή μεταβλητές σας είναι οι αβγδhellip θα γραφούν σε αλφαβητική σειρά ενώ αν έχουν τη μορφή α1α2α3 hellip κατά την ανιούσα τάξη των δεικτών Στη συνέχεια κωδικοποιήστε κάθε πλήρη όρο ως ένα n-ψήφιο δυαδικό αριθμό γράφοντας 1 για κάθε μεταβλητή στον όρο και 0 για κάθε άρνηση της μεταβλητής Για παράδειγμα οι πλήρεις όροι αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγrsquoandδ στην πλήρη επέκταση του Α όπως αυτή καταγράφηκε παραπάνω κωδικοποιούνται αντίστοιχα ως 1000 1001 1100 και 1101 Τελικά για να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη γραφή πλήρων όρων καταφεύγουμε στη βοήθεια του δεκαδικού συστήματος Έτσι οι όροι του Α γίνονται αντίστοιχα 8 9 12 και 14 Οι δυνατοί πλήρεις όροι για μια πρόταση με n μεταβλητές έχουν τελικά κωδικοποιηθεί με τη βοήθεια των αριθμών του δεκαδικού συστήματος 123hellip2n-1 Αντίστροφα κάθε ένας από τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος παράγει τον αντίστοιχό του στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης που με τη σειρά του παράγει έναν πλήρη όρο του όρου που εξετάζεται αρκεί να είναι γνωστός ο αριθμός n των μεταβλητών Για παράδειγμα θεωρείστε τον πλήρη όρο με κωδικό 22 σε μια πρόταση με πέντε μεταβλητέςαβγδ και ε Η πενταψήφια δυαδική έκφραση του 22 είναι 10110 και έτσι ο πλήρης όρος που αντιστοιχεί είναι ο αandβandγandδandε Αν η πρόταση έχει έξι μεταβλητές τότε ο 22 αντιστοιχεί στον 010110 και ο πλήρης όρος είναι αandβandγandδandεandζ

Με αυτόν τον συμβολισμό είναι εύκολο να γράψουμε τους δεκαδικούς κώδικες της επέκτασης πλήρους όρου οπουδήποτε αυτοί βρίσκονται Αυτό φαίνεται καλύτερα αν χρησιμοποιήσουμε για παράδειγμα τον όρο Α=αandγ Κωδικοποιούμε τον Α γράφοντας παύλες για τα γραμματικά στοιχεία που λείπουν 1_0_ Δοκιμάστε τώρα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς και μετατρέψτε όλους τους προκύπτοντες δυαδικούς αριθμούς σε αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης

8=(1000) 9=(1001) 12=(1100) 13=(1101)

Αλγόριθμος 452 Επιλογή όλων των ελάχιστων μορφών από την επέκταση σε ομοφωνία

bull Για κάθε όρο από την επέκταση σε ομοφωνία γράψτε τους δεκαδικούς κώδικες όλων των επεκτάσεων πλήρους όρου

bull Σχηματίστε έναν πίνακα με γραμμές που αντιστοιχούν στους όρους της εν ομοφωνία επέκτασης και στήλες στον δεκαδικό κώδικα που αναφέρεται σε τουλάχιστον μια επέκταση πλήρους όρου Σημειώστε με Χ τις επεκτάσεις πλήρους όρου κάθε όρου χωριστά

bull Σημειώστε με έναν κύκλο κάθε Χ που είναι μοναδικό στη στήλη του Στη συνέχεια σημειώστε με αστερίσκο κάθε όρο στην επέκταση σε ομοφωνία που έχει έναν κύκλο στη γραμμή της Αυτοί είναι οι ουσιώδεις όροι της αρχικής πρότασης Στη συνέχεια τοποθετήστε έναν κύκλο σε κάθε επικεφαλίδα στήλης που έχει ένα Χ σε γραμμή με αστερίσκο Αν δεν υπάρχουν σημειωμένοι όροι σε επικεφαλίδες στηλών τότε η μοναδική ελάχιστη μορφή είναι η διάζευξη των ουσιωδών όρων Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε όρο επικεφαλίδας στήλης που έχει σημειωθεί με κύκλο γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλίδες γραμμών και υπάρχει Χ σημειωμένο σε αυτή τη στήλη Αυτή η πρόταση καλείται πρόταση Petric της αρχικής πρότασης

bull Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Ονομάστε την Π bull Διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους του Π οι οποίοι περιέχουν τον ελάχιστο αριθμό

πλήρων όρων

15

[(αorβ)and(γorα)]or(γorα)equiv equivαorαor(βandγ)orγequiv equiv1or(βandγ)orγ equiv1 Πρόβλημα 445 Να δείξετε με τη βοήθεια πίνακα αληθείας και με τους νόμους της άλγεβρας Boole ότι η πρόταση g=(αorβ)and(αandβ) είναι αντιλογία Απάντηση Ο πίνακας λειτουργίας είναι Πίνακας 443 Αντιλογία

α β αorβ α β αandβrsquo g 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0

Με εφαρμογή του δεύτερου νόμου de Morgan στον όρο (αandβ) gequiv(αorβ)and(αandβ)equiv(αorβ)and(αorβ)equiv0 Μια σημαντική λογική σχέση είναι και η γνωστή συνεπαγωγή Για τις προτάσεις x και y ο συμβολισμός xrArry σημαίνει ldquox συνεπάγει το yrdquo ή ldquoαν x τότε yrdquo Η συνεπαγωγή έχει τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας Πίνακας 444 Συνεπαγωγή

x y xrArry 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Η συνεπαγωγή μπορεί να κατασκευαστεί με τη χρήση μιας πύλης ΝΟΤ και μιας πύλης OR όπως φαίνεται από την ισοδυναμία xrArryequivxory (2) Είναι εύλογο να θεωρεί κανείς ότι η πρόταση ldquoαν x τότε x ή yrdquo είναι πάντα ορθή δηλαδή είναι ταυτολογία Εύκολα αποδεικνύεται αυτό και με τη βοήθεια της άλγεβρας Boole και της ισοδυναμίας (2)

xrArr(xory )equivxor(xory) equiv(xorx)ory equiv1ory equiv1

Γενικά αν 119891=x1orx2orx3ororxn τότε x1rArr119891 x2rArr119891 και xnrArr119891 είναι ταυτολογίες Έτσι κάθε όρος σε μια διαζευκτική συνεπάγει τη μορφή Με ανάλογο τρόπο ο αναγνώστης μπορεί να δείξει ότι η xandyrArrx είναι ταυτολογία Υποθέστε ότι η Θ και x είναι όροι μιας διαζευκτικής μορφής Αν επιπλέον ισχύει ότι Θ περιέχει την x τότε Θ=Θandx και αυτό συνεπάγεται ότι ΘrArrx

Η πρόταση (xrArry)and(yrArrx) γράφεται συνήθως ως x⟺y που σημαίνει ldquox αν μόνο αν yrdquo Πρόβλημα 446 Αποδείξτε ότι η πρόταση 119891=[(αorβ)and(γorα)]or(γorα) Είναι ταυτολογία Απάντηση Θέτουμε για χάρη συντομίας 119891=(xandy)or(xory) Ο πίνακας λειτουργίας της πρότασης διαμορφώνεται ως εξής

16

x y xrArry yrArrx xhArry xΛy xVy (xVy)rsquo f 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1

Αν αντί του πίνακα λειτουργίας χρησιμοποιήσουμε τους νόμους της άλγεβρας Boole για να δείξουμε την ισοδυναμία της x⟺y και της 119891 έχουμε

x⟺yequiv(xory)and(yandx) equiv[(xory)andy]or[(xory)andx] equiv[(xandy)or(yandy)]or[(xandx)or(xandy)] equiv(xandy)or(yandx) equiv(xandy)or(xandy) equiv(xandyxandy)or(xory) equiv119891

45 Ελάχιστες Μορφές Η βέλτιστη μορφή στην οποία μια πρόταση μπορεί να γραφτεί εξαρτάται από τους όρους που την συγκροτούν Για χάρη συντομίας θα εστιάσουμε το ενδιαφέρον μας μόνο στις διαζευκτικές μορφές Έτσι στα επόμενα η λέξη όρος θα εκφράζει είτε ένα γραμματικό στοιχείο ή μια σύζευξη γραμματικών στοιχείων Παραδείγματα όρων θα μπορούσαν να είναι τα α β αandβ ή ο αandβandγ

Μια πρόταση στην οποία υπάρχει μια σειρά διαζεύξεων όρων καλείται διαζευκτική μορφή Μια πρόταση 119891 μπορεί να έχει διαφορετικές αλλά ισοδύναμες διαζευκτικές μορφές Ένας αριθμός από αυτές έχουν μικρότερο πλήθος όρων από τις υπόλοιπες Από τις διαζευκτικές μορφές μπορεί να διακρίνουμε μερικές που έχουν τον ελάχιστο αριθμό γραμματικών στοιχείων Αυτές είναι οι laquoβέλτιστεςraquo διαζευκτικές μορφές που στη συνέχεια θα καλούνται laquoελάχιστες μορφές της 119891raquo Ορισμός 451 Ελάχιστη μορφή πρότασης είναι μια διαζευκτική μορφή τέτοια ώστε καμιά ισοδύναμη διαζευκτική μορφή δεν έχει λιγότερους όρους και καμιά ισοδύναμη διαζευκτική μορφή με τον ίδιο αριθμό όρων δεν έχει λιγότερα γραμματικά στοιχεία (επαναλήψεις) αρίθμησης)

Επειδή (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ)equivαor(αandβandγ)or(αandβandγ) συμπεραίνεται ότι (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ)equiv(αandγ)or(βandγ)or(αandγ) Στην τελευταία σχέση η διαζευκτική μορφή στο αριστερό μέρος της ταυτότητας έχει τέσσερις όρους ενώ η διαζευκτική μορφή στο δεξιό μέρος της ταυτότητας έχει τρεις όρους Παρατηρείται επίσης ότι το δεξιό μέλος της πρώτης (ενδιάμεσης) σχέσης περιλαμβάνει επτά γραμματικά στοιχεία ενώ η δεξιά μορφή στην επόμενη σχέση περιλαμβάνει μόνο έξι γραμματικά στοιχεία Αν συνεχίσει κάποιος να εφαρμόζει τους νόμους της άλγεβρας Boole μπορεί να καταλήξει στη διαζευκτική μορφή αor(βandγ) Έτσι η μορφή (3) δεν είναι επίσης ελάχιστη Τελικά μπορεί να αποδειχτεί ότι καμιά διαζευκτική μορφή ισοδύναμη προς τη μορφή (4) δεν έχει μόνο έναν όρο και ότι κάθε διαζευκτική μορφή που είναι ισοδύναμη προς την τελευταία διαζευκτική μορφή των δυο όρων δεν έχει λιγότερους (δηλαδή ένα) όρους Επίσης κάθε διαζευκτική μορφή ισοδύναμη με την τελευταία περιλαμβάνει τουλάχιστον τρία γραμματικά στοιχεία Συμπεραίνεται λοιπόν ότι η τελευταία διαζευκτική μορφή είναι μια ελάχιστη διαζευκτική μορφή Πράγματι χρησιμοποιώντας τους αλγόριθμους που θα παρουσιαστούν σε αυτό το μέρος του βιβλίου μπορεί να αποδειχτεί η ελάχιστη διαζευκτική μορφή που παρουσιάστηκε παραπάνω είναι και η μοναδική ελάχιστη διαζευκτική μορφή των προτάσεων στο παράδειγμα Σε άλλες όμως περιπτώσεις μπορεί να υπάρχουν περισσότερες της μίας ελάχιστες μορφές

Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί ένας αλγόριθμος ο οποίος βρίσκει και παρουσιάζει όλες τις ελάχιστες μορφές μιας οποιασδήποτε πρότασης Αλγόριθμοι που επιτυγχάνουν το ίδιο αποτέλεσμα υπάρχουν και άλλοι αλλά για μικρές προτάσεις που χρησιμοποιούνται σε αυτό το ηλεκτρονικό βιβλίο κρίνεται ότι ο αλγόριθμος

17

που επιλέχθηκε είναι ο καλύτερος χάρη στην απλότητά του Ως μικρές προτάσεις εννοούμε προτάσεις 6 το πολύ μεταβλητών

Για την εύρεση ελάχιστων διαζευκτικών μορφών προτάσεων με μικρό αριθμό γραμματικών στοιχείων συχνά χρησιμοποιούνται διαγραμματικές παραστάσεις γνωστές ως πίνακες Karnaugh Παρά το γεγονός ότι είναι εύκολες στην κατανόηση και τη χρήση είναι δύσκολο να γραφεί κώδικας για τη χρήση τους με υπολογιστικά συστήματα Η πλέον διαδεδομένη μέθοδος για χρήση σε υπολογιστές είναι η μέθοδος QuinendashMcCluskey Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται σε γενικές προτάσεις αλλά δεν είναι εύκολο συχνά να περιγραφεί Πιο εύκολα μπορεί να περιγραφεί η μέθοδος της ομόφωνης επέκτασης και επιλογής (consensus expansion and selection) δεν παρουσιάζει τα προβλήματα των προηγούμενων δυο μεθόδων Αυτή η μέθοδος βρίσκει όλες τις ελάχιστες μορφές μιας πρότασης 119891 και αυτό το επιτυγχάνει σε δυο βήματα Στον Αλγόριθμο 452 βρίσκουμε όλους τους όρους που μπορεί να απαντώνται σε οποιαδήποτε ελάχιστη μορφή της 119891 Στον Αλγόριθμο 452 βρίσκουμε όλα τα υποσύνολα του συνόλου των όρων που βρέθηκαν με τη βοήθεια του Αλγόριθμου 452 Ας σημειωθεί ότι μερικές φορές μερικοί όροι που εντοπίζονται με τον Αλγόριθμο 451 δεν εντοπίζονται από τον Αλγόριθμο 452

Ο Αλγόριθμος 451 κάνει χρήση του ακόλουθου αποτελέσματος της άλγεβρας Boole που είναι γνωστός ως νόμος της ομοφωνίας (consensus law) Νόμος της Ομοφωνίας Έστω τρεις προτάσεις x y και z Για κάθε τριάδα τέτοιων προτάσεων ισχύει (xandz)or(yandz)equiv(xandz)or(yandz)or(xandy) Η απόδειξη με χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole έχει ως εξής

(xandz)or(yandz)or(xandy) (xandz)or(yandz)[xand(zorz)andy] equiv(xandz)or(yandz)or(xandzandy)or(xandzandy) equiv(xandz)or(yandz)

Για να γίνει κατανοητός ο τρόπος που λειτουργεί ο νόμος της ομοφωνίας θα εξηγήσουμε πρώτα τι εννοούμε με την έκφραση laquoοι όροι u και v βρίσκονται σε ομοφωνίαraquo Ορισμός 452 Οι όροι u και v είναι όροι σε ομοφωνία αν υπάρχει ακριβώς ένα γραμματικό στοιχείο στο u του οποίου η άρνηση βρίσκεται στο v

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα Παράδειγμα 451

bull Οι όροι α˄b˄c και α˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο α βρίσκεται στον πρώτο Η άρνηση του αrsquo βρίσκεται στο δεύτερο Κανένα άλλο γραμματικό στοιχείο δεν έχει αυτή την ιδιότητα

bull Οι όροι α˄brsquo και b˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία για τους ίδιους λόγους που όμως σε αυτή την περίπτωση αφορούν το γραμματικό στοιχείο b

bull Οι όροι α˄b και b˄c˄d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία οι αρνήσεις των α και brsquo δεν συναντώνται στο δεύτερο όρο

Αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία θα χρησιμοποιήσουμε τους όρους laquoγραμματικό στοιχείο σε ομοφωνίαraquo και laquoόρος σε ομοφωνίαraquo Ορισμός 453 Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το γραμματικό στοιχείο που είναι και αιτία ύπαρξης της ομοφωνίας

18

Ορισμός 454 Όρος σε ομοφωνία είναι η σύζευξη δύο όρων χωρίς τη συμμετοχή του γραμματικού στοιχείου σε ομοφωνία και της αρνήσεώς του

Ο ταυτοτικός νόμος μάς επιτρέπει να παραλείψουμε επαναλήψεις των γραμματικών στοιχείων στον όρο σε ομοφωνία Ας ξαναδούμε τους όρους του Παραδείγματος 451 Παράδειγμα 452 Οι όροι α˄b˄c και αrsquo˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το α και όρος σε ομοφωνία είναι το (b˄c)(c˄d)equivb˄c˄d

bull Οι όροι α˄brsquo και b˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το brsquo και όρος σε ομοφωνία είναι ο α˄c˄d

bull Οι όροι αrsquo και b˄c˄d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία Ας προσέξουμε και πάλι τον νόμο της ομοφωνίας (5) (x˄z)˅(y˄zrsquo)equiv(x˄z)˅(y˄zrsquo)˅(x˄y) Σημειώστε ότι στην αριστερή πλευρά βρίσκονται δύο όροι σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το z και ο όρος σε ομοφωνία είναι ο x˄yΟ νόμος της ομοφωνίας λέει ότι αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία μπορούμε να παραλείψουμε τον όρο σε ομοφωνία και έτσι να προκύψει μία ισοδύναμη πρόταση Κάτι τέτοιο φαίνεται αρκετά παράξενο αφού το δεξί μέρος της (5) φαίνεται επιμηκέστερο και πιο πολύπλοκο από το αριστερό Δίνεται η εντύπωση ότι η προσάρτηση του όρου σε ομοφωνία δυσκολεύει τα πράγματα Αυτό είναι αλήθεια αλλά μας επιτρέπει να πούμε laquoβραχυπρόθεσμη αλήθειαraquo Αιτία της φαινομενικής αυτής δυσκολίας είναι ο νόμος της απόσβεσης Συνήθως η δεξιά πλευρά της (5) απλοποιείται γιατί ένας laquoμακρύςraquo όρος περιέχει ένα laquoβραχύτεροraquo και έτσι ο laquoμακρύτεροςraquo αποσβήνεται δηλαδή laquoσβήνεταιraquo Στη γενική έκφρασή της (5) καμία απόσβεση δεν συντελείται Σύντομα όμως θα έχουμε την ευκαιρία να δείξουμε τον αλγόριθμο και ένα παράδειγμα όπου θα φανεί πως μια προσωρινή πολυπλοκότητα οδηγεί σε μια ικανοποιητική απλούστευση

Η ιδέα επί της οποίας στηρίζεται ο Αλγόριθμος 451 είναι απλή Αν δυο όροι της 119891 βρίσκονται σε ομοφωνία και έχουν όρο σε ομοφωνία Χ και αν αυτός ο όρος σε ομοφωνία δεν περιλαμβάνει κανέναν όρο που βρίσκεται ήδη στην 119891 τότε ο όρος Χ θα πρέπει να συμπεριληφθεί στην 119891 Αυτό σημαίνει ότι η 119891 αντικαθίσταται από την 119891orX Ο κανόνας αυτός επαναλαμβάνεται μέχρι το σημείο όπου δεν μπορεί να εφαρμοστεί πλέον Στο σημείο αυτό ολοκληρώνεται η διαδικασία εφαρμογής του αλγόριθμου Αλγόριθμος 451 Εύρεση της εν ομοφωνία επέκτασης μιας πρότασης 119891 σε ΣΔΜ

bull Αν υπάρχουν δυο όροι που έχουν έναν όρο σε ομοφωνία (ο οποίος δεν περιέχει έναν όρο που βρίσκεται ήδη στην μορφή) προσαρτήστε στη μορφή αυτόν τον όρο σε ομοφωνία Σε κάθε άλλη περίπτωση ακολουθήστε το βήμα 4

bull Απαλείψτε όλους τους προηγούμενους όρους που περιέχουν τον όρο που μόλις προστέθηκε Πηγαίνετε στο βήμα 1

bull ΤΕΛΟΣ Η εν ομοφωνία επέκταση της 119891 έχει οριστεί Αυτή είναι η διάζευξη όλων των όρων που θα μπορούσαν να περιλαμβάνονται σε μια ελάχιστη μορφή ισοδύναμη της 119891

Παράδειγμα 453 Να βρεθεί η εν ομοφωνία επέκταση της πρότασης

( ) ( ) ( ) ( ) ( )prime prime= and and or and or and and or and or and and andprime prime prime1 2 3 4 5

f a b c a c a b d a c a b c d

Η πρόταση βρίσκεται ήδη σε ΣΔΜ Οι όροι 1 και 2 βρίσκονται σε ομοφωνία με όρο σε ομοφωνία τον α˄b Όταν αναφέρουμε τα βήματα εφαρμογής του αλγόριθμου γράφουμε ldquo1-2rdquo για να δηλώσουμε ότι οι όροι 1 και 2 έχουν συγκριθεί ή γράφουμε ldquo1-2αandbrdquo για να δηλώσουμε και τον όρο σε ομοφωνία Ο όρος αandb δεν

19

περιέχει κανέναν από τους επόμενους όρους ως τον όρο 5 και για αυτό προστίθεται αφού χαρακτηριστεί με

τον επόμενο διαθέσιμο αριθμό που είναι ο 6 and6

a b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

Αν ο νέος όρος περιέχει έναν όρο που ήδη περιέχει μπορούμε να τον προσθέσουμε αλλά εξυπακούεται ότι αμέσως θα απορροφηθεί Τώρα οι όροι 1 και 3 περιέχουν τον όρο 6 τους σβήνουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

( ) ( ) ( ) ( )= and or and orprime and and and or and

2 4 5 6

f a c a c a b c d a b και στη συνέχεια ξαναγυρίζουμε στην εντολή 1 του

αλγόριθμου Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Οι όροι 2 και 4 δεν βρίσκονται σε ομοφωνία και έτσι γράφουμε lsquo2-4rsquo και συνεχίζουμε Καταγράφουμε στη συνέχεια τα πρώτα 8 βήματα

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 5

Όρος σε ομοφωνία ο and and

7

b c d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and and and or and orprime primeand prime andprime

2 4 5 6 7

f a c a c a b c d a b b c d

Απορροφάται ο όρος 5 ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or andprime prime and primeor primeand

2 4 6 7

f a c a c a b b c d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 7

Όρος σε ομοφωνία ο and8

b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and orprime prime and orprimeandprime and

2 4 6 7 8

f a c a c a b b c d b c

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 8 (όχι 4-7) γιατί κάθε φορά που ένας νέος όρος

προστίθεται πηγαίνουμε πίσω στην πρώτη σύγκριση που δεν έχει γίνει ακόμα Όρος σε ομοφωνία ο αΛb ο οποίος περιέχει (στην ουσία είναι ίσος) τον όρο 6 Η πρόταση δεν

εμπλουτίζεται Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο α΄Λb΄Λd΄

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο b΄Λc΄Λd΄ που είναι ίδιος με τον όρο 7 γιrsquo αυτό απορροφάται

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο αΛc΄Λd΄ (περιέχει το 2) και για αυτό απορροφάται

20

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 8 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο α΄ΛcΛd΄ (περιέχει τον όρο 4) STOP Η επέκταση σε ομοφωνία είναι 119891=(αΛc)V(αΛc)V(αΛb)V(bΛcΛd)V(bΛc)V(αΛbΛd) Η χρήση των κεφαλαίων γραμμάτων ερμηνεύεται στη συνέχεια Παρατηρήσατε ότι η επέκταση σε ομοφωνία έχει 6 όρους ενώ η αρχική είχε μόνο 4 Και οι δύο έχουν

14 γραμματικά στοιχεία Όπως και προηγουμένως αναφέρθηκε ότι η πολυπλοκότερη μορφή στην οποία οδηγηθήκαμε δεν αποτελεί παρά ένα απαραίτητο ενδιάμεσο βήμα που θα μας οδηγήσει στην ελάχιστη μορφή Ο Αλγόριθμος 452 που στη συνέχεια θα περιγράψουμε εφαρμόζεται υποχρεωτικά πάνω στην επέκταση εν ομοφωνία

Πριν όμως παρουσιάσουμε τον Αλγόριθμο 452 θα δώσουμε δύο ακόμα απαραίτητους ορισμούς Ορισμός 455 Ένας όρος σε μια διαζευκτική μορφή μιας πρότασης θα καλείται πλήρης όρος αν περιλαμβάνει είτε όλες τις μεταβλητές της πρότασης είτε τις αρνήσεις τους

Έτσι αν μια πρόταση περιλαμβάνει τις μεταβλητές αbc και d τότε οι όροι αandb΄andcandd΄ και αandbanddandc΄ είναι πλήρεις όροι ενώ α΄andcandd΄ c΄andα b΄ δεν είναι Εύκολα μπορεί να αποδειχτεί ότι κάθε όρος είναι ισοδύναμος με τη διάζευξη όλων των όρων που είναι πλήρεις και τον περιέχουν

Αυτή η διάζευξη καλείται επέκταση του πλήρους όρου Παράδειγμα 454 Θεωρήστε για παράδειγμα τον όρο x=α΄andcandd΄ σε μια πρόταση με μεταβλητές αbc και d Οι μοναδικοί πλήρεις όροι που περιέχει το x είναι α΄andb Λ candd΄ και α΄andb΄andcandd΄ και έτσι έχουμε

(αandbandcandd)or(αandbandcandd) equivαand(borb)andcandd equivαand1andcandd equivαandcandd

Το Παράδειγμα 454 υποδεικνύει έναν τρόπο για να βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για οποιονδήποτε όρο y

bull Για κάθε μεταβλητή u στην πρόταση που είναι τέτοια ώστε ούτε η u αλλά ούτε η u δεν βρίσκονται στην y γράψτε τη διάζευξη uoru

bull Σχηματίστε τη σύζευξη της y και όλων των διαζεύξεων που είναι γραμμένες στο βήμα 1 bull Ξαναγράψτε το αποτέλεσμα του βήματος 2 σε διαζευκτική μορφή Αυτή είναι η επέκταση πλήρους

όρου του y Στο τέλος του παραδείγματος 44 βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για τον όρο Α=αandcrsquo Οι μεταβλητές b και d καθώς και οι αρνήσεις τους δεν βρίσκονται στον Α έτσι γράφουμε τις διαζεύξεις borb΄ και dord΄ Σχηματίζουμε τη σύζευξη αand(borb΄)andc΄and(dord΄) και στη συνέχεια την ξαναγράφουμε για να προκύψει η επέκταση πλήρους όρου Α=(αandbandcandd)and(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd) Εύκολα επίσης μπορούμε να εκτιμήσουμε το πλήθος των πλήρων όρων Αν η πρόταση έχει n μεταβλητές τότε υπάρχουν 2n διαφορετικοί πλήρεις όροι

Και πάλι θα πρέπει να σημειωθεί ότι η επέκταση πλήρους όρου περιέχει περισσότερους όρους από την αρχική πρόταση Με τον Αλγόριθμο 452 που εφαρμόζεται στην επέκταση πλήρους όρου επιτυγχάνεται

21

η συντόμευση μιας κατά τα άλλα επίπονης και μακράς διαδικασίας Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σε ομοφωνία για να αναγνωρίσουμε τους πλεονάζοντες όρους Στο παράδειγμά μας η πλήρης επέκταση της πρότασης 119891 έχει έξι όρους και η επέκταση πλήρους όρου έχει 4+4+4+2+4+2=20 όρους Αυτοί οι 20 όροι παριστάνονται με V στον Πίνακα 451 Η ελάχιστη μορφή της f έχει τέσσερεις όρους με 9 γραμματικά στοιχεία Προκειμένου όμως να φτάσουμε σε αυτή τη μορφή χρειάστηκε να μεσολαβήσει μια πρόταση με 6 όρους και 24 γραμματικά στοιχεία

Για να αρχίσουμε χρειαζόμαστε έναν σύντομο τρόπο για την παράσταση όρων σε επεκτάσεις πλήρους όρου Πρώτα βεβαιωθείτε ότι γράψατε τα γραμματικά στοιχεία (ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για τις καταφάσεις ή τις αρνήσεις τους) με την ίδια τάξη σε όλους τους όρους Αν δηλαδή μεταβλητές σας είναι οι αβγδhellip θα γραφούν σε αλφαβητική σειρά ενώ αν έχουν τη μορφή α1α2α3 hellip κατά την ανιούσα τάξη των δεικτών Στη συνέχεια κωδικοποιήστε κάθε πλήρη όρο ως ένα n-ψήφιο δυαδικό αριθμό γράφοντας 1 για κάθε μεταβλητή στον όρο και 0 για κάθε άρνηση της μεταβλητής Για παράδειγμα οι πλήρεις όροι αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγrsquoandδ στην πλήρη επέκταση του Α όπως αυτή καταγράφηκε παραπάνω κωδικοποιούνται αντίστοιχα ως 1000 1001 1100 και 1101 Τελικά για να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη γραφή πλήρων όρων καταφεύγουμε στη βοήθεια του δεκαδικού συστήματος Έτσι οι όροι του Α γίνονται αντίστοιχα 8 9 12 και 14 Οι δυνατοί πλήρεις όροι για μια πρόταση με n μεταβλητές έχουν τελικά κωδικοποιηθεί με τη βοήθεια των αριθμών του δεκαδικού συστήματος 123hellip2n-1 Αντίστροφα κάθε ένας από τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος παράγει τον αντίστοιχό του στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης που με τη σειρά του παράγει έναν πλήρη όρο του όρου που εξετάζεται αρκεί να είναι γνωστός ο αριθμός n των μεταβλητών Για παράδειγμα θεωρείστε τον πλήρη όρο με κωδικό 22 σε μια πρόταση με πέντε μεταβλητέςαβγδ και ε Η πενταψήφια δυαδική έκφραση του 22 είναι 10110 και έτσι ο πλήρης όρος που αντιστοιχεί είναι ο αandβandγandδandε Αν η πρόταση έχει έξι μεταβλητές τότε ο 22 αντιστοιχεί στον 010110 και ο πλήρης όρος είναι αandβandγandδandεandζ

Με αυτόν τον συμβολισμό είναι εύκολο να γράψουμε τους δεκαδικούς κώδικες της επέκτασης πλήρους όρου οπουδήποτε αυτοί βρίσκονται Αυτό φαίνεται καλύτερα αν χρησιμοποιήσουμε για παράδειγμα τον όρο Α=αandγ Κωδικοποιούμε τον Α γράφοντας παύλες για τα γραμματικά στοιχεία που λείπουν 1_0_ Δοκιμάστε τώρα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς και μετατρέψτε όλους τους προκύπτοντες δυαδικούς αριθμούς σε αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης

8=(1000) 9=(1001) 12=(1100) 13=(1101)

Αλγόριθμος 452 Επιλογή όλων των ελάχιστων μορφών από την επέκταση σε ομοφωνία

bull Για κάθε όρο από την επέκταση σε ομοφωνία γράψτε τους δεκαδικούς κώδικες όλων των επεκτάσεων πλήρους όρου

bull Σχηματίστε έναν πίνακα με γραμμές που αντιστοιχούν στους όρους της εν ομοφωνία επέκτασης και στήλες στον δεκαδικό κώδικα που αναφέρεται σε τουλάχιστον μια επέκταση πλήρους όρου Σημειώστε με Χ τις επεκτάσεις πλήρους όρου κάθε όρου χωριστά

bull Σημειώστε με έναν κύκλο κάθε Χ που είναι μοναδικό στη στήλη του Στη συνέχεια σημειώστε με αστερίσκο κάθε όρο στην επέκταση σε ομοφωνία που έχει έναν κύκλο στη γραμμή της Αυτοί είναι οι ουσιώδεις όροι της αρχικής πρότασης Στη συνέχεια τοποθετήστε έναν κύκλο σε κάθε επικεφαλίδα στήλης που έχει ένα Χ σε γραμμή με αστερίσκο Αν δεν υπάρχουν σημειωμένοι όροι σε επικεφαλίδες στηλών τότε η μοναδική ελάχιστη μορφή είναι η διάζευξη των ουσιωδών όρων Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε όρο επικεφαλίδας στήλης που έχει σημειωθεί με κύκλο γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλίδες γραμμών και υπάρχει Χ σημειωμένο σε αυτή τη στήλη Αυτή η πρόταση καλείται πρόταση Petric της αρχικής πρότασης

bull Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Ονομάστε την Π bull Διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους του Π οι οποίοι περιέχουν τον ελάχιστο αριθμό

πλήρων όρων

16

x y xrArry yrArrx xhArry xΛy xVy (xVy)rsquo f 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1

Αν αντί του πίνακα λειτουργίας χρησιμοποιήσουμε τους νόμους της άλγεβρας Boole για να δείξουμε την ισοδυναμία της x⟺y και της 119891 έχουμε

x⟺yequiv(xory)and(yandx) equiv[(xory)andy]or[(xory)andx] equiv[(xandy)or(yandy)]or[(xandx)or(xandy)] equiv(xandy)or(yandx) equiv(xandy)or(xandy) equiv(xandyxandy)or(xory) equiv119891

45 Ελάχιστες Μορφές Η βέλτιστη μορφή στην οποία μια πρόταση μπορεί να γραφτεί εξαρτάται από τους όρους που την συγκροτούν Για χάρη συντομίας θα εστιάσουμε το ενδιαφέρον μας μόνο στις διαζευκτικές μορφές Έτσι στα επόμενα η λέξη όρος θα εκφράζει είτε ένα γραμματικό στοιχείο ή μια σύζευξη γραμματικών στοιχείων Παραδείγματα όρων θα μπορούσαν να είναι τα α β αandβ ή ο αandβandγ

Μια πρόταση στην οποία υπάρχει μια σειρά διαζεύξεων όρων καλείται διαζευκτική μορφή Μια πρόταση 119891 μπορεί να έχει διαφορετικές αλλά ισοδύναμες διαζευκτικές μορφές Ένας αριθμός από αυτές έχουν μικρότερο πλήθος όρων από τις υπόλοιπες Από τις διαζευκτικές μορφές μπορεί να διακρίνουμε μερικές που έχουν τον ελάχιστο αριθμό γραμματικών στοιχείων Αυτές είναι οι laquoβέλτιστεςraquo διαζευκτικές μορφές που στη συνέχεια θα καλούνται laquoελάχιστες μορφές της 119891raquo Ορισμός 451 Ελάχιστη μορφή πρότασης είναι μια διαζευκτική μορφή τέτοια ώστε καμιά ισοδύναμη διαζευκτική μορφή δεν έχει λιγότερους όρους και καμιά ισοδύναμη διαζευκτική μορφή με τον ίδιο αριθμό όρων δεν έχει λιγότερα γραμματικά στοιχεία (επαναλήψεις) αρίθμησης)

Επειδή (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ)equivαor(αandβandγ)or(αandβandγ) συμπεραίνεται ότι (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ)equiv(αandγ)or(βandγ)or(αandγ) Στην τελευταία σχέση η διαζευκτική μορφή στο αριστερό μέρος της ταυτότητας έχει τέσσερις όρους ενώ η διαζευκτική μορφή στο δεξιό μέρος της ταυτότητας έχει τρεις όρους Παρατηρείται επίσης ότι το δεξιό μέλος της πρώτης (ενδιάμεσης) σχέσης περιλαμβάνει επτά γραμματικά στοιχεία ενώ η δεξιά μορφή στην επόμενη σχέση περιλαμβάνει μόνο έξι γραμματικά στοιχεία Αν συνεχίσει κάποιος να εφαρμόζει τους νόμους της άλγεβρας Boole μπορεί να καταλήξει στη διαζευκτική μορφή αor(βandγ) Έτσι η μορφή (3) δεν είναι επίσης ελάχιστη Τελικά μπορεί να αποδειχτεί ότι καμιά διαζευκτική μορφή ισοδύναμη προς τη μορφή (4) δεν έχει μόνο έναν όρο και ότι κάθε διαζευκτική μορφή που είναι ισοδύναμη προς την τελευταία διαζευκτική μορφή των δυο όρων δεν έχει λιγότερους (δηλαδή ένα) όρους Επίσης κάθε διαζευκτική μορφή ισοδύναμη με την τελευταία περιλαμβάνει τουλάχιστον τρία γραμματικά στοιχεία Συμπεραίνεται λοιπόν ότι η τελευταία διαζευκτική μορφή είναι μια ελάχιστη διαζευκτική μορφή Πράγματι χρησιμοποιώντας τους αλγόριθμους που θα παρουσιαστούν σε αυτό το μέρος του βιβλίου μπορεί να αποδειχτεί η ελάχιστη διαζευκτική μορφή που παρουσιάστηκε παραπάνω είναι και η μοναδική ελάχιστη διαζευκτική μορφή των προτάσεων στο παράδειγμα Σε άλλες όμως περιπτώσεις μπορεί να υπάρχουν περισσότερες της μίας ελάχιστες μορφές

Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί ένας αλγόριθμος ο οποίος βρίσκει και παρουσιάζει όλες τις ελάχιστες μορφές μιας οποιασδήποτε πρότασης Αλγόριθμοι που επιτυγχάνουν το ίδιο αποτέλεσμα υπάρχουν και άλλοι αλλά για μικρές προτάσεις που χρησιμοποιούνται σε αυτό το ηλεκτρονικό βιβλίο κρίνεται ότι ο αλγόριθμος

17

που επιλέχθηκε είναι ο καλύτερος χάρη στην απλότητά του Ως μικρές προτάσεις εννοούμε προτάσεις 6 το πολύ μεταβλητών

Για την εύρεση ελάχιστων διαζευκτικών μορφών προτάσεων με μικρό αριθμό γραμματικών στοιχείων συχνά χρησιμοποιούνται διαγραμματικές παραστάσεις γνωστές ως πίνακες Karnaugh Παρά το γεγονός ότι είναι εύκολες στην κατανόηση και τη χρήση είναι δύσκολο να γραφεί κώδικας για τη χρήση τους με υπολογιστικά συστήματα Η πλέον διαδεδομένη μέθοδος για χρήση σε υπολογιστές είναι η μέθοδος QuinendashMcCluskey Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται σε γενικές προτάσεις αλλά δεν είναι εύκολο συχνά να περιγραφεί Πιο εύκολα μπορεί να περιγραφεί η μέθοδος της ομόφωνης επέκτασης και επιλογής (consensus expansion and selection) δεν παρουσιάζει τα προβλήματα των προηγούμενων δυο μεθόδων Αυτή η μέθοδος βρίσκει όλες τις ελάχιστες μορφές μιας πρότασης 119891 και αυτό το επιτυγχάνει σε δυο βήματα Στον Αλγόριθμο 452 βρίσκουμε όλους τους όρους που μπορεί να απαντώνται σε οποιαδήποτε ελάχιστη μορφή της 119891 Στον Αλγόριθμο 452 βρίσκουμε όλα τα υποσύνολα του συνόλου των όρων που βρέθηκαν με τη βοήθεια του Αλγόριθμου 452 Ας σημειωθεί ότι μερικές φορές μερικοί όροι που εντοπίζονται με τον Αλγόριθμο 451 δεν εντοπίζονται από τον Αλγόριθμο 452

Ο Αλγόριθμος 451 κάνει χρήση του ακόλουθου αποτελέσματος της άλγεβρας Boole που είναι γνωστός ως νόμος της ομοφωνίας (consensus law) Νόμος της Ομοφωνίας Έστω τρεις προτάσεις x y και z Για κάθε τριάδα τέτοιων προτάσεων ισχύει (xandz)or(yandz)equiv(xandz)or(yandz)or(xandy) Η απόδειξη με χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole έχει ως εξής

(xandz)or(yandz)or(xandy) (xandz)or(yandz)[xand(zorz)andy] equiv(xandz)or(yandz)or(xandzandy)or(xandzandy) equiv(xandz)or(yandz)

Για να γίνει κατανοητός ο τρόπος που λειτουργεί ο νόμος της ομοφωνίας θα εξηγήσουμε πρώτα τι εννοούμε με την έκφραση laquoοι όροι u και v βρίσκονται σε ομοφωνίαraquo Ορισμός 452 Οι όροι u και v είναι όροι σε ομοφωνία αν υπάρχει ακριβώς ένα γραμματικό στοιχείο στο u του οποίου η άρνηση βρίσκεται στο v

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα Παράδειγμα 451

bull Οι όροι α˄b˄c και α˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο α βρίσκεται στον πρώτο Η άρνηση του αrsquo βρίσκεται στο δεύτερο Κανένα άλλο γραμματικό στοιχείο δεν έχει αυτή την ιδιότητα

bull Οι όροι α˄brsquo και b˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία για τους ίδιους λόγους που όμως σε αυτή την περίπτωση αφορούν το γραμματικό στοιχείο b

bull Οι όροι α˄b και b˄c˄d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία οι αρνήσεις των α και brsquo δεν συναντώνται στο δεύτερο όρο

Αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία θα χρησιμοποιήσουμε τους όρους laquoγραμματικό στοιχείο σε ομοφωνίαraquo και laquoόρος σε ομοφωνίαraquo Ορισμός 453 Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το γραμματικό στοιχείο που είναι και αιτία ύπαρξης της ομοφωνίας

18

Ορισμός 454 Όρος σε ομοφωνία είναι η σύζευξη δύο όρων χωρίς τη συμμετοχή του γραμματικού στοιχείου σε ομοφωνία και της αρνήσεώς του

Ο ταυτοτικός νόμος μάς επιτρέπει να παραλείψουμε επαναλήψεις των γραμματικών στοιχείων στον όρο σε ομοφωνία Ας ξαναδούμε τους όρους του Παραδείγματος 451 Παράδειγμα 452 Οι όροι α˄b˄c και αrsquo˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το α και όρος σε ομοφωνία είναι το (b˄c)(c˄d)equivb˄c˄d

bull Οι όροι α˄brsquo και b˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το brsquo και όρος σε ομοφωνία είναι ο α˄c˄d

bull Οι όροι αrsquo και b˄c˄d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία Ας προσέξουμε και πάλι τον νόμο της ομοφωνίας (5) (x˄z)˅(y˄zrsquo)equiv(x˄z)˅(y˄zrsquo)˅(x˄y) Σημειώστε ότι στην αριστερή πλευρά βρίσκονται δύο όροι σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το z και ο όρος σε ομοφωνία είναι ο x˄yΟ νόμος της ομοφωνίας λέει ότι αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία μπορούμε να παραλείψουμε τον όρο σε ομοφωνία και έτσι να προκύψει μία ισοδύναμη πρόταση Κάτι τέτοιο φαίνεται αρκετά παράξενο αφού το δεξί μέρος της (5) φαίνεται επιμηκέστερο και πιο πολύπλοκο από το αριστερό Δίνεται η εντύπωση ότι η προσάρτηση του όρου σε ομοφωνία δυσκολεύει τα πράγματα Αυτό είναι αλήθεια αλλά μας επιτρέπει να πούμε laquoβραχυπρόθεσμη αλήθειαraquo Αιτία της φαινομενικής αυτής δυσκολίας είναι ο νόμος της απόσβεσης Συνήθως η δεξιά πλευρά της (5) απλοποιείται γιατί ένας laquoμακρύςraquo όρος περιέχει ένα laquoβραχύτεροraquo και έτσι ο laquoμακρύτεροςraquo αποσβήνεται δηλαδή laquoσβήνεταιraquo Στη γενική έκφρασή της (5) καμία απόσβεση δεν συντελείται Σύντομα όμως θα έχουμε την ευκαιρία να δείξουμε τον αλγόριθμο και ένα παράδειγμα όπου θα φανεί πως μια προσωρινή πολυπλοκότητα οδηγεί σε μια ικανοποιητική απλούστευση

Η ιδέα επί της οποίας στηρίζεται ο Αλγόριθμος 451 είναι απλή Αν δυο όροι της 119891 βρίσκονται σε ομοφωνία και έχουν όρο σε ομοφωνία Χ και αν αυτός ο όρος σε ομοφωνία δεν περιλαμβάνει κανέναν όρο που βρίσκεται ήδη στην 119891 τότε ο όρος Χ θα πρέπει να συμπεριληφθεί στην 119891 Αυτό σημαίνει ότι η 119891 αντικαθίσταται από την 119891orX Ο κανόνας αυτός επαναλαμβάνεται μέχρι το σημείο όπου δεν μπορεί να εφαρμοστεί πλέον Στο σημείο αυτό ολοκληρώνεται η διαδικασία εφαρμογής του αλγόριθμου Αλγόριθμος 451 Εύρεση της εν ομοφωνία επέκτασης μιας πρότασης 119891 σε ΣΔΜ

bull Αν υπάρχουν δυο όροι που έχουν έναν όρο σε ομοφωνία (ο οποίος δεν περιέχει έναν όρο που βρίσκεται ήδη στην μορφή) προσαρτήστε στη μορφή αυτόν τον όρο σε ομοφωνία Σε κάθε άλλη περίπτωση ακολουθήστε το βήμα 4

bull Απαλείψτε όλους τους προηγούμενους όρους που περιέχουν τον όρο που μόλις προστέθηκε Πηγαίνετε στο βήμα 1

bull ΤΕΛΟΣ Η εν ομοφωνία επέκταση της 119891 έχει οριστεί Αυτή είναι η διάζευξη όλων των όρων που θα μπορούσαν να περιλαμβάνονται σε μια ελάχιστη μορφή ισοδύναμη της 119891

Παράδειγμα 453 Να βρεθεί η εν ομοφωνία επέκταση της πρότασης

( ) ( ) ( ) ( ) ( )prime prime= and and or and or and and or and or and and andprime prime prime1 2 3 4 5

f a b c a c a b d a c a b c d

Η πρόταση βρίσκεται ήδη σε ΣΔΜ Οι όροι 1 και 2 βρίσκονται σε ομοφωνία με όρο σε ομοφωνία τον α˄b Όταν αναφέρουμε τα βήματα εφαρμογής του αλγόριθμου γράφουμε ldquo1-2rdquo για να δηλώσουμε ότι οι όροι 1 και 2 έχουν συγκριθεί ή γράφουμε ldquo1-2αandbrdquo για να δηλώσουμε και τον όρο σε ομοφωνία Ο όρος αandb δεν

19

περιέχει κανέναν από τους επόμενους όρους ως τον όρο 5 και για αυτό προστίθεται αφού χαρακτηριστεί με

τον επόμενο διαθέσιμο αριθμό που είναι ο 6 and6

a b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

Αν ο νέος όρος περιέχει έναν όρο που ήδη περιέχει μπορούμε να τον προσθέσουμε αλλά εξυπακούεται ότι αμέσως θα απορροφηθεί Τώρα οι όροι 1 και 3 περιέχουν τον όρο 6 τους σβήνουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

( ) ( ) ( ) ( )= and or and orprime and and and or and

2 4 5 6

f a c a c a b c d a b και στη συνέχεια ξαναγυρίζουμε στην εντολή 1 του

αλγόριθμου Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Οι όροι 2 και 4 δεν βρίσκονται σε ομοφωνία και έτσι γράφουμε lsquo2-4rsquo και συνεχίζουμε Καταγράφουμε στη συνέχεια τα πρώτα 8 βήματα

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 5

Όρος σε ομοφωνία ο and and

7

b c d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and and and or and orprime primeand prime andprime

2 4 5 6 7

f a c a c a b c d a b b c d

Απορροφάται ο όρος 5 ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or andprime prime and primeor primeand

2 4 6 7

f a c a c a b b c d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 7

Όρος σε ομοφωνία ο and8

b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and orprime prime and orprimeandprime and

2 4 6 7 8

f a c a c a b b c d b c

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 8 (όχι 4-7) γιατί κάθε φορά που ένας νέος όρος

προστίθεται πηγαίνουμε πίσω στην πρώτη σύγκριση που δεν έχει γίνει ακόμα Όρος σε ομοφωνία ο αΛb ο οποίος περιέχει (στην ουσία είναι ίσος) τον όρο 6 Η πρόταση δεν

εμπλουτίζεται Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο α΄Λb΄Λd΄

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο b΄Λc΄Λd΄ που είναι ίδιος με τον όρο 7 γιrsquo αυτό απορροφάται

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο αΛc΄Λd΄ (περιέχει το 2) και για αυτό απορροφάται

20

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 8 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο α΄ΛcΛd΄ (περιέχει τον όρο 4) STOP Η επέκταση σε ομοφωνία είναι 119891=(αΛc)V(αΛc)V(αΛb)V(bΛcΛd)V(bΛc)V(αΛbΛd) Η χρήση των κεφαλαίων γραμμάτων ερμηνεύεται στη συνέχεια Παρατηρήσατε ότι η επέκταση σε ομοφωνία έχει 6 όρους ενώ η αρχική είχε μόνο 4 Και οι δύο έχουν

14 γραμματικά στοιχεία Όπως και προηγουμένως αναφέρθηκε ότι η πολυπλοκότερη μορφή στην οποία οδηγηθήκαμε δεν αποτελεί παρά ένα απαραίτητο ενδιάμεσο βήμα που θα μας οδηγήσει στην ελάχιστη μορφή Ο Αλγόριθμος 452 που στη συνέχεια θα περιγράψουμε εφαρμόζεται υποχρεωτικά πάνω στην επέκταση εν ομοφωνία

Πριν όμως παρουσιάσουμε τον Αλγόριθμο 452 θα δώσουμε δύο ακόμα απαραίτητους ορισμούς Ορισμός 455 Ένας όρος σε μια διαζευκτική μορφή μιας πρότασης θα καλείται πλήρης όρος αν περιλαμβάνει είτε όλες τις μεταβλητές της πρότασης είτε τις αρνήσεις τους

Έτσι αν μια πρόταση περιλαμβάνει τις μεταβλητές αbc και d τότε οι όροι αandb΄andcandd΄ και αandbanddandc΄ είναι πλήρεις όροι ενώ α΄andcandd΄ c΄andα b΄ δεν είναι Εύκολα μπορεί να αποδειχτεί ότι κάθε όρος είναι ισοδύναμος με τη διάζευξη όλων των όρων που είναι πλήρεις και τον περιέχουν

Αυτή η διάζευξη καλείται επέκταση του πλήρους όρου Παράδειγμα 454 Θεωρήστε για παράδειγμα τον όρο x=α΄andcandd΄ σε μια πρόταση με μεταβλητές αbc και d Οι μοναδικοί πλήρεις όροι που περιέχει το x είναι α΄andb Λ candd΄ και α΄andb΄andcandd΄ και έτσι έχουμε

(αandbandcandd)or(αandbandcandd) equivαand(borb)andcandd equivαand1andcandd equivαandcandd

Το Παράδειγμα 454 υποδεικνύει έναν τρόπο για να βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για οποιονδήποτε όρο y

bull Για κάθε μεταβλητή u στην πρόταση που είναι τέτοια ώστε ούτε η u αλλά ούτε η u δεν βρίσκονται στην y γράψτε τη διάζευξη uoru

bull Σχηματίστε τη σύζευξη της y και όλων των διαζεύξεων που είναι γραμμένες στο βήμα 1 bull Ξαναγράψτε το αποτέλεσμα του βήματος 2 σε διαζευκτική μορφή Αυτή είναι η επέκταση πλήρους

όρου του y Στο τέλος του παραδείγματος 44 βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για τον όρο Α=αandcrsquo Οι μεταβλητές b και d καθώς και οι αρνήσεις τους δεν βρίσκονται στον Α έτσι γράφουμε τις διαζεύξεις borb΄ και dord΄ Σχηματίζουμε τη σύζευξη αand(borb΄)andc΄and(dord΄) και στη συνέχεια την ξαναγράφουμε για να προκύψει η επέκταση πλήρους όρου Α=(αandbandcandd)and(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd) Εύκολα επίσης μπορούμε να εκτιμήσουμε το πλήθος των πλήρων όρων Αν η πρόταση έχει n μεταβλητές τότε υπάρχουν 2n διαφορετικοί πλήρεις όροι

Και πάλι θα πρέπει να σημειωθεί ότι η επέκταση πλήρους όρου περιέχει περισσότερους όρους από την αρχική πρόταση Με τον Αλγόριθμο 452 που εφαρμόζεται στην επέκταση πλήρους όρου επιτυγχάνεται

21

η συντόμευση μιας κατά τα άλλα επίπονης και μακράς διαδικασίας Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σε ομοφωνία για να αναγνωρίσουμε τους πλεονάζοντες όρους Στο παράδειγμά μας η πλήρης επέκταση της πρότασης 119891 έχει έξι όρους και η επέκταση πλήρους όρου έχει 4+4+4+2+4+2=20 όρους Αυτοί οι 20 όροι παριστάνονται με V στον Πίνακα 451 Η ελάχιστη μορφή της f έχει τέσσερεις όρους με 9 γραμματικά στοιχεία Προκειμένου όμως να φτάσουμε σε αυτή τη μορφή χρειάστηκε να μεσολαβήσει μια πρόταση με 6 όρους και 24 γραμματικά στοιχεία

Για να αρχίσουμε χρειαζόμαστε έναν σύντομο τρόπο για την παράσταση όρων σε επεκτάσεις πλήρους όρου Πρώτα βεβαιωθείτε ότι γράψατε τα γραμματικά στοιχεία (ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για τις καταφάσεις ή τις αρνήσεις τους) με την ίδια τάξη σε όλους τους όρους Αν δηλαδή μεταβλητές σας είναι οι αβγδhellip θα γραφούν σε αλφαβητική σειρά ενώ αν έχουν τη μορφή α1α2α3 hellip κατά την ανιούσα τάξη των δεικτών Στη συνέχεια κωδικοποιήστε κάθε πλήρη όρο ως ένα n-ψήφιο δυαδικό αριθμό γράφοντας 1 για κάθε μεταβλητή στον όρο και 0 για κάθε άρνηση της μεταβλητής Για παράδειγμα οι πλήρεις όροι αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγrsquoandδ στην πλήρη επέκταση του Α όπως αυτή καταγράφηκε παραπάνω κωδικοποιούνται αντίστοιχα ως 1000 1001 1100 και 1101 Τελικά για να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη γραφή πλήρων όρων καταφεύγουμε στη βοήθεια του δεκαδικού συστήματος Έτσι οι όροι του Α γίνονται αντίστοιχα 8 9 12 και 14 Οι δυνατοί πλήρεις όροι για μια πρόταση με n μεταβλητές έχουν τελικά κωδικοποιηθεί με τη βοήθεια των αριθμών του δεκαδικού συστήματος 123hellip2n-1 Αντίστροφα κάθε ένας από τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος παράγει τον αντίστοιχό του στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης που με τη σειρά του παράγει έναν πλήρη όρο του όρου που εξετάζεται αρκεί να είναι γνωστός ο αριθμός n των μεταβλητών Για παράδειγμα θεωρείστε τον πλήρη όρο με κωδικό 22 σε μια πρόταση με πέντε μεταβλητέςαβγδ και ε Η πενταψήφια δυαδική έκφραση του 22 είναι 10110 και έτσι ο πλήρης όρος που αντιστοιχεί είναι ο αandβandγandδandε Αν η πρόταση έχει έξι μεταβλητές τότε ο 22 αντιστοιχεί στον 010110 και ο πλήρης όρος είναι αandβandγandδandεandζ

Με αυτόν τον συμβολισμό είναι εύκολο να γράψουμε τους δεκαδικούς κώδικες της επέκτασης πλήρους όρου οπουδήποτε αυτοί βρίσκονται Αυτό φαίνεται καλύτερα αν χρησιμοποιήσουμε για παράδειγμα τον όρο Α=αandγ Κωδικοποιούμε τον Α γράφοντας παύλες για τα γραμματικά στοιχεία που λείπουν 1_0_ Δοκιμάστε τώρα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς και μετατρέψτε όλους τους προκύπτοντες δυαδικούς αριθμούς σε αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης

8=(1000) 9=(1001) 12=(1100) 13=(1101)

Αλγόριθμος 452 Επιλογή όλων των ελάχιστων μορφών από την επέκταση σε ομοφωνία

bull Για κάθε όρο από την επέκταση σε ομοφωνία γράψτε τους δεκαδικούς κώδικες όλων των επεκτάσεων πλήρους όρου

bull Σχηματίστε έναν πίνακα με γραμμές που αντιστοιχούν στους όρους της εν ομοφωνία επέκτασης και στήλες στον δεκαδικό κώδικα που αναφέρεται σε τουλάχιστον μια επέκταση πλήρους όρου Σημειώστε με Χ τις επεκτάσεις πλήρους όρου κάθε όρου χωριστά

bull Σημειώστε με έναν κύκλο κάθε Χ που είναι μοναδικό στη στήλη του Στη συνέχεια σημειώστε με αστερίσκο κάθε όρο στην επέκταση σε ομοφωνία που έχει έναν κύκλο στη γραμμή της Αυτοί είναι οι ουσιώδεις όροι της αρχικής πρότασης Στη συνέχεια τοποθετήστε έναν κύκλο σε κάθε επικεφαλίδα στήλης που έχει ένα Χ σε γραμμή με αστερίσκο Αν δεν υπάρχουν σημειωμένοι όροι σε επικεφαλίδες στηλών τότε η μοναδική ελάχιστη μορφή είναι η διάζευξη των ουσιωδών όρων Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε όρο επικεφαλίδας στήλης που έχει σημειωθεί με κύκλο γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλίδες γραμμών και υπάρχει Χ σημειωμένο σε αυτή τη στήλη Αυτή η πρόταση καλείται πρόταση Petric της αρχικής πρότασης

bull Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Ονομάστε την Π bull Διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους του Π οι οποίοι περιέχουν τον ελάχιστο αριθμό

πλήρων όρων

17

που επιλέχθηκε είναι ο καλύτερος χάρη στην απλότητά του Ως μικρές προτάσεις εννοούμε προτάσεις 6 το πολύ μεταβλητών

Για την εύρεση ελάχιστων διαζευκτικών μορφών προτάσεων με μικρό αριθμό γραμματικών στοιχείων συχνά χρησιμοποιούνται διαγραμματικές παραστάσεις γνωστές ως πίνακες Karnaugh Παρά το γεγονός ότι είναι εύκολες στην κατανόηση και τη χρήση είναι δύσκολο να γραφεί κώδικας για τη χρήση τους με υπολογιστικά συστήματα Η πλέον διαδεδομένη μέθοδος για χρήση σε υπολογιστές είναι η μέθοδος QuinendashMcCluskey Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται σε γενικές προτάσεις αλλά δεν είναι εύκολο συχνά να περιγραφεί Πιο εύκολα μπορεί να περιγραφεί η μέθοδος της ομόφωνης επέκτασης και επιλογής (consensus expansion and selection) δεν παρουσιάζει τα προβλήματα των προηγούμενων δυο μεθόδων Αυτή η μέθοδος βρίσκει όλες τις ελάχιστες μορφές μιας πρότασης 119891 και αυτό το επιτυγχάνει σε δυο βήματα Στον Αλγόριθμο 452 βρίσκουμε όλους τους όρους που μπορεί να απαντώνται σε οποιαδήποτε ελάχιστη μορφή της 119891 Στον Αλγόριθμο 452 βρίσκουμε όλα τα υποσύνολα του συνόλου των όρων που βρέθηκαν με τη βοήθεια του Αλγόριθμου 452 Ας σημειωθεί ότι μερικές φορές μερικοί όροι που εντοπίζονται με τον Αλγόριθμο 451 δεν εντοπίζονται από τον Αλγόριθμο 452

Ο Αλγόριθμος 451 κάνει χρήση του ακόλουθου αποτελέσματος της άλγεβρας Boole που είναι γνωστός ως νόμος της ομοφωνίας (consensus law) Νόμος της Ομοφωνίας Έστω τρεις προτάσεις x y και z Για κάθε τριάδα τέτοιων προτάσεων ισχύει (xandz)or(yandz)equiv(xandz)or(yandz)or(xandy) Η απόδειξη με χρήση των νόμων της άλγεβρας Boole έχει ως εξής

(xandz)or(yandz)or(xandy) (xandz)or(yandz)[xand(zorz)andy] equiv(xandz)or(yandz)or(xandzandy)or(xandzandy) equiv(xandz)or(yandz)

Για να γίνει κατανοητός ο τρόπος που λειτουργεί ο νόμος της ομοφωνίας θα εξηγήσουμε πρώτα τι εννοούμε με την έκφραση laquoοι όροι u και v βρίσκονται σε ομοφωνίαraquo Ορισμός 452 Οι όροι u και v είναι όροι σε ομοφωνία αν υπάρχει ακριβώς ένα γραμματικό στοιχείο στο u του οποίου η άρνηση βρίσκεται στο v

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα Παράδειγμα 451

bull Οι όροι α˄b˄c και α˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο α βρίσκεται στον πρώτο Η άρνηση του αrsquo βρίσκεται στο δεύτερο Κανένα άλλο γραμματικό στοιχείο δεν έχει αυτή την ιδιότητα

bull Οι όροι α˄brsquo και b˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία για τους ίδιους λόγους που όμως σε αυτή την περίπτωση αφορούν το γραμματικό στοιχείο b

bull Οι όροι α˄b και b˄c˄d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία οι αρνήσεις των α και brsquo δεν συναντώνται στο δεύτερο όρο

Αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία θα χρησιμοποιήσουμε τους όρους laquoγραμματικό στοιχείο σε ομοφωνίαraquo και laquoόρος σε ομοφωνίαraquo Ορισμός 453 Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το γραμματικό στοιχείο που είναι και αιτία ύπαρξης της ομοφωνίας

18

Ορισμός 454 Όρος σε ομοφωνία είναι η σύζευξη δύο όρων χωρίς τη συμμετοχή του γραμματικού στοιχείου σε ομοφωνία και της αρνήσεώς του

Ο ταυτοτικός νόμος μάς επιτρέπει να παραλείψουμε επαναλήψεις των γραμματικών στοιχείων στον όρο σε ομοφωνία Ας ξαναδούμε τους όρους του Παραδείγματος 451 Παράδειγμα 452 Οι όροι α˄b˄c και αrsquo˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το α και όρος σε ομοφωνία είναι το (b˄c)(c˄d)equivb˄c˄d

bull Οι όροι α˄brsquo και b˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το brsquo και όρος σε ομοφωνία είναι ο α˄c˄d

bull Οι όροι αrsquo και b˄c˄d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία Ας προσέξουμε και πάλι τον νόμο της ομοφωνίας (5) (x˄z)˅(y˄zrsquo)equiv(x˄z)˅(y˄zrsquo)˅(x˄y) Σημειώστε ότι στην αριστερή πλευρά βρίσκονται δύο όροι σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το z και ο όρος σε ομοφωνία είναι ο x˄yΟ νόμος της ομοφωνίας λέει ότι αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία μπορούμε να παραλείψουμε τον όρο σε ομοφωνία και έτσι να προκύψει μία ισοδύναμη πρόταση Κάτι τέτοιο φαίνεται αρκετά παράξενο αφού το δεξί μέρος της (5) φαίνεται επιμηκέστερο και πιο πολύπλοκο από το αριστερό Δίνεται η εντύπωση ότι η προσάρτηση του όρου σε ομοφωνία δυσκολεύει τα πράγματα Αυτό είναι αλήθεια αλλά μας επιτρέπει να πούμε laquoβραχυπρόθεσμη αλήθειαraquo Αιτία της φαινομενικής αυτής δυσκολίας είναι ο νόμος της απόσβεσης Συνήθως η δεξιά πλευρά της (5) απλοποιείται γιατί ένας laquoμακρύςraquo όρος περιέχει ένα laquoβραχύτεροraquo και έτσι ο laquoμακρύτεροςraquo αποσβήνεται δηλαδή laquoσβήνεταιraquo Στη γενική έκφρασή της (5) καμία απόσβεση δεν συντελείται Σύντομα όμως θα έχουμε την ευκαιρία να δείξουμε τον αλγόριθμο και ένα παράδειγμα όπου θα φανεί πως μια προσωρινή πολυπλοκότητα οδηγεί σε μια ικανοποιητική απλούστευση

Η ιδέα επί της οποίας στηρίζεται ο Αλγόριθμος 451 είναι απλή Αν δυο όροι της 119891 βρίσκονται σε ομοφωνία και έχουν όρο σε ομοφωνία Χ και αν αυτός ο όρος σε ομοφωνία δεν περιλαμβάνει κανέναν όρο που βρίσκεται ήδη στην 119891 τότε ο όρος Χ θα πρέπει να συμπεριληφθεί στην 119891 Αυτό σημαίνει ότι η 119891 αντικαθίσταται από την 119891orX Ο κανόνας αυτός επαναλαμβάνεται μέχρι το σημείο όπου δεν μπορεί να εφαρμοστεί πλέον Στο σημείο αυτό ολοκληρώνεται η διαδικασία εφαρμογής του αλγόριθμου Αλγόριθμος 451 Εύρεση της εν ομοφωνία επέκτασης μιας πρότασης 119891 σε ΣΔΜ

bull Αν υπάρχουν δυο όροι που έχουν έναν όρο σε ομοφωνία (ο οποίος δεν περιέχει έναν όρο που βρίσκεται ήδη στην μορφή) προσαρτήστε στη μορφή αυτόν τον όρο σε ομοφωνία Σε κάθε άλλη περίπτωση ακολουθήστε το βήμα 4

bull Απαλείψτε όλους τους προηγούμενους όρους που περιέχουν τον όρο που μόλις προστέθηκε Πηγαίνετε στο βήμα 1

bull ΤΕΛΟΣ Η εν ομοφωνία επέκταση της 119891 έχει οριστεί Αυτή είναι η διάζευξη όλων των όρων που θα μπορούσαν να περιλαμβάνονται σε μια ελάχιστη μορφή ισοδύναμη της 119891

Παράδειγμα 453 Να βρεθεί η εν ομοφωνία επέκταση της πρότασης

( ) ( ) ( ) ( ) ( )prime prime= and and or and or and and or and or and and andprime prime prime1 2 3 4 5

f a b c a c a b d a c a b c d

Η πρόταση βρίσκεται ήδη σε ΣΔΜ Οι όροι 1 και 2 βρίσκονται σε ομοφωνία με όρο σε ομοφωνία τον α˄b Όταν αναφέρουμε τα βήματα εφαρμογής του αλγόριθμου γράφουμε ldquo1-2rdquo για να δηλώσουμε ότι οι όροι 1 και 2 έχουν συγκριθεί ή γράφουμε ldquo1-2αandbrdquo για να δηλώσουμε και τον όρο σε ομοφωνία Ο όρος αandb δεν

19

περιέχει κανέναν από τους επόμενους όρους ως τον όρο 5 και για αυτό προστίθεται αφού χαρακτηριστεί με

τον επόμενο διαθέσιμο αριθμό που είναι ο 6 and6

a b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

Αν ο νέος όρος περιέχει έναν όρο που ήδη περιέχει μπορούμε να τον προσθέσουμε αλλά εξυπακούεται ότι αμέσως θα απορροφηθεί Τώρα οι όροι 1 και 3 περιέχουν τον όρο 6 τους σβήνουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

( ) ( ) ( ) ( )= and or and orprime and and and or and

2 4 5 6

f a c a c a b c d a b και στη συνέχεια ξαναγυρίζουμε στην εντολή 1 του

αλγόριθμου Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Οι όροι 2 και 4 δεν βρίσκονται σε ομοφωνία και έτσι γράφουμε lsquo2-4rsquo και συνεχίζουμε Καταγράφουμε στη συνέχεια τα πρώτα 8 βήματα

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 5

Όρος σε ομοφωνία ο and and

7

b c d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and and and or and orprime primeand prime andprime

2 4 5 6 7

f a c a c a b c d a b b c d

Απορροφάται ο όρος 5 ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or andprime prime and primeor primeand

2 4 6 7

f a c a c a b b c d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 7

Όρος σε ομοφωνία ο and8

b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and orprime prime and orprimeandprime and

2 4 6 7 8

f a c a c a b b c d b c

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 8 (όχι 4-7) γιατί κάθε φορά που ένας νέος όρος

προστίθεται πηγαίνουμε πίσω στην πρώτη σύγκριση που δεν έχει γίνει ακόμα Όρος σε ομοφωνία ο αΛb ο οποίος περιέχει (στην ουσία είναι ίσος) τον όρο 6 Η πρόταση δεν

εμπλουτίζεται Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο α΄Λb΄Λd΄

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο b΄Λc΄Λd΄ που είναι ίδιος με τον όρο 7 γιrsquo αυτό απορροφάται

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο αΛc΄Λd΄ (περιέχει το 2) και για αυτό απορροφάται

20

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 8 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο α΄ΛcΛd΄ (περιέχει τον όρο 4) STOP Η επέκταση σε ομοφωνία είναι 119891=(αΛc)V(αΛc)V(αΛb)V(bΛcΛd)V(bΛc)V(αΛbΛd) Η χρήση των κεφαλαίων γραμμάτων ερμηνεύεται στη συνέχεια Παρατηρήσατε ότι η επέκταση σε ομοφωνία έχει 6 όρους ενώ η αρχική είχε μόνο 4 Και οι δύο έχουν

14 γραμματικά στοιχεία Όπως και προηγουμένως αναφέρθηκε ότι η πολυπλοκότερη μορφή στην οποία οδηγηθήκαμε δεν αποτελεί παρά ένα απαραίτητο ενδιάμεσο βήμα που θα μας οδηγήσει στην ελάχιστη μορφή Ο Αλγόριθμος 452 που στη συνέχεια θα περιγράψουμε εφαρμόζεται υποχρεωτικά πάνω στην επέκταση εν ομοφωνία

Πριν όμως παρουσιάσουμε τον Αλγόριθμο 452 θα δώσουμε δύο ακόμα απαραίτητους ορισμούς Ορισμός 455 Ένας όρος σε μια διαζευκτική μορφή μιας πρότασης θα καλείται πλήρης όρος αν περιλαμβάνει είτε όλες τις μεταβλητές της πρότασης είτε τις αρνήσεις τους

Έτσι αν μια πρόταση περιλαμβάνει τις μεταβλητές αbc και d τότε οι όροι αandb΄andcandd΄ και αandbanddandc΄ είναι πλήρεις όροι ενώ α΄andcandd΄ c΄andα b΄ δεν είναι Εύκολα μπορεί να αποδειχτεί ότι κάθε όρος είναι ισοδύναμος με τη διάζευξη όλων των όρων που είναι πλήρεις και τον περιέχουν

Αυτή η διάζευξη καλείται επέκταση του πλήρους όρου Παράδειγμα 454 Θεωρήστε για παράδειγμα τον όρο x=α΄andcandd΄ σε μια πρόταση με μεταβλητές αbc και d Οι μοναδικοί πλήρεις όροι που περιέχει το x είναι α΄andb Λ candd΄ και α΄andb΄andcandd΄ και έτσι έχουμε

(αandbandcandd)or(αandbandcandd) equivαand(borb)andcandd equivαand1andcandd equivαandcandd

Το Παράδειγμα 454 υποδεικνύει έναν τρόπο για να βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για οποιονδήποτε όρο y

bull Για κάθε μεταβλητή u στην πρόταση που είναι τέτοια ώστε ούτε η u αλλά ούτε η u δεν βρίσκονται στην y γράψτε τη διάζευξη uoru

bull Σχηματίστε τη σύζευξη της y και όλων των διαζεύξεων που είναι γραμμένες στο βήμα 1 bull Ξαναγράψτε το αποτέλεσμα του βήματος 2 σε διαζευκτική μορφή Αυτή είναι η επέκταση πλήρους

όρου του y Στο τέλος του παραδείγματος 44 βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για τον όρο Α=αandcrsquo Οι μεταβλητές b και d καθώς και οι αρνήσεις τους δεν βρίσκονται στον Α έτσι γράφουμε τις διαζεύξεις borb΄ και dord΄ Σχηματίζουμε τη σύζευξη αand(borb΄)andc΄and(dord΄) και στη συνέχεια την ξαναγράφουμε για να προκύψει η επέκταση πλήρους όρου Α=(αandbandcandd)and(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd) Εύκολα επίσης μπορούμε να εκτιμήσουμε το πλήθος των πλήρων όρων Αν η πρόταση έχει n μεταβλητές τότε υπάρχουν 2n διαφορετικοί πλήρεις όροι

Και πάλι θα πρέπει να σημειωθεί ότι η επέκταση πλήρους όρου περιέχει περισσότερους όρους από την αρχική πρόταση Με τον Αλγόριθμο 452 που εφαρμόζεται στην επέκταση πλήρους όρου επιτυγχάνεται

21

η συντόμευση μιας κατά τα άλλα επίπονης και μακράς διαδικασίας Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σε ομοφωνία για να αναγνωρίσουμε τους πλεονάζοντες όρους Στο παράδειγμά μας η πλήρης επέκταση της πρότασης 119891 έχει έξι όρους και η επέκταση πλήρους όρου έχει 4+4+4+2+4+2=20 όρους Αυτοί οι 20 όροι παριστάνονται με V στον Πίνακα 451 Η ελάχιστη μορφή της f έχει τέσσερεις όρους με 9 γραμματικά στοιχεία Προκειμένου όμως να φτάσουμε σε αυτή τη μορφή χρειάστηκε να μεσολαβήσει μια πρόταση με 6 όρους και 24 γραμματικά στοιχεία

Για να αρχίσουμε χρειαζόμαστε έναν σύντομο τρόπο για την παράσταση όρων σε επεκτάσεις πλήρους όρου Πρώτα βεβαιωθείτε ότι γράψατε τα γραμματικά στοιχεία (ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για τις καταφάσεις ή τις αρνήσεις τους) με την ίδια τάξη σε όλους τους όρους Αν δηλαδή μεταβλητές σας είναι οι αβγδhellip θα γραφούν σε αλφαβητική σειρά ενώ αν έχουν τη μορφή α1α2α3 hellip κατά την ανιούσα τάξη των δεικτών Στη συνέχεια κωδικοποιήστε κάθε πλήρη όρο ως ένα n-ψήφιο δυαδικό αριθμό γράφοντας 1 για κάθε μεταβλητή στον όρο και 0 για κάθε άρνηση της μεταβλητής Για παράδειγμα οι πλήρεις όροι αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγrsquoandδ στην πλήρη επέκταση του Α όπως αυτή καταγράφηκε παραπάνω κωδικοποιούνται αντίστοιχα ως 1000 1001 1100 και 1101 Τελικά για να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη γραφή πλήρων όρων καταφεύγουμε στη βοήθεια του δεκαδικού συστήματος Έτσι οι όροι του Α γίνονται αντίστοιχα 8 9 12 και 14 Οι δυνατοί πλήρεις όροι για μια πρόταση με n μεταβλητές έχουν τελικά κωδικοποιηθεί με τη βοήθεια των αριθμών του δεκαδικού συστήματος 123hellip2n-1 Αντίστροφα κάθε ένας από τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος παράγει τον αντίστοιχό του στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης που με τη σειρά του παράγει έναν πλήρη όρο του όρου που εξετάζεται αρκεί να είναι γνωστός ο αριθμός n των μεταβλητών Για παράδειγμα θεωρείστε τον πλήρη όρο με κωδικό 22 σε μια πρόταση με πέντε μεταβλητέςαβγδ και ε Η πενταψήφια δυαδική έκφραση του 22 είναι 10110 και έτσι ο πλήρης όρος που αντιστοιχεί είναι ο αandβandγandδandε Αν η πρόταση έχει έξι μεταβλητές τότε ο 22 αντιστοιχεί στον 010110 και ο πλήρης όρος είναι αandβandγandδandεandζ

Με αυτόν τον συμβολισμό είναι εύκολο να γράψουμε τους δεκαδικούς κώδικες της επέκτασης πλήρους όρου οπουδήποτε αυτοί βρίσκονται Αυτό φαίνεται καλύτερα αν χρησιμοποιήσουμε για παράδειγμα τον όρο Α=αandγ Κωδικοποιούμε τον Α γράφοντας παύλες για τα γραμματικά στοιχεία που λείπουν 1_0_ Δοκιμάστε τώρα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς και μετατρέψτε όλους τους προκύπτοντες δυαδικούς αριθμούς σε αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης

8=(1000) 9=(1001) 12=(1100) 13=(1101)

Αλγόριθμος 452 Επιλογή όλων των ελάχιστων μορφών από την επέκταση σε ομοφωνία

bull Για κάθε όρο από την επέκταση σε ομοφωνία γράψτε τους δεκαδικούς κώδικες όλων των επεκτάσεων πλήρους όρου

bull Σχηματίστε έναν πίνακα με γραμμές που αντιστοιχούν στους όρους της εν ομοφωνία επέκτασης και στήλες στον δεκαδικό κώδικα που αναφέρεται σε τουλάχιστον μια επέκταση πλήρους όρου Σημειώστε με Χ τις επεκτάσεις πλήρους όρου κάθε όρου χωριστά

bull Σημειώστε με έναν κύκλο κάθε Χ που είναι μοναδικό στη στήλη του Στη συνέχεια σημειώστε με αστερίσκο κάθε όρο στην επέκταση σε ομοφωνία που έχει έναν κύκλο στη γραμμή της Αυτοί είναι οι ουσιώδεις όροι της αρχικής πρότασης Στη συνέχεια τοποθετήστε έναν κύκλο σε κάθε επικεφαλίδα στήλης που έχει ένα Χ σε γραμμή με αστερίσκο Αν δεν υπάρχουν σημειωμένοι όροι σε επικεφαλίδες στηλών τότε η μοναδική ελάχιστη μορφή είναι η διάζευξη των ουσιωδών όρων Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε όρο επικεφαλίδας στήλης που έχει σημειωθεί με κύκλο γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλίδες γραμμών και υπάρχει Χ σημειωμένο σε αυτή τη στήλη Αυτή η πρόταση καλείται πρόταση Petric της αρχικής πρότασης

bull Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Ονομάστε την Π bull Διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους του Π οι οποίοι περιέχουν τον ελάχιστο αριθμό

πλήρων όρων

18

Ορισμός 454 Όρος σε ομοφωνία είναι η σύζευξη δύο όρων χωρίς τη συμμετοχή του γραμματικού στοιχείου σε ομοφωνία και της αρνήσεώς του

Ο ταυτοτικός νόμος μάς επιτρέπει να παραλείψουμε επαναλήψεις των γραμματικών στοιχείων στον όρο σε ομοφωνία Ας ξαναδούμε τους όρους του Παραδείγματος 451 Παράδειγμα 452 Οι όροι α˄b˄c και αrsquo˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το α και όρος σε ομοφωνία είναι το (b˄c)(c˄d)equivb˄c˄d

bull Οι όροι α˄brsquo και b˄c˄d βρίσκονται σε ομοφωνία Γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το brsquo και όρος σε ομοφωνία είναι ο α˄c˄d

bull Οι όροι αrsquo και b˄c˄d δεν βρίσκονται σε ομοφωνία Ας προσέξουμε και πάλι τον νόμο της ομοφωνίας (5) (x˄z)˅(y˄zrsquo)equiv(x˄z)˅(y˄zrsquo)˅(x˄y) Σημειώστε ότι στην αριστερή πλευρά βρίσκονται δύο όροι σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία Το γραμματικό στοιχείο σε ομοφωνία είναι το z και ο όρος σε ομοφωνία είναι ο x˄yΟ νόμος της ομοφωνίας λέει ότι αν δύο όροι βρίσκονται σε ομοφωνία μπορούμε να παραλείψουμε τον όρο σε ομοφωνία και έτσι να προκύψει μία ισοδύναμη πρόταση Κάτι τέτοιο φαίνεται αρκετά παράξενο αφού το δεξί μέρος της (5) φαίνεται επιμηκέστερο και πιο πολύπλοκο από το αριστερό Δίνεται η εντύπωση ότι η προσάρτηση του όρου σε ομοφωνία δυσκολεύει τα πράγματα Αυτό είναι αλήθεια αλλά μας επιτρέπει να πούμε laquoβραχυπρόθεσμη αλήθειαraquo Αιτία της φαινομενικής αυτής δυσκολίας είναι ο νόμος της απόσβεσης Συνήθως η δεξιά πλευρά της (5) απλοποιείται γιατί ένας laquoμακρύςraquo όρος περιέχει ένα laquoβραχύτεροraquo και έτσι ο laquoμακρύτεροςraquo αποσβήνεται δηλαδή laquoσβήνεταιraquo Στη γενική έκφρασή της (5) καμία απόσβεση δεν συντελείται Σύντομα όμως θα έχουμε την ευκαιρία να δείξουμε τον αλγόριθμο και ένα παράδειγμα όπου θα φανεί πως μια προσωρινή πολυπλοκότητα οδηγεί σε μια ικανοποιητική απλούστευση

Η ιδέα επί της οποίας στηρίζεται ο Αλγόριθμος 451 είναι απλή Αν δυο όροι της 119891 βρίσκονται σε ομοφωνία και έχουν όρο σε ομοφωνία Χ και αν αυτός ο όρος σε ομοφωνία δεν περιλαμβάνει κανέναν όρο που βρίσκεται ήδη στην 119891 τότε ο όρος Χ θα πρέπει να συμπεριληφθεί στην 119891 Αυτό σημαίνει ότι η 119891 αντικαθίσταται από την 119891orX Ο κανόνας αυτός επαναλαμβάνεται μέχρι το σημείο όπου δεν μπορεί να εφαρμοστεί πλέον Στο σημείο αυτό ολοκληρώνεται η διαδικασία εφαρμογής του αλγόριθμου Αλγόριθμος 451 Εύρεση της εν ομοφωνία επέκτασης μιας πρότασης 119891 σε ΣΔΜ

bull Αν υπάρχουν δυο όροι που έχουν έναν όρο σε ομοφωνία (ο οποίος δεν περιέχει έναν όρο που βρίσκεται ήδη στην μορφή) προσαρτήστε στη μορφή αυτόν τον όρο σε ομοφωνία Σε κάθε άλλη περίπτωση ακολουθήστε το βήμα 4

bull Απαλείψτε όλους τους προηγούμενους όρους που περιέχουν τον όρο που μόλις προστέθηκε Πηγαίνετε στο βήμα 1

bull ΤΕΛΟΣ Η εν ομοφωνία επέκταση της 119891 έχει οριστεί Αυτή είναι η διάζευξη όλων των όρων που θα μπορούσαν να περιλαμβάνονται σε μια ελάχιστη μορφή ισοδύναμη της 119891

Παράδειγμα 453 Να βρεθεί η εν ομοφωνία επέκταση της πρότασης

( ) ( ) ( ) ( ) ( )prime prime= and and or and or and and or and or and and andprime prime prime1 2 3 4 5

f a b c a c a b d a c a b c d

Η πρόταση βρίσκεται ήδη σε ΣΔΜ Οι όροι 1 και 2 βρίσκονται σε ομοφωνία με όρο σε ομοφωνία τον α˄b Όταν αναφέρουμε τα βήματα εφαρμογής του αλγόριθμου γράφουμε ldquo1-2rdquo για να δηλώσουμε ότι οι όροι 1 και 2 έχουν συγκριθεί ή γράφουμε ldquo1-2αandbrdquo για να δηλώσουμε και τον όρο σε ομοφωνία Ο όρος αandb δεν

19

περιέχει κανέναν από τους επόμενους όρους ως τον όρο 5 και για αυτό προστίθεται αφού χαρακτηριστεί με

τον επόμενο διαθέσιμο αριθμό που είναι ο 6 and6

a b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

Αν ο νέος όρος περιέχει έναν όρο που ήδη περιέχει μπορούμε να τον προσθέσουμε αλλά εξυπακούεται ότι αμέσως θα απορροφηθεί Τώρα οι όροι 1 και 3 περιέχουν τον όρο 6 τους σβήνουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

( ) ( ) ( ) ( )= and or and orprime and and and or and

2 4 5 6

f a c a c a b c d a b και στη συνέχεια ξαναγυρίζουμε στην εντολή 1 του

αλγόριθμου Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Οι όροι 2 και 4 δεν βρίσκονται σε ομοφωνία και έτσι γράφουμε lsquo2-4rsquo και συνεχίζουμε Καταγράφουμε στη συνέχεια τα πρώτα 8 βήματα

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 5

Όρος σε ομοφωνία ο and and

7

b c d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and and and or and orprime primeand prime andprime

2 4 5 6 7

f a c a c a b c d a b b c d

Απορροφάται ο όρος 5 ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or andprime prime and primeor primeand

2 4 6 7

f a c a c a b b c d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 7

Όρος σε ομοφωνία ο and8

b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and orprime prime and orprimeandprime and

2 4 6 7 8

f a c a c a b b c d b c

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 8 (όχι 4-7) γιατί κάθε φορά που ένας νέος όρος

προστίθεται πηγαίνουμε πίσω στην πρώτη σύγκριση που δεν έχει γίνει ακόμα Όρος σε ομοφωνία ο αΛb ο οποίος περιέχει (στην ουσία είναι ίσος) τον όρο 6 Η πρόταση δεν

εμπλουτίζεται Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο α΄Λb΄Λd΄

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο b΄Λc΄Λd΄ που είναι ίδιος με τον όρο 7 γιrsquo αυτό απορροφάται

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο αΛc΄Λd΄ (περιέχει το 2) και για αυτό απορροφάται

20

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 8 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο α΄ΛcΛd΄ (περιέχει τον όρο 4) STOP Η επέκταση σε ομοφωνία είναι 119891=(αΛc)V(αΛc)V(αΛb)V(bΛcΛd)V(bΛc)V(αΛbΛd) Η χρήση των κεφαλαίων γραμμάτων ερμηνεύεται στη συνέχεια Παρατηρήσατε ότι η επέκταση σε ομοφωνία έχει 6 όρους ενώ η αρχική είχε μόνο 4 Και οι δύο έχουν

14 γραμματικά στοιχεία Όπως και προηγουμένως αναφέρθηκε ότι η πολυπλοκότερη μορφή στην οποία οδηγηθήκαμε δεν αποτελεί παρά ένα απαραίτητο ενδιάμεσο βήμα που θα μας οδηγήσει στην ελάχιστη μορφή Ο Αλγόριθμος 452 που στη συνέχεια θα περιγράψουμε εφαρμόζεται υποχρεωτικά πάνω στην επέκταση εν ομοφωνία

Πριν όμως παρουσιάσουμε τον Αλγόριθμο 452 θα δώσουμε δύο ακόμα απαραίτητους ορισμούς Ορισμός 455 Ένας όρος σε μια διαζευκτική μορφή μιας πρότασης θα καλείται πλήρης όρος αν περιλαμβάνει είτε όλες τις μεταβλητές της πρότασης είτε τις αρνήσεις τους

Έτσι αν μια πρόταση περιλαμβάνει τις μεταβλητές αbc και d τότε οι όροι αandb΄andcandd΄ και αandbanddandc΄ είναι πλήρεις όροι ενώ α΄andcandd΄ c΄andα b΄ δεν είναι Εύκολα μπορεί να αποδειχτεί ότι κάθε όρος είναι ισοδύναμος με τη διάζευξη όλων των όρων που είναι πλήρεις και τον περιέχουν

Αυτή η διάζευξη καλείται επέκταση του πλήρους όρου Παράδειγμα 454 Θεωρήστε για παράδειγμα τον όρο x=α΄andcandd΄ σε μια πρόταση με μεταβλητές αbc και d Οι μοναδικοί πλήρεις όροι που περιέχει το x είναι α΄andb Λ candd΄ και α΄andb΄andcandd΄ και έτσι έχουμε

(αandbandcandd)or(αandbandcandd) equivαand(borb)andcandd equivαand1andcandd equivαandcandd

Το Παράδειγμα 454 υποδεικνύει έναν τρόπο για να βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για οποιονδήποτε όρο y

bull Για κάθε μεταβλητή u στην πρόταση που είναι τέτοια ώστε ούτε η u αλλά ούτε η u δεν βρίσκονται στην y γράψτε τη διάζευξη uoru

bull Σχηματίστε τη σύζευξη της y και όλων των διαζεύξεων που είναι γραμμένες στο βήμα 1 bull Ξαναγράψτε το αποτέλεσμα του βήματος 2 σε διαζευκτική μορφή Αυτή είναι η επέκταση πλήρους

όρου του y Στο τέλος του παραδείγματος 44 βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για τον όρο Α=αandcrsquo Οι μεταβλητές b και d καθώς και οι αρνήσεις τους δεν βρίσκονται στον Α έτσι γράφουμε τις διαζεύξεις borb΄ και dord΄ Σχηματίζουμε τη σύζευξη αand(borb΄)andc΄and(dord΄) και στη συνέχεια την ξαναγράφουμε για να προκύψει η επέκταση πλήρους όρου Α=(αandbandcandd)and(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd) Εύκολα επίσης μπορούμε να εκτιμήσουμε το πλήθος των πλήρων όρων Αν η πρόταση έχει n μεταβλητές τότε υπάρχουν 2n διαφορετικοί πλήρεις όροι

Και πάλι θα πρέπει να σημειωθεί ότι η επέκταση πλήρους όρου περιέχει περισσότερους όρους από την αρχική πρόταση Με τον Αλγόριθμο 452 που εφαρμόζεται στην επέκταση πλήρους όρου επιτυγχάνεται

21

η συντόμευση μιας κατά τα άλλα επίπονης και μακράς διαδικασίας Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σε ομοφωνία για να αναγνωρίσουμε τους πλεονάζοντες όρους Στο παράδειγμά μας η πλήρης επέκταση της πρότασης 119891 έχει έξι όρους και η επέκταση πλήρους όρου έχει 4+4+4+2+4+2=20 όρους Αυτοί οι 20 όροι παριστάνονται με V στον Πίνακα 451 Η ελάχιστη μορφή της f έχει τέσσερεις όρους με 9 γραμματικά στοιχεία Προκειμένου όμως να φτάσουμε σε αυτή τη μορφή χρειάστηκε να μεσολαβήσει μια πρόταση με 6 όρους και 24 γραμματικά στοιχεία

Για να αρχίσουμε χρειαζόμαστε έναν σύντομο τρόπο για την παράσταση όρων σε επεκτάσεις πλήρους όρου Πρώτα βεβαιωθείτε ότι γράψατε τα γραμματικά στοιχεία (ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για τις καταφάσεις ή τις αρνήσεις τους) με την ίδια τάξη σε όλους τους όρους Αν δηλαδή μεταβλητές σας είναι οι αβγδhellip θα γραφούν σε αλφαβητική σειρά ενώ αν έχουν τη μορφή α1α2α3 hellip κατά την ανιούσα τάξη των δεικτών Στη συνέχεια κωδικοποιήστε κάθε πλήρη όρο ως ένα n-ψήφιο δυαδικό αριθμό γράφοντας 1 για κάθε μεταβλητή στον όρο και 0 για κάθε άρνηση της μεταβλητής Για παράδειγμα οι πλήρεις όροι αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγrsquoandδ στην πλήρη επέκταση του Α όπως αυτή καταγράφηκε παραπάνω κωδικοποιούνται αντίστοιχα ως 1000 1001 1100 και 1101 Τελικά για να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη γραφή πλήρων όρων καταφεύγουμε στη βοήθεια του δεκαδικού συστήματος Έτσι οι όροι του Α γίνονται αντίστοιχα 8 9 12 και 14 Οι δυνατοί πλήρεις όροι για μια πρόταση με n μεταβλητές έχουν τελικά κωδικοποιηθεί με τη βοήθεια των αριθμών του δεκαδικού συστήματος 123hellip2n-1 Αντίστροφα κάθε ένας από τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος παράγει τον αντίστοιχό του στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης που με τη σειρά του παράγει έναν πλήρη όρο του όρου που εξετάζεται αρκεί να είναι γνωστός ο αριθμός n των μεταβλητών Για παράδειγμα θεωρείστε τον πλήρη όρο με κωδικό 22 σε μια πρόταση με πέντε μεταβλητέςαβγδ και ε Η πενταψήφια δυαδική έκφραση του 22 είναι 10110 και έτσι ο πλήρης όρος που αντιστοιχεί είναι ο αandβandγandδandε Αν η πρόταση έχει έξι μεταβλητές τότε ο 22 αντιστοιχεί στον 010110 και ο πλήρης όρος είναι αandβandγandδandεandζ

Με αυτόν τον συμβολισμό είναι εύκολο να γράψουμε τους δεκαδικούς κώδικες της επέκτασης πλήρους όρου οπουδήποτε αυτοί βρίσκονται Αυτό φαίνεται καλύτερα αν χρησιμοποιήσουμε για παράδειγμα τον όρο Α=αandγ Κωδικοποιούμε τον Α γράφοντας παύλες για τα γραμματικά στοιχεία που λείπουν 1_0_ Δοκιμάστε τώρα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς και μετατρέψτε όλους τους προκύπτοντες δυαδικούς αριθμούς σε αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης

8=(1000) 9=(1001) 12=(1100) 13=(1101)

Αλγόριθμος 452 Επιλογή όλων των ελάχιστων μορφών από την επέκταση σε ομοφωνία

bull Για κάθε όρο από την επέκταση σε ομοφωνία γράψτε τους δεκαδικούς κώδικες όλων των επεκτάσεων πλήρους όρου

bull Σχηματίστε έναν πίνακα με γραμμές που αντιστοιχούν στους όρους της εν ομοφωνία επέκτασης και στήλες στον δεκαδικό κώδικα που αναφέρεται σε τουλάχιστον μια επέκταση πλήρους όρου Σημειώστε με Χ τις επεκτάσεις πλήρους όρου κάθε όρου χωριστά

bull Σημειώστε με έναν κύκλο κάθε Χ που είναι μοναδικό στη στήλη του Στη συνέχεια σημειώστε με αστερίσκο κάθε όρο στην επέκταση σε ομοφωνία που έχει έναν κύκλο στη γραμμή της Αυτοί είναι οι ουσιώδεις όροι της αρχικής πρότασης Στη συνέχεια τοποθετήστε έναν κύκλο σε κάθε επικεφαλίδα στήλης που έχει ένα Χ σε γραμμή με αστερίσκο Αν δεν υπάρχουν σημειωμένοι όροι σε επικεφαλίδες στηλών τότε η μοναδική ελάχιστη μορφή είναι η διάζευξη των ουσιωδών όρων Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε όρο επικεφαλίδας στήλης που έχει σημειωθεί με κύκλο γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλίδες γραμμών και υπάρχει Χ σημειωμένο σε αυτή τη στήλη Αυτή η πρόταση καλείται πρόταση Petric της αρχικής πρότασης

bull Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Ονομάστε την Π bull Διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους του Π οι οποίοι περιέχουν τον ελάχιστο αριθμό

πλήρων όρων

19

περιέχει κανέναν από τους επόμενους όρους ως τον όρο 5 και για αυτό προστίθεται αφού χαρακτηριστεί με

τον επόμενο διαθέσιμο αριθμό που είναι ο 6 and6

a b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

Αν ο νέος όρος περιέχει έναν όρο που ήδη περιέχει μπορούμε να τον προσθέσουμε αλλά εξυπακούεται ότι αμέσως θα απορροφηθεί Τώρα οι όροι 1 και 3 περιέχουν τον όρο 6 τους σβήνουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and and or and or and and or and or and and and or andprime prime1 2 3 4 5 6

f a b c a c a b d a c a b c d a b

( ) ( ) ( ) ( )= and or and orprime and and and or and

2 4 5 6

f a c a c a b c d a b και στη συνέχεια ξαναγυρίζουμε στην εντολή 1 του

αλγόριθμου Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Οι όροι 2 και 4 δεν βρίσκονται σε ομοφωνία και έτσι γράφουμε lsquo2-4rsquo και συνεχίζουμε Καταγράφουμε στη συνέχεια τα πρώτα 8 βήματα

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 4 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 5

Όρος σε ομοφωνία ο and and

7

b c d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and and and or and orprime primeand prime andprime

2 4 5 6 7

f a c a c a b c d a b b c d

Απορροφάται ο όρος 5 ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or andprime prime and primeor primeand

2 4 6 7

f a c a c a b b c d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 7

Όρος σε ομοφωνία ο and8

b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= and or and or and orprime prime and orprimeandprime and

2 4 6 7 8

f a c a c a b b c d b c

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 6 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 8 (όχι 4-7) γιατί κάθε φορά που ένας νέος όρος

προστίθεται πηγαίνουμε πίσω στην πρώτη σύγκριση που δεν έχει γίνει ακόμα Όρος σε ομοφωνία ο αΛb ο οποίος περιέχει (στην ουσία είναι ίσος) τον όρο 6 Η πρόταση δεν

εμπλουτίζεται Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο α΄Λb΄Λd΄

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 2 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο b΄Λc΄Λd΄ που είναι ίδιος με τον όρο 7 γιrsquo αυτό απορροφάται

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )΄ ΄ ΄= and or and or and or and and or and orprime Λprime prime Λprime2 4 6 7 8 9

f a c a c a b b c d b c a b d

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 4 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 7 Όρος σε ομοφωνία ο αΛc΄Λd΄ (περιέχει το 2) και για αυτό απορροφάται

20

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 8 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο α΄ΛcΛd΄ (περιέχει τον όρο 4) STOP Η επέκταση σε ομοφωνία είναι 119891=(αΛc)V(αΛc)V(αΛb)V(bΛcΛd)V(bΛc)V(αΛbΛd) Η χρήση των κεφαλαίων γραμμάτων ερμηνεύεται στη συνέχεια Παρατηρήσατε ότι η επέκταση σε ομοφωνία έχει 6 όρους ενώ η αρχική είχε μόνο 4 Και οι δύο έχουν

14 γραμματικά στοιχεία Όπως και προηγουμένως αναφέρθηκε ότι η πολυπλοκότερη μορφή στην οποία οδηγηθήκαμε δεν αποτελεί παρά ένα απαραίτητο ενδιάμεσο βήμα που θα μας οδηγήσει στην ελάχιστη μορφή Ο Αλγόριθμος 452 που στη συνέχεια θα περιγράψουμε εφαρμόζεται υποχρεωτικά πάνω στην επέκταση εν ομοφωνία

Πριν όμως παρουσιάσουμε τον Αλγόριθμο 452 θα δώσουμε δύο ακόμα απαραίτητους ορισμούς Ορισμός 455 Ένας όρος σε μια διαζευκτική μορφή μιας πρότασης θα καλείται πλήρης όρος αν περιλαμβάνει είτε όλες τις μεταβλητές της πρότασης είτε τις αρνήσεις τους

Έτσι αν μια πρόταση περιλαμβάνει τις μεταβλητές αbc και d τότε οι όροι αandb΄andcandd΄ και αandbanddandc΄ είναι πλήρεις όροι ενώ α΄andcandd΄ c΄andα b΄ δεν είναι Εύκολα μπορεί να αποδειχτεί ότι κάθε όρος είναι ισοδύναμος με τη διάζευξη όλων των όρων που είναι πλήρεις και τον περιέχουν

Αυτή η διάζευξη καλείται επέκταση του πλήρους όρου Παράδειγμα 454 Θεωρήστε για παράδειγμα τον όρο x=α΄andcandd΄ σε μια πρόταση με μεταβλητές αbc και d Οι μοναδικοί πλήρεις όροι που περιέχει το x είναι α΄andb Λ candd΄ και α΄andb΄andcandd΄ και έτσι έχουμε

(αandbandcandd)or(αandbandcandd) equivαand(borb)andcandd equivαand1andcandd equivαandcandd

Το Παράδειγμα 454 υποδεικνύει έναν τρόπο για να βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για οποιονδήποτε όρο y

bull Για κάθε μεταβλητή u στην πρόταση που είναι τέτοια ώστε ούτε η u αλλά ούτε η u δεν βρίσκονται στην y γράψτε τη διάζευξη uoru

bull Σχηματίστε τη σύζευξη της y και όλων των διαζεύξεων που είναι γραμμένες στο βήμα 1 bull Ξαναγράψτε το αποτέλεσμα του βήματος 2 σε διαζευκτική μορφή Αυτή είναι η επέκταση πλήρους

όρου του y Στο τέλος του παραδείγματος 44 βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για τον όρο Α=αandcrsquo Οι μεταβλητές b και d καθώς και οι αρνήσεις τους δεν βρίσκονται στον Α έτσι γράφουμε τις διαζεύξεις borb΄ και dord΄ Σχηματίζουμε τη σύζευξη αand(borb΄)andc΄and(dord΄) και στη συνέχεια την ξαναγράφουμε για να προκύψει η επέκταση πλήρους όρου Α=(αandbandcandd)and(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd) Εύκολα επίσης μπορούμε να εκτιμήσουμε το πλήθος των πλήρων όρων Αν η πρόταση έχει n μεταβλητές τότε υπάρχουν 2n διαφορετικοί πλήρεις όροι

Και πάλι θα πρέπει να σημειωθεί ότι η επέκταση πλήρους όρου περιέχει περισσότερους όρους από την αρχική πρόταση Με τον Αλγόριθμο 452 που εφαρμόζεται στην επέκταση πλήρους όρου επιτυγχάνεται

21

η συντόμευση μιας κατά τα άλλα επίπονης και μακράς διαδικασίας Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σε ομοφωνία για να αναγνωρίσουμε τους πλεονάζοντες όρους Στο παράδειγμά μας η πλήρης επέκταση της πρότασης 119891 έχει έξι όρους και η επέκταση πλήρους όρου έχει 4+4+4+2+4+2=20 όρους Αυτοί οι 20 όροι παριστάνονται με V στον Πίνακα 451 Η ελάχιστη μορφή της f έχει τέσσερεις όρους με 9 γραμματικά στοιχεία Προκειμένου όμως να φτάσουμε σε αυτή τη μορφή χρειάστηκε να μεσολαβήσει μια πρόταση με 6 όρους και 24 γραμματικά στοιχεία

Για να αρχίσουμε χρειαζόμαστε έναν σύντομο τρόπο για την παράσταση όρων σε επεκτάσεις πλήρους όρου Πρώτα βεβαιωθείτε ότι γράψατε τα γραμματικά στοιχεία (ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για τις καταφάσεις ή τις αρνήσεις τους) με την ίδια τάξη σε όλους τους όρους Αν δηλαδή μεταβλητές σας είναι οι αβγδhellip θα γραφούν σε αλφαβητική σειρά ενώ αν έχουν τη μορφή α1α2α3 hellip κατά την ανιούσα τάξη των δεικτών Στη συνέχεια κωδικοποιήστε κάθε πλήρη όρο ως ένα n-ψήφιο δυαδικό αριθμό γράφοντας 1 για κάθε μεταβλητή στον όρο και 0 για κάθε άρνηση της μεταβλητής Για παράδειγμα οι πλήρεις όροι αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγrsquoandδ στην πλήρη επέκταση του Α όπως αυτή καταγράφηκε παραπάνω κωδικοποιούνται αντίστοιχα ως 1000 1001 1100 και 1101 Τελικά για να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη γραφή πλήρων όρων καταφεύγουμε στη βοήθεια του δεκαδικού συστήματος Έτσι οι όροι του Α γίνονται αντίστοιχα 8 9 12 και 14 Οι δυνατοί πλήρεις όροι για μια πρόταση με n μεταβλητές έχουν τελικά κωδικοποιηθεί με τη βοήθεια των αριθμών του δεκαδικού συστήματος 123hellip2n-1 Αντίστροφα κάθε ένας από τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος παράγει τον αντίστοιχό του στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης που με τη σειρά του παράγει έναν πλήρη όρο του όρου που εξετάζεται αρκεί να είναι γνωστός ο αριθμός n των μεταβλητών Για παράδειγμα θεωρείστε τον πλήρη όρο με κωδικό 22 σε μια πρόταση με πέντε μεταβλητέςαβγδ και ε Η πενταψήφια δυαδική έκφραση του 22 είναι 10110 και έτσι ο πλήρης όρος που αντιστοιχεί είναι ο αandβandγandδandε Αν η πρόταση έχει έξι μεταβλητές τότε ο 22 αντιστοιχεί στον 010110 και ο πλήρης όρος είναι αandβandγandδandεandζ

Με αυτόν τον συμβολισμό είναι εύκολο να γράψουμε τους δεκαδικούς κώδικες της επέκτασης πλήρους όρου οπουδήποτε αυτοί βρίσκονται Αυτό φαίνεται καλύτερα αν χρησιμοποιήσουμε για παράδειγμα τον όρο Α=αandγ Κωδικοποιούμε τον Α γράφοντας παύλες για τα γραμματικά στοιχεία που λείπουν 1_0_ Δοκιμάστε τώρα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς και μετατρέψτε όλους τους προκύπτοντες δυαδικούς αριθμούς σε αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης

8=(1000) 9=(1001) 12=(1100) 13=(1101)

Αλγόριθμος 452 Επιλογή όλων των ελάχιστων μορφών από την επέκταση σε ομοφωνία

bull Για κάθε όρο από την επέκταση σε ομοφωνία γράψτε τους δεκαδικούς κώδικες όλων των επεκτάσεων πλήρους όρου

bull Σχηματίστε έναν πίνακα με γραμμές που αντιστοιχούν στους όρους της εν ομοφωνία επέκτασης και στήλες στον δεκαδικό κώδικα που αναφέρεται σε τουλάχιστον μια επέκταση πλήρους όρου Σημειώστε με Χ τις επεκτάσεις πλήρους όρου κάθε όρου χωριστά

bull Σημειώστε με έναν κύκλο κάθε Χ που είναι μοναδικό στη στήλη του Στη συνέχεια σημειώστε με αστερίσκο κάθε όρο στην επέκταση σε ομοφωνία που έχει έναν κύκλο στη γραμμή της Αυτοί είναι οι ουσιώδεις όροι της αρχικής πρότασης Στη συνέχεια τοποθετήστε έναν κύκλο σε κάθε επικεφαλίδα στήλης που έχει ένα Χ σε γραμμή με αστερίσκο Αν δεν υπάρχουν σημειωμένοι όροι σε επικεφαλίδες στηλών τότε η μοναδική ελάχιστη μορφή είναι η διάζευξη των ουσιωδών όρων Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε όρο επικεφαλίδας στήλης που έχει σημειωθεί με κύκλο γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλίδες γραμμών και υπάρχει Χ σημειωμένο σε αυτή τη στήλη Αυτή η πρόταση καλείται πρόταση Petric της αρχικής πρότασης

bull Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Ονομάστε την Π bull Διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους του Π οι οποίοι περιέχουν τον ελάχιστο αριθμό

πλήρων όρων

20

Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 6 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 8 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 7 και 9 Δεν διακρίνεται όρος σε ομοφωνία Η επόμενη σύγκριση γίνεται μεταξύ των όρων 8 και 9 Όρος σε ομοφωνία ο α΄ΛcΛd΄ (περιέχει τον όρο 4) STOP Η επέκταση σε ομοφωνία είναι 119891=(αΛc)V(αΛc)V(αΛb)V(bΛcΛd)V(bΛc)V(αΛbΛd) Η χρήση των κεφαλαίων γραμμάτων ερμηνεύεται στη συνέχεια Παρατηρήσατε ότι η επέκταση σε ομοφωνία έχει 6 όρους ενώ η αρχική είχε μόνο 4 Και οι δύο έχουν

14 γραμματικά στοιχεία Όπως και προηγουμένως αναφέρθηκε ότι η πολυπλοκότερη μορφή στην οποία οδηγηθήκαμε δεν αποτελεί παρά ένα απαραίτητο ενδιάμεσο βήμα που θα μας οδηγήσει στην ελάχιστη μορφή Ο Αλγόριθμος 452 που στη συνέχεια θα περιγράψουμε εφαρμόζεται υποχρεωτικά πάνω στην επέκταση εν ομοφωνία

Πριν όμως παρουσιάσουμε τον Αλγόριθμο 452 θα δώσουμε δύο ακόμα απαραίτητους ορισμούς Ορισμός 455 Ένας όρος σε μια διαζευκτική μορφή μιας πρότασης θα καλείται πλήρης όρος αν περιλαμβάνει είτε όλες τις μεταβλητές της πρότασης είτε τις αρνήσεις τους

Έτσι αν μια πρόταση περιλαμβάνει τις μεταβλητές αbc και d τότε οι όροι αandb΄andcandd΄ και αandbanddandc΄ είναι πλήρεις όροι ενώ α΄andcandd΄ c΄andα b΄ δεν είναι Εύκολα μπορεί να αποδειχτεί ότι κάθε όρος είναι ισοδύναμος με τη διάζευξη όλων των όρων που είναι πλήρεις και τον περιέχουν

Αυτή η διάζευξη καλείται επέκταση του πλήρους όρου Παράδειγμα 454 Θεωρήστε για παράδειγμα τον όρο x=α΄andcandd΄ σε μια πρόταση με μεταβλητές αbc και d Οι μοναδικοί πλήρεις όροι που περιέχει το x είναι α΄andb Λ candd΄ και α΄andb΄andcandd΄ και έτσι έχουμε

(αandbandcandd)or(αandbandcandd) equivαand(borb)andcandd equivαand1andcandd equivαandcandd

Το Παράδειγμα 454 υποδεικνύει έναν τρόπο για να βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για οποιονδήποτε όρο y

bull Για κάθε μεταβλητή u στην πρόταση που είναι τέτοια ώστε ούτε η u αλλά ούτε η u δεν βρίσκονται στην y γράψτε τη διάζευξη uoru

bull Σχηματίστε τη σύζευξη της y και όλων των διαζεύξεων που είναι γραμμένες στο βήμα 1 bull Ξαναγράψτε το αποτέλεσμα του βήματος 2 σε διαζευκτική μορφή Αυτή είναι η επέκταση πλήρους

όρου του y Στο τέλος του παραδείγματος 44 βρίσκουμε την επέκταση πλήρους όρου για τον όρο Α=αandcrsquo Οι μεταβλητές b και d καθώς και οι αρνήσεις τους δεν βρίσκονται στον Α έτσι γράφουμε τις διαζεύξεις borb΄ και dord΄ Σχηματίζουμε τη σύζευξη αand(borb΄)andc΄and(dord΄) και στη συνέχεια την ξαναγράφουμε για να προκύψει η επέκταση πλήρους όρου Α=(αandbandcandd)and(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd)or(αandbandcandd) Εύκολα επίσης μπορούμε να εκτιμήσουμε το πλήθος των πλήρων όρων Αν η πρόταση έχει n μεταβλητές τότε υπάρχουν 2n διαφορετικοί πλήρεις όροι

Και πάλι θα πρέπει να σημειωθεί ότι η επέκταση πλήρους όρου περιέχει περισσότερους όρους από την αρχική πρόταση Με τον Αλγόριθμο 452 που εφαρμόζεται στην επέκταση πλήρους όρου επιτυγχάνεται

21

η συντόμευση μιας κατά τα άλλα επίπονης και μακράς διαδικασίας Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σε ομοφωνία για να αναγνωρίσουμε τους πλεονάζοντες όρους Στο παράδειγμά μας η πλήρης επέκταση της πρότασης 119891 έχει έξι όρους και η επέκταση πλήρους όρου έχει 4+4+4+2+4+2=20 όρους Αυτοί οι 20 όροι παριστάνονται με V στον Πίνακα 451 Η ελάχιστη μορφή της f έχει τέσσερεις όρους με 9 γραμματικά στοιχεία Προκειμένου όμως να φτάσουμε σε αυτή τη μορφή χρειάστηκε να μεσολαβήσει μια πρόταση με 6 όρους και 24 γραμματικά στοιχεία

Για να αρχίσουμε χρειαζόμαστε έναν σύντομο τρόπο για την παράσταση όρων σε επεκτάσεις πλήρους όρου Πρώτα βεβαιωθείτε ότι γράψατε τα γραμματικά στοιχεία (ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για τις καταφάσεις ή τις αρνήσεις τους) με την ίδια τάξη σε όλους τους όρους Αν δηλαδή μεταβλητές σας είναι οι αβγδhellip θα γραφούν σε αλφαβητική σειρά ενώ αν έχουν τη μορφή α1α2α3 hellip κατά την ανιούσα τάξη των δεικτών Στη συνέχεια κωδικοποιήστε κάθε πλήρη όρο ως ένα n-ψήφιο δυαδικό αριθμό γράφοντας 1 για κάθε μεταβλητή στον όρο και 0 για κάθε άρνηση της μεταβλητής Για παράδειγμα οι πλήρεις όροι αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγrsquoandδ στην πλήρη επέκταση του Α όπως αυτή καταγράφηκε παραπάνω κωδικοποιούνται αντίστοιχα ως 1000 1001 1100 και 1101 Τελικά για να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη γραφή πλήρων όρων καταφεύγουμε στη βοήθεια του δεκαδικού συστήματος Έτσι οι όροι του Α γίνονται αντίστοιχα 8 9 12 και 14 Οι δυνατοί πλήρεις όροι για μια πρόταση με n μεταβλητές έχουν τελικά κωδικοποιηθεί με τη βοήθεια των αριθμών του δεκαδικού συστήματος 123hellip2n-1 Αντίστροφα κάθε ένας από τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος παράγει τον αντίστοιχό του στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης που με τη σειρά του παράγει έναν πλήρη όρο του όρου που εξετάζεται αρκεί να είναι γνωστός ο αριθμός n των μεταβλητών Για παράδειγμα θεωρείστε τον πλήρη όρο με κωδικό 22 σε μια πρόταση με πέντε μεταβλητέςαβγδ και ε Η πενταψήφια δυαδική έκφραση του 22 είναι 10110 και έτσι ο πλήρης όρος που αντιστοιχεί είναι ο αandβandγandδandε Αν η πρόταση έχει έξι μεταβλητές τότε ο 22 αντιστοιχεί στον 010110 και ο πλήρης όρος είναι αandβandγandδandεandζ

Με αυτόν τον συμβολισμό είναι εύκολο να γράψουμε τους δεκαδικούς κώδικες της επέκτασης πλήρους όρου οπουδήποτε αυτοί βρίσκονται Αυτό φαίνεται καλύτερα αν χρησιμοποιήσουμε για παράδειγμα τον όρο Α=αandγ Κωδικοποιούμε τον Α γράφοντας παύλες για τα γραμματικά στοιχεία που λείπουν 1_0_ Δοκιμάστε τώρα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς και μετατρέψτε όλους τους προκύπτοντες δυαδικούς αριθμούς σε αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης

8=(1000) 9=(1001) 12=(1100) 13=(1101)

Αλγόριθμος 452 Επιλογή όλων των ελάχιστων μορφών από την επέκταση σε ομοφωνία

bull Για κάθε όρο από την επέκταση σε ομοφωνία γράψτε τους δεκαδικούς κώδικες όλων των επεκτάσεων πλήρους όρου

bull Σχηματίστε έναν πίνακα με γραμμές που αντιστοιχούν στους όρους της εν ομοφωνία επέκτασης και στήλες στον δεκαδικό κώδικα που αναφέρεται σε τουλάχιστον μια επέκταση πλήρους όρου Σημειώστε με Χ τις επεκτάσεις πλήρους όρου κάθε όρου χωριστά

bull Σημειώστε με έναν κύκλο κάθε Χ που είναι μοναδικό στη στήλη του Στη συνέχεια σημειώστε με αστερίσκο κάθε όρο στην επέκταση σε ομοφωνία που έχει έναν κύκλο στη γραμμή της Αυτοί είναι οι ουσιώδεις όροι της αρχικής πρότασης Στη συνέχεια τοποθετήστε έναν κύκλο σε κάθε επικεφαλίδα στήλης που έχει ένα Χ σε γραμμή με αστερίσκο Αν δεν υπάρχουν σημειωμένοι όροι σε επικεφαλίδες στηλών τότε η μοναδική ελάχιστη μορφή είναι η διάζευξη των ουσιωδών όρων Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε όρο επικεφαλίδας στήλης που έχει σημειωθεί με κύκλο γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλίδες γραμμών και υπάρχει Χ σημειωμένο σε αυτή τη στήλη Αυτή η πρόταση καλείται πρόταση Petric της αρχικής πρότασης

bull Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Ονομάστε την Π bull Διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους του Π οι οποίοι περιέχουν τον ελάχιστο αριθμό

πλήρων όρων

21

η συντόμευση μιας κατά τα άλλα επίπονης και μακράς διαδικασίας Η ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε την επέκταση σε ομοφωνία για να αναγνωρίσουμε τους πλεονάζοντες όρους Στο παράδειγμά μας η πλήρης επέκταση της πρότασης 119891 έχει έξι όρους και η επέκταση πλήρους όρου έχει 4+4+4+2+4+2=20 όρους Αυτοί οι 20 όροι παριστάνονται με V στον Πίνακα 451 Η ελάχιστη μορφή της f έχει τέσσερεις όρους με 9 γραμματικά στοιχεία Προκειμένου όμως να φτάσουμε σε αυτή τη μορφή χρειάστηκε να μεσολαβήσει μια πρόταση με 6 όρους και 24 γραμματικά στοιχεία

Για να αρχίσουμε χρειαζόμαστε έναν σύντομο τρόπο για την παράσταση όρων σε επεκτάσεις πλήρους όρου Πρώτα βεβαιωθείτε ότι γράψατε τα γραμματικά στοιχεία (ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για τις καταφάσεις ή τις αρνήσεις τους) με την ίδια τάξη σε όλους τους όρους Αν δηλαδή μεταβλητές σας είναι οι αβγδhellip θα γραφούν σε αλφαβητική σειρά ενώ αν έχουν τη μορφή α1α2α3 hellip κατά την ανιούσα τάξη των δεικτών Στη συνέχεια κωδικοποιήστε κάθε πλήρη όρο ως ένα n-ψήφιο δυαδικό αριθμό γράφοντας 1 για κάθε μεταβλητή στον όρο και 0 για κάθε άρνηση της μεταβλητής Για παράδειγμα οι πλήρεις όροι αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγandδ αandβandγrsquoandδ στην πλήρη επέκταση του Α όπως αυτή καταγράφηκε παραπάνω κωδικοποιούνται αντίστοιχα ως 1000 1001 1100 και 1101 Τελικά για να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη γραφή πλήρων όρων καταφεύγουμε στη βοήθεια του δεκαδικού συστήματος Έτσι οι όροι του Α γίνονται αντίστοιχα 8 9 12 και 14 Οι δυνατοί πλήρεις όροι για μια πρόταση με n μεταβλητές έχουν τελικά κωδικοποιηθεί με τη βοήθεια των αριθμών του δεκαδικού συστήματος 123hellip2n-1 Αντίστροφα κάθε ένας από τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος παράγει τον αντίστοιχό του στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης που με τη σειρά του παράγει έναν πλήρη όρο του όρου που εξετάζεται αρκεί να είναι γνωστός ο αριθμός n των μεταβλητών Για παράδειγμα θεωρείστε τον πλήρη όρο με κωδικό 22 σε μια πρόταση με πέντε μεταβλητέςαβγδ και ε Η πενταψήφια δυαδική έκφραση του 22 είναι 10110 και έτσι ο πλήρης όρος που αντιστοιχεί είναι ο αandβandγandδandε Αν η πρόταση έχει έξι μεταβλητές τότε ο 22 αντιστοιχεί στον 010110 και ο πλήρης όρος είναι αandβandγandδandεandζ

Με αυτόν τον συμβολισμό είναι εύκολο να γράψουμε τους δεκαδικούς κώδικες της επέκτασης πλήρους όρου οπουδήποτε αυτοί βρίσκονται Αυτό φαίνεται καλύτερα αν χρησιμοποιήσουμε για παράδειγμα τον όρο Α=αandγ Κωδικοποιούμε τον Α γράφοντας παύλες για τα γραμματικά στοιχεία που λείπουν 1_0_ Δοκιμάστε τώρα όλους τους δυνατούς συνδυασμούς και μετατρέψτε όλους τους προκύπτοντες δυαδικούς αριθμούς σε αριθμούς του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης

8=(1000) 9=(1001) 12=(1100) 13=(1101)

Αλγόριθμος 452 Επιλογή όλων των ελάχιστων μορφών από την επέκταση σε ομοφωνία

bull Για κάθε όρο από την επέκταση σε ομοφωνία γράψτε τους δεκαδικούς κώδικες όλων των επεκτάσεων πλήρους όρου

bull Σχηματίστε έναν πίνακα με γραμμές που αντιστοιχούν στους όρους της εν ομοφωνία επέκτασης και στήλες στον δεκαδικό κώδικα που αναφέρεται σε τουλάχιστον μια επέκταση πλήρους όρου Σημειώστε με Χ τις επεκτάσεις πλήρους όρου κάθε όρου χωριστά

bull Σημειώστε με έναν κύκλο κάθε Χ που είναι μοναδικό στη στήλη του Στη συνέχεια σημειώστε με αστερίσκο κάθε όρο στην επέκταση σε ομοφωνία που έχει έναν κύκλο στη γραμμή της Αυτοί είναι οι ουσιώδεις όροι της αρχικής πρότασης Στη συνέχεια τοποθετήστε έναν κύκλο σε κάθε επικεφαλίδα στήλης που έχει ένα Χ σε γραμμή με αστερίσκο Αν δεν υπάρχουν σημειωμένοι όροι σε επικεφαλίδες στηλών τότε η μοναδική ελάχιστη μορφή είναι η διάζευξη των ουσιωδών όρων Σε κάθε άλλη περίπτωση συνεχίζουμε

bull Για κάθε όρο επικεφαλίδας στήλης που έχει σημειωθεί με κύκλο γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλίδες γραμμών και υπάρχει Χ σημειωμένο σε αυτή τη στήλη Αυτή η πρόταση καλείται πρόταση Petric της αρχικής πρότασης

bull Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Ονομάστε την Π bull Διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους του Π οι οποίοι περιέχουν τον ελάχιστο αριθμό

πλήρων όρων

22

bull Για κάθε διατηρούμενο όρο του Π μετρήστε το πλήθος των γραμματικών στοιχείων (περιλαμβανομένων και των επαναλήψεων) που βρίσκονται στους όρους της εν ομοφωνία επέκτασης και η οποία εμφανίζεται σε εκείνο τον όρο του Π Παραλείψτε όλους τους όρους που διατηρήθηκαν εκτός από εκείνους για τους οποίους η μέτρηση αυτή έδωσε τον μικρότερο αριθμό

bull Για κάθε εναπομένοντα όρο του Π οι όροι της εν ομοφωνία επέκτασης (που εμφανίζονται σε αυτόν) μαζί με τους ουσιώδεις όρους που βρέθηκαν στο βήμα 3 αποτελούν τους όρους της ελάχιστης μορφής της αρχικής πρότασης

Να σημειωθεί ότι η ελάχιστη μορφή που βρέθηκε δεν είναι μοναδική Εφαρμογή 451 Αναφερόμαστε στο αποτέλεσμα του Παραδείγματος 453 που έχει καταλήξει στην εν ομοφωνία πρόταση 119891=(αandc)or(αandc)or(αandb)or(bandcandd)or(bandc)or(αandbandd) Βήμα 1 Γράψτε την επέκταση πλήρους όρου κάθε πρώτου αριθμού στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Για την πρόταση 119891 είναι

Όρος Δυαδική Μορφή Όροι στην επέκταση πλήρους όρου Α 1 _ 0 _ 8 9 12 13 Β 0 _ 1 _ 2367 Γ 1 1 _ _ 12 13 14 15 Δ _ 0 0 0 0 8 Ε _ 1 1 _ 6 7 14 15 Ζ 0 0 _ 0 0 2

Βήμα ΙΙ Σχηματίστε έναν πίνακα με γραμμές που έχουν στην πρώτη στήλη τους όρους της 119891 Στον ίδιο πίνακα οι επόμενες στήλες έχουν επικεφαλίδες τη δεκαδική έκφραση των όρων που εμφανίζονται τουλάχιστον σε μια επέκταση πλήρους όρου Σημειώστε με V κάθε επέκταση πλήρους όρου των όρων της 119891 Πίνακας 451

0 2 3 6 7 8 9 12 13 14 15 Α V V V V Β V V V V Γ V V V V Δ V V Ε V V V V Ζ V V

Κάθε σύνολο όρων των οποίων η διάζευξη είναι ισοδύναμη προς την πρόταση πρέπει να περιλαμβάνει κάθε πλήρη όρο του πίνακα Ας σημειωθεί ότι ο πλήρης όρος με κώδικα 3 εμφανίζεται μόνο στον όρο Β Ο Β καλείται ουσιώδης όρος Ένας ουσιώδης όρος περιέχεται σε κάθε ελάχιστη μορφή Αφού λοιπόν ο Β πρέπει να περιλαμβάνεται οι πλήρεις όροι 2 6 και 7 λαμβάνονται υπόψη Ουσιώδης όρος είναι και ο Α (εξαιτίας του 9) και έτσι 8 12 και 13 πρέπει επίσης να ληφθούν υπόψη Βήμα ΙΙΙ Τοποθετήστε σε κύκλο κάθε V που είναι μοναδικό στη στήλη του Στη συνέχεια σημειώστε με αστερίσκο κάθε επέκταση σε ομοφωνία που έχει μόνο έναν κύκλο στη γραμμή της Όσοι όροι σημειώθηκαν με αστερίσκο είναι ουσιώδεις όροι Τέλος βάλτε σε κύκλο κάθε πλήρη όρο που αντιστοιχεί σε όρους που έχουν σημειωθεί με αστερίσκο Στο παράδειγμα ο πίνακας γίνεται

23

Πίνακας 452 0 (2) (3) (6) (7) (8) (9) (12) (13) 14 15 Α V (V) V V Β V (V) V V Γ V V V V Δ V V Ε V V V V Ζ V V

Στον Πίνακα 452 οι πλήρεις όροι 0 14 και 15 παραμένουν προς διαπραγμάτευση Η διαδικασία πρέπει να συνεχιστεί καθώς οι όροι Γ Δ Ε και Ζ δεν έχουν συμπεριληφθεί στην τελική μορφή Ο πλήρης όρος 0 μπορεί να προέλθει είτε από τον όρο Δ είτε από τον όρο Ζ Ο πλήρης όρος 14 μπορεί να προέλθει είτε από τον όρο Γ είτε από τον όρο Ε Τέλος ο πλήρης όρος 15 μπορεί επίσης να προέλθει είτε από τον όρο Γ ή από τον όρο Ε Η μαθηματική έκφραση αυτών των παρατηρήσεων είναι (ΔorΖ)and(ΓorΕ)and(ΓorΕ) Αυτή είναι η πρόταση Petric για την αρχική πρόταση Το επόμενο βήμα είναι γενική οδηγία Βήμα IV Για κάθε πλήρη όρο στην πρώτη γραμμή του πίνακα (που δεν έχει σημειωθεί με κύκλο) γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλής γραμμών και φέρουν V στη στήλη αυτή Τότε γράψτε τη σύζευξη όλων των όρων που έχετε σημειώσει με τον τρόπο αυτό Η επόμενη οδηγία κάνει χρήση του Αλγόριθμου 441 Βήμα V Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Στο παράδειγμα που χρησιμοποιούμε θα είναι

(ΔorΖ)and(ΓorΕ)and(ΓorΕ) equiv(ΔorΖ)and(ΓorΕ) equiv(ΓandΔ)or(ΓandΖ)or(ΕandΔ)or(ΕandΖ) equivΠ

Κάθε όρος της Π μαζί με τους ουσιώδεις όρους αποδίδει ένα σύνολο όρων των οποίων η διάζευξη είναι ισοδύναμη με την αρχική πρόταση από την οποία προήλθαν Για να πάρουμε τις ελάχιστες μορφές συνεχίζουμε τον αλγόριθμο ως εξής Βήμα VI Διατηρήστε εκείνους τους όρους του Π που διαθέτουν τον ελάχιστο αριθμό πλήρων όρων Στο παράδειγμα κάθε όρος από τους όρους (ΓandΔ) (ΓandΖ) (ΕandΔ) και (ΕandΖ) διατηρείται στη μορφή Αν λόγου χάρη ο όρος (ΓandΔandΖ) είχε συμπεριληφθεί τότε έπρεπε να απορριφθεί Βήμα VII Ο όρος (ΓandΔ) απότελείται από τους όρους Γ=(αandb) και Δ=(bandcandd) οι οποίοι περιλαμβάνουν ένα σύνολο από 5 γραμματικά στοιχεία Στην πραγματικότητα κάθε ένας από τους όρους (ΓandΖ) (ΕandΔ) και (ΕandΖ) περιέχει επίσης πέντε γραμματικά στοιχεία Έτσι κανένας από τους όρους δεν παραλείπεται Βήμα VIII Τελικά η αρχική πρόταση 119891 έχει τέσσερεις ελάχιστες μορφές τη διάζευξη των όρων Α Β Γ και Δ ή τη διάζευξη των όρων Α Β Γ και Ζ ή εκείνη των Α Β Δ και Ε ή τέλος τη διάζευξη των Α Β Ε και Ζ

119891equiv(αandc)or(αandc)or(aandb)or(bandgandd) equiv(αandc)or(αandc)or(αandb)or(αandbandd) equiv(αandc)or(α^andc)or(bandcandd)or(bandc) equiv(αandc)or(αandc)or(bandc)or(αandbandd)

Αυτές είναι οι τέσσερις ελάχιστες μορφές της 119891 Στη συνέχεια παρουσιάζεται μια περίληψη της μεθόδου

24

Αλγόριθμος 453 Εύρεση των Ελάχιστων Μορφών μιας Πρότασης bull Γράψτε την πρόταση σε ΣΔΜ bull Χρησιμοποιήστε τον νόμο της ομοφωνίας για να γράψετε την επέκταση σε ομοφωνία bull Βρείτε την επέκταση πλήρους όρου και εκφράστε κάθε όρο με τη βοήθεια του δεκαδικού

συστήματος αρίθμησης bull Καταστρώστε έναν πίνακα για να βρείτε τους ουσιώδεις όρους και την πρόταση Petric (Αν

δεν υπάρχει η πρόταση Petric τότε η σύζευξη των ουσιωδών όρων είναι η μοναδική ελάχιστη μορφή)

bull Γράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Διατηρήστε μόνο τους όρους με τις λιγότερες μεταβλητές Από αυτούς διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους για τους οποίους οι όροι της επέκτασης σε ομοφωνία έχουν τα λιγότερα γραμματικά στοιχεία

Η διάζευξη των όρων της επέκτασης σε ομοφωνία του κάθε ενός διατηρούμενου όρου μαζί με τους ουσιώδεις όρους αποτελεί μια ελάχιστη μορφή Κάθε ελάχιστη μορφή βρίσκεται με αυτόν τον τρόπο

25

Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Althoen Steven C amp Bumcrot Robert J (1988) Introduction to Discrete Mathematics Boston PWS-KEnT

Publishing Company

Givant S R amp Halmos P R (2009) Introduction to Boolean algebras Springer pp 21ndash22 ISBn 978-0-387-40293-2

Halmos Paul (1963) Lectures on Boolean Algebras van nostrand

Hausman Alan Kahane Howard Tidman Paul (2010) [2007] Logic and Philosophy A Modern Introduction Wadsworth Cengage Learning

Heindorf L amp Shapiro L (1994) nearly projective Boolean algebras Lecture notes in Mathematics no 1596 Berlin Springer-Verlag

Holton D A amp Sheehan J (1994) The Petersen Graph Cambridge England Cambridge University Press

Jech T (1997)Set Theory 2nd corrected edition Berlin new York Springer-Verlag

Koppelberg S (1989) General Theory of Boolean Algebras Handbook of Boolean Algebras Vol 1 (ed J Donald Monk with Robert Bonnet) Amsterdam north Holland

Monk J D (2014) Cardinal Invariants on Boolean Algebras Second Revised Edition Basel Birkauumlser

Monk J D amp Bonnet R (eds) (1989) Handbook of Boolean algebras 3 volumes Amsterdam north-Holland

ORegan Gerard (2008) A brief history of computing Berlin Springer p33

Shannon C (1949) The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits Bell System Technical Journal 28 59ndash98

Venn J(1880) On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings Philosophical Magazine and Journal of Science Series 5 vol10 no 59 July

Γεωργίου Δημήτριος Α (1994) Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά για την Επιστήμη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Ξάνθη Εταιρεία Αξιοποίησης Πανεπιστημιακής Περιουσίας του ΔΠΘ

23

Πίνακας 452 0 (2) (3) (6) (7) (8) (9) (12) (13) 14 15 Α V (V) V V Β V (V) V V Γ V V V V Δ V V Ε V V V V Ζ V V

Στον Πίνακα 452 οι πλήρεις όροι 0 14 και 15 παραμένουν προς διαπραγμάτευση Η διαδικασία πρέπει να συνεχιστεί καθώς οι όροι Γ Δ Ε και Ζ δεν έχουν συμπεριληφθεί στην τελική μορφή Ο πλήρης όρος 0 μπορεί να προέλθει είτε από τον όρο Δ είτε από τον όρο Ζ Ο πλήρης όρος 14 μπορεί να προέλθει είτε από τον όρο Γ είτε από τον όρο Ε Τέλος ο πλήρης όρος 15 μπορεί επίσης να προέλθει είτε από τον όρο Γ ή από τον όρο Ε Η μαθηματική έκφραση αυτών των παρατηρήσεων είναι (ΔorΖ)and(ΓorΕ)and(ΓorΕ) Αυτή είναι η πρόταση Petric για την αρχική πρόταση Το επόμενο βήμα είναι γενική οδηγία Βήμα IV Για κάθε πλήρη όρο στην πρώτη γραμμή του πίνακα (που δεν έχει σημειωθεί με κύκλο) γράψτε τη διάζευξη των όρων που είναι επικεφαλής γραμμών και φέρουν V στη στήλη αυτή Τότε γράψτε τη σύζευξη όλων των όρων που έχετε σημειώσει με τον τρόπο αυτό Η επόμενη οδηγία κάνει χρήση του Αλγόριθμου 441 Βήμα V Ξαναγράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Στο παράδειγμα που χρησιμοποιούμε θα είναι

(ΔorΖ)and(ΓorΕ)and(ΓorΕ) equiv(ΔorΖ)and(ΓorΕ) equiv(ΓandΔ)or(ΓandΖ)or(ΕandΔ)or(ΕandΖ) equivΠ

Κάθε όρος της Π μαζί με τους ουσιώδεις όρους αποδίδει ένα σύνολο όρων των οποίων η διάζευξη είναι ισοδύναμη με την αρχική πρόταση από την οποία προήλθαν Για να πάρουμε τις ελάχιστες μορφές συνεχίζουμε τον αλγόριθμο ως εξής Βήμα VI Διατηρήστε εκείνους τους όρους του Π που διαθέτουν τον ελάχιστο αριθμό πλήρων όρων Στο παράδειγμα κάθε όρος από τους όρους (ΓandΔ) (ΓandΖ) (ΕandΔ) και (ΕandΖ) διατηρείται στη μορφή Αν λόγου χάρη ο όρος (ΓandΔandΖ) είχε συμπεριληφθεί τότε έπρεπε να απορριφθεί Βήμα VII Ο όρος (ΓandΔ) απότελείται από τους όρους Γ=(αandb) και Δ=(bandcandd) οι οποίοι περιλαμβάνουν ένα σύνολο από 5 γραμματικά στοιχεία Στην πραγματικότητα κάθε ένας από τους όρους (ΓandΖ) (ΕandΔ) και (ΕandΖ) περιέχει επίσης πέντε γραμματικά στοιχεία Έτσι κανένας από τους όρους δεν παραλείπεται Βήμα VIII Τελικά η αρχική πρόταση 119891 έχει τέσσερεις ελάχιστες μορφές τη διάζευξη των όρων Α Β Γ και Δ ή τη διάζευξη των όρων Α Β Γ και Ζ ή εκείνη των Α Β Δ και Ε ή τέλος τη διάζευξη των Α Β Ε και Ζ

119891equiv(αandc)or(αandc)or(aandb)or(bandgandd) equiv(αandc)or(αandc)or(αandb)or(αandbandd) equiv(αandc)or(α^andc)or(bandcandd)or(bandc) equiv(αandc)or(αandc)or(bandc)or(αandbandd)

Αυτές είναι οι τέσσερις ελάχιστες μορφές της 119891 Στη συνέχεια παρουσιάζεται μια περίληψη της μεθόδου

24

Αλγόριθμος 453 Εύρεση των Ελάχιστων Μορφών μιας Πρότασης bull Γράψτε την πρόταση σε ΣΔΜ bull Χρησιμοποιήστε τον νόμο της ομοφωνίας για να γράψετε την επέκταση σε ομοφωνία bull Βρείτε την επέκταση πλήρους όρου και εκφράστε κάθε όρο με τη βοήθεια του δεκαδικού

συστήματος αρίθμησης bull Καταστρώστε έναν πίνακα για να βρείτε τους ουσιώδεις όρους και την πρόταση Petric (Αν

δεν υπάρχει η πρόταση Petric τότε η σύζευξη των ουσιωδών όρων είναι η μοναδική ελάχιστη μορφή)

bull Γράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Διατηρήστε μόνο τους όρους με τις λιγότερες μεταβλητές Από αυτούς διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους για τους οποίους οι όροι της επέκτασης σε ομοφωνία έχουν τα λιγότερα γραμματικά στοιχεία

Η διάζευξη των όρων της επέκτασης σε ομοφωνία του κάθε ενός διατηρούμενου όρου μαζί με τους ουσιώδεις όρους αποτελεί μια ελάχιστη μορφή Κάθε ελάχιστη μορφή βρίσκεται με αυτόν τον τρόπο

25

Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Althoen Steven C amp Bumcrot Robert J (1988) Introduction to Discrete Mathematics Boston PWS-KEnT

Publishing Company

Givant S R amp Halmos P R (2009) Introduction to Boolean algebras Springer pp 21ndash22 ISBn 978-0-387-40293-2

Halmos Paul (1963) Lectures on Boolean Algebras van nostrand

Hausman Alan Kahane Howard Tidman Paul (2010) [2007] Logic and Philosophy A Modern Introduction Wadsworth Cengage Learning

Heindorf L amp Shapiro L (1994) nearly projective Boolean algebras Lecture notes in Mathematics no 1596 Berlin Springer-Verlag

Holton D A amp Sheehan J (1994) The Petersen Graph Cambridge England Cambridge University Press

Jech T (1997)Set Theory 2nd corrected edition Berlin new York Springer-Verlag

Koppelberg S (1989) General Theory of Boolean Algebras Handbook of Boolean Algebras Vol 1 (ed J Donald Monk with Robert Bonnet) Amsterdam north Holland

Monk J D (2014) Cardinal Invariants on Boolean Algebras Second Revised Edition Basel Birkauumlser

Monk J D amp Bonnet R (eds) (1989) Handbook of Boolean algebras 3 volumes Amsterdam north-Holland

ORegan Gerard (2008) A brief history of computing Berlin Springer p33

Shannon C (1949) The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits Bell System Technical Journal 28 59ndash98

Venn J(1880) On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings Philosophical Magazine and Journal of Science Series 5 vol10 no 59 July

Γεωργίου Δημήτριος Α (1994) Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά για την Επιστήμη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Ξάνθη Εταιρεία Αξιοποίησης Πανεπιστημιακής Περιουσίας του ΔΠΘ

24

Αλγόριθμος 453 Εύρεση των Ελάχιστων Μορφών μιας Πρότασης bull Γράψτε την πρόταση σε ΣΔΜ bull Χρησιμοποιήστε τον νόμο της ομοφωνίας για να γράψετε την επέκταση σε ομοφωνία bull Βρείτε την επέκταση πλήρους όρου και εκφράστε κάθε όρο με τη βοήθεια του δεκαδικού

συστήματος αρίθμησης bull Καταστρώστε έναν πίνακα για να βρείτε τους ουσιώδεις όρους και την πρόταση Petric (Αν

δεν υπάρχει η πρόταση Petric τότε η σύζευξη των ουσιωδών όρων είναι η μοναδική ελάχιστη μορφή)

bull Γράψτε την πρόταση Petric σε ΣΔΜ Διατηρήστε μόνο τους όρους με τις λιγότερες μεταβλητές Από αυτούς διατηρήστε μόνο εκείνους τους όρους για τους οποίους οι όροι της επέκτασης σε ομοφωνία έχουν τα λιγότερα γραμματικά στοιχεία

Η διάζευξη των όρων της επέκτασης σε ομοφωνία του κάθε ενός διατηρούμενου όρου μαζί με τους ουσιώδεις όρους αποτελεί μια ελάχιστη μορφή Κάθε ελάχιστη μορφή βρίσκεται με αυτόν τον τρόπο

25

Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Althoen Steven C amp Bumcrot Robert J (1988) Introduction to Discrete Mathematics Boston PWS-KEnT

Publishing Company

Givant S R amp Halmos P R (2009) Introduction to Boolean algebras Springer pp 21ndash22 ISBn 978-0-387-40293-2

Halmos Paul (1963) Lectures on Boolean Algebras van nostrand

Hausman Alan Kahane Howard Tidman Paul (2010) [2007] Logic and Philosophy A Modern Introduction Wadsworth Cengage Learning

Heindorf L amp Shapiro L (1994) nearly projective Boolean algebras Lecture notes in Mathematics no 1596 Berlin Springer-Verlag

Holton D A amp Sheehan J (1994) The Petersen Graph Cambridge England Cambridge University Press

Jech T (1997)Set Theory 2nd corrected edition Berlin new York Springer-Verlag

Koppelberg S (1989) General Theory of Boolean Algebras Handbook of Boolean Algebras Vol 1 (ed J Donald Monk with Robert Bonnet) Amsterdam north Holland

Monk J D (2014) Cardinal Invariants on Boolean Algebras Second Revised Edition Basel Birkauumlser

Monk J D amp Bonnet R (eds) (1989) Handbook of Boolean algebras 3 volumes Amsterdam north-Holland

ORegan Gerard (2008) A brief history of computing Berlin Springer p33

Shannon C (1949) The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits Bell System Technical Journal 28 59ndash98

Venn J(1880) On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings Philosophical Magazine and Journal of Science Series 5 vol10 no 59 July

Γεωργίου Δημήτριος Α (1994) Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά για την Επιστήμη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Ξάνθη Εταιρεία Αξιοποίησης Πανεπιστημιακής Περιουσίας του ΔΠΘ

25

Οδηγός για Περαιτέρω Μελέτη Althoen Steven C amp Bumcrot Robert J (1988) Introduction to Discrete Mathematics Boston PWS-KEnT

Publishing Company

Givant S R amp Halmos P R (2009) Introduction to Boolean algebras Springer pp 21ndash22 ISBn 978-0-387-40293-2

Halmos Paul (1963) Lectures on Boolean Algebras van nostrand

Hausman Alan Kahane Howard Tidman Paul (2010) [2007] Logic and Philosophy A Modern Introduction Wadsworth Cengage Learning

Heindorf L amp Shapiro L (1994) nearly projective Boolean algebras Lecture notes in Mathematics no 1596 Berlin Springer-Verlag

Holton D A amp Sheehan J (1994) The Petersen Graph Cambridge England Cambridge University Press

Jech T (1997)Set Theory 2nd corrected edition Berlin new York Springer-Verlag

Koppelberg S (1989) General Theory of Boolean Algebras Handbook of Boolean Algebras Vol 1 (ed J Donald Monk with Robert Bonnet) Amsterdam north Holland

Monk J D (2014) Cardinal Invariants on Boolean Algebras Second Revised Edition Basel Birkauumlser

Monk J D amp Bonnet R (eds) (1989) Handbook of Boolean algebras 3 volumes Amsterdam north-Holland

ORegan Gerard (2008) A brief history of computing Berlin Springer p33

Shannon C (1949) The Synthesis of Two-Terminal Switching Circuits Bell System Technical Journal 28 59ndash98

Venn J(1880) On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings Philosophical Magazine and Journal of Science Series 5 vol10 no 59 July

Γεωργίου Δημήτριος Α (1994) Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά για την Επιστήμη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Ξάνθη Εταιρεία Αξιοποίησης Πανεπιστημιακής Περιουσίας του ΔΠΘ

26

Κριτήρια Αξιολόγησης

Κριτήριο Αξιολόγησης 1 Έστω ότι οι καταστάσεις εισόδου στη διάρκεια 7 sec δίδονται με τις επόμενες γραφικές

παραστάσεις

Κριτήριο Αξιολόγησης 2 Στις επόμενες ασκήσεις σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των σημάτων εξόδου 1 crsquo 2 brsquo 3 αandb 4 dandc

27

5 αorc borc

Κριτήριο Αξιολόγησης 3 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα για α1andα2andα3andα4 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα για α1orα2orα3orα4 Συμπληρώστε ένα πίνακα που περιγράφει τη λειτουργία των πυλών τεσσάρων εισόδων των δύο

προηγούμενων ερωτήσεων

Κριτήριο Αξιολόγησης 4 Χρησιμοποιώντας διακόπτες αντί για πύλες σχεδιάστε κυκλώματα που έχουν έξοδο 1 αandbrsquo 2 αrsquoandb 3 (αandb)rsquo 4 (αorb)rsquo 5 (αandb)orc 6 (αorb)and(candb)

Κριτήριο Αξιολόγησης 5 Συμπληρώστε τους πίνακες που περιγράφουν την έξοδο των 6 περιπτώσεων κριτηρίου αξιολόγησης

4

28

Κριτήρια Αξιολόγησης

Κριτήριο Αξιολόγησης 1 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με δύο εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν ακριβώς μία είσοδος είναι 1 (Ένα

τέτοιο κύκλωμα καλείται αποκλειστική πύλη OR)

ΑπάντησηΛύση

Κριτήριο Αξιολόγησης 2 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με δύο εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν οι είσοδοι δεν είναι και οι δύο 1 Ένα

τέτοιο κύκλωμα καλείται πύλη nAnD συμβολίζεται με

ΑπάντησηΛύση

Κριτήριο Αξιολόγησης 3 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με δύο εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν ούτε μία είσοδος είναι 1 Ένα τέτοιο

κύκλωμα καλείται πύλη nOR και συμβολίζεται με

ΑπάντησηΛύση

Κριτήριο Αξιολόγησης 4 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με εισόδους α1 α2 που έχει έξοδο 1 ανν α1=0

29

Κριτήριο Αξιολόγησης 5 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τρεις εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν ακριβώς μία είσοδος είναι 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 6 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τρεις εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν είτε καμία είσοδος είναι 1 είτε όλοι οι

είσοδοι είναι 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 7 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με πέντε εισόδους του οποίου η έξοδος είναι πάντα 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 8 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με έξι εισόδους του οποίου η έξοδος δεν είναι ποτέ 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 9 Στις ασκήσεις 1-9 που ακολουθούν θα δείξετε ότι κάθε κύκλωμα μπορεί να κατασκευαστεί με

συνδυασμούς μόνο πυλών ΝΟΤ και πυλών AnD δύο εισόδων όπως επίσης ότι κάθε κύκλωμα μπορεί να κατασκευαστεί με χρήση μόνο πυλών ΝΟΤ και πυλών OR δύο εισόδων

Κατασκευάστε πύλη AnD 3 εισόδων με τη βοήθεια δύο πυλών AnD 2 εισόδων Κατασκευάστε πύλη OR 3 εισόδων με τη βοήθεια δύο πυλών OR 2 εισόδων Κατασκευάστε πύλη AnD n εισόδων όπου ngt2 με τη βοήθεια πυλών AnD 2 εισόδων Πόσες τέτοιες

πύλες απαιτούνται Επαναλάβατε την άσκηση 3 για πύλες OR Κατασκευάστε πύλη OR 2 εισόδων με τη βοήθεια μιας πύλης AnD 2 εισόδων και τριών πυλών ΝΟΤ Κατασκευάστε πύλη AnD 2 εισόδων με τη βοήθεια μιας πύλης OR 2 εισόδων και τριών πυλών ΝΟΤ Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα των ασκήσεων 3 και 5 εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε

οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες ΝΟΤ και πύλες AnD 2 εισόδων

Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα των ασκήσεων 4 και 6 εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες ΝΟΤ και πύλες OR 2 εισόδων

Εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες n OR 2 εισόδων

30

Κριτήριο Αξιολόγησης 10 Στις ασκήσεις 1 έως 4 κατασκευάστε τον πίνακα για τα δεδομένα κυκλώματα Στη συνέχεια

σχεδιάστε ισοδύναμα κυκλώματα που έχουν μικρότερο αριθμό πυλών 1

2

3

4

Κριτήριο Αξιολόγησης 11 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα ισοδύναμο με εκείνο του Σχήματος 436 με τέσσερις μόνο πύλες ΝΟΤ

Κριτήριο Αξιολόγησης 12 Στις ασκήσεις 1-4 χρησιμοποιήστε πίνακες λειτουργίας για να αποδείξετε τους αναφερόμενους

νόμους 1 Τον ταυτοτικό και τον νόμο της ενέλιξης 2 Τον νόμο του φραγμένου και τον νόμο του συμπληρώματος 4 Τον αντιμεταθετικό και τον νόμο της απορρόφησης 4 Τον προσεταιριστικό και τον επιμεριστικό νόμο

31

Κριτήριο Αξιολόγησης 13 Στις ασκήσεις 5-8 χρησιμοποιήστε άλγεβρα του Boole για να αποδείξετε τις δεδομένες ισοδυναμίες 4 (xandy)or(zandw)equiv(xorz)and(xorw)and(yorz)and(yorw) 6 (xory)and(xoryrsquo)equivy 7 xrarryequivyrsquorarrxrsquo [Νόμος της αντιστροφής] 8 (xrarry)and(yrarrz)and(zrarrx)equiv(yrarrx)and( zrarry)and(xrarrz)

Κριτήριο Αξιολόγησης 14 Στις ασκήσεις 9-12 ξαναγράψτε τη δοσμένη πρόταση σε ΣΔΜ 9 [(α₁orα₂rsquo)andα₃rsquo]or[α₂rsquoandα₃]or[α₂rsquoand(α₃orα₁rsquo)]rsquo 10 [(α₃rsquoandα₂)or(α₁rsquoandα₄rsquo)]rsquoor[α₁orα₂rsquoorα₃)andα₄rsquo] 11 α₁or([(α₂andα₃)or(α₂andα₁rsquo)]and( α₂rsquoorα₃rsquo)) 12 (α₁andα₂rsquoandα₃andα₄rsquoandα₅)or(α₂andα₃rsquoandα₅)

Κριτήριο Αξιολόγησης 15 Αν α₁=0 α₂=0 και α₃=1 βρείτε την αληθή τιμή των προτάσεων στις εξισώσεις 9 και 11

Κριτήριο Αξιολόγησης 16 Για ποιες αληθείς τιμές των μεταβλητών η πρόταση της άσκησης 10 είναι αληθής

Κριτήριο Αξιολόγησης 17 Για ποιες τιμές των α1α2α3 και α4 το κύκλωμα της άσκησης 15 δεν επιτρέπει τη δίοδο ρεύματος

Κριτήριο Αξιολόγησης 18 Στις ασκήσεις 17-20 αποφασίστε αν οι προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς 17 Αν τα τετράγωνα είναι κυκλικά τότε οι κύκλοι έχουν γωνίες 18 Αν οι κύκλοι έχουν γωνίες τότε τα τετράγωνα έχουν γωνίες 19 Τα τετράγωνα είναι κυκλικά και οι κύκλοι δεν έχουν γωνίες και δεν είναι αλήθεια ότι τα

τρίγωνα δεν είναι επίπεδα και τα παραλληλόγραμμα έχουν πέντε πλευρές 20 Αν ένα τετράγωνο έχει τέσσερις γωνίες και ένα τρίγωνο δεν είναι στρόγγυλο τότε ένα τετράγωνο

έχει πέντε γωνίες

Κριτήριο Αξιολόγησης 19 Στις ασκήσεις 21-28 αποφασίστε εάν κάθε πρόταση είναι ταυτολογία αντιλογία ή τίποτε από αυτά 21 αrArr(arArrb) 22 αrArr(brArrα) 24 (αrArrb)or(brArrα) 24 (αrArrb)and(brArrαrsquo) 24 (αrArrb)and(αrsquorArrbrsquo) 26 (αrsquo⟺b)or(α⟺brsquo) 27 [(αrArrb)and(brArrc)](αrArrc) [νόμος της αλληλουχίας] 28 brsquoand(αrArrb)=andα

32

Κριτήριο Αξιολόγησης 20 Να εξετάσετε αν οι όροι στις ακόλουθες παραστάσεις είναι σε ομοφωνία αandβandδ αandβandγ αandβandγ αandγandδ βandγandε αandγandεandζ αandγandδ αandδandεandζ

Κριτήριο Αξιολόγησης 21 Στις επόμενες προτάσεις να γράψετε την επέκταση σε ομοφωνία (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ) (αandβandγ)or(αandβandγ)or(αandβandγ) (αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ) (αandβandδ)or(αandδ)or(αandβandγ)or(αandδ)or(αandβandγandδ)

Κριτήριο Αξιολόγησης 22 Να γραφεί η επέκταση πλήρους όρου για κάθε ένα από τους δοσμένους όρους χρησιμοποιώντας τις

μεταβλητές α β γ δ των όρων που δίνονται στη συνέχεια (αandβandδ) (γandδ) (αandδ) β

Κριτήριο Αξιολόγησης 23 Να κωδικοποιήσετε σε αριθμούς πέντε ψηφίων του δυαδικού και στη συνέχεια του δεκαδικού

συστήματος αρίθμησης τους όρους που ακολουθούν 1 (αandβandγandδandε) 2 (αandβandγandδandε) 3 (αandβandγandδandε) 4 (αandβandγandδandε)

ΑπάντησηΛύση Η απάντηση ή λύση στην αντίστοιχη ερώτησηάσκησηπρόβλημα

Κριτήριο Αξιολόγησης 24 Με χρήση των μεταβλητών που δίνονται παρακάτω να γράψετε τους πλήρεις όρους που

αντιστοιχούν στους δοσμένους κώδικες του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης αβγδ∶ 1462 αβγδε∶ 51830

Κριτήριο Αξιολόγησης 25 Να βρείτε όλες τις ελάχιστες μορφές των δοσμένων προτάσεων Την πρόταση 5 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 6 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 7 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 8 του κριτήριου αξιολόγησης 2 (αandβandγandε)or(αandγ)or(αandβandδ)or(αandγ)or(αandβandγandδandε)

33

(αandβ)or(αandγ)or(βandγ)or(βandδ)or(δandε)or(εandζ) [(αorβorδ)or(βandγorδ)]or(αandδ) (αorβorγ)and(αorδ)and(βorγorδ)and(γandδ) [(αandβandδ)or(γandδ)]or(αandβandδ) (βorγorδ)and(αorβorγ)and(αorγorδ)

Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης

27

5 αorc borc

Κριτήριο Αξιολόγησης 3 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα για α1andα2andα3andα4 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα για α1orα2orα3orα4 Συμπληρώστε ένα πίνακα που περιγράφει τη λειτουργία των πυλών τεσσάρων εισόδων των δύο

προηγούμενων ερωτήσεων

Κριτήριο Αξιολόγησης 4 Χρησιμοποιώντας διακόπτες αντί για πύλες σχεδιάστε κυκλώματα που έχουν έξοδο 1 αandbrsquo 2 αrsquoandb 3 (αandb)rsquo 4 (αorb)rsquo 5 (αandb)orc 6 (αorb)and(candb)

Κριτήριο Αξιολόγησης 5 Συμπληρώστε τους πίνακες που περιγράφουν την έξοδο των 6 περιπτώσεων κριτηρίου αξιολόγησης

4

28

Κριτήρια Αξιολόγησης

Κριτήριο Αξιολόγησης 1 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με δύο εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν ακριβώς μία είσοδος είναι 1 (Ένα

τέτοιο κύκλωμα καλείται αποκλειστική πύλη OR)

ΑπάντησηΛύση

Κριτήριο Αξιολόγησης 2 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με δύο εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν οι είσοδοι δεν είναι και οι δύο 1 Ένα

τέτοιο κύκλωμα καλείται πύλη nAnD συμβολίζεται με

ΑπάντησηΛύση

Κριτήριο Αξιολόγησης 3 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με δύο εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν ούτε μία είσοδος είναι 1 Ένα τέτοιο

κύκλωμα καλείται πύλη nOR και συμβολίζεται με

ΑπάντησηΛύση

Κριτήριο Αξιολόγησης 4 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με εισόδους α1 α2 που έχει έξοδο 1 ανν α1=0

29

Κριτήριο Αξιολόγησης 5 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τρεις εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν ακριβώς μία είσοδος είναι 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 6 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τρεις εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν είτε καμία είσοδος είναι 1 είτε όλοι οι

είσοδοι είναι 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 7 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με πέντε εισόδους του οποίου η έξοδος είναι πάντα 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 8 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με έξι εισόδους του οποίου η έξοδος δεν είναι ποτέ 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 9 Στις ασκήσεις 1-9 που ακολουθούν θα δείξετε ότι κάθε κύκλωμα μπορεί να κατασκευαστεί με

συνδυασμούς μόνο πυλών ΝΟΤ και πυλών AnD δύο εισόδων όπως επίσης ότι κάθε κύκλωμα μπορεί να κατασκευαστεί με χρήση μόνο πυλών ΝΟΤ και πυλών OR δύο εισόδων

Κατασκευάστε πύλη AnD 3 εισόδων με τη βοήθεια δύο πυλών AnD 2 εισόδων Κατασκευάστε πύλη OR 3 εισόδων με τη βοήθεια δύο πυλών OR 2 εισόδων Κατασκευάστε πύλη AnD n εισόδων όπου ngt2 με τη βοήθεια πυλών AnD 2 εισόδων Πόσες τέτοιες

πύλες απαιτούνται Επαναλάβατε την άσκηση 3 για πύλες OR Κατασκευάστε πύλη OR 2 εισόδων με τη βοήθεια μιας πύλης AnD 2 εισόδων και τριών πυλών ΝΟΤ Κατασκευάστε πύλη AnD 2 εισόδων με τη βοήθεια μιας πύλης OR 2 εισόδων και τριών πυλών ΝΟΤ Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα των ασκήσεων 3 και 5 εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε

οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες ΝΟΤ και πύλες AnD 2 εισόδων

Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα των ασκήσεων 4 και 6 εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες ΝΟΤ και πύλες OR 2 εισόδων

Εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες n OR 2 εισόδων

30

Κριτήριο Αξιολόγησης 10 Στις ασκήσεις 1 έως 4 κατασκευάστε τον πίνακα για τα δεδομένα κυκλώματα Στη συνέχεια

σχεδιάστε ισοδύναμα κυκλώματα που έχουν μικρότερο αριθμό πυλών 1

2

3

4

Κριτήριο Αξιολόγησης 11 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα ισοδύναμο με εκείνο του Σχήματος 436 με τέσσερις μόνο πύλες ΝΟΤ

Κριτήριο Αξιολόγησης 12 Στις ασκήσεις 1-4 χρησιμοποιήστε πίνακες λειτουργίας για να αποδείξετε τους αναφερόμενους

νόμους 1 Τον ταυτοτικό και τον νόμο της ενέλιξης 2 Τον νόμο του φραγμένου και τον νόμο του συμπληρώματος 4 Τον αντιμεταθετικό και τον νόμο της απορρόφησης 4 Τον προσεταιριστικό και τον επιμεριστικό νόμο

31

Κριτήριο Αξιολόγησης 13 Στις ασκήσεις 5-8 χρησιμοποιήστε άλγεβρα του Boole για να αποδείξετε τις δεδομένες ισοδυναμίες 4 (xandy)or(zandw)equiv(xorz)and(xorw)and(yorz)and(yorw) 6 (xory)and(xoryrsquo)equivy 7 xrarryequivyrsquorarrxrsquo [Νόμος της αντιστροφής] 8 (xrarry)and(yrarrz)and(zrarrx)equiv(yrarrx)and( zrarry)and(xrarrz)

Κριτήριο Αξιολόγησης 14 Στις ασκήσεις 9-12 ξαναγράψτε τη δοσμένη πρόταση σε ΣΔΜ 9 [(α₁orα₂rsquo)andα₃rsquo]or[α₂rsquoandα₃]or[α₂rsquoand(α₃orα₁rsquo)]rsquo 10 [(α₃rsquoandα₂)or(α₁rsquoandα₄rsquo)]rsquoor[α₁orα₂rsquoorα₃)andα₄rsquo] 11 α₁or([(α₂andα₃)or(α₂andα₁rsquo)]and( α₂rsquoorα₃rsquo)) 12 (α₁andα₂rsquoandα₃andα₄rsquoandα₅)or(α₂andα₃rsquoandα₅)

Κριτήριο Αξιολόγησης 15 Αν α₁=0 α₂=0 και α₃=1 βρείτε την αληθή τιμή των προτάσεων στις εξισώσεις 9 και 11

Κριτήριο Αξιολόγησης 16 Για ποιες αληθείς τιμές των μεταβλητών η πρόταση της άσκησης 10 είναι αληθής

Κριτήριο Αξιολόγησης 17 Για ποιες τιμές των α1α2α3 και α4 το κύκλωμα της άσκησης 15 δεν επιτρέπει τη δίοδο ρεύματος

Κριτήριο Αξιολόγησης 18 Στις ασκήσεις 17-20 αποφασίστε αν οι προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς 17 Αν τα τετράγωνα είναι κυκλικά τότε οι κύκλοι έχουν γωνίες 18 Αν οι κύκλοι έχουν γωνίες τότε τα τετράγωνα έχουν γωνίες 19 Τα τετράγωνα είναι κυκλικά και οι κύκλοι δεν έχουν γωνίες και δεν είναι αλήθεια ότι τα

τρίγωνα δεν είναι επίπεδα και τα παραλληλόγραμμα έχουν πέντε πλευρές 20 Αν ένα τετράγωνο έχει τέσσερις γωνίες και ένα τρίγωνο δεν είναι στρόγγυλο τότε ένα τετράγωνο

έχει πέντε γωνίες

Κριτήριο Αξιολόγησης 19 Στις ασκήσεις 21-28 αποφασίστε εάν κάθε πρόταση είναι ταυτολογία αντιλογία ή τίποτε από αυτά 21 αrArr(arArrb) 22 αrArr(brArrα) 24 (αrArrb)or(brArrα) 24 (αrArrb)and(brArrαrsquo) 24 (αrArrb)and(αrsquorArrbrsquo) 26 (αrsquo⟺b)or(α⟺brsquo) 27 [(αrArrb)and(brArrc)](αrArrc) [νόμος της αλληλουχίας] 28 brsquoand(αrArrb)=andα

32

Κριτήριο Αξιολόγησης 20 Να εξετάσετε αν οι όροι στις ακόλουθες παραστάσεις είναι σε ομοφωνία αandβandδ αandβandγ αandβandγ αandγandδ βandγandε αandγandεandζ αandγandδ αandδandεandζ

Κριτήριο Αξιολόγησης 21 Στις επόμενες προτάσεις να γράψετε την επέκταση σε ομοφωνία (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ) (αandβandγ)or(αandβandγ)or(αandβandγ) (αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ) (αandβandδ)or(αandδ)or(αandβandγ)or(αandδ)or(αandβandγandδ)

Κριτήριο Αξιολόγησης 22 Να γραφεί η επέκταση πλήρους όρου για κάθε ένα από τους δοσμένους όρους χρησιμοποιώντας τις

μεταβλητές α β γ δ των όρων που δίνονται στη συνέχεια (αandβandδ) (γandδ) (αandδ) β

Κριτήριο Αξιολόγησης 23 Να κωδικοποιήσετε σε αριθμούς πέντε ψηφίων του δυαδικού και στη συνέχεια του δεκαδικού

συστήματος αρίθμησης τους όρους που ακολουθούν 1 (αandβandγandδandε) 2 (αandβandγandδandε) 3 (αandβandγandδandε) 4 (αandβandγandδandε)

ΑπάντησηΛύση Η απάντηση ή λύση στην αντίστοιχη ερώτησηάσκησηπρόβλημα

Κριτήριο Αξιολόγησης 24 Με χρήση των μεταβλητών που δίνονται παρακάτω να γράψετε τους πλήρεις όρους που

αντιστοιχούν στους δοσμένους κώδικες του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης αβγδ∶ 1462 αβγδε∶ 51830

Κριτήριο Αξιολόγησης 25 Να βρείτε όλες τις ελάχιστες μορφές των δοσμένων προτάσεων Την πρόταση 5 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 6 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 7 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 8 του κριτήριου αξιολόγησης 2 (αandβandγandε)or(αandγ)or(αandβandδ)or(αandγ)or(αandβandγandδandε)

33

(αandβ)or(αandγ)or(βandγ)or(βandδ)or(δandε)or(εandζ) [(αorβorδ)or(βandγorδ)]or(αandδ) (αorβorγ)and(αorδ)and(βorγorδ)and(γandδ) [(αandβandδ)or(γandδ)]or(αandβandδ) (βorγorδ)and(αorβorγ)and(αorγorδ)

Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης

28

Κριτήρια Αξιολόγησης

Κριτήριο Αξιολόγησης 1 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με δύο εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν ακριβώς μία είσοδος είναι 1 (Ένα

τέτοιο κύκλωμα καλείται αποκλειστική πύλη OR)

ΑπάντησηΛύση

Κριτήριο Αξιολόγησης 2 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με δύο εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν οι είσοδοι δεν είναι και οι δύο 1 Ένα

τέτοιο κύκλωμα καλείται πύλη nAnD συμβολίζεται με

ΑπάντησηΛύση

Κριτήριο Αξιολόγησης 3 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με δύο εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν ούτε μία είσοδος είναι 1 Ένα τέτοιο

κύκλωμα καλείται πύλη nOR και συμβολίζεται με

ΑπάντησηΛύση

Κριτήριο Αξιολόγησης 4 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με εισόδους α1 α2 που έχει έξοδο 1 ανν α1=0

29

Κριτήριο Αξιολόγησης 5 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τρεις εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν ακριβώς μία είσοδος είναι 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 6 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τρεις εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν είτε καμία είσοδος είναι 1 είτε όλοι οι

είσοδοι είναι 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 7 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με πέντε εισόδους του οποίου η έξοδος είναι πάντα 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 8 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με έξι εισόδους του οποίου η έξοδος δεν είναι ποτέ 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 9 Στις ασκήσεις 1-9 που ακολουθούν θα δείξετε ότι κάθε κύκλωμα μπορεί να κατασκευαστεί με

συνδυασμούς μόνο πυλών ΝΟΤ και πυλών AnD δύο εισόδων όπως επίσης ότι κάθε κύκλωμα μπορεί να κατασκευαστεί με χρήση μόνο πυλών ΝΟΤ και πυλών OR δύο εισόδων

Κατασκευάστε πύλη AnD 3 εισόδων με τη βοήθεια δύο πυλών AnD 2 εισόδων Κατασκευάστε πύλη OR 3 εισόδων με τη βοήθεια δύο πυλών OR 2 εισόδων Κατασκευάστε πύλη AnD n εισόδων όπου ngt2 με τη βοήθεια πυλών AnD 2 εισόδων Πόσες τέτοιες

πύλες απαιτούνται Επαναλάβατε την άσκηση 3 για πύλες OR Κατασκευάστε πύλη OR 2 εισόδων με τη βοήθεια μιας πύλης AnD 2 εισόδων και τριών πυλών ΝΟΤ Κατασκευάστε πύλη AnD 2 εισόδων με τη βοήθεια μιας πύλης OR 2 εισόδων και τριών πυλών ΝΟΤ Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα των ασκήσεων 3 και 5 εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε

οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες ΝΟΤ και πύλες AnD 2 εισόδων

Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα των ασκήσεων 4 και 6 εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες ΝΟΤ και πύλες OR 2 εισόδων

Εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες n OR 2 εισόδων

30

Κριτήριο Αξιολόγησης 10 Στις ασκήσεις 1 έως 4 κατασκευάστε τον πίνακα για τα δεδομένα κυκλώματα Στη συνέχεια

σχεδιάστε ισοδύναμα κυκλώματα που έχουν μικρότερο αριθμό πυλών 1

2

3

4

Κριτήριο Αξιολόγησης 11 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα ισοδύναμο με εκείνο του Σχήματος 436 με τέσσερις μόνο πύλες ΝΟΤ

Κριτήριο Αξιολόγησης 12 Στις ασκήσεις 1-4 χρησιμοποιήστε πίνακες λειτουργίας για να αποδείξετε τους αναφερόμενους

νόμους 1 Τον ταυτοτικό και τον νόμο της ενέλιξης 2 Τον νόμο του φραγμένου και τον νόμο του συμπληρώματος 4 Τον αντιμεταθετικό και τον νόμο της απορρόφησης 4 Τον προσεταιριστικό και τον επιμεριστικό νόμο

31

Κριτήριο Αξιολόγησης 13 Στις ασκήσεις 5-8 χρησιμοποιήστε άλγεβρα του Boole για να αποδείξετε τις δεδομένες ισοδυναμίες 4 (xandy)or(zandw)equiv(xorz)and(xorw)and(yorz)and(yorw) 6 (xory)and(xoryrsquo)equivy 7 xrarryequivyrsquorarrxrsquo [Νόμος της αντιστροφής] 8 (xrarry)and(yrarrz)and(zrarrx)equiv(yrarrx)and( zrarry)and(xrarrz)

Κριτήριο Αξιολόγησης 14 Στις ασκήσεις 9-12 ξαναγράψτε τη δοσμένη πρόταση σε ΣΔΜ 9 [(α₁orα₂rsquo)andα₃rsquo]or[α₂rsquoandα₃]or[α₂rsquoand(α₃orα₁rsquo)]rsquo 10 [(α₃rsquoandα₂)or(α₁rsquoandα₄rsquo)]rsquoor[α₁orα₂rsquoorα₃)andα₄rsquo] 11 α₁or([(α₂andα₃)or(α₂andα₁rsquo)]and( α₂rsquoorα₃rsquo)) 12 (α₁andα₂rsquoandα₃andα₄rsquoandα₅)or(α₂andα₃rsquoandα₅)

Κριτήριο Αξιολόγησης 15 Αν α₁=0 α₂=0 και α₃=1 βρείτε την αληθή τιμή των προτάσεων στις εξισώσεις 9 και 11

Κριτήριο Αξιολόγησης 16 Για ποιες αληθείς τιμές των μεταβλητών η πρόταση της άσκησης 10 είναι αληθής

Κριτήριο Αξιολόγησης 17 Για ποιες τιμές των α1α2α3 και α4 το κύκλωμα της άσκησης 15 δεν επιτρέπει τη δίοδο ρεύματος

Κριτήριο Αξιολόγησης 18 Στις ασκήσεις 17-20 αποφασίστε αν οι προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς 17 Αν τα τετράγωνα είναι κυκλικά τότε οι κύκλοι έχουν γωνίες 18 Αν οι κύκλοι έχουν γωνίες τότε τα τετράγωνα έχουν γωνίες 19 Τα τετράγωνα είναι κυκλικά και οι κύκλοι δεν έχουν γωνίες και δεν είναι αλήθεια ότι τα

τρίγωνα δεν είναι επίπεδα και τα παραλληλόγραμμα έχουν πέντε πλευρές 20 Αν ένα τετράγωνο έχει τέσσερις γωνίες και ένα τρίγωνο δεν είναι στρόγγυλο τότε ένα τετράγωνο

έχει πέντε γωνίες

Κριτήριο Αξιολόγησης 19 Στις ασκήσεις 21-28 αποφασίστε εάν κάθε πρόταση είναι ταυτολογία αντιλογία ή τίποτε από αυτά 21 αrArr(arArrb) 22 αrArr(brArrα) 24 (αrArrb)or(brArrα) 24 (αrArrb)and(brArrαrsquo) 24 (αrArrb)and(αrsquorArrbrsquo) 26 (αrsquo⟺b)or(α⟺brsquo) 27 [(αrArrb)and(brArrc)](αrArrc) [νόμος της αλληλουχίας] 28 brsquoand(αrArrb)=andα

32

Κριτήριο Αξιολόγησης 20 Να εξετάσετε αν οι όροι στις ακόλουθες παραστάσεις είναι σε ομοφωνία αandβandδ αandβandγ αandβandγ αandγandδ βandγandε αandγandεandζ αandγandδ αandδandεandζ

Κριτήριο Αξιολόγησης 21 Στις επόμενες προτάσεις να γράψετε την επέκταση σε ομοφωνία (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ) (αandβandγ)or(αandβandγ)or(αandβandγ) (αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ) (αandβandδ)or(αandδ)or(αandβandγ)or(αandδ)or(αandβandγandδ)

Κριτήριο Αξιολόγησης 22 Να γραφεί η επέκταση πλήρους όρου για κάθε ένα από τους δοσμένους όρους χρησιμοποιώντας τις

μεταβλητές α β γ δ των όρων που δίνονται στη συνέχεια (αandβandδ) (γandδ) (αandδ) β

Κριτήριο Αξιολόγησης 23 Να κωδικοποιήσετε σε αριθμούς πέντε ψηφίων του δυαδικού και στη συνέχεια του δεκαδικού

συστήματος αρίθμησης τους όρους που ακολουθούν 1 (αandβandγandδandε) 2 (αandβandγandδandε) 3 (αandβandγandδandε) 4 (αandβandγandδandε)

ΑπάντησηΛύση Η απάντηση ή λύση στην αντίστοιχη ερώτησηάσκησηπρόβλημα

Κριτήριο Αξιολόγησης 24 Με χρήση των μεταβλητών που δίνονται παρακάτω να γράψετε τους πλήρεις όρους που

αντιστοιχούν στους δοσμένους κώδικες του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης αβγδ∶ 1462 αβγδε∶ 51830

Κριτήριο Αξιολόγησης 25 Να βρείτε όλες τις ελάχιστες μορφές των δοσμένων προτάσεων Την πρόταση 5 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 6 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 7 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 8 του κριτήριου αξιολόγησης 2 (αandβandγandε)or(αandγ)or(αandβandδ)or(αandγ)or(αandβandγandδandε)

33

(αandβ)or(αandγ)or(βandγ)or(βandδ)or(δandε)or(εandζ) [(αorβorδ)or(βandγorδ)]or(αandδ) (αorβorγ)and(αorδ)and(βorγorδ)and(γandδ) [(αandβandδ)or(γandδ)]or(αandβandδ) (βorγorδ)and(αorβorγ)and(αorγorδ)

Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης

29

Κριτήριο Αξιολόγησης 5 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τρεις εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν ακριβώς μία είσοδος είναι 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 6 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με τρεις εισόδους που έχει έξοδο 1 ανν είτε καμία είσοδος είναι 1 είτε όλοι οι

είσοδοι είναι 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 7 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με πέντε εισόδους του οποίου η έξοδος είναι πάντα 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 8 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με έξι εισόδους του οποίου η έξοδος δεν είναι ποτέ 1

Κριτήριο Αξιολόγησης 9 Στις ασκήσεις 1-9 που ακολουθούν θα δείξετε ότι κάθε κύκλωμα μπορεί να κατασκευαστεί με

συνδυασμούς μόνο πυλών ΝΟΤ και πυλών AnD δύο εισόδων όπως επίσης ότι κάθε κύκλωμα μπορεί να κατασκευαστεί με χρήση μόνο πυλών ΝΟΤ και πυλών OR δύο εισόδων

Κατασκευάστε πύλη AnD 3 εισόδων με τη βοήθεια δύο πυλών AnD 2 εισόδων Κατασκευάστε πύλη OR 3 εισόδων με τη βοήθεια δύο πυλών OR 2 εισόδων Κατασκευάστε πύλη AnD n εισόδων όπου ngt2 με τη βοήθεια πυλών AnD 2 εισόδων Πόσες τέτοιες

πύλες απαιτούνται Επαναλάβατε την άσκηση 3 για πύλες OR Κατασκευάστε πύλη OR 2 εισόδων με τη βοήθεια μιας πύλης AnD 2 εισόδων και τριών πυλών ΝΟΤ Κατασκευάστε πύλη AnD 2 εισόδων με τη βοήθεια μιας πύλης OR 2 εισόδων και τριών πυλών ΝΟΤ Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα των ασκήσεων 3 και 5 εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε

οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες ΝΟΤ και πύλες AnD 2 εισόδων

Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα των ασκήσεων 4 και 6 εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες ΝΟΤ και πύλες OR 2 εισόδων

Εξηγήστε πώς αντικαθιστούμε οποιοδήποτε κύκλωμα με ένα ισοδύναμο κύκλωμα που αποτελείται μόνο από πύλες n OR 2 εισόδων

30

Κριτήριο Αξιολόγησης 10 Στις ασκήσεις 1 έως 4 κατασκευάστε τον πίνακα για τα δεδομένα κυκλώματα Στη συνέχεια

σχεδιάστε ισοδύναμα κυκλώματα που έχουν μικρότερο αριθμό πυλών 1

2

3

4

Κριτήριο Αξιολόγησης 11 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα ισοδύναμο με εκείνο του Σχήματος 436 με τέσσερις μόνο πύλες ΝΟΤ

Κριτήριο Αξιολόγησης 12 Στις ασκήσεις 1-4 χρησιμοποιήστε πίνακες λειτουργίας για να αποδείξετε τους αναφερόμενους

νόμους 1 Τον ταυτοτικό και τον νόμο της ενέλιξης 2 Τον νόμο του φραγμένου και τον νόμο του συμπληρώματος 4 Τον αντιμεταθετικό και τον νόμο της απορρόφησης 4 Τον προσεταιριστικό και τον επιμεριστικό νόμο

31

Κριτήριο Αξιολόγησης 13 Στις ασκήσεις 5-8 χρησιμοποιήστε άλγεβρα του Boole για να αποδείξετε τις δεδομένες ισοδυναμίες 4 (xandy)or(zandw)equiv(xorz)and(xorw)and(yorz)and(yorw) 6 (xory)and(xoryrsquo)equivy 7 xrarryequivyrsquorarrxrsquo [Νόμος της αντιστροφής] 8 (xrarry)and(yrarrz)and(zrarrx)equiv(yrarrx)and( zrarry)and(xrarrz)

Κριτήριο Αξιολόγησης 14 Στις ασκήσεις 9-12 ξαναγράψτε τη δοσμένη πρόταση σε ΣΔΜ 9 [(α₁orα₂rsquo)andα₃rsquo]or[α₂rsquoandα₃]or[α₂rsquoand(α₃orα₁rsquo)]rsquo 10 [(α₃rsquoandα₂)or(α₁rsquoandα₄rsquo)]rsquoor[α₁orα₂rsquoorα₃)andα₄rsquo] 11 α₁or([(α₂andα₃)or(α₂andα₁rsquo)]and( α₂rsquoorα₃rsquo)) 12 (α₁andα₂rsquoandα₃andα₄rsquoandα₅)or(α₂andα₃rsquoandα₅)

Κριτήριο Αξιολόγησης 15 Αν α₁=0 α₂=0 και α₃=1 βρείτε την αληθή τιμή των προτάσεων στις εξισώσεις 9 και 11

Κριτήριο Αξιολόγησης 16 Για ποιες αληθείς τιμές των μεταβλητών η πρόταση της άσκησης 10 είναι αληθής

Κριτήριο Αξιολόγησης 17 Για ποιες τιμές των α1α2α3 και α4 το κύκλωμα της άσκησης 15 δεν επιτρέπει τη δίοδο ρεύματος

Κριτήριο Αξιολόγησης 18 Στις ασκήσεις 17-20 αποφασίστε αν οι προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς 17 Αν τα τετράγωνα είναι κυκλικά τότε οι κύκλοι έχουν γωνίες 18 Αν οι κύκλοι έχουν γωνίες τότε τα τετράγωνα έχουν γωνίες 19 Τα τετράγωνα είναι κυκλικά και οι κύκλοι δεν έχουν γωνίες και δεν είναι αλήθεια ότι τα

τρίγωνα δεν είναι επίπεδα και τα παραλληλόγραμμα έχουν πέντε πλευρές 20 Αν ένα τετράγωνο έχει τέσσερις γωνίες και ένα τρίγωνο δεν είναι στρόγγυλο τότε ένα τετράγωνο

έχει πέντε γωνίες

Κριτήριο Αξιολόγησης 19 Στις ασκήσεις 21-28 αποφασίστε εάν κάθε πρόταση είναι ταυτολογία αντιλογία ή τίποτε από αυτά 21 αrArr(arArrb) 22 αrArr(brArrα) 24 (αrArrb)or(brArrα) 24 (αrArrb)and(brArrαrsquo) 24 (αrArrb)and(αrsquorArrbrsquo) 26 (αrsquo⟺b)or(α⟺brsquo) 27 [(αrArrb)and(brArrc)](αrArrc) [νόμος της αλληλουχίας] 28 brsquoand(αrArrb)=andα

32

Κριτήριο Αξιολόγησης 20 Να εξετάσετε αν οι όροι στις ακόλουθες παραστάσεις είναι σε ομοφωνία αandβandδ αandβandγ αandβandγ αandγandδ βandγandε αandγandεandζ αandγandδ αandδandεandζ

Κριτήριο Αξιολόγησης 21 Στις επόμενες προτάσεις να γράψετε την επέκταση σε ομοφωνία (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ) (αandβandγ)or(αandβandγ)or(αandβandγ) (αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ) (αandβandδ)or(αandδ)or(αandβandγ)or(αandδ)or(αandβandγandδ)

Κριτήριο Αξιολόγησης 22 Να γραφεί η επέκταση πλήρους όρου για κάθε ένα από τους δοσμένους όρους χρησιμοποιώντας τις

μεταβλητές α β γ δ των όρων που δίνονται στη συνέχεια (αandβandδ) (γandδ) (αandδ) β

Κριτήριο Αξιολόγησης 23 Να κωδικοποιήσετε σε αριθμούς πέντε ψηφίων του δυαδικού και στη συνέχεια του δεκαδικού

συστήματος αρίθμησης τους όρους που ακολουθούν 1 (αandβandγandδandε) 2 (αandβandγandδandε) 3 (αandβandγandδandε) 4 (αandβandγandδandε)

ΑπάντησηΛύση Η απάντηση ή λύση στην αντίστοιχη ερώτησηάσκησηπρόβλημα

Κριτήριο Αξιολόγησης 24 Με χρήση των μεταβλητών που δίνονται παρακάτω να γράψετε τους πλήρεις όρους που

αντιστοιχούν στους δοσμένους κώδικες του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης αβγδ∶ 1462 αβγδε∶ 51830

Κριτήριο Αξιολόγησης 25 Να βρείτε όλες τις ελάχιστες μορφές των δοσμένων προτάσεων Την πρόταση 5 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 6 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 7 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 8 του κριτήριου αξιολόγησης 2 (αandβandγandε)or(αandγ)or(αandβandδ)or(αandγ)or(αandβandγandδandε)

33

(αandβ)or(αandγ)or(βandγ)or(βandδ)or(δandε)or(εandζ) [(αorβorδ)or(βandγorδ)]or(αandδ) (αorβorγ)and(αorδ)and(βorγorδ)and(γandδ) [(αandβandδ)or(γandδ)]or(αandβandδ) (βorγorδ)and(αorβorγ)and(αorγorδ)

Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης

30

Κριτήριο Αξιολόγησης 10 Στις ασκήσεις 1 έως 4 κατασκευάστε τον πίνακα για τα δεδομένα κυκλώματα Στη συνέχεια

σχεδιάστε ισοδύναμα κυκλώματα που έχουν μικρότερο αριθμό πυλών 1

2

3

4

Κριτήριο Αξιολόγησης 11 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα ισοδύναμο με εκείνο του Σχήματος 436 με τέσσερις μόνο πύλες ΝΟΤ

Κριτήριο Αξιολόγησης 12 Στις ασκήσεις 1-4 χρησιμοποιήστε πίνακες λειτουργίας για να αποδείξετε τους αναφερόμενους

νόμους 1 Τον ταυτοτικό και τον νόμο της ενέλιξης 2 Τον νόμο του φραγμένου και τον νόμο του συμπληρώματος 4 Τον αντιμεταθετικό και τον νόμο της απορρόφησης 4 Τον προσεταιριστικό και τον επιμεριστικό νόμο

31

Κριτήριο Αξιολόγησης 13 Στις ασκήσεις 5-8 χρησιμοποιήστε άλγεβρα του Boole για να αποδείξετε τις δεδομένες ισοδυναμίες 4 (xandy)or(zandw)equiv(xorz)and(xorw)and(yorz)and(yorw) 6 (xory)and(xoryrsquo)equivy 7 xrarryequivyrsquorarrxrsquo [Νόμος της αντιστροφής] 8 (xrarry)and(yrarrz)and(zrarrx)equiv(yrarrx)and( zrarry)and(xrarrz)

Κριτήριο Αξιολόγησης 14 Στις ασκήσεις 9-12 ξαναγράψτε τη δοσμένη πρόταση σε ΣΔΜ 9 [(α₁orα₂rsquo)andα₃rsquo]or[α₂rsquoandα₃]or[α₂rsquoand(α₃orα₁rsquo)]rsquo 10 [(α₃rsquoandα₂)or(α₁rsquoandα₄rsquo)]rsquoor[α₁orα₂rsquoorα₃)andα₄rsquo] 11 α₁or([(α₂andα₃)or(α₂andα₁rsquo)]and( α₂rsquoorα₃rsquo)) 12 (α₁andα₂rsquoandα₃andα₄rsquoandα₅)or(α₂andα₃rsquoandα₅)

Κριτήριο Αξιολόγησης 15 Αν α₁=0 α₂=0 και α₃=1 βρείτε την αληθή τιμή των προτάσεων στις εξισώσεις 9 και 11

Κριτήριο Αξιολόγησης 16 Για ποιες αληθείς τιμές των μεταβλητών η πρόταση της άσκησης 10 είναι αληθής

Κριτήριο Αξιολόγησης 17 Για ποιες τιμές των α1α2α3 και α4 το κύκλωμα της άσκησης 15 δεν επιτρέπει τη δίοδο ρεύματος

Κριτήριο Αξιολόγησης 18 Στις ασκήσεις 17-20 αποφασίστε αν οι προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς 17 Αν τα τετράγωνα είναι κυκλικά τότε οι κύκλοι έχουν γωνίες 18 Αν οι κύκλοι έχουν γωνίες τότε τα τετράγωνα έχουν γωνίες 19 Τα τετράγωνα είναι κυκλικά και οι κύκλοι δεν έχουν γωνίες και δεν είναι αλήθεια ότι τα

τρίγωνα δεν είναι επίπεδα και τα παραλληλόγραμμα έχουν πέντε πλευρές 20 Αν ένα τετράγωνο έχει τέσσερις γωνίες και ένα τρίγωνο δεν είναι στρόγγυλο τότε ένα τετράγωνο

έχει πέντε γωνίες

Κριτήριο Αξιολόγησης 19 Στις ασκήσεις 21-28 αποφασίστε εάν κάθε πρόταση είναι ταυτολογία αντιλογία ή τίποτε από αυτά 21 αrArr(arArrb) 22 αrArr(brArrα) 24 (αrArrb)or(brArrα) 24 (αrArrb)and(brArrαrsquo) 24 (αrArrb)and(αrsquorArrbrsquo) 26 (αrsquo⟺b)or(α⟺brsquo) 27 [(αrArrb)and(brArrc)](αrArrc) [νόμος της αλληλουχίας] 28 brsquoand(αrArrb)=andα

32

Κριτήριο Αξιολόγησης 20 Να εξετάσετε αν οι όροι στις ακόλουθες παραστάσεις είναι σε ομοφωνία αandβandδ αandβandγ αandβandγ αandγandδ βandγandε αandγandεandζ αandγandδ αandδandεandζ

Κριτήριο Αξιολόγησης 21 Στις επόμενες προτάσεις να γράψετε την επέκταση σε ομοφωνία (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ) (αandβandγ)or(αandβandγ)or(αandβandγ) (αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ) (αandβandδ)or(αandδ)or(αandβandγ)or(αandδ)or(αandβandγandδ)

Κριτήριο Αξιολόγησης 22 Να γραφεί η επέκταση πλήρους όρου για κάθε ένα από τους δοσμένους όρους χρησιμοποιώντας τις

μεταβλητές α β γ δ των όρων που δίνονται στη συνέχεια (αandβandδ) (γandδ) (αandδ) β

Κριτήριο Αξιολόγησης 23 Να κωδικοποιήσετε σε αριθμούς πέντε ψηφίων του δυαδικού και στη συνέχεια του δεκαδικού

συστήματος αρίθμησης τους όρους που ακολουθούν 1 (αandβandγandδandε) 2 (αandβandγandδandε) 3 (αandβandγandδandε) 4 (αandβandγandδandε)

ΑπάντησηΛύση Η απάντηση ή λύση στην αντίστοιχη ερώτησηάσκησηπρόβλημα

Κριτήριο Αξιολόγησης 24 Με χρήση των μεταβλητών που δίνονται παρακάτω να γράψετε τους πλήρεις όρους που

αντιστοιχούν στους δοσμένους κώδικες του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης αβγδ∶ 1462 αβγδε∶ 51830

Κριτήριο Αξιολόγησης 25 Να βρείτε όλες τις ελάχιστες μορφές των δοσμένων προτάσεων Την πρόταση 5 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 6 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 7 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 8 του κριτήριου αξιολόγησης 2 (αandβandγandε)or(αandγ)or(αandβandδ)or(αandγ)or(αandβandγandδandε)

33

(αandβ)or(αandγ)or(βandγ)or(βandδ)or(δandε)or(εandζ) [(αorβorδ)or(βandγorδ)]or(αandδ) (αorβorγ)and(αorδ)and(βorγorδ)and(γandδ) [(αandβandδ)or(γandδ)]or(αandβandδ) (βorγorδ)and(αorβorγ)and(αorγorδ)

Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης

31

Κριτήριο Αξιολόγησης 13 Στις ασκήσεις 5-8 χρησιμοποιήστε άλγεβρα του Boole για να αποδείξετε τις δεδομένες ισοδυναμίες 4 (xandy)or(zandw)equiv(xorz)and(xorw)and(yorz)and(yorw) 6 (xory)and(xoryrsquo)equivy 7 xrarryequivyrsquorarrxrsquo [Νόμος της αντιστροφής] 8 (xrarry)and(yrarrz)and(zrarrx)equiv(yrarrx)and( zrarry)and(xrarrz)

Κριτήριο Αξιολόγησης 14 Στις ασκήσεις 9-12 ξαναγράψτε τη δοσμένη πρόταση σε ΣΔΜ 9 [(α₁orα₂rsquo)andα₃rsquo]or[α₂rsquoandα₃]or[α₂rsquoand(α₃orα₁rsquo)]rsquo 10 [(α₃rsquoandα₂)or(α₁rsquoandα₄rsquo)]rsquoor[α₁orα₂rsquoorα₃)andα₄rsquo] 11 α₁or([(α₂andα₃)or(α₂andα₁rsquo)]and( α₂rsquoorα₃rsquo)) 12 (α₁andα₂rsquoandα₃andα₄rsquoandα₅)or(α₂andα₃rsquoandα₅)

Κριτήριο Αξιολόγησης 15 Αν α₁=0 α₂=0 και α₃=1 βρείτε την αληθή τιμή των προτάσεων στις εξισώσεις 9 και 11

Κριτήριο Αξιολόγησης 16 Για ποιες αληθείς τιμές των μεταβλητών η πρόταση της άσκησης 10 είναι αληθής

Κριτήριο Αξιολόγησης 17 Για ποιες τιμές των α1α2α3 και α4 το κύκλωμα της άσκησης 15 δεν επιτρέπει τη δίοδο ρεύματος

Κριτήριο Αξιολόγησης 18 Στις ασκήσεις 17-20 αποφασίστε αν οι προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς 17 Αν τα τετράγωνα είναι κυκλικά τότε οι κύκλοι έχουν γωνίες 18 Αν οι κύκλοι έχουν γωνίες τότε τα τετράγωνα έχουν γωνίες 19 Τα τετράγωνα είναι κυκλικά και οι κύκλοι δεν έχουν γωνίες και δεν είναι αλήθεια ότι τα

τρίγωνα δεν είναι επίπεδα και τα παραλληλόγραμμα έχουν πέντε πλευρές 20 Αν ένα τετράγωνο έχει τέσσερις γωνίες και ένα τρίγωνο δεν είναι στρόγγυλο τότε ένα τετράγωνο

έχει πέντε γωνίες

Κριτήριο Αξιολόγησης 19 Στις ασκήσεις 21-28 αποφασίστε εάν κάθε πρόταση είναι ταυτολογία αντιλογία ή τίποτε από αυτά 21 αrArr(arArrb) 22 αrArr(brArrα) 24 (αrArrb)or(brArrα) 24 (αrArrb)and(brArrαrsquo) 24 (αrArrb)and(αrsquorArrbrsquo) 26 (αrsquo⟺b)or(α⟺brsquo) 27 [(αrArrb)and(brArrc)](αrArrc) [νόμος της αλληλουχίας] 28 brsquoand(αrArrb)=andα

32

Κριτήριο Αξιολόγησης 20 Να εξετάσετε αν οι όροι στις ακόλουθες παραστάσεις είναι σε ομοφωνία αandβandδ αandβandγ αandβandγ αandγandδ βandγandε αandγandεandζ αandγandδ αandδandεandζ

Κριτήριο Αξιολόγησης 21 Στις επόμενες προτάσεις να γράψετε την επέκταση σε ομοφωνία (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ) (αandβandγ)or(αandβandγ)or(αandβandγ) (αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ) (αandβandδ)or(αandδ)or(αandβandγ)or(αandδ)or(αandβandγandδ)

Κριτήριο Αξιολόγησης 22 Να γραφεί η επέκταση πλήρους όρου για κάθε ένα από τους δοσμένους όρους χρησιμοποιώντας τις

μεταβλητές α β γ δ των όρων που δίνονται στη συνέχεια (αandβandδ) (γandδ) (αandδ) β

Κριτήριο Αξιολόγησης 23 Να κωδικοποιήσετε σε αριθμούς πέντε ψηφίων του δυαδικού και στη συνέχεια του δεκαδικού

συστήματος αρίθμησης τους όρους που ακολουθούν 1 (αandβandγandδandε) 2 (αandβandγandδandε) 3 (αandβandγandδandε) 4 (αandβandγandδandε)

ΑπάντησηΛύση Η απάντηση ή λύση στην αντίστοιχη ερώτησηάσκησηπρόβλημα

Κριτήριο Αξιολόγησης 24 Με χρήση των μεταβλητών που δίνονται παρακάτω να γράψετε τους πλήρεις όρους που

αντιστοιχούν στους δοσμένους κώδικες του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης αβγδ∶ 1462 αβγδε∶ 51830

Κριτήριο Αξιολόγησης 25 Να βρείτε όλες τις ελάχιστες μορφές των δοσμένων προτάσεων Την πρόταση 5 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 6 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 7 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 8 του κριτήριου αξιολόγησης 2 (αandβandγandε)or(αandγ)or(αandβandδ)or(αandγ)or(αandβandγandδandε)

33

(αandβ)or(αandγ)or(βandγ)or(βandδ)or(δandε)or(εandζ) [(αorβorδ)or(βandγorδ)]or(αandδ) (αorβorγ)and(αorδ)and(βorγorδ)and(γandδ) [(αandβandδ)or(γandδ)]or(αandβandδ) (βorγorδ)and(αorβorγ)and(αorγorδ)

Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης

32

Κριτήριο Αξιολόγησης 20 Να εξετάσετε αν οι όροι στις ακόλουθες παραστάσεις είναι σε ομοφωνία αandβandδ αandβandγ αandβandγ αandγandδ βandγandε αandγandεandζ αandγandδ αandδandεandζ

Κριτήριο Αξιολόγησης 21 Στις επόμενες προτάσεις να γράψετε την επέκταση σε ομοφωνία (αandβ)or(βandγ)or(αandγ)or(αandγ) (αandβandγ)or(αandβandγ)or(αandβandγ) (αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ)or(αandβandγandδ) (αandβandδ)or(αandδ)or(αandβandγ)or(αandδ)or(αandβandγandδ)

Κριτήριο Αξιολόγησης 22 Να γραφεί η επέκταση πλήρους όρου για κάθε ένα από τους δοσμένους όρους χρησιμοποιώντας τις

μεταβλητές α β γ δ των όρων που δίνονται στη συνέχεια (αandβandδ) (γandδ) (αandδ) β

Κριτήριο Αξιολόγησης 23 Να κωδικοποιήσετε σε αριθμούς πέντε ψηφίων του δυαδικού και στη συνέχεια του δεκαδικού

συστήματος αρίθμησης τους όρους που ακολουθούν 1 (αandβandγandδandε) 2 (αandβandγandδandε) 3 (αandβandγandδandε) 4 (αandβandγandδandε)

ΑπάντησηΛύση Η απάντηση ή λύση στην αντίστοιχη ερώτησηάσκησηπρόβλημα

Κριτήριο Αξιολόγησης 24 Με χρήση των μεταβλητών που δίνονται παρακάτω να γράψετε τους πλήρεις όρους που

αντιστοιχούν στους δοσμένους κώδικες του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης αβγδ∶ 1462 αβγδε∶ 51830

Κριτήριο Αξιολόγησης 25 Να βρείτε όλες τις ελάχιστες μορφές των δοσμένων προτάσεων Την πρόταση 5 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 6 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 7 του κριτήριου αξιολόγησης 2 Την πρόταση 8 του κριτήριου αξιολόγησης 2 (αandβandγandε)or(αandγ)or(αandβandδ)or(αandγ)or(αandβandγandδandε)

33

(αandβ)or(αandγ)or(βandγ)or(βandδ)or(δandε)or(εandζ) [(αorβorδ)or(βandγorδ)]or(αandδ) (αorβorγ)and(αorδ)and(βorγorδ)and(γandδ) [(αandβandδ)or(γandδ)]or(αandβandδ) (βorγorδ)and(αorβorγ)and(αorγorδ)

Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης

33

(αandβ)or(αandγ)or(βandγ)or(βandδ)or(δandε)or(εandζ) [(αorβorδ)or(βandγorδ)]or(αandδ) (αorβorγ)and(αorδ)and(βorγorδ)and(γandδ) [(αandβandδ)or(γandδ)]or(αandβandδ) (βorγorδ)and(αorβorγ)and(αorγorδ)

Περισσότερα Κριτήρια Αξιολόγησης